Oleh: Kelompok IV CICI NARTIKA 2007 121 159 RELA SEPTIANI 2007 121 433 RIKA OCTALISA 2007 121 447 ULPA ARISANDI 2007 121 450 RIRIN BRILLIANTI 2007 121 467 KELAS : 6.L MATA KULIAH : MATEMATIKA LANJUTAN DOSEN PENGASUH : FADLI, S.Si FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG 2010 Oleh: Kelompok IV CICI NARTIKA 2007 121 159 RELA SEPTIANI 2007 121 433 RIKA OCTALISA 2007 121 447 ULPA ARISANDI 2007 121 450 RIRIN BRILLIANTI 2007 121 467 KELAS : 6.L MATA KULIAH : MATEMATIKA LANJUTAN DOSEN PENGASUH : FADLI, S.Si FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG 2010Transformasi Laplace merupakan klas dari transformasi integral yang dimanfaatkan : Untuk merubah bentuk persamaan diferensial biasa menjadi bentuk persamaan aljabar. Untuk merubah persamaan diferensial parsial menjadi persamaan diferensial biasa. 1. Definisi Misal fungsi f(t) terdefinisi untuk t 0. Maka transformasi Laplace (satu sisi at au unilateral) dari f(t) didefinisikan sebagai: L(f(t)) = . e-st f(t) dt ................................................................... .........(1.1) 0 Integral (1.1) merupakan fungsi dalam parameter s, maka notasi lain yang biasa digunakan adalah F(s) = L (f(t)). Sedangkan fungsi asal f(t) dapat diperoleh dar i Transformasi invers f(t) = L-1 (F(s)). Agar transformasi Laplace F(s) ada maka integral tak wajar (1.1) haruslah konver gen dan ini dapat dicetak dengan mencari limit : 8 b e-st f(t) dt = e-st f(t) dt .................................................... .......(1.2) . lim . b 0 0 Bila kita coba untuk beberapa nilai bilangan bulat n, secara induktif didapatkan transformasi Laplace untuk f(t) = t n yaitu : n! F(s) = (s >0) .................................................................. .................(1.3)n+1 s n-1 .. 11 - .. t Maka didapatkan transformasi invers, n = L .. (n -1)! . s . Contoh : Tentukan transformasi Laplace dari f(t) = eat . Jawab : Dengan menggunakan definisi (1.1) didapatkan, b 1 b 1 (-s+a)t dt= (-s+a)t = F(S)= e e 0 (s > a) ....(1.4) lim . lim s - a b8 - s + ab 0 Dari bentuk (1.4) didapatkan transformasi invers, -1. 1 . L.. = eat . s - a .Beberapa sifat : Sifat keberadaan transformasi, sifat ketunggalan dan sifat linear dari transfoma si Laplace namun sebelumnya, perhatikan beberapa definisi berikut. Fungsi f(t) disebut kontinu bagian demi bagian pada interval [a,b] bila : i. Interval [a,b] dapat dibagi menjadi sub-sub interval yang berhingga banyaknya ya ng menyebabkan f(t) kontinu pada sub-sub interval tersebut. ii. Limit dari f(t) pada setiap ujung sub interval bernilai hingga. Fungsi f(t) disebut terbatas eksponensial pada interval [a,b] bila terdapat bila ngan real M dan r sehingga berlaku f (t) M ert untuk setiap t[a,b]. Sifat Keberadaan Transformasi Laplace : Transformasi Laplace dari f(t) dengan t 0 ada bila f(t) kontinu bagian demi bagi an dan terbatas eksponensial untuk t 0. Sifat Ketunggalan Transformasi Laplace : Transformasi lalace dari suatu fungsi adalah tunggal yaitu bila F1(s) dan F2(s) merupakan transformasi Laplace dari f(t) maka F1(s) = F2(s) . Sifat Linear Transformasi Laplace : Dengan menggumakan definisi (1.1), didapat bahwa Transformasi Laplace mempunyai sifat linear, L (af (t) + bg (t))= . e -st (af (t) + bg (t))dt 0 8 -st -st = a. ef (t)dt + bg(t)dt ...........................................(1.5) . e 00 = aF (s) + bG (s) Invers dari transformasi Laplace juga mempunyai sifat linear, karena :L-1 (c F(s) + d G(s)) = L-1 (L(cf(t) + dg(t) )) = cf(t) + dg(t) ...............................(1.6) =c L-1 (F(s)) + d L-1 (G(s)) Contoh : Tentukan transfomasi Laplace dari f(t) = (t + 2)2 Jawab : Dengan menggunakan sifat (1.5) dan rumus umum untuk transformasi Laplace dari fungsi polinom (1.3) didapatkan transformasi Laplace dari fungsi f(t) = (t + 2)2 =t2+ 4 t +4 , yaitu : 2 442 + 4s + 4 s 2 F(s)= 3 + 2 + ss s = s 32. Transformasi Laplace dari Turunan Fungsi Tingkat n Misal f(t) dan turunannya f (t) kontinu dan terbatas eksponensial, maka f(t) dan f (t) mempunyai transformasi Laplace. Dengan menggunakan integral parsial dan si fat terbatas eksponensial dari f(t) maka diperoleh : L(f (t)) = . -st f (t) dt = e-st f(t) + s -st f (t) dt .............................................(1.7) e . e 0 0 0 Dengan menggunakn notasi (1.7) didapatkan transformasi Laplace dari turunan orde 2 dan orde 3 dari fungsi f(t) yaitu: L(f Dan L(f (t)) = s2F(s) (t)) = s3F(s) sf (0) s2f (0) f sf (0) (0) f (0)Secara induktif dapat diperoleh transformasi Laplace dari turunan orde n fungsi f (t), L(f (n) (t)) = sn F(s) ...............(1.8) sn -1 f(0) sn 2 f (0) -... f (n 1) (0) ..................Metode penurunan fungsi (1.8) akan lebih mudah diterapkan untuk menentukan transformasi Laplace dari fungsi yang apabila diturunkan sampai tingkat-n akan k embali ke bentuk semula. Untuk jelasnya diberikan contoh berikut. Tentukan transformasi Laplace dari f (t) = sin at Jawab : Dilakukan penurunan sampai tingkat ke-2 didapatkan, f(t)=sinat f(0)=0 f (t)=acosat f (0)=a f (t)=-a2sinat f (0)=0 Pada penurunan tingkat-2 sudah dihasilkan bentuk asal, sehingga digunakan :L(f(t)) = s2F(s)sf (0)f(0) f (0)L(-a2sin at) = s2L(sin at) a L(sinat)= 2 2 + sasf (0)Dari hasil yang didapatkan pada contoh (1.5) didapatkan transformasi invers, .. -1. 1 . sin at = . 22 . L + a . sa .3. Transformasi Laplace dari Integral Fungsi Pada metode penurunan fungsi (1.8) diperlihatkan bahwa transformasi Laplace dari turunan fungsi didapatkan dengan mengalikan hasil transformasi fungsi denga n s. Karena integral merupakan anti turunan maka dapat diturunkan transformasi Laplac e dari integral fungsi yang merupakan pembagian dari hasil transformasi fungsi oleh s. Misal F(s) = L (f(t)) ada. Maka : L .. t . 0 f (x)dx .. = 1 s F (s) ............................................................................ .....(1.15) Dengan s > 0. Sedang dengan menggunakan transformasi invers didapatkan : t F (s) . . . -1. L . f (x)dx ........................................................................ ...........(1.16)Contoh : 4 Tentukan invers dari : G(s) = 2 + 2s s Jawab : F(s) Menggunakan sifat (1.11), G(s) dapat dituliskan sebagai : G(s) = dengan s F(s) = 4 . Invers dari F(s) adalah f(t) = 4e2t . s - 2 Oleh karena itu, invers dari G(s) adalah t g(t) = . 4e2xdx = 2(e2t -1) 0 Berikut diberikan tabel pasangan transformasi Laplace untuk beberapa fungsi . . yang bisa diselesaikan menggunakan metode yang diberikan sebelumnya. Tabel 1.1 Transformasi Laplace = s 0 f(t) F(s) = L(f(t)) Domain dari F(s) Tn (n B+ ) s n n 1 ! + S > 0 eat as 1 S > a Sin bt bsb 22 + S > 0 Cos bt bs s 22 + S > 0 Sinh bt bs b 22 S > bCosh bt bs s 22 S > b 4. Pergeseran Terhadap Sumbu S Misal fungsi f(t) mempunyai transformasi Laplace, F(s) = L (f(t)). Maka grafik hasil transformasi Laplace dari g(t) = eat f(t), dengan menggeser grafik hasil t ransformasi dari f(t) atau grafik F(s) sepanjang a satuan kea rah kanan (bila a>0) atau kea rah kiri (bila a0 dapat diselesaikan dengan memperkenalakan fungsi tangga satuan Fungsi tangga satuan atau fungsi Heaviside didefinisikan sebagai berikut .0, t < a U (t-a) = . ...........................................................(1,19) 1, t > a . Dengan a > 0 Garafik fungsi tangga satuan (1,19) ditunjukan pada gambar 1.2 berikut 1 a Gambar 12 L(g(T)) = L (f(t-a)u(t-a) w = e-st f (t - a)u(t - a)dt . 0 w = e-st f ( y - a)u( y - a)dy . 0 a . -st -st = ef ( y - a)0dy + ef ( y - a)dy.. 0 a . = e-st f ( y - a)dy . a w . . -s( A+T ) = ef (t)dt a =e. -st -as ef (t) 0 = e-as F (s) Sehingga diperoleh transformasi laplace untuk g(t) = f(t a) u ( t a)L(g(t)) = L(f(ta)u(ta)) = e-as F(s)1.20Sedangkan transformasi invers -as L-1 (eF (s)) = f(t 1 Misal f(t a) = 1 maka f(t) = 1 dan F(s) = a)u(t a) = g(t) ..1.21, maka didapatkan transformasi Laplace dari S fungsi tangga satuan -as e L [u(t - a)] = s Dan Transformasi Invers : . e-as . L-1 .. ..= u(t . s . Contoh : Tentukan transformasi Laplace dari fungsi g(t) = t u(t 2) Penyelesaian : Bila kita padankan dengan pasangan transformasi Laplace, g(t) = f(t a)u(t a) G(s ) = e-as F(s), maka dimisalkan f ( t-2) = t. Oleh karena itu, f(t) = t + 2 dan F(s ) = 12 12 .Jadi Transformasi Laplace dari fungsi g(t) adalah G(s) = e-2as F(s) = e-2as + + 22 ss ss a) 1.23 1.22Contoh : -ps Tentukan Invers dari transformasi, G(s) = e s 2 + 4 Penyelesaian : 1 Misal : F(s) = s 2 + 4 1 Maka invers dari F(s) adalah f(t) = sin 2t 2 Dengan menggunakan bentuk 1.21 maka didapatkan invers dari G(s), g(t) = 1 sin 2(t -p)u(t -p ) 26. Transformasi Laplace dari Fungsi Tangga Misal diberikan fungsi f(t) = 2 u(t) + (3t fungsi f(t) untuk beberapa interval : Interval t< 0, Pada interval ini, nilai u (t) = u (t2) u (t1)5t u (t2). Maka nilai1) = u (t2) = 0, sehingga f(t) = 0 2) = 0, sehingga f(t) =2 2) = 0, sehinggaInterval 0< t 2 Pada interval ini, nilai u (t) = u (t 2) = 1, sehingga f(t) =2 + (3t 2)-5t = 2t Grafik fungsi f(t) ditunjukan pada gambar 1.3. Sehingga bila fungsi f(t) dinyata kan dalam fungsi tangga maka f(t) : F(t) = . ... . .. 0 ;t