Embed Size (px)
DESCRIPTION
Sistemas e Sinais (LEIC) – Resposta em Frequência. Carlos Cardeira Diapositivos para acompanhamento da bibliografia de base ( Structure and Interpretation of Signals and Systems, Edward A. Lee and Pravin Varaiya). Sumário. Definições Sistemas sem memória Sistemas causais - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Sistemas e Sinais (LEIC) – Resposta em Sistemas e Sinais (LEIC) – Resposta em FrequênciaFrequência
Carlos CardeiraCarlos CardeiraDiapositivos para acompanhamento da bibliografia de base Diapositivos para acompanhamento da bibliografia de base ((Structure and Interpretation of Signals and Systems, Edward A. Structure and Interpretation of Signals and Systems, Edward A. Lee and Pravin Varaiya)Lee and Pravin Varaiya)
SumárioSumário
DefiniçõesDefinições Sistemas sem memóriaSistemas sem memória Sistemas causaisSistemas causais Sistemas Invariantes no TempoSistemas Invariantes no Tempo Sistemas LinearesSistemas Lineares Resposta em FrequênciaResposta em Frequência
DefiniçõesDefinições
x x Entradas = [tempo Entradas = [tempo → → Reais ou Reais ou ComplexosComplexos]]
y y Entradas = [tempo Entradas = [tempo → → Reais ou Reais ou ComplexosComplexos]]
Tempo = Inteiros ou ReaisTempo = Inteiros ou Reais
Sx y
Exemplos (contínuos)Exemplos (contínuos)
Ganho KGanho K
Delay TDelay T
Média MóvelMédia Móvel
)())((,, tkxtxGRtx k
)())((,, TtxtxDRtx T
dxM
txMA
RtCRRxt
Mt
)(1
))((
,],,[
Exemplos (contínuos)Exemplos (contínuos)
ReverseReverse
Fast ForwardFast Forward
Câmara LentaCâmara Lenta
EnergiaEnergia
)())((,, txtxRvtx
)5.1())((,, txtxFFtx
)5.0())((,, txtxCLtx
t
dxtxEtx )())((,, 2
Definições: Resposta Definições: Resposta ImpulsivaImpulsiva
A saída do sistema pode-se calcular A saída do sistema pode-se calcular através da convolução da resposta através da convolução da resposta impulsiva com a entradaimpulsiva com a entrada
s
dssxsthtxHtx )()())((,,
Exemplos (discretos)Exemplos (discretos)
Ganho KGanho K
Delay T (T inteiro)Delay T (T inteiro)
Média MóvelMédia Móvel
)())((,, nkxnxGInteirosnx k
)())((,, TnxnxDInteirosnx T
1
0
)(1
))((
,],,[M
k
knxM
nxMA
InteirosnCRRx
Exemplos (discretos)Exemplos (discretos)
ReverseReverse
Down Sample (subamostrar)Down Sample (subamostrar)
Up Sample (sobreamostrar, introduzindo zero Up Sample (sobreamostrar, introduzindo zero ou outro valor, nos pontos não definidos)ou outro valor, nos pontos não definidos)
)())((,, nxnxRvnx
)2())((,, nxnxDownnx
ímparn
parnnxnxUpnx
02))((,,
Resposta Impulsiva Resposta Impulsiva (discretos)(discretos)
A saída do sistema pode-se calcular A saída do sistema pode-se calcular através da convolução da resposta através da convolução da resposta impulsiva com a entradaimpulsiva com a entrada
m
mxmnhnxHnx )()())((,,
Sistema sem memóriaSistema sem memória
Um sistema S não tem memória se existir Um sistema S não tem memória se existir uma função tal que:uma função tal que:
Exemplos:Exemplos:))(())((,, txftxSxt
)2()1())((,,
)(2))((,,
)())((,, 2
txtxtxSxt
txtxSxt
txtxSxt Sem memóriaSem memória
Sem memóriaSem memória
Com memóriaCom memória
Definições: Sistema causalDefinições: Sistema causal
Um sistema S é causal se a saída não Um sistema S é causal se a saída não depender de entradas futuras:depender de entradas futuras:
Se duas entradas forem iguais até um Se duas entradas forem iguais até um determinado instante t, a saída, até esse determinado instante t, a saída, até esse instante, é igual para ambasinstante, é igual para ambas
))(())((),()(
,,,
twStxStsswsx
xwt
CausalidadeCausalidade
O sistema é causal porque para entradas x e w iguais até ao instante t, produz a mesma saída S(x) e S(w) até ao instante t.
Definições: Sistema Definições: Sistema Invariante no tempoInvariante no tempo
Considere-se a função Delay Considere-se a função Delay
Um sistema é invariante no tempo se, Um sistema é invariante no tempo se, para qualquer delay T, tivermos:para qualquer delay T, tivermos:
Ou seja:Ou seja:
)())((,, TtxtxDtx T
TT DSSD
)))((()))(((,, txDStxSDtx TT
Exemplo: Sistema Invariante Exemplo: Sistema Invariante no tempono tempo
Atrasar uma entrada produz um atraso Atrasar uma entrada produz um atraso equivalente na saída. As funções atraso e S equivalente na saída. As funções atraso e S podem ser aplicadas na ordem que podem ser aplicadas na ordem que quisermos. quisermos.
ExemplosExemplos
S(x)(t)=x(t+3)S(x)(t)=x(t+3)
DDT T o S = x(t-T+3)o S = x(t-T+3)
S o DS o DTT = x(t+3-T) = x(t+3-T)
O sistema é invariante no tempoO sistema é invariante no tempo
ExemplosExemplos
S(x)(t)=x(-t)S(x)(t)=x(-t)
DDT T o S = Do S = DT T (S(x)(t))(t)= D(S(x)(t))(t)= DT T (x(-t))(t) =x(-(x(-t))(t) =x(-t+T) t+T)
S o DS o DTT = S(D = S(DTT(x)(t))(t)=S(x(t-T))(t)=x(-t-(x)(t))(t)=S(x(t-T))(t)=x(-t-T)T)
Não é Invariante no TempoNão é Invariante no Tempo
ExemplosExemplos
S(x)(t)=(x(t-1))S(x)(t)=(x(t-1))22
DDT T o S = Do S = DT T (S(x)(t))(t)= D(S(x)(t))(t)= DT T ((x(t-1))((x(t-1))22)(t) =(x(t-T-)(t) =(x(t-T-1))1))22
S o DS o DTT = S(D = S(DTT(x)(t))(t)=S(x(t-T))(t)=(x(t-1-T))(x)(t))(t)=S(x(t-T))(t)=(x(t-1-T))22
É invariante no tempoÉ invariante no tempo
ExemplosExemplos
É invariante no tempoÉ invariante no tempo
Não é invariante no tempo. Só o seria se a função x fosse Não é invariante no tempo. Só o seria se a função x fosse nula para t<anula para t<a
t
dssxtxE )())(( 2
t
a
dssxtxE )())(( 2
Exemplos - ConvoluçãoExemplos - Convolução
É invariante no tempoÉ invariante no tempo
dssthtx )()(
LinearidadeLinearidade
S(x+w)=S(x)+S(w)S(x+w)=S(x)+S(w) S(ax)=aS(x)S(ax)=aS(x) S(ax+bw)=aS(x)+bS(w)S(ax+bw)=aS(x)+bS(w)
S(0) tem que ser 0 porque senão S(0) tem que ser 0 porque senão não seria possível garantir não seria possível garantir S(ax)=aS(x) para qualquer ‘a’S(ax)=aS(x) para qualquer ‘a’
LinearidadeLinearidade
ExemplosExemplos Média MóvelMédia Móvel
LinearLinear Invariante no TempoInvariante no Tempo
DelayDelay LinearLinear Invariante no TempoInvariante no Tempo
GanhoGanho LinearLinear Invariante no TempoInvariante no Tempo
ReverseReverse LinearLinear Não Invariante no TempoNão Invariante no Tempo
ExemplosExemplos Fast ForwardFast Forward
LinearLinear Não Invariante no TempoNão Invariante no Tempo
Câmara LentaCâmara Lenta LinearLinear Não Invariante no TempoNão Invariante no Tempo
EnergiaEnergia Não LinearNão Linear Invariante no TempoInvariante no Tempo
ConvoluçãoConvolução LinearLinear Invariante no TempoInvariante no Tempo
Resposta em FrequênciaResposta em Frequência
Teorema:Teorema: Se a entrada for uma exponencial complexa Se a entrada for uma exponencial complexa
(e(ejjtt) de determinada frequência, a saída ) de determinada frequência, a saída também terá a mesma frequênciatambém terá a mesma frequência
H(H() é a resposta em frequência do sistema) é a resposta em frequência do sistema
Exemplo:Exemplo:
1arctan
21
1)(
1
1)(
jeH
jH
Exemplo:Exemplo:
|H()|21
1)(
H
Filtro passa baixo
Exemplo:Exemplo:
fase )arctan(
Cálculo da Resposta em Cálculo da Resposta em FrequênciaFrequência
)()( txtydt
dy
O circuito RC (se normalizado de forma a O circuito RC (se normalizado de forma a R=C=1) tem a forma:R=C=1) tem a forma:
Qual será a resposta em frequência ?Qual será a resposta em frequência ?
Cálculo da Resposta em Cálculo da Resposta em Frequência do circuito R/CFrequência do circuito R/C
jH
eeHeHj
eHty
etx
tjtjtj
tj
tj
1
1)(
)()(
)()(
)(
Filtro passa baixo
Exemplo: Resposta em Exemplo: Resposta em Frequência da Média MóvelFrequência da Média Móvel
Exemplo: Resposta em Exemplo: Resposta em Frequência da função DelayFrequência da função Delay
A amplitude mantém-se, apenas a fase do sinal varia
Exemplo: Resposta em Exemplo: Resposta em Frequência da função GanhoFrequência da função GanhoKK
Se K>0, a amplitude é multiplicada por K, a fase mantém-se.Se K<0, a amplitude é multiplicada por |K|, a fase varia de
)(,, tKxGtx K
KH
KeeH tjtj
)(
)(
Resposta em FrequênciaResposta em Frequência
Linear e Invariante no Linear e Invariante no TempoTempo
•Linear porque as derivadas são operadores lineares•Invariante no tempo se ai e bi não dependerem de t
Causalidade e Resposta Causalidade e Resposta ImpulsivaImpulsiva
Considere-se um sistema definido pela Considere-se um sistema definido pela resposta impulsiva:resposta impulsiva:
0,0)(
)()()()(
)()())((
)(0
tth
dssxsthdssxsth
dssxsthtxS
t
ecausalidad
t
Resposta em Frequência Resposta em Frequência A resposta em frequência de um sistema A resposta em frequência de um sistema
definido pela convolução da entrada com a definido pela convolução da entrada com a resposta impulsiva é:resposta impulsiva é:
O que significa que a resposta em frequência de O que significa que a resposta em frequência de um sistema é a transformada de Fourier da um sistema é a transformada de Fourier da resposta impulsivaresposta impulsiva
)(
)(
)(
)()()(
)()())((
H
ujtj
stjtjsjtj
dueuhe
dsesthedsestheH
dssxsthtxS
Resposta em Frequência de Resposta em Frequência de Sistemas DiscretosSistemas Discretos
njnj eHnyenxn )()()(,
Analogamente:
Exemplo: média móvelExemplo: média móvel
j
jnjnjnjnj
eH
eeeeeH
nxnxnxMAxn
12
1)(
12
1
2
1)(
)1()(2
1))((,,
)1(
Exemplo: média móvel + Exemplo: média móvel + autoregressãoautoregressão
2
3
32
1
1)(
)1()1)((
)3()1()()2()(
j
jj
jjnjnjj
e
eeH
eeeeeH
nxnxnxnyny
De uma forma geral, a componente média móvel fica no numerador e a componente autoregressivano denominador. Consegue-se escrever a respostaem frequência sem ter que fazer as contas
Exemplo: equação às Exemplo: equação às diferenças genéricadiferenças genérica
Peridicidade da resposta em Peridicidade da resposta em frequência para sistemas frequência para sistemas
discretosdiscretos
njnj
njnj
eHnyenx
eHnyenx)2()2(' )2()()(
)()()(
Mas como x(n)=x’(n) :
)2()( HHEm sistemas discretos, H() tem sempre período 2 e, por convenção, desenha-se apenas entre - e
Resposta em frequência de Resposta em frequência de dois sistemas LTI em cascatadois sistemas LTI em cascata
A resposta em frequência é o produto A resposta em frequência é o produto das respostas em frequência de cada das respostas em frequência de cada sistemasistema
H() G()
ejt H()ejt G()H()ejt
Resposta em Frequência de Resposta em Frequência de dois sistemas com feedbackdois sistemas com feedback
H()
G()
+ejt
F()
F()ejt
F()ejt
G()F()ejt
[1+G()F()]ejt H()[1+G()F()]ejt
GH
HFFGHF
11
Amplitude e faseAmplitude e fase
H(H()=|H()=|H()|e)|ejjH(H()) , ,) representa ) representa o angulo de H(o angulo de H() com o eixo real) com o eixo real
|H(|H()| é a amplitude da resposta )| é a amplitude da resposta em Freq.em Freq.
H(H()) é a fase da resposta em )) é a fase da resposta em frequênciafrequência
Exemplo:Exemplo:
cos1
sinarctan
cos1
sinarctan
cos122
1sincos1
2
1sincos1
2
1
12
1)(
)1()(2
1))((,,
22
H
jH
eH
nxnxnxMAxn
j
Exemplo:Exemplo:
>> w=-2*pi:pi/1000:2*pi;>> w=-2*pi:pi/1000:2*pi; %embora bastasse de 0 a pi%embora bastasse de 0 a pi >> H=(1+exp(-i*w))/2;>> H=(1+exp(-i*w))/2; >> subplot(2,1,1)>> subplot(2,1,1) >> plot(w,abs(H))>> plot(w,abs(H)) >> subplot(2,1,2)>> subplot(2,1,2) >> plot(w,angle(H))>> plot(w,angle(H))
ExemploExemplo
DecibelsDecibels
É vulgar medir a É vulgar medir a amplitude em dBamplitude em dB
)(log20 10 HdB
Propriedades (sinais reais)Propriedades (sinais reais)
PropriedadesPropriedades
Se a entrada for periódica de Se a entrada for periódica de período p a saída é periodica com o período p a saída é periodica com o mesmo períodomesmo período
Quando o sistema é real, H(Quando o sistema é real, H()=H*(-)=H*(-))
|H(|H()|=|H(-)|=|H(-)| )| → → amplitude é paramplitude é par H(H()=-)=-H(-H(-) ) → → fase é ímparfase é ímpar
Exemplo de feedback para Exemplo de feedback para aumentar a largura de bandaaumentar a largura de banda
Exemplo de feedback para Exemplo de feedback para aumentar a largura de bandaaumentar a largura de banda
Feedback para melhorar a Feedback para melhorar a resposta em frequênciaresposta em frequência
Se se pretende que o sistema responda Se se pretende que o sistema responda mais rapidamente, a resposta às altas mais rapidamente, a resposta às altas frequências tem que melhorarfrequências tem que melhorar
À parte o problema das saturações este À parte o problema das saturações este é um mecanismo usado em robôs.é um mecanismo usado em robôs.
Propriedades (Discretos)Propriedades (Discretos)
Propriedades (Discretos)Propriedades (Discretos) Se a entrada for periódica de período p a Se a entrada for periódica de período p a
saída é periodica com o mesmo períodosaída é periodica com o mesmo período Quando o sistema é real, H(Quando o sistema é real, H()=H*(-)=H*(-)) |H(|H()|=|H(-)|=|H(-)| )| → → amplitude é paramplitude é par H(H()=-)=-H(-H(-) ) → → fase é ímparfase é ímpar
E porque eE porque ejjnn=e=ej(j(+2+2)n)n
Temos: H(Temos: H()=H()=H(+2+2) (em sistemas ) (em sistemas discretos a resposta em frequência é discretos a resposta em frequência é periódica)periódica)
Coeficientes da Série de Coeficientes da Série de FourierFourier
)cos()(
sec/2
,,:
01
0
0
kk
k tkAAtx
radp
pRRX
Série de FourierSérie de Fourier
AA00 é a componente DC (valor médio é a componente DC (valor médio do sinal num período)do sinal num período)
Permite representar qualquer sinal Permite representar qualquer sinal periódicoperiódico
Se o sinal não for periódico mas for Se o sinal não for periódico mas for finito (no tempo), pode também ser finito (no tempo), pode também ser representado por uma série se o representado por uma série se o replicarmos ao longo do tempo. replicarmos ao longo do tempo.
A forma exponencial é mais A forma exponencial é mais práticaprática
*
)(
kk
k
tjkk
XX
eXtx o
Equivalência entre as formas Equivalência entre as formas exponencial e cosenoexponencial e coseno
)1(21
)1(21
)0(
)(
21
21
)cos()(
0
1
)(
1
)(0
01
0
0
00
keAX
keAX
kAX
eXtx
eAeAA
tkAAtx
k
k
kk
jkk
jkk
k
k
tjkk
k
tkjk
k
tkjk
kk
k
Xk e X-k são Complexos Conjugados
Obtenção dos coeficientes Ak Obtenção dos coeficientes Ak a partir de Xka partir de Xk
kk
kk
kok
tjkk
tjkk
tjkk
tjkk
tjkkkok
X
XA
XtX
eXeXeX
eXeXtA
XA
ooo
oo
2
)cos(2
Re2
)cos(*
00
Cálculo dos coeficientes XCálculo dos coeficientes Xnn
)(0
)(
)(
)(
0
2)(
0
)(
0
)(
0
)(
00
0
00
000
0
nk
nkpdtedte
dteXdteX
dteXedtetx
eXtx
p tp
nkjptnkj
k
ptnkj
k
p
k
tnkjk
p
k
tjkk
tjnp
tjn
k
tjkk
Cálculo dos CoeficientesCálculo dos Coeficientes
ptjn
n
n
ptjn
k
tjkk
dtetxp
X
pXdtetx
eXtx
0
0
0
0
0
)(1
)(
)(
BaseBase
As funções que compõem a série de As funções que compõem a série de Fourier constituem uma base.Fourier constituem uma base.
Qualquer função pode ser Qualquer função pode ser representada por uma combinação representada por uma combinação linear delas.linear delas.
Cálculo dos Coeficientes Cálculo dos Coeficientes (tempo discreto)(tempo discreto)
CXeXnxn
ou
nkAAnxn
amostraradp
IntsIntsX
l
p
l
njll
k
p
kk
,)(,
)cos()(,
/2
,:
1
0
0
2/
10
0
0
Cálculo de X (discreto)Cálculo de X (discreto)
1
0
1
0
1
0
)(
1
0
1
0
)(1
0
0
0
00
)(1
)(
p
n
njkk
k
p
l
p
n
nkljl
p
n
p
l
nkljl
p
n
njk
enxp
X
pXeX
eXenx
Multiplicando ambos os lados por exp(-jkon)
Cálculo dos Coeficientes Cálculo dos Coeficientes (tempo discreto)(tempo discreto)
klseep
l
nklj
01
0
)( 0
![TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 1 4.1. Amostragem Periódica 4. Amostragem de Sinais Contínuos no Tempo T: Período de amostragem [s] Frequência](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/552fc10b497959413d8c1f71/te-072-processamento-digital-de-sinais-i-ufpr-1-41-amostragem-periodica-4-amostragem-de-sinais-continuos-no-tempo-t-periodo-de-amostragem-s-frequencia.jpg)
