Polígonos TOPOLOGIA

5/26/2018 Pol gonos TOPOLOGIA

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Polgonos1


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Polgonos2

PolgonosUn polgono es una figuraplanacon lados rectos. La palabra

polgono procede del griego y quiere decir muchos (poly) y angulos

(gonos).

Es un polgono?

Los polgonos son formas bidimensionales. Estn hechos con lneas rectas, y suforma es "cerrada" (todas las lneas estn conectadas).

Polgono(lados rectos)

Noes un polgono(tiene una curva)

Noes un polgono(abierto, no cerrado)

Elementos de un polgono
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Polgonos3

Los elementos ms importantes de un polgono regular son:centro, radio, lado y apotema.

Centro,el punto que equidista de los vrtices.

Radio R, es el segmento que une el centro con un vrtice.

Apotema a, segmento que une el centro con el punto medio de unlado.

Tipos de polgonos

Simple o complejo

Un polgono simpleslo tiene un borde que no se cruza con l mismo.Uno complejose interseca consigo mismo!

Polgono simple(este es unpentgono)

Polgono complejo(tambin es un

pentgono)

Cncavo o convexo

Un polgono convexono tiene ngulos que apunten hacia dentro. En concreto, losngulos internos no son mayores que 180.

Centro


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Polgonos4

Si hay algn ngulo interno mayor que 180 entonces es cncavo. (Paraacordarte: cncavo es como tener una "cueva")

Regular o irregular

Si todos los ngulos son iguales y los lados tambin, es regular, si no es irregular

Dnde los encontramos?


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Polgonos5

Ms Ejemplos

Nombres de polgonosSi es regular...

Nombre Lados Forma ngulo interiorTringulo (o trgono) 3 60

Cuadriltero (o tetrgono) 4 90

Pentgono 5 108

Hexgono 6 120

Heptgono(o Septgono) 7 128.571

Octgono 8 135

Nongono (or enegono) 9 140

Decgono 10 144

Endecgono (or undecgono) 11 147.273

Dodecgono 12 150

Tridecgono 13 152.308Tetradecgono 14 154.286Pentadecgono 15 156Hexadecgono 16 157.5Heptadecgono 17 158.824Octadecgono 18 160Eneadecgono 19 161.053

Icosgono 20 162Triacontgono 30 168

Tetracontgono 40 171

Polgono complejo(un "polgono estrellado",

eneste caso unpentagrama)

Octgonocncavo

Hexgonoirregular
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Polgonos6

Pentacontgono 50 172.8Hexacontgono 60 174Heptacontgono 70 174.857Octacontgono 80 175.5Eneacontgono 90 176

Hectgono 100 176.4Chiligono 1,000 179.64Mirigono 10,000 179.964Meggono 1,000,000 ~180

Googolgono 10100 ~180n-gono n (n-2) 180/ n

ngulos interiores de polgonos

Un ngulo interior es un ngulo dentro de una figura.

Pentgono

Para polgonos con 13 lados o ms, sepuede escribir (y es ms fcil) "13-gono", "14-gono"... "100-gono",etc.


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Polgonos7

Un pentgono tiene 5 lados, y se puede dividiren tres tringulos, as que ...

... sus ngulos interiores suman 3 180 =540

Y si es regular (todos los ngulos son iguales), cadauno mide 540/ 5 = 108

(Ejercicio: asegrate de que cada tringulo aqu

suma 180, y comprueba que los ngulos interiores

del pentgono suman 540)

La regla generalAs que cada vez que aadimos un lado ms (de tringulo a cuadriltero, apentgono, etc) sumamos otros 180al total:

Si es regular...

Figura LadosSuma de los

ngulos interioresForma Cada ngulo

Tringulo 3 180 60

Cuadriltero 4 360 90

Pentgono 5 540 108

Hexgono 6 720 120

... ... .. ... ...

Cualquier

polgonon (n-2) 180 (n-2) 180/ n

La ltima lnea puede ser un poco difcil de entender, as que vamos a ver unejemplo.

Ejemplo: Qu pasa con un decgono (10 lados)?

Suma de los ngulos interiores = (n-2) 180= (10-2)180 = 8180 = 1440


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Polgonos8

Y, si es regular, cada ngulo interior = 1440/10 = 144

ngulos exteriores de polgonosUn ngulo exterior es un ngulo entre un lado de una figura y la lnea

que se extiende desde el lado siguiente.

Nota: si sumas los ngulos interiores y exteriores sale el ngulo de una lnea recta,180. (Verngulos suplementarios)

Los ngulos exteriores de un polgono suman 360
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Polgonos9

En otras palabras, los ngulos exteriores suman una vuelta

completa

Pinsalo de esta manera: las lneas van cambiando de

direccin y al final vuelven al principio.

(Ejercicio: prueba a hacerlo con un cuadrado o algn

polgono con forma extraa)

Nota: esta regla slo se aplica apolgonos simples

Tringulo

DEFINICION Y PROPIEDADES

Un tringulo es un polgono que tiene 3 lados,

y por tanto tres ngulos.

Cada ngulo se denota por una letra mayscula

y los lados por letras minsculas.

El lado a, es el opuesto al ngulo A

Intenta que los ngulos midan 90, 60 y 30

aproximadamente.

El valor de los lados y el de los ngulos, no puedeser cualquier nmero, en todo tringulo se cumple:

LOS NGULOS INTERIORES DE UN TRINGULO SUMAN 180
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Polgonos10

90 + 60 + 30 = 180 80 + 70 + 30 = 180

En este tringulo es verdad!Vamos a inclinar una lnea 10 ...

Tambin funciona, porque un

ngulo aument10, perootro disminuy10

LA LONGITUD DE CADA LADO ES MENOR QUE LA SUMA DE LOSOTROS

Estas dos propiedades son muy importantes,pero el tringulo tiene una propiedad aun msimportante, la rigidez.

Un sencillo ejemplo:

Con tres varillas iguales podemos formar un tringulo, que no sedeforma.

Con cuatro varillas iguales, el cuadriltero que se forma, puededeformarse, no es rgido.


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Polgonos11

El tringuloes el polgono ms simple. Si observas a tu alrededor comprobars que ms objetos de losque imaginabas tienen forma de tringulo.

El tringulo es el polgono ms sencillo: tiene tres lados y tres ngulos.


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Polgonos12

Estas dos clasificaciones no son excluyentes, es decir, que un tringulo puede ser a la vez

acutngulo e issceles; o puede ser escaleno y a la vez obtusngulo, etc.

Teorema de Pitgoras

Hace aos, un hombre llamado

Pitgoras descubri un hecho

asombroso sobre tringulos:

Si el tringulo tiene un ngulo recto(90)...

... y pones un cuadrado sobre cada unode sus lados, entonces...

... el cuadrado ms grande tiene exactamente lamisma reaque los otros dos cuadrados juntos!


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Polgonos13

El lado ms largo del tringulo se llama "hipotenusa", as que la definicin formales:

En un tringulo rectngulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a lasuma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos "tringulo

rectngulo" a un tringulo con un ngulo recto)

Entonces, el cuadrado de a (a) ms el cuadrado de b(b) es igual al cuadrado de c (c):

a2+ b2= c2

Seguro...?

Veamos si funciona con un ejemplo. Un tringulo de lados "3,4,5" tiene un ngulorecto, as que la frmula debera funcionar.

Por qu es til esto?

Si sabemos las longitudes de dos ladosde un tringulo con un ngulo recto, el

Teorema de Pitgoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado. (Perorecuerda que slo funciona en tringulos rectngulos!)

Cmo lo uso?

Veamos si las reas sonla misma:

32+ 42= 52

Calculando obtenemos:

9 + 16 = 25

S, funciona!


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Polgonos14

Escrbelo como una ecuacin:

a2+ b2= c2

Ahora puedes usarlgebrapara encontrar el valor que falta, como en estosejemplos:

a2+ b2= c2

52+ 122= c2

25 + 144 = 169

c2= 169

c = 169

c = 13

a2+ b2= c2

92+ b2= 152

81 + b2= 225

Resta 81 a ambos lados

b2= 144

b = 144

b = 12

Nota histrica: aunque se llama Teorema de Pitgoras,

tambin lo conocan los matemticos indios, griegos,

chinos y babilonios antes de que l viviera!

Cuadriltero
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Polgonos15

Los cuadrilteros sonpolgonos,es decir, figuras geomtricas planas limitadas por lneas

rectas, que tienen los siguientes elementos: cuatro lados, cuatro vrtices, cuatro ngulos

interiores y cuatro ngulos exteriores. Adems, la suma de todos sus ngulos interiores es de

360.

Los Cuadrilteros pueden ser cncavos o convexos, dependiendo cunto midan sus ngulosinteriores.

Cuadrilteros Cncavos y Convexos

Un cuadriltero es convexo si todos sus ngulos interiores son menores a 180 (mira la figura

de abajo). Tambin puedes darte cuenta si es convexo, cuando al trazar una recta sobre l, la

recta lo cort a lo ms en dos lados.

Un cuadriltero es cncavo, si uno de sus ngulos interiores mide ms de 180. Tambin

puedes darte cuenta si es cncavo, cuando al trazar una recta sobre l, la recta lo corta en msde dos lados.

Lados Consecutivos u Opuestos de un Cuadriltero

Adems, decimos que los lados de un cuadriltero pueden ser: consecutivos, cuando tienen un

vrtice en comn, u opuestos, cuando no tienen ningn vrtice comn.

Recuerda que un vrtice es el punto comn entre los lados.

Las diagonales son los segmentos que unen dos vrtices no consecutivos. Un cuadriltero tiene

2 diagonales.
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Polgonos16

Clasificacin de los Cuadrilteros

De acuerdo al paralelismo de sus lados, podemos clasificar los cuadrilteros en:

Paralelogramos:tienen dos pares de lados paralelos.

Trapecios:tienen un par de lados paralelos.

Trapezoides: son los cuadrilteros que no tienen lados paralelos.

PARALELOGRAMO

Un paralelogramo es un cuadriltero que tiene los ladosparalelos dos a dos.

Propiedades:

Los lados opuestos son iguales. Los ngulos opuestos son iguales y los consecutivos suplementarios. Las diagonales se cortan en el punto medio

Un paralelogramo puede ser:

Rectngulo. Tiene los ngulos rectos.Lasdiagonales del rectngulo son iguales.
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Polgonos17

Rombo. Tiene los lados iguales.Lasdiagonales del rombo son perpendiculares.

Cuadrado es el paralelogramo que esrectngulo y rombo a la vez.Un cuadradotiene los lados iguales y adems sus ngulos sonrectos. Adems tiene las diagonalesiguales(por ser rectngulo) yperpendiculares(por ser rombo).

TRAPECIO

El trapecio es un cuadriltero que tiene dos lados paralelos, y losotros dos no son paralelos.

Los lados paralelos se denominan Base mayory base menor. La distancia entre los lados paralelos se llama altura.


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Polgonos18

Trapecio Issceles,si los lados no paralelos son iguales.

Trapecio rectngulo si tiene dos ngulos rectos.

Trapecio trisoltero Es aquel que tiene tres lados iguales ocongruentes.

Trapecio escaleno Trapecio con un par de lados paralelospero con todos sus lados de distinta medida.

TRAPEZOIDE.


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Polgonos19

Se denomina trapezoide a un cuadriltero que no tiene ladosparalelos. Por tanto es un cuadriltero sin ms propiedadesadicionales.

Existe un tipo de trapezoide especialmente interesante.

Se llama cometaal cuadriltero con dos pares de lados consecutivosiguales.

Las diagonales son perpendiculares.

Un par de ngulos opuestos son iguales.

El cuadrilterose puede observar atu alrededor en objetos que no

imaginabas.


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Polgonos20

Permetros y reas de los polgonos

Nombre Dibujo Permetro rea

Tringulo

P = Sumade los lados

P = b + c + d p = semipermero

Cuadrado P = 4 a A = a2

Rectngulo P = 2(b + a) A = b a

Rombo P = 4 a

Romboide P = 2(b + c) A = b a

TrapecioP = B + c +

b + d

TrapezoideP = a + b + c

+ dA = Suma de las reas delos dos tringulos

Polgonoregular


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Polgonos21


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Polgonos22

1. Indica si los siguientes polgonos son convexos o cncavos:

a) Convexo: todos sus ngulos interiores son menores de 180.

b) Cncavo: el ngulo F es mayor de 180.

c) Cncavo: los ngulos A y D son mayores de 180.

d) Convexo: todos sus ngulos interiores son menores de 180.

2. Clasifica los siguientes tringulos segn sus lados y segn sus ngulos:

a) Issceles y rectngulo. d) Issceles y obtusngulo.

b) Escaleno y obtusngulo. e) Equiltero y acutngulo.

c) Escaleno y acutngulo. f) Escaleno y rectngulo.


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Polgonos23

3. Clasifica los siguientes cuadrilteros:

a) Trapecio b) Rectngulo c) Romboide

d) Rombo e) Trapezoide f) Trapecio

g) Romboide h) Rombo i) Rectngulo

j) Cuadrado k) Trapecio l) Trapezoide


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Polgonos24

4. Calcula el rea de los siguientes polgonos regulares expresando el

resultado en : decmetros, metros, decmetros, centmetros y milmetros:

a) Permetro del pentgono: 0.025 dam = 0.25 m = 2.5 dm = 25 cm = 250 mm

b) Permetro del hexgono: 4.8 dam = 48 m = 480 dm = 4800 cm = 48000 mm

c) Permetro del octgono: 0.16 dam = 1.6 m = 16 dm = 160 cm = 1600 mm

d) Permetro del decgono: 0.004 dam = 0.04 m = 0.4 dm = 4 cm = 40 mm

5. Calcular el rea de los siguientes paralelogramos:

6. Calcular el rea de los siguientes cuadrilteros:

7. Calcular el rea de los siguientes tringulos:


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Polgonos25

8. Calcular el rea de los siguientes polgonos regulares:

9. Clasifica el siguiente tringulo segn sus lados.

10.Clasifica el cuadriltero.

11.Calcula el permetro del polgono.


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Polgonos26

12.Calcula el rea del tringulo sabiendo que la base mide 4 cm, los lados iguales miden

6,3 cm y la altura 6 cm.

13.Calcula el rea del cuadriltero.


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Polgonos27

14.COMPLETA LA TABLA

NOMBRE REPRESENTACIONGRAFICA

NUMERODE

LADOS

NUMERO DEDIAGONALES

TRIANGULO

CUADRADO

PENTAGONO

HEXAGONO

HEPTAGONO


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Polgonos28


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Polgonos29

Domin polgonos figurapalabra: En este juego dedomin se deben asociar los polgonos con su nombre.

EL LABERINTO: CALCULANDO REAS

DE POLGONOS:

ENCUENTRAEL MEJOR CAMINO

Se pretende que el alumno calcule de forma rpida las reas de los

tringulos, rectngulos, paralelogramos, trapecios y otros polgonos

sencillos. Se trata de un juego a realizar individualmente; cadaalumno recorre muchos posibles caminos del laberinto, sin poder

volver hacia atrs y va sumando las reas de los polgonos que

recorre e intentando obtener la mayor suma posible. El ganador o

ganadores es el qu, en un tiempo dado, ha obtenido la suma

mayor.
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Polgonos30


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Polgonos31

SOP DE LETR SC U A T C E D F G A U D R A D O S H

C O T C U A D R A D O H O T M C N E

Y A O D H H O U J T P A B I L O A X

J T E B E S U O R V G S M P E L V A

H R D P Z C O I O I S O O S A Y K G

E A G O S O A N U W O Y R O B B L O

J P U I X N P G O L L U U S O E A N

L E H J G Z O N O G E T C O N P G O

O C P U K O L U G N A E A E R L O

U I L O M G I M U M O T S O A A S M

I O F H F S S I P G X N M P N E U

N O M U C U A D R I L A T E R O N A

M L A S U A G H P O Y F M O P E O N

H E X B T I O C T A E N T R E A N G

HEXAGONO-DECAGONO-CUADRADO-TRAINGULO-ROMBO-RECTANGULO-TRAPECIO-

PENTAGONO-CUADRILATERO-OCTOGONO.

COLOREA EL DIBUJO BUSACNDO EL COLOR QUE LE CORRESPONDA


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Polgonos32

TRIANGULO EQUILATERO ..AMARILLO

OCTOGONO.MARRON

HEPTAGONOVERDE

PENTAGONO..ROSA

ENEAGONO.AZUL

HEXAGONO.VIOLETA

TRAPECIO.NARANJA

ROMBOIDE.NEGRO

TRAINGULO ISOSCELES.. ROJO

TRAPEZOIDE.CELESTE

ROMBO..BLANCO

TRIANGULO ESCALENO. MORADO

INTEGRANTES:

MARQUEZ MARIL


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Polgonos33

LAZZARINI JESSICA

SOSA PEREYRA SARA

GALLETTO AGUSTINA

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