2 – Amostragem de Sinais Contínuos2 – Amostragem de Sinais …ltodi.est.ips.pt/eaps/Documentos/Teo/cap2_amostragem... · 2004. 4. 19. · 2.1 – Frequência de Amostragem (cont.)2.1

Octávio Páscoa Dias 1

EAPS - Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores

2 – Amostragem de Sinais Contínuos2 – Amostragem de Sinais Contínuos

A primeira etapa da conversão analógica/digital (A/D), consiste no processo de amostragem.

Para ilustrar a operação de amostragem considere-se o sinal analógico xc(t)representado na figura 2.1, o qual é amostrado no instantes t1, t2, ...., t7, e cujo resultado, xs(t), é interpretado na figura 2.2, que explicita a perda da variação brusca do sinal original entre os instantes t4 e t5. Este exemplo (figuras 2.1 e 2.2), revela que a frequência com que são recolhidas as amostras do sinal analógico, é um elemento crítico para a posterior interpretação do comportamento do sinal amostrado.

De facto, a única forma de não perder a variação brusca do sinal analógico amostrado (figura 2.1), consiste no aumento da frequência de amostragem



Figura 2.1 – Amostragem de um sinal analógico. Figura 2.2 – Interpretação das amostras do sinal da figura 2.1.t

)(txs

t

)(txc

2 – Amostragem de Sinais Contínuos (cont.)2 – Amostragem de Sinais Contínuos (cont.)



Em geral, um sinal analógico não pode ser univocamente caracterizado por intermédio de uma sequência de amostras tomadas em pontos discretos no tempo. De facto, dois sinais contínuos diferentes, sujeitos ao mesmo ritmo de amostragem, podem dar origem à mesma sequência discreta, como se ilustra na figura 2.3.

Figura 2.3 – Sinais analógicos diferentes com a mesma sequência discreta.

2.1 – Frequência de Amostragem2.1 – Frequência de Amostragem

t

)(txc



Porém, se o sinal contínuo é de banda limitada, isto é, se é possível identificar uma frequência máxima para as componentes que o constituem, e se as amostras são tomadas com um intervalo de amostragem suficientemente pequeno, relativamente à frequência máxima do seu espectro, então é possível caracterizar completamente o sinal por intermédio das amostras recolhidas.

Considere-se a sequência de amostras x[n], obtida de um sinal continuo xc(t), por intermédio do conversor continuo/discreto ideal, que se representa na figura 2.4,

x[n]=xc(nT), com -∞<n<+∞em que, T é o período de amostragem. O período de amostragem relaciona-se com a frequência de amostragem, ωs, através da relação, ωs=2π /T.

2.1 – Frequência de Amostragem (cont.)2.1 – Frequência de Amostragem (cont.)



As figuras 2.5 e 2.6 representam, respectivamente, um sinal de voz continuo, xc(t),e a correspondente sequência de amostras, x[n].

Figura 2.4 – Diagrama bloco de um conversor continuo/tempo_discreto ideal.

Figura 2.6 – Sequência de amostas do sinal de voz.

Figura 2.5 – Sinal continuo de voz.




Para facilitar o tratamento matemático do processo de amostragem, é de interesse interpretá-lo com uma a operação realizada em duas etapas, como mostra a figura 2.7.

Figura 2.7 – Interpretação das amostras do sinal da figura 2.1.

As duas etapas consistem na multiplicação do sinal analógico, xc(t), pelo trem de impulsos de Dirac, s(t), de que resulta, xs(t), seguido da sua conversão para uma que sequência discreta no tempo, x[n].




A figura 2.8 mostra os sinais contínuos x(t) e o trem de impulsos, resultante da amostragem, xs(t), e a figura 2.9, ilustra a correspondente sequência discreta, x[n].

A diferença essencial entre xs(t) e x[n], reside no facto de xs(t) ser ainda um sinal continuo no tempo, especificamente um trem de impulsos, que é nulo nos instantes diferentes de nT, e x[n] ser indexado à variável inteira, n, o que introduz uma normalização temporal, isto é, a sequência de números, x[n], não contém informação explicita acerca do ritmo de amostragem.




Figura 2.8 – Sinal continuo xc(t) e o trem de impulsos xs(t)=xc(nT), que resulta do processo de amostragem.

Figura 2.9 – Sequência de amostras x[n].




Para explicitar a relação entre a entrada e a saída de um conversor continuo/discreto ideal, no domínio da frequência, considere-se a conversão de xc(t) para xs(t) por intermédio da modulação do trem de impulsos periódicos, s(t), com,

∑+∞

∞−

−= )()( nTtts δ

onde δ(t) é o a função delta de Dirac.

Modulando s(t) com xc(t) obtém-se,

∑∑+∞

∞−

+∞

∞−

−=⇒−=⇒×= )()()()()()()()()( nTtnTxtxnTttxtxtstxtx cscscs δδ




∑+∞

∞−

−= )(2)( skT

jS ωωδπω

Dado que, xs(t) é o produto de s(t) por xc(t), então a transformada de Fourier de xs(t) pode ser determinada pela convolução das transformadas de Fourier de xc(t) e s(t).

A transformada de Fourier de um trem de impulsos do domínio do tempo é ainda um trem de impulsos no domínio da frequência, especificamente,

onde, ωs=2π/T é a frequência de amostragem. Como,)(*)(

21)( ωωπ

ω jSjXjX cs =

em que o símbolo (*) indica a operação convolução, Xc(jω), Xs(jω), e S(jω) representam, respectivamente, as transformadas de Fourier de xc(t), xs(t), e s(t).




))((1)()(2*)(21)( s

kcss

kcs kjX

TjXk

TjXjX ωωωωωδπω

πω −=⇒−= ∑∑

+∞

−∞=

+∞

−∞=

A expressão da transformada de Fourier de xs(t),

))((1)( sk

cs kjXT

jX ωωω −= ∑+∞

−∞=

mostra que Xs(jω) consiste numa sequência de cópias do espectro de xc(t), separadas por múltiplos inteiros da frequência de amostragem, ωs, como mostra a figura 2.10. De facto, a figura 2.10 (a), representa a transformada de Fourier de um sinal de banda limitada, xc(t), cuja componente de maior frequência é ωM, a figura 2.10 (b) mostra o trem de impulsos periódicos, S(jω) e a figura 2.10 (c) ilustra a transformada Xs(jω) que resulta da convolução das transformadas S(jω) e Xc(jω).


Assim,



)( ωjXc

ω

1

MωMω−(a)

Figura 2.10 – (a) Transformada de xc(t), (b) transformada de s(t), (c) transformada de xs(t).

)( ωjS

ωsω sω2 sω30sω−sω2−(b)

)( ωjX s

sω sω2 sω3 ωsω−sω2− maxωmaxω−)( maxωω −s

T1

(c)




)( ωjHr

Por observação da figura 2.10 (c), torna-se óbvio que para,ωs-ωM>ωM ⇔ωs>2ωM

as réplicas de Xc(jω) não se sobrepõem. Deste modo, xc(t) pode ser recuperado de xs(t) por intermédio de um filtro passa-baixo ideal.

A figura 2.11 mostra a operação que gera o trem de impulsos Xs(jω)seguida de um sistema linear invariante no tempo com a resposta em frequência, Hr(jω).


Figura 2.11 – Sistema de modelação e filtro.



A figura 2.12 ilustra a função Xc(jω), e a figura 2.13 representa Xs(jω), que lhe corresponde, assumindo ωs>2ωM. Tendo em conta que,

Xr(jω)=Hr(jω)×Xs(jω)

onde Hr(jω) é um filtro ideal de ganho T, e frequência de corte ωc (figura 2.14), tal que,

ωM<ωc<(ωs-ωM)Obtém-se assim,

Xr(jω)=Xc(jω)

como se representa na figura 2.15.




)( ωjX s

ωsωsω− MωMω−)( Ms ωω −

Ms ωω 2>


)( ωjX r

MωMω− ω

)( ωjX c

ωMωMω−

Figura 2.14– Filtro passa-baixo ideal, Hr(jω).

Figura 2.13– Espectro de xs(t).

Figura 2.15 – Xr(jω) contém o espectro de xc(t).

)( ωjHr

)( MscM ωωωω −<<

ωcωcω−

Figura 2.12 – Espectro de xc(t).



Quando a frequência de amostragem, ωs, não verifica a condição,ωs> 2ωM,

as réplicas consecutivas de Xc(jω) apresentam com áreas sobrepostas o que faz com que o espectro de xc(t) não possa ser recuperado com o filtro passa-baixo (figura 2.16). Neste caso, devido à sobreposição das cópiasdo espectro de xc(t) a saída reconstruída, xr(t), apresenta distorção, que usualmente é designada por aliasing.


ωsω sω2

)( ωjX s

)( Ms ωω −Figura 2.16 – Aliasing, ωs<2ωM



A figura 2.17 ilustra o aliasing no domínio da frequência, para um sinal simples, constituído por uma função sinusoidal.

Considere-se o sinal, xc(t)=cosω0t, representado na figura 2.17(a), e a sua TF ilustrada na figura 2.17(b).

A figura 2.17 (c) representa a TF de xs(t) com, ω0<ωs /2, e a figura 2.17(d) mostra o sinal xc(t) a ser amostrado a esse ritmo (ωs>2ω0 ).

Na figura 2.17 (e) está representada a TF de xs(t) com, ω0>ωs /2, e na figura 2.17(f) representa-se xc(t) com o novo ritmo de amostragem (ωs<2ω0 ).




As figuras 2.17 (c) e 2.17 (e) correspondem, respectivamente, à TF da saída, Xr(jω), do filtro passa-baixo para,

ωs>2ω0 e ωs<2ω0Neste exemplo considera-se que a frequência de corte do LP verifica a relação,

ωc=ωs /2logo,

ωc>ω0 para ωS>2ω0 e ωc<ω0 para ωs<ω0

Quando não existe aliasing (figuras 2.17(c), 2.17 (d) e 2.17(g)), a saída, xr(t), do filtro Hr, recupera o sinal xc(t),

xr(t)=cosω0tporém, quando existe aliasing (figuras 2.17 (e), 2.17 (f) e 2.17(h)), a saída do filtro de reconstrução, xr(t), já não coincide com o sinal original, xc(t), uma vez que,

xr(t)=cos (ωs-ω0)t




0

2ωπ

=T

)(txc

ω

Figura 2.17(a) – Sinal sinusoidal. Figura 2.17(b) – Espectro do sinal sinusoidal.

)( ωjX c

ω0ω0ω−




02ωω >s

)(txc

ω

Figura 2.17(c) – TF do sinal sinusoidal amostrado ao ritmo ωs>2ω0.

Figura 2.17(d) – Sinal sinusoidal amostrado ao ritmo ωs>2ω0.

)( ωjX s

ω0ω0ω− sωsω−

)( 0ωω −s

)( 0ωω −− s

2s

cωω =

)( 0ωω +s

)( 0ωω +− s




)( ωjX s

0ω0ω− sωsω−

)( 0ωω −s)( 0ωω −− s

2s

cωω =

Figura 2.17(e) – TF do sinal sinusoidal amostrado ao ritmo ωs<2ω0.

Figura 2.17(f) – Sinal sinusoidal amostrado ao ritmo ωs<2ω0.


02ωω <s

)(txc

ω



02ωω >s

0ω0ω− ω

)( ωjX r02ωω <s

)( 0ωω −− s ω

)( ωjX r

)( 0ωω −s

Figura 2.17(g) – Reconstrução do sinal xc(t), ωs>2ω0. Figura 2.17(h) – O sinal xc(t) não é reconstruído, ωs<2ω0.

sem aliasing com aliasing

cosω0t cos(ωs-ω0)t




Teorema da AmostragemTeorema da Amostragem

Seja xc(t) um sinal continuo de banda limitada, tal que,

|X(jω)| =0, para |ω|>ωM.

Então, xc(t) é univocamente determinado pelas suas amostras,

x[n]=xc(nT), com n=0; ±1;±2......

se a frequência de amostragem verificar a condição: ωs≥ 2ωM


A frequência de amostragem, ωs, é usualmente designada por frequência de Nyquist, e a frequência 2ωM, é o limite inferior para a frequência de amostragem, é conhecida por ritmo de Nyquist.



Exemplo 2.1

Considere o sinal continuo no tempo, xc(t)=cos(4000πt), com período de amostragem T=1/6000 s, e

esboce Xs(jω).

Resoluçãocos(ωt) ⇔ cos(4000πt)

logo,

ω0=4000π.

ωs=2π×1/T; ωs=2π×6000; ωs=12000π.

ωs=12000π>2×ω0=8000π ⇒ não existe aliasing

))((1)(

)4000()4000(

∑∞+

−∞=

−=

++−=

kscs

c

kjXT

jX

X

ωωω

πωπδπωπδ




)( ωjX s

)( ωjHr

ω

Figura 2.18 – Função Xs(jω).

Repare-se que Xc(jω) é um par de impulsos localizados em ω=±4000π, logo Xs(jω) é constituída por réplicas de Xc(jω) centradas em: 0; ±ωs; ±2ωs; ±3ωs;.....

Na figura 2.18 considerou-se um filtro passa-baixo, filtro de reconstrução, Hr(jω), com ωc=ωs/2=6000π.


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