TÓPICOS DE MATEMÁTICA

PROFESSOR: LUÍS GUSTAVO

PROBABILIDADE

Blaise Pascal

Pierre de Fermat

A teoria das probabilidades como ciência passou a existir no século XVII, quando um apostador francês,Chevalier de Méré (1607-1648), fez história, dirigindo-se a Blaise Pascal(1623-1662) para uma explicação de suas perdas inexplicáveis. Pascal combinou seus esforços com o seu amigo Pierre de Fermat e os dois estabeleceram as bases matemáticas para a teoria da probabilidade.

Experimentos

· Experimento Determinístico

Situações ou acontecimentos cujos resultados podem ser previstos com certeza.

Exemplo:A temperatura em que a água ferve.

Experimento Aleatório ou Fenômeno Aleatório

Situações ou acontecimentos cujos resultados não podem ser previstos com certeza.

Exemplos:

• Condições climáticas do próximo domingo;

• Taxa de inflação do próximo mês;

• Resultado ao lançar um dado ou moeda;

• Tempo de duração de uma lâmpada.

Espaço Amostral (Ω ou S)

Conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório ou fenômeno aleatório.

Exemplos:

1. Lançamento de um dado Ω = {1,2,3,4,5,6}⇒

2. Tipo sanguíneo de um individuo Ω = {A, B, AB, O}⇒

3. Opinião de um eleitor sobre um projeto ⇒ Ω = {Favorável,Contrário}

4. Tempo de duração de uma lâmpada Ω={t; t>0)⇒

EVENTO

São os possíveis subconjuntos de um espaço amostral, ou seja, qualquer um dos possíveis resultados de um experimento aleatório.

Exemplos:

No lançamento de um dado não viciado, veja alguns eventos:

A: sair face par: A = {2,4,6} Ω⇒ ⊂

B: Sair face maior que 3 B = {4,5,6} Ω⇒ ⊂

C: sair face 1 C={1} Ω⇒ ⊂

D: sair face 7 D ={ } (evento impossível) = (conjunto vazio) Ω⇒ ⊂∅

E: sair face menor que 7 E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ω (evento certo)

Operação com eventos

Sejam os eventos A e B definidos no mesmo espaço amostral.

• A B: União dos eventos A e B.∪Representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos A ou B

• A ∩ B: Intersecção dos eventos A e B.

Representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B.

• A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não têm

elementos em comum, isto é, A ∩ B = .∅

• A e B são complementares se sua intersecção é vazia e sua união representa o espaço amostral, isto é, A ∩ B = e A B = Ω.∅ ∪

• O complementar de um evento A é representado por AC ou A .

Exemplo:

No lançamento de um dado, temos:

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Considerando os eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1}, obtenha:

• A ∩ B = {2, 4, 6} ∩ {4, 5, 6} = {4, 6}.

• A ∩ C = {2, 4, 6} ∩ {1} = .∅

• A B = {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6}.∪ ∪

• A C = {2, 4, 6} {1} = {1, 2, 4, 6}.∪ ∪

• AC = {1, 3, 5} não sair face par.

FREQUÊNCIA RELATIVA

Frequência relativa é o quociente entre a frequência absoluta do valor da variável (n) e o número total de observações (m). Então:

PROBABILIDADE DE UM EVENTO

A probabilidade de um evento é determinada pelo quociente entre o número de elementos do evento e o número de elementos do espaço amostral.

OU

Em um colégio foi realizada uma pesquisa sobre as atividades extracurriculares de seus alunos. Dos 500 alunos entrevistados, 240 praticavam um tipo de esporte, 180 frequentavam um curso de idiomas e 120 realizavam estas duas atividades, ou seja, praticavam um tipo de esporte e frequentavam um curso de idiomas. Se, nesse grupo de 500 estudantes um é escolhido ao acaso, a probabilidade de que ele realize pelo menos uma dessas duas atividades, isto é, pratique um tipo de esporte ou frequente um curso de idiomas, é

A) 18/25 . B) 3/5. C) 12/25. D) 6/25. E) 2/5.

120120 60

E I

200

Resolução:

Exercício 1

Propriedades da Probabilidade

Sendo P(E) a probabilidade de ocorrer o evento E e Ω o espaço amostral, temos:

• Se E ⊂ Ω 0 ≤ P(E) ≤ 1

• Se E = Ω P(E) = 1 (probabilidade do evento certo)

• Se E = P(E) = 0 (probabilidade do evento impossível)

· Se E = E1 ou E2 ou E3 ...(E1 E2 E3 ... = )

P(E) = P(E1) + P(E2) + P(E3) + ...

PROBABILIDADE DA UNIÃO DE EVENTOS

Se A e B são eventos de um mesmo espaço amostral, então:

P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)

Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, ou seja, A B =,temos: P(A∪B) = P(A) + P(B)

Na tabela, aparecem registrados os dados de 1000 doadores de sangue.  

Sorteando-se um dos 1000 doadores, a probabilidade de sair um portador de sangue do tipo O ou de fator RH positivo é igual aa) 92,3% b) 93,4% c) 94,1% d) 95,2% e) 96,3%

Resolução:

Exercício 2

PROBABILIDADE DE EVENTOS COMPLEMENTARES

Se E é um evento, então E será o seu evento complementar. Logo: P( E ) + P(E) = 1

Dados do Instituto de Pesquisas Econômicas Aplicadas (IPEA) revelaram que no biênio 2004/2005, nas rodovias federais, os atropelamentos com morte ocuparam o segundo lugar no ranking de mortalidade por acidente. A cada 34 atropelamentos, ocorreram 10 mortes. Cerca de 4 mil atropelamentos/ano, um a cada duas horas, aproximadamente.Disponível em: http://www.ipea.gov.br. Acesso em: 6 jan. 2009.De acordo com os dados, se for escolhido aleatoriamente para investigação mais detalhada um dos atropelamentos ocorridos no biênio 2004/2005, a probabilidade de ter sido um atropelamento sem morte é:a) 2/17 b) 5/17 c) 2/5 d) 3/5 e) 12/17

Resolução:

Exercício 3

Probabilidade Condicional

Sejam A e B dois eventos em um mesmo espaço amostral Ω, a probabilidade condicional de A dado que ocorreu o evento B é dado por:

ou

P(A/B) é a probabilidade de ocorrência do evento A com a condição que B tenha ocorrido.

Em um blog de variedades, músicas, mantras e informações diversas, foram postados “Contos de Halloween”. Após a leitura, os visitantes poderiam opinar, assinalando suas reações em: “Divertido”, “Assustador” ou “Chato”. Ao final de uma semana, o blog registrou que 500 visitantes distintos acessaram esta postagem.

O administrqador do blog irá sortear um livro entre os visitantes que opinaram na postagem “Contos de Halloween”. Sabendo que nenhum visitante votou mais de uma vez, a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso entre as que opinaram ter assinalado que o conto “Contos de Halloween” é “Chato” é mais aproximada por a) 0,09 b) 0,12 c) 0,14 d) 0,15 e) 0,18

Exercício 4

Resolução:

Em uma escola 20% dos alunos tem problemas visuais, 8% problemas auditivos e 4% tem problemas visuais e auditivos. Sabendo que o aluno escolhido tem problemas visuais, qual é a probabilidade de que tenha problemas auditivos?

Resolução:

Exercício 5

A queima de cana aumenta a concentração de dióxido de carbono e de material particulado na atmosfera, causa alteração do clima e contribui para o aumento de doenças respiratórias. A tabela abaixo apresenta números relativos a pacientes internados em um hospital no período da queima da cana.

Escolhendo-se aleatoriamente um paciente internado nesse hospital por problemas respiratórios causados pelas queimadas, a probabilidade de que ele seja uma criança é igual a

Exercício 6

a) 0,26, o que sugere a necessidade de implementação de medidas que reforcem a atenção ao idoso internado com problemas respiratórios.b) 0,50, o que comprova ser de grau médio a gravidade dos problemas respiratórios que atingem a população nas regiões das queimadas.c) 0,63, o que mostra que nenhum aspecto relativo à saúde infantil pode sernegligenciadod) 0,67, o que indica a necessidade de campanhas de conscientização que objetivem a eliminação das queimadase) 0,75, o que sugere a necessidade de que, em áreas atingidas pelos efeitos das queimadas, o atendimento hospitalar no setor de pediatria seja reforçado.

Resolução:

Alternativa: E

Independência de eventos

Dois eventos A e B são independentes se a informação da ocorrência ou não de B não altera a probabilidade da ocorrência de A. Isto é:

P(A/B) = P(A), P(B)>0

Consequentemente, temos que dois eventos A e B são independentes sesomente se, P(A∩B) = P(A) P(B).

Em um determinado semáforo, as luzes completam um ciclo de verde, amarelo e vermelho em 1 minuto e 40 segundos. Desse tempo, 25 segundos são para a luz verde, 5 segundos para a amarela e 70 segundos para a vermelha. Ao se aproximar do semáforo, um veículo tem uma determinada probabilidade de encontrá-lo na luz verde, amarela ou vermelha. Se essa aproximação for de forma aleatória, pode-se admitir que a probabilidade de encontrá-lo com uma dessas cores e diretamente proporcional ao tempo em que cada uma delas fica acesa. Suponha que um motorista passa por um semáforo duas vezes ao dia, de maneira aleatória e independente uma da outra. Qual e a probabilidade de o motorista encontrar esse semáforo com a luz verde acesa nas duas vezes em que passar?a) 1/25 b) 1/16 c) 1/9 d) 1/3 e) 1/2

Resolução:

Exercício 7

Considere uma prova de Matemática constituída de quatro questões de múltipla escolha, com quatro alternativas cada uma, das quais apenas uma é correta. Um candidato decide fazer essa prova escolhendo, aleatoriamente, uma alternativa em cada questão. Então, é CORRETO afirmar que a probabilidade de esse candidato acertar, nessa prova, exatamente uma questão é

A) 27/64. B) 27/256. C) 9/64. D) 9/256.

Resolução:

Exercício 8

9) O sangue humano costuma ser classificado em diversos grupos, sendo os sistemas ABO e Rh os métodos mais comuns de classificação. A primeira tabela abaixo fornece o percentual da população brasileira com cada combinação de tipo sanguíneo e fator Rh. Já a segunda tabela indica o tipo de aglutinina e de aglutinogênio presentes em cada grupo sanguíneo.

Em um teste sanguíneo realizado no Brasil, detectou-se, no sangue de um indivíduo, a presença de aglutinogênio A. Nesse caso, a probabilidade de que o indivíduo tenha sangue A+ é de cerca dea) 76%.b) 34%.c) 81%.d) 39%. Gab: A

Exercícios propostos

10) Segundo uma pesquisa realizada no Brasil sobre a preferência de cor de carros, a cor prata domina a frota de carros brasileiros, representando 31%, seguida pela cor preta, com 25%, depois a cinza, com 16% e a branca, com 12%. Com base nestas informações, tomando um carro ao acaso, dentre todos os carros brasileiros de uma dessas quatro cores citadas, qual a probabilidade de ele não ser cinza?  Gab: E

11)Duas máquinas A e B produzem juntas 5 000 peças em um dia. A máquina A produz 2 000 peças, das quais 2% são defeituosas. A máquina B produz as restantes 3 000 peças, das quais 3% são defeituosas. Da produção total de um dia, uma peça é escolhida ao acaso e, examinando-a, constatou-se que ela é defeituosa. Qual é a probabilidade de que essa peça escolhida tenha sido produzida pela máquina A? Gab:

12) Em uma população de aves, a probabilidade de um animal estar doente é 1/25. Quando uma ave está doente, a probabilidade de ser devorada por predadores é 1/4, e, quando não está doente, a probabilidade de ser devorada por predadores é 1/40. Portanto, a probabilidade de uma ave dessa população, escolhida aleatoriamente, ser devorada por predadores é de: a) 1,0%. b) 2,4%. c) 4,0%. d) 3,4%. e) 2,5%. Gab: D

13) Uma emissora de rádio possui dois programas, que ocorrem em horários diferentes, em que os ouvintes podem participar ao vivo, por meio de telefone. A emissora consegue atender 10% das ligações que são feitas para o primeiro programa e 20% para o segundo, sendo que todas as ligações feitas para um mesmo programa têm a mesma probabilidade de serem atendidas. Se, num certo dia, uma pessoa fizer uma única ligação para cada programa, então a probabilidade de que ela participe de pelo menos um dos dois programas é igual a a) 18%. b) 20%. c) 26%. d) 28%. e) 30%. Gab: D

14) Uma universidade irá participar dos Jogos Olímpicos Universitários com 140 acadêmicos distintos dos seguintes cursos: 80 de Matemática, 40 de Engenharia Elétrica e 20 de Ciência da Computação.Sorteando-se um acadêmico ao acaso, para representar a Universidade na Solenidade de Abertura destes jogos, qual a probabilidade de que ele pertença ao curso de Matemática ou de Engenharia Elétrica? a) 4/7 b) 3/7 c) 8/7 d) 6/7 e) 5/7 Gab: D

15) Um casal decidiu que vai ter 3 filhos. Contudo, quer exatamente 2 filhos homens e decide que, se a probabilidade fosse inferior a 50%, iria procurar uma clínica para fazer um tratamento específico para garantir que teria os dois filhos homens.Após os cálculos, o casal concluiu que a probabilidade de ter exatamente 2 filhos homens éa) 66,7%, assim ele não precisará fazer um tratamento.b) 50%, assim ele não precisará fazer um tratamento.c) 7,5%, assim ele não precisará fazer um tratamento.d) 25%, assim ele precisará procurar uma clínica para fazer um tratamento.e) 37,5%, assim ele precisará procurar uma clínica para fazer um tratamento. Gab: E

16) De um total de 500 estudantes da área de exatas, 200 estudam Cálculo Diferencial e 180 estudam Álgebra Linear. Esses dados incluem 130 estudantes que estudam ambas as disciplinas. Qual é a probabilidade de que um estudante escolhido aleatoriamente esteja estudando Cálculo Diferencial ou Álgebra Linear?a) 0,26 b) 0,50 c) 0,62 d) 0,76 e) 0,80 Gab: B

17) Um casal planeja ter 4 filhos. Supondo igual a chance de um filho nascer do sexo masculino ou do sexo feminino, qual a probabilidade de o casal vir a ter, no mínimo, dois filhos do sexo masculino?a) 0,6871b) 0,6872c) 0,6873d) 0,6874e) 0,6875 Gab: E

18) A tabela abaixo fornece o número de estudantes matriculados por sexo e curso, no Colégio Técnico da UFRRJ no ano 2000.

Ao escolher um aluno, a probabilidade de o mesmo ser do sexo feminino ou do Curso Técnico em Agropecuária éa) 33/109 b) 98/109 c) 101/109 d) 108/109 e) 120/109 Gab: C