Univerza v Ljubljani Iz vsebine - Machine Vision …...• Distorzija le če • Lens distortion Geometrijski modeli kamer Zanima nas, kako se točke v prostoru preslikajo (projicirajo)

http://vision.fe.uni-lj.si/

Modeliranje kamere

Stanislav Kovačič

Univerza v Ljubljani

Fakulteta za elektrotehniko

Iz vsebineIz vsebine

• Nastanek slike, osnovno o modeliranju kamere• Image formation, basics of camera modeling

• Direktna linearna transformacija (DLT)• Direct Linear Transform (DLT)

• Kalibracija kamere (DLT, Tsai)• Calibration (DLT, Tsai)

• Rekonstrukcija – “nazaj v prizor”• Reconstruction – back from 2D to 3D

• Še nekaj pogledov na modeliranje kamere• Camera model revisited

• Distorzija leče• Lens distortion

Geometrijski modeli kamerGeometrijski modeli kamer

Zanima nas, kako se točke v prostoru preslikajo (projicirajo) v sliko (Geometric camera modeling)

3D → 2D

object film object filmbarrier

Slide source: Seitz

Prav dobre “slike” na ta način ne moremo pričakovati �

Tako pa že ☺


Centralno projekcijski (perspektivni) modelPerspective projection (pin-hole camera model)

P=(X,Y,Z)

Z

Xfx −=

Z

Yfy −=

O

X

Y

Z

o

f

p

x y

Slikovna ravnina

Image plane

Goriš čna

razdalja

Focal lenght


O

XY

Z

Slikovna ravnina

Image plane

of

P

p

xy

Z

Xfx =

Z

Yfy =

Goriš čna razdalja

Focal lenght

Optično (projekcijsko) središče premaknemo za slikovno ravnino

Perspektivna projekcijaPerspektivna projekcija

Ravne črte ostanejo ravne

Vzporedne premice se sekajo v skupni točki –bežišču (vanishing point)


Koti se ne ohranjajo


Dolžine (razdalje) se ne ohranjajo


Šibko perspektivni model (angl. Weak Perspective)

mXXZ

fx ==

mYYZ

fy ==

• Debelina predmeta majhna v primerjavi z razdaljo, ∆Z << Z.

• Tanki (planarni) predmeti in/ali na primerno veliki razdalji.

• Ortografska (m=1) projekcija s skaliranjem (m < 1).

∆Z

Reference

plane

Image plane

Optical

center


• (Digitalno) sliko sestavlja polje slikovnih elementov (pixels).

• Slikovne koordinate so diskretne, izražene v “pikslih”, (u, v).

XmXZ

f

Z

Xf

Z

Xfxu u

uu

uu

=====λλ

YmYZ

f

Z

Yf

Z

Yfyv v

vv

vv

=====λλ

• Za veliko praktičnih primerov zadostuje,da določimo λu , λv (oziroma fu , fv ) ali mu, mv.

u

v

λu

λv


p

X

Y

Z

P(X,Y,Z)

O

• Položaj točke P v prostoru (koordinate X, Y, Z) smo podajali glede na koordinatni sistem (k.s.) kamerein točko projicirali v slikovno ravnino.

• Koordinatni sistem kamere pa ni direktno dosegljiv.

Coordinate system attached to the camera


• Položaj predmeta (P) raje definiramo v zunanjem –“svetovnem” - referenčnem k.s., v katerem so koordinate (direktno) merljive.

• k.s. npr. definirajo stene/tla prostora, predmet pravilne oblike (kvader), stroj, robot, ...

• Mapping 3D → 2D:• Translate• Rotate• Project

U

V

XY

ZP(X,Y,Z)

O

p(u,v)Camera coordinatesystem

W

World(reference) coordinatesystem


• Parametri kamere (angl. Camera parameters):• Zunanji (angl. Extrinsic, External):

• položaj in smer kamere (k.s. kamere) (position, rientation) glede na poznan zunanji koordinatni sistem (referenčni k.s.)

• Notranji (angl. Intrinsic, Internal):• parametri, ki povezujejo slikovne

koordinate pikslov s k.s. kamere.• Vsega skupaj 11 ali več parametrov:

• premik (translation) (3), zasuk (rotation) (3), • goriščna razdalja (1), (focal length),• optično središče slike (2), (image center),• velikost piksla (2), (pixel size).

• K tem (po potrebi) dodamo še distorzijo leče (angl. Lens distortion):

• odvisno od modela (1 – 5 parametrov).


Direktna linearna transformacija (DLT)Abdel-Aziz & Carara 1971

Direktna linearna transformacijaDirektna linearna transformacija

U

V

O(X0,Y 0,Z 0)

W

p(U,V,0)

o(U 0,V 0,0)

a

b

Načeloma iš čemo preslikavo

T: ℜℜℜℜ3 →→→→ ℜℜℜℜ2

P →→→→ p

O(U 0,V 0,f)

XY

ZP(X,Y,Z)

b = p – oa = P – O


Kolinearnost vektorjev a in b:

b = c a, c > 0 (skalar)

b izrazimo v k.s. kamere, b(U b,V b,Wb)

a izrazimo v zunanjem k.s., a(X a,Y a,Z a)

b = p(U,V,W=0) – o(U 0,V 0,W0=f)

a = P(X,Y,Z) – O(X 0,Y 0,Z 0)

b (U b,V b,Wb) = c R a(X a,Y a,Z a)

R = rotacijska matrika

p–o = c R (P–O)

U

V

O(X0,Y 0,Z 0)

W

p

a

b

o(U 0,V 0,f)

XY

ZP(X,Y,Z)


−−−

=

−−−

0

0

0

333231

232221

131211

0

0

ZZ

YY

XX

rrr

rrr

rrr

c

f

VV

UU

[ ][ ][ ])()()(

)()()(

)()()(

033032031

023022021

013012011

0

0

ZZrYYrXXrc

ZZrYYrXXrc

ZZrYYrXXrc

f

VV

UU

−+−+−−+−+−−+−+−

=−=−=−

)()()( 033032031 ZZrYYrXXr

fc

−+−+−−=

U

V

P(X,Y,Z)

O(X0,Y 0,Z 0)

W

p(U,V,0)

a

b

O(U0,V 0,f)

Zapišimo

p–o = c R (P–O)

v komponentni/matri čni obliki:

O(U0,V 0,0)


)()()(

)()()(

033032031

0130120110 ZZrYYrXXr

ZZrYYrXXrfUU

−+−+−−+−+−−=−

)()()(

)()()(

033032031


ZZrYYrXXrfVV

−+−+−−+−+−−=−

)( 00 vvVV v −=− λ

)( 00 uuUU u −=− λ

Diskretiziramo slikovni koordinati:

Velikost piksla ( λu, λv) - faktorja skaliranja –sta v horizontalni in v vertikalni smeri na splošno različna.

Vstavimo izraz za c v prvi dve ena čbi:

(u0, v0 ) = točka, kjer optična os prebada slikovno ravnino


)()()(

)()()(

033032031


ZZrYYrXXrfuu

u −+−+−−+−+−−=−

λ

)()()(

)()()(

033032031


ZZrYYrXXrfvv

v −+−+−−+−+−−=−

λ

Standardna in bolj pregledna oblika zapisa:

111109

4321

++++++=ZLYLXL

LZLYLXLu

111109

8765

++++++=

ZLYLXL

LZLYLXLv

Li (i = 1,2,...,11) so t.i. parametri DLT

Parametri DLTParametri DLT

D

rfruL

D

rfruL

D

rfruL uuu 13330

312320

211310

1 ,,−=−=−=

( ) ( ) ( )D

ZrurfYrurfXrurfL uuu 033013032012031011

4

−+−+−=

( ) ( ) ( )D

ZrvrfYrvrfXrvrfL vvv 033023032022031021

8

−+−+−=

D

rfrvL

D

rfrvL

D

rfrvL vvv 23330

722320

621310

5 ,,−=−=−=

D

rL

D

rL

D

rL 33

1132

1031

9 ,, ===v

vu

u

ff

ff

λλ== ,

)( 330320310 rZrYrXD ++−=

Ponazoritev izpeljave za Ponazoritev izpeljave za uu

)( 033032031333231

0130120111312110 ZrYrXrZrYrXr

ZrfYrfXrfZrfYrfXrfuu uuuuuu

++−++−−−++−=−

1333231

013012011131211

0

+++

++−++−=−

ZD

rY

D

rX

D

rD

ZrfYrfXrfZ

D

rfY

D

rfX

D

rf

uu

uuuuuu

1

1

11109

0130120111312113332310

+++

+++

++−

+++=

ZLYLXLD

ZrfYrfXrfZ

D

frY

D

rfX

D

rfZ

D

rY

D

rX

D

ru

u

uuuuu

111109

0013012011133301232011310

+++

++++−+−+−

=ZLYLXL

D

DuZrfYrfXrfZ

D

frruY

D

rfruX

D

rfru

u

uuuuu

111109

4321

++++++=ZLYLXL

LZLYLXLu

DLT + distorzija leDLT + distorzija le ččee

111109

4321

++++++=∆+ZLYLXL

LZLYLXLuu

111109

8765

++++++=∆+

ZLYLXL

LZLYLXLvv

• ∆∆∆∆u, ∆∆∆∆v: Distorzija le če (odvisna od u,v)

( ∆∆∆∆u, ∆∆∆∆v) = ( ∆∆∆∆u(u,v), ∆∆∆∆v(u,v))• Modeliranje distorzije prinese 1,2, ali

celo ve č dodatnih parametrov in

nelinearnost.

(Pravzaprav bi morali pisati u = ud+ ∆u)

2D primer2D primer

1109

421

++++=

YLXL

LYLXLu

1109

865

++++=

YLXL

LYLXLv

(Z = 0)

111109

4321

++++++=ZLYLXL

LZLYLXLu

111109

8765

++++++=

ZLYLXL

LZLYLXLv

3D -> 2D 2D -> 2D


• Kalibracija kamere (Angl. Camera Calibration)• Metoda 1 (DLT)

• Določitev parametrov preslikave• Rekonstrukcija - določanje koordinat točk v

prostoru.• Metoda 2 (Tsai)


Kalibracija - Metoda 1 (DLT)

DLT enaDLT ena ččbe (be ( šš e enkrat)e enkrat)

U

V

XY

ZP(X,Y,Z)

O(X0,Y 0,Z 0)

W

p(u,v,0)

o(u 0,v 0,0)

a

b

O(U0,V 0,f)

111109

4321

++++++=ZLYLXL

LZLYLXLu

111109

8765

++++++=

ZLYLXL

LZLYLXLv

DLT parametriDLT parametri (( šš e enkrat)e enkrat)

D

rfruL

D

rfruL

D

rfruL uuu 13330

312320

211310

1 ,,:E1−=−=−=

( ) ( ) ( )D


4:E2−+−+−=

( ) ( ) ( )D


8:E4−+−+−=

D

rfrvL

D

rfrvL

D

rfrvL vvv 23330

722320

621310

5 ,,:E3−=−=−=

D

rL

D

rL

D

rL 33

1132

1031

9 ,,:E5 ===v

vu

u

ff

ff

λλ== ,

)(:E6 330320310 rZrYrXD ++−=

DLT kalibracijaDLT kalibracija

Iš čemo neznane vrednosti L i (i=1,2,....,11)

( ) 432111109 1 LZLYLXLZLYLXLu +++=+++

876511109 )1( LZLYLXLZLYLXLv +++=+++

uuZLuYLuXLLZLYLXL =−−−+++ 111094321

vvZLvYLvXLLZLYLXL =−−−+++ 111098765

111109

4321

++++++=ZLYLXL

LZLYLXLu

111109

8765

++++++=

ZLYLXL

LZLYLXLv


=

×

−−−−−−

v

u

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

vZvYvXZYX

uZuYuXZYX

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

10000

00001

• Enačbi točke: poznamo koordinate točke vprostoru in koordinati iste točke v slikovniravnini, iščemo neznane parametre modela.

• Vsaka točka prispeva dve enačbi. • Neznanih parametrov je 11.• Potrebujemo vsaj 6 “kontrolnih” oziroma

“kalibracijskih” točk.• V praksi jih vzamemo (čim)več.


⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

×

−−−−−−

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−−−−−−−−−−−−

n

n

nnnnnnnnn

nnnnnnnnn

v

u

v

u

v

u

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

ZvYvXvZYX

ZuYuXuZYX

ZvYvXvZYX

ZuYuXuZYX

ZuYvXvZYX

ZuYuXuZYX

2

2

1

1

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

222222222

222222222

111111111

111111111

10000

00001

10000

00001

10000

00001

Matr i ka A

Vektor b


[ ][ ] [ ] [ ]

[ ] bAAA

bAAAAAAA

bAAA

bA

T1T

T1T1T

TT

112

L

L

L

L

−

−−

=

=

=

=

T

nx

• Iščemo rešitev predoločenega sistema enačb (več enačb kot neznank).

• Metoda najmanjših kvadratov.

DLT kalibracija, DLT kalibracija, XX00,, YY00,, ZZ00

4030201 LZLYLXL −=++

D

rfruL

D

rfruL

D

rfruL uuu 13330

312320

211310

1 ,,:E1−=−=−=

( ) ( ) ( )D


4:E2−+−+−=

( ) ( ) ( )0

133300

123200

113104 Z

D

rfruY

D

rfruX

D

rfruL uuu −−−−−−=


8070605 LZLYLXL −=++

( ) ( ) ( )0

233300

223200

213108 Z

D

rfrvY

D

rfrvX

D

rfrvL vvv −−−−−−=

( ) ( ) ( )D


8:E4−+−+−=

D

rfrvL

D

rfrvL

D

rfrvL vvv 23330

722320

621310

5 ,,:E3−=−=−=


101101009 −=++ ZLYLXL

D

rL

D

rL

D

rL 33

1132

1031

9 ,,:E5 ===

)(:E6 330320310 rZrYrXD ++−=

D

rZ

D

rY

D

rX 33

032

031

01 ++=−

divide by D


101101009

8070605

4030201

−=++−=++−=++

ZLYLXL

LZLYLXL

LZLYLXL

−−−

=

18

4

0

0

0

11109

765

321

L

L

Z

Y

X

LLL

LLL

LLL

−−−

=

−

18

4

1

11109

765

321

0

0

0

L

L

LLL

LLL

LLL

Z

Y

X

DLT kalibracija, DLT kalibracija, uu00,, vv00

D

rL

D

rL

D

rL 33

1132

1031

9 ,,:E5 ===

( )2

233

232

2312

211

210

29

11

Drrr

DLLL =++=++

Rotacijska matrika R = [rij] je ortogonalna matrika, RT R = I, (ohranja razdalje).

Zahtevamo ortogonalnost rotacijske matrike R

11

square, sum


D

rL

D

rL

D

rL 33

1132

1031

9 ,,:E5 ===

D

rfruL

D

rfruL

D

rfruL uuu 13330

312320

211310

1 ,,:E1−=−=−=

Pogoji ortogonalnosti – ra čunamo uu00

03313321231112

332

322

310

11310291

)()(

))(())(())((

urrrrrrfrrru

DLDLDLDLDLDL

u =++−++=

=++

11 00

multiply by D


D

rL

D

rL

D

rL 33

1132

1031

9 ,,:E5 ===

Pogoji ortogonalnosti – za vv00

03323322231212

332

322

310

11710695

)()(

))(())(())((

vrrrrrrfrrrv

DLDLDLDLDLDL

v =++−++=

=++

D

rfrvL

D

rfrvL

D

rfrvL vvv 23330

722320

621310

5 ,,:E3−=−=−=

11 00


Pogoji ortogonalnosti - uu00, vv00

011710695

011310291

))(())(())((

))(())(())((

vDLDLDLDLDLDL

uDLDLDLDLDLDL

=++=++

211

210

29

1171069511710695

20

211

210

29

1131029111310291

20

)(

)(

LLL

LLLLLLLLLLLLDv

LLL

LLLLLLLLLLLLDu

++++=++=

++++=++=

2211

210

29

1

DLLL =++

DLT kalibracija, DLT kalibracija, R=[R=[ rrijij]]

D

rL

D

rL

D

rL 33

1132

1031

9 ,,:E5 ===

11331032931 ,, DLrDLrDLr ===


D

rfruL

D

rfruL

D

rfruL uuu 13330

312320

211310

1 ,,:E1−=−=−=

D

rL

D

rL

D

rL 33

1132

1031

9 ,,:E5 ===

D

rfLuL

D

rfLuL

D

rfLuL uuu 13

110312

100211

901 ,, −=−=−=

uuu f

LLuDr

f

LLuDr

f

LLuDr

)(,

)(,

)( 311013

210012

19011

−=−=−=


D

rL

D

rL

D

rL 33

1132

1031

9 ,,:E5 ===

D

rfLvL

D

rfLvL

D

rfLvL vvv 23

110722

100621

905 ,, −=−=−=

vvv f

LLvDr

f

LLvDr

f

LLvDr

)(,

)(,

)( 711023

610022

59021

−=−=−=

D

rfrvL

D

rfrvL

D

rfrvL vvv 23330

722320

621310

5 ,,:E3−=−=−=


fu in fv še ne poznamo

uuu f

LLuDr

f

LLuDr

f

LLuDr

)(,

)(,

)( 311013

210012

19011

−=−=−=

vvv f

LLvDr

f

LLvDr

f

LLvDr

)(,

)(,

)( 711023

610022

59021

−=−=−=

11331032931 ,, DLrDLrDLr ===

vv

uu

ff

ff

λλ== ,

DLT kalibracija, DLT kalibracija, fu in fv

Pogoji ortogonalnosti

1])()()[(

2

23110

22100

2190

22

132

122

11 =−+−+−=++uf

LLuLLuLLuDrrr

1])()()[(

2

27110

26100

2590

22

232

222

21 =−+−+−=++vf

LLvLLvLLvDrrr

])()()[( 23110

22100

2190

22 LLuLLuLLuDfu −+−+−=

])()()[( 27110

26100

2590

22 LLvLLvLLvDfv −+−+−=

DLT kalibracija, povzetekDLT kalibracija, povzetek

- Kalibracijski “vzorec” -> XXii ,, YYii ,, ZZii ,(i=1,...,N),(i=1,...,N)

ToToččke ne smejo biti koplanarne.ke ne smejo biti koplanarne.

ToToččke morajo dobro ke morajo dobro ““ pokritipokriti ”” delovni prostor.delovni prostor.

- Slika vzorca, obdelava -> uuii ,, vvii ,(i=1,...,N),(i=1,...,N)

- XXii ,, YYii ,, ZZii ,, uuii ,, vvii ,,LS metoda -> L1,...,L11

- L1,...,L11 -> XX00,, YY00,, ZZ00

- L1,...,L11, ortogonalnost -> uu00,, vv00

-L1,...,L11, uu00,, vv00, ⊥⊥⊥⊥ -> fu, fv

-L1,...,L11, uu00,, vv00, fu, fv ⊥⊥⊥⊥ -> R=[R=[ rrijij]]

Kalibracija,...Kalibracija,...

• Na točnost kalibracije direktno vpliva točnost kalibracijskega vzorca.Praktično pravilo: toleranca vzorca naj bo vsaj za velikostni razred boljša od zahtevane merilne točnosti.

• Kalibracijske točke naj bodo razporejene po vsem prostoru in take, da jih je moč detektirati (v sliki) zanesljivo in točno. Tipičenkalibracijski vzorec je kvader poslikan s šahovnico.

• Posnamemo lahko tudi več slik.

• Še enkrat povejmo:ko je sistem kalibriran, ne smemo ničesar več spreminjati.

Kalibracija,...Kalibracija,...

• Napako kalibracije se da ovrednotiti:

• V slikovnem prostoru: enostavno preslikamo kontrolne točke v sliko in izračunamo srednje kvadratično odstopanje izračunanih od izmerjenih vrednosti.Še bolje da uporabimo kontrolne točke, ki za kalibracijo niso bile uporabljene.

• V zunanjem prostoru: potrebna je rekonstrukcija.

DoloDolo ččanje anje XX,, YY,, ZZ

• Kamera je sedaj “kalibrirana”• Dokler ne spremenimo postavitve (obrnemo obroček na

objektivu, premaknemo kamero, ...

• Določanje položaja predmeta:• Poznamo parametre modela L• Poznamo slikovne koordinate u,v• Iščemo koordinate točk v prizoru X,Y,Z

• DLT model nam slika prostorske koordinate v slikovne.• Rabimo obratno preslikavo. • Kako?

PoloPolo žž aj predmeta aj predmeta XX,, YY,, ZZ

Ponovno obrnemo ena čbi DLT

111109

4321

++++++=ZLYLXL

LZLYLXLu

111109

8765

++++++=

ZLYLXL

LZLYLXLv

uuZLuYLuXLLZLYLXL =−−−+++ 111094321

vvZLvYLvXLLZLYLXL =−−−+++ 111098765

uLZuLLYuLLXuLL −=−+−+− 411310291 )()()(

vLZvLLYvLLXvLL −=−+−+− 811710695 )()()(


V matri čni obliki:

−−

=

−−−−−−

vL

uL

Z

Y

X

vLLvLLvLL

uLLuLLuLL

8

4

11710695

11310291

Vsaka to čka v sliki ( u,v)

prispeva dve ena čbi,

toda prinese tri neznanke (X,Y,Z)


Potrebujemo dodatne omejitve

...

ali ve č informacije


Pomaga ve č slik, ve č (m > 1) kamer

ene in iste to čke v prostoru.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

−−

−−

=

−−−−−−

−−−−−−

m

m

mmm

mmm

vL

uL

vL

uL

Z

Y

X

vLLvLLvLL

uLLuLLuLL

vLLvLLvLL

uLLuLLuLL

8

4

18

14

11710695

11310291

11171106195

11131102191

.

.

...

...

Enačbe spet rešimo z metodo

najmanjših kvadratov


• “Postavimo” (kalibrirane) kamerePotrebujemo vsaj dve sliki (dve kameri)

• Posnamemo slike istega prizoraSedaj imamo več slik istega prizora

• Analiziramo slike (vsako zase) Določimo koordinate “pomembnih” točk v slikah

• Bistven problem: katere točke v teh slikah upodabljajo isto točko prizora?

Problem korespondence – stereo ujemanja (Corespondence problem)

• Stereo primerjanje (Stereo Matching)


Kalibracija - Metoda 2 (Tsai ‘85)

Tsai Tsai -- kalibracijakalibracija

0333231

01312110'

ZZrYrXr

XZrYrXrf

W

Ufuux u

u ++++++−=−=−=

λ

0333231

02322210'

ZZrYrXr

YZrYrXrf

W

Vfvvy v

v ++++++−=−=−=

λ

)()( 01312110232221 XZrYrXrfyYZrYrXrfx iiiuiiiivi +++=+++

Opomba: najprej zasuk, potem premik


)()( 01312110232221 XZrYrXrfyYZrYrXrfx iiiuiiiivi +++=+++

087654321 =−−−−+++ vyvZyvYyvXyvxvZxvYxvXx iiiiiiiiiiiiii

0v =A

Vsaka to čka prispeva eno ena čbo

N to čk -> N ena čb

vu ff

Xvrvrvrv

Yvrvrvrv

/08137126115

04233222211

=========

ααααα


−−−−

−−−−−−−−

=

NNNNNNNNNNNNNN yZyYyXyxZxYxXx

yZyYyXyxZxYxXx

yZyYyXyxZxYxXx

A

........

........22222222222222

11111111111111

0v =A )7(,7)( >== Nrang A

SVD - Razcep na singularne vrednosti

A = U D V T -> Rešitev: v

v: stolpec matrike V za singularno vrednost v matriki D z vrednostjo 0.


],,,,,,,[v 01312110232221 XrrrYrrr ααααγ=

γγ =++=++ )( 223

222

221

223

22

21 rrrvvv

0,)( 213

212

211

2227

26

25 >=++=++ αγααγ rrrvvv

Poznamo 1. in 2. vrstico matrike R

Dolo čimo 3. vrstico kot vektorski produkt prvih dveh

Poznamo rešitev do konstante


],,,,,,,[v 01312110232221 XrrrYrrr ααααγ=

Spet z metodo najmanjših kvadratov

rešimo predolo čen sistem (za N to čk)

Dolo čili smo rotacijsko matriko,

komponenti translacije X 0,Y 0,

manjkata nam še Z 0 in f u

)()( 01312110333231 XZrYrXrfZZrYrXrx iiiuiiii +++−=+++


Spet z metodo najmanjših kvadratov

rešimo predolo čen sistem (za N to čk)

)( 01312110333231 XZrYrXrfZxZrYrXrx iiiuiiiii +++−=+++

iiiiuiiii ZrYrXrxfXZrYrXrZx 33323101312110 )( ++=++++

ja ,2ja ,1 jb

)1()12()2( NxxNx bxA =


Dolo čili smo:

• rotacijsko matriko R,

• komponente translacije X 0,Y 0,Z 0

• ef. goriš čni razdalji f u,f v.

Dolo čimo še opti čni center:

• spet ve č možnosti

LiteraturaLiteratura

• http://kwon3d.com/theory/dlt/dlt.html

• E. Trucco, A. Verri, Introductory Techniques for 3D ComputerVision, Prentice Hall, 1998.

• M. Sonka, V. Hlavač, R. Boyle, Image Processing, Analysis, and Machine Vision, Thomson, 2008.

• R. Tsai, A versatile camera calibration technique for high-accuracy 3Dmachine vision metrology using off-the shelf TV cameras and lenses, IEEE RA-3, No.4, 1987, p.323, 344.

• Z. Zhang, “A flexible new technique for camera calibration”,IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence,22(11):1330–1334, 2000.

Documents

Univerza v Ljubljani Iz vsebine - Machine Vision …...• Distorzija le če • Lens distortion Geometrijski modeli kamer Zanima nas, kako se točke v prostoru preslikajo (projicirajo)