200 Nicolae Dne Utilizarea calculatoarelor

Reprezentarea grafic a funciilor de o variabil Pentru a nelege mai bine posibilitile de reprezentare grafic ale Mathcad-ului vom reprezenta grafic o funcie elementar al crui grafic este cunoscut.

Fie funcia f x( ) cos x( ):=

Pentru reprezentarea grafic a unei funcii de o variabil se parcurg urmtoarele etape: 1. Se clic pe ecran pentru a alege locul unde va apare reprezentarea grafic. 2. Se tasteaz @ sau se parcurge calea Insert/Graph/X-Y Plot i se d clic pe X-Y

Plot. Ca urmare a acestei operaii pe ecranul Mathcad apare un dreptunghi ca cel de mai jos nsoit n partea stng i jos de dou mici ptrate.

3. Se completeaz ptratul situat la mijlocul laturii de jos cu x.

4. Cele doua ptrate negre care apar la colurile laturii de jos se completeaz cu limitele intervalului de pe Ox. Daca sunt lsate necompletate, programul folosete valorile setate implicit i va face reprezentarea grafic pe intervalul [-10, 10].

5. Se completeaz ptratul situat pe latura vertical din stnga cu numele

funciei sau direct cu expresia acesteia. Ptratele care apar deasupra i sub numele funciei vor fi completate numai atunci cnd se cunosc valorile maxime i minime ale funciei. De regul, se las necompletate. Programul va afia aceste valori.

Mathcad 201

6. Pentru efectuarea reprezentrii grafice se d clic n afara zonei grafice. Programul va trasa graficul ca n figura de mai jos.

Pentru apariia axelor de coordonate se d dublu clic pe desen i n fereastra care apare, numit Formatting Currently Selected X-Y Plot, la rubrica Axes Style se selecteaz Crossed n loc de Boxed.

202 Nicolae Dne Utilizarea calculatoarelor

La rubrica Traces se stabilesc caracteristicile curbelor care vor fi trasate. n cazul de fa graficul va fi trasat de printr-o linie solid de culoare roie de grosime 2.

Reprezentarea grafic capt forma

Dup cum se vede, pentru c nu a fost specificat intervalul pe care trebuie trasat graficul, programul a utilizat valorile implicite i a fcut reprezentarea grafic pe [-10,10]. De asemenea, se vede c se utilizeaz uniti de msur diferite pe cele dou axe, graficul aprnd distorsionat. Pentru reprezentarea grafic pe un anumit interval trebuiesc completare cele dou ptrate aflate la stnga i dreapta lui x.

Mathcad 203

Reprezentarea grafica pe intervalul [- , ]:

Reprezentarea grafic pe intervalul

2,

2 :

Considerm acum i funcia g x( ) sin x( ):=

i reprezentm ambele funcii pe acelai grafic pe intervalul [0, 2 ]. Pentru a realiza acest lucru, dup ce se scrie numele funciei f(x), se tasteaz virgula i se scrie numele funciei g(x). Obinem reprezentarea grafic din figura care urmeaz.

204 Nicolae Dne Utilizarea calculatoarelor

Reprezentarea grafica a unei funcii prin puncte definite de utilizator Pentru reprezentarea grafic a unei funciei pe un interval [a,b] prin puncte

definite de utilizator se procedeaz astfel: 1. Se definete funcia:

F x( )x

x2 1+:=

2. Se introduc capetele intervalului [a,b] pe care se reprezint grafic funcia: a 3:= b 3:=

3. Se introduce numrul de puncte n care se mparte intervalul [a, b]:

n 60:=

4. Se calculeaz i se afieaz pasul diviziunii:

hb a

n:=

h 0.1=

5. Se definesc punctele diviziunii:

i 0 n..:= xi a i h+:=

6. Se determin vectorul care are drept componente valorile funcie n punctele xi: Fi F xi( ):=

7. Se tasteax @ i se completeaz locurile marcate de pe orizontal cu xi, a, b i de pe vertical cu Fi. Se obine graficul care urmeaz.

Mathcad 205

Reprezentarea grafic a asimptotelor orizontale Deoarece

funcia are asimptote orizontale dreptele y = 1 la ramura spre i y = -1 la ramura spre . Pentru reprezentarea grafic a acestor asimptote orizontale se d dublu clic pe grafic pentru deschiderea ferestrei Formatting Currently Selected X-Y Plot i la rubrica Y-Axis se selecteaz Show Markers, apoi se apas OK. Se completeaz cele dou locuri marcate care apar sub forma unor mici ptrate negre n partea vertical stng a graficului cu valorile 1, respectiv 1. Se d clic n afara zonei grafice i se obine reprezentarea de mai jos.

206 Nicolae Dne Utilizarea calculatoarelor

Rezolvarea ecuaiilor cu o singur necunoscut

Rezolvarea ecuaiilor algebrice Pentru rezolvarea unei ecuaiei algebrice cu o necunoscut dat de egalitatea

a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn = 0 se folosete funcia

polyroots v( ) unde v este un vector care conine coeficienii polinomului n care primul termen este termenul liber. De exemplu, pentru rezolvarea ecuaiei

- 6 + 11x - 6x2 + x3 = 0

se scrie vectorul coeficienilor

v

6

11

6

1

:=

i apoi funcia

polyroots v( )1

2

3

=

Prin urmare ecuaia are soluiile 1,2 i 3.

Rezolvarea ecuaiilor neliniare Pentru rezolvarea ecuaiei f(x) = g(x) se aduce aceasta la forma f(x) - g(x) = 0 i

se folosete funcia root(expresie,var) din Mathcad. Aceasta determin valorile pentru var astfel ca expresie s fie egal cu zero.

Exemplul 1. Fie ecuaia cos x( ) x 0.2+ Pentru rezolvarea ei cu ajutorul funciei root trebuie mai nti s atribuim lui x o valoare, de exemplu x 1:= , apoi s folosim funcia root n urmtoarea form

root cos x( ) x 0.2 x,( ) 0.616=

Valoarea soluiei este 0.616. Reprezentarea grafic de mai jos ne arat c ecuaia are o singur rdcin real.

Mathcad 207

Exemplul 2. Dac ecuaia are mai multe soluii atunci soluia determinat de funcia root depinde de valoarea atribuit iniial. De exemplu, fie ecuaia

sin x( )13

tan x( )

Pentru x 0:= se obine root sin x( )13

tan x( ) x, 0=

Dar, dac x 1:= atunci root sin x( )13

tan x( ) x, 1.231= Aceast situaie se poate nelege i mai bine din reprezentarea grafic a celor dou funcii n acelai sistem de axe.

208 Nicolae Dne Utilizarea calculatoarelor

Rezolvarea ecuaiilor prin metoda grafic

Ne propunem s determin grafic dac ecuaia x2 - cos( x) = 0 are soluii. n acest scop notm

f x( ) x2:= g x( ) cos x( ):=

Deoarece ambele funcii sunt pare este suficient s determinm soluiile pozitive ale ecuaiei f(x) = g(x). Pentru aceasta reprezentm grafic funciile f(x) i g(x) pe intervalul [0, 4], mai nti separat, apoi n acelai sistem de axe.

0 2 4

4

8

12

16

Graficul functiei f(x)

f x( )

x

0 2 4

Graficul functiei g(x)

g x( )

x

Reprezentarea grafic a celor dou funcii n acelai sistem de axe arat astfel:

Mathcad 209

0 1 2

1

1

2

f x( )

g x( )

x

Din graficul de mai sus se constat c este suficient s facem reprezentarea

numai pe intervalul [0, 2].

Soluia pozitiv a ecuaiei se afl la intersecia celor dou grafice n intervalul [0, 0.5]. Pentru o mai bun apreciere a soluiei relum reprezentarea grafic pe intervalul [0, 0.5].

0 0.2 0.4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f x( )

g x( )

x

Citirea grafica a valorii soluiei se face astfel: Se selecteaz graficul. Se deschide meniul Format i se selecteaz comanda Graph. Se d comanda Trace. Se d clic pe grafic in punctul de intersecie al celor doua grafice i se citete in

fereastra X-Y Trace valorile coordonatelor lui X, respectiv Y.

210 Nicolae Dne Utilizarea calculatoarelor

Folosind aceast metod obinem soluia ecuaiei f(x) = g(x): x = 0,44056, dup cum se vede n fereastra X-Y Trace de mai jos.

Mathcad 211

Reprezentarea grafic a unei suprafee

Reprezentarea grafica a unei suprafee este o reprezentare tridimensional, pe

scurt 3D. Pentru a crea un grafic 3D se procedeaz astfel: 1. Se definete o funcie de doua variabile sau o matrice de date. 2. Se d un clic pe locul unde se dorete apariia graficului. 3. Din meniul Insert se selecteaz Graph i se d una din comenzile 3D, de regul Surphace Plot. 4. Se scrie numele funciei sau al matricei n ptrelul din partea de jos a zonei grafice. 5. Pentru realizarea reprezentrii grafice se d clic in afara zonei grafice sau se tasteaz Enter.

Paraboloidul hiperbolic

F x y,( )x2

42y2

32:=

F

In reprezentrile de acest fel variabilele x i y iau valori de la -5 la 5 cu pasul 0.5. Valorile de pe axa Oz sunt calculate cu formula de definiiei a funciei F in punctul (x,y), adic z = F(x,y).

212 Nicolae Dne Utilizarea calculatoarelor

Paraboloidul eliptic

G x y,( )x2

42y2

32+:=

G

Reprezentarea unei suprafee prin puncte definite de utilizator

Fie paraboloidul eliptic

f x y,( )x2

42y2

32+:=

Pentru reprezentarea grafic a acestuia definim: Capetele intervalului [a, b] de pe axa Ox: a 3:= b 3:= Numrul de puncte n care se mparte intervalul [a, b]: n 60:=

Mathcad 213

Pasul diviziunii pe axa Ox: hb a

n:=

h 0.1=

Punctele diviziunii de pe Ox: i 0 n..:= xi a i h+:= Capetele intervalului [c, d] de pe axa Oy: c 4:= d 4:= Numrul de puncte n care se mparte intervalul [c, d]: m 80:=

Pasul diviziunii pe axa Oy: kd c

m:=

k 0.1=

Punctele diviziunii de pe Oy: j 0 m..:= yj c j k+:= Valorile funciei f in punctele (xi,yj): f i j, f xi yj,( ):= Reprezentarea grafica

f

214 Nicolae Dne Utilizarea calculatoarelor

Exemple de aplicaii practice

Test 4: Mathcad

1. Se consider funcia 32ln),( yxyxf += .

a) Calculai derivata parial ),(23

yxyxf

.

b) Determinai valoarea acestei derivate n punctul P(1,2).

2. Se consider funcia 311)(x

xg+

= .

a) Determinai o primitiv a funciei g(x).

b) Valoarea integralei definite 7.0

1.0)( dxxg este mai mic dect ?

3. Determinai valoarea sumei =

+n

kkk

1)1( i aducei-o la forma cea mai simpl.

Care este valoarea sa pentru n = 10?

4. Ce funcie are dezvoltarea n serie

=

0 )!2()1(

n

nn

nx ?

5. Care este valoarea produsului =

+10

1)1(

iii ?

6. Se consider funcia 11

2)1()( = xexxh . Are funcia h(x) limit n punctul x = 1? Care este valoarea acestei limite?

7. Efectuai ridicarea la putere 5)32( +x .

8. Scriei sub form de produs expresia 66352 23456 ++++++ xxxxxx .

9. Aducei la forma cea mai simpl expresia 524

432+

xx

xx .

Mathcad 215

10. Descompunei n fracii simple expresia 1

13223

2

+++

+

xxxxx .

11. Dezvoltaii n serie funciile de mai jos n punctele indicate n dreptul fiecruia

scriind numrul de termeni indicat de valoarea lui n. a) xsin , n jurul originii, n = 6. b) )1ln( t+ , n jurul punctului t = 2, n = 3. c) vue + , in jurul punctului P(u = 1, v = -1), n = 3.

12. Determinai soluiile ecuaie 044 23 =+ xxx .

13. Determinai soluiile inecuaiei 015239 23 + xxx .

14. Fie matricea

=

125743

601A . Determinai matricea TAA+2 i calculai

valoarea determinantului su.

15. Rezolvai sistemul de ecuaii liniare

=+

=++

=+

.1994,17782,15635

zyxzyxzyx

i verificai soluia gsit. 16. Reprezentai grafic (ntr-o nou fereastr Windows) funcia 34)( 2 += xxxf .

a) Pe intervalul [-10, 10]. b) Pe intervalul [-1, 5].

17. Cte soluii are ecuaia xex =cos ? Determinai soluiile acestei ecuaii din

intervalul ],[ .

18. Reprezentai grafic paraboloidul eliptic 54

22 yxz += .

216 Nicolae Dne Utilizarea calculatoarelor

Bibliografie

Pentru MathCAD: 12. Silvia Curteanu, Calculul numeric i simbolic n Mathcad, Editura Matrix

Rom, Bucureti, 2001. 13. Cireica Jalobeanu, Ioan Raa, MathCAD Probleme de calcul numeric i

statistic, Editura Albastr, Cluj-Napoca, 1995. 14. Ernest Scheiber, Dorin Lixndroiu, MathCAD Prezentare i probleme

rezolvate, Editura Tehnic, Bucureti, 1994. 15. Ernest Scheiber, Mircea Lupu, Matematici speciale, rezolvarea problemelor

asistat de calculator n Derive, MathCAD, Maple, Mathematica, Editura Tehnic, Bucureti 1998.

16. Mathcad 2001, Users Guide with Reference Manual, MathSoft, Inc., Cambridge, USA, 2000.