UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID MÁSTER EN CIENCIAS ACTUARIALES Y FINANCIERAS Microeconomía Tema 2 : La demanda con incertidumbre Prof. Juan Gabriel Rodríguez

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID

MÁSTER EN CIENCIAS ACTUARIALES Y FINANCIERAS

Microeconomía

Tema 2 : La demanda con incertidumbre

Prof. Juan Gabriel Rodríguez


“La teoría es asesinada tarde o temprano por la experiencia”

A. Einstein

Otras extensiones del modelo básico...

Modelización de problemas económicos específicos oferta de trabajo (comportamiento) Ahorro

Nuevos conceptos Incertidumbre Información asimétrica

La incertidumbre expande la teoría del consumidor de forma interesante ……

Esquema

Modelización de la incertidumbre

Axiomas

Utilidad esperada

Teoría del Consumo: incertidumbre

Prima de riesgo

Incertidumbre

conceptos axiomas sobre el consumidor restricciones sobre la estructura de las

funciones de utilidad

Aparecen nuevos:

Conceptos

Estados de la naturaleza

Ejemplo

Existe incertidumbre sobre quién gobernará en U.S. en los próximos cuatro años. Tenemos unos estados de la naturaleza como:

={Rep, Dem}

o quizás como:

={Rep, Dem, Ind}

Ejemplo

Existe incertidumbre sobre quién gobernará en U.S. en los próximos cuatro años. Tenemos unos estados de la naturaleza como:

={Rep, Dem}

o quizás como:

={Rep, Dem, Ind}

probabilidades p{p| p}

consumo contingente {x }

Un vector de consumo sobre el espacio

Un vector de consumo sobre el espacio

ex ante antes de la realización

ex post después de la realización

Otro ejemplo

Existe incertidumbre sobre el tiempo. Tenemos unos estados de la naturaleza como:

={sol, lluvia}

o quizás como:

={sol, nublado, lluvia, niebla, nieve...}

Otro ejemplo

Existe incertidumbre sobre el tiempo. Tenemos unos estados de la naturaleza como:

={sol, lluvia}

o quizás como:

={sol, nublado, lluvia, niebla, nieve...}

Distinción ex ante/ex post

tiempo

Momento en el que se revela el estado de la naturaleza

Momento en el que se revela el estado de la naturaleza

Las decisiones se realizan aquí

Las decisiones se realizan aquí

La visión ex ante

La visión ex post

“Momento de la verdad”

La línea del tiempo

Abanico de estados posibles (

Abanico de estados posibles (

Sólo un estado se realiza

Sólo un estado se realiza

Un enfoque simplificado

El espacio de los estados es finito

Se simplifica si los planes de consumo son escalares

El consumo, resultado o premio en el estado de la naturaleza es x (un número real)

Ejemplo: el caso bidimensional

Tomamos = {ROJO,AZUL}

Representación gráfica...

Espacio de los estados (=2)

xAZUL

xROJOO

Espacio de consumo bajo incertidumbre con 2 estados de la naturaleza

Un consumo contingente en el caso 1-bien 2-estados

Y0 r

esu

ltado

si

ocu

rre

AZ

UL

resultado si ocurre ROJO

45°

Los componentes de un plan de consumo contingente en el caso de 2 estados

Consu

mos

con

certi

dumbre

per

fecta

Preferencias

El espacio de bienes se ha expandido: Si hay un número N de estados posibles entonces... ...en vez de n bienes tenemos n N bienes

La teoría del consumo se puede aplicar:

Los axiomas estándar sobre las preferencias son apropiados pero requieren una reinterpretación

veamosveamos

Axiomas

pp’

x|

Consecuencialismo (premisa): La utilidad sobre una lotería compuesta depende sólo de las probabilidades netas de los resultados últimos.

Dada una lotería L= (x1, L’;p1,p2),

donde L’= (x1,x2;p1’,p2’). Entonces:

(x1, L’;p1,p2) ~ (x1,x2; p1+p2p1’, p2p2’).

Ejemplo

Dada (100,L;0.5,0.5) donde L= (100,50;0.5,0.5)

Es indiferente a (100,50;0.75,0.25)

Aunque hay datos empíricos que muestran que los consumidores se comportan de distinta forma ante estas loterías…

Axiomas

CompletitudTransitividadContinuidadMonotoníaDominancia estocásticaConvexidad (estricta)Diferenciabilidad Independencia

Aseguran la existencia de una función de utilidad

Dan forma a la función de utilidad y a las curvas de indiferencia

Preferencias

sus probabilidades p

Los consumos contingentes

{x| }

Se establecen sobre:

Si entonces se establecen sobre:

(x1,x2;p1,p2)

En lo que sigue, xes un número real

Completitud

pp’

xx’|

Dados cualesquiera (x1,x2;p1,p2) y (x1’,x2’;p1’,p2’).

Entonces

Dados cualesquiera (x1,x2;p1,p2) y (x1’,x2’;p1’,p2’).

Entonces:

(x1,x2;p1,p2) (x1’,x2’;p1’,p2’)

ó (x1’,x2’;p1’,p2’) (x1,x2;p1,p2)

ó (x1,x2;p1,p2) ~ (x1’,x2’;p1’,p2’)

Transitividad

pp’ p’’

xx’x’’|

Dados (x1,x2;p1,p2), (x1’,x2’;p1’,p2’) y (x1’’,x2’’;p1’’,p2’’):

si (x1,x2;p1,p2) (x1’,x2’;p1’,p2’) y

(x1’,x2’;p1’,p2’) (x1’’,x2’’;p1’’,p2’’)

Entonces: (x1,x2;p1,p2) (x1’’,x2’’;p1’’,p2’’)

Continuidad

xAZUL

xROJOO

Preferencias no contínuas

Y0

Imponemos continuidad

huecoshuecosno huecos

no huecos

Un plan de consumo contingente Y0

E

Buscamos el punto E, posible gracias a continuidadLa renta se conoce como el equivalente de certeza de Y0

Monotonía (débil)

p

xx’|

(x1,x2;p1,p2) (x1’,x2’;p1,p2)

Monotonía (estricta)

p

xx’|

Dados cualesquiera (x1,x2;p1,p2) y (x1’,x2’;p1,p2)con x1> x1’ y x2 x2’ . Entonces:

(x1,x2;p1,p2) (x1’,x2’;p1,p2)

Monotonía

xAZUL

xROJOO

El plan de consumo contingente Y1 es estrictamente preferido a Y0 tanto por monotonía estricta como débil

Y1

Y0

Dominancia estocástica

pp’

x|

Dados cualesquiera (x1,x2;p1,p2) y (x1,x2;p1’,p2’)si x1>x2 y si p1’>p1 (y p2’<p2) . Entonces:

(x1,x2;p1’,p2’) (x1,x2;p1,p2)

Ejemplo: (100,10; 0.7,0.3) (100,10; 0.5,0.5)

Convexidad (estricta)

p

xx’|

Dados dos arbitrarios (x1,x2;p1,p2) ~ (x1’,x2’;p1,p2)

(x1’’, x2’’) =(t x1+(1-t) x1’, t x2+(1-t) x2’)

(x1’’,x2’’;p1,p2) (x1,x2;p1,p2) ~ (x1’,x2’;p1,p2)

t

Convexidad (estricta)

xAZUL

xROJOO

Dados dos arbitrarios consumos contingentes Y0 e Y1

Y0

Y1

Puntos en el interior de la línea Y0Y1 representan una combinación de Y0 y Y1

Y2 representa un menor riesgo

Si U es estrictamene cuasicóncava Y2 es preferido estrictamente a Y0 e Y1

Y2

Independencia

Sean L, L’, L’’ tres loterias diferentes y (0,1), entonces:

L L’ L + (1-)L’’ L’ + (1-)L’’

La relación de preferencia entre dos loterias es independiente de la valoración de las restantes

Implica estructura lineal y aditiva en probabilidades

Axiomas

Dados los axiomas anteriores:

Existe una función de utilidad U y ésta pertenece a la clase de funciones de utilidad esperada de von Neumann-Morgenstern:

donde u(xes una función cuasicóncava, independiente del estado

U(x p pux

U es cardinal: solo transformaciones afines (V=a+bU, b>0) representan las mismas preferencias

Implicaciones de la función de utilidad esperada de vNM

xAZUL

xROJOO

¿Cuál es su pendiente sobre la línea de 45º?

Una típica CI

Todas tienen la misma pendiente sobre la línea de 45º

pROJO– _____

pAZUL

pROJO– _____

pAZUL

Implicaciones de la función de utilidad esperada de vNM

xAZUL

xROJOO

pROJO– _____

pAZUL

pROJO– _____

pAZUL

Dado un consumo contingente Y0

E(x)

Y (renta) media

Y0

Y1

Y

Prolongamos la línea desde Y0 hasta Y1

Por convexidad de

las preferencias:

U(Y) U(Y0)

un resultado útil

un resultado útil

E(x)

xAZUL

xROJO

A

M

- pROJO

pAZUL

B

PR= E(x) - cantidad que estamos dispuestos a sacrificar para eliminar el riesgo

PR= E(x) - cantidad que estamos dispuestos a sacrificar para eliminar el riesgo

La prima de riesgo De nuevo trazamos la línea desde el consumo contingente A...

La pendiente es el ratio de probabilidades

Corta a la diagonal en...

...la renta media

Nos sirve para definir...

La prima de riesgo

u

u(x)

x1

xx2

u( x1 )

u(x2)

E(x)

u(Ex)

Eu(x )

Cantidad que estamos dispuestos a sacrificar para eliminar el riesgo

Cantidad que estamos dispuestos a sacrificar para eliminar el riesgo

La prima de riesgo

Utilidad de dos resultados posibles El resultado esperado y la utilidad del resultado esperado La utilidad esperada y el equivalente de certeza La prima de riesgo de nuevo

La prima de riesgo

La curvatura de la función de utilidad (aversión al riesgo) y de la dispersión de x1 y x2, dado p

Una aproximación de PR:

2)('

)('' 2xu

xuPR

El primer término es el coefficiente de Arrow-Pratt de aversión absoluta al riesgo

Depende de:

La adopción de riesgo...

Elección con incertidumbre y la toma de riesgo:

Modelización de la demanda de seguros

Modelo de inversión en cartera

Demanda de seguros

Un consumidor posee inicialmente la dotación de un activo con riesgo

Valor de la riqueza ex-ante es W Existe el riesgo de obtener una pérdida de L Si la pérdida se produce, la riqueza es W – L

El consumidor puede comprar una póliza de seguros contra el riesgo de esa pérdida L (aseguramiento total)

El coste del seguro es K En ambos estados la riqueza ex-post es W – K Si se produce la pérdida, además recibe L de la compañía

Aseguramiento total

.

Cons

NA

ATU(W-K)

U(W-K)

UE(AT) = U(W-K)

U(W)

U(W-L)

UE(NA) = (1-p)U(W)+pU(W-L)

NI

I

1-p

p

NI1-p

I

p

Decisiones: AT, aseguramiento total (por la pérdida de L y paga K) y NA, no aseguramientoEstados: NI, no incendio e I, incendio (se produce la pérdida), con probabilidades 1-p y p, respectivamente

Aseguramineto parcial

El consumidor puede comprar una póliza de seguros por una cuantía X [0 , L]

El coste del seguro es kX. Si aseguramiento total: kL=K

En ambos estados la riqueza ex-post es W – kX

Si se produce la pérdida, además recibe X de la compañía

Aseguramiento parcial

.

Cons

NI

AP

U(W-kX)

U(W-L-kX+X)

UE(AP) = (1-p)U(W-kX)+pU(W-L+(1-k)X)

I

1-p

p

Decisiones: AP, aseguramiento parcial (por X y paga kX) Nótese que AP es más general que la anterior: AP = AT si X=L AP = NA si X=0

Gráficamente

xI

xNI

AT W -K

W -K

Dotación W Aseguramiento total en AT

Improbable que se sitúe por aquí



Improbable que se sitúe por aquí NAW - L

W

K

L-KAPAP

xI

xNI

AT W -kL

W -kL

Dotación W Aseguramiento total en AT

NAW - L

W

kL

L-kLAPAP

Pendiente en VA (1-k)/k


Aseguramiento parcial entre AT y NA

Gráficamente

xI

xNI

AT W -kL

W -kL

NAW - L

W





Aseguramiento parcial en P

P

W -kX

W -kX-L+X

Aseguramiento total en AT si X=L Aseguramiento nulo en NA si X=0

Gráficamente

Aseguramiento parcial óptimo

.

Max UE(AP) = pU(W-kX)+(1-p)U(W-L+(1-k)X) X

Solución de primer orden de tangencia:

(1-p)U’(W-kX)/pU’(W-L+(1-k)X)=(1-k)/k

Solución:

.

Solución de AT (X=L) si y sólo si:

p = k (juego justo: cuando la prima es igual a las probabilidades o cuando el beneficio esperado es cero)

Solución de AP (X<L) si y sólo si:

p < k (cuando la prima es mayor que las probabilidades o cuando el beneficio esperado es positivo)

xI

xNI

AT W -kL

W -kL

Aseguramiento total en AT

NAW - L

W

kL

L-kLAPAP

Pendiente en VA (1-k)/k=(1-p)/p

Pendiente en VA (1-k)/k=(1-p)/p


Solución AT (caso k=p)

xI

xNI

AT W -kX-L+X

W -kX


NAW - L

W

kX

L-kX Pendiente en VA (1-k)/k < (1-p)/p

Pendiente en VA (1-k)/k < (1-p)/p


Solución AP (caso k>p)

AP

Práctica (1):

(1) En el mercado de seguros de accidentes de automóviles hay dos clases de conductores, los buenos conductores (que causan un accidente al año con probabilidad 0,1 y ningún accidente, con probabilidad 0,9) y los malos conductores (que causan un accidente con probabilidad 0,2 y ningún accidente, con probabilidad 0,8). Los costes de reparación de vehículos involucrados en los accidentes (en media) es de 200.000 u.m. La proporción de buenos y malos conductores es de 2 a 1. La utilidad de los conductores, que maximizan la utilidad esperada, es igual a U(W)=W1/2 y sus riquezas iniciales son de 500.000 u.m.

(a)Calcula la cuota mínima que las compañías de seguros estarían dispuestas a ofrecer, suponiendo que son neutrales con respecto al riesgo y que no pueden distinguir entre los dos tipos de conductores.

(b)¿Qué tipo de conductores subscribiría una póliza de seguros a la cuota del apartado (a)?¿Cuáles son las cuotas máximas que cada tipo de conductor está dispuesto a pagar? Represente los árboles de decisión.

(c)Calcula la cuota de equilibrio competitivo, suponiendo que las compañías ofrecen seguros a las cuotas mínimas (y no hay gastos administrativos ni otros gastos extras) y conocen qué tipo de conductores contratan las pólizas, aunque no puedan distinguir entre los dos tipos de conductores. ¿Qué tipo de conductores contratarán pólizas en equilibrio?¿Y si pudieran distinguir entre los dos tipos?

Práctica (1)

.

B. C.

NA

ATU(500.000-K)

U(500.000-K)

UE(AT) = U(500.000-K)

U(500.000)

U(300.000)

UE(NA) = 0,9U(500.000)+0,1U(300.000)

NAcc

Acc

0,9

0,1

NAcc0,9

Acc

0,1

KB=22286,3 cuota máxima por asegurarse totalmente

Práctica (1)

.

M. C.

NA

ATU(500.000-K)

U(500.000-K)

UE(AT) = U(500.000-K)

U(500.000)

U(300.000)

UE(NA) = 0,8U(500.000)+0,2U(300.000)

NAcc

Acc

0,8

0,2

NAcc0,8

Acc

0,2

KM=44064,5 cuota máxima por asegurarse totalmente

Por su parte, las compañías aseguraran a los conductores con una Kmin=26666,6

xAcc

xNAcc 455.935,5


300.000

500.000

KM = 44064,5


¿Quién contrata?

ATM

NA

477.713,7

KB = 22286,3

ATB

UEB

UEM

EB=0

Kmin = 26666,6

xAcc

xNAcc 455.935,5


300.000

500.000

KM = 44064,5


Solución: sólo malos conductores

ATM

NA

UEM

Kmin = 40000

EBM =0

Práctica (2):

(2) Un consumidor se plantea invertir toda su riqueza W=100 en cada uno de los dos activos disponibles. Uno de renta fija, que proporciona un rendimiento seguro del 10%. El otro, de renta variable, proporciona un rendimiento del 20% con una probabilidad del 50% y un rendimiento del 5% con una probabilidad del 50%. El consumidor maximiza la utilidad esperada, siendo la utilidad de la riqueza al final del periodo igual a U(W)=W1/3.

(a) determine en qué activo invertirá toda su riqueza. ¿Cuál es el equivalente de certeza y la prima de riesgo de la inversión en el activo de renta variable?(b) le beneficiaría invertir la mitad de su riqueza en cada activo.

Práctica (2): pista

.

Cons

AR

ASU(W(1+rs))

UE(AS) = U(W(1+rs))

U(W(1+rB))

U(W(1+rM))

UE(AR) = (1-p)U(W(1+rB)) + pU(W(1+rM))

B1-p

M

p

Decisiones: AS, activo seguro (rend. rs=0,1) y AR, activo con riesgo (rend. rB=0,2 y rM=0,05)Estados: B, bueno y M, malo, con probabilidades 1-p=0,5 y p=0,5, respectivamente

Práctica (2): solución

Cons

AR

ASU(110)

UE(AS) = 4,74

U(120)

U(105)

UE(AR) = 0,5*4,93 + 0,5*4,72=4,825

B0,5

M

0,5

Invertirá en el activo con riesgo AREC=4,8253=112,33; Ex=112,5PR=0,166

(b) No, pues UE=4,8089

Práctica (2): diversificación óptima

.

ConsDiv

U(W(1+rS)+X(rB- rS))U(W+XrB+(W-X)rS)B0,5

M

0,5

(b) Max UE(Div)=0,5*(110+0,1X)1/3+0,5*(110-0,05X)1/3

X[0,100]

d UE(Div)/ d X=0 X*=833 X*=100(Todo en AR)

U(W+XrM+(W-X)rS) U(W(1+rS)+X(rM- rS))

xM

xB 112,33


105

120


Solución gráfica:

UEAR

EX

112,5 110

AR

AS

Ejercicio

Un consumidor con una riqueza inicial de W=450 se enfrenta a la posibilidad de perder 400 u.m. con una probabilidad de 1/3. Una compañía de seguros le ofrece la posibilidad de asegurarse y le ofrece un contrato por el cual el individuo abona hoy la cantidad kX y en el caso de que se produzca la pérdida, la compañía le abona X. El consumidor maximiza la utilidad esperada, siendo la utilidad de la riqueza al final del periodo igual a U(W)=W1/2.

(a) Calcule la cantidad de seguro X que contratará si k=1/2 y el beneficio de la empresa aseguradora. (b) La cuota mínima kmin que la compañía estaría dispuesta a cobrar.(c ) La cuota máxima kmax que el consumidor estaría dispuesto a pagar por asegurarse totalmente (si las únicas alternativas fueran asegurarse totalmente o no asegurarse).(d) Si se le permitiese el aseguramiento parcial, ¿ el individuo se aseguraría parcialmente a la kmax calculada en ( c)?(e) Si se le permitiese el aseguramiento parcial, calcule la cuota máxima kmax que el consumidor estaría dispuesto a pagar por asegurarse algo parcialmente (por encima de la cual no se asegura ni parcialmente).


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Microeconomía

Tema 2 : La demanda con incertidumbre

Prof. Juan Gabriel Rodríguez

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