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TOacutePICOS

ESPECIAIS DE

MATEMAacuteTICA

INE EAD ndash INSTITUTO NACIONAL DE ENSINO

TOacutePICOS ESPECIAIS DE MATEMAacuteTICA

2 WWWINSTITUOINECOMBR ndash (31) 3272-9521

SUMAacuteRIO

Introduccedilatildeo 3

1 Teoria dos conjuntos 4

11 Conceitos essenciais 6

12 Notaccedilatildeo dos conjuntos 8

13 Exemplos de conjuntos compostos por nuacutemeros 8

2 Loacutegica 12

21) Uma Classificaccedilatildeo da Loacutegica 12

22) Desenvolvimento da Loacutegica 12

23) Caacutelculo Proposicional 14

231) Os Siacutembolos da Linguagem do Caacutelculo Proposicional 14

232) SIacuteMBOLOS AUXILIARES 15

233) Definiccedilatildeo de foacutermula 15

24) Tabela verdade 16

25) O Caacutelculo Proposicional e A Aacutelgebra dos Conjuntos 23

26) Tautologias Contradiccedilatildeo e Contingecircncias 25

27) Noccedilotildees de Aacutelgebra Booleana 28

271) Aplicaccedilotildees de Aacutelgebra Booleana Aacutelgebra dos circuitos 30

3 Teoria dos Grafos 31

31 Definiccedilotildees baacutesicas 31

32 Problemas que envolvem grafos 38

4 Referecircncias bibliograacuteficas 45




INTRODUCcedilAtildeO

Frequentemente o aluno de Ciecircncias Aplicadas possui uma forte

expectativa de estudos tecnoloacutegicos jaacute no iniacutecio do Curso De fato ateacute o seu

ingresso na universidade poucos alunos tecircm uma noccedilatildeo clara da carga de

disciplinas com ecircnfase teoacuterico-formal Assim quando se deparam com um

conjunto consideraacutevel de disciplinas com esta ecircnfase tendem a considerar os

estudos matemaacuteticos como algo secundaacuterio ou de menor importacircncia Nessa

apostila abordaremos alguns toacutepicos de uma disciplina muito importante

Matemaacutetica Discreta

A Matemaacutetica Discreta aplica-se a vaacuterias disciplinas de cursos como

Computaccedilatildeo Informaacutetica Matemaacutetica Sistemas de Informaccedilatildeo entre outros

O conteuacutedo dessa disciplina eacute relativamente extenso e eacute desenvolvido com

abrangecircncia e profundidade Tal fato tende a levar o aluno a centrar seu estudo

no conteuacutedo dando pouca atenccedilatildeo aos niacuteveis mais elevados de raciociacutenio A

consequecircncia eacute que no meio do semestre letivo (ou ateacute antes) muitos alunos

se sentem perdidos natildeo acompanhando mais o desenvolvimento da disciplina

A questatildeo fundamental eacute o entendimento de que tatildeo importante quanto o

conteuacutedo eacute o desenvolvimento da capacidade de raciociacutenio abstrato (loacutegico-

matemaacutetico) o qual eacute fortemente explorado junto com o conteuacutedo Ou seja de

certa forma o conteuacutedo eacute usado como um meio para o desenvolvimento de um

raciociacutenio abstrato Eacute importante observar que o desenvolvimento do raciociacutenio

eacute obtido gradualmente ao longo do tempo como consequumlecircncia de estudos

regulares e sistemaacuteticos preferencialmente apoacutes cada aula ou toacutepico estudado

Alguns conteuacutedos seratildeo abordados aqui como conjuntos Loacutegica e

Grafos




1 TEORIA DOS CONJUNTOS

Teoria dos conjuntos eacute a teoria matemaacutetica que trata das propriedades dos

conjuntos Ela tem sua origem nos trabalhos do matemaacutetico russo Georg Cantor

(1845ndash1918) e se baseia na ideacuteia de definir conjunto como uma noccedilatildeo primitiva

Tambeacutem chamada de teoria ingecircnua ou intuitiva devido agrave descoberta de vaacuterios

paradoxos relacionados agrave definiccedilatildeo de conjunto Estes paradoxos na teoria dos

conjuntos conduziram a Matemaacutetica a axiomatizar as teorias matemaacuteticas com

influecircncias profundas sobre a loacutegica e os fundamentos da matemaacutetica Essa

teoria teve seu iniacutecio com a publicaccedilatildeo em 1874 de um trabalho de Cantor que

tratava sobre a comparaccedilatildeo de coleccedilotildees infinitas O trabalho apresentava uma

forma de comparar conjuntos infinitos pelo casamento 1-1 entre os elementos

destes conjuntos

Fig 1 George Kantor

Esta aplicaccedilatildeo da correspondecircncia 1-1 permitiu a Cantor introduzir um

meacutetodo de diagonalizaccedilatildeo que por contradiccedilatildeo permitia provar que o conjunto

dos nuacutemeros reais natildeo tinha correspondecircncia 1-1 com o conjunto dos nuacutemeros

inteiros Isto mais tarde levou ao desenvolvimento do conceito de contiacutenuo por

Richard Dedekind




Fig 2 Richard Dedekind

Iniciando com estas descobertas Cantor acabou desenvolvendo uma

teoria dos conjuntos abstratos que constitui-se em uma generalizaccedilatildeo do

conceito de conjunto

Conjunto

Um conjunto eacute uma coleccedilatildeo de entidades chamadas de elementos A

notaccedilatildeo padratildeo lista os elementos separados por viacutergulas e delimitados por

chaves (o uso de parecircnteses ou colchetes eacute incomum e em determinados

contextos considerado incorreto) como os seguintes exemplos




Eacute possiacutevel descrever o mesmo conjunto de diferentes maneiras listando os

seus elementos (ideal para conjuntos pequenos e finitos) ou definindo uma

propriedade de seus elementos (o que se for feito de forma descuidada pode

gerar problemas tais como o paradoxo de Russell)

Dizemos que dois conjuntos satildeo iguais se e somente se cada elemento de

um eacute tambeacutem elemento do outro

11 Conceitos essenciais

bull Conjunto representa uma coleccedilatildeo de objetos sempre representado por

letras maiuacutesculas

bull Elemento qualquer um dos componentes de um conjunto geralmente

representado por letras minuacutesculas

bull Pertinecircncia eacute a caracteriacutestica associada a um elemento que faz parte de

um conjunto

Pertence ou natildeo pertence

Se a eacute um elemento de A noacutes podemos dizer que o elemento a pertence

ao conjunto A e podemos escrever a A Se a natildeo eacute um elemento de A noacutes

podemos dizer que o elemento a natildeo pertence ao conjunto A e podemos

escrever aA

Subconjuntos proacuteprios e improacuteprios

Se A e B satildeo conjuntos e todo o elemento x pertencente a A tambeacutem

pertence a B entatildeo o conjunto A eacute dito um subconjunto do conjunto B denotado

por BA Note que esta definiccedilatildeo inclui o caso em que A e B possuem os

mesmos elementos isto eacute satildeo o mesmo conjunto (A = B)

Se ao menos um elemento pertencente a B natildeo pertence a A entatildeo A eacute

chamado de subconjunto proacuteprio de B denotado por BA Todo conjunto eacute

subconjunto dele proacuteprio chamado de subconjunto improacuteprio




Conjunto vazio

Todo conjunto tambeacutem possui como subconjunto o conjunto vazio

representado por ou Supondo que o conjunto vazio natildeo pertence ao

conjunto em questatildeo entatildeo o conjunto vazio deve possuir um elemento ao

menos que natildeo pertenccedila a este conjunto Como o conjunto vazio natildeo possui

elementos isto natildeo eacute possiacutevel Como todos os conjuntos vazios satildeo iguais uns

aos outros eacute permissiacutevel falar de um uacutenico conjunto sem elementos

Uniatildeo interseccedilatildeo e diferenccedila

A uniatildeo (ou reuniatildeo) de dois conjuntos A e B eacute o conjunto A composto dos

elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos A eB

A uniatildeo de N conjuntos N

i

iN SSSSSS1

321 =

== eacute o conjunto formado

pelos os elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos S i

A interseccedilatildeo de dois conjuntos A e B eacute o conjunto composto dos elementos

que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos A e B

A diferenccedila entre dois conjuntos A e B eacute o conjunto de todos os elementos de A

que natildeo estatildeo de B

Cardinalidade

Se um conjunto tem n elementos onde n eacute um nuacutemero natural entatildeo diz-

se que o conjunto eacute um conjunto finito com uma cardinalidade de n ou nuacutemero

cardinal n

Mesmo se o conjunto natildeo possui um nuacutemero finito de elementos pode-se

definir a cardinalidade graccedilas ao trabalho desenvolvido pelo matemaacutetico Georg

Cantor Neste caso a cardinalidade poderaacute ser (aleph-0)




Em teoria dos conjuntos Aleph (א) eacute uma letra usada para representar

cardinais infinitos A cardinalidade dos conjunto dos nuacutemeros inteiros eacute o

cardinal seguinte eacute etc

Usando o Axioma da escolha pode-se demonstrar que qualquer conjunto

natildeo-vazio de nuacutemeros cardinais tem um elemento miacutenimo assim a classe dos

nuacutemeros cardinais eacute bem ordenada e pode ser indexada pelos nuacutemeros ordinais

Esta indexaccedilatildeo gera a notaccedilatildeo para os nuacutemeros cardinais

Produto cartesiano

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B eacute o conjunto de pares ordenados

A soma ou uniatildeo disjunta de dois conjuntos A e B eacute o conjunto

12 Notaccedilatildeo dos conjuntos

Os conjuntos satildeo representados de diversas formas

bull A forma mais usual eacute a que apresenta os elementos entre duas chaves

()

bull As propriedades ou descriccedilotildees de um conjunto satildeo representadas dentro

das apoacutes os elementos e separadas destes por

bull Diagrama de Venn-Euler eacute a representaccedilatildeo graacutefica dos conjuntos

atraveacutes de entidades geomeacutetricas

13 Exemplos de conjuntos compostos por nuacutemeros

Nota Nesta seccedilatildeo a b e c satildeo nuacutemeros naturais enquanto r e s satildeo nuacutemeros

reais




1 Nuacutemeros naturais satildeo usados para contar O siacutembolo usualmente

representa este conjunto Na literatura matemaacutetica eacute possiacutevel encontrar

textos que incluem o zero como nuacutemero natural e textos que natildeo incluem

2 Nuacutemeros inteiros aparecem como soluccedilotildees de equaccedilotildees como x + a = b O

siacutembolo usualmente representa este conjunto (do termo alematildeo Zahlen que

significa nuacutemeros)

3 Nuacutemeros racionais aparecem como soluccedilotildees de equaccedilotildees como a + bx =

c O siacutembolo usualmente representa este conjunto (da palavra quociente)

4 Nuacutemeros algeacutebricos aparecem como soluccedilotildees de equaccedilotildees polinomiais

(com coeficientes inteiros) e envolvem raiacutezes e alguns outros nuacutemeros

irracionais O siacutembolo ou usualmente representa este conjunto

Um nuacutemero algeacutebrico eacute qualquer nuacutemero real ou complexo que eacute soluccedilatildeo

de alguma equaccedilatildeo polinomial com coeficientes inteiros Em um sentido mais

amplo diz-se que um nuacutemero eacute algeacutebrico sobre um corpo quando ele eacute raiz de

um polinocircmio com coeficientes neste corpo

Todos os nuacutemeros racionais satildeo algeacutebricos porque qualquer fraccedilatildeo do tipo a

b eacute soluccedilatildeo de

bx minus a = 0 Alguns nuacutemeros irracionais como radic2 e 31 3 2 satildeo tambeacutem

algeacutebricos porque satildeo as soluccedilotildees de x2 minus 2 = 0 e 8x3 minus 3 = 0 respectivamente

Mas nem todos os reais satildeo algeacutebricos ndash como exemplo refiram-se π e ldquoerdquo

A um nuacutemero complexo natildeo algeacutebrico daacute-se o nome de nuacutemero

transcendente

Se um nuacutemero algeacutebrico for soluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo de grau n com

coeficientes inteiros e de nenhuma de grau inferior diz-se que eacute um nuacutemero

algeacutebrico de grau n

5 Nuacutemeros reais incluem os nuacutemeros algeacutebricos e os nuacutemeros

transcendentais O siacutembolo usualmente representa este conjunto

6 Nuacutemeros imaginaacuterios aparecem como soluccedilotildees de equaccedilotildees como x 2 + r

= 0 onde r gt 0 O siacutembolo usualmente representa este conjunto




7 Nuacutemeros complexos eacute a soma dos nuacutemeros reais e dos imaginaacuterios

Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero entatildeo os conjuntos dos

nuacutemeros reais e o dos imaginaacuterios satildeo subconjuntos do conjunto dos

nuacutemeros complexos O siacutembolo usualmente representa este conjunto

Exerciacutecio resolvido 1

(USP) Depois de n dias de feacuterias um estudante observa que

- choveu 7 vezes de manhatilde ou agrave tarde

- quando chove de manhatilde natildeo chove agrave tarde

- houve cinco tardes sem chuva

- houve seis manhatildes sem chuva

Calcule o valor de n

Soluccedilatildeo

Seja M o conjunto dos dias que choveu pela manhatilde e T o conjunto dos dias que

choveu agrave tarde Chamando de M e T os conjuntos complementares de M e T

respectivamente teremos

n(T) = 5 (cinco tardes sem chuva) e n(M) = 6 (seis manhatildes sem chuva)

n(M T) = 0 ( quando chove pela manhatilde natildeo chove agrave tarde)

Assim

n(M T) = n(M) + n(T) ndash n(M T)

7 = n(M) + n(T) ndash 0




Jaacute sabemos que

n(M) + n(T) = 5 + 6 = 11

Entatildeo teremos

n(M) + n(T) = 11

n(M) + N(T) = 7

Somando membro a membro as duas igualdades vem

n(M) + n(M) + n(T) + n(T) = 11 + 7 = 18

Mas jaacute temos que perceber n (M) + n(M) = total dos dias de feacuterias = n

E que n(T) + n(T) = total dos dias de feacuterias = n

Portanto substituindo vem

n + n = 18

2n = 18

n = 9

Resposta Foram nove dias de feacuterias ou seja n = 9 dias




2 LOacuteGICA

O aprendizado da Loacutegica auxilia os estudantes no raciociacutenio na

compreensatildeo de conceitos baacutesicos na verificaccedilatildeo formal de programas e melhor

os prepara para o entendimento do conteuacutedo de toacutepicos mais avanccedilados

Esta unidade constitui uma introduccedilatildeo agrave Loacutegica elementar claacutessica

procurando alcanccedilar os objetivos gerais e especiacuteficos propostos pela disciplina

Loacutegica Matemaacutetica

21) Uma Classificaccedilatildeo da Loacutegica

Alguns autores dividem o estudo da Loacutegica em

bull LOacuteGICA INDUTIVA uacutetil no estudo da teoria da probabilidade

bull LOacuteGICA DEDUTIVA que pode ser dividida em

- LOacuteGICA CLAacuteSSICA- Considerada como o nuacutecleo da loacutegica

dedutiva Eacute o que chamamos hoje de caacutelculo de predicados de 1a

ordem com ou sem igualdade e de alguns de seus subsistemas

Trecircs Princiacutepios (entre outros) regem a Loacutegica Claacutessica da

IDENTIDADE da CONTRADICcedilAtildeO e do TERCEIRO EXCLUIacuteDO os

quais seratildeo abordados mais adiante

- LOacuteGICAS COMPLEMENTARES DA CLAacuteSSICA

Complementam de algum modo a loacutegica claacutessica estendendo o seu

domiacutenio Exemplos loacutegicas modal deocircntica epistecircmica etc

- LOacuteGICAS NAtildeO - CLAacuteSSICAS Assim caracterizadas por

ldquoduvidarrdquo de algum ou alguns dos princiacutepios da loacutegica claacutessica

22) Desenvolvimento da Loacutegica

middot PERIacuteODO ARISTOTEacuteLICO (plusmn 390 aC a plusmn 1840 dC)

A histoacuteria da Loacutegica tem iniacutecio com o filoacutesofo grego ARISTOacuteTELES (384 -

322aC) de Estagira (hoje Estavo) na Macedocircnia Aristoacuteteles criou a ciecircncia da




Loacutegica cuja essecircncia era a teoria do silogismo (certa forma de argumento vaacutelido)

Seus escritos foram reunidos na obra denominada Organon ou Instrumento da

Ciecircncia

Na Greacutecia distinguiram-se duas grandes escolas de Loacutegica a

PERIPATEacuteTICA (que derivava de Aristoacuteteles) e a ESTOacuteICA fundada por Zenatildeo

(326-264aC) A escola ESTOacuteICA foi desenvolvida por Crisipo (280-250aC) a

partir da escola MEGAacuteRIA (fundada por Euclides um seguidor de Soacutecrates)

Segundo Kneale e Kneale (O Desenvolvimento da Loacutegica) houve durante muitos

anos uma certa rivalidade entre os Peripateacuteticos e os Megaacuterios e que isto talvez

tenha prejudicado o desenvolvimento da loacutegica embora na verdade as teorias

destas escolas fossem complementares

middot PERIacuteODO BOOLEANO (plusmn 1840 a plusmn 1910)

Inicia-se com George Boole (1815-1864) e Augustus de Morgan (1806-

1871) publicaram os fundamentos da chamada aacutelgebra da loacutegica

respectivamente com Mathematical Analysis of Logic e formal Logic

Gotlob Frege (1848-1925) deu um grande passo no desenvolvimento da

loacutegica com a obra Begriffsschrift de 1879 as ideacuteias de Frege soacute foram

reconhecidas pelos outros matemaacuteticos partir de 1905 eacute devido a Frege o

desenvolvimento da loacutegica que se seguiu

Giuseppe Peano (1858-1932) e sua escola com Burali-Forti Vacca Pieri

Paacutedoa Vailati etc quase toda simbologia da matemaacutetica se deve a essa escola

italiana

middotOutro periacuteodo importante

Com Bertrand Russell (1872-1970) E Alfred North Whitehead (1861-1947)

Inicia-se o Periacuteodo Atual da Loacutegica com a obra Principia Mathematica

David Hilbert (1862-1943) e sua escola alematilde com Von Neuman Bernays

Ackerman e Outros




Kurt Goumldel (1906-1978) e Alfred Tarski (1902-1983) com suas importantes

contribuiccedilotildees

Surgem as loacutegicas natildeo-claacutessicas NCA da Costa com as loacutegicas

paraconsistentes L A Zadeh com a loacutegica fuzzy e as contribuiccedilotildees dessas

loacutegicas para a informaacutetica no campo da inteligecircncia artificial com os sistemas

especialistas

Hoje as especialidades se multiplicam e as pesquisas em Loacutegica englobam

muitas aacutereas do conhecimento

23) Caacutelculo Proposicional

Como primeira e indispensaacutevel parte da loacutegica matemaacutetica temos o caacutelculo

proposicional ou caacutelculo sentencial ou ainda caacutelculo das sentenccedilas

PROPOSICcedilAtildeO sentenccedilas declarativas afirmativas (expressatildeo de uma

linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa

middot A lua eacute um sateacutelite da Terra

middot Esse limatildeo eacute verde

middot Matemaacutetica eacute uma ciecircncia

231) Os Siacutembolos da Linguagem do Caacutelculo Proposicional

middot

VARIAacuteVEIS PROPOSICIONAIS letras latinas minuacutesculas pqrs para indicar

as proposiccedilotildees (foacutermulas atocircmicas)

Exemplos A lua eacute um sateacutelite da Terra p

Esse limatildeo eacute verde q

middot CONECTIVOS LOacuteGICOS As foacutermulas atocircmicas podem ser combinadas entre

si e para representar tais combinaccedilotildees usaremos os conectivos loacutegicos

^ e ou rarr seentatildeo se e somente se ~ natildeo




Exemplos

middot A lua eacute o sateacutelite da Terra e esse limatildeo eacute verde p ^ q (p e q satildeo chamados

conjuntos)

middot A lua eacute o sateacutelite da Terra ou esse limatildeo eacute verde p q ( p e q satildeo chamados

disjuntos)

middot Se a lua eacute o sateacutelite da Terra entatildeo esse limatildeo eacute verde p rarrq ( p eacute o

antecedente e q o consequente)

middot A lua eacute o sateacutelite da Terra se e somente se esse limatildeo eacute verde p q

middot A lua natildeo eacute o sateacutelite da Terra ~p

232) SIacuteMBOLOS AUXILIARES

( ) parecircnteses que servem para denotar o alcance dos conectivos

Exemplos

middot Se a lua eacute o sateacutelite da Terra e esse limatildeo eacute verde entatildeo a lua natildeo eacute o sateacutelite

da Terra

((p ^ q) rarr ~ p)

233) Definiccedilatildeo de foacutermula

1 Toda foacutermula atocircmica eacute uma foacutermula

2 Se A e B satildeo foacutermulas entatildeo

(A ^ B) (A B) (A rarr B) (A B) e (~ A) tambeacutem satildeo foacutermulas

3 Satildeo foacutermulas apenas as obtidas por 1 e 2

Os parecircnteses seratildeo usados segundo a seguinte ordem dos conectivos ~ ^

rarr

Com o mesmo conectivo adotaremos a convenccedilatildeo pela direita




Exemplo a foacutermula p ^ q ~ rrarr p ~ q deve ser entendida como

(((p ^ q) (~ r)) rarr ( p (~ q)))

24) Tabela verdade

A loacutegica claacutessica eacute governada por trecircs princiacutepios (entre outros) que podem ser

formulados como segue

I Princiacutepio da Identidade Todo objeto eacute idecircntico a si mesmo

II Princiacutepio da Contradiccedilatildeo Dadas duas proposiccedilotildees contraditoacuterias (uma eacute

negaccedilatildeo da outra) uma delas eacute falsa

III Princiacutepio do Terceiro Excluiacutedo Dadas duas proposiccedilotildees contraditoacuterias uma

delas eacute verdadeira

Com base nesses princiacutepios as proposiccedilotildees simples satildeo ou verdadeiras ou

falsas - sendo mutuamente exclusivos os dois casos daiacute dizer que a loacutegica

claacutessica eacute bivalente

Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das proposiccedilotildees compostas

(moleculares) conhecidos os valores das proposiccedilotildees simples (atocircmicas) que

as compotildeem usaremos tabelas-verdade

1Tabela verdade da negaccedilatildeo ~p eacute verdadeira (falsa) se e somente se p

eacute falsa (verdadeira)

p ~p

V F

F V

2 Tabela verdade da conjunccedilatildeo a conjunccedilatildeo eacute verdadeira se e somente

os conjunctos satildeo verdadeiros




p q p ^ q

V V V

V F F

F V F

F F F

3 Tabela verdade da disjunccedilatildeo a disjunccedilatildeo eacute falsa se e somente os

disjuntos satildeo falsos

p q p q

V V V

V F V

F V V

F F F

4 Tabela verdade da implicaccedilatildeo a implicaccedilatildeo eacute falsa se e somente se

o antecedente eacute verdadeiro e o consequumlente eacute falso

p q p rarr q

V V V

V F F

F V V

F F V




5 Tabela verdade da bi-implicaccedilatildeo a bi-implicaccedilatildeo eacute verdadeira se e

somente se seus componentes satildeo ou ambos verdadeiros ou ambos falsos

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

6 A disjunccedilatildeo exclusiva (escrito como ou ne) eacute uma operaccedilatildeo sobre dois

ou mais valores loacutegicos tipicamente os valores de duas proposiccedilotildees que produz

um valor verdadeiro apenas se V(p) V(q)

Ou exclusivo chamada tambeacutem disjunccedilatildeo exclusiva conhecido geralmente

por XOR ou por EOR (tambeacutem XOU ou EOU) eacute uma operaccedilatildeo loacutegica em dois

operandos que resulta em um valor loacutegico verdadeiro se e somente se

exactamente um dos operandos tem um valor verdadeiro

Denotaremos a disjunccedilatildeo exclusiva de p e q por p q

E leremos ldquop ou q mas natildeo ambasrdquo

Ou exclusivo

p q

F F F

F V V

V F V




V V F

Exemplo 1 Construir a tabela verdade da foacutermula ((p q) ~p) rarr (q ^p)

uma maneira mais faacutecil de construir a tabela verdade eacute colocar os valores

loacutegicos como segue abaixo

Apoacutes vamos

resolvendo de acordo

com os operadores loacutegicos

((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)

V V V V V V

V V F V F V

F V V F V F

F F F F F F

((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)

V V V F V V V

V V F F V F V

F V V V F V F

F F F V F F F

((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)

V V V V V

V F V F V

F V F V F

F F F F F

Resolver

primeiramente

depois




((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)

V V V F V V V V

V V F F V F F V

F V V V F V F F

F F F V F F F F

((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)

V V V F F V V V V

V V F F F V F F V

F V V V V F V F F

F F F F V F F F F

e por uacuteltimo

((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)

V V V F F V V V V V

V V F F F V V F F V

F V V V V F F V F F

F F F F V F V F F F

NUacuteMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE

agora este




Cada proposiccedilatildeo simples (atocircmica) tem dois valores V ou F que se

excluem Para n atocircmicas distintas haacute tantas possibilidades quantos satildeo os

arranjos com repeticcedilatildeo de 2 (V e F) elementos n a n Segue-se que o nuacutemero de

linhas da tabela verdade eacute 2n

Assim para duas proposiccedilotildees satildeo 22

= 4 linhas

para 3 proposiccedilotildees satildeo 23 = 8 etc

Exemplo a tabela - verdade da foacutermula ((p ^ q) rarr r) teraacute 8 linhas como segue

p q r ((p ^ q) rarr r )

V V V V V

V V F V F

V F V F V

V F F F V

F V V F V

F V F F V

F F V F V

F F F F V

A Ou Exclusivo (XOR) goza das propriedades da associatividade e

comutatividade conforme podemos relembrar




Essa disciplina Loacutegica Matemaacutetica eacute utilizada nos cursos que envolve a

Ciecircncia da Computaccedilatildeo Por isso esclareceremos aqui algumas utilidades

As Portas Loacutegicas satildeo blocos de construccedilatildeo baacutesicos na Eletrocircnica Digital

A relaccedilatildeo entre a(s) Entrada(s) e a Saiacuteda de uma Porta Loacutegica pode ser expressa

numa Tabela de Verdade

Portas NAtildeO OU Exclusivo (XNOR) e OU Exclusivo (XOR)

Uma Porta OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou mais

Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se apenas uma das suas Entradas eacute 1 O

Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta OU EXCLUSIVO com Duas Entradas eacute

mostrado na Figura a seguir

A notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta OU EXCLUSIVO pode ser

expressa por

Figura 3 Desenho esquemaacutetico

Tabela Verdade de uma Porta OU EXCLUSIVO

A B Q

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0




Uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou

mais Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se todas as Entradas estatildeo no mesmo

Estado Loacutegico O Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO

com Duas Entradas eacute mostrado na Figura 2 e a Tabela 2 eacute a sua Tabela de

VerdadeA notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO

pode ser expressa por

Figura 4 Siacutembolo Esquemaacutetico da Porta NAtildeO

OU EXCLUSIVO

Tabela Verdade de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO

A B Q

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

25) O Caacutelculo Proposicional e A Aacutelgebra dos Conjuntos

O Caacutelculo Proposicional e a Aacutelgebra dos Conjuntos possuem estruturas

semelhantes

Toda foacutermula do Caacutelculo Proposicional determina uma operaccedilatildeo correspondente

entre conjuntos

a negaccedilatildeo (~ ) corresponde agrave complementaccedilatildeo ( rsquo )

a conjunccedilatildeo (^ ) corresponde agrave intersecccedilatildeo ( )




a disjunccedilatildeo ( ) corresponde agrave uniatildeo ( )

As variaacuteveis proposicionais podem servir como variaacuteveis simbolizando

conjuntos na nova expressatildeo Exemplo (( p q) ~ p)corresponde a (( p q )

prsquo)

Podemos expressar as operaccedilotildees entre conjuntos atraveacutes dos

DIAGRAMAS DE EULER-VENN (John Venn 1834-1923) que satildeo uacuteteis na

verificaccedilatildeo de propriedades de operaccedilotildees entre conjuntos mas natildeo devem ser

considerados instrumentos de prova matemaacutetica rigorosa

1COMPLEMENTACcedilAtildeO prsquoque corresponde agrave NEGACcedilAtildeO ~p

p ~ p

1 V F

2 F V

onde as linhas (1) e (2) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) e (2) do diagrama

2 UNIAtildeO p q que corresponde agrave DISJUNCcedilAtildeO p q

p q

p

q

p q

1 V V V

2 V F V

3 F V V

4 F F F




as linhas (1) (2) (3) e (4) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) (2) (3) e (4)

do diagrama respectivamente

A regiatildeo hachurada no diagrama corresponde agraves linhas da tabela onde a

foacutermula p q assume valor V

3 INTERSECCcedilAtildeO p q que corresponde agrave CONJUNCcedilAtildeO p ^ q

p q

p q p^ q

1 V V V

2 V F F

3 F V F

4 F F F

A regiatildeo hachurada do diagrama corresponde agrave linha (1) da tabela onde a


De acordo com o resultado final da tabela verdade essa assume nomes

especiais tautoloacutegicas contraditoacuterias ou contingenciais

26) Tautologias Contradiccedilatildeo e Contingecircncias

A) T AUTOLOGIA ou FOacuteRMULA LOGICAMENTE VAacuteLIDA Foacutermula que

possui apenas valor V em sua tabela verdade Exemplo p ~ p




P p~ p ~ p

1 V F V

2 F V V

Leis de De Morgan

Em loacutegica Leis de de Morgan ou Theorem de De Morgan estatildeo as reacuteguas

dentro loacutegica formal relacionando pares de duplo operadores loacutegicos em uma

maneira sistemaacutetica expressada nos termos de negaccedilatildeo O relacionamento

assim que induzido eacute chamado Duality de De Morgan

natildeo (P e Q) = (natildeo P) ou (natildeo Q)

natildeo (P ou Q) = (natildeo P) e (natildeo Q)

As leis de De Morgan satildeo baseadas nos verdade-valores equivalentes de

cada par das indicaccedilotildees

Augustus de Morgan filho de John de Morgan um tenente-coronel em

serviccedilo na Iacutendia perdeu a visatildeo do olho direito logo apoacutes o nascimento Com

sete meses de idade foi para a Inglaterra com a famiacutelia e aos 10 anos perdeu

seu pai Na escola foi muitas vezes viacutetima de piadas e brincadeiras crueacuteis de

seus companheiros devido a sua inaptidatildeo fiacutesica

De Morgan ingressou no Trinity College em Cambridge em 1823 com 16

anos Ele conseguiu seu grau de bacharel e por causa de um teste teoloacutegico foi

requerido no mestrado voltou para a sua casa em Londres em 1826 e estudou

advocacia Em 1827 ele solicitou a cadeira de Matemaacutetica no receacutem fundado

University College de Londres e apesar de natildeo ter publicaccedilotildees Matemaacuteticas ele

a conseguiu

Tornou-se em 1828 o primeiro professor de matemaacutetica no University

College Sua conferecircncia inaugural teve por tiacutetulo On the study of mathematics

Em 1831 deixou a cadeira mas em 1836 foi novamente chamado




permanecendo ateacute 1866 Sua segunda publicaccedilatildeo foi o livro Elements of

Arithmetic em 1830

O termo induccedilatildeo matemaacutetica foi definido e introduzido por De Morgan em

1838 e sua primeira apariccedilatildeo foi no artigo Induction (Mathematics) na Penny

Cyclopedia que era publicada pela Society for the Diffusion of Useful Knowledge

Esta mesma sociedade tambeacutem publicou um famoso trabalho de De Morgan

The Differential na Integral Calculus

Outra publicaccedilatildeo foi Trigonometry and Double Algebra em 1849 na qual

ele fez uma interpretaccedilatildeo geomeacutetrica dos nuacutemeros complexos De Morgan sabia

da existecircncia de aacutelgebras diferentes da aacutelgebra ordinaacuteria e contribuiu para o

desenvolvimento da aacutelgebra abstrata Uma de suas maiores contribuiccedilotildees foi agrave

reforma da loacutegica matemaacutetica De Morgan se correspondeu com Charles

Babbage escrevendo o primeiro programa de computador para ele e tambeacutem

com Hamilton

Foi co-fundador e o primeiro presidente da London Mathematical Society

em 1866 e seu filho George um bom matemaacutetico foi seu primeiro secretaacuterio

Neste mesmo ano foi eleito Fellow of the Royal Astronomical Society Mas ele

recusou este titulo assim como outro que recebeu da University of Edinburgh

Muito interessado por nuacutemeros em 1864 De Morgan notou que teve x anos

de idade no ano (43 anos no ano 1849) De Morgan faleceu em 8 de marccedilo de

1871 em Londres

B) CONTRADICcedilAtildeO Foacutermula que possui apenas valor F em sua tabela verdade

Exemplo p ^~ p

P ~ p p ^~ p

1 V F F

2 F V F




C) CONTINGENTE ou INDETERMINADA Foacutermula que possui valores V e F em

sua tabela verdade

Exemplo p rarr q

P q p rarr q

1 V V V

2 V F F

3 F V V

4 F F V

27) Noccedilotildees de Aacutelgebra Booleana

Vimos que o Caacutelculo Proposicional e a Teoria dos Conjuntos possuem

algumas propriedades em comum ou sejam satildeo estruturas matemaacuteticas que

juntamente com operaccedilotildees ou relaccedilotildees entre seus objetos obedecem certas

regras

E ao definir uma estrutura matemaacutetica Aacutelgebra Booleana que incorpora

as propriedades baacutesicas do Caacutelculo Proposicional e da Teoria dos Conjuntos ou

seja eacute um outro modelo de uma mesma estrutura matemaacutetica O conceito de

Aacutelgebra Booleana foi formulado pelo matemaacutetico inglecircs George Boole por volta

de 1850

Por AacuteLGEBRA BOOLEANA entendemos um conjunto B=p q r junto

com duas operaccedilotildees binaacuterias + e middot em B uma operaccedilatildeo singular rsquo em B e dois

elementos distintos 0 e 1 de B tais que valem as seguintes propriedades (para

todo p q r em B )

Associativa (p + q) + r = p + (q + r) (p bull q) bull r = p bull (q bull r)




Comutativa p + q = q + p p bull q = q bull p

Idempotente p + p = p p bull p = p

Absorccedilatildeo (p bull q) + p = p (p + q) bull p = p

Distributiva p + (q bull r) = (p + q) bull (p +

r)

p bull (q + r) = (p bull q) + (p bull r)

Propriedades do 0 p + 0 = p p bull 0 = 0

Propriedades do 1 p + 1 = 1 p bull 1 = p

Quaisquer que seja p em

B existe prsquo em B tal que

p + prsquo = 1 p bull prsquo = 0

Indicamos uma Aacutelgebra Booleana por [ B + middot rsquo 0 1 ]

- A operaccedilatildeo p bullq pode ser denotada simplesmente por pq eliminando o

operador bull

- Eacute normal a seguinte terminologia na Aacutelgebra Booleana

p bull q encontro de p e q

p + q junccedilatildeo de p e q

prsquo complemento de p

0 elemento zero

1 elemento unitaacuterio

Uma expressatildeo booleana uma foacutermula e uma expressatildeo na aacutelgebra dos

conjuntos satildeo correspondentes se substituimos rsquo + bull = 0 1

respectivamente por ~ F V ou ainda por rsquo = U

(considerando-se p q como elementos de B variaacuteveis proposicionais ou

conjuntos respectivamente)




271) Aplicaccedilotildees de Aacutelgebra Booleana Aacutelgebra dos circuitos

A introduccedilatildeo de uma Aacutelgebra Booleana no estudo dos circuitos deve-se ao

matemaacutetico americano CLAUDE ELWOOD SHANNON (1916-2001) (A

Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits - 1938) De modo sucinto

mostraremos esse tipo de relacionamento com a Caacutelculo Proposicional e a

Aacutelgebra Booleana

Um interruptor eacute um dispositivo ligado a um ponto de um circuito que pode

assumir um dos dois estados fechado ou aberto No estado fechado

(que indicaremos por 1) o interruptor permite que a corrente passe atraveacutes do

ponto enquanto no estado aberto (que indicaremos por 0) nenhuma corrente

pode passar pelo ponto

1Circuito com um interruptor p

p

Fig 5 Circuito com um interrruptor

A indicaccedilatildeo fechado ou aberto do interruptor seraacute conhecida com a

indicaccedilatildeo de p=1 ou p=0 respectivamente

2Circuito com dois interruptores p e q

Em paralelo indicado por p + q

p

q

Fig 6 Circuito com dois interrruptores




Neste caso natildeo passa corrente se e somente p=0 e q=0 ou seja estatildeo

ambos abertos o que corresponde no Caacutelculo Proposicional agrave tabela verdade

da disjunccedilatildeo p q

3 TEORIA DOS GRAFOS

A teoria dos grafos tem a sua origem na necessidade de representar por

esquemas as relaccedilotildees existentes entre os elementos de um conjunto Neste

sentido constitui um ramo especiacutefico da teoria das relaccedilotildees binaacuterias definidas

num conjunto

A ligaccedilatildeo entre dois veacutertices (quando existe) faz-se sempre nos dois

sentidos podendo representar-se este fato por uma aresta uacutenica (natildeo dirigida)

Obteacutem-se assim um grafo natildeo dirigido (ou simplesmente grafo) Embora a

teoria dos grafos seja um instrumento natural para o estudo das relaccedilotildees

binaacuterias haacute atualmente muitos outros toacutepicos de Matemaacutetica quer pura quer

aplicada para os quais o recurso agrave teoria dos grafos constitui uma atitude natural

Na figura seguinte mostraremos um exemplo de um grafo (natildeo dirigido)

Fig 7 Exemplos de grafos natildeo dirigidos FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)

31 Definiccedilotildees baacutesicas

Chama-se grafo G (VE) a uma estrutura constituiacuteda por um conjunto

finito V de veacutertices (tambeacutem designados por noacutes) e um conjunto finito ldquoErdquo de

arestas de tal forma que cada aresta estaacute associada a um par de veacutertices como

temos na figura V = 1 2 3 4 5 E = a b c d e f




Fig 8 Exemplo de grafo

FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)

Se tivermos ldquoerdquo como uma aresta e ldquovwrdquocomo dois veacutertices escreve-se

e = vw ou e =w v dizendo-se entatildeo que ldquoerdquo eacute uma aresta entre v e w ou

que a aresta ldquoerdquo liga os veacutertices v e w que por este fato se dizem adjacentes

Uma aresta que liga um veacutertice a si proacuteprio designa-se por laccedilo

Na representaccedilatildeo de um grafo os veacutertices satildeo representados por

pequenos ciacuterculos afetados de um siacutembolo que constitui o seu nome enquanto

que as arestas satildeo representadas por linhas que ligam dois veacutertices (segmentos

de reta ou linhas curvas)

Se entre dois veacutertices existir mais que uma aresta entatildeo se for necessaacuterio

efetuar distinccedilotildees o grafo correspondente toma o nome de multigrafo e as vaacuterias

arestas que ligam os mesmos dois veacutertices tambeacutem se designam por arestas

muacuteltiplas No entanto na literatura da especialidade em geral o termo grafo eacute

empregado mesmo quando possui arestas muacuteltiplas






Neste contexto chama-se grafo orientado a uma estrutura G (VE) onde

novamente V eacute um conjunto finito de veacutertices e E um conjunto finito de arcos

dirigidos A seguir apresenta-se um exemplo de um digrafo com 6 veacutertices e 10

arcos dirigidos



Num diacutegrafo escreve-se e (vw) para significar que e eacute um arco que liga v a

w orientado de v para w Neste caso diz-se que v eacute adjacente ao veacutertice w que

o arco e eacute incidente sobre w e emergente de vUm grafo diz-se simples quando

natildeo possui laccedilos nem arestas muacuteltiplas como se segue




Fig 11 Exemplo de grafo simples


Um tipo de grafos com muita importacircncia em problemas de

emparelhamento (casamentos distribuiccedilatildeo de grupos de tarefas por grupos de

pessoas etc) satildeo os chamados grafos bipartidos que satildeo grafos nos quais os

veacutertices podem ser separados em dois conjuntos disjuntos V e W tais que cada

aresta liga sempre um veacutertice de V a um veacutertice de W Neste caso denota-se por

G (VWE) Na figura que se segue apresenta-se um exemplo de um grafo

bipartido





Fonte Joseacute Sousa Pinto (1999)

Um grafo diz-se nulo se possuir apenas veacutertices sem arestas nem

laccedilos por outro lado no extremo oposto um grafo diz-se completo quando

entre cada par de veacutertices haacute uma aresta Neste uacuteltimo caso se o grafo tiver

n veacutertices eacute habitual denotaacute-lo por Kn Um diacutegrafo diz-se completo se entre

cada par de veacutertices existir pelo menos um arco Um grafo bipartido simples

G (VWE) diz-se completo se existir uma aresta entre cada veacutertice de V e

cada veacutertice de W Um grafo bipartido completo denota-se por K pq onde p

e q satildeo o nuacutemero de veacutertices de V e W respectivamente

Grafos isomorfos

Definindo grafo como um par ordenado constituiacutedo por um conjunto

de veacutertices e um conjunto de arestas o mesmo grafo pode aparecer com

representaccedilotildees pictoacutericas muito distintas Eacute por isso que eacute importante dispor

de um criteacuterio que nos permita saber quando eacute que dois grafos

(aparentemente) distintos satildeo afinal o mesmo grafo Tal criteacuterio resulta

imediatamente da noccedilatildeo de isomorfismo de grafos

Definiccedilatildeo Dois grafos G1 (V1E1) e G2 (V2E2) dir-se-atildeo isomorfos se

existir uma bijeccedilatildeo

tal que

seja uma aresta de G2 se e somente se se u v for uma aresta de G1

Exemplo Os grafos abaixo satildeo isomorfos




Fig 13 Exemplo de grafo FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)

Para mostrar que dois grafos natildeo satildeo isomorfos eacute necessaacuterio mostrar que

natildeo existe qualquer bijeccedilatildeo entre os conjuntos de veacutertices respectivos que

transformem arestas em arestas Se dois grafos natildeo tiverem o mesmo nuacutemero

de veacutertices entatildeo natildeo satildeo isomorfos se tiverem o mesmo nuacutemero de veacutertices

mas tiverem diferente nuacutemero de arestas tambeacutem natildeo podem ser isomorfos

Finalmente mesmo que dois grafos tenham o mesmo nuacutemero de veacutertices

e o mesmo nuacutemero de arestas ainda assim eles podem natildeo ser isomorfos

Por exemplo os dois grafos

Fig 14 Exemplo de grafo natildeo isomorfos





tecircm ambos 5 veacutertices e 7 arestas No entanto natildeo satildeo isomorfos Uma forma de

mostrar eacute notar que os veacutertices a b d e de G1 formam um subgrafo completo

de G1 qualquer isomorfismo com G1 deveraacute transformar estes quatro veacutertices

noutros quatro veacutertices com a mesma propriedade

Em G2 natildeo haacute quatro veacutertices que induza um subgrafo completo de G2 e

portanto este natildeo pode ser isomorfo a G1

Caminhos de um grafo

Chama-se caminho entre dois veacutertices v1 e vr num grafo a uma sequecircncia finita

de veacutertices e arestas da forma

onde para cada j ej eacute uma aresta que liga vj a vj+1 Os veacutertices e as arestas de

um caminho podem natildeo ser todos distintos Ao nuacutemero de arestas que compotildeem

um caminho daacute-se o nome de comprimento desse caminho

Um caminho diz-se simples se natildeo tiver arestas repetidas e diz-se

elementar se todos os seus veacutertices forem distintos

Um caminho no qual o veacutertice inicial e o veacutertice terminal coincidem chama-

se circuito Um circuito diz-se simples se natildeo possuir arestas repetidas e um

circuito no qual nenhum veacutertice eacute repetido exceto o veacutertice inicial (terminal)

chama-se ciclo No grafo que se segue por exemplo




Fig 15 Exemplo de grafo com circuito


O caminho 3e355e252e121e155e454e343 eacute um circuito simples (natildeo haacute

arestas repetidas e o veacutertice inicial e terminal coincidem) mas natildeo eacute um ciclo jaacute

que para aleacutem do veacutertice inicial (que eacute tambeacutem terminal) haacute outro veacutertice o

veacutertice 5 que estaacute repetido

Num digrafo estes conceitos podem ter em conta a orientaccedilatildeo Chama-se

caminho orientado a uma sequecircncia finita de arcos da forma v1 e1 v2 e2

er-1 vr

onde para cada j = 1 2 r - 1 se tem ej = (vj vj+1) A partir daqui define-

se caminho fechado circuito e ciclo concordantemente

Graus dos veacutertices de um grafo

Uma aresta e de um grafo diz-se incidente sobre o veacutertice v se este for um

dos seus pontos extremos Chama-se grau de um veacutertice v ao nuacutemero de arestas

que incidem sobre esse veacutertice Um veacutertice diz-se iacutempar ou par de acordo com

o seu grau seja um nuacutemero impar ou par respectivamente

Temos que lembrar que um laccedilo incide duas vezes sobre o mesmo veacutertice

pelo que conta duas vezes para efeito do caacutelculo do grau do veacutertice respectivo

Teorema Em qualquer grafo a soma dos graus dos seus veacutertices eacute igual a

duas vezes o nuacutemero das suas arestas

32 Problemas que envolvem grafos

1) Coloraccedilatildeo de grafos o Teorema das quatro cores

O Problema da Coloraccedilatildeo




Um problema comum que ocorre quando se trabalha com a representaccedilatildeo

de regiotildees na forma de mapas coloridos eacute como representaacute-las de forma que

cada regiatildeo fique visivelmente clara e distinta das demais A soluccedilatildeo para esse

problema se torna possiacutevel se para cada regiatildeo for atribuiacuteda uma cor e assim

cada uma das regiotildees teria uma coloraccedilatildeo distinta das demais Mas todo esse

esforccedilo em se atribuir uma cor para cada regiatildeo natildeo eacute necessaacuterio pois existe

uma teacutecnica de coloraccedilatildeo de mapas que diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa

planar utilizando-se apenas quatro cores

A teoria da coloraccedilatildeo de mapas diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa planar

utilizando no miacutemino quatro cores sendo para isso necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma

lista de adjacecircncia de todos as regiotildees

Uma possiacutevel abordagem seria representar o problema proposto por uma

lista de adjacecircncias onde temos um vetor com as regiotildees que devem ser

coloridas e uma lista com os demais elementos que satildeo as regiotildees adjacentes a

este Para o mapa representado acima poderiamos ter a seguinte

representaccedilatildeo

Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo A [B C D]

Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo B [A C E]

Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo C [A B D E F]

Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo D [A C F]

Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo E [B C F]

Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo F [C D E]

Essa representaccedilatildeo diz que as regiotildees B C e D satildeo adjacentes a A

as regiotildees A C e E satildeo adjacentes a B as regiotildees A B D E e F satildeo

adjacentes a C e analogamente eacute possiacutevel chegar agraves demais relaccedilotildees

Sendo assim o procedimento para se atribuir as cores certas a cada

regiatildeo eacute o seguinte




middot Escolhe-se uma regiatildeo inicial como por exemplo a regiatildeo A e

atribui-se uma cor a ela

middot para atribuir uma cor para B eacute verificado se dentre as cores

existentes existe uma que natildeo esteja colorindo nenhuma regiatildeo adjacente

a B entatildeo essa cor deveraacute ser escolhida Se todas as cores existentes

estiverem sendo utilizadas em regiotildees vizinhas a B entatildeo uma nova cor eacute

criada

middot o raciociacutenio eacute repetido analogamente para cada uma das regiotildees

subsequentes

Assim sendo pode-se dizer que todas as regiotildees foram coloridas com

a utilizaccedilatildeo de apenas quatro cores e que essas regiotildees natildeo possuem

nenhuma regiatildeo vizinha com a mesma cor que ela possui

2) Conjuntos de Grafos

Conjunto independente

Na teoria dos grafos um conjunto independente de um grafo G eacute um

conjunto S de veacutertices de G tal que natildeo existem dois veacutertices adjacentes

contidos em S Em outras palavras se a e b satildeo veacutertices quaisquer de um

conjunto independente natildeo haacute aresta entre a e b

Todo grafo tem ao menos um conjunto independente o conjunto

vazio Um grafo pode ter vaacuterios conjuntos independentes distintos

Se S eacute um conjunto independente de G e natildeo existe um conjunto

independente de G maior que S diz-se que S eacute um conjunto independente

maacuteximo de G




Fig 16 Exemplo de conjunto independente


3) Problemas de roteamento

a )Sete pontes de Koumlnigsberg

Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica

que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos

O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute

1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute

duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha

sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em

1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas

foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas

duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler




Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg

Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as

pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a

possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia

caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees

Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas

intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria

Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando

uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de

onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada

ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho

para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-

se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e

um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de

caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto

podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos

dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o

iniacutecio e outro o fim





b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima

Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste

grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um

uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um

peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute

e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das

arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida

como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo

uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores

de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo

necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma

uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes

conexas

Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo

de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre

os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo

da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios

e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos

construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos

os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria

uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo




Fig 18 aacutervore geradora miacutenima

c) Problema do caminho miacutenimo

Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre

dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta

percorrida

Existem muitos algoritmos para resolver este problema como

por exemplo o Dijkstra e Floyd

bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima

entre uma origem e um destino

bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas

entre todos os pares de veacutertices

d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema

do Carteiro Chinecircs)




Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma

vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer

todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes

e) Problema do caixeiro viajante

Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica

vez como o problema do Caixeiro Viajante

O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que

possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias

visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial

(Nilsson 1982)

Fig 19 Problema do caixeiro-viajante

4) Fluxos de rede

a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo

5) conjectura da reconstruccedilatildeo

6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)

a Rotulaccedilatildeo canocircnica

b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos

c Maacuteximo subgrafo comum




5 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS

FRANK AYRES JR - Aacutelgebra Moderna - - Mcgraw-Hill do Brasil Ltda - 1971

GERSTING JL Fundamentos matemaacuteticos para a Ciecircncia da Computaccedilatildeo

RJ LTC (2001)

MENEZES PB Matemaacutetica discreta para Computaccedilatildeo e Informaacutetica Porto

Alegre Sagra-Luzzatto Instituto de Informaacutetica da UFRGS Seacuterie Livros

Didaacuteticos nuacutemero 16 (2004) 258 p ISBN 85-241-0691-3




MORETTIN PA Meacutetodos quantitativos para economistas e administradores

(1981)

PINTO Joseacute Sousa (1999) Disponiacutevel em Toacutepicos de Matemaacutetica Discreta

httpwww2matuapttmdtelematpdf Acesso em 18 de julho de 2010

POZO JI A soluccedilatildeo de problemas aprender para resolver resolver para

aprender Porto Alegre ArtMed (1998) 177 p ISBN 85-7307-356-X

SCHEINERMAN ER Matemaacutetica discreta uma introduccedilatildeo Satildeo Paulo

Thomson Learning Ltda (2003) ISBN 85-221-0291-0




SUMAacuteRIO

Introduccedilatildeo 3

1 Teoria dos conjuntos 4

11 Conceitos essenciais 6

12 Notaccedilatildeo dos conjuntos 8

13 Exemplos de conjuntos compostos por nuacutemeros 8

2 Loacutegica 12

21) Uma Classificaccedilatildeo da Loacutegica 12

22) Desenvolvimento da Loacutegica 12

23) Caacutelculo Proposicional 14

231) Os Siacutembolos da Linguagem do Caacutelculo Proposicional 14

232) SIacuteMBOLOS AUXILIARES 15

233) Definiccedilatildeo de foacutermula 15

24) Tabela verdade 16

25) O Caacutelculo Proposicional e A Aacutelgebra dos Conjuntos 23

26) Tautologias Contradiccedilatildeo e Contingecircncias 25

27) Noccedilotildees de Aacutelgebra Booleana 28

271) Aplicaccedilotildees de Aacutelgebra Booleana Aacutelgebra dos circuitos 30

3 Teoria dos Grafos 31

31 Definiccedilotildees baacutesicas 31

32 Problemas que envolvem grafos 38

4 Referecircncias bibliograacuteficas 45




























Grafos















destes conjuntos

Fig 1 George Kantor





Richard Dedekind








Conjunto




















um conjunto





escrever aA












Conjunto vazio











i

iN SSSSSS1

321 =







Cardinalidade



cardinal n














Produto cartesiano






()







reais

























transcendente






















Soluccedilatildeo






Assim


7 = n(M) + n(T) ndash 0




Jaacute sabemos que

n(M) + n(T) = 5 + 6 = 11

Entatildeo teremos

n(M) + n(T) = 11

n(M) + N(T) = 7


n(M) + n(M) + n(T) + n(T) = 11 + 7 = 18




n + n = 18

2n = 18

n = 9





2 LOacuteGICA































Ciecircncia



















italiana





Ackerman e Outros









especialistas












middot











Exemplos


conjuntos)


disjuntos)







Exemplos


da Terra

((p ^ q) rarr ~ p)







rarr






(((p ^ q) (~ r)) rarr ( p (~ q)))

24) Tabela verdade
















p ~p

V F

F V






p q p ^ q

V V V

V F F

F V F

F F F



p q p q

V V V

V F V

F V V

F F F



p q p rarr q

V V V

V F F

F V V

F F V






p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V










Ou exclusivo

p q

F F F

F V V

V F V




V V F




Apoacutes vamos



((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)

V V V V V V

V V F V F V

F V V F V F

F F F F F F

((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)

V V V F V V V

V V F F V F V

F V V V F V F

F F F V F F F

((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)

V V V V V

V F V F V

F V F V F

F F F F F

Resolver

primeiramente

depois




((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)

V V V F V V V V

V V F F V F F V

F V V V F V F F

F F F V F F F F

((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)

V V V F F V V V V

V V F F F V F F V

F V V V V F V F F

F F F F V F F F F

e por uacuteltimo

((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)

V V V F F V V V V V

V V F F F V V F F V

F V V V V F F V F F

F F F F V F V F F F


agora este









= 4 linhas




V V V V V

V V F V F

V F V F V

V F F F V

F V V F V

F V F F V

F F V F V

F F F F V

















expressa por



A B Q

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0











OU EXCLUSIVO


A B Q

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1



semelhantes


entre conjuntos









prsquo)






p ~ p

1 V F

2 F V



p q

p

q

p q

1 V V V

2 V F V

3 F V V

4 F F F









p q

p q p^ q

1 V V V

2 V F F

3 F V F

4 F F F











P p~ p ~ p

1 V F V

2 F V V

Leis de De Morgan



















a conseguiu








Arithmetic em 1830












com Hamilton







1871 em Londres


Exemplo p ^~ p

P ~ p p ^~ p

1 V F F

2 F V F





sua tabela verdade

Exemplo p rarr q

P q p rarr q

1 V V V

2 V F F

3 F V V

4 F F V





regras





de 1850




todo p q r em B )









r)









operador bull





0 elemento zero






















p






p

q








3 TEORIA DOS GRAFOS




num conjunto








































arcos dirigidos


















bipartido














Grafos isomorfos









tal que

















































er-1 vr






















































criada


subsequentes














maacuteximo de G






















































conexas
















percorrida





















(Nilsson 1982)


4) Fluxos de rede













RJ LTC (2001)








(1981)


































Grafos















destes conjuntos

Fig 1 George Kantor





Richard Dedekind








Conjunto




















um conjunto





escrever aA












Conjunto vazio











i

iN SSSSSS1

321 =







Cardinalidade



cardinal n














Produto cartesiano






()







reais

























transcendente






















Soluccedilatildeo






Assim


7 = n(M) + n(T) ndash 0




Jaacute sabemos que

n(M) + n(T) = 5 + 6 = 11

Entatildeo teremos

n(M) + n(T) = 11

n(M) + N(T) = 7


n(M) + n(M) + n(T) + n(T) = 11 + 7 = 18




n + n = 18

2n = 18

n = 9





2 LOacuteGICA































Ciecircncia



















italiana





Ackerman e Outros









especialistas












middot











Exemplos


conjuntos)


disjuntos)







Exemplos


da Terra

((p ^ q) rarr ~ p)







rarr






(((p ^ q) (~ r)) rarr ( p (~ q)))

24) Tabela verdade
















p ~p

V F

F V






p q p ^ q

V V V

V F F

F V F

F F F



p q p q

V V V

V F V

F V V

F F F



p q p rarr q

V V V

V F F

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F F V






p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V










Ou exclusivo

p q

F F F

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V V F




Apoacutes vamos



((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)

V V V V V V

V V F V F V

F V V F V F

F F F F F F

((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)

V V V F V V V

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F F F V F F F

((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)

V V V V V

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F F F F F

Resolver

primeiramente

depois




((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)

V V V F V V V V

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((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)

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e por uacuteltimo

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agora este









= 4 linhas




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expressa por



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OU EXCLUSIVO


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semelhantes


entre conjuntos









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1 V V V

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1 V V V

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3 F V F

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1 V F V

2 F V V

Leis de De Morgan



















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Arithmetic em 1830












com Hamilton







1871 em Londres


Exemplo p ^~ p

P ~ p p ^~ p

1 V F F

2 F V F





sua tabela verdade

Exemplo p rarr q

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1 V V V

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3 F V V

4 F F V





regras





de 1850




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0 elemento zero






















p






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3 TEORIA DOS GRAFOS




num conjunto








































arcos dirigidos


















bipartido














Grafos isomorfos









tal que

















































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criada


subsequentes














maacuteximo de G






















































conexas
















percorrida





















(Nilsson 1982)


4) Fluxos de rede













RJ LTC (2001)








(1981)





















destes conjuntos

Fig 1 George Kantor





Richard Dedekind








Conjunto




















um conjunto





escrever aA












Conjunto vazio











i

iN SSSSSS1

321 =







Cardinalidade



cardinal n














Produto cartesiano






()







reais

























transcendente






















Soluccedilatildeo






Assim


7 = n(M) + n(T) ndash 0




Jaacute sabemos que

n(M) + n(T) = 5 + 6 = 11

Entatildeo teremos

n(M) + n(T) = 11

n(M) + N(T) = 7


n(M) + n(M) + n(T) + n(T) = 11 + 7 = 18




n + n = 18

2n = 18

n = 9





2 LOacuteGICA































Ciecircncia



















italiana





Ackerman e Outros









especialistas












middot











Exemplos


conjuntos)


disjuntos)







Exemplos


da Terra

((p ^ q) rarr ~ p)







rarr






(((p ^ q) (~ r)) rarr ( p (~ q)))

24) Tabela verdade
















p ~p

V F

F V






p q p ^ q

V V V

V F F

F V F

F F F



p q p q

V V V

V F V

F V V

F F F



p q p rarr q

V V V

V F F

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p q p q

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Ou exclusivo

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V V F




Apoacutes vamos



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V V V V V V

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((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)

V V V F V V V

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((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)

V V V V V

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Resolver

primeiramente

depois




((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)

V V V F V V V V

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((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)

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e por uacuteltimo

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agora este









= 4 linhas




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semelhantes


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3 F V V

4 F F F









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1 V V V

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3 F V F

4 F F F











P p~ p ~ p

1 V F V

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Leis de De Morgan



















a conseguiu








Arithmetic em 1830












com Hamilton







1871 em Londres


Exemplo p ^~ p

P ~ p p ^~ p

1 V F F

2 F V F





sua tabela verdade

Exemplo p rarr q

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1 V V V

2 V F F

3 F V V

4 F F V





regras





de 1850




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0 elemento zero






















p






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3 TEORIA DOS GRAFOS




num conjunto








































arcos dirigidos


















bipartido














Grafos isomorfos









tal que

















































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criada


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(Nilsson 1982)


4) Fluxos de rede













RJ LTC (2001)








(1981)














Conjunto




















um conjunto





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i

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321 =







Cardinalidade



cardinal n














Produto cartesiano






()







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Soluccedilatildeo






Assim


7 = n(M) + n(T) ndash 0




Jaacute sabemos que

n(M) + n(T) = 5 + 6 = 11

Entatildeo teremos

n(M) + n(T) = 11

n(M) + N(T) = 7


n(M) + n(M) + n(T) + n(T) = 11 + 7 = 18




n + n = 18

2n = 18

n = 9





2 LOacuteGICA































Ciecircncia



















italiana





Ackerman e Outros









especialistas












middot











Exemplos


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Exemplos


da Terra

((p ^ q) rarr ~ p)







rarr






(((p ^ q) (~ r)) rarr ( p (~ q)))

24) Tabela verdade
















p ~p

V F

F V






p q p ^ q

V V V

V F F

F V F

F F F



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V V V

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Ou exclusivo

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Apoacutes vamos



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V V V V V

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Resolver

primeiramente

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V V V F V V V V

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e por uacuteltimo

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OU EXCLUSIVO


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1 V V V

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4 F F F









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3 F V F

4 F F F











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Leis de De Morgan



















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Arithmetic em 1830












com Hamilton







1871 em Londres


Exemplo p ^~ p

P ~ p p ^~ p

1 V F F

2 F V F





sua tabela verdade

Exemplo p rarr q

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1 V V V

2 V F F

3 F V V

4 F F V





regras





de 1850




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0 elemento zero






















p






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3 TEORIA DOS GRAFOS




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Grafos isomorfos









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criada


subsequentes














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conexas
















percorrida





















(Nilsson 1982)


4) Fluxos de rede













RJ LTC (2001)








(1981)






















um conjunto





escrever aA












Conjunto vazio











i

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321 =







Cardinalidade



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()







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Soluccedilatildeo






Assim


7 = n(M) + n(T) ndash 0




Jaacute sabemos que

n(M) + n(T) = 5 + 6 = 11

Entatildeo teremos

n(M) + n(T) = 11

n(M) + N(T) = 7


n(M) + n(M) + n(T) + n(T) = 11 + 7 = 18




n + n = 18

2n = 18

n = 9





2 LOacuteGICA































Ciecircncia



















italiana





Ackerman e Outros









especialistas












middot











Exemplos


conjuntos)


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Exemplos


da Terra

((p ^ q) rarr ~ p)







rarr






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24) Tabela verdade
















p ~p

V F

F V






p q p ^ q

V V V

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Apoacutes vamos



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((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)

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V V V V V

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Resolver

primeiramente

depois




((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)

V V V F V V V V

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((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)

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e por uacuteltimo

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OU EXCLUSIVO


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Leis de De Morgan



















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Arithmetic em 1830












com Hamilton







1871 em Londres


Exemplo p ^~ p

P ~ p p ^~ p

1 V F F

2 F V F





sua tabela verdade

Exemplo p rarr q

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1 V V V

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3 F V V

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regras





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p






p

q








3 TEORIA DOS GRAFOS




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bipartido














Grafos isomorfos









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percorrida





















(Nilsson 1982)


4) Fluxos de rede













RJ LTC (2001)








(1981)










Conjunto vazio











i

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321 =







Cardinalidade



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Produto cartesiano






()







reais

























transcendente






















Soluccedilatildeo






Assim


7 = n(M) + n(T) ndash 0




Jaacute sabemos que

n(M) + n(T) = 5 + 6 = 11

Entatildeo teremos

n(M) + n(T) = 11

n(M) + N(T) = 7


n(M) + n(M) + n(T) + n(T) = 11 + 7 = 18




n + n = 18

2n = 18

n = 9





2 LOacuteGICA































Ciecircncia



















italiana





Ackerman e Outros









especialistas












middot











Exemplos


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Exemplos


da Terra

((p ^ q) rarr ~ p)







rarr






(((p ^ q) (~ r)) rarr ( p (~ q)))

24) Tabela verdade
















p ~p

V F

F V






p q p ^ q

V V V

V F F

F V F

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p q

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Apoacutes vamos



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((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)

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Resolver

primeiramente

depois




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V V V F V V V V

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e por uacuteltimo

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agora este









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V V V V V

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A B Q

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OU EXCLUSIVO


A B Q

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entre conjuntos









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p ~ p

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p q

p

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P p~ p ~ p

1 V F V

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Leis de De Morgan



















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Arithmetic em 1830












com Hamilton







1871 em Londres


Exemplo p ^~ p

P ~ p p ^~ p

1 V F F

2 F V F





sua tabela verdade

Exemplo p rarr q

P q p rarr q

1 V V V

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regras





de 1850




todo p q r em B )









r)









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0 elemento zero






















p






p

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3 TEORIA DOS GRAFOS




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criada


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percorrida





















(Nilsson 1982)


4) Fluxos de rede













RJ LTC (2001)








(1981)

















Produto cartesiano






()







reais

























transcendente






















Soluccedilatildeo






Assim


7 = n(M) + n(T) ndash 0




Jaacute sabemos que

n(M) + n(T) = 5 + 6 = 11

Entatildeo teremos

n(M) + n(T) = 11

n(M) + N(T) = 7


n(M) + n(M) + n(T) + n(T) = 11 + 7 = 18




n + n = 18

2n = 18

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2 LOacuteGICA































Ciecircncia



















italiana





Ackerman e Outros









especialistas












middot











Exemplos


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Exemplos


da Terra

((p ^ q) rarr ~ p)







rarr






(((p ^ q) (~ r)) rarr ( p (~ q)))

24) Tabela verdade
















p ~p

V F

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V V V

V F F

F V V

F F V






p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V










Ou exclusivo

p q

F F F

F V V

V F V




V V F




Apoacutes vamos



((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)

V V V V V V

V V F V F V

F V V F V F

F F F F F F

((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)

V V V F V V V

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F F F V F F F

((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)

V V V V V

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F V F V F

F F F F F

Resolver

primeiramente

depois




((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)

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F V V V F V F F

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((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)

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e por uacuteltimo

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V V F F F V V F F V

F V V V V F F V F F

F F F F V F V F F F


agora este









= 4 linhas




V V V V V

V V F V F

V F V F V

V F F F V

F V V F V

F V F F V

F F V F V

F F F F V

















expressa por



A B Q

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0











OU EXCLUSIVO


A B Q

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1



semelhantes


entre conjuntos









prsquo)






p ~ p

1 V F

2 F V



p q

p

q

p q

1 V V V

2 V F V

3 F V V

4 F F F









p q

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1 V V V

2 V F F

3 F V F

4 F F F











P p~ p ~ p

1 V F V

2 F V V

Leis de De Morgan



















a conseguiu








Arithmetic em 1830












com Hamilton







1871 em Londres


Exemplo p ^~ p

P ~ p p ^~ p

1 V F F

2 F V F





sua tabela verdade

Exemplo p rarr q

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1 V V V

2 V F F

3 F V V

4 F F V





regras





de 1850




todo p q r em B )









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operador bull





0 elemento zero






















p






p

q








3 TEORIA DOS GRAFOS




num conjunto








































arcos dirigidos


















bipartido














Grafos isomorfos









tal que

















































er-1 vr






















































criada


subsequentes














maacuteximo de G






















































conexas
















percorrida





















(Nilsson 1982)


4) Fluxos de rede













RJ LTC (2001)








(1981)































transcendente






















Soluccedilatildeo






Assim


7 = n(M) + n(T) ndash 0




Jaacute sabemos que

n(M) + n(T) = 5 + 6 = 11

Entatildeo teremos

n(M) + n(T) = 11

n(M) + N(T) = 7


n(M) + n(M) + n(T) + n(T) = 11 + 7 = 18




n + n = 18

2n = 18

n = 9





2 LOacuteGICA































Ciecircncia



















italiana





Ackerman e Outros









especialistas












middot











Exemplos


conjuntos)


disjuntos)







Exemplos


da Terra

((p ^ q) rarr ~ p)







rarr






(((p ^ q) (~ r)) rarr ( p (~ q)))

24) Tabela verdade
















p ~p

V F

F V






p q p ^ q

V V V

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F V F

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Apoacutes vamos



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Resolver

primeiramente

depois




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Leis de De Morgan



















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com Hamilton







1871 em Londres


Exemplo p ^~ p

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3 TEORIA DOS GRAFOS




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Grafos isomorfos









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percorrida





















(Nilsson 1982)


4) Fluxos de rede













RJ LTC (2001)








(1981)





















Soluccedilatildeo






Assim


7 = n(M) + n(T) ndash 0




Jaacute sabemos que

n(M) + n(T) = 5 + 6 = 11

Entatildeo teremos

n(M) + n(T) = 11

n(M) + N(T) = 7


n(M) + n(M) + n(T) + n(T) = 11 + 7 = 18




n + n = 18

2n = 18

n = 9





2 LOacuteGICA































Ciecircncia



















italiana





Ackerman e Outros









especialistas












middot











Exemplos


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Exemplos


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24) Tabela verdade
















p ~p

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Apoacutes vamos



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Resolver

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semelhantes


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Leis de De Morgan



















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Arithmetic em 1830












com Hamilton







1871 em Londres


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1 V F F

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sua tabela verdade

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3 TEORIA DOS GRAFOS




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Grafos isomorfos









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criada


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conexas
















percorrida





















(Nilsson 1982)


4) Fluxos de rede













RJ LTC (2001)








(1981)










Jaacute sabemos que

n(M) + n(T) = 5 + 6 = 11

Entatildeo teremos

n(M) + n(T) = 11

n(M) + N(T) = 7


n(M) + n(M) + n(T) + n(T) = 11 + 7 = 18




n + n = 18

2n = 18

n = 9





2 LOacuteGICA































Ciecircncia



















italiana





Ackerman e Outros









especialistas












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Exemplos


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24) Tabela verdade
















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Apoacutes vamos



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Resolver

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Leis de De Morgan



















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3 TEORIA DOS GRAFOS




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Grafos isomorfos









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criada


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percorrida





















(Nilsson 1982)


4) Fluxos de rede













RJ LTC (2001)








(1981)










2 LOacuteGICA































Ciecircncia



















italiana





Ackerman e Outros









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Exemplos


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((p ^ q) rarr ~ p)







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24) Tabela verdade
















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Apoacutes vamos



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Resolver

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e por uacuteltimo

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Leis de De Morgan



















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Exemplo p ^~ p

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sua tabela verdade

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regras





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0 elemento zero






















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3 TEORIA DOS GRAFOS




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Grafos isomorfos









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percorrida





















(Nilsson 1982)


4) Fluxos de rede













RJ LTC (2001)








(1981)












Ciecircncia



















italiana





Ackerman e Outros









especialistas












middot











Exemplos


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da Terra

((p ^ q) rarr ~ p)







rarr






(((p ^ q) (~ r)) rarr ( p (~ q)))

24) Tabela verdade
















p ~p

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Apoacutes vamos



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((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)

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4) Fluxos de rede













RJ LTC (2001)








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Exemplos


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Exemplos


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24) Tabela verdade
















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Leis de De Morgan



















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Exemplo p ^~ p

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sua tabela verdade

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p






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3 TEORIA DOS GRAFOS




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percorrida





















(Nilsson 1982)


4) Fluxos de rede













RJ LTC (2001)








(1981)










Exemplos


conjuntos)


disjuntos)







Exemplos


da Terra

((p ^ q) rarr ~ p)







rarr






(((p ^ q) (~ r)) rarr ( p (~ q)))

24) Tabela verdade
















p ~p

V F

F V






p q p ^ q

V V V

V F F

F V F

F F F



p q p q

V V V

V F V

F V V

F F F



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V V V

V F F

F V V

F F V






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V V V

V F F

F V F

F F V










Ou exclusivo

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F F F

F V V

V F V




V V F




Apoacutes vamos



((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)

V V V V V V

V V F V F V

F V V F V F

F F F F F F

((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)

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F V V V F V F

F F F V F F F

((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)

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F F F F F

Resolver

primeiramente

depois




((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)

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((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)

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F F F F V F F F F

e por uacuteltimo

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agora este









= 4 linhas




V V V V V

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V F V F V

V F F F V

F V V F V

F V F F V

F F V F V

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expressa por



A B Q

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0











OU EXCLUSIVO


A B Q

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1



semelhantes


entre conjuntos









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p ~ p

1 V F

2 F V



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p

q

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1 V V V

2 V F V

3 F V V

4 F F F









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1 V V V

2 V F F

3 F V F

4 F F F











P p~ p ~ p

1 V F V

2 F V V

Leis de De Morgan



















a conseguiu








Arithmetic em 1830












com Hamilton







1871 em Londres


Exemplo p ^~ p

P ~ p p ^~ p

1 V F F

2 F V F





sua tabela verdade

Exemplo p rarr q

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1 V V V

2 V F F

3 F V V

4 F F V





regras





de 1850




todo p q r em B )









r)









operador bull





0 elemento zero






















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p

q








3 TEORIA DOS GRAFOS




num conjunto








































arcos dirigidos


















bipartido














Grafos isomorfos









tal que

















































er-1 vr






















































criada


subsequentes














maacuteximo de G






















































conexas
















percorrida





















(Nilsson 1982)


4) Fluxos de rede













RJ LTC (2001)








(1981)











(((p ^ q) (~ r)) rarr ( p (~ q)))

24) Tabela verdade
















p ~p

V F

F V






p q p ^ q

V V V

V F F

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F F F



p q p q

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Ou exclusivo

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Apoacutes vamos



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Resolver

primeiramente

depois




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((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)

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e por uacuteltimo

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expressa por



A B Q

0 0 0

0 1 1

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OU EXCLUSIVO


A B Q

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0 1 0

1 0 0

1 1 1



semelhantes


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Leis de De Morgan



















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Arithmetic em 1830












com Hamilton







1871 em Londres


Exemplo p ^~ p

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1 V F F

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sua tabela verdade

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3 F V V

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todo p q r em B )









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0 elemento zero






















p






p

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3 TEORIA DOS GRAFOS




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arcos dirigidos


















bipartido














Grafos isomorfos









tal que

















































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criada


subsequentes














maacuteximo de G






















































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(Nilsson 1982)


4) Fluxos de rede













RJ LTC (2001)








(1981)










p q p ^ q

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Apoacutes vamos



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Resolver

primeiramente

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e por uacuteltimo

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Leis de De Morgan



















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com Hamilton







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sua tabela verdade

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3 TEORIA DOS GRAFOS




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Grafos isomorfos









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criada


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(Nilsson 1982)


4) Fluxos de rede













RJ LTC (2001)








(1981)












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Ou exclusivo

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V V F




Apoacutes vamos



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Resolver

primeiramente

depois




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e por uacuteltimo

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Leis de De Morgan



















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3 TEORIA DOS GRAFOS




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conexas
















percorrida





















(Nilsson 1982)


4) Fluxos de rede













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(1981)










V V F




Apoacutes vamos



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V V V V V V

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Resolver

primeiramente

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Leis de De Morgan



















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Arithmetic em 1830












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Exemplo p ^~ p

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sua tabela verdade

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3 TEORIA DOS GRAFOS




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arcos dirigidos


















bipartido














Grafos isomorfos









tal que

















































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criada


subsequentes














maacuteximo de G






















































conexas
















percorrida





















(Nilsson 1982)


4) Fluxos de rede













RJ LTC (2001)








(1981)










((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)

V V V F V V V V

V V F F V F F V

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((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)

V V V F F V V V V

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e por uacuteltimo

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Leis de De Morgan



















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Arithmetic em 1830












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1871 em Londres


Exemplo p ^~ p

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sua tabela verdade

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3 TEORIA DOS GRAFOS




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bipartido














Grafos isomorfos









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percorrida





















(Nilsson 1982)


4) Fluxos de rede













RJ LTC (2001)








(1981)















= 4 linhas




V V V V V

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F V V F V

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OU EXCLUSIVO


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Leis de De Morgan



















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1871 em Londres


Exemplo p ^~ p

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1 V F F

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sua tabela verdade

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3 TEORIA DOS GRAFOS




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(Nilsson 1982)


4) Fluxos de rede













RJ LTC (2001)








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expressa por



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Leis de De Morgan



















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4) Fluxos de rede













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Leis de De Morgan



















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Exemplo p ^~ p

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(Nilsson 1982)


4) Fluxos de rede













RJ LTC (2001)








(1981)















p q

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Exemplo p ^~ p

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(Nilsson 1982)


4) Fluxos de rede













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(1981)










P p~ p ~ p

1 V F V

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Leis de De Morgan



















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com Hamilton







1871 em Londres


Exemplo p ^~ p

P ~ p p ^~ p

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sua tabela verdade

Exemplo p rarr q

P q p rarr q

1 V V V

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Grafos isomorfos









tal que

















































er-1 vr






















































criada


subsequentes














maacuteximo de G






















































conexas
















percorrida





















(Nilsson 1982)


4) Fluxos de rede













RJ LTC (2001)








(1981)











Arithmetic em 1830












com Hamilton







1871 em Londres


Exemplo p ^~ p

P ~ p p ^~ p

1 V F F

2 F V F





sua tabela verdade

Exemplo p rarr q

P q p rarr q

1 V V V

2 V F F

3 F V V

4 F F V





regras





de 1850




todo p q r em B )









r)









operador bull





0 elemento zero






















p






p

q








3 TEORIA DOS GRAFOS




num conjunto








































arcos dirigidos


















bipartido














Grafos isomorfos









tal que

















































er-1 vr






















































criada


subsequentes














maacuteximo de G






















































conexas
















percorrida





















(Nilsson 1982)


4) Fluxos de rede













RJ LTC (2001)








(1981)











sua tabela verdade

Exemplo p rarr q

P q p rarr q

1 V V V

2 V F F

3 F V V

4 F F V





regras





de 1850




todo p q r em B )









r)









operador bull





0 elemento zero






















p






p

q








3 TEORIA DOS GRAFOS




num conjunto








































arcos dirigidos


















bipartido














Grafos isomorfos









tal que

















































er-1 vr






















































criada


subsequentes














maacuteximo de G






















































conexas
















percorrida





















(Nilsson 1982)


4) Fluxos de rede













RJ LTC (2001)








(1981)














r)









operador bull





0 elemento zero






















p






p

q








3 TEORIA DOS GRAFOS




num conjunto








































arcos dirigidos


















bipartido














Grafos isomorfos









tal que

















































er-1 vr






















































criada


subsequentes














maacuteximo de G






















































conexas
















percorrida





















(Nilsson 1982)


4) Fluxos de rede













RJ LTC (2001)








(1981)






















p






p

q








3 TEORIA DOS GRAFOS




num conjunto








































arcos dirigidos


















bipartido














Grafos isomorfos









tal que

















































er-1 vr






















































criada


subsequentes














maacuteximo de G






















































conexas
















percorrida





















(Nilsson 1982)


4) Fluxos de rede













RJ LTC (2001)








(1981)













3 TEORIA DOS GRAFOS




num conjunto








































arcos dirigidos


















bipartido














Grafos isomorfos









tal que

















































er-1 vr






















































criada


subsequentes














maacuteximo de G






















































conexas
















percorrida





















(Nilsson 1982)


4) Fluxos de rede













RJ LTC (2001)








(1981)

































arcos dirigidos


















bipartido














Grafos isomorfos









tal que

















































er-1 vr






















































criada


subsequentes














maacuteximo de G






















































conexas
















percorrida





















(Nilsson 1982)


4) Fluxos de rede













RJ LTC (2001)








(1981)















arcos dirigidos


















bipartido














Grafos isomorfos









tal que

















































er-1 vr






















































criada


subsequentes














maacuteximo de G






















































conexas
















percorrida





















(Nilsson 1982)


4) Fluxos de rede













RJ LTC (2001)








(1981)


















bipartido














Grafos isomorfos









tal que

















































er-1 vr






















































criada


subsequentes














maacuteximo de G






















































conexas
















percorrida





















(Nilsson 1982)


4) Fluxos de rede













RJ LTC (2001)








(1981)



















Grafos isomorfos









tal que

















































er-1 vr






















































criada


subsequentes














maacuteximo de G






















































conexas
















percorrida





















(Nilsson 1982)


4) Fluxos de rede













RJ LTC (2001)








(1981)





















































er-1 vr






















































criada


subsequentes














maacuteximo de G






















































conexas
















percorrida





















(Nilsson 1982)


4) Fluxos de rede













RJ LTC (2001)








(1981)







































er-1 vr






















































criada


subsequentes














maacuteximo de G






















































conexas
















percorrida





















(Nilsson 1982)


4) Fluxos de rede













RJ LTC (2001)








(1981)


















er-1 vr






















































criada


subsequentes














maacuteximo de G






















































conexas
















percorrida





















(Nilsson 1982)


4) Fluxos de rede













RJ LTC (2001)








(1981)














































criada


subsequentes














maacuteximo de G






















































conexas
















percorrida





















(Nilsson 1982)


4) Fluxos de rede













RJ LTC (2001)








(1981)
















criada


subsequentes














maacuteximo de G






















































conexas
















percorrida





















(Nilsson 1982)


4) Fluxos de rede













RJ LTC (2001)








(1981)




























































conexas
















percorrida





















(Nilsson 1982)


4) Fluxos de rede













RJ LTC (2001)








(1981)












































conexas
















percorrida





















(Nilsson 1982)


4) Fluxos de rede













RJ LTC (2001)








(1981)























conexas
















percorrida





















(Nilsson 1982)


4) Fluxos de rede













RJ LTC (2001)








(1981)














percorrida





















(Nilsson 1982)


4) Fluxos de rede













RJ LTC (2001)








(1981)



















(Nilsson 1982)


4) Fluxos de rede













RJ LTC (2001)








(1981)













RJ LTC (2001)








(1981)











(1981)





