GEOMETRI

TRANSFORMASI

Oleh:

NURUL FAJRIAH

MAYA SAFTARI

FELI RAMURY

Dosen Pengampuh : 1. Dr. Yusuf Hartono, M.Sc.

2. Dr. Nila Kesumawati, M.Si.

PROGRAM PASCASARJANA PENDIDIKAN MATEMATIKA

UNIVERSITAS SRIWIJAYA PALEMBANG

2012/2013

Transformasi

1. Pendahuluan

Sejak zaman Euclid (300 SM) sampai abad 17 M, geometri dipelajari dari

perspektif sintesis, sebagai suatu ilmu. Selama abad 17 sejumlah ide baru dalam

matematika dikembangkan dan diterapkan dalam mempelajari geometri, dengan

efek yang bersifat revolusi. Misalnya dengan menerapkan notasi-notasi dan

konsep aljabar ke feometri. Fermat (1601 – 16650 dan Rene Descartes (1596 –

1650) menciptakan geometri analitik. Diferensial geometri dikembangkan sebagai

suatu konsep dan menggunakan notasi dari kalkulus yang dikembangkan oleh

Newton dan Leibniz diaplikasikan pada geometri. Pada abad 18 dan 19, sejumlah

geometri non Euclid dikembangkan mengakibatkan beberapa orang menjadi ragu

apakah geometri akan terpisah sesuai dengan teori-teori yang bersaing satu

dengan yang lain. Di tahun 1782, seorang ahli matematika berusia 23 tahun, Felix

Klein (1849 – 1925) mengusulkan suatu prinsip pemersatu untuk

mengklasifikasikan berbagai geometri dan menjelaskan hubungan-hubungan

diantara mereka. Inti dari gagasan atau konsep Klein itu adalah Geometri

Transformasi.

Geometri transformasi adalah pemetaan satu-satu, dengan menggunakan

hinpunan titik-titik sebagai input dan returning points sebagai output. Untuk

sederhananya, himpunan-himpunan input dinamakan obyek dan outputnya yang

bersesuaian dinamakan image. Tergantung dari konteks, transformasi-

transformasi dapat dipandang sebagai penerapan pada obyek-obyek geometri yang

umum dikenal, misalnya garis, poligon, atau polihedra ataupun pada ruang dimana

objek-objek itu ada. Yang lebih berarti lagi adalah bagaimana Felix Klein

memberi definisi tentang suatu geometri: “Suatu geometri adalah suatu studi

tentang sifat-sifat dari suatu himpunan S yang tetap tidak berubah bilamana

element-elemen S ditransformasikan oleh sekelompok transformasi. Definisi ini

menetapkan geometri transformasi sebagai suatu cara memahami hubungan-

hubungan diantara semua geometri, Euclid dan non Euclid.

2. Vector Transformations

Pada bentuk vector penjumlahan dan perkalian scalar dengan u= (u1, u2)

danv = (v1, v2) yang didefinisikan jumlah dari u dan v adalah

u + v = (u1 + v1, u2 + v2)

dan perkalian scalar aupada u dengan a adalah bilangan Real au = (au1, au2)/

Variabel fakan disebut sebagai transformasi linier jika semua vektor u dan v

yang ada pada B dan semua skalar a, seperti :

- f(u + v) = f(u) + f(v)

- f(au) = af(u)

Transformasi linier akan tampak terlihat jelas jika B = C dan akan

dinyatakan dalam bentuk A : B B yang disebut dengan operator linier pada B.

Satu alasan mengapa transformasi tersebut dikatakan linier karena

transformasinya mempertahankan/ mengawetkan (preserve) kelurusan garis

(straightness lines).

Dari gambar terlihat bahwa a dan b adalah vektor dengan a adalah titik pada garis

dan b titik yang searah dengan garis. Berdasarkan kondisi linier didapatkan f(a +

tb) = f(a) + t f(b)

a

b

a +b

tb

a +tb

b

0

L1

L1

Diperpanjang sebesar t

Gambar 1 Points on a Line

3. Matrix Representation

Dari semua transformasi dalam geometri, isometri adalah paling mendasar.

Isometri artinya berukuran sama. Jika suatu isometri diterapkan ke suatu obyek,

maka obyek tersebut berserta bayangannya mempunyai ukuran linear dan ukuran

sudut yang sama. Transformasi dikatakan mengawetkan sifat-sifat ini, dan sifat-

sifat itu dikatakan invarian di bawah transformasi itu. Mengawetkan ukuran linear

dan ukuran sudut menjamin bahwa keliling dan jumlah sudut dan luas juga

diawetkan. Akibatnya, objek dan bayangannya dalam isometri ini adalah identik

atau kongruen. Isometri dalam geometri Euclid terdiri dari 3 kategori dan

komposisinya: translasi, rotasi, dan refleksi. Dari semua isometri, translasi adalah

yang paling mudah untuk dipahami. Dengan adanya operasi translasi setiap titik

yang terdapat pada objek akan berpindah pada jarak yang sama dan dalam arah

yang sama sesuai dengan vektor. Dibawah operasi rotasi, setiap titik dipindahkan

melalui suatu sudut putar relatif terhadap pusat perputaran. Refleksi memetakan

setiap titik ke seberang garis refleksi sejauh suatu jarak yang sama terhadap jarak

titik itu ke garis refleksi. Misalkan fungsi f pada R2 dengan titik (x,y) di

R2didefinisikan sebagai f : R

2 R

2, maka (x,y) (ax + by, cx + dy) dengan

f((1,0)) = (a,c) dan f((0,1)) = (b,d), sehingga

f(x,y) = x(1,0) + y(0,1)

f(x,y) = f(x(1,0) + y(0,1))

f(x,y) = x f(1,0) + y f(0,1)

f(x,y) = x(a,c) + y(b,d)

f(x,y) = (ax + by, cx + dy)

Transformasi linier (x,y) (ax + by, cx + dy), jika diperlihatkan dengan matriks

𝑀 = 𝑎 𝑏𝑐 𝑑

dimana a, b, c, d R, maka 𝑎 𝑏𝑐 𝑑

𝑥𝑦 =

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦

. Dengan

det(M) = ad – bc dan 𝑀−1 =1

det (𝑀) 𝑑 −𝑏−𝑐 𝑎

Jika ada 2 transformasi linier, yaitu (x,y) (a2x + b2y, c2x + d2y) dan (x,y)

(a1x + b1y, c1x + d1y), maka perkalian matriksnya 𝑎1 𝑏1

𝑐1 𝑑1

𝑎2 𝑏2

𝑐2 𝑑2 =

𝑎1𝑎2 + 𝑏1𝑐2 𝑎1𝑏2 + 𝑏1𝑑2

𝑐1𝑎2 + 𝑑1𝑐2 𝑐1𝑏2 + 𝑑1𝑑2

3.1. Linear Transformations

3.1.1. Translasi

Pergeseran koordinat suatu titik dengan faktor t terhadap koordinat titik

semula. Untuk pergeseran positif, nilai t > 0, untuk pergeseran negatif, nilai t < 0.

Pergesaran bisa dilakukan terhadap sumbu x saja atau y saja. Oleh karena itu ada

dua nilai t: t untuk sumbu x (tx) dan t untuk sumbu y (ty). Persamaan translasi:

x’ = tx + x

y’ = ty + y

Matriks translasi : 𝑥′

𝑦′ = 𝑡𝑥𝑡𝑦

+ 𝑥𝑦

3.1.2. Rotasi

Rotasi terdiri dari 2 macam: rotasi melawan arah jarum jam (counter-

clockwise) dan rotasi searah jarum jam (clockwise). Persamaan rotasi :

1. Rotasi melawan arah jarum jam

x ' = xcos - ysin

y ' = xsin + ycos

Matriks rotasi : 𝑥′

𝑦′ = 𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑥𝑦

2. Rotasi searah jarum jam

x ' = xcos + ysin

y ' = - xsin + ycos

Matriks rotasi : 𝑥′

𝑦′ = 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃−𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑥𝑦

3.1.3. Refleksi

Secara geometri, oleh refleksi, sebuah obyek dan bayangannya akan

kongruen. Akan tetapi ada suatu orientasi yang terbalik. Persamaan refleksi pada

sumbu x:

x’ = x

y’ = -y

Matriks refleksi : 𝑥′

𝑦′ = 1 00 −1

𝑥𝑦

4. Affine Transformations

Transformasi affin adalah hubungan geometri yang mempertahankan bentuk

dasar dan integritas bangun geometri. Transformasi affin dapat berupa rotasi,

translasi, dan dilatasi. Transformasi affine bersifat linier (perubahan yang kecil

pada transformasi akan mengakibatkan perubahan yang kecil pada objek yang

ditransformasikan), tetapi akan membentuk fraktal nonlinier jika beberapa

transformasi digabungkan dan diiterasi.

Misalkan T subset R2, transformasi TTf : dikatakan affine pada T, jika

𝑥′ , 𝑦′ = 𝑇 𝑥, 𝑦 ⇔𝑥′ = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑝

𝑦′ = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑞

Dimana ad – bc ≠ 0

Dengan titik P (x,y) dan vektor 𝑃 = 𝑥𝑦 . Dengan notasi matriks, transformasi

affine dituliskan sebagai T(P) = MP + V, dimana :

𝑇 𝑃 = 𝑥′

𝑦′ , 𝑀 = 𝑎 𝑏𝑐 𝑑

, 𝑃 = 𝑥𝑦 , 𝑉 =

𝑝𝑞 dan det ( M ) ≠ 0

Transformasi affine tidak mempertahankan/mengawetkan kesebangunan.

Hal ini dikarenakan faktor pengali pada ptidak sama dengan pengali pada q.

Perhatikan peta dari beberapa bangun oleh transformasi affine berikut.

5. The Group of Isometries of The Plane

Isometri didefinisikan f: R2 → R

2 yang mempertahankan jarak dengan

𝑓 𝑃1 𝑓 𝑃2 = 𝑃1𝑃2 , untuk titik-titik P1, P2 ϵ R2 dimana

𝑃1𝑃2 = 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦2 − 𝑦1 2, jarak antara titik P1 = (x1, y1) dan P2 = (x2,

y2).

Dengan menggunakandefinisi ini, ketikafdan g adalahisometri,

gabunganatau hasil darifg. Yakni,

𝑓 𝑔 𝑃1 𝑓 𝑔 𝑃2 = 𝑔 𝑃1 𝑔 𝑃2 , karenaf adalahsuatuisometri

= 𝑃1𝑃2 , karenagadalahsuatuisometri.

Yang belumdiketahui adalahsetiapfisometrimemilikiinversf -

1yangjugamerupakanisometri. Untuk membuktikannya, kita

menggunakanhasildariBagian3.7bahwa setiapisometridariR2adalahproduk dari

satu, dua, atau tigarefleksi.

Pertamamisalkanf=r1r2r3, di manar1, r2, r3danmerupakanrefleksi. kemudian,

karenarefleksi dioperasikan dengandirinyamerupakanfungsi identitas, didapat

f=r1r2r3 r3r2r1

=r1r2r2r1karenar3r3adalahfungsi identitias

=r1r1karenar2r2adalahfungsi identitas

=fungsi identitas,

Oleh karena itu, r3r2r1=f -1

. Perhitunganinijuga menunjukkan bahwaf -

1adalah isometri, karena merupakanproduk darirefleksi. Cara

membuktikannyaserupa(tetapi pendek) ketika fadalah produk darisatu

atauduarefleksi.

Bukti diatasmenunjukkankarakteristik isometridarigrup

transformasi.SebuahtransformasipadahimpunanSadalah fungsidari S keS,

danhimpunan transformasiGmembentukgrupjika memilikidua sifat:

•JikafdanganggotaG, makabegitu jugafg.

•JikafanggotaG, kemudian adainversnya, f -1

Selain itu,Gmemilikifungsiidentitasf f -1

, yangdapat ditulissebagai1.

6. Spherical Geometry

Spherical Geometry adalah suatu geometri dua dimensi dari permukaan bola

(sphere). Sphere adalah himpunan semua titik dalam ruang tiga dimensi yang

merupakan jarak tetap dari suatu titik tertentu (disebut pusat). Beberapa contoh

yang jelas dari bola termasuk bola basket, bola, bola tenis, dan (hampir) bumi.

Jarak dari pusat ke setiap titik pada bola disebut jari-jari. Jarak melintasi bola

melalui pusat disebut diameter.

Great Circle Distance adalah lingkaran yang dibentuk oleh perpotongan

bola dan pesawat melewati pusat. Sebuah lingkaran besar adalah lingkaran

terbesar yang dapat ditarik pada suatu lingkungan tertentu, dan jalur terpendek

sepanjang bola antara dua titik adalah lingkaran besar.

1 Q

P

O

θ

Gambar 2Great-Circle Distance

Menurut definisi, suatu isometri f dari R3 adalah mempertahankan jarak.

Oleh karena itu, jika f pada O tetap, ia akan mengirimkan setiap titik pada jarak 1

dari O ke titik lain di jarak 1 dari O. Pembatasan f untuk S2 karena itu merupakan

isometri dari S2, karena f mempertahankan jarak di S

2 seperti halnya di tempat

lain. Pernyataan ini benar karena seorang menggunakan jarak garis lurus antara

titik S2 atau Great Circle Distance sepanjang permukaan melengkung S

2 (Gambar

1).

Isometries pada S2 adalah refleksi dalam The Great-Circle. Dua bidang P1

dan P2 bertemu di L line melalui O, dan produk dari refleksi di P1 dan P2 adalah

rotasi L (melalui dua kali sudut antara P1 dan P2). Situasi ini sangat sejalan

dengan yang di

R2, dimana produk dari refleksi melalui O adalah rotasi (melalui dua kali sudut

antara garis).

Akhirnya, ada produk dari refleksi di tiga bidang yang berbeda dari produk

suatu refleksi dalam satu atau dua bidang. Salah satu bentuk isometri adalah peta

antipodal mengirimkan setiap titik (x, y, z) ke titik antipodalnya (-x,-y,-z). Peta ini

adalah produk dari :

• refleksi pada bidang (y, z), yang mengirimkan (x, y, z) ke (-x, y, z),

• refleksi pada bidang (z, x), yang mengirimkan (x, y, z) ke (x, -y, z),

• refleksi pada bidang (x, y), yang mengirimkan (x, y, z) ke (x, y, -z).

Seperti dalam R2, ada "tiga refleksi teorema" bahwa setiap isometri dari S

2

adalah produk dari satu, dua, atau tiga refleksi. Tiga teorema refleksi ini

menunjukkan bahwa semua isometries dari S2

adalah pembatasan isometries dari

R3, karena ini adalah benar refleksi di lingkaran besar.

7. The Rotation Group of The Sphere

Untuk menunjukkan bahwa hasil sejumlah refleksi adalah rotasi sama halnya

untuk menunjukkan bahwa produk dari dua rotasi S2 adalah rotasi.

Misalkan dua rotasi S2

• rotasi melalui sudut θtentang titik P (yaitu, rotasi dengan sumbumelalui P dan

antipodalnya titik-P),

• rotasi melalui sudut φ tentang titik Q.

Ditetapkan bahwa rotasi melalui θ tentang P adalah produk darirefleksi di

"line" (great circle) melalui P. Selain itu, mereka dapat berupa "line" L dan M

melalui P asalkan sudut antara L dan Madalah φ / 2. Secara khusus, kita dapat

mengambil garis M menuju melalui P dan Q.

Demikian pula, rotasi melalui φ tentang Q adalah produk dari refleksi dalam

setiapgaris melalui pertemuan Q di sudut φ / 2, sehingga kita bisa mengambil

"line" pertamaakan M. Refleksi kedua "line" melalui Q lalu "line" N padaangle φ

/ 2 (Gambar 3).

Gambar 3Reflection “lines” on the sphere

8.Representing Space Rotations by Quaternions

Carayang paling praktis untuk menggambarkanrotasidariR3atauS

2

yaitu dengan bantuandariquaternion, yangdiperkenalkan dibagian 6.6.

Sebuahquaternionadalah matriks 2×2 memiliki bentuk

𝒒 = 𝑎 + 𝑖𝑏 𝑐 + 𝑖𝑑−𝑐 + 𝑖𝑑 𝑎 − 𝑖𝑏

, dimanaa, b, c, d∈Rdan i2=-1.

Atau dapat ditulis q = a1+bi+ cj+ dk, dimana

𝟏 = 1 00 1

, 𝒊 = 𝑖 00 −𝑖

, 𝒋 = 0 1

−1 0 , 𝒌 =

0 𝑖𝑖 0

i, j, kdioperasikan denganperkalian matriks, misalnyaij =k= -jidan i2=-1.

Karenaqsesuai denganquadruple(a, b, c, d)daribilangan real, kita

dapat melihatqmerupakan titikdiR4.

Jikap adalah titiksembarangdiR4, kemudian pemetaan p →pq, dimana p

mengalikansemua panjang p diR4dengan 𝒒 , jarakdariqdari titik asal. Hal

initerjadikarena

det 𝒒 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2 = 𝒒 2

Kemudian dengan mengikuti operasi perkaliandarideterminan maka

𝒑𝒒 2 = det 𝒑𝒒 = det 𝒑 det 𝒒 = 𝒑 2 𝒒 2sehingga 𝒑𝒒 = 𝒑 𝒒 .

Jika titik-titik p1, p2∈R4,

𝒑1𝒒 − 𝒑𝟐𝒒 = 𝒑1 − 𝒑2 𝒒 = 𝒑1 − 𝒑2 𝒒

Oleh karena itu, semuajarak 𝒑1 − 𝒑2 tersebutdikalikan dengan nilai konstan 𝒒 .

Secara khusus, jika 𝒒 =1, makapetap→pqadalahsuatuisometridiR4.

Pemetaanp→qp(yang belum tentusama dengan pemetaan p→pq,

karenaperkalianquaterniontidakkomutatif) adalah

jugamerupakanisometrisaat 𝒒 =1. Pemetaan tersebutberguna untuk

mempelajarirotasiR4namunjuga dapat dipakai untukmempelajarirotasiR

3.

Rotations of (i, j, k) –space

Jika p adalah quaternion di ruang (i, j, k)

p = xi + yj + zk, dimana x, y, z ϵ R,

dan jikaqadalah quaternion nol,qpq-1

juga terletakdalam ruang(i, j, k). Dengan

demikian, jika 𝒒 =1, maka pemetaan p→qpq-1

merupakanisometridiR3, karena

ruang (i, j, k)hanyatiga bilangan real dari ruang (x, y, z).

Selain itu, setiapquaternion dengan 𝒒 =1dapatditulis dalam bentuk

𝒒 = 𝑐𝑜𝑠𝜃

2+ 𝑙𝒊 + 𝑚𝒋 + 𝑛𝒌 𝑠𝑖𝑛

𝜃

2, dimana l

2+ m

2 + n

2

danisometrip →qpq-1

adalah sebuah rotasi di ruang (i, j, k) dengan sudutθ,

sumbumelalui 0danli+mj+nk.

Fakta-fakta inidapat dilihatdengan perhitungan,

tetapibukuinimemverifikasinyahanyauntuk kasuskhusus di manasumbu

rotasiberada dalam arahi, dantitikpyang

khususuntukmempermudahmenentukansifatisometritersebut.

Denganmenggunakansudut𝜃

2diqdanq

-1.

Contoh:

Pemetaanp →qpq-1

, dimana𝒒 = 𝑐𝑜𝑠𝜃

2+ 𝒊𝑠𝑖𝑛

𝜃

2.

Pertamakitaperiksasetiaptitikxipadasumbui

𝒒𝑥𝒊𝒒−1 = 𝑐𝑜𝑠𝜃

2+ 𝒊𝑠𝑖𝑛

𝜃

2 𝑥𝒊 𝑐𝑜𝑠

𝜃

2− 𝒊𝑠𝑖𝑛

𝜃

2

= 𝑐𝑜𝑠𝜃

2+ 𝒊𝑠𝑖𝑛

𝜃

2 𝒙𝒊𝒄𝒐𝒔

𝜃

2+ 𝑥1𝑠𝑖𝑛

𝜃

2 , karena i

2 = -1

= 𝑥𝒊 𝑐𝑜𝑠𝟐𝜃

2+ 𝑠𝑖𝑛𝟐

𝜃

2 + 𝑥1 𝑠𝑖𝑛

𝜃

2𝑐𝑜𝑠

𝜃

2− 𝑠𝑖𝑛

𝜃

2𝑐𝑜𝑠

𝜃

2

= xi

Selanjutnya akandiperiksajikajtitikdiputardengan sudutθdalam(j, k), ke

titikjcosθ+ksinθ.

𝒒𝒋𝒒−1 = 𝑐𝑜𝑠𝜃

2+ 𝒊𝑠𝑖𝑛

𝜃

2 𝒋 𝑐𝑜𝑠

𝜃

2− 𝒊𝑠𝑖𝑛

𝜃

2

= 𝑐𝑜𝑠𝜃

2+ 𝒊𝑠𝑖𝑛

𝜃

2 𝒋𝒄𝒐𝒔

𝜃

2+ 𝒌𝑠𝑖𝑛

𝜃

2 , karena ji = -k

= 𝒋 𝑐𝑜𝑠𝟐 𝜃

2− 𝑠𝑖𝑛𝟐 𝜃

2 + 𝒌 2𝑠𝑖𝑛

𝜃

2𝑐𝑜𝑠

𝜃

2 , karena ik = j, ij = k

= 𝒋𝒄𝒐𝒔𝜃

2+ 𝒌𝑠𝑖𝑛

𝜃

2

Samahalnyadenganmemeriksaqkq-1

=-ksinθ+ j cosθ. Oleh karena itu,

isometrip→qpq-1

adalahrotasidaribidang(j, k) dengansudutθ.

Dengan demikian, isometrip→qpq-1

padaruang(i, j, k) melaluisumbu tetapi

danberputardi didang(j, k)melalui

sudutθmerupakanrotasimelaluisudutθsepanjangsumbui.

Daftar Pustaka

Stillwell, John. 2004. The Four Pillars of Geometry. San Fransisco: Springer.