Unidade 2 - Análise de Sinais No Domínio Da Frequência

Telecomunicaes

Unidade 2

Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia

Prof. Marcos V. T. Heckler

1 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia

Contedo

Introduo

Denominao dos sinais eltricos

Sries de Fourier

Transformada de Fourier

Relaes entre os domnios do tempo e da frequncia

Transformada de Fourier de sinais peridicos

Teorema da amostragem

Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia 2

Introduo

comum conhecermos ou definirmos sinais no domnio tempo

Dada uma aplicao, define-se uma determinada forma de onda

Em Telecomunicaes, trabalha-se sempre com sistemas ou dispositivos com limitada faixa de frequncia

Portanto, a informao sobre o sinal exclusivamente no domnio do tempo no suficiente


Introduo

Assim sendo, deve-se sempre fazer a anlise do sinal no domnio da frequncia

Esta anlise permite: Ver o contedo harmnico do sinal

Verificar se o canal de transmisso adequado

Prever possveis distores do sinal na sada do canal

Avaliar as consequncias da perda de qualidade do sinal


Introduo

As caractersticas nos domnios do tempo e da frequncia no so independentes

A especificao do sinal pode ser feita a partir da descrio: No domnio do tempo, OU

No domnio da frequncia

Equipamentos utilizados: Caracterizao no domnio do tempo: osciloscpio

Caracterizao no domnio da frequncia: analisador de espectro


Introduo

Anlise espectral (Anlise de Fourier):

Sries de Fourier:

Anlise de sinais peridicos

Transformada de Fourier:

Conceito mais geral do que as sries de Fourier

Anlise de sinais peridicos e aperidicos

Variaes: DFT: Discrete Fourier Transform

FFT: Fast Fourier Transform


Denominao dos Sinais Eltricos

Finito:

O sinal dito finito quando ocorre num intervalo finito de tempo

Peridico:

O sinal dito peridico quando repetitivo a intervalos de tempo iguais

Aperidico:

O sinal dito aperidico quando no for repetitivo



Aleatrio: O sinal dito aleatrio quando no puder ser previsto.

Exemplo: o rudo eltrico.

Pseudo-aleatrio: O sinal dito pseudo-aleatrio quando for aparentemente

aleatrio, mas de certa forma previsvel.

Exemplo: sinais gerados por sistemas de criptografia.

Determinstico: O sinal ser determinstico sempre que for perfeitamente

previsvel e determinado.



Parmetros dos sinais peridicos:

Frequncia (Hz)

Fase (graus ou radianos)

Potncia (W, dBm)


Sries de Fourier

Definio:

Na matemtica, as sries de Fourier so representaes de funes peridicas atravs da soma de funes dos tipos seno e cosseno

Estas sries recebem o nome em homenagem a Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), que desenvolveu a teoria dessas sries.


Sries de Fourier

Definio:

Um sinal peridico gp(t) com perodo T perfeitamente representado pela seguinte srie


1 00

0

2sin

2cos2

n

nnpT

ntb

T

ntaatg

onde:

an e bn: coeficientes das funes seno e cosseno

T0: perodo da frequncia fundamental f0 n/T0: n-sima harmnica de f0

Sries de Fourier

Clculo dos coeficientes:


2

20

0

0

0

1T

T

p dttgT

a

2

2 00

0

0

2cos

1T

T

pn dtT

tntg

Ta

2

2 00

0

0

2sin

1T

T

pn dtT

tntg

Tb

Sries de Fourier

Condies de Direchlet: As sries de Fourier so aplicveis quando a funo gp(t) satisfizer as seguintes condies no intervalo

1. A funo gp(t) apresentar valor nico

2. A funo gp(t) tiver um nmero finito de descontinuidades

3. A funo gp(t) tiver um nmero finito de mximos e mnimos


22 00 TtT

Sries de Fourier

Condies de Direchlet (continuao) :

4. A funo gp(t) for integrvel, ou seja


2

2

0

0

T

T

p dttg

Sries de Fourier

Sries de Fourier exponenciais: As sries de Fourier podem ser descritas tambm

em termos de funes exponenciais complexas da forma

Os coeficientes cn so complexos e podem ser obtidos por


n

npT

tnjctg

0

2exp

2

2 00

0

0

2exp

1T

T

pn dtT

tnjtg

Tc

Sries de Fourier

As ltimas expresses mostram que um sinal peridico gp(t) tem sua srie de Fourier composta por harmnicas 0, f0, 2f0, 3f0,...

Estas harmnicas compem o espectro do sinal gp(t)

Portanto, um determinado sinal no domnio no tempo est associado a um espectro no domnio da frequncia

No caso de sinais peridicos, o espectro apresenta apenas valores discretos (harmnicas), e pode ser chamado de espectro discreto


Sries de Fourier

Portanto, pode-se especificar um sinal peridico gp a partir de:

Sua forma de onda no domnio do tempo

Seu espectro no domnio da frequncia

As caractersticas nos domnios do tempo e da frequncia esto relacionadas entre si e, portanto, no so independentes uma da outra.


Sries de Fourier

Os coeficientes complexos cn podem ser escritos da seguinte forma:


nnn cjcc argexp

Amplitude da n-sima harmnica

Fase da n-sima harmnica

Sries de Fourier

O diagrama mostrando os vrios cn chamado de espectro discreto de amplitude do sinal gp(t).

O diagrama mostrando os vrios valores de arg(cn) chamado de espectro discreto de fase do sinal gp(t).


Sries de Fourier

Os coeficientes cn apresentam as seguintes caractersticas:

Portanto

O espectro de amplitude uma funo par

O espectro de fase uma funo mpar


nn ccnn cc

nn cc argarg

Sries de Fourier

Exemplo 1:

Calcular a srie de Fourier do sinal abaixo:


t

v(t)

A

T0/2 T0

Sries de Fourier

Exemplo 1:

1 - 5 Harmnicas + Componente DC


Sries de Fourier

Exemplo 1:

Resultado da srie de Fourier para nmx = 5


Fenmeno de Gibbs

Sries de Fourier

Exemplo 1:



Sries de Fourier

Exemplo 2:

Calcular os espectros de amplitude e fase da seguinte forma de onda quadrada


t

v(t)

A

T/2 -T/2 -T0 T0

Sries de Fourier

Observaes do Exemplo 2: O espaamento entre as componentes espectrais

ditado pelo perodo T0 (ou pela frequncia f0 ) do sinal

As caractersticas da envoltria so ditadas pelas caractersticas do pulso, ou seja, por sua amplitude (A) e por sua durao (T)

Os zeros ocorrem em mltiplos de 1/T O espectro de fase assume valores 0 ou 180,

dependendo da polaridade da funo sinc.



A transformada de Fourier importante por ser aplicvel a sinais aperidicos

A srie de Fourier um caso particular da transformada de Fourier

Matematicamente:


tgtg pT

0

lim

onde gp(t) um sinal peridico com perodo T0 e g(t) o sinal definido por um ciclo de gp(t).


Sries de Fourier exponenciais:

onde


n

npT

tnjctg

0

2exp

2

2 00

0

0

2exp

1T

T

pn dtT

tnjtg

Tc

Definindo:

0TcfG nn 0T

nfn

0

1

Tf


Pode-se reescrever a expresso para gp(t) como:

onde


ftfjfGtgn

nnp

2exp

2

2

0

0

2exp

T

T

npn dttfjtgfG


Fazendo-se T0 tender ao infinito ou, equivalentemente f0 tender a zero, resulta:

onde


dftfjfGtg 2exp

dttfjtgfG 2exp

G( f ) conhecida como a transformada de Fourier de g(t)


Condies de Dirichlet para a Transformada de Fourier

1. A funo g (t) deve ser integrvel, ou seja

2. A funo g (t) possui um nmero finito de mximos, de mnimos e de descontinuidades em um intervalo finito de tempo


dttg2


Notaes compactas:

Transformada de Fourier de g(t):

Transformada inversa de Fourier de G( f ):

Par transformado:


tgfG F

fGtg -1F

fGtg


Espectro de g(t):


fjefGfG

Espectro de amplitude de g(t)

Espectro de fase de g(t)


Se g(t) for uma funo real, ento:

Portanto

O espectro de amplitude uma funo par

O espectro de fase uma funo mpar


fGfG fGfG

ff


Exemplo 3:

Calcular a transformada de Fourier de um pulso retangular de amplitude A e durao T.


t

v(t)

A

T/2 -T/2 0


Observaes do Exemplo 3:

O espectro de amplitude tem um lbulo principal centrado na origem e com largura total de 2/T

Os lbulos laterais decrescem em amplitude com o aumento da frequncia


Transformada de Fourier (Propriedades)

1. Linearidade (ou superposio):

Sejam os pares transformados:

Sejam a e b constantes.

A propriedade da linearidade permite escrever:


fGtg 11 )( fGtg 22 )(

fGbfGatgbtga 2121 )()(


2. Escalonamento no tempo:

Seja o par transformado:

A propriedade do escalonamento no tempo permite escrever:

Uma compresso no domnio do tempo causa uma expanso do espectro do sinal.


fGtg )(

a

fG

aatg

1)(


2. Escalonamento no tempo (continuao)

Exemplo:

Calcular o espectro de um pulso retangular rect(at), para a = 0,5, a= 1 e a = 2.


t

v(t)

1

T/2 -T/2 0

5,0,0

5,05,0,1)(rect

t

tt



Do exemplo anterior:

Aplicando a propriedade do escalonamento, resulta que:


ft sinc)(rect

a

f

ata sinc

1)(rect




t

v(t)

1

1 -1 0

t

v(t)

1

1/2 -1/2 0




t

v(t)

1

1/4 -1/4


3. Dualidade:


A propriedade da dualidade permite escrever:

Exemplo:

Transformada de um pulso g(t) = A sinc(2Wt):


fGtg )(

fgtG )(


4. Deslocamento no tempo:


Para um dado deslocamento t0, a propriedade do deslocamento permite escrever:

A propriedade mostra que um atraso t0 aplicado a g(t) no afeta a sua amplitude; somente a fase de g(t) alterada


fGtg )(

00 2exp)( tfjfGttg


4. Deslocamento no tempo (Exemplo)


t

v(t)

A

T/2 -T/2 0

t

v(t)

A

T 0

T

tAtg rect)(

TfATfG sinc)(

T

TtAtg

2rect)(

TfjTfATfG expsinc)(


5. Deslocamento em frequncia:


Para um dado deslocamento fc, a propriedade do deslocamento em frequncia permite escrever:

Esta propriedade consequncia direta das propriedades 3 (dualidade) e 4 (deslocamento no tempo)


fGtg )(

cc ffGtfjtg 2exp)(


5. Deslocamento em frequncia: (continuao)

A multiplicao de g(t) pela exponencial equivalente a um deslocamento em frequn-cia de fc na direo positiva do espectro.

Exemplo:

Transformada de Fourier de um pulso de RF.



6. Diferenciao no domnio do tempo: Seja o par transformado: Assumindo que a primeira derivada de g(t)

admite uma transformada de Fourier, pode-se escrever:

A multiplicao de G( f ) por j2f implica no fato de que a diferenciao no domnio do tempo refora as componentes de alta frequncia do sinal g(t)


fGtg )(

fGfjtgdt

d2)(


6. Diferenciao no domnio do tempo: (continuao)

A propriedade da dualidade nos permite escrever:

De maneira mais geral, pode-se escrever a propriedade da diferenciao no domnio do tempo como sendo:


fGfjtgdt

d nn

n

2)(

fGdf

dtgtj )(2


7. Integrao no domnio do tempo:


Assumindo que G(0) = 0 pode-se escrever:

A diviso de G( f ) por j2f implica no fato de que integrao no domnio do tempo tende a atenuar as componentes de alta frequncia do sinal g(t)


fGtg )(

fGfj

dttg

t

2

1)(


7. Integrao no domnio do tempo: (continuao)

Exemplo:

Calcular a transformada de Fourier de um pulso triangular mostrado no grfico abaixo.


t

v(t) AT

T 0 -T


8. Funes conjugadas:


A propriedade das funes conjugadas nos permite escrever:

onde o asterisco indica a operao complexo conjugado.


fGtg )(

fGtg )(


9. Multiplicao no domnio do tempo:


A propriedade da multiplicao no domnio do tempo nos permite escrever:

Esta integral conhecida como convoluo no domnio da frequncia.


fGtg )(

dfGGtgtg 2121 )()(


9. Multiplicao no domnio do tempo: (continuao)

Portanto, uma multiplicao no domnio do tempo resulta em uma convoluo no domnio da frequncia.

Notao reduzida da convoluo entre duas funes:

A convoluo comutativa, ou seja:


fGfGfG 2112

fGfG 2112 fGfGfGfG 1221 ou ainda



Exemplo:

Efeito do truncamento de um pulso sinc no espectro.



9. Multiplicao no domnio do tempo: (exemplo truncamento de um pulso sinc)


T = 8/W




T = 1/W




T = 64/W


10. Convoluo no domnio do tempo:


A propriedade da convoluo no domnio do tempo nos permite escrever:

Esta integral conhecida como convoluo no domnio do tempo.


fGtg )(

)()( 2121 fGfGdtgg



Portanto, uma convoluo no domnio do tempo resulta em uma multiplicao no domnio da frequncia.

Esta propriedade obtida diretamente utilizando-se as propriedades 3 (dualidade) e 9 (multiplicao no domnio do tempo)

Notao reduzida da convoluo entre duas funes no domnio do tempo:


fGfGtgtg 2121

Relaes entre os Domnios do Tempo e da Frequncia

Vimos vrias propriedades da transformada de Fourier, que relaciona os domnios do tempo e da frequncia de um determinado sinal.

possvel concluir que as funes apresentam comportamentos inversamente proporcionais em um domnio em relao ao outro.

Uma mudana no domnio do tempo causa um efeito inversamente proporcional no domnio da frequncia



Uma mudana no domnio da frequncia causa um efeito inversamente proporcional no domnio do tempo.

Consequncias:

possvel especificar um sinal arbitrariamente somente no domnio do tempo ou somente no domnio da frequncia.

A especificao arbitrria em ambos os domnios simultaneamente no possvel.



Consequncias: (continuao)

Se um sinal apresenta comportamento limitado no domnio da frequncia, ele existir infinitamente no domnio do tempo.

Exemplo: Um espectro descrito pela funo rect resulta em um pulso sinc no domnio do tempo.

Por dualidade, se um sinal apresenta comportamento limitado no domnio do tempo, ele apresentar espectro infinito no domnio da frequncia.

Portanto, o sinal no pode ser limitado em frequncia e no tempo simultaneamente.



Banda de um sinal:

O conceito de banda de um sinal importante para a anlise de sinais

Definio:

A banda de um sinal fornece a faixa de frequncias que contm o contedo espectral significativo de um sinal para frequncias positivas.

Se o sinal for estritamente limitado em frequncia, o seu contedo espectral est completamente definido dentro da banda do sinal.



Banda de um sinal: (continuao)

Se o sinal no for estritamente limitado em frequncia, deve-se adotar um critrio para definir quais frequncias representam o contedo espectral significativo.

Definio de banda de um sinal depende de sua caracterstica:

Passa-baixa

Passa-faixa



Sinal passa-baixa:

Definies de banda:


f

G ( f )

A

-f0 f0 f

G ( f ) A

-f0 f0

primeiros nulos

A 3 dB

BW BW


Sinal passa-faixa:

Definies de banda:


f

G ( f )

A

fc f

A

primeiros nulos

A 3 dB

BW

G ( f )

fc

BW


Produto tempo-banda de um sinal:

Para qualquer famlia de pulsos, onde h um escalonamento no tempo, o produto entre a durao do pulso e sua banda ser sempre uma constante.

Matematicamente:

O produto acima mais uma consequncia da caracterstica inversa entre os domnios do tempo e da frequncia.


constanteBWW


Produto tempo-banda de um sinal: (continuao)

O produto tempo-banda de um sinal consequncia da propriedade 2 (escalonamento no tempo) da transformada de Fourier


Transformada de Fourier de Sinais Peridicos

A transformada de Fourier aplicada para sinais apridicos.

A aplicao da transformada de Fourier para sinais peridicos necessita do uso de uma funo conhecida como funo delta de Dirac

Definio:


0,0 tt


A funo delta de Dirac assume valor diferente de zero somente para t = 0.

A amplitude da funo tal que a rea existente abaixo de sua curva unitria.

Matematicamente, esta funo satisfaz a seguinte equao:


1

t


A funo delta de Dirac pode ser vista como um pulso retangular de rea unitria e durao , fazendo-se tender a zero.


t

v(t)

0,5

1 -1 0 -0,2 0,2 -5 5

0,1

2,5


Matematicamente:

medida que a durao do pulso tende a zero, sua amplitude tende a infinito.

Com a diminuio de , a funo toma a forma de um impulso.

A funo delta de Dirac tambm conhecida como funo impulso.


tt rect

1lim

0

Transformada de Fourier de Sinais Peridicos (Delta de Dirac)

Propriedade 1:

A funo delta de dirac uma funo par.

Propriedade 2:

A integral do produto de uma funo com o delta de Dirac igual ao valor desta funo para t = 0.


tt

0gdtttg


Propriedade 3:

Deslocamento no tempo para a funo impulso

A integral anterior pode ser reescrita e tomar a forma de uma convoluo:


00 tgdttttg

tgdttg


Propriedade 3: (continuao)

A convoluo de qualquer funo com o delta de Dirac deixa a funo inalterada

Em notao compacta:


tgttg


Propriedade 4:

Transformada de Fourier da funo impulso:

Utilizando a propriedade do deslocamento no tempo, resulta que:


dttfjtt 2expF

1tF


Propriedade 4: (continuao)

Portanto:


1t

t

g (t)

0 f

G ( f )

1

0

Funo delta de Dirac Espectro de (t)


Exemplo 1 Sinal dc.

Um sinal dc de amplitude unitria dado por:

Por dualidade, o par transformado dado por:


f1

f

g (t)

0

Sinal dc Espectro de g(t)

1tg

t

G ( f )

1

0


Exemplo 2 sinais senoidais.

Um sinal cossenoidal de amplitude unitria dado por:

A funo cossenoidal pode ser decomposta em duas exponenciais complexas:


tftg c2cos

tfjtfjtf ccc 2exp2exp2

12cos


Exemplo 2 sinais senoidais. (continuao)

Pela propriedade do deslocamento em frequncia:


ccc fffftf 2

12cos

f 0

G ( f )

fc -fc

Espectro de um sinal cossenoidal


Exemplo 2 sinais senoidais. (continuao)

De maneira anloga, pode-se obter o espectro de um sinal senoidal:


ccc fffftf 2

12sin

f 0

Espectro de um sinal senoidal

G ( f )

fc

-fc


As sries de Fourier podem ser desenvolvidas atravs da utilizao de exponenciais complexas

A transformada de Fourier definida como um caso limite das sries de Fourier

Desta forma, possvel obter a transformada de Fourier de sinais peridicos desde que seja possvel utilizar funes delta de Dirac



Considerando que um pulso seja modelado matematicamente por:

Um trem de pulsos (funo peridica) pode ser gerado por:

onde g(t) a geratriz de gp(t).


t

TtTtftg

de valoresoutros para,0

2/2/, 00

m

p mTtgtg 0


Em termos de sua Srie de Fourier, gp(t) pode ser escrita como:

sendo:


n

npT

tnjctg

0

2exp

2

2 00

0

0

2exp

1T

T

n dtT

tnjtg

Tc

00

1

T

nG

Tcn


Substituindo cn na srie:

Lembrando do par transformado:

ento


000

2exp

1

T

tnj

T

nG

Ttg

n

p

cc fftfj 2exp

000

1

T

nf

T

nG

Ttg

n

p F


Portanto:

A expresso acima indica que a transformada de Fourier de um sinal peridico descrita por funes impulso ocorrendo em mltiplos inteiros da frequncia fundamental f0 = 1/T0.


000

0

1

T

nf

T

nG

TmTtgtg

nm

p


A periodicidade no tempo faz com que o espectro assuma uma forma discreta

Exemplo:

Funo de Amostragem ideal


Teorema da Amostragem

A converso analgico-digital (ADC) uma operao que necessria em inmeras aplicaes

O processo de ADC composto pelos seguintes processos

Amostragem

Quantizao

Codificao



Para que no haja perda da informao do sinal analgico, necessrio que o processo de amostragem seja realizado com uma frequncia adequada

Portanto, deve-se obter matematicamente uma taxa de amostragem mnima que indique com que frequncia o sinal de entrada deve ser amostrado



O processo de amostragem ideal realizado tomando-se amostras do sinal em intervalos de tempo uniformes

O resultado da amostragem uma sequncia de impulsos com amplitudes que seguem a variao o sinal original



Considerando o sinal:

obtem-se a sua verso amostrada como:


t

g (t)

0

t

g (t)

0 Ts


O tempo Ts conhecido como o perodo de amostragem.

A frequncia fs = 1/Ts conhecida como frequncia de amostragem.

Considerando a funo g (t) como sendo composta por uma sequncia de funes delta que descreve o sinal g (t), pode-se escrever


sn

s nTtnTgtg


A funo g (t) conhecida como funo de amostragem ideal.

A funo g (t) tem a forma de uma transformada de Fourier de um sinal peridico

possvel obter o comportamento do sinal amostrado no domnio da frequncia


0,

mmffGffGftgm

sss


O termo G ( f ) a transformada do sinal original g (t)

O processo da amostragem uniforme resulta em um espectro peridico com perodo igual taxa de amostragem fs

Lembrando, agora, que


ss TfnjnTt 2exp


A transformada de g (t) pode ser obtida e dada por

Esta funo pode ser vista como uma srie de Fourier complexa com coeficientes g(nTs)


n

ss TfnjnTgfG 2exp


As expresses anteriores tratam sinais contnuos no tempo e de infinita durao

Assumindo, agora que o sinal tenha uma banda limitada W e que no haja componentes espectrais acima de W Hz


WffG para0


Teorema da Amostragem:

Um sinal com banda limitada e sem componentes espectrais acima de W hertz pode ser completamente descrito se os valores do sinal forem dados a intervalos de tempo de 1/2W segundos.



Teorema da Amostragem: (continuao)

Um sinal com banda limitada e sem componentes espectrais acima de W hertz pode ser completamente reconstrudo atravs de amostras do sinal original retiradas a uma taxa de 2W amostras por segundo.

A taxa de amostragem de 2W amostras por segundo conhecida como o critrio de Nyquist ou tambm taxa de amostragem de Nyquist.



Na prtica, nenhum sinal perfeitamente limitado em termos de banda

Por isto, a taxa de amostragem fs deve ser escolhida de modo a se manter as principais componentes espectrais do sinal original


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