Apostila UEL Tópicos em Matemática Básica

8/14/2019 Apostila UEL Tpicos em Matemtica Bsica

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Universidade

Estadual de LondrinaCENTRO DE TECNOLOGIA E URBANISMO

CURSO DE ENGENHARIA ELTRICA

Apostila elaborada por alunos do curso deEngenharia Eltrica da UEL, para osfuncionrios de manuteno do HURNP.

Londrina 2001


2/31

i

ndice

Pg.

ndice i

1. Conceitos de Fraes 01

Equivalncia de Fraes 02

2. Operao com Fraes 03

2.1 Adio e Subtrao de Fraes 03

2.2 Multiplicao e Diviso de Fraes 07

2.3 Operao com Nmeros Decimais 10

3. Regra de Trs 14

4. Porcentagem 18

5. Equaes do Primeiro Grau 19

6. Sistemas de Equaes de Primeiro Grau 24

6.1 Resoluo de Sistemas Lineares 26

Bibliografia 29


3/31

1

1 CONCEITOS DE FRAES

Frao nada mais que uma diviso dos elementos de um conjunto em conjuntos menores.O numero que vem embaixo chamado denominador e indica em quantas partes o conjunto

dado ser dividido. O nmero que est em cima chama-se numerador e indica quantas partes dadiviso vamos usar.

Exemplo:O que 3

1de um retngulo?

O denominador aqui 3, ento dividimos o retngulo em 3 partes iguais. Assim cada uma

destas partes ser3

1do retngulo:

3

1

O mesmo se d para conjuntos, assim, pede-se5

2de 15:

Primeiro separa-se 15 em 5 conjuntos:

52

Cada conjunto 5

1do total. Queremos

5

2, ento pegamos 2 conjuntos. Assim ,

5

2de 15 6.

Exerccios:

1)6

5de 18

2)2

1de 4

3)3

1de 9

4)8

3de 24


4/31

2

Equivalncia de fraes:

Existem fraes que aparentemente so diferentes, mas representam a

mesma parte de um todo.Por exemplo, tomando

6

3e depois

2

1do mesmo retngulo:

6

3

2

1

Percebe-se que a mesma parte do retngulo pode ser representada porfraes diferentes. Estas so chamadas fraes equivalentes.

Para encontrar uma frao equivalente outra, basta multiplicar, ou dividir,tanto o numerador quanto o denominador da frao que voc j tem.

Exemplo:Para encontrar uma frao equivalente 2

1, vamos multiplicar o

numerador e o denominador por 3. Assim:

6

3

3

3

2

1=

A frao2

1tem infinitas fraes equivalentes, no caso anterior multiplicamos

por

3

3mas podemos multiplicar ou dividir por qualquer nmero.

E que so estes3

3?

Se observarmos esta frao em um desenho, podemos ver que3

3 representa a figura

inteira, ou seja: 3

3=1.


5/31

3

2 OPERAO COM FRAES

2.1 Adio e subtrao de fraes

A adio de fraes est ligada s idias de juntar, acrescentar. E asubtrao de fraes tambm est ligado s idias de retirar, completar e comparar.

a)Adio

Supondo, que voc tenha uma unidade u dividida em 5 partes iguaismostrada na figura a seguir:

u

(Viso da unidade u dividida em 5 partes iguais)

Considera-se agora as fraes5

1e

5

2representadas nessa unidade u:

5

1

5

2

Acrescentando, juntando ou somando5

1a

5

2, tem-se o seguinte resultado:

5

3

5

1

5

2

5

3

5

21

5

2

5

1=

+=+


6/31

4

Vejamos agora a idia de subtrao. Considerando a frao5

3da

unidade u e dela retira-se 51

, ficando assim o resultado:

5

2

5

1

5

3

5

2

5

13

5

1

5

3=

=

Depois de visualizar a representao de uma frao agora, vamos praticar:

Exemplos de soma de fraes:

17

7

7

25

7

2

7

5==

+=+

5

3

5

21

5

2

5

1=

+=+

8

7

8

511

8

5

8

1

8

1=

++=++

Exemplos de subtrao de fraes:

51

512

51

52 =

=

7

2

7

1

7

3=

9

4

9

217

9

2

9

1

9

7=

=

(O que aconteceu nessas adies e subtraes de fraes?)

Quando o denominador (parte de baixo da frao) so iguais, repetedenominador e soma os numeradores (parte de cima das fraes).


7/31

5

Exemplos de adio e subtrao quando o denominador forem diferentes:

65

623

62

63

31

21 =+=+=+

(E quando os denominadores, parte de baixo das fraes, forem diferentes)

Quando os denominadores das fraes no forem iguais, precisamos

encontrar fraes equivalentes a2

1e

3

1que tenha o mesmo denominador.

Observe os valores dos denominadores, no caso em questo so os n. 2 e 3, em

seguida, multiplica-se esse valore na frao oposta, assim:

6

2

3

1

6

3

2

1

6

2

23

21

6

3

32

31

==

==x

x

x

x

Outros exemplos de adio e subtrao com denominadores diferentes:

10

5

5

1

10

4

5

2

10

5

52

51

10

4

25

22

109

1054

105

104

21

52

==

==

=+=+=+

x

x

x

x

24

8

6

2

24

18

4

3

24

8

46

42

24

18

64

63

24

26

24

818

24

8

24

18

6

2

4

3

==

==

=+

=+=+

x

x

x

x


8/31

6

Quando um numero inteiro aparecer no meio das subtraes e adies defraes, o que faremos?

211

2110

2125

215 =+=+=+ x

Multiplica-se o n. 5 com o denominador, n. 2, e soma-se com o n. 1, repete-se o valor do denominador (parte de baixo da frao) , n. 2.

Exemplos:

5

17

5

215

5

253

5

23

8

19

8

316

8

382

8

322

8

3

=+

=+

=+

=+

=+

=+=+

x

x

ATIVIDADES

1) Calcule:

a)2

1

2

1+

b)3

2

3

1+

c)4

3

4

1+

d)4

1

3

2+

e)5

3

2

1+

f)3

5

6

3+


9/31

7

g)3

15 +

h)8

27 +

i) 78

2+

j)3

1

3

2

Respostas: a) 1; b)1; c) 1; d) 11/12; e) 11/10; f) 13/6; g)16/3; h) 58/8; i) 58/8; j)1/3.

2.2 Multiplicao e diviso de fraes

a) Multiplicao

Regra geral, multiplica-se os numeradores com os numeradores e osdenominadores com os denominadores, assim:

30

10

215

110

2

1

15

10

15

6

53

32

5

3

3

2

9

2

33

21

3

2

3

1

==

==

==

x

xx

x

xx

x

xx


10/31

8

Quando se multiplica um nmero inteiro com um frao, multiplica-se onmero inteiro pelo numerador, parte de cima, da frao, assim:

11

15

11

53

11

53

9

14

9

27

9

27

428

218

218

==

==

===

xx

xx

xx

b) Diviso

Regra geral, conserva-se a primeira frao e multiplica-se com a segundafrao invertida.

102

5221

52

21

25

21

22

4

12

41

1

4

2

1

4

1

2

1

===

====

xxx

x

xx

Quando se divide um nmero inteiro com um frao ou ao contrrio, mantmo primeiro nmero e multiplica-se pelo segundo nmero invertido, assim:

8

1

42

11

4

1

2

14

2

1

8241

24

2

14

241

8311

81

318

31

24381

38

3

18

===

===

===

===

x

xx

xx

xxx

xx


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9

ATIVIDADES

2) Calcule:

a)2

1

2

1x

b)3

2

3

1x

c)4

3

4

1x

d)3

2

3

1

e)7

5

3

2

f)7

9

9

7

g)5

15x

h)2

16

i) 35

1

Respostas: a) 1/9; b) 2/9; c) 3/16; d) ; e) 14/15; f) 49/81; g) 1; h) 12; i) 1/15.


12/31


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11

b)Multiplicao de nmeros decimais

A regra prtica geral para multiplicar dois nmeros decimais segue ospassos abaixo:

1Passo: Multiplicam-se os nmeros normalmente, sem se considerar a existnciadas vrgulas.

2Passo: Soma-se o nmero de casas decimais existentes direita da vrgula emcada nmero.

3Passo: Coloca-se a vrgula no resultado que se obteve no primeiro passo, de

forma que o nmero de casas direita da vrgula nesse nmero seja igualao nmero de casas obtidas no segundo passo.

Exemplo: Multipliquemos o nmero 30,1 por 2,53.

1Passo: 301 x 253 = 76153

2Passo: O nmero 30,1 possui uma casa direita da vrgula. O nmero 2,53 possui2 casas direita da vrgula. Logo, o nmero 76153 dever possuir 3 casas direita da vrgula.

3Passo: A vrgula, nesse caso, deve ser colocada entre os algarismos 6 e 1.

O Dilogo abaixo tenta mostrar uma maneira didtica de procedimento.

Professor: Multiplique o nmero 30,1 por 2,53.

Aluno: Eu no sei fazer isso. S sei multiplicar nmeros sem a vrgula.

Prof.: Pois ento, vamos transformar essa multiplicao que voc no sabe fazer emuma que voc j saiba.

Aluno: Como?

Prof.: O que significa eliminar a vrgula do nmero 30,1?

Aluno: Se eu eliminar a vrgula do 30,1, ele se transforma em 301. Isso significa queele ficou multiplicado por 10, pois a vrgula caminhou uma casa direita.

Prof.: Muito bem: E se voc fizer o mesmo com o nmero 2,53?


14/31

12

Aluno: Ele se transforma em 253. Isto , ficou multiplicado por 100, pois avrgula agora caminhou duas casas direita.Prof.: Se voc fizer essas transformaes nos fatores da multiplicao, ser que o

produto vai se alterar?

Aluno: claro que sim, ele no ser mais o mesmo.

Prof.: Por qu?

Aluno: Vou dar um exemplo. Quando multiplicamos 2 por 3, obtemos 6. Semultiplicssemos o primeiro fator por 10 e o segundo por 100, teramos agora quemultiplicar 20 por 300. O resultado dessa multiplicao no ser mais 6 e sim 6000.Isto , o produto ficou multiplicado por 1000.

Prof.: Multiplique, ento, 301 por 253. Quanto d?

Aluno: D 76153.

Prof.: O que voc tem que fazer com esse nmero para que ele seja o resultado damultiplicao de 30,1 por 2,53?

Aluno: Tenho que dividi-lo por 1000. Isto porque, ao se multiplicar o primeiro fatorpor 10 e o segundo por 100, o produto ficou multiplicado por 1000.

Prof.: isso a! Agora voc sabe me dar o resultado da multiplicao ?

Aluno: Claro! 30,1 x 2.53 = 76,153 ,pois dividir 76153 por 1000 significa caminharcom a vrgula trs casa esquerda. Como a vrgula est sempre entre a casa dasunidades e a casa dos dcimos, ento ela dever situar-se entre os algarismos 6 e1.

c)Diviso de nmeros decimaisO dilogo abaixo procura ilustrar um procedimento didtico para introduo da

diviso de dois nmeros decimais entre si.

Prof.: Voc saberia me dizer o quociente da diviso de 1,25 por 0,5?

Aluno: Por enquanto, eu s sei dividir nmeros sem vrgula.

Prof.: Voc se lembra do caso da multiplicao? Talvez voc possa usar um artifciosemelhante para transformar essa diviso entre dois nmeros decimais numadiviso entre dois nmeros naturais, que voc j sabe fazer.

Aluno: Bem, para fazer isso, eu teria de transformar tanto o 1,25 como o 0,5 emnmeros naturais. Para que isso seja possvel, devo multiplicar o 1,25 por 100 e o

0,5 por 10.

Prof.: Mas se voc fizer isso, o quociente ficar inalterado?


15/31

13

Aluno: No. Ele vai se alterar. A no ser que eu multiplicasse tanto o dividendoquanto o divisor pelo mesmo nmero, isto , por 100. Isso por que existe umapropriedade que diz que, se a gente multiplicar o dividendo e o divisor de uma

diviso por um mesmo nmero, o quociente no vai se alterar.

Prof.: Muito bem! Ento, dividir 1,25 por 0,5 seria o mesmo que dividir quanto porquanto?

Aluno: Seria o mesmo que dividir 125 por 50, pois 1,25.100 = 125 e 0,5.100 = 50.

Prof.: timo! Voc conseguiu reduzir a diviso proposta para um caso j conhecido.Efetue essa diviso.

Aluno: 125 50 = 2,5

Exerccios:

Exemplo: 1,3 x 1,23 = 1,3x10 x 1,23x100 = 13x123 = 15991599(10x100) = 15991000 = 1,599

a) 1,2 x 1,45 =

b) 1,32 x 1,2 =

c) 1,32 x 1,24 =

Respostas: a) 1,74; b) 1,584; c) 1,6368.

Exemplo: 1,23 0,2 = 1,23x100 0,2x100 = 123 20 = 6,25

a) 1,53 0,4 =

b) 1,64 0,2 =

c) 1,4 0,7 =

Respostas: a) 3,825; b) 8,2; c) 2.


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14

3 REGRA DE TRS

DEFINIO

Regra de trs uma operao onde se calculam propores entre certosvalores. uma operao que trabalha com proporcionalidade.

EXEMPLO:

Uma pessoa andou 2Km numa velocidade constante e contou em seu relgioum tempo de 10 minutos. Quantos minutos ela levar para andar 4Km (andando namesma velocidade)?

Para descobrir isto podemos utilizar o seguinte processo:

Quilmetros Tempo2 104 X

Se ela andou 2Km em dez minutos, quantos minutos ela levar para andar4Km?

A operao acima pode ser representada por:

X10

4

2

=

Quando h uma igualdade destas pode-se encontrar o valor de X destamaneira:

X

10

4

2=

20

2

104

1042

=

=

=

X

X

X

Ento ela andar 4Km em 20 minutos.


17/31

15

Tambm podemos resolver o exerccio da seguinte maneira:

20

2

104

1042

=

=

=

X

X

X

Exerccio 1:

Pedro leu 60 pginas de um livro em 1 hora e 30 minutos. Quantas horas elelevar para ler as 140 pginas que faltam?

(Resposta: 3 horas e trinta minutos)

As duas regras de trs apresentadas anteriormente so regras de trsdiretamente proporcionais, ou seja, quando uma grandeza aumenta a outra tambmaumenta.

Veremos agora a regra de trs inversamente proporcional.Observe a situao:


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16

Se colocarmos um palito de fsforo entre a luz e a tela a sombra do palitoser projetada na tela.

Depois mudamos a posio do palito. A distncia entre o palito e a luz duas

vezes maior que a primeira. Ao observar a sombra notamos que ela duas vezesmenor que a primeira.

Ento quando aumentamos a distncia entre o palito e a lanterna o tamanhoda sombra do palito diminui. Neste caso temos uma proporcionalidade inversa.

Deste modo vamos analisar a figura abaixo:

Vamos supor que, quando o palito estiver na posio 1 ele esteja a 2cm dalanterna, a sombra projetada na tela tenha uma altura de 48cm. Quando colocarmoso palito a 4cm da lanterna (posio 2) qual ser a altura da sombra na tela?

Pelo que vimos a pouco, sabemos que o tamanho desta sombra deve ser

menor que 48cm.


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17

Vamos montar a regra de trs:

Distncia da Altura da

Lanterna Sombra2cm 48cm4cm X

Agora vem a diferena entre a regra de trs diretamente proporcional e ainversamente proporcional, aqui o equivalente ao sistema anterior ser:

484

2 X=

Deste modo podemos encontrar o valor de X:

24

4

482

4482

=

=

=

X

X

X

Ento a altura da sombra 24cm.

Tambm podemos resolver esta regra de trs desta maneira:

24

4

482

4482

=

=

=

X

X

X

Ento a sombra ter uma altura de 24cm.

Exerccio 2:

Se um automvel faz um certo percurso em 1 hora a uma velocidade de80Km/H, em quanto tempo ele far o mesmo percurso a uma velocidade de120Km/H?

(Resposta:40 minutos)


20/31

18

4 PORCENTAGEM

DEFINIO:

Porcentagem ou percentagem uma razo centesimal que representadapelo smbolo % , ou seja, porcentagem nada mais que a diviso de um nmero porcem.

Exemplos:

Vamos supor que X seja uma quantidade qualquer. Deste modo temos que:

Tambm possvel calcular porcentagem atravs de regra de trs, exemplo:

Uma caixa contm 40 lmpadas. Todas estas lmpadas foram testadas everificou-se que 30 delas estavam queimadas. Qual a porcentagem de lmpadasque ainda funcionam?

(Resposta:25%)

%8181,010081

%707,0100

7

==

==

XdemaisXXXX

XdeXX

%37).100

371().37,01(.37,1

%15.100

15.15,0

=+=+=

==


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19

5 EQUAES DO PRIMEIRO GRAU

Sempre que notamos um sinal de igualdade numa expresso logo vem nossacabea que o termo de um lado do sinal de igualdade igual ao termo do outro lado.Ento, se quisermos dobrar o valor do que est de um lado do sinal de igualdade oque devemos fazer com o outro lado para que a igualdade permanea? Logochegamos a concluso que devemos dobrar o outro lado tambm para que aexpresso continue correta. Isso serve para qualquer operao matemtica. Porexemplo, se somarmos 51 de um lado da igualdade devemos necessariamentesomar 51 do outro lado da igualdade. Para simplificar a idia vamos tomar oseguinte exemplo:

Supondo que o preo de um quilo de cobre de 100 reais vamos montar aexpresso:

00,100$1 RKgcobre = .

E se por acaso quisermos saber o valor de Kg2/1 de cobre? Como foi ditoantes, basta dividir ambos os lados da igualdade por 2. Ento:

2

100

2

1=

Kgcobre, logo: 50

2

1=Kgcobre .

Assim descobrimos que meio quilo de cobre vale 50 reais. Continuando coma idia, quanto custa 1 quilo e meio de cobre? Se 00,100$1 RKgcobre = vamos somar

Kg e o seu respectivo valor em cada lado da igualdade. Assim:

501002

11 +=+ Kgcobrekgcobre

logo um quilo e meio vale 150 reais. Concluindo, se tivemos uma igualdade, porexemplo, 5=5 ,e somarmos 32 em um lado devemos obrigatoriamente somar 32 aooutro lado para que a igualdade continue vlida, 32+5=32+5.

E se algum diz que 1 quilo de cobre mais 1 quilo de chumbo custa 170 reais,quanto vale um quilo de chumbo? A resposta ser calculada mais adiante porquepara calcularmos isso vamos entrar na parte de equaes do primeiro grau.


22/31

20

Sempre ouvimos as pessoas dizerem a expresso o x da questo, maso que ser que isso? um valor que queremos encontrar, alguma coisa quequeremos saber.

Quando desejamos calcular um nmero ou certa quantidade que no conhecemosnormalmente o chamamos de uma letra ou outro smbolo qualquer. O valor dessaletra ser o valor que estamos procurando. Se eu digo que o dobro de um nmero igual ao nmero 16 o que farei para encontrar esse nmero? Chamarei esse nmerode x por exemplo, ento: o dobro de x igual a 16. O que seria o dobro de x? Falarem dobro de x a mesma coisa que dizer 2x, o triplo de x 3x, a metade de x x/2e assim vai. Ento no exemplo anterior, quando dizemos que o dobro de x igual a16, dizemos que: 2x=16, e dividindo ambos os lados da igualdade por 2 temos quex=8. A nossa meta sempre deixar o x isolado em um lado da igualdade para

sabermos o valor de x, ou seja, o valor que quisermos encontrar. Quando algum dizque uma TV no esta funcionando, o defeito da TV o x da questo que queremossaber. x ou outra letra qualquer, como y, z, w a soluo, o valor de algo. Namatemtica chamamos de x ou outra letra qualquer que simboliza um nmero devarivel. Ento varivel um nmero que no conhecemos, mas que, a partir declculos podemos chegar ao valor dele.

Vamos supor que desejo saber a idade da minha tia mas a nica informao quetenho que ela 12 anos mais velha que minha me. Sei que minha me tem 50anos e chamarei a idade da minha tia de x; ento: x=50+12, logo x que a idade daminha tia 62. Ou poderamos pensar que a idade de minha tia menos os 12 anosde diferena seja a idade de minha me. Ento: x-12=50, logo, somando 12 emambos os lados da igualdade temos: x=62.

Agora vamos retomar o problema proposto no comeo do captulo. Se um quilo decobre vale 100 reais e, um quilo cobre mais um quilo de chumbo custa 170 reais,quanto custa um quilo de chumbo? Chamaremos o valor do quilo de chumbo de x,que no caso o valor que queremos encontrar. Assim:

1701 =+ xKgcobre

sabemos que 1kg de cobre vale 100 reais, ento:

100 + x = 170

e subtraindo 100 de cada lado da igualdade temos:

x=70Pronto! Um quilo de chumbo custa 70 reais.


23/31

21

Equaes do primeiro grau so expresses matemticas que contm uma varivel eum sinal de igualdade. Usamos todos os nossos conhecimentos matemticos para

achar o valor de x em qualquer problema desse tipo.

Foram demonstrados alguns exemplos prticos e simples do dia a dia. A seguiresto algumas resolues de equaes do primeiro grau.

Exemplo 1:

O dobro de um nmero mais 50 unidades igual 70, qual esse nmero?

Resoluo: Chamando o nmero desejado de x, temos:

10

2

20

2

2

202

507050502

,70502

=

=

=

=+

=+

x

x

x

x

x

Observamos que manipulando a expresso matemtica, sendo com adio,subtrao, diviso e multiplicao podemos isolar o valor de x. Devemos ficarsempre atentos que quando realizarmos uma operao de um lado da igualdadedevemos sempre faz-la do outro lado da igualdade tambm.

Exemplo 2:

A minha idade mais a idade do meu irmo igual metade da idade do meu av.Se meu av tem 90 anos e meu irmo tem 25, qual a minha idade?

Resoluo: Chamando a minha idade de x, temos:

2

9025 =+x

4525 =+x25452525 =+x

20=x


24/31

22

Exemplo 3:

Encontrar o valor de x:

Resoluo:

Primeiro devemos multiplicar ambos os lados por 2 para desfazer a frao dolado esquerdo:

xxx 4103683 ++=+

Agora vamos multiplicar ambos os lados por 3 para deixar a equao semfraes para simplificar nossos clculos:

xxx 12306893 ++=+

Somando os elementos do lado direito:

xx 63893 =+

Vamos somar 6x em cada lado da expresso:

3899 =+x

Subtraindo 9:

299 =x

Dividindo ambos os lados por 9 encontramos o valor de x:

9

29=x

xxx

253

34

2

3+

+=

+


25/31

23

Exerccios:

Calcule o valor de x.

a) 105 =+x

b) 1842 =x

c) 374 =+x

d) 87410 += xx

e) 534

3

28 +

=

+ xx

f) xx 8542 =+

g) 13

2

2

33 +=

xx

Respostas :a)x=5;b)x=11; c)x=-1; d)x=4; e)x=-1/28; f)x=0.1; g)x=15/14.


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6 SISTEMAS DE EQUAES DE PRIMEIRO GRAU

Conceito

A equao:

9x + 5y = 39 uma equao linear

Onde:x e y so as incgnitas ou variveis,

9 e 5 so os coeficientes das variveis e,

39 o termo independente.

Uma equao linear pode possuir muitas variveis, mas sempre representada da mesma forma.

Um exemplo de equao linear com muitas variveis:

9x + y 44z 6w + 0,5p = 5 .

Neste caso:

x, y, z, w e p so as variveis,

9, 7, -4, -6, e 1 so os coeficientes das variveis e,

5 o termo independente.

A equao:

x +y

1= 3 no linear,

pois no segue a forma das equaes anteriores (y

1no aceito como um

termo da equao linear).


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Exerccio 1: Verifique se as equaes so ou no lineares.

(a) 9x + 7y 4z = 5

(b) x + 5yw 4z = 35

(c) 9x - y = 11

(d) x2 - 3y = 6

Sistemas de equaes

Um sistema de equaes lineares um conjunto de duas ou mais equaeslineares, que devem ter a mesma soluo.

Exemplo:

=

=

02y-x

395y-9x

A soluo para este sistema (6, 3). Para comprovar isso, basta trocar no

lugar de x o nmero 6 e no lugar de y o nmero 3:

=

=

032-61

3935-69

=

=

06-6

3915-54

=

=

00

3939

Como a igualdade foi mantida, conclumos que (6,3) soluo do sistemalinear dado.


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6.1 Resoluo de sistemas lineares

Existem duas formas bsicas de se resolver um sistema de equaes.Vejamos a primeira.

Dado o sistema linear:

=

=

(2)02y-x

(1)395y-9x

1 Enumera-se as equaes.

2 Observa-se que existe uma varivel que est multiplicada por 1. Ento,

isola-se essa varivel, e essa nova equao a (3).

x = 2y (3)

3 Substitui-se o valor de x (equao (3)), em (1)

9 . 2y 5y = 39 (4)

4 Da equao (4), obtm-se y

18y 5y = 39

13y = 39

y =13

39 y = 3

5 y substitudo em (3) para a obteno de x.

x = 2 . 3 x = 6

Com isso, obtm-se a soluo do sistema de equaes lineares, que temcomo soluo (6, 3).


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Esse mtodo eficiente somente quando temos uma varivel comcoeficiente 1. Quando no sistema no existe nenhum coeficiente igual a 1, melhor

aplicar outro mtodo, em que fazemos:

=+

=

(2)14-7y4x-

(1)63y-2x

1 Enumera-se as equaes.

2 Multiplica-se uma das equaes de forma a igualar os coeficientes de x ouos coeficientes de y. Neste caso, verifica-se que se multiplicarmos a equao (1)por 2, ela ser:

3 Tendo as duas equaes com coeficientes iguais, basta oper-los de formaa elimin-los. Como os sinais dos coeficientes de x so opostos, basta som-lospara que eles se eliminem.

2-y

14-7y4x-

126y-4x

=

=+

=

4 Eliminando x, obtemos y. E substituindo y em (3):

4x + 12 = 12

x = 0

Portanto, a soluo para esse sistema linear (0, -2).

Verificando a resposta:

(3)126y-4x =

126(-2)-4x =


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28

=

=

41(-2)7-04

6)2(3-02

=

=

1414

66

Os valores obtidos com a substituio da soluo no sistema o mesmo valordo termo independente. Disso, conclui-se que a soluo est correta.

Exerccio 2 Resolver:

(a)

=

=+

133y-2x

78y3x

(b)

=+

=

4yx

5y2x

Resposta dos exerccios:

EXERCCIO 1 : (a) linear

(b) no linear

(c) linear

(d) no linear

EXERCCIO 2 : (a) (5,-1)

(b) (3,1)


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BIBLIOGRAFIA

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CENTURIN, Marlia ; Nmero e Operaes. Referncia: 51:37.02 ; C397c. Pginas

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IMENES/ JAKUBO/ LELLIS ; Propores - Atual Editora. Referncia: 511.1/ I32p/ 2

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LAPA, Luiz Gonzaga de Souza ; Introduo Matemtica para Universitrios.

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Apostila UEL Tópicos em Matemática Básica