Topologia Diferencial y Variedades Con Borde

TOPOLOGIA DIFERENCIAL

VARIEDADES CON BORDE.

TRANSVERSALIDAD. APROXIMACION.

Enrique OutereloJesus M. Ruiz

Universidad Complutense de Madrid

Edicion revisada, 2012

Primera edicion ya agotada

publicada en 1998 por ADDISON-WESLEY.

v

Prefacio

Estas notas estan basadas en la experiencia obtenida al impartir diversos cur-sos de topologıa diferencial durante los ultimos diez anos en el Departamento deGeometrıa y Topologıa de la Facultad de Ciencias Matematicas de la UniversidadComplutense de Madrid. Se han recogido aquı los elementos basicos necesarios parapoder abordar a continuacion cualquiera de las atractivas aplicaciones de los metodosdiferenciales: grado, multiplicidad de interseccion, ındice de Lefschetz. Como ilustra-cion de esto, obtenemos varios resultados notables (teoremas de Brouwer, Jordan,Hopf) que muestran la importancia de las tecnicas desarrolladas. El contenido deeste libro pretende cubrir lo mas necesario de los temas citados para un semestre dedos horas semanales. Asımismo quiere ser, con los aligeramientos convenientes, unaprimera parte adecuada para un curso de geometrıa diferencial.

Es conveniente insistir en que este es un texto y no un tratado. Por ello laexposicion esta simplificada al maximo para alcanzar los resultados importantes dela forma mas directa posible. Asımismo, se elige una presentacion que pueda seguirselinealmente al impartir la materia, dejando poco espacio a comentarios marginalesque en un libro de otra naturaleza parecerıan imprescindibles. En la misma lınea, lasreferencias se reducen para ser lo mas autocontenido posible, y no hay demasiadoscomentarios historicos, que se encuentran facilmente en otras obras. Gracias a todoesto, por otra parte, conseguimos un libro ligero, lo que esperamos sea un atractivoadicional de nuestro trabajo.

En todo caso, cuatro obras deben ser citadas como fuente de nuestro trabajo:

J. Milnor: Topology from the differentiable viewpoint, University Press of Virginia,Charlottesville 1965.

V. Guillemin, S. Pollack: Differential topology, Prentice Hall, New Jersey 1974.

R. Abraham, J. Robbin: Transversal mappings and flows, Benjamin, New York1967.

vi Prefacio

E. Lima: Introducao a topologia diferencial, IMPA, Rio de Janeiro 1961.

Finalmente, hemos incluido una seleccion de problemas de dificultad y proceden-cia variadas, que permitan al lector contrastar los conocimientos adquiridos.

Madrid, Majadahonda Enrique Outerelo, Jesus M. RuizNoviembre 1997

vii

Contenido

viii Contenido

1

Capıtulo I

Variedades con borde

Las variedades son el medio en el que se desenvuelve hoy la Matematica. Esto es ası, en

gran medida, por la influencia de la Fısica y en particular de la Mecanica. En efecto, estas

disciplinas proponen los problemas clasicos del Analisis y de la Geometrıa (resolucion de

ecuaciones diferenciales o en derivadas parciales, calculo de longitudes y volumenes, rigidez

e isometrıas) para espacios de parametros sujetos a ligaduras. Es claro que esta presentacion

conduce de modo natural a las variedades, y hace necesario, primero, definirlas rigurosa-

mente y, segundo, extender a ellas el calculo diferencial clasico. Empezamos este capıtulo

definiendo en la seccion 1 las aplicaciones de clase r ≥ 0 en subconjuntos arbitrarios del

espacio afın Rm, ası como la nocion de difeomorfismo. Sin embargo, para el estudio de es-

tas aplicaciones es preciso restringirse a una clase especial de subconjuntos: las variedades.

Estas se definen en la seccion 2, en donde se describe con cuidado la nocion de interior

y borde de una variedad y su invarianza por difeomorfismos; tambien se definen la dimen-

sion y la codimension y se ven algunos ejemplos bien conocidos de variedades. La seccion

3 esta dedicada a uno de los utiles basicos de la materia: las particiones diferenciables de

la unidad. Para construirlas empezamos obteniendo las denominadas funciones separantes

de Urysohn. El fibrado tangente de una variedad se define en la seccion 4, para desarrollar

en variedades el calculo diferencial conocido en abiertos del espacio afın. El resultado final

de esta seccion es el teorema de inversion local para variedades con borde. En la seccion 5

se describe brevemente el producto de variedades. En la seccion 6 se demuestra que cual-

quier punto de una variedad puede desplazarse a voluntad hasta coincidir con otro dado:

es el teorema de existencia de difeotopıas. La seccion 7 esta dedicada a la orientacion de

variedades, mediante familias consistentes de orientaciones locales. Ademas se describe la

orientacion inducida en el borde de la variedad dada. Las dos ultimas secciones analizan

las nociones duales de inmersion y sumersion. La primera se estudia en la seccion 8, que

incluye su definicion y su forma local canonica de inclusion lineal. La de inmersion es pues

2 I. Variedades con borde

una nocion local, cuya contrapartida global es la de inmersion difeomorfica, que aparece

al final de la seccion. Finalmente, las sumersiones se definen en la seccion 9, en la que se

obtiene su forma local canonica de proyeccion lineal.

1. Calculo diferencial en subconjuntos del espacio afın

Se supone conocido el calculo diferencial en abiertos de espacios afines, del quebrevemente recordamos terminologıa y notaciones:

Aplicaciones diferenciables en abiertos afines. Sea r un entero ≥ 0. Dado unabierto U de Rm, una aplicacion f = (f1, . . . , fn) : U → Rn es de clase r si cadaaplicacion

∂kfi∂xj1 · · · ∂xjk

: U → R, 1 ≤ k ≤ r,

esta definida y es continua; si esto ocurre para todo r, entonces f es de clase ∞, ypara abreviar los enunciados se admite el valor ∞ para r. Decir que f es de clase0 significa simplemente que es continua. Si f es de clase r ≥ 1, su derivada en unpunto x ∈ U es la aplicacion lineal

Df(x) =

(∂fi∂xj

)1≤i≤n1≤j≤m

: Rm → Rn.

Se verifica ademas que

Df(x)(u) = lımt→0

f(x+ tu)− f(x)

t

(que se llama derivada direccional) para cada u ∈ Rm.

El concepto de aplicacion de clase r se extiende a subconjuntos arbitrarios delespacio afın del modo que se expone a continuacion. Como se acaba de explicar, ycomo se supone ya en lo sucesivo, r es un entero ≥ 0 o r =∞.

Definicion 1.1 Sea X ⊂ Rm un conjunto arbitrario. Se dice que una aplicacion f :X → Rn es de clase r si para cada x ∈ X existe una aplicacion f : U → Rn de claser definida en un entorno abierto U de x en Rm, de manera que f |X ∩U = f |X ∩U .Diremos que f es una extension local de f .

Observacion. Si el interior de X en Rm es denso en X, entonces la derivadaen un punto x ∈ X de una aplicacion f de clase r ≥ 1 es una aplicacion lineal

1. Calculo diferencial en subconjuntos del espacio afın 3

Df(x) : Rm → Rn bien definida. En efecto, si f1 y f2 son dos extensiones de f a unentorno abierto U de x, se tiene Df1(y) = Df2(y) para todo y en el interior de X,luego por continuidad y la hipotesis de densidad, Df1(x) = Df2(x) y esta aplicacionlineal es Df(x).

Esto interesa especialmente para los abiertos de los semiespacios

Hp = x ∈ Rp : λ(x) ≥ 0,

donde λ : Rp → R es una forma lineal no nula: estos son los modelos locales de lasvariedades. De hecho, al razonar con semiespacios lo habitual es reducirse al casoen que λ es la proyeccion coordenada (x1, . . . , xp) 7→ x1, con lo que Hp esta definidopor la desigualdad x1 ≥ 0.

En lo sucesivo, diremos aplicacion diferenciable para referirnos a una aplicacionde clase r ≥ 1. Destaquemos aquı que una aplicacion de clase 0 es continua, perono recıprocamente en general. En efecto, de clase 0 significa continua y localmenteextensible con continuidad. Esta extensibilidad local no se da para subconjuntosarbitrarios de Rm, aunque sı para subconjuntos localmente cerrados (teorema deextension de Tietze), y mas adelante veremos que las variedades lo son.

Propiedades. Las propiedades elementales en el caso habitual en que X es unabierto de Rm se extienden sin dificultad al caso general:

(1) Una aplicacion lineal (restringida a X) es diferenciable, y ella misma es supropia derivada en cualquier punto.

(2) La composicion de aplicaciones de clase r es de clase r, y si r ≥ 1, la derivadase calcula por la regla de la cadena:

D(g f)(x) = Dg(f(x)) Df(x),

cuando ambas derivadas estan definidas.

(3) Una aplicacion de clase r se puede definir por recubrimientos abiertos: sifi : Xi → Rn son aplicaciones de clase r definidas en abiertos Xi de X que lorecubren, de manera que cualesquiera dos fi coinciden en la interseccion de susdominios, entonces la aplicacion f : X → Rn dada por fi = f |Xi es de clase r.

(4) La restriccion de una aplicacion de clase r es de clase r.

(5) Si f : X → Rn es diferenciable, su derivada direccional en x ∈ X segun


u ∈ Rm se calcula por la formula

Df(x)(u) = lımt→0

f(x+ tu)− f(x)

t,

cuando el lımite del segundo miembro tenga sentido.

Definicion 1.2 Sean X ⊂ Rm, Y ⊂ Rn.

(1) Una aplicacion biyectiva f : X → Y es un difeomorfismo de clase r si tantof : X → Rn como f−1 : Y → Rm son de clase r.

(2) Una aplicacion f : X → Y es un difeomorfismo local de clase r en x ∈ X siexisten entornos abiertos U de x en X y V de f(x) en Y de modo que la restriccionf |U : U → V es un difeomorfismo de clase r.

Un difeomorfismo local entre abiertos de Rm se caracteriza infinitesimalmentemediante la derivada:

Teorema 1.3 Sea U ⊂ Rm un abierto, f : U → Rm una aplicacion de clase r ≥ 1 yx ∈ U . Entonces f es un difeomorfismo local de clase r en x si y solo si la derivadaDf(x) es un isomorfismo lineal.

Demostracion. La condicion necesaria es una consecuencia inmediata de la regla dela cadena, y la suficiente es el conocido teorema de inversion local.

2. Variedades con borde diferenciable

Definicion 2.1 Un subconjunto X de Rm es una variedad de clase r si para cadapunto x ∈ X existe un difeomorfismo ϕ : A → U de clase r de un abierto A de unsemiespacio Hp sobre un entorno abierto U de x en X. Un tal difeomorfismo ϕ sellama parametrizacion (local) de la variedad.

Si una variedad es de clase 0 se llama variedad topologica, y si es de clase r ≥ 1se llama variedad diferenciable.

Observaciones. (1) Una variedad es localmente homeomorfa a un semiespacioafın. En consecuencia, una variedad es localmente compacta y localmente conexa

2. Variedades con borde diferenciable 5

por caminos. Por lo ultimo, ademas, las componentes conexas de una variedad sonconjuntos abiertos y cerrados de la variedad.

(2) Un subconjunto abierto de una variedad es una variedad a su vez. En parti-cular, las componentes conexas de una variedad son variedades.

Si ϕ : A → U es una parametrizacion de la variedad X con x ∈ U y ϕ−1(x)esta en el interior del semiespacio Hp, se puede reducir A para que sea un abiertode Rp. En otro caso, esto no es posible. Para analizar esta cuestion rigurosamente,necesitamos el siguiente resultado elemental:

Lema 2.2 Sea W un abierto de Rp, λ : Rq → R una forma lineal no nula, yf : W → Rq una aplicacion diferenciable cuya imagen esta totalmente contenida enel semiespacio Hq = λ ≥ 0 ⊂ Rq. Si x ∈ W es tal que λ(f(x)) = 0, entoncesλ Df(x) ≡ 0.

Demostracion. Sea u ∈ Rp. Como Df(x)(u) = lımt→0f(x+tu)−f(x)

t , para cada ε > 0existe δ > 0 tal que ∥∥∥∥Df(x)(u)− f(x+ tu)− f(x)

t

∥∥∥∥ < ε

para 0 < |t| < δ. Ahora escribimos la identidad

t(Df(x)(u)− εut) = f(x+ tu)− f(x),

donde

ut =1

ε

(Df(x)(u)− f(x+ tu)− f(x)

t

)es un vector de norma ≤ 1. Aplicando λ resulta:

t (λ(Df(x)(u))− ελ(ut)) = λ(f(x+ tu)) ≥ 0,

por las hipotesis. Por tanto,si t < 0, λ(Df(x)(u)) ≤ ελ(ut) ≤ ε‖λ‖,si t > 0, λ(Df(x)(u)) ≥ ελ(ut) ≥ −ε‖λ‖.

En consecuencia, |λ(Df(x)(u))| ≤ ε‖λ‖, lo que siendo valido para ε arbitrario, im-plica que λ(Df(x)(u)) = 0.

Notese que la frontera de un semiespacio Hp = λ ≥ 0 es simplemente elespacio lineal ∂Hp = λ = 0, que tiene dimension p− 1 y es pues isomorfo a Rp−1.


Ası, el enunciado anterior compara esa frontera con las imagenes de una aplicaciondiferenciable y de su derivada. De esta comparacion se deduce ya el teorema deinvarianza del borde para variedades diferenciables:

Teorema 2.3 Sean X ⊂ Rm una variedad diferenciable, ϕ : A → U , A ⊂ Hp,ψ : B → V , B ⊂ Hd parametrizaciones de X, y a ∈ U ∩V . Entonces ϕ−1(a) esta enla frontera de Hp si y solo si ψ−1(a) esta en la de Hd.

Demostracion. Aplicando la regla de la cadena al difeomorfismo

f = ψ−1 ϕ : A′ = ϕ−1(U ∩ V )→ U ∩ V → ψ−1(U ∩ V ) = B′

vemos que Df(ϕ−1(a)) : Rp → Rd es un isomorfismo, con lo que p = d. Es claroademas que mediante un cambio lineal de coordenadas podemos suponer que lasdos aplicaciones lineales que definen los semiespacios son la misma proyeccion coor-denada λ : (x1, . . . , xp) 7→ x1. Ahora, supongamos que ϕ−1(a) /∈ 0 × Rp−1, perof(ϕ−1(a)) = ψ−1(a) ∈ 0 × Rp−1. Sea W = x1 > 0 ∩ A′, que es abierto en Rp ycontiene a ϕ−1(a). Resulta

f(W ) ⊂ f(A′) ⊂ B′ ⊂ Hp = x1 ≥ 0, λ(f(ϕ−1(a)) = λ(ψ−1(a)) = 0,

y concluimos segun el lema anterior que la derivada Df(ϕ−1(a)) tiene su imagencontenida en el nucleo de λ, que es el hiperplano x1 = 0. Esto significa que esaderivada no es un isomorfismo, contra lo que antes se senalo.

Por simetrıa se concluye la equivalencia.

En virtud de este resultado, la siguiente definicion no depende de parametriza-ciones y es consistente:

Definicion 2.4 Sea X ⊂ Rm una variedad diferenciable. Se dice que un puntox ∈ X esta en el interior (resp. borde) de X si para alguna parametrizacion ϕ :A → U , A ⊂ Hp con x ∈ U , ϕ−1(x) no esta (resp. ϕ−1(x) esta) en la frontera deHp; el conjunto de esos puntos se denota Int(X) (resp. ∂X). Diremos que X es unavariedad sin borde si ∂X = ∅; en caso contrario diremos que es una variedad conborde.

Corolario 2.5 Sea X ⊂ Rm una variedad de clase r ≥ 1.

(1) Int(X) es abierto en X y ∂X = X \ Int(X) es cerrado en X.

(2) Int(X) y ∂X son variedades de clase r, ambas sin borde.

2. Variedades con borde diferenciable 7

Demostracion. Sea ϕ : A→ U , A ⊂ Hp una parametrizacion de clase r. El conjuntoInt(A) = A \ ∂Hp = ϕ−1(U ∩ Int(X)) es abierto en Rp y la restriccion ϕ| : Int(A)→U ∩ Int(X) es un difeomorfismo de clase r. Asımismo ∂A = A∩∂Hp = ϕ−1(U ∩∂X)es abierto en ∂Hp ≡ Rp−1 y ϕ| : ∂A→ U ∩ ∂X es un difeomorfismo de clase r. Todoesto implica las afirmaciones del enunciado.

Es por lo anterior que a veces se emplea el termino variedad con borde diferen-ciable. En fin, tenemos:

Corolario 2.6 Sean X ⊂ Rm e Y ⊂ Rn variedades diferenciables y f : X → Y undifeomorfismo. Entonces f(∂X) = ∂Y .

Demostracion. Si ϕ : A → U ⊂ X es una parametrizacion de X, entonces f ϕ :A→ f(U) ⊂ Y lo es de Y .

Observacion. Nuestra definicion de aplicacion f : X → Y de clase r ≥ 1 dependede las inclusiones X ⊂ Rm, Y ⊂ Rn. Para variedades esto es solo aparente: f esde clase r ≥ 1 si y solo si para cada x ∈ X existen parametrizaciones de clase r,ϕ : A → U de X y ψ : B → V de Y con x ∈ U , f(x) ∈ V y f(U) ⊂ V , de maneraque la localizacion ψ−1fϕ : A→ B sea de clase r.

El comportamiento del borde es muy relevante para la manipulacion de aplica-ciones entre variedades. Para simplificar la exposicion de muchos resultados, intro-ducimos la terminologıa siguiente:

Definicion 2.7 Una aplicacion f : X → Y entre variedades conserva el borde enT ⊂ X si todo punto x ∈ T tiene un entorno U tal que f(U∩∂X) ⊂ ∂Y . Convenimosque esto se cumple trivialmente si T ⊂ Int(X).

Senalemos tambien que los resultados anteriores para el borde son asımismo vali-dos para variedades topologicas, sabiendo que el teorema 2.3 resulta en ese contextodel denominado teorema de invarianza del dominio: un homeomorfismo entre dossubconjuntos de Rn transforma el interior del uno en el interior del otro.

Dimension. (1) Sea X ⊂ Rm una variedad diferenciable, x ∈ X y

ϕ : A→ U, A ⊂ Hp; ψ : B → V, B ⊂ Hd,


parametrizaciones con x ∈ U ∩ V . Ya sabemos que debe ser p = d: este numero sellama dimension de X en x, y se denota dimxX. Notese que si x esta en el interior dela variedad, es dimx Int(X) = dimxX, y si x esta en el borde, dimx ∂X = dimxX−1.

Se llama dimension de X y se denota dimX, al maximo de las dimensionesdimxX, x ∈ X.

Destaquemos que, de nuevo por el teorema de invarianza del dominio, esta defi-nicion de dimension sirve tambien para variedades topologicas.

(2) Por la propia consistencia de la definicion, la dimension es localmente cons-tante, y por el argumento tıpico de conexion, constante en cada componente conexade X. En general, si la dimension es constante en todo X, decimos que X es dedimension pura. Es habitual reducirse a este caso, considerando separadamente cadacomponente conexa de la variedad dada.

Una variedad de dimension pura 1 se llama curva, y una de dimension pura 2 sellama superficie.

(3) Si X ⊂ Y son dos variedades de dimensiones p y q en un punto x ∈ X,denominamos codimension de X en Y en el punto x al numero codimx(Y,X) = q−p.Si esta codimension es constante se dice que la codimension es pura, y se denotacodim(Y,X).

Una variedad contenida en otra y de codimension pura 1 en ella se denominahipersuperficie.

Ejemplos. (1) El espacio afın Rp es una variedad diferenciable sin borde, de dimen-sion pura p.

(2) Un semiespacio Hp es una variedad diferenciable de dimension pura p, conborde el hiperplano ∂Hp, que es difeomorfo a Rp−1, y con interior difeomorfo a Rp.

(3) La esfera Sp = ‖x‖ = 1 ⊂ Rp+1 es una variedad diferenciable sin borde, dedimension pura p. Esto se puede ver utilizando dos proyecciones estereograficas, y,por ser la esfera compacta, es imposible hacerlo con menos de dos parametrizaciones.

(4) El disco cerrado Dp+1 = ‖x‖ ≤ 1 ⊂ Rp+1 es una variedad diferenciable dedimension pura p+ 1, con borde la esfera Sp e interior difeomorfo a Rp+1.

(5) El espacio proyectivo real Pn(R), considerado como subconjunto de RN via(x0 : . . . : xn) 7→ (xixj/

∑x2k) es una variedad diferenciable con parametrizaciones

ϕi : Rn → Pn(R) : (tj)j 6=i 7→ (t0 : . . . : 1 : . . . : tn).

3. Particiones diferenciables de la unidad 9

Espacio tangente. Sean X ⊂ Rm una variedad de clase r ≥ 1, ϕ : A → U unaparametrizacion, y x ∈ U ; sera A ⊂ Hp, p = dimxX. Como φ = ϕ−1 es de clase r, talvez reduciendo U , existe un abierto W de Rm tal que W∩X = U y una aplicacion φ :W → Rp de clase r tal que φ|U = φ. En consecuencia la composicion φϕ : A→ Rpes la inclusion canonica, y derivando resulta Id = Dφ(x) Dϕ(ϕ−1(x)) : Rp → Rp.Esto significa que Dϕ(ϕ−1(x)) es una aplicacion lineal inyectiva. Consideremos ahorauna segunda parametrizacion ψ : B → V con x ∈ V y la composicion

f = φ ψ : ψ−1(U ∩ V )→ U ∩ V → ϕ−1(U ∩ V ),

que es un difeomorfismo y cuya derivada Df(ψ−1(x)) es por tanto un isomorfismolineal. Tenemos el diagrama:

?*

HHHj

Rp

Rp

RmDf(ψ−1(x))

Dψ(ψ−1(x))

Dϕ(ϕ−1(x))

Como ϕ f=ψ por la regla de la cadena tenemos

Dϕ(ϕ−1(x)) Df(ψ−1(x)) = Dψ(ψ−1(x)),

y las dos aplicaciones lineales inyectivas Dϕ(ϕ−1(x)) y Dψ(ψ−1(x)) tienen la mismaimagen, que es un subespacio lineal de dimension p de Rm.

La ultima observacion justifica la siguiente definicion:

Definicion 2.8 Sea X ⊂ Rm una variedad de clase r ≥ 1 y x ∈ X. Para cualquierparametrizacion ϕ : A → U de X, A ⊂ Hp, con x ∈ U , la imagen de la aplicacionlineal Dϕ(ϕ−1(x)) : Rp → Rm se denomina espacio tangente a X en x y se denotaTxX.

Por lo anterior sabemos ademas que dimxX = dimTxX, y que Dϕ(ϕ−1(x)) esun isomorfismo de Rp sobre TxX.

3. Particiones diferenciables de la unidad

Las particiones continuas de la unidad tienen su version diferenciable, de usoimprescindible en muchas construcciones.


Funciones meseta. Utilizaremos las siguientes funciones de clase infinito de unavariable R→ [0, 1], cuyas graficas representamos junto a su definicion:

0

1

(1) f(t) =

0 si t ≤ 0

exp(−1/t) si t > 0

Observese que f ′(t) > 0 para t > 0 y f es creciente.

0 δ

1

(2) gδ(t) =f(t)

f(t) + f(δ − t) para δ > 0

Aquı f ′(t) > 0 para 0 < t < δ, y f es creciente.

AAA

0−δ

1

(3) hδ(t) = gδ(−t) para δ > 0

En este caso f ′(t) < 0 para −δ < t < 0, y f es decreciente.

La funcion meseta de la recta real es:

(4) µ1 = gδ(1 + t) · gδ(1− t)para 0 < δ < 1.

AAA

1−1

1

0

−1 + δ 1− δ

En fin, la funcion meseta general en Rp es:

(5) µ : Rp → [0, 1] : x 7→ µ1(‖x− a‖2/ε2)-

6

≡ 0 ≡ 1 a> 0κ

εr

donde 0 < κ = ε√

1− δ < ε. De esta manera, 0 < κ < ε se pueden fijar arbitraria-mente a priori.


Proposicion 3.1 (Funciones de Urysohn) Sea X ⊂ Rm una variedad de clase r ≥ 0.Para cualesquiera subconjuntos cerrados disjuntos no vacıos C,D de X existe unafuncion f : X → [0, 1] de clase r tal que f |C ≡ 0 y f |D ≡ 1. Una funcion ası sedenomina funcion separante.

Demostracion. Sea Wk un recubrimiento numerable de X por abiertos cuya adhe-rencia en X es compacta (que existe por ser X un subconjunto localmente compactode Rm), y definamos por recurrencia:

V0 = ∅; V1 = W1, K1 = V1, n1 = 1,

V2 = W1 ∪ · · · ∪Wn2 con n2 > n1 tal que K1 ⊂ V2, K2 = V2,

V3 = W1 ∪ · · · ∪Wn3 con n3 > n2 tal que K2 ⊂ V3, K3 = V3, etc.

Ası obtenemos una sucesion de abiertos V` y otra de compactos K` de modoque la primera recubre X y V` ⊂ K` ⊂ V`+1.

V`−1⊂V`⊂V`+1⊂V`+2

PPPPPi

K`+1 \ V`

U∗i9 Ui

Ahora, puesto que K`+1 \V` es compacto, se puede construir una coleccion finitade parametrizaciones ϕi : Ai → Ui de modo que

(1) Ui ⊂ V`+2 \K`−1 es abierto en X,

(2) Ai = B2(0) ⊂ Rp o Ai = B2(0) ∩Hp, siendo Hp = x1 ≥ 0,(3) los subconjuntos U∗i = ϕi(Ai ∩ ‖x‖ < 1) recubren K`+1 \ V`,(4) Ui ∩ C = ∅ o Ui ∩D = ∅.

(Es con los abiertos de (3) con los que se aplica la compacidad, y la ultima condicionresulta de ser los cerrados disjuntos.) Ahora definimos

gi : X → [0, 1] : x 7→µ ϕ−1

i (x) si x ∈ Ui,0 si x /∈ Ui


con la funcion meseta µ ≡ 1 en ‖x‖ ≤ 1, µ ≡ 0 en ‖x‖ ≥ 3/2.

Hecha esta construccion para todos los `, obtenemos la funcion separante si-guiente:

f =∑

Ui∩C=∅

gi/∑

gi.

En efecto, la suma es localmente finita por serlo la familia de los Ui por (1), y portanto numerador y denominador son de clase r como las parametrizaciones. Co-mo por (3) los U∗i recubren X, y vista la eleccion de µ, el denominador nunca seanula. Es claro, tambien por la eleccion de µ, que el numerador se anula en C. Fi-nalmente, por (4), en D numerador y denominador coinciden, luego f ≡ 1 en D.

Pasamos ya a la existencia de particiones de la unidad:

Teorema 3.2 Sea X ⊂ Rm una variedad de clase r ≥ 0 y sea Ui un recubri-miento abierto de X. Entonces existe una particion de la unidad θi de clase rsubordinada a Ui, es decir:

(1) Cada θi : X → [0, 1] es una funcion de clase r.

(2) Los soportes abiertos θi 6= 0 ⊂ X (y por tanto sus adherencias) son unafamilia localmente finita en X, y esta bien definida la suma

∑i θi que es ≡ 1.

(3) θi 6= 0 ⊂ Ui para cada i.

Demostracion. Empezamos tomando un refinamiento abierto localmente finito Vkde Uj. A continuacion tomamos dos contracciones sucesivas Wk de Vk y W ′kde Wk. En suma, tenemos dos recubrimientos abiertos de X W ′k y Wk talesque

W ′k ⊂Wk ⊂Wk ⊂ Vk ⊂ Ui(k).

Todas estas construcciones son de naturaleza puramente topologica y posibles porser X un subconjunto de Rm.

En esta situacion, los cerrados Ck = X \Wk y Dk = W ′k son disjuntos, y por laproposicion anterior, existe una funcion separante gk : X → [0, 1] de clase r, que es≡ 0 sobre X \Wk y ≡ 1 sobre W ′k. En particular, gk 6= 0 ⊂ Wk y esos soportesson una familia localmente finita. Por tanto, g =

∑k gk es de clase r, y, al ser los

Dk un recubrimiento, siempre ≥ 1. Finalmente, para cada i, sea

θi =∑

k : i(k)=i

gk/g : X → R.


Las propiedades que debemos comprobar ahora son de naturaleza local, ası quefijamos x ∈ X y un entorno abierto W de x que corta exactamente a Vk1 , . . . , Vks .En ese entorno tenemos

θi|W =∑

` : i(k`)=i

gk`/g : W → R

que es una suma finita, luego de clase r. Asımismo en W∑iθi =

∑`gk`/g ≡ 1,

pues los restantes gk se anulan identicamente en W . Ademas

θi 6= 0 ∩W ⊂ gk1 6= 0 ∪ · · · ∪ gks 6= 0 ⊂ Vk1 ∪ · · · ∪ Vks ,

y los θi 6= 0 son una familia localmente finita. Por ultimo,

θi 6= 0 ∩W ⊂⋃

` : i(k`)=i

gk` 6= 0 ⊂⋃

` : i(k`)=i

Wk` ,

y por ser W abierto

θi 6= 0 ∩W ⊂⋃

` : i(k`)=i

Wk` ⊂⋃

` : i(k`)=i

Ui(k`) = Ui.

Una propiedad interesante que resulta facilmente de la existencia de particionesde la unidad es el siguiente teorema de extension de Tietze para funciones de clase:

Proposicion 3.3 Sea X ⊂ Rm un conjunto arbitrario y f : X → Rn una aplicacionde clase r ≥ 0. Entonces existe una aplicacion f : U → Rn de clase r que esta defi-nida en un abierto U de Rm que contiene a X y que extiende a f , esto es, tal quef |X = f .

Demostracion. Por definicion de aplicacion de clase r, podemos recubrir X porabiertos Ui de Rm en cada uno de los cuales esta definida una extension fi de clase rde f |Ui ∩X. Tenemos ası un recubrimiento abierto de U =

⋃i Ui, que es un abierto

de Rm, y existe una particion de la unidad θi : U → [0, 1] de clase r subordinadaa Ui. La extension global buscada es f =

∑i θifi.

Observese que si en la demostracion anterior anadimos un abierto mas a los Ui,a saber, Rm \X con cualquier funcion como extension, se consigue que U contengatodo Rm excepto tal vez algunos puntos adherentes a X. De este modo, f se extiendea cualquier abierto que contenga a X y en el que X sea cerrado.


4. Calculo diferencial en variedades

Veremos a continuacion como formar una variedad diferenciable con todos losespacios tangentes a una dada. Esta nueva variedad juega un papel importante enla construccion de invariantes.

Definicion 4.1 Sea X ⊂ Rm una variedad de clase r ≥ 1 y dimension pura p.Ponemos

TX = (x, u) ∈ X × Rm : u ∈ TxX ⊂ X × Rm ⊂ Rm × Rm

y denotamos τ : TX → X la restriccion de la proyeccion lineal

Rm × Rm → Rm : (x, u) 7→ x.

El par (TX, τ), denotado simplemente TX, se denomina fibrado tangente de X.

Resulta claro que τ es una aplicacion diferenciable, cuya fibra sobre un punto deX se identifica con el espacio tangente a X en ese punto. Ademas τ tiene una inversapor la derecha, denominada seccion nula del fibrado: x 7→ (x, 0). Esta seccion nulaes claramente diferenciable, y un difeomorfismo sobre su imagen X × 0 ⊂ TX.

Proposicion 4.2 En la situacion anterior, TX ⊂ R2m es una variedad de claser − 1, dimension pura 2p, y borde ∂ TX = τ−1(∂X).

Demostracion. Consideremos una parametrizacion ϕ : A→ U y φ = ϕ−1. Entonces

ϕ∗ : A× Rp → U∗ = (U × Rm) ∩ TX : (a, t) 7→ (ϕ(a), Dϕ(a)(t))

es una parametrizacion de TX.

En efecto, claramente U∗ es abierto en TX ⊂ X ×Rm. Ademas, ϕ∗ es biyectivapor serlo ϕ y cada derivada Dϕ(a) : Rp → Tϕ(a)X. Asımismo es claro que ϕ∗ es de

clase r − 1, que es la clase de la aplicacion Dϕ. En fin, veamos que φ∗ = ϕ∗−1 estambien de clase r − 1. Para ello elegimos φ : W → Rp de manera que: φ es unaaplicacion de clase r en el abierto W ⊂ Rm de modo que W ∩X = U y φ|U = ϕ−1.Se sigue que la composicion φϕ : A→ Rp es la inclusion canonica, y derivando porla regla de la cadena queda

Id = Dφ(ϕ(a)) Dϕ(a) : Rp → Rp

4. Calculo diferencial en variedades 15

para cada a ∈ A. En consecuencia, si z = Dϕ(a)(t) ∈ Tϕ(a)X ⊂ Rm resulta t =Dφ(ϕ(a))(z), lo que muestra que la aplicacion

φ∗ : W × Rm → Rp × Rp : (x, u) 7→ (φ(x), Dφ(x)(u))

es una extension de clase r − 1 de φ∗.

De todo lo anterior resulta el enunciado, observando para la afirmacion relativaal borde que ∂(A× Rp) = (∂A)× Rp.

Sean X ⊂ Rm e Y ⊂ Rn dos variedades de clase r ≥ 1 y f : X → Y unaaplicacion de clase r, es decir, que para cada punto x ∈ X existe una aplicacionf : U → Rn de clase r definida en un entorno abierto U de x en Rm y tal quef |U ∩X = f |U ∩X. Sea y = f(x).

Proposicion 4.3 En la situacion anterior:

(1) Df(x)(TxX) ⊂ TyY .

(2) La restriccion dxf : TxX → TyY de Df(x) : Rm → Rn solo depende de f y node la extension f elegida.

Demostracion. Despues de una eleccion adecuada de entornos U de x en Rm y Vde y en Rn, existen parametrizaciones ϕ : A→ U ∩X, ψ : B → V ∩ Y de modo quef(U) ⊂ V , y consideramos la localizacion

Uf

V⋃ ⋃U ∩X V ∩ Y

f

ϕ ψ

Hp ⊃ Ag

B ⊂ Hq

6 6-

-

-

a

x

x

b

y

y

6

‖

6

‖

-

-

-

donde g = ψ−1fϕ es de clase r y x = ϕ(a). Ahora si z ∈ TxX, sera z = Dϕ(a)(t)con t ∈ Rp, y se tiene

Df(x)(z) = Df(ϕ(a))Dϕ(a)(t) = Dψ(b)Dg(a)(t) ∈ TyY,

lo que muestra (1). Pero ademas, el segundo miembro no depende de la extensionf , y se sigue (2).


Definicion 4.4 De nuevo en la situacion anterior:

(1) La aplicacion lineal dxf : TxX → TyY se llama derivada de f en x.

(2) La aplicacion df : TX → TY : (x, z) 7→ (f(x), dxf(z)) se llama derivada de f .

Observaciones. (1) La demostracion anterior muestra como calcular la derivadavia localizaciones (en lugar de extensiones), a saber

dxf = Dψ(ψ−1(f(x))) D(ψ−1fϕ)(ϕ−1(x)) Dϕ(ϕ−1(x))−1.

(2) La derivada es una aplicacion de clase r−1, pues es la restriccion de (x, z) 7→(f(x), Df(x)(z)).

(3) La derivada de la identidad es la identidad: d(IdX) = IdTX .

(4) La derivada de una aplicacion constante f :x 7→ y0 es nula: df(x, z) = (y0, 0).

(5) Regla de la cadena: d(g f) = dg df .

El teorema de inversion local para variedades con borde tiene la siguiente forma:

Teorema 4.5 Una aplicacion f : X → Y de clase r ≥ 1 es un difeomorfismo localde clase r en x ∈ X si y solo si la derivada dxf : TxX → Tf(x)Y es un isomorfismolineal y f conserva el borde en x.

Demostracion. Supongamos primero que f es un difeomorfismo local en x: existenentornos abiertos U de x y V de f(x) de manera que la restriccion h = f |U : U → Ves un difeomorfismo. Por el teorema de invarianza del borde, f(∂U) = ∂V . Ademas,por la regla de la cadena, y denotando g = h−1, resulta

IdTxX = df(x)g dxh, IdTf(x)Y = dxh df(x)g,

luego dxf = dxh es un isomorfismo lineal.

Veamos a continuacion la otra implicacion. Primero localizamos como antes yobtenemos un diagrama

Xf

Y⋃ ⋃U V

f |

ϕ ψ

Hp ⊃ AgB ⊂ Hq

6 6-

-

-

a

x

x

b

y

y

6

‖

6

‖

-

-

-

4. Calculo diferencial en variedades 17

donde U es un entorno abierto de x en X y V uno de y = f(x) en Y tales quef(U) ⊂ V , f(U ∩ ∂X) ⊂ ∂Y , ϕ y ψ son parametrizaciones, y g = ψ−1 (f |U) ϕ;ademas, denotamos a = ϕ−1(x) y b = ψ−1(y). Las hipotesis significan:

(1) Dg(a) : Rp → Rq es un isomorfismo lineal (luego p = q), y

(2) g(A ∩ ∂Hp) ⊂ ∂Hp.

Distinguiremos dos casos:

Caso en que x /∈ ∂X, o sea, a /∈ ∂Hp. Entonces W = A \ ∂Hp es un entornoabierto de a en Rp y g|W : W → Rp es una aplicacion diferenciable cuya derivada ena ∈ W es un isomorfismo lineal. Por el teorema de inversion local para abiertos delespacio afın, existen entornos abiertos A∗ ⊂ A y B∗ ⊂ B de a y b en Rp de modo queg|A∗ : A∗ → B∗ es un difeomorfismo. Resulta que la restriccion de f a U∗ = ϕ(A∗)es un difeomorfismo sobre f(U∗) = ψ(B∗), y f es un difeomorfismo local en x.

Caso en que x ∈ ∂X, o sea, a ∈ ∂Hp. Podemos suponer que Hp es el semiespaciot1 ≥ 0 de modo que su borde es t1 = 0. Reduciendo A, encontramos un entornoabierto W de a en Rp y una extension diferenciable g : W → Rp de g. EntoncesDg(a) = Dg(a) es isomorfismo y de nuevo por el teorema de inversion local paraabiertos afines, reduciendo W , g es un difeomorfismo sobre un entorno abierto de ben Rp. Reduciendo mas, podemos suponer que g(W ) es una bola euclıdea abierta Dde centro b y radio ε > 0. Por (2), se cumple

g(W ∩ t1 = 0) = g(A ∩ t1 = 0) ⊂ t1 = 0,

y queremos demostrar que

g(W ∩ t1 < 0) ⊂ t1 < 0,

pues esto implica que g| : A∗ = W ∩ Hp → B∗ = D ∩ Hp es un difeomorfismo yf |U∗ : U∗ = ϕ(A∗)→ ψ(B∗) otro.

sss s s ss s

Wg−→D

tt′

γ(s)

A∗g(t′)

g(t)?

Supongamos pues que existe t ∈W ∩ t1 < 0 tal que g(t) ∈ t1 ≥ 0. Elegimost′ ∈W ∩ t1 > 0, y sabemos que g(t′) ∈ t1 ≥ 0. Pero por el caso ya demostrado,


g(t′) /∈ t1 = 0. Ahora definimos un arco continuo

γ : [0, 1]→ [g(t), g(t′)]→W : s 7→ (g|W )−1((1− s)g(t) + sg(t′)

)(esta definicion es viable porque D∩t1 ≥ 0 es convexo y g|W es un difeomorfismo).Se tiene γ(0) = t ∈ t1 < 0, γ(1) = t′ ∈ t1 > 0, y por conexion, existe s 6= 0, 1tal que γ(s) ∈ t1 = 0. Por (2) se deduce

g(γ(s)) ∈ t1 = 0 ∩ [g(t), g(t′)],

conjunto que como mucho consiste en el punto g(t). Concluimos γ(s) = t y s = 0 loque es una contradiccion.

Ejemplo. Sean X ⊂ R2 el disco cerrado de centro (1, 0) y radio 1, Y el semiespacio(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 y f : X → Y la inclusion canonica. Entonces d(0,0)f = Id,pero f(∂X) ⊂/ ∂Y . No se cumplen pues las condiciones del teorema, ni la conclusion:f no transforma ningun entorno del origen en X en uno del origen en Y .

R2

Y

XU

Observacion. Sea f : X → Y un difeomorfismo local en x ∈ X. Entonces existenparametrizaciones ϕ : A → X y ψ : A → Y con igual dominio A, x ∈ ϕ(A), f(x) ∈ψ(A), de manera que la localizacion g = ψ−1fϕ es la identidad en A.

En efecto, sea U un entorno de x en X tal que f |U sea un difeomorfismo sobreun entorno V de f(x) en Y , y elijamos cualquier parametrizacion ϕ : A → X conx ∈ ϕ(A) ⊂ U . Entonces ψ = f ϕ : A → Y es una parametrizacion de Y quecumple lo dicho.

5. Producto de variedades

Sean X ⊂ Rm, Y ⊂ Rn dos variedades de clase r ≥ 0, una sin borde (quepodemos suponer es Y , ya que la permutacion de coordenadas Rm×Rn → Rn×Rm

5. Producto de variedades 19

es un difeomorfismo). Entonces X × Y ⊂ Rm × Rn es una variedad de clase r, conborde ∂(X × Y ) = (∂X)× Y . Ademas, si (x, y) ∈ X × Y

dim(x,y)(X × Y ) = dimxX + dimy Y,

y si r ≥ 1T(x,y)(X × Y ) = TxX × TyY.

En efecto, sean ϕ : A → U , A ⊂ Hp, una parametrizacion de X con x ∈ U yψ : B → V , B ⊂ Rq, una de Y con y ∈ V . Resulta que ϕ× ψ : A× B → U × V esuna parametrizacion de X × Y con (x, y) ∈ U × V . Como se tiene D(ϕ×ψ)(x, y) =Dϕ(x) × Dψ(y) : Rp × Rq → Rm × Rn, se sigue la afirmacion sobre los espaciostangentes.

Se comprueba inmediatamente que una aplicacion

h = (f, g) : Z → X × Y : z 7→ (f(z), g(z))

es de clase r ≥ 0, si y solo si lo son f : Z → X y g : Z → Y . Ademas, si r ≥ 1, severifica

dzh = (dzf, dzg) : TzZ → Tf(z)X × Tg(z)Y : u 7→ (dzf(u), dzg(u)).

Derivadas parciales. Sea f : X × Y → Z una aplicacion. Para cada x ∈ Xdenotamos por fx : Y → Z la aplicacion parcial y 7→ f(x, y); asımismo se definepara cada y ∈ Y la aplicacion parcial fy : X → Z : x 7→ f(x, y). Ahora supongamosque f es de clase r ≥ 1. Entonces, todas las fx, x ∈ X, y fy, y ∈ Y , son de claser, y las aplicaciones lineales dxfy : TxX → Tf(x,y)Z y dyfx : TyY → Tf(x,y)Z sedenominan derivadas parciales, y se denotan respectivamente

∂f

∂x(x, y),

∂f

∂y(x, y).

De este modo, se tiene la formula:

d(x,y)f(u, v) =∂f

∂x(x, y)(u) +

∂f

∂y(x, y)(v),

para (u, v) ∈ TxX × TyY = T(x,y)(X × Y ).

Ejemplo. El producto S1×S1⊂ R4 es una superficie diferenciable sin borde, difeo-morfa al toro T ⊂ R3 de ecuacion 16(x2+ y2)=(x2+ y2+ z2+ 3)2 obtenido rotandoalrededor del eje z la circunferencia unidad del plano (y, z) de centro (2, 0).


6. Difeotopıas

Las variedades diferenciables son objetos homogeneos, lo que, sin entrar en ma-yores tecnicismos, significa que sus puntos son globalmente indistinguibles. Haremosrigurosa esta idea mediante la nocion siguiente:

Definicion 6.1 Sea X una variedad de clase r ≥ 1. Se llama difeotopıa de clase rde X a una aplicacion F : [0, 1]×X → X de clase r tal que:

(1) F (0, x) = x para todo x ∈ X.

(2) Todas las aplicaciones parciales Ft : X → X, 0 ≤ t ≤ 1, son difeomorfismos.

Si F es una difeotopıa, se dice que F es la identidad fuera de un conjunto K ⊂ Xsi para x /∈ K y 0 ≤ t ≤ 1 se tiene Ft(x) = x.

Observacion. Dada una difeotopıa F : [0, 1] ×X → X, todos los difeomorfismosFt conservan las componentes conexas. En efecto, si Z es una componente conexa,la imagen T = Ft(Z) es otra; veamos que T = Z. Fijado a ∈ Z, el camino conexoγ = F ([0, t] × a) conecta al punto a = F (0, a) ∈ Z con el punto F (t, a) ∈ T . Portanto, Z ∪ γ ∪ T es conexo, y como Z y T son componentes conexas, coinciden.

Ahora, la homogeneidad mencionada antes se expresa ası:

Teorema 6.2 Sea X una variedad de clase r ≥ 1, sin borde y conexa, y sean x, ydos puntos de X. Entonces existe una difeotopıa F : [0, 1]×X → X tal que:

(1) F1(x) = y,

(2) F es la identidad fuera de un conjunto compacto.

Resumiremos esto diciendo que el punto x esta conectado al punto y por la di-feotopıa F . Observese que, en particular, x se transforma en y por un difeomorfismohomotopo a la identidad.Demostracion. En primer lugar demostramos una version local del enunciado:

(a) Cada punto a ∈ X tiene un entorno U cuyos puntos estan todos conectadoscon a por una difeotopıa que es la identidad fuera de un compacto.

Fijemos a ∈ X y un entorno suyo V . Vamos a demostrar que a se puede conectarcon todos los puntos de cierto U ⊂ V mediante una difeotopıa del propio V que

6. Difeotopıas 21

es la identidad fuera de un compacto K ⊂ V . Tal difeotopıa se podra extenderpor la identidad a todo X, y habremos terminado. Ası planteado, mediante unaparametrizacion de X podemos suponer simplemente que V = Rp y a ∈ Rp es elorigen. Sea ρ : R→ [0, 1] una funcion meseta como la de la figura.

A

AA

ε−ε

1

0

Consideramos el maximoM = maxy |ρ′(y)| > 0, y el U que buscamos es la bola decentro el origen a = 0 y radio 1/M . Para probarlo, sea b ∈ U ; claramente, despuesde un giro en Rp = R × Rp−1, podemos suponer b = (c, 0, . . . , 0), 0 < c < 1/M .Tomamos ahora una funcion meseta τ : Rp−1 → [0, 1] que es ≡ 1 en la bola de radioε y ≡ 0 fuera de la bola de radio δ, y la difeotopıa que conecta a y b es:

H : [0, 1]× R× Rp−1 → R× Rp−1 : (t, x) = (t, y, z) 7→ (y + tρ(y)τ(z)c, z).

En efecto, es inmediato que H0 es la identidad y que H1 transforma a = 0 enb = (c, 0). Ademas, se verifica:

(i) Si x = (y, z) ∈ Rp cumple ‖x‖ ≥√ε2 + δ2, entonces |y| ≥ ε o ‖z‖ ≥ δ, con lo

que ρ(y)τ(z) = 0 y H(t, x) = x.

De esto deducimos que H es la identidad fuera del conjunto compacto K = ‖x‖ ≤√ε2 + δ2 ⊂ V . Por otra parte:

(ii) Para cualesquiera t, z fijos, la aplicacion ht,z : R → R dada por: y 7→ y +tρ(y)τ(z)c es biyectiva.

En efecto, ht,z es estrictamente creciente, pues su derivada es

1 + tρ′(y)τ(z)c ≥ 1−Mc > 0,

y ht,z no esta acotada superior ni inferiormente, pues

|y| − |tρ(y)τ(z)c| ≥ |y| − 1/M →∞

cuando |y| → ∞.

De esto resulta que cada aplicacion parcial Ht : (y, z) 7→ (ht,z(y), z) es biyectiva,y para concluir que es un difeomorfismo es suficiente ver que lo es localmente. Por


el teorema de inversion local, esto se sigue de que

det(DHt(y, z)

)=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 + tρ′(y)τ(z)c ∗

0

1 0. . .

0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1 + tρ′(y)τ(z)c > 0.

Una vez probado el resultado local (a), necesitamos el siguiente lema que permitela globalizacion:

(b) Dos difeotopıas que conectan a con b y b con c dan lugar a una tercera queconecta a con c. Si las dos primeras eran la identidad fuera de sendos com-pactos, la tercera lo es tambien fuera de otro.

Sean F (1), F (2) : [0, 1] × X → X dos difeotopıas de clase r, tales que F(1)1 (a) = b,

F(2)1 (b) = c. Suponemos que F (1) es la identidad fuera del compacto K(1) y queF (2) lo es fuera del compacto K(2). Consideramos una funcion diferenciable mesetaη : [0, 1]→ [0, 1] segun el dibujo

0 13

23 1

1

η(t) = g 13(t− 1

3)

y definimos

F : [0, 1]×X → X : (t, x) 7→

F (1)(η(2t), x) para 0 ≤ t ≤ 1

2

F (2)(η(2t− 1), F(1)1 (x)) para 1

2 ≤ t ≤ 1

Se tiene:

(i) F0 = F(1)0 = IdX , F1(a) = F

(2)1 (F

(1)1 (a)) = c,

(ii) Ft = F(1)1 para 2

3 ≤ 2t ≤ 1, esto es, 13 ≤ t ≤

12 , y

(iii) Ft = F(2)0 F (1)

1 = F(1)1 para 0 ≤ 2t− 1 ≤ 1

3 , esto es, 12 ≤ t ≤

23 .

(iv) Si x /∈ K = K(1) ∪K(2), entonces F (1)(t, x) = F (2)(t, x) = x, y distinguiendolos posibles valores de t resulta de inmediato que F (t, x) = x.

Ası pues, F es una difeotopıa de clase r que conecta a con c y es la identidad fueradel compacto K. Hemos concluido (b).

6. Difeotopıas 23

Podemos ya completar la demostracion del teorema. Sean a, b dos puntos cua-lesquiera de X. Por (a), podemos recubrir X con abiertos U en cada uno de loscuales dos puntos pueden siempre conectarse por una difeotopıa de clase r que es laidentidad fuera de un compacto. Por ser la variedad X conexa, extraemos de esosU una cadena U1, . . . , Us con a ∈ U1, b ∈ Us, y puntos xi ∈ Ui ∩ Ui+1 6= ∅. Ahoraaplicando (b) sucesivamente a las ternas a, x1, x2; a, x2, x3; a, x3, x4, etc., obtenemosuna difeotopıa de clase r que conecta a con b y cumple (2).

Observaciones. (1) La demostracion muestra de hecho que el compacto fuera delcual la difeotopıa es la identidad esta contenido en cualquier conjunto abierto conexofijado previamente que contenga los dos puntos x e y.

(2) Claramente, el resultado se extiende al caso en que X tenga borde, si losdos puntos x e y no estan en ese borde. Por otra parte, por la invarianza del bordepor difeomorfismos, el resultado no se cumple si uno de los puntos esta en el bordey el otro no. De hecho, como las difeotopıas conservan las componentes conexas, elresultado falla si estando los dos puntos en el borde, estan en componentes distintas.

(3) Si tenemos dos puntos en la misma componente conexa del borde de X lademostracion anterior se adapta sin dificultad. En la parte local observamos que:

(i) La difeotopıa H de Rp fija la ultima componente xp de todos los puntosx ∈ Rp, luego deja invariante el semiespacio Hp : xp ≥ 0 y su borde xp = 0, y

(ii) Es suficiente hacer el giro preparatorio en las variables x1, . . . , xp−1 dejandofija la variable xp, pues para un punto b del borde la ultima coordenada ya es nula.

Ası se obtiene una version local para conectar puntos del borde. La demostracionse concluye con una cadena U1, . . . , Us obtenida usando la conexion de la compo-nente conexa del borde que contiene los dos puntos iniciales.

Corolario 6.3 Sea X una variedad conexa sin borde de clase r ≥ 1 y dimension ≥2, y sean x1, . . . , xn, y1, . . . , yn puntos distintos de X. Entonces existe una difeotopıaF de clase r que conecta xi con yi para i = 1, . . . , n, y que es la identidad fuera deun conjunto compacto.

Demostracion. El abierto W = X \ xn, yn es conexo por la hipotesis sobre ladimension, y por induccion, existe una difeotopıa F (1) : [0, 1] × W → W queconecta xi con yi para i = 1, . . . , n − 1, y es la identidad fuera de un conjun-to compacto K ⊂ W . Por esto ultimo, podemos extender F (1) a una difeotopıade todo X mediante F (1)(t, xn) = xn, F (1)(t, yn) = yn. De modo similar, paraX \ x1, . . . , xn−1, y1, . . . , yn−1 encontramos otra difeotopıa F (2) de X que conecta


xn con yn y es la identidad fuera de un compacto L que no contiene ninguno de lospuntos x1, . . . , xn−1, y1, . . . , yn−1. Finalmente, componemos F (1) y F (2) como en elapartado (b) de la demostracion del teorema anterior.

Observaciones. (1) Por el corolario anterior, dados una cantidad finita de puntosxi en una variedad conexa sin borde X de dimension ≥ 2 y una parametrizacionϕ : Rp → U ⊂ X, existe un difeomorfismo f de X tal que las imagenes f(xi) estantodas en U . En consecuencia, ψ = f−1 ϕ : Rp → f−1(U) es una parametrizacionen cuya imagen estan todos los xi.

(2) Si la dimension es 1, el corolario es falso: no hay ningun difeomorfismo hde la recta real R que transforme t = 0, 1, 2 en h(t) = 5, 3, 4 pues tal h debe sermonotono. En realidad esta es la unica obstruccion: dadas dos colecciones ordenadasx1 < · · · < xn, y1 < · · · < yn de puntos de R, existe una difeotopıa que conecta xicon yi y es la identidad fuera de un compacto. Dejamos al lector la tarea de deduciresto de I.6.2.

(3) Igual que se indico en las observaciones tras la demostracion de I.6.2, el co-rolario se extiende a variedades con borde: (i) si los puntos involucrados son todosinteriores o (ii) si cada dos puntos xi, yi que esten en el borde estan en una mismacomponente del borde. En este ultimo caso, si el borde tiene dimension 1 debe te-nerse en cuenta la observacion (2) anterior. No explicitamos los detalles.

7. Orientacion

Orientacion de espacios vectoriales. (1) Una orientacion en un espacio vectorialE de dimension p ≥ 1 es una clase de equivalencia de bases ordenadas para larelacion: B ≡ B′ si detB B′ > 0, donde, como es habitual, denotamos por detB B′ eldeterminante cuyas columnas son las coordenadas respecto de B de los vectores deB′. Con esta definicion hay exactamente dos orientaciones posibles, y la eleccion deuna de ellas ζ determina para cada base B un signo signζ B = +1 o −1 segun B ∈ ζo B /∈ ζ. Si es conveniente hacer referencia explıcita al espacio E, denotaremos ζE .Dada ζ la otra posible orientacion se denota −ζ.

La orientacion canonica de E = Rp es la que da signo positivo a la base canonica(1, 0, . . . , 0), . . . , (0, . . . , 0, 1). Se denotara por ζp

Si E = 0 convenimos tambien la existencia de dos orientaciones, +1 y −1.

7. Orientacion 25

(2) Para manipular cambios de coordenadas necesitaremos el siguiente hecho,que es un sencillo ejercicio de algebra lineal. Sean α : E → E′ un isomorfismo lineal,ζ y ζ ′ orientaciones de E y E′ respectivamente, B ∈ ζ, B′ ∈ ζ ′, y M la matriz de αrespecto de esas dos bases. Entonces son equivalentes:

(i) detM > 0, (ii) α(B) ∈ ζ ′, (iii) α(B1) ∈ ζ ′ para cualquier B1 ∈ ζ

Si se cumplen esas condiciones decimos que α conserva la orientacion, si no, queα la invierte. Escribiremos respectivamente α(ζ) = ζ ′ y α(ζ) = −ζ ′.

(3) (Suma de orientaciones) Si E es la suma directa E = E1 ⊕ E2 de dossubespacios, dos orientaciones ζ(1), ζ(2) de esos subespacios determinan una uni-ca ζ = ζ(1) ⊕ ζ(2) de E como sigue: se toman bases Bi ∈ ζ(i), i = 1, 2, y B = B1 ∪B2

es una base de E que determina ζ.

(4) (Producto de orientaciones) Si E es el producto E = E1 × E2 de otros dosespacios vectoriales, dos orientaciones ζ(1), ζ(2) de esos espacios determinan unaunica ζ = ζ(1) × ζ(2) de E. Para construirla se eligen bases u1, . . . , up de E1 yv1, . . . , vq de E2 positivas para las orientaciones respectivas ζ(1) y ζ(2). Entonces(u1, 0), . . . , (up, 0), (0, v1), . . . , (0, vq) es una base de E1 ×E2 y la orientacion corres-pondiente a esa base es ζ.

Definicion 7.1 Sea X ⊂ Rm una variedad diferenciable.

(1) Una orientacion de X en un punto x ∈ X es una orientacion ζx del espaciovectorial TxX.

(2) Una orientacion de X es una familia consistente ζ = ζxx∈X de orientacionesde X en todos sus puntos, lo que significa que para cada z ∈ X existe unaparametrizacion ϕ : A → U , A ⊂ Hp, con z ∈ U , tal que para todo x ∈ U esdxϕ

−1(ζx) = ζp. Diremos que ϕ es compatible con ζ.

Si existe una orientacion ζ de X diremos que X es orientable, y una vez realizadauna eleccion de ζ diremos que X esta orientada; a veces, cuando sea convenientehacer referencia explıcita a la variedad X, escribiremos ζX .

En la practica, las variedades se orientan mediante recubrimientos abiertos comose describe a continuacion.

Construccion de orientaciones. Sea X una variedad diferenciable. Se compruebainmediatamente que si X es orientable existe una familia de parametrizaciones ϕ :


A → U cuyas imagenes U recubren X y tal que dt′(ϕ−1 ϕ′)(ζp) = ζp si ϕ′(t′) ∈

U ∩ U ′. Recıprocamente, dada una tal familia de parametrizaciones, la eleccion deuna orientacion ζa en un punto a ∈ X se extiende a toda la componente conexa quelo contiene, mediante

ζϕx = dtϕ(εζp)

para x = ϕ(t) ∈ U , con ε = +1 o −1 de modo que para x = a se obtenga ζa. Estadefinicion de ε es posible por la hipotesis sobre las parametrizaciones. Ademas laconstruccion es consistente, pues si tomamos otra parametrizacion ϕ′ : A′ → U ′ conϕ′(t′) = x es

ζϕ′

x = dt′ϕ′(εζp) = dtϕ dt′(ϕ−1 ϕ′)(εζp) = dtϕ(εζp) = ζϕx .

De este modo, X es orientable y hemos construido dos orientaciones diferentes porcada componente conexa. De hecho esas son todas las que hay.

Claramente, basta probar que fijado a ∈ X, ζx esta determinado por ζa parax suficientemente proximo a a. Para ello fijemos una parametrizacion cualquieraϕ : A → U con a ∈ U . Sea por otra parte ψ : B → V una parametrizacion cona ∈ V y tal que ζx = dψ−1(x)ψ(ζp) para todo x ∈ V . Reduciendo los abiertos U y Vpodemos suponer que son iguales y conexos. Tenemos:

ζx = dψ−1(x)ψ(ζp) = dϕ−1(x)ϕ dψ−1(x)(ϕ−1 ψ)(ζp) = dϕ−1(x)ϕ(εψ(x)ζp),

siendo εψ(x) el signo del determinante de dψ−1(x)(ϕ−1ψ). Como εψ : U → +1,−1

es continua y U conexo, el signo de ese determinante es constante, digamos igual aε, y resulta:

ζx = dϕ−1(x)ϕ(εζp).

En particular,ζa = dϕ−1(a)ϕ(εζp),

lo que determina ε en funcion de ζa y ϕ. En suma, ζa y ϕ determinan ζx para todox ∈ U , lo que concluye el argumento.

De esta manera, una variedad orientable conexa tiene exactamente dos orienta-ciones, que de modo natural se denominan opuestas. Si consideramos una variedadorientada X, entonces denotaremos por −X la misma variedad con la orientacionopuesta.

Aun podemos reformular la construccion anterior de un modo que sera util masadelante:

7. Orientacion 27

Proposicion 7.2 Sea X ⊂ Rm una variedad diferenciable. Son equivalentes:

(1) X es orientable.

(2) Para cualesquiera dos abiertos U, V ⊂ X difeomorfos a Rp, si dos orientacion-es ζU y ζV coinciden en un punto de ambos, entonces coinciden en toda suinterseccion U ∩ V .

En particular, X es orientable si y solo si lo es su interior Int(X).

Demostracion. Supongamos primero X orientable. Observamos entonces para pro-bar (2) que si ζU y ζV coinciden en a ∈ U ∩ V , podemos elegir una orientacionζ de X que asımismo coincida con las anteriores en ese punto. En consecuencia,restringiendo del modo evidente, como U y V son conexos obtenemos ζ|U = ζU yζ|V = ζV , luego ζU y ζV coinciden con ζ, y por tanto entre sı, en cada punto deU ∩ V .

U, ζU

V, ζV

ζU=ζV ζU=ζV ?

A continuacion, supongamos (2). Fijemos un punto a ∈ Int(X) y una orientacionζa en el espacio tangente TaX. Ahora, para cada entorno abierto U de a difeomorfo aRp, elegimos la orientacion ζU que en a coincide con ζa. Por la hipotesis, esto definebien una orientacion ζW en el abierto W union de todos los U . Pero W es la compo-nente conexa de Int(X) que contiene al punto a: segun vimos utilizando difeotopıas,cualesquiera dos puntos de esa componente estan contenidos en la imagen de unaparametrizacion cuyo dominio es Rp. Ası, fijado un punto a en cada componente co-nexa de Int(X), determinamos una orientacion ζx en cada punto x ∈ Int(X). Ahora,para cada z∈∂X se elige una parametrizacion ϕ :A→ U ⊂ X con A ⊂ Hp y z∈U ,tal que dxϕ

−1(ζx) = ζp para x ∈U \ ∂X, y se define ζz = dϕ−1(z)ϕ(ζp). Esto defineconsistentemente una orientacion en X.

Observaciones y ejemplos. (1) Los espacios afines, las esferas, el toro, son varie-dades orientables. El lector puede construir orientaciones de modo explıcito, aunquemas adelante veremos metodos mejores para hacerlo.


(2) La ultima proposicion proporciona el criterio de no orientabilidad mas intui-tivo posible, a saber, que existan dos abiertos (difeomorfos a Rp) U y V , dos orien-taciones ζU y ζV , y dos puntos a, b ∈ U ∩ V de modo que ζU,a = ζV,a y ζU,b 6= ζV,b.Este es el argumento tıpico para ver que la banda de Moebius no es orientable.

(3) El plano proyectivo no es orientable. En efecto, se puede aplicar el criterioanterior a los complementos de dos rectas proyectivas distintas. En realidad estose debe a que el plano proyectivo menos el punto de interseccion de las dos rectaselegidas es una banda de Moebius.

A continuacion estudiaremos la relacion entre las posibles orientaciones de unavariedad y de su borde. Para ello introducimos una nocion nueva:

Proposicion y Definicion 7.3 Sean X una variedad diferenciable, x ∈ ∂X ydimxX = p+1 ≥ 2. Sea u ∈ TxX. Si para alguna parametrizacion ϕ : [0, ε)×A→ Ucon x ∈ U se tiene u = dϕ−1(x)ϕ(t, t1, . . . , tp) con t < 0, entonces esto se tiene paracualquier otra. En ese caso u ∈ TxX \Tx(∂X), y decimos que u es un vector tangenteexterior.

Demostracion. Empecemos por observar que ϕ−1(x) = (0, a), con a ∈ A ⊂ Rp,y por ello Tx(∂X) = d(0,a)ϕ(0 × Rp). Se deduce que ningun vector tangenteu = dϕ−1(x)ϕ(t, t1, . . . , tp) con t 6= 0 puede ser tangente al borde. La situacion estareflejada en la figura.

HHHHHH

HH

sX

x

u

∂X

Tx∂X

Pasemos ahora a analizar si el signo de t depende de la parametrizacion ϕ.Sea ψ : [0, δ) × B → V otra parametrizacion con x ∈ V . Derivando ψ−1 ϕ en(0, a) = ϕ−1(x) resulta

d(0,a)(ψ−1 ϕ)(t, t1, . . . , tp) = dxψ

−1(u) = (s, s1, . . . , sp).

Ahora escribimos ψ−1 ϕ(z, z1, . . . , zp) = (λ(z, z1, . . . , zp), . . . ) y obtenemos

s =∂λ

∂z(0, a) t+

∑1≤i≤p

∂λ

∂zi(0, a) ti .

7. Orientacion 29

Como ψ−1 ϕ conserva el borde, λ(0, z1, . . . , zp) ≡ 0, con lo que ∂λ∂zi

(0, a) = 0 para

1 ≤ i ≤ p. Ademas, como d(0,a)(ψ−1 ϕ) es isomorfismo, λ ≥ 0 y λ(0, a) = 0, es

∂λ∂z (0, a) > 0. Por todo esto concluimos que t > 0 si y solo si s > 0.

Proposicion 7.4 Sea X una variedad orientable de dimension p +1 ≥ 2, pura,con borde diferenciable ∂X 6= ∅. Fijemos una orientacion ζ de X. Se elige para cadax ∈ ∂X un vector tangente exterior ux ∈ TxX y otros p vectores u1, . . . , up ∈ Tx(∂X)que formen una base ux, u1, . . . , up de TxX positiva para la orientacion ζx. Seaentonces ∂ζx la orientacion de Tx(∂X) definida por la base ordenada u1, . . . , up.La familia ∂ζ de todas esas orientaciones ∂ζx es una orientacion bien definida en∂X.

Demostracion. Basta ver que si ϕ : [0, ε) × A → U es una parametrizacion de Xcompatible con −ζ, entonces la parametrizacion del borde ϕ| : 0 × A → U ∩ ∂Xes compatible con ∂ζ. Consideremos la base ux, u1, . . . , up usada para definir ∂ζx,y denotemos

dϕ−1(x)ϕ : (t, t∗), (0, z1), . . . , (0, zp) 7→ ux, u1, . . . , up.

Como ϕ es compatible con −ζ resulta que la base (t, t∗), (0, z1), . . . , (0, zp) es negati-va en ζp+1 y como t < 0 por ser ux exterior, calculando el determinante concluimosque la base z1, . . . , zp es positiva en ζp.

Ejemplos. (1) Sea X = x1 ≥ 0 ⊂ Rp+1, que es orientable y orientamos conζ = ζp+1|X. Entonces la orientacion inducida en ∂X = 0 × Rp es ∂ζ = −ζp.

En efecto, un vector tangente exterior es (−1, 0, . . . , 0), y para obtener unabase positiva de la orientacion canonica le anadimos los vectores (0,−1, 0, . . . , 0),(0, 0, 1, 0, . . . , 0), etc. Se sigue nuestra afirmacion.

(2) El disco cerrado Dp+1 = ‖x‖ ≤ 1 ⊂ Rp+1 es una variedad orientable, cuyoborde es la esfera Sp. Esto da una forma comoda de describir una orientacion ζ deesa esfera. En efecto, un vector tangente exterior en el punto x ∈ Sp es el propio x,luego u1, . . . , up ∈ TxSp definen ζx si det(x, u1, . . . , up) > 0. Siempre supondremos laesfera orientada de esta manera. En particular, si consideramos un punto a ∈ Sp y suantipodal −a, los espacios tangentes TaSp y T−aSp coinciden ambos con el hiperplanoH ortogonal a la recta que une a con −a. Entonces ζa y ζ−a son dos orientacionesde ese mismo espacio vectorial H, y de modo bastante natural se tiene ζ−a = −ζa.


En efecto, u1, u2, . . . , up ∈ H definen ζa si det(a, u1, u2, . . . , up) > 0, lo que equi-vale a det(−a,−u1, u2, . . . , up) > 0, con lo que −u1, u2, . . . , up definen ζ−a.

Convenio. Cuando p = 0, orientamos el borde segun la siguiente figura:s s s-

− +

Orientacion de un producto de variedades orientadas. Si X e Y estanorientadas podemos orientar el producto Z = X × Y mediante ζz = ζx × ζy. paracada z = (x, y) ∈ Z.

Para comprobar que esta definicion es viable basta multiplicar dos parame-trizaciones ϕ de X y ψ de Y compatibles con las orientaciones respectivas. Seanu1, . . . , up una base de TxX que defina ζx y v1, . . . , vq una de TyY que defina ζy.Entonces la orientacion ζz esta definida por (u1, 0), . . . , (up, 0), (0, v1), . . . , (0, vq)y se tiene:

dz(ϕ× ψ)−1 :

(ui, 0) 7→ (dxϕ

−1(ui), 0) = wi(0, vj) 7→ (0, dyψ

−1(vj)) = w′j

y puesto que los dxϕ−1(ui) son una base positiva de ζp y los dyψ

−1(vj) una de ζq,concluimos que los wi, w

′j son una de ζp+q.

Ejemplo. Una situacion interesante se presenta al aplicar lo que hemos visto hastaaquı al caso particular de un cilindro, esto es, a una variedad producto Z = [0, 1]×X,(orientamos Y = [0, 1] para que la orientacion inducida en los dos puntos 0, 1 delborde ∂Y sea −1,+1 respectivamente, vease la figura). Calculemos la orientacioninducida en ∂Z. Denotamos X0 = 0 × X y X1 = 1 × X, de modo que ∂Z =X0 ∪X1.

En primer lugar, para cada z = (t, x) ∈ Z tenemos TzZ = Tt[0, 1] × TxX =R × TxX y tomando una base u1, . . . , up positiva para ζx construimos la base(1, 0), (0, u1), . . . , (0, up) que define la orientacion ζz. Ahora para un punto (0, x) ∈X0 consideramos una parametrizacion ϕ : A→ U de X con x ∈ U , y la aplicacion

ψ0 : [0, ε)×A→ [0, ε)× U : (t, a) 7→ (t, ϕ(a))

es una parametrizacion de Z. Un vector tangente exterior de Z es entonces v0 =(−1, 0), y comparando con la descripcion anterior de la orientacion producto con-cluimos que ∂ζ(0,x) = −ζx. Ahora, para (1, x) ∈ X1 y ϕ como antes, definimos

ψ1 : [0, ε)×A→ (1− ε, 1]× U : (t, a) 7→ (1− t, ϕ(a)),

7. Orientacion 31

con lo que un vector tangente exterior es v1 = (1, 0) y se tiene ∂ζ(1,x) = ζx.

6 6 6

- -

?

-

0 t 1

ζYY

x

X

ζX(0, x)v0

∂ζZ

(t, x)

ζ(t)

(1, x)

∂ζZ

v1

Z

s s s s

ss s

Por otra parte, jt : X → Z : x 7→ (t, x) es un difeomorfismo de X sobre el nivelXt = t ×X ⊂ Z, y obtenemos una orientacion ζ(t) para Xt. En particular, paraX0 e X1 obtenemos ζ(0) y ζ(1), y el calculo precedente muestra que

∂ζ|X0 = −ζ(0), ∂ζ|X1 = ζ(1).

Representamos este resultado del modo mas intuitivo

∂([0, 1]×X) = X1 −X0.

Terminamos esta seccion describiendo sucintamente como afecta un difeomorfis-mo a la orientacion.

Definicion 7.5 Sean X e Y dos variedades orientadas mediante ζX y ζY respecti-vamente, y sea f : X → Y un difeomorfismo local en a ∈ X. Decimos que f conservala orientacion en a si lo hace su derivada, es decir, si daf(ζX,a) = ζY,f(a); en casocontario decimos que f invierte la orientacion en a.

Para determinar el comportamiento de f segun la definicion anterior basta to-mar dos parametrizaciones ϕ : A→ X y ψ : B → Y , a ∈ ϕ(A), ϕ(A) ⊂ f−1(ψ(B)),compatibles con ζX y ζY respectivamente y estudiar el signo del determinante jaco-biano detD(ψ−1 f ϕ)(ϕ−1(a)): si es positivo, f conserva la orientacion en a, y sies negativo la invierte. Vemos ademas que lo que pase en a pasa en todo un entornode a (donde el signo de ese determinante permanezca constante). En particular, sif es un difeomorfismo de un entorno abierto conexo U de a sobre otro V de f(a),f conserva (resp. invierte) la orientacion en todos los puntos de U si y solo si laconserva (resp. invierte) en a.


Como ejemplo sencillo de lo anterior, el lector puede comprobar que cualquierproyeccion estereografica de una esfera Sp sobre el espacio afın Rp conserva la orien-tacion.

Mas adelante utilizaremos el siguiente hecho:

Proposicion 7.6 Sea F : [0, 1]×X → X una difeotopıa de una variedad orientadaX. Entonces, todos los difeomorfismos Ft conservan la orientacion.

Demostracion. Como las difeotopıas conservan las componentes conexas, podemossuponer X conexa, en cuyo caso, los Ft conservan la orientacion si y solo si laconservan en un punto cualquiera a ∈ X que fijamos en lo que sigue. Ahora, sea t ∈[0, 1]; elegimos una parametrizacion ψ : B → V ⊂ X compatible con la orientacionde X, tal que ψ(0) = Ft(a). Entonces F−1(V ) es un entorno de (t, a), y existen unaparametrizacion ϕ : A → U ⊂ X con a = ϕ(0) y un entorno J ⊂ I de t, de modoque F (J × U) ⊂ V . Con estas condiciones, la aplicacion

δ : J → R : s 7→ detD(ψ−1 Fs ϕ)(0)

esta bien definida y es continua. Como ψ,ϕ y los Fs son difeomorfismos, δ no se anulanunca, y tiene signo constante en un entorno de t. En suma, para s suficientementecerca de t, el difeomorfismo Fs conserva o invierte la orientacion segun lo haga Ft.Se deduce de esto por conexion que todos los Ft conservan o invierten la orientacionsimultaneamente. Como F0 es la identidad, F0 la conserva, luego todos la conservan.

8. Inmersiones

La definicion de variedad que hemos adoptado es por naturaleza sumergida, loque evita los problemas relacionados con la nocion de subvariedad, que aquı nohemos introducido de modo tecnico. Sin embargo, es muy importante analizar losdistintos modos en que una variedad dada se representa dentro de otras. De eso nosocupamos en esta seccion.

Definicion 8.1 Una aplicacion diferenciable f : X → Y es una inmersion en x ∈ Xsi su derivada dxf : TxX → Tf(x)Y es inyectiva. Si esto ocurre para todo x ∈ Xdecimos que f es una inmersion.

8. Inmersiones 33

Un caso sencillo pero util que conviene senalar aquı: si f tiene inversa por laizquierda, entonces tambien la tiene su derivada en cualquier punto, que es portanto inyectiva, y f es inmersion.

Proposicion 8.2 Sea f : X → Y una aplicacion diferenciable. Los puntos de X enlos que f es una inmersion forman un conjunto abierto.

Demostracion. Como es una afirmacion de naturaleza local, podemos suponerX = A abierto en Hp e Y = B abierto en Hq. Entonces f es una inmersion enx ∈ A si y solo si el rango de la matriz jacobiana (∂fi(x)/∂xj)i,j es p ≤ q. Como pes el mayor rango posible, esta es una condicion abierta.

Para el estudio de las inmersiones es basico disponer de las denominadas formascanonicas.

Teorema 8.3 (Forma local canonica de una inmersion con valor interior) Sea f :X → Y una aplicacion diferenciable, y a ∈ X tal que f(a) ∈ Int(Y ). Entonces, fes inmersion en a si y solo si existen parametrizaciones ϕ : A ⊂ Hp → U ⊂ X, ψ :B ⊂ Hq → V ⊂ Y de manera que a ∈ U, f(U) ⊂ V y la localizacion correspondientetiene la forma

ψ−1fϕ(x1, . . . , xp) = (x1, . . . , xp, 0, . . . , 0).

Demostracion. La condicion suficiente es trivial. Veamos la necesaria. Es claro quepara demostrarla podemos suponer X = A1 abierto de Hp, Y = B1 abierto de Rq conp ≤ q, y elegida una extension diferenciable f : U1 → B1 de f con U1 abierto en Rpy U1∩Hp = A1. Entonces Df(a) = daf : Rp → Rq es inyectiva, y un menor de ordenp de la matriz jacobiana

(∂fi(a)/∂xj

)i,j

es no nulo. Permutando las coordenadas deRq, lo que es admisible en este caso por ser B1 abierto de Rq, podemos suponer

0 6= ∆ = det

∂f1∂x1

(a) · · · ∂f1∂xp

(a)...

...∂fp∂x1

(a) · · · ∂fp∂xp

(a)

Consideramos ahora la aplicacion diferenciable

h : U1 × Rq−p → Rq : (x, x′) 7→ f(x) + (0, x′)


cuyo determinante jacobiano en a es

det

∂f1∂x1

(a) · · · ∂f1∂xp

(a)...

...∂fp∂x1

(a) · · · ∂fp∂xp

(a)

0

∗1

. . .

1

= ∆ 6= 0.

Por el teorema de inversion local, obtenemos el siguiente diagrama:

Rp ⊃

Hp ⊃

U

A

∩-

loc

:f |=A1∩U -

f |

U ×W6

V

ψ = h|⊂ h−1(B1)→

⊂ B1 ⊂

U1 × Rq−p

6h

Rq

donde U,W y V son abiertos suficientemente pequenos. Ası, ψ = h|U ×W es unaparametrizacion, y para x ∈ A se tiene

h(x, 0) = f(x) si y solo si (x, 0) = h−1f(x) = h−1f(x)

como se pretendıa.

Ejemplo. La aplicacion f : X = R → Y = H2 : t 7→ (t2, t) es diferenciable, y suderivada en t = 0 es d0f : R→ R2 : x 7→ (0, x), con lo que f es una inmersion.

X = R

rt -f

Y = x ≥ 0r(t2, t)

Sin embargo, no puede tener la forma canonica del teorema. Supongamos que latuviera:

R ⊃

0 ∈ϕ

A

U

6-

-

6

f |

g

locB

V

ψ

: s 7→ g(s)

⊂ H2

8. Inmersiones 35

siendo A un intervalo abierto y g(s) = (s, 0) o (0, s). En el primer caso, como ψ esdifeomorfismo, conserva el borde, y se tendrıa ψ(g(A) \ ∂H2) = f(U) \ ∂H2. Peroesto es imposible, pues g(A) \ ∂H2 = A × 0 es conexo y f(U) \ ∂H2 no lo es. Enel otro caso, f(U) = ψ(g(A)) = ψ(0 ×A) ⊂ ∂H2, lo que no se cumple.

Corolario 8.4 Sea f : X → Y una aplicacion diferenciable, y a ∈ X tal quef(a) ∈ Int(Y ). Entonces, f es inmersion en a si y solo si a tiene un entorno abiertoU ⊂ X tal que la restriccion f |U : U → f(U) es un difeomorfismo.

Demostracion. Supongamos dado U tal que f |U : U → f(U) es un difeomorfismo.Entonces f(U) es una variedad y la derivada da(f |U) : TaU → Tf(a)f(U) es unisomorfismo lineal. Pero TaU = TaX, y daf : TaX → Tf(a)Y es la composicion delisomorfismo lineal anterior y la inclusion Tf(a)f(U) ⊂ Tf(a)Y . Por tanto, daf esinyectiva y f es una inmersion en a.

Recıprocamente, si f es inmersion en a, elegimos una localizacion como en elteorema, y el corolario se sigue de que la aplicacion lineal x 7→ (x, 0) es un difeomor-fismo de Rp sobre Rp × 0 ⊂ Rq.

Ejemplos. El resultado anterior es de naturaleza exclusivamente local.

(1) La lemniscata f : R→ R2 : t→( t

1 + t4, t3

1 + t4)

es el contraejemplo habitual.

La imagen es como se ve en la figura:

lımt→−∞ f1(t) = lımt→+∞ f2(t) = 0

lımt→−∞f1(t)f2(t) = 0+

lımt→+∞f1(t)f2(t) = 0+

Es claro que f no es homeomorfismo de ningun entorno de t = 0 sobre uno def(t) = (0, 0) en f(R): la rama vertical siempre falta.

(2) Otro ejemplo interesante lo constituyen los solenoides. Empezamos por pa-rametrizar el toro T = S1 × S1 mediante

f : R2 → T : (s, t) 7→ (cos 2πs, sen 2πs, cos 2πt, sen 2πt).

Luego elegimos una recta ` ⊂ R2 de pendiente irracional, y consideramos la res-triccion f |` : ` → T . Obtenemos ası una inmersion cuya imagen es densa, de lo


que resulta facilmente que f(`) no es una variedad. La siguiente figura visualiza laconstruccion identificando el toro con el espacio cociente de R2 por el subgrupo Z2.

`

Los ejemplos anteriores conducen al siguiente concepto:

Definicion 8.5 Una inmersion f : X → Y se llama difeomorfica cuando es unhomeomorfismo sobre su imagen f(X).

Por ejemplo, dos puntos interiores cualesquiera y0, y1 de una variedad conexa Y sepueden conectar por un arco diferenciable, esto es, existe una inmersion difeomorficaγ : [0, 1]→ Y tal que γ(0) = y0 y γ(1) = y1. (En efecto, esto es claro para Y = Rq,al que nos reduce una difeotopıa, segun la observacion (2) del corolario 6.3.)

En realidad se tiene:

Teorema 8.6 Una aplicacion diferenciable f : X → Y es una inmersion difeomor-fica si y solo si f : X → f(X) es un difeomorfismo.

Demostracion. La suficiencia es evidente, pues si f : X → f(X) es un difeomorfismo,es por supuesto homeomorfismo, y f : X → Y es inmersion por el corolario 8.4.Supongamos ahora que f : X → Y es una inmersion y un homeomorfismo sobre laimagen. En particular, f : X → Rn es tambien inmersion, y por la forma canonicatenemos, dado a ∈ X

x - (x, 0)difeo sobre la imagen

Hp ⊃ A - B ⊂ Rq

difeo 6ϕ ψ 6difeo

a ∈ U −→ V ∩ f(X) ⊂ V ∩ Y ⊂ V ⊂ Rnj

f |

8. Inmersiones 37

donde A es abierto de Hp, U de X, B de Rq y V de Rn. Ahora, como f : X → f(X)es homeomorfismo, f(U) es abierto de f(X), y reduciendo los abiertos involucradospodemos suponer f(U) = V ∩ f(X). En consecuencia, f : U → f(U) es un difeo-morfismo. Como f : X → f(X) es biyectiva, de esta conclusion local se sigue que esun difeomorfismo.

Corolario 8.7 Sea f : X → Y una aplicacion de clase r ≥ 1, y supongamos que Yno tiene borde. Entonces:

(1) La aplicacion Γf : X → X × Y : x 7→ (x, f(x)) es una inmersion difeomorfica,y su imagen, el grafo Gf = (x, f(x)) : x ∈ X, es una variedad de clase rcon borde ∂Gf = (x, f(x)) : x ∈ ∂X.

(2) La derivada de Γf es la aplicacion

Γdxf : TxX → TxX × Tf(x)Y : u 7→ (u, dxf(u)).

(3) El espacio tangente al grafo de f es el grafo de la derivada, esto es, la imagende la aplicacion anterior:

T(x,f(x))Gf = Gdxf = (u, dxf(u)) : u ∈ TxX ⊂ TxX × Tf(x)Y.

Corolario 8.8 (Parametrizaciones adaptadas) Sean X ⊂ Y ⊂ Rn variedades declase r ≥ 1, x ∈ X \∂Y , dimxX = d. Existe entonces una parametrizacion ϕ : B →V de Y de clase r con x ∈ V , tal que X ∩ V = ϕ

(B ∩ (Hd × 0)

).

Demostracion. La inclusion j : X → Y es una inmersion: por la regla de la cadena,dxj : TxX → TxY es simplemente la inclusion entre dos subespacios lineales de Rn,luego es inyectiva. Por tanto su forma local canonica es

Hp ⊃ A -g B : x 7→ (x, 0)

ϕ ψ6 6

X ∩ V = U ⊂ V ⊂ Y

donde V es abierto de Y . En conclusion

X ∩ V = ψ(g(A)), g(A) = B ∩ (Hp × 0)

tal vez reduciendo A y B.


Observaciones. (1) Una variedad X ⊂ Rm es un conjunto localmente cerrado enRm.

En efecto, X se puede recubrir con abiertos V de Rm imagen de parametriza-ciones adaptadas (tomese Y = Rm en el corolario anterior), con lo que X ∩ V escerrado en V , y en consecuencia X es cerrado en el abierto

⋃V .

(2) Como senalamos en su momento, por el teorema de extension de Tietze,una funcion continua es de clase 0 (o sea, localmente extensible con continuidad)si su dominio es localmente cerrado. En particular, si su dominio es una varie-dad diferenciable. Esto ultimo resulta inmediatamente usando cartas adaptadas:cualquier funcion continua Hp × 0 → Rm se extiende componiendo con

(x1, . . . , xp, xp+1, . . . , xm) 7→ (|x1|, x2, . . . , xp, 0, . . . , 0).

Corolario 8.9 Sean X ⊂ Y ⊂ Rn variedades diferenciables. Supongamos que X ⊂Int(Y ), y dimxX = dimx Y para cada x ∈ X. Entonces, si Y es orientable, lo es X.

Demostracion. Por la condicion sobre las dimensiones, resulta que TxX = TxY paracada x ∈ X. En consecuencia una orientacion de X es una familia de orientacionespara los espacios vectoriales TxY , x ∈ X, que cumplen la condicion de compatibili-dad con parametrizaciones de X. Usando parametrizaciones adaptadas, basta tomaruna orientacion ζ de Y y restringirla a X.

Observese que si en este corolario X no tiene borde, entonces X es abierto en Y .

9. Sumersiones

El concepto dual de inmersion es el siguiente:

Definicion 9.1 Una aplicacion diferenciable f : X → Y es una sumersion en x ∈ Xsi su derivada dxf : TxX → Tf(x)Y es suprayectiva. Si esto es ası para cada puntox de un conjunto C ⊂ X, decimos que f es una sumersion en C; si C = X decimossimplemente que f es una sumersion.

Hacemos aquı una observacion analoga a la que se hizo para inmersiones. Si ftiene una inversa por la derecha g, entonces su derivada en cada punto de C = g(Y )

9. Sumersiones 39

tambien la tiene, y es por tanto suprayectiva. En consecuencia, f es sumersion enC.

De nuevo, tenemos una condicion abierta.

Proposicion 9.2 Sea f : X → Y una aplicacion diferenciable. Los puntos de X enlos que f es una sumersion forman un conjunto abierto.

Demostracion. Localizando, podemos suponer X = A abierto en Hp e Y = B abier-to en Hq. Entonces f es una sumersion en x ∈ A si y solo si el rango de la matrizjacobiana (∂fi(x)/∂xj)i,j es q ≤ p, que es una condicion abierta por ser q el maximorango posible.

Asımismo, tenemos la siguiente forma canonica:

Teorema 9.3 (Forma local canonica de una sumersion que conserva el borde) Seaf : X → Y una aplicacion diferenciable y a un punto de X en el que f conserva elborde (lo que siempre se cumple si a ∈ Int(X)). Entonces f es sumersion en a si ysolo si existen parametrizaciones ϕ : A → U ⊂ X, ψ : B → V ⊂ Y de manera quea ∈ U, f(U) ⊂ V y la localizacion correspondiente tiene la forma

ψ−1fϕ(x1, . . . , xp) = (x1, . . . , xq)

con p ≥ q.

Demostracion. La suficiencia es obvia. Para probar la necesidad, podemos suponerX = A1 ⊂ Hp, Y = B1 ⊂ Hq con q ≤ p, y elegida una extension diferenciablef : U1 → V1, donde U1∩Hp = A1 y V1∩Hq = B1. Ademas, por la conservacion localdel borde que se asume en el enunciado, tendremos f(U1 ∩ x1 = 0) ⊂ x1 = 0.Ahora Df(a) = daf : Rp → Rq es sobre, y la matriz jacobiana tiene un menor deorden q no nulo, que podemos suponer consiste en las primeras q columnas:

0 6= ∆ = det

∂f1∂x1

(a) · · · ∂f1∂xq

(a)...

...∂fq∂x1

(a) · · · ∂fq∂xq

(a)

Esto se justifica como sigue. Si a ∈ Int(X), el borde es irrelevante, y no hay coordena-da privilegiada, con lo que se permutan las coordenadas en Rp y hemos terminado. Si


a ∈ ∂X, se observa que por la invarianza del borde es f1(0, x′) = 0, luego derivandoen a = (0, a′) para obtener la primera fila de la matriz jacobiana queda:(

∂f1

∂x1(a), 0, . . . , 0

),

luego si prescindimos de la primera columna el rango es < q. Ası, para conseguir ∆solo deben permutarse las variables x2, . . . , xp de Rp, y obtenemos lo que queremos.

Ahora consideramos la aplicacion diferenciable

h : A1 → B1 × Rp−q : x 7→ (f(x), xq+1, . . . , xp)

cuya derivada Dh(a) : Rp → Rq tiene determinante jacobiano

det

∂f1∂x1

(a) · · · ∂f1∂xq

(a)...

...∂fq∂x1

(a) · · · ∂fq∂xp

(a)

∗

0

1. . .

1

= ∆ 6= 0,

y es por tanto un isomorfismo lineal. Ademas, h(0, x′) = (0, y′) y podemos aplicar elteorema de inversion local para variedades con borde. El punto a tiene un entornoabierto A ⊂ A1 y h(a) otro B ×W ⊂ B1 ×Rp−q de modo que h|A : A→ B ×W esun difeomorfismo. Ası hemos construido el siguiente diagrama conmutativo:

(f(a), a′)=h(a) ∈ B ×Wh|A?

a ∈ A

⋃A1

-

-

f |A

f

π : x 7→ (x1, . . . , xq)

B

⋃B1

Como h|A es difeomorfismo, ϕ = (h|A)−1 : B ×W → A es una parametrizacion deA1 = X, y hemos terminado.

Por ejemplo, la aplicacion τ : TX → X, que es una sumersion en la imagenC de la seccion cero (por ser esa seccion cero inversa por la derecha de τ), tienela forma local de una proyeccion lineal (como resulta inmediatamente de como sedemostro que TX es una variedad).

9. Sumersiones 41

Corolario 9.4 Una sumersion que conserva el borde es una aplicacion abierta.

Demostracion. Como ser abierta es una cuestion local, basta observar que la apli-cacion lineal π : x 7→ (x1, . . . , xq) de la forma local anterior es abierta, tanto de Rpsobre Rq como de Hp sobre Hq.

Corolario 9.5 (Forma local producto de una sumersion que conserva el borde) Seanf : X → Y una aplicacion diferenciable y a un punto de X en el que f conserva elborde. Entonces f es sumersion en a si y solo si existe una aplicacion diferenciableg : U →M de un entorno abierto U de a en una variedad sin borde M , y un entornoabierto V de f(a) de manera que f(U) ⊂ V y el par (f |U, g) : U → V ×M es undifeomorfismo.

Demostracion. Que es una condicion suficiente es claro, pues si la aplicacion (f |U, g) :U → V ×M es difeomorfismo la derivada da(f |U, g) = (daf, dag) es isomorfismo,luego daf debe ser suprayectiva. La necesidad es tambien facil, una vez probada laforma local canonica, pues para una proyeccion lineal

f = π : B ×W → B : (x1, . . . , xp) 7→ (x1, . . . , xq)

basta tomar g : B ×W →W : (x1, . . . , xp) 7→ (xq+1, . . . , xp).

A continuacion consideramos el caso en que no hay conservacion del borde:

Proposicion 9.6 Sean f : X → Y una aplicacion diferenciable y a ∈ ∂X de modoque f(a) ∈ Int(Y ) y la restriccion f |∂X : ∂X → Y es sumersion en a. Entoncesexisten parametrizaciones ϕ : A→ U ⊂ X, ψ : B → V ⊂ Y tales que:

(1) a ∈ U , f(U) ⊂ V .

(2) B es un abierto de Rq, y A = A∗ × B ⊂ Hp = Hp−q × Rq para cierto abiertoA∗ de Hp−q.

(3) ψ−1fϕ(x1, . . . , xp) = (xp−q+1, . . . , xp).

Demostracion. Como es habitual, podemos suponer X = A1 abierto en Hp, a ∈0×Rp−1, Y = B1 abierto en Rq, y elegida una extension diferenciable f : U1 → Rqde f , donde U1 es un abierto de Rp con U1 ∩Hp = A1. En esa situacion, la hipotesissignifica que

Df(a)(0 × Rp−1) = Rq.


(En particular, daf es suprayectiva, y f es tambien sumersion en a.) En consecuenciap− 1 ≥ q y la matriz jacobiana (

∂fi∂xj

(a)

)1≤i≤q2≤j≤p

tiene un menor de orden q no nulo. Permutando x2, . . . , xp podemos suponer que es

0 6= ∆ =

(∂fi∂xj

(a)

)1≤i≤q

p−q+1≤j≤p

Ahora, la aplicacion

h : A1 → Hp : x 7→ (x1, . . . , xp−q, f1(x), . . . , fq(x)) = (x′, f(x))

es diferenciable, su derivada dah tiene por determinante el menor ∆ anterior, y espues un isomorfismo lineal; ademas, h conserva el borde. Por todo ello, el teorema deinversion local proporciona entornos U de a en A1 y A = A∗×B de h(a) = (a′, f(a))en Hp con B ⊂ B1, de manera que h|U es un difeomorfismo sobre A. En fin, lasparametrizaciones buscadas son ϕ = (h|U)−1 : A → U y la inclusion ψ : B = V ⊂B1. En efecto:

(a) f(U) ⊂ V : si x ∈ U , es (x′, f(x)) = h(x) ∈ A, luego f(x) ∈ B.

(b) ψ−1fϕ(x) = f(ϕ(x)) = f(y), con x = h(y) = (y′, f(y)), luego f(y) =(xp−q+1, . . . , xp) como se querıa.

De nuevo, se deduce de inmediato una version producto:

Corolario 9.7 Sean f : X → Y una aplicacion diferenciable y a ∈ ∂X tales quef(a) ∈ Int(Y ) y la restriccion f |∂X : ∂X → Y es sumersion en a. Entonces existeuna aplicacion diferenciable h : U → M de un entorno abierto U de a en unavariedad con borde M , y un entorno abierto V de f(a) de manera que f(U) ⊂ V yel par (h, f |U) : U →M × V es un difeomorfismo.

Problemas

Numero 1. Sea f : Rn → Rn un difeomorfismo local de clase p de la forma

f(x1, . . . , xn) = ( . . . , fi(x1, . . . , xi), . . . ).

Problemas 43

Probar que f es un difeomorfismo sobre un abierto de Rn.

Numero 2. Demostrar que una aplicacion f : Rn → Rn es un difeomorfismo si y solo sies un difeomorfismo local propio. Construir un difeomorfismo local f : Rn → Rn que no seapropio.

Numero 3. Demostrar que la ecuacion x2k + y2` + z2m = 1 define en R3 una variedaddiferenciable difeomorfa a la esfera S2.

Numero 4. Sea X ⊂ Rm una variedad de clase r ≥ 1 y dimension p. Dado a ∈ Xdenotamos por Γ la coleccion de todas las aplicaciones α : [0, ε) → X de clase 1 tales queα(0) = a. Sea ademas ϕ : A→ X una parametrizacion de X con ϕ(0) = a.

(1) Si a ∈ Int(X) entonces Dϕ(0)(Rp) = α′(0) : α ∈ Γ.(2) Si a ∈ ∂X entonces Dϕ(0)(Hp) = α′(0) : α ∈ Γ.

Numero 5. Probar que el conjunto X = Rn\(1/n, . . . , 1/n) : n ∈ N no es una variedaddiferenciable.

Numero 6. Probar que el conjunto X ⊂ R3 de ecuacion xyz = 0 no es una variedadtopologica. Probar que el conjunto X ⊂ R2 de ecuacion x2 = y3 es una variedad topologica,pero no una diferenciable.

Numero 7. Demostrar que si dos variedades X1, X2 son difeomorfas, respectivamente,a Y1, Y2, entonces el producto X1 × X2 es difeomorfo al producto Y1 × Y2. ¿Es cierto elrecıproco?

Numero 8. Se consideran en P2(R) coordenadas homogeneas (x0 : x1 : x2), y se define laaplicacion f : P2(R)→ R4 por la formula:

f(x0 :x1 :x2) =( x2

1 − x22

x20+x2

1+x22

,x0x1

x20+x2

1+x22

,x0x2

x20+x2

1+x22

,x1x2

x20+x2

1+x22

).

Demostrar que f es una inmersion difeomorfica. ¿Es posible definir una inmersion difeomorfi-ca P2(R)→ R3?

Numero 9. Sea X ⊂ R3 el hiperboloide reglado x2

a2 + y2

b2 = z2

c2 + 1, y (TX, τ) su fibradotangente. Demostrar que existe un difeomorfismo ϕ : X×R2 → TX tal que τ ϕ : (x, z) 7→ x,utilizando las rectas que X contiene segun las indicaciones siguientes:

(1) Simplificar la situacion con un cambio lineal, para que a = b = c = 1.(2) Calcular la interseccion del hiperboloide con cada plano afın tangente suyo, para

obtener siempre dos rectas secantes en el punto de tangencia.(3) Obtener a partir de las rectas anteriores dos aplicaciones diferenciables

α, β : X → TX : x 7→ αx, βx

de modo que αx, βx sea una base de TxX para cada x ∈ X.(4) Expresar cada vector tangente ux ∈ TxX en la forma ux = f(x)αx+g(x)βx, y definir

ϕ mediante las dos funciones f, g.


Numero 10. Se considera la aplicacion f : R× (− 12 ,

12 )→ R3 de ecuaciones

f(x, y) =

cosxsenx

0

+ y

cosx − senx 0senx cosx 0

0 0 1

cos(x/2)0

sen(x/2)

Comprobar que la imagen de f es una banda de Moebius, y que no es orientable.

Numero 11. Sea M una variedad diferenciable con borde no vacıo. Construir una ecua-cion global de ∂M , esto es, una funcion diferenciable f : M → R tal que: (i) f ≥ 0, (ii)∂M = f−1(0), y (iii) dxf es suprayectiva para cada x ∈M suficientemente proximo a ∂M .

Numero 12. Sea X una variedad diferenciable de clase r+1, (TX, τ) su fibrado tangentey C ⊂ X un conjunto cerrado. Demostrar que cualquier aplicacion ξ : C → TX de clase rtal que τ ξ = Id tiene una extension de la misma clase ξ : X → TX que tambien cumpleτ ξ = Id.

Numero 13. Sea f : Rn → Rn un difeomorfismo. Pruebese que existe una difeotopıaF : [0, 1]× Rn → Rn tal que F1 f = Df(0).

Numero 14. Demostrar que si el producto de dos variedades diferenciables es orientable,entonces lo es cada factor.

Numero 15. Demostrar que el fibrado tangente de una variedad diferenciable es siempreorientable, sealo o no la variedad inicial.

Numero 16. Dado el toro T = S1×S1 y cualquier punto a ∈ T , muestrese que existe unainmersion diferenciable f : T \ a → R2.

Numero 17. Sean f : X → Y , g : Y → X dos aplicaciones diferenciables tales quef g = Id. Probar que la imagen T de g es una variedad diferenciable, y que la restriccionde f a un entorno abierto U de T es una sumersion.

45

Capıtulo II

Transversalidad

En la resolucion de muchos problemas importantes de la Matematica se descubre una

idea universal, casi obvia, que consiste en perturbar razonablemente las hipotesis dadas pa-

ra simplificar el problema hasta hacerlo asequible. Es el recurso a la posicion general en

Geometrıa o al caso no degenerado en Analisis. Pues bien, esta idea argumental encuen-

tra su expresion mas estricta y fructıfera en la nocion de transversalidad. Dedicamos este

capıtulo a esta nocion clave, con cuyo hallazgo en los anos cincuenta R. Thom dio nacimien-

to a la Topologıa Diferencial como rama autonoma de la Matematica. Aquı hemos elegido

como motivacion la descripcion de variedades mediante imagenes inversas, o dicho mas in-

tuitivamente, mediante ecuaciones implıcitas globales. En la primera seccion se dan varios

resultados al respecto utilizando sumersiones. En la segunda se adopta directamente el enfo-

que por ecuaciones globales, que sirve para definir las denominadas intersecciones completas.

Ademas de las definiciones y diversos ejemplos se demuestra un resultado importante para

hipersuperficies, caracterizando las que tienen una ecuacion global por la manera en que

desconectan el ambiente que las contiene. Ademas se muestra la relacion de esto con la

orientabilidad. Ya en la seccion 3 se define formalmente la transversalidad de una aplicacion

y una variedad, de dos variedades, de dos aplicaciones, y se ilustra con ejemplos la propiedad

fundamental segun la cual la transversalidad es la situacion generica. Esta genericidad se

explica rigurosamente en las secciones 4 y 5 siguientes, dedicadas al teorema de Sard-Brown

y al teorema parametrizado de densidad de la transversalidad. Como aplicacion del teorema

de Sard demostramos en la seccion 6 el teorema de inmersion de Whitney, cuya informacion

significativa es la menor codimension posible de una inmersion difeomorfica cerrada.

46 II.Transversalidad

1. Construccion de variedades mediante sumersiones

Empezamos con el siguiente resultado:

Teorema 1.1 Sea f : X → Y una aplicacion diferenciable y Z ⊂ Y una terceravariedad, de manera que f conserva el borde en f−1(Z) y es sumersion en f−1(Z).Entonces:

(1) f−1(Z) es una variedad con borde ∂f−1(Z) = f−1(∂Z).

(2) Txf−1(Z) = (dxf)−1(Tf(x)(Z)) para x ∈ f−1(Z).

(3) codimx(X, f−1(Z)) = codimf(x)(Y,Z) para x ∈ f−1(Z).

Demostracion. Sea x ∈ f−1(Z). Por la forma local de las sumersiones, tenemos undifeomorfismo (f |U, g) : U → V ×M , y como (Z ∩ V )×M es variedad, concluimosque lo es f−1(Z) ∩ U = (f |U, g)−1((Z ∩ V ) ×M). Asımismo podemos calcular elborde:

∂f−1(Z) ∩ U = (f |U, g)−1((∂Z ∩ V )×M) = f−1(∂Z) ∩ U,y el espacio tangente:

Txf−1(Z) = (dx(f |U, g)−1(T(f(x),g(x))(Z ×M)) =

(dxf, dxg)−1(Tf(x)Z × Tg(x)M) = (dxf)−1(Tf(x)Z).

En fin, en cuanto a la codimension:

codimx(X, f−1(Z)) = codim(f(x),g(x))(Y ×M,Z ×M) =

dim(f(x),g(x))(Y ×M)− dim(f(x),g(x))(Z ×M) =

dimf(x) Y − dimf(x) Z = codimf(x)(Y,Z).

Ejemplo. Consideremos f : Rn+1 → R : x 7→ x21 + · · ·+ x2

n+1. Entonces:

(1) Sea a > 0; f es sumersion en f−1(a2) , y la esfera de radio a, f−1(a2) = Sna ,es una variedad sin borde de dimension n (difeomorfa a la esfera estandar de radio1).

(2) Sea 0 < a < b; f es sumersion en f−1[a2, b2] y la corona esferica f−1[a2, b2]es una variedad de dimension n+ 1, con borde la union de dos esferas, una de radioa y la otra de radio b.

(3) f no es sumersion en x = 0 ∈ f−1[0, 1], y aunque la bola solida Dn = f−1[0, 1]es una variedad, no podemos deducirlo mediante el criterio anterior.

1. Construccion de variedades mediante sumersiones 47

El ejemplo negativo anterior puede remediarse como sigue:

Proposicion 1.2 Sea f : X → R una funcion diferenciable y a ∈ R tal que f−1(a)∩∂X = ∅ y f es sumersion en f−1(a). Entonces f−1(−∞, a] es una variedad con borde

∂f−1(−∞, a] =(f−1(∞, a) ∩ ∂X

)∪ f−1(a)

y de codimension 0 en X.

Demostracion. Para cada punto de W = f−1(∞, a) podemos encontrar parametri-zaciones de X con la imagen totalmente contenida en W , pues W es abierto en X.Sea ahora x ∈ f−1(a). Como x /∈ ∂X, y segun la forma local de las sumersiones,tenemos un diagrama

Rp ⊃ A1 ×A - A1 (x1, x2 . . . , xp) 7→ x1

gφ 6 6ψ

U -f |

V ⊂ R x 7→ a

donde U es abierto en el interior de X, V un intervalo de R, y podemos suponerademas que φ−1(x) = 0 y que A1 = (−ε, ε) con ε > 0. Para fijar notaciones,suponemos que ψ es decreciente. En consecuencia, ψ[0, ε) = (a − δ, a] para ciertoδ > 0 y

φ([0, ε)×A) = φ(g−1[0, ε)) = f−1(a− δ, a] ∩ U.

Observamos que el ultimo conjunto es abierto en f−1(∞, a]. Todo esto muestra quela restriccion de φ a [0, ε)× A ⊂ Hp es una parametrizacion de f−1(∞, a] cuyo do-minio contiene a x, y tambien se ve que x ∈ ∂f−1(∞, a].

Las proposiciones anteriores se complementan con la siguiente:

Proposicion 1.3 Sean f : X → Y una aplicacion diferenciable y Z ⊂ Int(Y ) unatercera variedad, ∂Z = ∅, tales que

(a) f es sumersion en f−1(Z) \ ∂X, y

(b) f |∂X es sumersion en f−1(Z) ∩ ∂X.

Entonces:

(1) f−1(Z) es una variedad con borde ∂f−1(Z) = f−1(Z) ∩ ∂X.

(2) Txf−1(Z) = (dxf)−1(Tf(x)(Z)) para x ∈ f−1(Z).


(3) codimx(X, f−1(Z)) = codimf(x)(Y,Z) para x ∈ f−1(Z).

Demostracion. Si x ∈ f−1(Z) \ ∂X, entonces f conserva el borde cerca de x, y elresultado ya ha sido probado. Sea pues x ∈ f−1(Z) ∩ ∂X. Entonces f(x) ∈ Int(Y )y aplicamos la forma local producto para este caso, obteniendo un difeomorfismo(h, f |U) : U →M ×V , donde U es un entorno abierto de x en X, V uno de f(x) enInt(Y ) y f(U) ⊂ V . En esta situacion

f−1(Z) ∩ U = (h, f |U)−1(M × (Z ∩ V ))

y la demostracion sigue como en el caso visto anteriormente. Tan solo varıa el calculodel borde, que en este caso es

∂f−1(Z) ∩ U = (h, f |U)−1((∂M)× (Z ∩ V )) = ∂U ∩ f−1(Z),

pues (h, f |U) conserva el borde.

Senalemos que en la proposicion anterior, si las tres variedades X,Y, Z son dedimension pura, tambien lo es la imagen inversa f−1(Z).

Ejemplo. Consideremos la variedad X = R × [0, 1], cuyo borde consiste en doscopias de la recta real: ∂X = (R× 0) ∪ (R× 1), y sea Y = R. Definimos

f : X → Y : x 7→ 16(x2 + (y − 12)2 − 1

16)(y − x+ 3)

Un sencillo calculo muestra que Df(x, y) 6= 0 para (x, y) ∈ f−1(0). Ademas

∂X=

R×1R×0 → Y : x 7→ f(x)=

(16x2 + 3)(4− x)(16x2 + 3)(3− x)

con lo que (f |∂X)′(4, 1) = −259 y (f |∂X)′(3, 0) = −147.

u

u

0

1

f−1(0)HHj

+

(3, 0)

(4, 1)

En suma, f−1(0) es una variedad con borde los dos puntos (4, 1) y (3, 0). Noteseque no es conexa y una de sus componentes no tiene borde.

2. Intersecciones completas 49

2. Intersecciones completas

De los resultados de la seccion anterior se deduce que una sumersion f : X → Rdefine una hipersuperficie (variedad de codimension 1) deX. Este hecho se generalizaa codimensiones superiores como sigue:

Proposicion 2.1 Sean f1, . . . fk : X → R aplicaciones diferenciables, y denotemos

Z = x ∈ X : f1(x) = · · · = fk(x) = 0.

Suponemos:

(a) Las derivadas dxf1, . . . , dxfk son formas lineales independientes para todo x ∈Z \ ∂X, y

(b) Las derivadas dx(f1|∂X), . . . , dx(fk|∂X) son formas lineales independientespara todo x ∈ Z ∩ ∂X.

Entonces se verifica:

(1) Z es una variedad con borde ∂Z = Z ∩ ∂X,

(2) TxZ = ker(dxf1) ∩ · · · ∩ ker(dxfk) para cada x ∈ Z, y

(3) codimx(X,Z) = k para cada x ∈ Z.

Demostracion. Consideramos la aplicacion f = (f1, . . . , fk) : X → Rk. Por lashipotesis (a) y (b), f es sumersion en cada punto de Z y f |∂X es sumersion en cadapunto de Z ∩ ∂X. Ası, la proposicion se sigue de la ultima de la seccion anterior,pues Z = f−1(0).

Definicion 2.2 Si Z ⊂ X son dos variedades tales que Z esta descrita como en laproposicion anterior, decimos que f1, . . . , fk son ecuaciones de Z en X, y que Z esuna interseccion completa en X.

Observaciones y ejemplos. La cuestion de cuando una variedad es interseccioncompleta es enormemente interesante en geometrıa (de cualquier clase: topologica,diferencial, algebraica, analıtica), y tiene sus raıces en la topologıa de las variedadesinvolucradas. Naturalmente, debe precisarse en que ambiente: es trivial que cualquierZ puede sumergirse como interseccion completa en Z ×R (!). Veamos algunos casosmenos triviales.


(1) Si Z es una interseccion completa en X, entonces Z = f−1(0), siendo f :X → Rk como en la proposicion. Si X es orientable, y segun veremos en la seccionsiguiente, las orientaciones de X, Rk y 0 ∈ Rk se combinan para orientar Z. Ası pues,una variedad no orientable no puede sumergirse como interseccion completa en otraorientable. Esta condicion de orientabilidad es intrınseca de la variedad Z, y de hechopuramente topologica. Puede aplicarse por ejemplo al plano proyectivo, a la botellade Klein, etc., que por ello no pueden sumergirse como intersecciones completas enningun espacio afın.

(2) Localmente, si no hay dificultades ligadas al borde, todas las variedades soninterseccion completa, o dicho de otro modo, todas las variedades tienen ecuacioneslocales. En efecto, si x ∈ Z ⊂ X, ∂Z = ∅, ∂X = ∅, tomamos una parametrizacionadaptada φ : A→ U , x ∈ U , de modo que Z ∩ U = φ(A ∩ (Rd × 0)). Entonces

fi : U → R : x 7→ φ−1(x) = (y1, . . . , yp) 7→ yi, d < i ≤ p,

tienen derivadas independientes y son ecuaciones de Z ∩ U en U .

En el caso particular de una hipersuperficie Z de una variedad X, ser interseccioncompleta significa tener una ecuacion global, que es una funcion diferenciable f :X → R , tal que f es sumersion en Z \ ∂X, f |∂X es sumersion en Z ∩ ∂X, y severifica Z = f−1(0). Como se ha dicho ya antes, esta es una cuestion de naturalezaesencialmente topologica. Lo vemos a continuacion cuando no hay bordes.

Teorema 2.3 Sea Z ⊂ X variedades conexas y sin borde, Z una hipersuperficie ce-rrada de X. Entonces Z tiene una ecuacion global f : X → R si y solo si desconectaX. Si este es el caso, se verifica ademas:

(1) X \ Z tiene dos componentes conexas, que son f > 0 y f < 0.(2) f > 0 y f < 0 son dos variedades con borde igual a Z.

Demostracion. Como observamos antes, cada punto de X tiene un entorno U en elque Z tiene una ecuacion f : U → R, esto es: U ∩ Z = f = 0 y Df(x) 6= 0 paracada x ∈ U . Veamos algunas propiedades de tal ecuacion:

(a) Si una funcion diferenciable h : U → R se anula sobre U ∩ Z, entonces elcociente h/f es diferenciable en U .

Sea a ∈ U ∩Z y φ : A→ V ⊂ U una parametrizacion de X adaptada a Z con φ(0) =a; suponemos pues que φ−1(Z∩V ) = x ∈ A : xp = 0. Ası, hφ(x1, . . . , xp−1, 0) = 0


para (x1, . . . , xp−1) proximo al origen, y podemos escribir:

h φ(x) =

∫ 1

0

∂

∂t(h φ(x1, . . . , xp−1, txp)) dt = g(x)xp,

donde g es la funcion diferenciable:

g(x) =

∫ 1

0

∂

∂xp(h φ(x1, . . . , xp−1, txp)) dt.

De igual modo,f φ(x) = α(x)xp,

con α diferenciable, pero ademas α no se anula nunca. Para ver esto escribimos:

0 6= D(f φ)(x) = xpDα(x) + α(x)prp,

donde prp es la p-esima proyeccion coordenada. Si α(x) = 0, necesariamente xp 6= 0,y se seguirıa f(φ(x)) = 0, luego x ∈ φ−1(Z ∩ V ) y xp 6= 0, contradiccion. Enconcecuencia, tenemos

h φ(x) = g(x)xp =g(x)

α(x)(f φ)(x),

o sea que (h/f)φ = g/α es diferenciable. Estas representaciones de h/f en entornosde cada punto de U definen h/f en todo U : por supuesto coinciden en el conjuntoU \ f = 0, y este conjunto es denso en U (pues A \ xp = 0 lo es en A).

La segunda propiedad que interesa es:

(b) Si h : U → R es otra ecuacion de Z en U , entonces α = h/f : U → R esdiferenciable y nunca nula.

Por (a), α = h/f es de clase, pero tambien lo es f/h = 1/α, por lo que α no puedeanularse en ningun punto.

Finalmente:

(c) Reduciendo U , podemos suponer que es conexo, y que U \ Z tiene dos compo-nentes conexas, U+ = f > 0 y U− = f < 0, de modo que Z∩U ⊂ U+∩U−.

Elegimos U al principio de modo que sea la imagen de una parametrizacion adaptadaφ : A→ U tal que A = x ∈ Rp : ‖x‖ < ε. Entonces prp y f φ son ecuaciones def−1(Z ∩ U) en A, y por (b) f φ = α · prp, con α nunca nula. En consecuencia los


conjuntos φ−1(Z ∩ U), φ−1f < 0 y φ−1f > 0 estan respectivamente descritosen la bola A por las condiciones xp = 0, σxp < 0 y σxp > 0, donde σ es el signoconstante que α toma en A. La conclusion es ası clara.

Llegados aquı, probemos la parte “solo si” del enunciado: si X \ Z fuera conexoy f : X → R una ecuacion de Z, entonces f tendrıa signo constante en X \ Z. Perosegun (c) cualquier ecuacion cambia de signo en alguna parte.

Visto lo anterior, supondremos ya que X \ Z no es conexo. Ademas, podemosrecubrir Z por abiertos Ui en cada uno de los cuales Z tiene una ecuacion fi. Pararecubrir todo X, anadimos un recubrimiento por abiertos conexos de X \Z, con lasecuaciones ≡ 1 (en este momento hemos usado que Z es cerrado en X). Por (b),cada αij = fi/fj : Ui ∩ Uj → R es una funcion nunca nula (lo que consideramostrivialmente cierto si Ui ∩ Uj = ∅). Afirmamos que

(d) Existe una eleccion adecuada de signos εi de modo que para cada par (i, j), lafuncion (εi/εj)αij es siempre > 0.

Para verlo, probamos primero lo siguiente:

(e) Para cada componente conexa W de X \ Z se verifica W \W = Z.

En efecto, si W ′ es otra componente de X \ Z, es abierta en X y no corta a W ,luego tampoco a W . Ası, W \W ⊂ Z. Si W = W , W serıa cerrada en X, luegoabierta y cerrada, con lo que coincidirıa con X por ser este conexo, contradiccion.Existe pues algun punto x ∈W \W ⊂ Z. Sea y ∈ Z arbitrario. Como Z es conexo,tenemos una cadena Ui0 , . . . , Uir con x ∈ Ui0 , y ∈ Uir , y Uik ∩ Uik+1

∩ Z 6= ∅ paracada k. Al ser Ui0 \ Z = U+

i0∪ U−i0 y x ∈ W , concluimos U+

i0⊂ W o U−i0 ⊂ W . Se

sigue Z ∩ Ui0 ⊂ U+i0∩ U−i0 ⊂ W y tomando un punto x1 ∈ Z ∩ Ui0 ∩ Ui1 tenemos

x1 ∈ Ui1 ∩W , luego U+i1⊂W o U−i1 ⊂W , con lo que Z ∩ Ui1 ⊂W .

Z

xyx1

Ui

U+i0 u

uu

Reiterando el argumento, se concluye y ∈ Z ∩ Uir ⊂ W . Resulta pues (e), y seobserva ademas:


(f) X \ Z tiene exactamente dos componentes conexas W y W ′.

En efecto, si W ′ es una segunda componente, tambien U+i0⊂W ′ o U−i0 ⊂W

′. ComoW y W ′ son disjuntas, solo hay dos posibilidades:

U+i0⊂W, U−i0 ⊂W

′ o U+i0⊂W ′, U−i0 ⊂W,

lo que por otra parte, no deja sitio para mas componentes que W y W ′.

En fin, para demostrar (d), elegimos los signos εi como sigue:

Caso Ui ∩ Z = ∅ : εi =

+1 si Ui ⊂W−1 si Ui ⊂/ W (esto es, Ui ∩W = ∅)

Caso Ui ∩ Z 6= ∅ : εi =

+1 si U+

i ⊂W−1 si U+

i ⊂/ W (esto es, U−i ⊂W )

Una vez definidos estos signos, pongamos gi = εifi. Por la construccion gi >0 ∩ Ui = W ∩ Ui, gi < 0 ∩ Ui = W ′ ∩ Ui y (εi/εj)αij = gi/gj > 0.

Finalmente, sea θi una particion diferenciable de la unidad subordinada a losUi. Definimos la ecuacion f : X → R buscada para Z por la formula:

(g) f(x) = gi(x) exp

[∑k θk log

(gk(x)gi(x)

)]cuando x ∈ Ui.

Observese que el sumatorio es localmente finito y que si x ∈ Ui y θk(x) 6= 0, entoncesx ∈ Uk ∩ Ui, y en esa interseccion gk/gi = (εk/εi)αki > 0, con lo que el logaritmoexiste. Ademas, en Ui ∩ Uj 6= ∅ se verifica:

gi exp[∑

kθk log(gk(x)/gi(x)

)]gj exp

[∑kθk log

(gk(x)/gj(x)

)] =gigj

exp

[∑kθk

(log

gkgi− log

gkgj

)]=

gigj

exp

[(∑kθk

)log

(gkgi

/gkgj

)]=gigj

gjgi

= 1

Ası pues, la definicion de f es consistente.

Se tiene de este modo, f = eifi sobre Ui, donde ei = εi exp[∗] no se anula enningun punto de Ui. Por tanto,

f = 0 ∩ Ui = fi = 0 ∩ Ui = Z ∩ Ui,

y

Df(x) = fi(x)Dei(x) + ei(x)Dfi(x) = ei(x)Dfi(x) 6= 0 para x ∈ Z ∩ Ui.


Todo lo anterior muestra que f es una ecuacion de Z. Ademas, como exp > 0, porconstruccion es W = f > 0 y W ′ = f < 0. Entonces, por (e), f > 0 \ f >0 = Z = f = 0, o sea f > 0 = f ≥ 0. Esta es una variedad con bordef = 0 = Z por un teorema previo. Lo mismo vale para f < 0.

Observaciones y ejemplos. (1) La ecuacion f de Z es esencialmente unica, en elsentido de que cualquier otra difiere en el producto por una funcion de clase nuncanula (por la propiedad local (b)). Otra forma de caracterizar f es decir que dividea todas las funciones diferenciables que se anulan sobre Z (por la propiedad local(a)).

(2) La escritura de la demostracion anterior pone de manifiesto que la obstruccionpara encontrar f se concentra en los signos

σij = sign[fi/fj ] : Ui ∩ Uj → Z2 = +1,−1.

Estos signos definen un 1-cociclo [Z]∗ ∈ H1(X,Z2) (cohomologıa de Cech), que nodepende de las ecuaciones locales fi elegidas (por la propiedad local (b) de nuevo).Resulta que [Z]∗ = 0 si y solo si existen los εi de la prueba. Ası, en terminoscohomologicos, la ecuacion f existe cuando y solo cuando [Z]∗ = 0. Por ejemplo,se ve por procedimientos que exceden este texto, que H1(Rp,Z2) = 0, con lo quecualquier hipersuperficie conexa del espacio afın tiene una ecuacion global.

(3) El clasico teorema de Jordan-Brouwer dice que toda hipersuperficie cerradadel espacio afın lo desconecta. Segun lo anterior, una demostracion consistirıa enprobar la nulidad del grupo de cohomologıa H1(Rp,Z2). Mas adelante veremos otraque utiliza los metodos de este texto.

(4) Usando el teorema podemos encontrar muchas hipersuperficies sin ecuacionglobal (en realidad esta es la parte facil de la demostracion). Vease el dibujo para eltoro.

tiene ecuacion global

no tiene ecuacion global

(5) Sean Z ⊂ X como en el teorema. Si Z tiene una ecuacion global f , entonceses el borde de la variedad Y = f ≥ 0 ⊂ X, y dimy Y = dimyX para cada y ∈ Y .Si X es orientable, entonces Y lo es, y por tanto, tambien su borde Z. Esto prueba

3. El concepto de transversalidad 55

(sin apelar a la seccion siguiente) que una hipersuperficie conexa de una variedadorientable que tiene ecuacion global es orientable a su vez, o equivalentemente, queuna hipersuperficie conexa que desconecta una variedad orientable es orientable.

(6) En el espacio proyectivo real Pn(R) ningun hiperplano proyectivo H desco-necta: Pn(R) \H es un espacio afın Rn. Por tanto, H no tiene ecuacion global. Estono debe confundirse con el hecho elemental de que H tenga una ecuacion lineal encoordenadas homogeneas.

3. El concepto de transversalidad

Ya hemos visto algunos resultados que permiten construir variedades como ima-genes inversas. Busquemos ahora una construccion mas general que nos conducira ala nocion basica de transversalidad.

Sea f : X → Y una aplicacion diferenciable y Z ⊂ Y una tercera variedad. Demomento supondremos que ninguna de estas tres variedades tiene borde, aunqueya veremos que esta hipotesis puede debilitarse. Para saber cuando f−1(Z) es unavariedad observamos lo siguiente:

(1) El problema es local en X, por la definicion misma de variedad, y tambien loes en Y , por la continuidad de f .

(2) Fijado x ∈ f−1(Z), entonces Z es interseccion completa en un entorno abier-to V de f(x) en Y : existe una aplicacion diferenciable g : V → Rk talque Z ∩ V = g = 0. Poniendo h = g f : U = f−1(V ) → Rk resultaf−1(Z) ∩ U = h = 0.

(3) Una condicion suficiente para que f−1(Z) sea variedad en un entorno de x ∈ Ues que h sea sumersion en x (y por tanto en un entorno abierto de x).

En suma, f−1(Z) es variedad en un entorno de x si la aplicacion lineal

dxh = df(x)g dxf : TxX → Tf(x)Y → T0Rk

es suprayectiva. Como df(x)g es suprayectiva por (2), obtenemos la sucesion

TxXρ−→Tf(x)Y

/ker(df(x)g)

iso−→T0Rk

donde la segunda aplicacion es un isomorfismo lineal. En consecuencia, dxh es su-prayectiva si y solo si ρ lo es, es decir si y solo si

Tf(x)Y = ker(df(x)g) + im(dxf).


Pero ya hemos visto que el nucleo de la igualdad anterior es precisamente Tf(x)g =0 = Tf(x)Z, y obtenemos que la condicion

(TR) Tf(x)Y = Tf(x)Z + dxf(TxX)

es suficiente para que f−1(Z) sea variedad en un entorno de x. De la misma cons-truccion resulta que (TR) es equivalente a que sea isomorfismo la aplicacion lineal

η : TxX/

(dxf)−1(Tf(x)Z) −→ Tf(x)Y/Tf(x)Z

inducida por dxf .

A la vista de todo lo anterior:

Definicion 3.1 Sea f : X → Y una aplicacion diferenciable, y Z ⊂ Y una terceravariedad. Decimos que f es transversal a Z en un punto x ∈ f−1(Z) si se cumplela condicion (TR) anterior. Convenimos ademas que f es transversal a Z en todopunto x /∈ f−1(Z). En ambos casos usamos la notacion f –txZ.

Mas terminologıa y notaciones: decimos que f es transversal a Z en un conjuntoC ⊂ X y escribimos f –tCZ cuando f –txZ para todo x ∈ C; decimos que f es trans-versal a Z y escribimos f –tZ si f –tXZ. Ademas, notese que para que la condicionf –tCZ tenga sentido no es necesario que f sea diferenciable en todo X, sino quebasta con que lo sea en un entorno de C.

Como en el caso de inmersiones y sumersiones, acabamos de introducir unacondicion abierta:

Proposicion 3.2 Sea f : X → Y una aplicacion diferenciable y Z ⊂ Y una terceravariedad, Z cerrado de Y . Los puntos de X en los que f es transversal a Z formanun conjunto abierto.

Demostracion. Con las notaciones del razonamiento anterior a la definicion, seax ∈ f−1(Z). La condicion (TR) en x equivale a que la aplicacion h sea sumersion enx, y es pues una condicion abierta. Por otra parte, en los puntos x /∈ f−1(Z) siemprehay transversalidad, y se sigue la proposicion.

Ademas, todo el argumento que motiva la definicion de transversalidad puedeahora entenderse como la demostracion de que si f –tZ, entonces f−1(Z) es una varie-dad (sin borde, con igual codimension que Z, y espacios tangentes bien calculados).Como ya anunciamos, esto se refina algo como sigue:


Proposicion 3.3 Sea f : X → Y una aplicacion diferenciable y Z ⊂ Int(Y ) unavariedad sin borde. Si f y f |∂X son transversales a Z, entonces:

(1) f−1(Z) es una variedad con borde ∂f−1(Z) = f−1(Z) ∩ ∂X,

(2) Txf−1(Z) = (dxf)−1(Tf(x)Z) para cada x ∈ f−1(Z), y

(3) codimx(X, f−1(Z)) = codimf(x)(Y,Z) para cada x ∈ f−1(Z).

Demostracion. Se repite el argumento de antes, y se utiliza el resultado sobre su-mersiones para el caso en que X pueda tener borde. Las codimensiones se computancon el isomorfismo lineal η inducido por dxf .

Observaciones y ejemplos. (1) Si f : X → Y es sumersion en x ∈ X, entonces fes transversal en x ∈ X a cualquier variedad Z ⊂ Y .

(2) De hecho, f : X → Y es sumersion en x ∈ X si y solo si f es transversal enx a la variedad Z = f(x) ⊂ Y .

(3) Sean f : R3 → R2 : (x, y, z) 7→ (x2 + y2, z2 + 1) y ∆ ⊂ R2 la diagonal.Entonces f−1(∆) es el hiperboloide de revolucion x2 + y2 − z2 = 1, que es unavariedad (es h−1(1) para la aplicacion h(x, y, z) = x2 + y2 − z2, que es sumersionen R3 \ (0, 0, 0)). En todo caso, la presentacion algo rebuscada que hemos dadoilustra que ser transversal es una condicion mas debil que ser sumersion. En efecto,la derivada (

2x 2y 00 0 2z

): R3 → R2

es suprayectiva salvo si x = y = 0 o z = 0. Pero

(a) Si x = y = 0, es (x, y, z) = (0, 0, z) /∈ f−1(∆), y

(b) Si z = 0, es d(x,y,z)f(R3) + T(1,1)∆ = R× 0+ ∆ = R2.

Por tanto, f es transversal a ∆.

Orientacion de imagenes inversas. Sea f : X → Y una aplicacion diferencia-ble y Z ⊂ Int(Y ) una variedad sin borde. Acabamos de ver que si f y f |∂X sontransversales a Z entonces f−1(Z) es una variedad. Como complemento veamoscomo podemos orientar esta imagen inversa supuesto que tenemos orientadas lastres variedades X,Y y Z.

Sea x ∈ f−1(Z). Escribimos

TxX = Txf−1(Z)⊕ Ex


para cierto suplementario lineal Ex de Txf−1(Z). Como

Txf−1(Z) = (dxf)−1(Tf(x)Z) ⊃ ker(dxf),

la restriccion dxf |Ex : Ex → Tf(x)Y es inyectiva y denotamos su imagen por Ff(x).De la transversalidad, del calculo de Txf

−1(Z) y de las dimensiones de cada espacio,se deduce

Tf(x)Y = Tf(x)Z ⊕ Ff(x).

En esta situacion elegimos la unica orientacion ζF de Ff(x) que sumada con la orien-tacion ζZ,f(x) de Tf(x)Z coincida con la orientacion ζY,f(x). Entonces ζF induce viael isomorfismo lineal Ex → Ff(x) una unica orientacion ζE de Ex. Ahora, existeuna unica orientacion ζf−1(Z),x en Txf

−1(Z) que sumada con ζE coincide con ζX,x.La coleccion de todas estas orientaciones ζf−1(Z),x define bien una orientacion enf−1(Z) (dejamos al lector la comprobacion de la compatibilidad de las orientacioneslocales).

Proposicion 3.4 Consideremos dos aplicaciones diferenciables f : X → Y, g : Y →W y una variedad V ⊂W ; Y , W y V sin borde. Si g es transversal a V , entonces:

(1) Z = g−1(V ) ⊂ Y es una variedad sin borde, y

(2) g f es transversal a V si y solo si f es transversal a Z.

Demostracion. Es un ejercicio de algebra lineal, una vez escritas las definiciones.Veamoslo brevemente. Denotamos h = g f y tenemos:

TxX/

(dxh)−1(Th(x)V )φ−→ Th(x)W

/Th(x)V

Tf(x)Y/

(df(x)g)−1(Th(x)V )

ψ η@@@R

donde, por ser g –txV , η es isomorfismo lineal y

(df(x)g)−1(Th(x)V ) = Tf(x)Z; (dxh)−1(Th(x)V ) = (dxf)−1(Tf(x)Z).

En consecuencia, φ es isomorfismo si y solo si lo es ψ, es decir, h –txV si y solo sif –txZ.

La nocion de transversalidad se puede introducir desde otros puntos de vista.


Transversalidad de variedades. Si X,Z son dos variedades contenidas en unatercera variedad Y , decimos que son transversales en x ∈ X ∩ Z si se cumpleTxY = TxX + TxZ. Equivalentemente, podemos decir que la inclusion j : X ⊂ Y estransversal a Z en x. Denotaremos X –tZ. Ademas, puesto que j−1(Z) = X ∩Z, ob-tenemos teoremas para concluir si la interseccion de dos variedades es una variedad,y calcular los espacios tangentes y las codimensiones:

Tx(X ∩ Z) = TxX ∩ TxZ,codimx(Y,X ∩ Z) = codimx(Y,X) + codimx(Y, Z).

Recıprocamente, una aplicacion diferenciable f : X → Y es transversal a Z ⊂ Ysi y solo si su grafo Gf lo es a X × Z. De nuevo esto solo es un ejercicio de algebralineal, usando las definiciones: Gf

–t(x,f(x))X × Z si y solo si

T(x,f(x))(X × Y ) = T(x,f(x))Gf + T(x,f(x))(X × Z),

y teniendo en cuenta que el espacio tangente al grafo es el grafo de la diferencial, laanterior igualdad significa:

T(x,f(x))(X × Y )/T(x,f(x))(X × Z) ≡ Tf(x)Y

/Tf(x)Z =(

dxf(TxX) + Tf(x)Z)/Tf(x)Z,

o sea, f –txZ.

Transversalidad de aplicaciones. Decimos que k aplicaciones diferenciables

f1 : X1 → Y, . . . , fk : Xk → Y,

son transversales en un punto x = (x1, . . . , xk) ∈ X1 × · · · × Xk tal que f1(x1) =· · · = fk(xk) = y ∈ Y si se verifica

TyY × · · · × TyY = dx1f1(Tx1X1)× · · · × dxkfk(TxkXk) +D,

donde D es la diagonal de TyY ×· · ·×TyY . Esta condicion equivale a que la aplicacion

f1 × · · · × fk : X1 × · · · ×Xk → Y × · · · × Y

sea transversal en x a la diagonal ∆ de Y × · · · × Y . De nuevo, la transversalidadgeneral puede definirse a partir de esta. Una aplicacion f : X → Y es transversal aZ ⊂ Y si f y la inclusion j : Z ⊂ Y son transversales en (x, f(x)). La demostraciones la habitual manipulacion algebraica de los espacios tangentes. Resulta tambienque la transversalidad de dos variedades se define a partir de la de aplicaciones.


De hecho, se puede definir la transversalidad de mas de dos variedades Xi ⊂ Y enterminos de la transversalidad de las inclusiones ji : Xi ⊂ Y , y resulta la condicion

codim(TxX1 ∩ · · · ∩ TxXk) = codimTxX1 + · · ·+ codimTxXk

(codimensiones en TxY ) para cada x ∈ X1 ∩ · · · ∩Xk. Ası se obtienen criterios paraque la interseccion X1∩· · ·∩Xk de un numero arbitrario de variedades sea variedad.

Finalmente, senalemos que dos aplicaciones f1, f2 son transversales en un punto(x1, x2) ∈ X1 × X2 tal que f1(x1) = f2(x2) = y si y solo si la aplicacion linealdx1f1 − dx2f2 : Tx1X1 × Tx2X2 → TyY es suprayectiva.

Observaciones y ejemplos. (1) La transversalidad es la situacion generica. Porejemplo, dos rectas en R2

` : ax+ by = c, `′ : a′x+ b′y = c′,

se cortan transversalmente salvo si son paralelas, lo que ocurre solo en la situacionespecial ab′ − a′b = 0.

BBBBBBBBB

DDDDDDDD

DDDDDDDD

`

`

`′

`′ab′ 6= a′b

ab′ = a′b

Se pueden poner ejemplos similares con conicas o con variedades mas generales.En realidad esto se vera con todo rigor en los denominados teoremas de densidad dela transversalidad.

(2) Otra forma de plantear esta idea es que si no hay transversalidad, esta apa-rece siempre despues de una perturbacion arbitrariamente pequena. Por ejemplo, laaplicacion f : R → R2 : t 7→ (t, t2) no es transversal a Z = x = 0 en t = 0, perosı lo es fε : R → R2 : t 7→ (t, t2 − ε) (para ε < 0 es trivial, pero para ε > 0 essignificativo).

AAAAAA

s s s

f fε

transversalJJJ]

transversal tangente

6

4. Teorema de Sard-Brown 61

4. Teorema de Sard-Brown

Para hacer rigurosa la idea de que la transversalidad es la condicion mas frecuen-te, y que si no se da es posible reducirse a ella, necesitamos un teorema de analisis:el teorema de Sard-Brown. Para formularlo, introducimos la siguiente definicion:

Definicion 4.1 Sea f : X → Y una aplicacion diferenciable. Un valor regular de fes un punto y ∈ Y tal que f es sumersion en toda la fibra f−1(y). Convenimos queesto se verifica trivialmente si y /∈ f(X). El conjunto de valores regulares de f sedenota V R(f).

Observaciones y terminologıa adicional. (1) Un punto y /∈ V R(f) se llamavalor crıtico. Esto significa que existe x ∈ f−1(y) tal que dxf : TxX → TyY no essuprayectiva; tal x se llama en ocasiones punto crıtico de f . Debe siempre distinguirsecuidadosamente entre valores y puntos.

(2) Si dimxX < dimf(x) Y , entonces dxf no puede ser suprayectiva, luego f(x) /∈V R(f). En particular, si la desigualdad anterior se cumple para todo x ∈ X, entoncesV R(f) = Y \ f(X).

(3) El conjunto C(f) ⊂ X de puntos crıticos de f es cerrado (su complementarioes el conjunto de puntos en el que f es sumersion), y V R(f) = Y \ f(C(f)). Si f escerrada podemos concluir que V R(f) es abierto, pero no en general.

(4) Cerca de un valor regular una aplicacion propia se comporta como un recubri-miento no ramificado: si f : X → Y es diferenciable, propia, ∂X = ∅, e y ∈ V R(f)es tal que dimX = dimy Y , entonces f−1(y) = x1, . . . , xk y existen entornos Vde y en Y , U1, . . . , Uk de x1, . . . , xk en X, de modo que Ui ∩ Uj = ∅ para i 6= j,f−1(V ) = U1 ∪ · · · ∪ Uk y cada restriccion f |Ui : Ui → V es un difeomorfismo.

En efecto, en primer lugar, f−1(y) es una variedad compacta de dimension cero,luego un conjunto finito. Por el teorema de inversion local, existen entornos disjuntosWi de xi, y W de y de modo que f |Wi : Wi →W es un difeomorfismo. Finalmente,como f es propia, podemos tomar

V = W \ f(X \W1 ∪ · · · ∪Wk); Ui = Wi ∩ f−1(V ).

(5) Una consecuencia enganosamente simple de (4) es el teorema fundamentaldel algebra: todo polinomio con coeficientes complejos tiene alguna raız compleja.

En efecto, dado P ∈ C[z], la aplicacion f : R2 ≡ C → C : (x, y) 7→ P (x + iy)tiene por puntos crıticos los ceros de ∂P/∂z, luego C \ V R(f) es finito, y V R(f) es


conexo. Por otra parte el hecho de que

lım|z|→+∞

|P (z)| = +∞

significa que f es propia. Ahora (4) muestra que #f−1(z) = q es localmente cons-tante en V R(f), luego constante. Evidentemente q > 0, luego V R(f) ⊂ f(C). Perocomo f es propia, su imagen f(C) es cerrada, y concluimos f(C) = C.

El resultado fundamental es el siguiente:

Teorema 4.2 (Teorema de Sard-Brown) Sea f : X → Y una aplicacion de claser ≥ 1, X e Y de dimensiones puras p y q respectivamente. Si r > p− q, el conjuntode valores regulares de f es residual, y por tanto denso, en Y .

Un conjunto se llama residual cuando contiene una interseccion numerable deabiertos densos. En nuestra situacion, como Y ⊂ Rn es localmente compacto, severifica el teorema de Baire: toda interseccion numerable de abiertos densos es a suvez un conjunto denso. Por ello la conclusion ultima del enunciado.

Puesto que los valores regulares son el complementario de la imagen de los puntoscrıticos, se puede enunciar el mismo resultado diciendo que f(C(f)) esta contenido enuna union numerable de cerrados de interior vacıo. Esta formulacion es de naturalezalocal tanto en X como en Y : supongamos que para cada x ∈ X existen entornosabiertos U ⊂ X de x y V ⊂ Y de y = f(x) tales que f(U) ⊂ V y f(C(f) ∩ U)esta contenido en la union numerable de ciertos cerrados Fk de interior vacıo en V ;observamos que la adherencia F ∗U,k de Fk en Y tiene interior vacıo en Y . Si ahorarecubrimos X con una cantidad numerable de abiertos U , concluimos que f(C(f))esta contenido en la union numerable de los F ∗U,k correspondientes.

Por lo anterior, localizando se puede suponer que X = U ∩ Hp e Y = V ∩ Hq

para dos abiertos U de Rp y V de Rq, y que f es la restriccion de una aplicaciong : U → Rq de clase r. Entonces f(C(f)) ⊂ g(C(g)) ∩ Y , y el resultado para f sesigue del resultado para g. Ası eludimos la consideracion del borde.

Despues de las reducciones precedentes, la demostracion del teorema perteneceen realidad a la teorıa de la medida, pues se demuestra lo siguiente:

Sean U un abierto de Rp y f : U → Rq una aplicacion de clase r > p − q.Entonces f(C(f)) tiene medida nula.

4. Teorema de Sard-Brown 63

Recordemos que un conjunto tiene medida nula cuando esta contenido en unaunion numerable de cubos cuyo volumen total puede tomarse arbitrariamente pe-queno. Se ve facilmente que una union numerable de conjuntos de medida nula tienetambien medida nula, por lo que tener medida nula es una cuestion de naturalezalocal. Es tambien basico que un conjunto de medida nula tiene interior vacıo. Ennuestro caso, esto implica inmediatamente que V R(f) es residual. En efecto, comoya sabemos, C(f) es cerrado, luego es union numerable de compactos, y por ello,tambien f(C(f)) es union numerable de compactos (luego cerrados), cada uno delos cuales tendra interior vacıo, por estar contenido en f(C(f)).

El argumento es extremadamente tecnico si f es de clase r finita. Aquı haremosla demostracion suponiendo que f es de clase infinito, en cuyo caso no hay ningunarestriccion sobre las dimensiones p y q.

Demostracion. Seguimos paso a paso el argumento de J. Milnor. Se razona porinduccion sobre p ≥ 0. Como debe ser q ≥ 1, para p = 0 es trivial. Sea pues p ≥ 1 ycierto el resultado si la dimension del dominio es < p. Denotamos

Ci =x ∈ U : todas las derivadas parciales de orden ≤ i se anulan en x

y tenemos ası una sucesion de conjuntos cerrados

C(f) ⊃ C1 ⊃ C2 ⊃ C3 ⊃ · · · .

Procedemos en varias etapas.

(a) El conjunto f(C(f) \ C1) tiene medida nula.

Veremos que cada punto a ∈ C(f) \ C1 tiene un entorno V tal que f(C(f) ∩ V )tiene medida nula. Recubriendo C(f) \ C1 por una cantidad numerable de esosentornos se seguira la conclusion. Fijamos pues a, y alguna derivada parcial de f

no se anula en a, digamos∂f1∂x1

(a) 6= 0. Entonces h(x) = (f1(x), x2, . . . , xp) es un

difeomorfismo local en a, y podemos reemplazar f por f h−1 en un entorno V dea. En otras palabras, podemos suponer que f1(x) = x1 en V , con lo que f preservacada hiperplano x1 = t; denotaremos por g la restriccion de f a ese hiperplano.Observamos que para un punto x = (t, x′) ∈ V se tiene

Df(x) =

(1 0

∗ Dg(x′)

)


de modo que si Df(x) no es suprayectiva, tampoco lo es Dg(x′). Esto significa quesi x ∈ C(f) ∩ V , entonces x′ ∈ C(g). Ası tenemos

f(C(f) ∩ V ) ∩ x1 = t = f(C(f) ∩ x1 = t) ⊂ g(C(g)),

y el ultimo conjunto tiene medida nula por hipotesis de induccion. En suma, el con-junto f(C(f)∩V ) corta a cada hiperplano x1 = t en un conjunto de medida nula, yel teorema de Fubini garantiza entonces que el propio f(C(f)∩V ) tiene medida nula.

(b) Cada conjunto f(Ci \ Ci+1) tiene medida nula.

Como antes, vemos que cada punto a ∈ Ci\Ci+1 tiene un entorno V tal que f(Ci∩V )tiene medida nula. Por definicion, existe una derivada parcial w de f de orden i que seanula en a, pero tal que ∂w(a)/∂xj 6= 0, para fijar notaciones, suponemos j = 1. En-tonces h(x) = (w(x), x2, . . . , xp) es un difeomorfismo local en a y para cierto entornoV de a esta definido su inverso h−1 : W → V . Se verifica h(Ci∩V ) ⊂ x1 = 0, y ca-da punto de h(Ci∩V ) es un punto crıtico de la restriccion g = f h−1|W ∩x1 = 0.Por tanto, f(Ci ∩ V ) = g(h(Ci ∩ V )) ⊂ g(C(g)), y el ultimo conjunto tiene medidanula por hipotesis de induccion.

(c) Si i > p/q − 1, el conjunto f(Ci) tiene medida nula.

Consideramos un cubo compacto K ⊂ U de lado δ > 0 y vemos que f(Ci ∩K) tienemedida nula. Recubriendo Ci por una cantidad numerable de cubos K se seguira loque se quiere. Pero, por la formula de Taylor y la definicion de Ci, se tiene

f(y) = f(x) +R(x, y), ‖R(x, y)‖ ≤ c‖y − x‖i+1

para x, y ∈ Ci ∩ K. La constante c depende solo de f y del compacto K. Ahorasubdividimos K en np cubos L de lado δ/n y diagonal

√pδ/n. Elegimos x ∈ Ci ∩L,

y para cada y ∈ L se tiene

‖f(y)− f(x)‖ ≤ ‖R(x, y)‖ ≤ c‖y − x‖i+1 ≤ ρ = c(√pδ

n

)i+1

de modo que f(L) esta contenido en el cubo L∗ de centro f(x) y lado 2ρ. Enconsecuencia, f(Ci∩K) esta contenido en la union de a lo mas np cubos de lado 2ρ,y cuyo volumen total

cte · np−q(i+1)

tiende a cero cuando n→∞, por la eleccion de i. Queda probado (c).

Es claro que los tres hechos (a), (b) y (c) anteriores completan la demostraciondel teorema de Sard.

5. Densidad de la transversalidad 65

5. Densidad de la transversalidad

El siguiente teorema parametrizado de densidad de la transversalidad es la ex-presion correcta de las ideas intuitivas sobre la genericidad de la transversalidad:

Teorema 5.1 Sean B,X, Y variedades de clase r ≥ 1, B e Y sin borde, y Z ⊂Y otra variedad de clase r sin borde, todas de dimension pura de modo que r >dim(X) − codim(Z, Y ). Sea F : B ×X → Y una aplicacion de clase r tal que F yF |B×∂X son transversales a Z. Denotamos por BZ al conjunto de los puntos a ∈ Btales que la aplicacion parcial Fa : X → Y y su restriccion Fa|∂X son transversalesa Z. Entonces BZ es residual, y por tanto denso, en B.

Demostracion. Por hipotesis sobre F , la imagen inversa N = F−1(Z) ⊂ B ×X esuna variedad de codimension igual a la de Z, luego:

dim(N) = dim(B) + dim(X)− codim(Y, Z) < dim(B) + r,

y r > dim(N)−dim(B). En consecuencia podemos aplicar el teorema de Sard-Browna la aplicacion de clase r

π : N → B : (a, x) 7→ a,

y el conjunto V R(π) es residual en B. Por otra parte, el borde de N es la interseccionN ∩ (B × ∂X) y tiene dimension igual a dimN − 1 < dimN , luego por lo mismoque lo era V R(π), tambien V R(π|∂N) es residual en B.

Sea ahora a ∈ V R(π) y veamos que f = Fa es transversal a Z en x ∈ X con z =F (a, x) ∈ Z. Denotamos por g : B → Y la aplicacion parcial de F correspondientea fijar la segunda variable x. Se tiene:

d(a,x)F : TaB × TxX → TzY : (α, β) 7→ dag(α) + dxf(β).

Por tanto, F –tZ significa

TzY = TzZ + dag(TaB) + dxf(TxX).

Se trata pues de estudiar dag(ω) con ω ∈ TaB. Pero sabemos que a es un valor regularde π, y como (a, x) ∈ F−1(Z) = N , eso quiere decir que d(a,x)π : T(a,x)N → TaB essuprayectiva. Ası,

ω = d(a,x)π(α, β), (α, β) ∈ T(a,x)N ⊂ TaB × TxX.

Como π es simplemente la proyeccion, resulta α = ω, luego tenemos β ∈ TxX talque

(ω, β) ∈ T(a,x)N = (d(a,x)F )−1(TzZ),


o seadag(ω) + dxf(β) = d(a,x)F (ω, β) ∈ TzZ,

con lo quedag(ω) ∈ TzZ + dxf(TxX).

Concluimos asıTzY = TzZ + dxf(TxX)

como se pretendıa.

Para a ∈ V R(π|∂N) se razona analogamente y vemos que f |∂X = Fa|∂X estransversal a Z. En consecuencia,

V R(π) ∩ V R(π|∂N) ⊂ BZ ,

y BZ es residual.

Ejemplos. (1) Si X,Z son variedades contenidas en un mismo espacio afın Rn, Zsin borde, entonces “casi cualquier” translacion a+X es transversal a Z.

Basta aplicar el teorema anterior a F : Rn ×X → Rn : (a, x) 7→ a+ x.

(2) Si f : X → Rn es una aplicacion diferenciable, y Z ⊂ Rn no tiene borde,“casi cualquier” translacion a+ f es transversal a Z.

Se aplica el teorema a F : Rn ×X → Rn : (a, x) 7→ a+ f(x).

6. Teorema de inmersion de Whitney

Aunque con nuestro enfoque todas las variedades estan sumergidas en un espacioafın, es importante poder sumergirlas como un conjunto cerrado, y hacerlo con lacodimension menor posible. Esta es de hecho la parte no elemental del teorema deWhitney.

Teorema 6.1 (Teorema de inmersion de Whitney) Sea X ⊂ Rm una variedad declase r ≥ 2 y dimension pura p. Entonces existe una inmersion difeomorfica cerradaf : X → R2p+1.

6. Teorema de inmersion de Whitney 67

Demostracion. Supongamos primero m > 2p+ 1. Consideramos entonces para cadau = (u1, . . . , um) ∈ Rm con ‖u‖ = 1, um 6= 0,±1, la proyeccion paralela a u deecuaciones

γu : Rm → Rm−1 ≡ Rm−1 × 0 : x 7→ y = x+ λu, λ = −xm/um,

cuya restriccion gu : X → Rm−1 es diferenciable. Afirmamos:

(1) El conjunto de los u tales que gu es inyectiva es residual en Sm−1.

En efecto, la aplicacion

α : X ×X \∆→ Sm−1 : (x1, x2) 7→ x1 − x2

‖x1 − x2‖

tiene por imagen precisamente los u tales que gu no es inyectiva. Pero esa imagense descompone como

α(X × ∂X \∆) ∪ α(X × Int(X) \∆),

con dim(X × ∂X) = 2p − 1 < m − 1, dim(X × Int(X)) = 2p < m − 1. Ası,la conclusion resulta del teorema de Sard-Brown (se recurre a la descomposicionanterior para evitar el producto de dos variedades con borde).

Para seguir adelante construimos el denominado fibrado tangente unitario

SX = (x, u) ∈ TX : ‖u‖ = 1.

Para ver que este conjunto es una variedad consideramos la aplicacion

N : TX → R : (x, u) 7→ ‖u‖2.

En esta situacion, SX = N−1(1), y para ver como decimos que SX es una variedadbasta ver que tanto N como N|∂X son sumersion en cada punto (x, u) ∈ SX. Perocomo en su momento senalamos, esto se sigue de que N tiene en un entorno de(x, u) la siguiente inversa por la derecha: tomamos ε > 0 suficientemente pequeno ydefinimos

σ : (1− ε, 1 + ε)→ TX : t 7→ (x,+√tu).

El mismo argumento vale para N|∂X, pues si x ∈ ∂X, entonces σ toma valores en∂TX. En suma, SX es una hipersuperficie de TX y su dimension es 2p−1 < m−1.Ahora definimos la aplicacion diferenciable

β : SX → Sm−1 : (x, u) 7→ u,


y su imagen consiste en los u tales que u ∈ TxX para algun x ∈ X, o sea, en los utales que algun TxX es paralelo a la direccion de la proyeccion γu, o sea, en los u talesque para algun x ∈ X la restriccion γu|TxX : TxX → Rm−1 no es inyectiva. Comoesa restriccion es la derivada de gu : X → Rm−1 podemos reformular esa conclusiondiciendo que la imagen de β consiste en los u tales que gu no es inmersion. ComodimSX = 2p− 1 < m− 1, de nuevo el teorema de Sard-Brown nos permite deducir:

(2) El conjunto de los u tales que gu es inmersion es residual en Sm−1.

Por este procedimiento hemos probado la existencia de inmersiones inyectivas g :X → Rm−1. Si X es compacta, entonces por continuidad su imagen g(X) tambien loes, y g : X → g(X) un homeomorfismo, con lo que g es una inmersion difeomorficacerrada. La demostracion termina ası, pues si m − 1 > 2p + 1 podemos repetir elproceso. En el caso en que X no es compacta, debemos prolongar el razonamiento.

Primeramente, construiremos una aplicacion ρ : X → R propia y diferenciable(de nuevo algo trivial si X es compacta). Recubrimos para ello X por abiertos Uk,k ≥ 1, con Uk compacto, y tomamos una particion diferenciable de la unidad θksubordinada a los Uk. Entonces ρ =

∑k kθk es la solucion: si x /∈ U1 ∪ · · · ∪ Uk

ρ(x) =∑`>k

`θ`(x) > k∑`>k

θ`(x) = k.

Ademas, consideramos la retraccion radial

η : Rm−1 → Rm−1 : x 7→ x√1 + ‖x‖2

y la combinamos con la inmersion inyectiva g : X → Rm−1 ya construida para definir

f : X → Rm : x 7→ (η g(x), ρ(x)).

Esta aplicacion es una inmersion inyectiva propia (por todas las propiedades de g, ηy ρ), cuya imagen Y = f(X) es por tanto una variedad de dimension p, cerradaen Rm. Finalmente, repetimos el argumento previo y encontramos una inmersioninyectiva h : Y → Rm−1. Afirmamos que h f : X → Rm−1 es una inmersiondifeomorfica cerrada, lo que concluye la demostracion en este caso no compacto.

En efecto, si hf no fuera propia, existirıa una sucesion xk en X con ‖xk‖ → ∞pero ‖h f(xk)‖ ≤ cte. Pero entonces, recordando que h es la proyeccion paralelaa un vector v = (v′, vm) ∈ Sm−1 con vm 6= 0,±1, y teniendo en cuenta todas lasdefiniciones involucradas, tenemos:

h f(xk) = η g(xk)−ρ(xk)

vmv′,

Problemas 69

o sea:|ρ(xk)||vm|

‖v′‖ ≤ |h f(xk)‖+ ‖η g(xk)‖ ≤ cte + 1,

lo que al ser ρ propia implicarıa ‖v′‖ = 0 y por tanto vm = ±1, lo que explica porque se han excluido estos valores de vm desde el principio en todas las construcciones.

Problemas

Numero 1. Sea f : Rn → R una funcion diferenciable homogenea de grado d, es decir,tal que f(tx) = tdf(x) para t ∈ R, x ∈ Rn.

(1) Establecer la siguiente igualdad de Euler para funciones homogeneas:

n∑i=1

xi∂f

∂xi= d · f.

(2) Demostrar que cada ecuacion f = ε, ε 6= 0, define una hipersuperficie diferenciableXε de Rn.

(3) Probar que Xε es difeomorfa a X1 para ε > 0 y a X−1 para ε < 0.(4) ¿Son necesariamente difeomorfas estas dos ultimas hipersuperficies?

Numero 2. Se identifica del modo natural Rn×m con el espacio vectorial de las aplicacio-nes lineales Rm → Rn, y se considera el subconjunto X ⊂ Rn×m formado por las aplicacionescuya imagen es una recta.

(1) Demostrar que X es una variedad diferenciable, y calcular su dimension.(2) Mostrar que es diferenciable la aplicacion f : X → Pn−1 : u 7→ a, donde a es el punto

proyectivo definido por la recta vectorial u(Rm).(3) Probar que f es una sumersion, exhibiendo localizaciones del tipo Rm−1×(Rn\0)→

Rn−1.

Numero 3. Demostrar que el conjunto X ⊂ Rm×n de las matrices reales m× n de rangok es una variedad diferenciable y que su dimension es (m+ n− k)k.

Numero 4. Se identifica Rn×n con el espacio vectorial de las matrices cuadradas de ordenn.

(1) Demostrar que el conjunto Σ ⊂ Rn×n de las matrices simetricas es una variedaddiferenciable difeomorfa a un espacio afın, y calcular su dimension.

(2) Comprobar que la aplicacion f : Rn×n → Σ : A 7→ At · A es diferenciable y calcularsu derivada en A ∈ Rn×n.

(3) Interpretar Ω = f−1(I) como el grupo ortogonal, deducir que ese grupo es unavariedad diferenciable compacta y sin borde, y calcular su dimension.

70 II. Transversalidad

Numero 5. Sean Y ⊂ X dos variedades diferenciables, Y una interseccion completa decodimension k de X. Demostrar que el ideal de las funciones diferenciables X → R que seanulan sobre Y esta generado por k elementos. ¿Cuando k funciones generan ese ideal?

Numero 6. Sean X e Y dos variedades diferenciables y Z ⊂ X × Y una tercera variedaddiferenciable, todas sin borde. Demostrar que Z es el grafo de una aplicacion diferenciablef : X → Y si y solo si para cada x ∈ X la variedad Z corta transversalmente, y en un solopunto, a x × Y .

Numero 7. Demostrar que si una variedad de clase r ≥ 2 tiene dimension p, siempre existeuna inmersion f : X → R2p. Mostrar que para la circunferencia esta cota de inmersion nose puede mejorar.

Numero 8. Sea f : U → Rn una aplicacion diferenciable definida en un abierto U de Rm,m ≥ n. Demostrar que existen matrices A = (aij) con max |aij | arbitrariamente pequeno,de modo que x = 0 es valor regular de la aplicacion x 7→ f(x) +A · x.

Numero 9. Demostrar que si f : X → Y es una aplicacion diferenciable suprayectiva,entonces dimX ≥dimY .

Numero 10. Sean X,Y, Z tres variedades, Y y Z sin borde, y f : X → Y × Z unaaplicacion diferenciable. Demostrar que el conjunto A de los z ∈ Z tales que f es transversala Y × z es denso en Z.

Numero 11. Sean f : X → Rn y g : Y → Rn dos aplicaciones diferenciables, una de lasvariedades X o Y sin borde. Pruebese que el conjunto A de los u ∈ Rn tales que la aplicacionf + u es transversal a g es residual en Rn.

71

Capıtulo III

Aproximacion

Una razon por la cual la Topologıa Diferencial ocupa un lugar predominante en la Ma-

tematica actual es que permite tratar con exito cuestiones que se plantean inicialmente

fuera de su alcance. De nuevo se puede describir empıricamente el procedimiento: los datos

de partida se reemplazan adecuadamente por datos diferenciables y se resuelve el proble-

ma ası modificado. Ese reemplazo se formaliza por aproximacion. El teorema mas clasico

que se puede citar aquı es el de Stone-Weierstrass para aproximar por polinomios funciones

continuas sobre compactos afines. El objetivo de este capıtulo es demostrar los dos resulta-

dos siguientes para aplicaciones entre variedades diferenciables: (1) toda aplicacion continua

puede aproximarse arbitrariamente por aplicaciones diferenciables (seccion 4), y (2) toda

aplicacion continua es homotopa a aplicaciones diferenciables transversales a una variedad

prefijada (seccion 6). Estos dos teoremas principales se complementan con el hecho de que

la homotopıa continua entre aplicaciones diferenciables garantiza la homotopıa diferenciable

(seccion 5). Ademas, se obtienen los enunciados correspondientes para aplicaciones y homo-

topıas propias, con un resultado mejor en este caso (seccion 7). Para llegar a estos objetivos,

se define primero en la seccion 1 el fibrado normal de una variedad en el espacio afın que la

contiene, y con el se construye en la seccion 2 una base de entornos especiales de la variedad:

los entornos tubulares. Por otra parte, es necesario dar significado topologico riguroso a la

proximidad de aplicaciones, lo que aquı se hace introduciendo en la seccion 3 la topologıa

fuerte de un espacio de aplicaciones continuas. Una propiedad que explica la eleccion de esta

topologıa es que toda aplicacion suficientemente proxima a una dada es homotopa a ella.

72 III. Aproximacion

1. Fibrado normal

Sea X ⊂ Rm una variedad de clase r ≥ 1 y de dimension pura p.

Construccion del fibrado normal. Para cada x ∈ X denotamos por NxX elsubespacio vectorial de Rm ortogonal a TxX, que se denomina espacio normal a Xen x. Claramente

dimNxX = m− p, NxX ⊕ TxX = Rm.

Ahora, sea

NX = (x, u) ∈ X × Rm : u ∈ NxX ⊂ X × Rm ⊂ Rm × Rm

y consideremos la restriccion ν : NX → X de la proyeccion lineal

Rm × Rm → Rm : (x, u) 7→ x.

El par (NX, ν), denotado simplemente NX, se denomina fibrado normal de X enRm.

Es claro que ν es una aplicacion diferenciable, y que su fibra sobre un puntox ∈ X se identifica con el espacio normal a X en x. Ademas ν tiene una inversapor la derecha, denominada seccion nula del fibrado: x 7→ (x, 0). Esta seccion nulaes claramente diferenciable, y un difeomorfismo sobre su imagen X × 0 ⊂ NX.Ademas:

Proposicion 1.1 En la situacion anterior, NX ⊂ R2m es una variedad de claser − 1, dimension pura m, y borde ∂(NX) = ν−1(∂X).

Demostracion. Sea a ∈ X. Como hicimos en la seccion sobre intersecciones comple-tas, consideramos una parametrizacion adaptada ϕ : U → V , a ∈ V , de modo queX ∩ V = ϕ

(U ∩ (Hp × 0)

), y las funciones

fi : V → R : x 7→ ϕ−1(x) = (z1, . . . , zm) 7→ zi, p < i ≤ m.

Las derivadas dxfp+1, . . . , dxfm son independientes, y para cada x ∈ X ∩ V se tiene

TxX = ker(dxfp+1) ∩ · · · ∩ ker(dxfm).

Esto significa que los vectores

∇xfi =

(∂fi∂x1

(x), . . . ,∂fi∂xm

(x)

), p < i ≤ m,

2. Entornos tubulares 73

son independientes, y ortogonales a TxX, luego una base del espacio vectorial NxX.Concluimos que la aplicacion

ϕν : U × Rm−p → V × Rm : (z, t) 7→ (ϕ(z),∑

1≤i≤m−pti∇ϕ(z)fp+i)

es una inmersion difeomorfica, y tambien lo es su restriccion

ϕν | :(U ∩ (Hp × 0)

)× Rm−p → (V ∩X)× Rm = W.

Pero la imagen de esta restriccion es W ∩NX = ν−1(V ∩X). Con esto la proposicionresulta inmediatamente.

Observese que de la demostracion anterior se desprende que la aplicacion ν tienela forma local canonica de una proyeccion lineal, y es por tanto una sumersion.

2. Entornos tubulares

Mediante el fibrado normal se obtienen entornos especiales de una variedad X enel espacio afın Rm que la contiene. Estos entornos son esenciales para los resultadosde aproximacion que probaremos.

Proposicion 2.1 Sea X ⊂ Rm una variedad sin borde de clase r ≥ 2 y sea NX sufibrado normal. Entonces la aplicacion

e : NX → Rm : (x, u) 7→ z = x+ u

es de clase r − 1 y existe un entorno abierto Ω de X × 0 en NX tal que:

(1) La imagen e(Ω) = W es un entorno abierto de X en Rm.

(2) La restriccion e|Ω : Ω→W es un difeomorfismo de clase r − 1.

Demostracion. Que e es de clase r − 1 es obvio. Veamos ahora que es un difeo-morfismo local en todo punto (a, 0) ∈ X × 0. Por el teorema de inversion localbasta ver que d(a,0)e es biyectiva, y puesto que dimNX = dimRm, basta ver que essuprayectiva. Ahora bien, componiendo e con la seccion nula del fibrado normal

X → NX : x 7→ (x, 0)


resulta la inclusion X ⊂ Rm, y aplicando la regla de la cadena vemos que la imagende d(a,0)e contiene el espacio tangente TaX. El mismo razonamiento, componiendoahora e con la inmersion

NaX → NX : u 7→ (a, u)

deducimos que esa imagen contiene NaX. En fin, im(d(a,0)e) contiene la suma TaX+NaX = Rm, y tenemos la suprayectividad requerida.

Visto lo anterior, concluiremos lo que queremos si encontramos un entorno abier-to Ω de X × 0 en NX, tal que e|Ω sea inyectiva. Para hacer eso, definimos unafuncion τ : X → R por la formula siguiente:

τ(x) es el ınfimo de los s ∈ R tales que existen u ∈ Rm e (y, v) ∈ NX con‖v‖ ≤ ‖u‖ = s, x 6= y, e(x, u) = e(y, v).

Evidentemente, e es inyectiva en el conjunto

E = (x, u) ∈ NX : ‖u‖ < τ(x),

y para terminar veremos que E es un entorno de X ×0, con lo que bastara tomarcomo Ω el interior topologico de E.

Sea a ∈ X. Por lo visto al principio, e es inyectiva en un entorno V de (a, 0), quepodemos elegir de la forma V : ‖x− a‖+ ‖u‖ < ε. Un sencillo calculo muestra que

τ(x) ≥ 16ε si ‖x− a‖ < 1

2ε,

de donde se deduce

E ⊃ (x, u) ∈ NX : ‖x− a‖ < 1

2ε, ‖u‖ < 1

6ε,

que es un entorno abierto de (a, 0).

Segun la ultima proposicion, obtenemos un diagrama conmutativo:

NX⋃Ω

ν|

e

difeo

X

Rm⋃W

π

(x, u) 7→ z = x+ u

x

-

-

@@R @@R

2. Entornos tubulares 75

que fijamos en todo lo que sigue. Observamos que π es una sumersion (por serlo ν)y una retraccion sobre X (es decir, π|X = IdX).

Proposicion 2.2 En la situacion anterior, existe una aplicacion continua y estric-tamente positiva ε : X → R tal que la restriccion

π| : Wε =z ∈W : ‖z − π(z)‖ ≤ ε(π(z))

→ X

es propia.

Demostracion. Por ser e : Ω→W difeomorfismo, basta buscar ε tal que

ν| : Ωε = (x, u) ∈ Ω : ‖u‖ ≤ ε(x) → X

sea propia. Pero Ω es un entorno abierto de X × 0 en NX, y la funcion

ε : X → R : x 7→ 1

2d((x, 0), NX \ Ω)

es continua y estrictamente positiva. Ahora, si (x, u) ∈ NX y ‖u‖ ≤ ε(x) resultad((x, 0), (x, u)) = ‖u‖ < d((x, 0), NX \ Ω), con lo que (x, u) ∈ Ω (todo esto usandola distancia euclıdea en NX ⊂ X × Rm ⊂ R2m). Resta ver que la restriccion ν|Ωε

es propia. Para ello, sea (xk, uk) ∈ Ωε tal que exista el lımite a = lımk xk. Entonces‖uk‖ ≤ ε(xk) ≤ ε(a) + cte, para k suficientemente grande (continuidad de ε), y portanto la sucesion (uk) tiene alguna subsucesion convergente, digamos a u ∈ Rm.Veamos que u ∈ NaX. Pero ya hemos visto antes que podemos encontrar funcionesdiferenciables g1, . . . , gm−p : U → Rm definidas en un entorno U de a, de modo queg1(x), . . . , gm−p(x) son una base de NxX para cada x ∈ U . Por tanto, para k grande:

rango(uk, g1(xk), . . . , gm−p(xk)) = m− p,

y pasando al lımite

rango(u, g1(a), . . . , gm−p(a)) = m− p,

luego u ∈ NaX. Finalmente, ‖uk‖ ≤ ε(xk) implica ‖u‖ ≤ ε(a) y por la nota inicial,(a, u) ∈ Ωε.

Observaciones y terminologıa. (1) Si X es cerrado en Rm, podemos elegir ε demodo que Wε sea cerrado en Rm, con lo que Wε ⊂Wε.

En efecto, sea W1 un entorno abierto de X tal que W1 ⊂ W , que existe por lahipotesis sobre X. El conjunto Wε ∩W1 es cerrado en Rm, y para ε suficientementepequeno, Wε ⊂W1,


sAAAAAAAAAAAA

s X

Rm

Wε

W1

W

NxX

TxX

x = π(y)

y

ε(x)

XXz

(2) Si X es compacta, ε : X → R tendra un mınimo > 0, con lo que reemplazandola funcion por su mınimo, podemos suponerla constante.

(3) Por brevedad, resumiremos la situacion que acabamos de describir sin men-cionar explıcitamente todos los datos Ω, W , π, ε, etc.: diremos simplemente que

Wε = z ∈W : ‖z − π(z)‖ < ε(π(z)) ⊂Wε ⊂W

es un entorno tubular o un tubo de X en Rm. Notese que por la propia construccionesos tubos son una base de entornos de X en Rm.

3. Espacios de aplicaciones

Utilizaremos los tubos de la seccion anterior para aproximar aplicaciones entrevariedades. Pero antes es necesario definir con precision que entendemos aquı poraproximar. Aunque muchas de las observaciones que siguen son validas en condi-ciones mas generales, simplificaremos la exposicion suponiendo siempre la siguientesituacion: X ⊂ Rm es un conjunto cualquiera e Y ⊂ Rn una variedad de clase≥ r ≥ 0.

Denotamos por C(X,Y ) el conjunto de las aplicaciones continuas de X en Y , ypor Cr(X,Y ) el de las de clase r. Como se ha advertido antes, no es necesariamenteC = C0.

Proposicion y Definicion 3.1 Sea f : X → Y una aplicacion continua. Para

3. Espacios de aplicaciones 77

cada aplicacion continua estrictamente positiva ε : X → R denotamos:

Bε(f) = g ∈ C(X,Y ) : ‖g − f‖ < ε.

Todos estos Bε(f) forman una base de entornos abiertos de f para una topologıa enC(X,Y ).

Esta topologıa se denomina topologıa fuerte.

Demostracion. En efecto, Bε1(f) ∩ Bε2(f) = Bε(f) para ε = mınε1, ε2, y sig ∈ Bε(f), la aplicacion

δ = ε− ‖f − g‖ : X → R

es continua y estrictamente positiva, y se cumple Bδ(g) ⊂ Bε(f).

Observacion. Si X es compacto, entonces ε tiene mınimo ε0, y Bε(f) ⊃ Bε0(f).Por tanto en este caso, los entornos definidos por funciones constantes forman yauna base de entornos.

Hay muchas formas de introducir la topologıa fuerte, ası como otras topologıasmas o menos finas. Aquı intentamos reducir las generalidades sobre topologıas enespacios de aplicaciones a la sola definicion y el hecho de que la topologıa fuerte nodepende mas que del tipo topologico de X e Y . Para ello hay que encontrar unabase de la topologıa que no involucre normas ni distancias.

Proposicion 3.2 Para cada abierto W de X × Y denotamos

UW = h ∈ C(X,Y ) : grafo(h) ⊂W.

Entonces los UW son una base de la topologıa fuerte.

Demostracion. Veamos que UW es abierto. Si f ∈ UW entonces

ε(x) = d((x, f(x)), X × Y \W

), x ∈ X,

es una funcion continua y estrictamente positiva, y Bε(f) ⊂ UW : si g ∈ Bε(f),x ∈ X, la desigualdad

d((x, f(x)), (x, g(x))

)= ‖f(x)− g(x)‖ < ε(x) = d

((x, f(x)), X × Y \W

)implica (x, g(x)) ∈W .


Recıprocamente, dados g ∈ Bε(f), el conjunto

W = (x, y) ∈ X × Y : d((x, y), (x, g(x))

)< ε(x)− ‖f(x)− g(x)‖

es abierto, y contiene el grafo de g; por tanto, g ∈ UW . Ademas, UW ⊂ Bε(f): sih ∈ UW , x ∈ X, tenemos:

‖h(x)− f(x)‖ ≤ ‖h(x)− g(x)‖+ ‖g(x)− f(x)‖ =

= d((x, h(x)), (x, g(x))

)+ ‖g(x)− f(x)‖ < ε(x).

El resultado basico que necesitaremos es el siguiente:

Teorema 3.3 Supongamos que Y no tiene borde y sea f : X → Y una aplicacioncontinua (resp. propia). Entonces toda aplicacion continua g : X → Y suficiente-mente proxima a f en la topologıa fuerte es homotopa (resp. propiamente homotopa)a f .

Demostracion. Por el teorema de inmersion de Whitney, podemos suponer que Yes un cerrado en Rn, y tomamos un tubo W de Y en Rn, de modo que la retraccionπ : W → Y esta definida y es propia. Entonces la funcion

ε : X → R : x 7→ d(f(x),Rn \W ) > 0

es continua. Sea g : X → Y continua tal que ‖f − g‖ < mın1, ε. Podemos definir

F : [0, 1]×X →W : (t, x) 7→ tf(x) + (1− t)g(x).

En efecto, tenemos

‖f(x)− F (t, x)‖ =∥∥f(x)−

(tf(x) + (1− t)g(x)

)∥∥ =

|1− t|‖f(x)− g(x)‖ < ε(x) = d(f(x),Rn \W ),

luego F (t, x) ∈W .

En esta situacion Ht = π Ft es una homotopıa con H0 = g, H1 = f . Ahora, sif es propia, debemos ver que lo es H. Como π : W → Y es propia, basta ver que Fes propia. Sean pues (tk, xk) una sucesion cuyas imagenes yk = F (tk, xk) converjana un punto b ∈W . Buscamos una subsucesion convergente de esos (tk, xk), pero

‖f(xk)‖ ≤ ‖f(xk)− F (tk, xk)‖+ ‖F (tk, xk)‖ =

|1− tk|‖f(xk)− g(xk)‖+ ‖yk‖ ≤ 1 + ‖yk‖,

4. Aproximacion por aplicaciones diferenciables 79

y como los yk convergen, su norma es acotada. Como Y es cerrado en Rn, resultaque f : X → Rn es propia, y se sigue que los xk tienen alguna subsucesion con-vergente. En fin, la correspondiente subsucesion de los tk en [0, 1] tendra otra tam-bien convergente, y obtenemos la subsucesion convergente de los (tk, xk) buscada.

Observaciones. (1) El preambulo involucrando el teorema de inmersion cerrada yel tubo W cerrado en Rn es necesario solo para la homotopıa propia.

(2) Una forma de enunciar el teorema anterior es que las clases de homotopıa(resp. homotopıa propia) son abiertas en la topologıa fuerte. En particular, las apli-caciones propias son un conjunto abierto en la topologıa fuerte.

4. Aproximacion por aplicacionesdiferenciables

El resultado central de esta seccion es:

Teorema 4.1 (Teorema de aproximacion diferenciable) Sean X ⊂ Rm un conjuntolocalmente cerrado e Y ⊂ Rn una variedad sin borde de clase r ≥ 2. Sea C ⊂ X unsubconjunto cerrado. Entonces toda aplicacion continua f : X → Y cuya restricciona un entorno de C es de clase r−1 puede aproximarse arbitrariamente en la topologıafuerte por aplicaciones de clase r − 1 que coinciden con f en un entorno de C.

Demostracion. Por ser X localmente cerrado, es cerrado en cierto abierto U deRm. Por hipotesis, existe un entorno abierto U ′ de C en U tal que f |U ′ ∩X es declase r− 1. En consecuencia, por la version del teorema de Tietze que demostramospara funciones de clase (I.3.3), existe una aplicacion f ′ : U ′ → Rn (no Y ) de claser − 1 que coincide con f en U ′ ∩ X. A continuacion, como C es cerrado en U ,podemos elegir un entorno abierto V de C en U tal que V ⊂ U ′, y definimos delmodo evidente mediante f y f ′ una extension continua de f a D = V ∪X que tomavalores en Rn; notese que esta extension es de clase r − 1 en el abierto V . ComoD es cerrado en U , por el teorema de Tietze para funciones continuas, obtenemosuna extension continua a todo U . De este modo, tenemos una aplicacion continuaU → Rn, que es de clase r − 1 en el entorno abierto V de C en U , y extiende laaplicacion f : X → Y ⊂ Rn inicial; denotaremos esa extension final por la mismaletra f : U → Rn.

Despues de estos preparativos, consideramos una funcion ε : X → R continuay estrictamente positiva. Por el teorema de extension de Tietze, esta funcion tiene


una extension continua a U , que denotamos con la misma letra ε : U → R, y reem-plazando U por ε > 0 podemos simplemente suponer ε definida y estrictamentepositiva en U .

Procedemos a continuacion en dos etapas.

Aproximacion de f : U → Rn. Por ser f continua, cada x ∈ U \C tiene un entornoUx ⊂ U \ C tal que ‖f − f(x)‖ < ε en Ux. Sea θ, θx una particion diferenciablede la unidad subordinada al recubrimiento V,Ux de U , y definamos

h = fθ +∑

x∈U\C

f(x)θx : U → Rn.

Es claro que h es de clase r − 1, y se verifica

‖h(z)− f(z)‖ =

∥∥∥∥ ∑x∈U\C

f(x)θx(z)−( ∑x∈U\C

θx(z)

)f(z)

∥∥∥∥ ≤∑x∈U\C

θx(z)‖f(x)− f(z)‖ < ε(z)

(pues si ‖f(x)− f(z)‖ ≥ ε(z), entonces z /∈ Ux, con lo que θx(z) = 0). Ademas,

F =⋃

x∈U\C

θx 6= 0 ⊂⋃

x∈U\C

Ux ⊂ U \ C,

y como la union es localmente finita, F es cerrado en U , con lo que U \ F es unentorno abierto de C en el que todas las θx se anulan, luego en el que θ ≡ 1 y h = f .

Retraccion de la aproximacion anterior mediante un tubo. Sea W un tubo de Yen Rn, y π : W → Y la retraccion correspondiente. Ahora la funcion ε′(x) =d(f(x),Rm \ W ) es continua y estrictamente positiva en X. Podemos por tantoreemplazar U por ε′ > 0, o simplemente suponer f(U) ⊂ W . Usando mınε, ε′en lugar de ε en la etapa anterior, tendremos h(U) ⊂W .

Para x ∈ X, sea Kx un entorno compacto de x en U y εx > 0 el mınimo de ε enKx. El conjunto

Vx = y ∈W : ‖π(y)− f(x)‖ < 12εx

(observese que f(x) = π(f(x)) es un entorno abierto de f(x) en Rn y contiene unabola de centro f(x) y radio δx < εx. Sea Bx la bola de centro f(x) y radio 1

2δx.Ahora, por continuidad, en un entorno abierto Ax ⊂ f−1(Bx) ∩ Kx de x en U setiene ‖f −f(x)‖ < 1

2δx. Si reemplazamos U por la union de los Ax podemos suponer

4. Aproximacion por aplicaciones diferenciables 81

que recubren U , y mediante una particion de la unidad ζxx∈X subordinada aAxx∈X , definimos

ε′′ =∑x∈X

12δxζx : U → R,

que es continua y estrictamente positiva. A continuacion reemplazamos ε por elmınimo de ε, ε′, ε′′ en la primera etapa, y afirmamos que la composicion g = π h,que esta bien definida y es de clase r − 1 pues h(U) ⊂W , resuelve el problema.

En efecto, observese primero que como h coincide con f en un entorno de C, encada punto z de ese entorno es h(z) = f(z) ∈ Y , luego g(z) = π h(z) = π(f(z)) =f(z). Dicho esto, resta solo estimar ‖g − f‖ en X. Para ello, sea z ∈ X y ζx(z) 6= 0exactamente para x = x1, . . . , xs ∈ X. Entonces

ε′′(z) =∑

1≤i≤s

12δxiζxi(z) ≤

12δx1 ,

siendo, por ejemplo, δx1 el maximo de los δxi . Como z ∈ Ax1 , es f(z) ∈ Bx1 , luego:

‖h(z)− f(x1)‖ ≤ ‖h(z)− f(z)‖+ ‖f(z)− f(x1)‖ < ε′′(z) + 12δx1 ≤ δx1 ,

con lo que h(z) ∈ Vx1 y ‖π(h(z))− f(x1)‖ < 12εx1 . Por otra parte, z ∈ Ax1 tambien

implica ‖f(z)− f(x1)‖ < 12εx1 , o sea que

‖g(z)− f(z)‖ ≤ ‖π(h(z))− f(x1)‖+ ‖f(z)− f(x1)‖ < εx1 ,

y εx1 < ε(z) pues z ∈ Ax1 ⊂ Kx1 .

Observaciones. (1) Si en el enunciado anterior se toma C = ∅, tenemos un resul-tado de aproximacion simple sin restricciones sobre la aplicacion aproximante.

(2) En el enunciado anterior no se ha incluido la formulacion para la aproxi-macion de una aplicacion propia f . La razon es que no es necesario hacerlo, puespor formar las aplicaciones propias un abierto del espacio de aplicaciones, cualquieraplicacion diferenciable que este suficientemente cercana a f sera propia.

Como consecuencia de este teorema y del de la seccion anterior obtenemos:

Corolario 4.2 Toda aplicacion continua (resp. propia) f : X → Y es homotopa(resp. propiamente homotopa) a una aplicacion de clase r − 1.


5. Homotopıa y homotopıa diferenciable

Combinado con los resultados sobre homotopıa y aproximacion ya vistos, el si-guiente, debido a R. Thom, es de capital importancia.

Teorema 5.1 Sean X ⊂ Rm un conjunto localmente cerrado e Y ⊂ Rn una varie-dad sin borde de clase r ≥ 2. Sean f, g : X → Y dos aplicaciones de clase r − 1y homotopas (resp. propiamente homotopas). Entonces lo son por una homotopıa(resp. una homotopıa propia) de clase r − 1.

Demostracion. Despues de los resultados previamente obtenidos, podemos dar unademostracion enganosamente breve. Sea H : [0, 1]×X → Y continua (resp. propia)con H0 = f , H1 = g. Consideramos una funcion meseta de clase infinito η : [0, 1]→[0, 1] que es ≡ 0 para 0 ≤ t ≤ 1

3 y ≡ 1 para 23 ≤ t ≤ 1 y modificamos la homotopıa

anterior como sigue:

H ′ : [0, 1]×X → Y : (t, x) 7→ H(η(t), x).

Esta nueva homotopıa es ≡ f para 0 ≤ t ≤ 13 y es ≡ g para 2

3 ≤ t ≤ 1), con loque es una aplicacion de clase r − 1 en un entorno de C = 0, 1 × X. Ası, por elteorema de aproximacion, podemos reemplazar H ′ por una aplicacion de clase r−1,que coincide con H ′ en un entorno de C, y que es por tanto una homotopıa de claser − 1 entre f y g.

6. Homotopıa y transversalidad

Para la demostracion del teorema de esta seccion es necesario algun procedimien-to de deformacion de aplicaciones continuas. Nosotros usaremos el siguiente:

Proposicion 6.1 (Lema de deformacion por homotopıa) Sean X ⊂ Rm un conjun-to localmente cerrado, Y ⊂ Rn una variedad sin borde de clase r ≥ 2 y γ : X → [0, 1]una funcion de clase r − 1. Sea f : X → Y una aplicacion (resp. una aplicacionpropia) de clase r − 1. Existe una aplicacion F : B ×X → Y de clase r − 1, dondeB es la bola euclıdea abierta de centro el origen y radio 1 de un espacio afın, tal que

(1) F (0, x) = f(x) para cada x ∈ X.

(2) Todas las aplicaciones parciales Fa : X → Y , a ∈ B, son homotopas (resp.propiamente homotopas) a f .

6. Homotopıa y transversalidad 83

(3) Si x ∈ X es tal que γ(x) 6= 0, la aplicacion parcial Fx : B → Y es una sumer-sion.

(4) Si x ∈ X es tal que γ(x) = 0, entonces se tiene F (a, x) = f(x) y

∂F∂a (a, x) = 0, ∂F

∂x (a, x) = dxf

para todo a ∈ B.

Demostracion. Por el teorema de inmersion de Whitney podemos suponer queY ⊂ Rn es un cerrado de Rn, y tenemos un tubo W tal que la retraccion π : W → Yesta definida y es propia. Construimos ε : Y → R de clase r−1 como sigue. Primerorecubrimos Y con abiertos Ui de Rn cuya adherencia Ui en Rn sea compacta yeste contenida en W , y denotamos

di = mınd(z,Rn \W ) : z ∈ Ui > 0.

Despues, mediante una particion diferenciable de la unidad θi subordinada alrecubrimiento abierto Ui definimos para y ∈ Y :

ε(y) =∑i

θi(y) mın1, di > 0.

Como θi(y) 6= 0 implica y ∈ Ui, resulta ε(y) ≤ d(y,Rn \W ). Sea B la bola euclıdeaabierta de Rn de centro el origen y radio 1. Para cada a ∈ B, la aplicacion

Fa : X → Y : x 7→ π(f(x) + γ2(x)ε(f(x))a

),

esta bien definida, pues∥∥f(x)−(f(x) + γ2(x)ε(f(x))a

)∥∥ = γ2(x)ε(f(x))‖a‖ <ε(f(x)) ≤ d(f(x),Rn \W ),

y ası f(x) + γ2(x)ε(f(x))a ∈W . Claramente, la aplicacion asociada

F : B ×X → Y : (a, x) 7→ π(f(x) + γ2(x)ε(f(x))a

)es de clase r − 1 y F0 = f . Hemos probado (1).

La afirmacion (2) resulta de que para cada a ∈ B, la aplicacion

H(t, x) = Fta(x) = π(f(x) + γ2(x)ε(f(x))ta

)es una homotopıa (propia si lo es f).


Ahora, para x ∈ X fijo con γ(x) 6= 0, la aplicacion

a 7→ f(x) + γ2(x)ε(f(x))a

es una homotecia, luego una sumersion. Como π tambien lo es, la composicion Fxde las dos es sumersion como dice (3).

Finalmente, sea x ∈ X tal que γ(x) = 0. Entonces ∂F∂a (a, x) es la derivada de la

aplicacion constante Fx : a 7→ f(x), luego ≡ 0. Ademas

dxγ2 = 2γ(x)dxγ = 0,

y resulta∂F∂x (a, x) = dxFa = df(x)π dxf = dx(π f) = dxf

lo que demuestra (4).

Pasemos ya al teorema de transversalidad que queremos establecer:

Teorema 6.2 Sea r≥ 2. Sean X una variedad de clase r−1, Y una variedad sinborde de clase r, y Z ⊂ Y una variedad sin borde de clase r − 1. Suponemos estastres variedades de dimension pura, y que se verifica r > dim(X) − codim(Y,Z).Suponemos ademas que Z es un cerrado de Y , y dado un subconjunto cerrado C deX. Entonces, para cada aplicacion continua (resp. propia) f : X → Y de clase r− 1en un entorno de C y tal que f y f |∂X son transversales a Z en C \ ∂X y C ∩ ∂Xrespectivamente, existe una aplicacion g : X → Y de clase r − 1 tal que:

(1) g es homotopa (resp. propiamente homotopa) a f ,

(2) g coincide con f en un entorno de C en X, y

(3) g y g|∂X son transversales a Z.

Demostracion. En primer lugar, por el teorema de aproximacion, podemos suponerque f es de clase r − 1. Puesto que la transversalidad es una propiedad abierta,existe un entorno abierto W de C en X tal que f –tWZ. De igual manera, podemossuponer (f |∂X) –tW∩∂XZ. Ahora, sea U un entorno abierto de C tal que U ⊂ W yconsideremos una funcion diferenciable separante γ : X → [0, 1] que es ≡ 0 sobreU y es ≡ 1 sobre X \W . Ahora aplicamos la proposicion anterior y obtenemos lacoleccion de aplicaciones

Fa : X → Y : x 7→ π(f(x) + γ2(x)ε(f(x))a

), a ∈ B,

7. Aproximacion y transversalidad 85

que son todas homotopas (resp. propiamente homotopas) a f y coinciden con f enU . Veamos ahora que F es transversal a Z. Sea F (a, x) ∈ Z. Si γ(x) 6= 0, entoncesFx es sumersion, y hemos terminado. Supongamos pues γ(x) = 0. Entonces, como∂F∂a (a, x) = 0 y ∂F

∂x (a, x) = dxf , d(a,x)F y dxf tienen la misma imagen E ⊂ Tf(x)Y .Pero como γ(x) = 0, es x ∈W , con lo que

f –txZ y (f |∂X) –txZ para x ∈ ∂X.

De estas dos condiciones se deducen las dos que siguen

F –t(a,x)Z y (F |B × ∂X) –t(a,x)Z para (a, x) ∈ B × ∂X.

Por tanto, podemos aplicar el teorema parametrizado de densidad de la transversa-lidad y la aplicacion buscada es g = Fa para un a ∈ B generico.

7. Aproximacion y transversalidad

El resultado de homotopıa y transversalidad permite reemplazar una aplicacioncontinua f por aplicaciones diferenciables que verifiquen condiciones de transversa-lidad adecuadas, y que sean homotopas a f . Esto es suficiente en muchas situacionesimportantes, pero no en otras: no siempre basta trabajar en la clase de homotopıade f , sino que debe hacerse en un entorno arbitrariamente pequeno de f . Comosabemos, lo segundo es mas restrictivo que lo primero, y el objetivo de esta secciones conseguir aquello cuando f es propia (por ejemplo, siempre que X sea compacta).

Teorema 7.1 Sea r≥ 2. Sean X una variedad de clase r−1, Y una variedad sinborde de clase r, y Z ⊂ Y una variedad sin borde de clase r − 1. Suponemos estastres variedades de dimension pura, y que se verifica r > dim(X) − codim(Y,Z).Suponemos ademas que Z es un cerrado de Y , y dado un subconjunto cerrado C deX. Entonces, para cada aplicacion propia f : X → Y de clase r − 1 en un entornode C y tal que f y f |∂X son transversales a Z en C \∂X y C∩∂X respectivamente,existe una aplicacion g : X → Y de clase r − 1 tal que:

(1) g esta arbitrariamente proxima a f en la topologıa fuerte,

(2) g coincide con f en un entorno de C en X, y

(3) g y g|∂X son transversales a Z.


Demostracion. Si se repasa la demostracion del teorema de homotopıa y trans-versalidad, se observa que el nuevo enunciado se sigue del mismo modo, si pode-mos demostrar que todas las aplicaciones Fa del lema de deformacion aproximansuficientemente f . Para ello fijamos una funcion continua estrictamente positivaρ : X → R, y retomamos la construccion de las Fa con todas sus notaciones paraconcluir ‖f − Fa‖ < ρ. En efecto, habıamos demostrado que∥∥f(x)−

(f(x) + γ2(x)ε(f(x))a

)∥∥ < ε(f(x)), para todo x ∈ X,

para cierta funcion ε : Y → R. A continuacion, mostraremos que se puede modificaresta ε de modo que se deduzca

‖f(x)− Fa(x)‖ < ρ(x) para todo x ∈ X.

Con esta intencion, recordemos que ε estaba definida mediante una particion dife-renciable de la unidad θi subordinada a un recubrimiento Ui de Y por abiertosdel tubo W cuyas adherencias Ui en Rn son compactas; con precision, la formula era

ε(y) =∑

iθi(y) mın1, di > 0 para y ∈ Y.

Evidentemente, podemos suponer dado otro recubrimiento abierto Wi de W talque cada Wi es compacto y Ui ⊂ Wi. Por otra parte, π es continua en W , quecontiene a cada compacto Wi, de modo que π es uniformemente continua en Wi:existe ηi > 0 tal que si ‖y − z‖ < ηi se tiene

‖π(y)− π(z)‖ < ρi,

para cualquier ρi > 0 que convenga. Ahora, como f : X → Y es propia e Y escerrado en Rn, cada imagen inversa f−1(Ui) es compacta, y elegimos

ρi = mınρ(x) : x ∈ f−1(Ui) > 0.

Observese que para la acotacion uniforme anterior debemos suponer y, z ∈Wi, perotomando ηi < dist(Ui,Rn \Wi) la condicion ‖y − z‖ < ηi, y supuesto que y ∈ Ui,implica z ∈Wi. En fin, modificamos la definicion de ε ası:

ε(y) =∑

iθi(y) mın1, di, ηi > 0.

Veamos que esta es la eleccion acertada.

Sea x ∈ X, y denotemos z = f(x) + γ2(x)ε(f(x))a, de manera que Fa(x) = π(z)y ‖f(x)− z‖ < ε(f(x)). Obtenemos la estimacion siguiente:

ε(f(x)) ≤ maxηi : x ∈ f−1(Ui),

Problemas 87

luego existe un i con f(x) ∈ Ui, y ‖f(x) − z‖ < ηi, con lo que por la acotacionuniforme previa, es

‖f(x)− Fa(x)‖ = ‖π(f(x))− π(z)‖ < ρi ≤ ρ(x).

Ası, tal y como explicamos al principio, queda demostrado el teorema.

Problemas

Numero 1. Demostrar que si una variedad X ⊂ Rm es una interseccion completa decodimension k, entonces hay un difeomorfismo ϕ : X ×Rk → NX tal que ν ϕ : (x, z) 7→ x.¿Es cierto el recıproco?

Numero 2. Sean X ⊂ Rm una variedad diferenciable, y (TX, τ) y (NX, ν) sus fibradostangente y normal respectivamente. Demostrar que

M = ((x, u), (x, v)) ∈ R4m : x ∈ X,u ∈ TxX, v ∈ NxX

es una variedad difeomorfa a X × Rm.

Numero 3. Sea X ⊂ Rm una variedad sin borde de clase r ≥ 2, cerrada en Rm. Probarque existe un difeomorfismo f : NX → U del fibrado normal NX de X sobre un entornoabierto U de X en Rm tal que f(x, 0) = x para todo x ∈ X.

Numero 4. Sea X ⊂ Rm una variedad compacta sin borde, y sea NX su fibrado normal.Dado ε > 0 denotamos

NXε = (x, u) ∈ NX : ‖u‖ < ε,

que es un entorno abierto de X × 0 en NX. Probar:(1) Si la aplicacion e : (x, u) 7→ x + u induce un difeomorfismo de NXε sobre un tubo

Wε de X, se verifica Wε = y ∈ Rm : dist(y,X) < ε.(2) Si el tubo Wε cumple la condicion anterior, entonces la retraccion π : Wε → X

cumple dist(y, π(y)) = dist(y,X) para cada y ∈Wε.

Numero 5. Sea C(X,Y ) el espacio de las aplicaciones continuas de un conjunto X ⊂ Rm

en una variedad Y ⊂ Rn. Sea Ci una familia localmente finita de cerrados de X y seaGi una familia de abiertos de Y . Demostrar que el conjunto

A = f ∈ C(X,Y ) : f(Ci) ⊂ Gi para todo i

es un abierto en la topologıa fuerte.


Numero 6. Sea C(X,Y ) el espacio de las aplicaciones continuas de un conjunto X ⊂ Rm

en una variedad Y ⊂ Rn, dotado de la topologıa fuerte. Demostrar que las aplicaciones pro-pias forman un subconjunto cerrado (por tanto, si es no vacıo, es una union de componentesconexas).

Numero 7. Sea X una variedad diferenciable de dimension < q. Demostrar que cualquieraplicacion continua f : X → Sq es nulhomotopa.

Numero 8. Sean X una variedad de clase r ≥ 2 y f, g : X → R dos aplicaciones continuastales que f(x) < g(x) para todo x ∈ X. Probar que existe una aplicacion h : X → R declase r tal que f(x) < h(x) < g(x) para todo x ∈ X.

Numero 9. Sean X,Y dos variedades de clase r ≥ 2. Dos aplicaciones X → Y de clases < r se llaman s-equivalentes si son homotopas por una homotopıa de clase s.

(1) Demostrar que esta es en efecto una relacion de equivalencia en Cr(X,Y ). Denotamospor [X,Y ]s el correspondiente conjunto de clases de equivalencia.

(2) Probar que la inclusion Cs(X,Y ) ⊂ C(X,Y ) induce de modo natural una biyeccion[X,Y ]s → [X,Y ]0.

Numero 10. Sean X una variedad compacta de clase r ≥ 2 y F : [0, 1] × X → Rn unaaplicacion de clase r tal que f = F0 : X → Rn es una inmersion (resp. una sumersion).Demostrar que para todo t > 0 suficientemente pequeno la aplicacion Ft es tambien unainmersion (resp. sumersion).

Numero 11. SeanX e Y dos variedades clase r ≥ 2, la primera compacta, y sea F : [0, 1]×X → Y una aplicacion de clase r tal que f = F0 : X → Y es transversal a Z ⊂ Y . Demostrarque para todo t > 0 suficientemente pequeno la aplicacion Ft es tambien transversal a Z.

Numero 12. Sea X ⊂ Rm una variedad sin borde y representemos por π : E → X sufibrado tangente o su fibrado normal. Demostrar que dada una variedad Y ⊂ E sin borde,siempre existen aplicaciones diferenciables σ : X → E con π σ = Id, arbitrariamenteproximas a la seccion nula y transversales a Y .

Numero 13. Sean f : X → Y , g : X → Z y h : Y → Z aplicaciones de clase r. Probar queexiste g′ : X → Z de clase r y homotopa a g, de modo que (f, g′) : X → Y ×Z es transversalal grafo de h. Probar tambien que si g es propia, g′ se puede elegir arbitrariamente proximaa g en la topologıa fuerte.

89

Capıtulo IV

Aplicaciones

Este capıtulo incluye varios teoremas importantes, demostrados aquı con las tecnicas

diferenciables desarrolladas previamente. Se trata de teoremas celebrados tanto por su gran

belleza intrınseca como por sus consecuencias topologicas y geometricas. En esta presenta-

cion destaca el hilo conductor comun proporcionado por la Topologıa Diferencial que hace

aparecer a todos ellos como manifestaciones diversas de una misma teorıa subyacente, y no

tanto como los hallazgos geniales que historicamente fueron. La primera seccion del capıtu-

lo contiene la clasificacion topologica y diferenciable de curvas, que, ademas de su interes

por si misma, es un ingrediente esencial para los argumentos que seguiran. En la seccion 2

se demuestra, de manera muy elemental, el teorema del punto fijo de Brouwer y el hecho

importante de que el borde de una variedad compacta no es nunca un retracto de toda ella.

La seccion 3 esta dedicada el celebre teorema de separacion de Jordan-Brouwer. Todo lo

anterior ilustra bien la estrategia general, que, despues de apelar a aproximacion y transver-

salidad, siempre recurre al recuento adecuado de las imagenes inversas de un valor regular.

Este recuento es descrito con precision en la seccion 4. En la seccion 5 se construyen los

colapsamientos diferenciables, que en las secciones 6 y 7 se usan, junto con el recuento, para

clasificar por homotopıa las aplicaciones en esferas (teoremas de Hopf). Como consecuencia,

en la seccion 8 se deduce en que esferas se pueden definir campos tangentes nunca nulos (un

resultado debido a Brouwer).

1. Clasificacion de curvas

En la categorıa topologica, esto es, para la clasificacion por homeomorfismo,tenemos:

90 IV. Aplicaciones

Teorema 1.1 Una curva conexa es homeomorfa a uno de los siguientes cuatro mo-delos: R, [0, 1), [0, 1], S1.

Demostracion. Empezamos probando el siguiente hecho:

(∗) Si X es union de dos abiertos U , V homeomorfos a R, entonces X es homeo-morfa a R o a S1.

Sean ϕ : U → R, ψ : V → R homeomorfismos. Si ϕ(U ∩ V ) = R, entoncesU ∩V = U y V = U ∪V = X; y si ψ(U ∩V ) = R, entonces U = X. En ambos casosX es homeomorfo a R. Por tanto, supondremos que ϕ(U ∩ V ) ⊂ R y ψ(U ∩ V ) ⊂ Rson abiertos 6= R. En consecuencia, son uniones disjuntas de intervalos abiertos.Supongamos que alguno de esos intervalos es acotado: sea, por ejemplo, (a, b) unacomponente de ϕ(U ∩ V ), a < b. Entonces (a, b) es cerrado en ϕ(U ∩ V ) y se sigue[a, b] ∩ ϕ(U ∩ V ) = (a, b), con lo que

ϕ−1(a, b) = ϕ−1[a, b] ∩ V

es cerrado en V . Pero obviamente es abierto, y como V es conexo, concluimos queV = ϕ−1(a, b) ⊂ U . Ası U = X y de nuevo X es homeomorfo a R. En consecuen-cia, podemos suponer que ϕ(U ∩ V ) y ψ(U ∩ V ), que son homeomorfos, no tienencomponentes acotadas. Hay ası dos posibilidades.

Primera posibilidad, ambos conjuntos son conexos. Reparametrizando si es ne-cesario, tendremos

ϕ(U ∩ V ) = (−∞, a), a < 0; ψ(U ∩ V ) = (b,+∞), b > 0.

En este caso, α = ψ ϕ−1 : (−∞, a)→ (b,+∞) es un homeomorfismo estrictamentecreciente. En efecto, si fuera decreciente, lımt→a α(t) = b y segun es α = ψ ϕ−1,se deducirıa ϕ−1(a) = ψ−1(b) ∈ U ∩ V , lo que es imposible. Por tanto, tenemos unagrafica como en la figura,

uu u

e eϕ(x0)

ψ(x0)

a

b

Fijado un punto x0 ∈ U ∩ V se verifica

X = ϕ−1[ϕ(x0),+∞) ∪ ψ−1(−∞, ψ(x0)],

x0 = ϕ−1[ϕ(x0),+∞) ∩ ψ−1(−∞, ψ(x0)],

1. Clasificacion de curvas 91

y a la vista de estas igualdades, la aplicacion

h : X → R : x 7→

ϕ(x), x ∈ ϕ−1[ϕ(x0),+∞)

ψ(x) + ϕ(x0)− ψ(x0), x ∈ ψ−1(−∞, ψ(x0)]

es un homeomorfismo.

Segunda posibilidad, ninguno de los dos conjuntos son conexos. Reparametri-zando,

ϕ(U ∩ V ) = (−∞, a) ∪ (b,+∞), a < 0 < b,

ψ(U ∩ V ) = (−∞, c) ∪ (d,+∞), c < 0 < d,

con la condicion adicional de que ϕ−1(−∞, a) = ψ−1(d,+∞). Entonces razonandocon el crecimiento del homeomorfismo α = ψ ϕ−1 obtenemos una grafica como lasiguiente

ϕ(x1)

ψ(x1)

a

dϕ(x2)

ψ(x2)

c

b

v

vv

v

vvs ss

s

Ahora elegimos un punto en cada componente de U ∩ V :

x1 ∈ ϕ−1(−∞, a) = ψ−1(d,+∞), x2 ∈ ϕ−1(b,+∞) = ψ−1(−∞, c),

y denotamosI = ϕ−1[ϕ(x1), ϕ(x2)], J = ψ−1[ψ(x2), ψ(x1)],

que son cerrados en X (por compactos) y verifican

X = I ∪ J, x1, x2 = I ∩ J.

Por tanto, la aplicacion

h : X → ϕ(I) + ψ(J)

ϕ(xi) = ψ(xi), i = 1, 2≡ S1 : x 7→

ϕ(x), x ∈ Iψ(x), x ∈ J

92 IV. Aplicaciones

es homeomorfismo.

Una vez establecida la propiedad (∗), separamos la demostracion del teorema envarios casos.

Caso 1, X es compacta y no tiene borde. Recubrimos X = U1 ∪ · · · ∪ Us medianteimagenes de parametrizaciones ϕi : R→ Ui, que ordenamos de modo que Us−1∩Us 6=∅ (esto es posible por ser X conexo). Entonces, por (∗), Us−1 ∪Us es homeomorfo aR o a S1. Si lo primero, reemplazamos las dos parametrizaciones ϕs−1, ϕs por unasola ψs−1 : R → Vs−1 = Us−1 ∪ Us, renombramos Us−1 = Vs−1, reordenamos paraque Us−2 ∩ Us−1 6= ∅, y volvemos a aplicar (∗). Con este procedimiento, en algunmomento es Ui−1 ∪ Ui homeomorfo a S1, pues de otro modo concluirıamos X = R,que no es compacto. En consecuencia, Ui−1 ∪ Ui es abierto y cerrado en X, luegoigual a X, y X es homeomorfo a S1.

Caso 2, X no es compacta y no tiene borde. Sea Kn una sucesion de compactos querecubre X tal que Kn ⊂ Kn+1. Cada Kn se puede recubrir con abiertos W1, . . . ,Wr

homeomorfos a R; por ser X conexo, podemos anadir abiertos W para conseguirWi ∩Wi+1 6= ∅, y entonces, por (∗), Un = W1 ∪ · · · ∪Wr es homeomorfo a R. EstosUn tambien recubren X, y Uk ∩ Uk+1 6= ∅, luego por (∗) de nuevo, U1 ∪ · · · ∪ Unes homeomorfo a R. Reemplazando Un por esa union podemos suponer Un ⊂ Un+1.Nuestro objetivo es construir recurrentemente mediante homeomorfismos ϕn : Un →R un homeomorfismo h de X sobre un intervalo abierto de R. Empezamos con

h|U1 = h1 : U1ϕ1−→R τ−→(−1, 1) = I1,

donde τ(t) = t/√

1 + t2. Ahora, ϕ2(U1) ⊂ R sera un intervalo (a, b), a < b, y consi-deramos el homeomorfismo

α1 = ϕ2 h−11 : I1 → (a, b).

Cambiando ϕ2 por −ϕ2 podemos suponer α1 creciente, y observamos que h1 =α−1

1 ϕ2|U1. Ahora extendemos α1 a α2 : I2 → R con

I2 =

(−2, 2) si a, b ∈ R,(−1, 2) si a = −∞, b ∈ R,(−2, 1) si a ∈ R, b = +∞,(−1, 1) si a = −∞, b = +∞.

En esta situacion, el homeomorfismo h2 = α−12 ϕ2 : U2 → I2 extiende h1 y podemos

tomar h|U2 = h2. Repitiendo el proceso con α3 = ϕ3 h−12 obtenemos h|U3, y

ası sucesivamente. De este modo se construye un homeomorfismo h sobre el intervaloabierto I =

⋃n In, que es homeomorfo a R.

1. Clasificacion de curvas 93

Caso 3, X tiene exactamente un punto en el borde. Sea x0 ese punto y denotemosV = X\x0 = Int(X). Claramente, V es conexo, y por el caso anterior, homeomorfoa R: tenemos un homeomorfismo ψ : (−1, 1) → V . Tomamos una parametrizacionde X de la forma ϕ : [0, a)→ U con ϕ(0) = x0. Podemos suponer que la inmersionabierta ψ−1 ϕ : (0, a) → (−1, 1) es creciente (si no se reemplaza ψ(t) por ψ(−t))y entonces existe el lımite lımt→0 ψ

−1 ϕ(t) = s. Pero s > −1 implicarıa x0 =lımt→0 ϕ(t) ∈ V , luego s = −1 y ψ se extiende a un homeomorfismo [−1, 1)→ X.

Caso 4, X tiene al menos dos puntos en el borde. Para cada punto x del borde con-sideramos una parametrizacion ϕ : [0, a) → Ux con ϕ(0) = x, y recubrimos el restode los puntos de X por abiertos V homeomorfos a R. Como hay al menos dos puntosx 6= y en el borde, por la conexion de X obtenemos una cadena Ux, V1, . . . , Vr, Uy enla que cada dos abiertos consecutivos se cortan, y por el caso 3 ya resuelto, tenemosdos homeomorfismos

α : U = Ux ∪ V1 ∪ · · · ∪ Vr ∪ (Uy \ y)→ [0, a), α(x) = 0,

β : V = (Ux \ x) ∪ V1 ∪ · · · ∪ Vr ∪ Uy → (b, 1], β(y) = 1.

Ahora, el homeomorfismo β α−1 : (0, a) → (b, 1) es creciente, pues en otro casolımt→0 β α−1(t) = 1 e y = lımt→0 α

−1(t) = x. Por tanto

lımt→a

β α−1(t) = 1

y podemos extender α a y mediante α(y) = a. Resulta que el conjunto abiertoW = Ux ∪ V1 ∪ · · · ∪ Vr ∪ Uy es homeomorfo a [0, a]. Pero entonces W es compacto,luego cerrado, ademas de abierto, y por ser X conexo, X = W . Hemos terminadoeste caso y con el la demostracion del teorema.

Observacion. Los cuatro modelos del enunciado son distinguibles topologicamen-te. Por ejemplo, por los puntos del modelo que no lo desconectan: ninguno en R, unoen [0, 1), dos en [0, 1], todos en S1. Tambien se pueden distinguir por la compacidady la existencia de borde.

El teorema anterior es valido en la categorıa diferenciable, esto es, para curvasdiferenciables:

Teorema 1.2 Una curva conexa de clase r ≥ 1 es difeomorfa a uno de los cuatromodelos: R, [0, 1), [0, 1], S1, por un difeomorfismo de clase r.

94 IV. Aplicaciones

Demostracion. Si se revisan las construcciones de la demostracion anterior se apre-cia que cuando las parametrizaciones utilizadas son de clase r, el homeomorfismo deX sobre el modelo que corresponda es de hecho un difeomorfismo de clase r salvo enun conjunto discreto de puntos de X. De este modo, la dificultad radica en conseguirdiferenciabilidad en ciertos puntos conflictivos aislados, lo que se hace perturbandoel homeomorfismo en un entorno de cada punto conflictivo. Sin entrar en los detallestediosos de esas perturbaciones, baste decir que se localiza el homeomorfismo me-diante parametrizaciones de clase r, y se aplican los dos artificios siguientes, segunel punto en cuestion este o no en el borde:

(1) Sean I = [0, 1) ⊂ R, a = 0 ∈ I y f : I → I un homeomorfismo creciente cuyarestriccion a I \ a = (0, 1) es de clase r. Entonces existe un difeomorfismog : I → I de clase r que coincide con f fuera de un entorno arbitrariamentepequeno de a = 0

(2) Sean I = (0, 1) ⊂ R, a ∈ I y f : I → I un homeomorfismo creciente cuyarestriccion a I \ a es de clase r. Entonces existe un difeomorfismo g : I → Ide clase r que coincide con f fuera de un entorno arbitrariamente pequeno de a.

Una manera de definir esta perturbacion g de f es:

g(t) =

∫ t

0

(λρ(s) + f ′(s)(1− ρ(s))

)ds, λ =

∫ 10 f′(s)ρ(s)ds∫ 1

0 ρ(s)ds,

donde la funcion meseta ρ es ≡ 0 fuera de un entorno arbitrariamente pequeno de ay ≡ 1 en un entorno de a. Se comprueba sin dificultad que g cumple las condicionesrequeridas.

Una demostracion directa alternativa muy elegante de este ultimo teorema pue-de verse en el libro de Milnor. Destaquemos ademas que esta coincidencia de lasclasificaciones diferenciable y topologica implica:

Corolario 1.3 Dos curvas de clase r ≥ 1 que son homeomorfas son difeomorfaspor un difeomorfismo de clase r.

2. Teorema del punto fijo de Brouwer

Como ejemplo sencillo del uso de la topologıa diferencial para resolver problemasde topologıa sin calificativo, demostraremos este celebre resultado de Brouwer:

2. Teorema del punto fijo de Brouwer 95

Teorema 2.1 Toda aplicacion continua del disco cerrado D ⊂ Rn en sı mismo tienealgun punto fijo.

Demostracion. El disco D = x ∈ Rn : ‖x‖ ≤ 1 es una variedad con borde∂ D = Sn−1. Supongamos que existe una aplicacion continua f : D → D sin puntosfijos. Entonces la funcion α : D → R : x 7→ ‖f(x) − x‖ es continua y siempre > 0.Como D es compacto, tiene un mınimo > 0. Si ese mınimo es ≤ 1 lo denotamos ε,y si no tomamos ε = 1. Por el teorema de aproximacion de Weierstrass, hay unaaplicacion polinomial g : D→ Rn tal que

‖g(x)− (1− 12ε)f(x)‖ < 1

2ε, x ∈ D.

Se cumple:

(1) Para cada x ∈ D, es

‖g(x)‖ ≤ ‖g(x)− (1− 12ε)f(x)‖+ ‖(1− 1

2ε)f(x)‖ < 12ε+ (1− 1

2ε) = 1,

luego g(D) ⊂ D.

(2) Si g(x) = x, es

ε ≤ ‖f(x)− x‖ = ‖f(x)− g(x)‖ < ‖f(x)− (1− 12ε)f(x)‖+ 1

2ε ≤ ε,

luego g no tiene puntos fijos.

Ahora definimos una aplicacion h : D→ Sn−1 segun indica la figura

r -

r6

r h(x) = g(x) + λ(x− g(x))

x

g(x)

0

D

Sn−1

con λ > 0 tal que ‖h(x)‖ = 1. Esta aplicacion es diferenciable, y su restriccional borde de D es la identidad; en particular, h es suprayectiva. Por el teorema deSard-Brown tiene algun valor regular a ∈ Sn−1 = h(D). Resulta que h es sumersionen h−1(a), y por ser h|∂ D la identidad, esta restriccion es trivialmente sumersion.

96 IV. Aplicaciones

En conclusion, h−1(a) es una curva compacta, con borde h−1(a)∩ ∂ D = a, lo quees imposible por la clasificacion de la seccion anterior.

La demostracion precedente sirve bien para ilustrar como se combinan transver-salidad y aproximacion: aquı han sido el teorema de Sard-Brown y el teorema deWeierstrass. En general lo primero se sustituye por el teorema de densidad de latransversalidad, y lo segundo por los metodos de aproximacion mas refinados que sedesarrollaron en el capıtulo tercero. Veremos todo esto en accion en las secciones si-guientes, pero podemos utilizarlo ya con una parte del argumento de la demostracionanterior:

Teorema 2.2 Sea Y ⊂ Rn una variedad de clase ≥ 2 compacta con borde X = ∂Y .Entonces X no es un retracto de Y .

Demostracion. Supongamos que existe una aplicacion continua f : Y → X cuyarestriccion a X es la identidad. Por el teorema de aproximacion (teorema III.4.1)existe una aplicacion diferenciable h : Y → X arbitrariamente proxima a f . Enparticular, h|X esta arbitrariamente proxima a f |X = IdX , luego es homotopa aella, y por el teorema III.5.1, podemos suponer que hay una homotopıa diferenciableH : [0, 1] × X → X con H0 = IdX , H1 = h|X. Ahora, por el teorema de Sard,existe un valor regular comun de las tres aplicaciones H, H|∂([0, 1] × X) y h, quedenotamos por a ∈ X. Ası, por un lado tenemos la curva compacta H−1(a) cuyoborde es

H−1(a) ∩ ∂([0, 1]×X) = H−1(a) ∩(0 ×X ∪ 1 ×X

)= (0, a) ∪

(1 × (h|X)−1(a)

),

y puesto que el borde de una curva compacta tiene un numero par de puntos, la igual-dad anterior muestra que (h|X)−1(a) lo tiene impar. Pero por otro lado, tambienh−1(a) es una curva compacta con borde h−1(a) ∩ ∂Y = (h|X)−1(a), que por tantotiene un numero par de puntos. Esta contradiccion muestra que f no puede existir.

3. Teorema de separacion de Jordan-Brouwer

En esta seccion demostramos este resultado, que ya mencionamos al tratar deintersecciones completas (observacion (3) de II.2.3):

3. Teorema de separacion de Jordan-Brouwer 97

Teorema 3.1 Cualquier hipersuperficie compacta y sin borde del espacio afın lodesconecta.

Habida cuenta del teorema II.2.3 sobre ecuaciones globales de hipersuperficies, ycomo ya observamos allı, del enunciado anterior se deduce que toda hipersuperficiecompacta conexa y sin borde de un espacio afın lo descompone en dos componentesconexas, una de ellas acotada y la otra no, cada una de las cuales tiene por fronteratopologica la hipersuperficie en cuestion. Asımismo resulta que toda hipersuperficiecompacta sin borde de un espacio afın tiene ecuacion global.

Demostracion. Sea Z ⊂ Rn+1 una variedad compacta y sin borde de dimension n.Para ver que Rn+1 \ Z no es conexo basta ver que para una componente conexa Z ′

de Z, no es conexo el conjunto Rn+1 \ Z ′; en otras palabras, podemos suponer Zconexa. Se trata ahora de encontrar dos puntos a0, a1 /∈ Z que no esten en la mismacomponente conexa de Rn+1 \ Z. Haremos esto en varias etapas.

Etapa primera. Existe una recta ` ⊂ Rn+1 que corta transversalmente a Z en unacantidad finita de puntos.

Para obtener ` empezamos por elegir un punto x ∈ Z y un vector u ∈ Sn ⊂ Rn+1

ortogonal al hiperplano H ⊂ Rn+1 tangente a Z en x. La recta ` paralela a u quepasa por x corta transversalmente a Z en x, pero puede no ser ası en otros puntos deinterseccion con Z. Sin embargo, por la densidad de la transversalidad (II.5 Ejemplo(1)), casi cualquier translacion de ` tendra la propiedad deseada, siempre que corterealmente a Z. Debemos pues garantizar esto, para lo que es suficiente probar quecualquier recta paralela a ` y suficientemente proxima corta a Z. Consideramos aeste fin la proyeccion ortogonal π : Rn+1 → H, que es una aplicacion diferenciabley cuya derivada es ella misma. Ası, la derivada de la restriccion π|Z en el punto xsera π|H = IdH , y por el teorema de inversion local, π|Z es un difeomorfismo local enx. Como ` es precisamente la direccion de proyeccion de π, se sigue automaticamentelo que queremos. En fin, una vez que ` corta transversalmente a Z, ` ∩ Z es unconjunto discreto, y finito por la compacidad de Z.

Etapa segunda. Como u es paralelo a `, define una orientacion en esa recta quefijamos a partir de ahora. Cada punto a ∈ ` divide la recta en dos rayos, que segunla orientacion elegida denotamos (←, a) y (a,→). Supongamos ahora que a /∈ Z, conlo que tenemos la aplicacion diferenciable fa : Z → Sn : z 7→ z−a

‖z−a‖ . Esta aplicacion

es transversal a u, y f−1a (u) = Z ∩ (a,→).

En efecto, por la definicion de fa, es claro que f−1a (u) = Z ∩ (a,→), y debemos

probar que para cada z ∈ Z ∩ (a,→) la derivada dz(fa) : TzZ → Tfa(z)Sn+1 es

98 IV. Aplicaciones

suprayectiva. Para verlo notese lo siguiente. La aplicacion fa es de hecho la restriccionde otra, F : Rn+1 \ a → Sn, definida mediante la misma formula. A su vez, larestriccion de F a la esfera S de radio 1 y centro a es un difeomorfismo sobre Sn, luegodzF |TzS : TzS → Tfa(z)Sn es isomorfismo y por ello dzF es suprayectiva. Ademas, `es transversal a Z, luego Rn+1 = Tz`⊕TzZ, y se sigue dzF = dz(F |(a,→))⊕dz(fa).Pero F |(a,→) ≡ u, con lo que el primero de esos sumandos es ≡ 0, y para que dzFsea suprayectiva tiene que serlo dz(fa). Hemos concluido.

Etapa tercera. Elegimos a0, a1 ∈ ` \Z tales que a1 ∈ (a0,→) y Z ∩ (a0, a1) consistaexactamente en un punto. Estos dos puntos ai son los que buscabamos.

En efecto, supongamos que ambos estan en la misma componente conexa U deRn+1\Z. Como U es un abierto afın, existe una poligonal que conecta los dos puntos,y obtenemos una aplicacion continua α : [0, 1] → U con α(0) = a0, α(1) = a1; perocomo α viene dada por una poligonal, resulta que es diferenciable en un entorno det = 0, 1. Definimos a continuacion la aplicacion continua

f : X = I × Z → Sn : (z, t) 7→ z − α(t)

‖z − α(t)‖,

que es diferenciable en un entorno del cerrado C = 0, 1 × Z, por la eleccion deα. Para aplicar a f el teorema de homotopıa y transversalidad hay que analizarlas condiciones de transversalidad. En nuestra situacion, C = ∂X, luego debemosconsiderar solo la restriccion f |∂X y ver que es transversal a u. Pero ∂X = Z0 ∪Z1,siendo Z0 = 0 × Z y Z1 = 1 × Z, con lo que f |Z0 y f |Z1 se identifican a fa0 yfa1 que son por la etapa anterior transversales a u. En suma, por el teorema citado,encontramos una funcion diferenciable g : X → Sn que coincide con f sobre C y talque g y g|∂X son transversales a u. Resulta que g−1(u) es una curva diferenciablecompacta con borde

g−1(u) ∩ ∂X =(0 × g−1

0 (u))∪(1 × g−1

1 (u)).

Por el teorema de clasificacion de curvas, ese borde tiene un numero par de puntos,luego por ser gi = fai , deducimos que

#(f−1a0 (u)

)+ #

(f−1a1 (u)

)= #

(Z ∩ (a0,→)

)+ #

(Z ∩ (a1,→)

)es un numero par. Sin embargo, por construccion #

(Z ∩ (a0, a1)

)= 1 y obtenemos

una contradiccion. Esto termina la tercera etapa y con ella la demostracion del teo-rema de Jordan-Brouwer.

4. Recuento de preimagenes 99

4. Recuento de preimagenes

Sean X,Z dos variedades compactas conexas y sin borde de igual dimensionp ≥ 1; sean f : X → Z una aplicacion diferenciable y c ∈ Z un valor regular def . En los razonamientos expuestos hasta aquı, el numero de preimagenes de un talvalor regular c, y de hecho, la paridad de ese numero, ha conducido a las conclusionesdeseadas. Sin embargo, el recuento de esa paridad no es siempre suficiente, en especialcuando se tratan variedades orientadas. En ese caso se atribuye un signo di = +1o −1 a cada preimagen ai de c segun f conserve o no la orientacion en ai, y secomputa la suma d =

∑di. Observese que si dos de estos recuentos de signos

coinciden, tambien coinciden los dos recuentos de paridades correspondientes, demodo que en el caso no orientado el recuento parece peor. Sin embargo, los teoremasde Hopf (seccion 7) mostraran que aunque aparentemente peor la paridad es dehecho suficiente en ese caso.

Tambien podemos aprender de las secciones precedentes que el recuento se plan-tea en la situacion general siguiente. Sea H : M → Z una aplicacion diferenciablecuyo dominio es una variedad M de dimension p + 1 con borde ∂M = Y , y con-sideremos la restriccion h = H|Y : Y → Z. Si c ∈ Z es un valor regular de H yh, H−1(c) es una curva compacta cuyo borde h−1(c) consiste, por el teorema declasificacion de curvas, en un numero par de puntos. Esta informacion basta en loque concierne a paridad, pero debemos considerar tambien el recuento de signos enel caso orientable. Suponemos pues que M y Z estan orientadas, y orientamos Ycomo el borde de M . El hecho fundamental es el siguiente:

Proposicion 4.1 (Lema fundamental del recuento) Sean a, b ∈ Y los dos extremosde una componente conexa C de H−1(c). Entonces h conserva la orientacion en unode los puntos y la invierte en el otro.

Demostracion. Por el teorema de clasificacion, tenemos un difeomorfismo σ : [0, 1]→C tal que σ(0) = a, σ(1) = b. Tal vez intercambiando a con b, podemos suponerque la orientacion inducida en C por este difeomorfismo es la misma que se obtienecomo una imagen inversa (II.3). Recordemos lo que esto significa. Por ser c unvalor regular, para cada y = σ(t) ∈ H−1(c) ∩ Y el espacio tangente a C en yes TyC = ker dyH y se tiene TyM = TyC ⊕ TyY , pues dyh = dyH|TyY es unisomorfismo lineal sobre TcZ. Entonces para cualquier base u1, . . . , um de TyYcuya imagen dyH(u1), . . . , dyH(um) defina la orientacion de TcZ, la base σ′(t) =dtσ(1), u1, . . . , um define la orientacion de TyM . Por otra parte, la orientacion deY como borde de M es la siguiente. Sea y = a, b. Dado un vector tangente exterior

100 IV. Aplicaciones

v ∈ TyM \ TyY , una base v1, . . . , vm de TyY define la orientacion como borde siv, v1, . . . , vm define la orientacion de TyM .

Con estos datos, sea ϕ : [0, ε)×U →Wa una parametrizacion de M con ϕ(0) = a,de modo que la composicion ϕ−1σ esta definida en un intervalo [0, δ), y toma valoresen [0, ε)×U ; denotamos por λ : [0, δ)→ [0, ε) la primera funcion coordenada de esacomposicion. En [0, δ) tenemos σ = ϕ (λ, ∗), luego derivando resulta:

σ′(0) = d0ϕ(λ′(0), ∗) = w0 − va,

donde w0 = d0ϕ(0, ∗) ∈ TaY , va = d0ϕ(−λ′(0), 0) ∈ TaM \ TaY . Ademas, el vec-tor va es exterior, puesto que como λ : [0, δ) → [0, ε) es creciente, su derivada espositiva. Deducimos que si la base v1, . . . , vm define la orientacion de TaY , en-tonces la base w0 − σ′(0), v1, . . . , vm define la de TaM , o, simplificando, la define−σ′(0), v1, . . . , vm. Por tanto, segun se describio la orientacion imagen inversa,dah(v1), . . . , dah(vm) no define la orientacion de TcZ, luego dah invierte la orien-tacion.

AAAK

-

*t t

σ′(0)=w0− va

σ′(1)=w1+ vbM

Y Y

v

v

σ(0)=a σ(1)=b

[0, ε)×U[0, ε)×V

ϕ? ψ

@@R

Ahora razonaremos de modo similar en el punto b, con una parametrizacionψ : [0, ε)×V 7→Wb tal que ψ(0) = b. La composicion ψ−1 σ esta definida en un in-tervalo (1−δ, 1] y toma valores en [0, ε)×V ; denotamos por µ : (1−δ, 1]→ [0, ε) la pri-mera funcion coordenada de esa composicion. Derivando obtenemos σ′(1) = w1 +vb,donde w1 ∈ TbY , y vb = d0ψ(µ′(1), 0) ∈ TaM \ TaY es exterior, puesto queµ : (1 − δ, 1] → [0, ε) es decreciente. Deducimos que si la base v1, . . . , vm de-fine la orientacion de TbY , entonces σ′(1) − w1, v1, . . . , vm define la de TbM , o,simplificando, la define σ′(1), v1, . . . , vm. Por tanto, dbh(v1), . . . , dbh(vm) sı de-fine la orientacion de TcZ, y dbh conserva la orientacion.

Un corolario inmediato pero que sera muy util corresponde al caso en que M esun cilindro.

4. Recuento de preimagenes 101

Corolario 4.2 Sea X una variedad compacta orientada y sin borde y M = [0, 1]×X,que se dota de la orientacion producto. Para i = 0, 1 denotamos por fi : X → Z laaplicacion: x 7→ h(i, x). Si (t(a), a), (t(b), b) son los dos extremos de una componenteconexa C de H−1(c), se verifica:

(1) Si t(a) = t(b) = 0 (resp. = 1), entonces f0 (resp. f1) conserva la orientacionen a si y solo si la invierte en b.

(2) Si t(a) = 0 y t(b) = 1, entonces f0 conserva la orientacion en a si y solo si f1

la conserva en b.

Demostracion. Sabemos por el resultado anterior que f = h|Y conserva la orienta-cion en uno de los puntos y la invierte en el otro, estando Y dotado de la orientacioncomo borde. Pero tambien sabemos que en un cilindro, la inclusion j0 : X → X0 ⊂ Yinvierte la orientacion y la inclusion j1 : X → X1 ⊂ Y la conserva. Como fi = f ji,i = 0, 1, la conclusion es clara.

Como consecuencia de este ultimo corolario, resulta inmediatamente que los re-cuentos son invariantes por homotopıa diferenciable:

Corolario 4.3 Sean f, g : X → Z dos aplicaciones diferenciables y c ∈ Z un valorregular de ambas. Si f y g son homotopas, los recuentos de f−1(c) y de g−1(c)coinciden.

Demostracion. Por el teorema de aproximacion de homotopıas, podemos suponerque existe una homotopıa diferenciable H : [0, 1]×X → Z tal que H0 = f y H1 = g.Ası, por ser c un valor regular de las dos aplicaciones f y g, resulta que H|∂([0, 1]×X)es transversal al punto c, y por el teorema III.6.2 podemos suponer que H tambienlo es. Entonces H−1(c) es una curva diferenciable cuyo borde es

(0, a) : a ∈ f−1(c) ∪ (1, b) : b ∈ g−1(c).

Como ese borde es un numero par de puntos, los dos conjuntos tienen ambos unnumero par de elementos, o ambos un numero impar. En otras palabras, la paridaddel numero de preimagenes de c por f y por g debe ser la misma. Esto concluye elargumento si las variedades no estan orientadas. Si lo estan, entonces nos fijamosen las componentes conexas Ci de H−1(c) que tienen borde. Habra de dos clases: obien los extremos de Ci estan los dos en el mismo nivel t = 0 o t = 1, o bien esosextremos estan en distinto nivel. Pero el corolario ultimo nos dice que en el primercaso se cancelan mutuamente en el recuento de f−1(c) o g−1(c), y que en el segundocaso contribuyen con el mismo signo uno al recuento de f−1(c) y otro al de g−1(c).La conclusion es clara.


5. Aplicaciones diferenciables en esferas

Sea X ⊂ Rm una variedad diferenciable compacta, conexa y sin borde de dimen-sion p ≥ 1. Queremos construir aplicaciones diferenciables f : X → Sp con recuentoprefijado. Por supuesto, para obtener recuento cero vale cualquier aplicacion cons-tante. Para otros recuentos empezamos con la propia esfera.

Proposicion 5.1 Sean c y −c dos puntos antipodales de Sp, que denominaremospolos, y sean B y B′ dos casquetes cerrados disjuntos centrados en ellos. Entonces,existe una aplicacion diferenciable λ : Sp → Sp tal que:

(1) λ−1(−c) = B′,

(2) la restriccion λ : Sp \B′ → Sp \ −c es un difeomorfismo, y

(3) λ(x) = x si (y solo si) x ∈ B (o x = −c).

Ademas, λ es homotopa a la identidad por una homotopıa que es la identidad en B.

Demostracion. Mediante la proyeccion estereografica π : Sp \ c → Rp desde c elcasquete B se convierte en una corona ‖x‖ ≥ θ, y el casquete B′ en una bola ‖x‖ ≤ ηde centro 0 = π(−c) (θ > η > 0). En esta situacion, construimos una aplicacion di-ferenciable µ : Rp → Rp tal que:

(1) µ(x) = 0 si y solo si ‖x‖ ≤ η,

(2) la restriccion de µ a la corona ‖x‖ > η es un difeomorfismo sobre Rp \ 0,(3) µ(x) = x si y solo si ‖x‖ ≥ θ o x = 0.

Para hacerlo, elegimos una funcion meseta creciente ρ(t) que se anula para t ≤ η yes constante ≡ 1 para t ≥ θ. Con esta eleccion, es claro que µ(x) = ρ(‖x‖)x verifica(1) y (3). Por otra parte, un calculo sencillo muestra que su determinante jacobianoes

δ(x) = ρ(‖x‖)p + ‖x‖ρ′(‖x‖)ρ(‖x‖)p−1,

y como ρ′ ≥ 0 (por ser ρ creciente) concluimos que ese determinante es estricta-mente positivo para ‖x‖ > η. De esto resulta facilmente (2). Ademas, la homotopıanatural Ht(x) = (1 − t)x + tµ(x) es la identidad para ‖x‖ ≥ θ. En fin, con estaconstruccion es obvio que λ = µ π se extiende a c y cumple todo lo requerido.

5. Aplicaciones diferenciables en esferas 103

Para simplificar la terminologıa resumimos las condiciones de la proposicion an-terior diciendo que λ colapsa el casquete B′ sobre −c, o simplemente que λ es uncolapsamiento.

Observacion. Dado un colapsamiento λ como en la proposicion anterior, sea π′ laproyeccion esterografica desde −c. Entonces la composicion h = λ π′−1 tiene lassiguientes propiedades:

(1) π′ h es la identidad en un entorno del origen,

(2) h−1(−c) es el exterior de una bola abierta de centro el origen, y

(3) la restriccion h : Rp \ h−1(−c)→ Sp \ −c es un difeomorfismo que conservala orientacion.

Pasemos ahora a una variedad arbitraria X. En primer lugar:

Proposicion 5.2 Dados dos puntos arbitrarios a ∈ X y c ∈ Sp, existe una aplica-cion diferenciable λ : X → Sp con las siguientes propiedades:

(1) λ es un difeomorfismo de un entorno abierto U de a sobre Sp \ −c.(2) λ ≡ −c fuera de U .

Ademas, U puede elegirse difeomorfo a Rp y arbitrariamente pequeno.

Demostracion. Elijamos una parametrizacion ϕ : Rp → V ⊂ X con ϕ(0) = a y unaaplicacion h : Rp → Sp como la de la observacion precedente. Definiendo

λ(x) =

h(ϕ−1(x)) si x ∈ U,−c en otro caso.

es claro que se cumplen todas las condiciones del enunciado.

Si X no es orientable, lo anterior basta para obtener recuento impar. Si X esorientable, es muy facil generalizar la construccion de λ.

Proposicion 5.3 Sea X una variedad orientada, y dotemos a Sp de su orientacioncanonica (como borde de la bola). Sean a1, . . . , ad ∈ X y c ∈ Sp puntos distintosarbitrarios. Entonces existe una aplicacion diferenciable λ : X → Sp tal que


(1) λ es un difeomorfismo de un entorno abierto Ui de cada ai sobre Sp \ −c.(2) λ conserva la orientacion en todos los ai.

(3) λ ≡ −c fuera de los Ui.

Ademas, los Ui pueden elegirse difeomorfos a Rp y arbitrariamente pequenos.

Demostracion. Tomando para cada ai una aplicacion λi como la de la proposicionanterior con los entornos Ui suficientemente pequenos, obtenemos λ definiendo

λ(x) =

λi(x) si x ∈ Ui,−c en otro caso.

El unico problema podrıa ser la conservacion de la orientacion. Para controlar esosea σ : Sp → Sp una simetrıa respecto de cualquier hiperplano que contenga a losdos puntos antipodales c y −c, simetrıa que invierte la orientacion en c. Ası, si λi in-vierte la orientacion en ai, reemplazando λi por σλi conseguimos lo que queremos.

Observacion. Todos los colapsamientos construidos anteriormente tienen la pro-piedad evidente de que cualquier punto de la esfera distinto de −c es un valor regular,y el recuento de las imagenes inversas es el mismo para todos ellos: impar en la pro-posicion 5.2, y d en la proposicion 5.3. Es claro tambien que este ultimo recuento seconvierte en −d componiendo con una simetrıa de Sp.

6. Recuento de preimagenes y homotopıa

En esta seccion estudiamos mediante recuento de preimagenes la clase de homo-topıa de las aplicaciones diferenciables X → Sp. Para ese estudio fijamos en Rp y enSp las orientaciones canonicas. El primero de los dos resultados clave es el siguiente:

Teorema 6.1 Supongamos que la dimension es p ≥ 2. Sean f, g : X → Sp dosaplicaciones diferenciables. Supongamos que c ∈ Sp es un valor regular de ambas talque

f−1(c) = a1, . . . , ar, g−1(c) = b1, . . . , br

y para cada i = 1, . . . , r, existe una parametrizacion ϕi : Rp → Ui ⊂ X con ai, bi∈Uide modo que fϕi conserva la orientacion en ϕ−1

i (ai) si y solo si g ϕi la conservaen ϕ−1

i (bi). Entonces, f y g son homotopas.

6. Recuento de preimagenes y homotopıa 105

Demostracion. Procedemos en varios pasos.

Caso particular en que ai = bi y daif = daig para todo i = 1, . . . , r. Podemossuponer ϕi(0) = ai y elegir los Ui suficientemente pequenos para que sean disjuntosdos a dos y nunca dos imagenes f(x), g(x), x ∈ Ui, sean antipodales. Por otra parte,consideremos la proyeccion central desde el origen 0 ∈ Rp+1 sobre el hiperplanoafın H = c+ TcSp tangente a la esfera en c. Esta proyeccion α es un difeomorfismodel hemisferio abierto que contiene a c sobre el hiperplano H que identificamos conRp, y α tiene la propiedad de transformar meridianos en rectas. Consideremos laslocalizaciones floc = α f ϕi y gloc = α g ϕi. Como floc(0) = gloc(0) = 0 yDfloc(0) = Dgloc(0) = h es un isomorfismo lineal, los teoremas de inversion local yde Taylor garantizan que floc y gloc son inyectivas en un entorno de 0 en el que severifica:

‖floc(z)− h(z)‖ ≤ 1

‖h−1‖‖z‖, ‖gloc(z)− h(z)‖ ≤ 1

‖h−1‖‖z‖.

Como ‖z‖ = ‖h−1(h(z))‖ ≤ ‖h−1‖·‖h(z)‖ deducimos 1‖h−1‖‖z‖ ≤ ‖h(z)‖. Por tanto,

los dos puntos floc(z) y gloc(z) estan en la bola de centro h(z) y radio ‖h(z)‖, conlo que el segmento [floc(z), gloc(z)] contiene al origen solo si coincide con uno de susextremos, es decir, solo si z = 0. Aplicando α−1, resulta que podemos reducir Ui demodo que el segmento de meridiano que une f(x) y g(x) no pase por c salvo parax = ai. En fin, reducimos aun mas los Ui y estas condiciones se cumplen para susadherencias.

Ahora, denotamos por U la union de los Ui y ponemos K = U \ U , que escompacto. Como hemos excluido la posibilidad de pares antipodales, la aplicacion

F (t, x) =tf(x) + (1− t)g(x)

‖tf(x) + (1− t)g(x)‖,

esta bien definida en [0, 1] × U y es continua. Ademas, para cada x ∈ K, la curvat 7→ F (t, x) es precisamente el segmento de meridiano que une f(x) con g(x), y porconstruccion no pasa por c. Por tanto, F ([0, 1]×K) es un compacto que no contienea c, y encontramos un casquete cerrado B centrado en −c que contiene a F (K) perono a c. Elegimos por ultimo una aplicacion diferenciable λ : Sp → Sp que colapse elcasquete B sobre −c, y resulta que la homotopıa H = λF esta definida en [0, 1]×Uy es ≡ −c en [0, 1]×K, pues F ([0, 1]×K) ⊂ B y λ ≡ −c en B. En consecuencia, Hse extiende a toda la variedad X mediante H(t, x) = −c para x /∈ U .

De este modo, la aplicacion λf = λF0 = H0 es homotopa a λg = λF1 = H1.Como ademas sabemos que λ es homotopa a la identidad, concluimos que f eshomotopa a g.


Una vez resuelto este caso particular, proseguimos en tres etapas mas.

Reduccion al caso ai = bi, i = 1, . . . , r. En la situacion general del enunciado,denotamos momentaneamente ψ = ϕ1 y consideremos una difeotopıa Ht de Rp quesea la identidad fuera de un compacto K que contenga los dos puntos ψ−1(a1) yψ−1(b1), y que conecte uno con otro: H1(ψ−1(a1)) = ψ−1(b1). Tambien podemossuponer que ninguno de los puntos ψ−1(bi), 1 < i ≤ r, esta en K. Entonces Ft =ψ Ht ψ−1 es una difeotopıa de U1 que se extiende por la identidad a toda la varie-dad X. Ası, la aplicacion g1 = g F1 es homotopa a g, c es un valor regular de g1, yg−1

1 (c) = a1, b2, . . . , br. Ademas, en U1 tenemos g1 ψ = g F1 ψ = g ψ H1, ycomo H1 conserva la orientacion por ser una difeotopıa, g1ψ conserva la orientacionen ψ−1(a1) si y solo si gψ lo hace en ψ−1(b1). Repitiendo este razonamiento r veces,podemos suponer que g−1(c) = a1, . . . , ar y estamos en el caso deseado.

Substitucion de f, g por dos aplicaciones localmente lineales. Despues de la reduccionanterior, denotamos por h una de las dos aplicaciones f, g. Sea π′ la proyeccionestereografica desde el punto −c antipodal de c. Para cada i = 1, . . . , r denotamosL(i) = D(π′ h ϕi)(0). Utilizando una aplicacion diferenciable λ : Sp → Sp quecolapse un casquete sobre −c, definimos h : X → Sp por las condiciones

h|Ui = λ π′−1 L(i) ϕ−1i para i = 1, . . . , r,

h ≡ −c fuera de los Ui.

Claramente, h y h estan en las condiciones del caso particular probado al principio,luego son homotopas. Esta aplicacion h es la que denominamos localmente lineal.

Fin de la demostracion. Con las notaciones anteriores, tenemos que construir unahomotopıa Ht tal que H0 = f y H1 = g. Empecemos por definirla en los abiertosUi. Recordemos que por definicion

f |Ui = λ π′−1 A(i) ϕ−1i , siendo A(i) = D(π′ f ϕi)(0),

g|Ui = λ π′−1 B(i) ϕ−1i , siendo B(i) = D(π′ g ϕi)(0).

Ahora bien, por hipotesis, las aplicaciones lineales A(i) y B(i) conservan o inviertenla orientacion a la vez, luego tienen los determinantes de igual signo. Esto quieredecir que estan en la misma componente conexa de las dos que tiene el abierto delas matrices con determinante no nulo, y por tanto existe una aplicacion continua

t 7→ H(i)t , 0 ≤ t ≤ 1, con detH

(i)t 6= 0, H

(i)0 = A(i) y H

(i)1 = B(i). Para terminar

basta definirHt|Ui = λ π′−1 H(i)

t ϕ−1i .

6. Recuento de preimagenes y homotopıa 107

En efecto, por construccion la norma ‖(H(i)t )−1‖ esta definida y es una funcion

continua de t, de modo que tiene un maximo η. Ası, para t arbitrario se tiene:

‖x‖ = ‖(H(i)t )−1H

(i)t (x)‖ ≤ ‖(H(i)

t )−1‖‖H(i)t (x)‖ ≤ η‖H(i)

t (x)‖.

Esta acotacion garantiza que la homotopıa se extiende con continuidad poniendoHt ≡ −c fuera de los Ui.

Observacion. Para p = 1 la demostracion anterior solo presenta dificultades cuan-do se usa la difeotopıa en la reduccion al caso particular, lo que evidentemente sesubsana anadiendo como hipotesis la existencia de difeotopıas. Ahora bien, si p = 1la variedad X es simplemente una circunferencia, y sabemos que esa hipotesis se dacuando los ai y los bi estan monotonamente ordenados.

El otro resultado que nos interesa es como simplificar la imagen inversa de unvalor regular.

Teorema 6.2 Supongamos que la dimension es p ≥ 2. Sea f : X → Sp una apli-cacion diferenciable y c ∈ Sp un valor regular de f . Supongamos que existen dospuntos a, b ∈ X con f(a) = f(b) = c y una parametrizacion ϕ : Rp → U ⊂ X cona, b ∈ U , tal que f ϕ : Rp → Sp conserva la orientacion en ϕ−1(a) y la invierte enϕ−1(b). Entonces f es homotopa a una aplicacion diferenciable h : X → Sp tal que:

(1) c es valor regular de h.

(2) h−1(c) = f−1(c) \ a, b.(3) h tiene la misma derivada que f en cada punto de h−1(c).

Demostracion. Mediante una difeotopıa si es necesario, podemos suponer f−1(c) ∩U = a, b. Asımismo, despues un cambio de coordenadas en Rp, sera α = ϕ−1(a) =(1

2 , 0) y β = ϕ−1(b) = (−12 , 0), y denotamos A y B las dos bolas abiertas de radio 1

4 ycentros (1

2 , 0) y (−12 , 0) respectivamente. Consideramos la simetrıa de Rp = R×Rp−1

respecto del hiperplano z1 = 0 de ecuaciones

z = (z1, z′) 7→ z∗ = (−z1, z

′) ∈ R× Rp−1

y las dos aplicaciones afines

σ(z) = z − α, τ(z) = σ(z∗) = z∗ − α.

En particular, σ(A) = τ(B) es la bola abierta W de centro 0 = σ(α) = τ(β) y radio14 . Estos preparativos sirven para substituir f por una aplicacion diferenciable f quecumple las siguientes condiciones:


(1) f |X \ U = f |X \ U (notaciones de la demostracion anterior),

(2) f ϕ ≡ −c fuera de A ∪B, y

(3) f ϕ es simetrica respecto de z1, es decir, f ϕ(z) = f ϕ(z∗).

En realidad, segun se construyo f en la demostracion anterior, solo debemos preo-cuparnos por redefinirla en U , esto es, definir la localizacion f ϕ. Para ello sea π laproyeccion esterografica desde −c y elijamos una aplicacion diferenciable λ : Sp → Spque colapse sobre −c el casquete cerrado complementario de π−1(W ). Definimos

f ϕ(z) =

λ π−1 σ(z) para z ∈ A,λ π−1 τ(z) para z ∈ B,−c para z /∈ A ∪B.

Es claro que se cumplen (1) y (3), y esta aplicacion es homotopa a f por el teoremaprecedente (notese que σ conserva la orientacion y τ la invierte).

Ahora para terminar definimos la siguiente homotopıa H : [0, 1]×X → Sp,

Ht(x) =

f(ϕ(t, z′)) para x = ϕ(z1, z

′) ∈ U, |z1| ≤ t,f(ϕ(z1, z

′)) para x = ϕ(z1, z′) ∈ U, |z1| ≥ t,

f(x) para x /∈ U.

Claramente H0 = f , y h = H1 coincide con f fuera de U y es ≡ −c en U , con lo queh es la aplicacion diferenciable buscada.

Observacion. De nuevo conviene mirar que pasa con la demostracion en dimension1, es decir cuando X es una circunferencia. De nuevo se ve que la unica dificultades una difeotopıa, al principio del argumento esta vez. Para eludir esta dificultad sepodrıa modificar el enunciado de varias maneras, pero aquı nos basta senalar que silos dos puntos a y b son consecutivos entre todas las imagenes inversas la difeotopıaes de hecho innecesaria.

7. Teoremas de Hopf

Sea X ⊂ Rm una variedad diferenciable compacta, conexa y sin borde de dimen-sion p ≥ 1. La clasificacion por homotopıa de las aplicaciones continuas X → Sp sebasa en la nocion de grado que describimos muy sucintamente a continuacion.

7. Teoremas de Hopf 109

Grado de una aplicacion continua. Sea f : X → Sp una aplicacion continua.Elegimos una aplicacion diferenciable g : X → Sp homotopa a f , y un valor regularc ∈ Sp de g.

Si g−1(c) = ∅, definimos el grado d = 0. En este caso comprobamos directamenteque g es nulhomotopa:

Ft(x) =tg(x) + (1− t)(−c)‖tg(x) + (1− t)(−c)‖

es una homotopıa con F0 ≡ −c, F1 = g.

Suponemos a continuacion g−1(c) = a1, . . . , ar, y definimos el grado d de fcomo sigue:

(1) Si X no es orientable, consideramos la paridad d = 0 o 1 de r = 2k + d.

(2) Si X es orientable, se fija una orientacion en X y consideramos la sumad = d1 + · · · + dr, donde di = +1 o −1 segun que g conserve o invierta laorientacion en ai.

En otras palabras, llamamos grado al recuento de preimagenes de cualquier valorregular de una aplicacion diferenciable homotopa a la dada. Senalemos que hemosreservado la paridad para el caso no orientable, aunque bien se puede hacer tambienen el caso orientable (recuerdese el comentario inicial de la seccion 4). De este modolos valores admisibles son d = 0 o 1 en el caso no orientable y d ∈ Z en el casoorientable. Por otra parte, la consistencia de esta definicion resulta del corolario 4.3.Los teoremas que muestran el valor del grado, debidos a Hopf, se resumen en elsiguiente enunciado:

Teorema 7.1 Dos aplicaciones continuas X → Sp son homotopas si y solo si tienenel mismo grado d. Ademas, para cada valor admisible de d existe una aplicacioncontinua de ese grado.

Demostracion. Sea f : X → Sp una aplicacion continua de grado d, y busquemos unrepresentante especial de la clase de homotopıa de f . Podemos suponer simplementeque f es diferenciable, y que d se ha calculado con un valor regular c de la propiaf . Debemos distinguir tres posibilidades.

Caso no orientable (y por tanto p ≥ 2). Entonces d = 0 o 1. Si f−1(c) contienedos puntos distintos a, b ∈ X, existen dos parametrizaciones ϕ : Rp → U ⊂ X,ψ : Rp → V ⊂ X con a, b ∈ U ∩ V de modo que las orientaciones ζU , ζV que


inducen en U , V coinciden en a y no lo hacen en b (criterio de no orientabilidad dela proposicion I.7.2 y composicion con una difeotopıa). Despues de componer conuna simetrıa de Rp si es necesario, resulta que f ϕ conserva la orientacion en losdos puntos ϕ−1(a), ϕ−1(b) y f ψ la conserva en ψ−1(a) y la invierte en ψ−1(b).En consecuencia, por el teorema 6.2, eliminamos ambos. Repitiendo el argumento,podemos suponer que f−1(c) tiene exactamente d puntos. Como ya sabemos que sid = 0, f es nulhomotopa, supondremos d = 1, digamos f−1(c) = a. Entonces fes homotopa a un colapsamiento λ con recuento 1. En efecto, podemos suponer quec es tambien valor regular de λ, y denotamos por b su imagen inversa. De nuevopor el criterio de no orientabilidad, ahora existe una parametrizacion ϕ tal que lalocalizacion f ϕ conserva la orientacion en el punto ϕ−1(a) y λ ϕ la conservaen ϕ−1(b). Ası, por el teorema 6.1, se deduce la homotopıa deseada entre f y elcolapsamiento λ.

Caso orientable, p ≥ 2. Supongamos que c tiene dos preimagenes a, b en la primerade las cuales f conserva la orientacion, pero no en la segunda. Entonces aplicandoel teorema 6.2 a cualquier carta ϕ : Rp → U ⊂ X cuya imagen U contenga losdos puntos a y b podemos eliminar a y b. Repitiendo este argumento cuantas vecessea preciso, conseguimos que el numero de preimagenes de c coincida con el grado,despues de componer con una simetrıa si el grado era negativo. Deducimos entonces,por el teorema 6.1 esta vez, que f es homotopa a un colapsamiento λ con recuentod.

Caso orientable, p = 1. En este caso la misma demostracion vale, cuidando el uso dedifeotopıas. Para eliminar pares de preimagenes con signos opuestos en el recuento,primero observamos que si tales pares existen, siempre se pueden elegir los dospuntos consecutivos. Despues, cuando ya todas las preimagenes contribuyen conigual signo, se ordenan monotonamente, y el argumento se puede completar comoen el caso anterior.

Conclusion. Para cada grado d hay una clase de homotopıa [d] representada porlos colapsamientos λ, y no hay mas, pues acabamos de demostrar que cualquieraplicacion continua es homotopa a uno de ellos. Para terminar basta observar queesas clases son todas distintas, pues dos aplicaciones con recuentos de preimagenesdistintos no son homotopas.

8. Campos tangentes a esferas 111

8. Campos tangentes a esferas

Sea X ⊂ Rm una variedad diferenciable y (TX, τ) su fibrado tangente. Unaaplicacion continua ξ : X → TX se llama campo tangente a X si τ ξ = Id. Estoequivale evidentemente a que ξ sea de la forma x 7→ (x, ξx), luego un campo tangentees simplemente una aplicacion X → Rm : x 7→ ξx tal que ξx ∈ TxX para cada x ∈ X.La existencia de campos es un problema importante con muchas consecuencias denaturaleza topologica o diferenciable. Por ejemplo, se demuestra que existe un campotangente ξ nunca nulo ( ξx 6= 0 para todo x ∈ X) si y solo si la caracterıstica deEuler de la variedad es nula. Nosotros no podemos demostrar esto ahora con todageneralidad, pero sı podemos hacerlo ya para las esferas:

Proposicion 8.1 (Brouwer) Una esfera Sp ⊂ Rp+1 tiene un campo tangente nuncanulo si y solo si p es impar.

Demostracion. Si p es impar, entonces p+ 1 = 2k, y el campo

ξx = (−x2, x1, . . . ,−x2k, x2k−1), x = (x1, x2, . . . , x2k−1, x2k) ∈ Sp,

es claramente un campo tangente nunca nulo (y no solo continuo, sino de claseinfinito).

Supongamos ahora que p = 2k es par. Procederemos por reduccion al absurdosuponiendo la existencia de un campo tangente a S2k nunca nulo x 7→ ξx. Dividiendopor su norma, que es una aplicacion continua nunca nula, podemos suponer ‖ξx‖ = 1para todo x ∈ S2k, de modo que en realidad tenemos una aplicacion S2k → S2k, conla propiedad de que x · ξx = 0 para todo x ∈ S2k. Por esta propiedad, podemosdefinir una homotopıa H : X = [0, 1]× S2k → S2k por la formula

H(t, x) = cos(πt)x+ sen(πt)ξx.

De este modo, H0 es la identidad y H1 el difeomorfismo antipodal: x 7→ −x. Enconsecuencia, este difeomorfismo tiene grado 1 como la identidad. Esto significa queconserva la orientacion: si la base u1, . . . , up define la orientacion de TxSp, la base−u1, . . . ,−up debe definir la de T−xSp. Pero como p es par, las dos bases anterioresdefinen la misma orientacion y concluimos que las orientaciones de la esfera en dospuntos antipodales coinciden, lo que sabemos es falso. Esta es la contradiccion quebuscabamos.


Problemas

Numero 1. Sea A = (aij) una matriz n×n con todos sus coeficientes aij ≥ 0. Demostrarque existen un escalar λ ≥ 0 y un punto x ∈ Rn \ 0 con todas sus componentes xi ≥ 0 demodo que Ax = λx.

Numero 2. Probar que el teorema del punto fijo de Brouwer es equivalente a la siguientepropiedad de los cubos unidad In ⊂ Rn: dada una coleccion de n cerrados Ci de In talesque los conjuntos Ai = xi = 1 y Bi = xi = 0 esten en distinta componente conexa deIn \ Ci, entonces

⋂i Ci 6= ∅.

Numero 3. Sea X ⊂ Rn+1 una variedad compacta y conexa cuyo borde ∂X es unahipersuperficie conexa de Rn+1. Probar que Rn+1 \X es conexo.

Numero 4. Sea X ⊂ Rn+1 una hipersuperficie compacta y sin borde, no necesariamenteconexa. Determinar el numero de componentes conexas de Rn+1 \X.

Numero 5. Demostrar que una aplicacion continua f : Sn → Sn es nulhomotopa si y solosi tiene una extension continua f : Dn+1 → Sn.

Numero 6. Sea f : Rn → R una aplicacion diferenciable propia de la que todo t ∈ [0, 1]es valor regular. Probar que la imagen inversa X = f−1[0, 1] es una variedad diferenciabledifeomorfa al cilindro [0, 1]× f−1(0), y con borde ∂X = f−1(0) ∪ f−1(1).

Numero 7. Sea f : S2n → S2n una aplicacion continua sin puntos fijos. Probar queentonces las dos aplicaciones −f y f f sı tienen puntos fijos.

Numero 8. Probar que el grado de la composicion de dos aplicaciones continuas de unaesfera en sı misma es el producto de los grados. Deducir que el grado de un homeomorfismode una esfera en sı misma es ±1.

Numero 9. Probar que para cualesquiera 2n + 1 aplicaciones continuas f1, . . . , f2n+1 :S2n → R siempre existen un punto a ∈ S2n y un escalar λ ∈ R de modo que fi(a) = λaipara todo i = 1, . . . , 2n+ 1.

Numero 10. Demostrar que dos esferas de distinta dimension no son homotopicamenteequivalentes.

Numero 11. Demostrar que dos espacios afines de distinta dimension no son homeomor-fos. ¿Se puede concluir directamente de esto que dos variedades diferenciables de distintadimension no son homeomorfas?

Numero 12. Sea X ⊂ Rm una variedad compacta, conexa y sin borde, de dimension py simetrica respecto del origen. Probar que si una aplicacion continua f : X → Sp cumplef(x) = f(−x) para cada x ∈ X, entonces tiene grado par.

Problemas 113

Numero 13. Sea Sp la esfera de dimension p = 1, 3, 7, que consideramos respectivamentecomo el grupo multiplicativo de los complejos, cuaterniones, octoniones, de modulo 1; sea1∈ Sp la unidad de ese grupo. Demostrar que si u ∈ Rp+1 es un vector tangente a Sp en 1,entonces a 7→ u · a define un campo tangente a Sp. Deducir que el fibrado tangente TSp esdifeomorfo a Sp × Rp.

115

Glosario

Df(x) 2

Hp 3

Int(X) 6

∂X 6

dimxX 8

dimX 8

codimx(Y,X) 8

codim(Y,X) 8

Sp 8

Dp+1 8

Pn(R) 8

TxX 9

(TX, τ) 14

TX 14

dxf : TxX → TyY 16

df : TX → TY 16

ζE , −ζE 24

ζp 24

Γf 36

Gf 36

f−1(a), f−1(−∞, a] 47

f –txZ 56

f –tCZ 56

f –tZ 56

X –tZ 59

V R(f) 61

C(f) 61

SX 67

NxX 72

(NX, ν) 72

NX 72

e : NX → Rm 73

C(X,Y ) 76

Cr(X,Y ) 76

Bε(f) 77

UW 77

117

Indice

Aplicacion de clase r en un conjunto arbi-trario, 2

Aplicacion diferenciable, 3Aplicaciones homotopas con transversali-

dad prescrita, 84Aplicaciones propias y topologıa fuerte, 79Aproximacion arbitraria con transversali-

dad prescrita, 85Aproximacion implica homotopıa, 78Arco diferenciable, 35

Borde de una variedad, 6Borde y retractos de una variedad com-

pacta, 96

Campo tangente a una variedad, 111Clasificacion diferenciable de curvas, 93Clasificacion topologica de curvas, 89Codimension, 8Codimension pura, 8Colapsamiento, 103Conjunto de medida nula, 63Conservacion de la orientacion por un di-

feomorfismo local, 31Conservacion del borde por una aplica-

cion, 7Construccion de orientaciones mediante pa-

rametrizaciones, 25Criterio de no orientabilidad, 27Curva, 8

Derivada de una aplicacion diferenciableentre variedades, 16

Derivada direccional, 3Derivada parcial, 19Difeomorfismo, 4

Difeomorfismo local, 4Difeotopıa, 20Difeotopıa identidad fuera de un conjunto

dado, 20Dimension de un variedad, 8Dimension de una variedad en un punto,

8Dimension pura, 8

Ecuacion global de una hipersuperficie, 50Ecuaciones globales, 49Ecuaciones globales y cohomologıa, 54Entorno tubular, 76Espacio normal a una variedad en un pun-

to, 72Espacio tangente a una variedad en un

punto, 9Extension global de una funcion de clase,

13Extension local de una aplicacion de clase,

2

Fibrado normal de una variedad diferen-ciable, 72

Fibrado tangente de una variedad, 14Fibrado tangente unitario, 67Forma local canonica de una inmersion, 33Forma local canonica de una sumersion,

38, 40Forma local producto de una sumersion,

40, 41Funcion de Urysohn o separante, 11Funcion meseta de una variable, 10Funcion meseta de varias variables, 10

Grado de una aplicacion continua, 109

118 Indice

Grafo de un aplicacion diferenciable, 36

Hipersuperficie, 8Homotopıa de aplicaciones con recuentos

iguales, 104Homotopıa diferenciable, 82Homotopıa propia y topologıa fuerte, 79Homotopıa y topologıa fuerte, 79

Inmersion, 32Inmersion difeomorfica, 35Interior de una variedad, 6Interseccion completa, 49Invarianza del recuento por homotopıa, 101

Lema de deformacion por homotopıa, 82Lema fundamental del recuento, 99Lemniscata, 35

Orientacion canonica del espacio vectorialestandar, 24

Orientacion de espacios vectoriales, 24Orientacion de imagenes inversas, 57Orientacion de un cilindro y de su borde,

30Orientacion de un producto de variedades

orientadas, 29Orientacion de una variedad, 25Orientacion de una variedad en un punto,

25Orientacion del borde de una variedad orien-

table, 28Orientaciones opuestas de una variedad orien-

table conexa, 26

Parametrizacion compatible con una orien-tacion, 25

Parametrizacion de una variedad, 4Parametrizacion de una variedad adapta-

da a otra, 37Particion de la unidad, 12Producto de orientaciones, 24Producto de variedades, 19Punto crıtico, 61

Recubrimiento no ramificado, 61

Recuento de preimagenes, 99Regla de la cadena, 3Regla de la cadena para aplicaciones dife-

renciables entre variedades, 16Retraccion radial, 68

Seccion nula del fibrado normal, 72Seccion nula del fibrado tangente, 14Semiespacios afines, 3Simplificacion homotopica mediante el re-

cuento de preimagenes, 107Solenoide, 35Suma de orientaciones, 24Sumersion, 38Superficie, 8

Teorema de aproximacion diferenciable, 79Teorema de Baire, 62Teorema de existencia de campos tangen-

tes a esferas, 111Teorema de existencia de difeotopıas, 20Teorema de Fubini, 64Teorema de inmersion de Whitney, 66Teorema de invarianza del dominio, 7Teorema de inversion local, 4Teorema de inversion local para varieda-

des con borde, 16Teorema de Jordan-Brouwer, 54Teorema de Sard-Brown, 62Teorema de separacion de Jordan-Brouwer,

97Teorema del punto fijo de Brouwer, 95Teorema fundamental del algebra, 61Teorema parametrizado de densidad de la

transversalidad, 65Teoremas de Hopf, 109Topologıa fuerte, 77Transversalidad, 56Transversalidad de aplicaciones, 59Transversalidad de variedades, 59Tubo, 76

Unicidad de la ecuacion global de una hi-persuperficie, 54

Valor crıtico, 61

Indice 119

Valor regular, 61Variedad con borde diferenciable, 7Variedad de clase r, 4Variedad diferenciable, 4Variedad orientable, 25Variedad orientada, 25Variedad topologica, 4Vector tangente exterior a una variedad

en un punto del borde, 28

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Topologia Diferencial y Variedades Con Borde