Embed Size (px)
Citation preview
TRANSFORMASI-Z
Transformsi-Z Langsung
Sifat-sifat Transformasi-Z
Transformasi -Z Rasional
Transformasi-Z Balik
Transformasi-Z Satu Sisi
TRANSFORMASI-Z LANGSUNG
Definisi :
Contoh Soal 1
Tentukan transformasi Z dari beberapa sinyal diskrit di bawah ini
n
nz)n(x)z(X
1,0,7,5,2)n(x).d
1,0,7,5,2,1,0)n(x).c
1,0,7,5,2,1)n(x).b
1,0,7,5,2,1)n(x).a
4
3
2
1
Jawab:
5321
1
1
zz7z5z21)z(X
1,0,7,5,2,1)n(x).a
3112
2
2
zz75z2z)z(X
1,0,7,5,2,1)n(x).b
64321
3
3
752)(
1,0,7,5,2,1,0)().
zzzzzzX
nxc
311
4
4
zz75z2)z(X
1,0,7,5,2)n(x).d
Contoh Soal 2
Tentukan transformasi Z dari beberapa sinyal impuls di bawah ini
0k),kn()n(x).c
0k),kn()n(x).b
)n()n(x).a
3
2
1
Jawab:
1z)n()z(X).an
n
1
k
n
n
2 zz)kn()z(X).b
k
n
n
3 zz)kn()z(X).c
Contoh Soal 3
Tentukan transformasi Z dari sinyal )n(u
2
1)n(x
n
Jawab:
1AA1
1AAA1
Az2
1z
2
1)z(X
32
0n
n
0n
n
1
0n
n
n
1
1
z2
11
1)z(X
2
1z1z
2
1
1
n
z1
1)z(X)n(u)n(x
1z1
1)z(X)n(u)n(x
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z
Linieritas
)z(Xa)z(Xa)z(X)n(xa)n(xa)n(x
)z(X)n(x)z(X)n(x
22112211
2211
Contoh Soal 4
Tentukan transformasi Z dari sinyal )n(u)3(4)2(3)n(x nn
Jawab:
1121
n
2
n
1
z31
4
z21
3)z(X4)z(X3)z(X
)n(u)3()n(x)n(u)2()n(x
Contoh Soal 5
Tentukan transformasi Z dari sinyal-sinyal di bawah ini :
)n(u)nsin()n(x).b
)n(u)ncos()n(x).a
o
o
Jawab:
)n(ue2
1)n(ue
2
1)n(u)ncos()n(x).a
njnj
ooo
1j1jze1
1
2
1
ze1
1
2
1)z(X
oo
)zeze1(
)1zeze1(
2
1
)ze1)(ze1(
)e1()e1(
2
1)z(X
2j1j
1j1j
1j1j
jj
oo
oo
oo
oo
2
o
1
o
1
ozcosz21
cosz1)z(Xncos)n(x
)n(uej2
1)n(ue
j2
1)n(u)nsin()n(x).b
njnj
ooo
1j1jze1
1
j2
1
ze1
1
j2
1)z(X
oo
)zeze1(
)zeze(
j2
1
)ze1)(ze1(
)e1()e1(
j2
1)z(X
2j1j
1j1j
1j1j
jj
oo
oo
oo
oo
2
o
1
o
1
ozcosz21
sinz)z(Xnsin)n(x
Scaling in the Z-domain
a
zX)za(X)n(xa)z(X)n(x 1
1
n
Contoh Soal 6
Tentukan transformasi Z dari sinyal-sinyal di bawah ini :
)sin()().)cos()(). 21 nanxbnanxa on
on
Jawab:
22
o
1
o
1
1zacosaz21
cosaz1)z(X
2
o
1
o
1
ozcosz21
cosz1)z(Xncos)n(x
21
o
11
o
11
1o
n
1)za(cos)za(21
cos)za(1)z(Xncosa)n(x
22
o
1
o
1
2zacosaz21
sinaz)z(X
Time Reversal
)z(X)n(x)z(X)n(x 1
Contoh Soal 7
Tentukan transformasi Z dari sinyal )n(u)n(x
Jawab:
1z1
1)z(X)n(u)n(x
z1
1)z(X)n(u)n(x
z1
1
)z(1
1)z(X)n(u)n(x
11
Diferensiasi dalam domain z
dz
)z(dXz)n(nx)z(X)n(x
Contoh Soal 8
Tentukan transformasi Z dari sinyal )n(una)n(x n
Jawab:
11
n
1az1
1)z(X)n(ua)n(x
dz
)z(dXz)z(X)n(una)n(x 1n
21
2
1
1
az1
az)z(
az1
1
dz
dz
dz
)z(dXz)z(X
21
1n
az1
az)n(una
21
1
z1
z)n(nu
Konvolusi antara dua sinyal
)z(X)z(X)z(X)n(x*)n(x)n(x
)z(X)n(x)z(X)n(x
2121
2211
Contoh Soal 9
Tentukan konvolusi antara x1(n) dan x2(n) dengan :
Jawab:
lainnya,0
5n0,1)n(x1,2,1)n(x 21
54321
2
21
1 zzzzz1)z(Xzz21)z(X
)zzzzz1)(zz21()z(X)z(X)z(X 5432121
21
761
21 zzz1)z(X)z(X)z(X
1,1,0,0,0,0,1,1)n(x*)n(x)n(x 21
TRANSFORMASI Z RASIONAL Pole dan Zero
Pole : harga-harga z = pi yang menyebabkan X(z) =
Zero : harga-harga z = zi yang menyebabkan X(z) = 0
N
0k
k
k
M
0k
k
k
N
N
1
1o
M
M
1
1o
za
zb
zazaa
zbzbb
)z(D
)z(N)z(X
Fungsi Rasional
o
N1N
o
1N
o
M1M
o
1M
N
o
M
ooo
a
az
a
aZ
b
bz
b
bz
za
zb
)z(D
)z(N)z(X0b0a
N(z) dan D(z) polinom
o
N1N
o
1N
o
M1M
o
1M
N
o
M
ooo
a
az
a
aZ
b
bz
b
bz
za
zb
)z(D
)z(N)z(X0b0a
)())((
)())((
)(
)()(
21
21
N
MMN
o
o
pzpzpz
zzzzzzz
a
b
zD
zNzX
N
1k
k
M
1k
kMN
)pz(
)zz(
zG)z(X
Contoh Soal 10
Tentukan pole dan zero dari 21
1
z5,0z5,11
z5,12)z(X
Jawab:
)5,0z)(1z(
)75,0z(z2
)5,0z)(1z(
75,0zz2
5,0z5,1z
75,0z
z
z
1
2)z(X
12
22
1
75,0z0z:Zero 21
5,0p1p:Pole 21
Contoh Soal 11
Tentukan pole dan zero dari 21
1
z5,0z1
z1)z(X
Jawab:
5,0zz
)1z(z)z(X
2
1z0z:Zero 21
5,0j5,0p5,0j5,0p:Pole 21 *
21 pp
)]5,0j5,0(z)][5,0j5,0(z[
)1z(z
Fungsi Sistem dari Sistem LTI
)z(X
)z(Y)z(H)z(X)z(H)z(Y)n(x*)n(h)n(y
)z(H)n(h Respon impuls Fungsi sistem
Persamaan beda dari sistem LTI :
)kn(xb)kn(ya)n(yM
0k
k
N
1k
k
kM
0k
k
kN
1k
k z)z(Xbz)z(Ya)z(Y
kM
0k
k
kN
1k
k z)z(Xbz)z(Ya)z(Y
kM
0k
k
kN
1k
k zb)z(X]za1)[z(Y
)z(H
za1
zb
)z(X
)z(Y
kN
1k
k
kM
0k
k
Fungsi sistem rasional
)z(H
za1
zb
)z(X
)z(Y
kN
1k
k
kM
0k
k
Hal khusus I : ak = 0, 1 k N
kMM
0k
kM
kM
0k
k zbz
1zb)z(H
All-zero system
Hal khusus II : bk = 0, 1 k M
1a
za
b
za1
b)z(H o
kN
0k
k
o
kN
1k
k
o
All-pole system
pole-zero system
Contoh Soal 12
Tentukan fungsi sistem dan respon impuls sistem LTI :
Jawab:
)z(X2)z(Yz2
1)z(Y 1
)n(x2)1n(y2
1)n(y
)z(X2)z2
11)(z(Y 1
1z2
11
2)z(H
)n(u2
12)n(h
n
TRANSFORMASI -Z BALIK
Definisi transformasi balik
n
nz)n(x)z(X dzz)z(Xj2
1)n(x 1n
Cluardizbila,0
Cdalamdizbila,dz
)z(fd
)!1k(
1
dz)zz(
)z(f
j2
1
o
o
zz
1k
1k
C k
oo
Teorema residu Cauchy :
Ekspansi deret dalam z dan z-1
n
n
nzc)z(X
Contoh Soal 13
Tentukan transformasi-z balik dari
4321
16
31
8
15
4
7
2
31)( zzzzzXJawab:
4321
16
31
8
15
4
7
2
31)( zzzzzX
n
nz)n(x)z(X
,16
31,
8
15,
4
7,
2
3,1)n(x
Ekspansi fraksi-parsial dan tabel transformasi-z
)z(X)z(X)z(X)z(X KK2211
Contoh Soal 14
Tentukan transformasi-z balik dari
Jawab:
)n(x)n(x)n(x)n(x KK2211
21 z5,0z5,11
1)z(X
)5,0z)(1z(
z
5,0z5,1z
z)z(X
2
2
2
)5,0z(
A
)1z(
A
5,0z5,1z
z
z
)z(X 21
2
)5,0z(
1
)1z(
2
)5,0z(
A
)1z(
A
5,0z5,1z
z
z
)z(X 21
2
)z5,01(
1
)z1(
2)z(X
11
)n(u])5,0(2[)n(x 2
)5,0z)(1z(
)1z(A)5,0z(A
)5,0z(
A
)1z(
A
5,0z5,1z
z 2121
2
5,0z5,1z
)AA5,0(z)AA(
)5,0z(
A
)1z(
A
5,0z5,1z
z2
212121
2
1A2A1A5,0A5,0A 21111
122121 A5,0A0AA5,01AA
Contoh Soal 15
Tentukan respon impuls dari suatu sistem LTI (Linear Time
Invariant) yang dinyatakan oleh persamaan beda :
Jawab:
)z(Xz5,9)z(X5,4)z(Yz2)z(Yz3)z(Y 121
)z5,95,4)(z(X)z2z31)(z(Y 121
21
1
z2z31
z5,95,4
)z(X
)z(Y)z(H
)1n(x5,9)n(x5,4)2n(y)1n(y3)n(y
21
1
z2z31
z5,95,4)z(H
2z3z
5,9z5,4
z
)z(H2
2z
5,0
1z
5
2z
A
1z
A
z
)z(H 21
11 z)2(1
5,0
z)1(1
5)z(H
)n(u])2(5,0)1(5[)n(h nn
Contoh Soal 16
Tentukan output dari suatu sistem LTI (Linear Time Invariant) yang
dinyatakan oleh persamaan beda :
Jawab:
)z(Xz5,9)z(X5,4)z(Yz2)z(Yz3)z(Y 121
)1n(x5,9)n(x5,4)2n(y)1n(y3)n(y
0)2(y0)1(y
dan mendapat input x(n) = (-3)nu(n) )n(y)n(y zs
)z5,95,4)(z(X)z2z31)(z(Y 121
11
n
z31
1
z)3(1
1)z(X)n(u)3()n(x
)z(X)z5,95,4()z2z31)(z(Y 121
1
121
z31
1)z5,95,4()z2z31)(z(Y
)z31)(z2z31(
)z5,95,4()z(Y
121
1
)z31)(z2z31(z
)z5,95,4(z
z
)z(Y1213
12
)3z)(2z)(1z(
)z5,9z5,4(
)3z)(2z3z(
)z5,9z5,4(
z
)z(Y 2
2
2
)3z)(2z)(1z(
)z5,9z5,4(
)3z)(2z3z(
)z5,9z5,4(
z
)z(Y 2
2
2
)3z(
A
)2z(
A
)1z(
A
)3z)(2z)(1z(
)z5,9z5,4( 321
2
)3z)(2z)(1z(
)2z3z(A)3z4z(A)6z5z(A
z
)z(Y 2
3
2
2
2
1
0A2A3A6
5,9A3A4A5
5,4AAA
321
321
321
2
236
345
111
D
5,22
5
D
230
345,9
115,4
A1
12
2
D
206
35,95
15,41
A2
6A5,4A15,2 33
)z31(
6
)z21(
1
)z1(
5,2)z(Y
)3z(
6
)2z(
1
)1z(
5,2
z
)z(Y
111
)n(u])3(6)2()1(5,2[)n(y n2n
zs
Pole-pole berbeda semua
N
N
k
k
1
1
pz
A
pz
A
pz
A
z
)z(X
N
Nkk
1
1kk
pz
A)pz(A
pz
A)pz(
z
)z(X)pz(
k
pz
k Az
)z(X)pz(
k
Contoh Soal 17
Jawab:
Tentukan zero-state response dari suatu sistem LTI yang mendapat
input x(n) = u(n) dan dinyatakan oleh persamaan beda :
)2n(x8)1n(x28)n(x5)2n(y8)1n(y6)n(y
)z(Xz8)z(Xz28)z(X5)z(Yz8)z(Yz6)z(Y 2121
121
21
z1
1
z8z61
)z8z285()z(Y
1z1
1)z(X
1z
A
4z
A
2z
A
)1z)(8z6z(
)8z28z5(
z
)z(Y 321
2
2
1z
A
4z
A
2z
A
)1z)(4z)(2z(
)8z28z5(
z
)z(Y 321
2
146
84
)3)(2(
85620
)1z)(4z(
8z28z5
z
)z(Y)2z(A
2z
2
1
2010
200
)5)(2(
811280
)1z)(2z(
8z28z5
z
)z(Y)4z(A
4z
2
2
115
15
)5)(3(
8285
)4z)(2z(
8z28z5
z
)z(Y)1z(A
1z
2
3
1z
1
4z
20
2z
14
z
)z(Y
111 z1
1
z41
20
z21
14)z(Y
)n(u]1)4(20)2(14[)n(y nn
zs
Ada dua pole yang semua
N
N
k
k2
2
k
k1
1
1
pz
A
pz
A
)pz(
A
pz
A
z
)z(X
kpz
2
kk1
z
)z(X)pz(A
kpz
2
kk2
z
)z(X)pz(
dz
dA
Contoh Soal 18
Jawab:
Tentukan transformasi-Z balik dari :
211 )z1)(z1(
1)z(X
)1z(
A
)1z(
A
1z
A
)1z)(1z(
z
z
)z(X 3
2
21
2
2
4
1
)1z(
z
z
)z(X)1z(A
1z
2
2
1
4
3
)1z(
z2z
)1z(
)z)(1()1z)(z2(
)1z(
z
dz
d
z
)z(X)1z(
dz
dA
1z
2
2
2
2
22
3
)n(u]4
3n
2
1)1(
4
1[)n(x n
2
1
)1z(
z
z
)z(X)1z(A
1z
22
2
Pole kompleks
*pppp 21
211
11
11 z*ppz*ppz1
pz*A*Az*ApA
z*p1
*A
pz1
A
1
2
2
1
1
1
zp1
A
zp1
A)z(X
*AAAA 21
2
2
1
1
1
1o
21
1
zaza1
zbb
z*ppz*)pp(1
z)p*A*Ap(*)AA(
)ARe(2*AAb
)ARe(2)AIm(j)ARe()AIm(j)ARe(*AA
o
)pRe(2*)pp(a
)pRe(2)pIm(j)pRe()pIm(j)pRe(*pp
1
2
2
222 p*ppap)p(Im)p(Re
)]pIm(j)p)][Re(pIm(j)p[Re(*pp
)pIm()AIm(2)pRe()ARe(2
)]pIm(j)p)][Re(AIm(j)A[Re(
)]pIm(j)p)][Re(AIm(j)A[Re(p*A*Ap
*)ApRe(2)p*A*Ap(b
]pIm()ARe()AIm()p[Re(j)]pIm()AIm()pRe()A[Re(
)]pIm(j)p)][Re(AIm(j)A[Re(*Ap
1
Contoh Soal 19
Jawab:
Tentukan transformasi-Z balik dari : 21
1
z5,0z1
z1)z(X
2
2
1
1
1
1o
21
1
zaza1
zbb
z5,0z1
z1)z(X
5,0)ARe(1)ARe(2bo
5,0)pRe(1)pRe(2a1
5,0*)ApRe(1*)ApRe(2b1
5,0)p(Im)p(Re5,0pa 222
2
5,0)p(Im25,0)p(Im)p(Re 222
5,0)ARe(5,0)pRe(
5,0j5,0p5,0)pIm(25,0)p(Im2
)5,0j5,0)](AIm(j5,0[*Ap
25,0j5,0A25,0)AIm(
5,0)AIm(5,025,0*)ApRe(
11
11
z)5,0j5,0(1
25,0j5,0
z)5,0j5,0(1
25,0j5,0
z*p1
*A
pz1
A)z(X
11 z)5,0j5,0(1
25,0j5,0
z)5,0j5,0(1
25,0j5,0)z(X
45j45j e707,05,0j5,0e707,05,0j5,0
n45sin)707,0(5,0n45cos)707,0(
)n45sinjn45)(cos707,0)(25,0(j
)n45sinjn45(cos)707,0)(5,0(
)n45sinjn45)(cos707,0)(25,0(j
)n45sinjn45(cos)707,0)(5,0(
)e707,0)(25,0j5,0()e707,0)(25,0j5,0()n(x
nn
n
n
n
n
n45jn45j
TRANSFORMASI-Z SATU SISI
Definisi :
Contoh Soal 20
Tentukan transformasi Z satu sisi dari beberapa sinyal diskrit di
bawah ini
0n
nz)n(x)z(X
1,0,7,5,2)n(x).d
1,0,7,5,2,1,0)n(x).c
1,0,7,5,2,1)n(x).b
1,0,7,5,2,1)n(x).a
4
3
2
1
Jawab:
5321
1
1
zz7z5z21)z(X
1,0,7,5,2,1)n(x).a
31
2
2
zz75)z(X
1,0,7,5,2,1)n(x).b
74321
3
3
zz7z5z2z)z(X
1,0,7,5,2,1,0)n(x).c
31
4
4
zz75)z(X
1,0,7,5,2)n(x).d
Contoh Soal 21
Tentukan transformasi Z satu sisi dari beberapa sinyal impuls di
bawah ini
0k),kn()n(x).c
0k),kn()n(x).b
)n()n(x).a
7
6
5
Jawab:
1z)n()z(X).a0n
n
5
k
0n
n
6 zz)kn()z(X).b
0z)kn()z(X).c0n
n
7
Time Delay
]z)n(x)z(X[z)kn(xk
1n
nk
Contoh Soal 22
Tentukan transformasi Z satu sisi dari x1(n) = x(n-2)
dimana x(n) = anu(n )
1
n
az1
1)z(X)n(ua)n(x
211
1
2
22
2
1n
n2
1
azaaz1
z
z)2(xz)1(xXz
z)n(xXz)z(X
Jawab:
Time advance
]z)n(x)z(X[z)kn(x1k
0n
nk
Jawab:
1
n
az1
1)z(X)n(ua)n(x
azzaz1
z
z)1(x)0(xXz
z)n(x)z(XzX
2
1
2
12
1
0n
n2
2
Contoh Soal 23
Tentukan transformasi Z satu sisi dari x2(n) = x(n+2)
dimana x(n) = anu(n )
Contoh Soal 24
Tentukan output dari suatu sistem LTI (Linear Time Invariant) yang
dinyatakan oleh persamaan beda :
Jawab:
0]z)2(yz)1(y)z(Y[z2
]z)1(y)z(Y[z3)z(Y
22
1
)1n(x5,9)n(x5,4)2n(y)1n(y3)n(y
5,7)2(y5,8)1(y
dengan input x(n) = 0 )n(y)n(y zi
21
1
21
1
z2z31
5,10z17
z2z31
)5,7(2z)5,8(2)5,8(3)z(Y
)2(y2z)1(y2)1(y3]z2z31)[z(Y
0]z)2(yz)1(y)z(Y[z2
]z)1(y)z(Y[z3)z(Y
121
22
1
)2z)(1z(
17z5,10
2z3z
17z5,10
z
)z(Y2
2z
A
1z
A
)2z)(1z(
17z5,10
2z3z
17z5,10
z
)z(Y 21
2
41
4
1z
17z5,10
z
)z(Y)2z(A
5,61
5,6
2z
17z5,10
z
)z(Y)1z(A
2z
2
1z
1
11 z21
4
z1
5,6
2z
z4
1z
z5,6)z(Y
nn
zi )2(4)1(5,6)n(y
Contoh Soal 25
Jawab:
Tentukan output dari suatu sistem LTI yang mendapat input x(n) =
u(n) dan dinyatakan oleh persamaan beda :
3)2(y4)1(y
)2n(x8)1n(x28)n(x5)2n(y8)1n(y6)n(y
]z)2(xz)1(x)z(X[z8]z)1(x)z(X[z28
)z(X5]z)2(yz)1(y)z(Y[z8
]z)1(y)z(Y[z6)z(Y
221
22
1
]z8z285)[z(X
24z3224]z8z61)[z(Y
21
121
]z8z285)[z(X
24z3224]z8z61)[z(Y
21
121
1
21121
z1
z8z285z32]z8z61)[z(Y
)z1)(z8z61(
z8z285z32z32)z(Y
121
2121
)z1)(z8z61(
z24z45)z(Y
121
21
)1z)(8z6z(
24z4z5
z
)z(Y2
2
)1z)(4z)(2z(
24z4z5
)1z)(8z6z(
24z4z5
z
)z(Y 2
2
2
4z
A
2z
A
1z
A
)1z)(4z)(2z(
24z4z5 321
2
115
15
)5)(3(
2445
)4z)(2z(
24z4z5A
1z
2
1
26
12
)3)(2(
24820
)1z)(4z(
24z4z5A
2z
2
2
410
40
)5)(2(
241680
)1z)(2z(
24z4z5A
4z
2
3
4z
4
2z
2
1z
1
z
Y
111 z41
4
z21
2
z1
1Y
)n(u])4(4)2(21[)n(y 2n
Latihan Soal:
Tentukan transformasi Z dari:
1. 𝑥 𝑛 = −1 𝑛𝑢 𝑛
2. 𝑥 𝑛 =1
𝑛𝑢 𝑛 − 1
Tentukan invers transformasi Z:
1. 𝑥 𝑧 =1
(1−0,4𝑧−1)2 𝑧 > 0.4
2. 𝑥 𝑧 =𝑧5−3
1−𝑧−5 𝑧 > 1
