THÈSE

pr ès cn t èe à

L'ÉCOLE NATIONALE SUPÉIUBURE DES MINES DE PAR IS

par

Azgal ABICHOU

pou r ob te n ir le titre de

DOCTEUR DE L'ECOLE DES MINES DE PAlUS

spècrante

MATHÉMAT IgUES ET AUTOMATIQUE

Suj et de la th èse

STAB ILIS ATI O N DE SYSTÈME S MÉCANI Q UE SAVEC BIFURCATION FOURCH E .

CO MMAN DE NO N LINÉ AIRE D ·UN R OB OT HYDRAULIQUE

sou ten u e le 10 dé c embre 19 9 3 devant le jury c o m posé d e :

MM .

Mme.

Mr .

Mme.Mr.

Pi erre LOPEZJean- Michel C OR ON

Bri g itte d· ANDRÉA-NOVEL

Franço is DEL EBECQ UEM ari e-Agnès GARNERO

Jacq ue s POT

Pré sident e t ra p porteu rRa ppo rteurExaminate urExaminat e u rExaminateu rEx am inateur

Remerciements

QU'Il me soit permis d'exprimer en premier lieu ma gratitude à Brigitte d'Andrea-Novel Elle a orientéet SUIVI tout le travail. Par des échanges fructueux ct parfois animés elle m'a permis de clarifier mapensée. J'ai beaucoup apprecie sa rigueur scientifique.

Je uens aussi à la remercier pour son souci de l'orthographe et pour l'aide qu'elle m'a apporté auniveau de la redaction

Pour toutes ces raisons. Je lUI SUIS mfirurnent reconnaissant.

Je remercie Monsieur PIerre Lapez d'avoir accepté d'être le président de ce Jllry Je lui suis recon

naissant de ses remarques ct de l'Interet qu'il il manifesté pour ce travail.

Je remercie .Jean-Michel Coron pour l'mtéret qu'il a témoigné à ce travail. J'ai beaucoup profité de

sa science ainsi que de sa gentillesse qui ne s'est jamais démentie. C'est un grand honneur pour moi dele savoir dans ce jury

Je remercie Monsieur Francois Dclebecque d'avoir accepté d'ètre membre de ce JUry

de m'avoir permis de travailler dans d'excellentes conditions. Je le remercied'avoir accepté d'erre de ce JUry

Je remercie Marie-Agnes Garnero pour son SUIVIserieux et avisé. .Je lui SUIS reconnaissant pour l'aide

qu'elle ma apporté qUI m'a perrrus de surmonter les difficultés diverses (entre autres informatiques). .Je

la remercie aussi pour sa gentillesse toujours égale. C'est une joie pour mm de la savoir dans ce jury

.Je SUIS reconnaissanr a Laurent Praly pour ses conseils tant scienüfiquus que pratiques

Je remercie Marc Cihrarro pour nos dISCUSSIons fructueuses sur la theorie des buurcatrons.

.Je voudrars également remercier tous les permanents ct les thésards du Centre d'Automatique et Systemes.

tou" les agents, thésards ct stagiaires du Groupe Téléopération-Robotique d'E 0 F

Je remercie ma famille en Turuste el en France ainsi que tous mes amis.

Je remercie mes parents pour tout

Résumé

Celle thèse se compose en deux parties.Une première partie est consacrée à la stabilisation des systèmes mécaniques dépendant

d'un paramètre. Les systèmes présentent une bifurcation fourche de codimension 2 au voisinage d'une valeur dite critique du paramètre, de plus le linéarisé tangent devient non corn­mandable. Nous proposons un algorithme de stabilisation pour cette valeur du paramètre.Le résultat est illustré sur deux exemples, le cas d'un pendule simple inversé avec flexibilitéet le cas d'un double pendule avec flexibilite localisée entre les deux pendules.

La seconde partie est consacrée à l'étude de la commande d'un robot hydraulique. Nousproposons plusieurs algorithmes de commande non linéaire, essentiellement basés sur lestechniques de perturbations singulières.

Nous traitons deux cas' le cas où on mesure tout l'état du système et le cas d'un bouclagedynamique de sorties. Dans chaque cas, nous traitons deux problèmes le problème de lastabilisation et le problème d'une poursuite de trajectoire.

Sur ce robot. seules les posittons articulaires el les pressions sont directement mesurées.Dans le cas de bouclages dynamiques de sorties, nous étendons un résultat à partir des

techniques de passivité qui conduit à un observateur non linéaire des vitesses articulairesque nous comparerons à un observateur réduit linéaire à grand gain.

Des résultats de simulations sont donnés pour illustrer chaque cas.

Motsc1ésStabthsauon, Bouclage. Bifurcauon fourche. Varièt.è centre, Formes normales, Perturbalions singulières, Passivite. Poursuite de trajectoire, Observateur. Cascade, Linéarisation.Surfaces glissantes. Grands gains.

Abstract

This work constats in two parts.In a first part we consider the problem of local stabilization of a class of mecharücal

systems depending on a physical paramcter, and which exhibit an open loop pitchfork bi­furcation. Furthermore at the crttical value of the pararneter the tangent linearization of thesystem contains two zero uncontrollable modes. Wc give an explicit computation ofnonlinear(cubic) stabilizing feedback laws. In order to illustrate our rosult. we study two examplesthe first one is an inverted pendulum with a flexible joint and the second one is an inverteddouble pendulum with a flexible joint between the two links.

In a second part we conslder the problern of the elaboration of a nonlmear feedback lawfor a hydraulic robol. We use singulary perturbation theory to solve this problem. Two casesare studied the case of state feedback control and the case of dynamic output Ieedbackcontrol. In each case. we treal two problerns the stabilization problem and the trackingproblem.

This robot is only equipped by Joint position measurements and pressure measurernents.In the case of dynanuc ou tpu t feedback. we use a passtvi ty approach to extend a nonlinear

observer for this robot. We compare this observer to a linear reduced observer with high

gains.Simulations results are given ta illustra te our results.

KeywordsStablization, Feedback, pitchfork bifurcation, Center manifold, Normal Iorrn. Singular perturbat.ion. Passrvity. Tracking, Observer, Cascade, Ltnearizatton. Sliding modes, J-ligh gains.

Introduction générale

Ce mémoire se compose en deux parties la première partie consiste en la stabilisation de systèmes mécaniques présentant une bifurcation fourche de codimension2. la seconde consiste en l'élaboration d'une commande non linéaire' pour un robothydraulique.

Le point de départ de la première partie était l'étude du pendule inversé avec flex­ibilité localisée.

On a constaté (voir [1]) qu'il existe une valeur dite critique du paramètre de flexi­bilité au voisinage de laquelle le système exhibe une bifurcation fourche.

De plus. le linéarisé tangent devient non commandable et plus précisément on a

deux modes nuls non commandables avec la forme de Jordan suivante: (~ ~)Nous proposons une loi de commande stabilisante pour une classe de systèmes

mecaniques qui génèralise cet exemple lorsque le paramètre de bifurcation est à savaleur critique.

La motivation principale de la seconde partie est de type industrieL Le problème.soumis par EDF, consiste en l'élaboration d'une loi de commande pour un robot hy­draulique.

Le robot hydraulique s'inscrit dans un système téléopèré maitre/esclave.Le système est destiné à effectuer des interventions de maintenance à l'tru.crieur

des bols de générateurs de vapeur, échangeurs intervenant dans le circuit secondairedes centrales nucléaires. Le choix de l'hydraulique est dû surtout à ses performances,par exemple le robot TITAN qui pèse 80 Kg est capable de transporter une charge de120 Kg.

Dans ce mémoire, nous proposons des lois de commande non linéaires. avec ob­servateur de vitesse. pour ces types de robot.

Première partie:Stabilisation de systèmes mécaniques avec

bifurcation fourche

Table des matières

Commande d'une bifurcation fourche de codimension 21.1 Description du problème1.2 La thèorie des variètès centres1.3 Construction d'un feedback stabilisant

1.3,1 Réduction du système à un ordre inférieur1.3.2 Stabilisation

Il Applications 23II.l Introduction 23II.2 Exemple du pendule simple inversé avec flexibilité 23

11.2.1 Etude de la eommandabilité 2611.2.1. J Etude du linéarisé tangent 2611.2.1.2 Etude du système initial 28

II.2.2 Etude de la stabiltsabthtè 29II.2.3 Construction d'un bouclage stabilisant 2911.2.4 Etude d'une commande stabilisante qui élimine la bifurca-

lion en boucle fermée 33Il.3 Exemple du double pendule Inverse avec flexibilité 34!l.4 Simulations numériques 35!l.5 Conclusion et perspectives 39

Table des matières

Chapitre 1

Commande d'une bifurcation fourchede codimension 2

Dans ce chapitre on discutera du problème de stabilisation de systèmes mécaniquesqui présentent une bifurcation fourche en boucle ouverte.

Plusieurs questions relatives à ce genre de problème sont traitées dans la littérature(on peut citer par exemple Aeyels [3]. Abed et Fu [7]. [8]. Behtash et Sastry [Ll ].

Cibrario [181. Abed et al. [9], Wang et Abed [35]).

La bifurcation considérée dans [71 par Abed et Fu est une bifurcation de Hopfsous-critique. où une orbite périodique instable émerge localement de l'équilibre auvoisinage de la valeur critique du paramètre.

En se basant sur les de projection. un calcul explicite d'une loi decommande stabilisante, rendant bifurcation sur-critique, est donné.

Dans [8]. les mèrnes auteurs considèrent le cas où une valeur propre simple nulleest non commandable. Ils montrent qu'il existe une loi de commande qui transformeune bifurcation transcritique en une bifurcation fourche supercritique.

Aeyels dans [31 a introduit les techniques de la variété centre pour la stabilisationd'une bifurcation de Hopf.

Behtash el Sastry dans 1111ont étudié la stabilisation dans le cas où le linéarisépresente une partie non comrnandable. Deux cas ont été traités.

Le premier est le cas où une paire de valeurs propres imaginaires pures et unevaleur propre nulle sont non comrnandables. Le deuxième est le cas où deux valeurspropres nulles sont non commandable. Un calcul explicite de lois de commandestabilisantes, à base des techniques de variété centre, est proposé.

Le travail présenté ici est inspiré par le résultat de Behtash et Sastry et représenteune extension de ce resultat

Le résultat principal a rait l'objet d'une publication à Systems and Control Letters[21.

Cibrario dans [181 a etudie une classe de réacteurs chimiques instables exhibantune bifurcation col-noeud par rapport au paramètre de la commande. Un calculexplicn« d'une loi de commande stabilisante est proposé.

Abed et al. dans 191 considèrent le cas d'un système dynamique exhibant une séried'orbites périodiques en cascade qui aboutit à un chaos. Les auteurs proposent une

Chap. I. Commande d'une bifurcation fourche de codimension 2

loi de commande stabilisante et qui supprime le phénomène du chaos.Dans [35]. Wang et Abed ont étudié la stabilisation des systémes dynamiques

présentant un chaos. Comme dans [9]. un calcul explicite d'une loi de commandestabilisante cl qui supprime le chaos est donné.

Dans un premier temps. nous donnons une description de la classe de systèmesmécaniques considérée. Puis dans un second temps, on rappelera les techniques devariété centre. Enfin on établira les différentes étapes de l'algorithme de constructionde lois de commande stabilisantes.

On pourra sc reporter à l'annexe A pour des rappels sur la théorie des bifurcalions d'étals stationnaires et à l'annexe B pour des rappels sur la théorie des formesnormales.

1.1 Description du problème

On considère une classe de systèmes mécaniques de la forme

(J)

où .1' E R" est le vecteur de position, Il E R est une commande scalaire, l: estun paramètre physique. /'1 est un vecteur constant et non nul. f(.I') est la matriced'inertie. -1('1'. k') contient tous les termes qui dérivent d'un potentiel (tel que la gravité).1(.1 . .i·) contient tous les termes de Coriolis et centrifuges, on suppose en plus

Hypothèses

• (Hl) ;(0./.) = 0 pour tout k et - est impaire par rapport à ./

• (H2) il existe une valeur critique de ". notée /'0 telle queluny(D,-,(O.koi) = 11-2.

• (H3) / est paire par rapport à 1. impaire par rapport à 1 et Ir 1.01 0 pour tout

• (H4) 0 est un équilibre de (1) d'où «t O) = O.

• (H5) si k' = /'0 le système donné par (I) a deux modes nuls non commandablesavec une forme de Jordan non diagonalisable.

Le système (1) peut s'écrire aussi, en représentation d'étal, comme suit

I.k) + 1(.1. 1)))' (2)

où désigne le transposiuon.x = 1.1. 1)' (3)

1.2. La théorie des variétés centres

(H l)-(H3) impliquent que le système autonome exhibe au voisinage du point d'équilibrequi nous intéresse une bifurcation fourche de codimension 2 (voir Annexe A), Le.

{

F(O.k)=o. VlorU1I~(D,~(O.,I.·)) ~ 2n - 2 pour k = 1.'0Fl.\:.I,) - -P( .\.1.)

ou D, représente la dérivée par rapport à .r,

(4)

Remarque 1.1 Comme on va voir par la suite. l: peul représenter un coefficient deIlexibihtè. En effet. ce phénomène de bifurcation apparat: souvent dans des modèlesmécaniques avec des flexibilites. comme pour le cas du problème connu en géneralsous le nom "Euler beam bucklmg" (voir par exemple [22]). 0

Pour étudier le phénomène de bifurcation. on commence par écrire les conditionsd'équilibre

{

li = 0F(.!.k'i = O. VI.'

(5)

Remarque 1.2 Le systeme en boucle fermée n'exhibe plus de bifurcation si li est telleque

ul.1l=O .~. .! =0 (6)

Notre objectif maintenant est de trouver un feedback li = 0~(.r .. i) stabilisant lesystème quand k = 1.:0, Nous allons résoudre ce problème en utilisant les techniquesde la variété centre (voir [17]).

1.2 La théorie des variétés centres

On donnera dans celle section des résultats sans démonstration. Pour plus de détailson pourra consulter l'ouvrage de Carr [17J.

On considère le système dynamique suivant:

{i =û=

.1' E IR:".ilE IR:'"

(7)

où Ai et sont des matrices constantes, M n'a que des valeurs propres à partieréelle strictement négallve. \ n'a que des valeurs propres à partie réelle nulle et(.1.1)) = (0.0) est un point critique isolé. Les fonctions l et y sont C' r 2, ctelles ont un developpement de Taylor dans un voisinage de (0.0) dans qui necontient ni termes constants ni termes linéaires.

Définition 1.1 Une uariété locale 1'1 uicoriante pour le système (7) est dite variété

centre si elle contient l'oriqine et s: elle est tangente à { r = O} à l'angine.

Chap. 1. Commande d'une bifurcation fourche de codimension 2

Théorème 1.1 Si f et 1) dans (7) sont des champs de vecteurs C' pour T 2' 2, alors ilexiste une uariété centre.r :::: h(y), Iyl < e, où h est de dasse C'

Le Dot dans la variété centre est gouverné par

(:::: N(+g(Ch(()) (8)

Le théorème suivant établit le lien entre la stabilité du système (7) et celle du système(8).

Théorème 1.2 Sl la solution zéro du système (8) est stable iresp. instable, asymp­totiquement stabie), aLors La solution zéro du système (7) est stabLe tresp. instable,asymptotiquement stable)

Il est important d'approximer hly) en vue des applications. On utilise le fail quei :::: h(U) est invariant par le Dot du système (7). ainsi

::::Dh(y)[.Vy + g(h(y), y)1 ::::Mh(y) + f(1I(y),y) (9)

ainsi 11doit donc satisfaire l'èquation aux dérivées partielles (9) avec !I(O) :::: 0 et lacondition de tangence Dh(O) ::::O. Toute solution de l'EDP (9) est une variété centredu système (7). On approxime 11 (U) par substitution du développement de Taylor dansl'èquation (9). Alors on obtient le resultat suivant

Théorème 1.3 SOli .,.~ une appLication Cl d'un uoistnaqe de 0 dans M.'" uers JR:." telleque 'P(O) :::: 0, D.,.'IO) :::: 0, si l'EDF (9) modulo les termes d'ordre O(lyl')alors quand 1 ~ 0, on a :::; O( lui'J.

Remarque 1.3 En particulier, le Théorème 1.3 nous permet d'approximer h(u) pardes polynômes. [J

1.3 Construction d'un feedback stabilisant

Dans cette sec lion on va essayer de construire une loi de commande non linéaire quistabilise le point d'équilibre 0 du système (2) quand l; :::: ka. Pour cela on a besoinpremièrement de réduire le système (2) en un système de dtmerision 2 en utilisant lathéorie de la variete centre

1.3.1 Réduction du système à un ordre inférieur

Quand t, :::; 1"0. on considere la prcrntère approximation autour du point rl'équrhbrc 0du système (2) i.e.

.\::::L\ +8u+P(.\)-+ Q(lju-to(4) (JO)

1.3. Construction d'un feedback stabilisant

où A = DF(O, ka), IJ = G(O) = (0, bl)' ct P(X) ne contient que des termes polynômiauxde degré 3 puisque F est impaire par rapport à X et Q(:I') contient que des termespolynômiaux dc degré 2 puisque G est paire en x. On note que A prend la formesuivante

~ = (0 Id), L °

où I d désigne la matnce Il 7 n-identité et L = J I(O)D,i(O,ka).

(lI)

Lemme 1.4 En effectuant un changement linéaire de coordonnées, (10) est transforméeen

(:;.~) = (~ 1 A~2) ( :~~ ) + ( ~ ) 11

+ ( ) + ( ) li + 0(4) (12)

où '/'1 E R2" 2 .[2 E R2 avec (.·LI.b) est une paire comrnandable et par (H5), .4.22

s'écrit de la façon suivante

- (0 1)-1. 22 = 0 0 (13)

Preuve:Par l'hypothèse (H5). le rang de {.j' B. I? O} est égal à 211 - 2, d'où une façon dechoisir la matrice de changement de base T 1

et l Cl, ('4)' sont indépendants des vecteurs précédents.Alors par tesl de cornmandabilitè de Popov-Bclr-vitch-Hautus voir [26]. on a

ceci implique en tenant cample de la forme de A (Il) que

comme (CI' C2 ) ' doit être choisi orthogonalement à (C 3 • C.)', on ob lient la forme suiv­ante de T 1

où (' ~ ('4 es! tel que 1 UII(j1Tl) = 211 et avec le changement de base

\' = '1'.\

on obtient la forme diagonale par blocs voulue de ,..\.

Chap.1. Commande d'une bifurcation fourche de codimension 2

Il existe donc un bouclage linèaire il = f\'\,rl tel que A)) + hI\'1 est une matrice deHurwitz, Appliquant Il = [\'1,1'1 + li' on obtient

(16)

Le problème est alors réduit à la construction d'une loi de commande Il' = o( ,ri , 1'2)telle que' l'origine dl" (16) est localement asymptotiquement stable,

1.3.2 Stabilisation

On désigne par]:2 = (2),22)'

P(\') = (p),P2)'(.Y) = TP(T I.Y)

Q(,\-) = (Q),Q2)'(t) = TQ(T 1,\-)

on a le lemme suivant

Lemme 1.5 P2 el o, ont la forme suivante

Preuve:D'après (J 5) T a la forme suivante

0, '. c;C', 0 1 , ,,

T=

où C est un vecteur de~" Alors, comme P vaut

p=

P,,(X)

( 17)

( 18)

(19)

(20)

(21 )

(22)

(23)

1.3. Construction d'un feedback stabilisant

il est clair que 1'2 prend la forme voulue ct on a la même chose pour Q2' 0

Réécrivant maintenant (16) avec toutes ces notations (J 7)-(19) et en utilisant (20)-(21)

on obtient alors

où .l a toutes ses valeurs propres à partie réelle nég;'ltive, <t> et III sont les termesd'ordre supérieur et prennent la forme suivante

+ (LuI' ::-1.2»(1\1';:' + 11')

+9(./'1.2""2)(I{,./'1 + 11')(25)

En choisissant un bouclage Il' de la manière suivante

la variété centre est donnée localement par

ou /, sausfait

(26)

(27)

Îll~,. :2) = Oh

= .4h( ~, . ~2) +

'2

Il/(h( :1. ,2). :1. :>. o(h( :1. :2). :1. :2))

:? J. ~I. :?) + '[1( h( :1· :?). :1.

h(O) = 0 Dh(O) = 0

(28)

Remarque 1.4 Par le Théorème 4.1 [Il], le système (24) peut être stabilisé par unbouclage régulier (quadratique en =2) pourvu que

(29)

fi = D.!-2'!1 < 0

où D est la .èrnc derivèe par rapport à _) au point O.

(30)

Dans notre cas, on montre que la condition (30) n'est pas satisfaite. et plus précisémenton a le lemme suivant

Lemme 1.6 le système d~JnarnlC/ue (24) boudé par le bouclage qLLadmUC[uc Il' sausjait

Il O.

10 Chap.1. Co mman d e d 'un e bifur ca ti o n four ch e de codim ens io n 2

Pr e uv e :D'après (2 5) on a

par IHI) -(H3), P dans (10) ne contient qu e des termes cubiques en ,f e t d es te rm esquad ra tiqu es en " mu lt iph ès pa r des term e!'> nn éarres en ,1 D'a ut re part. par lecha nge m en t oe base T ,1' tresp. l' ) es t un e Ioncttcn de 1~1 el ~ I (resp. es t une foncllond e 1'1 el 11 ) ' Co mme j> :=: T P on a

a lors

{( ,l-I , I. Z2) = L l)·v l,I J )'l', + .f ,.lr"j' +H" ~3

(3 1)

(32)ou ICI = (J. '- I . )' T' I

:::: 11., ) et '/. ,. est u ne const a nt e po u r tou t 1. J d 1 Comme X'l. estu ne a pproxrmauon de la vanét è centre alo rs il est a u mo ins quadratjque en :1 et -"2.

pa r con s équen t on dcd un d'après (32) que

D.: ,i = 0

En d 'a u t res ter mes si on no te

a lors R n e con tien t pas de termes d'or dr e 3 en " puis qu e .9 est quad ra tiqu e en x (Qdans (10) éta n t qu a dra tiqu e en .r } ct lU es t suppos é erre qua d ra tiq u e en -"1 et -"2' On a

D 'f ·,R =O

el par cons équ ent Il := 0 , 0

Rema rque 1.5 Le sys teme (16) ne peu l dom' pa s e tre s tabilise par u n bouclageq ua dr a tique

O n prouve ma tntenan t le resuna t SUIva n t le syste me 1I6 ) (-'SI s tabtnsabte parun bou clag e règ ct.er c ubiq u e en 1. -2- le m eme res ult a t de s tabrbtè s 'a ppliqu e ausys teme li) d'après le Th éorè me 1.2

1.3 . c c o s tr uc n on d ' un Ieedb ack stabilisant I l

Th é or èm e 1.7 Si (29) est SCll!sJOLle 0 , < 0) a lors le systeme (1 ) es t jocc te me n r a sympIoUqu em enl ~ [a bl l i..<;able a l'ongine pa r la 101de bouclage suiva nte

(33 )

où ( '1 :1 "'/)' = TI l . 1) T est donné par (22). avec Utl cho ix convena ble de , .. 1 =

Pou r pr ouver ce resulta t. on a bes oin d u lemme sui van t

Le m me L B Les composa ntes etc la cco ére cent re li (donn ée par (27) ) du système {24}

en bouc le f ermée UU€C(26) sont des pol yn omes d e d egré ? 3

Pr e uv e ; A pr ion on co nsi d ere t., de s polyn 6mes de de gre :2: 2 alors on a h = (h, ) , 1 ::;:l '5 2 11- 2 a vec

(34 )

On note .~ = (1"1'Prou ver ce lemme revien t à prou ver qu e

" 10= 0 2, =Il,. =0 'V1

Pa r (2BI on a pour tout /' r 1 ~ l '5 2 " - 2, en ne gar dant que les te rm es d'o rd re 2

2,, ·2

2U I I : I : ~ + 02 , ~ ~ + = L /.l},It, +

On rem pla ce l" par (34 ) en (35). on obtien t pa r tden uü cauo n

2. - ~

L fI}' 0 1 ' = Za l}",,1

L ° , , (13, =a2J

(35 )

(36 )

Le sys teme (36 1dort ëtre satrsrau pour tou l " 1 :5: , < 2 11 - 2. com me .-1 est inv ersi b le.a lors " 1. =0 v. , Donc Il~ , =«a. =O. el h, s on t d es polyn ômes de d egre ? 3.0

P reuv e du T h éor è m e 1.7

D'a prè s le lemme 1.8. on a pour tou t r, 1 5 ' 5 2 11 - 2

Id. , ~t = 1,,·1 + :1, '. : ' 1 + j:k: I .;~ + J• . ; ~ -t o( 4 ) (3 7)

En vu de 12 4), on obueru l'equ a uo n rè duuc s u iva nt e da ns la va rie te ce ntre m oduloles te rme s d' ordr e 5

(38)

12 Ch a p . I. Comm~nd(: d 'u n e bifurcation four che de codimension 2

On va es sayer ma in tena nt de s tmpltfter te ch a m p de vecteur s donne pa r (38). pou r ce laon ap p lique u n chan gement de coo rdo nn ées n on linéaire appelé usuellerne nt f ormesnor ma les . on pourra consu lter à ce suj et [23 1Chapitre .3 pa ragra phe 3 ou (61Cha pitre5Les ô-jets de la forme n orma le pour no tr e type de smguta nte s'é criven t comme sun(voir An nexe Dl

{ -:: ~""':+ I,, ;r" ') + o{ l "_ i'I' )Pa r a illeurs on a fvorr Annex e Cl

>'2 =~D, 1 1Jil' l =D:,:. 1Ji'\'3 = 1D.:<I<JI] = 1 n,~:. 1Ji

,\,.= i D.t'JI

~: ~t. g:: ~~,l~ = +r D.t.llJi

Les hyp othèses tH IHH3 j nou s d onnent aussi

(3 9)

(40 )

(4 1)

Re m arque 1.6 L'equa tion (40 mont re bren que la for me nor male preserve les pro­pri étés de sy mét rie du champ de vecteur s . a

Par le lemme 1.6 on a enco re(42 )

Alors on ob tien t ta form e nor mat e s u iva n te

(4 3 )

où ,\,~ est neg anve pa r hypo thès e [291.

D'au tre part. pa r (2 8). les valeurs de '\'5 el l ' ~ peuv ent eu-e assign ées d 'u n e manièrea rbi tra ire par un bon cho ix de coerû cten ts de la loi de com ma nd e h, )2.)3 e t ) 0 ) enfonc tion des va leu rs de ,1.}' 12,.1;" ct dOJOplu s prèct se ment. d'après (28)·(341. on apou r tout 1

1.3 . Construction d 'un f eedb ack s t ab ilisan t

et par ide n ti ficat ion on ob tient

L (", d" + i" I ' + ril l = 0

L ".. i2. + /" " 2 + d2 1 = 3 ;i ' l

2,,- 2

L (l " li). + /'/ 1:1+ d:ll = 2 1.i11

v J , 1 :S J :::; 2 >1 2

13

(44)

où d" = D .f <l>J' d2, = D. :.. 4>I' dl , = D ,,_I1>, et d. 1 = D J'I>J"On va essay er maintenant de chorstr 1. te l que ,\~ et l'~ soien t s tri ct ement néga tives ,Pou r cela, en écnva nt la retatton entre .\. c t 0.. on obt ient

.\3 = L o.cc.c.c.' +1 + , ,, 3

2,, -2 '/" _1

.\~ = L (J'J' (Ct. L l " i l , + C,C , L t"p, ,)IJ ~ ' o . 3 ' . l ,>. ,

+ 2:: , ,< .< ,12::, ,, 1,,+ ,), 1

, .. , 1 .. --2

p~ = L n",iu 2=: 1,,1 '/./' + ,i , , ) + , .( , L 1,, (.Jz, + .i ,, ))l,,, 3 1

+ L ~·'J(.cA L /0:10s;+ -'1)' + Fl , ~ I

(45 )

où c, est la . ème composante de C dans (15 1. 1.1> est la re me composante de 1\1

in tr od u it da ns l 16 ). 0". et ( ./ so nt des cons ta n tes pou r tout l, J el 1

Il est cla ir, d 'après (44). qu e J ]. et ,h. peuven t erre ec rues de la fa çon suivante. pu is que" est u ne mat rice inve rsi ble

! -J,. =C;-" + e;, _ C" ' C" - Co, V , 1 :5 1 :5 2" - 2""/, - 31 ' + . " + ~

où C; est une con sta n te pour to ut 1 et ) 1 $ 1 :5 5 . 1 :5 1 :5 2 n - 2 .En rem plaça n t Li" et dl, par leu rs va leu rs da n s (45), on ob tien t

+ ll/ 2+ .\1. 1 1 + .\J~

Ou Ir est con sta n t pou r toul ' . 1 ~ :55.Ma intenant Il es t clai r qu'o n peut cboisr r ,et ',l tels que

{.\~ c 0

l'~ < 0

(46 )

(47)

(48 )

14 Ch ap , 1. Com m an de d 'u n e b lr ur cBtlon fourch e de co d imension 2

Ainsi. on peut cons idere r la fon cti on sui va nt e co m m e fcncuon d e Lya pu nov d usys teme (43 )

On a V ~ 0 da ns un certa in vois inage dt" z èro el

On vcrtûe que le plus gra nd sous-ensemb le tnvarta n t de pi::;: a} est (0 , 0 ), a lors pa rle Th éo r èm e d e Laô alle [29 1 la s olution (0. 0 ) d u systèm e (43) est asymptotiqu ementsta ble . e t de m ême pou r la solution d u sys tèm e (38 ) par le Th eoreme 1.9 (An nexe BI.Et pa r le Theo reme 1.2 . l'équ ilibr e du syste me (ID) est loca lement asympto nq uem erus ta b le et pa r cons eq u ent le sys tè m e [1) t'e s t a ussi. 0

Annexe A

Annexe A

15

Rappel s s u r les bif ur ca ti on s d 'ét ats stationnairesDa ns celt e a nnexe on présente de s résu ltat s issus de la th éor ie de s b ifurcations d'é ta tss ta uono a tres [voir 1231,1 121, [3 I ll.

Sa ns a vo ir pour objectif de résumer cette th éor ie en qu elques lignes , il n'es t sa nsdoute pa s s u pe rflu d 'in dique r quelques un s de ses rudime nts dans le ca dre ou nousnous plaçons da ns ce tt e annexe.

Soit donc un flOIau tono me dan s R" noté

l' = f~ ( I ) JE R" (49 )

où / es t a nalytiqu e.Le flot est sous la d épen da nce de tou t u n en semble de para mè tres , désigne pa r

p p E R'- s'Il y a t- para m ètre s!Ce se ront pa r exemple ; la tempera tur e T da ns u ne rea c tion chi m iqu e. le paramètre

üexrbte d a ns d'un système mècamque. e tc .Les s olutions du système oequauons alg èbr.ques

1,,1, ) =0 (50)

represeruem Ies pouus Ilxes de ce ûot. c'es t .a .du e les états sta nonnaircs du systemep hysique. Bien entendu, le Ilot peut égaleme nt avoir d'autres so luti ons de n atu redi fférente. com me des solution s périodi qu es . Da ns l'es pace des paramè tres, l'existenced 'une certa in e so lution rep er ah le à l'a id e d'un gra phe qui en dé cril la dépen den ce enfon ction de Il cons titu e Cf' qu 'on a ppelle une branche de s olution ,

Definit io n ( ,2 Un pomt de l'espac e d' Qll érnergenl plusieurs branches est, pa r déjinition.un point de bifurca lloll.

Tr es s ouvent e t pou r des ra is ons hees pnncrpalem ent aux m éthodes d'a na lyse dis po n ib les ,on es t a mené à hmHc r le cha mp d'tn ves uga uo n a u voisinage tmmed.at de la htfurca non. Cette desc npu on local e, au sens mathernattqu e pr ec is, d'une bifurcation ae ngen dre le te rme btf urcanon loca le (qu e l'on oppose à b ifu rca tio n globale)

Cela s igni fie q ue l'an al yse es t focatrsee s ur un e région volon tair ement limit ée autou r d' u ne so lution donnee, e t ne pr en d pas en co m p te ce q u i peul survenir à dis ta nc efirne d e ce lle -ct .

Nous allons rappeler a pre sen t une condition nec essaire de btfu rca uon d'état s tauormau-e .

Proposit ion L I SOI! i, = 0 . 1,,101 la dl [{ér enllelle de 1 en 0 ,51 fa /,,,1 es' un pOlm debifurcation alors -l" est slnguüere

Preuve :Pa r l'a bs u rde, supposo ns q ue A" est un isomor p his me a lors par le th eor em e desfonr-no ns tm pltcite-s 1,,( 1 ) = 0 a UlU" so lu t ion u n ique au voisi nage de (O. flO) .D'où la contrao.cno n avec le fart qu e (0 ~' o) est u n poi n t dt' btfurca uon.

16

ExempleOn suppose f(,I;,p):= LI; -11J: + Y(J:, Il), avec g(O,Jl):= 0 et D,g(O,Il) := O. L est unoperateur linéaire dans un Banach X. Ici AI' := D,f,,(O):= L - p.l d, donc ceci est unisomorphisme si Il n'est pas dans le spectre de L.

Si A" a un spectre discret alors la bifurcation ne peut avoir lieu qu'en des valeurspropres de L.

Notion de codimension d'une bifurcation

Définition 1.3 La. codimension d'une bifurcation est la plus petite dimension perme­tant, dans l'espace des paramètres, d'aboutir à cette bifurcation.

En utilisant la condition nécessaire on peut classer les bifurcations de codimension1 et 2, en évaluant le Jacobien de f, D,f,,, au point de bifurcation.On obtient alors la classification suivante [18] .

• Codimension 1

- une valeur propre nulle et simple

D,fl,:= (~ ~) (51)

Les bifurcations-type dans ce cas là sont

Bifurcation col-noeud: := Il - );2

La solution stationnaire a pour coordonnée x := ±,j{i. Elle n'est définie quepour Ji > 0 et apparait donc en Il = O. Il n'existe aucune solution, stableou non, pour Ji < O.

Figure Al bifurcation col-noeud

Bifurcation transcritique : .i:= Jix :r 2

Il existe deux solutions stationnaires ,1' = 0 et J: = p. La solution x = 0est stable si Il < 0 et instable Il > 0, tandis que c'est le contraire pour lasolution x = p. Il Ya donc échange de stabilité entre ces deux solutions aupoint de bifurcation.

An ne xe A

Cette buurca t ton es t souvent dite bifu rca tion avec écha nge de stabilité.

17

Fi gur e A2 bifu rcation transcrtuque

Difur cnti on four ch ett e : j; := IlX - x J

Les solutions s tationnaires sont x = a et x = ±,Jii. ces deux de rnièresn' étant dé finies que po ur J.I> O. Il faut remarqu er qu e ce tte forme normaleest in va ria n te par la tr an s tor ma u on .e ---->( - x) .Chaque fois que l'on est en prés en ce d'un pr oblème in s ens ib le à une symétriede ré flexion . on doi t s'a tte nd re à ren con tr er ce typ e de bifu rcation.

-r-~figure A3 bifurcation fou rche tt e

- une paire de va leu rs prop res imaginaires pu res

(52)

La b ifu rca t ion -typ e dans ce cas là es t

Dif ur cati on d e H opf : z = (J.I+ vy)z _ zl Z 1

1

Cette fois z est u ne vari ab le comp lex e, tandis qu e 'Y est u n e con stante quin'a pa s le statul d'un pa ra m ètre de l'équation .

On not e qu e ce tt e form e no r male es t I'equrvaleri t complexe de la bifu rcationfour ch ette. Pou r Iarre ap paraitre les so luti on s stati on na ires. on passe envariables rée lles en uuhsam un repere soit cartési en . s oit pol a ire.

Posa nt " pa r exem ple. z = .1 + I !J. la forme no rmale s'e cru alors

1 x = l" - (l'\ !J == ,J-+ ( J.I - + (53 )

18 Annexe A

Outre la solution stationnaire (x, y) = (0,0), il existe une autre solution quiest

x 2 + y2 = Il.

Cette solution définit l'équation d'un cercle dans le plan (x, y), de rayon .jI1.

_ ! vm_,~}

1

Figure A4 bifurcation de Hopf

• Codimension 2

- Une paire de valeurs propres nulles non diagonalisable

[) ,f" = ( (~ ~) 0)

° A

(54)

si de plus j est impaire, on a la forme normale suivante à l'origine (voirAnnexe B)

{.i·= y

.Y= ax 3 + x 2 y

Dans ce cas, étant en codimension 2, le diagramme de bifurcation de cetteforme normale est équivalent au diagramme du système suivant (voir [18])

Par ailleurs, on peut se ramener (voir par exemple [29]) au voisinage de 0 àl'étude du diagramme suivant

où /;;, et /;;2 désignent deux constantes qui dépendent de I"l et j12. Il est clairmaintenant qu'on obtient le diagrarnrne d'une bifurcation fourchette.

- Une valeur propre nulle simple et une paire de valeurs propres imaginairespures:

( (0 0) )D _ W 0 ° 0

.i, - ° ~ ° A(55)

Annexe A

- Une double paire de valeurs propres imaginaires pures et conjuguées

19

D,/,,= ((~ T 0 -~, 10 J (56)o 0 '""'2 0 )

o ..J.

où .Li représente la partie non singulière de D, fi" Le. toutes les valeurs propres de Asont à partie réelle non nulle.

2 0

Annexe B

An n ex e D

Ra p pe ls sur le s fo rmes norma lesSoi t X ( z ) JR. 2 ~ Jf.2 un cha mp cie vect eu rs régu lier S eO} = O. Si on n ote J =.'( 111( : ) Lapa rti e linéa ire de X alors ./ Ind u lt u ne a pp lica tio n adj su r l'espace vect ori elré el H. de ch am ps de vecte ur s compos é par de s polynômes b om ogen es de degr é r ,L'app lica ti on ad j est défin ie pa r

ut/j ( U,) = DJR. - on.t. R. E H,

On a le res u lta t suivant voir [231ou 16 [

Th é orème [.9 SOIt . = .\ [ c] un e équ uliun différcnliell e u vee X (O) =O. On ChOISil Crtell e que G, .1.od /( H.) = H ,. Alors Il existe un cha ngement de coordon nées nnalyfiquf!d ans un UQlsinage de r onglne qUI transforme le sy stèm e

== l'I I' (z ) + \"m (.Z) + +)~ lq (.: )+ ou ir ~ l )

a vec J = ) "1"( : ) c l l " "( i) E G, po ur rour 2 :5 I:s: ,

Pr eu ve :On su ppose qu e D.\"( O) est rèd uue a sa forme de .Inr dan avant de te n ter d 'élimi nerles te rm es n on ltn èaires . On co nst ru il form ellem ent le deve lop pe m en t d e Taylor dey a utour de 0, à savoir

X ( :) = \ ' 1" ( : ) + y I2J ( . ) + + X {J,,( : ) + 0(1: 1'+1)

ou. X," E H" Notre objec tu marntcna m es t dt' const ru ire u ne s utte de trans for ma tionsqu i èttmment s uc cessivement les te r m es non liné a ires no n résonant s en com me n ça n tpar 1 = 2 . La rransforrnauon est de la form e

. = -+ Il,( : )

o u R, E H, ave c 1::: 2 , Comme \ -" '(: + R, ( ~ )) =X" ' ! ;) + (J( I~I"I I pou r to ut 1 ;:= 2, ona alors

Vu qu' on applique ce tte tr ansformauon s uccessivemen t. on peu t s upposer qu'on atransforme les te rmes de deg ré inférieu r à 1. Les nouv ea ux te rm es de deg ré 1so n t

1 11' ( .- ) = S ,o'(. , + DX(O )n, ( ~ ) - DR, ( ~ )1 = .\'(1' (.:) + odJ {H' Hi )

Alors 011peu t chois u- RI telle qu e

En u éruru ce l a lgonthme jusqu'à 1 . on obtien t la form e norma le p récé den te.

On cons idère maintenant .\ 1: ) tcnc qu e DS (0 ) a un e va leur propre nu lle do u ble etn'es t pas rédu ite à la ma u-roe n ull e. Alor s on a le résultat s uiva n t

An nexe n

Pr op osition 1.2 In f orme /Iorma le de .\" es t do nnée pa r

2 1

(57 )

Pr eu v e :Pou r mo n tre r ce res u lta t. 11 su ffit d'tde rutfi e r C,. Ains i. par le Thé or ème 1.9. on ob tientla forme no rm al e vou lueOn essaye d e trouve r un e base de adJ ( H , ). S i ({1 . "-2) uesrgne la ba se ca no nique de.' { ~;" ~~·t. , I I = 1 2; '11 = 1 1: '1 = [ 1: m +ll = f}

cons tit ue une ba se de 111• a insi on calc u le

on conclut qu e

est u ne base de {((I/ ( H, ) avec 2 1 éteme n ts. PUisqu e fi , es t d e dtmenston 2 / + 2.dm>C, = 2 . Alors on peu t cno .str

22

Annexe C

Annexe C

0 11veu t mon trer que >"el Il . dan s la form e norma le (57) son t don nés par (40). D'apr ès(38 ) ct t'ann exe A on doit a voir dan s la première t'l a pe de ra tgorutnne

OU X I21( : 1> a ] = (0 . 11, ,2'( : 1. :, ))' . H, = ( R~ , Hgl' E li , e l L = (z"O )' Ce ci peul s 'èc rt reaussr

{~?2( · ~ ~·' ~'::I _aa~kt:,~=O>.? : ~ + /1'':1 :'

à l oes -gne la d èrtvee par rapport a _ 1_ Si

f ~ = a ll :~ + (ll, : , i, + e' IJ ':;l ~ = (l11 :r + Un ':t Z, + a2J ~~

a lor s d 'après (58) , on obtient

(58)

Ainsi on a

(6 0 )

On peu t a lors dcte rmmer lous tes coef ûcerus dans [39) en ttè ra nt rarg or u h me preceden t.

Chapitre II

Applications

ILl Introduction

Dans ce chapitre. nous présentons l'étude de deux exemples. chaque exemple décr-itun systéme mécanique à flexibilité localisée.

Le paramètre de flexibilité est noté par k. Quand k passe par une valeur ditecritique. le système présente une bifurcation fourchette de codimension 2.

Nous essayons de trouver des lois de commande stabilisantes à la valeur critiqueet qui peuvent éventuellement supprimer cette bifurcation en boucle fermée.

On montre que ces deux exemples font partie de la classe considérée au chapitreprécédent. donc pour le probléme de la stabilisation, on appliquera le théorème 1.7

Dans le cas de l'exemple 1 on trouve des conditions sur les gains de la commandepour supprimer la bifurcation en boucle fermée.

L'étude de l'exemple 1 a fait l'objet d'une publication à IFAC 2nd Workshop onsystem structure and control. Prague septembre 1992 11J.

IL2 Exemple du pendule simple inversé avec flexibilité

Il s'agit d'étudier le mouvement d'un pendule inversé sur un chariot mobile avec unjoint flexible de raideur k. voir Figure 1

Figure 1 Le pendule inversé avec un joint flexible.

24 Cha p . Il . Ap p lic a ti on s

Le système mécanique cons u tuë du chariot et de la ba rr e. Lous deu x con s id èrescom me de s co rps rigides. obé it a ux loiS de la méca niqu e classique. Un moyen d'obteni rla dy na m iqu e de cc systèm e es t d'uti lis er les équations d'Eu ler -Lagra nge. ce qui perm et d'aboutir di rec tement li un sys tème d'équ atio ns di fférentielles non linéai res. Ensc repo rtant à la Fig. L soi!

• x , la position d u cha riol

• M la ma sse du chariol

• r, la vitesse du ch ar iol

• () rangte de la barre ave c la verti ca le

• H 1<1 vi tes se a ng ula ire de la bane

• d la demi -longu eu r de 1" barre

• '" la masse de la ba rre

• If I'ac cèlèrateur de la pe santeur

• u la force appliquée à l'ensemb le du système (1a comman de)

• y le vecte ur d e coordo nnees f • • &. ,t '.. fi

On ca lcu le l'en ergie cm èuq u e ct l'éne rgie potentielle qu'on note respectivem ent T etl'

T == 4,.\1 + 111)), 2 + ~1"dIl 2 dJ + rli cos Il .1 8

P == myd cos fl + ~uP

Le mouvement es t regi pa r les 2 equauons d' Eu ler SUIva n tes

!!..!::.. + IlJ ,oi.7iii

o u le La g ranqren s'ecru 1. == T _ P o n a do nc

(I I

{21

131

f41

(.11 + " ,)1, + IOIr/Beos IJ- ,,,.J(Of s in O

~lIIihP + lllel.1-;cos ê

ce qui s'éc ru vectcr tettemeru

151

{61

( A1+ '" """O'')(',) ( ,,,,W' ,,n ' \ ( ' )nl( / cos lJ ~"I<[J li == ' '' !l d Sin /l - /'H ) + 0 Il ( 7)

U .2 . Exemple d u pendule s im ple Inve r sé avec lleJdhlllt~ 2 5

L'éq u a tion (7} fa il pa r tie de la cla ss e cons id eree a u ch a pitr e pr ece den t. en effel onpeut écrire (7} de la façon su tva n te

f == CL. 8)'JI '. _ ( M+ m /IJ(/c OSB)

) - md cos 8 ~nl(p

l' t.f . k) = 0 )lllyd s in O- kf!

Hldfl?os inO)l ' J . j ·) ==

01 = ( ~

(8 )

(9 )

Re marque Il .1 Il es t fa cile de voir que le systeme 18) veri fie les hypo th ès es (HIJ-( H4)d u chapitre preced ent. 0

On s't n t èresse a la s tabili sation du ponu d'eq uili bre X, == (O. O. O. 0)' . Je cha riot es t li.la positi on x = O. le pend u le est li. sa pos ition verti ca le instable .

Montrons mai n te na n t que le système (I I exhibe u n e b ifur ca tion fou rche en bou cleouve rte qua n d Ir == kf)'

Plu s p récisé men t on a la p ro pos ition Su iva nte

Proposi tion II.I Quand ~' = ~ f) ::: myd le s ys tème (B) exhi be une b!{urcot ionjourch een boucle ou cene a u voIsin ag e du poin l d "équi ll bre .\". . en e.oel on t:I

• qua nd k > ko. .\ , es t le se ul poi ru d"êqw llbre 1'( il l'si sla ble

• qu a nd j; < J.o . le systeme (1) a trois po in ts d'équihbre .\ , est inst abl e, X l et .\"2sont stables.

PreuveL'équ ilib re es t d on ne pa r le syste me déqu at tons autva nt

Dans le cas au to nome, (1 = O. cela devte ru

g(O.q == m'ld sin (H) HI = 0

O n con s ta te q ueq( - IU) = '1(O, l-l

Il es t cla ir que

( 10 1

( I l )

(1 2 )

( 13)

26 Cha p . n . Application s

( 14 )q{6, k) ~ (ko _ "lB _ n~d fP + 0(5 )

el compte tenu de la prcpr terè de symétri e. toutes tes d èr tvèes parr es en a d u develo ppem entde Tay lor de 9(6 . k) so nt nulles

On obtient donc

On vo it tne n que!ln(O.kol := 0 ( 15)

où 9" d ésigne la dè r tvèe de U pa r ra p port à B.La co ndition n éces saire po u r t'ext s tcnce d 'une bifu rcati on es t bien ver ifiee.Noton s qu e. au voisi na ge de e=0 et t· = 4 . on a

( 16 1

ce qui nou s amène à dire qu 'on a u ne bifurcatio n fou rche (voir a nn exe A).OConfo rmemen t à la re marque 1.2 d u chapitre préc èden t. il est fac ile de voir qu'o n

a le lemme s u iva n t

Lemme 11.1 Pour un poil1l (j"équilibre .t saltsjaisafll (10 1. s i 0/1()

( 17)

a lors (a bifurcati on d isparall en bou cle fermée.

II .2.1 E tude d e la c o m m a n dab ili tê

Il .2 . 1. 1 Et ude du lin é arisé t an gent

On com me nce par ra ppe le r un resultat s ur la commandabtlnè des s ys tèmes ltn èat resdù li Kalman 126 1

Thé orème II .2 SOl! le sest èmej:;:: .-t J + B II

DÛ r E: R" e t " f R' Ce sy:<;lè me est commarldable si e l seu lem en t si

'tllllJ(C) ::: "

où C est la matnce de cOlll11laTldabililé

C ::: [0 .. -l8. ,eo. 4" IRI

En ne gardan t qu e les termes tm ëa tres da ns (7) on obt ient l'equa tion approchéeSUiva nte

( MIl~dm i:::;f )( ~ )= ( mYd~ _ k8 ) + ( ~ ) u ( l B)

en notant [ la ma tr ice SUIva n te

( cil + '" "'d),,,li ~",tl'

( 19 )

U .2 . i';x em ple du pen dul e s im ple Inver se avec flexi bili té

On ob ue ru d onc

d'ou. o n a alors

( ,- ) - t ( " )fi - m gd(J - kil

r ' __1_ (,m,P -md )- Jel( f ) m e! Hl + M

dd(l)::: mJl ( 4 ~1 + m )

En re m pla ça nt { _ I par son expression, on obti ent

(", ) = ( ~ ::':, I "",d - '1 8 ) + ( ; ;::::, ) ,ft ~("' 'Jd -k) 8 ~,;';;', 1

S I l'o n note

ct' qu i d onne en ré present a tion d 'etat. ou X =\J'" B. r . (1)'

d e la forme

X = .-lX + HU

27

(20)

(2 1)

(221

(23 )

(24 )

(25 )

(261

Elu dions la cor nma nda brute du ïtn èa nse (25), en a p pliqua n t le ern e-e de Kalman 12 6 1.on ob tient la matrice de ccmma ndabtttt é su ivante

oo

0 . 2 ( (-0 q- Cl I U 2 (("0 - k )

D'ou on en d éd u it que

(2 7\

• S I k t- 1.:0 =- .-y(e ) = <l et donc le systeme es t co rnma ndabre.

• s . ~. 0= 1.:0 ~ ,·y(e , :;. 2 e t on perd la co mmanda bthtc pour le sy steme ap proche .

28

Il.2.1.2 Etude du système initial

Chap. II. Applications

Avant de résoudre ce problème, rappelons brièvement quelques notions sur la com­mandabilité des systèmes non linéaircs [251.

Soit f ~">( IR" llf." C'xe et soit le système suivant

avec f(O.O) = O.On a la définition suivante

.i' = {(.r.II) (28)

Définition 11.1 Le système (28) est dit STLC ("small nrne locally contrallable") si l'ensemble

des points qu'on peut atteindre uoec une commande petite el en un temps petit contient

un voisinage de O.

On note L, l'algèbre dc Lic pour le champ /(.1' Il) avec Iluil < f. On a les résultatssuivants

Proposition II.2 /2.51.121/STLC -:~ L. (0) = IR"

Théorème II.3 /1.5/La réciproque esl vraie dans le cas où le s!Jstème est impair:

Dans le cas où le système est affine en la commande Il t.e de la forme{(.l') + g(.r)u (c'est le cas pour notre exemple et les systèmes mécaniques d'une façongénérale). le résultat de commandabilité non linéaire locale et forte se traduit par lefait que le rang de l'idéal de Lie engendré par 9 dans l'algèbre de Lie engendrée par fet 9 en 0 est plein [251.

Voyons cc qu'il en est pour cet exemple. soil

où

(il

/1'(X) = det(el ·1~,,,rl-I.'_w,,,nIHI - IlIdcos(H)(kosin(fJ)

dd(e\ + (:\I + 1II)(k 0 8in (I1) -

(29)

(30)

(31)

avec ./,g ~4 ,~4 analytiques et ./(0) = o. g(O) "j 0 ct /1 E K et clet(l1) désigne ledéterminant de la matrice d'inertie [(11).

Soit

1/ (0)=( ~)1/:,-([1

(32)

Il.2. Exemple du pendule simple inversé avec flexibilité

el on obtient pour le premier crochet en 0

1f,](O) = (T)

29

(33)

mais le crochet Lt, [f, 9j] (0) est nul si X = 0 ct k = ka et de même pour les crochets[I. [I. [I.g]]](O), [g, [/,g]](O),

D'où on en conclut que

• si 1.. of 1.:0 =? au voisinage de 0 l'algèbre de Lie en 0 = ][l&4 donc le système estsne d'après le Théorème de Bnmovsky [151.

• si l: = ka =>le rang de l'Idéal de Lie en 0 est 2 [on a la meme perte de rang quepour le linéarisé quand 1.'= 1.'0) el donc le système n'est pas STLC

II.2.2 Etude de la stabilisabilité

Dans le cas où k est différent de ka le linèartsé tangent est commandable donc lesystème est stabilisable par bouclage linéaire en l'état [26].

Dans le cas où 1.. est égal à la valeur critique ka, on appliquera le résultat duchapitre précédent.

II.2.3 Construction d'un bouclage stabilisant

L'étude a été faite en trois étapes, On commence d'abord par effectuer un changementde variables linéaire qui nous permet de séparer les modes commandables des modesnon commandables. puis par un premier bouclage linéaire on stabilise les modescommandables, il nous reste alors à déterminer la partie non linéaire du bouclage.c'est à dire la partie cubique.Étape 1On développe au voisinage de 0 la fonction FI (X. u) quand 1.'= ka el on peul proposerle premier bouclage statique u = ko f}2 sln(l1) + ('pour simplifier la suile des calculs.On obtient l'équation suivante

(34)

30

OÙ (l , e t " 3 son t donnes par 124 ) el

Chap. II. Applications

(35)

Étape 2

On effectue un changement d e var iabl es linéa ire qui nous perm et de séparer les mo d escom ma nda ble s des mod es non commandab les. On calcu le un pre mier b ouclagelinéaire stabilisant les mod es co mmandables . En s u ite. par les techniques d e variétécentre e t de formes norma les . on oeterrrunera la partie no n linéaire du bouclage s tatanisant.

E n effec tuant le chang emen t de va riables sui vant on obti ent

(3 6 )

(37 )

le système (71devient

ou les co ns tantes 0 , _O } . '" [ e l , 'l sont données par

10 , = a, b, - a, b,0~ =" 1(" + «JU}'1' 1 =((:\CI - 11' <:2

,;'} = 01 <"1 + (13 (2

Com pt e tenu de (24) et (:'15). 11es t facile de voir que

ln , > 0(J } < 0" , < 0'" 2 > 0 si 2 :\1 > III

(3 9 )

(40)

11.2 . Exem p le clu pe n dul e s im ple In vers é a vec Oexibllité 3 1

Vu qu e M es t la masse du ch ario l et r» es t la mas se de la barre. la condition 2M > ri!

es t assez rea list e et peu l e u e satisfait e tou t le temps. En a ppliq ua n t u n premierbo u clage Itn èat re qui st a bilise les de ux mod es co m ma nda b les. pa r exem p le '

Êt ap e 3Via les tech n iqu es de la va r.ete ce n tr e, s ta bilis er le système (7) qu a nd k ::: ko revient ast ab iliser le systeme (42 ). On obtie n t. ap r ès u n ch a ngemen t de n ota tion I 3::: l j .i 4 =; 2 _ I'cqu a non approch ee SUivante de la va rtè t è ce n tre

• .rI ::: h l( z" 22) avec hl (O) ::: 0 ::: D h, (O) où il i es t a pr iori u n polynô me de d egresupérie u r ou ega l a 2

• '; '1::: 11 2 ( 2 1, :2 ) avec 1J1(O) = 0 = D h2 (O ) où /11 es ta priori u n poly nô me de d egr ès upe rie u r ou ega l li 2 .

/' 1 el hl s'ecnvern a lors

h l l ' ) , ; 1 ! tloJ: J + Om: I: 2 + (Jro.;; (4 3)

+0 . ~ ~ + "~ ;~ :1 + /l3 '; 1';~ + "4 ;~ + 0(4 )

h 'I ( :I _ ~ » = 1u 1 ';~ + i1rn : J :2 +UOJ';~ (44J

+ 1, : ~ + I.l:~ :2+ 1:1 :1 ;~ + .j~ ~~+ u( 4)

h, el h, v ènâcnt les deux eq ua uo n s aux o èrtvees par tielles s utvanres

J il l Dhl.1'1 = a;- : I +s:: (45 )

. àh2 àh 2-'"2=~:l + 7h;l2 (46)

Pou r etudier la dyn am iq u e en bou cle fer mec sur la vartë tè centre, il est nécessai re dedonner a prio n u ne exp res sion de la loi de comma nd e n- dans (41 ),

Com me au ch apitre pr écèden t. on chot su d onc H'de la form e suivante

{4 71

D'après (45).(4 6) , les coe tûcrc rus (\ 0 .. 0 .. " , et 11, vertûe r u les èquauon s s u ivantes

32 Ch a p. Il . Ap p lications

(48)

(49)

ISO)

(5 1)

Rema rque n .2 D'après 148} el [49 1 h l el h., s ont en fait des polyn ômes d' ord res upéri eu r ou t'ga l à 3. 0

D'après res techn iqu es de formes normales el les equat tons 1501et [5 1). on ohttenrréquauon dy narruq u e SU I' la va riete cen tr e

(52 )

[5 3)

Th éor~me 1104 Quand k = ko le systêrru> (52!. el p ar conséquI'n1 le sys tème (7). estsfablllsa/)/e l'a l' une comma nde de to forme

(54 )

où .\' es t re li é a .\ pa r {36} et

(55)

Il .2 . gxempte du pe ndute sl mp te In ver s é a vec fi r:xlblll t é

te s cons tante s 0' , er0" 1 :; 1. , 4 , définiSs a nt la va riété centre. sa tisfo nt à

pr euveIl es t faci le d e voir qu 'avec Cf' choix d e-garris on a

En p rena n t la fonction de-Lyapunov propos ee a u cha pitr e pr éc èden t.

on obtien t la s ta bilité asymptouq o e locale de l'or igine du sys te me (71.

33

(56)

(57)

II .2.4 E t u de d 'une c o m man de s ta b ili s ante qui é li m ine la bifurca ­tion en boucle fe rmé e

Il s 'ag it de trouver u ne 101de com man de qu i vér ifie la co nd ition d u lemme [1.1

Pou r cel a. on com mence par voir comment cet te co ndition se t radui t su r les gainsde la comman de -j., Reprenant rè quauo n (54 ), sen

(58)

En éc riva n t cette éq ua tion da ns les coor donnees d 'orig ine , on ob tien t d'a prés la for mede T

- ( (I ~ I" . Il, BI - l (l ;, 1 - a , (I ) -t- - , (OI I , + u:<tI)J + (59)

-/2IIl,J . + (l J H )~ (lI IJ , + (' J8 \ + h !o ,J , + (' Jf/ H u, .!., + uJ f:l 11

+ , . (0" -+ ui!)J

A l'équi lib re l'équa tion (59] s'é crit alor s

Sans perte de ge nc raut è. on peul s u ppose r que le cha riol es t à ., = 0 qu a n d lependu le es t a s a posru on vert ica le.

Alors l'équa tion (60 ) devient

Il es r ctarr mamtena ru que " ven fie le lemm e Il. 1 si et seulemen t 51 " , :::: Q.

34 Ch ap . Il. Applic ati on s

Ten tons par exemple de tr ouver une 101de commande s ta bi lisante et qui vérifie

-» == O.D'après l'é quation (53). on voit bien que I l n'agit que sur v.Do n c comme). < O. le fa it que ) 1 so it nul ne oès tabtus e pas le systeme.En effet. quüe a ré trécir le domaine de stabilité on peul touj ours consi dérer la

même fon ctio n de Lyapunov

Il es t c lair que quelle que son le s igne de 1/. on peut t rouver u n vois ina ge de 0 surleq u el V ? O. On a de plus to ujo u rs

Il en rés u lte la s tabil ité asymptotique local e d e l'or tgm e du systeme av ec une corn ­man de qui verifi e 1 = O.

Autreme nt d it on peut trou ver une commande st ab tus a n te et qui èhrrune Labifurca uo n en bou cle ferm ee.

II.3 Exemple du double pendule inve rs é avec flexibilité

L'exemple 2 con s is te à s ta bilise r la posi tion d' équ ilib re verti cal e t inst able d 'un doublepen du le invers é. Sa ns per te d e gén érali té . on peu t supposer que les deux ba rr es sontiden t iqu es .

Les deux ba rr es soint Joint es pal' un ressort de rai de ur l; voir Figure 2En garda n t la m ème notation qu e celle- a doptée pour l'exemple 1. il es t fa cile de

vou- qu e CCl exem ple fan partie d e la classe co ns ideree au ch ap itre pr écédent.En effet. la dyn ami qu e d u systeme pe u t s 'ecri re de la forme {8l. ou on n ote

l = (L . B, ( 2)'

(

.\/ +2 111f( . ) =

b. = (g

(62)

ou / dèstgne le moment crm er üe.Ce syste me ver rfie les hy poth ès es IH IJ-[H5) du chapit re pr éc édent

li A . S im u la t io n s nu m èrtqu es 35

La vale ur c ritique d e k es t

ko :::: ~m9d (63)

Pour l'e tu de de la comma ndabi lité de ce système. on pourra con su lter [151ou [41Pou r statnnser la posuron verti cale ins tabl e du pe ndu le q uand k ::::ko• on appli

que ra le res u ltat du cha pitre préc édent.

"

'.

Figu re 2 1, double pendu le inverse avec un ress ort .

lIA Si m ulation s numériques

Da ns cett e section. on présen te des si mul a tions pour les deux exemples 1 et 2 quandA = 1..0

Comme pré vu la loi de com man de. catcutee a partir de ratgorunrne du chapitre 1.s ta b ilise a symptou qu cment rè qutnure voir Fig. 1 (pour l'exemple 1) et ~'!g . 2 (pou rt'exem pte 2) .

En plus. des résulta ts de s im u la tions mont rent q ue da n s le ca s de l'exem ple 1. lefa it de rajou ter une par ne non un catre fi. la loi de commande Itn éatr e s tab ilisa n te pou r~ proc he de ko arn ehore ne tt eme n t le com porte men t tr ansitoire vo u- FIg 3 ct a .

36

• ,1~!IIl~lIIITlJIIlII~mt t___ _ Xl" ..

Chap. Il . Appli ca ti on s

rlll~Tmm:rlllnn,T~lllmlr~IIJIT1~. t."

Flgu r~ 1 Cou rbes r. et ft [exemple Il

Il .4 . S im ulati ons num ériques

- ------_._--,

, ~

~~,=J._.__ , •••,, ~ .S ," " ' " ' ' "';:. 10 . ... . .

37

:~~-~~.~I ,

~__ , .. .":••• •••,,,•• B.. 10:",..

Fsgtrre 2 Cou rbes .te,. 0, el (}2 (exe mple 2)

38 _ Chap. II. Applications

2 0 (r~)

Figure 3 Courbe e [commande linéaire).

_~L"5 k_.,,_•• _._

figure 4 Courbe e (cornmande linéaire 1 non linéaire).

11.5. Conclusion et perspectives

II.5 Conclusion et perspectives

39

Dans cette première partie, on a établi un algorithme systématique de stabilisationpour des systèmes mécaniques exhibant une bifurcation fourche de codimension 2.

De plus on a constaté d'après les simulations que le fait de rajouter la partiecubique à la commande linéaire quand on est proche de ka améliore le comportementtransitoire des solutions. 11serait intéressant de pousser l'analyse de ce phénomène.

Un autre point qu'il serait important d'examiner en perspective est la possibilitéde supprimer la bifurcation en boucle fermée dans le cas général. Comme on a vupour l'exemple du pendule simple inversé, il suffit d'écrire l'équation de la bifurcationen boucle fermée pour résoudre ce problème.

La même idêe reste vraie dans le cas général. La difficulté dans le cas généralréside dans l'obtention de l'équation de la bifurcation après bouclage. Un peu plusd'investigations dans cette direction est souhaitable,

40 Ch ap. Il . Applica ti o ns

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Deuxième partie:Commande non linéaire d'un robot hydraulique

Table des matières

Modélisation 471.1 Introduction 471.2 Modélisation 47

1.2.1 Transfert courant-tiroir 481.2.2 Transfert tiroir-débit 481.2.3 Transfert débit-pression 501.2.4 Transfert pression-variable articulaire 50

1.3 Modèle pour la commande 511.3.1 Modèle simplifié de la servovalve 5]1.3.2 Modèle equivalent du vérin 51

II Commande non linéaire d'un robot hydraulique 55ILl Introduction 5511.2 Rappels mathématiques 57

11.2.1 Stabilité exponentielle 5711.2.2 Stabilisation semi-globale 58II.2.3 La théorie des perturbations singulières 58

II.2.3.1 Modèle standard à horizon fini 58

11.2.3.2 Modèle à horizon infini 59

11.3 Commandes de type Lyapunov 60

II.3.1 Rappels sur les techniques de commande utilisant la pas-sivité pour un robot classique dans le cas idéal 60

II.3.2 Commande par passivité avec observateur de vitesse 6211.3.3 Commande de type passivité d'un robot hydraulique 63

[1.3.3.1 Etude de la loi de commande dans le cas idéal 6311.3.3.2 Observateur de vitesse par une méthode utilisant la

passivité 7011.3.3.3 Observateur de vues.se (version Teel et Pra lv) 77

II.3.4 Commande de type cascade 7911.3.4. J Application au robai hydraulique 79

11.4 Commande de type linéarisation 801I.4.1 Computed torque pour un robot hydraulique dans le cas

idéal 8111.4.2 Observateur de vitesse pour le robot hydrauhque a partir de

rapproche hneartsauon 83

45

46

11.5 Simula llons n um ériques11.6 Concl usion et pers pecnves

Table d es m et t êr es

!l494

Chapitre 1

Modélisation

1.1 Introduction

Dans ce chapitre nous commençons par décrire le robot TITAN qUI a eté la motivationindustrielle initiale de ce travail. Le robot TITAN est un bras à 6 axes de la sociétéaméricaine SHILLING. et représente le bras esclave d'un robot télémanipulateur.

Ses actionneurs sont hydrauliques 4 vérins rotatifs. un gyrotor (vérin rotatif àrotation illimitée) et un vèrin linéaire. Les 6 vérins sont commandés par des servovalves qui sont commandées en courant. Le bras représenté à la [lgure suivante estprésenté en détail dans 141.

Figure 1 Le robot TITAN

1.2 Modélisation

Nous nous interessons en premier lieu a la partie hydrau hquc. plus à lamodelisation d'un verrri commande par une servovalve. La est elle-mémé'piIotéc par un courant que nous noterons 1 Comme le verin a deux chambres. laservovalve dispose de deux sorties en dèbit notees dl et d2 Le transfert entre 1 et les

Ch ap . 1. Modelisation

d, peut se d ecom poser en d eu x étages en in trodu isa nt la position du tiro ir x, de laserv ovalv e. On a donc

1.2 . 1 Transfert co urant-tt rot r

Il s'agit d u pr emi er ét age de la se rvovat ve. Cel i'lagf' peu t ton géll t"ral se mod el iser parun tra ns fer t linéaire du se con d ord re voir [ 18 1. On a alors

( 1)

OU A I ct ), 2 s ont des donnees du constructeur.

Re m a rque 1.1 Ce transfer t est tr ès ra pide . et pe u t parfois se modè lise r par un gains tatique. 0

1.2 ,2 Transfert tiroir-déb it

Il s 'agit d u de uxièm e etage de la s ervovalv e. Ce transfert es t s tauquc . Sion désignepar dl le dé b it qui a limente la chambr e 1. on a '

(2)

OU d2 , ! es t le d ébil en voie 2 el d l, 1 es t le dé b it en voie 1 Ivotr Figu re 3 An nex e B).

Deux types de p henomenes so nt pris en com pt e

• Lo rsque l'on est e n recouvremen t. la valv e trava ille su r ses rutt es el l'équation dudébit co rrespond à ce lle d 'u n eco ule m ent laminaire (voir par exe m ple 16]). E ll es'ècnr alors

(3\

• Lor sque on es t en découvr ement. l'é quation d u debit correspond :'t cel led'un ècoutemeru tu rb u lent e l elle s 'ec rit lvoir- par exem p le 1181 ou [6 11

(4)

reïa rgeur de la se cuon dt' pa ssa ge

• j, : je u du ti roi r

1.2 . Mod é lIsation 49

• c,,=coefficiem de debit [calcule il. parur d 'une table ACSI. [71 issu e de donneesexpc>rirnen ta lt's )

• /.:,=coe fficlen t de conti nu ite découvremen t/ rec ouvr emen t

• ll1"=d lffêren ce de pression

• Ae.flow n u m bcr

• ~=vjscos ite dynamiqu e d u üutd e

• vevtscosn ë cinéma tiqu e d u flui de

• p""ma ss e volurmque d u flu ide

• , ,=s eetion de passage

• .l, '" di amètre de l'ar ro n di

• d.=d la mètre de urotr.

Remarque 1.2 Le ca lcu l /.:, se fart à r , = ü en im posa nt l'égali té ent re déb it ded ècouvremenr el deb tt tic recouvremen t d'ou la co ntinuité. G

D'a u tr e part ~ i la VOle 2 est en d écouvrement. la voie 1 es t en recouvremen t (voirF'l ~u re 3]. Don c on obtie nt

(5 )

e l

dl," = l2;I~l:I:,~:Pl', )Or en cas de recouvrement on a la formu le su ivante

el dans le ca s ccn trarre. on a

sillon ,Le debit q u i a limen te la chambre l s 'éc rit a lors

d d f2 IZ. 'lrd'J/lJp1= (" 'Ir , rj V ~ V /)P -1 21-l ' ! ' +""""T,)

Su ivan t le s igne de r" on peut enc ore ex prime r d, rie la façon su iva nte

(6)

(7)

(8 )

(9)

Sl .l , > a ( 10 )

Ifd,d f2dl = 12~T:G+I0 (P I ~p, ) - c~ rrd, û Vp ..;p::=p; s i r , < 0

ou /1 est la pr es sion d'aumeu tauon el p. est la presston de retour.

(l I )

50

1.2 .3 T ra nsfe rt d éb it-pre s si on

Chap. J. Mo dé lisation

Il s' agit d u mod ele du v ënn. Deux type s de ver tu s s on t rnodèltsès Ilméa tres ct rot ati fs) .Les èqua uo n s du verin so n t si m ples li écr ire. Elles pe rmettent d'ex prtmer la va r!

a uo n des pres s ions dans les chambres du vérin en fonction des débit s en tran ts etsortants .

Nous co ns idero ns ICi le cas d'un vérin linéaire. pour les vér ins ro ta ti fs , les ca lcu lss on t s imilaires.

Ces èqua tfons s 'obtie n nen t en écr ivant la conserva tion de la masse. et en faisantinterven ir le débit d e co mpress ib ilité qui s 'exprime en fon cllon de la va ria tion d e lapression (on peul voir 161Chapitre 51.

On ob tie nt

{Ii i = t7(d] -:-5 1, \ ' dl)P-l = t; (5'2.\ - d2 +d. - d ,) ( 12)

où dJ re présen te les roues in ter n es . d, les fu ites exte rnes, H le module de compressIbllit é, V.le volu me de la cha mb re j et .\' la vitesse linéaire du vér in.X es t re ttee il (i pa r

( 13)

ou q es t le vecteur des coo rdon nées de posi tion a ng u la ire du ro bot et brlJ(liJ es t le brasd e levier pou r u n vé rin hnea tre (voir Ann exe Al.

Da n s le ca s d' u n vér in r-ota ti f', on a

( 14)

On n égligera les fuu es da ns récrit ure d u mod èle pour la co m mande.

1.2 .4 T ra n sf er t pr css to n -va rta ble a rticula ire

Ce" transfer t corres pond à l'équa tion mecanique du rob o t

ou le co u p le r, es t rché a la pres s ion dans le cas d'u n vérin linéa ire pa r

Dans le ca s d' u n vér in rota tif. on a

ST, =2;- (1'1 - 1". )

( 16)

(17)

ou S es t la cylmd reePour otnemr un mod ele compter du robot. il fa ut mettr e bou t à bou t [es t ra n s ferts

ct -dessus. De façon sc hématique . le tra ns fert en tre les entrees (cou ra n ts ) et les sor ties(posn ron du rob ot) pe ul s'éc ur e

1 ; ri • /' ~ r - (/ ( 18 )

1.3 , Mod è le p our la co mman de

1.3 Mo d èle pour la c o m mande

5 1

Le modeJe meca ruque ne prés en te pas des difficu ltes pa r ticu lières , A cau se de sfa ibles Vitesses prévues et d e la géométr ie d u robo t. ce rta tns cou plag es pou r ra ien têtr e négligés ,

Le modèle du vérin se prete bien à la comm an de, ca r il n 'es t pa s diffic ile . paru n p remier bo uclage en dé b it. de se ra mener à un e équa tion linéa ire en press ionu niqu eme nt ,

On n ègng eea . da ns le modèle du vér in, les debi ts de fu nès in tern es Cl exter ne s .

1.3 . 1 Mo d è le s im p li fi é de la se rv ova lve

Le modèle qu 'on a cho isi pou r la serv ovatv e cons is te à négliger le cal; reco uvrem ent.En effe t. dans cc cas le déb it es t proportionner a ;. 3 cr j, est égal à 1.5 IQ- b Pou rles équ a tions da ns le cas du d écouvreme n t. on pre nd comme le font d'h ab it u de lestiyd ra u uc ten s . u n e valeu r moyenne pour le coe fficient de déb it c, . Ens u ite on pr endle mod èle su ivant co m me mod ele de la se rvovalve

d= /\ / JhP

OU JI' es t un gain const ru cteu r, il es t esurm- à

A ::: 1 4 9 10 ~

1.3 .2 Modè le é q uivalen t d u vé ri n

En fai sa n t les changemen ts de va rta ble s s u iva n ts

da ns le cas d u ver tu linéa ire. cl

da ns le ca s du véri n ro ta tif, on obtien t u n vérin eq u ivalent d'équ a tion

po ur u n vérin nnca tre. Dan s le ca s d 'un véri n rota tif on a

ou , o'a pres ( t g ]. on

( 19 )

(20 )

(2 1)

(22)

(2 3 )

(2 4 )

(25 )

(26)

52 Chap. 1. Modélisation

sachant d'après (10)-01) en négligeant )" que suivant le signe de x" on a

0PI = ]J" - PI si x, > 0 ou Pl - P,. si c, < 0

et idem pour 0P2'

(27)

Remarque 1.3 Il est important de vérifier la continuité du modèle (19) en x, = O. Eneffet d'après [181 lorsque l', tend vers 0 Pl tend vers~ et par conséquent

d'où la continuité de bp et par conséquent la continuité du modèle.

En remplaçant dl et d2 par leur valeur dans (23), on obtient

où

et

(28)

(29)

(30)

On obtient la meme èquauon dans le cas d'un vérin rotatif à une constante près.D'où on obtient le modèle suivant pour le robot hydraulique

{J'!(q)q + C(q.q)(j + G(q) = cx])

cp = (I1q+ 021

où, dans le cas d'un vérin linéaire, on a

527f

(31)

(32)

(33)

dans le cas d'un vérin rotatif.Remarque 1.4 Comme le module de compressibilité B est de l'ordre 109 on voit bienque par un premier bouclage en pression on peut rendre la dynamique de l'étagehydraulique trés rapide el on pourra donc appliquer les techniques de perturbationsingulière. 0

An ne xe A

Annexe A

Exp ression du bras de levi er

53

Figu re 2 Configurations géométriques el not atio nsUn simple calcul trigon ométrique per me t d'établir le lien entre .\ el '1 pour un ve rinlmean-e et d on c le bra s de levier a pour expression

/l'il = L Sin(rP - (/ - -,)

ou est une constan te .

Annexe B

54

;'~~~. l~' .[lJ.~~

~

S-3 lvl XI-- ---

"" ~~.. ··~·1 r­il.. '~1 ,~~~" ,. j- ~yL_ retour Q' P,

- --0-----

a/illlentatiol! 1Qa\ l'a

6~f--!'~'\~

\~. --- 4~L .. '

-----~--figure 3 La configuration scrvovalve-vcrm.

Annexe B

Chapitre II

Commande non linéaire d'un robothydraulique

II.1 Introduction

Plusieurs questions relatives à la commande des systèmes hydrauliques ont été traitéesdans la liu.èraturc.

On distinguc essentiellement deux méthodes

• celles qui considèrent le modèle linéarisé .

• celles qui prennent en compte le modéle complet non linéaire.

Dans [l31. N. H. Mc Clarnroch considère le modèle linéaire de l'ensemble servovalve­vérin.

L'auteur complète cc modèle par un modèle mécanique qui comporte éventuellementdes non linéarités (de type raideur par exemple). La commande proposée est unbouclage linéaire en pression et en position.

Une approche adaptative est donnée dans [81. Elle repose sur un bouclage linéaire.Dans [26] on propose une étude comparative [du point de vue numérique) de trois

types de lois de commande la première est un PD. la seconde est une approcheadaptative similaire à celle de [81 et la troisième est unc commande en cascade quiconsiste en un bouclage linéaire complété par un feedforward.

Une commande de type Computed-Torque est proposée dans [17]. Le point irnportant de cette étude est l'introduction d'un bouclage en pression qui améliore nettementles performances.

Il est à noter que meme si ces études prennent en compte des modéles non linéaires.elles aboutissent le plus souvent à des lois cie commande linéaires.

En utilisant la technique des perturbations singuliéres. on propose ici une loi decommande non linéaire pour le robot hydraulique.

Celte loi de commande consiste en un premier bouclage en pression rendant ladynamique hydraulique trés rapide. puis en un second bouclage (obtenu à l'aide destechniques de passivité) stabilisant la partie mécanique.

55

56 Ch a.p_ Il . Com mande n on li n é air e d 'ull robo t hy drau Uq u e

L'a pproc h e ba see sur les tech niqu es de pas s tvrt éa ret en u beaucou p d'a tte n tion cesde rn ières annees. ca r con tra iremen t a ux techniques class iques de la com mande d'unrob ot (com put ed torq ue pa r exemple]. ce tte a pproc he ex ploi te les s tru ct u res phys iqu esdu robo t.

L'idee de base consiste il con sider er l't'rlergle na tu relle du systeme comm e fonc tiond e t.ya pu n ov.

Dans la prati que. pou r ela bor er ce type de loi de com ma nde on a beso in d'unboucla ge en vitess e. Ma lh eu reus emen t. les robo ts en gen ér a l s on t équ ipes de cap teursde pos i tion de tr ès bonne pr ecision ni ais les mesures de vite sse son t obtenues pa rd es gén éra t rices ta chym étrl que s qu i SOIII t rès se ns ibles aux bruit s de mesure.

La présence de tels brui ts limite s ens tblemcnt les perfor ma n ces de la loi d e com ­man de el peul aller ju s qu'A d ès tabüts er le sys tème.

Pou r rés oudre ce prob lème, li est na tur el de construi re un obs erva teu r qu i u tili sela bo n ne in forma tion su r la pos ition pou r recons truire la vitesse.

Oa n s le ca s d'un robo t cla ssiq ue, plusieurs so lu tions â ce problème on t ètè p ro poséd a ns la littéra tur e. On distingue de ux strategies, u n e s tra tég ie se ba sa n t su r lestee h n tques dcs surfaces glissa n tes (Can udas de wtt er Sïo nue 1121.Slottne et a l. 13 01,Bergh u ls et Nijmeijer (9)) et u n e autre stratégie sc ba sa nt su r les techniques d esgrands ga ins fTorna mbè 1331. Nicost a cl 'tomer [24 1. "reet ct Praly [32J. Esfandia ri elKha lll (I 511.

Da ns [1 II. Ca nu das de wt t et a l. proposen t u ne co mman de de type co m p utedto rque cou ple a vec un observateur non tm éa tre où on rem p la ce ta vitesse pa r sonestimee da ns l'expr ession de la co mmande, Sous cert a in es condruons. Les auteursprouven t un e stabilite loca le exponentielle,

reco sia et 'remet da ns 124J pro pos en t li n obse rvateu r 11011 linéa ire pou r le sys tem een bou cle fermée et. prouvent u n e stebnnè asyrnptonque locale .

En int rodui sant u ne fonc tion d'én ergie com posée de deux pa rues, u ne partie qu iassu re le s uiv1 de traj ect oire el l'au tr e assu rant ta con ver gen ce de l'observa te u r.Hergh u is e l Nijmejj er dans 191 propo sent un observateu r- con trôleu r pou r u n ro botclass ique , a vec u n resultat de st abil ite se nu.gjobale.

Es fa ndta rt e l Khaü l da n s [151con s idè re nt d es systèmes nnè a nsablc s pa r bou cla geel di fféomor ph ism e ct cons tr u isent un observat eu r l tn éatr e il gra nds ga ins da ns lescoordonn ees Imèar tsa n tes . Les auteu rs pr ouven t un résu ltat de s ta bili té semi.gt oba te.

Da n s [321. Teel el Pral y s'i ns piren t de l'observa te ur de Es fandta rt-Khaltl e t propos en t un observateu r lin éai re dans les coo rdon nées In itia les, les auteurs parvien n enta ussi u n résu ltat de s tab ilit e scnu- gtobale .

Vu la stmtlartt è de ces deux ob se rva teu rs pou r des sys tè mes méc a niqu es , on seconten te ra dans la pr atique de tes ter cdu i d e Te e t et Pra ly pour notr e robot.

D'a utre part. en s'mspïr ant de la mé thode de B erghuts et Nljmeljer, no us proposonsun observateu r non Itn èa tre pou r le robo t hydr aulique c lan ob tient un rés u lta t d estabrute semt-gtobare.

Da ns la sune du memoire. on en tendra par classique, un modèle dan s lequ el onn eglige les dynamiques Int er nes d es actionneu rs. On appétera cas Ideal le ca s oùt'état co mplet est mes u re

Pou r ce c hapit re. on su ivra If"ptan sujvaru

11.2. Rappels mathématiques 57

dans un premier temps. on donnera des rappels mathématiques sur la théorie desperturbations singulières puis sur les techniques de commande utilisant la passivitépour un robot classique.

Enfin on proposera une loi de commande pour le robot hydraulique dans deuxcas le cas idéal el le cas réel où on ne mesure pas les vitesses.

Dans le cas réel. en utilisant les techniques de passivité, on proposera un ob­servateur non linéaire pour le robot hydraulique qu'on comparera avec l'observateurlinéaire à grands gains proposee par Tee! ct Praly.

Dans chaque cas, on traitera le problème de la stabilisation et lc probléme de lapoursuite de trajectoire.

On formulera dans le cas idéal. la modélisation en perturbations singulières dansle cadre plus général de la commande pour des systèmes en cascade.

Enfin dans cc chapitre, on évoquera un autre type de loi de commande possiblepour ce robot, la commande linéarisante avec observateur linéaire à grands gainsproposé par Esfandiart et Khalil.

II.2 Rappels mathématiques

II.2.1 Stabilité exponentielle

Nous commençons dans cette sec lion par rappeler la notion de l'exponentielle st.abilitéqui s'avère très utile pour la suit.e.

Soit le système suivant.

ri = .1(1.1)l .i'(l o ) = .l'a

(1)

où 1 est règulière. On noterart r .10 - ,/ 0) la solution de (Il qui démarre de '/'0 à l'instant1 = to.

Définition 11.1 On dil que le sustème (l) est exponentiellement stable si et seulement

si il existe deux constantes positives ( el (\ telles que pour tout f :=" 10 on a

(2)

On a alors le résultat classique suivant

Théorème ILl /21} Le système (l) est exponentiellement stable s'il existe uriefonctionde Luapuno» \' qui satisfail à:

(3)

el " S011\ des constantes positives.

~8 Chap. II . Com m :m rt", n on lIn f.al re d' un rob o t h ydrauli q u e

II .2 .2 S t ab ilisation se m t-g toba te

On ra p pe lle d an s cene sectio n la oéûruuon s ui vant e

Dé finiti o n Il .2 VII sys tème est d it semi- gl olxl 1eme nl Slabilisable si po ur tout compactl ' il eoste un bouclage regu lœr rend ant l'o rig ine d u syslème localement as y mp lotique 'ment st able avec un domaine d'alfrac tio n contena nt U

11.2 .3 La théorie d es p e rturbations s in gu liè res

Da ns cc par agraph e, nou s ra ppelion s les tec h nique s relati ves aux systèmes a d euxt'c he lles de tem ps . Nou s donnons ici quel ques rés u lta ts de bas e de tech niqu es deper tu rba tion s s mg uneres. Pour plus de dètaû. on pou rra co nsulter les ou vrages deKok ot ovrc. Kha lil Cl O'Retlly [20J ou aussi Kha1l1 121 1.

II .2 .3 . 1 Mc d èle s t a nd ar d A bo rt eo n fini

On co ns id ère le sys tème s ui van t

J i = fl x . y. c ' )l fij = g( .f . y.ct)

(4)

ou ~ es t u n paramètre tr ès petit, , est d a ns R" et y es t da ns R" Quand on pre nd, = O. la d rmens rcn de l'etat d u sys tèm e (4 ) se rèdun de n - m a Il "1 la de uxr em cèqo auon devient.

0 = y( .r.y.O,t) (5)

el on d ira que le mod e le est s ou s forme standard Si et seulement Si l'équ a tion (5) a~ ::.:: 1 sotutron s rttsnnrtes. notées

O n a alo rs pour chaqu e" le modele rédui t suivant

.1 = (( r , q},( 1',1) . 0 .t)

(6 )

(7 )

On che rch e a mo ntrer qu e Je mod èle rédu it ci- dess us approxime requ auon (4). On ale resultat suivant connu sous le n om d u 'rneor ème rie 'Ttkhonov

Th éorème II ,2 On cons idère le mod èle standard (4J et sou 4'( 1',1\ une ra cine Simple

de (51.On :;uppv!)e qu e les cond itions s uucnres sont sUlisfaiU's pou r 10111

[1. I .y <i>( .' . I ). f] f' (D,I d ><D, '( il" x [0 toi

• {Cl} les j onclLons f, 9 el leurs ce. uées respecli ves pnr "Ippon ct x , y el f somcont inues:

• /C2/ la Jonct Ion 4' et le J acobien ~(" . './. 0./) on t d es ccncecs p art Iell es conrmuc s

Il.2. Rappels mathêmatiques

• (C3) les données initiales sont régulières par rapport à f.

59

• (C4) le modèle réduit admet une solution unique ,l'(t) définie sur li«. 1,1 et Il.r(t)11 ::;Il'5 7' Vt E' [t a·!,I·

• (C5) l'origine du système suivant dit "boundary layer model" est exponentiellement

stable uniformément par rapport à (t ..1')

dU7E =yll.1I+ ID(.r.I).O.I) (8)

où T =~.

Alors il existe des constantes positives pet e: telles que pour tout du(O) - <1>(.1'(0). to)11 <l! et pour tout 0< 1 < le modèle standard admet une solution unique .t(i. f),y(t. 1)définie sur [ta.td et on a uniformément pour tout tE: [ta.td

(9)

où y( T) est la solution du "boundary layer model" (8).

Preuveün pourra consulter Khalil [211.

11.2.3.2 Modèle à horizon infini

Thêorème Il.3 Sous les hypothèses du Ihéorème précédent avec

[t.I.I} (v(., .1).<1 E [O. x) i' [J, X [J" i' 10,(0]

el si de plus les condil:ions suuxzrues sont satis}cHles

• (C6) le Jacobien ~ [ .r . of 1.1 ). O. 1) a des deriliées paniel/es par rapport à ,r locale­

ment bornées.

• (C7) l'origine du modèle réduit est exponenUeliemenl stable,

alors il existe des constantes positives Pl, P2 el -: teUes que pour tout

Il.1'(0)11 < fll.III}(O) 0(.1'(0),1 0)11< 1'2 et 0 < 1 < l'

le modèle standard admet une soluUon 1'(1.1). ,lt(l. f) déjinie pour tout t :2:to ? 0 el on a un([onnérnent pour tou/ t E'

.r(t.il =1f(I.r) =

0(1)

+ ItIT) + (11)( la)

où l'It) el ItIT) sonl les solutions respecticemeni de l'équation réduil.e (7) et l'équation

rapide (8).

PreuveOn pourra consulter Khalil [211.

60 Chap. II. Commande non linéaire d'un robot hydraulique

II.3 Commandes de type Lyapunov

Il.3.1 Rappels sur les techniques de commande utilisant la pas­sivité pour un robot classique dans le cas idéal

On considère un modèle classique de robot rigide

M{q)q + Ci q, q)q+ G(q) = r (11)

où (1désigne le vecteur de position. M('1J désigne la matrice d'inertie, donc définiepositlve. G( (1) désigne le couple de gravité dérivant d'un potentiel el C( q, q)qdésignele vecteur des couples de Coriolis et centrifuge, quadratique en (j,

C vérine les hypothèses suivantes

• la matrice \1 - 2C est antlsymètrtque. Pour garantir la propriètè d'anüsymétrtede .Il 2(' on fera le choix de la matrice C définie à partir des symboles deChrtstofell [291 de la façon suivante

C('I ..I'IY= C(q.y).I''1.1,y

• la norme de Ci '1-q) satisfait l'inégalitt' suivante

où!. est une constante qu'on precisera dans la remarque suivante.

Remarque ILl

où ('1. est dèfinie par

(C'" J" = (i~~~:"J + D~\,:~"

où 1 . .1. l: = 1,En effet. C( 'l, ,j) peut s'écrire aussi cie la façon suivante

( 12)

( 13)

( 14)

11.3. Commandes de type Lyapunov 61

Nous rappellons à présent la méthode de commande proposée par Slotine et Li

dans [291.On se donne une trajectoire de reference qd reguliere ct on définit q, et f par

{, = q - q,J

'J, = Ij" - ,\.f,;cd.. (15)

où !\ est une matrice diagonale définie positive.La méthode consiste à considérer la fonction suivante comme fonction de Lya­

punov

1/=

où s = rj - rj,Pour rendre l' négative, il suffit de boucler avec la loi suivante

T = .I1(q)'1, + Ct «.(1)(i, + G(q) -l\'df + Af)

où 1\ 1 est une matrice diagonale de gains définie positive.En effet. le système en boucle fermée s'écrit

.\I((j.l~ + C(lj.rj).o + 1\'1" = O.

(16)

(17)

( 18)

En utilisant le lait que .Il - 2C est antisymétrique, la dcrtvèe de la fonction 1

s'écrit alors

ce qui montre qu'on converge vers la surface glissante d'équation

,= (+ ,\, = 0

cc qui implique( .0 et 1 - 0

En effet. on peut interpréter, comme une entrée pour le système

f = -1\1 +.,

( 191

(20)

(21)

(22)

(23)

d'où. par la théorie classique des équations dtffércnttelles ordinaires, si .-; tend vers 0alors forcément " et ( tendent vers O.

On a alors le résultat suivant

Théorème Il.4 [29} Si on applique au système (11) la loi de commande donnée par(1 7) alors l'erreur de poursuite, tend vers 0,

Remarque 1I.2 ün peut considérer le système suivant

r cÔzz: \, +,l·\!('ji,+C(q.lj),+h',,=O

Pour cc système on propose la Jonction de Lyapunov suivante

+ (24)

on peut alors montrer directement que (. ,) tend vers 0 sans utiliser la techniquedes sur/aces glissantes. 0

62 Cha p . U . Co m m a nd e non lin éai re d 'u n r ob ot hy d ra u liq u e

II .3 .2 Co m m an de par pass iv it é avec obs erv at eu r de vites s e

Nous ra pp eüon s ici u n résulta t d û li Berg h u ts el NijOleijer (9 1. Les au te u rs considère ntl'o bs erva teu r s u ivan t en boude ouverte po ur un robo t classique

{q = : + (l".l d+ :\ )qZ = l" Aq + Ar' ((I )(T + L,,'I C(q"io)tio _ G'(q» ) (25)

en se basant su r les tec h n iqu es de pa ssivité et plus p r èosemem su r la 10l de cornmande de S toune et Li lI 7] (vctr parag raphe précéd en t). les a ut eu rs proposent u nob se rva teu r -co nt rôleu r e t ètabltssen t le rés u lta t su ivant

'r b èc r ème 11.5 tgl On consid ère /'oùSerl!(lfeur -cvnl rôleu r s uiva nt

{

fj = + (l.,.lrl+ 1\ ),/

: = I" ,\ij + M 1('l ll L/J + M( q,'/. - [ \'r ' )

oû

(25 )

Soit X d éfiru pa r.v= ( AC.)I .,\ (j. .:;d

a lors. sous les condition s s urœntes sur les gains (9J.

(28 )

(2 9 )

où Q Il désigne la norme sup de 'Idet ou /\·'I..H el /\'/_\1 désig nent rescecnoc me n r la pl usgrande valeur prop re de 1'4 el l"~,. L",,,. de s lgn e la plus pelile va leur pro lJle d e L, . .Ytena loca lemeru expo ne ntIe lleme nt vers 0

Pr euv eLa preu ve rep os e s u r la consid èra uon dt" 1~ fonction de Lyapuno v suiv an te

et les auteu rs montrent que

(32)

Il.3. Commandes de type Lyapunov

II.3.3 Commande de type passivité d'un robot hydraulique

63

Au vu des constantes de temps, de la servovalve en particulier et de l'hydrauliqueen général par rapport au temps de réponse d'un système mécanique, nous nousproposons d'élaborer une loi de commande hiérarchisée pour le robot hydraulique.La commande consiste à

• commander la partie mécanique par la méthode dite de passivité,

• rendre à l'aide d'un premier bouclage la partie hydraulique rapide.

On obtient donc une commande en cascade, Pour obtenir des résultats de stabilité,nous utiliserons les résultats relatifs à la théorie des perturbations singuliéres. Nouscommencerons par étudier dans un premier temps le cas idéal où on peut mesurertout l'état du système, puis on traitera le cas réel avec observateur de vitesse, le robotTITAN étant uniquement équipé de capteurs de position et de pression.

Pour des raisons de simplicité, on supposera aussi que les fonctions Cl, ClI ct 02

sont toutes identiques à 1 (cf. équation 31 chapitre 1). Le cas général s'étend sansdifficultés.

11.3.3.1 Etude de la loi de commande dans le cas idéal

On étudiera dans cette section la loi de commande dans deux cas

• le cas de la stabilisation [la trajectoire consigne est supposée constante par rap­port à 1).

• le cas d'une poursuite de trajectoire.

Le cas de la stabilisationSoit le système suivant

{ fi' = (33)

où 11 désigne la commande, qui est en fait le vecteur des courants dé' scrvovalvcs. Onconsidère un premier bouclage de la forme

11 =p, - Ji '!

où jJ, représente la consigne en pression suivante

(34)

135)

1361{

'1 =.'j + :\rr = Ij IJ,.

IJ. = .'\1

avec '1" désigne le point qu'on désiré' atteindre, !\"I ct :\ sont des matrices diagonalesdéfinies positives. En remplaçant li par sa valeur dans (3:1), on obtient

{.\f(IJ)IJ + ('(Ij. 'J)'J + G(lj) = ji

'p= l' - ji(37)

64 Chap . II . Com man d e no n lin é ai re d 'un robot h yd r aulique

'rh èor ëme Il .6 Si on applique au s!/slemt' (33) la conunande « donnée par (34)-(35)

1An, > 2"

où '{rl ." el ;\." . sont les plus peIlleS valeurs propres de fl rl el A, alors l'e r reur e =q - q~

tend localement exponentiellement vers 0

Pr eu veEn u tilisant les tec hniqu es de pert u rbation s singulières. la p re uve se fau en d eu xéta pes . La p rem ière etape co n sis te à mon trer qu e l'équa tion d ite réd u ite est expo nen ­ueuern eru stab le pour se mettre da ns le cadre du Theoreme de Tikhonov qui as sureque la solution reelle res te da n s un voisinage bor né de la sot uncn du syst ème r èd utt.

La second e eta pe consiste à co ns tr uire une fon ction de Lya pu nov po u r p rouver las tabilité du sy s tem e réel (3 7).Et a pe 1En èc rtvant l'èqua uo n (37) dans les variables ( t , ~ ,) on obuent

(3 8)

Ou encore sous form e standard

(39 )

{; l~,~}·~~' ~ ) - .\( .\/ - I(t + q,,) (p Cf t+ q,p , - l I )(.-. - .\t ) Gt e +q~)) + .\ eJ'y (.I .p ) =p. - J'

(4 0)Il es t cla ir que l'èq ua uo n (I( .r. p) = 0 admet u n zer o isole En effet. on il

1/(-I.p ) = O ~ p. -p = ü

ce qnt tmpltque qu ep =p. = hl')

(4 1)

(42)

et 11 es t évide n t qu e p = h(.!) est rac in e s tmple de l'équa t ion , le mo dèle est donc SOLISfo rm e s ta n dard.

v énûcns ma int ena n t les hypothèses du théorème de Ti khonov II.3.Les ch amps de vecteurs / el y el la fonction h sont C'"'-el donc localemen t bo rn és

a m s t qu e leurs der ivees . ce qu i assu re l'exis tence e t l'u n ic ite des s olu t ions. D'où(C l) -(C 4) et I( 6).

Il resre a vér ifier (CS) et {en

11.3 . Co m man des d e type Ly a puno v

Etudions l'eq ua tion redui re suivante

, = } I , ," I·'))

En re m plaça n t [J. pa r sa valeur d onne e pa r (35) e t d'après [36 ). on a

65

(43)

(4 4)

(q = ~ I - ,\ e-

M ('1)s', + C('1 ,(j) ~1 + l\'~ ", =0 (4 5 )

O n consid ere la fonc tion sui vante comme fonction de Lyapunov pour le sys teme donnépar (43)

l ' ( otl = 4 ~ ; M('J) ~ ' + 4r't (46)

En d ènv an t l ' sel on (43 ) et d'a pres I'anusym èrr te de AI - 2C on obtient

l ' <::: o. Si l\ .'.~ . .> 1et .\ ,,, > ~ ce q UI es t le ca s par hypo th èse.Alors ( ten d expo n en tiellemen t vers ze ro. 1\ en res u lte que req u a non reduite est

ex ponentiellement st ab le. d 'ou IC7).D'au tre pan re qu a no n d ite "th e bou nda ry la yer system" s'écru

1; = v. - (p + h l.t' j )

En re mp la ça n t h par sa val eu r dans (48) , on obuen t

JI'J; =-jJ

(48)

(49 )

1\ en résu lte aussi que (48 ] est exponenuellement s ta ble, d' où (CS),Don c pa r le Th éorème de Tikh onov pou r le cas d'un Intervalle infini d u tem ps

(Théorème Il.3), on sail qu' il existe t:" pos iti f te l que pour to ul ( plu s pe tit que t' on a

=i' (t j + O(d=h{I( t) l + I)( r ) + O(d

( 50 )

où d t) es t la solution de l'equarton r èoune . p(r ) est la solu tion de "bou nda ry lay ersystem 1:)

Ét a pe 2

On a montre que , es t da ns u n voisinage bo rn e de l'é ta t 1 d u systeme ré du it .Il nOLIS res te à présent a mon tre r la s ta b ilité du sy s tem e co mple t bo uc lec'e s t à dtrc qu't l exis te u n ..-' pos itif tel qu 'on a :

't! ( $("' 1'(1 ,1) - 0

La Ionc uon \ ' dtfin w pa r 1461 v ènfi e les cond it ion s s u iva ntes

(5 1)

66

• V r

Chap. II. Commande non linêaire d'un robot hydraulique

• 'cf l'

• on a localement

(52)

(53)

(54)

où les c, sont des constantes positives.Considérons à présent la fonction de Lyapunov 1'1'pour le système rapide donné

par (491. on a pour tout l'

(55)

(56)

(57)

où les h, sont des constantes positives.Faisons à prèsent le changement de variables suivant

v>» hl}")

La dynamique de p est alors donnee par

(58)

p=p- h(.I)) (59)

ou encore, en multipliant par 1 et en remplaçant fi) par sa valeur, on obtient

Dh<P = Y( I.p + h(.I)) - f-a;/(.1'11 + h(.I)1

El l'équation (39) du système boucle vérifié'

(60)

{i = ((.I.p +~ll =·!J(.r./I+ - f'jf;f(.r.}J+ h(.r))

(61 )

On considère pour le système total (61) la fonction de Lyapunov suivante

L(.r.p) = 1"(.1') + lY(p) (62)

II .3 . Command es de typ e Lyapunov 6 7

Ca lculons L pour ce sys te me

L ~av 1 Dit'a;: f (J; , ij + h( .l ·) ) + -:7ijj 9(X' f! + h(I) )

aH.! tn;----:- -. / (J',p+ h( ,l'))a]J aJ (63)

ou encore L peu t s 'écrire aussi en intercalant la quanütè

~.f( ~ . h ( .l )) +~[f( J"P+ h(J}) - .t( J,h ( ,))]

l ô \<! &H'f)/,-:a;Y(l'p+ h( J')) ap "'th,I( -LfJ+ h(.1I l (64)

Et donc d'apr ès les eq ua tions (5 2)-(5 7). on a

b, JI'L ~ ~ ( 3 1 1-r 1l ' --;'IJI12 + ô xT1J(J,I' +1l( Jj) - /( I , I.P II /

aWahap 7h-J (X,P + hl e)) (fiS)

Ma is on a loca lemen t

ahlIih ll -::: 1.-1

ca r" es t de crasse C..... par hypoth èse.

(6 6 )

IIJk/J+ h(l )) - JI,,"(. ))II:: (3 '11'11

vu q ue 1 est différenti a ble par ra ppo rt li. la se con de va rtable.

( f:i7)

(6 8)

En effel on a

-\tI ( t , p+ h( .! )) = ( ),\/ - ' ( , ~ ,,,,(( ,,. h(.1') - ('( 1 + 11-" i)i - C(. + 'I~)) + ,\~

Il e51 clair Que

f( l". jJ + hl.)) = ( ~1 ' ' p ) + J(. l' , !l (x ))

Ma ls d'après (44) on a localement

d 'ou l'in ega lite-vou lue .

68 Chap. II. Commande non linéaire d'un robot hydraulique

L peut alors se majorer par

ou encore sous forme matricielle

i. < _ ( Ilxll )' (- Ilpll

On note Q la matrice suivante

Q=(

) (11·11 )Ilpll (70)

(711

Donc pour avoir L < 0 il suffit de choisir, tel que Q soit définie posf tive. soit parexemple 1 satisfaisant

Ainsi pour tout .1"(0) dans un voisinage de O. on a

lir~.I"(t.() = 0 V, < 1

(72)

(73)

(74)

Le cas d'une poursuite de trajectoireOn corisidère le même bouclage en pression que dans le cas dt' la stabilisation i.e

(75)

où P. représente la consignt' en pression. Dans Ct' cas elle est dt' la forme

]J. = M('I,llj, + C'('j.If),j, + (,'1111 - 1\.1'1

où

{

'1 =,. + .\1

t = 't >: 'l.s

ri, (id- !\,

'l" désigne la trajectoire désirée qui est supposée C'dans (33), on obtient

(77)

En remplaçant u par sa valeur

{Jl~),j+C(I.(I)iJ+(;(iJ) <»fi) --IJ, - P

(78j

11.3. Commandes de type Lyapunov 69

Théorème 11.7 Si on applique au système {33} la commande u donnèe par {75}-{76}

auecl

h,/.nI > 2:

lJ\,,, > 2:

où 1, ,1", et An' sont les plus petites valeurs propres de J':d et A, alors l'erreur de poursuitede trajectoire ( = IJ qd reste dans un voisinage de O.

PreuveEn utilisant les techniques de perturbations singulières, la preuve consiste à montrerque l'équation dite réduite est exponentiellement stable pour se mettre dans le cadredu Théorème de Tikhonov qui assure que la solution réelle reste dans un voisinageborné de la solution du système réduit.

L'équation (78) peut s'écrire aussi sous la forme

{

(- = -:\, + '1

'1 =.H 1(, + 'j,Ii/1 C(, + q/.f + (Ù)(i + (jd) - G( + 'j,dl + \,cp = p. - j.!

ou encore sous forme standard

{i'-Ijl=

où

{

,. = -.\' + '1

fi, jl.l) =. JI Iii + ,/,:Iij) - C(I + u! + (/./)1; + (J,i) - Gr, + '1,11 + A(

!JI 1.p.11 =p

Il est clair que l'équation '/1.' Il. Il = 0 admet un zéro isolé. En effet. on a

1j11.p.1)=0 ,-=> l', 1'=0

ce qui implique que/) = /), = 1:( 1.1)

(79)

(80)

(81)

(82)

(83)

et il est évident que j) = h( 1.1) est racine simple de l'équation. D'où le modèle estsous forme standard.

11reste maintenant à étudier l'équation réduite suivante

l' = /(.l'.h(,I.I))

En remplacant n par sa valeur. l'équation (84) s'écrit .

(84)

(85)

70 Chap. Il . Co mman de n on lin éaire d 'un r ob ot hydra uli qu e

On cons id ère la mêm e fonction de Lya pun ov que po ur le cas de la s ta bmsau on t.e .

(86 )

v $ O.Alors .t tend ex ponen tiellement vers zéro . Il en res u lte qu e-l'equa tton r èd u ue es t

ex pon en tiellem en t s tab le. rro ù (C ?).

Donc par le Th eoreme de Tikhonov, on sa il qu'il exis te (. pos tttf tel que pou r tout( plus peut qu e r" on a

f ~·(t , el == i (t ) + Ole)l p(t.() = h( t . i( t )) + lî(1 ) +O( l) (87 )

(RB )

ou i U ) es t la so luti on de l'equation reduite . i'( "-) es t la sol ution de "bou nd a ry la yersyste m"

Autrement di t. l'erreur de pou rsu He rest e dans u n voisinage de O. Ce qui ac hèvela dérnonstrauon. aRemarq ue Il .3 On ne pa rvreru pa s comm e dans le cas de la s tabuts a uo n à obt eni rla con ve rge nce asymptotique de l'err eur ver s O.

Le ca s de la s tabi lisation d'u n sy stème mstauonnatre est ét u die dans 1211.La stabilisa tion s 'ob tient so u s des hypothèses fort es su r '1 qui ne so m pas v ènû ecs

d a n s le cas d' une poursuite générale de t raj ec toire.On pe u t nèamorns obtenir la conv ergence de po ur s u ite d e t rajectoire vers 0 si on

s'a u tor ise à ajout er des ter mes dans la commande dépenda n t de f po ur éliminer leste r m es dus a la non autonomie da ns la dé rivée de la foncuon de Lya punov (voir lepar a gra ph e Il .3.4 su r la com mande de type cascade). 0

Il .3 .3 .2 Observat eu r de vit esse pa r un e m éthod e u tilisan t la passtvt t ë

Nou s prés en ton s lei u ne étude de la co m ma n de da ns le ca s où on ne m es u re pa s tou tl'e ta t du sy ste me. ma is se ule ment le vec te u r q des pos ition s el p d es pres s ion s .

Comme da ns le cas rd èa t. Dl! tra ite ra en premie r Je cas d e la s ta bilisa tion pui s le

ca s d'une pour s ui te de trajectoireCa s d e la s ta bili sa ti o nOn ra ppelle le mo dè re d u robo t hydrauliq ue con s idere

f .1I ( (}l'1 + C'( 'I .q)lJ + G ('I ) = Ji

l "fJ = '1 + IJ

ou (1 desl.':l1C la co m man de.

Re marque Il .1 Avec les sornes il er ». il es t c rarr qu e le syst ème est ob s erv ab le . Onpeul fa r-ne-meru ve rifier la condition du ran g 119). 0

Com me on ne m esure pas /J. on pose à la diffe ren ce de la co m ma n de d on n ee auparagraphe p reced en t da m; le cas id ea l

U = /J, - I' (89 )

Il .3 . Comman d es de t yp e Ly apu n ov 7 1

En s 'inspirant de l'obse rva teur en bou d e ouverte (25) considere par Berghu is et NIjmeïj er. on in trodui t l'observateur -con tr ôleu r su iva n t pou r notre sys tè me

{'} ;:: : + (l~ -Jd + ;\ )11: ;:: I. AI/ + M- I(q)(/, + L "iJ - G(l[) - C (q.qo)q, j(p;:: q+ l' . -l'

(90)

q = q - qt = q - q~

'b = - .\ (q - q~ )

(jQ=q :\ q (9 1)""1 = (]+ At - ;\ (Î

$ 2 =ij + .\ij= ri (/0

p, = Af( q)rj; + (C (q, licl - fd)rj , + G(q) - 1\.,("" ~ 2 ) Ill'!'

ou n., 1\1" A et L" s on t des mat r ices diago na les défin ies pos itives , l~ est un scat atrepostuf.Remarque 11.5 Comme dans 191, Il est im por ta n t de voir qu 'on peut calc u ler tous lestermes de la comma nde u. En pa rucuuer. il est poss ib le d e calcu ler le-terme "' 1 51dans l' . meme si ""1 el '2 con tiennent des te rmes en q. En effet

' 1 - "2 = 1/ + A I - 2.\q (92 1

T h éorême 11.8 On suppos e que les h ljf )othèses suivan tes sur les gm ns som snrts­

[aues

(93)

( 94)

(95 )

ou Cl" désigne la norme su p de (VSI on app lique au sySf ème (titI/ l"obsem ateu r-cora ro leur do nné pa r (90)-(9lJ al or s X

fend !oca lemelll e.l.por len ti e!leml'rll cers 0 , où .\ - désigne le vecteur (-'1'" "2, if)'

PreuveLa preuve se fa it en deux eta pes . La p remière cons is te à se rame ne r a u cadre duThéorème de Tt kh ouov.

La deuceme co ns tate a t rouver une fonc tion de Lyap unov pour le système tot al .

72 Chap. Il . Commande no n liné air e d'un robot hy drauliqu e

Éta pe 1On peut ecr ire (90) en ter mes ( t . ;; I . Ii. )21com me sui t

f r = 1( ·(, 1' )

l t p = l/( l ',p)(96 )

(97)

On est donc dans le ca dre stand ard d'appli ca tion rtes tech niques de per tu rba ti onssin gu lières .

Pou r p ou voir applique r le r ésulta t d 'ap proxi ma tion du Th éor ème 11.3 . il suffit.com me da ns le cas sa ns obse rvat eu r. de montrer Que re qua uon dite rèd utt e es t ex ­ponenüelleme n t s ta ble .

En effet. l'équatio n redui te de (!JH) es t

(98) s'é cr u alo rs

J = 1(' ,f + p,) (98)

Ava nt de mon tre r qu e le sys tème réd u il est eœon en ne uem em s ta ble . on etabli t lelemme tech nique s u ivan t

Lemme Il .9 Les équations de la dynamique ce a, el ,. ~ sont les suucnres

M (q )"., + C( q . q) .>, + (l~'d - I d )", + /\ ',.e = l' d;;2 + C(q. ·' z )( '>1 - ril ( 100)

Ji (q)S'2 + ('(1 1, q) S2 + M(q) I.'C>2 + r.JJi = ('((l , ' d( ~l - q) ( 10 1)

En re m pla ça n t da ns 199 1. tr- pa r sa va leur do n n ée par [9 11. on ob ue ut la dyn am iqu es u iva n te de '1

.I f 1( .Ift q)q, + \ ('1 (/. (/0) - l d)q , + G lq ) - 1\.! I ·~ 1 - "2 ) - [\ ',,1:' {I 02 1

+ (/ - CI l + (}".q) q - G( , + q,,)) + Ar - \ '1

mais on a

'1 - (/' = '1 ( 103 )

Il ,3 , Com m an de s de type Lyapunov

L'éq ua tion { 1031de-vient après s im plificati on

73

' 1 == M - l(q)t >. + Cj< + '/~, rjo)q, - CIe + 'l," (Il'Î - 1I"d( " , - ,,~ ) - A'~ I') ( I04)

Or d'apr ès 0 03}, réq uanon (I 04 1se rccc rtt alors

mal sC(1f (1 )\>1 - IÎl + C(qJ /o)q, == C l 'I , li)(- ri, )+ C( (/. (io)11, ( 106)

Par la un ca rn é de C Ièqua ucns (l2)-(13JI e l d 'a près (91), on a

Com me ,,~ == ri - '/0 on obtient

et l'équation (105 ) devient a lors

Ce qu i rep résente la dyna mique a tt end ue ( 1001 de >, r-n bo uc le ferme e.O n s'In téres se ma in tena n t à la dynamiqu e de .,~ q u i s'ècrtt comme suit

( 108)

( 109 )

Comme "2 - '1 = - 10 on ob tien t

Pa r les pr oprietes de C (12)-(131 et d 'a près (9 1). on a

On obtient a lors

C{if . lll( - 'io)+C('I ,(/oh C(q ' -'/llfo + C {I/ , q' )'/O

C(If .q, - qj 'io

C ('l . -·, dtj"C j ll . ' I J( ,,~ - If l ( 1 121

Ce qU I rep resent e la dyna miqu e attendu e (lOI ) de r-r en boud e fermée

Ct' Qui ac heve la d émons u a uo n d u lemm e o

74 Chap, II. Commande non linéaire d'un robot hydraulique

Remarque II.6 Comme dans [9]. on note la similarilé entre les équations de la dy­namique de "1 et '2'

Le l'ole de c.. erreur de poursuite de trajectoire, dans (100) est similaire au raie de rI,erreur d'observation, dans (101). 0

Il nous reste à montrer que les erreurs tendent vers O. C'est à dire que

( 113)

Pour cela on va considérer comme dans le paragraphe 11.3,2, la fonction de Lyapunovsuivante

V(.I ) :::: ~("" M(q)"1 + f' 1\',,1+ (7' L/j + 82'M(rj)·'z) (114)

En dérivant \' on obtient

i'::::,,/(111('1)"1 + ('(f/.fjh) + f'I\I'C + 8/(M(qh + C(q,qh) + i/L)j (115)

En injectant (lOI) et (100) dans (115) on obtient alors

\' ::::'l'[-(!I.,f -ldh - ll.'l'f' + 11.'''''2+ ('('1. "2)("1 - ,j)1+ f' I\"f (116)

+'/[ -!Î!lfIlI"'2 L"rl + nq"1 )("2 .. q)] + ,7' L,,cl

ou encore, en développant, on a

1 :::: '1'(11., Id)"1 -+- '111.'''''2 +'l'Ci,/. "2)("1 q) "2 1I1(q)I,P2 (117)

+,/('(,/. '1)("2 - 10+ f" h,,!' - "1 11.> + ri' L"q ·'2 L,,(i

En remplaçant '1 et "2 par leurs valeurs, on obtient

Et done lèquauon (118) devient

1 :::: - 'l'Ill'" Id)"1 + "1' l\'d"2 +'l'('(q, "2)('1 - ,j) '2 :11(1/)1""2 (119)

+·'2 ' C( q . '1)("2 q)+ (j'AIl> - f';\l\'I'( ,J'AL"fl

Mais on a

( 120)

De même on peut ecrrre

D'où on obLient lesurnauon suivante de l'

"·I/\.-~ldh ~,I!\lI'-,,1-lj'i\(L,,- (122)

'2'I.HI,/)I" ~Irl)'2 -+- .'z'('((}. '1 )('2- (i) -+- ·'l'CiII. '2)("1 - q)

II .J . Co m man de s de type Ly apunov

Or on sa it que la ma trice .'\1 (q ) est dc ftnte postuve a lors on a

0 ::;«: « IIM (q)lI:5 ."'11/. '1 '/

75

( 123 )

Don c on a

l 'S - (11.1" - ~ ) II'dI2 - - i\" ,(L ,. ", - 4/\,..l/liiQ iI2 ( 124)

-/l" M". - 4)11-,, 11' + ·, / ('( q,I>I )(I>' - q )+ _'l ' C (q, 1>11h q)

Il nous res te do nc li majorer la qua n tit é

Or d' a près (14) on a

1I·· ..Clq. ·,)( ' , - ,I II ~ ".11>.1111-> 1111> , - , II

D'a u tr e par t

On cb ne n t do nc

( 125 )

( 126 )

De mem e en u tilisa n t { 1261on peut major er le te rme ' l ' C (Q, 1>] )( "1 - If )

Am s i en maj ora n t la so mm e de ces ùeux te rmes qu ' on no te S. on ouue n t

5 ::: ~ , I I "lll lh I 1 2 + i. Il'' 111'11_'',11+ 2 ~' , I I " 1 1I 11 ' 2 1 1 (} H + Il.\ (Il+ 11·\(ill) ( 12 9 )

Or par nnegante de Young on a

211' 0111 1-> 11 S (('dl' + Il ,, 1' ( 130)

Don c (129) Impli que

S 5 1,,11'1 11 11$2112+ Llljdl21h ll + k,111>1 112(Q .I + IIAeli + IIA(III) (I 31)+1.:,11-'211 2

(Q , + II A ~l i + IIAljlll

soli

En rempla ça nt 5 pa r sa vale ur da ns res umauou de l' on obt ient

\ S - Il l,." - ~ - C(Q.,+ Il :\.tll+ 1/1\</11 + th ll ))'I" I II' + (133;

I l, .\1,, 4+ L((}.I+ 11 ·\ (Il + 11·\ (/+ ll-.Il))lhl(

- ~ /\·, ,,,\,,,Ii( lIl - \ ...(L ,..... - 4/\,.")l1(ill'

76 Chap. II. Commande non linêaire d'un robot hydraulique

Finalement on peut écrire

où

(134)

Y(lhll·llt 1·lh· 11111 (Ad", - ~ - "AQd+ IIAIII + IIAlll+ 11-"211):111"1112(135)

+(1"'\1,,, ~ + I,,(CJ\I + IIAtl1 + IIA(l + Ils)II))lhll~

~J\ï"",A",llcll~ - A",(L I, ,, , ~J\'I' 11)i1ijI12

Ainsi pour montrer que \ <. 0, il suffit de montrer que la fonction y' est définienégative. C'est le cas d'après les hypothèses (93)-(95).

Donc V est localement dèfinie nègaüve,

Ce qui implique que ,1' = (,'1. ( ,"~. ij)' tend localement exponentiellement vers 0, ouencore que l'équation réduite est localement exponentiellement stable. Donc on estbien dans le cadre du Théorème de Tikhonov pour un intervalle infini de temps.

On a alors l'approximation suivante pour 1: assez petit

r(t.(' = .l'(t) +O(f) ( 136)

Étape 2Montrons à présent que l'erreur d'observation et l'erreur de trajectoire tendent versO.

On raisonnera de la meme manière que dans le cas idéal traité dans la sectionprécédente. En effet soient \, la fonction de Lyapunov de l'équation réduite et \; lafonction de Lyapunov de l'équation dite "bouridary layer system" On pose

( 137)

On montrera exactement comme dans la section Il.3.3.1 que 11, est une fonction deLyapunov pour le système total. ct on a

Ce qui achève la démonstration.

lim ,rlt.t'I =0f-+."); , ,

( 138)

Remarque II.7 Il est à noter que dans le cas de l'observateur on peut définir précisémentle domaine d'attraction. qu'on peut agrandir à l'aide des gains.

En efrel il est Iacilc de voir que dans notre cas le domaine d'auracüon D est

D = {l' / 11111 < Il'1 ~ ( 139)

OÙ Il, = min{~ (J., '21,/\f",l-1,- (J,,} et ( désigne une constante.

Il ,3 . Co m m a n de s de typ e Lyapu nov 77

Il es t donc clair qu'à l'a ide de ! l '{ ,n c t id qui sont les gains de l'obs erva teu r, onpeu l ren d re t'. assez gra nd, d 'où le ca ract ère d it seml -global de l'observateu r (voir lad efin ition Il.2 de la stabtttsatt on scnu.gtcbaïej. 0

Ca s d 'une poursuite de tr aje ctoireOn pose com me a u paragra phe pr écéd en t

(1 =p, - fi

où, en garda nt les m em es notat rons qu e dans le cas de la stabil isati on , on il

{

~' = .' + ( C( q, rjo) - l d) rj, + G(q) - fI.·rl(~ 1 - ~, ~ ) !l' lofo, =q« - 1[.1)

'1 = 1" + ,\( - .'\q

Th e or eme Il . 10 On. suppos e qu'on a

SI les hy po rheses suucnres sur les gains sont salisjaites

( 140 )

(14 1)

( 14 2 )

1143)

( 14 4 )

( 145)

sr on applique au système {8B} l' obser va t{'ur con [ro/eur do nné pa r (90)-(14 1) alors Xrest e dans un voisinage de 0 011 X désiy ru'/e o ecte ur ( ' 1. r , '1, q)'

Pr eu veLa preuve repose s u r l'a pp licat ion du Théor ème de T tkh onov. On montre com me pourla s ta b ilisation qu e rè c oauon réduite es t expo nen tiellemen t stable.

Les t'ta pes du calcu l sont s imila ires au cas de la s ta bilis a tion . a

11.3 .3 ,3 Obse rvate ur d e v it es se (vers io n Tee l e l Pra ly J

On rap pelle ter un resultat rec en t de s tabütsauon semt-gtob ate d 'u n sys te me pa r unbouclage dynarutq ue de so rti es, eta bli pa r Teel el Pra ly dan s 132).

On considere le sys tème Hon lin ea ire suivan t

( 14 6 )

où/( 0 . 0) = 0 c t 1,(0) =0

78 Chap. II. Commande non linéaire d'un robot hydraulique

Définition II.3 L'équilibre./· = 0 du système (l46) est dit semi-globalement stabilis­able par un bouclage dynamique de sorties si pour tout voisinage compact L' de .r = 0,il existe un bouclage dynamique de sorties 1/ = (\(y. (), ~: = g( y. () et un compact G', telsque l'équilibre (.t'. () (0.0) est localement asymptotiquement stable avec un domained'attraction contenant L' -<U,.

En application de leur résultat principal, Teel et Praly considèrent dans [32] lesystème non linéaire suivant pouvant modéliser un système mecanique pour lequelon ne mesure que le vecteur q des positions

{

q = l'

/'= f('1,I') +'1('1,1')1/

lj = '1

avec '1 E: JR:" 1/ E. JR:'" t et y sont ClLes auteurs supposent l'existence d'un bouclage d'état dynamique

{~ = e('j. l', 1/)

1/ =O('jJ.()

( 147)

( 148)

tel que le système en boucle fermée (147)-(148) soi! globalement asymptotiquementstable.

Un observateur linéaire

{q=r+Lld'j-q) (149)l' = L?lz(q q)

est proposé dans [32J ainsi qu'observateur réduit pour le système (147)

{ :,= -L - U'1 (150)l' =., + Li;

où L est un gain positif, Il et 12 sont les coefficients d'un polynôme de Hurwitz. Lerésultat suivant de stabilité est démontré

Théorème II.ll [32J Il existe une constante positive L telle que le système (l47)-(l50)ou (l47)-(l49) est seml-globalement stabilisable par un bouclage dynamique de sortiesde lajorme

{~ =11=

( 151)

Pour l'application au robot hydraulique, on écrit l'équation du robot comme suit

{

q = 1

1 = f(if.I.P)

(jJ = 1 + 1/

( 152)

où t regroupe les termes non linéaires de la partie mécanique.Pour ce système on considère un observateur réduit à la façon (ISO).A raide des techniques de perturbation singulière, on a montré dans le paragraphe

IL3.3.1 qu'il existe une loi de commande qui stabilise localement ce système.

11.3. Commandes de type Lyapunov 79

Suile à une remarque dans [32], il n'est pas nécessaire d'avoir une stabilité globaledu système sans observateur mais un point d'équilibre localement asymptotiquementstable avec un bassin d'attraction B Dans ce cas il faut considérer la semi-globalestabilisation en considérant des compacts inclus dans B. Pour plus de détails sur cepoint, on peut se referer à [32J.Remarque ILS On peut améliorer le comportement de l'observateur en introduisantla dynamique inverse du robot comme cela a été proposé dans [5], Ce qui donne pourl'observateur total

( 153)

ou pour l'observateur réduit

{

tz.Ôt ,Lq=- F'j L, + f(lj., + Lq) + y(q.' + Lqlll (154)

Les observateurs (153) et (154) qui sont non linéaires sont à rapprocher de celuiproposé par Berghuis et Nijmeijer 191. 0

Il.3.4 Commande de type cascade

Plusieurs auteurs se sont mtèressès à l'étude des systèmes de type cascade. on peutvoir par exemple 114], [25], [221. [34].

On rappellera ici uruquernent les résultats dans le cas des bouclages réguliers

Théorème II.12 [25. 14, 22. 34} Si le système.l = [i : . 1j) est tel que l'origine 1

est globalement asymptotiquement stable par une commande régulière C' 1j( 1) (l'

une jonction de Lyapunov associée} alors le système

{i =-.I( 1·1f)

'1 z: Il

est tel que l'ongine (1 = 0 If = 0) est globalement asumptotiquemeni stable par une

commande régulière ( 1 Il [1 1/1 (lI' ( l , 1/) =- l' ( 1 ) + est une jonction de Lya

punov associée)

II.3.4.1 Application au robot hydraulique

SI connan f. on peut élaborer une loi de commande pour système écru sous lormecascade. En effet après un premier bouclage, léquauon (33) du robot hydrauliquepeul se mettre sous la forme en cascade suivante

{/ = ,/(.t.1'.1)

P =-

sera par exemple dans le cas d'une poursurte de' trajectoire 1 -= ( . '1 l'

1155)

80 Ch a p. II . Comma nd e n on liné aire d 'un ro bo t hydraulique

On note p( r . 1) la loi de commande s tabilisa n te pour le syste-me

( 156 )

ou Il designe la comm an de pou r ce système.On di's igne au ss i pa r I/ f.I) la fonction de Lyapu nov associee. On propose don c

com me dans 125 . 22 , 341la roncuo n de Lya pu nov SUIvan te li : pou r le système initi a l

Il :: \ "( .1) + (l' ~fI)~ ( 157 )

Il s'agit don , de trouver u ne loi de comma nde " pou r le sys te me imua r qUI rend e ladenvèe pa r rappo rt au temps de H' nega tive.

Pou r ce la on écnt ll"

o u en mtrod urs a ru le term e sta ble ~ 11.1.1'. 1)

ô\ ôlli :: a;- tlJ./-', t) + a-;-U II.IJ,I ) I( Lp,1l1 ( 159)

+ ( P - P)( ~- f/; ./ l r ' I' t)-~ ) (60)

Il ,,"si clair que pour rend re 1\ négatif. il suffit de ch OISIr l' com me SUit

êJl' éJp iW(/( .I ,,'.t) fI .I,p. l))"s: " : fi 1) t 81 ô, /' /1 ) i.:(p - I'l ( 16 11

= " l ll _I, . I ) l 'IJ -P)

Remarque Il .9 La ïonc uon dl" Lyapunov Il donnee pa r li 57) es ! celle u uus ee d a nsla p reuv e de la méthod e ba sée s u r les per turba uo n s smgu uèr es (voir paragra ph ep rece den t) donnée par (62 ).

Si on connan <. la pris e en co mpte du te rme co rrec te ur " 1 (, l' 1) permeur a nd' as s u rer la convergence globa le ver s 0 d e l'erreur de pour s uue. Sion ne canna it pasb ren e, on po ur ra II enVlsa ger une a p proc he non un éarr c ada pta tive

Par cen tre. SI com me au pa ragra phe précédent on n e uenr pas compte d u ter-meH 'I (.r, p, t ). on parvien t neam oms a assure r u ne co nvergenc e loca le da ns le cas de las tabilisation ma is on ne peut conclure à la converge nce d e te rre u r de pou rs uite da nsle cas d' u n SUIVI ge neral de tra jec tcrre a ca use du terme :;:;. LJ

Il .4 Co m mande d e typ e linéaris a tio n

L'Idee des met hodes de hn ea rrsa uo n constst e a trouver des changements de COOlco n n ees et d es bou cla ges d'etal pe rme ttant d'obterur après bouclage, u n com por te ­ment hne a rre du sys t ème dans ces nou velles coordonnees

Il .4 . Co m man d e d e t y p e lin éar isa ti on B I

Des cond ition s nec ess air es e t su ffisa nt es exis tent po ur la n'soluti on de ce pr oblèmea pa rti r de bouclages d 'é ta t s ta tiq u es . Lorsque ces con ditions ne so n t pa s sans­fanes. des bo uclages plus géné raux. dits dynamiqu es . peuv e n t n èamoms per mettrede rés ou d re le pr ob lém e de liné a risa tion moye n nan t t'in trod uction dl' var iabl es d' éta ts u pp lémentai res.

Dans le ca s d'un robot cla s s iqu e

,l,1(q)q + C (q . qh' + G(q) = li

le système es t complè temen t linéarisable par bou clage s ta tique [3]. 1281.En effet. e n p renant le bou clage

a il l' es t la nouvelle com ma nde . on obuent

'1= '

En ch ois is s an t " de la forme s u iva n te

( 16 2)

( 163)

( 1G4 )

( 16 5 )

on obncnt u n e èq uati on de l'err eu r lin éa ire d éco u pl ée e t stab le. ou , = Il - IJ~ . q~ es tla tra jec to ire cesirèe

l + A'~ t + h"pt = 0 ( 166 )

ou /\"" e t h"" so n t de s matric es diagonales des ga ins défin ies postnves .La lOi (16 3 1es t ap pel ée com mu némen t "co rnpu ted tor qu e"

Il .4 . 1 Co m p u t e d t o rq u e pour un ro bo t hyd ra u li q u e da n s le cas id é a l

On ra ppelle le mod ère d u robot con s id ere

f JI (q )ii +C('l ,II )li + Gl ql = 11l, ~)J = 1/+ li

L'eqnauon méc an ique peu t s'écrire sous la form e

f ('/"j ) = - .\1 'I CCq."lq + C(I/) )

En déri vant u ne n ou vel le fois q on ob tie n t

( 167 )

( 168)

( 169)

( 170 )

( 17 1)

82 Ch a p. Il . Com m an de n on lin éa ir e d 'u n ro bo t h ydrauli qu e

En injectant ( 171) dan s (170). on obtient

'J'):; ~(I+~~ + fJMâ~ ( '/ ){II) + M ' II(d; +~(j ( l n)

L'équ ati on (172) peut s' écr ire alors

Il'J ' :: F( l/.q./, . f) + (;(q . dll ( 173 )

En posantv = F(lj,q .j! .f) + G('I,f)u

on ob tien l d on c une dy na miq u e trn èa tre

q13; ="

( 175)

( 176)

Le pro b lèm e ma inte nant es t de trou ver la commande l' qu t assu re u n bon sutvt detra jec to ire , Pou r ce la s i on se donne la t ra jectoi re de r èfèr cnce q~ on pos e

( 177 )

où ( d és ign e l'erre u r de pou rs ui te de tr ajectoire. En boucle fermé e recoat .on del'er reur s un la dyna mique s u iva nte

~ , 3 ' + <III + ( 12{ + f) :l( =0 ( 1781

ou " 1 02 Cl ùJ sont des ga ins chOISIS de tell e 50r((> que ( 178 ) so it as yrn ptonqueme rustable. de- tette s ort e qu e

( l 7 S1)

H re st e d onc à verifie r qu e la ma tr ice dt:"oecouptage GII[. ( ' est inversible pa r rapporta q,

En effe t on rap pelle que

G((/.~ )=~El le est visiblemen t inv ers ible d'inverse C - I(f/. f ) =f.H ('I J

On a al ors le resu lta t s u iva n t

Th é orè m e 11.13 Si on appl iqu e au sus tl~mt' la (:(JHl/ lI llflde suno nre

li = (.\lll/HI" - F (If,{i.p . fI)

( I AO)

( l AI )

où ,. est donne par ( 177), alors ferreur de pou- suu e 1 rend l'ers 0

Remarque Il .1 0 On rem a rq ue la d ependa nce de rr en , ct le m a uva is cond ruo n ne m entde la ma trice d e deco up ragc il ca u se d u fa c teu r m u lttphcaüf f .

D'autre pa rt on no te la dIfficu lté d'Impléruemer en temps r èel cc type de toi decomm an de il ca use de ta com plexit e du ter me FI ,{, q. I ', f ) donne pa r (1741

C'est pcurquor d'un point de vue pr at ique no us n'avons pa s les te dans un pr em iertem ps ce typ e de 101. 0

11.4. Commande de type linéarisation 83

11.4.2 Observateur de vitesse pour le robot hydraulique à partir del'approche linéarisation

On commence dans cette section par rappeler un résultat dû à Esfandtari et Khalil[15].

Les auteurs considèrent les systèmes de type

+ g( ~)II( 182)

où t . iJ et il sont regulières et qui sont complètement linéarisables par bouclage sta­

tique et difféomorphisme.Plus précisément, il existe un dtfféomorphtsme y:::: 0(:;) et un bouclage u(.r) tels

que le système (182) après bouclage prenne la forme suivante dans les coordonnées

( 183,1

où I.-J..il) est commandable et sous forme canonique de Brunovsky.Les auteurs proposent alors l'observateur linéaire suivant pour le système (183)

+ 'j(y, y~ J. J:::: l

- I~)

( 184)

pour Lout 1 :::: 1. 1/1. (/II eSL la dimension de la sortie lil, eL les t , soru les degrésrelatifs et on a /1 :::: l') + + i'"" /1 étant la dimension de l'état.

Les constantes positives 0; sont choisies telles que les racines du polynôme suivantsoient stables

( 185)

pour tout 1 :::: 1. ./1/. Pour plus de détails sur la construction de cel observateur onpeut consulter [15].

On a le résultat suivant

Théorème 11.14 [15j Si on applique au système (183) I'obsenxueur donné par [l84),

alors pour tout f sL![fisammenl petit. l'erreur d'obsemalion ( :::: y 1 tend asympto­

tiquement uers O.

Dans le cas du robot hydraulique, l'observateur s'écrit sachant que 1. :::: 3

+ 'jlll, - fi; 1. ):::: 1.

-l,)( 186)

pour tout 1 :::: 1 6.Remarque 11.11 On noté' le caractère grand gain de cet observateur à cause dufacteur ~ et la similariLé avec l'observateur proposé par Tccl ct Praly donné par (149)

(L:::: l el l . :::: 0,).

De plus un résultat de stabilite semi-globalc est demontree dans [t51.

R4 Cha p . Il . Co m m a n d e non IIn éa lr e d 'u n r obot hydra u liq ue

IL5 Simulations numériques

On pr ésen te da ns cerre section des s imu la tions numerique s. corresponda nt à la 101deco mma nde n on nn earr e basee su r les techniques de perturbati on s s ing u lières. dansle ca s tdee t et le cas reet.

Les s im u la tions corres ponden t a ux ca s s u iva nts

• cas id éa l

- stabilisa tion (Figu re 3)

- poursuite de tr aj ect oi re (Figure 4)

• observat eu r n on nnearre- poursuite de traj ect oire (Ftgure 5)

- e rreur d'obscrvatton (Figu re 6)

• observa teur linéaire

- poursu ite d e traject oire (Figu re 7)

- erreur d 'obse rva tion (Figu re BI

Dans le cas d' u n", po ur s u ite de rrajec tc rre . les courbes sont des repon ses à des con ­sig n es de la for me

'1" = .4 sin ( ~t )

Da ns le ca s de la stabilis a tion , te pom t qu 'on cher che à a tteindre es t

'/' = 03, ri -- 20 "

et le po in t in itial es t q'(O ) =0,Dans le cas idea l. les ma trices de ga ins choisi es sont

• cas de la stabilisa tion

11' , = [ ~ ~ I ~O ~ ~ ~~I ]00 0100 0a 0 0 0 1o 0 0 0 0

105 0 0 0 0

Il0 500 0 0 0

\ =0 0 500 0 00 0 0 500 00 0 0 0 20 000 0 0 0 0

l 187)

( 188)

Il ,5 . Simulations n urn èrtques 85

• cas d'une poursui te de traject oire (iJ~U ) :::: o,si n!......./ ), , :::: 1. 61

( '~ 0

0 0 0

Ilo 6 .105 0 0 0

J\ , :::: ~ ~1000 0 0

0 1000 0o 0 0 0 100o 0 0 0 0

['r0 0 0 0

1]500 0 0 0

0 5 0 0 0 0\ :::: 0 0 0 500 0

0 0 0 0 30000 0 0 0 0

86 Ohe p . Il, Co m man de no n lin éa i re d 'un robot h yd ra uli qu e

Dans le cas reer. tes ma trtces de-gams ch ois ies so m

• observa teur non hu ea rre donne pa r l'èqua non 1901

[ '~0 0 0 0

lJh , ; ~fi I O~ 0 0 0

0 1000 0 00 0 1000 00 0 0 1000 0 0 0

[' . o o0 0

Ilo !JO() 0 0 0o 0 500 0 0

:\ = 0 0 0 500 0o 0 0 0 3000o 0 0 0 0

1 ; [i ~ l• 0 0

o 0o 1

[

10000 0a 10000o 0

L ,:: 0 0

o 0

o 0

oo

10000ooo

ooo

10 000oo

oooo

10000o

11.5 . Simulation s n u mé ri q ues

• obse rva teu r Itneaire do nn e par rcqcauoo (l 50 )

( ~ c0 0 0

Ilo 6 1O~ 0 0 0

k ,= ~ 6 1000 0 00 1000 0

o 0 0 0 100o 0 0 0 0

['Mo o0 0

1]o 500 0 0 0o 0 5()() 0 0

:\ = 0 0 0 500 0o 0 0 0 3000o 0 0 0 0

, ~ [T0 0 0 0 010000 0 0 0 0

0 10000 0 0 00 0 15000 0 00 0 0 10000 00 0 0 0 13000

87

Les s im ul a tions son t faites ~ pa rt ir du langag e ACS L (Advanced Con nnuou s SImulatton Language) [7].

8 8 Chap . Il . Com ma nde non Iineall"e d ·un robo t hy draulique

::l 1 : :" .. ,-. '-'0.. .. ,d...-- r-l-~l : :+-_+-+---+----r---i

,-.--., ~.--:

:

: I~

:1=1-_ ,- - ,-

:

1 1,1 1 1

1,,

1

1-.. .. .. ..

-H:1

FIgure 3 Stabtnseuon (cas Ideal)

11.5 . S im ula t io ns numéri qu es

F'!1,u re -1 Peurauue de uajectorre tca s «reau

89

90 Chap. II. Commande non linéaire d'un robot hydraulique

Figure 5 Pnu rst nlr- de t rajer-Loir« (observateur non lmeaue)

9 2 Cha p. Il , Com.m.ande no n lin éair e d'un robo t hydrauliqu e

~-I-r-- -

;/ 1\ /

:1 1\ /

'"L/:

.~ 1

;~ /1\ /

:\

-"-

l-/. -1'.-

F"l ~u re 7 Pou rsuue de tr ajec toi re {obs erva teur lln eau-e l

ILS . s tm c ra u one nu m ér iqu es

"..

-"

t

:(~r--j-- --j-- -1-+--1

: 1 /

: : T--

! 1

1 1-.. .. ..

t---1--+-J

93

".. - ..FJ~urf" R Erre u r c robse rvauon su r la vite sse (observateu r bnear rel

94 Ch ap , Il , Co m m a n de n on IIn ê alre d 'un ro bot hydrau li qu e

Il .6 Conclusion e t pers pectives

Dans ce chapitre. on a développé de s tec hn iques de commande pour un robot hydea uüque.

Ces tech niqu es nécess itent u ne bon n e con naissa n ce d u mod èle dyna m ique durobot. Il est al ors im por ta n t d'è tudsc r la robu st es s e d e ces typ es de loi de co mm a n depar ra ppo rt à un e mauvaise tdennûcanon du m od èle, voire une extension de cestechniques à des vers ton s ad aptatives ou à s tru c tur es variables.

Il es t à note r aussi que da ns re xp ress ton de la toi de comman de qu 'on propose, onne co m pen s e pa s les fro t teme n ts .

Le co mp ortemen t tra nsitoire {en si mu latio ns ) mont re qu 'elle cs ! a ssez robus te pa rra pp ort une mauvaise compe nsa tton d es ïronemems.

Un e étu de pou ssé e dans cett e direc tion est n écess a ire.Il reste a uss i en pe rspecuve l'implé mentation dt' cet te loi de com ma nd e su r le robot

ré el c l le tes t de ses performances

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