Tjedan 8 9

Tjedan 8 i 9: Kvantitativne metode Strojarski fakultet u Slavonskom Brodu

Izv. prof. dr. sc. Katica imunovi 1/23

4 RAUNALNA POTPORA

Primjena raunalnih programa kao pomo pri donoenju odluka i obradi velikog broja

podataka, veoma je znaajna. Na tritu se nalazi jako veliki broj raunalnih programa koji se

koriste pri rjeavanju problema linearnog programiranja. U nastavku e biti opisana primjena

nekih raunalnih programa, dok e alat Rjeava u Microsoft Excel-u i Optimizacijski alat

programskog sustava MATLAB biti detaljnije opisani.

4.1 OPIS NEKIH RAUNALNIH PROGRAMA

LINDO (engl. Linear Interactive and Discrete Optimizer) je raunalni programski paket koji

se moe koristiti za rjeavanje problema linearnog i nelinearnog programiranja, te

cjelobrojnog programiranja. Razvijen je 1980. godine i od tada je prilagoen Windows

okruenju i grafiki orijentiranim programima. LINDO zahtijeva pisanje matematikog

modela, koji se zatim rijei pomou rjeavaa. U modelu se pojavljuju funkcija cilja koja

poinje oznakama min ili max, te ogranienja (subject to, such that).

Na slici 4.1 prikazan je nain pisanja matematikog modela u programu LINDO.

max 10P1+12P2! funkcija cilja

subject to! naredba koja povezuje funkciju cilja

! s ogranienjima

2P1+6P2



LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2

OBJECTIVE FUNCTION VALUE (vrijednost funkcije cilja)

1) 545.0000

VARIABLE VALUE REDUCED COST (vrijednosti varijabli)

P1 12.500000 0.000000

P2 35.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES (dopunske varijable)

2) 5.000000 0.000000

3) 0.000000 1.000000

4) 882.500000 0.000000

5) 10.500000 0.000000

6) 0.000000 7.000000

7) 12.500000 0.000000

8) 35.000000 0.000000

NO. ITERATIONS= 2

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

(mogue promjene koeficijenata u funkciji cilja i desne strane ogranienja, za koje se baza nee promijeniti)

OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

COEF INCREASE DECREASE

P1 10.000000 14.000000 10.000000

P2 12.000000 INFINITY 7.000000

RIGHTHAND SIDE RANGES

ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

RHS INCREASE DECREASE

2 240.000000 INFINITY 5.000000

3 300.000000 25.000000 125.000000

4 1000.000000 INFINITY 882.500000

5 23.000000 INFINITY 10.500000

6 35.000000 1.000000 21.000000

7 0.000000 12.500000 INFINITY

8 0.000000 35.000000 INFINITY

Slika 4.2 Izvjetaj o dobivenim rezultatima rijeenog modela

Na slici 4.3 dan je i grafiki prikaz za vrijednosti varijabli P1 i P2.



Slika 4.3 Grafiki prikaz vrijednosti varijabli

MPL (engl. Mathematical Programming Language) je raunalni program, tj. algebarski

programski jezik za modeliranje i pronalaenje optimalnog rjeenja problema koji se mogu

opisati kao linearni i nelinearni. Definirani modeli u MPL-u, prevode se u matrini oblik i

mogu biti rijeeni nekim od mnogobrojnih komercijalnih rjeavaa koji su danas dostupni na

tritu (na primjer CPLEX, XPRESS, GUROBI, LPSolve, LGO, KNITRO, CONOPT, ).

Od ovih rjeavaa vrlo esto koriten je CPLEX rjeava. Primarno je MPL namijenjen

rjeavanju problema linearnog programiranja, ali se mogu rjeavati i nelinearni problemi. Pri

tome se moraju koristiti nelinearni rjeavai (na primjer LSGRG2, CONOPT).

Da bi se mogli rijeiti problemi linearnog programiranja potrebno je oblikovati datoteku s

matematikim modelom (Model File). Datoteka s matematikim modelom je tekstualna

datoteka, koja se moe kreirati pomou MPL editora ili nekog drugog tekst editora. Cilj

proizvoaa ovoga raunalnog programa je da ulazni podaci, tj. datoteka s matematikim

modelom izgleda to slinije modelu koji je ovjek napisao na papiru. Datoteka se sastoji od

tri dijela: naziv modela, definiranje problema (dimenzije problema, podaci, varijable, makro

naredbe) i matematiko strukturiranje problema (funkcija cilja, ogranienja, gornje i donje

granice za varijable, cjelobrojne varijable, binarne varijable ). Podaci se mogu izravno

definirati u ovoj datoteci ili se mogu itati iz drugih datoteka ili baza podataka, a dobivena

rjeenja se takoer mogu iz MPL-a vratiti natrag u bazu podataka. Na slici 4.4 prikazan je

najjednostavniji nain pisanja matematikog modela u programu MPL.



TITLE

Optimalni_proizvodni_program;

MAX

10P1+12P2;

SUBJECT TO

2P1+6P2



Slika 4.6 prikazuje vrijednosti funkcije cilja u prvoj i drugoj iteraciji.

Slika 4.6 Poveavanje vrijednosti funkcije cilja svakom sljedeom iteracijom

Program LPE Kalpi, Mornar za linearno programiranje razvijen je na Zavodu za

primijenjenu matematiku Fakulteta elektrotehnike i raunarstva u Zagrebu. Ulazni podaci za

program LPE pohranjuju se u slijednu formatiziranu datoteku. Mogue je dobiti i izvjetaj o

analizi osjetljivosti koji ukljuuje: utjecaj promjene koeficijenata u funkciji cilja na optimalno

rjeenje, te utjecaj jedininog porasta ili smanjenja pojedine varijable na vrijednost ostalih

varijabli i funkcije cilja. Zanimljivi su podaci za one kapacitete koji su na granici i koji

predstavljaju usko grlo. Na slici 4.7 prikazan je nain pisanja matematikog modela u

programu LPE.

* OPTIMALNI PROIZVODNI PROGRAM

* ULAZNI PODACI ZA PROGRAM:

* Strojno vrijeme:

P1 STROJ ..1 2.

P2 STROJ ..1 6.

P1 STROJ ..2 10.

P2 STROJ ..2 5.

P1 MATERIJ 1.

P2 MATERIJ 3.

* Maksimalna dobit:

P1 DOBIT 10.

P2 DOBIT 12.

* Ogranienja:

UP STROJ ..1 240.

UP STROJ ..2 300.

UP MATERIJ 1000.

LO P1 0.

LO P2 0.

UP P1 23.

UP P2 35.

Slika 4.7 Nain pisanja modela u programu LPE



Na tritu se nalazi jo puno razliitih raunalnih programa za rjeavanje problema

optimiranja (na primjer algebarski jezik za modeliranje linearnih i nelinearnih optimizacijskih

problema, naziva AMPL (engl. A Modelling Language for Mathematical Programming).



4.2 ALAT RJEAVA U MS Excel-u

Program Microsoft Excel (u daljnjem tekstu Excel) je proizvod tvrtke Microsoft, a dio je

integriranog sustava Microsoft Office, koji obuhvaa programe, posluitelje, servise i razliita

rjeenja poslovnih problema.

Od programa u sustavu MS Office u koje se ubraja i MS Excel, poznati i esto koriteni su jo

i Word (program za obradu teksta), PowerPoint (program za prezentacije), Access (program

za upravljanje bazama podataka), Outlook (program za komunikaciju i osobne informacije),

Visio (program za crtanje dijagrama), FrontPage (program za oblikovanje web stranica),

Suelja nekih od programa prevedena su i na hrvatski jezik (Excel, Word, PowerPoint).

Excel je program za analizu, upravljanje i prikazivanje podataka i rezultata. Podaci su

prikazani tablino, a osnova Excela-a je rad s proraunskim tablicama.

Radna povrina ili osnovni prozor Excel-a sadri naslovnu traku "Microsoft Excel radna

knjiga", traku izbornika, alatnu traku, traku formula, prozor radne knjige (biljenice) i jahae

radnih listova (stranica). Radna knjiga (book) je osnovna datoteka Excel-a, a sastoji se od

radnih listova (sheet), a svaki radni list se sastoji od elija (cells). Jedna elija se nalazi na

presjeku stupca oznaenog slovom i retka oznaenog brojem, te se na taj nain i adresira.

elija predstavlja osnovu za upis podataka i formula, koji se mogu ureivati na traci formule.

Traka formula, radna knjiga, radni listovi i elije su upravo karakteristike po kojima je Excel

prepoznatljiv.

Osnovna struktura i mogunosti Excel-a su sljedei:

- grafikoni mogunost prikazivanja podataka i rezultata prorauna pomou

dvodimenzionalnih i trodimenzionalnih grafikona, jedna je od najee koritenih

mogunosti Excela. Na slici 4.8 je prikazan jedan grafikon.

- stvaranje grafikih objekata mogunost stvaranja vlastitih crtea ili koritenje

unaprijed definiranih gotovih oblika

- rad s bazama podataka (pretraivanje baze, razvrstavanje podataka u bazi na osnovi

odreenih kriterija, podskupine, stoerne tablice, )

- alati Excel-a (Rjeava (Solver) alat za optimizaciju, statistika analiza, funkcije i

suelja za znanstvenu i financijsku obradu podataka, )

- Visual Basic for Applications (VBA) u Excel-u se za izradu makronaredbi (za esto

izvoenje odreenog zadatka) i kreiranje vlastitih funkcija koristi programski jezik

Visual Basic (objektno-orijentirani programski jezik). U VB Editor-u oblikuje se

modul s naredbama i komentarima koji se moe pozivati i mijenjati kada je potrebno.

- prorauni pomou formula, funkcija (unaprijed definirane formule: statistike,

matematike, tehnike, financijske, ) i korisnikih (vlastitih) funkcija (funkcijske

procedure pisane u Visual Basic-u). Vano je napomenuti da se formule piu sa

znakom = na poetku elije.



0%

20%

40%

60%

80%

100%

0% 20% 40% 60% 80% 100%

Kumulativni zbroj udjela dijelova

Ku

mu

lati

vn

i zb

roj

ud

jela

tro

ko

va

Slika 4.8 Grafiki prikaz podataka u Excel-u

Kada se spomene program Excel, osnovna asocijacija su lijepi vizualni prikazi podataka

dobiveni na jednostavan nain. Program moe posluiti i za rad s bazama podataka, a mogu se

koristiti i odreene vrsta alata (optimizacija, statistika), ali ipak nije mu to primarna funkcija.

Meutim, prisutnost Excel-a na gotovo svakom raunalu i relativno niska cijena nasuprot

skupim specijaliziranim programima, posluit e pri rjeavanju i takvih problema na sasvim

zadovoljavajui nain.

Excel, pored svoje primarne funkcije (rad s proraunskim tablicama) ima i neke alate za

rjeavanje problema iz odreenog podruja. Jedan od tih alata je i Solver (Rjeava) kao alat

za optimizaciju. To je dodatak Excel-u i ako se radi o standardnom Excel Solver-u, neke od

njegovih karakteristika su sljedee:

- rjeavanje problema linearnog, nelinearnog i cjelobrojno-mjeovitog programiranja

- 200 varijabli, 200 ogranienja za linearno programiranje,

- 200 varijabli, 100 ogranienja za nelinearno programiranje,

- izvjetaji Answer, Sensitivity i Limits.

Rjeavai Premium Solver i Premium Solver Platform imaju vee mogunosti (i do 2000

varijabli, 8000 ogranienja, puno vea brzina rjeavanja, puno vei broj ponuenih izvjetaja,

).

U nastavku e biti opisana primjena Rjeavaa za rjeavanje problema linearnog

programiranja. Alat Rjeava poziva se naredbom Rjeava (Solver) u izborniku Alati (Tools).

Kako je suelje Excel-a prevedeno na hrvatski jezik koristit e se hrvatski prijevodi uz

navoenje originalnih engleskih naziva u zagradi.

Osnova Excela je elija te e i parametri Rjeavaa (Solver Parameters), slika 4.9 (ulazne

vrijednosti) biti vezani za pojedinu eliju. Stoga su strukturne varijable definirane kao

mijenjane elije (changing, adjustable cells). Jedna od karakteristika Rjeavaa je

postavljanje varijabli na poetne vrijednosti. Jednostavnim mijenjanjem vrijednosti u elijama

sa strukturnim varijablama, automatski se moe vidjeti promjena vrijednosti elija u koje su

upisane funkcije cilja - ciljna elija (target cell) i ogranienja (constraints). Funkcija cilja i



ogranienja moraju se pisati prema pravilima za formule, tj. na poetku se mora staviti

znak jednakosti.

Slika 4.9 Parametri Rjeavaa

U Rjeavau se moe definirati (slika 4.10):

- najdulje vrijeme (max. time) za postupak rjeavanja; za rjeavanje jednostavnijih

problema dovoljno je definirati krae vrijeme

- maksimalni broj iteracija, odnosno koraka (iterations) do postizanja optimalnog

rjeenja

- razina tonosti (precision) rjeenja, kojom se definira dovoljna tonost; zahtijevana

manja tonost e biti za broj s manje decimala, a vea tonost za broj s vie decimala,

na primjer jednakost lijeve i desne strane ogranienja za odreeno rjeenje

- tolerancija (tolerance) za koju se funkcija cilja moe razlikovati od optimalne, a da to

bude prihvatljivo za cjelobrojna rjeenja; obzirom da je postupak rjeavanja

cjelobrojnih problema sloeniji, uz manju toleranciju, vrijeme rjeavanja e biti dulje,

a to je vea tolerancija, problem e se krae rjeavati

- konvergencija (convergence) koja se zadaje za rjeavanje nelinearnih problema i koja

kazuje kada je potrebno prekinuti rjeavanje, za posljednjih pet iteracija; manja

postavljena vrijednost konvergencije, znai i dulje vrijeme rjeavanja

- pretpostavka za linearni model (assume linear model) koja smanjuje vrijeme

rjeavanja; ako se ne pretpostavi linearni modela za linearni problem, tada e vrijeme

rjeavanja biti produljeno, jer e se i linearni model rjeavati sloenijim algoritmom

(generalised reduced gradient method), a ne simplex postupkom

- pretpostavka nenegativnosti (assume non-negative); ovom se pretpostavkom uzimaju

u obzir uvjeti nenegativnosti varijabli, te se ne moraju dodavati takva ogranienja u

parametrima Rjeavaa

- koritenje automatskog skaliranja (use automatic scaling); za modele u kojima se

ulazne i izlazne varijable pojavljuju u velikom rasponu, mogue je skaliranje tj.

normalizacija vrijednosti u nekoj skali

- pokazivanje rezultata iteracija (show iteration results); prilikom rjeavanja se pokazuje

rjeenje u svakom koraku; Rjeava nudi i mogunost spremanja rjeenja u svakom

pojedinom koraku, pa tako i posljednjem, u obliku scenarija. Tako se u jednom

saetom obliku mogu prikazati rjeenja za svaki korak postupka rjeavanja ili pak



razliita rjeenja istoga problema uz promjenu pojedinih parametara modela. Pomou

scenarija, moe se saeto prikazati to se dogaa s problemom ako se u modelu

dogaaju promjene.

Posljednji dio Mogunosti Rjeavaa (procjene - estimates, derivacije - derivatives,

pretraivanje - search), vrijedi za nelinearne probleme.

Slika 4.10 Mogunosti Rjeavaa

Rjeava ima i mogunost spremanja modela (save model), te ponovnog uitavanja (load

model) jednom ve spremljenog modela (slika 4.11). Ovo je korisno kada se provodi

postoptimalna analiza nekoga problema, tj. kada se u originalnom modelu mijenjaju neki

parametri, odnosno kada na istom radnom listu ima vie modela. Spremanjem originalnog i

svih ostalih promijenjenih modela, svaki od modela se jednostavno uita, te se ne mora

ponovno upisivati u Rjeava.

a) Spremanje modela b) Uitavanje spremljenog modela

Slika 4.11 Mogunosti spremanja i uitavanja spremljenog modela

Nakon definiranih parametara i mogunosti Rjeavaa, problem se moe rijeiti (solve). Kada

je zavren postupak rjeavanja, rezultati se mogu prikazati na tri naina, odnosno mogue su

tri vrste izvjetaja:

- izvjetaj odgovora (Answer Report)

- izvjetaj o osjetljivosti (Sensitivity Report)

- izvjetaj o granicama varijabli (Limits Report).

Kako bi se prikazalo to vie razliitih mogunosti Rjeavaa, na sloenijem problemu

(Primjer 4.1) e se ilustrirati nain njegova koritenja.



Primjer 4.1

a) Definirani problem s prikupljenim podacima

Na osnovi trokova materijala, trokova rada, trokova kooperacije i dodatnih trokova

(proraunatih u odjelu tehnoloke pripreme proizvodnje), izraunata je prodajna cijena

proizvoda koja iznosi 10 n.j./kom. Procijenjena potreba trita je najvie 20000 komada toga

proizvoda kvartalno.

Zbog kratkog vremena isporuke, u poduzeu je odlueno da se proizvod mora proizvesti na

dvije vrste kapaciteta: univerzalna tokarilica i CNC tokarilica, jer se moe postii ista razina

kvalitete. U odjelu tehnoloke pripreme proizvodnje, razraeni su tehnoloki postupci za

proizvodnju ovog proizvoda na univerzalnoj i na CNC tokarilici. Proraunato tehnoloko

vrijeme, raspoloivo radno vrijeme, te cijene rada strojeva po vremenskoj jedinici, prikazani

su u tablici 4.1.

Tablica 4.1 Vrijeme obrade, raspoloivost i cijena rada strojeva

v.j. /kom. Proizvod Raspoloivost strojeva,

v.j./dnevno Cijena rada strojeva, n.j. /v.j.

Univerzalna tokarilica 0,2 15 10

CNC tokarilica 0,1 15 15

Trokovi materijala iznose 1,5 n.j./kom. Procijenjeni kart na univerzalnoj tokarilici iznosi

5%, a na CNC tokarilici 3%, a prihod od prodaje se moe zanemariti.

Inenjeri u odjelu tehnoloke i operativne pripreme proizvodnje trebaju dogovorno odluiti na

kojim kapacitetima i u kojoj koliini treba proizvesti promatrani proizvod po kvartalu (90

radnih dana), ako se eli ostvariti maksimalna dobit.

Kakva bi bila odluka inenjera u sluaju da se eli maksimalno iskoristiti raspoloivo

radno vrijeme strojeva? Usporediti iskoritenost strojeva i dobit s prvotnim ciljem!

b) Ralanjivanje problema

1. O emu se odluuje (varijable)?

Treba odluiti koliko proizvoda e se proizvesti na univerzalnoj tokarilici, a koliko na CNC

tokarilici. Stoga su realne (stvarne, strukturne) varijable PUT (broj proizvoda proizveden na

univerzalnoj tokarilici) i PCNC (broj proizvoda proizveden na CNC tokarilici). To su ukupno

dvije varijable. Radi se o istoj vrsti proizvoda, ali se mora odluiti koliko e se proizvoda

proizvesti na kojem stroju, kako bi odjel pripreme proizvodnje mogao dostaviti tono

odreeni broj pripremaka na pojedini stroj.

2. to je cilj (funkcija cilja)?



Cilj je maksimalna dobit, za prvotno postavljen problem. Dobit se ostvaruje prodajom

proizvoda, kada se oduzmu trokovi izrade i trokovi utroenog materijala za proizvodnju.

Kako se na strojevima pojavljuje kart nee se moi prodati svi napravljeni proizvodi, nego

95% proizvoda proizvedenih na univerzalnoj tokarilici i 97% proizvoda proizvedenih na CNC

tokarilici. Dakle, funkcija cilja e glasiti:

Dobit = prihod od prodaje trokovi rada strojeva trokovi potroenog materijala:

max..5,11,0152,010)97,095,0(10 jnPPPPPPFC CNCUTCNCUTCNCUT

3. to ograniava (ogranienja)?

Ogranienja su: raspoloivo radno vrijeme tokarilica, te potranja gotovih proizvoda na tritu.

Univerzalna tokarilica:

..135090152,0 jvPUT

CNC tokarilica:

..135090151,0 jvPCNC

Trite:

.20000 komPP CNCUT

Nakon ralanjivanja problema moe se napisati cjeloviti matematiki model.

c) Matematiki model

Funkcija cilja:

max5,11,0152,010)97,095,0(10 CNCUTCNCUTCNCUT PPPPPPFC

Ogranienja:

..135090152,0 jvPUT

..135090151,0 jvPCNC

.20000 komPP CNCUT

Uvjeti nenegativnosti:

0, CNCUT PP



Nakon postavljenog matematikog modela zadatak se moe rijeiti pomou alata Rjeava u

Microsoft Excel-u.

Nakon definiranih elija na listu, odnosno pripremljenih ulaznih podataka u elijama i

unesenih u Rjeava (slika 4.12), problem se moe rijeiti naredbom Rijei. Nakon rjeavanja

modela, vrijednosti za varijable e biti u elijama adresa G6 i G7. Kako i ogranienja i

funkcija cilja ovise o varijablama, piu se formulom (obavezno znak = ispred), u kojoj se na

mjestu varijable pojavljuju adrese elija. Na slici 4.12 je na traci formula vidljivo da je

formula za funkciju cilja - maksimalnu dobit, napisana pomou adresa elija s varijablama G6

i G7 (=10*(0,95*G6+0,97*G7)-10*0,2*G6-15*0,1*G7-1,5*(G6+G7)). Takoer u

parametrima Rjeavaa, vidljivo je da se lijeve strane ogranienja, pojavljuju kao adrese elija

u kojima je definirana formula lijeve strane za pojedino ogranienje.

Slika 4.12 Matematiki model i parametri Rjeavaa

Kako bi model u rjeavau bio sliniji definiranom matematikom modelu, korisno je

elijama s varijablama, kao i elijama s formulama za ogranienja i funkciju cilja, dodijeliti

nazive (slika 4.13).



Slika 4.13 Definiranje naziva za elije

Tada se u formulama, te u parametrima Rjeavaa (slika 4.14) umjesto adresa elija pojavljuju

nazivi tih elija i problem je puno jasniji. Tako formula za funkciju cilja sada glasi:

=10*(0,95*P_UT+0,97*P_CNC)-10*0,2*P_UT-15*0,1*P_CNC-1,5*(P_UT+P_CNC),

umjesto =10*(0,95*G6+0,97*G7)-10*0,2*G6-15*0,1*G7-1,5*(G6+G7).

Slika 4.14 Matematiki model i parametri Rjeavaa s dodijeljenim nazivima elijama

Prethodno je potrebno postaviti u mogunostima (Options), slika 4.14, da Rjeava

pretpostavi nenegativne vrijednosti varijabli, te da pretpostavi linearni model. Ukoliko se

postavi da Rjeava pokae rezultate iteracije, prilikom rjeavanja prikazivat e se rjeenja

korak po korak.

Nakon definiranih parametara i mogunosti, problem se moe rijeiti. Ukoliko se eli

iskoristiti mogunost prikaza rjeenja za svaku iteraciju, tada se svaki taj korak moe i



spremiti kao scenarij (slika 4.15), a postoji i mogunost saetog prikaza svih scenarija (svake

iteracije), tablica 4.2.

Slika 4.15 Spremanje scenarija za prvu iteraciju

Tablica 4.2 Zbirni scenarij za sve tri iteracije

Nakon to je model rijeen mogue su tri vrste izvjetaja: izvjetaj u kojem se nalazi

optimalno rjeenje, te dopunske varijable izvjetaj odgovora; analiza osjetljivosti promjene

koeficijenata u funkciji cilja i desne strane ogranienja izvjetaj o osjetljivosti i izvjetaj o

utjecaju vrijednosti varijabli na vrijednost funkcije cilja izvjetaj o granicama. Na slici 4.16

prikazan je izvjetaj odgovora.



Slika 4.16 Izvjetaj odgovora

Za varijable, funkciju cilja i ogranienja u izvjetaju odgovora (slika 4.16), prikazane su

poetne vrijednosti u elijama (Original value), kao i krajnje (optimalne) vrijednosti (Final

value) dobivene nakon rjeavanja. Za ogranienja (Constraints) prikazan je status: ispunjeno-

povezivanje (Binding), odstupajue-nepovezivanje (Not binding).

Izvjetaj odgovora sastoji se iz tri dijela: vrijednost funkcije cilja (ciljna elija, target cell),

vrijednost varijabli (prilagodljive elije, adjustable cells) i ogranienja (constraints).

Vrijednost funkcije cilja je 129450 novanih jedinica dobiti.

Prilagodljive elije (mijenjane) imaju zavrne vrijednosti 6500 i 13500. One predstavljaju

varijable PUT i PCNC, to znai da e uz zadana ogranienja i postavljeni cilj biti optimalno

proizvesti 6500 komada proizvoda na univerzalnoj tokarilici, a 13500 proizvoda na CNC

tokarilici.

Mogu se protumaiti i ogranienja:

- kod prvog ogranienja, dopunska varijabla (engl. slack, surplus) (u hrvatskoj verziji

Excel-a prevedeno kao Stog?!) iznosi 50, to znai da je od raspoloivih 1350 v.j.

univerzalne tokarilice iskoriteno 50 v.j. manje, odnosno radila je 1300 v.j. (vrijednost

elije iznosi 1300)

- kod drugog ogranienja, dopunska varijabla iznosi 0, to znai da je iskoriteno sve

raspoloivo vrijeme CNC tokarilice, odnosno radila je 1350 v.j. (vrijednost elije

iznosi 1350)

- vrijednost dopunske varijable u treem ogranienju je nula, to znai da se tritu

moe ponuditi maksimalno zahtijevana koliina proizvoda (vrijednost elije iznosi

20000).

Slijedi saeti prikaz optimalnog rjeenja.

Dobit:

FC = 129450 n.j.



Broj proizvedenih dijelova:

PUT = 6500 kom. broj proizvoda proizvedenih na univerzalnoj tokarilici

PCNC = 13500 kom. broj proizvoda proizvedenih na CNC tokarilici

Ogranienja:

Raspoloivi kapacitet univerzalne tokarilice: dopunska varijabla = 50 v.j. tokarilica je

zauzeta (1300/1350)*100 = 96%

Raspoloivi kapacitet CNC tokarilice: dopunska varijabla = 0 tokarilica je zauzeta 100%

Trite: dopunska varijabla = 0 tritu se moe ponuditi maksimalno zahtijevani broj

proizvoda.

Slika 4.17 prikazuje izvjetaj o osjetljivosti.

Slika 4.17 Izvjetaj o osjetljivosti

Izvjetaj (analiza) o osjetljivosti (slika 4.17) prua informacije o osjetljivosti modela na

promjene ulaznih podataka. Sastoji se od dva dijela; u prvom dijelu prikazano je za koliko je

mogue poveati (Allowable Increase), odnosno smanjiti (Allowable Decrease) koeficijente u

funkciji cilja (Objective coefficient), da se pri tome optimalno rjeenje ne mijenja.

Za dati primjer, optimalno rjeenje nee se promijeniti ako se dobit po proizvodu PUT

mijenja u rasponu od 0 (6-6) doputeno smanjenje 6, do 6,7 (6+0,7) doputeno poveanje,

uz dobit po proizvodu PCNC od 6,7 (koeficijent uz varijablu PCNC se ne mijenja). Na primjer, za

funkciju cilja s koeficijentima 6,4 (uz varijablu PUT) i 6,7 (uz varijablu PCNC), optimalno

rjeenje nee se promijeniti. Fizikalno gledano, mogue je razmiljati o poveanju prodajne

cijene proizvoda, ali ne znaajno. Ovaj problem ima dvije varijable, te se moe predoiti i

grafiki. Smanjenjem koeficijenta uz varijablu PUT prema nuli, uz konstantni koeficijent uz

varijablu PCNC, funkcija cilja e postati paralelna s koordinatnom osi PUT, te se optimalno

rjeenje nee promijeniti.

Za dati primjer, optimalno rjeenje nee se promijeniti i ako se dobit po proizvodu PCNC

mijenja u rasponu od 6 (6,7-0,7) doputeno smanjenje, do 1030 (6,7+1030) doputeno

poveanje, uz dobit po proizvodu PUT od 6 (koeficijent uz varijablu PUT se ne mijenja). Na

primjer, za funkciju cilja s koeficijentima 6 (uz varijablu PUT) i 100 (uz varijablu PCNC),

optimalno rjeenje, nee se promijeniti. Moe se zakljuiti, da ovdje postoje vee mogunosti



poveanja prodajne cijene. Poveanjem koeficijenta uz varijablu PCNC prema velikoj

vrijednosti, uz konstantni koeficijent uz varijablu PUT, funkcija cilja e postati paralelna s

koordinatnom osi PUT, te se optimalno rjeenje nee promijeniti.

Pojam Reduced Cost, koji je preveden kao Reducirano Troak (nekada se naziva i Reduced

gradient) je pokazatelj za koliko se treba poveati dobit po varijabli ija je vrijednost nula, da

bi se proizvodnja toga proizvoda isplatila. U ovom problemu, nijedna varijabla nema

vrijednost nula, te je ova vrijednost jednaka nuli.

Drugi dio Izvjetaja o osjetljivosti se odnosi na ogranienja (Constraints), odnosno na

promjenu slobodnih lanova na desnoj strani ogranienja (R.H. Side - right hand side); u

ovom primjeru to su kapaciteti strojeva i potrebe trita. Izvjetaj pokazuje za koliko se mogu

poveati odnosno smanjiti desne strane ogranienja, a da u bazi - optimalnom rjeenju budu i

dalje prvotne strukturne varijable PUT i PCNC, te dopunska varijabla y1, vezana za prvo

ogranienje.

Kapacitet univerzalne tokarilice moe se mijenjati od 1300 v.j. (1350-50) do 1350+1030 v.j.

(1030), a da se struktura optimalnog rjeenja ne mijenja.

Kapacitet CNC tokarilice moe se mijenjati od 1325 v.j. (1350-25) do 2000 v.j. (1350+650), a

da se struktura optimalnog rjeenja ne mijenja.

Zahtjev trita bi mogao biti u rasponu od 13500 komada (20000-6500) do 20250 komada

(20000+250), a da se struktura optimalnog rjeenja ne mijenja.

Pojam Shadow Price, koji je preveden kao Sjena Cijena (nekada se naziva i Lagrange

multiplier), pokazuje kakav je utjecaj poveanja kapaciteta onih strojeva (CNC tokarilica) i

proizvodnje proizvoda (trite) koji su na granici (dopunska varijabla iznosi nula), na

vrijednost funkcije cilja.

Ako bi se kapacitet CNC tokarilice koji je maksimalno iskoriten, poveao za jednu v.j.,

vrijednost funkcije cilja bi se poveala za 7.

Ako bi se kapacitet trita koje je maksimalno popunjeno, poveao za jedan komad, vrijednost

funkcije cilja bi se poveala za 6.

Slika 4.18 prikazuje izvjetaj o granicama varijabli.

Slika 4.18 Izvjetaj o granicama varijabli

Izvjetaj o granicama varijabli (slika 4.18) pokazuje utjecaj donje (Lower Limit) i gornje

(Upper Limit) granine vrijednosti pojedine varijable, na promjenu funkcije cilja (Target

Result), tako da su zadana ogranienja jo uvijek ispunjena.



Ako je vrijednost varijable PUT nula, a varijabla PCNC iznosi 13500, tada e vrijednost funkcije

cilja iznositi 90450. Ako je vrijednost varijable PUT 6500, a varijabla PCNC iznosi 13500, tada

e vrijednost funkcije cilja biti 129450. Ako je vrijednost varijable PCNC nula, a varijabla PUT

iznosi 6500, tada e vrijednost funkcije cilja biti 39000. Ako je vrijednost varijable PCNC

13500, a varijabla PUT iznosi 6500, tada e vrijednost funkcije cilja biti 129450.

esto se u praksi kod primjene optimalnog rjeenja mogu naknadno pojaviti neki sluajevi

koji utjeu na optimalno rjeenje. Stoga se provodi postoptimalna analiza kako bi se odredio

utjecaj promjene pojedinih ulaznih podataka na optimalno rjeenje. Parametri koji se

mijenjaju mogu se odnositi na:

- koeficijente uz varijable u funkciji cilja

- promjenu raspoloivih resursa

- koeficijente matrice A (npr. normativi rada)

- uvoenje novih varijabla

- dodavanje novih ogranienja.

Postoptimalna analiza daje odgovore kako e se optimalna rjeenja mijenjati pod utjecajem

navedenih parametara.

Tako je i u ovom problemu, navedeno da treba provjeriti kakva bi bila odluka inenjera u

sluaju da se eli maksimalno iskoristiti raspoloivo radno vrijeme strojeva, te usporediti

iskoritenost strojeva i dobit s prvotnim ciljem.

Ukoliko bi cilj ovog problema bio maksimalno iskoristiti raspoloivo radno vrijeme strojeva,

tada bi ogranienja ostala ista, ali bi se u modelu promijenila funkcija cilja, te bi matematiki

model problema bio sljedei:

Matematiki model:

Funkcija cilja:

max..1,02,0 jvPPFC CNCUT

Ogranienja:

..135090152,0 jvPUT ..135090151,0 jvPCNC

.20000 komPP CNCUT

Uvjeti nenegativnosti:

0, CNCUT PP

Rjeavanjem u Excel-u pomou Rjeavaa, korisno je iskoristiti mogunost spremanja ovoga

novoga modela na istom listu (slika 4.19). Ponovnim rjeavanjem istoga problema, moe se

izabrati i uitati prvi model (cilj: maksimalna dobit) ili drugi model (cilj: maksimalno

iskoritenje kapaciteta), bez ponovnog popunjavanja parametara Rjeavaa.



Slika 4.19 Spremanje razliitih modela za isti problem

Rjeavanjem ovog modela koristei alat Rjeava u MS Excel-u, dobije se rjeenje, prikazano na slici 4.20.

Slika 4.20 Izvjetaj odgovora za cilj maksimalnog iskoritenja kapaciteta strojeva

Ovdje je korisno upotrijebiti mogunost spremanja i ovoga scenarija, koji se moe zajedno s

prvim modelom, prikazati i usporediti (tablica 4.3).

Tablica 4.3 Usporedba rjeenja istog problema s razliitim funkcijama cilja



Vidljivo je da bi se u oba sluaja mogao zadovoljiti maksimalni zahtjev za ukupnim brojem

proizvoda (20000 komada) na tritu, ali bi bio drukiji raspored proizvodnje. Za sluaj

maksimalnog iskoritenja kapaciteta, u odnosu na sluaj maksimalne dobiti, proizvodnja na

univerzalnoj tokarilici bi se poveala, a na CNC tokarilici smanjila. Sada bi ukupna

neiskoritenost strojeva iznosila 25 vremenskih jedinica (CNC tokarilica), dakle iskoritenost

strojeva bi bila vea za 25 vremenskih jedinica. Kako je cijena rada univerzalne tokarilice po

vremenskoj jedinici, nia od cijene rada CNC tokarilice, usporeujui prvi i drugi sluaj, ne

dobije se znaajno smanjenje dobiti poveanjem proizvodnje na univerzalnoj tokarilici, jer je

to jeftiniji kapacitet.

U naprijed rijeenom problemu, optimalno rjeenje je cjelobrojno, ali je mogue i dobivanje

necjelobrojnih rjeenja koja su nelogina za pojedine probleme (pogledati ranije primjere i

zadatke s vjebi). Ovakvi problemi kod kojih je potrebno da pojedina ili sve varijable budu

cijeli brojevi rjeavaju se metodom grananja i ograivanja (engl. Branch and Bound Method).

Obzirom da je ova metoda sloenija, za dobivanje cjelobrojnih rjeenja bit e potrebno puno

vie vremena (iteracija), nego kada se isti problem rjeava kao necjelobrojni. U alatu Rjeava

postoji mogunost dodavanja ogranienja da varijable(a) moraju biti cijeli brojevi. Time se ne

koristi obina Simplex metoda za rjeavanje ovih problema, nego metoda grananja i

ograivanja. Koristei mogunost Rjeavaa da pokazuje rezultate iteracije, moe se provjeriti

da je ve za rjeavanje malo sloenijih problema kao cjelobrojnih, potreban jako veliki broj

iteracija. Uvjet da varijabla bude cjelobrojna, postavlja se u parametrima Rjeavaa, u okviru

ogranienja (slika 4.21).

Slika 4.21 Dodavanje uvjeta cjelobrojnosti i izgled toga ogranienja u Rjeavau

Postoji i mogunost dodavanja uvjeta da varijable moraju biti binarne (bin), odnosno da

moraju poprimiti vrijednosti 0 ili 1. To se ubraja u problem binarnog cjelobrojnog

programiranja (engl. binary integer programming).



VJEBE

Za definirane probleme (Zadatak 2.1, Zadatak 2.2), potrebno je postaviti matematike modele,

te ih rijeiti koritenjem alata Rjeava u MS Excel-u. Potrebno je detaljno prokomentirati

Izvjetaj odgovora i Izvjetaj o osjetljivosti.

ZADATAK 2.1

U jednom pogonu poduzea proizvode se dvije vrste proizvoda: spojnica (prodajna cijena 200

n.j./kom.) i poklopac (prodajna cijena 250 n.j./kom.), za koje su u odjelu tehnoloke pripreme

proizvodnje razraene dvije varijante tehnolokih postupaka. Jedna varijanta je proizvodnja iz

pripremaka izrezanih iz ipki (0361), a druga varijanta je proizvodnja iz pripremaka

izrezanih iz cijevi (0361).

U tablici 1.1 i 1.2 su prikazani tehnoloki postupci (obje varijante) za proizvodnju ova dva

proizvoda, proraunata vremena obrade, raspoloivo radno vrijeme i cijene rada strojeva po

vremenskoj jedinici, mase pripremaka, te cijena materijala.

Tablica 1.1 Varijante polaznog materijala i tehnolokog postupka za spojnicu

Varijanta Operacija Stroj

Cijena

rada

stroja,

n.j./h

Vrijeme

obrade,

min/kom.

Raspoloivo radno

vrijeme

stroja, h

Masa

pripremka,

kg/kom.

Cijena

materijala,

n.j./kg

Pripremak

izrezan iz

ipke

Buenje Builica

B 70 10 7,5

5,5 5,8 Tokarenje Tokarilica

T 70 25 15

Bruenje Brusilica

BR 126 10 7,5

Pripremak

izrezan iz

cijevi

Tokarenje Tokarilica

T 70 30 15

4,3 6,3

Bruenje Brusilica

BR 126 10 7,5

Tablica 1.2 Varijante polaznog materijala i tehnolokog postupka za poklopac

Varijanta Operacija Stroj

Cijena

rada

stroja,

n.j./h

Vrijeme

obrade,

min/kom.

Raspoloivo radno

vrijeme

stroja, h

Masa

pripremka,

kg/kom.

Cijena

materijala,

n.j./kg

Pripremak

izrezan iz

ipke

Buenje Builica

B 70 12 7,5

6,5 5,8 Tokarenje Tokarilica

T 70 40 15

Bruenje Brusilica

BR 126 12 7,5

Pripremak

izrezan iz

cijevi

Tokarenje Tokarilica

T 70 45 15

5,7 6,3 Bruenje Brusilica

BR

126 12 7,5



U odjelu tehnoloke i operativne pripreme proizvodnje, trebaju odluiti koliko proizvesti

spojnica i poklopaca iz obje vrste pripremaka, s ciljem postizanja maksimalne dobiti.

Minimalna dnevna proizvodnja mora biti po 5 spojnica iz ipki i 5 iz cijevi, te 5 poklopaca iz

ipki i 5 iz cijevi.

ZADATAK 2.2

Poduzee planira izradu tri nova proizvoda za koje se koriste tri stroja. Tehnolozi su, u odjelu

tehnoloke pripreme proizvodnje, za izradu proizvoda razradili postupke, a podaci se nalaze u

sljedeoj tablici. Zadani su i trokovi rada strojeva i trokovi materijala.

Tablica 1.3 Proizvodni postupak

Produktivnost, kom./sat Proizvod 1 Proizvod 2 Proizvod 3 Trokovi

stroja,

n.j./sat

Stroj I 20 25 40 19

Stroj II 30 24 35 13

Stroj III 25 25 25 17,5

Trokovi materijala, n.j./kom. 0,8 1,2 2

Prodajna cijena, n.j./kom. 6 8 10

Sastaviti model optimalnog proizvodnog programa sa stanovita maksimalne dobiti. Sve

promatrati za vremensko razdoblje od 7,5 sati (1 smjena), pod uvjetom da se vremenski

kapaciteti strojeva u potpunosti iskoriste.

Documents

Tjedan 8 9