Telecomunicaes
Unidade 2
Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
Prof. Marcos V. T. Heckler
1 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
Contedo
Introduo
Denominao dos sinais eltricos
Sries de Fourier
Transformada de Fourier
Relaes entre os domnios do tempo e da frequncia
Transformada de Fourier de sinais peridicos
Teorema da amostragem
Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia 2
Introduo
comum conhecermos ou definirmos sinais no domnio tempo
Dada uma aplicao, define-se uma determinada forma de onda
Em Telecomunicaes, trabalha-se sempre com sistemas ou dispositivos com limitada faixa de frequncia
Portanto, a informao sobre o sinal exclusivamente no domnio do tempo no suficiente
3 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
Introduo
Assim sendo, deve-se sempre fazer a anlise do sinal no domnio da frequncia
Esta anlise permite: Ver o contedo harmnico do sinal
Verificar se o canal de transmisso adequado
Prever possveis distores do sinal na sada do canal
Avaliar as consequncias da perda de qualidade do sinal
4 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
Introduo
As caractersticas nos domnios do tempo e da frequncia no so independentes
A especificao do sinal pode ser feita a partir da descrio: No domnio do tempo, OU
No domnio da frequncia
Equipamentos utilizados: Caracterizao no domnio do tempo: osciloscpio
Caracterizao no domnio da frequncia: analisador de espectro
5 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
Introduo
Anlise espectral (Anlise de Fourier):
Sries de Fourier:
Anlise de sinais peridicos
Transformada de Fourier:
Conceito mais geral do que as sries de Fourier
Anlise de sinais peridicos e aperidicos
Variaes: DFT: Discrete Fourier Transform
FFT: Fast Fourier Transform
6 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
Denominao dos Sinais Eltricos
Finito:
O sinal dito finito quando ocorre num intervalo finito de tempo
Peridico:
O sinal dito peridico quando repetitivo a intervalos de tempo iguais
Aperidico:
O sinal dito aperidico quando no for repetitivo
7 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
Denominao dos Sinais Eltricos
Aleatrio: O sinal dito aleatrio quando no puder ser previsto.
Exemplo: o rudo eltrico.
Pseudo-aleatrio: O sinal dito pseudo-aleatrio quando for aparentemente
aleatrio, mas de certa forma previsvel.
Exemplo: sinais gerados por sistemas de criptografia.
Determinstico: O sinal ser determinstico sempre que for perfeitamente
previsvel e determinado.
8 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
Denominao dos Sinais Eltricos
Parmetros dos sinais peridicos:
Frequncia (Hz)
Fase (graus ou radianos)
Potncia (W, dBm)
9 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
Sries de Fourier
Definio:
Na matemtica, as sries de Fourier so representaes de funes peridicas atravs da soma de funes dos tipos seno e cosseno
Estas sries recebem o nome em homenagem a Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), que desenvolveu a teoria dessas sries.
10 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
Sries de Fourier
Definio:
Um sinal peridico gp(t) com perodo T perfeitamente representado pela seguinte srie
11 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
1 00
0
2sin
2cos2
n
nnpT
ntb
T
ntaatg
onde:
an e bn: coeficientes das funes seno e cosseno
T0: perodo da frequncia fundamental f0 n/T0: n-sima harmnica de f0
Sries de Fourier
Clculo dos coeficientes:
12 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
2
20
0
0
0
1T
T
p dttgT
a
2
2 00
0
0
2cos
1T
T
pn dtT
tntg
Ta
2
2 00
0
0
2sin
1T
T
pn dtT
tntg
Tb
Sries de Fourier
Condies de Direchlet: As sries de Fourier so aplicveis quando a funo gp(t) satisfizer as seguintes condies no intervalo
1. A funo gp(t) apresentar valor nico
2. A funo gp(t) tiver um nmero finito de descontinuidades
3. A funo gp(t) tiver um nmero finito de mximos e mnimos
15 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
22 00 TtT
Sries de Fourier
Condies de Direchlet (continuao) :
4. A funo gp(t) for integrvel, ou seja
16 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
2
2
0
0
T
T
p dttg
Sries de Fourier
Sries de Fourier exponenciais: As sries de Fourier podem ser descritas tambm
em termos de funes exponenciais complexas da forma
Os coeficientes cn so complexos e podem ser obtidos por
17 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
n
npT
tnjctg
0
2exp
2
2 00
0
0
2exp
1T
T
pn dtT
tnjtg
Tc
Sries de Fourier
As ltimas expresses mostram que um sinal peridico gp(t) tem sua srie de Fourier composta por harmnicas 0, f0, 2f0, 3f0,...
Estas harmnicas compem o espectro do sinal gp(t)
Portanto, um determinado sinal no domnio no tempo est associado a um espectro no domnio da frequncia
No caso de sinais peridicos, o espectro apresenta apenas valores discretos (harmnicas), e pode ser chamado de espectro discreto
18 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
Sries de Fourier
Portanto, pode-se especificar um sinal peridico gp a partir de:
Sua forma de onda no domnio do tempo
Seu espectro no domnio da frequncia
As caractersticas nos domnios do tempo e da frequncia esto relacionadas entre si e, portanto, no so independentes uma da outra.
19 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
Sries de Fourier
Os coeficientes complexos cn podem ser escritos da seguinte forma:
20 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
nnn cjcc argexp
Amplitude da n-sima harmnica
Fase da n-sima harmnica
Sries de Fourier
O diagrama mostrando os vrios cn chamado de espectro discreto de amplitude do sinal gp(t).
O diagrama mostrando os vrios valores de arg(cn) chamado de espectro discreto de fase do sinal gp(t).
21 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
Sries de Fourier
Os coeficientes cn apresentam as seguintes caractersticas:
Portanto
O espectro de amplitude uma funo par
O espectro de fase uma funo mpar
22 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
nn ccnn cc
nn cc argarg
Sries de Fourier
Exemplo 1:
Calcular a srie de Fourier do sinal abaixo:
Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia 23
t
v(t)
A
T0/2 T0
Sries de Fourier
Exemplo 1:
1 - 5 Harmnicas + Componente DC
Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia 24
Sries de Fourier
Exemplo 1:
Resultado da srie de Fourier para nmx = 5
Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia 25
Fenmeno de Gibbs
Sries de Fourier
Exemplo 1:
Resultado da srie de Fourier para nmx = 20
Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia 26
Sries de Fourier
Exemplo 1:
Resultado da srie de Fourier para nmx = 100
Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia 27
Sries de Fourier
Exemplo 1:
Resultado da srie de Fourier para nmx = 1000
Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia 28
Sries de Fourier
Exemplo 2:
Calcular os espectros de amplitude e fase da seguinte forma de onda quadrada
Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia 29
t
v(t)
A
T/2 -T/2 -T0 T0
Sries de Fourier
Observaes do Exemplo 2: O espaamento entre as componentes espectrais
ditado pelo perodo T0 (ou pela frequncia f0 ) do sinal
As caractersticas da envoltria so ditadas pelas caractersticas do pulso, ou seja, por sua amplitude (A) e por sua durao (T)
Os zeros ocorrem em mltiplos de 1/T O espectro de fase assume valores 0 ou 180,
dependendo da polaridade da funo sinc.
30 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
Transformada de Fourier
A transformada de Fourier importante por ser aplicvel a sinais aperidicos
A srie de Fourier um caso particular da transformada de Fourier
Matematicamente:
31 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
tgtg pT
0
lim
onde gp(t) um sinal peridico com perodo T0 e g(t) o sinal definido por um ciclo de gp(t).
Transformada de Fourier
Sries de Fourier exponenciais:
onde
32 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
n
npT
tnjctg
0
2exp
2
2 00
0
0
2exp
1T
T
pn dtT
tnjtg
Tc
Definindo:
0TcfG nn 0T
nfn
0
1
Tf
Transformada de Fourier
Pode-se reescrever a expresso para gp(t) como:
onde
33 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
ftfjfGtgn
nnp
2exp
2
2
0
0
2exp
T
T
npn dttfjtgfG
Transformada de Fourier
Fazendo-se T0 tender ao infinito ou, equivalentemente f0 tender a zero, resulta:
onde
34 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
dftfjfGtg 2exp
dttfjtgfG 2exp
G( f ) conhecida como a transformada de Fourier de g(t)
Transformada de Fourier
Condies de Dirichlet para a Transformada de Fourier
1. A funo g (t) deve ser integrvel, ou seja
2. A funo g (t) possui um nmero finito de mximos, de mnimos e de descontinuidades em um intervalo finito de tempo
35 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
dttg2
Transformada de Fourier
Notaes compactas:
Transformada de Fourier de g(t):
Transformada inversa de Fourier de G( f ):
Par transformado:
36 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
tgfG F
fGtg -1F
fGtg
Transformada de Fourier
Espectro de g(t):
37 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
fjefGfG
Espectro de amplitude de g(t)
Espectro de fase de g(t)
Transformada de Fourier
Se g(t) for uma funo real, ento:
Portanto
O espectro de amplitude uma funo par
O espectro de fase uma funo mpar
38 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
fGfG fGfG
ff
Transformada de Fourier
Exemplo 3:
Calcular a transformada de Fourier de um pulso retangular de amplitude A e durao T.
39 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
t
v(t)
A
T/2 -T/2 0
Transformada de Fourier
Observaes do Exemplo 3:
O espectro de amplitude tem um lbulo principal centrado na origem e com largura total de 2/T
Os lbulos laterais decrescem em amplitude com o aumento da frequncia
40 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
Transformada de Fourier (Propriedades)
1. Linearidade (ou superposio):
Sejam os pares transformados:
Sejam a e b constantes.
A propriedade da linearidade permite escrever:
41 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
fGtg 11 )( fGtg 22 )(
fGbfGatgbtga 2121 )()(
Transformada de Fourier (Propriedades)
2. Escalonamento no tempo:
Seja o par transformado:
A propriedade do escalonamento no tempo permite escrever:
Uma compresso no domnio do tempo causa uma expanso do espectro do sinal.
42 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
fGtg )(
a
fG
aatg
1)(
Transformada de Fourier (Propriedades)
2. Escalonamento no tempo (continuao)
Exemplo:
Calcular o espectro de um pulso retangular rect(at), para a = 0,5, a= 1 e a = 2.
43 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
t
v(t)
1
T/2 -T/2 0
5,0,0
5,05,0,1)(rect
t
tt
Transformada de Fourier (Propriedades)
2. Escalonamento no tempo (continuao)
Do exemplo anterior:
Aplicando a propriedade do escalonamento, resulta que:
44 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
ft sinc)(rect
a
f
ata sinc
1)(rect
Transformada de Fourier (Propriedades)
2. Escalonamento no tempo (continuao)
45 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
t
v(t)
1
1 -1 0
t
v(t)
1
1/2 -1/2 0
Transformada de Fourier (Propriedades)
2. Escalonamento no tempo (continuao)
46 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
t
v(t)
1
1/4 -1/4
Transformada de Fourier (Propriedades)
3. Dualidade:
Seja o par transformado:
A propriedade da dualidade permite escrever:
Exemplo:
Transformada de um pulso g(t) = A sinc(2Wt):
47 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
fGtg )(
fgtG )(
Transformada de Fourier (Propriedades)
4. Deslocamento no tempo:
Seja o par transformado:
Para um dado deslocamento t0, a propriedade do deslocamento permite escrever:
A propriedade mostra que um atraso t0 aplicado a g(t) no afeta a sua amplitude; somente a fase de g(t) alterada
48 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
fGtg )(
00 2exp)( tfjfGttg
Transformada de Fourier (Propriedades)
4. Deslocamento no tempo (Exemplo)
49 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
t
v(t)
A
T/2 -T/2 0
t
v(t)
A
T 0
T
tAtg rect)(
TfATfG sinc)(
T
TtAtg
2rect)(
TfjTfATfG expsinc)(
Transformada de Fourier (Propriedades)
5. Deslocamento em frequncia:
Seja o par transformado:
Para um dado deslocamento fc, a propriedade do deslocamento em frequncia permite escrever:
Esta propriedade consequncia direta das propriedades 3 (dualidade) e 4 (deslocamento no tempo)
50 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
fGtg )(
cc ffGtfjtg 2exp)(
Transformada de Fourier (Propriedades)
5. Deslocamento em frequncia: (continuao)
A multiplicao de g(t) pela exponencial equivalente a um deslocamento em frequn-cia de fc na direo positiva do espectro.
Exemplo:
Transformada de Fourier de um pulso de RF.
51 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
Transformada de Fourier (Propriedades)
6. Diferenciao no domnio do tempo: Seja o par transformado: Assumindo que a primeira derivada de g(t)
admite uma transformada de Fourier, pode-se escrever:
A multiplicao de G( f ) por j2f implica no fato de que a diferenciao no domnio do tempo refora as componentes de alta frequncia do sinal g(t)
52 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
fGtg )(
fGfjtgdt
d2)(
Transformada de Fourier (Propriedades)
6. Diferenciao no domnio do tempo: (continuao)
A propriedade da dualidade nos permite escrever:
De maneira mais geral, pode-se escrever a propriedade da diferenciao no domnio do tempo como sendo:
53 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
fGfjtgdt
d nn
n
2)(
fGdf
dtgtj )(2
Transformada de Fourier (Propriedades)
7. Integrao no domnio do tempo:
Seja o par transformado:
Assumindo que G(0) = 0 pode-se escrever:
A diviso de G( f ) por j2f implica no fato de que integrao no domnio do tempo tende a atenuar as componentes de alta frequncia do sinal g(t)
54 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
fGtg )(
fGfj
dttg
t
2
1)(
Transformada de Fourier (Propriedades)
7. Integrao no domnio do tempo: (continuao)
Exemplo:
Calcular a transformada de Fourier de um pulso triangular mostrado no grfico abaixo.
55 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
t
v(t) AT
T 0 -T
Transformada de Fourier (Propriedades)
8. Funes conjugadas:
Seja o par transformado:
A propriedade das funes conjugadas nos permite escrever:
onde o asterisco indica a operao complexo conjugado.
56 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
fGtg )(
fGtg )(
Transformada de Fourier (Propriedades)
9. Multiplicao no domnio do tempo:
Seja o par transformado:
A propriedade da multiplicao no domnio do tempo nos permite escrever:
Esta integral conhecida como convoluo no domnio da frequncia.
57 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
fGtg )(
dfGGtgtg 2121 )()(
Transformada de Fourier (Propriedades)
9. Multiplicao no domnio do tempo: (continuao)
Portanto, uma multiplicao no domnio do tempo resulta em uma convoluo no domnio da frequncia.
Notao reduzida da convoluo entre duas funes:
A convoluo comutativa, ou seja:
58 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
fGfGfG 2112
fGfG 2112 fGfGfGfG 1221 ou ainda
Transformada de Fourier (Propriedades)
9. Multiplicao no domnio do tempo: (continuao)
Exemplo:
Efeito do truncamento de um pulso sinc no espectro.
59 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
Transformada de Fourier (Propriedades)
9. Multiplicao no domnio do tempo: (exemplo truncamento de um pulso sinc)
60 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
T = 8/W
Transformada de Fourier (Propriedades)
9. Multiplicao no domnio do tempo: (exemplo truncamento de um pulso sinc)
61 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
T = 1/W
Transformada de Fourier (Propriedades)
9. Multiplicao no domnio do tempo: (exemplo truncamento de um pulso sinc)
62 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
T = 64/W
Transformada de Fourier (Propriedades)
10. Convoluo no domnio do tempo:
Seja o par transformado:
A propriedade da convoluo no domnio do tempo nos permite escrever:
Esta integral conhecida como convoluo no domnio do tempo.
63 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
fGtg )(
)()( 2121 fGfGdtgg
Transformada de Fourier (Propriedades)
10. Multiplicao no domnio do tempo: (continuao)
Portanto, uma convoluo no domnio do tempo resulta em uma multiplicao no domnio da frequncia.
Esta propriedade obtida diretamente utilizando-se as propriedades 3 (dualidade) e 9 (multiplicao no domnio do tempo)
Notao reduzida da convoluo entre duas funes no domnio do tempo:
64 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
fGfGtgtg 2121
Relaes entre os Domnios do Tempo e da Frequncia
Vimos vrias propriedades da transformada de Fourier, que relaciona os domnios do tempo e da frequncia de um determinado sinal.
possvel concluir que as funes apresentam comportamentos inversamente proporcionais em um domnio em relao ao outro.
Uma mudana no domnio do tempo causa um efeito inversamente proporcional no domnio da frequncia
65 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
Relaes entre os Domnios do Tempo e da Frequncia
Uma mudana no domnio da frequncia causa um efeito inversamente proporcional no domnio do tempo.
Consequncias:
possvel especificar um sinal arbitrariamente somente no domnio do tempo ou somente no domnio da frequncia.
A especificao arbitrria em ambos os domnios simultaneamente no possvel.
66 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
Relaes entre os Domnios do Tempo e da Frequncia
Consequncias: (continuao)
Se um sinal apresenta comportamento limitado no domnio da frequncia, ele existir infinitamente no domnio do tempo.
Exemplo: Um espectro descrito pela funo rect resulta em um pulso sinc no domnio do tempo.
Por dualidade, se um sinal apresenta comportamento limitado no domnio do tempo, ele apresentar espectro infinito no domnio da frequncia.
Portanto, o sinal no pode ser limitado em frequncia e no tempo simultaneamente.
67 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
Relaes entre os Domnios do Tempo e da Frequncia
Banda de um sinal:
O conceito de banda de um sinal importante para a anlise de sinais
Definio:
A banda de um sinal fornece a faixa de frequncias que contm o contedo espectral significativo de um sinal para frequncias positivas.
Se o sinal for estritamente limitado em frequncia, o seu contedo espectral est completamente definido dentro da banda do sinal.
68 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
Relaes entre os Domnios do Tempo e da Frequncia
Banda de um sinal: (continuao)
Se o sinal no for estritamente limitado em frequncia, deve-se adotar um critrio para definir quais frequncias representam o contedo espectral significativo.
Definio de banda de um sinal depende de sua caracterstica:
Passa-baixa
Passa-faixa
69 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
Relaes entre os Domnios do Tempo e da Frequncia
Sinal passa-baixa:
Definies de banda:
70 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
f
G ( f )
A
-f0 f0 f
G ( f ) A
-f0 f0
primeiros nulos
A 3 dB
BW BW
Relaes entre os Domnios do Tempo e da Frequncia
Sinal passa-faixa:
Definies de banda:
71 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
f
G ( f )
A
fc f
A
primeiros nulos
A 3 dB
BW
G ( f )
fc
BW
Relaes entre os Domnios do Tempo e da Frequncia
Produto tempo-banda de um sinal:
Para qualquer famlia de pulsos, onde h um escalonamento no tempo, o produto entre a durao do pulso e sua banda ser sempre uma constante.
Matematicamente:
O produto acima mais uma consequncia da caracterstica inversa entre os domnios do tempo e da frequncia.
72 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
constanteBWW
Relaes entre os Domnios do Tempo e da Frequncia
Produto tempo-banda de um sinal: (continuao)
O produto tempo-banda de um sinal consequncia da propriedade 2 (escalonamento no tempo) da transformada de Fourier
73 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
Transformada de Fourier de Sinais Peridicos
A transformada de Fourier aplicada para sinais apridicos.
A aplicao da transformada de Fourier para sinais peridicos necessita do uso de uma funo conhecida como funo delta de Dirac
Definio:
74 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
0,0 tt
Transformada de Fourier de Sinais Peridicos
A funo delta de Dirac assume valor diferente de zero somente para t = 0.
A amplitude da funo tal que a rea existente abaixo de sua curva unitria.
Matematicamente, esta funo satisfaz a seguinte equao:
75 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
1
t
Transformada de Fourier de Sinais Peridicos
A funo delta de Dirac pode ser vista como um pulso retangular de rea unitria e durao , fazendo-se tender a zero.
76 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
t
v(t)
0,5
1 -1 0 -0,2 0,2 -5 5
0,1
2,5
Transformada de Fourier de Sinais Peridicos
Matematicamente:
medida que a durao do pulso tende a zero, sua amplitude tende a infinito.
Com a diminuio de , a funo toma a forma de um impulso.
A funo delta de Dirac tambm conhecida como funo impulso.
77 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
tt rect
1lim
0
Transformada de Fourier de Sinais Peridicos (Delta de Dirac)
Propriedade 1:
A funo delta de dirac uma funo par.
Propriedade 2:
A integral do produto de uma funo com o delta de Dirac igual ao valor desta funo para t = 0.
78 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
tt
0gdtttg
Transformada de Fourier de Sinais Peridicos (Delta de Dirac)
Propriedade 3:
Deslocamento no tempo para a funo impulso
A integral anterior pode ser reescrita e tomar a forma de uma convoluo:
79 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
00 tgdttttg
tgdttg
Transformada de Fourier de Sinais Peridicos (Delta de Dirac)
Propriedade 3: (continuao)
A convoluo de qualquer funo com o delta de Dirac deixa a funo inalterada
Em notao compacta:
80 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
tgttg
Transformada de Fourier de Sinais Peridicos (Delta de Dirac)
Propriedade 4:
Transformada de Fourier da funo impulso:
Utilizando a propriedade do deslocamento no tempo, resulta que:
81 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
dttfjtt 2expF
1tF
Transformada de Fourier de Sinais Peridicos (Delta de Dirac)
Propriedade 4: (continuao)
Portanto:
82 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
1t
t
g (t)
0 f
G ( f )
1
0
Funo delta de Dirac Espectro de (t)
Transformada de Fourier de Sinais Peridicos (Delta de Dirac)
Exemplo 1 Sinal dc.
Um sinal dc de amplitude unitria dado por:
Por dualidade, o par transformado dado por:
83 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
f1
f
g (t)
0
Sinal dc Espectro de g(t)
1tg
t
G ( f )
1
0
Transformada de Fourier de Sinais Peridicos (Delta de Dirac)
Exemplo 2 sinais senoidais.
Um sinal cossenoidal de amplitude unitria dado por:
A funo cossenoidal pode ser decomposta em duas exponenciais complexas:
84 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
tftg c2cos
tfjtfjtf ccc 2exp2exp2
12cos
Transformada de Fourier de Sinais Peridicos (Delta de Dirac)
Exemplo 2 sinais senoidais. (continuao)
Pela propriedade do deslocamento em frequncia:
85 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
ccc fffftf 2
12cos
f 0
G ( f )
fc -fc
Espectro de um sinal cossenoidal
Transformada de Fourier de Sinais Peridicos (Delta de Dirac)
Exemplo 2 sinais senoidais. (continuao)
De maneira anloga, pode-se obter o espectro de um sinal senoidal:
86 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
ccc fffftf 2
12sin
f 0
Espectro de um sinal senoidal
G ( f )
fc
-fc
Transformada de Fourier de Sinais Peridicos
As sries de Fourier podem ser desenvolvidas atravs da utilizao de exponenciais complexas
A transformada de Fourier definida como um caso limite das sries de Fourier
Desta forma, possvel obter a transformada de Fourier de sinais peridicos desde que seja possvel utilizar funes delta de Dirac
87 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
Transformada de Fourier de Sinais Peridicos
Considerando que um pulso seja modelado matematicamente por:
Um trem de pulsos (funo peridica) pode ser gerado por:
onde g(t) a geratriz de gp(t).
88 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
t
TtTtftg
de valoresoutros para,0
2/2/, 00
m
p mTtgtg 0
Transformada de Fourier de Sinais Peridicos
Em termos de sua Srie de Fourier, gp(t) pode ser escrita como:
sendo:
89 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
n
npT
tnjctg
0
2exp
2
2 00
0
0
2exp
1T
T
n dtT
tnjtg
Tc
00
1
T
nG
Tcn
Transformada de Fourier de Sinais Peridicos
Substituindo cn na srie:
Lembrando do par transformado:
ento
90 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
000
2exp
1
T
tnj
T
nG
Ttg
n
p
cc fftfj 2exp
000
1
T
nf
T
nG
Ttg
n
p F
Transformada de Fourier de Sinais Peridicos
Portanto:
A expresso acima indica que a transformada de Fourier de um sinal peridico descrita por funes impulso ocorrendo em mltiplos inteiros da frequncia fundamental f0 = 1/T0.
91 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
000
0
1
T
nf
T
nG
TmTtgtg
nm
p
Transformada de Fourier de Sinais Peridicos
A periodicidade no tempo faz com que o espectro assuma uma forma discreta
Exemplo:
Funo de Amostragem ideal
92 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
Teorema da Amostragem
A converso analgico-digital (ADC) uma operao que necessria em inmeras aplicaes
O processo de ADC composto pelos seguintes processos
Amostragem
Quantizao
Codificao
93 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
Teorema da Amostragem
Para que no haja perda da informao do sinal analgico, necessrio que o processo de amostragem seja realizado com uma frequncia adequada
Portanto, deve-se obter matematicamente uma taxa de amostragem mnima que indique com que frequncia o sinal de entrada deve ser amostrado
94 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
Teorema da Amostragem
O processo de amostragem ideal realizado tomando-se amostras do sinal em intervalos de tempo uniformes
O resultado da amostragem uma sequncia de impulsos com amplitudes que seguem a variao o sinal original
95 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
Teorema da Amostragem
Considerando o sinal:
obtem-se a sua verso amostrada como:
96 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
t
g (t)
0
t
g (t)
0 Ts
Teorema da Amostragem
O tempo Ts conhecido como o perodo de amostragem.
A frequncia fs = 1/Ts conhecida como frequncia de amostragem.
Considerando a funo g (t) como sendo composta por uma sequncia de funes delta que descreve o sinal g (t), pode-se escrever
97 Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia
sn
s nTtnTgtg
Teorema da Amostragem
A funo g (t) conhecida como funo de amostragem ideal.
A funo g (t) tem a forma de uma transformada de Fourier de um sinal peridico
possvel obter o comportamento do sinal amostrado no domnio da frequncia
Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia 98
0,
mmffGffGftgm
sss
Teorema da Amostragem
O termo G ( f ) a transformada do sinal original g (t)
O processo da amostragem uniforme resulta em um espectro peridico com perodo igual taxa de amostragem fs
Lembrando, agora, que
Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia 99
ss TfnjnTt 2exp
Teorema da Amostragem
A transformada de g (t) pode ser obtida e dada por
Esta funo pode ser vista como uma srie de Fourier complexa com coeficientes g(nTs)
Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia 100
n
ss TfnjnTgfG 2exp
Teorema da Amostragem
As expresses anteriores tratam sinais contnuos no tempo e de infinita durao
Assumindo, agora que o sinal tenha uma banda limitada W e que no haja componentes espectrais acima de W Hz
Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia 101
WffG para0
Teorema da Amostragem
Teorema da Amostragem:
Um sinal com banda limitada e sem componentes espectrais acima de W hertz pode ser completamente descrito se os valores do sinal forem dados a intervalos de tempo de 1/2W segundos.
Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia 105
Teorema da Amostragem
Teorema da Amostragem: (continuao)
Um sinal com banda limitada e sem componentes espectrais acima de W hertz pode ser completamente reconstrudo atravs de amostras do sinal original retiradas a uma taxa de 2W amostras por segundo.
A taxa de amostragem de 2W amostras por segundo conhecida como o critrio de Nyquist ou tambm taxa de amostragem de Nyquist.
Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia 106
Teorema da Amostragem
Na prtica, nenhum sinal perfeitamente limitado em termos de banda
Por isto, a taxa de amostragem fs deve ser escolhida de modo a se manter as principais componentes espectrais do sinal original
Anlise de Sinais no Domnio da Frequncia 107