TÓPICOS ESPECIAIS DE MATEMÁTICA

TÓPICOS ESPECIAIS DE MATEMÁTICA
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1.1 Conceitos essenciais ................................................................................ 6
1.3 Exemplos de conjuntos compostos por números ...................................... 8
2. Lógica .......................................................................................................... 12
2.2) Desenvolvimento da Lógica ................................................................... 12
2.3) Cálculo Proposicional ............................................................................ 14
2.3.2) SÍMBOLOS AUXILIARES : .............................................................. 15
2.4) Tabela verdade ...................................................................................... 16
2.5) O Cálculo Proposicional e A Álgebra dos Conjuntos ............................. 23
2.6) Tautologias, Contradição e Contingências. ........................................... 25
2.7) Noções de Álgebra Booleana ................................................................ 28
2.7.1) Aplicações de Álgebra Booleana : Álgebra dos circuitos ................. 30
3. Teoria dos Grafos ....................................................................................... 31
3.1. Definições básicas ................................................................................ 31
4. Referências bibliográficas ........................................................................ 45
Frequentemente, o aluno de Ciências Aplicadas possui uma forte
expectativa de estudos tecnológicos já no início do Curso. De fato, até o seu
ingresso na universidade, poucos alunos têm uma noção clara da carga de
disciplinas com ênfase teórico-formal. Assim, quando se deparam com um
conjunto considerável de disciplinas com esta ênfase, tendem a considerar os
estudos matemáticos como algo secundário ou de menor importância. Nessa
apostila abordaremos alguns tópicos de uma disciplina muito importante:
Matemática Discreta.
A Matemática Discreta aplica-se a várias disciplinas de cursos como
Computação, Informática, Matemática, Sistemas de Informação, entre outros...
O conteúdo dessa disciplina é relativamente extenso e é desenvolvido com
abrangência e profundidade. Tal fato tende a levar o aluno a centrar seu estudo
no conteúdo, dando pouca atenção aos níveis mais elevados de raciocínio. A
consequência é que, no meio do semestre letivo (ou até antes), muitos alunos
se sentem perdidos, não acompanhando mais o desenvolvimento da disciplina.
A questão fundamental é o entendimento de que, tão importante quanto o
conteúdo, é o desenvolvimento da capacidade de raciocínio abstrato (lógico-
matemático), o qual é fortemente explorado junto com o conteúdo. Ou seja, de
certa forma, o conteúdo é usado como um meio para o desenvolvimento de um
raciocínio abstrato. É importante observar que o desenvolvimento do raciocínio
é obtido gradualmente, ao longo do tempo, como conseqüência de estudos
regulares e sistemáticos, preferencialmente após cada aula ou tópico estudado.
Alguns conteúdos serão abordados aqui como conjuntos, Lógica e
Grafos.
1. TEORIA DOS CONJUNTOS
Teoria dos conjuntos é a teoria matemática que trata das propriedades dos
conjuntos. Ela tem sua origem nos trabalhos do matemático russo Georg Cantor
(1845–1918), e se baseia na idéia de definir conjunto como uma noção primitiva.
Também chamada de teoria ingênua ou intuitiva devido à descoberta de vários
paradoxos relacionados à definição de conjunto. Estes paradoxos na teoria dos
conjuntos conduziram a Matemática a axiomatizar as teorias matemáticas, com
influências profundas sobre a lógica e os fundamentos da matemática. Essa
teoria teve seu início com a publicação em 1874 de um trabalho de Cantor que
tratava sobre a comparação de coleções infinitas. O trabalho apresentava uma
forma de comparar conjuntos infinitos pelo "casamento" 1-1 entre os elementos
destes conjuntos.
Esta aplicação da correspondência 1-1 permitiu a Cantor introduzir um
método de diagonalização, que por contradição, permitia provar que o conjunto
dos números reais não tinha correspondência 1-1 com o conjunto dos números
inteiros. Isto, mais tarde, levou ao desenvolvimento do conceito de contínuo por
Richard Dedekind.
Fig. 2: Richard Dedekind
teoria dos conjuntos abstratos, que constitui-se em uma generalização do
conceito de conjunto.
Conjunto
Um conjunto é uma coleção de entidades, chamadas de elementos. A
notação padrão lista os elementos separados por vírgulas e delimitados por
chaves (o uso de "parênteses" ou "colchetes" é incomum e, em determinados
contextos, considerado incorreto) como os seguintes exemplos:
INE EAD – INSTITUTO NACIONAL DE ENSINO
É possível descrever o mesmo conjunto de diferentes maneiras: listando os
seus elementos (ideal para conjuntos pequenos e finitos) ou definindo uma
propriedade de seus elementos (o que, se for feito de forma descuidada, pode
gerar problemas, tais como o paradoxo de Russell).
Dizemos que dois conjuntos são iguais se e somente se cada elemento de
um é também elemento do outro.
1.1 Conceitos essenciais
letras maiúsculas;
representado por letras minúsculas;
• Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de
um conjunto;
Pertence ou não pertence
Se a é um elemento de A, nós podemos dizer que o elemento a pertence
ao conjunto A e podemos escrever a A Se a não é um elemento de A, nós
podemos dizer que o elemento a não pertence ao conjunto A e podemos
escrever aA
Subconjuntos próprios e impróprios
Se A e B são conjuntos e todo o elemento x pertencente a A também
pertence a B, então o conjunto A é dito um subconjunto do conjunto B, denotado
por BA . Note que esta definição inclui o caso em que A e B possuem os
mesmos elementos, isto é, são o mesmo conjunto (A = B).
Se, ao menos um elemento pertencente a B, não pertence a A, então A é
chamado de subconjunto próprio de B, denotado por BA . Todo conjunto é
subconjunto dele próprio, chamado de subconjunto impróprio.
Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio
representado por { } ou Supondo que o conjunto vazio não pertence ao
conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao
menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui
elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns
aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos.
União, interseção e diferença
A união (ou reunião) de dois conjuntos A e B é o conjunto A composto dos
elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos A eB.
A união de N conjuntos N
i
== é o conjunto formado
pelos os elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos S i .
A interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto composto dos elementos
que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos A e B.
A diferença entre dois conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos de A
que não estão de B.
Cardinalidade
Se um conjunto tem n elementos, onde n é um número natural, então diz-
se que o conjunto é um conjunto finito com uma cardinalidade de n ou número
cardinal n.
Mesmo se o conjunto não possui um número finito de elementos, pode-se
definir a cardinalidade, graças ao trabalho desenvolvido pelo matemático Georg
Cantor. Neste caso, a cardinalidade poderá ser (aleph-0), .
Em teoria dos conjuntos, Aleph () é uma letra usada para representar
cardinais infinitos. A cardinalidade dos conjunto dos números inteiros é , o
cardinal seguinte é , etc.
Usando o Axioma da escolha, pode-se demonstrar que qualquer conjunto
não-vazio de números cardinais tem um elemento mínimo; assim, a classe dos
números cardinais é bem ordenada e pode ser indexada pelos números ordinais.
Esta indexação gera a notação para os números cardinais.
Produto cartesiano
O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de pares ordenados:
.
Os conjuntos são representados de diversas formas:
({});
• As propriedades ou descrições de um conjunto são representadas dentro
das {}, após os elementos e separadas destes por :;
• Diagrama de Venn-Euler: é a representação gráfica dos conjuntos,
através de entidades geométricas.
1.3 Exemplos de conjuntos compostos por números
Nota: Nesta seção, a, b e c são números naturais, enquanto r e s são números
1. Números naturais são usados para contar. O símbolo usualmente
representa este conjunto. Na literatura matemática, é possível encontrar
textos que incluem o zero como número natural e textos que não incluem.
2. Números inteiros aparecem como soluções de equações como x + a = b. O
símbolo usualmente representa este conjunto (do termo alemão Zahlen que
significa números).
3. Números racionais aparecem como soluções de equações como a + bx =
c. O símbolo usualmente representa este conjunto (da palavra quociente).
4. Números algébricos aparecem como soluções de equações polinomiais
(com coeficientes inteiros) e envolvem raízes e alguns outros números
irracionais. O símbolo ou usualmente representa este conjunto.
Um número algébrico é qualquer número real ou complexo que é solução
de alguma equação polinomial com coeficientes inteiros. Em um sentido mais
amplo, diz-se que um número é algébrico sobre um corpo quando ele é raiz de
um polinômio com coeficientes neste corpo.
Todos os números racionais são algébricos porque qualquer fração do tipo a
/ b é solução de
bx − a = 0. Alguns números irracionais como √2 e 31 / 3 / 2 são também
algébricos, porque são as soluções de x2 − 2 = 0 e 8x3 − 3 = 0, respectivamente.
Mas nem todos os reais são algébricos – como exemplo refiram-se π e “e”.
A um número complexo não algébrico dá-se o nome de número
transcendente.
Se um número algébrico for solução de uma equação de grau n com
coeficientes inteiros e de nenhuma de grau inferior, diz-se que é um número
algébrico de grau n.
5. Números reais incluem os números algébricos e os números
transcendentais. O símbolo usualmente representa este conjunto.
6. Números imaginários aparecem como soluções de equações como x 2 + r
= 0 onde r > 0. O símbolo usualmente representa este conjunto.
7. Números complexos é a soma dos números reais e dos imaginários:
. Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero; então os conjuntos dos
números reais e o dos imaginários são subconjuntos do conjunto dos
números complexos. O símbolo usualmente representa este conjunto.
Exercício resolvido 1
(USP) Depois de n dias de férias, um estudante observa que:
- choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;
- quando chove de manhã, não chove à tarde;
- houve cinco tardes sem chuva;
- houve seis manhãs sem chuva.
Calcule o valor de n.
Solução:
Seja M, o conjunto dos dias que choveu pela manhã e T o conjunto dos dias que
choveu à tarde. Chamando de M' e T' os conjuntos complementares de M e T
respectivamente, teremos:
n(T') = 5 (cinco tardes sem chuva) e n(M') = 6 (seis manhãs sem chuva)
n(M T) = 0 ( quando chove pela manhã, não chove à tarde)
Assim:
7 = n(M) + n(T) – 0
Então teremos:
n(M) + n(M') + n(T) + n(T') = 11 + 7 = 18
Mas, já temos que perceber: n (M) + n(M') = total dos dias de férias = n
E que: n(T) + n(T') = total dos dias de férias = n
Portanto, substituindo vem:
n + n = 18
2n = 18
n = 9
Resposta: Foram nove dias de férias ou seja n = 9 dias.
O aprendizado da Lógica auxilia os estudantes no raciocínio, na
compreensão de conceitos básicos, na verificação formal de programas e melhor
os prepara para o entendimento do conteúdo de tópicos mais avançados.
Esta unidade constitui uma introdução à Lógica elementar clássica,
procurando alcançar os objetivos gerais e específicos propostos pela disciplina
Lógica Matemática.
Alguns autores dividem o estudo da Lógica em:
• LÓGICA INDUTIVA: útil no estudo da teoria da probabilidade;
• LÓGICA DEDUTIVA: que pode ser dividida em:
- LÓGICA CLÁSSICA- Considerada como o núcleo da lógica
dedutiva. É o que chamamos hoje de cálculo de predicados de 1a
ordem com ou sem igualdade e de alguns de seus subsistemas.
Três Princípios (entre outros) regem a Lógica Clássica: da
IDENTIDADE, da CONTRADIÇÃO e do TERCEIRO EXCLUÍDO os
quais serão abordados mais adiante.
- LÓGICAS COMPLEMENTARES DA CLÁSSICA:
Complementam de algum modo a lógica clássica estendendo o seu
domínio. Exemplos: lógicas modal , deôntica, epistêmica , etc.
- LÓGICAS NÃO - CLÁSSICAS: Assim caracterizadas por
“duvidar” de algum ou alguns dos princípios da lógica clássica.
2.2) Desenvolvimento da Lógica
· PERÍODO ARISTOTÉLICO (± 390 a.C. a ± 1840 d.C.)
A história da Lógica tem início com o filósofo grego ARISTÓTELES (384 -
322a.C.) de Estagira (hoje Estavo) na Macedônia. Aristóteles criou a ciência da
Lógica cuja essência era a teoria do silogismo (certa forma de argumento válido).
Seus escritos foram reunidos na obra denominada Organon ou Instrumento da
Ciência.
Na Grécia, distinguiram-se duas grandes escolas de Lógica, a
PERIPATÉTICA (que derivava de Aristóteles) e a ESTÓICA fundada por Zenão
(326-264a.C.). A escola ESTÓICA foi desenvolvida por Crisipo (280-250a.C.) a
partir da escola MEGÁRIA (fundada por Euclides, um seguidor de Sócrates).
Segundo Kneale e Kneale (O Desenvolvimento da Lógica), houve durante muitos
anos uma certa rivalidade entre os Peripatéticos e os Megários e que isto talvez
tenha prejudicado o desenvolvimento da lógica, embora na verdade as teorias
destas escolas fossem complementares.
Inicia-se com George Boole (1815-1864) e Augustus de Morgan (1806-
1871). publicaram os fundamentos da chamada álgebra da lógica,
respectivamente com Mathematical Analysis of Logic e formal Logic.
Gotlob Frege (1848-1925) deu um grande passo no desenvolvimento da
lógica com a obra Begriffsschrift de 1879. as idéias de Frege só foram
reconhecidas pelos outros matemáticos partir de 1905. é devido a Frege o
desenvolvimento da lógica que se seguiu.
Giuseppe Peano (1858-1932) e sua escola com Burali-Forti, Vacca, Pieri,
Pádoa, Vailati, etc. quase toda simbologia da matemática se deve a essa escola
italiana.
Com Bertrand Russell (1872-1970) E Alfred North Whitehead (1861-1947)
Inicia-se o Período Atual da Lógica, com a obra Principia Mathematica.
David Hilbert (1862-1943) e sua escola alemã com Von Neuman, Bernays,
Ackerman e Outros.
Kurt Gödel (1906-1978) e Alfred Tarski (1902-1983) com suas importantes
contribuições.
Surgem as lógicas não-clássicas : N.C.A. da Costa com as lógicas
paraconsistentes , L. A. Zadeh com a lógica "fuzzy" e as contribuições dessas
lógicas para a informática, no campo da inteligência artificial com os sistemas
especialistas.
Hoje as especialidades se multiplicam e as pesquisas em Lógica englobam
muitas áreas do conhecimento.
2.3) Cálculo Proposicional
Como primeira e indispensável parte da lógica matemática, temos o cálculo
proposicional ou cálculo sentencial ou ainda cálculo das sentenças.
PROPOSIÇÃO: sentenças declarativas afirmativas (expressão de uma
linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa.
· A lua é um satélite da Terra.
· Esse limão é verde.
· Matemática é uma ciência.
·
as proposições (fórmulas atômicas) .
Esse limão é verde: q
· CONECTIVOS LÓGICOS: As fórmulas atômicas podem ser combinadas entre
si e, para representar tais combinações usaremos os conectivos lógicos :
^: e , : ou , → : se...então , : se e somente se , ~: não
Exemplos:
· A lua é o satélite da Terra e esse limão é verde : p ^ q (p e q são chamados
conjuntos)
·. A lua é o satélite da Terra ou esse limão é verde: p q ( p e q são chamados
disjuntos)
· Se a lua é o satélite da Terra, então esse limão é verde: p →q ( p é o
antecedente e q o consequente)
· A lua é o satélite da Terra se e somente se esse limão é verde. : p q
· A lua não é o satélite da Terra : ~p
2.3.2) SÍMBOLOS AUXILIARES :
Exemplos:
· Se a lua é o satélite da Terra e esse limão é verde então a lua não é o satélite
da Terra
2. Se A e B são fórmulas então
(A ^ B) , (A B) , (A → B) , (A B) e (~ A) também são fórmulas.
, → , .
Exemplo: a fórmula p ^ q ~ r→ p ~ q deve ser entendida como
(((p ^ q) (~ r)) → ( p (~ q)))
2.4) Tabela verdade
A lógica clássica é governada por três princípios (entre outros) que podem ser
formulados como segue:
I. Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si mesmo.
II. Princípio da Contradição: Dadas duas proposições contraditórias (uma é
negação da outra), uma delas é falsa.
III. Princípio do Terceiro Excluído: Dadas duas proposições contraditórias, uma
delas é verdadeira.
Com base nesses princípios as proposições simples são ou verdadeiras ou
falsas - sendo mutuamente exclusivos os dois casos; daí dizer que a lógica
clássica é bivalente.
Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das proposições compostas
(moleculares), conhecidos os valores das proposições simples (atômicas) que
as compõem usaremos tabelas-verdade :
1.Tabela verdade da "negação" : ~p é verdadeira (falsa) se e somente se p
é falsa (verdadeira).
p ~p
V F
F V
2. Tabela verdade da "conjunção": a conjunção é verdadeira se e somente
os conjunctos são verdadeiros.
p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
3. Tabela verdade da "disjunção" : a disjunção é falsa se, e somente, os
disjuntos são falsos.
V V V
V F V
F V V
F F F
4. Tabela verdade da "implicação": a implicação é falsa se, e somente se,
o antecedente é verdadeiro e o conseqüente é falso.
p q p → q
5. Tabela verdade da "bi-implicação": a bi-implicação é verdadeira se, e
somente se seus componentes são ou ambos verdadeiros ou ambos falsos
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
6. A disjunção exclusiva (escrito como ou ≠) é uma operação sobre dois
ou mais valores lógicos, tipicamente os valores de duas proposições, que produz
um valor verdadeiro apenas se V(p) V(q).
Ou exclusivo chamada também disjunção exclusiva, conhecido geralmente
por XOR ou por EOR (também XOU ou EOU), é uma operação lógica em dois
operandos que resulta em um valor lógico verdadeiro se e somente se
exactamente um dos operandos tem um valor verdadeiro.
Denotaremos a disjunção exclusiva de p e q, por: p q,
E leremos: “p ou q, mas não ambas”
Ou exclusivo
p q
V V F
Exemplo 1: Construir a tabela verdade da fórmula : ((p q) ~p) → (q ^p)
uma maneira mais fácil de construir a tabela verdade, é colocar os valores
lógicos, como segue abaixo:
V V V F V V V
V V F F V F V
F V V V F V F
F F F V F F F
((p V q) ~ p) → (q ^ p)
V V V V V
V F V F V
F V F V F
F F F F F
Resolver
primeiramente
depois...
V V V F V V V V
V V F F V F F V
F V V V F V F F
F F F V F F F F
((p V q) ~ p) → (q ^ p)
V V V F F V V V V
V V F F F V F F V
F V V V V F V F F
F F F F V F F F F
e por último...
V V V F F V V V V V
V V F F F V V F F V
F V V V V F F V F F
F F F F V F V F F F
NÚMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE:
agora este...
Cada proposição simples (atômica) tem dois valores V ou F, que se
excluem. Para n atômicas distintas, há tantas possibilidades quantos são os
arranjos com repetição de 2 (V e F) elementos n a n. Segue-se que o número de
linhas da tabela verdade é 2 n
. Assim, para duas proposições são 2 2
= 4 linhas;
para 3 proposições são 2 3 = 8; etc.
Exemplo: a tabela - verdade da fórmula ((p ^ q) → r) terá 8 linhas como segue :
p q r ((p ^ q) → r )
V V V V V
V V F V F
V F V F V
V F F F V
F V V F V
F V F F V
F F V F V
F F F F V
A "Ou Exclusivo" (XOR) goza das propriedades da associatividade e
comutatividade, conforme podemos relembrar:
Essa disciplina: Lógica Matemática é utilizada nos cursos que envolve a
Ciência da Computação. Por isso, esclareceremos aqui, algumas utilidades:
As Portas Lógicas são blocos de construção básicos na Eletrônica Digital.
A relação entre a(s) Entrada(s) e a Saída de uma Porta Lógica pode ser expressa
numa Tabela de Verdade.
Portas NÃO OU Exclusivo (XNOR) e OU Exclusivo (XOR)
Uma Porta OU EXCLUSIVO é uma Porta Lógica que tem duas ou mais
Entradas. A sua Saída é 1 se e só se apenas uma das suas Entradas é 1. O
Símbolo Esquemático de uma Porta OU EXCLUSIVO com Duas Entradas é
mostrado na Figura a seguir.
A notação da operação lógica de uma Porta OU EXCLUSIVO pode ser
expressa por:
A B Q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Uma Porta NÃO OU EXCLUSIVO é uma Porta Lógica que tem duas ou
mais Entradas. A sua Saída é 1 se e só se todas as Entradas estão no mesmo
Estado Lógico. O Símbolo Esquemático de uma Porta NÃO OU EXCLUSIVO
com Duas Entradas é mostrado na Figura 2 e a Tabela 2 é a sua Tabela de
Verdade.A notação da operação lógica de uma Porta NÃO OU EXCLUSIVO
pode ser expressa por:
OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
O Cálculo Proposicional e a Álgebra dos Conjuntos possuem estruturas
semelhantes.
entre conjuntos:
As variáveis proposicionais podem servir como variáveis simbolizando
conjuntos na nova expressão. Exemplo: (( p q) ~ p)corresponde a (( p q )
p’)
DIAGRAMAS DE EULER-VENN (John Venn 1834-1923) que são úteis na
verificação de propriedades de operações entre conjuntos, mas não devem ser
considerados instrumentos de prova matemática rigorosa.
1.COMPLEMENTAÇÃO : p’que corresponde à NEGAÇÃO :~p
p ~ p
1 V F
2 F V
onde as linhas (1) e (2) da tabela correspondem às regiões (1) e (2) do diagrama
2. UNIÃO : p q que corresponde à DISJUNÇÃO: p q
p q
as linhas (1), (2), (3) e (4) da tabela correspondem às regiões (1), (2), (3) e (4)
do diagrama respectivamente.
A região hachurada no diagrama corresponde às linhas da tabela onde a
fórmula p q assume valor V.
3. INTERSECÇÃO : p q que corresponde à CONJUNÇÃO: p ^ q
p q
p q p^ q
1 V V V
2 V F F
3 F V F
4 F F F
A região hachurada do diagrama corresponde à linha (1) da tabela, onde a
fórmula p q assume valor V.
De acordo com o resultado final da tabela verdade, essa assume nomes
especiais: tautológicas contraditórias ou contingenciais.
2.6) Tautologias, Contradição e Contingências.
A) T AUTOLOGIA ou FÓRMULA LOGICAMENTE VÁLIDA : Fórmula que
possui apenas valor V em sua tabela verdade. Exemplo : p ~ p
P p~ p ~ p
1 V F V
2 F V V
Leis de De Morgan
Em lógica, Leis de de Morgan ou Theorem de De Morgan estão as réguas
dentro lógica formal relacionando pares de duplo operadores lógicos em uma
maneira sistemática expressada nos termos de negação. O relacionamento
assim que induzido é chamado Duality de De Morgan.
não (P e Q) = (não P) ou (não Q)
não (P ou Q) = (não P) e (não Q)
As leis de De Morgan são baseadas nos verdade-valores equivalentes de
cada par das indicações.
Augustus de Morgan, filho de John de Morgan, um tenente-coronel em
serviço na Índia, perdeu a visão do olho direito logo após o nascimento. Com
sete meses de idade foi para a Inglaterra com a família e aos 10 anos perdeu
seu pai. Na escola foi muitas vezes vítima de piadas e brincadeiras cruéis de
seus companheiros devido a sua inaptidão física.
De Morgan ingressou no Trinity College, em Cambridge, em 1823, com 16
anos. Ele conseguiu seu grau de bacharel e, por causa de um teste teológico foi
requerido no mestrado, voltou para a sua casa em Londres em 1826 e estudou
advocacia. Em 1827 ele solicitou a cadeira de Matemática no recém fundado
University College de Londres e apesar de não ter publicações Matemáticas, ele
a conseguiu.
Tornou-se, em 1828, o primeiro professor de \matemática no University
College. Sua conferência inaugural teve por título "On the study of mathematics".
Em 1831 deixou a cadeira, mas em 1836 foi novamente chamado,
permanecendo até 1866. Sua segunda publicação foi o livro Elements of
Arithmetic em 1830.
O termo "indução matemática" foi definido e introduzido por De Morgan em
1838 e sua primeira aparição foi no artigo Induction (Mathematics) na Penny
Cyclopedia, que era publicada pela Society for the Diffusion of Useful Knowledge.
Esta mesma sociedade também publicou um famoso trabalho de De Morgan:
The Differential na Integral Calculus.
Outra publicação foi Trigonometry and Double Algebra, em 1849, na qual
ele fez uma interpretação geométrica dos números complexos. De Morgan sabia
da existência de álgebras diferentes da álgebra ordinária e contribuiu para o
desenvolvimento da álgebra abstrata. Uma de suas maiores contribuições foi à
reforma da lógica matemática. De Morgan se correspondeu com Charles
Babbage, escrevendo o primeiro programa de computador para ele, e também
com Hamilton.
Foi co-fundador e o primeiro presidente da London Mathematical Society
em 1866, e seu filho George, um bom matemático, foi seu primeiro secretário.
Neste mesmo ano foi eleito Fellow of the Royal Astronomical Society. Mas ele
recusou este titulo assim como outro que recebeu da University of Edinburgh.
Muito interessado por números, em 1864, De Morgan notou que teve x anos
de idade no ano (43 anos no ano 1849). De Morgan faleceu em 8 de março de
1871 em Londres.
B) CONTRADIÇÃO Fórmula que possui apenas valor F em sua tabela verdade.
Exemplo : p ^~ p
C) CONTINGENTE ou INDETERMINADA: Fórmula que possui valores V e F em
sua tabela verdade.
Exemplo : p → q
2.7) Noções de Álgebra Booleana
Vimos que o Cálculo Proposicional e a Teoria dos Conjuntos possuem
algumas propriedades em comum ou sejam são estruturas matemáticas que,
juntamente com operações ou relações entre seus objetos obedecem certas
regras
E, ao definir uma estrutura matemática, Álgebra Booleana, que incorpora
as propriedades básicas do Cálculo Proposicional e da Teoria dos Conjuntos, ou
seja, é um outro modelo de uma mesma estrutura matemática. O conceito de
Álgebra Booleana foi formulado pelo matemático inglês George Boole por volta
de 1850.
Por ÁLGEBRA BOOLEANA entendemos um conjunto B={p, q, r , ..} junto
com duas operações binárias + e · em B, uma operação singular ’ em B e dois
elementos distintos 0 e 1 de B tais que valem as seguintes propriedades: (para
todo p , q , r em B ) :
Associativa (p + q) + r = p + (q + r) (p • q) • r = p • (q • r)
Idempotente p + p = p p • p = p
Absorção (p • q) + p = p (p + q) • p = p
Distributiva p + (q • r) = (p + q) • (p +
r)
Propriedades do 0 p + 0 = p p • 0 = 0
Propriedades do 1 p + 1 = 1 p • 1 = p
Quaisquer que seja p em
B, existe p’ em B tal que
p + p’ = 1 p • p’ = 0
Indicamos uma Álgebra Booleana por [ B , + , · , ’ , 0 , 1 ].
- A operação p •q pode ser denotada simplesmente por pq eliminando o
operador • .
p • q : encontro de p e q.
p + q : junção de p e q.
p’ : complemento de p.
0 : elemento zero.
1 : elemento unitário.
Uma expressão booleana, uma fórmula e uma expressão na álgebra dos
conjuntos, são correspondentes se substituimos ’ , + , • , = , 0 , 1
respectivamente por ~ , , , , F , V ou ainda por: ’, , , = , , U
(considerando-se p , q ,.. como: elementos de B , variáveis proposicionais ou
conjuntos respectivamente).
2.7.1) Aplicações de Álgebra Booleana : Álgebra dos circuitos
A introdução de uma Álgebra Booleana no estudo dos circuitos deve-se ao
matemático americano CLAUDE ELWOOD SHANNON (1916-2001) (A
Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits - 1938). De modo sucinto
mostraremos esse tipo de relacionamento com a Cálculo Proposicional e a
Álgebra Booleana.
Um interruptor é um dispositivo ligado a um ponto de um circuito, que pode
assumir um dos dois estados, "fechado" ou "aberto". No estado "fechado"
(que indicaremos por 1) o interruptor permite que a corrente passe através do
ponto, enquanto no estado "aberto" (que indicaremos por 0) nenhuma corrente
pode passar pelo ponto.
p
Fig. 5: Circuito com um interrruptor
A indicação "fechado" ou "aberto" do interruptor será conhecida com a
indicação de p=1 ou p=0 respectivamente
2.Circuito com dois interruptores p e q:
Em paralelo indicado por p + q
p
q
Neste caso não passa corrente se e somente p=0 e q=0 ou seja, estão
ambos "abertos" o que corresponde no Cálculo Proposicional à tabela verdade
da disjunção p q .
3. TEORIA DOS GRAFOS
A teoria dos grafos tem a sua origem na necessidade de representar por
esquemas as relações existentes entre os elementos de um conjunto. Neste
sentido, constitui um ramo específico da teoria das relações binárias definidas
num conjunto.
A ligação entre dois vértices (quando existe) faz-se sempre nos dois
sentidos, podendo representar-se este fato por uma aresta única (não dirigida).
Obtém-se, assim, um grafo não dirigido (ou, simplesmente, grafo). Embora a
teoria dos grafos seja um instrumento natural para o estudo das relações
binárias, há, atualmente, muitos outros tópicos de Matemática quer pura quer
aplicada para os quais o recurso à teoria dos grafos constitui uma atitude natural.
Na figura seguinte mostraremos um exemplo de um grafo (não dirigido).
Fig. 7: Exemplos de grafos não dirigidos Fonte:José Sousa Pinto (1999)
3.1. Definições básicas
Chama-se grafo G (V,E) a uma estrutura constituída por um conjunto
finito V de vértices (também designados por nós) e um conjunto finito “E” de
arestas de tal forma que cada aresta está associada a um par de vértices como
temos na figura: V = {1, 2, 3, 4, 5}, E = {a, b, c, d, e, f}
Fonte:José Sousa Pinto (1999)
Se tivermos “e” como uma aresta e “v,w”como dois vértices, escreve-se
e = {v,w} ou e ={w, v} dizendo-se então que “e” é uma aresta entre v e w ou
que a aresta “e” liga os vértices v e w que, por este fato, se dizem adjacentes.
Uma aresta que liga um vértice a si próprio designa-se por laço.
Na representação de um grafo, os vértices são representados por
pequenos círculos afetados de um símbolo que constitui o seu nome, enquanto
que as arestas são representadas por linhas que ligam dois vértices (segmentos
de reta ou linhas curvas).
Se entre dois vértices existir mais que uma aresta então, se for necessário
efetuar distinções, o grafo correspondente toma o nome de multigrafo e as várias
arestas que ligam os mesmos dois vértices também se designam por arestas
múltiplas. No entanto, na literatura da especialidade, em geral, o termo grafo é
empregado mesmo quando possui arestas múltiplas.
Neste contexto, chama-se grafo orientado a uma estrutura G (V,E) onde,
novamente, V é um conjunto finito de vértices e E um conjunto finito de arcos
dirigidos. A seguir apresenta-se um exemplo de um digrafo com 6 vértices e 10
arcos dirigidos.
Num dígrafo escreve-se e (v,w) para significar que e é um arco que liga v a
w orientado de v para w. Neste caso diz-se que v é adjacente ao vértice w, que
o arco e é incidente sobre w e emergente de v.Um grafo diz-se simples quando
não possui laços, nem arestas múltiplas, como se segue:
Um tipo de grafos com muita importância em problemas de
emparelhamento (casamentos, distribuição de grupos de tarefas por grupos de
pessoas, etc.) são os chamados grafos bipartidos que são grafos nos quais os
vértices podem ser separados em dois conjuntos disjuntos V e W tais que cada
aresta liga sempre um vértice de V a um vértice de W. Neste caso denota-se por
G (V,W;E). Na figura que se segue apresenta-se um exemplo de um grafo
bipartido.
Fonte: José Sousa Pinto (1999)
Um grafo diz-se nulo se possuir apenas vértices sem arestas nem
laços; por outro lado, no extremo oposto, um grafo diz-se completo quando
entre cada par de vértices há uma aresta. Neste último caso, se o grafo tiver
n vértices é habitual denotá-lo por Kn. Um dígrafo diz-se completo se entre
cada par de vértices existir pelo menos um arco. Um grafo bipartido simples
G (V,W;E) diz-se completo se existir uma aresta entre cada vértice de V e
cada vértice de W. Um grafo bipartido completo denota-se por K p,q onde p
e q são o número de vértices de V e W, respectivamente.
Grafos isomorfos.
Definindo grafo como um par ordenado constituído por um conjunto
de vértices e um conjunto de arestas, o mesmo grafo pode aparecer com
representações pictóricas muito distintas. É por isso que é importante dispor
de um critério que nos permita saber quando é que dois grafos
(aparentemente) distintos são afinal o mesmo grafo. Tal critério resulta
imediatamente da noção de isomorfismo de grafos.
Definição: Dois grafos G1 (V1,E1) e G2 (V2,E2) dir-se-ão isomorfos se
existir uma bijeção
tal que
seja uma aresta de G2 se e somente se se {u, v} for uma aresta de G1.
Exemplo: Os grafos abaixo são isomorfos:
Fig. 13: Exemplo de grafo Fonte:José Sousa Pinto (1999)
Para mostrar que dois grafos não são isomorfos é necessário mostrar que
não existe qualquer bijeção entre os conjuntos de vértices respectivos que
transformem arestas em arestas. Se dois grafos não tiverem o mesmo número
de vértices então não são isomorfos; se tiverem o mesmo número de vértices
mas tiverem diferente número de arestas também não podem ser isomorfos.
Finalmente, mesmo que dois grafos tenham o mesmo número de vértices
e o mesmo número de arestas, ainda assim eles podem não ser isomorfos.
Por exemplo, os dois grafos
Fig. 14: Exemplo de grafo não isomorfos
têm ambos 5 vértices e 7 arestas. No entanto, não são isomorfos. Uma forma de
mostrar é notar que os vértices a, b, d, e de G1 formam um subgrafo completo
de G1: qualquer isomorfismo com G1 deverá transformar estes quatro vértices
noutros quatro vértices com a mesma propriedade.
Em G2 não há quatro vértices que induza um subgrafo completo de G2 e,
portanto, este não pode ser isomorfo a G1.
Caminhos de um grafo
Chama-se caminho entre dois vértices v1 e vr num grafo a uma sequência finita
de vértices e arestas da forma
onde, para cada j, ej é uma aresta que liga vj a vj+1. Os vértices e as arestas de
um caminho podem não ser todos distintos. Ao número de arestas que compõem
um caminho dá-se o nome de comprimento desse caminho.
Um caminho diz-se simples se não tiver arestas repetidas e diz-se
elementar se todos os seus vértices forem distintos.
Um caminho no qual o vértice inicial e o vértice terminal coincidem chama-
se circuito. Um circuito diz-se simples se não possuir arestas repetidas e um
circuito no qual nenhum vértice é repetido exceto o vértice inicial (terminal)
chama-se ciclo. No grafo que se segue, por exemplo,
O caminho 3e355e252e121e155e454e343 é um circuito simples (não há
arestas repetidas e o vértice inicial e terminal coincidem), mas não é um ciclo já
que para além do vértice inicial (que é também terminal) há outro vértice, o
vértice 5, que está repetido.
Num digrafo estes conceitos podem ter em conta a orientação. Chama-se
caminho orientado a uma sequência finita de arcos da forma v1, e1, v2, e2, . . .
, er-1, vr
onde, para cada j = 1, 2, . . . , r - 1, se tem ej = (vj , vj+1). A partir daqui define-
se caminho fechado, circuito e ciclo concordantemente.
Graus dos vértices de um grafo
Uma aresta e de um grafo diz-se incidente sobre o vértice v se este for um
dos seus pontos extremos. Chama-se grau de um vértice v ao número de arestas
que incidem sobre esse vértice. Um vértice diz-se ímpar ou par de acordo com
o seu grau seja um número impar ou par respectivamente.
Temos que lembrar que um laço incide duas vezes sobre o mesmo vértice
pelo que conta duas vezes para efeito do cálculo do grau do vértice respectivo.
Teorema : Em qualquer grafo a soma dos graus dos seus vértices é igual a
duas vezes o número das suas arestas.
3.2. Problemas que envolvem grafos
1) Coloração de grafos: o Teorema das quatro cores
O Problema da Coloração
Um problema comum que ocorre quando se trabalha com a representação
de regiões na forma de mapas coloridos é como representá-las de forma que
cada região fique visivelmente clara e distinta das demais. A solução para esse
problema se torna possível se para cada região for atribuída uma cor e assim
cada uma das regiões teria uma coloração distinta das demais. Mas todo esse
esforço em se atribuir uma cor para cada região não é necessário, pois existe
uma técnica de coloração de mapas que diz ser possível colorir qualquer mapa
planar, utilizando-se apenas quatro cores.
A teoria da coloração de mapas diz ser possível colorir qualquer mapa planar
utilizando no mímino quatro cores, sendo para isso necessária a criação de uma
lista de adjacência de todos as regiões.
Uma possível abordagem seria representar o problema proposto por uma
lista de adjacências onde temos um vetor com as regiões que devem ser
coloridas e uma lista com os demais elementos que são as regiões adjacentes a
este. Para o mapa representado acima, poderiamos ter a seguinte
representação:
Lista de Adjacências para a região A: [B, C, D]
Lista de Adjacências para a região B: [A, C, E]
Lista de Adjacências para a região C: [A, B, D, E, F]
Lista de Adjacências para a região D: [A, C, F]
Lista de Adjacências para a região E: [B, C, F]
Lista de Adjacências para a região F: [C, D, E]
Essa representação diz que as regiões B, C e D são adjacentes a A;
as regiões A, C e E são adjacentes a B; as regiões A, B, D, E e F são
adjacentes a C; e, analogamente é possível chegar às demais relações.
Sendo assim, o procedimento para se atribuir as cores certas a cada
região é o seguinte:
· Escolhe-se uma região inicial, como por exemplo a região A e
atribui-se uma cor a ela.
· para atribuir uma cor para B é verificado se dentre as cores
existentes, existe uma que não esteja colorindo nenhuma região adjacente
a B, então essa cor deverá ser escolhida. Se todas as cores existentes
estiverem sendo utilizadas em regiões vizinhas a B, então uma nova cor é
criada.
· o raciocínio é repetido analogamente para cada uma das regiões
subsequentes.
Assim sendo, pode-se dizer que todas as regiões foram coloridas com
a utilização de apenas quatro cores e que essas regiões não possuem
nenhuma região vizinha com a mesma cor que ela possui.
2) Conjuntos de Grafos
Conjunto independente:
Na teoria dos grafos, um conjunto independente de um grafo G é um
conjunto S de vértices de G tal que não existem dois vértices adjacentes
contidos em S. Em outras palavras, se a e b são vértices quaisquer de um
conjunto independente, não há aresta entre a e b.
Todo grafo tem ao menos um conjunto independente: o conjunto
vazio. Um grafo pode ter vários conjuntos independentes distintos.
Se S é um conjunto independente de G e não existe um conjunto
independente de G maior que S, diz-se que S é um conjunto independente
máximo de G.
3) Problemas de roteamento:
a )Sete pontes de Königsberg:
Sete pontes de Königsberg é um famoso problema histórico da matemática
que foi uma das principais fundações da teoria dos grafos.
O problema é baseado na cidade de Königsberg (território da Prússia até
1945, atual Kaliningrado, na Rússia), que é cortada pelo Rio Prególia, onde há
duas grandes ilhas que, juntas, formam um complexo que na época continha
sete pontes.. Das sete pontes originais, uma foi demolida e reconstruída em
1935, duas foram destruídas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma única via expressa. Atualmente apenas
duas pontes são da época de Leonard Euler.
Fig. 17: Sete pontes de Königsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma. Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da façanha quando Euler, em 1736, provou que não existia
caminho que possibilitasse tais restrições.
Euler usou o seguinte raciocínio: transformou os caminhos em retas e suas
intersecções em pontos, criando possivelmente o primeiro grafo da história.
Então percebeu que só seria possível atravessar o caminho inteiro passando
uma única vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saísse um número ímpar de caminhos. A razão de tal coisa é que de cada
ponto deve haver um número par de caminhos, pois será preciso um caminho
para "entrar" e outro para "sair". Os dois pontos com caminhos ímpares referem-
se ao início e ao final do percurso, pois estes não precisam de um para entrar e
um para sair, respectivamente. Se não houverem pontos com número ímpar de
caminhos, pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto,
podendo esse ser qualquer ponto do grafo. Isso não é possível quando temos
dois pontos com números ímpares de caminhos, sendo obrigatoriamente um o
início e outro o fim.
b) Árvore de extensão mínima
Dado um grafo não orientado conectado, uma árvore de extensão deste
grafo é um subgrafo o qual é uma árvore que conecta todos os vértices. Um
único grafo pode ter diferentes árvores de extensão. Nós podemos assinalar um
peso a cada aresta, que é um número que representa quão desfavorável ela é,
e atribuir um peso a árvore de extensão calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compõem. Uma árvore de extensão mínima (também conhecida
como árvore de extensão de peso mínimo ou árvore geradora mínima) é então
uma árvore de extensão com peso menor ou igual a cada uma das outras árvores
de extensão possíveis. Generalizando mais, qualquer grafo não direcional (não
necessariamente conectado) tem uma floresta de árvores mínimas, que é uma
união de árvores de extensão mínimas de cada uma de suas componentes
conexas.
Um exemplo de uso de uma árvore de extensão mínima seria a instalação
de fibras óticas num campus de uma faculdade. Cada trecho de fibra ótica entre
os prédios possui um custo associado (isto é, o custo da fibra, somado ao custo
da instalação da fibra, mão de obra, etc). Com esses dados em mãos (os prédios
e os custos de cada trecho de fibra ótica entre todos os prédios), podemos
construir uma árvore de extensão que nos diria um jeito de conectarmos todos
os prédios sem redundância. Uma árvore geradora mínima desse grafo nos daria
uma árvore com o menor custo para fazer essa ligação.
Objetivo: minimização do custo de percurso de um grafo entre
dois vértices, custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida.
por exemplo, o Dijkstra e Floyd
• Algoritmo de Dijkstra: determina o custo ou distância mínima
entre uma origem e um destino.
• Algoritmo de Floyd: determina os custo ou distâncias mínimas
entre todos os pares de vértices
d) Problema da inspeção de Rotas (também conhecido como o "Problema
Percursos Eulerianos: percurso que usa cada ligação exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinês.: “o carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um número mínimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos: percurso que visita cada vértice uma única
vez, como o problema do Caixeiro Viajante:
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distância, começando numa qualquer cidade, entre várias,
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando à cidade inicial
(Nilsson, 1982).
4) Fluxos de rede:
5) conjectura da reconstrução
a. Rotulação canônica?
c. Máximo subgrafo comum
FRANK AYRES JR. - Álgebra Moderna - - Mcgraw-Hill do Brasil Ltda. - 1971
GERSTING, J.L.; Fundamentos matemáticos para a Ciência da Computação.
RJ: LTC, (2001).
Didáticos, número 16, (2004), 258 p., ISBN 85-241-0691-3.
(1981).
PINTO, José Sousa (1999). Disponível em: Tópicos de Matemática Discreta
http://www2.mat.ua.pt/tmd/telemat.pdf . Acesso em 18 de julho de 2010.
POZO, J.I.; A solução de problemas: aprender para resolver, resolver para
aprender. Porto Alegre, ArtMed, (1998), 177 p., ISBN 85-7307-356-X.
SCHEINERMAN, E.R.; Matemática discreta: uma introdução. São Paulo.
Thomson Learning Ltda, (2003), ISBN 85-221-0291-0.

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