Transformasi Laplace

  • View
    2.180

  • Download
    13

Embed Size (px)

Text of Transformasi Laplace

  • 1. LAPLACE TRANSFORMS Laplace transforms provide a method for representing and analyzing linear systems using algebraic methods

2. O utline2 Overview Definisi Transformasi Laplace Transformasi Laplace Balik Menyelesaikan TF menggunakan MATLAB 3. O ve rvie w3Persamaan Differensial yang diperoleh dari pemodelan matematik suatu sistem mewakili proses dinamik dari sistem tersebut dimana responsenya akan bergantung pada masukannya Solusi dari persamaan differensial terdiri dari solusi s te a d y s ta te (didapat jika semua kondisi awal nol) dan s o lus i tra ns ie n (mewakili pengaruh dari kondisi awal). Transformasi Laplace merupakan salah satu tools yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial. 4. Introduction It was discovered by Pierre-Simon Laplace, French Mathematician (17491827) Laplace Transform provides: Representation of Input, output, and system as separate entities Simple Algebraic interrelationship between Input, Output, and SystemLimitation of Laplace Transfrom: Works in Frequency DomainValid when the system is LINEAR 5. DefinitionTransformasi Laplace F(s) dari fungsi f(t) 00L [ f (t )] = F ( s ) = e st dt [ f (t )] = f (t )e st dtf (t ) =L{F ( s )}-1Inverse Transformasi LaplaceFungsi f(t) haruslah real dan kontinyu sepanjang interval waktu yang akan dievaluasi, jika tidak transformasi Laplace tidak dapat digunakan. 6. 6Transformasi Laplace mengkonversikan persamaan differensial (dalam d o m a in t) kedalam persamaan aljabar dalam d o m a in s . Memungkinkan memanipulasi persamaan aljabar dengan aturan sederhana untuk menghasilkan solusi dalam domain s. Solusi dalam domain t dapat diperoleh dengan melakukan operasi inve rs e transformasi Laplace 7. Te o re m a Tra ns fo rm a s i La p la c e LinearitasL{af (t )} = aF ( s ) L{ f1 (t ) f 2 (t )} = F1 ( s ) + F2 ( s ) IntegrasiF ( s ) f (0) L f (t )dt = + dt s s{ Nilai awallim f (t ) =lim sF ( s )Differensiasi df (t ) L = sF ( s ) f ( 0 ) dt d 2 f (t ) df ( 0 ) L = s 2 F ( s ) f (0) 2 dt dt }t 0s Nilai akhirlim f (t ) = lim sF ( s ) t s 0Pergeseran waktu L{ f ( t )} = e s F ( s ) 8. Laplace Transforms x(t)X(s)ROCImpulse: (t) Step: u(t)1Semua s Re(s)>0Ramp: t u(t)1 s2Re(s)>0Exponential: e-at u(t)1 s + aRe(s)+Re(a)>0Cos 0t u(t) Sin 0t u(t)1 ss 2 s 2 +0 0 2 2 s + 0 Re(s)>0 Re(s)>0 9. Properties of Laplace Transforms Sifat-sifat Transformasi Laplace Linearitas Perubahan SkalaL [ f1 (t ) f 2 (t )] = F1 ( s ) F2 ( s ) t L f = aF (as ) a Translasi FungsiL [ f (t a)1(t a )] = e as F ( s )Geseran frekuensie-at f(t)= F(s+a)Konvolusi waktux(t) * y(t) =X(s) Y(s) 10. Properties of Laplace Transforms Konvolusi frekuensi (modulasi)1 X ( s) * Y ( s) 2 jx(t) y(t)Diferensiasi frekuensi(-t)n f(t)Diferensiasi waktudn f (t ) dt ndn F (s ) n ds n 1) s F ( s ) n 1k f (( k) s 0 nk =0s n F (s )Untuk TL dua sisi 11. Properties of Laplace Transforms Integrasi waktu f (t )dt 0 f (t )dtTeorema nilai awal Teorema nilai akhirF (s) s 0 F (s) 1 + f (t ) dt s s lim f (t ) +lim sF ( s )lim f (t )lim sF ( s )t 0t s s 0 12. TRANSFORMASI LAPLACE BALIK 13. 1. Pengantar 13 Menyelesaikan persoalan dalam domain-s relatif lebih mudah daripada dalam domain waktu Untuk mendapatkan penyelesaian/ solusi dalam domain waktu diperlukan transformasi Laplace balik (Invers) Pada pokok bahasan ini akan diuraikan metode mendapatkan Invers dengan menggunakan metode Pecahan ParsialTransformasi Laplace Balik (Invers) 14. 2. T-Laplace Balik 14Hubungan T-Laplace dan T-Fourier : X ( + j = [ x (t )e t ] e jt dt ) TLB-1Dari relasi invers dapat diperoleh1 x (t )e = ) jt d TLB-2 X ( + j e 2 1 x (t ) = X ( + j e(+ j) t d ) 2 t atauTransformasi Laplace Balik (Invers) 15. 2.1. Integral Kontur 15Dengan s=+j diperoleh formulasi transformasi Laplace Balik (Invers):L1 + j st { X ( s )} = x (t ) = X ( s ) e ds 2 j-1TLB-3Mencari Invers dengan metode melibatkan I g ra l Ko ntur dalam nte bidang kompleks yang relatif sulit, karena itu akan digunakan metode yang lain.Transformasi Laplace Balik (Invers) 16. 2.2. Metode Pecahan Parsial 16Suatu fungsi rasional dalam s dapat ditulisN (s) =T +T2 +.... +Tk 1 D( s) dimana Ti berbentukA( s + p )natau(Bs +C)2 +as +b m sTransformasi Laplace Balik (Invers) 17. Beberapa Bentuk Pecahan Parsial 17Polinomial (s2+as+b) dalam persamaan di atas adalah polinomial yang tidak dapat direduksi.Bergantung kepada bentuknya , maka terdapat beberapa kasus yang berbeda : Kasus 1 :- Faktor orde-1 tidak berulang. Kasus 2 :- Faktor orde-1 berulang. Kasus 3 :- Faktor orde-2 Transformasi Laplace Balik (Invers) 18. 2.3. Faktor Orde-1 Tidak Berulang N ( s) X ( s) = D( s) N (s) X ( s) = ( s + p1 )( s + p2 )( s + p3 )....( s + pn ) =A A2 A3 An 1 + + ..... + s + p1 s + p2 s + p3 s + pnAn = ( s + pn )N ( s) D ( s ) s = pnTransformasi Laplace Balik (Invers) 19. Laplace Balik Orde-1 Tidak Berulang 19X (s) =A 1 + A2 +..... + An s + p1 s + p2 s + pn1 x (t ) =L { X ( s )}= A e p1t + A2e p2t +..... + Ane pnt 1Transformasi Laplace Balik (Invers) 20. Contoh 1 : Orde-1 Tidak Berulang (1) 20Ls +1 =? X ( s) = 2 s +8s +15 1s +1 A A2 1 = + ( s +3)( s +5) ( s +3) ( s +5) s +1 A = ( s +3) = 1 1 ( s +3)( s +5) s = 3X (s) =A2 = ( s +5)s +1 =2 ( s +3)( s +5) s = 5Transformasi Laplace Balik (Invers) 21. Contoh 1 : Orde-1 Tidak Berulang (2) 21X ( s) =1 2 + ( s +3) ( s +5)x (t ) =L t 3 t { X ( s )} =e + 2e 5 u (t ) 1Transformasi Laplace Balik (Invers) 22. Contoh 2 : Orde-1 Tidak Berulang (1) 22s 2 =? X (s) = 3 s +5s 2 +4 s s 2 s 2 X (s) = = 3 2 s +5s +4 s s ( s +1)( s +4) A A2 A3 = 1+ + s ( s +1) ( s +4) s 2 1 A =s = 1 s ( s +1)( s +4) s = 0 2L 1Transformasi Laplace Balik (Invers) 23. Contoh 2 : Orde-1 Tidak Berulang (2) 23A2 = ( s +1)s 2 =1 s ( s +1)( s +4) s = 1s 2 1 A3 = ( s +4) = s ( s +1)( s +4) s = 4 2 0.5 1 0.5 + + s ( s +1) ( s +4) 1 +e t 1 e 4t u (t ) 1 { X ( s )} = x (t ) =L 2 2 X (s) =Transformasi Laplace Balik (Invers) 24. 2.4. Faktor orde-1 berulang 24N (s) N (s) = D( s) ( s + p ) n A A2 A3 An = 1 + + ..... + s + p ( s + p ) 2 ( s + p )3 ( s + p )n N ( s) An = ( s + p ) n D ( s ) s = pX (s) =1 d n k N (s) Ak = ( s + p)n ( n k )! ds n k D ( s ) s = p k =1,2,..., n 1Transformasi Laplace Balik (Invers) 25. Contoh 3 : Orde-1 Berulang (1) 25s+2 L 1 X ( s ) = 2 =? s + 2s + 1 X (s) =s +2=s +2s 2 +2 s +1 ( s +1) 2 s +2 A A2 1 + X (s) = = ( s +1) ( s +1) 2 ( s +1) 2 2 s +2 A2 = ( s +1) =1 2 s = 1 ( s +1) Transformasi Laplace Balik (Invers) 26. Contoh 3 : Orde-1 Berulang (2) 261 d s +2 A = ( s +1) 2 =1 1 2 s = 1 ds ! 1 ( s +1) X (s) =1 1 + ( s +1) ( s +1) 2()1 x (t ) =L { X ( s )} = e t +te t u (t )Transformasi Laplace Balik (Invers) 27. Contoh 4 : Orde-1 Berulang (1) 27L8 s 4 =? X ( s) = 3 2 s 3s 9 s 5 1X ( s) =8 s 4 B A A2 1 = + + ( s 5) ( s +1) ( s +1) 2 ( s 5)( s +1) 2B = ( s 5)8 s 4 ( s 5)( s +1) 2 s = 5A2 = ( s +1) 2=18s 41 ( s 5)( s +1) 2 s = Transformasi Laplace Balik (Invers)=2 28. Contoh 4 : Orde-1 Berulang (2) 281 d 8s 4 A = ( s +1) 2 1 1 ds ! 1 ( s 5)( s +1) 2 s = d 8s 4 8( s 5) (8s 4) = = = 1 2 ds ( s 5) s = 1 ( s 5) 1 1 2 X ( s) = + ( s 5) ( s +1) ( s +1) 2()5t t t 1 x (t ) =L { X ( s )} = e e +2te u (t ) Transformasi Laplace Balik (Invers) 29. 2.5. Faktor Orde-2 ( s 2 + ps +q )Jika D(s) memiliki faktorX (s) = X (s) =N ( s) D( s)N ( s)( s 2 + p1s +q1).....( s 2 + pn s +q n ) A s + B1 A s + Bn = 2 1 +... + 2 n ( s + p1s +q1) ( s + pn s +q n )Transformasi Laplace Balik (Invers)29 30. Contoh 5 : Orde-2 (1) 30L s +6 =? X ( s) = 3 2 s + s +4s +4 1X (s) =s +6 ( s +1)( s 2 + 4)C = ( s +1)=As + B ( s 2 + 4)+C ( s +1)s +6 21 ( s +1)( s +4) s = Transformasi Laplace Balik (Invers)=1 31. Contoh 5 : Orde-2 (2) 31(As + B 1 ( As + B )( s +1) s 2 +4 X (s) = 2 + = + 2 ( s +1) ( s +4) ( s +1) ( s +4) As 2 +( A + B ) s + B s 2 +4 = + 2 2 ( s +4)( s +1) ( s +4)( s +1) X (s) = =( A +1) s 2 +( A + B ) s +( B +4 ) ( s 2 +4)( s +1) s +6( s 2 +4)( s +1) Transformasi Laplace Balik (Invers)A+1=0 A=-1 A+B=1 B=2) 32. Contoh 5 : Orde-2 (3) X (s) = X (s) = Ls +2 ( s 2 + 4)+1 ( s +1)s2 1 + 2 + ( s 2 +22 ) ( s +22 ) ( s +1){cos t u (t )} = 0s ;L 2 2 s + 0{sin t u (t )} = 0( 0 s 2 + 2 0)1 x (t ) =L { X ( s )} = cos 2t +sin 2t +e t u (t ) Transformasi Laplace Balik (Invers)32 33. Contoh 6 : Orde-2 (1) L 12 s 2 +6 s +5 X ( s) = =? 2 s ( s 4 s +5) 2 s 2 +6 s +5 As + B C X (s) = = 2 + s s ( s 2 4 s +5) ( s 4 s +5)2 s 2 +6 s +5 C =s =1 2 4 s +5) s = 0 s(sX (s) =As + B 1 + ( s 2 4 s +5) s Transformasi Laplace Balik (Invers)33 34. Contoh 6 : Orde-2 (2) A +1 = 2 A =1 ( A +1) s 2 +( B 4) s +5 ; X (s) = B 4 = 6 B =10 s ( s 2 4 s +5) s +10 1 + ( s 2 4 s +5) s ( s 2) 12 1 = + + ( s 2) 2 +1 ( s 2) 2 +1 sX (s) =x (t ) =L{ X ( s )} = e 2t cos t +12e 2t sin t +1 u (t ) 1Transformasi Laplace Balik (Invers)34 35. Eks p a ns i Pe c a ha n Pa rs ia l: d e ng a n s o ftwa re M tLa b a 35Fungsi transfer, F(s)=N(s)/D(s): N ( s) num bm s m +bm 1 s m 1 +... +b1s +b0 = = D( s) den an s n +an 1s n 1 +... +a1s +a0 an , bm 0Dalam MatLab numerator (pembilang), num dan denumerator (penyebut), den dituliskan dalam bentuk vektor baris yang dinyatakan dengan koefisiennya num =[bm bm 1 ... b0 ] Perintah ini akan mencari residu, den =[ an an 1 ... a0 ] poles dan direct term dari ekspansi pecahan parsial N(s)/D(s) Perintah>>[r,p,k]=residue(num,den) Ekspansi pecahan parsialnya adalahN ( s) r (1) r (2) r ( n) = + +... + +k ( s ) D( s ) s p (1) s p ( 2) s p ( n)k(s) adalah direct term 36. Contoh Dengan menggunakan MatLab, tentukan ekspansi pecahan parsial dari fungsi transfer berikut: r= N (s) s 2 +2 s +3 = 3 D( s) s +3s 2 +3s +1Solusi dengan MatLab:1.0000 0.0000 2.0000>>num=[1 2 3]; >>den=[1 3 3 1]; >>[r,p,k]=residue(num,den) Ekspansi pecahan parsialnya: N ( s) 1 0 2 = + + D(s) ( s +1) ( s +1) 2 ( s +1) 3p= -1.0000 -1.0000 -1.0000 k= [] 37. 3. Ringkasan 37Transformasi Laplace-Balik :+ j -1{ X ( s )} = x (t ) = 1 st L X ( s ) e ds 2 j Metode Pecahan Parsial :N ( s) X (s)