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UNIDAD 4: GRAFIQUEMOS RELACIONES Y
FUNCIONES.
Plano cartesiano.
¿Recuerdas la recta numérica? Esa recta resulta ser el eje X del plano cartesiano (eje horizontal).
El eje vertical es el eje de las y. Ambos ejes se cortan perpendicularmente y en CERO. Así se
forma el plano cartesiano, que es el siguiente:
Podemos observar las características siguientes:
1. Los valores positivos de X están a la derecha del origen
2. Los valores positivos de y están hacia arriba del origen
3. Los valores negativos de X están a la izquierda del origen
5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
Origen (0, 0)
Cuadrante I Cuadrante II
Cuadrante III Cuadrante IV
Eje X
Eje y
4. Los valores negativos de y están hacia abajo del origen
5. Todo valor a la izquierda es menor que todo valor a la derecha (en X)
6. Todo valor de abajo es menor que todo valor de arriba (en y)
Ubicación de un par ordenado en el plano cartesiano.
Un par ordenado representa un punto en el plano cartesiano. Por ejemplo, el par ordenado (-2,
5) tiene a –2 como coordenada en X, mientras que su coordenada en y es 5. Para ubicar tal
punto, trazamos una línea que pase por –2 en X y otra que pase por 5 en y. Donde se cortan es
el punto.
Ejemplos. Ubicar en el plano los puntos siguientes: (2, 5), (-3, 4), (-2, -3), (5, -2), X = 3 y
y = -4.
Solución.
5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
(2, 5)
(-3, 4)
(-2, -3)
(5, -2)
X = 3
y = -4
Actividad 1. Encuentra las incógnitas en los pares ordenados siguientes:
1. (m, 5) = (7, k) _________ _________ 2. (n + 1, p) = (10, -3) _________ _________
3. (q + 2, d) = (7, -5) _________ _________ 4. (q - 5, b) = (-5, 7) _________ _________
5. (5 - q, 5) = (7, 2 - a) _________ _________ 6. (2m + 1, 4m - 5) = (11 – 2b, 2b - 3) _________
_________
Actividad 2. Ubica en el plano cartesiano los puntos siguientes: 1. (1, 4) 2. (-2, 3)
3. (-4, -2) 4. (4, -3) 5. y = 4 6. x = -3
discusión 1. 1. Marquen 4 puntos que estén a 3 unidades del punto (1, 2) y
graficarlos. (Una unidad es la distancia entre un entero y el siguiente; por ejemplo, entre 5 y 6
hay una unidad). 2. Encuentren la distancia entre los puntos (1, 1) y (5, 4) (Ayuda: aplicarán
Pitágoras)
3. Producto cartesiano.
5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
3.1 Definición. Si A y B son 2 conjuntos, el producto cartesiano
AXB es el conjunto de pares ordenados formado al combinar todos los elementos de A con todos los de B, en ese orden.
En notación de conjunto: AXB = { (X, y) ⁄ X A y y B }
Se concluye que AXB es diferente de BXA. Además, A es el conjunto de partida, y B es el
conjunto de llegada.
Ejemplo. A = {2, 5, 6, 8} y B = {3, 5, 7} Con estos conjuntos encontrar AXB y BXA
Solución.
AXB = { (2, 3), (2, 5), (2, 7), (5, 3), (5, 5), (5, 7), (6, 3), (6, 5), (6, 7), (8, 3), (8, 5), (8, 7) }
BXA = { (3, 2), (3, 5), (3, 6), (3, 8), (5, 2), (5, 5), (5, 6), (5, 8), (7, 2), (7, 5), (7, 6), (7, 8), }
Actividad 3. Con los conjuntos A = {2, 3, 5 } B = { 3, 5, 7 } y C = { 4, 6, 7, 8 }
calcula:
1. AXB = _____________________________________________________________________________________________
2. BXA = _____________________________________________________________________________________________
3. AXC = _____________________________________________________________________________________________
4. CXA = _____________________________________________________________________________________________
5. BXC = _____________________________________________________________________________________________
6. CXB = _____________________________________________________________________________________________
7. (A∩B)XC =
_____________________________________________________________________________________________
8. (B∩C)XA =
______________________________________________________________________________________________
discusión 2. Se tiene un conjunto con 20 elementos y otro con 30. ¿Cuántos
pares ordenados resultarán del producto cartesiano entre ambos? ________
3.2 Representación de productos A X B en el plano cartesiano, donde
A y B sean subconjuntos de ℜ o iguales a ℜ.
Graficar AXB es ubicar en el plano cartesiano todos los puntos (pares ordenados) que resulten
del producto cartesiano AXB.
Ejemplo. Si A = {2, 3, 5 } y B = {5, 7}, grafiquemos AXB.
AXB = { (2, 5), (2, 7), (3, 5), (3, 7), (5, 5), (5, 7) }
Gráfica de AXB
8 7 6 5 4 3 2 1
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
4 3 2 1
Ejemplo. Si A = ]1, 3] y
B = [2, 4 [ graficar AXB y BXA.
Solución. Al graficar AXB el
conjunto A es el de partida: estará en el eje X.
B es el conjunto de llegada: estará en y.
En este gráfico se hallan todos los valores
comprendidos entre 1 y 3. Observa que la línea
X = 1 está punteada. Esto se debe a que el 1 no
está comprendido: ahí el intervalo es abierto.
En este caso, hemos trabajado con dos
conjuntos finitos: con un número
determinado de elementos. En ocasiones
se trabajará con conjuntos con infinitos
elementos (NO conjuntos al infinito).
El gráfico de AXB resultará al traslapar ambos gráficos:
Seleccionemos 4 puntos que no pertenecen a AXB: (1, 2). (2, 4). (1, 3), (4, 1) Para el primer
caso, (1, 2), la coordenada 1 (coordenada en x) no pertenece a AXB, aunque la segunda
coordenada, 2, sí pertenece. Para que el punto pertenezca a AXB, ambas coordenadas deben
pertenecer. En el caso de (2, 4), vemos que la primera coordenada, 2, pertenece a AXB; pero la
1 2 3 4 5
4 3 2 1
1 2 3 4 5
4 3 2 1
1 2 3 4 5
El conjunto B es el de llegada:
estará en el eje y.
En este gráfico se hallan todos
los valores comprendidos entre 2
y 4. Observa que la línea y = 4
está punteada. Esto se debe a que
el 4 no está comprendido: ahí el
intervalo es abierto.
AXB
segunda coordenada NO pertenece. Para el punto (4, 1), ninguna de las coordenadas pertenece a
AXB.
Al graficar BXA, B es el conjunto de partida y A es el de llegada. Es decir que B estará en X y
A en y. El gráfico BXA es el siguiente:
Actividad 4. Si A = {2, 3, 5, 7, 9, 10 } y B = {5, 6, 7, 8}, grafica AXB y BXA.
Actividad 5. Con los conjuntos A = [-2, 3[ B = ]2, 4] y C = [-3, 5] graficar
AXB, BXA, AXC, CXA, BXC y CXB.
4. Relaciones.
4.1 Definición. Para los conjuntos A y B, una relación (R) de A en B, es cualquier
subconjunto de AXB.
Para el caso de A = {2, 3, 5 } y B = {5, 7}, se tiene que AXB = { (2, 5), (2, 7), (3, 5), (3, 7),
(5, 5), (5, 7) } Tres relaciones de A en B son las siguientes:
R1 = { (2, 5), (2, 7), (3, 5) }
R1 = { (3, 5), (3, 7) }
R1 = { (5, 5) }
4 3 2 1
1 2 3 4
BXA
4.2 Conjunto de partida, conjunto de llegada, dominio y rango
(recorrido) de una relación y su gráfico.
Conjunto de partida. Es el conjunto que contiene las primeras componentes de un
producto cartesiano. Es decir que para AXB, el conjunto de partida es A.
Conjunto de llegada. Es el conjunto que contiene las segundas componentes de un
producto cartesiano. Es decir que para AXB, el conjunto de llegada es B.
Dominio. Es el conjunto que contiene las primeras componentes de una relación
Rango o recorrido. Es el conjunto que contiene las segundas componentes de una
relación
Ejemplo. Sea AXB = { (2, 3), (2, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 5), (5, 10), (5, 12) }. Si la relación R de
A en B es el conjunto formado por los pares ordenados en los que la segunda componente es el
doble de la primera, calcular: conjunto de partida, conjunto de llegada, dominio y rango.
Solución.
▬ El conjunto de partida son las primeras componentes del producto cartesiano: { 2, 3, 5 }
▬ El conjunto de llegada son las segundas componentes del producto cartesiano:
{ 3, 4, 5, 6, 10, 12 }
La relación R de A en B que buscamos estará formada por los pares ordenados en los que la
segunda componente es el doble de la primera: { (2, 4), (3, 6), (5, 10) } De esta relación
saldrán el dominio y el rango.
▬ El dominio son las primeras componentes de la relación: { 2, 3, 5 }
▬ El rango son las segundas componentes de la relación: { 4, 6, 10 }
Ejemplo. Sea P = {2, 3, 5 } y Q = {5, 7, 9, 11} Si la relación R es:
R = { (X, y) / X P y y Q, con y = 2X + 1 }
Calcular: conjunto de partida, conjunto de llegada, dominio y rango.
Solución.
▬ Conjunto de partida: { 2, 3, 5 }
▬ Conjunto de llegada: { 5, 7, 9, 11 }
En palabras, la relación está formada así: por los pares ordenados con su primera componente
(X) sacada de P y la segunda (y) sacada de Q; siendo la segunda el doble de la primera más
UNO.
Formemos el producto cartesiano PXQ, y seleccionemos los pares ordenados que cumplan con
la condición de la relación.
PXQ = { (2, 5), (2, 7), (2, 9), (2, 11), (3, 5), (3, 7), (3, 9), (3, 11), (5, 5), (5, 7), (5, 9), (5, 11) }
Por lo tanto: R = { (2, 5), (3, 7), (5, 11) }
▬ El dominio es: { 2, 3, 5 }
▬ El rango es: { 5, 7, 11 }
.........................................................................................................................
.....
NOTA: debemos leer cuidadosamente la relación, pues nos puede conducir a errores. La
relación anterior es: R = { (X, y) / X P y y Q, con y = 2X + 1 } Es una relación de P
en Q.
Cambiémosla por: R = { (X, y) / X Q y y P, con y = 2X + 1 } Esta es una relación de
Q en P.
Para este caso el producto cartesiano sería
QXP = { (5, 2),(5, 3), (5, 5), (7, 2),(7, 3), (7 5), (9, 2),(9, 3), (9, 5), (11, 2), (11, 3), (11,
5),}
Para este producto cartesiano, la relación es el conjunto vacío: no hay un par
ordenado cuya segunda componente sea el doble más UNO que la primera. Por lo
tanto no habría dominio y rango.
.........................................................................................................................
.....
Ejemplo. Sea Q = {2, 4, 6, 8} Si la relación es: R = { (X, y) / X QXQ con X + y =
12 } Calcular: conjunto de partida, conjunto de llegada, dominio y rango.
Solución.
▬ El conjunto de partida y el de llegada es el mismo: Q = {2, 4, 6, 8}
La relación nos dice que sus pares ordenados pertenecen al producto cartesiano QXQ, que
también puede expresarse como Q2
QXQ = { (2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (4, 8), (6, 2), (6, 4), (6, 6), (6, 8), (8, 2),
(8, 4),
(8, 6), (8, 8) }
También la relación nos dice que la suma de las coordenadas del par ordenado es igual a 12. Por
lo tanto: R = { (4, 8), (6, 6), (8, 4) }
▬ El dominio es: { 4, 6, 8 }
▬ El rango es: { 4, 6, 8 } El dominio es igual al rango.
Ejemplo. Sea Q = {2, 4, 5, 6} Si la relación es: R = { (X, y) / X N y y Q / 2X +
y = 12 } Calcular: conjunto de partida, conjunto de llegada, dominio y rango.
Solución.
Los pares ordenados de la relación son (X, y) y X (la primera componente) pertenece a los
naturales. Las segundas componentes pertenecen a Q (Es una relación de N en Q) Por lo tanto:
▬ El conjunto de partida es N
▬ El conjunto de llegada es Q
Para calcular dominio y rango necesitamos NXQ, que es un conjunto infinito. No es posible
expresarlo por extensión, así que haremos los cálculos por inspección.
Sabemos que 2X + y = 12. y puede tomar los 4 valores de Q: 2, 4, 5 y 6. X puede tomar
cualquier valor natural, pero nos interesan aquellos que reproduzcan los 4 de y. Por lo tanto
despejemos X y sustituyamos los valores de y.
2X + y = 12 X = (12 – y) /2
Valor de y X = (12 – y)/2
2 5
4 4
5 7/2
6 3
De la relación resulta que: ▬ El dominio = { 3, 4, 5 } ▬ El rango = { 2, 4, 6 }
Ejemplo. Calcular el dominio, rango y gráfica de la relación
R = { (X, y) ℜXℜ / y – 2X > -2 }
Solución.
ℜXℜ es el producto cartesiano de los reales con los reales; es decir que ℜXℜ es todo el plano
cartesiano.
Despejemos y de y – 2X > -2: y > 2X – 2
Ahora grafiquemos la frontera cambiando > por = : y = 2X – 2. La frontera no estará
incluida.
De aquí obtenemos los pares ordenados que satisfacen la relación. Por
lo tanto:
R = { (5, 2), (4, 4), (3, 6) }
El par ordenado (7/2, 5) no pertenece al producto cartesiano NXQ,
por tal razón no pertenece a la relación.
7/2 no es un número natural.
y = 2X – 2 es una línea recta. Para su gráfica bastan 2 puntos. Tomemos los puntos X = 0, y
X = 4.
X y = 2X – 2 Puntos
0 -2 (0, -2)
4 6 (4, 6)
La gráfica es la siguiente:
En cuanto al dominio y el rango, se tiene que tanto X como y pueden tomar cualquier valor. Es
decir que el dominio y el rango son los reales.
El gráfico puede apreciarse en la página siguiente.
6 5 4 3 2 1
-1
-2
-2 -1 1 2 3 4 5
Ahora tomemos 2 puntos: uno a cada
lado de la recta. Tomemos los puntos (4,
1) y (0, 0) Probamos estos puntos en la
desigualdad:
Probando (4, 1), que está a la derecha de
la recta.
y – 2X > -2
(1) – 2(4) > -2
1 – 8 > -2 -7 > -2 ¡¡ Falso !!
Probando (0, 0), que está a la izquierda
de la recta.
y – 2X > -2
(0) – 2(0) > -2
0 > -2 ¡¡ Verdadero !!
Por lo tanto, la relación se satisface en
toda la zona a la izquierda de la recta, sin
incluir los puntos de la recta, pues es > y
NO ≥.
.........................................................................................................................
....
Si la relación hubiese sido y – 2X ≥ -2, entonces la frontera estaría incluida, y se tendría una
línea continua.
Si la relación hubiese sido y – 2X < -2, entonces la frontera NO estaría incluida, y la relación se
cumpliría en todos los puntos a la derecha de la recta.
Si la relación hubiese sido y – 2X = -2, entonces la relación se cumpliría únicamente en la línea
recta.
Ejemplo. Encontrar el dominio, rango y gráfica de la relación
R = { (X, y) / X ℜXℜ y y > X2
+2 }
6 5 4 3 2 1
-1
-2
-2 -1 1 2 3 4 5
▬ Calculando el dominio: el dominio son los valores que puede tomar la X. En la
desigualdad
y > X2 +2, es evidente que X puede tomar cualquier valor: nada se lo impide. Se concluye
que el dominio es todos los reales.
▬ Calculando el rango: el rango son los valores que puede tomar la y. Se tiene que X2, para
cualquier valor de X, es CERO o mayor que cero. Por lo tanto, el menor valor que tomará X2
+2 es 2. Se concluye que el rango es: [2, +∞[ Esto se ve mejor despejando X de la
ecuación:
X < √y - 2 Aquí el mínimo valor que puede tomar y es 2, de lo contrario se obtiene un
número negativo (que no tiene raíz cuadrada. Por ejemplo, si toma el valor de 1, obtenemos 1 –
2 = -1.
▬ Tracemos la gráfica. y > X2 +2 es una parábola abierta hacia arriba y que comienza en
y = 2.
Se tienen los puntos siguientes: (-2, 6), (-1, 3), (0, 2), (1, 3), (2, 6) Tal parábola es la frontera, la
cual no está comprendida en la relación (por ello es punteada)
Ahora probemos 2 puntos: uno interno (0, 5) y otro externo (0, 0) Sustituyamos en y >
X2 +2.
6
5
4
3
2
1
-2 -1 1 2
Para (0, 5) se tiene:
y > X2 +2
5 > (0)2 +2
5 > 2 ¡¡ Cierto !!
Por lo tanto, la relación se cumple en el área
interna de la parábola.
En realidad, basta con probar un punto. No es
necesario probar el otro.
..............................................................
6
5
4
3
Si tuviéramos y ≤ X2 +2 a cambio de
y > X2 +2, la frontera estaría comprendida
(no punteada) y la relación se cumpliría en
la parte externa de la parábola.
Ejemplo. Encontrar dominio y rango de la relación R = { (X, y) ℜXℜ / y ≤ √2 – X
}
▬ Calculando el dominio. El dominio son los valores que puede tomar la X. En la
desigualdad
y ≤ √2 – X, es evidente que X NO puede tomar un valor mayor que 2. En tal caso tendríamos
la raíz de un número negativo, que no existe. Por ejemplo, si X = 3, tenemos: √ 2 – 3 = √ -1,
que no existe (es imaginario) Pero sí puede tomar un valor igual o menor que 2. Se concluye
que el dominio es ]-∞, 2]
▬ Calculando el rango. El rango son los valores que puede tomar la y. En la desigualdad
y ≤ √ 2 – X, es evidente que y puede tomar cualquier valor, pues todo número positivo tiene 2
raíces: una positiva y otra negativa. Para el caso, las raíces de 4 son 2 y –2: 2 2
= 4, (-2) 2 = 4.
Por lo tanto el rango son todos los reales. Esto se visualiza mejor despejando X.
y = √ 2 – X y2 = (√ 2 – X)
2 y2
= 2 – X y2 – 2 = – X X = 2 – y2
Para todo
valor de y
Actividad 6. En cada caso encontrar el conjunto de partida, conjunto de llegada,
dominio y rango de la relación y su gráfico.
1. AXB = { (2, 4), (2, 7), (2, 8), (3, 6), (3, 10), (4, 8), (4, 13), (5, 10), (5, 16), (6, 12), (6, 18) }. Y
la relación es R = { (X, y) AXB / y = 3X + 1 }
Conjunto de partida ________________________ Conjunto de llegada
________________________
Dominio ________________________ Rango ________________________
2. M = {2, 3, 5 } y Q = {5, 6, 9, 12} R = { (X, y) / X M y y Q, con y = 3X – 3 }
Conjunto de partida ________________________ Conjunto de llegada
________________________
Dominio ________________________ Rango ________________________
3. M = {2, 3, 5 } y Q = {5, 6, 9, 12} R = { (X, y) / X Q y y M, con y = X – 4 }
Conjunto de partida ________________________ Conjunto de llegada
________________________
Dominio ______________________ Rango _______________________
4. M = {2, 3, 5 } y Q = {5, 6, 7, 8 } R = { (X, y) / X Q y y M, con y + X = 10 }
Conjunto de partida ________________________ Conjunto de llegada
________________________
Dominio ________________________ Rango ________________________
5. M = {2, 3, 5 } y Q = {5, 6, 7, 8 } R = { (X, y) / X M y y Q, con y + X = 10 }
Conjunto de partida ________________________ Conjunto de llegada
________________________
Dominio ________________________ Rango _______________________
6. Q = {2, 4, 5 } y M = {5, 6, 7, 8 } R = { (X, y) / X Q y y M, con 2y – X = 8 }
Conjunto de partida ________________________ Conjunto de llegada
________________________
Dominio ________________________ Rango _______________________
Actividad 7. Calcular dominio, rango y la gráfica de la relación en los casos siguientes.
1. R = { (X, y) ℜXℜ / y = 3X -5 } Dominio ___________________ Rango
_____________________
2. R = { (X, y) ℜXℜ / y > 3X -5 } Dominio ___________________ Rango
_____________________
3. R = { (X, y) ℜXℜ / y ≤ 3X -5 } Dominio ___________________ Rango
_____________________
4. R = { (X, y) ℜXℜ / y + 2X ≥ 5 } Dominio ___________________ Rango
_____________________
5. R = { (X, y) ℜXℜ / y > X2 +2 } Dominio _________________ Rango
__________________
6. R = { (X, y) ℜXℜ / y ≤ X2 +2 } Dominio ____________________ Rango
__________________
7. R = { (X, y) ℜXℜ / y ≤ X2 – 2 } Dominio ____________________ Rango
__________________
8. R = { (X, y) ℜXℜ / y ≤ 2 – X2 } Dominio ____________________ Rango
__________________
9. R = { (X, y) ℜXℜ / 2 – X2 – y ≤ 0} Dominio ____________________ Rango
__________________
10. R = { (X, y) ℜXℜ / 2 – X2 – y > 0} Dominio ____________________ Rango
__________________
11. R = { (X, y) ℜXℜ / 5 – X2 + y ≤ 0} Dominio ____________________ Rango
__________________
12. R = { (X, y) ℜXℜ / 5 – X2 + y < 0} Dominio ____________________ Rango
__________________
13. R = { (X, y) ℜXℜ / -5 + X2 – y < 0} Dominio ____________________ Rango
__________________
discusión 3. Para cada relación, encontrar el dominio y el rango.
1. R = { (X, y) ℜ2 / y ≤ 5 – X } Dominio ____________________ Rango
__________________
2. R = { (X, y) ℜ2 / y < 4 – X } Dominio ____________________ Rango
__________________
3. R = { (X, y) ℜ2 / y > X – 2 } Dominio ____________________ Rango
__________________
4. R = { (X, y) ℜ2 / y > 2X – 10 } Dominio ____________________ Rango
__________________
5. R = { (X, y) ℜ2 / y2
+ X > 10 } Dominio ____________________ Rango
__________________
6. R = { (X, y) ℜ2 / y2
– X < -4 } Dominio ____________________ Rango
__________________
Soluciones.
Actividad 1.
1. k = 5 2. n = 9 p = –3 3. q = 5 d = –5 4. q = 0 b = 7 5. q = –2 a = –5 6. m = 2 b = 3
discusión 1.
1. Le sumamos y restamos 4 a una coordenada sin alterar la otra. Los puntos son: (1, 6), (1, -2),
5, 2(), (-3, 2) 2. Se forma un triángulo rectángulo de lados 3 y 4, siendo la distancia la
hipotenusa: 5 unidades.
Actividad 3.
1. AXB = (2, 3), (2, 5), (2, 7), (3, 3), (3, 5), (3, 7), (5, 3 ), (5, 5), (5, 7)
2. BXA = (3, 2), (3, 3), (3, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 5), (7, 2), (7, 3), (7, 5)
3. AXC = (2, 4), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (5, 4 ), (5, 6), (5, 7), (5, 8)
4. CXA = (4, 2), (4, 3), (4, 5), (6, 2), (6, 3), (6, 5), (7, 2), (7, 3), (7, 5), (8, 2), (8, 3), (8, 5)
5. BXC = (3, 4), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (5, 4), (5, 6), (5, 7), (5, 8), (7, 4 ), (7, 6), (7, 7), (7, 8)
6. CXB = (4, 3), (4, 5), (4, 7), (6, 3), (6, 5), (6, 7), (7, 3), (7, 5), (7, 7), (8, 3), (8, 5), (8, 7)
7. (A∩B)XC = (3, 4), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (5, 4 ), (5, 6), (5, 7), (5, 8)
8. (B∩C)XA = (7, 2), (7, 3), (7, 5)
discusión 2. 600
Actividad 5.
Actividad 6.
1. Conjunto de partida { (2, 3, 4, 5, 6 } Conjunto de llegada { 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 16, 18 }.
R = { (2, 7), (3, 10), (4, 13), (5, 16) } Dominio { (2, 3, 4, 5 } Rango {7, 10, 13, 16 }
2. Conjunto de partida {2, 3, 5 } Conjunto de llegada {5, 6, 9, 12}
R = { (3, 6), (5, 12) } Dominio {3, 5 } Rango {6, 12}
3. Conjunto de partida {5, 6, 9, 12} Conjunto de llegada {2, 3, 5 }
-2 -1 1 2 3 4
4
3
2
1
AXB
Dominio {6, 9 } Rango {2, 5 }
4. Conjunto de partida {5, 6, 7, 8 } Conjunto de llegada {2, 3, 5 }
Dominio {5, 7, 8 } Rango {2, 3, 5 }
5. Conjunto de partida M = {2, 3, 5 } Conjunto de llegada Q = {5, 6, 7, 8 }
Dominio M = {2, 3, 5 } Rango {5, 7, 8 }
6. Conjunto de partida Q = {2, 4, 5 } Conjunto de llegada M = {5, 6, 7, 8 }
Dominio 2, 4 Rango 5, 6
Actividad 7.
1. Dominio ℜ Rango ℜ El gráfico es sólo la recta
2. Dominio ℜ Rango ℜ El gráfico es sólo la zona a la izquierda de la recta.
3. Dominio ℜ Rango ℜ El gráfico es la zona a la derecha de la recta, incluida ésta.
4. Dominio ℜ Rango ℜ El gráfico es la zona a la derecha de la recta, incluida ésta.
5. Dominio ℜ Rango [2, +∞[ El gráfico es la zona interna de la parábola.
6. Dominio ℜ Rango [2, +∞[ El gráfico es la zona externa de la parábola, incluida
ésta.
7. Dominio ℜ Rango [-2, +∞[ El gráfico es la zona externa de la parábola, incluida
ésta.
8. Dominio ℜ Rango [-2, +∞[ El gráfico es la zona interna de la parábola, incluida
ésta.
9. Dominio ℜ Rango ]-∞, 2] El gráfico es la zona externa de la parábola, incluida
ésta. 10. Dominio ℜ Rango ]-∞, 2] El gráfico es la zona interna de la parábola.
11. Dominio ℜ Rango [-5, +∞[ El gráfico es la zona externa de la parábola,
incluida ésta. 12. Dominio ℜ Rango [-5, +∞[ El gráfico es la zona externa de la parábola.
13. Dominio ℜ Rango [-5, +∞[ El gráfico es la zona interna de la parábola.
discusión 3. En todos, el rango es ℜ.
1. Dominio ]-∞, 5] 2. Dominio ]-∞, 4] 3. Dominio [2, +∞[ 4. Hacemos 2X –
10 = 2(X – 5) Dominio [5, +∞[ 5. Dominio ]-∞, 10] 6. Dominio [4, +∞[
