UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID

4º ECONOMÍA

Microeconomía Superior

Tema 4 : Elección bajo incertidumbre

Prof. Juan Gabriel Rodríguez

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID

“La teoría es asesinada tarde o temprano por la experiencia”

A. Einstein

Incertidumbre

conceptos axiomas sobre el consumidor restricciones sobre la estructura de las

funciones de utilidad

Aparecen nuevos:

Conceptos

Estados de la naturaleza

Ejemplo

Existe incertidumbre sobre quién gobernará en U.S. en los próximos cuatro años. Tenemos unos estados de la naturaleza como:

={Rep, Dem}

o quizás como:

={Rep, Dem, Ind}

Ejemplo

Existe incertidumbre sobre quién gobernará en U.S. en los próximos cuatro años. Tenemos unos estados de la naturaleza como:

={Rep, Dem}

o quizás como:

={Rep, Dem, Ind}

probabilidades { | }

consumo contingente { }

Un vector de consumo sobre el espacio

Un vector de consumo sobre el espacio

ex ante antes de la realización

ex post después de la realización

Otro ejemplo

Existe incertidumbre sobre el tiempo. Tenemos unos estados de la naturaleza como:

={sol, lluvia}

o quizás como:

={sol, nublado, lluvia, niebla, nieve...}

Otro ejemplo

Existe incertidumbre sobre el tiempo. Tenemos unos estados de la naturaleza como:

={sol, lluvia}

o quizás como:

={sol, nublado, lluvia, niebla, nieve...}

Distinción ex ante/ex post

tiempo

Momento en el que se revela el estado de la naturaleza

Momento en el que se revela el estado de la naturaleza

Las decisiones se realizan aquí

Las decisiones se realizan aquí

La visión ex ante

La visión ex post

“Momento de la verdad”

La línea del tiempo

Abanico de estados posibles (

Abanico de estados posibles (

Sólo un estado se realiza

Sólo un estado se realiza

Un enfoque simplificado

El espacio de los estados es finito

Se simplifica si los planes de consumo son escalares

El consumo, resultado o premio en el estado de la naturaleza es x (un número real)

Ejemplo: el caso bidimensional

Tomamos = {ROJO,AZUL}

Representación gráfica...

Espacio de los estados (=2)

AZUL

ROJOO

Espacio de consumo bajo incertidumbre con 2 estados de la naturaleza

Un consumo contingente en el caso 1-bien 2-estados

Y0 r

esu

ltado

si

ocu

rre

AZ

UL

resultado si ocurre ROJO

45°

Los componentes de un plan de consumo contingente en el caso de 2 estados

Consu

mos

con

certi

dumbre

per

fecta

Preferencias

El espacio de bienes se ha expandido: Si hay un número N de estados posibles entonces... ...en vez de n bienes tenemos n N bienes

La teoría del consumo se puede aplicar:

Los axiomas estándar sobre las preferencias son apropiados pero requieren una reinterpretación

veamosveamos

Axiomas

’

|

Consecuencialismo (premisa): La utilidad sobre una lotería compuesta depende sólo de las probabilidades netas de los resultados últimos.

Dada una lotería L= (1, L’; 1,2),

donde L’= (1, 2; 1’, 2’). Entonces:

(1, L’; 1, 2) ~ (1, 2; 1+ 2 1’, 2 2’).

Ejemplo

Dada (100,L;0.5,0.5) donde L= (100,50;0.5,0.5)

Es indiferente a (100,50;0.75,0.25)

Aunque hay datos empíricos que muestran que los consumidores se comportan de distinta forma ante estas loterías…

Axiomas

CompletitudTransitividadContinuidadMonotoníaDominancia estocásticaConvexidad (estricta)Diferenciabilidad Independencia

Aseguran la existencia de una función de utilidad

Dan forma a la función de utilidad y a las curvas de indiferencia

Preferencias

sus probabilidades

Los consumos contingentes

{| }

Se establecen sobre:

Si entonces se establecen sobre:

(1, 2; 1, 2)

En lo que sigue, es un número real

Completitud

’

’|

Dados cualesquiera (1, 2; 1, 2) y (1’, 2’;1’, 2’).

Entonces: (1, 2; 1, 2) (1’, 2’; 1’, 2’)

ó (1’, 2’; 1’, 2’) (1, 2; 1, 2)

ó (1, 2; 1, 2) ~ (1’, 2’; 1’, 2’)

Transitividad

’ ’’

’’’|

Dados (1,2;1, 2), (1’,2’; 1’,2’) y (1’’,2’’;1’’,2’’):

si (1, 2; 1, 2) (1’, 2’; 1’, 2’) y

(1’, 2’; 1’, 2’) (1’’, 2’’; 1’’, 2’’)

Entonces: (1, 2; 1, 2) (1’’, 2’’; 1’’, 2’’)

Continuidad

AZUL

ROJOO

Preferencias no contínuas

Y0

Imponemos continuidad

huecoshuecosno huecos

no huecos

Un plan de consumo contingente Y0

E

Buscamos el punto E, posible gracias a continuidadLa renta se conoce como el equivalente de certeza de Y0

Monotonía (débil)

’|

D a d o s c u a le s q u ie ra ( 1 , 2 ; 1 , 2 ) y ( 1 ’, 2 ’; 1 , 2 )c o n 1 > 1 ’ y 2 2 ’ . E n to n c e s :

(1, 2; 1, 2) (1’, 2’; 1, 2)

Monotonía (débil)

’|

D a d o s c u a le s q u ie ra ( 1 , 2 ; 1 , 2 ) y ( 1 ’, 2 ’; 1 , 2 )c o n 1 > 1 ’ y 2 2 ’ . E n to n c e s :

(1, 2; 1, 2) (1’, 2’; 1, 2)

Monotonía

AZUL

ROJOO

El plan de consumo contingente Y1 es estrictamente preferido a Y0 tanto por monotonía estricta como débil

Y1

Y0

Dominancia estocástica

’

|

Dados cualesquiera (1, 2;1, 2) y (1, 2; 1’, 2’)si 1> 2 y si 1’> 1 (y 2’< 2) . Entonces:

(1, 2; 1’, 2’) (1, 2; 1, 2)

Ejemplo: (100,10; 0.7,0.3) (100,10; 0.5,0.5)

Convexidad (estricta)

’|

Dados dos arbitrarios (1, 2;1, 2) ~ (1’, 2’; 1, 2)

(1’’, 2’’) =(t 1+(1-t) 1’, t 2+(1-t) 2’)

(1’’, 2’’; 1, 2) (1, 2; 1, 2) ~ (1’, 2’; 1, 2)

t

Una función de utilidadu

0

U(x1,x2)

x2

x1

Curva de indiferencia

Otra función de utilidad que representa las mismas preferenciasu

0

U*(x1,x2)

x2

x1

La misma curva de

indiferencia

Convexidad (estricta)

AZUL

ROJOO

Dados dos arbitrarios consumos contingentes Y0 e Y1

Y0

Y1

Puntos en el interior de la línea Y0Y1 representan una combinación de Y0 y Y1

Y2 representa un menor riesgo

Si U es estrictamene cuasicóncava Y2 es preferido estrictamente a Y0 e Y1

Y2

Independencia

Sean L, L’, L’’ tres loterias diferentes y (0,1), entonces:

L L’ L + (1-)L’’ L’ + (1-)L’’

La relación de preferencia entre dos loterias es independiente de la valoración de las restantes

Implica estructura lineal y aditiva en probabilidades

Axiomas

Dados los axiomas anteriores:

Existe una función de utilidad U y ésta pertenece a la clase de funciones de utilidad esperada de von Neumann-Morgenstern:

donde u(es una función creciente, independiente del estado

U( u

U es cardinal: solo transformaciones afines (V=a+bU, b>0) representan las mismas preferencias

Paradoja de Allais

Juego 1. Probabilidad 1 de recibir 1 millón.Juego 2. Probabilidad 0,1 de recibir 5 millones, 0,89 de recibir 1

millón y 0,01 de recibir 0.

Juego 3. Probabilidad 0,11 de recibir 1 millón y 0,89 de recibir 0.Juego 4. Probabilidad 0,10 de recibir 5 millones y 0,90 de recibir 0.

Si elijes 1 y 4 o 2 y 3…eres…

¡¡¡IRRACIONAL!!!

U

U(x)

X (riqueza)

Actitudes frente al riesgo

u( x1 )

x1 x2

u(x2)

E(L)

u(E(L))

U(L )

wc

Cantidad que estamos

dispuestos a sacrificar para

eliminar el riesgo

Cantidad que estamos

dispuestos a sacrificar para

eliminar el riesgo

Implicaciones de la función de utilidad esperada de vNM

x2

x1O

¿Cuál es su pendiente sobre la línea de 45º?

Una típica CI

Todas tienen la misma pendiente sobre la línea de 45º

)()1()()( 21 wuwuLU

¿RMS?

Aversión al riesgo

Coeficiente de Arrow-Pratt de aversión absoluta al riesgo:

)('

)(''

wu

wuRA

Coeficiente de Arrow-Pratt de aversión relativa al riesgo:

wwu

wuRA )('

)(''

Algunos casos de interés…

La prima de riesgo

La curvatura de la función de utilidad (aversión al riesgo) y de la dispersión de x1 y x2, dado

Una aproximación de PR:

2)('

)('' 2xu

xuPR

El primer término es el coefficiente de Arrow-Pratt de aversión absoluta al riesgo

Depende de:

Modelo de Cartera

2 periodos 2 activos: seguro e incierto Riqueza w X activo incierto y w-X activo seguro (0 ≤ X ≤ w)

Rendimiento activo incierto e (variable aleatoria): e1 y e2

Rendimiento activo seguro r, donde asumimos e1 > r > e2

¿Cuál será la demanda del cada activo?

La riqueza del periodo 2 :

w1 = X(1+e1)+(w-X)(1+r) = (1+r)w+X(e1-r)

w2 = X(1+e2)+(w-X)(1+r) = (1+r)w+X(e2-r)

Modelo de Cartera

re

wrwX

1

1 )1(

11

2

1

212 )1( w

re

rew

re

eerw

Problema del inversor: Max u(w1)+(1- )w2

s.a.

11

2

1

212 )1( w

re

rew

re

eerw

Si el individuo invierte una cantidad positiva en cada activo (solución interior) y aversión al riesgo: w1

* y w2* se resuelven utilizando la

expresión para w2 y la RMS.