Univerzita Karlova v Praze – Pedagogická fakulta Katedra pedagogické a školní psychologie

Řešení slovních úloh se zaměřením na slovní úlohy o pohybu

Lenka Kropáčková Psychologie – speciální pedagogika

3. ročník – 2004/2005

1

2

OBSAH:

1.VYMEZENÍ OBLASTI PROBLÉMU, HISTORIE VÝZKUMU .4 U

1.1 Pasportizace školy ............................................................................................. 4 1.2 Výuka v hodinách matematiky ........................................................................ 5 1.3 Historie výzkumu .............................................................................................. 5 1.4 Základní otázky výzkumu ................................................................................ 6 1.5 Modelové příklady z hodin předvýzkumu ...................................................... 6 1.6 Používané pomocné systémy ............................................................................ 8

2. SCHÉMA............................................................................................ 9

3. TEORETICKÝ PODKLAD ........................................................... 12

3.1 Inteligence a senzomotorické funkce ............................................................. 12 3.2 Sémantická rovina úloh .................................................................................. 14 3.3 Dimenze matematické gramotnosti ............................................................... 15

3.3.1 Matematické postupy ................................................................................. 15 3.3.1.1 a ............................................................................................................... 15 3.3.1.2 b............................................................................................................... 16 3.3.2 Matematický obsah – tradiční matematické obory a „význačná témata“ .. 17 3.3.3 Situace s kontexty....................................................................................... 17

4. ZADÁNÍ A VÝSLEDKY DAT Z PŘEDVÝZKUMU .................. 17

4.1 Analýza písemné práce ................................................................................... 17 4.2 Analýza zadané práce ..................................................................................... 17 4.3 Souhrnné porovnání dat předvýzkumu ........................................................ 18

5. ZADÁNÍ ÚLOH NOVÉHO VÝZKUMU...................................... 19

5.1 Zadání jednotlivých sérií úloh........................................................................ 20

6. ROZBORY ....................................................................................... 20

6.1 Stručné porovnání zadaných úloh ................................................................. 20 6.1.1 První série.................................................................................................. 20 6.1.2 Druhá série ................................................................................................. 20 6.1.3 Třetí série.................................................................................................... 21

6.2 Rozbor prací jednotlivých žáků ..................................................................... 21 6.2.1 Jana............................................................................................................. 21 6.2.2 Pavel ........................................................................................................... 27 6.2.3 Petr ............................................................................................................. 33 6.2.4 Karel ........................................................................................................... 38 6.2.5 Honza ......................................................................................................... 42

7. SYNTÉZA SESBÍRANÝCH DAT ................................................. 45

7.1 Komentář k jednotlivým sešitům................................................................... 45 7.2 Zhodnocení....................................................................................................... 47

7.2.1 Pořadí ......................................................................................................... 47 7.2.2 Zápis ........................................................................................................... 49 7.2.3 Pomocné systémy....................................................................................... 53 7.2.4 Typy chyb................................................................................................... 55 7.2.5 Kompletní shrnutí všech třech sérií............................................................ 58

3

8. ZÁVĚR ............................................................................................. 61

LITERATURA..................................................................................... 62

PŘÍLOHY............................................................................................. 63

příloha 1 ................................................................................................................. 63 zadání úloh a statistické zpracování dat z předvýzkumu .................................... 63

příloha 2 ................................................................................................................. 63 zadání příkladů výzkumu a vzorové řešení problematické úlohy 3.1 ................. 63

příloha 3 ................................................................................................................. 63 kopie jednotlivých prací vybraných žáků............................................................ 63

4

1.VYMEZENÍ OBLASTI PROBLÉMU, HISTORIE VÝZKUMU

Výzkum je zaměřen na problémy, vznikající během řešení slovních úloh o pohybu. V tomto projektu jsem se snažila objevit nějaké zákonitosti v chybách, kterých se žáci během slovních úloh dopouštějí. 1.1 Pasportizace školy

Pro svůj výzkumný projekt jsem si zvolila základní školu na Praze 10 –

Vršovicích. Jedním z důvodů proč jsem si tuto školu vybrala je skutečnost, že jsem zde v letech 1988 – 1994 sama absolvovala 1. – 6. ročník školní docházky. Po letech jsem se sem ráda opět podívala a byla nadšená ze změn, ke kterým od té doby došlo. Budova školy byla postavena r. 1930 ve staré zástavbě městské části Vršovic. Nyní je 2. nejstarší základní školou Prahy 10.

Současným ředitelem je Mgr. Luděk Jeřábek. Budova má celkem 5 podlaží a dva shodné trakty propojené sálem o 200 místech. Škola je vybavena počítači, odbornými pracovnami, didaktickou technikou, má vlastní keramickou pec Na chodbách jsou žákům k dispozici počítače a stoly na stolní tenis. K výuce TV slouží víceúčelové hřiště, žáci jej bohatě využívají i ve volném čase. V teplejších měsících chodí žáci běhat též do nedalekého parku Grébovka. V hodinách TV využívá škola také nedaleký zimní stadion - sportovní halu HASA. Kapacita školy je 400 žáků.1 Co se týče složení žáků, je různorodé. Ve třídách se objevují i žáci různých etnických menšin (romské etnikum, v posledních letech nejsou vyjímkou děti z východoasijských menšin), dále pak školu navštěvují členové krasobruslařských oddílů, kteří trénují ve výše zmíněné hale HASA.

Výuka na škole probíhá podle vzdělávacího programu Základní škola (Základní škola, č.j. 16 847-2), zaměření školy představují třídy s rozšířenou výukou informatiky v 8. a 9. ročníku. Součástí školy je přípravná třída, kde probíhá příprava dětí s odkladem školní docházky na vstup do školy. Od 3. ročníku je povinně zařazena výuka anglického jazyka.

Žáci si dále mohou vybírat z pestré škály volitelných předmětů2, od 1. ročníku je možné navštěvovat jazykové kurzy (ty pořádá v areálu školy jazyková škola). Dále škola nabízí 9 zájmových kroužků.3 Škola se též pravidelně účastní různých oblastních soutěží (např. sportovní soutěže Poprask, dějepisné olympiády, biologické olympiády, pythagoriády, celopražské soutěže v počítačových hrách). Sama organizovala meziškolní soutěž ve hře Sudoku.

Ve školním roce 2006/2007 se škola zapojila do projektu Školní speciální pedagog, jehož organizátorem je Pedagogicko – psychologická poradna pro Prahu 10 (Praha 10, Jabloňová ul.). Škola též bohatě využívá výjezdů do škol v přírodě, čímž se snaží kompenzovat umístění školy v prostředí staré vršovické zástavby.

1 Ve školním roce 2006/2007 (školní rok aktualizace dat výzkumného projektu) ji navštěvuje 263 žáků. 2 informatika, seminář přírodovědných předmětů, německý jazyk, technické kreslení, práce s informacemi 3 práce s počítačem pro žáky v 1. ročníku, práce s počítačem a internetem pro 1. stupeň, míčové hry pro 1. – 5. ročník, florbal pro 1. stupeň, stolní tenis, praktická cvičení z českého jazyka pro 2. stupeň, fotografický kroužek, přírodovědný kroužek, výuka latinského jazyka

5

1.2 Výuka v hodinách matematiky

V rámci svého předvýzkumu jsem navštěvovala hodiny matematiky na ZŠ v Praze 10, třídu 9. A (25 žáků). Náplň učiva začíná opakováním a rozšířením vědomostí z předchozího ročníku, pokračuje lomeným výrazem, řešením lineárních rovnic, podobností geometrických útvarů, na to navazuje soustava lineárních rovnic se dvěma neznámými, funkce, goniometrické funkce ostrého úhlu, základy finanční matematiky, povrchy a objemy těles a pravoúhlé promítání. Vše je zakončeno závěrečným opakováním. Děti používaly učebnici „Matematika pro 9. ročník základní školy“ (Jana Coufalová, Šárka Pěchoučková, Jiří Hejl, Miroslav Lávička; nakladatelství Fortuna, Praha 2000).

V době mého předvýzkumu se probíraná látka skládala z řešení lineárních rovnic, a posléze pak ze slovních úloh. Během řešení rovnic občas docházelo k chybám, ke konci (dle výsledků zkoušení a písemných prací) se už nevyskytovaly závažné problémy. Pak přešla učitelka ve výkladu k řešení slovních úloh. U každé úlohy prováděla její zápis a obecný vzoreček pro lineární rovnice. Pak společně s dětmi počítala zadaný příklad. Po každém řešení se dětí ptala na nejasnosti. Slovní úlohy byly o směsích a o společné práci. Ke konci přešla k řešení slovních úloh o pohybu. Postupovala opět stejným způsobem. Děti si „mechanicky“ opisovaly zadání i řešení do sešitů, a na dotaz, zda jsou v řešení nejasnosti, se nikdo nepřihlásil. Pak zadala učitelka dětem domácí úkol (4 slovní úlohy). Při jeho kontrole v další hodině matematiky zjistila, že úkol sice přinesli všichni žáci, ale část z nich (10) měla špatný výsledek (u jednoho či více příkladů). Učitelka tedy znovu napsala na tabuli „modelový příklad“ a ptala se žáků se špatným řešením na nové řešení příkladu (chtěla po nich, aby si podle „modelu“ opravili své postupy). Řešení pomocí modelu dobře zvládly 4 děti, zbytek pořád ještě nepochopil, jak příklady vyřešit. Učitelka tedy zvolila jakési opakování a žáci si (na základě společného řešení) osvojovali úlohy. Další domácí úkol již dopadl o něco lépe. Přesto však měli 4 žáci chybné výsledky. Po dobrání kapitoly zahájila učitelka za domácí úkol opakování s tím, že další týden budou žáci psát písemnou práci. Práce se skládala jak ze slovních úloh, tak z lineárních rovnic. Při procházení výsledků jsem zjistila, že pokud děti dělaly chyby, pak nejčastěji právě při řešení dvou slovních úloh o pohybu. Napadalo mě, jak je možné, že dochází k viditelnému zhoršení právě v tomto typu úloh a ne třeba v ostatních dvou typech, nebo v příkladech na rovnice jako takové. Samozřejmě, že se vyskytovali jedinci s chybami i v ostatních příkladech, ale „propad“ nebyl tak znatelný. U devíti dětí jsem zjistila horší známku jenom díky špatnému řešení slovních úloh o pohybu. 1.3 Historie výzkumu

Můj nynější výzkum navazuje na předešlé informace. Opět jsem se vydala do

základní školy a navštívila nový 9. ročník. Zde jsem také nasbírala nová data – práce žáků zaměřené pouze na slovní úlohy o pohybu. Tentokrát jsem omezila počet respondentů na 7, a nechala je vypracovat celkem 3 různé práce. První z nich byla zaměřená na výpočet příkladů tzv. 1. typu („s1=s2“), druhá na příklady 2. typu („s=s1+s2“) a třetí z nich byla kombinací obou typů úloh. Cílem bylo zjistit jak moc se liší výsledky v typech úloh a zda je mezi nimi nějaká spojitost, nebo jestli více záleží na individualitě jedince. Proto jsem se již nezaměřila na třídu jako celek, ale na konkrétní, vybrané žáky.

1.4 Základní otázky výzkumu

Na samotném počátku předvýzkumu mě zajímaly otázky, zda převažuje chybné

řešení v některých typech příkladů na rozdíl od příkladů jiných. A pokud ano, pak jaké chyby se vyskytují? Během procházení písemných prací mě napadlo, jak je možné, že děti nejčastěji chybují právě v úlohách o pohybu? V čem spočívá obtížnost jednotlivých příkladů? Vždyť na první pohled je jejich řešení poměrně „jasné a snadné“, z vět si přepíšeme zadání do matematické podoby a pak použijeme příslušný vzoreček. Děti měly k dispozici několik modelových příkladů, podle kterých řešily další úkoly. Co je na těchto úlohách tak odlišného od ostatních? Co může hrát roli při chybování v řešení? Co potřebují znát (nebo ovládat) děti k tomu, aby pochopily princip těchto úloh? Jakou roli v řešení hraje vstup fyzikálních veličin? Nehraje roli prostorová představivost (do hry dítěti vstupuje kromě dvou veličin ještě veličina třetí)? Co dělá žákům největší problém? Během analýzy jednotlivých prací mě pak napadaly konkrétnější otázky.

1.5 Modelové příklady z hodin předvýzkumu Učitelka napsala na tabuli zadání příkladu, a potom přešla k jeho řešení.

příklad: Když jel David s rodiči do Prahy, předjížděl je na dálnici červený Ford. Tatínek to komentoval slovy: „Jede jako blázen. Zbytečně riskuje a přitom bude v Praze jen o pár minut dříve než my“. David tomu nevěřil, proto stále sledoval tachometr. Jeli průměrnou rychlostí 100km/h. Za půl hodiny zastavili na občerstvení v motorestu. byli překvapeni, když řidiče Fordu opět uviděli. Stál u pultu a rozčiloval se: „Přijel jsem před 10 minutami a stále čekám na tu kávu !“ „Vidíš, věděl jsem, že jel nepovolenou rychlostí,“ obrátil se tatínek k Davidovi. Měl pravdu?

- fyzikální veličiny: - průměrná rychlost = v - dráha = s - čas = t ⇒ vzoreček: s = v * t Ford Škoda P (předjíždění) M (motorest)

dráha [km] rychlost [km/h] čas [h] převedení času [h]

Škoda

s1 100 1/2 1/2

Ford

s2 v2 10 minut 1/6

- rovnice: s1 = 100 * 1 / 2 s2 = v2 * (1 / 2 - 1 / 6) s1 = s2 100 * 1 / 2 = v2 * (1 / 2 - 1 / 6) 50 = v2 * 1 / 3

6

150 = v2 - zkouška: - Škoda: 100 * 1 / 2 = 50 „Škodovka ujela 50 km“ - Ford: 150 * 1 / 3 = 50 „Ford ujel 50 km“ - odpověď: Ford jel rychlostí 150 km/h. Tatínek měl pravdu.

Pak následoval další příklad se stejným postupem. příklad: O prázdninách se cyklistický oddíl vydal na výlet k Máchovu jezeru. Část oddílu vyrazila v sobotu a ujela 120km průměrnou rychlostí 16 km/h. Vraceli se rychleji – průměrnou rychlostí 24 km/h. Druhá skupina jela v neděli. Na cestě tam i zpět dodržovali průměrnou rychlost 20 km/h. Které skupině trvala cesta déle ?

v1 = 16 km/h v2 = 24 km/h sobota:

7

½ s v1 = 20 km/h v2 = 20 km/h neděle: ½ s

dráha [km] rychlost [km/h] čas [h] převedení času

sobota 120 16 24 t s - neděle 120 20 20 t n - - rovnice: s = v * t ⇒ t = s / v s1 = s2 sobota: t S = t1 + t2 t1 = ½s / v1 t2 = ½s / v2 t S = ½s / v1 + ½s / v2 t S = 60/16 + 60/24 t S = 3,75 + 2,5 t S = 6,25 h neděle: t n = t1 + t2

v1 = v2 ⇒ t1 = t2 ⇒ t n = 2t t n = 2* (60/20) t n = 2*3 t n = 6 h - zkouška: sobota: 6,25 = 60/24 + 60 / 16 6,25 = 6,25 neděle: 6 = 60/20 + 60/20 6 = 6 - odpověď: Oddíl jel déle na výlet v sobotu.

Učitelka vždy dětem zdůraznila, že dosazujeme pojmy ze zadání do lineární rovnice, že postupujeme stejným způsobem jako při řešení předchozích úloh. Pak dětem na tabuli napsala jenom zadání a zeptala se jich na řešení. Zároveň jim řekla, aby postupovaly podle předchozích zadaných příkladů, které měly přepsané v sešitě. 1.6 Používané pomocné systémy

- modelový příklad: - učitelka vždy opsala zadání příkladu na tabuli a pak krok po kroku

uvedla jeho řešení - příklad si opsali všichni žáci, při řešení dalšího příkladu ho měli

použít - osa: - na časové ose učitelka demonstrovala hodnoty zadání - tabulka: - do tabulky si žáci přepisují příklad (pro lepší přehlednost, orientaci v zadání) – de facto vytahují podstatné matematické údaje z lexikálního zadání - rovnice: - rovnice se uvádí nejprve v podobě dvou rovnic pod sebou (ve výše uvedeném příkladě pro každé auto zvlášť) - poté žáci zjistí, co mají obě rovnice společného (v př. dráha) ⇒

rovnice se v určitém údaji shodují - tím vzniká ze dvou rovnic jedna společná rovnice, žáci dosadí údaje z předešlých rovnic a příklad tím pádem mohou vyřešit

- zkouška: - zkouška probíhá dosazením výsledků do textu úlohy

8

2. SCHÉMA

9

10

11

12

3. TEORETICKÝ PODKLAD

Slovní úloha je založená na dvou základních rovinách – jazykové a matematické. Během výzkumu jsem se zamyslela nad několika věcmi, které mě zaujaly. Z toho

též vycházel teoretický podklad výzkumu. Nejprve je třeba si uvědomit, že slovní úlohy o pohybu můžeme pojmout ze dvou rovin. První představuje typ úlohy, kdy jedou aktéři za sebou, druhý pak, když jedou proti sobě a mají se během trasy setkat. Dále je třeba si uvědomit, že v těchto úlohách se vyskytuje vztah mezi třemi fyzikálními veličinami – rychlostí, dráhou a časem. K tomu, aby děti mohly správně používat a vyjadřovat jejich vztahy, je třeba nejprve dospět na určitou úroveň inteligence (viz Piaget). Dále mě oslovila práce PhDr. Rendla o sémantice a struktuře slovních úloh. Děti se s úlohami vypořádají různým způsobem, někdy může dojít k chybě během převádění slovního zadání do vzorce. Někdy se může stát, že děti berou v potaz pouze 2 veličiny, ale již vypouštějí veličinu třetí. Na počátku jsem si myslela, že chyby mohou vycházet z určité lenosti a pohodlnosti, ale udělat chybu vyžaduje také určitou práci. Při chybování totiž děti zabíhají do alternativních logik postupů. Ráda bych se též zamyslela nad tím, proč mají některé děti k tomuto typu úloh odpor, co je na nich potenciálně lidsky přitažlivé či odpudivé. Také mě napadlo, zda nehraje určitou roli např. využití fantazie a představivosti. Z těchto bodů jsem vycházela při vyhledávání a načítání literatury.Cílem této práce není podat podrobný výklad jednotlivých teorií, proto zde uvádím pouze fakta, která jsou potřebná pro vhled do situace. 3.1 Inteligence a senzomotorické funkce

Dle tvarové teorie nedochází k izolované tvorbě jednotlivých částí vnímání – situaci

či objekt tedy vždy vnímáme jako celek. Jednotlivým prvkům potom na základě určité rovnováhy, která vychází ze zákonů vnímání, vtiskuje jedinec určitý celostní tvar. Některé prvky tedy potlačí, jiné naopak zdůrazní. Tato teorie může být aplikována na vztah k inteligenci ve 3 podobách. Zaujala mě Koehlerova aplikace senzomotorické inteligence, kde se uvádí, že k dosažení cílů dochází díky nějakému porozumění, ke kterému během samotného aktu dochází. Za zásadní však považuji Piagetovu teorii inteligence, který, na rozdíl od gestaltistů, uvádí, že v každém okamžiku usuzování dochází k procesu změn a zvratů. Myšlení se tedy přizpůsobuje dané situaci, zatímco dle gestaltistů je nezvratné.

Opěrným bodem při studiu Piagetovy teorie mi byla kniha Psychologie inteligence; vývoj dítěte (Piaget, Inhelderová). Původně jsem měla v úmyslu pracovat s knihou The child’s conception of movement and speed (London, 1970), bohužel však pro mě zatím není dostupná. Během vývoje dochází dle Piageta k několika fázím kognitivního vývoje. Vždy je třeba absolvovat dané stadium, aby na něj mohlo posléze navázat stadium další. První, senzomotorické stadium, se vyskytuje již v batolecím věku. Následuje ho předoperační stadium, které se vyvíjí zhruba v předškolním věku. S nástupem do školy se předpokládá nástup stadia konkrétních operací. Kolem 11. roku počíná stadium formálních operací. Toto pojetí představuje zásadně kvalitativně odlišné úrovně, vývojová sekvence je neměnná. Zároveň se uvádí, že existují významné interindividuální rozdíly, a tak je věkové rozmezí pouze orientační.

Inteligence je flexibilní ve smyslu rovnováhy mezi asimilací a akomodací, kdy

asimilace je působení jedince na své okolí, zatímco akomodace vyjadřuje přizpůsobení se okolnímu světu. Inteligence je zvratná ve smyslu zvratnosti myšlení, usuzování, logiky. Asimilační a akomodační vlivy jsou v této teorii vyrovnány. Psychologie myšlení je

13

odrazem samotné logiky, myšlení je na ní totiž závislé. Během procesu myšlení musí být nastolena určitá rovnováha mezi vnitřními a vnějšími operacemi. Piaget zavádí pojem grupování. To běžně používáme při uvažování za pomocí vlastních parametrů (např. hodnocení) a obecně platných norem (např. v podobě vnějších podmínek, které vedly k myšlence – zadání matematické úlohy). Piaget klade velký důraz na možnost neustálé změny grupování v každém okamžiku dle konkrétních situací, které vyvstanou. Grupování má své podmínky – kvalitativní jich má 5, matematické 4.

U grupování dochází ke klasifikaci, vycházející z toho, zda se jedná o logické

operace, anebo zda existuje možnost rozkladu a opětovného skladu dané informace. U logické operace může dojít k substituci, neboli nahrazení dvou myšlenkových operací nadřazeným pojmem, který vyjadřují. U zvratného rozkladu uvádí více možností. Podstatné je, že se jedná o operaci časoprostorového umisťování a kvalitativního přemisťování, tzn. že myšlenkový krok spočívá ve změnách uspořádání pojmů. Obě tyto části grupování jsou paralelní. Grupování je základem pro vyšší myšlenkové operace (ty jsou třeba právě např. při řešení slovních úloh). Každá vývojová fáze umožňuje určitý typ logických operací, tzn. že až na určitém stupni vývoje je jedinec schopen usuzovat v pojmech dle výše zmíněné struktury. Podstatná úroveň, o které se zmíním, je etapa konkrétních logických operací. Je nezbytná při řešení jakýchkoliv matematických úloh. Na tomto stupni dochází k samotnému operačnímu grupování. Dítě již uvažuje v určitém seskupení, přemýšlí o operaci komplexněji. Dochází zde k respektování základních zákonů logiky, které se váží na konkrétní realitu. Dále dochází k operování se skutečností, reálnými objekty a jejich znaky. Dítě je schopno decentrace, tzn. že není limitováno aktuálním pohledem na aktuální stav situace. Zároveň chápe obměnu objektů či situací a chápe, že jsou v podstatě stejné (resp. založeny na stejném principu). Zároveň dovede ve svých úvahách respektovat více faktorů naráz, třídění a řazení určitých pojmů probíhá ve více než jedné kategorii. Tento typ myšlení charakterizuje možná vratnost operací. Dítě lépe, přesněji chápe proměnlivost reality, jejíž aktuální stav představuje jen jeden z možných stavů. Také se již objevují vztahy mezi jednotlivými operacemi.

Na tento stupeň navazuje stadium formálních operací, které začíná nejdříve kolem

11. roku. Přináší s sebou schopnost hypotézy, tzn. že dítě umí pracovat s něčím, s čím nemá žádnou zkušenost – s abstraktními principy. Dítě se již nezabývá reálnými omezeními, umí nakládat se situací hypoteticky, myšlení je více logické, systematické. Dochází k používání hypoteticko deduktivního usuzování, kdy jsou možná řešení problému vytvářena a deduktivně zkoumána za účelem dosažení k pozitivnímu výsledku. Postup při řešení problému již není náhodný.

Ve vývoji dítěte nehrají roli jen samotné vývojové kroky, i když přináší určité

možnosti. Podstatná je interakce se sociálním prostředím. Inteligence se utváří během vzájemného působení všech možných faktorů. Důležitý je tedy celkový rozvoj osobnosti dítěte. Vše je podstatné. Jak autor uvádí: „Ani v čisté matematice nemůžeme usuzovat, aniž bychom prožívali nějaké city, a obráceně, neexistují city, v nichž by se nevyskytovalo alespoň minimum pochopení nebo rozlišení“ (Piaget, 1970). Pokud by vyrůstalo dítě v naprosté izolaci od společnosti, nemohlo by dojít k tvorbě všech etap inteligence. K získávání dovednosti může docházet mnoha způsoby – např. nápodobou okolí. Aby např. mohlo dojít k úspěšnému rozvoji formálního myšlení, musí dítě správně nakládat se symboly, což by bylo u asociovaného dítěte nemožné. Např. právě nakládání se symboly hraje obrovskou roli při řešení slovních úloh.

14

3.2 Sémantická rovina úloh Ve studii PhDr. Rendla, pojednávající o struktuře a sémantice slovních úloh mě

zaujalo pár poznámek, které podle mě souvisí s mým výzkumným problémem. Slovní úloha vytváří dvojitý kontext dvou paralelních rovin. Obě se svým způsobem podílejí na složitosti zadání. První z nich je rovina matematických údajů. Ty jsou obsažené v zadání. Zde se jedná zejména o jejich vzájemné vztahy, které jsou nutně vyjádřené v samotném výpočtu. Druhá rovina, sémantika textového zadání, se týká jednotlivých jazykových prostředků výstavby textu. Pokud se snažíme rozlišit matematickou strukturu a sémantickou rovinu, je potřeba brát v potaz, že v každé úloze jsou obě dvě roviny neoddělitelnou součástí celku. Obtížnost řešení úkolu nelze postihnout bez jejich ovlivňování a protipohybu. Právě jím totiž často dochází u dětí k procesu porozumění.

Rendl zmiňuje matematickou triádu coby základní matematickou strukturu slovní

úlohy. Jedná se o případ, kde známe 2 údaje ze zadání a třetí údaj je třeba zjistit (v případě slovních úloh o pohybu např. známe dráhu a rychlost, neznámou tvoří čas). Triáda vytváří kontext, kde jsou jednotlivé údaje obsazeny do pozic členů aritmetického příkladu. Spojuje je syntagma matematické operace.

Předpokladem pro vyřešení slovní úlohy je tzv. vytvořit správný příklad – obsadit

zadané údaje a danou početní operaci v souladu se sémantickou stránkou zadání. Dvojitost paralelních rovin úlohy vede k tomu, že může docházet ke komplikování úlohy v obou dvou dimenzích. Co se týče úspěšného řešení příkladu, většinou se tak děje v jazykové dovednosti (tzn. že dítě dokáže rozpoznat různé kontexty). V souvislosti s komplikováním úloh se k tomu přidává obecnější dovednost – schopnost pracovat s více kontexty naráz, a zvažovat více možností jejich vztahů. Ke komplikování matematické struktury zadání může docházet několika způsoby. Prvním, nejjednodušším, je zmnožení členů aditivního kontextu, které odpovídá součtu více sčítanců. Následuje stejná podoba u odčítání. Může též nastat situace, kdy hledaný člen triády je zároveň členem triády vyšší. Jeho nalezení se tudíž stává předpokladem pro nalezení hledaného členu v oné další triádě. Dále Rendl uvádí, že strukturu triád lze větvit – pro každého sčítance konečné mnohočetné triády je zapotřebí další nutný výpočet. V neposlední řadě může nastat případ, kdy jsou struktury, kde se jedná o jejich řetězení. Je třeba si uvědomit, že matematická struktura je vždy srozumitelná a interpretovatelná jen v souvislosti s textem úlohy. Každá její dílčí triáda je sama o sobě velmi mnohoznačná, může být různě sémanticky obsazená. Některé komplikované matematické struktury mohou vypadat pro děti v určitém sémantickém obsazení snadně, a naopak zase úloha s jednoduše vyjádřenou strukturou může v některých úlohách působit některým dětem velké problémy. Z toho jasně vyplývá podstatná úloha sémantické roviny. Rendl dále uvažuje o možnosti redukce této stránky na základní predikátory a jejich valence. Nevedlo by to však k odstranění problémů při řešení. Musíme totiž vždy brát v úvahu nejen zadané hodnoty, ale především porozumět vztahům mezi nimi. V této hypotéze se dále pracuje s významem struktury, popř. s hypotézou, zda struktura nekomplikuje řešení. Rendl navrhuje určitý kompromis, kdy má být struktura příkladu částečně subjektivní a intuitivní. Sice se někdy nejedná o zcela explicitně vyjádřenou, formalizovanou zkušenost s dětskými postupy, ale měl by alespoň částečně odlišit různou strukturální složitost různých úloh. Měl by poukázat na složitosti sémantiky textu. Základním cílem sémantiky je prezentovat přehled kontextů prostřednictvím znění úloh. Sémantika sama o sobě může však zkomplikovat jinak poměrně jednoduché řešení. Někdy je text na děti příliš dlouhý, což může způsobit čtenářské problémy. Objevují se skryté údaje (např. v podobě slova týden = 7 dní), texty nemusí být díky lexikografickým

15

prostředkům zrovna obvyklé. Mohou obsahovat lexikografické komplikace, kdy je použito více sémantických ekvivalentů pro stejný údaj (např. V sobotu přišlo 86 diváků, v neděli o 5 více – kolik jich bylo za celý víkend?). Komplikace jsou ale i určitým prostředkem ke správnému řešení. Méně obvyklé prostředky mají vyjadřovat vazby mezi jednotlivými členy, některé vazby jsou vyjádřeny implicitně. Podstatu pochopení a řešení úlohy tvoří korespondence pozic jednotlivých členů a jejich vazeb v matematické struktuře. Co se týče slovních úloh o pohybu, vycházejí zejména z úloh s jednou triádou. Struktura těchto úloh odpovídá aritmetickému zápisu (tzn. např. násobení A*B=Z ⇒ v případě úloh o pohybu s = v*t). V samotných úlohách o pohybu hraje velkou roli jejich dvojí podoba zadání (např. Když vlak ujede za 3 hodiny 150 km, kolik ujede za 5 hodin? a Když vlak ujede za 3 hodiny 150 km, za jak dlouho ujede 250 km?). Při řešení úlohy dochází ke stavbě rovnice o dráze „s“, času „t“ a rychlosti „v“. Jedná se o jakousi rekonstrukci vztahů úměry, ve které je místo dvojí podoby vztažného členu jedna z jeho možných forem předkládána jako fyzikální veličina (např. množství dráhy za jednotku času). Vztah mezi třemi veličinami vytváří tzv. trojitou rovnici. Pro dospělé je to tatáž rovnice, která umožňuje nebrat v potaz druhou podobu vztažného členu.

Ve slovních úlohách o pohybu se může vyskytovat důraz na logiku, kdy

matematická struktura vytváří prostřednictvím jednoduchých triád soubor podmínek. Podmínky musí být uvedeny v nějaké kombinaci, anebo musí být dodrženy naráz. Úlohy mohou být též postaveny na rozpoznání ekvivalence pojmů v podobě např. skrytých údajů, anaforických a kataforických prostředků.

3.3 Dimenze matematické gramotnosti Matematická gramotnost je dovedností předkládat a řešit matematické problémy

v různých situacích, stejně jako tendencí takto jednat. Často záleží na rysech osobnosti jako jsou sebedůvěra a zvědavost. Matematická gramotnost představuje 3 dimenze – postupy, obsah a situace. V postupech je kladen důraz na dovednost analyzovat, zdůvodňovat a efektivně sdělovat myšlenky pomocí vyhledávání, formulování a řešení matematických problémů. Postupy jsou rozděleny do 3 tříd - reprodukování, definice a výpočty; propojování a integrace za účelem řešení problémů a matematizace; matematické myšlení a zobecňování. V obsahu by měla být tzv. význačná matematická témata – změna a růst, prostor a tvar, náhoda atd. Právě slovní úlohy o pohybu sem spadají. Důležitým aspektem matematické gramotnosti je používání matematiky v různých životních situacích. 3.3.1 Matematické postupy 3.3.1.1 a

Mezi základní matematické postupy spadá matematické myšlení, matematická argumentace, modelování, vymezení problému a jeho řešení, reprezentace, symbolika a formalismy, komunikace, a pomůcky a nástroje.

Matematické myšlení spočívá v kladení otázek typických pro matematiku

(„Existuje…?“, „Jak najdeme…?“, „Kolik …?“ atd.) Je třeba znát odpovědi, které matematika na dané otázky nabízí. Musíme též umět rozlišovat mezi různými typy tvrzení

16

jako jsou definice, věty, hypotézy nebo příklady, a pochopit rozsah a omezení daných matematických pojmů, s kterými musíme umět zacházet.

Argumentace spočívá ve znalosti povahy matematických důkazů a jejich odlišnosti od jiných druhů uvažování. Sleduje a hodnotí různé typy řetězců matematických argumentů. Je v ní zapotřebí cit pro heuristiku, kdy uvažujeme „Co a proč se může či nemůže stát“ a tvorba matematických argumentů.

Modelování je složeno ze strukturování oblastí či situací, které mají být modelovány. Dále jej tvoří matematizace (= převod reality do matematických struktur) a dematematizace, tvorba a ověřování modelu, uvažování a analyzování kritiky modelu a sledování a kontrola procesu modelování.

Vymezení problému a jeho řešení spočívá ve vymezení, formulování a upřesňování různých druhů matematických problémů, a to různými způsoby.

Reprezentace znamená dekódování, interpretace a rozlišování mezi různými formami reprezentace matematických objektů, situací a vztahů mezi nimi.

Symbolika a formalismy jsou překladem z přirozeného jazyka do symbolického, formálního jazyka. Pracujeme zde s výroky a výrazy obsahujícími symboly a vzorce, užíváme proměnné, řešíme rovnice a provádíme výpočty.

Komunikace spočívá ve vyjadřování se k matematickému obsahu pomocí různých způsobů (ústní i písemnou formou) a v pochopení jiných výroků o těchto záležitostech.

U pomůcek a nástrojů předpokládáme jejich znalost a dovednost používat je. Zde se jedná např. o znalost vzorečku pro řešení slovních úloh o pohybu, ale i o znalost použití kalkulačky.

3.3.1.2 b

reprodukce, definice a výpočty Během řešení matematických příkladů je potřeba znát fakta, znázorňování,

rozpoznávání ekvivalentů, vybavování si matematických objektů, provádění rutinních postupů (zde se např. jedná o slovní úlohu o pohybu ⇒ automaticky vzoreček „s =v*t“).

propojení a integrace při řešení problémů Zde již dochází k propojování různých matematických prvků a oblastí, a k integraci

informací za účelem vyřešení jednoduchých problémů. Dalším aspektem této kategorie je dekódování a interpretace symbolického a formálního jazyka a pochopení jeho vztahu k přirozenému jazyku. Zde jsou problémy často uvedeny v nějaké situaci a od žáků vyžadují matematické rozhodování (tzn. zda se jedná o řešení, kdy „s1=s2“ nebo „s=s1+s2“).

matematizace, matematické myšlení, zobecňování a proniknutí do podstaty

matematiky Žáci mají za úkol matematizovat situace, tzn. rozpoznat prvky matematiky v dané

situaci a použít matematiku k vyřešení problému, analyzovat, interpretovat, vyvinout vlastní modely a strategie a předkládat matematické argumenty, včetně důkazů a zobecnění. Tyto postupy představují kritické myšlení, analyzování a přemýšlení o procesu. Ve slovních úlohách o pohybu se to projevuje např. v převádění času na stejné jednotky.

17

3.3.2 Matematický obsah – tradiční matematické obory a „význačná témata“

Školní osnovy matematiky bývají složeny podle tradičních matematických oborů,

které matematiku striktně rozčleňují a často kladou až příliš velký důraz na výpočty a vzorce. Zde nás zajímá zejména podkategorie, nabízející dostatečnou rozmanitost a hloubku k odhalení podstaty matematiky. Jedná se o změnu a růst, a prostor a tvar. Změna a růst se objevuje právě ve slovních úlohách o pohybu.

3.3.3 Situace s kontexty Proniknutí do podstaty matematiky a porozumění matematice by měly být vždy

hodnoceny v řadě různých situací. Minimalizujeme tak možnost, že budou některé úlohy pro žáky z kulturního hlediska nevhodné. Myslím si, že pokud dáme žákům příklad pro ně z nějakého důvodu lákavý, spíše se budou snažit o jeho správné řešení než u příkladu, který se jim bud zdát fádní, nudný, nebo nepřijatelný. Z toho jsem vycházela u tvorby příkladů pro 3. zadanou práci výzkumu. 4. ZADÁNÍ A VÝSLEDKY DAT Z PŘEDVÝZKUMU Zadání úloh a statistické zpracování dat z předvýzkumu uvádím v příloze č. 1. 4.1 Analýza písemné práce

V písemné práci bylo celkem 5 příkladů. Ve třídě je celkem 25 dětí, ale 5 jich chybělo, práci tedy psalo 20 dětí. Příklady byly na řešení lineárních rovnic (2), dále na řešení slovních úloh o směsích (1) a na řešení slovních úloh o pohybu (2). U slovních úloh o pohybu se objevilo celkem 18 chyb (7 dětí mělo špatně oba příklady, 4 děti chybovaly v jednom příkladu). Nejčastější chybou bylo špatné převedení veličin (minuty, hodiny …), třikrát se objevily špatné modifikace použitých vzorečků, dvakrát došlo k chybnému opsání údajů ze zadání a jeden žák použil sice ojedinělý postup, ale ten mu v jednom příkladě pomohl k správnému výsledku (ve druhém však již ne). 4.2 Analýza zadané práce

Zadaná práce se skládala z pěti příkladů – slovních úloh o pohybu. Zadala jsem varianty dvou typů příkladů – kdy oba aktéři vyjíždějí ze stejného místa, anebo jedou proti sobě. Příklad č. 1, č. 2 a č. 5 je případem, kdy oba aktéři startují ze stejného místa, př. č. 3 a 4. je o protilehlých bodech. Vzhledem k úspoře času mohli žáci používat při výpočtech kalkulačky a nepožadovala jsem slovní odpověď (u každého řešení postačil správný výsledek). Vypracované příklady jsem shromáždila od 14 žáků – jednalo se o skupinku „praktických cvičení z matematiky“, kdy je třída rozdělena na části. Cvičení se „kříží“ s tělesnou výchovou. V této polovině má být 13 žáků, ve druhé polovině 12 žáků. V první polovině chyběli 4 žáci (absence), a tak vyučující nabídla dětem ze druhé skupiny, že se

18

mohou dobrovolně přidat. Toho využilo 5 dětí (za účelem vypracování příkladů byly „uvolněny“ z hodiny TV). 4.3 Souhrnné porovnání dat předvýzkumu

Během předvýzkumu jsem nasbírala data z písemné práce (slovní úlohy o pohybu,

směsích, a lineární rovnice) a zadané práce (slovní úlohy o pohybu). V obou případech bylo 5 příkladů. Zatímco písemná práce byla složena z několika typů příkladů, samostatná práce byla zaměřena pouze na slovní úlohy o pohybu. V prvním případě se jednalo o dva příklady na řešení lineárních rovnic, jednu slovní úlohu o směsích a dvě slovní úlohy o pohybu. V písemné práci se vyskytlo celkem 18 chyb ve slovních úlohách o pohybu, což mě přivedlo na myšlenku zadat žákům samostatnou práci pouze na slovní úlohy o pohybu.

Druhé zadání bylo tedy koncipováno tak, aby se tam objevovaly oba typy úloh o

pohybu, s různou obtížností. Písemnou práci psalo 20 dětí, zatímco druhá práce se týkala pouze 14 dětí. Vliv počtu žáků na výsledky výzkumu je diskutabilní. U lineárních rovnic se vyskytlo chybné řešení celkem 9x, u slovní úlohy o směsích 5x. Ve slovních úlohách o pohybu došlo k chybnému řešení celkem 18x. Oproti ostatním typům příkladů tedy byla největší četnost právě u těchto úloh. Druhá práce již vedla k odhalení nejčastějších chyb. V předešlém výzkumu docházelo zejména k chybnému převádění jednotek času, špatné modifikaci vzorečků a chybnému opsání údajů. Druhá práce přinesla poněkud odlišné výsledky. Opět se vyskytovaly problémy s modifikací vzorečků, chybné opsání zadání úlohy a převádění jednotek času. Objevila se též chyba v řešení rozličných typů úloh – pro každý typ je totiž zapotřebí použít jiný postup. Zřídka se objevilo zaměnění veličin během řešení. Překvapila mě však četnost chybného řešení u př. č. 4 – ke správnému řešení se dopočítali pouze 2 žáci.

Které chyby se u žáků vyskytovaly?

Zde vycházím zejména z předvýzkumu – zadání příkladů viz příloha.

špatná kombinace vzorečků Jedná se o nejčastější chybu při řešení příkladů. Jedná se o to, že buď jedou oba

aktéři slovní úlohy za sebou, anebo proti sobě. V prvním případě mají shodnou dráhu, ve druhém případě se jejich dráhy sčítají. Pokud žák zamění typ příkladu hned na počátku řešení, dojde samozřejmě ke špatnému výsledku, i kdyby dále postupoval dobře.

př.: př. č. 3: (aktéři jedou proti sobě) s = 240 km v2 = 70 km/hod t = 1,5 hod v1 = ? s1 = s2 - v tomto momentě dochází k zásadní chybě, neboť má být s = s1 + s2

špatné modifikace vzorečků

Tato chyba se během předvýzkumu vyskytla celkem 4x. Žák sice (v daných případech – dle analýzy prací) pochopí zadání příkladu, a ví, že s = v * t, ale pokud má vyjádřit vzorečkem jinou veličinu než dráhu, dochází k problémům. Žák pak tedy např. počítá, že t = s * v, což nevede ke správnému výsledku.

př.: zadáno: s, v1, t (t = t2) neznámá je s1 a s2

19

chyba: s1 = v1 / t1

převádění času Dost mě u tohoto vzorku zarazil problém s převáděním času. V příkladě je např.

zadán čas v minutách, ale při řešení je třeba počítat v jednotce hodin. Při řešení modelových příkladů byli žáci upozorněni, že čas musí vždy převádět, dokonce na to byla jedna kolonka v tabulce. Přesto ale k této chybě dvakrát došlo, přičemž jeden žák ji včas opravil.

př.: zadáno, že t2 je opožděné oproti t1 o 1800 sekund v1 = 4; v2 = 6;s = 4,5 t2= t1 - 1800 4,5 = 4 t1 + 4 (t1 – 1800) - v tomto případě došlo během řešení úlohy k nápravě – žák si nejspíš chybu uvědomil a počítal znovu

zaměnění počítané veličiny Tento problém nastal v předvýzkumu u př. č. 4, kdy žáci měli vypočítat ujetou

vzdálenost vlaku, který jel z Paříže – měli určit místo, kde se oba vlaky setkají. Překvapila mě složitost této úlohy, neboť správné řešení se objevilo pouze 2x. V ostatních případech byl sice většinou postup správný, ale na konci úlohy je třeba dopočítat danou dráhu a žáci místo s2 uváděli jako řešení dráhu s1. př.: zadána trasa s = 480 km zadána rychlost 1. i 2. vlaku (jednu z nich bylo třeba předem dopočítat ze zadání) až do okamžiku vypočítání času t je postup správný s1 = v1 * t - chyba: - žák počítá opačnou dráhu, než udává zadání příkladu

špatné opsání zadání

Tento typ chyby se objevil pouze jednou, kdy žák místo 15 km/hod opsal hodnotu 12 km/hod špatný mezipočet

V příkladě č. 5 je třeba na počátku dopočítat ze zadaných údajů rychlost v2. Dva žáci dospěli k nesprávnému výsledku, a proto již nemohli dospět ke správnému řešení příkladu. př.: Vlak 2 jede o 9/7 rychleji než vlak 1 v2 musí tedy být 9/7 * v1 chyba: v1 = v1 + 9/7

zaměnění času

U příkladu č. 2 si většinou žáci zavedli pomocnou veličinu t01. Ve dvou případech však došlo během řešení příkladu k zaměnění hodnoty t01 za t1. př.: správné vypočítání pomocného času t01 pak ale nedochází k výpočtu t1 a žák u počítání v2 používá hodnotu t01 5. ZADÁNÍ ÚLOH NOVÉHO VÝZKUMU

Za účelem hlubšího prozkoumání problematiky jsem během nového výzkumu sesbírala data pouze od 7 dětí, ale zadala jsem jim celkem 3 rozdílné práce. Jejich obsah

20

jsem koncipovala tak, aby byla každá práce zaměřena na jiný typ úloh. Napadlo mě totiž, zda tím neodhalím větší souvislost mezi typy úloh a následným chybováním při jejich řešení. Stejně tak jsem se snažila odstupňovat obtížnost prací dle sémantické roviny a zadání veličin (např. čas v minutách místo hodin).

První práce se skládala ze slovních úloh, kdy vyrážejí aktéři z jednoho místa

v určitou dobu. Druhá práce je zaměřená na 2. typ příkladů, kdy jedou aktéři proti sobě. Záměrem třetí práce bylo zadání obou typů slovních úloh, př. č. 2 bylo možno řešit úvahou. Příklad č. 3 není typickým příkladem slovní úlohy o pohybu, nicméně pro jeho řešení využíváme základní vzoreček poměru veličin.

5.1 Zadání jednotlivých sérií úloh Zadání jednotlivých úloh uvádím v příloze č. 2. Typy chyb jsem se snažila roztřídit obdobně jako v předvýzkumu. V další části

práce jsem se zaměřila na jednotlivé práce a pokusila se o jejich hlubší rozbor. Kladla jsem si především otázku, co bylo příčinou chybného, popř. žádného řešení úlohy.

6. ROZBORY 6.1 Stručné porovnání zadaných úloh

6.1.1 První série

V úloze 1.1 jsou jasné údaje, příklad je nejméně komplikovaný. Zadaná je rychlost č. 1 a rychlost č. 2, aktéři za sebou vyjíždí po 2 hodinách. Ptáme se, kdy druhý aktér dohoní prvního.

V úloze 1.2 vidím sémantickou komplikaci – je zde sice zadaná rychlost obou aktérů, a čas (1/2 hod), ale ptáme se, za kolik minut se aktéři setkají.

Úloha 1.3 je stížená tím, že není úplně jasný čas zpoždění člunu (první vyjíždí v 6:30 a druhý v 10 hodin). Otázka je, v kolik hodin se čluny setkají (nikoliv za jak dlouho).

Ve úloze 1.4 je zadaná rychlost auta i autobusu, oba vyjíždí ve stejný čas. Jeden z nich dorazí ale do cíle o 2 hodiny dříve. Otázkou je dráha (trasa), kterou musí urazit. Tento příklad již vyžaduje pochopení principu slovní úlohy o pohybu. Žák si musí dosadit zadané údaje do rovnice, chápat vztahy mezi veličinami.

6.1.2 Druhá série Úloha 2.1 je opět s jasným zadáním, bez větších komplikací. V úloze 2.2 se opět setkáváme se zadáním času v podobě hodin, kdy aktéři vyjíždí a

ptáme se, v kolik hodin se setkají (nikoliv za jak dlouho). V úloze 2.3 jsou údaje rychlostí v jednotkách m/min, ale trasa je zadaná v km. Tzn.

že si žák musí údaje sjednotit na stejné jednotky. Ptáme se, za jak dlouho se turisté setkají.

21

Úloha 2.4 se jeví jako nejkomplikovanější. Údaje jsou sice zřejmé, ale v zadání se též objevuje dráha, která dělí aktéry v určitém čase od sebe. Ptáme se na celkové dráhy aktérů. Komplikace je tedy v podobě mezidráhy a mezičasu, a opět vyžaduje pochopení řešení těchto slovních úloh.

6.1.3 Třetí série Tuto práci jsem zadávala žákům během hodiny matematiky, byl zde časový limit 20

minut. V úloze 3.1 je zadán čas startu Mercedesu, poté čas startu Audi, rychlosti obou aut. Úloha je stížená sémantickou strukturou – Mercedes 3x zastavuje, žák si musí spočítat „celkovou pauzu“, která činí 3x zastavení (1+3), protože 1 minuta = úplatek + 3 minuty = hledání plakátu. Zadání dráhy je rozděleno na dva úseky, Praha - Plzeň je 90 km, a Plzeň - Rozvadov je 60 km.

Úloha 3.2 je zadaná poměrně dlouhým textem, typu „vesnice 2 míle… co míle to 8 minut …“, žák zde musí úvahou dospět k mezipočtu „…za 16 minut ve vesnici vzdálené 2 míle“. Třetí dráha je zadaná slovně („osmimílovou“), nikoliv číselně. Opět je třeba převést si úvahou. Někomu může při řešení pomoci vzoreček k mezipočtu jednotlivých úseků cesty.

Komplikaci úlohy 3.3 spatřuji v délce sémantického textu, žák musí vyčíst údaje, neztratit se ve faktech. Nejprve musí převést jednotky dráhy a času. Někdy jde údaj dráhy za údajem času, jindy v jiném pořadí. Je třeba dodat, že tuto úlohu lze dobře řešit úvahou – poměrem údajů. Zároveň musíme znát vztahy mezi veličinami – musíme si převést jednotky. 6.2 Rozbor prací jednotlivých žáků

Autorem prvních dvou rozborů jednolitých prací (Aleny a Lucie) je PhDr. Rendl, zbylých 5 rozborů jsem provedla sama. Autorem dvou modelových rozborů jednotlivých prací je PhDr. Rendl. Na základě modelových rozborů, který mi poskytl, jsem provedla rozbory prací zbylých pěti žáků.V této práci uvádím pouze mnou provedené rozbory. V dalším zpracování a hodnocení jsem vycházela jak z mých, tak z Rendlových rozborů.

6.2.1 Jana

úloha 1.1

Na počátku si kreslí úsečku s údaji příkladu. Na jednom konci je auto s údajem „60 km/h“, na druhém kolo s „20 km/h“. Na první pohled to vypadá, že nepochopila vztah mezi autem a kolem – není mi totiž na první pohled zcela jasné, proč kreslí kolo na druhou stranu úsečky, když cyklista dle zadání vyjel ze stejného místa jako auto, akorát o 2 hodiny dříve a ptáme se na čas, kdy ho auto dohoní.

Na první řádek píše údaj o „v1 = 20“, pod to „v2 = 60“, pak „s =v * t“. Teprve 4. krokem dospívá ke vztahu „s1 = s2“ a z toho pak správně „⇒v1t1 = v2t2“. Aha, vztah mezi cyklistou a autem je jí tedy jasný (ačkoliv podle obrázku to tak nevypadalo) – použila totiž správnou rovnici pro tento typ úlohy. Na další řádek si pak ujasňuje celkový čas kola „t1 = t2 + 2“ – za to si ještě (asi pro ujištění o správnosti) píše do závorky „(vyrazilo 2 hod po kole)“. Posledním krokem kvazialgebraické podoby úlohy je sestavení rovnice, do které bude nejspíš zapisovat zadané údaje. Píše si tedy „v1 * (t2 + 2)= v2 * t2“. Teprve teď si

22

dosazuje hodnoty „20 * (t2 + 2) = 60 t2“. Pod to pokračuje dalším krokem „20 t2 + 40 = 60 t2“, poté následuje převod údaji o čase na jednu stranu „40 = 40 t2“ a blíží se tak k výsledku. Na posledním řádku matematické podoby řešení je jedenkrát podtržený údaj „t2 = 1“ (bez jednotek). Na závěr celkem jistě píše větu „Auto dohoní cyklistu za 1 hodinu“, a přechází k zápisu následující úlohy.

úloha 1.2

Opět si na úvod překresluje zadání do náčrtku (včetně kola a panáčka). Na jedné straně (u obrázku kola) je údaj „20 km/h“, na druhé straně (u panáčka) údaj s „5 km/h“ (jedná se o rychlosti aktérů). Jako první si jakoby znovu zaznamenává „v1 = 5“, o řádek níže „v2 = 20“ a poté základní rovnici „s = v * t“. Opět teprve napočtvrté se objevuje stejný postup jako u úlohy 1.1, tzn. „s1 = s2 ⇒ v1 * t1 = v2 * t2“, a následuje řádek, na kterém si zase ujasňuje vztahy mezi časy aktérů – „t1 = t2 + 0,5“, které komentuje v závorce za tím „(vyrazila 0,5hod po chodci)“.

Přijde mi, že u obou úloh zachovala stejný, možná až příliš zbytečně zdlouhavý postup. Co když ho ale právě potřebuje k tomu, aby korektně vyřešila úlohu? Možná se potřebuje utvrzovat v tom, že postupuje tak, jak má. Můžeme spekulovat o tom, co by se stalo, kdyby na některém řádku udělala chybu. Vrátila by se pak k danému řádku s chybou kdyby jí nevycházel výsledek a postupovala by pak znovu od chyby dál, anebo by celou úlohu škrtla a začala znovu, od začátku? Uvidíme jak si poradí s dalšími příklady (třeba bude některý z nich s chybným řešením…).

Jakoby si nyní chtěla napsat rovnici se vztahem daných veličin, ovšem místo údaje „v2“ si již píše jeho hodnotu (v tom se liší v postupu od úlohy č. 1.1), řádek tedy má podobu „v2 * (t2 + 0,5)=20 t2“. Pod tím je už plné dosazení všech hodnot „5 * (t2 + 0,5) = 20 t2“, a následuje převedení veličiny „t2“ na jednu stranu rovnice. Zde jsem objevila chybu, která sice neovlivnila výsledek, ale vypovídá spíš o přepsání (možná pod vlivem nepozornosti – kdyby totiž po sobě úlohu zpětně četla, jsem si jistá, že by to objevila a myslím, že i opravila – nedává to totiž na první pohled smysl). Na řádku je místo „2,5 = 15 t2“ napsáno „2,5 = 152“. Nezbývá mi než předpokládat, že se skutečně jednalo o omyl při psaní, protože dále dospívá ke správnému výsledku. Aha, tak na dalším řádku pro změnu neobjevuji „t2“, ale „t2 = 0,166 hod = 0,166 * 60 = 10 min“. Kdyby počítala skutečně tak, že údaj byl umocněný, tzn. že by bylo třeba jej odmocnit, muselo by jí vyjít, že cca „t = 3,1632776“. Jí ale vyšel správný výsledek 10 minut, který jednou podtrhla.

Pak následuje výpočet druhé části otázky, kdy nás zajímá, jakou trasu při tom aktér ujde. Takže nejprve si píše, že „s2 = v2 * t2“, do toho dále dosazuje „s2 = 20 + 0,166“ a dospívá ke správnému výsledku, že „s2 = 3,33km“ (opět jednou podtrhne). Na závěr píše odpověď „Cyklista dohoní turistu za 10 min a ujde 0,33 km“.

úloha 1.3

Stejně jako v předchozích dvou úlohách si dělá náčrtek, na jedné straně úsečky je „40 km/h“, na druhé pak „12 km/h“. Tentokrát se řešení na první pohled liší. Na levé straně papíru si píše zadané údaje „v1 = 12“, pod to „v2 = 40“. Následuje údaj o čase, tentokrát v trochu jiné podobě (uvádí ho totiž tak, jak je v zadání, tzn. v hodinách startu aktérů) – píše pod sebe, že „t1 = 6:30“, „t2 = 10:00“, dává za to svorku s údajem „3,5“. Takže si tím vyjadřuje o kolik vyjel člun později. Dále si už píše, že „t1 = t2 + 3,5“, opět základní rovnici „s = v * t“ a že „s1 = s2“.

Na druhou, pravou stranu papíru pak pokračuje tím, že si vyjadřuje „s1“ a „s2“, tentokrát již pomocí veličin, které má k dispozici – „v2 * t1 = v2 * t2“. Na dalším řádku si v rovnici vyjadřuje „t1“ pomocí „t2“, takže si zapisuje „v1 * (t2 + 3,5) = v2 t2“ a pak si tam teprve dosazuje zadané údaje – „12 * (t2 + 3,6) = 40 t2“. Poté již klasicky následuje

23

vynásobení závorky s „t2“ a převod „t2“ na jednu stranu – tzn. „12 t2 + 42 = 40 t2“ a „42 = 28 t2“. Blíží se poslední řádek s výsledkem, který je, překvapivě, nejprve jako zlomek, za kterým však následuje „=“ s jednou podtrženým číslem – má tam „t2 = 42/28 = 1,5“. Na závěr píše „Člun dohonil parník po 1,5 hod ⇒ 11,30 hod“ Zaujalo mě, že ačkoliv vše píše možná až zbytečně podrobně, nikde není údaj o tom, jak dospěla k času „11,30 hod“. Domnívám se tedy, že logickou úvahou přičetla k hodině startu člunu (tzn. 10 hod) údaj „t2“, který jí vyšel. Logicky totiž 10 + 1,5 hod = 11,5, tj. 11:30 hod.

úloha 1.4

Poslední úloha začíná náčrtkem, tentokrát však (až překvapivě) odlišným a řekla bych z mého pohledu teprve správným. Oba aktéry si kreslí pod stranu úsečky s názvem „Praha“, zatímco na druhém konci pod „Libercem“ není nic. Auta jsou nad sebou, vedle prvního je napsáno „20 km/h“, vedle druhého „30 km/h“. Poté následuje klasický zápis v rovnicích stejně jako v předešlých 3 příkladech – tzn. „v1 = 20“, „v2 = 30“, t1 =t2 + 2 (o 2 hod dříve)“,4 dále již klasicky „s = v * t“. Pod tím je „s1 = v1 * t1“, poněkud postrádám údaj o vztahu drah. Ten následuje vedle toho – „s1 = s2“. Pod vyjádřením „s1“ nacházíme, že „s2 = v2 * t2“ a vedle toho „v1 * t1 = v2 * t2“. Aha, už chápu, ona si na levou stranu papíru rozepsala vzorečky pro jednotlivé dráhy, a napravo od toho si zavedla další sloupeček, ve kterém řeší úlohu. Ona si vlastně pod „s1 = s2“ napsala jejich rozvedené podoby, které si předtím napsala doleva. A pak pod to již dosazuje místo drah (ty jsou jí nejspíš zřejmé ze zadání) jejich velikosti „20 t1 = 30 t2“ a dostává rovnici o dvou neznámých. Aby se jedné z nich zbavila, vyjadřuje si (vychází ze vzájemného vztahu mezi drahami aktérů) čas „t1“ pomocí času „t2“, což je patrné z rovnice o jedné neznámé, ke které zákonitě dospěla „20 * (t2 + 2) = 30 t2“. Pod to píše „40 = 10 t2“ (převedla si neznámou „t2“ na jednu stranu rovnice) a jednou podtrženou číslici „t2 = 4“ (patrně tam má být „t2“, ale spíše to na pohled opět vypadá jako by se jednalo o umocněné „t“). Pro odpověď na otázku po vzdálenosti obou měst to však nestačí.

Proto pokračuje dál, kdy si píše základní rovnici, že „s = v * t“, kterou pak možná až zbytečně píše znovu pro 2. aktéra (tzn. že „s2 = v2 * t2“). Na konci dosazuje, že „s2 = 30 * 4 = 120“ a výsledek podtrhává. Správně tedy dosazuje předešlý jednou podtržený výsledek o čase „t2“ do této rovnice. Muselo jí být už předtím jasné, že nejprve musí vypočítat toto „t2“ aby vůbec mohla dospět k nějaké vzdálenosti. Čistě teoreticky mohla taky počítat „t1“, pak by ale musela na konci pracovat s „v1“, nikoliv s „v2“. A samozřejmě, že by si před tím musela vyjádřit místo „t2“ v rovnici o dvou neznámých „t1“, což by ovšem znamenalo, že když 1. aktér vyjede o 2 hodiny dříve, bude ten druhý mít 2 hodinové zpoždění, takže „t2 = t1 - 2.

Výpočet pomocí mezivýpočtu „t2“ volila podle mě proto, že už v sémantickém, zadání bylo napsáno u 1. aktéra „o 2 hodiny dříve“. Myslím, že kdyby tam místo toho bylo u 2. aktéra „o 2 hodiny později“, počítala by automaticky čas „t1“…. 5

úloha 2.1

4 Zde se nejspíš větou v závorce opět ujišťuje o vztahu mezi „t1“ a „t2“.5 Jana všechny 4 úlohy vyřešila správně, trochu mě zaráží zbytečně zdlouhavý postup, rozepsaný do

podrobných kroků, ale vzhledem k správnému řešení si myslím, že právě takový postup potřebuje. Na druhou stranu, je to časově hodně náročné, kdyby alespoň jeden z příkladů řešila byť bez jedné řádky a přeskočila by hned o krok dále, svědčilo by to o lepším pochopení úlohy o pohybu. Ona podle mě ví, jak je řešit, jen nejspíš ještě stále tápe a podrobnými kroky se ujišťuje ve svém postupu. Bohužel ani jednou nezredukovala řešení na méně kroků a všude postupuje doslova po mini krůčcích. Snad nám více o porozumění těmto slovním úlohám napoví řešení dalších úloh.

24

Nejprve si kreslí obrázek, kde zaznamenává na úsečce místa „A“ a „B“, mezi nimi dráhu „210 km“. Pod bod „A“ si píše údaj o rychlosti „40 km/h“, pod bod „B“ „30 km/h“. Po tomto náčrtku přechází k samotnému matematickému zápisu sémantického zadání. Na první řádek zaznamenává „v1 = 40“, pod to „v2 = 30“, do meziřádku napsaných údajů píše o kousek dále „s = 210“. Pod to zapisuje základní rovnici pro řešení slovních úloh o pohybu „s = v * t“, a pod ní údaj po hledané veličině, tedy „t=?“. Z toho vysuzuje a vyjadřuje „t = s/v“. Dále již nepracuje s vztahem mezi oběma rychlostmi a pouze jakoby automaticky dosazuje zadané údaje do jí vysouzeného tvaru vzorečku. Nejprve píše „t1 = 210/40 =“, kde více nedoplňuje. Nepochybuji o snadnosti výpočtu tohoto zápisu, proč tam tedy nic nenapsala? Možná si právě až na této úrovni uvědomila svůj omyl. Pokud by to tak bylo, proč tedy pod to ještě pokračuje zápisem „t2 = 210/30 = 7“? Otázkou je co by se stalo kdyby napsala i výsledek k předešlému řádku. Porovnávala by pak tyto výsledky mezi sebou, dala by je do nějakého vztahu? Mimochodem právě zápis o „t2“ je posledním údajem zápisu úlohy.

úloha 2.2

Úlohu řeší jako 2. v pořadí, opět si zavádí pomocný systém v podobě obrázku – úsečky s body „A“ a „B“. Na „A“ je nakreslený panáček s údajem „5 km/h“, stejně tak nad „B“ je „6 km/h“. Uprostřed mezi A a B je „38,5 km“. Pod tím vším ještě věta „v 7 hod vyrazí, kdy se potkají“.

Pak teprve přechází k matematickému vyjádření „s1 + s2 = 38,5“, pod tím „v1 = 5“ a „v2 = 6“, nakonec „t =?“. Zde bych mohla mít celkem oprávněný pocit, že má jasný vhled do řešení, že by měla tedy příklad zvládnout. Vždyť správně vyjádřila vztah mezi oběma rychlostmi, dokonce ví, že hledáme jakýsi čas „t“. Dále pokračuje zápisem základního tvaru rovnice „s = v * t ⇒ t = s/v“.

Bohužel však opět zapisuje „t1 = 38,5/5 =“ a pod to „t2 = 38,5/6 =“. Opět mě zaráží, že ačkoliv je jí zřejmý vztah mezi drahami, nedokáže doplnit zadané údaje do této rovnice. Opět nepíše žádné další údaje, což je za předpokladu povoleného používání kalkulačky opravdu zarážející. Nejspíš si opět uvědomila svůj omyl. Dál to ale nenapravuje.

Zde oproti předešlé úloze alespoň vysoudila vztah „s1 + s2 = 38,5“, ale pak de facto jakoby psala „t1 = s/v1“ a „t2 = s/v2“… .

úloha 2.3

Jana si opět pomáhá obrázkem, ve kterém zachycuje zadání úlohy – tam se píše o 2 turistech, z nichž jeden jde z kopce, druhý do kopce. Velmi zřetelně zachycuje prostorovou dimenzi úlohy šikmou úsečkou. Na nižším konci je panáček s údajem „60 m/min“, na 2. , vyšším konci „90 m/min“. Pod úsečkou je opět údaj o dráze „12km“. Pod obrázkem pak věta „Kdy se potkají?“. Takže se zdá, že si správně zachytila údaje ze sémantické podoby do obrázku. Dále zapisuje „v1 = 60 m/min = 1km/h“ a „v2 = 90 m/min = 1,5 km/h“, čímž správně usoudila, že údaje o rychlosti nejsou zadány ve stejných jednotkách jako trasa. Pod tím je údaj o „s = 12km“, dále si stejně jako v př. 2.2 vyjasňuje vztah „s = s1 + s2“ a hledá čas „t =?“. Stejně jako v předešlých příkladech píše „s = v * t“ a dále již v řešení nepokračuje.

úloha 2.4

Opět si překreslí sémantické zadání úlohy do obrázku. Nad „Praha“ píše „36 km/h“, nad „ML“ nejprve omylem píše údaj „529 km/h“, pak škrtá poslední číslici, která tam byla chybně, navíc (po intenzivním škrtání je dost nečitelná, ale domnívám se, že to byla původně „9“). Pod obrázek si píše „po 90 min. vzdálenost vozidel 30 km od sebe“ a „vzdálenost Praha - Mariánské lázně ?“.

25

Opět přechází k matematickému vyjádření „v1 = 36“, „v2 = 52“, „s =?“. Správně se tedy ptá po hledané dráze (vzdálenosti mezi Prahou a Mariánskými lázněmi). Uvádí, že „t = 90“, číslo „90“ vzápětí škrtá. Možná jí napadlo, že „90“ je v minutách a ona to potřebuje převést na hodiny. Kdyby to tak opravdu bylo, pak nechápu, proč převod neuskutečnila (převádět jednotky umí – viz převod v úloze č. 2.3). Vzdálenost mezi vozidly chybně zapisuje jako dráhu 2. vozidla, tedy jako „s2 = 30“. Posledním krokem, který udělá je opět (stejně jako v předešlých příkladech) vyjádření zákl. rovnice „s = v * t“. 6

úloha 3.1

Očekávala jsem tradiční náčrtek, ale místo toho se objevuje zaznamenané zadání v podobě jakéhosi zápisu. V prvním řádku je „Mercedes T1 = 0, v1 = 160 km/h“ a kousek za tím „3x zastaví po 4 min = 12 min“. Rozumím tomu tedy asi správně, že „T1 = 0“ znamená, že Mercedes vyjel v nějakém nulovém čase a bude ještě následovat jiný čas? Ne, ono je to přece doslova opsané ze zadání. Správně si za to píše, že 3x zastavil a nejspíš logicky dospěla k tomu, že jedno zastavení trvalo 4 minuty (tento čas právě díky tomu, že ze zadání musela nejprve vyčíst 1 minutu na předání úplatku a 3 minuty na hledání plakátu…) a za tuto zpola slovní rovnici píše „12 minut“ (tzn. 3 zastavení * (1 + 3 minuty)). Další řádek obsahuje údaje o 2. aktérovi „Audi T2 - 40“, „v2 = 145 km/h“. Proč zrovna „t2 - 40“? Patrně to asi jen špatně čtu, anebo je to rovnítko, kterému jaksi omylem vypadla druhá čárka? Asi to bude jen přepsání (soudím podle toho, že údaj na předešlém řádku opsala ze zadání a zde by logicky ze zadání mělo tedy být napsáno, že „t2 = 40“). Pod údaji o Mercedesu a Audi je ještě otázka „setkají se u Plzně?“.

Nyní nejspíš následuje matematický postup. Nejprve si píše základní vzoreček „s = v * t“, pod to vzorečky pro jednotlivé dráhy „s1 = v1 * t1“ a „s2 = v2 * t2“. Mezi nimi dělá šipku a píše, že „v1 * t1 =v2 * t2“. Vzorečky jsou doposud správně, aktéři jednou proti sobě, tzn. že jejich dráhy se rovnají. Vzhledem k Janině předchozím postupům tak trochu postrádám, že „s1 = s2“, ale vlastně to vyjádřila podrobněji. Pod to dosazuje hodnoty o rychlostech, které má k dispozici, a vychází jí, že „160 * t1 = 145 * t2“, tedy rovnice o dvou neznámých. Pod tím se ještě objevuje, že „160 * t2 = 14“ (patrně nedopsaný údaj, asi zjistila, že by vlastně napsala úplně to samé…) a tento řádek přeškrtává. Dále již nepokračuje a řeší následující úlohu.

Jana si zde sice napsala správně vztah mezi Mercedesem a Audi, ale vůbec nebrala v potaz časové údaje, které si předtím napsala do zápisu ze zadání, včetně toho, že si dokonce dopočetla údaj od „12 minutách“. Možná se ztratila v sémantickém zadání úlohy, nedokázala správně vyčíst a posléze dosadit veškeré údaje, které vlastně měla k dispozici.

úloha 3.2

Druhá úloha je opět bez náčrtku. Postupuje podle mě celkem logicky, pro každý krok, který byl sémanticky zadán (co se muselo provést pro záchranu Rybany) si píše zvlášť zápis a řešení. Takže nejprve si píše, že „s1 = 2 míle“ a pod to „v1 = s1/t1 = 1 míle / 8 min“, z čehož vyvozuje, že „t1 = 16“. Za tím je slabě napsáno „(2 * 8)“ což bude patrně pro

6 Všude jsou obrázky (včetně detailů – aut, panáčků), ale ani jeden příklad není správně vyřešen,

nevěděla si s nimi rady. V 2.2 si píše čas kdy vyrazí „v 7“ (ačkoliv je to jedno pokud oba vyjdou ve stejný čas).V 2.2 už vztah mezi „s1“ a „s2“, v úloze 2.3 také vztah „s1 + s2“. Zde mě též zaujalo prostorové vyjádření zadané úlohy. V 2.4 si píše vzdálenost 30 km po čase 90 minut, ale dál s tím nepracuje. Dokonce v chybném řádku „t = 90“ je „t“ v původních minutách, nikoliv převedené na hodiny. Jakoby údaje správně přečetla ze sémantického zadání a překreslila si je do náčrtku, ale pak už s tím nedovedla dále korektně pracovat. Přijde mi, že se (až zbytečně) soustředí na detaily obrázku (viz 2.3 – šikmá úsečka, nebo 2.4 – na jedné straně náčrtek auta, na druhé straně autobusu…). Všude chybí dořešený vztah mezi „s1“ a „s2“ (resp. v některých úlohách to zachycuje tak, že „s1 + s2 = zadaný údaj celkové dráhy s“).

26

kontrolu jak dospěla zrovna k číslu „16“. Stejně postupuje i u dalších údajů, tzn. u „s2 = 6 mil“ a „s3 = 8 mil“ a každý výsledek jednou podtrhává. Nakonec píše, že „celkový čas = t1 + t2 + t3 = 34,6 min“. Patrně tedy sečetla předešlé výsledky (neboť ty hovořily o hodnotách pro t1,t2 a t3, jejich hodnoty ale ve výpočtu celkového času už neuvádí). Úloha se dá řešit úvahou, ale ona to řeší pomocí dosazování o vzorečku pro vztah fyzikálních veličin dráhy, času a rychlosti.

úloha 3.3

Ve třetí úloze už na první pohled vidím, že opět postupuje po krocích. Pod sebou se totiž objevují písmenka „V:“, „J:“ a „I:“ a za nimi následuje nějaký postup. Usuzuji, že písmena představují jména z úlohy (Vasil, Jurij, Ivan). U prvního z nich, „V:“ je údaj o „s1 = 40,32 km“, za tím „t1 = 0,7 hod“. To patrně představuje zápis úlohy. Těsně za tím je základní vzoreček pro výpočet dráhy a z toho si chybně vyvozuje „v“ – „s = v * t ⇒ v = s * t“. Tato chyba bude mít vliv na následující kroky v řešení a povede Janu celkem logicky k chybné odpovědi. O řádek níže pak píše rovnici pro „v1“ do které dosazuje údaje ze zápisu – „v1 = 40,32 * 0,7 = 28,224 km/h“. Výsledek podtrhává.

Stejný postup následuje u „J:“, akorát s tím rozdílem, že zde již byly veličiny zadány v jiných jednotkách. Ty si správně převádí už v zápisu – „s2 = 37740 = 37,74 km“ a „t2 = 37 min = 37/60 = 0,316 hod“. Tentokrát si již nepíše základní vzoreček (patrně vychází z jednoho, který je napsaný u „V:“, jinak by totiž neopakovala stejně chybný postup) a rovnou počítá, že „v2 = 37,74 * 0,616 = 23,273 km/h.“ Jako třetí píše údaje o posledním, Ivanovi „I:“, „s3 = 8550 m = 85,55 km“. Zde dochází k chybě – místo „8,550 km“ píše „85,55 km“. Že by nevěděla jak převést údaje v metrech na kilometry? O tom vzhledem k předešlému kroku u výpočtu času šípu u Juraje „J:“ pochybuji. Asi se přepsala… Dále si zapisuje zadání času, které správně převádí na hodiny, místo „t3“ (které by celkem logicky mělo následovat) píše „t2“ (asi se tedy opět přepsala? – uvidíme podle dalšího postupu) a píše, že „t2 = 570 s = 570/60 * 60 = 0,1533 hod“ Poté si píše (opět chybně) rovnici pro rychlost „v3“, do které již rovnou dosazuje převedené hodnoty veličin včetně chyby u dráhy, takže dostává, že „v3 = 85,55 * 0,1583 = 13,54 km/h“. Aniž by někde přímo napsala porovnání mezi výsledky, píše odpověď „nejrychleji letěl šíp Vasile, rychlost je 28,224 km/h“ (patrně myslela Vasilovi a napsala místo toho tvar pro ženský rod).

V tomto příkladu je vidět, že si po sobě svůj postup nečetla, protože jinak by zákonitě musela přehlédnout zásadní chybu, které se dopustila. Když se podívám na všechny její předchozí úlohy, musím zkonstatovat, že ani jednou si nevyvodila chybně vzoreček pro dráhu „v“. Kdyby tedy na tuto svou chybu během kontroly přišla, jistě by ji odhalila a opravila. 7

7 Oproti předešlým dvěma zadáním úloh zde postrádám náčrtky, také mi chybí někdy až moc

podrobný postup a ve 3.3 objevuji dost závažnou chybu, která se jinde nevyskytla – mám na mysli špatné vyvození rychlosti ze vzorečku pro slovní úlohy o pohybu. S první úlohou si nedovedla poradit vůbec, druhou mohla řešit úvahou, ale raději si ji rozepisuje po krocích a dosazuje údaje do vzorečku pro vztah rychlosti, dráhy a času, a ve třetí úloze dělá, řekla bych až celkem zbytečně dvě chyby. Buď to svědčí o tom, že Jana nedokázala správně pracovat v časovém limitu, anebo jí někdo pomáhal vyřešit zadání předešlých úloh. Poté, co jsem se jí na to ptala mi odpověděla, že za prvé doma měla na úlohy daleko více klidu a nebyla limitovaná časem, za druhé že jí úlohy přišly daleko jednodušší („méně zdlouhavé“ – tím podle mě myslela sémantickou rovinu) a za třetí nikdo jí nepomáhal, ale když příkladům nerozuměla, tak po ní matka údajně chtěla, aby postupovala přímo krok po kroku tak, jak se to učili ve škole.

27

6.2.2 Pavel úloha 1.1

Na počátku si přepisuje údaje ze sémantické podoby do matematického zápisu, píše tedy, že „v1 = 20“ a „v2 = 60“. Pod to uvádí vzoreček pro řešení slovních úloh o pohybu „s = v * t“. Teprve na 4. řádku se objevuje vztah mezi zadanými veličinami, správně usuzuje, že se jedná o typ úlohy, kde když vyjíždějí oba aktéři z jednoho místa, jejich dráhy se rovnají, takže „s1 = s2“. Pod tento zápis si jakoby snad ještě pro jistotu vyjadřuje dráhy pomocí dalších veličin, takže „v1 * t1 =v2 * t2“. Jedná se o krok, který podle mě není zcela nezbytný, ale možná ho Pavel potřebuje udělat aby se měl třeba k čemu vrátit, kdyby udělal někde dále chybu. Třeba se na tento model, který si napsal dívá při dosazování zadaných hodnot, to ale patrně uvidím až podle dalšího postupu. Ačkoliv se zatím ve svém zápisu nezmínil o jakékoliv hodnotě ohledně časového údaje, najednou objevuji, že „t2 = t1 + 2“ (což je pochopitelně chybně, protože pokud vyjelo auto za cyklistou, je nutné 2 hodiny odečíst, nikoliv přičíst). Ze zadání soudím, že si už automaticky vyjádřil čas pro druhé vozidlo – možná mu bylo právě díky předešlému rozepsanému kroku jasné, že ze zadání může vyčíst max. jeden číselný údaj, který bude něco říkat o vztahu mezi oběma časy „t1“ a „t2“. Pak je tu ještě jedna varianta, že si možná nevěděl rady a někdo mu špatně poradil. Dál pak píše rovnici, ve které si vyjadřuje veličiny, pro které má zadané údaje a jedinou neznámou se tak pro něj stává čas „t1“ – „v1 * t1 = v2 * (t1 + 2)“. Na dalším řádku už doplňuje hodnoty daných veličin a řeší rovnici o jedné neznámé „t1“. Takže „20 t1 = 60 * (t1 + 2), dalším krokem je vynásobení závorky hodnotou „v2“, kdy dostává „20 t1 = 60 t1 + 120“ a celkem logicky by měl následovat krok o převedení hodnoty „60t1“ na druhou stranu rovnice k „20 t1“. Když převede t1 na jednu stranu rovnice, dostává, že „(-40) t1 = 120“ a pak najednou dospívá k závěru že „t1 = 160“. Tento výsledek podtrhává a píše odpověď, že „Auto dohoní cyklistu za 160 min.“.

Výsledek je chybný, a to hned ze dvou důvodů. V předposledním řádku řešení si sice převedl hodnoty pro „t1“ na jednu stranu rovnice, ale místo aby celou rovnici vykrátil číslem „40“, toto číslo převádí zpět na druhou stranu jakoby neznamenalo „40 * t1“, ale „40 + t1“. I kdyby tuto rovnici vykrátil, dostal by zápornou hodnotu „t1 = (-3)“, což by bylo také špatně. Výsledek by totiž byl ovlivněn zásadní chybou, které se Pavel dopustil v okamžiku, kdy si ujasňoval vztahy mezi oběma časy aktérů. Místo správného odečtení dvou hodin od času „t1“ je k němu totiž přičítá a dále pracuje už s touto chybou. Proč tento dvouhodinový časový limit při vyjadřování „t2“ k „t1“ přičetl místo aby jej odečetl , mi není jasné.

úloha 1.2

Opět si na počátku dělá jakýsi zápis zadání, kdy si píše že „ v1 = 5“, „v2 = 20“, že „s = v * t“ a že „s1 = s2“. Až doposud je vše správně. Následuje řádek, na kterém si vyjadřuje čas cyklisty pomocí času turisty a opět, stejně jako v předešlém příkladě jej vyvodí chybně – „t2 = t1 + 0,5“. Zcela logicky by totiž měl údaj 0,5 hod od času turisty odečíst, protože celkový čas cyklisty „t2“ musí být zákonitě nižší. Logicky nad tím však vůbec nepřemýšlí, a s tímto chybným úsudkem, ke kterému se dostal, pracuje dál. Sestavuje si opět rovnici, ve které si vyjadřuje t2 pomocí předešlého vyjádření pomocí „t1“ – „v1 * t1 = v2 * (t1 + 0,5)“, poté se nejspíš přepsal, protože na začátku další řádky je nečitelný škrtanec, který pokračuje již čitelnou rovnicí „5 t1 = 20 t1 + 10“. Podle tahu čar se domnívám, že pod škrtáním se nachází znovu napsané „v1“, které už ale chtěl napsat pomocí hodnoty pro „v1“, což také učinil („v1“ vyjádřil jako „5“, protože „v1 = 5“ – viz 1. řádek v zápisu úlohy). Dále násobí závorku číslicí „20“ a dospívá k vyjádření „5 t1 = 20 t1 + 10“, což je sice správně, ovšem s již na počátku chybným vyjádřením vztahu mezi „t1“ a „t2“. V předposledním řádku

28

píše (obdobně jako v úloze 1.1), že „(-15) t1 = 10“, na konci rovnice je opět škrtanec (tentokrát opravdu nečitelný). Ve finále dochází k závěru, že „t1 = 25“. Jak k tomu jen mohl dospět? Vždyť „(-10/15) = (-2/3)“. Ale ne, on opět místo aby rovnici vydělil číslem „(-15)“ toto číslo převádí na druhou stranu a přičítá k „10“. Na závěr píše zcela logicky chybnou odpověď „Cyklista dohoní turistu za 25 min.“.

Pavel opakoval oba typy chyb, kterých se dopustil v úloze 1.1 a tím mě přesvědčil o tom, že záměna krácení rovnice za převádění hodnot na druhou stranu nebyla náhoda. Stejně tak jsem zjistila, že zkrátka ani tentokrát správně nechopil vztah mezi časem turisty a časem cyklisty, který plyne ze zadání.

Musím zkonstatovat, že tuto chybu nedělá jako jediný. Poukazuje to tedy na nějakou zákonitost? A pokud ano, proč je pro žáky správné vyřešení úlohy tohoto typu tak obtížné? Proč sice dospějí k výsledku (kromě Pavla – ten se mezi předposledním a posledním řádkem dopustil chyby, která se zadáním úlohy jako takové vůbec nesouvisí), ale vůbec jim nedojde jeho nesmyslnost? Anebo jim dojde a místo aby se nad svým řešením ještě jednou zamysleli, tak bezhlavě vypustí zápornou hodnotu a píší kladný výsledek v naději, že bude správně? Pochybuji o tom, že by všichni zapomněli na to, že hodnota vychází záporně. Takovéto banální chyby se podle mě může sice někdo dopustit, ale řekla bych že v 9. třídě již zcela vyjímečně.

úloha 1.3

Pavel zase volí stejný postup jako v předešlých úlohách, takže začíná zápisem hodnot „v1“ a „v2“, následuje napsání časů obou aktérů pomocí hodin – tzn. že „t1 = 6.30 hod“, „t2 = 10,00“ (zde dokonce ani nepíše jednotky 10,00 čeho???, možná ale považuje za zcela automatické, že je to také „hod“). A opět chybně nachází vztah mezi „t1“ a „t2“, takže dle Pavla je „t2 = t1 + 3,5“. Opět následuje naprosto stejný postup jako u předešlých úloh, v předposlední řádce se nám objevuje, že „(-28) t1 = 140“ a místo aby dospěl po vykrácení rovnice k hodnotě „t1 = (-5)“, zapisuje, že „t1 = 168“. Opět stejné chyby ve stejných místech, to snad ani není možné.

úloha 1.4

Tento příklad je posledním z první série zadání, postup Pavla je obdobný, opět opakuje naprosto stejné chyby (chybné vyjádření vztahu mezi časy a na konci přičítání hodnoty od „t1“ na druhou stranu rovnice místo aby ji touto hodnotou vykrátil). Rozdíl vidím jen v číselných údajích (korespondují se zadáním úlohy) – tzn. že „v1 = 20“, „v2 = 30“ a místo „t2 = t1 - 2“ se objevuje „t2 = t1 + 2“.

Když chybně dospěl k závěru, že „t1 = 70“, který mimochodem opět podtrhl, pokračuje v řešení dále. Došlo mu tedy správně už na začátku, že aby vůbec mohl ze zadaných údajů vypočítat dráhu mezi městy, musí nejprve dospět k hodnotě některého z časů aktérů. Protože dospěl k chybnému času, samozřejmě mu ani konečný výsledek nemohl vyjít dobře. Takže nejprve si píše, že „s2 = v2 * t2“, což na dalším řádku opakuje akorát s tím rozdílem, že místo veličin už píše jejich hodnoty (u „t2“ tedy chybnou hodnotu, ke které dospěl) „s2 = 30 * 70“ a z toho tedy došel k zcela chybnému závěru, že „s2 = 2100“. Nejspíš se nad tím logicky zamyslel a variantu, že by vzdálenost mezi Prahou a Libercem byla 2100 km zamítá. Veškerý příklad (včetně zápisu) totiž celý slabě přeškrtl, znovu a nanovo jej ale už neřeší, což je škoda. Kdyby se byť jen pokusil vyřešit jej znovu, viděli bychom, zda se dopustí stejných chyb, anebo zda by tentokrát již (konečně správně) odvodil vztah mezi „t1“ a „t2“. 8

8 Pavel se ve všech čtyřech úlohách dopustil dvou zásadních chyb, které opakoval – neujasnil si

správně vztahy mezi časy aktérů a navíc ani jednou správně nedořešil ke konci poměrně jednoduchou lineární rovnici – ve srovnání s ostatními žáky jako jediný. Druzí chybovali ve vyjádření jednoho času pomocí

29

úloha 2.1 Tentokrát si píše zadání poněkud jinak než v předešlých úlohách. Na prvním řádku

provádí zápis v podobě slovní a matematické kombinace „vzdálenost A ⇒ B = 210 km“, pod tím uvádí „ve stejný čas t, 2 kamiony“ a pokračuje údaji o obou rychlostech (pod sebou) „v1 = 40 km/h“ a „v2 = 30 km/h“. Dále se táže po čase a místu setkání – „kdy a kde se potkají?“. Dalším (v pořadí už čtvrtým) krokem je zavedení jakéhosi času „t“, stejného pro oba kamiony – „potkají se ve stejný čas t“. Poté si píše vzorečky pro dráhy vozidel „s1 = v1 * t1“ a „s2 = v2 * t2“, takže o společném čase „t“ zde není vůbec nic. Najednou ale vysuzuje, že „s1/v1 = s2/v2 ⇒ s1/40 = s2/30“. K tomu mohl dojít jedině díky předpokladu společného času pro oba aktéry, ačkoliv si ho předtím při vyjadřování „s1“ a „s2“ zapisoval jako „t1“ a „t2“. Tzn. že logicky „t1 = t2“ a tudíž mohl dospět ke danému kroku. Pak si ještě zapisuje, že „dráha je celkem: s1 + s2 = 210“, což vypovídá o tom, že správně odhalil typ úlohy a ví, že dráhy obou aktérů se zcela zákonitě musí složit do jedné, celkové dráhy „s“, která nám představuje vzdálenost mezi oběma místy.

Najednou si pod sebe píše dvě rovnice o dvou neznámých – první by asi měla být rovnicí, která vyjadřuje, že časy obou kamionů se rovnají, nicméně ji píše špatně. Píše totiž, že „30 * s1 = 40 * s2“. Pravděpodobně chtěl původně napsat rovnici správně tak, jak to uvádí výše (tzn. že „s1/40 = s2/30“), místo dělení však násobí. Kdybych neviděla právě tu předešlou část zápisu, měla bych pocit, že neumí vyvozovat další z veličin ze základního tvaru vzorečku, anebo bych vůbec tápala kde rovnici vzal, co představuje. Druhou rovnicí je vyjádření o součtu drah, tzn. „s1 + s2 = 210“ (což píše stejně jako výše, zde žádnou chybu nedělá). Dostal tedy 2 rovnice o 2 neznámých byť je jedna z nich špatně. Dělá pod nimi čáru a nejspíš bude provádět jakýsi výpočet.

Nejprve si vyjadřuje dráhu 1. kamionu „s1 = 210 - s2“ a to potom dosazuje do první, chybné rovnice, a dostává, že „30 (210 - s2) = 40 s2“. Nad řešením musel uvažovat, vědět co kam doplnit, snad proto mě daleko více zaráží, že neopravil svůj omyl a dokonce na dalším řádku pokračuje vynásobením závorky, tzn. že dostává „6300 – 30 s2 = 40 s2“, pak si správně převádí „(-30) s2“ na druhou stranu rovnice. Dostává se tedy k zápisu „6300 = 70 s2“ a nezbývá než rovnici vydělit „70“. To také dělá a blíží se k výsledku „s2 = 6300/70 = 90 km“. To dvojitě podtrhává. Tento údaj mu nejspíš přijde správný, k vyřešení úlohy však nestačí.

Na dalším řádku tedy pokračuje a provádí výpočet času „t2 = s2/v2 = 90/30 =3 h“, opět dvojitě podtrhává výsledek. Ačkoliv už na počátku si doslova píše, že čas je stejný, přesto skládá rovnici pro „t2“ – přitom by tam klidně mohl napsat pouze „t“. Nejsem si jista zda si nyní vůbec uvědomuje to, co zpočátku napsal.

Na závěr píše odpověď „Potkají se za 3 hodiny, 90 km od místa A.“. Čas mu sice vyšel dobře (to proto, že je pro oba kamiony stejný), ale dráha patří k druhému za kamionů. Správně by mělo být, že se setkají 90 km od místa B, anebo „210 – 90 = 120 km“ od místa A. Až na tuto nepřesnost míst by se mohlo zdát, že příklad je na první pohled vyřešen správně (za správný jsem ho také původně označila…). Není mi jasné jak je možné, že když uvedl špatný tvar vzorečku (kdy de facto napsal, že „v1 * s1 =v2 * s2“) vůbec došel k nějakému závěru, který se shoduje se správnou odpovědí časového údaje a když se na

druhého, ale rovnici dořešili bez chyby. V dalších úlohách uvidím podle Pavlova postupu, zda k této chybě při dořešení rovnice bude docházet i nadále, anebo zda se to stalo pouze u první série úloh. Pokud bude dále postupovat bez chyby, je také celkem možné, že vyřešil příklad 1.1 (byť chybně) a ostatní tři příklady řešil podle jakéhosi modelu právě v podobě př. 1.1. Třeba usoudil, že zadání úloh jsou si podobná, a tudíž i řešení bude obdobné, akorát s tím rozdílem, že se budou dosazovat jiné hodnoty, popř. že bude něco trochu jinak. V zásadě by to ale mohlo být stejné, tak proč se namáhat – není lepší to raději opsat podle toho prvního příkladu? Třeba se ale v mém uvažování mýlím a chyby budou i nadále nezávisle na nějakém „modelu“… .

30

odpověď na první pohled podívám tak se vlastně „spletl jen“ v místě, od kterého je vzdálená vypočtená hodnota „90 km“?

úloha 2.2

Tento příklad si nejprve zapisuje slovně „2 turisti jeden ujde 5 km/h, druhý ujde 6 km/h“, o řádek níže pak „vyjdou v 7:00, vzdálenost od sebe je 38,5 km“ a teprve na třetím řádku otázka „V kolik hodin se potkají?“ Poté si opět píše vzorečky pro jednotlivé dráhy, „s1 = v1 * t1“, pod to „s2 = v2 * t2“ a mezi tyto rovnice uvádí, že „potkají se ve stejný čas t“. Jakoby se tím opět utvrzoval v tom, že „t1 = t2 = t“. Dále si píše, že „s1 = v1 * t“ a pod to „s2 = v2 * t“ (přijde mi to jako zbytečný krok navíc, zkrátka akorát místo „t1“ a „t2“ napsal samotné „t“) a z toho vyvozuje, že když je „t“ stejné, pak se musí rovnat poměr mezi drahami a rychlostmi – „⇒ s1/v1 = s2/v2 = t“. Na rozdíl od předešlého příkladu zde pracuje s „t“, nikoliv jednotlivými (i když totožnými) časy pro oba aktéry. Možná ho to bude méně mást při řešení, možná se ale mýlím. Dalším krokem je „s1/5 = s2/6“, což znamená, že místo „v1“ a „v2“ napsal do předešlé rovnice jejich číselnou hodnotu. Jakoby se opět ujišťoval o vztahu drah, protože si zaznamenává, že „vzdálenost, jakou ujdou: s1 + s2 = 38,5 km“. Proč to potřebuje slovně, když by mohl klidně napsat, že „s = s1 + s2“? Třeba k tomu dospívá právě pomocí této poznámky. Pokračuje pod sebou uvedenými rovnicemi o dvou neznámých: „s1 + s2 = 38,5“ a chybně „6 s1 = 5 s2“ (správně by totiž měl opět uvést tvar, který má výše „s1/5 = s2/6“, místo dělení tedy dráhy rychlostmi násobí…). Pod tím dělá čáru a nejspíš bude následovat nějaká úprava a výpočet.

Vyjadřuje si, že „s1 = 38,5 - s2“. Pak tuto vyjádřenou dráhu „s1“ už dosazuje do druhé rovnice – „6* (38,5 - s2) = 5 s2“. Vůbec si přitom neuvědomí, že pokračuje v chybě. Následně opět závorku vynásobí, převede „s2“ na jednu stranu rovnice a dospívá k výsledku že „s2 = 221/11 = 20,1 km“.

Nyní se chystá dopočítat čas „t“, a tak pracuje s předešlým výpočtem a dostává, že „t = s2/v2 = 20,1/6 = 3,35 hod = 3 hodiny a 21 minut“. Pod to si píše (možná pro sebe) údaj „potkají se za 3 hodiny a 21 minut“. Co když si to nepsal pro sebe a byla to původní odpověď a pak si ještě jednou přečetl otázku ze zadání kde se ptáme na čas setkání? Pak totiž píše „Chodci se potkají v 10 hodin a 21 minut“ a to také jednou podtrhává. Nikde však není patrné, jak k času dospěl. Nejspíš zcela automaticky přičetl „3 hodiny a 21 minut“ k 7:00 a neměl potřebu si to zvlášť psát. Úloha ve výsledku opět vyšla, ačkoliv během řešení chybuje a s chybou pracuje dál. 9

úloha 2.3

V další úloze postupuje obdobně jako v předešlých dvou, akorát s tím rozdílem, že si převádí údaje v „m/min“ na „km/h“: „v1 = 60 m/min = 60 * 60 m/hod = 3600 m/hod = 3,6 km/h“, stejně tak pod tím i pro „v2“. Zaujalo mě, že si doslova krok po kroku rozepisuje převod z minut na hodiny, ale na konci už neuvádí jak dospívá k číslu z „m/hod“ na „km/hod“. Asi je to logické, takže si nemusí zvlášť psát postup typu „3600/1000 km/hod“… .

Pak opět dospívá ke dvěma rovnicím o dvou neznámých, jedna z nich je opět chybně (naprosto stejná chyba jako v úloze 2.1 a 2.2) a příklad dopočítává. Zaujala mě

9 Tato úloha šla vyřešit poměrně jednoduše. Když víme, že „s = s1 + s2“ a hledáme čas „t“, mohl

klidně údaje převést do podoby, že „s = v1 t * v2 t“ což by bylo „38,5 = 5t + 6t“. Místo toho si ale řešení zbytečně komplikuje zaváděním rovnic o dvou neznámých, kde si dokonce zamění veličinu dráhy za veličinu času. Napsat správný tvar mu nedělá potíže – alespoň výše to píše správně (tzn. že „s1/v1 = s2/v2 = t“), došlo tedy k chybě na základě nějaké nepozornosti? Opět mě zaráží, že ve finále dospívá ke správnému výsledku.

31

ještě jedna věc. Dospěl k rovnici „5,4 (12 - s2) = 3,6 s2“ a pod tím hned, že „648 – 54 s2 =36 s2“ tudíž musel provést 2 kroky v jednom řádku – nejprve vynásobit závorku číslem „5,4“ a pak se zbavit desetinných čárek a celou rovnici vynásobit „10“. Dále ale převádí „s2“ na jednu stranu rovnice, kde ho přičítá k další hodnotě „s2“ a opět celou rovnici krátí „10“ – „64,8 = 9 s2“ (za číslicí 9 byl ještě jeden údaj, který je přeškrtaný). Tzn. že naprosto zbytečně udělal dva kroky navíc – vynásobil a hned na to vydělil rovnici „10“. Pak píše výsledek rovnice, že„s2 = 7,2 km“.

Aby dospěl k odpovědi na čas, opět postupuje jako u předchozích úloh a píše, že „t = s2/v2 = 7,2/5,4 = 1,33 hodin = 1 hod 20 minut“. Nato píše slovní odpověď „Potkají se za 1 hodinu a 20 minut“ což je opět (jako dříve) i při chybném postupu správně.

Znovu mu přijde, že úlohu mohl řešit zcela jednoduše a vůbec nemusel pracovat se dvěma rovnicemi o dvou neznámých, kdy ve druhé z nich akorát udělal chybu (a přitom ji předtím napsal dobře…).

úloha 2.4

Zde si nejprve provádí zápis „Praha – Mariánské lázně“, pak správně že „autobus vyjel v1 = 36 km/h“ a „současně auto v2 = 52 km/h“. Pak si jakoby ujasňuje, že „po 90 minutách byly obě vozidla 30 km od sebe“ a táže se, co hledá – „Jaká je vzdálenost obou měst, když se vozidla nepotkala?“ Tento zápis si patrně provedl proto, aby z něj mohl snáze vyčíst jakékoliv údaje o veličinách, které má k dispozici, popř. zjistit, jaký mají vztah a jak úlohu vyřešit.

Hned si to píše znovu, tentokrát již formou matematického zápisu – „v1 = 36“, „v2 = 52“, vedle oba údaje si ještě ujasňuje co to je ten čas 90 minut a převádí ho na hodiny – „t1 = t2 = 90min = 1,5hod“. Tím získal podstatnou informaci, že časy se rovnají (což je sice jasné ze sémantického zadání, ale ve výpočtu bude hrát tento matematický zápis roli…). Pak si píše základní vzoreček „s1 = v1 * t1“, stejně tak i pro 2. vozidlo. Vedle vyjádřené dráhy „s1“ dosazuje do rovnice a dostává výsledek „54 km“ („s1 = 36 * 1,5 = 54 km“), vedle „s2“ je rovnice „s2 = 52 * 1,5 = 78km“. Není mi jasné proč si nenapsal „t“ a zbytečně píše „t1“ a „t2“, ale na výsledek to patrně nemá vliv. Podstatné je, že ví, že časy jsou totožné, a že s tím umí pracovat v rovnicích při výpočtu jednotlivých drah. To však k správné odpovědi na otázku úlohy nestačí, ani by nestačil jejich součet, protože do hry vstupuje vzdálenost, která oba vozy dělí od setkání.

Ostatně to neopomíjí, dokonce si to zdůrazňuje „ještě je těchto 30km ⇒ s = s1 + s2 + 30“, kam správně dosazuje „54 + 78 + 30“ a dospívá k výsledku „162“. Nato píše správnou odpověď, že „Vzdálenost měst je 162 km“. 10

úloha 3.1

Na první řádek si píše „M. T1 = 0 s, v1 = 160 km/h“, pod to provádí zápis „A. t2 = 40, s, v2 = 145 km/h“. Proč je u hodnot záhadné písmenko „s“ (alespoň tak ho čtu, protože je to dost nečitelné a vypadá to spíše jako malý index), mi není jasné. Buď je to čas v sekundách (proč ale, když zadání je v minutách) anebo je to další údaj, o dráze? Opravdu netuším. Na v pořadí třetí řádek zapisuje „sdržení 3x 4 min = 12 min“ (zde je pravopisná chyba). K tomu musel nějak dospět – buď si zcela logicky sečetl 1 a 3 minuty (úplatek + hledání plakátu) a pak to již násobil počtem zdržení, anebo mu to vůbec nebylo jasné a údaj

10 Přijde mi, že tento příklad řešil z celé série nejlogičtěji a zcela bez chyby (na rozdíl od těch

předchozích). Přitom je to příklad s největšími komplikacemi a tudíž bych ho považovala za nejobtížnější. Proč tedy chyboval v těch předešlých, když cesta k řešení byla podobná? Navíc písmo se v řešení této série podle mého subjektivního pohledu celkem liší od písma v 1. sérii ! Více možná posoudím až po přezkoumání poslední série.

32

opsal. Nicméně pod tento řekla bych až přehnaně stručný zápis dělá čáru a píše si rovnice pro dráhy „s1 = v1 * t“ a „s2 = v2 * t“. Pak dospívá k rovnici, že „v1 * t1 =v2 * t2“, která je samozřejmě špatně – aktéři by totiž museli jet z jednoho místa, za sebou, ale oni jedou proti sobě a dokonce je třeba ještě pracovat s jednotlivými časovými prodlevami u obou dvou… . Do této rovnice už jen dosazuje hodnoty rychlostí „160 * t1 = 145 * t2“ a tím už dál příklad neřeší. Když jsem se ho zpětně ptala proč dál nepokračoval, odvětil mi, že si zkrátka uvědomil, že s takovou rovnicí asi dál nic nenadělá a než aby ten příklade řešil znovu, jinak, raději přeskočil k dalšímu „aby měl vyřešené alespoň něco“.

úloha 3.2

Úlohu řeší úvahou, vůbec k tomu na první pohled nepoužívá vztah mezi veličinami. Ve všech předešlých příkladech si píše, že „s = v * t“, zde místo toho, že „Hošík = s = 2 míle“, „rychlost = 1 míle/8 min“. Na dalším řádku je „t = 8/2 = 4 min“, což je samozřejmě chybné. Místo aby míle rychlostí násobil, dělí. Přechází ale k dalšímu zápisu a tuto chybu nechává tam, kde je.

Obdobně tedy uvádí, že „Old Shatterhand s = 6 mil“, „rychlost = 1 míle /1,2 min“ a pod tím stejný typ chyby „t = 1,2/8 = 0,15 min“. Copak ho to ani trochu nezarazí?

Pak ještě provádí ten samý zápis se stejnou chybou pro dobu, kdy jeli oba dva, hošík o Old Shatterhand (vychází mu „0,15“).

Nakonec tato vypočtená data sčítá „Výsledný čas = 4 + 0,25 + 0,15 = 4,4 min“, čímž končí příklad. Očividně mu to vůbec nepřijde podezřelé a vrhá se na řešení poslední úlohy.

úloha 3.3

Zde si přepisuje odstavce s údaji a výpočty zvlášť pro Vasila, Jurije a Ivana. Jako první je tedy „Vasil“, kde čtu „s = 40,32 km“, pod tím „t = 0,7 hod“ a mezi tím o kousek dále „s = v * t ⇒ v = s/t“. Na další řádek pak správně dosazuje „v = 40,32/0,7 = 57,6 km/hod“.

Pak si píše výpočet pro Jurije. „s = 37740 m = 377,4 km“ (což správně převádí) a pod to „t = 37 min“. Na poslední řádek odstavce píše „v = s/t = 377,4/37 = 10,2 km/hod“ To je špatně, protože si sice převedl dráhu z jednotek metrů na kilometry, ale čas nechal v původních, zadaných minutách. Nicméně to neopravuje a pokračuje odstavcem „Ivan“, kde opět převádí dráhu na kilometry, ale chybuje v čase. „t = 570 sek = 9,6 min“ (což je samozřejmě správně, ale nedokončil převod až na potřebné hodiny…). Pak tedy zase dosazuje do rovnice „v = 85,50/9,4 = 8,9 km / hod“ (takže dělí dráhu v km časem v minutách takže mu vychází 8,9 km/min, ale píše 8,9 km/hod …).

Na závěr uvádí odpověď, že „Nejrychleji letěl šíp Vasil.“. což je samozřejmě špatně. Asi si porovnal výsledky jednotlivých odstavců mezi sebou, ale nikde si to nezapisuje… . Mimochodem právě údaj o rychlosti Vasilova šípu je jako jediný vypočtený správně. 11

11 Písmo řešení série je zcela totožné s písmem série první, a tak jsem se Pavla ptala jak je možné, že

je písmo druhé série poněkud „jiné“. Na to mi řekl, že ne vždy píše stejně, že měl na řešení více času a tak si to chtěl napsat trochu „lépe a podrobněji“. Vzhledem k typu chyb je mi to však krajně podezřelé, a tak se ho ptám znovu, zda to myslí vážně. Poté se přiznává, že úlohy za něj řešil spolužák z vedlejší třídy – výměnou za vypálení filmu na DVD. Vedlejší třídu učí stejná učitelka, řešitel je tedy na podobné úrovni znalostí matematiky jako Pavel. Sice je možné psát o chybných krocích, které tam jsou, ale bohužel nám tím do hry vstupuje další osoba (která je řešitelem prostřední série). Ptala jsem se Pavla zda pro něj bylo takovou přítěží vyřešit úlohy sám. Na to mi odpověděl, že jeho spolužák prý nemá v matematice takové problémy, úlohám rozumí a že tedy předpokládal, že to pro něj bude hračka. Což se ovšem v řešení nepotvrdilo. Sice to poněkud zkomplikuje celkovou analýzu, pozitivní na tom však je fakt, že jsem se zde setkala s naprosto odlišným typem chyby než u ostatních žáků včetně Pavla. Proto i nadále tuto sérii výpočtů zařadím do celkové analýzy.

33

6.2.3 Petr úloha 1.1

Nejprve si dělá jakýsi matematický přepis zadání – pod sebe píše „v1 = 20 km/h“, „v2 = 60 km/h“, což jsou rychlosti aktérů. Ty vyplývají ze zadání úlohy. Jako třetí uvádí údaj o nějakém čase „t“, který zapisuje jako „t = t1 - t2“, bude to tedy patrně časový rozdíl mezi oběma aktéry. Vlastně v zadání je napsáno, že „za cyklistou jedoucím rychlostí 20 km/h… vyjede o 2 hodiny později auto s rychlostí 60 km/h…“, takže „t“ by mělo tedy představovat rozdílový čas, tzn. 2 hodiny? Proč nenapíše „t = 2“ a místo toho si jej vyjadřuje pomocí vztahu „t1“ a „t2“? O řádek níže čtu „t1 =?“, takže on vlastně vůbec nehledá „t“ (ostatně to by mělo představovat právě ty 2 hodiny rozdílu časů…), ale čas cyklisty „t1“. Pod to si ještě vyjadřuje „t2“ pomocí „t1“ – „t2 = t1 - 2“. Takže on vlastně nahradil původní „t“ (rovnice o dva řádky výše) číselným údajem „2“ (auto vyjelo o dvě hodiny později za cyklistou…).

Tento zápis podtrhává a pokračuje dále – nejspíš se dostává k samotnému řešení úlohy. 12

Na prvním řádku řešení objevuji zásadní chybu – „s = v1 * t1 + v2 * t2“, což je sice na první pohled správně, ale chybné je použití v této úloze. Z tohoto zápisu totiž vyplývá, že Petr hodlal dráhy obou aktérů sčítat aby tak získal nějakou celkovou vzdálenost dalo by se říci mezi body A a B. To by ovšem musel cyklista vyjet z bodu A a auto z bodu B. Tak tomu však není, oba vyjíždí ze stejného místa A a míří někam do bodu B, ve kterém dohoní auto cyklistu v neznámém čase, který hledáme. Správně tedy měl použít rovnici vyjadřující totožnost obou drah, tzn. že „s1 = s2 ⇒ v1 * t1 = v2 * t2“ a pak pokračovat v řešení. „t2“ by si pak vyjádřil pomocí „t1 - 2“ (jak si správně uvedl výše v zápisu) a obě rychlosti má zadané. Pak by se jednalo o vyřešení poměrně jednoduché rovnice. Dospěl by k nějakému výsledku – času „t1“, ten by musel dosadit do výše uvedené rovnice pro dopočítání „t2“ a dostal by správný výsledek.

Jak je vidět, Petr však nadále pracuje s chybným vztahem mezi oběma drahami.Další řádek je změněn pouze tak, že dosadil hodnoty rychlostí a vyjádřil si „t2“ pomocí „t1“ – „s = 20 t1 + 60 (t1 - 2). Přitom ho vůbec nezaráží, že tím mu vznikly v jedné rovnici dvě neznámé – „t1“ a „s“. V další části pak vynásobí závorku, pak sečte obě hodnoty „t1“. Stále má rovnici o dvou neznámých „s = 80 t1 - 120“. Předpokládala bych, že odhalí, že je něco v nepořádku a vrátí se třeba o pár kroků zpět. Vždyť tento dosud poslední krok nemůže vést ke správnému výsledku. O kousek dále vpravo si píše základní vzoreček „s = v * t“, je snad v koncích?

Ale ne, na dalším řádku se najednou objevuje „20 t1 = 80 t1 - 120“, kde se to jen vzalo? „20“ je patrně velikost rychlosti „v1“, takže on nyní dosadil místo dráhy „s“ dráhu „s1“, kterou už rovnou vyjádřil pomocí „t1 * v1“. Že by konečně dospěl k tomu,že dráhy se rovnají? Ne, místo toho je na druhé straně přesný zápis jako výše – počítá tu s „80 t1“, což získal součtem „v1 * t1“ a v2 * (t1 - 2) – takže 80 t1 – 120 je vlastně ta původní úprava, kdy na počátku sčítal „s1“ a „s2“…

Tuto rovnici dále upravuje, převádí „80 t1“ na druhou stranu, následně krátí 2 a zbavuje se i záporného znaménka „(-60) t1 = (-120)“ ⇒ „t1 = 2“. S výsledkem je nejspíš

12 Petr je zatím prvním žákem, u kterého jsem našla správný záznam časového údaje. Z matematického zápisu totiž vyplývá, že správně určil, že když vyjelo auto o 2 hodiny později, zákonitě musíme tyto dvě hodiny odečíst od času cyklisty (nikoliv přičíst jak se to objevovalo u ostatních řešitelů…).

34

spokojen, vždyť vyšel v celém čísle a dokonce není záporný, takže ho asi ani nemá co zarazit – je to logické.

Dále pak ještě dopočítává „t2“ – „t2 = 2 – 2 = 0“. Tzn. že čas auta by musel být nulový, což nedává smysl. Kdyby se nad tím zamyslel, možná by mu došlo, že někde musel udělat chybu. O řádek níže ještě píše, že „t = t1 - t2 = 2“, čímž se vlastně jakoby vrací úplně na začátek. „t“ se přeci objevuje už v zápisu zadání – nejprve vyjádřené ve vztahu k časům „t1“ a „t2“, pak při vyjádření „t2“ („t2 = t1 - 2“).

Napadlo mě kdyby si možná rovnou udělal přehlednější zápis, odhalil by, který čas má vlastně počítat – vždyť on se po složité úpravě a dopočítávání (a navíc chybném typu rovnice) dostal k výsledku, který je už napsaný v zadání a vůbec tedy neodpovídá na původní otázku.

Na závěr svého řešení uvádí odpověď „Dojede ho za 2 hodiny“, což je samozřejmě chybně – místo toho bychom totiž mohli (správně) napsat, že „auto vyjede za cyklistou po 2 hodinách“.

úloha 1.2

V této úloze postupuje nejprve stejně jako u úlohy 1.1 – nejprve si píše zadání – pod sebe si dělá zápis zadání „v1 = 5 km/h“, „v2 = 20 km/h“, pod tím píše neznámý čas „t =?“, což zatím nevím, co tím mínil – možná více vyčtu z dalšího postupu. Pod tím je ještě „s =?“, což je patrně dráha, kterou hledáme – „…kolik kilometrů při tom ujede…“. Posledním údajem zadání je (stejně jako u 1.1) vyjádřen vztah mezi časy obou aktérů – „t2 = t1 + 1/2“. Zlomkový údaj „1/2“ bude patrně „… za půl hodiny za ním…“, nechápu ale, proč si to nenapsal nějak lépe, přehledněji. Tento zápis podtrhává a nyní by mělo následovat samotné řešení.

„s1 = s2“ – aha, takže tentokrát správně odhalil typ příkladu. Přitom je to stejný typ jako v úloze 1.1 – proč tam tedy předtím určil typ úlohy chybně? Odhalil to snad nyní zcela náhodně? Možná více napoví řešení dalších úloh. Dále si Petr sestavuje rovnici o jedné neznámé „t1“ – místo aby si ji rozepsal pomocí vztahů mezi veličinami, rovnou doplňuje příslušné hodnoty – „5 t1 = 20 t1 + 0,5“. To vedlo k další chybě v řešení – nenásobil totiž vyjádřené „t2“ pomocí „t1“ příslušnou rychlostí „v2“, respektive vynásobil „t1 * 20“, ale už nenásobil druhou část vyjádřeného tvaru – tzn. číslo „1/2“. Kdyby si to nejprve napsal kvazialgebraicky, lépe by se v tom mohl orientovat a pravděpodobnost správného dosazení a úpravy rovnice by byla vyšší. Vypadalo by to jako „v1 * t1 = v2 (t1 + 1/2)“. I tak by to bylo chybné, protože 1/2 by přičítal, nikoliv odečítal.

Podívejme se dále – „5t1 = 2“ – patrně měl v úmyslu napsat úplně to samé, co má o řádek výše, nebo se snad pletu? Dále pak je „(-15) t1 = 0,5“, to v dalším řádku upravuje. Dělá více kroků – jednak převádí záporné znaménko z neznámé „t1“ na druhou stranu rovnice, jednak píše „1/3“, což vzniklo vydělením rovnice „15“, současně vynásobením „10“, musel tedy dospět ke zlomku „(-5/15)“, ten vykrátit a získat výsledný zapsaný údaj „(-1/3)“. Úprava je sice správně, ale jak k ní jen dospěl mi není zcela jasné. Že by dokázal takto automaticky uvažovat, nikde si nezapsat ani sebemenší poznámku a rovnou napsat výsledek?

Dále dosazuje tento údaj do výpočtu „t2“ – „t2 = 1/2 - 1/3 = 3 - 2/6 = 1/6“. Zde si tento postup (na rozdíl od předchozích řádků) píše – přitom se podle mě jedná o jednodušší úpravu, o méně kroků než při získávání „t1“. Nicméně tento výsledek dvakrát podtrhává (tím nejspíš dává najevo, že je to hledané řešení).

Naposledy ještě vypočítává dráhu, kterou označuje jako „s1“. Proč právě jako dráhu 1. aktéra, když v zápisu si ji píše jako hledanou dráhu „s“ a pak na počátku řešení si píše, že dráhy obou aktérů jsou vlastně stejné, a zda to hraje nějakou roli, netuším. „s1 = 20 * 1/3

35

= 20/3 km“, opět dvakrát podtržené. Tentokrát žádná odpověď, výsledky jsou patrně označeny jen podtržením.

úloha 1.3

Opět si provádí zápis – „v1 = 12 km/h“, „v2 = 40 km/h“. Jako třetí si vyjadřuje „t2“ pomocí „t1 + 3,5“ (opět špatné znaménko – k času rychlejšího vozidla by měl odečítat, nikoliv přičítat…), a jako poslední „t =?“, tedy otázka úlohy („… v kolik hodin dohoní člun parník…“).

Následuje řešení – nepíše si žádnou obecnou rovnici o postupu typu „s1 = s2“, ale rovnou doplňuje zadané údaje – „12 t1 = 40 (t1 + 3,5). Že by logickou úvahou dospěl k závěru že se jedná o stejný typ úlohy jako je předešlá, a že si tudíž nepotřebuje psát nějaké vztahy a rovnou může sestavit rovnici s údaji ze zadání? Proč tedy v 1.2 udělal chybu – nenapsal si závorku, chybně násobil její obsah, zatímco tady si ji uvádí?

Následuje „12 t1 = 40 t1 + 140“ – správně vynásobená závorka. Pak již následuje údaj, který znovu svědčí o více krocích naráz – „t1 = (-140/28) = (-5)“ - musel převést číselný výraz „140“ na druhou stranu rovnice, zároveň převést „12 t1“ k „40 t1“ a odečíst jej od toho, a pak musel dát obě strany rovnice do poměru, takže dospěl k „(-140/28)“. To vykrátí a píše „(-5)“. Znamená to tedy, že parník celkově jel „(- 5 hodin)“? To by měl spíše pětihodinové zpoždění. Vůbec se nad tím nezamýšlí a bezhlavě pokračuje dál.

Má už málo místa, takže za dosavadním výpočtem dělá čáru a pokračuje na pravou polovinu, kde uvádí výpočet pro „t2“. Samozřejmě si mohl vzít jiný list, anebo tento otočit na druhou stranu a pokračovat v řešení, ale předpokládám,že takto měl zadání i řešení stále před sebou, a tudíž se v něm mohl lépe orientovat. „t2 = 5 - 3,5 = 1,5“, dvakrát podtrženo. Původně má v zápisu zadání „t2 = t1 + 3,5“, což by po dosazení předešlého výpočtu znamenalo „t2 = (-5) + 3,5 = (-1,5“). On ale mezitím provedl nějakou korekci, aby neměl výsledek záporný. Buď přehlédl záporné znaménko, které si uvedl u výsledku pro „t1“ a napsal tedy kladnou hodnotu, anebo si uvědomil, že parník nemůže mít záporný čas. Stejně tak změnil znaménko u „3,5“. K tomu mohl dospět za předpokladu, že si opětovně přečetl zadání a zjistil, že od času „t1“ pomalejšího parníku, který mu vyšel, musí zákonitě odečíst jeho 3,5 hodinový náskok. Nebo je tu ještě jedna varianta, a to že se podíval na svůj dosavadní řešení, zkusil si v hlavě provést výpočet pro „t2“ „(-5) + 3,5 = (-1,5)“, zjistil, že by to bylo nesmyslné, a rovnici pro „t2“ zkrátka upravil tak, aby výsledek vyšel kladně.

Ve finále uvádí údaj v takové podobě, na jakou se ptáme – „10:00 + 1,5 = 11:30“, opět dvakrát podtrženo. Takže podle posledního výsledku je řešení shoduje s korektní odpovědí, ovšem postup byl zcela chybný.

úloha 1.4

V poslední úloze této série si opět dělá zápis – „v1 = 20“, „v2 = 30“, opět si vyjadřuje vztah mezi časy (chybně – přiřazuje delší čas rychlejšímu z nich…) – „t1 = t1 + 2“. Pak zapisuje „t2 =?“, „s =?“, tzn. na co se v úloze ptáme.

Při řešení si nejprve píše vzájemný vztah „v1 * t1 = v2 * t2“. Do této rovnice pak dosazuje údaje ze svého zápisu, kde nejen že uvádí špatný vztah mezi „t1“ a „t2“, ale dokonce zaměnil časy obou aktérů. Když to dosadí do rovnice, dostává „20 (t2 + 2) = 30 t2“, následuje roznásobení závorky, pak převod neznámé na jednu stranu, a tím dostává záporný údaj „40 = (-10) t2“. Jakoby zcela automaticky rovnici vykrátí a dostává „t2 = (-4)“, tedy záporný čas druhého z aktérů. Pak následuje doplnění údaje do původního vyjádření vztahu mezi oběma časy – „t1 = (-4) + 2 = 2“. „(-4) + 2“ je ale „(-2)“, takže si musel uvědomit nějakou chybu a provést tak korekci aby zamaskoval svůj chybný výsledek.

36

Nakonec dopočítává dráhu „s1 = 2 * 20 = 40 km“. Kdyby tam dosadil výsledek „(-2)“, logicky by dostal zápornou dráhu, což by byl naprostý nesmysl. Nicméně s řešením je nakonec spokojen, výsledek dvakrát podtrhává. 13

úloha 2.1

Opět si provádí zápis příkladu – „v1 = 40 km/h“, „v2 = 30 km/h“, pod tím jsou veličiny, které je třeba dopočítat, tzn. „t1 =?“, „s1 =?“ a nakonec ještě uvádí, že vzdálenost „s = 210 km“. Následuje postup.

Nejprve si zcela správně píše rovnici, pomocí které se ujišťuje o vztahu mezi aktéry „s = v1 * t1 + v2 * t2“. Dále postupuje dosazením známých údajů s tím, že rychlosti obou aktérů již sčítá. To mohl provést pouze za předpokladu, že je mu zřejmé, že časy obou aktérů jsou stejné (- „vyjely proti sobě dva kamiony…“). Dále píše „20 210 = 70 t“ (přeškrtnutý údaj vznikl patrně jen přepsáním při dosazování hodnoty pro dráhu „s“). Tuto rovnici upravuje, krátí „70“ a dostává „t = 3“, podtrhává.

Tento výsledek doplňuje o výpočtu dráhy „s“ a měl by tak dospět k údaji kde se aktéři setkají. „s = 30 * 3 = 90 km“. To podtrhává, nepíše žádnou odpověď, takže i když je výsledek správný, musíme z něj sami vyvodit odkud je vzdálenost oněch 90 km (tzn. z kterého místa).

Úlohu řeší opatrně, nepíše na závěr žádnou odpověď, takže se můžeme jen domnívat, že si uvědomil, od kterého místa je vzdáleno oněch 90 km. Čas vypočetl správně.

úloha 2.2

V další úloze opět postupuje klasickým způsobem jako v těch předchozích. Takže „v1 = 5 km/h“, „v2 = 6 km/h“, „s = 38,5 km“ a jako poslední si uvádí „t =?“.

Pak už dosazuje údaje do rovnice – vlastně si ani nepíše rovnici v podobě veličin, ale rovnou do ní dosazuje. Možná použil model, který si sestavil u předešlé úlohy. „38,5 = (-5t) + 6t“ – chybně píše záporné znaménko před hodnotou rychlosti „v1“, toto ale pak vyřeší jako „t = 38,5“, což podtrhává. Tento údaj pak ještě přičítá k „7“ ⇒ „7 + 38,5 min = 7:38,5 min“ a tím končí.

Tuto chybu bych hodnotila jak přepsání z nepozornosti, spíš mě překvapuje, že mu nepřišel zarážející konečný výsledek v podobě „7:38,5 min“. Možná mu přišel celkem v pořádku.

úloha 2.3

Dělá si zápis – „v1 = 60 m/min“, „v2 = 90 m/min“. Dráhu s si zaznamenává v zadaných jednotkách km, ty ale dále převádí na metry – „s = 12 km = 12000 m“ a ptá se po neznámém čase, kdy se aktéři setkají – „t =?“.

Nejprve si píše základní vztah „s = v1 * t1 + v2 * t“. 14 Místo veličin dosazuje do rovnice jejich hodnoty – „12000 = 60 + 90“, nad „60 + 90“ si dělá jakousi svorku a k ní píše „150 t“.15 Dále dělí rovnici hodnotou „150“ a dostane tak hodnotou pro „t“ – „t = 12000 : 150“. Nakonec píše „t = 0,08 80“, dvakrát potrhává. Jak jen dospěl k hodnotě

13 Petr si v některých úlohách uvědomil chybnost svého řešení, místo aby se ale nad příklady ještě

jednou zamyslel, popř. se pokusil odhalit který z kroků byl chybný, nesmyslný záporný výsledek vždy nějak zamaskuje, aby nakonec došel ke kladnému číslu.

14 Sice píše „t1“, ale u „v2“ již jenom „t“ – nejspíš si uvědomil, že časy jsou totožné…. . 15 Tzn. že sečetl oba časy, vynásobené příslušnými rychlostmi – respektive oba časy = stále jeden a ten samý čas, který hledáme.

37

„0,08“ kterou pak škrtá a píše místo toho „80“? Aha, to asi vydělil „12 km“ číslem „150“ – místo převedené hodnoty v metrech tedy najednou dosadil kilometry. Pak to ale opravuje.

úloha 2.4

Na začátek (už klasicky) si dělá zápis – „v1 = 36 km/h“, „v2 = 52 km/h“. Pak uvádí, že „t = 1,5“ a vedle toho – „so od sebe 30 km“. Tzn. že si patrně vyvodil ze zadání „…po 90 minutách jsou od sebe 30 km…“, časový údaj převádí z minut na hodiny a zavádí si vzdálenost, která od sebe autobus a auto dělí „so“. „s =?“ pak musí zákonitě představovat vzdálenost mezi Prahou a Mariánskými lázněmi.

Dále si vyjadřuje rovnici, díky které dospěje k celkové vzdálenosti – ví, že musí sečíst jednak dráhy obou aktérů, jednak přičíst oněch „30 km“, které je od sebe dělí – „s = s1 + s2 + so“. Do toho pak dosazuje příslušné hodnoty – „s = 36 * 1,5 + 52 * 1,5 + 30“, v posledním řádku provádí úpravu „s = 132 + 30 = 162 km“, podtrhává. úloha 3.2 (řeší jako 1. v pořadí – úlohu 3.1 řeší až nakonec, protože její zadání mu přišlo nejkomplikovanější)

Petr si zavádí jakési časy „t1“, „t2“ a „t3“, každý na jednom řádku. „t1 = 8 * 2“, „t2 = 6 * 1,5“, „t3 = 1,2 * 8“. Pak si zavádí nějaký celkový čas „t“ – „t = t1 + t2 + t3“ – je tedy složený z předešlých časů. V dalším řádku místo písmen zavádí číslice – příslušné hodnoty, jejichž získání si naznačil již na počátku. Rovnice pak vypadá takto: „t = 16 + 9 + 9,6“. Uvádí zde výsledky předchozích násobků v „t1“, „t2“ a „t3“, ale nikde si nedělá nějakou poznámku, dosazuje rovnou už výsledky, nepíše je jako vztah např. místo „t1“ „8 * 2“, ale hodnotu „t1“ již jako „16“. Nakonec hodnoty sčítá a dostává výsledek, který podtrhává – „t = 34,6 minut“. 16

úloha 3.3 (řeší jako 2. v pořadí)

Zde se na první pohled snaží o stejný postup jako volil u úlohy 3.2. Vyjadřuje si tedy (zvlášť na každý řádek) v1, v2 a v3. Během řešení se dopouští hned dvou chyb. Nejprve píše, že „v1=40,32*0,7, tzn. jakoby napsal, že „v=s*t“. Stejný vztah dává mezi veličinami u dalších 2 rychlostí. U ostatních dvou rychlostí se pak vyskytuje závažná chyba jiného charakteru. Hodnoty času byly zadány u v2 v minutách, u v3 v sekundách. Nepřevádí je na hodiny, ale dosazuje ho do chybně vysouzené podoby vzorečku , takže podle Petra je „v2=37,74*37“ a „v3=8,55*570“. Na další řádky pak pod sebe píše příslušné hodnoty výpočtů předešlých hodnot, takže „v1=95,424“, „v2=1396,38“ a „v3=4873,5“. Vůbec se nad tím nezamýšlí, výsledky bezhlavě seřadí od největšího k nejmenšímu a vyjádří vztah mezi nimi pomocí znaménka větší-menší. To podtrhává, žádnou odpověď již nepíše. – „v3 > v2 >v1“. úloha 3.1 (řeší jako poslední)

Nejprve si zavádí čas „t1 = 0 + 12“, patrně k němu dospěl sečtením 1 + 3 minut a vynásobením trojího zastavení Mercedesu. Pak píše „s = 90 + 60 = 150“, kde sčítá vzdálenosti Praha - Plzeň a Plzeň – Rozvadov. Jako čas Audi se patrně objevuje „t2 = 0 + 40“ (asi tím měl na mysli, že vyjelo o 40 minut později než Mercedes). A píše si rychlosti aut – „v1 = 160“, „v2 = 145“. Hledá dráhu „s =?“. Nechápu, co tedy vlastně hledá, když za „s“ hned na 2. řádku označil celkovou vzdálenost Praha-Rozvadov (90 + 60 = 150).

16 K řešení tohoto příkladu dospěl úvahou, vůbec zde nepracuje se vztahem dráhy, času a rychlosti,

zkrátka dospěl k tomu, že musí sečíst ony časy do jednoho, celkového. A jednotlivé časy získá právě tím, že např. „když běžel asi2 míle rychlostí co míle, to 8 mil“ tak to znamená, že musí vynásobit počet minut příslušným počtem mil.

38

Pak již si sestavuje rovnici – „150 = v1 t + v2 t“ a do toho pak dosazuje jakési číselné údaje – „150 = 160 (t + 12) + 145 (t + 40)“. Patrně tedy ponechává jeden čas „t“ a čas Mercedesu a Audi od sebe liší pouze tím, že k jednomu přičítá 12 minutové zpoždění, k druhému o 40 minut pozdější výjezd. Tuto rovnici pak postupně upravuje, odstraňuje závorky, převádí si hledanou veličinu „t“ na jednu stranu rovnice a nakonec dostává zlomek v podobě „t = 24,82/60“.

Poté se najednou objevuje nějaká dráha „s1“, která se podle něj rovná násobku vzdálenosti Praha-Rozvadov „s“ a vypočteného (mimochodem naprosto nesmyslného) času „t“ z předešlé, zbytečně složité a chybné rovnice. Dostává tak, že „s1 = 160 * 24,82/60 =3971,2 66,19 km“. 17

Pak zavádí „s2“, což bude nejspíš představovat dráhu Audi – ve vzorečku se totiž objevuje, že „s2 = 145 * 0,4136 = 59,99 km“. Číslo „145“ bude patrně rychlost Audi, ale co je „0,4136“, kde tuto hodnotu vzal? Logicky vzato by to měl být čas Audi, je to ale ono „t“, které počítal v té složité rovnici – akorát s tím rozdílem, že posledním krokem rovnice bylo ponechání hodnoty ve zlomku, zatímco tady už vydělil čitatel jmenovatelem.

Pak ještě odečítá od celkové dráhy s jím dopočtenou dráhu „s1“ a tím končí řešení úlohy. „s - s1 = 83,81 km od Prahy ⇒ před Plzní“. Výsledek je chybný, stejně jako postup. Místo aby si rozložil řešení na více malých kroků, sestavil si chybnou rovnici, do které pak dosazoval hodnoty, které měl k dispozici. Její výsledek pak dosazoval do výpočtu jednotlivých drah pro Mercedes a Audi. 6.2.4 Karel úloha 1.3 (řeší jako 1. v pořadí)

Na začátku si dělá zápis zadání. Nejprve píše rychlost parníku (původně ji zaměnil za rychlost člunu, pak to ale opravuje – škrtá malý index „2“ a píše za to „1“) „v21 = 12 km/h“. Na stejný řádek o kousek dále si poznamenává neznámý čas „t1 =?“.Podobně si ujasňuje veličiny 2. aktéra, člunu „v2 = 40 km/h“, vedle toho pak „t2 = od 6:30 do 10“, pod tím ještě „t2 = 3,5 hod + t1“. Jak je vidět nejprve si časový údaj o jízdě člunu píše v sémantickém zadání hodin – „6:30 - 10:00“, pak si z toho jakoby vyvozuje, že „10 - 6,5 hod = 3,5 hod“. Neznámou pak představuje čas „t“ – „t =?“, tzn. čas, který hledáme (za jak dlouho dohoní člun parník). Poté si správně poznamenává že „s1 = s2“ (neboť parník i člun jedou ze stejného místa, za sebou). 18 Dosazuje do vztahu „s1 = s2“ další dvě veličiny v podobě hodnot, které má zadané ( s tím, že má prohozené ony časové vztahy…).

Nejprve píše (řekla bych že správně), „12 t2 = “. Kdyby tento údaj neškrtl, ale pokračoval v psaní rovnice, možná by správně přiřadil časový údaj. Místo toho však na další řádek uvádí, že „12 (t1 + 3,5) = 40 t1“, to následně upravuje na „12 t1 + 42 = 40 t1“; „42 = 28 t1“ a výsledkem je „t1 = 1,5“. Dále ještě dopočítává „t2“ kdy dosazuje hodnotu „t1“, která mu právě vyšla do vztahu, který si poznamenal (jak již jsem napsala chybně, k špatnému aktérovi) v zápisu zadání. „t2 = 3,5 + 1,5 = 5“.19 Tento výsledek následně přičítá k 10. hodině a dostává tak číslo „15“, které považuje za správnou odpověď. „10 + 5 = 15:00“, „Člun dohoní parník v 15 hodin“.

17 Škrtnutý údaj byl výsledkem, nezkráceným o jmenovatel zlomku. 18 Je třeba ještě poznamenat, že Karel si sice správně zapsal údaj o čase – době od 6:30 do 10 hodin, ale přiřadil ho k rychlejšímu z aktérů, člunu který vyjel až v oněch 10 hodin. Měl to přiřadit k parníku, protože ten ujel za čas „t1“ (od 6:30 do 10 hodin) nějakou dráhu. Tuto skutečnost si ale vůbec neuvědomuje a hodlá řešit příklad dál. 19 Tzn. že sčítá 3,5 hodiny s časem t1 v podobě 1,5 a dospívá k výsledku 5 hodin.

39

Pokud se na jeho postup ještě jednou podívám, nemusel by teoreticky být špatně kdyby neprohodil časy „t1“ a „t2“. Výsledek „t1 = 1,5“ mohl samozřejmě být správný za předpokladu, že by představovat čas „t2“ a tudíž bychom ho přičetli k „10. hodině“, anebo bychom mohli tuto hodnotu „1,5“ přičíst k oněm „3,5 hodinám“, kdy jel parník sám. Pak bychom ale museli tento výsledek „5 hodin ( 1,5 + 3,5)“ vztahovat k „6:30“ kdy parník vyrazil.

Zajímavé je, že tuto úlohu řeší ještě jednou, jako 4. v pořadí, zřejmě se tak stalo

záměnou za řešení úlohy č. 1.4, která v práci není vůbec uvedena. Druhý pokus řešení se v tomto liší především tím, že dělá podobnou chybu jako většina ostatních žáků, dospívá k záporné časové hodnotě a ačkoliv mu ve finále vychází „t2 = 3,5 - 5“ píše kladný výsledek, který podtrhává, následně přičítá k „10. hodině“ a píše odpověď, že „Parník ho dohoní v 11:30“. Toto řešení je tedy opět chybné nehledě na nesmyslnost sémantické roviny odpovědi, protože se neptáme na parník (ten vyjel dříve a má být dohoněn), ale na člun. úloha 1.1 (řeší jako 2. v pořadí)

V řešení této úlohy postupuje obdobně. Nejprve si udělá nějaký zápis ze zadání, tzn. že „v1 = 20 km/h“, „t1 =?“, pod tím že „v2 = 60 km/h“ a chybné „t2 = t1 + 2“. Zde dělá (dalo by se říci – vzhledem k pracím ostatních žáků) již typickou chybu, kdy přiřazuje delší čas rychlejšímu aktérovi místo aby jej odečetl. Pak se ptá po čase „t =?“ a vyjadřuje si, že to vlastně je „= t1 - t2“.

Pak přichází na řadu samotné řešení. Nejprve si správně sestaví rovnici „20 t1 = 60 (t1 + 2) samozřejmě však s chybným vztahem mezi časy „t1“ a „t2“. Počítá, že „20 t1 = 60 t1 + 120, po úpravě dostává „(-40) t1 = 120“, takže „t1 = (-3)“, tedy záporná hodnota času 1. aktéra – cyklisty.

Nyní se chystá doplnit tento údaj do vztahu mezi časy, který si na začátku vyjádřil jako „t2 = t1 + 2“ a dostává, že „t = (-3) + 2 = 1“. Provádí tedy zřejmě nějakou korekci, protože „(-3) + 2“ není „1“, ale „(-1)“ a pochybuji o tom, že by neuměl provést tak jednoduchou matematickou operaci. Na závěr píše odpověď „Auto dohoní cyklistu za 1 hodinu“. Ta je mimochodem správně, ovšem postup byl zcela chybný. Svůj omyl si nejspíš uvědomil až na konci, kdy mu vycházela záporná hodnota, a tak provedl pouhou korekci, aby tuto chybu zakryl a výsledek vycházel na první pohled logicky a kupodivu i správně.

úloha 1.2

Opakuje podobný postup, opět si špatně určuje vztahy mezi časy „t1“ a „t2“ – přičítá delší čas rychlejšímu z aktérů, takže tvar „t2 = t1 + 1/2“ používá během celého řešení úlohy. Ke konci mu opět vycházejí záporná čísla – „t1 = (-2/3)“ a „t2 = (-2/3) + ½ = 1/6 (10 minut)“ – opět píše kladné číslo, ačkoliv by mělo být záporné. Do závorky sice správně poznamenává, že „1/6 hodiny je 10 minut“, ale kdyby to napsal správně v záporném údaji, muselo by to být mínus deset minut, tedy holý nesmysl.

Poté ještě dosazuje údaj o času „t1“ do rovnice pro dráhu „s1 = v1 * t1“, ale místo toho, co skutečně výše vypočetl opět mění znaménko, a dostává tak kladnou hodnotu – „s1 = 5 * 2/3 = 3/13 km“. Na konci nechybí odpověď „Dohoní ho za 10 minut, ujede 3 1/3 km.“.

Takže v tomto příkladě musel provést tuto korekci v podobě vynechání záporného znaménka dokonce dvakrát – poprvé při dopočítávání času „t2“ a podruhé při výpočtu dráhy kterou musel cyklista ujet aby turistu dohonil. Mimochodem proč ji označuje jako „s1“ opravdu netuším, protože podle mě by to mělo být spíše jako „s2“, nebo vůbec, jako

40

celková dráha „s“ (cyklista jede za turistou, takže dráhy musí být poté, co ho dožene, naprosto totožné…).

úloha 2.4 (sérii začíná tímto příkladem)

Nejprve si dělá zápis – údaje o rychlostech (které má k dispozici) „v1 = 36 km/h“, „v2 = 52 km/h“, dále si vyjadřuje nějaký čas „t = 1,5 hod“ což je patrně oněch „90 minut“, které oba aktéři ujeli když je od sebe dělila vzdálenost „30 km“. Tuto vzdálenost posléze označuje jako dráhu „s“ - „s = 30 km“.

Poté si píše vzájemný vztah mezi drahami jednotlivých aktérů, správně určuje (dle typu úlohy) že „s = s1 + s2“. Do této rovnice dosazuje příslušné hodnoty: „s = 36 * 1,5 + 52 * 1,5“ a získává výsledek „s = 132“. Doposud byl postup správný. Tento výsledek však k odpovědi nestačí.

Na dalším řádku se objevuje „celková s = 132 – 30 = 102 km“, což také podtrhává (jako správnou odpověď). Proč odečítá od dráhy „s“ číslo „30“? Patrně to představuje vzdálenost, která od sebe oba aktéry dělí a místo, aby ji přičetl k ujetým drahám obou aktérů, z pro mě dosud nepochopitelných důvodů ji odečítá.

úloha 2.2 (2. v pořadí ve 2. sérii)

Správně si přepisuje zadání do své obvyklé podoby zápisu, na řádek vedle „v1 = 5 km/h“ přidává údaj „v 7:00“. Na řádek vedle „v2 = 6 km/h“ pak ten samý údaj „v 7:00“. Tak si patrně označuje, že oba turisté vyšli ve stejný čas. Poté si píše celkovou dráhu „s = 38,5 km“ a neznámou se stává čas „t =?“ kdy se oba aktéři mají setkat.

Pak si píše rovnici (správný typ pro tento typ úlohy) „s = v1 t + v2 t“, do ní správně dosazuje hodnoty „38,5 = 5 t + 6 t“, následuje úprava na „t = 38,5 : 11 = 3,5“ a tento údaj přičítá k „7. hodině“ a získává tak čas „10 hodin 30 minut“ – „7 + 3,5 = 10:30“, což také podtrhává.

Úloha je správně, bez problémů.

úloha 2.3 (3. v pořadí ve 2. sérii) V této úloze postupuje obdobně jako během řešení úlohy 2.2. Nejprve si dělá zápis

„s = 12 km“, na další řádek pak „v1 = 60 km/min = 1 km/h“ což je chybné, protože údaj není zadán v km/min ale v m/min. Tím pádem převedl sice správně, ale přesto chybný údaj. Stejnou chybu dělá u „v2 = 90 km/min = 1,5 km/h“ . S tím pak následně počítá v rovnici (ta je správná) a nakonec celkem pochopitelně dospívá k výsledku „t = 12/2,5 = 4,8 hod = 288 minut“ což podtrhává. Postup je správný, výsledek přesto špatný, a to díky počáteční chybě ve špatně opsaném zadání… .

úloha 2.1 (řeší jako poslední úlohu 2. série)

Nejprve si provádí zápis obvyklým způsobem – „s = 210 km“, na dalším řádku pak „v1 = 40 km/h“, vedle toho „t1 =?“ a „s1 =?“. O řádek níže pak „v2 = 30 km/h“. Vlastně si to píše jakoby ve formě tabulky, ačkoliv tam tabulka jako taková zakreslená není (myslím tím pod sebe…).

Dále objevuji dosti zpočátku tápavé a zmatené řešení – nejprve „210“ , poté „s1 = s2“ a teprve dalo by se říci až napotřetí konečně správný vztah „s = s1 + s2“. Jakoby si Karel zavčasu uvědomil svůj omyl. Pak už jen dosazuje příslušné hodnoty daných veličin a řeší (tentokrát již správnou) rovnici – „210 = 40 t1 + 30 t1“ ⇒ vychází mu, že „t1 = 3“.

Poté dopočítává dráhu s1 pomocí právě dopočteného času „t1“ a rychlosti 1. aktéra – „s1 = 40 * 3 = 120 km“. Tento údaj podtrhává.

Příklad je správně vyřešen, objevila jsem v něm pouze zaváhání, kdy se rozmýšlel nad správnou rovnicí – nejprve totiž uvedl rovnici (pro vztahy mezi drahami aktérů) pro

41

typ úlohy, kdy vyjíždějí aktéři z jednoho místa a jedou tedy za sebou. Pak (aniž by do této rovnice doplňoval nějaké hodnoty nebo s ní dále pracoval) ji ale škrtl a napsal správnou rovnici, kdy se celková trasa rovná součtu drah aktérů.

úloha 3.2 (řeší jako 1. v pořadí třetí série)

Nejprve si opět dělá zápis, který připomíná tabulku. Vypadá zhruba takto: „ s“ „(v)“ „t“ 1: hošík - vesnice - 2 míle 8 minut * 2 2: Old.S. - 6 mil 1,5 minuty * 6 3: hošík + O. - 8 mil 1,2 minuty * 8 Jak je vidět, udělal si celkem schématický přehled, údaje následně doplňuje do

rovnice, kterou si sestavuje. Jen mě zaujala původně v závorce označená veličina rychlosti, kterou škrtá. Netroufnu si ale říci zda to má nějaký hlubší význam.

Pod zápisem si dělá poznámku „?t“, vedle toho pak „t = t1 + t2 + t3“, ví tedy, že hledá celkový čas potřebný na záchranu Rybany, a že tento čas se musí skládat z jednotlivých časů, které mezi jejím únosem a záchranou uběhly.

Nakonec bezchybně dosazuje do této rovnice údaje ze zápisu – „t = 8 * 2 + 1,5 * 6 + 1,2 * 8“, na další řádce pak úprava „t = 16 + 9 + 9,6“ a nakonec tedy „t = 34,6 minut“, podtrženo. Pod tím ještě odpověď „Cesta trvala 34,6 minut“. Příklad je správně, bez sebemenšího problému.

úloha 3.1 (řeší jako druhou v pořadí ze 3. série)

Zde si dělá zápis opět v podobě jakési tabulky. M: t=0 160 km/h 3x(1+3) minut zdržení A: t=40 145 km/h Rozvadov __60km____ Plzeň ____90km_____ Praha ?střetnou se? Na základě těchto údajů si nejprve ujasňuje vztah mezi aktéry – jedou proti sobě, a

tudíž se jejich dráhy musí sčítat – „s = s1 + s2“, hned pod to píše, že „s = 90 + 60 = 150“. Dráhu „s“ tedy představuje součet vzdálenosti Rozvadov - Plzeň a Plzeň - Praha.

Dále píše, že „150 = v1 t1 + v2 t2“ což je sice správně, ovšem ne za předpokladu, že „s“ nám představuje celková vzdálenost mezi městy. Jinak totiž přicházíme o informaci ohledně zdržení jednotlivých aktérů. Dále do této rovnice doplňuje číselné hodnoty „150 = 160 * 3 (1 + 3) t + 145 (t + 40)“, tzn. že hodlá počítat nějaký čas „t“. Rovnici upraví, dostává podobu „150 = 1920 t + 145 t + 5840“, následně pak (převedením neznámé „t“ na jednu stranu rovnice a ostatních čísel na druhou) „(-5690) = 2065 t“ a jako poslední údaj je „t = (-1138/413)“. Nyní si uvědomil chybné řešení – nesmyslnost záporné hodnoty výsledného času „t“, navíc v dosti podivném, celkem složitém tvaru zlomku, a celý příklad škrtá. Dále se již nepokouší jej řešit znovu a přechází k další úloze – 3.2. 20

úloha 3.2 (řeší jako poslední v pořadí 3. série)

Opět si dělá obdobný zápis jako u úlohy č. 3.2, připomíná to tabulku, schematicky si zaznamenává související údaje, převádí si čas na stejné jednotky – u Juraje na hodiny, u posledního Ivana však na minuty. Poté se ptá na vzájemný poměr – jak se má „v1“ ku „v2“ ku „v3“.

20 Obdobný postup jsem objevila i u Petra – také operoval se zbytečně složitou rovnicí, jejímž účelem bylo najít jakýsi čas „t“.

42

Zápis vypadá zhruba takto: Vasil s = 40,32 t = 0,7 v1 =? Juraj s = 37740 m t = 37/60 v2 =? Ivan s = 8550m t = 570/60 v3 =? „v1 : v2 : v3 =?“ Poté si ještě píše vzorečky (úlohu tedy řešil pomocí vztahů mezi fyzikálními

veličinami dráhy, času a rychlosti) – „v1 = s1/t1“; „v2 = s2/t2“, pro třetí rychlost si to již nepíše. Pak dosazuje do vzorečku hodnoty ze zápisu (u Ivana tedy chybný čas). Zajímavé je, že v zápisu si sice již nějak vyjádřil časy dvakrát jako hodiny (byť „t2“ ve zlomku), jednou jak minuty (myslím ale, že původně to též hodlal převést na hodiny, jen si neuvědomil, že vychází ze sekund, nikoliv minut jako u Jurije…), zatímco dráhy nechává v původní podobě tak, jak jsou v samotném sémantickém zadání úlohy. Přesto je však již dosazuje do vzorečků v příslušné úpravě (u „v2“ a „v3“). Nejprve tedy dopočítává „v1 = 40,32/0,7 = 57,6 km/h“, kousek vedle toho „v2 = 27,740 / 37/60 = 61,2 km/h“. Na další řádek pak pokračuje výpočtem rychlosti „v3“, kam ovšem dává chybný převod času „t3“ – „v3 = 8,55 / 570/60 = 0,9 km/h“. Správně by měl napsat „0,9 km/min“ a převést to na hodiny (tzn. že by mu vyšlo správných v3 = 54 km/h).

Pak jednotlivé výsledky, ke kterým dospěl nejspíše porovná a jejich veličiny (rychlosti) seřadí jako „v2 > v1 > v3“ a píše odpověď, že „Nejrychlejší byl Jurij (61,2 km/h)“, což je správně. Bohužel se však při řešení dopustil chyby díky špatnému převedení času – výsledek mu vyšel, protože skutečně Ivanův šíp vyjde jako nejpomalejší, ale i kdyby napsal údaj jako „0,9 km/min“ pochybuji o tom, že by jen tak z hlavy (zpaměti) dokázal odhadnout, že by po převedení na stejné jednotky jako v ostatních dvou případech byl zrovna tento šíp nejpomalejší. 6.2.5 Honza úloha 2.1

Úlohu řeší jako 1. v pořadí. Nejprve si dělá zápis – převádí údaje ze sémantické roviny úlohy do matematické podoby. „S = 210 km“, pod tím „v1 =40 km/h“, poté „v2 = 30 km/h“. Na 4. řádku se objevuje základní rovnice pro vztah veličin – „s1 = v1 * t1“, pod tím to samé pro druhého aktéra – „s2 = v2 * t2“. Pod nimi správně uvádí, že „s1 + s2= 210“, odhalil tedy, o který typ příkladu se jedná. Pak si ještě vyjadřuje s1 jako „210 - s2“ a „v1 (210 - s2) = v2 * s2“. Zde dělá zásadní chybu v úpravě vzorečku pro dané jednotky, protože správně měl napsat „s2/v2“. Do jím správně sestavené rovnice (ovšem se špatnou modifikací vzorečku) doplňuje údaje ze zadání a postupně se dostává k výsledku „8400 – 40 s2 = 30 s2“, „8400 = 70 s2“ a „s2 =120 km“. Nakonec ještě dopočítává (tentokrát již ve správném tvaru) „t2 = s2/v2 = 120/30 = 4 hod“. Poté píše odpověď „Potkají se za 4 hod, 120 km od bodu B.“. 21

úloha 2.2

21 Tuto úlohu mohl mít Honza správně kdyby neuvedl chybnou modifikaci vzorečku pro jednotky rychlosti, dráhy a času. Jinak je totiž z celého postupu zřejmé, že postupoval správně, bez zaváhání. Dokonce na konci uvádí správně modifikaci vzorečku („t2 = s2/v2“). Podle mě se jedná o chybu z nepozornosti, příkladu evidentně porozuměl.

43

Opět si píše obdobnou formou zápis – „v1 = 5km/hod“, „v2 = 6 km/hod“, poté sémanticky „vyjdou v 7 hod“ a „s = 38,5 km“. Jako poslední údaj si píše otázku „V kolik hod se potkají?“. Pak si již správně píše vztah „s1 + s2 = 38,5“, vyjadřuje si dráhu „s1= 38,5 - s2“ a tuto rovnici opět rozšiřuje o zadané údaje. Opět se ale dopouští chyby v podobě modifikace vzorečku, protože píše, že „v1 * (38,5 - s2) = v2 * s2“, to také násobí, postupně dostává, že „192,5 = 11 s2“, a „s2 = 17,5 km“. Z tohoto údaje se dostává dál k výpočtu času „t2“, který pak je „t2 = s2/v2 = 17,5/6 = 2,916 hod (= 175 min)“ a píše odpověď „Potkají se v 9 hod 55 min.“.

Jak je vidět, opět se dopustil stejné chyby ohledně modifikace vzorečku jako v př. č. 2.1 a na konci opět uvádí správný tvar při dopočtu času. Dělá mu snad problém vyjádřit si neznámý čas „t“ pomocí ostatních dvou veličin když to rovnou dosazuje do nějaké rovnice? Zajímavé je, že když se jedná o čistý vztah o 3 veličinách, napíše to již správně – jakmile tam má uvedeno, že „t2 = …“, pak již jakoby zcela automaticky uvede „…s2/v2“. úloha 2.3

Dělá si již klasicky zápis „s =12 km“, „v1 = 60 m/min“, „v2 = 90 m/min“ a poté si ještě píše otázku „Za jak dlouho se potkají?“. Poté si opět píše vztah mezi drahami „s1 + s2 = 12“ a „s2 = 12 – s1“. Tuto rovnici si opět píše pomocí veličin dráhy a rychlosti a vyjádří si tak i neznámý čas. Opět se dopouští stejné chyby – „v1 * s1 = v2 * (12 – s1)“, do toho si doplňuje hodnoty „60 s1 = 90 (12 – s1)“, úpravou o pár řádků níže dostává, že „s1 = 7,2 km“. Poté dopočítává „t = s2/v2 = 7,2/90“ a pod tím, že „t = 0,08 hod = 4,8 min“ a píše odpověď „Potkají se za 4,8 min.“.

úloha 2.4

Opět si píše zadání „v1 = 36 km/hod“, „v2 = 52 km/hod“ a sémanticky pak „Po 90 min. byly vzdáleny od sebe 30 km.“ Jakási dráha „s“ je zde tedy zatím popsána pouze slovně. Pak si ještě poznamenává otázku „Vzdálenost měst“ a „jestliže se vozidla ještě nepotkala?“

Pod tím si opět píše rovnice pro jednotlivé dráhy – „s1 = v1 * t1“ a „s2 = v2 * t2“, pod tím si ještě uvádí, že časy jsou totožné (oněch 90 minut jízdy) – „t1 = t2 = 90 min = 1,5 hod“. Poté dopočítává jednotlivé dráhy „s1“ a „s2“ dosazením do výše uvedených rovnic – „s1 = 36 * 1,5 = 54 km“, pod tím, že „s2 = 52 * 1,5 = 78 km“. Nakonec ještě zavádí celkovou dráhu „s“, jejíž hodnotu dopočítává součtem „s1“ a „s2“ a přičtením oněch „30 km“ chybějící vzdálenosti mezi vozidly – „s = s1 + s2 + 30 = 54 + 78 + 30 = 162“. „Vzdálenost měst je 162 km.“.

Tuto úlohu můžeme považovat jako jedinou za bezchybně vyřešenou (pochybuji o tom, že neměl Honza vhled i do těch předchozích tří úloh – jen se tam dopouštěl stále stejné chyby). Když porovnám toto řešení se těmi předešlými, napadá mě, že zde vlastně neoperuje s neznámou veličinou „t“ – má ji přece zadanou a jak je vidět, napsat správný tvar vzorečku k dopočítání dráhy mu nečiní takové potíže. Možná se mýlím, ale myslím si, že právě to hrálo u Honzy stěžejní roli při řešení těchto příkladů.

úloha 3.1

Dělá si zápis – pro každé auto zvlášť. Nejprve pro Mercedes, za dvojtečku si poznamenává „T1= 0 min“ a „v1 = 160 km/hod (+ 12 min. zdržení)“. Jak je vidět, 12 minutové zdržení představuje již součet hodnot ze sémantické roviny – protože auto 3x zastavilo, 1 minutu předával řidič úplatek a 3 minuty hledal plakát. Honza si tedy již tyto hodnoty musel sečíst, do zadání si je tak uvádí (jako 12 minut).

Poté si píše hodnoty pro Audi – „t2 = 40 min“, „v2 = 145 km/hod“.

44

Poté již přistupuje k samotnému řešení – „s = v * t“, vedle toho si uvádí vztah mezi časem „t1“ a „t2“ – „t2 = t1 + 40“. Pod to si ujasňuje vztah mezi aktéry - „s1 = s2“. Zde je hned první zásadní chyba – pokud jedou vozidla proti sobě, jejich dráhy se sčítají do celkové dráhy s, nerovnají se. Tuto jím uvedenou podobu pak ještě rozvádí na „v1 * t1 = v2 * t2“ a pod tím doplňuje „v1 * t1 = v2 * (t1 + 40)“. Pak dosazuje hodnoty rychlostí a místo „t1“ „0“. „160 * 0 = 145 * (0 + 40)“, čímž mu vychází naprostý nesmysl, který m u nejspíše došel. Řešení škrtá a dále již nepokračuje, příklad vzdává a přesouvá se k řešení příkladu č. 3.2.

úloha 3.2

Tento příklad evidentně řeší pomocí vztahu mezi fyzikálními veličinami ačkoliv ho mohl řešit i úvahou. Příklad si rozdělil obdobně jak znělo sémantické zadání. Nejprve si tedy zapisuje jakousi dráhu „s = 2 míle“ a pod tím uvádí vztah „v1 = s1/t1“, vedle toho v závorce (1 míle = 8 min.). Pod tím si (již bez kvazialgebraického zápisu) dopočítává „t1 = 2 * 8 = 16 min“,což jednou podtrhává.

Ten samý postup (akorát s jinými hodnotami) volí u dráhy „s2“ a „s3“, takže dostává „t2 = 9 min.“ a „t3 = 9,6 min.“. Nakonec píše vztah mezi jednotlivými časy – „t = t1 + t2 + t3“, pod to dosazuje výše dopočítané hodnoty „t = 16 + 9 + 9,6 = 34,6 min.“, jednou podtrhává.

Tuto úlohu mohl klidně řešit úvahou, ale místo toho ji řeší pomocí veličin. Když

jsem se ho zpětně ptala, zda by našel i jiný způsob řešení, po krátké chvilce mi odpověděl, že by asi logicky vynásobil příslušný čas kilometry a to by pak sečetl – řešil to prý ale jako slovní úlohu o pohybu, protože se domníval, že se to tak řešit má (vzhledem k tomu, že ostatní příklady byly zaměřeny na tuto oblast slovních úloh). Roli tedy hrálo společné zadání v sérii slovních úloh o pohybu. Kdyby tento příklad byl zadán samostatně, nejspíš by ho řešil úvahou.

Mě však zaujala jiná věc – ačkoliv zde (stejně jako sérii příkladů 2.1 - 2.3) hledá jakýsi čas „t“, tentokrát nedělá chybu v modifikaci vzorečku. Je to snad způsobeno samotným zněním zadání? Není to náhodou tím, že příklad sice řešil pomocí vztahu mezi veličinami, ale ve skutečnosti se jednalo o řešení pomocí úvahy (i když to tam samozřejmě není uvedeno…)?

úloha 3.3

Zde si uvádí výpočty pro jednotlivé rychlosti v1, v2 a v3. Jako první dopočítává rychlost pro „s1 = 40,32 km“ za čas „t1 = 0,7 hod“. Po stručném zápisu si poznamenává základní vzoreček „s = v * t ⇒ v =s/t“ (opět správný tvar). Do toho již níže dosazuje, že „v1 = s1/t1 = 40,32/0,7 = 57,6 km/hod“, jednou podtrhává a na následující straně pokračuje dál. Nejprve si převádí dráhu „s2 = 37740 m = 37,74 km“, poté čas „t2 = 37 min. = 37/60 hod = 0,616 hod“, poté si opět píše tvar vzorečku „v2 = s2/t2“, dosazuje „37,74/0,616 = 61,266 km/hod“. Stejný postup je i u třetího šípu akorát s tím rozdílem, že čas převádí ze sekund na hodiny jako „570/60*60“. Opět si píše základní vzoreček „v3 = s3/t3 = 8,55/0,1585 = 54,01 km/hod“. Na závěr píše odpověď „Nejrychleji vystřelil šíp Jurij.“. 22

22 Někdy dělá zbytečné kroky. Zaujalo mě totiž, že si u každého z šípu píše zvlášť de facto ten samý

vzoreček pro vypočtení rychlosti, ačkoliv mohl vždy doplnit pouze do jednoho. Možná právě ale to vedlo ke správnému řešení, tento postup byl nejspíš zapotřebí. Pak mě ještě překvapilo, že na rozdíl od jiných žáků si nepíše k jednotlivým rychlostem jména (nebo alespoň počáteční písmena) jednotlivých aktérů tak jak je to sémanticky zadané. Přesto na závěr jakoby automaticky dospívá k odpovědi, že nejrychlejší je zrovna šíp „Jurij“. To je samozřejmě správně, protože právě Jurijův šíp, který dopočítal jako „v2“ (tedy 2. v pořadí) skutečně letěl nejrychleji, ale tím že si nikam nepoznamenal alespoň iniciálu, musel se dopátrat komu vlastně patří rychlost „v2“ – tudíž si podle mě musel znovu pročítat zadání úlohy.

45

7. SYNTÉZA SESBÍRANÝCH DAT

S nasbíranými daty jsem za účelem získaní bližších informací o řešení slovních úloh společně s PhDr. Rendlem provedla nejprve analýzu prací jednotlivých žáků. To samotné mi víceméně posloužilo pro vhled do postupu jednotlivců, kdy jsem se mohla přesvědčit o tom, zda se u některého žáka opakuje určitý postup při řešení úlohy, popř. zda dělá během řešení sérií obdobné chyby. Posloužilo to tedy k porovnání postupů a výsledků konkrétních jedinců. Cílem mé práce nebylo skončit tímto krokem, ale pokusit se najít určité zákonitosti napříč sériemi, příklady, žáky jako celkem. Proto jsem si pro lepší přehlednost vytvořila tabulky, které se týkaly všech žáků a zároveň i všech 3 sérií. 7.1 Komentář k jednotlivým sešitům

Sešit č. 1 – „pořadí úloh“ posloužil k tomu, zda všichni žáci dodržují při řešení

úloh jejich pořadí tak, jak vyplývá ze zadání té které série. Tzn. že první a druhá série má příklady č. 1, 2, 3, 4, třetí série pak pouze 1, 2 a 3. Zároveň jsem si označila příklady z hlediska obtížnosti. Podotýkám že se jedná o můj subjektivní pohled, kdy jsem vycházela z určité komplikovanosti úlohy. Každou úlohu totiž lze postupně stále více komplikovat. Za nejlehčí typ úlohy tedy považuji takovou, kde jsou jasně dané hodnoty veličin a to ve stejných jednotkách (kdy není třeba převádět zadanou hodnotu na jiné jednotky), kdy máme např. jasně dané obě rychlosti v jednotkách km/hod, dráhu v km a čas jednoho aktéra v hodinách, a ptáme se na čas toho druhého. Takovou úlohu ovšem můžeme postupně komplikovat a to např. tak, že nezadáme dráhu v kilometrech, ale metrech. Další stížení pak spočívá v tom, že nezadáme čas jakožto „t = 2 hod“, ale např.že „druhý aktér vyjel o dvě hodiny později“. Slovní úloha je totiž zadaná v sémantické podobě a prvním úkolem žáka, který má takovou úlohu vyřešit, je pečlivě si přečíst zadání a v této sémantické podobě příkladu najít podstatné údaje, tzn. co je zadané, jaký je vztah mezi jednotlivými veličinami a na co se ptáme. Pak teprve může danou úlohu řešit pomocí matematických vzorečků. Právě s touto sémantickou podobou si můžeme při zadávání úloh pohrát, stejně jak to bylo v jednotlivých zadaných příkladech.

Obtížnost od „nejlehčího“ po „nejtěžší“ příklad jsem tedy zhodnotila na základě principu, který jsem se právě snažila vysvětlit. Do třetí série jsem během zadávání úloh vybrala pouze 3 příklady, z toho př. č. 2 a 3 bylo možné řešit buď pomocí vzorečků pro vztah mezi rychlostí, dráhou a časem, anebo jednoduše úvahou. Tyto příklady jsem postavila na stejnou úroveň – jako sobě rovné. První příklad této třetí série patřil z hlediska všech sérií za nejkomplikovanější (dle zadání), a proto jsem ho ohodnotila jako nejobtížnější.

Sešit č. 2 – „zápis“ nejprve poukazuje na to, jak byly jednotlivé veličiny

v jednotlivých úlohách zadávány a poté jak je tam objevovali a vkládali do zápisu jednotliví žáci. U každé úlohy jsem vycházela právě z již výše zmíněné sémantické roviny, a dle toho jsem také dala dané veličiny do pořadí tak, jak vyplývají ze zadání. Některé z nich jsou zadány přímo, numericky (např. v1 = 20 km/h), některé pouze slovně (např. „o dvě hodiny později“), případně jsou naznačené (např. „za ním vyjel…“ – což nám vypovídá o nějaké společné dráze obou aktérů a tudíž z toho můžeme rozpoznat typ slovní úlohy a vědět jak ji tedy řešit). Toto pořadí (Opět pro všechny příklady všech třech sérií) jsem pak porovnávala s pořadím, ve kterém si zapisovali údaje žáci ve svých pracích.

46

Sešit č. 3 – „taktika“ byl vlastně jakýmsi přepsáním jednotlivých postupů žáků v konkrétních příkladech, kdy jsem se víceméně utvrzovala v tom, zda se chyby, kterých se žáci dopouští objevují rovnou v zápise úlohy, anebo k nim dojde až při samotném řešení. Sešit „taktika“ by tedy měl zobrazovat řešení úloh žáků. Musím se rovnou zmínit o tom, že k chybám docházelo už rovnou během zápisu úlohy a žáci s těmito chybami pak pracovali dále až dospěli k chybnému výsledku. Ani v jednom případě jsem neobjevila opravu původně chybného zápisu během řešení úlohy, vždy se mi tedy opakovala pravidelnost „chyba už během zápisu – chyba ve výsledku“. V tomto sešitu jsem si ještě všimla dvou pozoruhodností. Ve druhé sérii řeší Pavel příklady pomocí dvou rovnic o dvou neznámých. Pak jsem z tohoto sešitu ještě hledala, kolik žáků postupovalo v posledních dvou příkladech třetí série pomocí úvahy a kolik řešilo tzv. klasickou slovní úlohu o pohybu.

Sešit č. 4 – „pomocné systémy“ má vyjadřovat určité náležitosti, jaké by měla

taková úloha mít. Zmínila jsem se o nich již zkraje výzkumu. Když se žáci seznamují se slovními úlohami o pohybu, učitelka jim nejprve

předvede modelovou úlohu, na které ukazuje jak takové typy úloh řešit. Taková úloha obsahuje poměrně nekomplikované zadání, ze kterého učitelka zapisuje veličiny do tabulky, která představuje jeden z pomocných systémů. Zároveň jim kreslí úsečku s body A a B, kterou doplňuje o bližší údaje o aktérech ze slovní úlohy (tzn. např. jaká je jejich rychlost nebo čas). Taková úsečka nebo obrázek poslouží žákům k tomu, aby jednoduše na první pohled odhalili o jaký typ úlohy o pohybu se jedná. Pokud jedou aktéři ze sebou, tzn. že si je oba znázorní pod bod A, použijí k řešení vzoreček o složené dráze „s“ („s = s1 + s2). A zase naopak pokud mají každého z aktérů pod jiným bodem, použijí vzoreček o rovnosti drah („s1 = s2“). Poté byli ještě žáci učitelkou vedeni k tomu, aby si napsali základní, výchozí vzoreček pro vztah mezi fyzikálními veličinami dráhou, časem a rychlostí. Tento vzoreček se od počátku učí v podobě „s = v * t“. Pokud potřebují vypočítat jinou veličinu než dráhu „s“, jednoduše si ji z tohoto kvazialgebraického zápisu vyjádří. Po samotném řešení úlohy by měla následovat zkouška, žáci dosazují vypočítanou veličinu do sestavené rovnice a jedna strana rovnice se musí rovnat straně druhé. Pak je výsledek správný, opačném případě chybný a je třeba vyhledat chybu a opravit ji. Zkouška se během řešení mnou zadaných sérií nevyskytla ani jednou. Na konci vyřešené úlohy by se měla správně vyskytovat i odpověď – příklad je zadán v sémantické podobě, výsledek řešení by tedy celkem logicky měl být také na této úrovni. Teď nemám na mysli podtržený numerický výsledek, ale skutečnou slovní odpověď. Toto jsou prostředky, které mají žáci užívat alespoň na počátku probírání látky o slovních úlohách o pohybu. Samozřejmě se předpokládá, že během praxe již některé z těchto systémů nemusí potřebovat (např. uvádění základního vzorečku slouží zejména k tomu, aby si tímto opakováním žáci podobu vzorečku vštípili do paměti – zkrátka aby vzoreček znali zpaměti jak se lidově říká „i kdyby je někdo vzbudil o půlnoci“).

V tomto sešitu jsem se snažila vysledovat kolik žáků používá ten který typ pomocného systému, zda jim to přispělo k správnému řešení, nebo zda i přes takovéto vyjadřování úlohy chybovali. Mimo ty pomocné systémy, které se učí, jsem v zápisu žáků objevila ještě jeden – kombinaci slovního a numerického zápisu. Připadá mi vhodné považovat takovou kombinaci za pomocný systém, neboť si jím žáci pomáhají během řešení (a k tomu přeci tyto systémy slouží). Zajímavé je, že takovýto typ systému se během řešení modelových příkladů v hodinách matematiky nevyskytoval. Žáci si ho tedy vytvořili sami, používají ho jaksi automaticky, intuitivně.

Sešit č. 5 – „typy chyb“ již znázorňuje konkrétních chyby jednotlivých žáků

v jednotlivých příkladech. Jsou rozčleněny podle podobnosti. Nemůžeme totiž považovat

47

chyby za sobě rovné, např. špatné určení typu slovní úloh je závažnější než drobná numerická chyba v podobě posunutí desetinné čárky ačkoliv obě tyto chyby vedou k chybnému výsledku. První typ chyby jsem nazvala „typ úlohy (určení)“, což znamená chybu v rozpoznání o který typ úlohy se jedná – zda se dráhy aktérů rovnají (s1 = s2) anebo zda jedou aktéři proti sobě a tvoří tak společně jednu dráhu (s = s1 + s2). Pouze jeden typ vede v konkrétním případě ke správnému řešení, je třeba to tedy odhalit ještě před samotným řešením a sestavit pak tu správnou rovnici.

Modifikace vzorečku má představovat vyjádření jiné veličiny ze základní podoby rovnice než dráhy. Základní podoba vzorečku, kterou se žáci učí, je „s = v * t“. Pokud se např. ptáme po čase „t“, a známe ostatní dvě veličiny, musíme si tuto rovnici přetvořit (modifikovat) do jiného tvaru – „t = s/v“.

Chyba v podobě „špatného určení času“ spočívá v tom, že žáci přiřadí pomalejšímu aktérovi A, který vyjel z místa X dříve kratší celkový čas než aktérovi B, který za ním (nebo proti němu) vyjel později. Tuto chybu si pak můžeme představit tak, že kdyby jeli aktéři na určité místo Y, aktér A by jel daleko kratší dobu než aktér B, ačkoliv by vyjel daleko dříve než aktér B. Zkrátka v reálu je taková situace nesmyslná. Tato chyba se mimochodem opakovala poměrně často, a to zejména v první sérii.

Dalším typem chyby je „převod jednotek“ – převod např. z vteřiny na hodinu, metru na kilometr atd. Když máme zadanou úlohu, musíme nejprve zkontrolovat, zda máme jednotky času v hodinách a dráhy v kilometrech, protože základní jednotka vektoru rychlosti představují kilometry za hodinu. Pokud tomu tak není, je třeba veličiny převést na stejnou úroveň jednotek.

Další kategorií je „špatné místo“, kdy se mi u prvního příkladu druhé série stalo, že někteří žáci sice vypočetli dalo by se říci správně hodnoty veličin, na které jsme se ptali, ale vztáhli je k chybnému místu (tzn. k opačnému aktérovi než měli). Ve druhé sérii jsem též zavedla kategorii „vztahy mezi veličinami“ – jednalo se čistě o problém Jany, která nebyla schopná najít vztah mezi dráhami „s1“ a „s2“ a dospět tak ke společné dráze „s“. V první úloze třetí série jsem ještě zvlášť označila, kdo si sestavuje zbytečně komplikovanou (a k tomu chybnou) rovnici a posléze se v ní ztrácí – přitom základní chybou v této sérii byl opět problém s přiřazováním daného času tomu správnému aktérovi. Musím ještě zmínit kategorii numerické chyby, která je zejména v první sérii trochu jiného rázu – žáci dospívají k zápornému výsledku a aby byl kladný, jednoduše vypustí před výsledkem záporné znaménko „(-)„. Pochybuji o tom, že by neuměli spočítat „3 – 5 = (-2)“, ale takový výsledek u takové úlohy nesmyslný, a tak je pro žáky zkrátka daleko jednodušší zamaskovat ho na „3 – 5 = 2“ než aby hledali kde se dopustili chyby a opravili ji.

Poslední, sešit č.6 – „chyby v příkladech“ mi pomohl ujistit se v konkrétním

chybování, zkrátka v tom, zda se některý typ chyby vyskytuje opakovaně a zejména v tom, za jsem si chybu zařadila do správné kategorie v předešlém sešitu (zda ji mohu považovat za onen druh chyby anebo zda je tomu jinak).

Z těchto tabulek jsem pak dospěla ke zhodnocení jednotlivých sérií.

7.2 Zhodnocení 7.2.1 Pořadí

48

Existuje nějaká významná závislost mezi zachováním pořadí řešených úloh tak, jak jsou zadány, a správností řešení, anebo ne?

v 1. Sérii zachovali 4 žáci pořadí ze zadání. Lucie řešila nejprve úlohu 1.2 a 1.1, pak 1.4 a nakonec 1.3. Karel začal úlohou 1.3, poté postupoval dle zadání a nakonec místo úlohy 1.4 řešil opět úlohu 1.3. Zde bylo o jednoho žáka méně - Honza neřešil … . 2.série

Kromě Karla zachovali žáci pořadí (Karel řešil od poslední k první - tzn. přesně opačně). 3.série

3 žáci zachovali pořadí (Jana, Pavel, Honza), dva řešili první úlohu nakonec, Karel prohodil př. č. 3.2 a 3.1.

Z hlediska zachování pořadí při řešení úloh dopadla nejlépe druhá série (kdy byl poměr zachovaného pořadí 6:1). Poté byla první série (4:2). Nejméně zachované pořadí bylo v sérii č. 3 (3:3). Karel vždy prohodil pořadí, Lucie ve dvou případech, Alena a Petr pouze u 3. série. Karel je podle mě z tohoto hlediska extrém - nelze z toho vysuzovat na nějakou obtížnost úloh (resp. lze - pouze z jeho, subjektivního pohledu). Postup z hlediska obtížnosti se mi jeví nejzřejmější u 2. série (všechny úlohy byly zadávány od nejlehčího k nejkomplikovanějšímu příkladu - kromě 3. série). Ve třetí sérii bych viděla druhý a třetí příklad z hlediska obtížnosti jako sobě si rovný; první příklad byl oproti tomu opravdu dost komplikovaný (mohly za to časové údaje…). Jak si lze všimnout, Lucie začala v první sérii "lehčí – nejlehčí – nejobtížnější - obtížnější" příklad. Ve třetí sérii postupovala Lucie "rovný – rovný - obtížný". Karel začal v 1.sérii obtížnějším příkladem, pak přešel k nejlehčímu a lehčímu a znovu se vrátil k obtížnějšímu (ten nejobtížnější chybí). Ve druhé sérii řešil Karel od nejobtížnějšího k nejlehčímu. Ve třetí sérii šel Karel od rovného k nejobtížnějšímu a zpět k rovnému.

Pokusila jsem se najít souvislost mezi pořadím řešených úloh a chybovostí. U první

série nedodrželi pořadí zadaných úloh Lucie a Karel. U Lucie se vyskytly chyby právě v oněch přeházených úlohách (tzn. 1. 2 a 1.4), zatímco Karel chyboval všude – místo 1.4 úlohy řešil podruhé 1.3 ale objevily se stejné chyby jako u předešlého řešení. Když se podívám na druhou stranu, tzn. na žáky, kteří pořadí dodrželi, počet chyb je vyšší. Petr chyboval ve všech úlohách, Alena a Pavel ve třech, a Jana pouze v jedné. Dalo by se říci, že nejlépe zde dopadla Jana, která řešila úlohy v zadaném pořadí, a chybovala pouze během řešení první z nich. Musíme si ale uvědomit, že ostatní tři, kteří pořadí zachovali, udělali více chyb než Lucie, která pořadí nezachovala. Tím pádem nemůžeme vyřknout, že by se v první sérii vyskytovala nějaká významná závislost chybovosti na pořadí řešených úloh.

U druhé série nedodržel pořadí pouze Karel, ostatních šest žáků jej dodrželo. Karel

řešil úlohy přesně opačně než byly zadány a chyboval dvakrát (právě v úlohách, které řešil nakonec – tzn. 2.2 a 2.1). Dalších pět žáků, kteří pořadí zachovali, chybovali také – Jana ve všech úlohách, Lucie a Karel ve dvou a Petr v jedné úloze. Jediný, kdo zachoval pořadí a měl správně všechny úlohy, byla Alena.

U třetí série dodrželi pořadí tři žáci, kteří v nich zároveň chybovali – Pavel ve všech

příkladech, Jana ve dvou a Honza v jednom. Jediným správným řešitelem byla Alena, která pořadí přeházela (zajímavé je, že v předešlých sériích ho zachovala).

49

Z výsledků prací žáků jsem dospěla k závěru, že taková závislost se mi nepotvrdila, neboť někteří žáci pořadí zachovali a chybovali, jiní ho přeházeli a chybovali také. A naopak jak při přeházeném tak při zachovaném pořadí se vyskytli správní řešitelé. Mezi skupinami řešitelů kteří dodrželi pořadí, a kteří ho nedodrželi nevidím významný rozdíl. 7.2.2 Zápis

Píší si žáci dané veličiny v takovém pořadí, jak je lze vyčíst ze slovní úlohy anebo volí jiné pořadí? Pokud volí jiné pořadí, objevuje se některá z veličin častěji, pravidelně,bez ohledu na pořadí veličin v zadané úloze? Hraje to nějakou roli v chybovosti?

Zde jsem vycházela z pořadí, v jakém si žáci zapisovali jednotlivé veličiny ještě

před samotným řešením úlohy. Jejich zápisy hodlám porovnávat s posloupností fyzikálních veličin, kterou lze vyčíst ve znění slovní úlohy. Veličiny jsem si subjektivně rozčlenila z hlediska jejich podoby ve znění slovní úlohy na otevřené a skryté. Otevřené zadání pak má podobu např. že „dráha v1 = 20 km/h“. Skryté zadání představuje např. otázka „Za jak dlouho dohoní auto cyklistu?“. V sémantické rovině je v př. uvedeno „za jak dlouho“, zatímco žák si tuto podobu (aby dospěl k převedení takových údajů do algebraické podoby a mohl použít vzorečky, které zná, a tudíž přistoupit k samotnému řešení úlohy) převést na vektor „t“. Žák tedy musí dospět k závěru že hledá čas „t“, ačkoliv není ve znění úlohy přímo napsáno „Kolik je t?“. 1.série úloha 1.1

Příklad začíná nejprve skrytým údajem o dráze („za cyklistou…“) , následuje rychlost „v1“, následuje sémantická podoba času („o dvě hodiny později“) a teprve jako čtvrtá v pořadí je zmíněná rychlost „v2“. Nakonec je otázka o skryté hodnotě „t“ („za jak dlouho…“). Lze říci, že takové pořadí nedodržel v zápisu ani jeden z žáků, všichni si na první místo píší „v1“ (jediný rozdíl činila Lucie, která si údaj přepsala slovně – „cyklista = 20 km/h). Na druhém pořadí se nejčastěji objevuje rychlost druhého aktéra „v2“, akorát Lucie a Karel se rovnou ptají na jakýsi čas „t1“, což nejspíš znamená čas prvního aktéra. Jako třetí si ve třech případech vyjadřují neznámou „t“, popř. si rovnou píší vztah „t = t1 - t2“, Jana a Pavel si píší základní vzoreček „s = v * t“ a Karel si píše záznam o rychlosti „v2“. Ve čtvrtém pořadí se opět Jana a Pavel ptají na čas „t“, Alena, Petr a Karel na „t1“. Lucie si zapisuje rychlost druhého vozidla, Jana a Pavel si píší údaj o rovnosti drah ( tzn. že si ujasňují o jaký typ příkladu se jedná – „s1 = s2“). Na pátém místě píší údaj o rovnosti drah (buď „s1 = s2“, anebo v podobě dalších dvou veličin „v1 t1 = v2 t2“), Lucie a Petr si vyjadřují „t1“ pomocí „t2“ (Lucie dobře, Petr patně) a Karel se táže po času „t“ a také si vyjadřuje „t1“ pomocí „t2“. Žáci, kteří neudělali tento krok dříve, si nakonec píší buď „s1 = s2“ anebo si vyjadřují čas „t1“ pomocí „t2“.

Dalo by se zde říci, že mnou vyčtené pořadí ze zadání „v1, t, s, v2“ v podstatě nikdo nedodržel, nejblíže k tomu byla Lucie („v1, t1,t, v2“ a poté si píše vztah mezi „t1“ a „t2“).Jako jediná má zároveň celý příklad vyřešený správně. Zatímco ostatní žáci umístili na první dvě pozice zápisu rychlosti „v1, v2“ a poté zapisovali další údaje. Všichni tito žáci měli chybné řešení. Tato fakta by mohla podporovat myšlenku, že zápis veličin ze zadání úlohy a dodržení pořadí tak, jak to vyplývá ze zadání, vede s správnému vyřešení úlohy, a naopak zpřeházený zápis k chybnému řešení. Také to svědčí o významnosti údaje o rychlosti – u pěti žáků ze šesti se objevoval na prvních dvou místech (a zrovna tito žáci chybovali v řešení). Na základě jednoho příkladu ale nelze dělat obecné závěry . Tyto mé myšlenky

50

se sice potvrzují, ale co když se jedná o náhodu. Proto porovnám výsledek z tohoto příkladu s dalšími závěry.

úloha 1.2

V postupu si všichni nejprve vyjadřují rychlost „v1“ (což odpovídá zadání) a ve čtyřech případech si na druhém místě žáci zaznamenávají „v2“, zatímco Lucie s Karlem se ptají na čas „t1“ (to odpovídá zadání). Jako třetí by měla následovat dráha „s2“ popř.vztah „s1 = s2“ (neboť sémantická podoba „…za ním vyjel po stejné trase…“ vlastně vyjadřuje, o který typ úlohy se jedná ). Dráhu si píše pouze Jana a Pavel (ale jako základní vzoreček s = v * t), Karel si píše rychlost „v2“ (ta by měla být uvedená až o krok dále). Alena, Lucie a Petr si vyjadřují čas „t“, na který se ptáme až ke konci úlohy (před dráhou „s2“ – „Za kolik minut dohoní cyklista turistu a kolik km přitom ujede?“). Na tomto místě se ale ptáme na dráhu „s“, což učinili pouze dva žáci – Jana a Pavel. Čtvrtou veličinu má pak představovat rychlost „v2“, což žáci již ve většině nemohou dodržet, protože ji zmiňovali na předchozích pozicích (většina dokonce hned na druhém místě zápisu). Píše ji zde akorát Lucie (jako jediná ji zatím neuvedla). Místo toho se zde objevuje (ve 4 případech) dráha „s“, popř. vztah mezi „s1“ a „s2“ a Karel si již rovnou vyjadřuje „t2“ –pomocí „t1“. Pátým krokem by měl být čas „t“, který představuje neznámou („…za kolik minut dohoní…“), na to se ptají všichni kromě Pavla (ten rozepisuje základní rovnici pro typ příkladu „s1 = s2“ pomocí ostatních dvou veličin). V šestém kroku se ptáme na dráhu „s“ („…kolik kilometrů přitom ujede…“) a to dodrželi jen Lucie a Karel, další dva žáci (Alena a Jana) si vyjadřují „t1“ pomocí „t2“, zbytek už má všechny údaje zapsané. Alena a Karel si pak ještě píší „s1 = s2“.

Shrneme-li to, Jana nedodržela pořadí veličin, ale příklad vyřešila správně, zatímco Lucie nebo např. Karel, kteří se pořadí veličin blížili, anebo ho alespoň z poloviny dodrželi, mají příklad vyřešený chybně.

úloha 1.3

Tento příklad již začíná časem „t1“ („v 6:30), následuje rychlost „v1“, poté druhý čas „t2“ („v 10 hodin“). Jako čtvrtá by měla být dráha „s“ („…za ním…“), popř. vztah mezi „s1“ a „s2“ a teprve poté rychlost „v2“. Nakonec se ptáme na neznámou „t“ („…v kolik hodin dohoní…“). Žáci zde opět ve většině případů uvádějí na prvních dvou pozicích rychlosti „v1“ a „v2“. Údaje o časech „t1“ a „t2“ se objevují až za rychlostmi, stejně tak i neznámý čas t a vztah mezi drahami „s1“ a „s2“. Vyjímkou jsou Lucie a Karel, kteří mají na druhé pozici čas „t1“. Oba však vyřešili příklad chybně (Karel ho řešil dokonce dvakrát, během obou řešení si obdobně zaznamenal pořadí veličin a dvakrát se dopustil stejné chyby).

Významnost pořadí zapsaných veličin se mi zde nepotvrdila u nikoho z žáků, protože Lucie se např. v prvním příkladu držela pořadí zadaných veličin a příklad vyřešila správně, Jana se v druhém ani třetím příkladu tohoto pořadí nedržela a dospěla ke správným řešením, zatímco Lucie či Karel se přibližovali pořadí veličin a přitom vyřešili příklady chybně. úloha 1.4

V tomto příkladu jsou v popředí uvedeny rychlosti „v1“ a „v2“, stejně tak si je zaznamenávali i žáci kromě Lucie (ta se na druhé pozici ptá po čase „t1“), Zde bylo tedy uvedení rychlostí na přední pozice v souladu se zadáním. Samozřejmě by měl být mezi rychlostmi vložen vztah mezi drahami „s1“ a „s2“ („…směrem k Liberci. Současně s ním… přijel do Liberce…“). Poté následuje údaj o čase „t2“ („…přijel do Liberce o 2 hodiny dříve…“) a nakonec se ptáme na dráhu „s“ („Jaká je vzdálenost…“). Žáci si většinou zařazují „t2“ za zapsané rychlosti, akorát Lucie si na této třetí pozici uvádí s =? (což je

51

vlastně ona vzdálenost, na kterou se ptáme až na konci úlohy). Pak si buď ujasňují o který typ úlohy se jedná („s1 = s2“) anebo si vyjadřují „t1“ pomocí „t2“.

V této úloze postupovali žáci opět stylem, kdy uváděli na prvních místech rychlosti „v1“ a „v2“ a teprve poté další údaje, nenašla jsem souvislost mezi zápisem veličin a chybovostí. Pořadí žáci nedodržovali, a přitom mají úlohu špatně jen dva z nich (Pavel a Petr).

Na závěr této série je třeba uvést, že žáci si na první místa zápisu ve většině případech dávají údaje o rychlostech aktérů, a to bez ohledu na pořadí, ve kterém jsou rychlosti v úlohách zadány. Naopak údaje skryté v sémantické podobě většinou neuvádějí, anebo je zmiňují spíše na konečných pozicích. To se týká zejména pro ně významného údaje o celkové dráze „s“ (tzn. zda se dráhy aktérů rovnají, anebo zda je třeba je sečíst abychom získali celkovou dráhu „s“ zda jedou aktéři za sebou či proti sobě).

Série č. 2 úloha 2.1

Pořadí zpočátku vychází ze sémantické podoby („…z míst A a B…“), což by mělo žákům pomoci rozpoznat o jaký typ úlohy se jedná. Jediná Alena a Jana si to zobrazují (Jana pomocí obrázku, Alena si dělá šipky proti sobě a pod nimi uvádí vztah „s = s1 + s2“). Ostatní žáci si tento vztah mezi „s1“ a „s2“ buď nezapisují do zadání vůbec, anebo i ho uvádí až ke konci zápisu. Nyní následuje údaj o dráze s, což si zapisují 4 žáci. Lucie, Jana a Petr si místo toho píší hodnotu pro „v1“. Pak následuje zmínka o čase („…vyjely současně …“) a teprve poté údaje o rychlostech „v1“ a „v2“. O čase se zmiňují zde v zápisu jen Lucie a Pavel, Jana si píše dráhu „s1“,Petr si píše „v2“, ostatní žáci „v1“. Pak si již uvádí veličiny, které nestihli před tím (někdo „v2“, někdo dráhu s a někdo čas „t1“).

Všimla jsem si, že jediní dva, kteří si ujasnili o jaký typ příkladu se jedná, byli Alena a Honza (Alena na samém počátku, Honza až na konci zápisu). Řekla bych, že by se to mohlo projevit ve špatném rozpoznání typu úlohy u ostatních 5 žáků, ale to nastalo pouze u Lucie (ta použila vzoreček o rovnosti drah „s1“ a „s2“). Jana neobjevila žádný vztah mezi „s1“ a „s2“ (u Jany se to vyskytlo i v ostatních příkladech celé série), a Pavel sice příklad vypočetl, ale hodnota času mu vyšla pro vzdálenost od místa B, zatímco on ji přiřadil pro vzdálenost od místa A. A Honza, který si uvedl vzorec pro vztah mezi drahami, nakonec také chyboval – špatně si vyjádřil ze základního vzorečku další veličiny (sice si napsal, že „s1 = v1 t1“ a „s2 = v2 t2“, ale během řešení příkladu pak místo neznámé „t1“ píše do rovnice neznámou „s2“, kterou mj. násobí dráhou „s = 210“ – ani to ho nezrazilo…).

úloha.2.2

U druhého příkladu ze zadání na první pohled vyplývá, že na prvním místě by měla být v zápise uvedená rychlost „v1“ a hned za ní rychlost „v2“, ale ne všichni žáci toto pořadí zachovají. Na prvním místě se u všech objevuje údaj o „v1“, ale za tím uvádí „v2“ jen 3 žáci. Dva si píší dráhu s a dva čas („…v 7:00…“). Řekla bych, že zde je pořadí hodně individuální, každý z žáků postupuje trochu jinak (na rozdíl od všech předešlých příkladů, kde jsem viděla více podobností). Co se týče vztahu mezi drahami, tak Jana si jako jediná píše „s1 + s2 = 38,5“. Přesto ale během řešení nenachází žádný vztah.

úloha 2.3

Ve třetím příkladě je nejprve uveden údaj o dráze („…z vrcholu je 12km dlouhá…“), poté následuje údaj o typu úlohy a čase („…vyjdou současně proti sobě…“) a poté následují rychlosti „v1“ a „v2“. Nakonec se ptáme na čas („Za jak dlouho se potkají?“). Údaj o dráze jsem našla na první pozici u 4 žáků, Lucie a Petr si uvádí rychlost „v1“ a Jana si přepisuje otázku úlohy. Žáci si ve většině případů uvádí rychlosti buď v podobě m/min, a

52

hned si je převedou (anebo tak učiní až později). Lucie si zapsala „v1 = 6 km/h“ (to již neopravila a tato chyba vedla k chybnému řešení). Jana si opět jako jediná píše, že „s = s1 + s2“ a pak není schopna do tohoto vztahu dosadit zadané veličiny. Karel a Honza se celkem drželi pořadí zadávaných veličin, přesto oba chybovali. Karel v chybném převodu m/min na km/h a Honza jak v převodu, tak opět ve vyjádření dalších dvou veličin ze základního vzorečku „s = v * t“ (stejně jako u předešlých dvou řešení).

úloha 2.4

Čtvrtá úloha naznačuje dráhu „s1“ („…z Prahy do Mariánských lázní…“) a hned za tím následuje „v1“. Ve druhé větě je naznačen časový údaj („…současně s ním…“) společně s dráhou „s2“ („…z Mariánských lázní do Prahy…“) a rychlost „v2“. Na šesté pozici se dovídáme o nějakém dalším čase „tx“ a dráze „sx“ („Po 90 min…od sebe vzdálena 30km… .“). Nakonec se ptáme na celkovou „s“ (vzdálenost mezi městy) a to za podmínky, že aktéři se zatím nestřetli. O vzdálenosti Praha - Mariánské lázně (v zápisu) se dozvídáme pouze u Pavla, ostatní žáci rovnou přecházejí na zapsání „v1“. Jana si nejprve uvádí danou vzdálenost „30 km“ s časem „90 minut“ a jaksi v následujícím kroku opět přepisuje otázku ze zadání (příklad opět řeší chybně – jediná vyjímka oproti jejím předešlým zápisům je v tom, že si již nepíše vztah mezi „s1“ a „s2“). Ostatní žáci na druhé místo uvádějí „v2“ ačkoliv ze zadání vyčteme mezi „v1“ a „v2“ ještě zmínku o dráze „s2“ a čase „t2“ („… současně s ním …z Mariánských lázní …“). Poté si již žáci většinou uvádějí vzdálenost „30km“ a čas „90minut“. Domnívám se, že zápis zde neměl velký vliv na správné řešení, protože jediná chyba (kromě Jany) se vyskytla u Karla, který sice věděl, že dráhu „s2“, kterou vypočítá musí přičíst k oněm „30km“, z nepozornost ji ale odečetl.

Ve druhé sérii se mi víceméně potvrdilo pravidlo první série, že na prvních místech bývají uvedeny rychlosti „v1“ a „v2“ a poté teprve ostatní veličiny. Překvapilo mě však, že ve druhém příkladě, kdy to dokonce v takovém pořadí vyplývalo i ze zadání úlohy, toto pravidlo někteří žáci nenásledovali. 3. série úloha 3.1

Tento příklad vyřešila správně jen Alena. Zadání první úlohy této série začíná zmínkou o startovním čase „T = 0“ a trase „s1“ („…z Prahy…Rozvadov“). Poté následuje údaj o čase „T = 40“ a „s2“ („…z Rozvadova …“). Teprve pak následují údaje o rychlostech „v1“ a „v2“. Dalším krokem je zdržení prvního automobilu. A následuje otázka po určité dráze „sx“ („Setkají se auta v Plzni?“ – tzn. na trase mezi Prahou a Rozvadovem). Za zněním příkladu je ještě uvedená závorka se vzdálenostmi „s1“ (Praha - Plzeň) a „s2“ (Plzeň - Rozvadov).

Zápisy jsou zde rozdílné, nicméně dva jsou si velmi podobné – Alenin a Luciin zápis. Obě si na první místo píší v1(zbylých 5 žáků „T = 0“ (popř. „t1 = 0 + 12)), hned za tím si píší „t1“, „v2“ a „t2“, Na rozdíl od Aleny dělá ale Lucie na 4. pozici chybu. Obě si nějak vyjadřují čas „t2“. Alena jako „t2 = t + 40“ a hned pokračuje „ “t2 = 40 – 12 = 28“, Lucie si místo toho píše „t2 (t1 + 40/60)“. Dále už postupují v zápisu obdobně. Zatímco u Aleny již ze zápisu vidíme, že správně pochopila časové souvislosti, Lucie se ztratila již v zápise. Alena si na rozdíl od ostatních žáků rovnou v zápise spočítala hodnotu času „t2“.

Na prvním místě zápisu se u této úlohy objevuje správně v 5 případech údaj o čase „T = 0“, ale zrovna Alena, která si uvedla nejprve rychlost „v1“ vyřešila příklad správně.

úloha 3.2

V sémantické rovině je nejprve zadána dráha a čas první části celkové trasy, poté dráha a čas druhé části a nakonec dráha a čas třetí části trasy. Poté se ptáme na celkový čas

53

„t“. Zde si žáci zapsali hodnoty zvlášť, anebo úlohu rovnou počítali. Bylo ji totiž možné řešit úvahou, takže vůbec nebylo nutné používat vzoreček pro vztah mezi „s“, „v“ a „t“. Např. Alena si rovnou v zápise píše, že „v1 =8 * 2“ (což jsou veličiny ze zadání), to učiní u dalších dvou rychlostí a nakonec si píše otázku „celkový t =?“. Alena a Petr to řeší rovnou úvahou během zápisu, Jana a Karel si zapisují nejprve „s1“, Jana si pak píše vzoreček „v1 = s1/t1“ zatímco Karel již rovnou „8 minut * 2“. Stejně tak postupují v zápise dalších dvou tras. Nakonec se oba ptají po výsledném čase „t“. Lucie a Pavel zde chybovali. Pavel si zapisuje nejprve „s1“, pak příslušnou rychlost, stejně postupuje u dalších dvou drah a nakonec se ptá po výsledném čase. Lucie si píše údaje týkající se vždy jedné z drah, neudává nakonec ale žádný dotaz na celkový čas „t“ (tak jak to v různých podobách činí druzí). Když jsem se podívala na její postup, dále již jen sčítala jednotlivé časy. Pavel se dopustil chyby ve špatném vztahu mezi rychlostí a časem . Místo násobení mil minutami čas mílemi dělí.

úloha 3.3

V této úloze jsou vyjádřeny dráhy a časy jednotlivých šípů a nakonec se ptáme, který doletěl nejrychleji. Opět bylo možné řešit úlohu úvahou.Chyby zde nastávaly pouze v převodu jednotek (u Jany, Pavla, Petra a Karla). Alena si jako jediná píše vztah pro převod hned k zadání (a to např. „37 minut“ dosadí rovnou do vzorečku pro „v = s/t“ jako „37/60“). Lucie si do zápisu uvádí časové hodnoty tak, jak jsou zadány a během řešení je převádí obdobně jako je to u Aleny naznačeno v zápisu. Honza si provádí zápis o hodnotách „s1“ a „t2“, pak si píše základní vzoreček pro „s = v * t“ a z toho odvozuje, že „v = s/t“. Takto si to zapíše pro všechny tři šípy.Převody jednotek si uvádí zvlášť po zápise nicméně ještě před samotným řešením (vedle rovnic, do kterých hodnoty dosazuje).

Ostatní čtyři žáci rovnou (bez převodu v zápise) řeší úlohu a dochází k chybám v převodu jednotek.

Nakonec si žáci porovnávají výsledky, které vypočítali a rychlost s nejvyšší hodnotou určí jako odpověď – vyřešení úlohy.

Co se týče pravidelnosti zápisu veličin ze zadání, tak se mi – zejména v první sérii potvrdilo, že žáci umísťují na první místa údaje o rychlostech aktérů, ačkoliv to tak za zadání vždy přímo nevyplývá. Nepotvrdilo se mi však, že by to mělo větší či menší vliv na chybovost. Mohu říci, že pořadí zápisu veličin ze slovního zadání úlohy nebylo většinou dodržované.

Na mnou položenou otázku tedy mohu na základě analýzy zápisů odpovědět, že žáci nedodržují pořadí údajů tak, jak vyplývají z textu samotných úloh. Na první místo většinou kladou hodnoty rychlostí „v1“ a „v2“. Nepotvrdilo se mi, že by dodržování či nedodržování pořadí nějak výrazněji přispívalo k větší či menší chybovosti.

Když jsem zpětně pročítala zadání úloh a práce žáků, domnívám se, že důvod proč bývají na prvním míst údaje o rychlostech je poměrně jednoduchý. Když se podívám na zadání všech úloh, jediný údaj, který je vždy patrný na první pohled, je údaj o rychlosti. Ostatní údaje bývají někdy podávány v sémantické podobě. Žáci si tedy nejprve píší jednoznačný fakt (např. „auto jelo rychlostí 20 km/h“) a potom až další údaje, potřebné k vyřešení úlohy (např. „auto vyjelo o dvacet minut později…“).

7.2.3 Pomocné systémy Pomáhá některý z takových systémů žákům k správnému vyřešení úlohy,

anebo i přesto chybují?

1. série Během první série se vyskytovaly takové „pomůcky“ k řešení spíš u jednotlivců než

aby je bylo možno vztáhnout k celku. Znázornění pomocí obrázku se zde vyskytuje celkem 4x (a to jen u Jany ve všech úlohách), zápis v podobě tabulky také 4x (dvakrát u Aleny, dvakrát u Lucie). Základní vzoreček celkem 9x (ve všech úlohách Jany a Pavla a v druhé úloze u Karla). Řešení v podobě slovní odpovědi jsem zaznamenala celkem 11x. Je zvláštní, že nejvíce odpovědí na jednu úlohu (4 odpovědi) bylo hned u příkladu 1.1, u 1.2 a 1.3 to bylo po třech odpovědích a poslední z příkladů (1.4) měl pouze jednu odpověď. Kombinace slovního a numerického zápisu se vyskytla 5x (3x u Jany, a po jedné u Aleny a Karla).

2.série

V této sérii má obrázky Jana (ve všech příkladech) a Alena (pouze u úlohy 2.1). Lucie si opět dělá zápis formou tabulky, základní vzoreček je v 10 řešeních (u 3 žáků v úloze 2.1, u dvou žáků v úlohách 2.2 a 2.3 a u třech žáků ve úloze 2.4). Jana a Pavel tento vzoreček užívají v celé sérii, Honza jen u první a poslední úlohy. Odpověď je pravidlem u Jany a Honzy (celkem je v této sérii tedy 8x). Kombinaci slovního a numerického zápisu jsem objevila 13x. Pravidlem to bylo u Pavla, ve příkladu 2.2 využili kombinace ještě Jana, Alena a Honza. Ve příkladě 2.3 pak s Pavlem ještě Jana a Honza a u příkladu 2.4 všech 7 řešitelů. Musím podotknout, že právě příklad 2.4 byl jediným, kde se vyskytla taková podoba zápisu u všech řešitelů, ale i přes takovou pomůcku dva z nich chybovali. Jana měla problém s celou sérií, Karel oproti tomu jen s druhou polovinou. 3. série

Zde upustila od náčrtků i Jana, která je doposud kreslila (někdy až moc podrobně – např. i s náčrtkem obrázku auta, kola, chodce). Pouze Karel si naznačil v příkladě 3.1 trasy vozů. Tabulku využívá k zápisu Karel (ve všech příkladech), Honza má jakýsi náznak tabulky (zápis jednotlivých veličin přehledně pod sebou) u příkladu 3.1. Základní vzoreček si žáci píší 7x (v úloze 3.1 Jana, Pavel a Honza; v 3.2 Karel a v 3.3 opět Jana, Pavel a Honza). Odpověď byla uvedena u devíti řešení (po dvou u úloh 3.1 a 3.2, a pět odpovědí na konci úlohy 3.3). Celkem v deseti řešeních jsem nalezla kombinaci slovního a numerického zápisu – týkalo se to jen úloh 3.1 a 3.2 (v první úloze u šesti řešitelů – tzn. u všech kromě Petra; ve druhé úloze u čtyř – Aleny, Jany, Karla a Pavla).

Pro ilustraci zde uvádím příklady jednotlivých pomocných systémů z vybraných

prací žáků. Obrázek: Tabulka: Základní vzoreček:

54

Slovní odpověď: Kombinace slovního a numerického zápisu příkladu:

Když se podívám na tyto „pomocné systémy“ komplexně a udělám průřez všemi

třemi sériemi, dostávám celkový počet jednotlivých systémů. Obrázek se tedy vyskytl celkem 10x (tj. 11,11% ze všech pomocných systémů), tabulka 11x (12,22% celku), základní vzoreček 17x (18,89%), odpověď 28x (31,12%) a kombinace slovního a numerického zápisu 24x (26,66%).

Nyní tento počet zhodnotím s počtem správně či chybně vyřešených úloh v závislosti na použití toho kterého systému a dostávám pozoruhodné výsledky. Obrázek napomohl s správnému řešení pouze ve třech případech, tabulka v pěti, uvedení základního vzorečku jen v šesti případech. Obdobně nepříznivý výsledek je i u zbylých dvou systémů – po 13 správných řešeních. Když si porovnám jednotlivé pomocné systémy mezi sebou (poměřím kolikrát se daný systém vyskytl a kolikrát byl příklad vyřešen správně), vychází mi, že kombinace slovního a numerického zápisu nejčastěji a obrázek nejméně často přispíval k správnému řešení. Obrázek by se dal však celkem snadno zpochybnit, protože zrovna u Jany byl u sedmi úloh, a pět z nich měla špatně (především celou druhou sérii). Jednalo se tedy spíše o problém jedince nežli všech řešitelů. Hned za obrázkem však následuje uvádění základního vzorečku. Jak je vidět, nejúspěšnější se tedy zdá být zápis v podobě kombinace slovních a numerických údajů, právě ten typ „pomocného systému“, který si žáci vytvořili jaksi instinktivně, který nebývá zmíněn při uvádění do problematiky těchto slovních úloh v průběhu prvních hodin. Ani tato podoba zápisu však nevede k úspěšnému řešení vždy, výsledek byl korektní u cca poloviny úloh.

Mou otázku na pomocnou roli těchto systémů během řešení bych zodpověděla kladně, a to že žákům pomáhá zápis v kombinaci slovního a numerického zápisu, ale tento fakt nelze zobecnit, protože systém napomohl ke správnému řešení pouze v 54,16% úloh, kde byl použit.

7.2.4 Typy chyb Vyskytuje se některý typ chyby častěji než jiný? Co dělá žákům největší potíže

při řešení slovních úloh o pohybu?

55

56

První série Během první série bylo celkem vyřešeno 16 úloh chybně a 8 správně. Špatně určil typ úlohy Petr – 2x (v úlohách 1.1 a 1.4). Zato určení času (tzn.

přiřazení správného času správnému aktérovi) dělalo jak se zdá žákům největší problémy. U úlohy 1.1 se vyskytla tato chyba u čtyřech řešitelů, u 1.2 u pěti a v úloze 1.3 takto chybovalo také pět řešitelů (Karel dokonce řešil ještě jednou tuto úlohu místo úlohy následující, ale opakoval tu samou chybu). V posledním příkladě se tato chyba týkala již jen dvou žáků (Pavla a Petra). Celkem to tedy bylo v 16 řešeních. V návaznosti na tuto chybu jsem objevila další dalo by se říci fenomén, který se objevoval převážně právě u této první série. Celkem v devíti řešeních jsem objevila numerickou chybu – a vždy se jednalo o poslední krok řešení. Žáci, kteří si chybně přiřadili aktérům časy, dospěli ke konci řešení k zápornému výsledku. Místo aby se ale zamysleli nad tím, kde udělali chybu, která vedla k tak už na první pohled nesmyslnému výsledku, raději onen výsledek zamaskují – zkrátka v posledním momentě řešení úlohy vynechají před jimi vypočítaným výsledkem ono záporné znaménko a výsledek jednoduše podtrhnou. Navíc musím dodat, že zrovna náhodou došlo k situaci, že když se vynechalo záporné znaménko, příklad nevycházel zas až tak nesmyslně a pokud bychom hodnotili práce žáků jen na základě posledního údaje řešení, popř. na základě odpovědi, vůbec by nemuselo (v některých případech) dojít k odhalení závažné chyby v podobě špatného přiřazení času. Problém s převodem jednotek měla v této sérii jen Lucie (úloha 1.2).

Druhá série

Ve druhé sérii se vyskytovalo již poměrně méně chybně vyřešených úloh než v sérii první – chybu jsem nalezla v 13 řešeních z 28. Problém s určením typu úlohy nastal pouze v jednom případě (u Lucie v úloze 2.1). V této sérii dokonce nebyl problém s přiřazováním času správnému aktérovi. Zato se však vyskytl problém s „modifikací vzorečku“. 23 Ve všech třech případech se jednalo o řešení Honzy (problém s tím neměl jen v úloze 2.4). Numerická chyba se vyskytla jen ve dvou případech - u Petra v příkladu 2.2, kdy si chybně vložil záporné znaménko před jeden z časů po sestavení rovnice pro řešení úlohy; a u Karla v příkladu 2.4, kdy měl k celkové dráze přičíst zbývající vzdálenost, která dělila vozidla od sebe, místo toho ji ale odečetl (tzn. jakoby se vozidla již minula). Když jsem s ním po shlédnutí řešení o tomto příkladu hovořila a ptala se ho jak je to s tou dráhou, nezaváhal ni na okamžik a řekl mi, že se musí sečíst. Záporné znaménko se tedy objevilo ve finále řešení omylem. Nicméně vedlo to k chybnému řešení. Problém v této sérii nastal u převodu jednotek a to v příkladě 2.3, kdy chybovali 4 žáci. Pak se v řešení úlohy 2.1 vyskytl (v návaznosti na zadání úlohy) ještě jeden typ chyby – Pavel a Honza sice vypočetli správné časy i vzdálenost aktéra, ale tyto hodnoty přiřadili aktérovi druhému (místu „A“, ale správně mělo být přiřazeno místu „B“). Jana se ztrácela ve vztazích mezi jednotlivými aktéry a vznikl tak další typ chyby – „vztahy mezi veličinami“. Nebyla schopna určit jakýkoliv vztah mezi jednotlivými drahami (nepoužila tudíž ani jeden ze vzorečků – o rovnosti či o sčítání drah aktérů).

Třetí série

Ve třetí sérii bylo chybně vyřešených 12 úloh z 21. Největším problémem byla pro žáky hned úloha 3.1 – opět se jednalo o chybu v podobě přisouzení času druhému z aktérů, než komu čas patřil. Jediná Alena určila časy správně a příklad vyřešila. Musím podotknout, že se během řešení přehlédla a na dalším řádku chybně opsala číslo z předešlého řádku (10922,33 místo 10922,85), ve výsledku úlohy to ale nehrálo

23 Tzn. vyjádření jiné veličiny než dráhy ze základní podoby rovnice „s = v * t“

57

významnou roli a toto přehlédnutí (z nepozornosti) nemohu (ještě vzhledem k řešení a chybám ostatních žáků) považovat za chybu. Lucie a Petr dospěli k chybnému výsledku, zbylí řešitelé příklad nedopočetli. Petr, Karel a Honza si navíc sestavili zbytečně komplikovanou rovnici, ve které se ztráceli. Když jsem s nimi posléze procházela jejich rovnice, nebyli mi schopni popsat jednotlivé kroky, které je k takovým rovnicím vedly, dokonce ani nezdůvodnili některé údaje v rovnici. Zkoušeli tedy víceméně náhodně sestavit „nějakou“ rovnici, která by se hodila na základní vzoreček a zároveň by obsahovala zadané údaje.

U úlohy 3.2 jsem objevila pouze dva chybně vyřešené příklady – jeden díky špatné „modifikaci vzorečku“.24 Druhou chybou bylo pouhé sčítání zadaných časů bez jejich násobení příslušnými mílemi – tuto chybu udělala Lucie.

Ve třetí sérii byla 4 chybná řešení, chyba nastala pouze v převodu veličin (u Jany, Pavla, Petra a Karla).

Co se týče typů chyb v jednotlivých příkladech, musím podotknout, že je celkem

logické, že některé z chyb nemůžeme v některých příkladech najít, protože pokud např. máme v jednom příkladu zadávanou veličinu času v hodinách a dráhy v kilometrech, nemůže zda nastat chyba v převádění jednotek, zatímco když v dalším příkladu zadáme čas v minutách, již je třeba jej převést. To jsou právě věci, které komplikují úlohy.

Nyní se pokusím shrnout získané údaje o charakteru chyb žáků. Ke špatnému určení typu úlohy došlo celkem 8x, tj. 8,62% ze všech chyb (z toho

v celé druhé sérii u Lucie, 2x u Petra, jednou u Pavla a Jany). Problém s vyjadřováním jiné veličiny než dráhy nastal celkem 4x = 6,9% (z toho 3x u Honzy a jednou v Pavla). Ke špatnému určení času (tzn. přiřazení správnému aktérovi) došlo ve 23 případech, a to pouze u první a třetí série, celkem to tedy zabírá 39,66% všech chyb. K numerické chybě došlo v 11 (18,97%) případech (z toho 9x v první sérii, kdy se jednalo spíše o „úpravu“ výsledku z nesmyslného záporného na kladný). Tato chyba se opakovala 4x u Petra, 3x u Pavla a Karla, a jednou se vyskytla u Jany. Problém s převáděním jednotek nastal 9x (tj. 15,52%). Myslela jsem, že se jedná o chybu typickou pro některé z žáků. To se mi potvrdilo jen u Lucie (nastalo to ve dvou případech) a Karla (ten takto chyboval třikrát). Honza, Pavel, Jana a Petr takto chybovali pouze v úloze 3.3. Lucie se svou chybou, kdy nedospěla k žádnému vztahu mezi dráhami při řešení příkladů 2. série představuje 6,9% chybně vyřešených úloh, Pavel a Honza (úloha 2.1) s přiřazením výsledků opačnému aktérovi pak zabírají 3,45% chyb.

Pokud se podíváme na výsledky – resp. na procentuální vyjádření zastoupení typů

chyb ze všech chyb, dostává se do popředí s 39,66% zastoupením chyba v podobě špatného určení času. Žáci tedy mají největší problém s přiřazením času správnému aktérovi. Na významnost tohoto problému poukazuje i fakt, že Alena, která vyřešila nejvíce úloh ze všech žáků správně (jako jediná dokonce vyřešila úlohu č. 3.1) měla s tímto přiřazováním problém. Díky tomu chybovala ve 3 úlohách první série. Jako další představuje největší % podíl typ numerické chyby – ve více jak 80% se ale jednalo o zamaskování chybného výsledku u první série, což souvisí s problémem přiřazování času (proto docházelo v těchto řešeních k chybě a někteří žáci se ji snažili zamaskovat změnou záporného znaménka výsledku na kladné). Ze 17 chybných řešení se toto zamaskování objevilo v 9 případech. To činí přes 50%, tudíž přes polovinu z těchto chybně vyřešených úloh. Troufám si říci, že když si někteří žáci neví rady na konci řešení příkladu kdy dostávají absolutně nesmyslný

24 Pavel si chybně vyjádřil ze základního vzorečku veličinu „t“.

58

výsledek, a jsou jaksi líní hledat kde se dopustili během řešení chyby, raději udělají absurdní krok na konci (nestydí se např. napsat, že „3-5=2“), aby tak dospěli k přijatelnějšímu výsledku. Pak spoléhají na náhodu – pokud se totiž ve výsledku jedná o celé, kladné číslo, které je reálné vůči stavu, ve kterém se aktéři úlohy nacházejí, proč by se nemohlo jednat o správné řešení.

Poté nastal ještě problém s převodem jednotek, což představuje 15,52% chyb.

V první sérii k tomu došlo pouze jednou, ve druhé pak ve třech případech, a ve třetí sérii to vedlo k chybným výsledkům u 4 řešitelů př. 3.3. Proč bylo nejvíce chyb v př. 3.3 si troufám odůvodnit tím, že právě v tomto případě bylo zadáváno více veličin v různých jednotkách, zatímco v první sérii se to týkalo pouze př. 1.2 (údaj 30 minut) – to se týkalo mimochodem Lucie, která měla problém v převádění ve všech sériích úloh. Ve druhé sérii byla pravděpodobnost výskytu chyby též o něco nižší, protože bylo třeba převést méně veličin než u série č. 3. 25

Odpověď na mou otázku tedy zní, že pro žáky je problémem vysoudit ze

sémantické podoby úlohy vztah mezi aktérem a časem, za kterou onu trasu urazí, respektive nalezení správného časového vztahu pro toho správného aktéra. To činilo žákům největší potíže a osobně to považuji za největší problém při řešení. Původně jsem se domnívala (po zkušenosti z předvýzkumu), že daleko větším problémem bude rozpoznání typu úlohy popř. vysouzení správného tvaru vzorečku pro jinou veličinu než dráhu „s“, ale jak jsem se mohla nyní přesvědčit, toto je závažnější.

7.2.5 Kompletní shrnutí všech třech sérií Jak dopadly výsledky jednotlivých sérií? Vyskytoval se někde vyšší počet

chyb? Byl některý z příkladů pro žáky obtížnější než jiné? V čem mohla tato obtížnost spočívat? Je jedna z fyzikálních veličin hlediska řešení úloh problematičtější? Pokud ano, o kterou se jedná a na základě čeho se to domnívám?

Porovnala jsem výsledky jednotlivých sérií úloh, a to na základě správně a chybně

uvedených řešení. 26 Ještě předtím jsem se však zaměřila na poměry správných a chybných řešení v jednotlivých sériích. Níže uváděná čísla jsou tedy poměrem mezi správným a chybným řešením té které úlohy. Typy chyb (jejich zastoupení) jsem zmínila výše, nyní se pokusím zodpovědět tyto otázky. Obtížnost příkladů jsem vysuzovala právě z hlediska počtu chyb (tzn. kolik žáků příklad vyřešilo správně, kolik chybně).

První sérii řešilo 6 žáků, ostatní dvě série po 7 žácích. Karel během první série

neřešil příklad 1.4.27 Vzhledem k tomu, že ho řešil chybně nejprve na začátku své práce a poté tu samou chybu opakoval na konci práce,28 mohu říci, že se nejednalo o korekturu

25 U př. 2.2 byla dvakrát zadána rychlost v km/min, zatímco v př. 3.3 se jednalo o 4 veličiny -

dvakrát metry na kilometry, po jednom minuty a sekundy na hodiny. 26 Tzn. že jsem vždy z celkové počtu řešených příkladů dané série odvodila na základě získaných dat o chybách chybovost v % (např. pokud jsem získala celkem 23 řešení a z toho je 15 chybných, pak chyby zastupují cca 65% celku). 27 ,Místo toho dvakrát řešil příklad 1.3. 28 Obě chyby se snažil zakrýt stejným způsobem - vymazáním záporného znaménka před výsledkem.

59

chybného řešení, ale o pouhý omyl, kdy se domníval, že př. 1.4 již řešil a tudíž mu jako poslední zbývá př. 1.3. Honza první sérii neřešil vůbec. 29

Série č. 1

V této sérii jsem celkem získala 23 30 různých řešení, z toho 15 jich bylo chybných. Největší problém dělaly žákům př. 1.2 a 1.3 (skóre správného a chybného řešení bylo 1:5), následoval příklad 1.1 (2:4), jako nejsnazší se pak jevil příklad 1.4 (skóre bylo 3:1) – jaký by však byl výsledek, kdyby ho Karel také řešil, netuším.

Série č. 2

Ve druhé sérii jsem získala 28 řešení, z toho jich bylo 12 chybných. Nejvíce chyb bylo hned v příkladě 2.1 (3:4), v dalších dvou příkladech bylo po třech chybách (4:3) a příkladě 2.4 bylo skóre správného a chybného řešení 5:2. Vliv na výsledek této série měla bezpochyby Lucie, která chybovala ve všech 4 úlohách.

Série č. 3

Získala jsem celkem 21 řešení 3.série, 12 jich bylo chybných. Polovinu z nich představoval př. 3.1 (1:6), příklad 3.2 dopadl z této série nejlépe (5:2) a příklad 3.3 se umístil mezi prvním a druhým (3:4).

Po zhodnocení jednotlivých sérií vplývá, že z hlediska chybovosti se zdál být

nejobtížnějším př. č. 3.1 (který nevyřešilo 6 žáků), následuje př. č. 1.2 (nevyřešilo jej 5 žáků), poté 1.1 a 3.3 (chybovali 4 žáci).

Z opačného pohledu jako nejméně obtížné pak vyšly úlohy 2.4 a 3.2 (5 správných řešení), a za nimi následuje 2.2 (4 správná řešení).

Zbylé úlohy můžeme považovat za středně obtížné.

Chyby v první sérii představují celkem 65,2% veškerých řešení. Jako druhá v pořadí se umístila série č. 3 (57,1% chyb z celku) a nakonec vychází série č. 2 (46,4%). Žáci se během řešení úloh celkem dopustili 58 chyb. Nejvíce chyb bylo v podobě špatného určení času (tzn. přiřazení správnému aktérovi), což činilo 39,66% všech chyb. V návaznosti na to následovala numerická chyba (v důsledku sémantické korekce záporného výsledku na kladný…) – v 18,97%. Třetím největším problémem byl převod veličin (hlavně časových údajů – z minut a sekund na hodinu), což činilo 15,52% chyb.

Za nejtěžší sérii mohu na základě počtu chyb označit sérii č. 1. Původně jsem předpokládala, že žáci nebudou mít s vyřešením příkladů problémy a pokud by přece jen došlo k chybám pak jsem očekávala chyby jiného charakteru. Domnívala jsem se, že by mohlo dojít k záměně typu rovnice (zde se dráhy rovnají – záměna za vzorečky pro sčítání drah do jedné celkové dráhy), popř. k chybnému vyjádření jiných veličin než dráhy ze základního tvaru vzorečku. O to více mě překvapilo, že tolik žáků v první sérii chybovalo, k záměně typu rovnice přitom došlo jen ve dvou případech (u Petra a Karla) a chybnou modifikaci vzorečku jsem nenalezla ani jednou. Zbylé chyby spočívaly v přiřazování

29 Honza nebyl přítomen v době zadávání této série z důvodu nemoci a poté již nemělo smysl mu tyto příklady zadávat, neboť jsem mezitím procházela s žáky jejich příklady a společně jsme dospívali k správnému řešení. Honzovo postup při řešení by tím tudíž byl ovlivněn. 30 23 proto, že Karla nepočítám do řešení př. 1.4 a ani nemohu znovu hodnotit př. 1.3 neboť postupoval naprosto stejně jako když ho řešil poprvé – pouze by to zkreslilo výsledky ostatních žáků.

60

kratšího času aktérovi, který musel strávit na trase delší dobu a naopak delšího času aktérovi s kratší dobou. Od toho se odvíjely ještě numerické chyby (sémantická korekce chybného výsledku – přeměna záporné hodnoty na kladnou – viz výše). Po porovnání zadaných příkladů jsem dospěla k závěru, že jediným rozdílem 31 byl moment, kdy v prvních třech úlohách vyjede druhý aktér „o X hodin později za prvním aktérem“, zatímco ve čtvrté úloze dorazí druhý aktér „o X hodin dříve do cíle“. V prvních třech příkladech bylo chyb nejvíce, ve čtvrtém chybovali již jen dva žáci. Nejhůře z celé série pak dopadla úloha č. 1.2. Problém vidím v tom, že na rozdíl od dalších úloh série se v zadání ptáme na dva údaje (čas a dráhu), navíc čas je zadán sémanticky („za půl hodiny“) a výsledný čas požadujeme v minutách. Žák má tedy s vyřešením úlohy podstatně více práce, než kdybychom zadali údaje v základních jednotkách (hod, km, km/hod), kdybychom se ptali pouze na jednu veličinu (celkovou dráhu nebo výsledný čas). Pokud bychom se ptali na výsledný čas, pak bychom ho nepožadovali v minutách. Převod veličin žákům nedělal problémy, možná ale bylo v příkladu mnoho faktorů, které museli brát před samotným řešením v potaz a mohlo to ovlivnit špatné vztažení zpoždění ke správnému aktérovi. V úloze č. 1.1 již bylo chyb méně – také se ptáme jen na jednu veličinu (celkový čas), ale opět musím podotknout, že se neptáme přímo, ale sémanticky otázku jakoby ztěžujeme („za jak dlouho“, nikoliv „jaký bude čas“). V úloze č. 1.3 si opět v zadání úlohy můžeme povšimnout sémantické podoby – čas je zde (na rozdíl od ostatních příkladů série) zadáván blíže realitě („V 6 hodin 30 minut… v 10 hodin… v kolik hodin…“). Žáci se tedy musí nejprve dobrat nějakého času „t1“, který musí přisoudit správnému aktérovi, pak musí najít vztah mezi časem „t1“ a „t2“, sestavit si ze zbylých údajů příslušnou rovnici a příklad vyřešit. Na konci jim vyjde určité reálné číslo, to musí vztáhnout k jednomu z časových údajů, přičíst ho k němu a získat výsledný čas (např. „12:00 hodin“). To vše může žáky během řešení natolik ovlivnit, že sice správně učiní všechny tyto kroky, potřebné k samotnému řešení, ale chybují ve vztahu mezi aktéry a jejich časy v kvazialgebraické podobě. 32

Nejvíce chybných řešení jsem nenalezla, v první sérii, ale v sérii třetí – jednalo se o

př. č. 3.1, Zde se jednalo o opravdu komplikovanou úlohu, sémantická rovina činí příklad hodně obtížným, žáci nedokázali najít časové vztahy mezi aktéry, sestavovali si chybnou, někdy zbytečně komplikovanou rovnici a příklad buď vyřešili chybně, anebo řešení vzdali. Jak se mi podařilo zpětně zjistit, pokud je nějaký příklad hodně obtížný a žáci mají omezený čas na jeho řešení, nejprve se pokusí o nějaké řešení a když se jim to nepodaří, jednoduše ho škrtnou a jdou řešit další úlohu. Když dostali zadání třetí série, úlohy s nejprve zběžně pročetli a pak se pustili do samotného řešení, někteří ho zkusili vyřešit na počátku (3 žáci), někteří uprostřed (také 3 žáci) a Lucie se pokusila příklad řešit až nakonec.

Na páté pozici se z hlediska chybovosti umístila úloha č. 3.3. Zde se vyskytovaly

chyby, jejichž výskyt jsem (již během volby této úlohy do práce žáků) předpokládala - převod jednotek. Žáci občas zapomenou převést veličinu na základní jednotky, anebo ji převedou chybně. Zrovna v této úloze k tomu docházelo nejčastěji – to proto, že ke správnému řešení bylo třeba převést celkem 2 dráhy (z metrů na km) a 2 časy (z minut a ze sekund na hodiny). V žádném z předešlých příkladů nenajdeme nutnost celkem 4 převodů jednotek. Musím uznat, že se ani jednou nestalo, že by někdo nepřevedl ani jednu z veličin. Žáci samozřejmě některé veličiny převedli, ale tím, že to museli učinit vícekrát jak jednou,

31 Kromě odstupňování obtížnosti z mého subjektivního pohledu – tzn. postupného komplikování sémantické roviny, zadávání veličin v odvozených jednotkách… . 32 „t1 = t2 + x“, popř. „t1 = t2 – x“, kdy X představuje určitý časový údaj ze zadání úlohy.

61

docházelo k větší chybovosti (domnívám se, že z nepozornosti). Přitom k chybnému převedení metrů na km (špatné posunutí desetinné čárky) došlo pouze ve dvou případech (u Pavla a Jany), zatímco s veličinou času nastal problém celkem 6x. Ve třech případech došlo k počítání s hodnotou v takovém tvaru, jak vyplývá ze zadání (dvakrát u Pavla, jednou u Petra), a ve dvou případech nastala chyba během převádění – a v obou případech se jednalo o převod sekund na hodiny (u Petra a Karla). Pokud to porovnám s dalšími sériemi, v úloze 1.2 a 2.3 docházelo také chybám během převádění času. V 1.2 se to stalo pouze u Lucie, která nepřevedla minuty na hodiny, v př. 2.3 byly zadány rychlosti v kilometrech za minutu, Lucie a Honza nepřeváděli, Karel převáděl na km/hod chybně. Zrovna u tohoto příkladu jsem si v jednotlivých řešeních všimla, že např. pro Petra bylo daleko schůdnější převést si údaj o dráze (kilometry na metry). 8. ZÁVĚR

Na počátku výzkumu jsem se zaměřila na hodiny matematiky v 9. třídě. Po

odhalení problémové oblasti ve slovních úlohách o pohybu jsem se již zaměřila na tuto část látky. V předvýzkumu jsem získala obecná data ze dvou prací, která jsem vyhodnotila. Předvýzkum byl pojat povrchově. Během dalšího výzkumu jsem nasbírala data nová, kdy jsem se zaměřila na vybrané žáky a snažila se proniknout do podstaty problému. Jednalo se o kvalitativní výzkum.

Během výzkumu jsem dospěla k závěru, že ke správnému řešení je třeba dospět na

určitou vývojovou úroveň. Předpokladem samotného řešení úlohy je schopnost žáka dobře „přečíst“ zadání příkladu, a to na obou dvou rovinách – sémantické i matematické. Zároveň je zapotřebí dosáhnout určitého stupně řešení úloh v matematické gramotnosti. Analýza dat, které jsem nasbírala během výzkumu, mi pomohla odhalit odpovědi na některé otázky, které jsem si zpočátku kladla.

Žáci řeší úlohy v různém pořadí, bez ohledu na pořadí ze zadání, neprokázalo se mi

však, že by mělo zachovalé či zpřeházené pořadí významnější vliv na správnost řešení. Pokud se žáci dopouštěli chyb, pak se tak víceméně dělo již během samotného zápisu úlohy, nikoliv až během řešení jako takového.

Žáci si zapisují zadaní veličiny v různém pořadí, nekopírují tedy doslovné sémantické zadání úlohy. Nejčastěji se na prvních místech zápisu objevují údaje o rychlostech aktérů bez ohledu na pořadí těchto veličin v textu úlohy. Žáci tedy nedodržují pořadí veličin vyplývající z textu úlohy. Nemyslím že by to však více či méně přispívalo ke zvýšené chybovosti. Údaje o rychlostech jsou pro žáky patrně z textu úlohy nejčitelnější, nejzřetelnější, a tudíž si je hned zapíší. Pak teprve nacházejí další veličiny a vztahy.

Z pomocných systémů je podle mě nejvýznamnějším zápis v podobě numerické a slovní kombinace – u tohoto pomocného systému se vyskytla nejmenší chybovost (napomohl k více jak polovině správných řešení).

Nejvíce chyb nenastalo takového charakteru, jaký jsem (na základě zkušenosti

z předvýzkumu) očekávala. Některé z chyb se týkaly výhradně jedinců (kdy se jeden typ opakoval v řešení různých úloh), ale některé z nich se opakovaly u více žáků, popř. se vyskytovaly v některých úlohách daleko častěji. Největší potíže při řešení úloh dělaly žákům vztahy, týkající se údajů o čase, v návaznosti na tento problém jsem objevovala numerické chyby – žáci prováděli sémantickou korekci nesmyslného řešení a za cenu úmyslné banální numerické chyby na samotném konci řešení se snažili zakrýt problém,

62

který ve skutečnosti vedl k chybnému řešení. Poté se objevoval problém s převodem veličin.

Ze získaných poznatků mi vychází, že problém s převodem veličin nastává zejména u časových údajů. Stejně tak chyby, které se týkaly ve většině případů první série, vyplývaly z časových vztahů. Žáci mají tedy problém s časovými údaji. Roli zde hraje nejen zadávání v odvozených jednotkách, v podobě „reálného času“33, či na sémantické úrovni34. Významnou roli hrají v zadání samotné úlohy příslovce jako dříve či později. 35Tento problém pak logicky nemohl nastat v druhé sérii, protože ve všech 4 úlohách vyráží aktéři proti sobě současně (tzn. ve stejném čase, kdy „t1 = t2“). V úloze 3.1 je zase více časových údajů než v předešlých úlohách, což pravděpodobně sehrálo roli při vysoké chybovosti.

Na samotný závěr musím podotknout, že výzkumný vzorek byl opravdu velmi malý, takže získané poznatky nemohu brát jako nějaké zákonitosti, které se vyskytují u všech žáků 9. a vyšších tříd. Tyto závěry by tedy bylo vhodné podrobit dalšímu výzkumu s mnohonásobně větším počtem respondentů. Nakonec bych ráda poděkovala PhDr. Rendlovi za přínosné odborné konzultace.

LITERATURA

COUFALOVÁ JANA, PĚCHOUČKOVÁ, ŠÁRKA, HEJL, JIŘÍ, LÁVIČKA, MIROSLAV.: Matematika pro 9. ročník základní školy. PRAHA : nakladatelství Fortuna, 2000.

PIAGET, J.: Psychologie inteligence. Praha : SPN, 1970. PIAGET, J., INHELDEROVÁ, B.: Psychologie dítěte. Praha : Portál, 1997.

VÁGNEROVÁ, MARIE: Vývojová psychologie – dětství, dospělost, stáří. Praha : Portál, 2000.

LANGMEIER, J., KREJČÍŘOVÁ, D.: Vývojová psychologie. Praha : Grada Publishing 1998.

RENDL, MIROSLAV: Poznámky ke struktuře a sémantice slovních úloh od 4. do 6. třídy. Výzkumná zpráva, UK – PedF.

(PIAGET, JEAN: The child’s conception of movement and spped. G.E.T. Holloway and M.J. Mackenzie. London : Routledge and Kegan Paul, 1970.)

33 Pod tímto pojmem mám na mysli např. „12:00“ – tzn. tak jak je to ve skutečnosti na digitálních hodinách. 34 Např. „dvě hodiny“. 35 V první sérii se mi potvrdilo, že většině žáků včetně Aleny, která vyřešila správně ostatní dvě série, dělalo daleko více problémů slovo později nežli dříve. Dorazit někam dříve jim napomohlo k nalezení správného vztahu mez časem „t1“ a „t2“, zatímco v úlohách se slovem později byla chybovost daleko vyšší.

63

PŘÍLOHY

příloha 1 zadání úloh a statistické zpracování dat z předvýzkumu příloha 2 zadání příkladů výzkumu a vzorové řešení problematické úlohy 3.1 příloha 3 kopie jednotlivých prací vybraných žáků

příloha 1 zadání úloh a statistické zpracování dat z předvýzkumu zadání příkladů písemné práce z předvýzkumu

1)

3 7 4

x – 9

= x

- x + 12

2) Petr kupuje v cukrárně na oslavu svých narozenin bonbóny pro celou třídu: „Dejte mi

tyhle, co stojí 150 Kč za 1 kg a k tomu ještě ty po 100 Kč za 1 kg. Mám na to ale jen 60 Kč.“ „A stačí ti půl kilogramu?“ ptala se prodavačka. Petr souhlasil a za chvíli spokojeně odcházel s nákupem. Jaké množství každého druhu bonbónů mu prodavačka namíchala?

3)Sestry Hanka a Věra jezdí většinou k babičce na kole. Hance trvá cesta 30 minut.

Věře 20 minut. Za jak dlouho dohoní Věra Hanku, když vyjede z domova o pět minut později než Hanka?

4)

3x 4 2x

x

-

1

= x+ 1

5) Z Plzně do Prahy jedou dvě auta. První se pohybuje průměrnou rychlostí 80km/h,

druhé 110km/h. První auto vyjelo o 15 minut dříve než druhé. Jak daleko od Plzně se budou auta předjíždět?

četnost chyb písemné práce předvýzkumu

V příkladu číslo 1 chybovaly 4 děti (4., 9., 13. a 16.). U příkladu č. 2 udělalo chybu 5

dětí (2., 7., 8., 13. a 19.). Třetí příklad nevyřešilo 8 dětí (4., 5., 8., 10., 13., 15., 17. a 19.). Chybné řešení příkladu č. 4 mělo 5 dětí (1., 5., 9., 13. a 15.) a příklad č. 5 mělo špatně 10 dětí (2., 5., 8., 10., 11., 12., 13., 15., 17. a 19.). 5 dětí mělo všechny příklady správně.

zadání příkladů zadané práce z předvýzkumu

1) Mirek v sobotu večer přemluvil Karla, že se v neděli vydají na dálkový pochod

dlouhý 30 km. Druhý den nelenil a vyrazil v 7 hodin ráno průměrnou rychlostí 6 km/hod. Karel zaspal jako obvykle, ale nechtěl se nechat zahanbit. Rozhodl se tedy, že časový deficit dožene na kole. Vzhledem k rychlosti 15 km/hod. nebylo ani tak moc znát 60minutové zpoždění. Karel Mirka dohnal a ten se divil, že to stihl tak rychle. V kolik hodin to bylo?

2) Autobus ujel rychlostí 60 km/hod. 1 km z nedaleké vsi. Tam se ale v tu samou

dobu objevil Milan s babičkou. Když zjistili, že už je autobus pryč, rozhodli se dohonit ho na

1

Milanově motorce na další zastávce, vzdálené 3 km. Vše se nakonec povedlo a babička mohla přestoupit do autobusu. Jak rychle musel Milan jet?

3) V 10 hodin vyjely proti sobě z měst vzdálených 240 km Ford a Fiat. Ford jel

průměrnou rychlostí 70 km/hod. Jakou rychlostí jel Fiat, když se srazily na křižovatce v 11:30?

4) Z Paříže vyrazil v 8 hodin vlak do Ženevy. V tu samou dobu odjížděl vlak

opačným směrem rychlostí 140 km/hod. Čekalo ho 480 km jízdy. Jak daleko od Paříže se vlaky míjely? Pařížský vlak jel o 9/7 rychleji než vlak ze Ženevy.

5) Jednoho dne se Karkulka rozhodla navštívit svoji babičku, která bydlí ve

nedalekém lese. Vydala se za ní po ránu průměrnou rychlostí 4 km/hod. Po 1800 sekundách se probudil ve své lesní noře vlk a vydal se z lesa vzdáleného 4,5 km na svůj obvyklý lov. Šel o ½ rychleji než šla Karkulka. Karkulka si potřebovala cestou odpočinout, a tak se na chvíli posadila na pařez na lesní mýtince. Jak to tak bývá, přišel tam i vlk. Jak daleko byla mýtinka od vlkovy nory?

četnost chyb zadané práce z předvýzkumu

Dvakrát se objevilo špatně opsané zadání příkladu, dvakrát došlo u př. č. 4 k počítání s2 místo s1. Celkem 7x se vyskytla chyba, spočívající v použití správné kombinace vzorečků (záleží na tom, o jaký typ příkladu se jedná – zda jsou aktéři proti sobě či za sebou). 4x se objevily špatné modifikace použitých vzorečků (jednou dokonce u žáka, který obdobnou chybu včas opravil v jiném příkladě). Dva žáci si špatně dopočítali v2 u př. č. 5, 2 žáci zaměňovali v počítání u př. č. 2 t01 za t1. Dvakrát nedošlo k převedení času z minut na hodiny, ale jeden z žáků chybu včas opravil.

užití pomocných systémů

Během procházení jednotlivých řešení zadaných příkladů jsem zaznamenala, že během výkladu používané pomocné systémy se ve většině případů vůbec neobjevují. Vycházela jsem z 67 rozličných řešení zadaných úloh (pokud bychom počítali, že všichni žáci naznačili řešení u všech úloh, dospěli bychom k číslu 70 – ve 3 případech se však řešení neobjevilo). Pomocný systém v podobě tabulky jsem objevila pouze u jednoho žáka, který jej použil ve všech 5 příkladech. Vztáhneme-li výsledek k celkovému počtu, tvoří to pouhých 7,47 %. Grafické znázornění v podobě osy je na tom o trochu lépe, vzhledem k celku 67 příkladů tvoří 20,9 % (objevilo se ve 14 řešeních). Zkouška se nevyskytla ani v jednom postupu. Ráda bych v následné práci tento fakt více prozkoumala.

použití tabulky: použití časové osy:

93%

7%

79%

21%

2

Statistické zpracování předešlého výzkumu Pro lepší přehlednost výskytu chyb bylo zavedeno hodnocení v podobě známek (1-5). Ze

statistického zpracování jsou jasně zřetelné některé zjištěné údaje (např. obtížnost jednotlivých úloh nebo typy nalezených chyb).

hodnocení

1. písemná práce

obměna absolutní

četnosti relativní četnosti

validní relativní četnosti

kumulativní relativní četnosti

1 8 32% 40% 40% 2 2 8% 10% 50% 3 6 24% 30% 80% 4 3 12% 15% 95% 5 1 4% 5% 100% 0 5 20% -

2.samostatná práce

obměna absolutní

četnosti relativní četnosti

validní relativní četnosti

kumulativní relativní četnosti

1 1 4% 7,14% 7,14% 2 3 12% 21,43% 28,57% 3 2 8% 14,29% 42,85% 4 7 28% 50% 92,85% 5 1 4% 7,14% 100% 0 11 44% - -

typy chyb, které se u žáků vyskytují

písemná práce

chyby v příkladech absolutní četnosti

relativní četnosti

rovnice 9 28,125%

směsi 5 15,625%

pohyb 18 56,25%

celkem: 32 100% 1 2 3

03

6

9

12

15

18

rovnice28%

směsi16%

pohyb56%

3

samostatná práce

typy chyb absolutní četnosti

relativní četnosti

chybné opsání zadání 2 6,6%

záměna neznámé 12 40%

rozpoznání typu příkladu1 7 23,3%

modifikace vzorečku2 4 13,3%

špatný mezipočet 2 6,6%

zaměnění času (t01 za t1) 2 6,6%

převod času3 1 3,6%

0123456789

101112

záměna neznámé

40%rozpoznání typu př.

23%

modifikace vzorečku

13%

zaměnění času 7%

převod času3%

chybné opsání zadání

7%špatný mezipočet

7%

1 Jako chyba v podobě rozpoznání typu příkladu je situace, kdy jedou aktéři slovní úlohy za sebou (dráhy se sčítají), zatímco žák je řeší jakoby jeli proti sobě (dráhy se rovnají), a naopak. 2 Modifikace vzorečku nastává v situacích, kdy žák sice ví, že s = v * t, ale při vyjadřování jiné veličiny než dráhy (s) dělá zásadní chybu např. v podobě t = s * v.

3 Chybné převedení času nastává v příkladech, kdy je např. zadání slovní úlohy v minutách, a žák hodnotu nepřevede dobře na hodiny.

4

příloha 2 zadání příkladů výzkumu a vzorové řešení problematické úlohy 3.1 zadání 1. série

1.1 Za cyklistou jedoucím průměrnou rychlostí 20 km/h vyjede z téhož místa o 2

hodiny později auto rychlostí 60 km/h. Za jak dlouho dohoní auto cyklistu? 1.2 Turista šel rychlostí 5 km/h. za půl hodiny za ním vyjel po stejné trase cyklista

průměrnou rychlostí 20 km/h. Za kolik minut dohoní cyklista turistu a kolik kilometrů ujede? 1.3 V 6 hodin 30 minut vyplul z přístavu parník plující rychlostí 12 km/h. Přesně

v 10 hodin za ním vyplul motorový člun, který plul průměrnou rychlostí 40 km/h. V kolik hodin dohoní člun parník?

1.4 Nákladní auto jelo průměrnou rychlostí 20 km/h a vyjelo z Prahy směrem

k Liberci. Současně s ním vyjel autobus, který jel průměrnou rychlostí 30 km/h a který přijel do Liberce o 2 hodiny dříve než nákladní auto. Jaká je vzdálenost mezi Prahou a Libercem? zadání 2. série

2.1 Z míst A a B, vzdálených od sebe 210 km, vyjely současně proti sobě dva

kamiony rychlostmi 40 km/h a 30 km/h. Kdy a kde se potkají? 2.2 Dva turisté, z nichž jeden ujde za hodinu 5 km, druhý 6 km, vyjdou v 7:00 ráno

proti sobě z míst, vzdálených od sebe 38,5 km. V kolik hodin se potkají? 2.3 Cesta vedoucí z vesnice na vrchol hory je 12 km dlouhá. Z vrcholu i z vesnice

vyjdou současně dva turisté, z nichž vystupující urazí 60 m a sestupující 90 m za min. Za jak dlouho se potkají?

2.4 Autobus vyjel z Prahy do Mariánských Lázní průměrnou rychlostí 36 km/h.

Současně s ním vyjelo z Mariánských Lázní směrem do Prahy auto rychlostí 52 km/h. Po 90 min byla obě vozidla od sebe vzdáleno 30 km. Jaká je vzdálenost obou měst, jestliže se vozidla ještě nepotkala?

5.3.1 zadání 3. série

3.1 Osobní automobil Mercedes s ožralým fotbalovým reprezentantem vyjede v čase

T=0 z Prahy k hraničnímu přechodu Rozvadov. V čase T=40 min vyjede z Rozvadova Audi A8 vezoucí ministra. Mercedes se pohybuje průměrnou rychlostí 160km/h a Audi 145 km/h. Mercedes musí třikrát zastavit policejní kontrole. Policisté požadují úplatek, protože řidič překročil rychlost jízdy. Jednu minutu trvá předání úplatku a tři minuty vyhledání a podepsání plakátu pro policistova syna. Vlivy zrychlení a zpomalení za a před policejní hlídkou zanedbejte. Audi nezastavuje, a to ani na semaforech. Setkají se auta v Plzni? (z Prahy do Plzně je to 90km, a z Plzně na Rozvadov 60km)

3.2 Byl takový normální horký letní středoamerický den. Vinetou odjel někam do

práce a jeho žena Rybana připravovala něco indiánského k obědu. Když tu najednou, kde se vzal, tu se vzal, přijel kovboj Empty Head a Rybanu unesl. Vše se seběhlo rychle, ale přesto

5

to viděl jeden malý indiánský hošík jménem Rychlonožka. Hned vyběhl do nedaleké vesnice, vzdálené asi 2 míle. Běžel rychlostí co míle to 8 minut. V té vesnici bydlel známý Old Shatterhand – přítel Vinnetoua. Jakmile hošík vypověděl, co se stalo, Old Shatterhand vsedl na koně a vyrazil do prérie, aby našel Vinnetoua. Ujel asi 6 mil při rychlosti svého koně míli za 1,5 minuty, když ho potkal. Spolu se hned vydali na osmimílovou zběsile rychlou jízdu za kovbojem Empty Headem. Jednu míli zvládli za 1,2 minuty, Rybanu osvobodili a kovboj dostal co proto. Na vás už jenom je, abyste vypočetli, jak dlouho tato záchranná akce na osvobození Rybany trvala.

3.3 Daleko v Rusku, v jeho širých pláních žil jeden starý muž. Na smrtelné posteli

prosil své tři syny – Vasila, Jurije a Ivana, aby se dobře oženili a unikli tak bídě. Jenže k nejbližšímu stavení to bylo pěkně daleko a než by obešli všechny děvočky na vdávání, byli by z nich staříci. Ještě než otec naposledy vydechl, poradil jim, aby se postavili před chalupu a nazdařbůh vystřelili z luku šíp. Kam šíp dopadne, tam bude jejich budoucí nevěsta. Nejstarší Vasil vystřelil, jeho šíp letěl 40,32 kilometrů celých 0,7 hodiny. A opravdu, když ho Vasil našel, dostal dívku, vedle které se tento šíp zabodl, za ženu. I druhý Jurij dostal dívku, u které přistál jeho šíp letící 37 minut a překonavší přitom 37740 metrů. Nejmladší Ivan měl vždycky smůlu a malou sílu, takže při vystřelení šíp letěl jen 8550 metrů a dopadl za 570 sekund někam do lesa. Přesto se však vydal hledat jemu osudem určenou nevěstu. Jaké bylo jeho překvapení, když uprostřed lesa našel mýtinku s malým a o to ošklivějším rybníčkem, u kterého seděla velká a o to hnusnější ropucha (latinsky ropuchalis fujtajblis). Inu, co se dalo dělat, Ivan ji políbil a dostal ekzém. Vůbec nic se nestalo. To bude asi tím, že jste nevypočetli, který šíp letěl nejrychleji. Až to vypočtete, promění se ropucha v krásnou carevici Natašu Ropuchovnu Žabičkovovou a Ivan si ji vezme za ženu.

Vzorové řešení př. 3.1 Mercedes s ožralým fotbalistou stojí třikrát po 4 minutách, tj. celkem 12 minut. Je jedno, kdy a kde bude stát, k setkání vozidel dojde až potom a zrychlení se zanedbává, takže můžu předpokládat, že vyjel až v čase T = 12 min, Audi vyjelo za 28 minut po něm v „t = 40 min“. To lze přepsat do tvaru, že Mercedes vyjel v „t = 0 min“ a Audi v „t= 28 min“ Auta jedou proti sobě, a za 28 minut = 28/60 hodin (než vyjelo Audi), ujel Mercedes celkem dráhu „s = v * t“, tj. „160 km/h * 28/60 hodin“ tj. „74,66 km“. Nyní máme auta, která „jakoby“ vyrazila současně proti sobě, ale už je dělí jenom vzdálenost: „90 km (Praha - Plzeň) + 60 km (Plzeň-Rozvadov)“ – „74,66 km“ (to, co zatím ujel Mercedes), dohromady „0 + 60 - 74,66 = 75,33 km“. Auta jedou proti sobě: Dráha Mercedesu je „s1 = v1 * t1“ Dráha Audi je „s2 = v2 * t2“ Ale protože se potkají na jednom místě, tak čas jízdy obou musí být stejný, tj. „t1 = t2 = t“. „S1 = v1 * t“ „S2 = v2 * t“

6

Rovnice lze přepsat do jedné, že „s1/v1 = s2/v2“, tj. „s1/160 = S2/145“, lze přepsat na:

„ 145 * s1 = 160 * s2“ A také vím, že součet ujeté vzdálenosti obou aut je 75,33 km, tj.

„s1 + s2 = 75,33“

Mám 2 rovnice o 2 neznámých: 1) „s1 + s2 = 75,33“ 2) „145 * s1 = 160 * s2“ Vyjádřím „s1“ z první rovnice jako: „s1 = 75,33 – s2“ A dosadím do druhé rovnice:

„145 * (75,33 – s2) = 160 * s2“ „10923,33 – 145 * s2 = 160 * s2“ „10923,33 = 305 * s2“ „s2 = 10923,33 / 305 = 35,81 km“

odpověď: „Dráha s2, kterou ujede Audi do okamžiku setkání, je „35,81 km, takže se auta setkají.“ „60 km – 35,81 km = 24,19 km od Plzně směrem k Rozvadovu“ Zkouška: Audi ujede 35,81 km rychlostí 145 km/h za čas t 2 = s2/v2 = 35,814 / 145 = 0,247 hod (14,82 minut) Mercedes jel (i se zastávkami u policistů) o 28 minut delší čas, tj. celkem 14,82 + 28 = 42,82 minut = 0,714 hod Mercedes ujel za 0,714 hod rychlostí 160 km/h dráhu s1 = v1 * t1 = 160 * 0,714 = 114,19 km. Když sečteme obě dráhy, s1 + s2 = 114,19 + 35,81 = 150 km (Vzdálenost Praha – Rozvadov). Kontrola vyšla.

7

příloha 3 kopie jednotlivých prací vybraných žáků Alena

8

9

10

11

12

13

14

Lucie

15

16

17

18

19

20

Jana

21

22

23

24

25

Pavel

26

27

28

29

30

31

32

33

Petr

34

35

36

37

38

39

Karel

40

41

42

43

44

45

46

6.2.7 Honza

47

48

49

50