Ángel Manrique C.I.: 15.382.875 Análisis Matricial de Estructuras UCAB Trabajo No. 1 (Fecha tope entrega: Viernes 31 de Octubre) Para la estructura mostrada, despreciando las deformaciones axiales de todos sus miembros, se pide:

1. Determinar los GDL del sistema. (1pto) 2. Dibujar una posible deformada generalizada de la estructura (1pto) 3. Definir un sistema de coordenadas generalizadas Q-q donde no se emplee

ninguna coordenada traslacional en la junta C. (1pto) 4. Dibujar los estados elementales de desplazamientos (2ptos) 5. Definir otro sistemas de coordenadas generalizadas Q*-q* donde no se

emplee ninguna coordenada traslacional en las juntas B y D (1pto) 6. Hallar la matriz de transformación T entre los dos sistemas, tal que q* = T q

(4 ptos) 7. Definir un sistema de coordenadas dependientes ri tal que incluya todas

las rotaciones de juntas y además, las juntas B, C y D cuenten c/u con dos coordenadas traslacionales ortogonales (horizontal y vertical) (1pto)

8. Hallar ri en función de las coordenadas generalizadas qi. (4 ptos) 9. Asociar un sistema de cargas Ri al sistema de coordenadas dependientes ri

(1pto) 10. Aplicando el principio de trabajos virtuales, hallar Qi en función de Ri.

(4Ptos)

B

C

D

E A

5

5

7

8

Datos: . a = última cifra de su cédula de identidad; a=5 b = penúltima cifra de su cédula de identidad; b= 7 c = antepenúltima cifra de su cédula de identidad; c=8 Nota: si alguna de estas cifras es “0”, asuma en su lugar el valor “5”

Solución del Trabajo 1

1. Determinar los GDL del sistema.

Son cuatro (4) elementos y cinco (5) juntas de las cuales dos están vinculadas a tierra. La junta A mediante una articulación lo que genera dos (2) restricciones y la junta E mediante un empotramiento que genera tres (3) restricciones.

Una de las condiciones de análisis es que las deformaciones axiales de los

elementos es despreciable por lo que genera una restricción por cada elemento que en total son cuatro (4).

Cada elemento de forma independiente puede experimentar tres (3) grados de

libertad lo que genera quince (15) posibles movimientos.

GL = 15-2-3-4 = 6

GL = 6

2. Dibujar la posible deformada de la estructura

3. Definir un sistema de coordenadas generalizadas Q-q donde no se emplee ninguna coordenada traslacional en la junta C

Sistema de Coordenadas Generalizado

4. Dibujar los estados elementales de desplazamientos Para realizar los estados de desplazamiento elemental de la estructura se deben permitir una a una cada coordenada generalizada del sistema, es decir, se permite un desplazamiento generalizado mientras que los demás se hacen nulos y esto se hace con todos y cada uno de dichos desplazamientos. A continuación se muestran todos los estados de desplazamiento elemental de la estructura:

a) Primer Estado de desplazamiento elemental

b) Segundo Estado de desplazamiento elemental

c) Tercer Estado de desplazamiento elemental

d) Cuarto Estado de desplazamiento elemental

e) Quinto Estado de desplazamiento elemental

f) Sexto Estado de desplazamiento elemental

5. Definir otro sistemas de coordenadas generalizadas Q*-q* donde no se emplee ninguna coordenada traslacional en las juntas B y D

6. Hallar la matriz de transformación T entre los dos sistemas, tal que q* = T q

La matriz de transformación es la relación existente entre varios sistemas de coordenadas. Esta matriz de transformación se deduce de una manera geométrica entre el sistema de coordenadas generalizadas Q y el sistema de coordenadas secundario Q*. Este último no necesariamente está conformado por coordenadas independientes entre sí. Por lo general el sistema de coordenadas Q* es un sistema auxiliar que el calculista utiliza como apoyo para hallar desplazamientos que no coinciden con las coordenadas generalizadas pero que son de gran utilidad en el cálculo de una estructura de interés.

Para encontrar la relación entre estos sistemas de coordenadas Q-Q* se debe evaluar los desplazamientos que se generan en la estructura aplicando cada estado de desplazamiento elemental Qi y verificando como estos afectan a las coordenadas secundarias Qi*. Para este problema ya tenemos las deformadas que ocurren en la estructura bajo cada estado de desplazamiento elemental; ahora encontraremos los valores de cada de cada Qi* para dichos desplazamientos. Para el Primer estado de desplazamiento elemental Q1 = 1, Q1*=1 y el resto de las coordenadas Qi* son cero ya que solo se origina el giro en la junta A, por lo que:

Q1Q1*   1   Q2*   0   Q3*   0   Q4*   0   Q5*   0   Q6*   0   

Para el segundo estado de desplazamiento elemental Q2 = 1,

Q2 Q1*   0   Q2*   0   Q3*   0.42   Q4*   0.367  Q5*   0   Q6*   0   

Para el Tercer estado de desplazamiento elemental Q3= 1, solo ocurre el giro en la junta B por lo que no se genera ningún desplazamiento en el resto de la estructura, por lo que, Q2* es la única coordenada que sufre alteración mientras que el resto de las coordenadas Qi* es igual a cero.

Q3

Q1*   0   Q2*   1   Q3*   0   Q4*   0   Q5*   0   Q6*   0   

Para el Cuarto estado de desplazamiento elemental Q4= 1, ocurre un caso similar al anterior, donde, Q5* es la única en sufrir alteración y está afectada directamente por la coordenada generalizada Q4 por lo que es igual a uno (1) y el resto de las coordenadas Qi* es igual a cero.

Q4Q1*   0   Q2*   0   Q3*   0   Q4*   0   Q5*   1   Q6*   0   

Para el Quinto estado de desplazamiento elemental Q5= 1, se describe otro caso como los ocurridos con los estados de desplazamiento elemental Q3 y Q4, donde para este caso la única coordenada en sufrir alteración es Q6* que es igual a uno (1) y el resto de las coordenadas Qi* es igual a cero.

Q5Q1*   0   Q2*   0   Q3*   0   Q4*   0   Q5*   0   Q6*   1   

Para el Sexto y último estado de desplazamiento elemental Q6= 1,

Q6 Q1*   0   Q2*   0   Q3*   0.585   Q4*   ‐0.366  Q5*   0   Q6*   0   

La matriz de transformación T queda de la siguiente forma:

Q1  Q2  Q3  Q4  Q5  Q6 

Q1*     1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00  Q2*     0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00  Q3*     0.00 0.42 0.00 0.00 0.00 0.59  Q4*     0.00 0.37 0.00 0.00 0.00 ‐0.37  Q5*     0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00  Q6*     0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00  

7. Definir un sistema de coordenadas dependientes ri tal que

incluya todas las rotaciones de juntas y además, las juntas B, C y D cuenten c/u con dos coordenadas traslacionales ortogonales (horizontal y vertical)

8. Hallar ri en función de las coordenadas generalizadas q

i

El procedimiento para hallar dicha relación es similar al realizado para encontrar la matriz de Transformación T para el sistema Q-Q*

Para Q1 = 1

Q1r1   1   r2   0   r3   0   r4   0   r5   0   r6   0   r7   0   r8   0   r9   0   

r10   0   

Para Q2 = 1

Q2 r1   0   r2   1   r3   0   r4   0   r5   0.42   r6   0.367  r7   0   r8   0   r9   0   

r10   0   

Para Q3 = 1

Q3r1   0   r2   0   r3   0   r4   1   r5   0   r6   0   r7   0   r8   0   r9   0   

r10   0   

Para Q4 = 1

Q4r1   0   r2   0   r3   0   r4   0   r5   0   r6   0   r7   1   r8   0   r9   0   

r10   0    Para Q5 = 1

Q5r1   0   r2   0   r3   0   r4   0   r5   0   r6   0   r7   0   r8   0   r9   0   

r10   1   

Para Q6 = 1

Q6 r1   0   r2   0   r3   0   r4   0   r5   0.585   r6   ‐0.366  r7   0   r8   0   r9   0   

r10   0   

Entonces la relación Qi-ri es la siguiente:

Q1  Q2  Q3  Q4  Q5  Q6 r1     1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00   r2     0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00   r3     0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00   r4     0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00   r5     0.00 0.42 0.00 0.00 0.00 0.59   r6     0.00 0.37 0.00 0.00 0.00 ‐0.37  r7     0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00   r8     0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00   r9     0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00   

r10     0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00   

9. Asociar un sistema de cargas Ri al sistema de coordenadas

dependientes ri

10. Aplicando el principio de trabajos virtuales, hallar Qi en

función de Ri.

Del sistema de desplazamientos generalizados ri tenemos que:

(1)

Donde T es la Matriz de transformación del sistema q-r

Podemos deducir otra ecuación aplicando el principio de los trabajos virtuales para cuerpos elásticos donde se tiene que:

Donde: W = Trabajo Virtual

C = Sistema de cargas Aplicado; q D = Desplazamientos experimentados; Q

Por lo que:

Como ambos son vectores columnas se debe transformar el vector Q en un vector fila para realizar la multiplicación matricial por lo que:

(2)

De forma análoga se obtiene:

(3)

Como los trabajos virtuales de la ambos estados de carga y desplazamientos debe ser cero se igualan las ecuaciones anteriores

(4)

Sustituyendo la ecuación (1) en (4) obtenemos:

Por lo tanto: