ANALISIS DE VARIABLE REAL
ANALISIS DE VARIABLE REAL.
LMITES INFINITOS Y LMITES EN EL INFINITO
DEFINICIN (LIMITE DE UNA FUNCIN).- Sean X e Y espacios mtricos;
supongamos que E ( X, f aplica E en Y y p es un punto de acumulacin
de E. Escribiremos cuando o
si existe un punto con la siguiente propiedad: Para todo ( >
0 existe un ( > 0, tal que
para todos los puntos , para los cuales
.
Los smbolos y se refieren a las distancias en X e Y,
respectivamente. Si X e/ Y se sustituyen por la recta real, el
plano complejo, o algn espacio eucldeo , las distancias , se
sustituyen por los valores absolutos, o por las normas
apropiadas.
Debe observarse que , pero p no necesita ser un punto de E en la
definicin anterior. Adems, an si podemos tener .
CONTINUIDAD
f: A B (A,dx)(B, dy) - espacios mtricos
Lim f(x) = L, donde p es pto de Acumulacin de A.
x p
si y solo si: ((>0 ((>0, (x, 0< dx(x,p)< ( (
dy(f(x), L)< (( ( ( >0 ((>0, (x( N(p) {p} ( f(x) (
N(L)
OPERACIONES ENTRE FUNCIONES
Suma:
Producto:
Cociente:
PROPIEDADES
Sea Lim ; Lim
x p x p
1) Lim
x p
2) Lim
x p
3) Lim Lim
x p
4) Lim
x p
1. Sea F continua en X y K compuesto tal que K X F(K).
A B F(A) F(B)
A B F (A) F (B)
A B F (A B) = F (A) F (B)
A B F(AB) = F(A) F(B)
A
EMBED Equation.3 F( A) = F( A)
A
EMBED Equation.3 F( A) = F( A)
f, g, h C (x) se cumple :
(f + g) C (x)
(f * g) C (x)
(f o g) C (x) g: XX
(f + g) = (g + f)
(f * g) = (g * f)
(f o g) (g o f)
f +(g + h) = (f + g) + h
f * (g * h) = (f * g) * h
DEFINICIN (Continuidad y Compacticidad).-
Se dice que una aplicacin f de un conjunto E en es acotada si
existe un nmero real M, tal que para todo .
CONTINUIDAD UNIFORME
f: A B
Se dice que f es uniformemente continua en E( A si y solo si
((>0 ((>0, (( E, 0< d()< ( ( d()<
(DISCONTINUIDADES
Se dice que f es discontinua en el punto p ( [a b] si y solo
si
Lim f(x) f(p) o Lim f(x) no existe
Hay dos tipos de discontinuidades:
Primera Clase
Se dice que f es discontinua de Primera Clase en p ( [a b] si y
solo si
Lim f(x) , Lim f(x) existe , y son diferentes de F (p)
Segunda Clase
Aquellas donde Lim f(x) no existe.
Teorema (Continuidad de Abiertos)
: A B, continua en A ( ().
Demostracin:
Si continua en A ( ().
Escojo x ( ( (x) ( V, por definicin
Como V es abierto ( ( ((x)) ( V
es continua en x ( ((>0, ( (>0, tal que (x ( (x), x (
x
( (x) ( ((x))
escogemos (, tal que ((x)) ( ((x)) ( V, (0
Sea V ( B, (y(B, tal que (y(y,(p)) < (Si V es abierto ( es
abierto
( ( (>0, tal que x ( , (x(p,x) < (( si x (, (x( ( V, tal
que (y((p), (x)) < (( es continua en A
Teorema:
Sea E ( (, E convexo ( (x,y ( E, si x
