Régulation numérique(REN) · y Asservissement de systèmes complexes (suspension magnétique, balle dans un tube, pendule inversé, etc). 12 Contrôle des connaissances : Contrôle

Haute Ecole d’Ingéniérie et de Gestion ducanton de Vaud (HEIG-VD)

Département des TechnologiesIndustrielles (TIN)

Filière Génie électrique (GE)

Régulation numérique (REN)

Ai

iutomatisation

n s t i t u t d '

n d u s t r i e l l e

Prof. Michel ETIQUE, septembre 2011,Yverdon-les-Bains

http://www.heig-vd.ch

http://www.heig-vd.ch/tin



http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn///Figures/rgb/heig-vd-seul.pdf

http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn///Figures/rgb/iai.pdf

HEIG-VD Régulation numérique (REN)

v.1.21 2 MEE \cours_rn.tex12 décembre 2011



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Table des matières

1 Introduction à la régulation numérique 111.1 Structure et principe d’un système de régulation numérique . . . . 11

1.1.1 Echantillonnage de la grandeur à régler y(t) . . . . . . . . 121.1.2 Grandeur à régler numérique y[k] . . . . . . . . . . . . . . 141.1.3 Consigne numérique w[k] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.4 Algorithme de régulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.1.5 Grandeur de commande analogique u(t) . . . . . . . . . . 181.1.6 Système à régler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.1.7 Faisabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2 Exemple : asservissement de vitesse par régulateur PI numérique . 231.3 Composants spécifiques d’un système de régulation numérique . . 27

1.3.1 Matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.3.2 Logiciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.4 Comparaison des régulateurs numériques et analogiques . . . . . . 361.4.1 Points faibles et points forts des régulateurs numériques . . 361.4.2 Exemple : comparaison des performances de régulateurs PI

analogiques et numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.4.3 Exemple : commande anticipatrice (ou commande a priori) 40

1.5 Justification d’une étude spécifique des systèmes asservis numéri-quement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.6 Une première procédure de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.6.1 Hypothèses concernant la période d’échantillonnage h . . . 491.6.2 Inventaire des retards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.6.3 Approximation de la fonction de transfert d’un retard pur

par une fraction rationnelle en s . . . . . . . . . . . . . . . 531.6.4 Schéma fonctionnel analogique équivalent . . . . . . . . . . 561.6.5 Exemple : synthèse par la méthode de Bode . . . . . . . . 57

1.A Exemple : synthèse par le lieu des pôles . . . . . . . . . . . . . . . 61

2 Echantillonnage et reconstruction 652.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.2 Le processus d’échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.2.1 L’opérateur d’échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . 66






2.2.2 Transformée de Fourier d’un signal numérique . . . . . . . 662.2.3 Recouvrement spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.3 Le théorème de l’échantillonnage (ou théorème de Shannon) . . . 732.3.1 Enoncé ([[1], §2.3]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.3.2 Conséquences et réalités pratiques . . . . . . . . . . . . . . 732.3.3 Filtre anti-recouvrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.3.4 Choix de la période d’échantillonnage . . . . . . . . . . . . 79

2.4 Reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.4.1 L’opérateur de reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . 802.4.2 La reconstruction de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . 822.4.3 Reconstruction par bloqueur d’ordre zéro . . . . . . . . . . 852.4.4 Reconstruction par bloqueur d’ordre supérieur . . . . . . . 90

3 Transformée en z 913.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.2 Signaux discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.2.1 Signaux discrets particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.3 Transformée en z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.3.2 Commentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.3.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.3.4 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.3.5 Méthodes de calcul de la transformée en z . . . . . . . . . 1013.3.6 Inversion de la transformée en z . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.A Table des transformées en z ([1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4 Représentation des systèmes discrets 1094.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.2 Systèmes dynamiques linéaires discrets . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.2.1 Systèmes dynamiques discrets : définition . . . . . . . . . . 1094.2.2 Propriétés générales des systèmes dynamiques discrets ([[1],

§3.2.1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.2.3 Systèmes dynamiques linéaires discrets . . . . . . . . . . . 1124.2.4 Analyse temporelle des systèmes linéaires discrets . . . . . 112

4.3 Représentation des systèmes dynamiques linéaires discrets . . . . 1134.3.1 Représentation par l’équation aux différences . . . . . . . . 1134.3.2 Représentation par la réponse impulsionnelle discrète g[k] . 1234.3.3 Représentation par la fonction de transfert G(z) . . . . . . 129

5 Fonction de transfert discrète 1315.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.2 Fonction de transfert d’un système dynamique discret . . . . . . . 131

5.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131






5.2.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.2.3 Fonction de transfert d’un système décrit par son équation

aux différences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.2.4 Présentation de G(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.2.5 Pôles et zéros, ordre et degré relatif . . . . . . . . . . . . . 1395.2.6 Schéma structurel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5.3 Modes temporels discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.3.2 Mode associé à un pôle réel . . . . . . . . . . . . . . . . . 1445.3.3 Mode associé à une paire de pôles complexes conjugués . . 1445.3.4 Relation entre la position des pôles dans le plan complexe

et la forme des modes discrets . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.4 Analyse des propriétés d’un système discret sur la base de sa fonc-

tion de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525.4.1 Gain statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525.4.2 Comportement intégrateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525.4.3 Comportement dérivateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1535.4.4 Retard pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

5.5 Modèle échantillonné du système à régler . . . . . . . . . . . . . . 1555.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.5.2 Relation fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.5.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

5.6 Combinaisons de fonctions de transfert . . . . . . . . . . . . . . . 1585.6.1 Règles générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.6.2 Fonctions de transfert d’un système de régulation numérique158

5.7 Correspondance entre pôles analogiques et discrets . . . . . . . . . 1595.7.1 Définition du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.7.2 Relation fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.7.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.7.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.7.5 Images de courbes et surfaces particulières . . . . . . . . . 166

5.A Fonction de transfert en régulation de maintien Gv(z) . . . . . . . 175

6 Stabilité 1796.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1796.2 Stabilité des systèmes discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

6.2.1 Définition de la stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1796.2.2 Condition fondamentale de stabilité . . . . . . . . . . . . . 180

6.3 Réponse harmonique d’un système numérique . . . . . . . . . . . 1836.3.1 Définition et calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1836.3.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1856.3.3 Lieu de de Nyquist et diagramme de Bode . . . . . . . . . 186






6.4 Etude de la stabilité par la réponse harmonique : critère de Nyquist([[1], §7.4]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1926.4.1 Critère de Nyquist simplifié (critère du revers) . . . . . . . 192

6.5 Eléments de synthèse fréquentielle de régulateurs numériques . . . 1976.5.1 Synthèse fréquentielle discrète . . . . . . . . . . . . . . . . 197

6.6 Eléments de synthèse de régulateurs numériques dans le plan com-plexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2016.6.1 Lieu des pôles (ou lieu d’Evans) . . . . . . . . . . . . . . . 2016.6.2 Principe de la synthèse discrète dans le plan complexe . . 203

6.A Critère de Nyquist généralisé ([[1], §7.4.2]) . . . . . . . . . . . . . 2116.A.1 Théorème de Cauchy ou principe de l’argument ([[11], §6.11.2],

[[1], §I.2], [[4], §5.2 p.122]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2116.A.2 Contour de Bromwhich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2126.A.3 Démonstration du critère de Nyquist généralisé . . . . . . 2126.A.4 Lieu de Nyquist complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2156.A.5 Exemple : système instable sans intégrateur (P = 1, α = 0) 2186.A.6 Exemple : système instable avec intégrateur (P = 1, α = 1) 219

7 Stratégies de commandes particulières et aspects pratiques desrégulateurs numériques et analogiques 2237.1 Choix des pôles en boucle fermée en fonction de la période d’échan-

tillonnage h ([[2], §6.6]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2237.1.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

7.2 Compensation pôle-zéro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2297.3 Commande anticipée/a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

7.3.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2337.3.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2347.3.3 Filtre de consigne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

7.4 Régulation cascade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2387.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2387.4.2 Principe de la régulation cascade . . . . . . . . . . . . . . 2387.4.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2397.4.4 Avantages de la structure cascade . . . . . . . . . . . . . . 2447.4.5 Inconvénients de la structure cascade . . . . . . . . . . . . 2457.4.6 Comparaison des régulations cascade et parallèle dans un

cas particulier (positionnement en machine-outil) . . . . . 2467.4.7 Calcul des fonctions de transfert en boucle fermée dans les

deux modes de régulation (correspondance et maintien) . . 2507.4.8 Régulation parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2547.4.9 Comparaison des structures parallèle et cascade en régula-

tion de maintien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2557.4.10 Comparaison des structures parallèle et cascade en régula-

tion de correspondance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256






7.5 Découplage de systèmes ([3]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2597.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2597.5.2 Découplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2617.5.3 Schéma équivalent du système découplé . . . . . . . . . . . 262

7.6 Anti-wind-up ([1], [4]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2647.6.1 Présentation du problème : wind-up de l’intégrateur . . . . 2647.6.2 Dispositif anti-wind-up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

7.7 Influence de la résolution de la grandeur réglée mesurée . . . . . . 2707.8 Fonction de sensibilité ([5], §3.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

7.8.1 Application : spécification de performance ([5], §3.4) . . . . 2757.9 Régulateur RST polynômial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

7.9.1 Structure du régualteur RST [1] [4] . . . . . . . . . . . . . 2797.9.2 Fonctions de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2797.9.3 Forme des polynômes et contraintes . . . . . . . . . . . . . 2807.9.4 Calcul de R(z) et S(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2827.9.5 Calcul des polynômes R(z) et S(z) : matrice de Sylvester

[[1], §10.3.3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285





Département des Technologies Industrielles (TIN)

FICHE D'UNITE D'ENSEIGNEMENT

REN_v_1_1.doc Page 1/2

Nom : Régulation numérique

Identifiant : REN

Orientation-s : EN, EEM

Responsable, suppléant : M. Etique, R. Herzog

Charge de travail : 135 heures d'étude , correspondant à 4.5 crédits ECTS

Répartition approximative des heures d'étude (encadrées et non encadrées) : Suivi d'exposés ........................................................................... 13 % Exercices encadrés ................................................................... 12 % Travaux de laboratoire encadrés ........................................ 9 % Contrôle continu et contrôle final ...................................... 2 % Travail personnel (pour un-e étudiant-e moyen-ne) .... 64 %

Périodes encadrées : 64 (= 48 heures)

Position recommandée des périodes encadrées dans les plans de formation : Semestre1 2 3 4 5 6

3+1L

Connaissances préalables recommandées : L’étudiant doit connaître et savoir utiliser les notions suivantes :

représentation des systèmes par les équations différentielles, calcul de leurs réponses temporelles par la transformée de Laplace ;

lois physiques et mécaniques fondamentales ; fonctions de transfert (pôles, zéros), stabilité, principe de la contre-réaction, schémas fonctionnels, réponse

harmonique de systèmes linéaires. Les unités d'enseignement MAE1,-2,-3 (mathématiques), PHY1,-2 (physique et mécanique) et REG (régulation automatique) permettent d'acquérir ces connaissances.

Conditions pour la programmation automatique de cette unité : L’étudiant-e doit avoir obtenu une note supérieure ou égale à la limite de compensation dans les unités : REG. L’étudiant-e doit avoir suivi ou suivre en parallèle les unités : aucune.

Objectifs : A l'issue de cette unité d'enseignement, l'étudiant-e sera capable de :

expliquer les spécificités d’un système de régulation numérique ; spécifier les éléments nécessaires à la réalisation d’un système de régulation numérique ; formuler le cahier des charges d’un système de régulation numérique ; faire la synthèse de régulateurs numériques sur la base de spécifications de performances.

A l'issue des travaux pratiques en laboratoire, principalement destinés à l’assimilation des connaissances et à l’acquisition d’expérience dans la modélisation et l’identification des systèmes dynamiques, leur discrétisation, la synthèse de régulateurs numériques et la validation des performances, l’étudiant-e sera en outre capable de :

définir les tâches à réaliser en vue de satisfaire les performances d’asservissement spécifiées dans un cahier des charges ;

définir la procédure de validation des performances d’asservissement ; gérer les tâches à réaliser dans le temps imparti ; compléter, développer et appliquer les notions théoriques vues au cours.






Département des Technologies Industrielles (TIN)

Fiche d'unité d'enseignement : Régulation numérique

REN_v_1_1.doc Page 2/2

Contenu :

Exposés et exercices : 48 périodes Nb. périodes approx. Introduction à la régulation automatique : Exemples d’applications industrielles, définitions

générales, régulateurs tout-ou-rien et proportionnel, notion de statisme et de stabilité, linéarité, régulation de correspondance et de maintien. Principe de la régulation numérique. Architectures matérielle et logicielle. Comparaison analogique/numérique. Choix de la période d’échantillonnage.

8

Régulateur PID numérique : Effets des actions P, I et D. Discrétisation de la loi de commande d’un PID analogique. Algorithmes pour les actions I et D. Structures. Auto-tuning.

12

Représentation des systèmes discrets : Fonction de transfert. Schéma structurel. Fonction de transfert d’un régulateur numérique. Propriétés d’un système numérique. Modèle échantillonnée d’un système à régler. Fonctions de transfert en boucle ouverte et fermée. Correspondance entre les plans de s et de z.

10

Stabilité : Stabilité des systèmes discrets. Critère de Nyquist. Marges de phase et de gain. Stabilité robuste.

6

Synthèse et réalisation de régulateurs numériques : Méthode de Bode. Spécification de performances, synthèse directe. Dipositif anti-windup. Implantation d’algorithmes de régulateurs numériques (automate programmable, processeurs de signaux). Commande anticipée (feed-forward). Influence de la résolution de la mesure. Outils informatiques d’aide à la conception de systèmes de régulation numérique.

12

Travaux de laboratoire : 16 périodes Conception d’un régulateur PID numérique. 4 Asservissement de systèmes complexes (suspension magnétique, balle dans un tube, pendule inversé,

etc). 12

Contrôle des connaissances : Contrôle continu : l'acquisition des matières de cet enseignement sera contrôlée au fur et à mesure par des tests et des travaux personnels tout au long de son déroulement. Il y aura au moins 2 tests d'une durée totale d'au moins 3 périodes. Travaux de laboratoire : ils seront évalués sur la base des rapports de laboratoire, à 1 reprise au minimum. Contrôle final : l'atteinte de l'ensemble des objectifs de formation sera vérifiée lors d'un contrôle final oral d’une durée de 30 minutes situé durant la session de printemps. Ce contrôle final oral peut être remplacé par un contrôle final commun écrit d'une durée d'au moins 1 heure.

Calcul de la note finale : Note finale = moyenne contrôle continu x 0.38 + moyenne travaux laboratoire x 0.12 + note contrôle final x 0.5

Remédiation : Un contrôle final de remédiation commun sera préparé par les enseignants concernés. Il se déroulera soit sous la forme d’une interrogation orale, soit sous la forme d’une interrogation écrite. La forme sera choisie par les enseignants en fonction du nombre d’inscriptions.







Chapitre 1, v.1.7 10 MEE \cours_rn.tex12 décembre 2011





Chapitre 1

Introduction à la régulationnumérique

1.1 Structure et principe d’un système de régula-tion numérique

Le schéma-bloc de la figure 1.1 page suivante présente la structure d’un sys-tème de régulation numérique mono-variable (1 entrée, 1 sortie). On reconnaîtl’architecture classique d’un système bouclé. Comme tout système de régulationautomatique, le but de l’installation est d’assurer la correspondance entre le signalde consigne w(t)|t=k·h, k∈N , soit w(k · h), et la grandeur réglée y(k · h), indépen-damment des variations de w(k · h) (régulation de correspondance) et des effetsdes perturbations v(t) (régulation de maintien). De plus, l’ensemble doit être lemoins sensible possible au bruit n(t) intervenant sur la mesure.

Ce schéma comprend un bloc désigné "système à régler", dans lequel setrouvent, outre le système proprement dit, un amplificateur de puissance, le cap-teur de la grandeur réglée y(t) voire des filtres analogiques. Par comparaison avecun asservissement analogique, les éléments nouveaux suivants apparaissent :

– un convertisseur analogique-digital (appelé convertisseur A/D par la suite) ;– un algorithme, faisant office de régulateur, exécuté par une unité de calculcomme un processeur ;

– un convertisseur digital analogique (appelé convertisseur D/A par la suite) ;– une horloge (ou timer).Chaque conversion A/D, lancée à intervalles réguliers h par l’horloge,

échantillonne le signal analogique y(t) représentant la grandeur à régler et metainsi à disposition du processeur un nombre y(k ·h) représentant la valeur de y(t)à l’instant t = k ·h auquel la conversion A/D s’est effectuée. Le processeur exécutealors l’algorithme de régulation, formant en principe l’écart de régulation e(k · h)par comparaison de la grandeur réglée y(k ·h) avec le nombre w(k ·h) représentantla consigne, puis traitant cet écart. Le résultat de l’exécution de l’algorithme est






A

w ( k h )

y ( k h )

u ( t ) x ( t )u ( k h )

A N A L O G I Q U EN U M E R I Q U E

A L G O R I T H M E

S Y S T E M EA

R E G L E R

H O R L O G E

y ( k h )

k h

t

w ( k h )

k h t

h

t

y ( t )

v ( t )

n ( t )

c o n s i g n e

b r u i t s u r l a m e s u r e

g r a n d e u r r é g l é e

c o m m a n d ec o m m a n d e

p e r t u r b a t i o n

f _ 0 1 _ 0 1 . e p s

D

D

A S

u ( k h )

k h

Figure 1.1 – Schéma fonctionnel général d’un système de régulation numérique(fichier source).

un autre nombre, la commande u(k ·h) à appliquer sans délai (pour des raisons dedegré de stabilité de la boucle) au système à régler. Le nombre u(k ·h) n’étant pasun signal physique, il n’a aucune énergie et doit être préalablement transforméen un signal analogique u(t) par le convertisseur D/A. Le signal de commandeanalogique u(t) est alors appliqué à l’entrée du système à régler.

Cette suite d’opérations est répétée à intervalles réguliers h imposés par lafréquence d’échantillonnage fe = 1

h. Celle-ci est normalement ajustable par pro-

grammation de l’horloge, et constitue un paramètre à part entière du systèmeasservi numériquement.

1.1.1 Echantillonnage de la grandeur à régler y(t)

Le convertisseur A/D convertit la grandeur à régler analogique y(t) en unnombre y[k] à un rythme dicté par l’horloge (à distinguer de l’horloge nécessaireau fonctionnement du processeur). Ce rythme est en principe régulier et n’estautre que la période d’échantillonnage, désignée dans le cadre de ce courspar la lettre h. Le signal analogique y(t) subit en la circonstance l’opérationd’échantillonnage à chaque fois qu’une conversion est démarrée ; on dit que y(t)




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H O R L O G E

ht

f _ 0 1 _ 0 2 . e p s

Figure 1.2 – Mise en évidence de l’horloge (timer), nécessaire à tous les systèmesde régulation numérique pour définir puis garantir une fréquence d’échantillon-nage fe = 1

hdéterminée, en principe fixe (fichier source).

ky ( 0 )

y ( 2 h )y ( h )

y ( 3 h ) y ( 4 h )0 h 2 h 3 h 4 h

t

A D y ( k )y ( t )f _ 0 1 _ 0 3 . e p s

Figure 1.3 – Echantillonnage de la grandeur à régler y(t) (fichier source).

est échantillonné. Les instants0 [s]h2 · h3 · h. . .k · h. . .

auxquels y(t) est échantillonné sont les instants d’échantillonnage ; les nombres

y(0 [s])y(h)y(2 · h)y(3 · h). . .y(k · h). . .










k0 1 2 3 4 5 . . . k - 1 k ( k + 1 )

y ( k )y ( 0

)

y ( 1) y ( 2

)y ( 3

)y ( 4

)

y ( k)

y ( k+ 1

)

y ( k- 1 )

y ( 5) f _ 0 1 _ 0 4 . e p s

Figure 1.4 – La grandeur réglée y[k] est une suite de nombres (fichier source).

que prend y(t) à ces mêmes instants sont les échantillons.

Comme la période d’échantillonnage h est constante et connue, il n’y a aucunrisque de confusion si l’on désigne le signal numérique y(k ·h) de manière abrégéepar y[k]. Cette notation, où la période d’échantillonnage h est implicite, permetd’alléger l’écriture. La suite des échantillons de y(t) s’écrit donc :

y[0]y[h]y[2]y[3]. . .y[k]. . .

1.1.2 Grandeur à régler numérique y[k]

Le signal y(k · h) délivré par le convertisseur A/D se présente sous la formed’une suite de nombres, espacés dans le temps d’une durée h et représentant la va-leur du signal y(t) aux instants de conversion successifs. Si la première conversion








a lieu au temps t = 0 [s], on obtient donc régulièrement

y[0]y[1]y[2]y[3]. . .y[k]. . .

Le signal y(k · h) est discret puisqu’il ne peut varier qu’aux instants d’échan-tillonnage. De plus, la résolution du convertisseur A/D étant finie, l’amplitude dey(k · h) est quantifiée. Le signal y(k · h) est donc à la fois discret et quantifié. Untel signal est appelé signal numérique (§ 3.2 page 92).

L’instant k · h est l’instant présent. Les valeurs aux instants précédents dusignal discret y[k] sont :

y[k − 1]y[k − 2]. . .y[k − n]. . .

1.1.3 Consigne numérique w[k]

La consigne apparaît naturellement sous forme d’un signal numérique w[k],devant être comparé à un autre signal numérique, la grandeur réglée y[k]. Enpratique, on peut rencontrer deux cas de figure :

– La consigne originale est un signal analogique w(t) (figure 1.5 page sui-vante). Il faut alors l’échantillonner au moyen d’un convertisseur A/D quiproduit le signal numérique w[k]. Un cas typique est celui où la consigneest fixée par un opérateur au moyen d’un potentiomètre. Un autre cas estcelui où deux axes de machine doivent tourner de manière synchrone, à desvitesses situées dans un rapport constant (y compris lors des phases tran-sitoires de démarrage et d’arrêt) : le premier (le maître), reçoit sa consignede vitesse d’une commande amont ; le second (l’esclave) peut alors prendrepour consigne de vitesse le signal analogique provenant du capteur de vi-tesse du maître (par exemple une dynamo-tachymétrique). La figure 1.5page suivante illustre cet exemple.

Rappel : le saut unité de consigne n’estutilisé qu’à des fins d’analyse, saufcas particulier, comme la régulationdu couple ou du courant d’un servo-entraînement électrique [9].






w m a î t r e ( k )D

DA

S-

+A l g o r i t h m e

d ur é g u l a t e u rn u m é r i q u e

u ( k )

y ( k )

e ( k )

M

i a

JR f

F f = c o n s t

y ( t )

R a L a

w ( t )K tu ( t )

u a ( t )

AT

K T

K E

D

DA

S-

+A l g o r i t h m e

d ur é g u l a t e u rn u m é r i q u e

u ( k )

y ( k )

e ( k )

M

i a

JR f

F f = c o n s t

y ( t )

R a L a

w ( t )K tu ( t )

u a ( t )

AT

K T

K E

DA

w e s c l a v e ( k )

f_01_05.eps

Figure 1.5 – Schéma technologique de principe de la régulation de 2 axes demachines dont les consignes sont coordonnées. Pour un tel système, il est indis-pensable de synchroniser les électroniques (numériques) effectuant la régulationde chaque axe [9] (fichier source).

– La consigne originale est purement numérique, générée par le processeurchargé de la régulation ou une autre unité du même type. Il faut releverque la génération de consigne peut être une tâche extrêmement complexe etexigeante en opérations arithmétiques. Un exemple notable est celui de lacoordination des axes d’un centre d’usinage, d’un robot ou d’une machinede packaging (axes ayant "rendez-vous", figure 1.6 page ci-contre).








T M PG E N E R A T O RT M PG E N E R A T O R

C A M

C A MA M P L I F I E R

C O N V E R T E R C O N V E R T E RC O N V E R T E RC O N V E R T E R

A X I S

M

A X I S

M

A X I S

M

A X I S

M

4

2

3

1

M o t i o n P r o f i l e G e n e r a t o r s

C O R R E C T O R

M e a s u r eP r o d u c tR a t e

F i g u r e 2 2 P a c k a g i n g M a c h i n e D i a g r a m

Figure 1.6 – Schéma technologique d’une machine de packaging (selon [10], p.33-34) : chacun des servo-moteurs ("axis") est piloté par un régulateur numérique,lequel reçoit sa consigne de position par un bus de terrain.




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_01/Figures/rgb/f_01_b_04.pdf



1.1.4 Algorithme de régulation

w ( k )u ( k )A L G O R I T H M E

kk

y ( k )k

f _ 0 1 _ 0 6 . e p s

Figure 1.7 – Le régulateur prend la forme d’un algorithme exécuté à chaquepériode d’échantillonnage h (fichier source).

L’algorithme remplit la fonction du régulateur ; c’est un algorithme de ré-gulation qui a pour tâche de construire le signal de commande numérique u[k]en fonction des signaux d’entrée numériques w[k] et y[k]. Ceux-ci étant numé-riques tout comme le signal de sortie u[k], l’algorithme est un système numérique,exécuté par le processeur pour lequel il est programmé.

La durée d’exécution de l’algorithme est une donnée importante à connaîtrelors de la synthèse du régulateur numérique. Elle doit bien sûr impérativementêtre inférieure à h. La loi de commande définissant la manière d’obtenir u[k] àpartir des signaux numériques d’entrées w[k] et y[k]

u [k] = f [w [k] , w [k − 1] , w [k − 2] , . . . , y [k] , y [k − 1] , y [k − 2] , . . .]

peut être très complexe sans que cela pose des problèmes de réalisation d’uneenvergure comparable à ceux rencontrés en régulation analogique.

1.1.5 Grandeur de commande analogique u(t)

Le signal de commande u(t) est obtenu par conversion D/A du signal decommande numérique u[k]. C’est l’opération de construction d’un signal analo-gique à partir d’un signal numérique. La transformation d’une suite de nombressans énergie en un signal analogique à énergie non-nulle ne pose pas de grandesdifficultés techniques. Cependant, la manière de combler l’absence de toute infor-mation entre deux instants d’échantillonnage (pas de signal source) est a prioridu ressort du concepteur. Dans la grande majorité des applications, le convertis-seur D/A comprend un élément de maintien (bloqueur/extrapolateur d’ordre 0,§ 2.4.3 page 85) qui construit le signal analogique en convertissant à chaque ins-tant d’échantillonnage le nombre u[k] en une tension proportionnelle u(t), celle-ciétant alors maintenue constante pendant une durée h.








AD u ( t )u ( k )k h

t

f _ 0 1 _ 0 7 . e p s

Figure 1.8 – La grandeur de commande analogique u(t) est typiquementconstruite à partir de la commande numérique u[k] par un convertisseur D/Aavec élément de maintien (fichier source).

Le signal analogique u(t) prend ainsi la forme d’une suite d’impulsions rec-tangulaires juxtaposées, de largeur h constante et de hauteur

u[0]u[1]. . .u[k]. . .

1.1.6 Système à régler

u ( t ) y ( t )S Y S T E M E

AR E G L E R

tt

f _ 0 1 _ 0 8 . e p s

Figure 1.9 – Le système à régler (fichier source).

Le système à régler est par nature analogique. Comme il a toujours un com-portement de type passe-bas, i.e. comme il présente toujours une certaine inertie,le caractère discontinu de la commande u(t) ne s’observe en principe pas sur lagrandeur à régler analogique y(t).










AD

AD

u ( t ) y ( t )u ( k ) S Y S T E M E

AR E G L E R

k

y ( t )y ( k )

k

A L G O R I T H M ED E R E G U L A T I O N

f _ 0 1 _ 0 9 . e p s

Figure 1.10 – L’algorithme perçoit le système à régler au travers des convertis-seurs A/D et D/A, soit par l’intermédiaire des signaux numériques y[k] et u[k](fichier source).

Le système à régler comprend forcémentle capteur de la grandeur réglée ainsi que,selon les cas, un amplificateur de puis-sance, un actionneur, des filtres analo-giques, etc. En un mot, tout ce qu’il y aentre la commande u(t) et la (mesure dela) grandeur réglée y(t).

Globalement, on remarque que l’algorithme perçoit le système à régler autravers des convertisseurs A/D et D/A, soit par l’intermédiaire des signaux nu-mériques y[k] et u[k] (voir figure 1.10).

1.1.7 Faisabilité

Avec le principe de l’échantillonnage de la grandeur réglée plutôt que sonobservation continuelle, on peut tout de même s’inquiéter du fait que le systèmeà régler n’est plus sous contrôle entre deux instants d’échantillonnage, soit laplupart du temps !

En effet, ce n’est qu’à des moments précis (les instants d’échantillonnage k)que le régulateur s’avise de l’état du système à régler en échantillonnant la gran-deur à régler. En termes de régulation, le système est en boucle ouverte entre deuxinstants d’échantillonnage, le régulateur étant pendant cette période aveugle etincapable de réagir à toute variation de y(t). Le concept de base du système derégulation numérique est-il raisonnable ? Des exemples peuvent frapper l’imagi-nation :








f _ 0 1 _ 1 0 . e p s

E n r o u l e m e n td e N 1 s p i r e s

m o n t é s u r n o y a uf e r r o m a g n é t i q u e

i 1

F 1

s p h è r e f e r r o m a g n é t i q u ee n s u s t e n t a t i o n

0

x

L a m p e

L o u p e

P h o t o t r a n s i s t o r

A m p l i f i c a t e u r

S o r t i e s

E n t r é e s

Figure 1.11 – Sustentation magnétique (fichier source).

Exemple 1 Régulation numérique de la position d’un ascenseur/monte-charge. Le ré-gulateur a pour tâche de maintenir l’ascenseur à une position constanteimposée par la consigne. Ce faisant, il a finalement pour fonction de com-penser l’effet de la pesanteur. Ose-t-on délibérément le rendre "aveugle"pendant la majeure partie du temps ?

Exemple 2 Sustentation magnétique d’une sphère métallique (figure 1.11). Il s’agit d’unsystème "encore plus instable" que celui de l’ascenseur. Le régulateur doitcréer un champ d’induction suffisant pour créer une force compensant l’effetde la pesanteur mais doit éviter que ce même champ soit trop grand, auquelcas la sphère se colle très violemment à la bobine. Peut-on là aussi envisager"d’oublier" ce système à régler entre deux instants d’échantillonnage ?

Exemple 3 Régulation de la vitesse d’un axe de machine-outil. On considère un axede machine devant tourner à vitesse constante (régulation de maintien, fi-gure 1.12 page suivante), sur lequel agissent des perturbations de charge(impulsions de couple perturbateur) très violentes en amplitude et trèsbrèves en durée (de durée comparable à la période d’échantillonnage h).Un régulateur numérique est-il en la circonstance réellement capable de








SS-

+ ++

T p e r t

yu ( t ) wD

A

DA

S-

+w ( k ) A l g o r i t h m ed u

r é g u l a t e u ru ( k )

y ( k )

e ( k )

t0 h h h h h

T p e r t

f _ 0 1 _ 1 1 . e p s

Figure 1.12 – Système de régulation automatique de vitesse subissant des per-turbations rapides (fichier source).

remplacer un régulateur analogique ?

Bien que ces interrogations soient pleinement justifiées, il est facile d’y ré-pondre en rappelant :

– qu’entre deux instants d’échantillonnage, la grandeur de commande est évi-demment présente. Dans le cas le plus courant, elle a une valeur constante,égale à l’amplitude de la dernière commande discrète u[k], selon § 1.1.5page 18 ;

– que la durée pendant laquelle le régulateur est aveugle (soit la périoded’échantillonnage h) est un paramètre à part entière que l’on fixe après uneanalyse approfondie de l’application ;

– qu’un système à régler a toujours un comportement de type filtre passe-bas,excluant ainsi toute variation brutale (par exemple un saut) de la grandeurréglée y(t).

Ces quelques exemples mettent déjà en évidence le besoin d’une analyse par-ticulière adaptée à l’utilisation de régulateurs numériques. Cette analyse ne peutavoir lieu que si l’on dispose d’outils théoriques puissants, spécifiques aux sys-tèmes échantillonnés, qui sont pour une bonne part déjà fournis par les spécialistesdu traitement numérique des signaux.








M

J

y ( t )

w ( t )u ( t )u a ( t )

T

f _ 0 1 _ 1 2 . e p s

K m w

R f

R a L a

K T , K Ei a ( t )

Figure 1.13 – Système à régler : servo-moteur à courant continu (fichier source).

D

DA

S-

+w ( k ) A l g o r i t h m e

d ur é g u l a t e u r

P I n u m é r i q u e

u ( k )

y ( k )

e ( k )M

J

y ( t )

w ( t ) K m wu ( t ) u a ( t )A T

K TK E

f_01_13.eps

R fR a L a

i a ( t )

Figure 1.14 – Système de régulation automatique de vitesse par régulateur PInumérique (fichier source).

1.2 Exemple : asservissement de vitesse par régu-lateur PI numérique

Soit le système à régler donné par le schéma technologique de la figure 1.13. Onse propose d’asservir ce système en vitesse au moyen d’un régulateur numériquede type Proportionnel-Intégral. Le schéma fonctionnel détaillé de l’installation,comprenant le régulateur numérique, est donné sur la figure 1.14.

La loi de commande de ce dernier s’obtient par discrétisation de celle d’unrégulateur PI analogique, laquelle étant

u (t) = Kp ·(e (t) +

1

Ti·∫ t

−∞e (τ) · dτ

)

où e(t) est le signal d’erreur.










Evaluée à l’instant d’échantillonnage k ·h, cette loi devient discrète et s’écrit :

u (k · h) = Kp ·(e (k · h) +

1

Ti·∫ k·h

−∞e (τ) · dτ

)

La résolution de l’intégrale passe par le calcul de l’aire comprise entre l’axe t etle signal e(t). Une approximation de cette aire peut être faite par la méthode desrectangles (figure 1.15).

On se propose ainsi d’approximer cette aire par une somme de rectangles delargeur h et de hauteur

e(0 · h)e(1 · h). . .e(k · h− h)

On a : ∫ k·h

−∞e (τ) · dτ ≈

k−1∑l=0

e(l · h) · h

La loi de commande discrète du régulateur PI numérique devient :

u (k · h) = Kp ·

(e (k · h) +

1

Ti·k−1∑l=0

e(l · h) · h

)

k h( k - 1 ) h

( k - 1 ) i è m er e c t a n g l e

e ( t )e ( k )

e ( k - 1 )

h

e ( 1 )

e ( 0 )

h ( k + 1 ) h t ,k0

e ( k + 1 )

f _ 0 1 _ 1 7 . e p s

Figure 1.15 – Approximation de l’intégrale de l’erreur par une somme de rec-tangles (fichier source).








Cette forme se prête mal à la programmation, puisqu’elle nécessite la mémo-risation de toutes les valeurs passées e(0), e(h), e(2 · h),. . ., e(k · h− h) du signald’erreur numérique e(k · h). Afin de contourner cette difficulté, on peut écrire leslois de commande aux instants présent k ·h et et précédent [k−1] ·h et soustrairemembre à membre :

u (k · h) = Kp ·(e (k · h) + 1

Ti· h ·

k−1∑l=0

e (l · h)

)u ((k − 1) · h) = Kp ·

(e ((k − 1) · h) + 1

Ti· h ·

k−2∑l=0

e (l · h)

)u(k · h)− u((k − 1) · h) = Kp ·

(e(k · h)− e((k − 1) · h) + 1

Ti· h ·

k−1∑l=0

e(l · h)− 1Ti· h ·

k−2∑l=0

e(l · h)

)En regroupant le termes relatifs au même instant d’échantillonnage, on obtientfinalement l’expression de la loi de commande recherchée, après avoir allégé lanotation en omettant la période d’échantillonnage h lorsque celle-ci intervientpour désigner un instant (et non une durée !) :

u[k] = u[k − 1] +Kp · e[k] +Kp ·(h

Ti− 1

)· e[k − 1]

Sous forme compacte, on a :

u[k] = u[k − 1] + b0 · e[k] + b1 · e[k − 1]

avec

b0 = Kp

b1 = Kp ·(hTi− 1) . La programmation du régulateur PI numérique a

dès lors la forme suivante :void regulateur_PI ( )

/∗ l i t l e contenu du r e g i s t r e de s o r t i e du conve r t i s s eu r A/D ∗/AD_Conv(y [ 0 ] ) ;e [ 0 ] = w[ 0 ] − y [ 0 ] ; /∗ forme l ’ erreur ∗//∗ Calcu le l a commande u [ k ] ∗/u [ 0 ] = u [ 1 ] + b0 ∗ e [ 0 ] + b1 ∗ e [ 1 ] ;DA_Conv(u [ 0 ] ) ; /∗ Commande l a convers ion D/A de u [ k ] ∗/u [ 1 ] = u [ 0 ] ; /∗ mise a jour , g e s t i on de l a p i l e u ∗/e [ 1 ] = e [ 0 ] ; /∗ mise a jour , g e s t i on de l a p i l e e ∗/

On présente sur la figure 1.16 page suivante la réponse indicielle discrète y[k] =γ[k] en boucle fermée (régulation de correspondance), telle que l’algorithme laperçoit au travers du convertisseur A/D. On y a superposé en pointillé l’allure dusignal analogique y(t) ainsi qu’on pourrait l’observer au moyen d’un oscilloscopeanalogique.

Le signal de commande analogique u(t) présente une variation caractéristiqueen escalier (figure 1.17 page suivante), qui n’est autre que la reconstitution parélément de maintien du signal numérique u[k] correspondant.






0 2 4 6 8 10 120

0.5

1

1.5Grandeur réglée (régulateur PI numérique)

t, k

y(k)

, y(t)

f_01_matlab_23_7.eps

Figure 1.16 – Réponse indicielle discrète en boucle fermée, régulation de corres-pondance, avec régulateur PI numérique. La grandeur réglée analogique y(t) estégalement donnée (fichier source).

0 2 4 6 8 10 120

1

2

3

4

5

6Commande (régulateur PI numérique)

t, k

u(k)

, u(t)


Figure 1.17 – Commande u[k] délivrée par le régulateur PI numérique dansle cas d’un saut unité de consigne w[k]. Sa reconstruction analogique u(t) estégalement donnée (fichier source).




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_01/Figures/rgb/F_01_matlab_23_7.pdf

http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_01/matlab//f_01_matlab_23.m





RAM,

EEPR

OM

m P

AD

E L E M E N TD E

M A I N T I E N

MULT

IPLEX

EUR

ANAL

OGIQ

UE

H O R L O G E

ENTR

EES

/SO

RTIES

y 1 ( t )E L E M E N T

D E M A I N T I E N y 2 ( t )

y n ( t )

F I L T R EA N T I -

R E P L I E M E N T

F I L T R EA N T I -

R E P L I E M E N T

D A T A B U S & A D D R E S S B U S

AD

E L E M E N TD E

M A I N T I E N

DEMU

LTIPL

EXEU

RAN

ALOG

IQUE E L E M E N T

D E M A I N T I E N u 2 ( t )

u n ( t )

u 1 ( t )

COMM

ANDE

SGR

ANDE

URS

REGL

EES

CIRC

UIT D

ECO

MMUN

ICAT

ION

f _ 0 1 _ 1 4 . e p s

Figure 1.18 – Réalisation hardware typique pour un système de régulation nu-mérique (fichier source).

1.3 Composants spécifiques d’un système de ré-gulation numérique

1.3.1 Matériel

Une réalisation minimale d’un système de régulation numérique se présentesous la forme décrite à la figure 1.18.

Outre la présence déjà évoquée du processeur, des convertisseurs A/D et D/A,ainsi que d’une horloge programmable permettant de fixer la période d’échan-tillonnage h, il est indispensable de disposer de mémoire RAM et/ou EPROM,d’un certain nombre d’entrée/sorties digitales et finalement de circuits de com-munication. Ont également été prévus des multiplexeur et démultiplexeur analo-giques, nécessaires dans les installations de régulation multivariable.








Processeur

L’avènement au début des années 80 des processeurs de signaux (DSP : Digi-tal Signal Processor) a fourni aux ingénieurs-automaticiens la puissance de calculnécessaire à la mise en oeuvre d’algorithmes de régulation évolués (Texas Ins-truments, Nec, Analog Devices, Fujitsu, Motorola, etc). Ces processeurs, dontl’ensemble d’instructions est réduit, se caractérisent par une vitesse de calcul re-marquable (5 à 100 [ns] de durée de cycle instruction) et notamment par le faitqu’ils disposent d’un opérateur de multiplication hardware (donc ni codé ni micro-codé, mais câblé), rendant la multiplication de deux nombres (un coefficient etla valeur d’un signal numérique) aussi rapide que n’importe qu’elle autre instruc-tion de base. A titre d’exemple, la loi de commande du régulateur PI numériqueobtenue au § 1.2 page 23 nécessite deux multiplications

u[k] = u[k − 1] + b0 · e[k] + b1 · e[k − 1]

et l’implantation en assembleur d’une telle loi de commande pour le processeurDSP Texas TMS320F2407 (16 bits, virgule fixe) est donné ci-dessous :

∗∗ REGULATEUR PI∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗

LAC W,0 ;ACC = WSUB Y,0 ;ACC = W−YSACL E_0,0 ; e r r eu r i n s t an t pre sent sauvegardee dans E0LAC U_1,12 ;ACC = 2^12∗U_1LT E_1 ; e r r eu r a l ’ i n s t an t precedent dans r e g i s t r e T

MPYB1 ; r e g i s t r e P=B1∗E1 (B1=2^12∗b1 )LTDE_0 ;ACC=2^12∗U_1+B1∗E1 , E0 cop i e dansE_1MPYB0 ;P=B0∗E0 (B0=2^12∗b0 )APAC ;ACC=2^12∗U_1+B0∗E0+B1∗E1SACHU_0, 4 ;U_0=U_1+b0∗E0+b1∗E1DMOVU_0 ;U0 cop i e dansU_1

A 20 [ns] de durée d’exécution pour chaque instruction, même pour les multi-plications, on voit que le processeur mettrait 10 · 20 [ns] = 200 [ns] = 0.2 [µs]pour exécuter le code du régulateur PI numérique ci-dessus. Il manque dans lecode l’accès aux registres des convertisseurs A/D et D/A afin d’obtenir Y et deconvertir U_0 respectivement.

Le prix des processeurs DSP est tout à fait abordable, si l’on se contentede versions 16 bits à virgule fixe, bien qu’actuellement certaines versions à vir-gule flottante soient compétitives d’un point de vue économique. Le problème duprix est en fait reporté sur les composants périphériques, dont la rapidité doitconcorder avec celle du processeur. En particulier, les mémoires RAM rapides(10− 40 [ns]) de petites capacités (1-64 [kbytes]) peuvent s’avérer très coûteuses.Fort heureusement, les DSPs d’aujourd’hui (Texas TMS320F2407, Analog De-






vices ADMC401) comportent désormais on chip de tels périphériques, à l’instardes microcontrôleurs évoqués brièvement ci-dessous.

Dans les applications très dynamiques (entraînements réglés, régulation decourant), pour lesquelles la période d’échantillonnage est petite (h = 50 [µs] à1 [ms]), le temps d’exécution imparti à l’algorithme de régulation est nécessai-rement court, ce qui implique un code de longueur réduite. Par conséquent, lesexigences en quantité de mémoire rapide peuvent devenir tout à fait raisonnables(typiquement 4 à 64 [kbytes]).

D’autre types de processeurs très bien adaptés aux besoins de la régulationnumérique sont également disponibles sur le marché : il s’agit desmicrocontrôleurs(Motorola, Hitachi, Nec, Siemens, etc), se distinguant par le fait qu’il intègrentsur une même puce un processeur, des convertisseurs A/D et D/A multi-canaux,des compteurs/décompteurs, des entrées/sorties digitales, une horloge, de la RAMet de la PROM ainsi que des circuits de communication tel que par exemple desinterfaces pour le bus de terrain CAN. Ils sont opérationnels presque sans ajout decomposants externes. Par rapport aux DSPs, ils présentent l’inconvénient d’êtremoins rapides (multiplication en plus d’une microseconde), mais l’évolution deces circuits est fulgurante.

La vitesse du processeur choisi dépend complètement de l’application et deses exigences en rapidité, et par conséquent de la période d’échantillonnage h.Celle-ci peut prendre les valeurs suivantes (table 1.3.1), citées dans le but de fixerdes ordres de grandeurs [1] :

Grandeur échantillonnée/ Domained’application

h

Courant dans les entraînements réglés 50 . . . 100 [µs]Position en robotique et machines spéciales(imprimerie, textiles, emballage)

200 [µs] . . . 1 [ms]

Position en machine-outil 500 [µs] . . . 10 [ms]Débit, pression, niveau 0.1 [s]− 10 [s]

Table 1.1 – Périodes d’échantillonnage typiques, selon [1].

Les résultats des calculs effectués par le processeur déterminant les com-mandes appliquées dans l’environnement immédiat par les actionneurs, le fonc-tionnement du processeur ou celui de l’algorithme devrait être surveillé par uncircuit de type watchdog.

Convertisseur analogique-digital

Les performances des convertisseurs A/D ont suivi une évolution parallèle àcelle de DSPs, même si le prix d’un convertisseur A/D rapide d’une résolution de






12 bits est élevé. L’avènement des convertisseurs A/D de type Σ −∆ utilisés enmasse en audio-numérique n’a pour l’instant pas amélioré la situation de ce pointde vue là. Des temps de conversion de l’ordre de la microseconde sont courants.

Il existe des situations où le convertisseur A/D est superflu en tant que compo-sant, notamment lorsque le capteur de la grandeur à régler fournit une informationintrinsèquement discrète. C’est par exemple le cas lors de l’utilisation de capteursoptiques de position linéaires ou rotatifs de type incrémental (encodeur optiqueincrémental, figure 1.19), que l’on trouve très fréquemment dans le domaine dela machine-outil. Un codeur incrémental rotatif fournit par exemple 4096 impul-sions par tour qu’il suffit de compter pour connaître la position angulaire. Onmentionnera également la conversion tension-fréquence, alternative peu coûteuseà la conversion A/D. Le signal analogique sortant du capteur est une suite d’im-pulsions modulée en fréquence. Dans un cas comme dans l’autre, l’obtention d’unnombre représentatif de la valeur instantanée du signal mesuré s’effectue par unsimple compteur/décompteur (soit un intégrateur numérique, § 4.3.1 page 116).La plupart des microcontrôleurs comportent plusieurs compteurs/décompteurs.Formellement, la fonction conversion A/D est donc bien sûr toujours présente.

Figure 1.19 – Capteur de position de type codeur incrémental.

En pratique, on peut (voire on doit...) souvent se contenter d’une résolutionde 10 à 12 bits. Il s’agit dans la plupart des cas d’une résolution raisonnable, euégard aux rapports signal sur bruit des grandeurs à convertir.

Il faut être conscient du fait que le convertisseur A/D possède une caractéris-tique statique non-linéaire dont les effets ne sont pas toujours négligeables (§ 7.7page 270). Une introduction à l’analyse des systèmes non-linéaires permettrad’évaluer l’effet de la quantification sur la stabilité.

Souvent cependant, la résolution du convertisseur A/D est suffisante pourque la présence de cette non-linéarité dans la boucle soit sans conséquence no-table. L’effet de la quantification de l’amplitude de y(k · h) peut donc être sans




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_01/Figures/rgb/rod426.pdf

http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_01/Figures/rgb/rod420.pdf

http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_01/Figures/rgb/7ab.pdf

http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_01/Figures/rgb/codeur_optique.pdf

http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_01/Figures/rgb/7d3a.pdf



0 y

y q

f _ 0 1 _ 1 5 . e p s

D y q

Figure 1.20 – Caractéristique non-linéaire d’un convertisseur A/D. L’effet de laquantification de l’amplitude (pas de quantification ∆yq) du signal converti peutêtre assimilé à un bruit sur la mesure. La variance de ce bruit a pour expressionσ2q = ∆yq

12(§ 7.7 page 270 et [7], §10.3.4) (fichier source).

autre négligé, les signaux numériques étant alors assimilés à des signaux discrets.C’est l’hypothèse qui sera adoptée pour la suite, et les deux désignations serontindifféremment employées (§ 3.2 page 92).

Convertisseur digital-analogique

Il s’agit de l’élément posant le moins de difficulté, quel que soit le point devue. C’est fonctionnellement un composant relativement simple à réaliser, sontemps de conversion n’est pas comparable aux autres temps morts de la boucle(conversion A/D et durée d’exécution de l’algorithme, § 1.6.2 page 50) et son prixn’est pas déterminant dans le coût global du circuit.

Sa résolution est supposée infinie pour la suite du cours, même si elle se monteen réalité souvent à 12 bits.

1.3.2 Logiciel

Il faut relever le fait que la tâche de régulation proprement dite n’est qu’unepetite partie de l’ensemble du code, le processeur pouvant et devant effectuer biend’autres tâches annexes indispensables au bon fonctionnement de l’application.

Routine de régulation

La séquence des opérations effectuées dès l’instant k · h et pendant une duréeinférieure à la période d’échantillonnage h est généralement la suivante (voirégalement figure 1.31 page 46) :








Lectu

re et tra

iteme

nt du ré

sultat

de la co

nvers

ion A/D (

=> y(

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Exécu

tion d

e l'alg

orithm

e de

régula

tion

=> u(k

) = f(w

(k), w

(k-1),

...,y(

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.) )

Lancem

ent d

'une c

onversion D/A

de la co

mmande u(

k) =>

u(t)

Mises

à jou

r, lect

ure de

lapro

chain

e consig

ne w(k+

1)

k k + 1

h

T c o n v A D T c o n v D AT c a l c u l

Lancem

ent d

'une c

onversion A/D

de la gr

andeur

réglée

y(t)

Lancem

ent d

'une c

onversion A/D

de la gr

andeur

réglée

y(t)

t

k k + 1 t

T â c h e s

etc

interru

ption

S i g n a l d ' h o r l o g e( b a s e d e t e m p sp o u r d é f i n i r h )

f _ 0 1 _ 1 6 . e p s

Figure 1.21 – Visualisation de la séquence des opérations effectuées par le logicield’un système de régulation numérique (fichier source).

Opération1 Le signal d’horloge génère une interruption.2 Le processeur commence l’exécution de sa routine d’interruption,

lance la conversion A/D de y(t). Celle-ci terminée, il lit le nombrey[k] , résultant de l’échantillonnage de y(t) à l’instant t = k · h.

3 Exécution de l’algorithme de régulation, version programmée dela loi de commande du régulateur numérique, avec en principe lecalcul de l’écarte(k · h) = w(k · h)− y(k · h)Le résultat est la commande u[k] à appliquer au système à régler.

4 Le processeur lance la conversion D/A de u[k] ; il en résulte u(t).5 Fin de la routine d’interruption, exécution de tâches de fond.








La minimisation de la durée de calcul passe naturellement par un code delongueur réduite, qui s’obtient parfois au prix d’un effort soutenu d’optimisation,que le langage de programmation soit de haut niveau (le plus souvent C) ou duniveau machine (assembleur). Dans certains cas, on est contraint de faire descompromis quant à la portabilité, la structuration et la lisibilité du code. Si cescompromis ne concernent que la routine de régulation (la loi de commande), soitune très petite partie de l’ensemble, ils peuvent être exceptionnellement acceptés.

Gestion de la mesure (conversion A/D, sélection du canal et/ou ducapteur)

Le processeur est normalement chargé de la gestion de la conversion A/D. Lasélection du signal à convertir (cas de régulation multi-variables), le traitement dela valeur brute issue du convertisseur lui incombent. Entre autres tâches, on peutimaginer des routines effectuant un filtrage numérique de la mesure ou traitant lescas où celle-ci est temporairement absente ou non-valide (parasite, saturation duconvertisseur A/D). Par exemple, une tâche peut avoir pour but pallier l’absenced’une mesure en la reconstituant par extrapolation des données précédentes oupar un procédé de détection d’enveloppe.

Réception / génération de la consigne

Si la consigne est créée dans une autre unité ou provient directement d’unsignal analogique, il suffit au processeur chargé de la régulation de la réceptionnerpar ses circuits de communication (cas d’une consigne numérique transmise parbus de terrain) ou de la convertir en un signal numérique en ayant recours à unconvertisseur A/D.

La génération de consigne est un travail considérable, très gourmand en tempsde calcul. De surcroît, sa programmation en virgule fixe peut relever de l’exploit.Si ce travail est du ressort du processeur, les performances de ce dernier et lapériode d’échantillonnage doivent être choisies après une étude soignée.

Exemple : consigne "bang-bang" La consigne bang-bang est générée pardeux courbes du second ordre (paraboles) raccordées (haut de la figure 1.22 pagesuivante). Elle est naturellement plus douce qu’une consigne en forme de sautunité, mais cette douceur n’est qu’apparente.

En imaginant qu’il s’agisse d’une consigne de position angulaire (θc[k]), sesdérivées première et seconde représentent respectivement les consignes de vitesseωc[k] et d’accélération αc[k]. Cette dernière montre un profil discontinu, où lesphases d’accélération/freinage, bien visibles, sont brutales. Le couple moteur cor-respondant aura une allure similaire, provoquant une sollicitation importante del’actionneur.






0 5 10 15 20 25 300

0.5

1w

(k)

Consigne de position θc(k)

0 5 10 15 20 25 30−1

0

1

2

3

ωc(k

)

Consigne de vitesse ωc(k)

0 5 10 15 20 25 30−5

0

5

10

k

α c(k)

Consigne d"accélération αc(k)

f_01_matlab_60_1c.eps

Figure 1.22 – Consigne de position produite par un générateur de consigne detype "bang-bang" (fichier source).

La difficulté de la génération de telles consignes survient lorsqu’elles doiventêtre programmées en nombres entiers : il faut alors simultanément satisfaire lescontraintes suivantes :

– toutes les valeurs instantanées des 3 signaux θc[k], ωc[k] et αc[k] doiventêtre arrondies, par exemple avec une résolution de 16 bits sans que cela nerajoute des discontinuités dans le mouvement ;

– il faut que la somme (l’intégrale) des accélérations αc[k] coïncide en toutinstant k parfaitement avec la vitesse ωc[k], de même que la somme de ωc[k]doit correspondre à θc[k]. Si cela n’est pas respecté, les 3 consignes ne serontpas concordantes, ce dégradera les performances de l’asservissement si celui-ci comporte, comme souvent, des commandes anticipées (§ 7.3 page 233).

Limitation, surveillance et protection

L’actionneur utilisé ayant nécessairement un domaine de fonctionnement li-mité (par exemple couple maximum d’un moteur électrique), il est logique de ne








AD

AD

w ( k )

y ( k )

u ( t ) y ( t )A l g o r i t h m ed u

r é g u l a t e u rS Y S T E M E

AR E G L E R

u ( k )v

u+ u m a x

- u m a x

L I M I T A T I O Nv ( k )

f _ 0 1 _ 1 8 . e p s

Figure 1.23 – Insertion d’un disposition de limitation de la grandeur decommande. La réalisation de ce dispositif se fait avantageusement par logiciel(fichier source).

pas lui demander plus qu’il ne peut. C’est la raison pour laquelle une limitationlogicielle de la commande u[k] doit faire partie de l’algorithme de régulation.Cette limitation présente le double avantage de protéger l’actionneur (une limita-tion hardware supplémentaire peut être requise) et d’informer le régulateur quela commande demandée ne pourra être réalisée.

Le processeur, en ayant connaissance à chaque instant d’échantillonnage dela grandeur réglée et de la commande, est à même de surveiller le fonctionne-ment de l’installation. Une grandeur réglée divergente, incontrôlable doit êtredétectée à temps et l’algorithme doit décider (selon des critères à définir) desdispositions à prendre (arrêt d’urgence, signalisation en amont, etc). De même,une commande en état prolongé de saturation, ou oscillante peut être le signed’un mauvais fonctionnement ou d’une inadéquation des performances requiseset celles effectivement possibles.

Tâches de fond

Il existe moult tâches annexes ou secondaires nécessaires au fonctionnementsûr d’une installation même simple. Beaucoup d’entre-elles peuvent s’exécuter àun rythme bien inférieur à celui fixé par la période d’échantillonnage, et d’autres,lourdes en temps de calcul, voient leur exécution répartie sur plusieurs périodesd’échantillonnage. Ces tâches vont du plus simple au plus compliqué, passant pardes surveillances diverses, des affichages de l’état actuel (diode LED, affichage7 segments, etc), le dialogue avec la commande maître, le monitoring de certainesvariables, etc.








1.4 Comparaison des régulateurs numériques etanalogiques

1.4.1 Points faibles et points forts des régulateurs numé-riques

Le principal avantage d’un régulateur numérique est sans nul doute la facilitéavec laquelle une loi de commande même compliquée peut être programmée. Lamodification des coefficients de cette loi en vue de l’adapter à différents systèmesà régler est une opération extrêmement simple, automatique dans certains cas(régulateur STR : Self Tuning Regulator). Quant au changement de la loi decommande (modification de la structure du régulateur), elle n’implique qu’unereprogrammation, suivie d’une compilation et enfin d’un chargement/télécharge-ment du nouveau code exécutable.

Sur cette base de comparaison, un régulateur numérique supplante indiscuta-blement sa version analogique. Néanmoins, un régulateur numérique possède uncertain nombre de points faibles (tableau 1.4.1 page 38).

Le développement détaillé de ces points sera effectué dans des chapitres sui-vants. En regard de ces inconvénients, il faut évidemment énumérer les pointsforts d’un régulateur numérique (tableau 1.4.1 page 39).

De plus, il faut insister sur le fait que dès le moment où l’on dispose d’unprocesseur pour effectuer la régulation, on en profitera pour lui faire exécuterde multiples autres travaux (surveillance, protection, monitoring), à un degré telque la fonction de régulation devient en complexité et en temps d’exécution trèssecondaire. Sur ce plan là, un régulateur numérique est imbattable, et cet aspectdoit être pris en compte lors de la comparaison prix/performances des deux typesde régulateurs.

1.4.2 Exemple : comparaison des performances de régula-teurs PI analogiques et numériques

Les réponses indicielles en boucle fermée suivantes sont celles correspondantaux cas où :

1. Le régulateur PI est analogique, le gain est optimal (ζ=0.5) ; voir figure 1.24page ci-contre ;

2. Le régulateur PI est numérique, les gains étant les mêmes qu’en 1). Lacomparaison avec la réponse indicielle obtenue sous les conditions 1) montreque le système asservi par le régulateur numérique a un degré de stabilitémoindre ; voir figure 1.24 page suivante ;

3. Le régulateur PI est numérique, les gains étant réajustés de façon que lecomportement soit optimal (ζ = 0.5) comme en sur la figure 1.24. On






0 2 4 6 8 10 120

0.5

1

1.5Grandeur réglée (régulateur PI analogique et numérique)

t, k

y(k)

, y(t)


Figure 1.24 – Réponses indicielles de 2 systèmes asservis, l’un par un régulateurPI analogique et le second par un régulateur PI numérique. Les gains Kp et Tiinstallés sont identiques. On observe que le régulateur PI numérique offre undegré de stabilité moindre (fichier source).

0 2 4 6 8 10 120

0.5

1

1.5Grandeur réglée (régulateur PI analogique et numérique)

t, k

y(k)

, y(t)


Figure 1.25 – Réponses indicielles de 2 systèmes asservis, l’un par un régulateurPI analogique et le second par un régulateur PI numérique. Les gains Kp et Tiutilisés pour le régulateur numérique ont dû être réduit afin d’offrir un degré destabilité identique (fichier source).










Points faibles d’un régulateur numérique comparé à un régula-teur analogique

1 Observation discontinue de la grandeur réglée (système en boucle ouverteentre deux instants d’échantillonnage).

2 Sans précautions particulières, insertion de non-linéarités dans la bouclede régulation, dues à la quantification des convertisseurs, à la précision decalcul finie du processeur et au procédé d’échantillonnage (recouvrementspectral). Ces non-linéarités peuvent avoir un effet déstabilisant (cycleslimites) et introduisent des bruits supplémentaires, voire des battements.

3 Insertion de retards purs dans la boucle de régulation :– temps de conversion A/D ;– temps d’exécution de l’algorithme de régulation ;– temps de conversion D/A.

4 Insertion dans la boucle de régulation d’un retard supplémentaire dûà la construction imparfaite de la commande analogique à partir de lacommande numérique.

5 Insertion dans la boucle de régulation d’un retard (déphasage) supplé-mentaire dû à la présence d’un filtre anti-repliement (voir cours de trai-tement de signal et chapitre2 du présent cours).

6 Excitation possible de modes rapides mal amortis du système à régler encas de commande variant par sauts brusques (quantification grossière duconvertisseur D/A).

7 Synthèse fréquentielle plus délicate.8 Infrastructure logicielle lourde (émulateur, compilateur, assembleur, édi-

teur de liens).9 Pour un régulateur simple, grand nombre de composants, d’une com-

plexité supérieure.10 A structure et gains du régulateur identiques (par exemple PI analogique

et PI numérique), le régulateur analogique offre des performances supé-rieures.






Points forts d’un régulateur numérique comparé à un régulateuranalogique

1 Souplesse d’emploi exceptionnelle, modification aisée des paramètres etde la structure du régulateur.

2 Adaptation (en temps réel ou off line) des paramètres du régulateur enfonction des variations de ceux du système à régler ("gain scheduling"(prévision du gain) et commande adaptative).

3 Réalisation aisée de régulateurs complexes, lois de commande raffinées.Facilité de mise en oeuvre de commandes anticipatrices (compensationpar rapport à la consigne ou à certaines perturbations). Mise en oeuvred’algorithmes de régulation sans équivalent analogique (régulateur à ré-ponse pile, "deadbeat").

4 Insensibilité de la caractéristique entrée-sortie du régulateur aux para-sites, aux variations de température, au vieillissement, etc.

5 Pas de dispersion des paramètres du régulateur en cas de fabrication ensérie.

6 Prise en compte de défauts, des limites et comportements particuliers dusystème à régler (non-linéarités, saturation) par simple programmation.Linéarisation autour d’un point de fonctionnement ajustable.






observe qu’à degré de stabilité identique, le régulateur analogique offre demeilleures performances ; voir figure 1.25 page 37.

1.4.3 Exemple : commande anticipatrice (ou commande apriori)

L’exemple du paragraphe précédent montre clairement la supériorité du ré-gulateur analogique sur son équivalent numérique. Montrons qu’à degrés de sta-bilité identiques, un asservissement par régulateur numérique, en principe pluslent, peut être rendu plus rapide que son concurrent 100% analogique par simpleadjonction d’une commande anticipatrice (§ 7.3 page 233) dont la programmationest extrêmement simple.

0 2 4 6 8 10 12 140

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Poursuite d’une consigne bang bang: consignes et grandeurs réglées

w, y

anal

ogiq

ue, y

num

ériq

ue

wy

analogiquey

numérique (a priori)

0 2 4 6 8 10 12 14−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5Poursuite d’une consigne bang bang: erreurs

t [s]

e anal

ogiq

ue, e

num

ériq

ue

eanalogique

enumérique

(a priori)


Figure 1.26 – Amélioration des performances par commande anticipée ou apriori (fichier source).

On considère le cas d’un asservissement par régulateur P. Les gains des régula-teurs analogique et numérique sont ajustés de façon à ce que le degré de stabilitésoit identique en boucle fermée. La commande du régulateur P numérique esttoutefois complétée par une commande anticipée compensant grosso modo l’effet








des constantes de temps dominantes du système à régler (§ 7.3 page 233). Laroutine de régulation devient :

void regulateur_P ( )

AD_Conv(y [ 0 ] ) ; /∗ l i t l e contenu du r e g i s t r e de s o r t i e du conve r t i s s eu r A/D∗/e [ 0 ] = w[ 0 ] − y [ 0 ] ; /∗ forme l ’ erreur ∗//∗ Calcu le l a commande u( k ) ∗/u [ 0 ] = Kp ∗ e [ 0 ] + t0 ∗ w[ 0 ] + t1 ∗ w[ 1 ] + t2 ∗ w [ 2 ] ;DA_Conv(u [ 0 ] ) ; /∗ Commande l a convers ion D/A de u( k ) ∗/w[ 2 ] = w [ 1 ] ; /∗ mise a jour , g e s t i on de l a p i l e w ∗/w[ 1 ] = w [ 0 ] ;

Afin de rendre la simulation significative (comme le montre la loi de com-mande, il faut que la consigne évolue pour que les commandes anticipées ap-portent une amélioration), une consigne de type bang-bang (selon § 1.3.2 page 33)est appliquée au système asservi ; la figure 1.26 page ci-contre montre les réponsesen boucle fermée dans les deux cas.

La visualisation de l’erreur dans les deux cas (bas figure 1.26 page précédente)montre que non seulement la durée de réglage est plus faible, mais qu’il en estégalement ainsi de l’erreur en régime transitoire.

On conçoit que la commande anticipatrice réalisée analogiquement donnera demeilleurs résultats encore. Mais les modifications nécessaires du circuit pourrontla rendre économiquement impossible à réaliser.

En guise de conclusion de ce paragraphe, on rappellera qu’à structure et gainsidentiques, un régulateur numérique est toujours moins performant que sa ver-sion analogique. Ce n’est qu’en exploitant la souplesse d’emploi d’un régulateurnumérique qu’on peut le rendre plus performant.






1.5 Justification d’une étude spécifique des sys-tèmes asservis numériquement

L’exemple de la régulation de vitesse traité au § 1.2 page 23 peut laisser croireque la synthèse d’un régulateur numérique repose complètement sur les méthodesvues en analogique. Au pire, une légère diminution des gains peut s’avérer né-cessaire afin de conserver un degré de stabilité suffisant (§ 7.4.10 page 256). Ilne s’agirait que d’un ajustage, rendant le présent cours de régulation numériquesuperflu . . .

Cette optique est à la fois vraie et fausse ; vraie car il est juste que moyennantquelques simples précautions, les procédures de synthèse fréquentielles et com-plexes (lieu des pôles) des régulateurs analogiques peuvent être appliquées avecsuccès à leurs correspondants numériques. Les précautions à prendre consistentessentiellement à :

1. S’assurer que la période d’échantillonnage h soit faible par rapport auxconstantes de temps dominantes en boucle ouverte et fermée ;

2. A prendre en compte le retard pur total imputable au fonctionnement enmode échantillonné.

La satisfaction simultanée de ces deux exigences conduira à de très bons ré-sultats. Il s’agit de la méthode pseudo-continue, étudiée ultérieurement (chap.6).

Cette façon de faire possède néanmoins quelques points faibles :

1. Une période d’échantillonnage faible est synonyme d’un coût élevé en ma-tériel. Parfois, il est désirable d’obtenir la même qualité de régulation pourune période d’échantillonnage compatible avec les impératifs économiques,voire techniques (plus la période d’échantillonnage est faible, moins il y ade temps disponible pour d’autres tâches que la régulation). Le problèmedu choix de la période d’échantillonnage n’est pas facile à traiter. Il n’existepas de règle stricte permettant de la fixer. Il faudra donc y revenir plusieursfois dans ce cours, après avoir acquis une certaine expérience pour définirune méthode de calcul.

2. Si l’on y prend pas garde, l’échantillonnage des signaux peut induire desphénomènes très complexes à identifier, pénalisant les performances ; ons’expose ainsi à l’apparition de comportements tout à fait inattendus.Exemple : battement provoqué par le non-respect du théorème d’échan-tillonnage (figures 1.27 page ci-contre et 1.28 page suivante, selon [1]). Onconsidère l’échantillonnage et la reconstruction immédiate, sans traitement,d’un signal analogique u(t) constant bruité par un signal sinusoïdal de fré-quence 0.52 [Hz] (voir figure 1.27 page ci-contre).La fréquence d’échantillonnage fe est de 1 [Hz]. La figure 1.28 page suivantemontre l’apparition de composantes spectrales de basses fréquences, nonvisibles dans le spectre du signal d’entrée.






0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

u(t),

u(k

)

Sous−échantillonnage d’un signal analogique

f_01_matlab_43_44_1.eps

Figure 1.27 – Echantillonnage du signal sinusoïdal u(t) = 0.4 + 0.1 ·sin (2 · π · 0.52 [Hz] · t) (fichier source).

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

t [s]

y(t)

Reconstruction du signal analogique

f_01_matlab_43_44_2.eps

Figure 1.28 – Battement provoqué par le non-respect du théorème de l’échan-tillonnage (fichier source).




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_01/Figures/rgb/F_01_matlab_43_44_1.pdf

http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_01/matlab//f_01_matlab_43_44.m





10 100 700 1300 10000−150

−140

−130

−120

−110

−100

−90

−80

f [Hz]

|YN

(ω)/U

N(ω

)| [d

B] (

f e=8kH

z)

10 100 700 1300 10000−150

−140

−130

−120

−110

−100

−90

−80

f [Hz]

|YN

(ω)/U

N(ω

)| [d

B] (

f e=2kH

z)

f_replie_01_5.eps

Figure 1.29 – Identification de la réponse harmonique d’un système à réglerayant une résonance vers 1.3 [kHz] : dans le premier cas, la fréquence d’échan-tillonnage est fe = 8 [kHz] et convient, contrairement au second cas (fe = 2 [kHz])où en plus d’un pic à 1.3 [kHz] apparaît un autre pic vers 700 [Hz] (fichier source).

La figure 2 montre les résultats de l’identification de la réponse harmoniqued’un système à régler industriel (système d’impression de haute précision)pour 2 fréquences d’échantillonnages. Pour fe = 8 [kHz], on observe trèsdistinctement une résonance à 1.3 [kHz] alors que pour fe = 2 [kHz], 2 ré-sonances apparaissent à 700 [Hz] et à 1.3 [kHz]. Dans ce dernier cas, fen’est manifestement pas assez élevée et provoque un phénomène identiqueà celui observé sur la figure 1.28 page précédente, i.e. l’injection de basses-fréquences dans le spectre du signal échantillonné.




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_01/Figures/rgb/f_replie_01_5.pdf

http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_01/matlab//replie_01.m



0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6Réponse indicielle analogique y(t) et échantillonnée y(k)

t [s], k


Figure 1.30 – Oscillation (amortie) quasi invisible au régulateur numérique(fichier source).

D’autres phénomènes peuvent se manifester. La figure 2 montre la grandeurréglée analogique y(t) d’un système asservi numériquement et sa versionéchantillonnée y[k]. L’oscillation bien visible de y(t) n’apparaît absolumentpas dans y[k], donc le régulateur numérique ne peut la voir et n’entreprendpar conséquent aucune action.Les systèmes mixtes (numériques et analogiques) peuvent présenter un com-portement non-stationnaire, comme dans l’exemple de la figure 1.31 pagesuivante, où le signal analogique d’entrée u(t) est filtré numériquement. Eneffet, on voit sur la figure 1.32 page suivante que y(t) est retardé par rapportà u(t) d’une valeur dépendant de l’instant d’apparition de u(t).








DAy ( k ) y ( t )

u ( k )

A L G O R I T H M E AD

u ( t )kt

H O R L O G E

f e

F I L T R E N U M E R I Q U E f _ 0 1 _ 1 9 . e p s

Figure 1.31 – Filtre numérique : le signaux d’entrée u(t) et sortie y(t) sontanalogiques, seul le traitement est numérique (fichier source).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

u(t),

u(k

), y(

t)

Réponse indicielle d’un filtre numérique

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

t [s], k

u(t),

u(k

), y(

t)


Figure 1.32 – Réponses indicielles du filtre numérique de la figure 1.31 : selonl’instant d’application du signal d’entrée u(t) à filtrer, la réponse (analogique)y(t) pourra être différente (fichier source).










0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

k

y(k)

Réponse indicielle d’un système de régulation automatique à réponse pile


Figure 1.33 – Système asservi par un régulateur à réponse pile (fichier source).

3. En s’astreignant à analyser les systèmes numériques en tant que tels, sanstoujours vouloir leur trouver des équivalents analogiques, on rentabilise l’in-vestissement du processeur en exploitant au mieux le potentiel numériquequ’il offre. Qui plus est, de nouveaux algorithmes de régulation, purementnumériques, peuvent être développés : c’est par exemple le cas du régulateurà réponse pile (figure 3).On observe que la grandeur réglée atteint la consigne exactement aprèsdeux périodes d’échantillonnage, comportement sans équivalent analogique.








0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

t [s]

Poursuite sans déphasage d’une consigne sinusoïdale (régulateur RST)

Consigne

Grandeur réglée

Figure 1.34 – Poursuite d’une consigne sinusoïdale sans erreur (fichier source).

Un autre exemple est celui de la poursuite, sans déphasage et donc sanserreur, d’une consigne sinusoïdale (figure 1.34).




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_01/Figures/rgb/F_01_matlab_56.pdf




0 2 4 6 8 10 12 140

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t [s]

y(t)

Réponse indicielle

Treg

+/−5%=6.2[s]

TdepT10%

T90%

Tm

=1.3[s]

D=23.1788%

yInf

=1


Figure 1.35 – Réponse indicielle en boucle fermée avec régulateur analogiquepour effectuer le choix de la période d’échantillonnage h (fichier source).

1.6 Une première procédure de synthèse

On propose ici une première méthode de synthèse, fort utilisée en pratiqueet simple à appliquer puisqu’elle ne nécessite presque aucune connaissance dessystèmes échantillonnés. Mise en oeuvre au laboratoire de régulation automatiquedès le début du semestre d’été, cette méthode est déjà présentée en introductionde ce cours, dans le but de faciliter la compréhension de phénomènes particuliersqui seront observés.

La méthode consiste à remplacer un système de régulation numérique par unsystème analogique équivalent. Cette équivalence est obtenue par le biais d’unretard pur inséré dans la boucle.

1.6.1 Hypothèses concernant la période d’échantillonnageh

L’application de la méthode proposée ne donne des résultats satisfaisants quesi la période d’échantillonnage h est petite par rapport au temps de montée dela grandeur réglée y(t). Comme ordre de grandeur, h doit être lié à la durée deréglage Treg par la relation

N =Treg

h= 4 . . . 10








ADw ( k ) u ( t )

y ( t )

u ( k ) S Y S T E M EA

R E G L E R

ADy ( k )

A L G O R I T H M EF I L T R EA N T I -

R E P L I E M E N T

t e m p s d e m o n t é e d uf i l t r e a n t i - r e p l i e m e n t

t e m p s d e c o n v e r s i o nA / D , y c o m p r i su n t e m p s d e m a i n t i e np r é c é d a n t l a c o n v e r s i o n

r e t a r d d û à l a m é t h o d ed e r e c o n s t r u c t i o nt e m p s d e c a l c u l

y ( t )

t e m p s d ec o n v e r s i o n D / A

f _ 0 1 _ 2 0 . e p s

Figure 1.36 – Inventaire des retards d’un système de régulation numérique(fichier source).

indiquant que 5 à 11 échantillons (figure 1.35 page précédente) doivent être me-surés lors de l’établissement de y(t). Dans la règle, on choisira plutôt 10 que5.

Dans cette relation, Treg est la durée de réglage du système asservi, i.e. ladurée nécessaire pour que y(t) passe de 0% à ±5% de sa valeur finale, et N estle nombre de périodes d’échantillonnage mesurées pendant Treg.

Dans la plupart des cas, c’est le temps de montée de la réponse indicielleen boucle fermée qui est le plus faible, les contraintes sur la durée de réglageprovoquant souvent une diminution considérable de Treg par suite d’une contre-réaction à gain dynamique élevé.

1.6.2 Inventaire des retards

Par comparaison avec une boucle régulation analogique, un système de régu-lation numérique possède une série de retards incontournables (figure 1.36). Enrappelant ce qui a été dit au § 1.4 page 36, on relève l’existence de retards dusau filtre anti-repliement (voir chap.2), aux conversions A/D et D/A, au temps decalcul et au principe de reconstruction du signal analogique u(t) à partir de u(k).En pratique, seuls ces deux derniers sont importants.








Retard dû au filtre anti-repliement

Ce filtre étant par nature réalisé analogiquement (voir chap.2), sa fonction detransfert doit être incorporée à celle du reste de la boucle analogique (amplifica-teur de puissance, actionneur, système, capteur, etc). Si la période d’échantillon-nage est choisie selon les indications du § 1.6.1 page 49, l’effet de ce filtre peutsouvent être négligé.

Retards dus aux conversions (TconvAD et TconvDA)

Les temps de conversion A/D et D/A, TconvAD et TconvDA peuvent être souventnégligés, se montant à des valeurs de l’ordre de

h

100. . .

h

10

On doit néanmoins vérifier cette hypothèse dans chaque cas.

Retard dû au temps de calcul (Tcal)

Le temps de calcul Tcal dépend bien sûr de la vitesse du processeur et de lacomplexité du régulateur. Il est difficile de citer un chiffre, mais compte tenu desréflexions du § 1.4.1 page 36, un temps de calcul de l’ordre d’une demi-périoded’échantillonnage semble être un maximum :

Tcal <h

2

Retard équivalent dû au bloqueur d’ordre 0 (Trec)

Le plus souvent, la construction du signal analogique u(t) à partir de la suitede nombres u[k] s’effectue au moyen d’un bloqueur d’ordre 0. u(t) a alors uneforme caractéristique en escaliers, pouvant faire penser que l’évolution de la gran-deur à régler y(t) se fera par à-coups. Dans tous les cas où la période d’échan-tillonnage est choisie convenablement, cette crainte est infondée, le caractère defiltre passe-bas de tout système à régler atténuant considérablement les hautesfréquences. Il s’en suit que la grandeur de commande équivalente vue par le sys-tème à régler est un signal filtré passant approximativement par le milieu desescaliers (figure 1.37 page suivante). En moyenne, u(t) est donc en retard d’unedemi-période d’échantillonnage par rapport à u[k] :

Trec ≈h

2

Ce résultat sera démontré au chapitre 3.






0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t [s], k

u(t),

u(k

), y(

t), u

eq, y

eq

Commande équivalente à la suite d’impulsions rectangulaires


Figure 1.37 – L’harmonique 1 de ua(t) passe par le milieu des escaliers(fichier source).

Retard total (Tr)

Le retard pur total inséré dans la boucle se monte à

Tr = TconvAD + Tcal + TconvDA + Trec

Très fréquemment, la construction de u(t) à partir de u[k] s’opère par un bloqueurd’ordre 0, et l’on a

Trec ≈h

2

De plus, on peut estimer qu’en moyenne, le retard

TconvAD + Tcal + TconvDA ≈h

2

se montant ainsi à approximativement une demi-période d’échantillonnage, pourprendre en compte d’éventuels retards parasites.

Le retard total Tr s’écrit donc :

Tr ≈ h

Il faut à ce stade rappeler que le déphasage introduit par le retard pur Tr = hest linéaire (figure 1.38 page ci-contre) avec la fréquence f , puisque :








0 1 2 3 4 5 6 7−400

−350

−300

−250

−200

−150

−100

−50

0

ω [rad/s], échelle linéaire

Pha

se [d

eg]

Déphasage d’un retard pur Tr=1[s]

f_01_matlab_63_64_2c.eps

Figure 1.38 – Déphasage apporté par un retard pur (fichier source).

arg e−j·ω·Tr = −ω · Tr ≈ ω · h = −2 · π · f · h = −2 · π · ffe

Il est notamment de 360 [] en f = 1h

= fe, soit de 36 [] en f = fe10, ce qui

peut être considéré comme énorme dans le contexte d’une boucle de régulationautomatique, étant souvent dans la gamme des fréquences de travail d’un systèmeasservi ! Comparé à un système de régulation analogique, cela se traduit par unediminution notable de la marge de phase ϕm et par suite du degré de stabilité.

1.6.3 Approximation de la fonction de transfert d’un retardpur par une fraction rationnelle en s

La fonction de transfert G(s) = e−s·Tr d’un retard pur ne s’exprime pas sousla forme d’une fraction rationnelle en s. Cela a de grands inconvénients sur leplan du traitement mathématique, raison pour laquelle on est tenté d’approximerG(s) = e−s·Tr par une fraction rationnelle en s. On présente ici deux manièresde faire : approximation par une simple constante de temps et approximation dePadé.

Approximation par un élément du premier ordre sans zéro

Lorsque que le retard pur est petit et provoque un déphasage faible dans lagamme des fréquences de travail, on peut développer G(s) = e−s·Tr en série. On




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_01/Figures/rgb/f_01_matlab_63_64_2.pdf




obtient :

G (s) = e−s·Tr =1

1 + s·Tr1!

+ (s·Tr)2

2!+ (s·Tr)3

3!+ ...

En se limitant au développement du premier ordre, on a :

G (s) = e−s·Tr ≈ 1

1 + s · Tr

Le retard pur peut donc être approximé par une simple constante de temps Tr.

Approximation de Padé

L’approximation de Padé d’ordre 1 de la fonction de transfert G(s) = e−s·Tr

est :

G (s) = e−s·Tr ≈1− s · Tr

2

1 + s · Tr2

On observe l’apparition d’un zéro positif situé en

+2

Tr

pouvant induire en erreur lors d’un tracé du lieu des pôles, comme par exemplecelui de

Go (s) =kos· 1

(s+ 1)· e−s·1 ≈ ko

s· 1

s+ 1·

1− s · 12

1 + s · 12

=kos· 1

s+ 1· 1− s · 0.5

1 + s · 0.5=−kos· 1

s+ 1· s− 2

s+ 2

tracé sur la figure 1.39 page suivante.






−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

40.5

0.5

zéro positif

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis


Figure 1.39 – Lieu des pôles : le zéro positif est bien visible. Il s’agit d’un zérodû à l’approximation de Padé. Il n’existe pas en réalité puisqu’il provient del’approximation de Padé du retard pur Tr = h qui lui est bien réel (fichier source).

Ainsi, lors du tracé du lieu des pôles, un zéro et un pôle "parasites" appa-raissent respectivement en

zPadé = +2

Tr= +

2

h

et enpPadé = − 2

Tr= −2

h,

si cette méthode de synthèse est choisie. Ce pôle et ce zéro ne sont pas visibles àl’écran pour de faibles valeurs de la période d’échantillonnage.

Comparaison des approximations

Le graphique de la figure 1.40 page suivante montre les approximations d’unretard pur Tr = h = 1 [s] par un simple élément du premier ordre et par Padé.

Le retard n’est approximé précisément qu’en basse fréquence. Au fur et àmesure que l’on s’approche de la pulsation d’échantillonnage

ωe =2 · πTr

=2 · πh

même l’approximation de Padé devient peu fiable. Il y a donc lieu d’être prudentlors de l’utilisation de ces approximations, qui ne conviennent que pour la gamme




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_01/Figures/rgb/f_01_matlab_48_8.pdf




0 1 2 3 4 5 6 7−400

−350

−300

−250

−200

−150

−100

−50

0

ω [rad/s], échelle linéaire

Pha

se [d

eg]

Déphasage d’un retard pur Tr=1[s] et ses approximations

exactordre 1Padé

f_01_matlab_63_64_1c.eps

Figure 1.40 – Comparaison des approximations du retard pur (fichier source).

de fréquences

0 . . .fe5

1.6.4 Schéma fonctionnel analogique équivalent

Sur la base de l’hypothèse concernant la valeur de la période d’échantillon-nage, il ressort des paragraphes précédents qu’au point de vue dynamique, ladifférence de comportement entre un système de régulation analogique et sa ver-sion numérique est pour une bonne part due à la présence d’un retard pur

Tr = h

inséré dans la boucle de régulation numérique. En le prenant en compte, il de-vient possible de faire la synthèse d’un régulateur numérique en appliquant lesrègles connues du monde analogique. Le régulateur numérique est alors consi-déré comme analogique, représenté par sa fonction de transfert en s. Partant duschéma fonctionnel d’un système de régulation numérique, on peut obtenir un"équivalent" analogique (figure 1.41 page suivante) :

Selon la situation, on tiendra compte dufiltre anti-repliement, que l’on intégreraau système à régler.








ADw ( k ) u ( t )

y ( t )

u ( k ) S Y S T E M EA

R E G L E R

AD

y ( k )A L G O R I T H M E

w ( t )S Y S T E M EA R E G L E R

y ( t )

R E G U L A T E U RA N A L O G I Q U E u ( t )

e - s h

p o u r h p e t i t

G c ( s ) G a ( s )y ( t )

@

b

y ( t )

a

f _ 0 1 _ 2 1 . e p s

R E G U L A T E U RN U M E R I Q U E

Figure 1.41 – Représentation d’un système de régulation numérique par unsystème de régulation analogique (fichier source).

En faisant usage de l’approximation de Padé, ce schéma fonctionnel devientcelui de la figure 1.42 page suivante. Rien ne s’oppose ensuite à l’application desméthodes de synthèse étudiées et appliquées jusqu’ici aux systèmes analogiques(Bode, lieu des pôles).

1.6.5 Exemple : synthèse par la méthode de Bode

On considère l’asservissement de vitesse présenté au § 1.2 page 23. Le régu-lateur choisi est de type PI numérique, mais la période d’échantillonnage h serachoisie de telle manière qu’on puisse le considérer comme analogique. Sur cettelancée, on néglige également le retard dû au filtre anti-repliement.

Le système à régler a pour fonction de transfert :

Ga (s) =Y (s)

U (s)=

Ka

(1 + s · τ1) · (1 + s · τ2)








w ( t )

y ( t )

u ( t )1 - s h / 2G c ( s ) G a ( s )

y ( t )

f _ 0 1 _ 2 2 . e p s

1 + s h / 2

Figure 1.42 – Représentation d’un système de régulation numérique par unsystème de régulation analogique, le retard pur étant approximé à l’aide de Padé(fichier source).

avec Ka = 1τ1 = 10 [s]τ2 = 1 [s]

alors que le régulateur PI analogique se représente par :

Gc (s) =U (s)

E (s)= Kp ·

1 + s · Tis · Ti

La loi de commande d’un régulateur PI numérique est, selon le § 1.2 page 23

u [k] = u [k − 1] + b0 · e [k] + b1 · e [k − 1]

Appliquant la procédure classique de synthèse fréquentielle d’un régulateur PIanalogique, on obtiendra les paramètres

Kp Ti

et par suite les coefficients du régulateur PI numérique selon les relationsb0 = Kp

b1 = Kp ·(hTi− 1)

Dans une première phase de la synthèse, on obtient par compensation de laconstante de temps dominante τ1 la fonction de transfert en boucle ouverte :

Go (s) =Y (s)

E (s)= Gc (s) ·Ga (s)

= Kp ·1 + s · Tis · Ti

· Ka

(1 + s · τ1) · (1 + s · τ2)

∣∣∣∣Ti=τ1

=Ko

s· 1

(1 + s · τ2)








0 2 4 6 8 10 12 140

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t [s]

y(t)

Réponse indicielle

Treg

+/−5%=6.2[s]

TdepT10%

T90%

Tm

=1.3[s]

D=23.1788%

yInf

=1


Figure 1.43 – Réponse indicielle en boucle fermée, régulation de correspondance,avec régulateur PI analogique. Cette réponse permet de faire un premier choixde la période d’échantillonnage h (fichier source).

Pour fixer l’ordre de grandeur de la période d’échantillonnage, on doit évaluerla rapidité des signaux se propageant dans la boucle. Dans un cas purementanalogique, i.e. dans le cas le plus favorable à structures de régulateurs identiques,la durée de réglage que l’on pourrait espérer peut s’évaluer en ajustant Ko parla méthode de Bode ou par celle du lieu des pôles puis en traçant la réponseindicielle en boucle fermée. En procédant par la méthode de Bode (le lieu n’estpas tracé ici), la valeur provisoire deKp = 14.1 est obtenue et conduit à la réponseindicielle en boucle fermée de la figure 1.43.

Cette réponse permet l’évaluation de h :

h ≈ Treg

4..10=

6.2 [s]

4..10= 1.5 . . . 0.6 [s]

ChoisissonsTr = h = 1 [s]

On peut alors ajuster le gain de boucle Ko dans le plan de Bode, non sans avoirauparavant pris soin de compléter Go (s) par

Go(s) =Kp · KaTi

s· 1

1 + s · τ2

·1− s · h

2

1 + s · h2

=Kp · 1

10

s· 1

1 + s · 1· 1− s · 0.5

1 + s · 0.5

oùTr = h = 1 [s]








10−2

10−1

100

101

102

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40

Diagramme de Bode avec Koop

=1 et Koop

=0.49405

gain

[dB

]

10−2

10−1

100

101

102

0

45

90

180

270

ω [rad/s]

phas

e [d

egré

]K

oop=1

Koop

=0.49405


Figure 1.44 – Diagramme de Bode en boucle ouverte, en tenant compte duretard pur h approximé par la méthode de Padé (fichier source).

Le diagramme de Bode de

Go (s) =Ko

s· 1

1 + s · 1· 1− s · 0.5

1 + s · 0.5

est tracé pour Ko = 1 (figure 1.44) :On en déduit la valeur optimale Ko = 0.49, pour ϕm = 45 [] et par suite la

valeur de Kp :

Kp =Ko · TiKa

=0.49 · 10

1= 4.9

Les coefficients b0 et b1 du régulateur PI numérique peuvent alors être calculés :b0 = Kp = 4.9

b1 = Kp ·(hTi− 1)

= −4.44

La loi de commande du régulateur numérique s’écrivant

u [k] = u [k − 1] + b0 · e [k] + b1 · e [k − 1]

on a finalement :

u [k] = u [k − 1] + 4.9 · e [k]− 4.44 · e [k − 1]








0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

kh, t [s]

y[k]

, y(t

)

Réponse indicielle en boucle fermée "réelle", h = 1 [s] et approximée


Figure 1.45 – Réponse indicielle en boucle fermée, régulateur PI numériquesynthétisé par la méthode de Bode (fichier source).

La figure 1.45 montre l’allure de la réponse indicielle en boucle fermée avec régu-lateur numérique. Elle concorde avec celle du système purement analogique (enpointillé) utilisé pour l’approximation.

Il faut remarquer le comportement initial de la réponse du système analogique"équivalent", dû au zéro positif parasite introduit par l’approximation de Padé.

A titre indicatif, il vaut la peine de tracer la réponse indicielle en boucle ferméelorsque le gain de boucle est ajusté pour la même marge de phase ϕm = 45 [],cependant sans prendre en compte l’effet du retard (figure 1.46 page suivante)

Tr = h

En omettant de prendre en compte les retards lors de la synthèse, on est conduitpar erreur à choisir un gain de boucle Ko beaucoup trop élevé, ce qui explique lecomportement insuffisamment amorti en boucle fermée, la marge de phase étanten fait bien plus faible que prévu lors de la synthèse.

1.A Exemple : synthèse par le lieu des pôlesSur la base des calculs faits au paragraphe précédent, on peut envisager d’ef-

fectuer la synthèse du régulateur PI numérique par le lieu des pôles. Le lieu de

Go (s) =Ko

s· 1

1 + s · τ2

·1− s · h

2

1 + s · h2

=−kos· 1

s− s2

·s− 2

h

s+ 2h

=−kos· 1

s+ 1· s− 2

s+ 2








0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

kh [s]

y[k]

Réponse indicielle en boucle fermée sans prise en compte du retard


Figure 1.46 – Sans prendre en compte l’effet du retard propre aux systèmes derégulation numérique, la synthèse aboutit à un système dont le degré de stabilitéest insuffisant (fichier source).

(obtenue après compensation de τ1 par Ti) est donc tracé (figure 1.47 page sui-vante). Son intersection avec la demi-droite équi-amortissement (ζ = 0.5) fournitle gain optimal koop, puis la valeur de kp et enfin Kp :

Kp = 3.67

Le pôle et le zéro parasites dus à l’approximation de Padé apparaissent dès qu’onélargit le champ de vision (figure 1.48 page ci-contre). La réponse indicielle enboucle fermée est donnée sur la figure 1.49 page 64. On relève à nouveau lecomportement initial de la réponse du système analogique "équivalent" (en traitmixte), synonyme d’un système à déphasage non minimal.

La loi de commande du régulateur numérique s’écrit finalement :

u [k] = u [k − 1] + 3.67 · e [k]− 3.30 · e [k − 1]








−2 −1.8 −1.6 −1.4 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

20.5

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis


Figure 1.47 – Lieu des pôles (zoom) (fichier source).

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

40.5

0.5

zéro positif

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis


Figure 1.48 – Lieu des pôles : le zéro positif est bien visible. Il s’agit d’un zérodû à l’approximation de Padé. Il n’existe pas en réalité puisqu’il provient del’approximation de Padé du retard pur Tr = h qui lui est bien réel (fichier source).










0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

kh, t [s]

y[k]

, y(t

)

Réponse indicielle en boucle fermée "réelle", h = 1 [s] et approximée


Figure 1.49 – Réponse indicielle en boucle fermée, régulateur PI numériquesynthétisé par la méthode du lieu des pôles (fichier source).








Chapitre 2

Echantillonnage et reconstruction

2.1 Introduction

Les thèmes abordés dans ce chapitre ont été traités en détails dans le coursde traitement de signal, raison pour laquelle leur présentation s’effectuera sousforme de rappel, sans développement détaillé.

Le but du présent chapitre est de mettre en évidence les problèmes liés àl’échantillonnage d’un signal analogique puis à sa reconstruction. Des méthodespermettant d’éviter la manifestation de ces problèmes sont proposées.

On analysera, dès le prochain paragraphe, le processus d’échantillonnage, oùseront mis en évidence :

– la transformation du spectre original en un spectre périodique ;– le recouvrement spectral.Ensuite, le théorème de Shannon (ou théorème de l’échantillonnage) sera pré-

senté, et la méthode permettant de se prémunir contre le recouvrement spectralsera développée. Cette méthode consistera à mettre en oeuvre un filtre antirecou-vrement.

Finalement, quelques procédés de reconstruction, comme– la reconstruction de Shannon,– la reconstruction par bloqueur d’ordre 0

seront passés en revue.

2.2 Le processus d’échantillonnage

A priori, le principe de l’échantillonnage d’un signal analogique peut laissercroire qu’une partie de l’information originale qu’il contient est irrémédiablementperdue. Dans le cas particulier de la régulation automatique, on conçoit que cephénomène puisse avoir des conséquences inadmissibles, le régulateur numériquene réagissant par exemple plus en certaines situations, simplement parce l’infor-mation manque, masquée par le processus d’échantillonnage.






A D

x ( k )

hh 2 h 3 h 4 h0

x a ( t )

t k

f _ 0 2 _ 0 1 . e p s

Figure 2.1 – Echantillonnage d’un signal analogique (fichier source).

Même si cet effet secondaire de l’échantillonnage se produit pratiquementtoujours, le phénomène reste négligeable d’un point de vue pratique si la périoded’échantillonnage h est choisie convenablement. Qui plus est, on se propose ici demontrer de manière qualitative que l’observation même intermittente d’un signalanalogique xa(t) est suffisante si ses caractéristiques répondent aux hypothèsesdu théorème de Shannon.

2.2.1 L’opérateur d’échantillonnage

Comme indiqué au chapitre 1, c’est le convertisseur A/D qui fait office d’opé-rateur d’échantillonnage. La figure 2.1 montre le signal analogique original xa(t)subissant l’opération d’échantillonnage, le signal numérique résultant étant x[k] :

x [k] = xa(t)|t=k·h

L’échantillonnage s’effectue à intervalles réguliers h, fixés par la pulsationd’échantillonnage

ωe =2 · πh

= 2 · π · fe

2.2.2 Transformée de Fourier d’un signal numérique

La transformée de Fourier d’un signal numérique x[k] provenant par exemplede l’échantillonnage périodique du signal analogique xa(t) est définie par la rela-tion :

X (j · ω) = F[k] =+∞∑

k=−∞

[k] · e−j·ω·k·h








Elle est à mettre en regard de la transformée de Fourier de signaux analogiques,

Xa (j · ω) = Fxa (t) =

∫ +∞

−∞xa (t) · e−j·ω·t · dt

ce qui montre qu’elle n’est qu’une simple adaptation à la nature discrète dessignaux.

Exemple

La figure 2.2 montre le résultat de la transformée de Fourier d’une périoded’un signal carré discret.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1

−0.5

0

0.5

1

u(t)

t [s]

fsignal

=0.1[Hz], fe=1.6[Hz]

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

|U(jω

)|

f [Hz]

f_fourier_carre_03_1c.eps

Figure 2.2 – Module de la transformée de Fourier, i.e. spectre d’amplitude d’unepériode d’un signal carré discret, évalué pour un grand nombre de valeurs def = ω

2·π . On note la périodicité (période fe = 1h

= 1.6 [Hz]) du spectre d’amplitude(fichier source).

Propriétés

Le signal numérique x[k] obtenu par suite de l’échantillonnage de xa(t) possèdedes caractéristiques spectrales tout à fait remarquables.

On note tout d’abord que sa transformée de Fourier est périodique de période




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_02/Figures/rgb/f_Fourier_carre_03_1.pdf

http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_02/matlab///Fourier_carre_03.m



ωe, puisqu’en effet (figures 2.2 page précédente et 2.3) :

X (j · (ω + ωe)) =+∞∑

k=−∞

[k] · e−j·(ω+ωe)·k·h

=+∞∑

k=−∞

[k] · e−j·ω·k·h · e−j·ωe·k·h︸︷︷︸1

=X (j · ω)

ce qui signifie qu’on peut se contenter de l’évaluer et de la représenter sur unepériode ωe.

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

2

2.5

ω [rad/s]

|X(jω

)|

ωe=2 [rad/s], ω

N=1 [rad/s]

f_ch_02_01_3c.eps

Figure 2.3 – La transformée de Fourier X (j · ω) d’un signal numérique estpériodique de période ωe = 2·π

h. La figure illustre le module de X (j · ω), i.e. le

spectre d’amplitude (fichier source).

La périodicité du spectre peut être comprise intuitivement. Considérons le si-gnal sinusoïdal numérique de pulsation ω = 2 · π

[ rads

], défini par ses valeurs aux

instants d’échantillonnnage k (figure 2.4 page ci-contre). On constate immédiate-ment que par ces points peuvent également passer d’autres sinusoïdes numériques(de phases éventuellement différentes), de pulsations respectives

(ω − n · ωe)

La définition du signal analogique xa(t) de départ par ses valeurs aux instantsd’échantillonnage k est donc tout à fait équivoque !




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_02/Figures/rgb/f_ch_02_01_3.pdf

http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_02/matlab///ch_02_01.m



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.5

0

0.5

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.5

0

0.5

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.5

0

0.5

1

t [s]

f_ch_02_02_1c.eps

Figure 2.4 – Echantillonnage d’un signal analogique xa(t) prenant la formed’une sinusoïde. Le signal numérique résultant (suite de nombres) est x[k]. Par lesvaleurs de xa(t) aux instants d’échantillonnage peuvent passer d’autres sinusoïdesque xa(t). Ici, les signaux haute fréquence (fe − f = 10 [Hz] − 1 [Hz] = 9 [Hz] etfe + f = 10 [Hz]− 1 [Hz] = 11 [Hz]) ont les mêmes échantillons que le signal xa(t)(fichier source).

Autre caractéristique notable, la transformée de Fourier X (j · ω) du signalnumérique x[k] se calcule à partir de celle Xa (j · ω) du signal analogique xa(t)par la relation (formule de Poisson) :

X (j · ω) = F[k] =+∞∑

n=−∞

Xa (j · (ω − n · ωe))

Ainsi, le spectre de x[k] est obtenu par la répétition et superpositionpériodique de celui de xa(t). La période de répétition du spectre est ωe.

Le spectre (d’amplitude) de xa(t) étant par exemple celui du haut de la fi-gure 2.5 page suivante, et xa(t) étant échantillonné à la pulsation ωe = 2

[ rads

],

celui X (j · ω) de x[k] sera donc selon ce qui précède constitué de la répétition deXa (j · ω), comme le montre le graphe du bas de la figure 2.5.




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_02/Figures/rgb/F_ch_02_02_1.pdf




−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

2

2.5

ω [rad/s]

|X(jω

)|

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

|Xa(jω

)|

ωe=2 [rad/s], ω

N=1 [rad/s]

f_ch_02_01_2c.eps

Figure 2.5 – Spectre du signal analogique xa(t) original et spectre du signalnumérique x[k] résultant de son échantillonnage (fichier source).

2.2.3 Recouvrement spectral

Selon la largeur de bande du spectre du signal original xa(t) et la valeur dela pulsation d’échantillonnage ωe, la superposition des spectres fait apparaître unrecouvrement (également appelé "repliement" ou "aliasing") tel que le spectreXa (j · ω) du signal original devient difficilement reconnaissable. La comparaisondes spectres de la figure 2.5 montre le phénomène. Partant de X (j · ω), il est de-venu impossible d’extraire Xa (j · ω) et donc de retrouver l’information originale,le processus d’échantillonnage en ayant provoqué la perte irréversible. Toutefois,cet effet gênant consécutif à l’échantillonnage peut être considérablement réduitvoire presque totalement éliminé si :








1. Une valeur plus élevée de la pulsation d’échantillonnage est choisie, commedans le cas de la figure 2.6 (ωe = 4

[ rads

]au lieu de 2

[ rads

]) ;

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

ω [rad/s]

|X(jω

)|

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

|Xa(jω

)|

ωe=4 [rad/s], ω

N=2 [rad/s]

f_ch_02_21_2c.eps

Figure 2.6 – Spectre du signal échantillonné x[k] lorsque la pulsation d’échan-tillonnage est augmentée (à comparer avec la figure 2.5 page précédente)(fichier source).








2. La largeur du spectre du signal original est limitée par un préfiltrage (ici parfiltre passe-bas idéal de fonction de transfertW (j ·ω), figure 2.7). Le spectredu signal numérique correspondant ne présente alors plus de recouvrementspectral, comme en témoigne la figure.

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

ω [rad/s]

|X(jω

)|

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

|Xa(jω

)|

ωe=2 [rad/s], ω

N=1 [rad/s]

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

1

2

|W(jω

)|

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

|W(jω

)||X

a(jω)|

f_ch_02_22_1c.eps

Figure 2.7 – Filtrage du signal analogique avant échantillonnage, de façon à éli-miner les composantes spectrales pouvant provoquant le recouvrement. Le spectred’amplitude du signal filtré de la figure montre que le recouvrement spectral n’estplus visible (à comparer avec la figure 2.5 page 70) (fichier source).








2.3 Le théorème de l’échantillonnage (ou théorèmede Shannon)

2.3.1 Enoncé ([[1], §2.3])

Les cas illustré aux figures 2.6 page 71 et 2.7 page ci-contre montrent quepour autant que l’échantillonnage d’un signal analogique se soit effectué dans debonnes conditions (valeur élevée de ωe et/ou pré-filtrage), le spectre Xa (j · ω) dusignal analogique analogique original xa(t) peut être ré-extrait de celui X (j · ω)du signal échantillonné par l’intermédiaire d’un filtre passe-bas de largeur debande adéquate. Le théorème de l’échantillonnage précise cette idée.

Un signal analogique xa(t) ayant un spectre de type passe-basde largeur ωmax est entièrement décrit par la suite complètede ses valeurs instantanées xa(k · h) = x[k] si elles sont pré-levées à une pulsation d’échantillonnage ωe telle que

ωe > 2 · ωmax

La démonstration de ce théorème est due à Shannon (1949). Il est fondamentalpour les systèmes échantillonnés et ses conséquences pratiques sont très impor-tantes. Il montre qu’un signal analogique peut être décrit complètement, sansperte d’information, par la suite complète de ses échantillons pour autant quela pulsation d’échantillonnage ωe soit au moins égale au double de la plus grandepulsation ωmax contenue dans le signal analogique.

On note que la demi-pulsation d’échantillonnage possède une importance cru-ciale ; elle porte le nom de pulsation de Nyquist :

ωN =1

2· ωe > ωmax

2.3.2 Conséquences et réalités pratiques

Le théorème de l’échantillonnage impose une limite inférieure absolue pour lapulsation d’échantillonnage ωe. Il part cependant de l’hypothèse que le signal ana-logique xa(t) subissant l’échantillonnage est à largeur de bande limitée ωmax. Hors,il faut être conscient qu’en réalité [[7], §9.3.2], tout signal analogique physi-quement réalisable ne peut être à bande limitée. Son échantillonnage,même rapide, provoque donc inévitablement un certain recouvrement spectralcar ωmax →∞

Toutefois, l’énergie∫ +∞−∞ x2

a (τ) · dτ d’un signal réel étant nécessairement finie,on peut démontrer que le spectre d’amplitude tend vers zéro lorsque lafréquence tend vers l’infini.






Ainsi donc, bien que le recouvrement spectral ait effectivement toujours lieu,ses conséquences peuvent être limitées si la pulsation d’échantillonnage ωe estchoisie suffisamment élevée.

Bien que le spectre tende effectivement vers 0 pour les hautes fréquences,cette tendance peut apparaître à des fréquences si hautes qu’afin de respecterà la lettre le théorème de l’échantillonnage, une pulsation d’échantillonnage devaleur forcément très élevée devrait être choisie. C’est notamment le cas lorsque lespectre de certains signaux est accidentellement élargi par la présence de bruits,dont l’échantillonnage selon les conditions de Shannon :

– requiert une pulsation d’échantillonnage plus élevée que celle qui serait stric-tement nécessaire pour échantillonner le signal utile ;

– est parfaitement inutile, l’information recherchée étant concentrée dans lapartie non-bruitée du signal.

Ainsi, on peut parfois être tenté de choisir une pulsation d’échantillonnage deplus faible valeur, a priori sans respecter à la lettre le théorème de l’échantillon-nage.

En d’autres circonstances, des impératifs techniques ou économiques imposentune pulsation d’échantillonnage limitée à une valeur bien plus modeste que 2·ωmax.Les conséquences d’un fort recouvrement spectral étant dans le même tempsinacceptables, le strict respect du théorème de l’échantillonnage reste impératif etnéanmoins possible à condition d’éliminer (tout au moins atténuer) préalablementà l’échantillonnage toutes les composantes spectrales du signal analogique situéesau-delà de la pulsation de Nyquist ωN = 1

2· ωe.

Cette opération doit donc être effectuée nécessairement avant celle de l’échan-tillonnage, par un filtre nommé filtre anti-recouvrement, dont l’étude fait l’objetdu paragraphe suivant.

2.3.3 Filtre anti-recouvrement

En pratique, la pulsation d’échantillonnage ωe n’est pas sélectionnable à l’envi.Des impératifs liés à la réalisation matérielle et notamment aux coûts de celle-ciimposent souvent la gamme de ωe.

Or, un échantillonnage des signaux ne provoquant aucune perte d’informationest garanti selon Shannon pour autant que leur largeur de bande soit inférieureà la pulsation de Nyquist :

ωmax < ωN =1

2· ωe

Cette règle ne peut être observée que lorsqu’un filtre passe-bas très sélectif estinséré en amont du convertisseur A/D (figure 2.8 page suivante).

Ce filtre, appelé filtre anti-recouvrement (ou "anti-repliement", voire "an-tialiasing"), a pour charge d’éliminer les composantes spectrales de pulsations






A Ds i g n a la n a l o g i q u eb r u t

x ( k )x a ( t )F I L T R EA N T I -R E C O U V R E M E N T

f _ 0 2 _ d e s i g n e r _ 0 2 . e p s

Figure 2.8 – Un filtre anti-recouvrement est nécessaire avant la conversion A/Dpour prévenir du recouvrement spectral (fichier source).

supérieures à celle de Nyquist. Sa pulsation de coupure ωc doit donc être ajustéeà la pulsation de Nyquist ωN

ωN =1

2· ωe

Il va de soi que les composantes essentielles du signal échantillonné ne doiventpas être altérées pas le filtre. Théoriquement, un filtre anti-recouvrement doitêtre idéal, de réponse harmonique (fenêtre fréquentielle, figure 2.9) :

W (j · ω) = ε (ω)− ε(ω − ωe

2

)

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

ω [rad/s]

|Xa(jω

)|, |W

(jω)|,

|W(jω

)||X

a(jω)|

ωe=2 [rad/s], ω

N=1 [rad/s]

|Xa(ω)|

|W(ω)||W(ω)||X

a(ω)|

f_ch_02_22_2.eps

Figure 2.9 – Visualisation des spectres du signal analogique original xa(t) etdu filtre anti-repliement idéal, lequel élimine toutes les composantes spectrale deXa(j · ω) supérieures à ωN = ωe

2(fichier source).




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_02/Figures/rgb/F_02_designer_02.pdf






−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k = t/h

g(t)

Filtre passe−bas idéal: réponse impulsionnelle

f_ch_02_03_1c.eps

Figure 2.10 – Réponse impulsionnelle d’un filtre passse-bas idéal : elle démarreavant l’excitation ! Le filtre passe-bas idéal n’est donc pas causal (fichier source).

Malgré toutes ses qualités apparentes, un tel filtre présente le grave inconvé-nient de ne pas être causal et par conséquent de ne pas être réalisable en tempsréel. En effet, la réponse impulsionnelle du filtre passe-bas idéal (un sinus cardi-nal) démarre avant l’excitation (figure 2.10) !

Pour des motifs de réalisabilité, on doit donc pratiquement se contenter d’unfiltre d’ordre idéalement très élevé (4 à 8), le plus souvent de type Butterworthou Bessel.

Un tel filtre doit être intégré à tout système échantillonné, même si une partiede son action est souvent déjà réalisée par le système à régler lui-même, ce dernierétant par nature de type filtre passe-bas.

Le filtre anti-recouvrement est inévitablement vu d’un mauvais oeil par l’ingénieur-automaticien. Il provoque en effet des déphasages (quasi synonymes de retards,figure 2.11 page ci-contre) considérables dans la boucle de régulation, diminuant,pour une précision donnée, le degré de stabilité. Il faut en effet se rendre compte(figure 2.12 page 78) qu’un filtre d’ordre n provoque un déphasage final de n·90 [],un déphasage important intervenant déjà en basse fréquence, dans la zone desfréquences de travail, là même où le critère de stabilité de Nyquist doit être satis-fait (zone où l’on mesure en particulier la pulsation de coupure à 0 [dB] en boucleouverte ωco). A titre indicatif, un filtre d’ordre 4 de pulsation de coupure ωc = ωN

déphase grosso modo de4·45 []

10≈ 20 [] en ωc

10, ce est qui loin d’être négligeable.








0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t [s]

Réponse indicielle d’un filtre de Butterworth d’ordre 4

f_fil_a_al_1c.eps

Figure 2.11 – Réponse indicielle d’un filtre passe-bas de type Butterworth, ordre4, utilisé typiquement comme filtre anti-repliement (fichier source).




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_02/Figures/rgb/f_fil_a_al_1.pdf

http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_02/matlab///fil_a_al.m



Figure 2.12 – Réponse fréquentielle d’un filtre passe-bas de type Butterworth,ordre 4 : le déphasage est considérable et son effet intervient déjà en basse fré-quence, i.e. dans la zone de travail de l’asservissement. Comparativement à unasservissement analogique, cela se traduit par une baisse nette de la marge dephase ϕm et par suite du degré de stabilité (fichier source).




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_02/Figures/rgb/f_fil_a_al_2.pdf

http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_02/matlab///f_fil_a_al.m



−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

ω [rad/s]

|Xa(jω

)|, |W

(jω)|,

|W(jω

)||X

a(jω)|

ωe=2 [rad/s], ω

N=1 [rad/s]

|Xa(ω)|

|W(ω)||W(ω)||X

a(ω)|

f_ch_02_23_2c.eps

Figure 2.13 – Un filtre passe-bas idéal étant impossible à réaliser, on doit secontenter d’un filtre dont l’atténuation est progressive (par exemple −80

[ dBdéc.

]).

Ce filtre ne pourra donc pas éliminer totalement le recouvrement spectral, maiss’il suffisamment sélectif et/ou si sa pulsation de coupure est suffisamment élevée,l’importance de recouvrement sera limitée (figure 2.14 page suivante) (fichier source).

2.3.4 Choix de la période d’échantillonnage

La borne inférieure de la valeur de la pulsation d’échantillonnage est fixéepar le théorème de l’échantillonnage. Cette valeur pourrait constituer un choix,à condition de disposer d’un filtre anti-recouvrement idéal, ce qui est impossiblepour des motifs de réalisabilité. Il faut donc se contenter d’une solution de com-promis, visant à remplacer le filtre idéal par un filtre causal d’ordre élevé. Ceciimplique un nouveau choix de la pulsation d’échantillonnage. En effet, l’atté-nuation d’un filtre causal, si élevé soit son ordre, est généralement insuffisanteimmédiatement au-dessus de sa pulsation de coupure pour éviter tout recouvre-ment spectral. Le seul remède consiste à augmenter la pulsation d’échantillon-nage, afin de disjoindre suffisamment (mais néanmoins pas complètement puisquec’est impossible) les spectres juxtaposés.

C’est la raison pour laquelle le choix de la pulsation d’échantillonnage tel quepréconisé par théorème de Shannon ne peut s’utiliser en pratique, notammentdans le domaine des systèmes fonctionnant en temps réel. Pour fixer ωe, on devradonc faire appel à des règles beaucoup plus restrictives, comme celle déjà énoncée








−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

ω [rad/s]

|X(jω

)|

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5|X

a(jω)|

ωe=2 [rad/s], ω

N=1 [rad/s]

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

1

2

|W(jω

)|

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

|W(jω

)||X

a(jω)|

f_ch_02_23_1c.eps

Figure 2.14 – Malgré la présence d’un filtre, un certain repliement a lieu, sonimportance pouvant être limitée en agissant sur les paramètres du filtre commela pulsation de coupure, le type et l’ordre (fichier source).

dans le chapitre 1, i.e.

N =Treg

h= 4 . . . 10

Ces règles, pour être énoncées, nécessitent une étude plus approfondie des sys-tèmes discrets, raison pour laquelle ce sujet sera repris au chapitre 7.

2.4 Reconstruction

2.4.1 L’opérateur de reconstruction

Par symétrie par rapport à l’opération d’échantillonnage, l’opérateur de re-construction utilisé est un convertisseur D/A, qui exécute une conversion à unrythme dicté par la pulsation d’échantillonnage ωe. Le signal numérique subis-sant l’opération de conversion numérique-analogique est u[k], le signal analogiquerésultant étant ua(t).








u ( k )

AD

u a ( t )

k t?

f _ 0 2 _ d e s i g n e r _ 0 5 . e p s

Figure 2.15 – Construction d’un signal analogique à partir d’un signal numé-rique : quelle méthode employer ? (fichier source).

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

ω [rad/s]

|X(jω

)|

ωe=2 [rad/s], ω

N=1 [rad/s]

f_ch_02_24_2c.eps

Figure 2.16 – Spectre d’amplitude du signal numérique à convertir. Il n’y a pasde recouvrement si l’échantillonnage s’est effectué en respectant le théorème deShannon (fichier source).

La question qui se pose ici est de savoir comment convertir un signal numériqueu[k] en un signal analogique ua (t) sans perte d’information. Lors de la phase dereconstruction, le signal source est numérique et c’est l’information qu’il contientqui idéalement doit se retrouver dans le signal analogique. Dans le contexte d’unsystème de régulation automatique, u[k] est la commande formée par l’algorithmede régulation sur la base des informations mises à disposition, notamment la




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_02/Figures/rgb/f_02_designer_05.pdf






−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

ω [rad/s]

|X(jω

)|

ωe=2 [rad/s], ω

N=1 [rad/s]

f_ch_02_24_3.eps

Figure 2.17 – Spectre d’amplitude du signal numérique à convertir, avec miseen évidence de la caractéristique d’un filtre de reconstruction idéal (fichier source).

grandeur réglée numérique y[k]. Celle-ci est issue de l’échantillonnage de y(t),appliqué normalement dans les règles de l’art, de sorte qu’aucun recouvrementspectral ne s’est produit (figure 2.16 page précédente). En conséquence, le spectre"utile" de u[k] est à bande limitée et la construction idéale consistera à produireun signal de commande analogique ua (t) dont le spectre coïncide autant quepossible avec celui de u[k].

L’opérateur de reconstruction, qui transforme u[k] en ua (t) est généralementdénommé filtre de reconstruction. On peut évidemment s’attendre à ce que cefiltre présente une caractéristique passe-bas, et l’on distinguera en particulier lareconstruction par :

– filtre passe-bas idéal (reconstruction de Shannon, §5.2.6) ;– bloqueur d’ordre zéro (extrapolateur d’ordre 0, §2.4.3) ;– bloqueur d’ordre un (extrapolateur d’ordre 1, §5.3.1).

2.4.2 La reconstruction de Shannon

Le théorème de Shannon propose implicitement un moyen de retrouver, aprèsl’échantillonnage, l’information originale du signal analogique échantillonné. Lesignal analogique reconstruit s’obtient en effet sans aucune perte d’informations’il est issu du filtrage idéal de u[k].

En portant son regard sur le spectre du signal numérique u[k] (figure 2.17), on








−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

ω [rad/s]

|X(jω

)|

ωe=2 [rad/s], ω

N=1 [rad/s]

f_ch_02_24_4c.eps

Figure 2.18 – Spectre du signal analogique reconstruit, cas idéal (fichier source).

voit qu’il s’agit simplement d’extraire la portion du spectre située dans la bandede pulsations [−ωN ,+ωN ], ce qui n’est applicable que lorsque que les hypothèsesdu théorème de Shannon ont été satisfaites lors de la phase d’échantillonnage,soit en l’absence de tout recouvrement spectral. Comme dans le cas du filtreanti-recouvrement, le filtre réalisant cette opération doit donc être extrêmementsélectif (fenêtre fréquentielle, figures 2.17 page ci-contre et 2.18), théoriquementidéal, ce qui malheureusement implique aussi qu’il soit non-causal (figure 2.10page 76). En effet, la loi de reconstruction selon de Shannon de ua (t)

ua (t) =∞∑

k=−∞

u [k] · sinc(ωe · (t− k · h)

2

)fait appel aux valeurs passées mais aussi futures de u[k] ! Une façon de contour-ner cette difficulté consisterait à retarder l’action du filtre de reconstruction d’unedurée infinie, ce qui ne résout pas vraiment le problème. Néanmoins, l’examende la réponse impulsionnelle (figure 2.10 page 76) du filtre montre que par rap-port à sa valeur en t = 0 [s], le niveau du signal s’affaiblit notablement pour|t| > 3 . . . 6 · h. Il est en particulier de 10% et 5% après respectivement 3 et 6échantillons. Une relativement bonne approximation causale du filtre de Shannonconsisterait donc à retarder son effet d’environ 6 périodes d’échantillonnage (fi-gure 2.19 page suivante), en prenant ainsi en compte les valeurs u[k] à u[k+6] pour(avant de) produire ua (t) [4]. On devine immédiatement l’inadéquation de cetteméthode aux exigences de minimisation des retards dans tout système contre-








réactionné. Le retard pur de 6 périodes d’échantillonnage est catastrophique surle plan de la stabilité de l’installation en boucle fermée. Celle-ci ne pourra êtrerendue stable qu’en sacrifiant les exigences de rapidité et de précision, le dilemmestabilité-précision se manifestant en régulation numérique de la même manièrequ’en régulation analogique !

0 2 4 6 8 10 12−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Filtre passe−bas idéal : réponse impoulsionnelle retardée de 6h

k = t/h

g(t)

f_ch_02_08_1c.eps

Figure 2.19 – Réponse impulsionnelle d’un filtre passe-bas "idéal" devenu réa-lisable par l’insertion d’un retard pur de valeur 6 · h (fichier source).

On mentionnera que le filtre ainsi retardé de reconstruction de Shannon estutilisé en télécommunications et en audio-numérique, où le problème lié au re-tard n’a pas des conséquences comparables à ce que l’on peut observer dans lessystèmes asservis.








u ( k )

AD

u a ( t )

k tf _ 0 2 _ d e s i g n e r _ 0 4 . e p s

Figure 2.20 – Reconstruction numérique-analogique par bloqueur d’ordre 0(fichier source).

2.4.3 Reconstruction par bloqueur d’ordre zéro

La manière la plus simple et la plus utilisée pour la reconstruction consiste àmaintenir le signal analogique ua (t) à une valeur constante pendant la périoded’échantillonnage en cours (figure 2.20). Cette valeur est bien entendu la traduc-tion analogique du nombre u[k] à convertir. La commande ua (t) a l’allure d’unsignal variant par gradins de durée h (figure 2.21 page suivante).

Mathématiquement, l’opérateur "bloqueur d’ordre 0" est décrit comme suit :

ua (t) = ua (k · h+ ∆t) = u [k] pour 0 ≤ ∆t < h

Le bloqueur d’ordre 0, interdisant toute variation de ua (t) pendant la durée h,possède un caractère filtrant. On peut montrer mathématiquement que c’est uneapproximation grossière d’un filtre passe-bas idéal. En revanche, comme l’examendu signal reconstruit le laisse prévoir, le bloqueur d’ordre zéro introduit dansua (t) des composantes spectrales de fréquences élevées indésirables (figure 2.23page 87).

Pour mémoire, on a signalé au chapitre 1 que le procédé de reconstructionpar bloqueur d’ordre 0 introduisait un retard moyen d’une demi-période d’échan-tillonnage (figure 2.25 page 89).

Trec ≈h

2

Ce résultat peut être maintenant démontré (figure 2.24 page 88). L’opérateurde reconstruction par bloqueur d’ordre zéro étant linéaire, au repos, causal etstationnaire (voir chap.3), sa réponse harmonique G(j · ω) (analogique) existe etpeut être obtenue par transformation de Fourier de sa réponse impulsionnelle. Enl’excitant à l’instant t = 0 [s] par une impulsion de Dirac δ(t) d’amplitude u(0),








0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t, k

u

a(t)

bloqueur 0

u[k]

f_ch_02_09_1.eps

Figure 2.21 – Le signal analogique ua(t) reconstruit par un bloqueur d’ordre 0à partir du signal numérique u[k] varie par gradins de largeur h (fichier source).

la réponse du bloqueur est un signal rectangulaire de largeur h, de hauteur u(0)et centré en t = h

2. La transformée de Fourier d’un tel signal a pour expression

[[7], §9.3.2] :

G(j · ω) =Y (j · ω)

U(j · ω)= h ·

sin(ω · h

2

)ω · h

2

· e−j·ω·h2

On observe que le bloqueur d’ordre zéro introduit bel et bien un retard pur égalà une demi période d’échantillonnage.

Il n’est guère possible d’éliminer ce retard parasite. La comparaison avec celuiintroduit par le filtre de Shannon (6 · h, § 2.19 page 84), même dans sa versioncausale, permet tout de même de mesurer une amélioration notable.








−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

ω [rad/s]

|U(jω

)|, |W

(jω)|

ωe=2 [rad/s], ω

N=1 [rad/s]

|U(jω)||W(jω)|

f_ch_02_25_2c.eps

Figure 2.22 – Spectre du signal à numérique u[k] à convertir et, en pointillé,réponse harmonique du bloqueur d’ordre 0 (fichier source).

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

ω [rad/s]

|Ua(jω

)|

ωe=2 [rad/s], ω

N=1 [rad/s]

f_ch_02_25_3c.eps

Figure 2.23 – Spectre d’amplitude du signal analogique ua(t) obtenu par blo-queur d’ordre 0 (multiplication des réponses harmoniques de la figure 2.22. Com-paré à la reconstruction idéale de la figure 2.18 page 83, des composantes defréquences élevées apparaissent, ce qui se comprend intuitivement lorsque l’onobserve les variations brusques, par escaliers, du signal ua(t) (figure 2.21 pageprécédente) (fichier source).










a r g X ( j w )

w

u a ( t ) = x ( t - h / 2 ) = g ( t )u ( k ) = D ( k )

x ( t )

t

0

0

h

t0

h

k0

h

w0

+ p

- p

w2 p / h0

w0

+ p

- p

2 p / h

| X ( j w ) |

a r g U a ( j w )

| U a ( j w ) |

e x c i t a t i o n r é p o n s ei m p u l s i o n n e l l e m o d u l e e t p h a s e d el a t r a n s f o r m é e d e F o u r i e r

1

11

f _ 0 2 _ d e s i g n e r _ 0 3 . e p s

Figure 2.24 – Illustration de l’origine du retard pur de valeur h2dû au bloqueur

d’ordre 0 (fichier source).








0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t [s], k

u(t),

u(k

), y(

t), u

eq, y

eq

Commande équivalente à la suite d’impulsions rectangulaires


Figure 2.25 – L’harmonique 1 de ua(t) passe par le milieu des escaliers(fichier source).





http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_02/matlab///f_01_matlab_65.m



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

t, k

f_ch_02_09_2c.eps

Figure 2.26 – Reconstruction par bloqueur d’ordre 1 (fichier source).

2.4.4 Reconstruction par bloqueur d’ordre supérieur

En pratique, c’est la reconstruction par bloqueur d’ordre 0 qui est presquetoujours mise en oeuvre. On peut toutefois imaginer perfectionner la reconstruc-tion en effectuant une extrapolation d’ordre 1 (figure 2.26). L’établissement de lafonction décrivant ce bloqueur est faite dans le cadre des exercices.

Une telle méthode de reconstruction est coûteuse en matériel. Elle présentenéanmoins l’avantage de lisser la commande, effet favorable lorsque le système àrégler possède des modes (pôles) rapides mal amortis. S’agissant de ce point-là,un effet comparable est obtenu en filtrant la commande provenant d’un bloqueurd’ordre 0.








Chapitre 3

Transformée en z

3.1 Introduction

La transformation en z est l’outil privilégié que l’on utilise dès que l’on doittraiter des signaux et des systèmes discrets. Déjà étudiée en détail en cours detraitement de signal, on se restreint, dans ce chapitre, à une présentation généralede la transformée en z, sans démonstrations.

Dans le cadre de l’étude des systèmes analogiques, l’exploitation des propriétésremarquables de la transformée de Laplace a permis de gagner en efficacité dansl’analyse mathématique des systèmes dynamiques, les calculs à effectuer étantnotablement allégés. Grâce à cet outil mathématique, la résolution d’équationsdifférentielles, le calcul des régimes transitoires, l’analyse de la stabilité, puis, parsuite, l’interconnection de systèmes analogiques dynamiques ont été considérable-ment facilités. On propose ici un outil équivalent, adapté aux signaux et systèmesdiscrets : il s’agit de la transformée en z.

La transformée en z est au premier abord tout aussi obscure que celle deLaplace. Néanmoins, en gardant à l’esprit la nature temporelle d’un petit nombrede signaux fondamentaux et leurs transformées en z correspondantes, on peut trèsrapidement apprendre à analyser des signaux discrets sur la base unique de leurimage dans le plan de z.

En effet, si pour l’instant, le lien entre la transformée de Laplace

Xa (s) =1

s− s1

et le signal temporel analogique xa(t)

xa (t) = ε(t) · es1·t






x a ( t )

t0 f _ 0 3 _ 0 5 . e p s

est parfaitement connu, s1 étant un pôle de Xa(s), les chapitres 3 et 4 du présentcours devraient permettre d’établir sans autres le même type de lien entre latransformée en z

X (z) =z

z − p1

et le signal temporel discret x[k],

x[k] = ε[k] · pk1

x ( k )

k0 f _ 0 3 _ 0 6 . e p s

p1 étant un pôle de X(z).

3.2 Signaux discrets

Selon que l’amplitude des signaux est définie de manière continue ou ne peutvarier que par valeurs discrètes, et selon que la variable libre, le temps t, évoluecontinûment ou de manière discrète, quatre types de signaux peuvent être définis :

Amplitude Temps1 signal analogique continue continu2 signal quantifié discrète continu3 signal discret continue discret4 signal numérique discrète discret

Graphiquement, ces quatre types de signaux ont les allures données dans letableau 3.2 page ci-contre ([[7], §2.4.1]).








Temps Amplitude

Continu

0 t 0 t

Discret

0 t 0 t

Table 3.1 – Allures des 4 types de signaux définis (fichier source).

Un signal discret x[k] est donc un signal dont la variable libre (i.e. le temps)est discrète. "Physiquement", x[k] est une suite de nombres.

En se référant au schéma de base d’un système de régulation numérique (fi-gure 3.1 page suivante), on voit que :

– le signal de la grandeur réglée y(t) est analogique ;– le signal de la commande appliquée au système à régler u(t) est quantifié ;– le signal de la grandeur réglée après conversion, y[k], ainsi que celui de

consigne w[k] sont numériques. Toutefois, lorsque la résolution du conver-tisseur A/D est suffisamment élevée, la quantification de l’amplitude des cessignaux est négligeable et ceux-ci se confondent avec des signaux discrets.Comme déjà indiqué au chapitre 1, cette hypothèse sera retenue dans lecadre de ce cours.

Les signaux que l’on considère, quel que soit leur type, sont admis nuls pourt < 0, ce qui revient à dire :

x(t) = 0 pour t < 0

x[k] = 0 pour k < 0




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_03/Figures/rgb/F_03_01_1.pdf







AD

AD

w ( k h )

y ( k h )

u ( t ) x ( t )u ( k h )


A L G O R I T H M ES Y S T E M E

AR E G L E R

H O R L O G E

u ( k h )

k h

y ( k h )

k h

t

w ( k h )

k h t

ht

y ( t )

v ( t )

S ++

n ( t )

c o n s i g n e





f _ 0 1 _ 0 1 . e p s

Figure 3.1 – Schéma fonctionnel d’un système de régulation numérique(fichier source).

3.2.1 Signaux discrets particuliers

L’impulsion unité discrète (figure 3.2 page ci-contre)

∆[k] =

1 pour k = 00 pour k 6= 0

et le saut unité discret (figure 3.3 page suivante)

ε[k] =

1 pour k ≥ 00 pour k < 0

sont les versions discrètes de l’impulsion de Dirac δ(t) et du saut unité ε(t)respectivement.

Ces deux signaux discrets présentent un intérêt tout particulier du point devue de l’analyse des propriétés du système étudié (gain statique, type, existencede modes oscillatoires, stabilité, etc).





http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_03/Figures/rgb///../../chap_01/figures/f_01.dsf



−1 0 1 2 3 4 5

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

k

delta

(k)

IMPULSION UNITE DISCRETE

f_03_03_1c.eps

Figure 3.2 – Impulsion unité discrète ∆[k] (fichier source).

−1 0 1 2 3 4 5

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

SAUT UNITE DISCRET

k

epsi

lon(

k)

f_03_03_2c.eps

Figure 3.3 – Saut unité discret ε[k] (fichier source).

3.3 Transformée en z

3.3.1 Définition

La transformée en z X(z) d’un signal discret x[k] est donnée par :

X (z) =+∞∑

k=−∞

x [k] · z−k

où z est une variable complexe. Comme les signaux x[k] considérés dans ce coursne sont définis que pour k ≥ 0, la définition peut se restreindre à la transforméeen z unilatérale :

X (z) =+∞∑k=0

x[k] · z−k |z| > r0





http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_03/matlab///f_03_03.m





On voit qu’il s’agit d’évaluer la somme :

X (z) = x (0) + x (1) · z−1 + x (2) · z−2 + x (3) · z−3 + . . .

Cette somme converge vers une valeur finie à condition que la valeur de z soit

R e

I m

0

C o n v e r g e n c e

D i v e r g e n c e

r 0

Z

f _ 0 3 _ 0 2 . e p s

Figure 3.4 – Domaine de convergence de la transformée en z (fichier source).

située dans un domaine déterminé par son rayon de convergence r0 (figure 3.4).Si

|z| > r0

la somme converge, alors qu’on ne peut a priori rien dire du cas limite où z = r0.Géométriquement, le domaine de convergence est limité par un cercle de rayonr0.

3.3.2 Commentaire

La définition de la transformée en z qui a été adoptée, contrairement auxapparences, ne tombe pas du ciel. Elle s’inspire directement de celle de la trans-formée unilatérale de Laplace,

X(s) = Lx(t) =

∫ +∞

0

x (t) · e−s·t · dt s ≥ s0

où l’on voit que la fonction x(t) objet de la transformation est multipliée dansl’espace temps par une fonction de type exponentiel. Ce faisant, pour autant que








la variable complexe s ait une valeur assurant la convergence, la surface compriseentre l’axe du temps t et la fonction

x (t) · e−s·t

est finie et l’intégrale existe.Il en va exactement de même pour la transformée en z, développée pour

les signaux discrets sur un principe identique. On multiplie, i.e. on pondère lafonction

x[k]

par une fonction de type exponentiel

z−k

qui pourrait être(es·h)−k et l’on somme ("intègre") le produit

x[k] · z−k

sur tous les k, cette somme ne convergeant que pour un ensemble de valeurs dez telles que |z| > r0 :

X (z) =+∞∑k=0

x[k] · z−k = x (0) + x (1) · z−1 + x (2) · z−2 + x (3) · z−3 + . . .

3.3.3 Exemples

Exemple : transformée en z de l’impulsion unité discrète ∆[k]

Rappelant la définition de ∆[k] :

∆[k] =

1 pour k = 00 pour k 6= 0

on voit que sa transformée en z s’écrit simplement

X (z) =+∞∑k=0

x[k] · z−k = x (0) + x (1) · z−1 + x (2) · z−2 + . . . = 1 ∀z

La similitude avec la transformée de Laplace de l’impulsion de Dirac ne peutéchapper à personne !






Exemple : transformée en z d’un signal exponentiel ([[1], §4.2])

Soit le signal discret défini par :

x[k] = ak·h a ∈ C a 6= 0

Sa transformée en z est par application de la définition :

X (z) =+∞∑k=0

ak·h · z−k =+∞∑k=0

(ah · z−1

)k=

1

1− ah · z−1=

z

z − ah|z| >

∣∣ah∣∣ = r0

Notons que le résultat obtenu confirme ce qui est déjà connu de la théorie desprogressions géométriques ; soit une telle progression de raison r :

r0, r1, r2, r3, . . . , rn−1

La somme des n premiers termes de cette progression s’écrit :

Sn =n−1∑i=0

ri = 1 + r1 + r2 + r3 + . . .+ rn−1

Pour n tendant vers l’infini, on trouve le résultat bien connu

S∞ =1

1− rvalable exclusivement pour |r| < 1.

Ce résultat correspond à la transformée en z précédemment calculée, en posant

r = ah · z−1

Exemple : signal de durée finie ([[1], §4.2])

Soit le signal discret de durée finie de la figure 3.5 page suivante. Sa transfor-mée est simplement :

Z x[k] = X(z) =+∞∑k=0

x[k] · z−k = 1 + 3 · z−1 − 2 · z−2

3.3.4 Propriétés

On passe en revue ci-après quelques propriétés importantes de la transforma-tion en z, sans les démontrer, puisqu’il s’agit d’un rappel de ce qui a déjà été vudans le cadre du cours de traitement de signal. Les propriétés que l’on relèveratout particulièrement sont celles :

– de la translation avant (signal retardé) (p.99 ) ;– du produit de convolution (p.100 ) ;– de la valeur finale (p.171 ).

Les propriétés énoncées sont comparables à celles de la transformée de Laplace.






−1 0 1 2 3 4 5

−2

−1

0

1

2

3

Signal discret de durée finie

k

x(k)

f_03_03_3c.eps

Figure 3.5 – Signal discret de durée finie (fichier source).

Linéarité

La transformée en z d’une combinaison linéaire de signaux est égale à lacombinaison linéaire des transformées en z des signaux respectifs :

Za · x[k] + b · y[k] = a · Zx[k]+ b · Zy[k] = a ·X(z) + b · Y (z)

Translation avant (signal retardé)

La transformée en z d’un signal discret retardé de d périodes d’échantillon-nage est donnée par la transformée en z du signal non-retardé multipliée parz−d :

Zx [k − d] = z−d · Zx[k] = z−d ·X (z)

Cette propriété est fondamentale et offre en particulier l’opérateur "retard d’unepériode d’échantillonnage",

z - 1u ( k ) y ( k ) = u ( k - 1 )f _ 0 3 _ 0 7 . e p s

indispensable dans le traitement numérique des signaux.









Exemple : schéma fonctionnel détaillé d’un dérivateur numérique. Ledérivateur numérique est un opérateur approximant la dérivée du signal appliquéà son entrée. Une première manière de procéder consiste à écrire que

u =du

dt≈ u[k]− u [k − 1]

h= y[k]

Graphiquement, on peut représenter cette opération à l’aide de gains, sommateuret de retards élémentaires.

z - 1u ( k ) S 1 / h y ( k )

-f _ 0 3 _ 0 8 . e p s

Translation arrière (signal avancé)

La transformée en z d’un signal discret avancé de d périodes d’échantillonnageest :

Zx [k + d] = z+d · Zx[k] −d−1∑i=0

x (i) · zd−i = zd ·X (z)−d−1∑i=0

x [i] · zd−i

Se rappelant que l’axe du temps débute en k = 0, et que l’on a admis queles signaux sont nuls pour k < 0, on voit que cette relation élimine tous leséchantillons qui, par suite de la translation arrière, i.e. l’avance du signal, seraientdéfinis pour k < 0.

Produit de convolution

La transformée en z du produit de convolution de deux signaux discrets g[k]et u[k] est égale au produit des transformées en z de chacun des signaux.

Zg[k] ∗ u[k] = Z

k∑l=0

g[k − l] · u[l]

= G (z) · U (z)

Cette transformation constitue la pierre angulaire de toute l’analyse des systèmesdiscrets par la transformée en z. Sans le bénéfice d’une telle propriété, la trans-formée en z ne serait d’aucune utilité. Le parallélisme avec la transformée deLaplace est évident :

Y (s) = Ly(t) = L∫ t

−∞g(t− τ) · u(τ) · dτ

= Lg(t) ∗ u(t)







Théorème de la valeur finale

La valeur finale d’un signal discret x[k] peut se calculer par :

x∞=x (∞) = limk→∞

x[k] = limz→1

((z−1) ·X (z))

Cette formule s’avérera très utile ultérieurement pour calculer le gain permanentde systèmes dynamiques linéaires discrets.

Théorème de la valeur initiale

La valeur initiale d’un signal discret x[k] peut se calculer par :

x (0) = limk→0

x[k] = limz→∞

X (z)

3.3.5 Méthodes de calcul de la transformée en z

Il est rare qu’il soit nécessaire de calculer la transformée en z selon la formule

X (z) =+∞∑k=0

x[k] · z−k

En général, on dispose de tables où les transformées en z d’un certain nombre designaux de base sont données. Une telle table se trouve en annexe de ce chapitre.Un signal ne figurant pas dans la table peut souvent s’exprimer par une combi-naison linéaire de signaux élémentaires dont les transformées sont alors dans latable. Ces dernières, combinées linéairement, permettent, en faisant usage de lapropriété de linéarité, d’obtenir la transformée en z recherchée.

Exemple

On se propose de calculer la transformée en z du signal discret x[k] (figure 3.6page suivante) résultant de l’échantillonnage du signal analogique

x (t) = ε(t) ·(

1− e−tτ

)qui représente par exemple la réponse indicielle d’un filtre passe-bas de premierordre.

Avecx (t) = ε(t) ·

(1− e−

tτ

)on a

x[k] = ε[k] ·(

1− e−hτ·k)

La transformée en z étant une opération linéaire, on peut écrire :






x ( k )

k0f _ 0 3 _ 0 9 . e p s

Figure 3.6 – Signal numérique x[k] dont la transformée en z est calculée enexemple (fichier source).

X (z) = Zx[k] = Zε[k] − Zε [k] · e−

hτ·k

Le recours à la table des transformées en z de l’annexe 3.A fournit directementles transformées du saut unité et de l’exponentielle : il s’agit des transformées 3et 6. De ce fait, on a pour X(z) :

X (z) = Zx[k] =z

z − 1− z

z − e−hτ

=z ·(

1− e−hτ)

(z − 1) ·(z − e−hτ

)L’application du théorème de la valeur finale donne

x∞ = limk→∞

x[k] = limz→1

(z − 1) ·X (z) = limz→1

(z − 1) ·z ·(

1− e−hτ)

(z − 1) ·(z − e−hτ

) = 1

De même, celui de la valeur initiale fournit la limite :

limk→0

x[k] = limz→∞

X (z) = limz→∞

z ·(

1− e−hτ)

(z − 1) ·(z − e−hτ

) = 0

3.3.6 Inversion de la transformée en z

On examine ici deux méthodes souvent utilisées pour inverser la transforméeen z d’un signal discret. Il en existe d’autres, notamment celle de l’intégrationdans le plan complexe [1], qui présente un intérêt essentiellement académique,raison pour laquelle on renoncera à sa présentation.








Décomposition en éléments simples

L’inversion de la transformée en z s’effectue le plus souvent à l’aide de tables.La transformée à inverser doit être décomposée en éléments simples, les trans-formées inverses de ceux-ci se trouvant en général dans la table. Si l’on veutprocéder de manière systématique pour cette décomposition, on peut faire usagedu théorème des résidus (voir [11], §2.3.3).

Exemple ([12])

Soit la transformée en z X(z) d’un signal discret x[k] :

X (z) =0.1 · z · (z + 1)

(z − 1)2 · (z − 0.6)

avec h = 1 [s].En décomposant manuellement en élément simples

X (z) =a · zz − 1

+b · z

(z − 1)2 +c · z

z − 0.6

= . . .

=−zz − 1

+0.5 · z

(z − 1)2 +z

z − 0.6

La table des transformées en z de l’annexe offre les transformées en z inverses dechacun des éléments simples :

x[k] = Z−1X (z) =(−1 + 0.5 · k · h+ 0.6k

)· ε[k]

Les premiers échantillons de x[k] sont donc :

x [0] = −1 + 0 + 1 = 0

x [1] = −1 + 0.5 + 0.6 = 0.1

x [2] = −1 + 0.5 · 2 + 0.62 = 0.36

. . .





HEIG

-VD

Rég

ulatio

nnumér

ique(R

EN

)

Inversion par division polynômiale

La suite de nombres x[k] ayant pour transformée en z X(z) peut être obtenue très simplement par la division formelledu numérateur par le dénominateur de X(z). Partant de

X(z)=z−d · b0 + b1 · z−1 + ...+ bm−1 · z1−m + bm · z−m

1 + a1 · z−1 + . . .+ an−1 · z1−n + an · z−n

on effectue donc la division :

b0 · z−d + b1 · z−1−d + ...+ bm−1 · z1−n + bm · z−n 1 + a1 · z−1 + . . .+ an−1 · z1−n + an · z−nx [0] · z−d + x [1] · z−1−d + . . .+ x [n] · z−n−d + x [n+ 1] · z−n−1−d + . . .

Les nombres x[k] cherchés ne sont autres que les coefficients du résultat de la division. Par rapport à la méthode précédente,x[k] n’est donc pas obtenu explicitement, mais sous la forme de ses valeurs numériques successives.

Exemple ([12])

Soit la transformée en z X(z) d’un signal discret x[k] :

X (z) =0.1 · z · (z + 1)

(z − 1)2 · (z − 0.6)=

0.1 · z2 + 0.1 · zz3 − 2.6 · z2 + 2.2 · z − 0.6

On effectue la division formelle :

0.1 · z2 +0.1 · z z3 − 2.6 · z2 + 2.2 · z − 0.60.1 · z2 −0.26 · z +0.22 −0.06 · z−1

0.36 · z −0.22 +0.06 · z−1 0.1 · z−1 + 0.36 · z−2 + 0.716 · z−3 + . . .0.36 · z −0.936 +0.792 · z−1 −0.216 · z−2

0.716 + . . .

Chapitr

e3,

v.1.7

104M

EE\cou

rs_rn.tex

12décem

bre

2011




HEIG

-VD

Rég

ulatio

nnumér

ique(R

EN

)

ce qui donne directement les valeurs des échantillons cherchées :

x [0] = 0 x [1] = 0.1 x [2] = 0.36 x [3] = 0.716

Chapitr

e3,

v.1.7

105M

EE\cou

rs_rn.tex

12décem

bre

2011




HEIG

-VD

Rég

ulatio

nnumér

ique(R

EN

)

3.A Table des transformées en z ([1])

f(t) F (s) = Lf(t) f [k] F (z) = Zf [k]1 δ(t) 12 ∆[k] 13 ε(t) 1

sε[k] z

z−1

4 t 1s2

k · h h·z(z−1)2

5 12· t2 1

s312· (k · h)2 h2

2· z·(z+1)

(z−1)3

6 e−a·t 1s+a

e−a·k·h zz−e−a·h

7 ak·h zz−ah

8 t · e−a·t 1(s+a)2 k · h · e−a·k·h h·e−a·h·z

(z−e−a·h)2

9 k · h · ak·h h·ah·z(z−ah)

2

10 sin (ω · t) ωs2+ω2 sin (ω · k · h) sin (ω·h)·z

z2−2·cos (ω·h)·z+1

11 cos (ω · t) ss2+ω2 cos (ω · k · h) z·(z−cos (ω·h))

z2−2·cos (ω·h)·z+1

12 e−a·t · sin (ω · t) ω(s+a)2+ω2 e−a·k·h · sin (ω · k · h) e−a·h·sin (ω·h)·z

z2−2·e−a·h·cos (ω·h)·z+e−2·a·h

13 e−a·t · cos (ω · t) s+a(s+a)2+ω2 e−a·k·h · cos (ω · k · h)

z·(z−e−a·h·cos (ω·h))z2−2·e−a·h·cos (ω·h)·z+e−2·a·h

14 ak·h · sin (ω · k · h) ah·sin (ω·h)·zz2−2·ah·cos (ω·h)·z+a2·h

15 ak·h · cos (ω · k · h)z·(z−ah·cos (ω·h))

z2−2·ah·cos (ω·h)·z+a2·h

16 1− e−a·t as·(s+a)

1− e−a·k·h (1−e−a·h)·z(z−1)·(z−e−a·h)

Chapitr

e3,

v.1.7

106M

EE\cou

rs_rn.tex

12décem

bre

2011




HEIG

-VD

Rég

ulatio

nnumér

ique(R

EN

)

f(t) F (s) = Lf(t) f [k] F (z) = Zf [k]

17 1a· (a · t− (1− e−a·t)) a

s2·(s+a)1a·(a · k · h−

(1− e−a·k·h

))h·z

(z−1)2 −1−e−a·h

a·z

(z−1)·(z−e−a·h)

18 1− (1 + a · t) · e−a·t 1s·(s+a)2 1− (1 + a · k · h) · e−a·k·h z

z−1− z

z−e−a·h −e−a·h·a·h·z(z−e−a·h)

2

19 e−a·t − e−b·t b−a(s+a)·(s+b) e−a·k·h − e−b·k·h (e−a·h−e−b·h)·z

(z−e−a·h)·(z−e−b·h)

20 1 + b·e−a·t−a·e−b·ta−b

a·bs·(s+a)·(s+b) 1 + b·e−a·k·h−a·e−b·k·h

a−bzz−1

+ ba−b ·

zz−e−a·h −

aa−b ·

zz−e−b·h

21 e−a·t · cos(πh· t)

s+a

(s+a)2+(πh)2 e−a·k·h · cos (π · k) z

z−e−a·h

22 12· t2 · e−a·t 1

(s+a)312· (k · h)2 · e−a·k·h h2

2· e−a·h·z·(z−e−a·h)

(z−e−a·h)3

Chapitr

e3,

v.1.7

107M

EE\cou

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12décem

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Chapitre 4

Représentation des systèmesdiscrets

4.1 Introduction

Au chapitre 1, la présentation de la structure générale d’un système de ré-gulation numérique a fait apparaître un assemblage hybride, où coexistent dessignaux analogiques et discrets (définis au chap.3), ces derniers prenant la formede suites de nombres (figure 4.1 page suivante). L’un des blocs fonctionnels, l’al-gorithme représente un système ayant pour entrées et pour sorties des signauxdiscrets. Ce sont les différents moyens de représentation mathématique de telssystèmes, appelés logiquement systèmes discrets, qui font l’objet de ce chapitre.

Après avoir défini les systèmes discrets et étudié certaines de leurs propriétés(linéarité, causalité, etc, §4.2.2), on passera en revue trois variantes de représen-tation mathématique de ces systèmes :

– représentation par l’équation aux différences (§ 4.3.1 page 113) ;– représentation par la réponse impulsionnelle (§ 4.3.2 page 123) ;– représentation par la fonction de transfert (§ 4.3.3 page 129).

4.2 Systèmes dynamiques linéaires discrets

4.2.1 Systèmes dynamiques discrets : définition

Un système est discret lorsque ses signaux d’entrée et de sortie sont discrets.De tels signaux (chap.3) ne sont définis qu’à des instants bien déterminés, ce quisignifie que la variable libre, i.e. le temps, est discrétisée (figure 4.2 page 111).

Une grande majorité des signaux discrets apparaissent sous la forme de suitesde nombres, et dans ces cas, le système discret auquel ils sont appliqués, ou quiles produit, n’est autre qu’un algorithme de traitement numérique (régulateur,filtre, etc).






Aw ( k h )

y ( k h )

u ( t ) x ( t )u ( k h )


A L G O R I T H M ES Y S T E M E

AR E G L E R

H O R L O G E

y ( k h )

k h

t

w ( k h )

k h t

ht

y ( t )

v ( t )

n ( t )

c o n s i g n e





f _ 0 4 _ 0 9 . e p s

D

D

A S

u ( k h )

k h

Figure 4.1 – Schéma fonctionnel général d’un système de régulation numérique(fichier source).

Un système discret est dynamique si sa sortie à l’instant présent dépend nonseulement de l’entrée présente, mais aussi des entrées et sorties passées.

4.2.2 Propriétés générales des systèmes dynamiques dis-crets ([[1], §3.2.1])

Linéarité

Un système est linéaire s’il satisfait au principe de superposition, lequel exigeque les propriétés

– d’additivité : si les entrées u1 et u2 produisent respectivement les sortiesy1 et y2, l’entrée composée (u1 + u2) produit la sortie (y1 + y2)

y1 = S (u1)y2 = S (u2)

⇐⇒ S(u1 + u2) = y1 + y2 (4.1)

et– d’homogénéité : si l’entrée u produit la sortie y, l’entrée α · u produit la

sortie α · y

y = S (u) ⇐⇒ S (α · u) = α · y α ∈ C (4.2)








u ( k )

S Y S T E M ED I S C R E T

y ( k )

kk

f _ 0 4 _ 0 5 . e p s

Figure 4.2 – Un système est discret lorsque ses signaux d’entrée et de sortiesont discrets (fichier source).

soient satisfaites.

Système au repos

Un système est au repos à l’instant k = k0 si sa sortie y[k] pour k ≥ k0 estdéterminée uniquement par son entrée u[k] pour k ≥ k0.

Causalité

Un système est causal si sa sortie y[k0 à l’instant k0 ne dépend pas des valeursprises par l’entrée après k0.

Un système causal ne peut donc répondre que par suite de l’apparition del’excitation, et non avant ! Le filtre de reconstruction de Shannon vu au chap.2,les filtres idéaux, sont des exemples classiques de systèmes non-causals.

Stationnarité (ou invariance)

Un système est stationnaire si, excité par un signal décalé de d périodesd’échantillonnage, il produit une réponse également décalée d’exactement d pé-riodes (figure 4.3 page suivante).

Le même signal d’excitation, retardé d’un certain nombre de périodes d’échan-tillonnage produit donc exactement la même réponse, bien sûr retardée du mêmenombre de périodes d’échantillonnage. On conçoit que pour des systèmes dont lesparamètres varient, par suite de l’usure (par exemple le frottement visqueux, i.e.Rf = Rf (t)) ou de modifications délibérées (par exemple la masse entraînée, i.e.m = m(t)), la condition de stationnarité n’est pas remplie.

Non-stationnarité ne signifie en rien non-linéarité ! Il s’agit de 2 pro-priétés bien distinctes. D’aillleurs, le traitement analytique systèmes non-stationnaires ne pose pas de difficultés insurmontables, contrairement auxsystèmes affectés d’une non-linéarité.








k0

y 1 ( k )

k0

y 2 ( k ) = y 1 ( k - d )

k0

k0

u 1 ( k ) = D ( k )

d h

u 2 ( k ) = D ( k - d )

= u 1 ( k - d )

f _ 0 4 _ 0 1 . e p s

Figure 4.3 – Illustration de la propriété de stationnarité (fichier source).

4.2.3 Systèmes dynamiques linéaires discrets

Sauf mention particulière, il sera implicitement admis dans le cadre de cecours que tout système discret soit simultanément :

1 linéaire2 au repos3 causal4 stationnaire

En référence au cours de traitement de signal, de tels systèmes sont linéairestemporellement invariants (LTI) (figure 4.4 page suivante).

4.2.4 Analyse temporelle des systèmes linéaires discrets

Deux signaux d’excitation s’avèrent particulièrement utiles pour analyser lespropriétés des systèmes dynamiques linéaires discrets (gain statique, type, modes,stabilité, etc) : il s’agit de l’impulsion unité discrète ∆[k] et du saut unité discretε[k] (figure 4.5 page 114).

Les réponses impulsionnelles et indicielles discrètes sont désignées respective-ment par g[k] et γ[k].








u ( k ) y ( k )

S y s t è m ed i s c r e tL T I

f _ 0 4 _ 0 6 . e p s

Figure 4.4 – Système discret linéaire et stationnaire, également désigné systèmeLinéaire Temporellement Invariant (LTI) (fichier source).

4.3 Représentation des systèmes dynamiques li-néaires discrets

Pour représenter un système discret, trois possibilités seront prises en compte :– l’équation aux différences ;– la réponse impulsionnelle discrète ;– la fonction de transfert.Les deux premières sont étudiées aux § 4.3.1 et 4.3.2 page 123. La dernière de

ces trois représentations est en même temps la plus puissante, car elle offre unefacilité d’analyse des propriétés (stabilité, type, modes, etc) d’un système discretqui est sans égal. Elle fait l’objet d’une très brève présentation au § 4.3.3 page 129et d’un traitement détaillé au chapitre 5, qui lui est entièrement consacré.

4.3.1 Représentation par l’équation aux différences

Forme générale

Le signal de sortie y[k] d’un système dynamique discret causal, ayant u[k]pour entrée, est donné sous forme générale par une relation du type

y[k] = f (u[0], . . . , u[k], y[0], . . . , y[k − 1]) (4.3)

où l’on a pris en compte non seulement l’effet de l’entrée présente u[k], maisaussi, puisque le système est dynamique, l’influence possible de toutes les valeurspassées de u[k] et de y[k].

Si le système discret considéré bénéficie de plus de la propriété de linéarité, etque sa sortie y[k] ne dépend que des n valeurs précédentes de u[k] et de y[k], onpeut alors le représenter mathématiquement par l’équation aux différences d’ordre








−1 0 1 2 3 4 5−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Impulsion unité discrète

∆ (k

)

−1 0 1 2 3 4 5−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Saut unité discrèt

k

epsi

lon(

k)

f_04_03_1c.eps

Figure 4.5 – Impulsion et saut unité discrets (fichier source).

n

y[k] + a1 · y[k − 1] + . . .+ an−1 · y[k − n+ 1] + an · y[k − n]

= b0 · u[k−n+m] + b1 · u[k−n+m1] + . . .+ bm−1 · u[k−n+ 1] + bm · u[k−n]

De toute évidence, cette équation aux différences est le correspondant discretde l’équation différentielle régissant un système dynamique linéaire analogique.

Si le système est stationnaire, les coefficients a1 . . . an−1, b0 . . . bm, sont constantset ne dépendent pas du temps.

En posant :d = n−m

l’équation aux différences devient :


= b0 · u[k − d] + b1 · u[k − d− 1] + . . .+ bm−1 · u[k − n+ 1] + bm · u[k − n](4.4)

Le nombre entier d porte le nom de degré relatif. On voit qu’il indique lenombre de périodes d’échantillonnage s’écoulant avant que y[k] soit influencé parle signal d’entrée (voir exemples ci-après). On conçoit donc que dans la règle :

d ≥ 0 (4.5)




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_04/Figures/rgb/f_04_03_1.pdf




Résolution de l’équation aux différences

Solution générale Les équations aux différences admettent une solution gé-nérale de la forme :

y [k, u[k]]

Sa connaissance n’a pas d’utilité directe dans le contexte de ce cours. La méthodepermettant de l’obtenir est calquée sur celle bien connue de l’équation différen-tielle ordinaire ; on examine tout d’abord à quelles conditions des solutions de laforme

yh[k] = zk

(z est un nombre réel ou complexe) satisfont l’équation homogène (i.e. sans secondmembre)

y[k] + a1 · y[k − 1] + . . .+ an−1 · y[k − n+ 1] + an · y[k − n] = 0

qui devient, après substitution et simplification, l’équation caractéristique :

zn + a1 · zn−1 + . . .+ an−1 · z + an = 0 (4.6)

La solution fournit les valeurs z1 à zn telles que

yh[k] = C1 · zk1 + C2 · zk2 + . . .+ Cn · zkn

i.e. yh[k] est une combinaison linéaire d’éléments de la forme zk.Il s’agit ensuite de trouver une solution particulière,

yp[k]

sa combinaison linéaire avec yh[k], associée aux conditions initiales, fournissantfinalement la solution générale

y [k, u[k]]

recherchée.Le calcul de cette solution est bien sûr considérablement allégé si comme pour

les équations différentielles, on fait usage du calcul opérationnel, en exploitant lespropriétés de la transformée en z.

Il est toutefois très rare qu’une solution de cette nature doive être trouvée,raison pour laquelle cette méthode de résolution ne sera pas traitée plus en détail.

Solution récursive La méthode de résolution favorite offre une solution sousforme récursive, la valeur du signal y[k] à l’instant k étant exprimée non seulementen fonction de celles de l’entrée u[k] aux instants présent et passés, mais aussi en






fonction des valeurs passées de y[k]. Partant de l’équation aux différences (4.4),on a simplement :

y[k] = b0 · u[k − d] + b1 · u[k − d− 1] + . . .+ bm−1 · u[k − n+ 1] + bm · u[k − n]

− a1 · y[k − 1]− . . .− an−1 · y[k − n− 1]− an · y[k − n]

Bien que des variantes d’implantation existent, on voit que cette forme est exac-tement celle que l’on utiliserait pour programmer l’équation.

/∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗f l o a t equa_di f f ( f l o a t input )//on suppose que l e s c o e f f i c i e n t s de l ’ eq . aux d i f f . sont dans l e s t ab l eaux ://a = [ a0 , a1 , a2 , . . . , an ] e t b = [ b0 , b1 , b2 , . . . , bn ] avec a0=1s t a t i c f l o a t u [N+1]; // en t ree s s u c c e s s i v e s [ u [ k ] , . . . , u [ k−N] ]s t a t i c f l o a t y [N+1]; // s o r t i e s s u c c e s s i v e s [ y [ k ] , . . . , y [ k−N] ]i n t i ;

u [ 0 ] = input ; //u [ k ]y [ 0 ] = b [ 0 ] ∗ u [ 0 ] ; // i n i t i a l i s a t i o n y [ k−0]f o r ( i=N ; i>0 ; i−−) // In s t an t s precedents

y [ 0 ] = y [ 0 ] + b [ i ]∗u [ i ] − a [ i ]∗ y [ i ] ; //Calcu l de y [ k ]y [ i ] = y [ i −1]; //Mise a jour des va l eu r su [ i ] = u [ i −1]; //aux i n s t an t s passes

re turn y [ 0 ] ; //Retourne y [ k ]/∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗

En notant au préalable que si l’origine de l’axe du temps est prise en k = 0,les signaux u[k] et y[k] sont nuls pour k < 0, les valeurs de y[k] aux instantsk = 0, 1, 2 sont obtenues récursivement :

y[0] = b0 · u[0− d] + b1 · u[0− d− 1] + . . .+ bm−1 · u[0− n+ 1] + bm · u[0− n]

− a1 · y[0− 1] + . . .− an−1 · y[0− n+ 1]− an · y[0− n]

= b0 · u[−d] 6= 0 seulement pour d = 0

y[1] = b0 · u[1−d] + b1 · u[1−d− 1] + . . .+ bm−1 · u[1−n+ 1] + bm · u[1−n]

− a1 · y[1− 1] + . . .− an−1 · y[1−n+ 1]− an · y[1−n]

= b0 · u[1−d] + b1 · u[−d] + . . .+ bm−1 · u[−n] + bm · u[1−n]

− a1 · y[0] + . . .− an−1 · y[−n]− an · y[1−n]

y[2] = b0 · u[2−d] + b1 · u[1−d] + . . .+ bm−1 · u[1−n] + bm · u[2−n]

− a1 · y[1] + . . .− an−1 · y[1−n]− an · y[2−n]

etc

Exemples






−2 0 2 4 6 8 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

∆ (k

)


−2 0 2 4 6 8 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k

g(k)

Réponse impulsionnelle de l’accumulateur numérique

f_ch_04_01_1c.eps

Figure 4.6 – Réponse impulsionnelle de l’accumulateur numérique (fichier source).

Accumulateur numérique Comme son nom l’indique, l’accumulateur numé-rique est un opérateur qui produit la somme cumulée de toutes les entrées présenteet passées :

y[k] =k∑l=0

u [l] (4.7)

La parenté avec l’intégrateur numérique, tel qu’il a été vu au chapitre 1 pourl’établissement de la loi de commande du régulateur PI numérique, est évidente.L’équation aux différences est obtenue facilement en écrivant la valeur du contenude l’accumulateur à l’instant k et à l’instant k − 1 puis en soustrayant :

y[k] =∑k

l=0 u (l)

y[k − 1] =∑k−1

l=0 u (l)y[k]− y[k − 1] = u[k]

soit encore :

y[k] = y[k − 1] + u[k] (4.8)

Il vaut ici la peine de calculer et de tracer la réponse impulsionnelle g[k] del’accumulateur numérique à l’impulsion unité discrète ∆[k], qui sans surprise,








−2 0 2 4 6 8 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ε (k

)

Saut unité discret

−2 0 2 4 6 8 10

0

2

4

6

8

10

k

γ (k

)Réponse indicielle de l’accumulateur numérique

f_ch_04_01_2c.eps

Figure 4.7 – Réponse indicielle de l’accumulateur numérique (fichier source).

n’est autre que le saut unité discret ε[k] (figure 4.6 page précédente) :

y [−1] =y [−1− 1] +u [−1] = 0 + 0 = 0

y [0] =y [0− 1] +u [0] = 0 + 1 = 1

y [1] =y [0] +u [1] = 1 + 0 = 1

y [2] =y [1] +u [2] = 1 + 0 = 1

y [3] =y [2] +u [3] = 1 + 0 = 1

. . .

y[k] = ε[k] (saut unité discret)Pour la réponse indicielle, on a

y [−1] =y [−1− 1] +u [−1] = 0 + 0 = 0

y [0] =y [0− 1] +u [0] = 0 + 1 = 1

y [1] =y [0] +u [1] = 1 + 1 = 2

y [2] =y [1] +u [2] = 2 + 1 = 3

y [3] =y [2] +u [3] = 3 + 1 = 4

. . .

et donc y[k] = (k+ 1) · ε[k]. Il s’agit d’une rampe discrète de pente 1 (figure 4.7).

L’examen des réponses impulsionnelle et indicielle confirme ce qui peut êtredéduit directement de l’équation aux différences : le degré relatif d de ce systèmeest 0, puisque la sortie y[k] réagit effectivement dès l’apparition de l’entrée, sansaucun délai.








e ( k ) u ( k )R E G U L A T E U RP I D

N U M E R I Q U E f _ 0 4 _ 0 7 . e p s

Figure 4.8 – Schéma fonctionnel du régulateur PID numérique : l’entrée discrèteest le signal d’erreur e[k] et la sortie est la commande u[k] (fichier source).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

k

D

P

I

Contributions P, I et D à la réponse indicielle du régulateur PID numérique

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

12

k

γ (k

)

Réponse indicielle du régulateur PID numérique

f_ch_04_02_1c.eps

Figure 4.9 – Réponse indicielle d’un régulateur PID numérique : en haut, contri-butions individuelles des actions P, I et D (fichier source).

Régulateur PID numérique L’algorithme du régulateur PID numérique estdonné par l’équation aux différences (voir exercices) :

u[k]− u[k − 1] = b0 · e [k] + b1 · e[k − 1] + b2 · e [k − 2] (4.9)

où, se replaçant dans le contexte d’une boucle de régulation automatique, l’entréeest ici l’erreur discrète e[k] et la sortie la commande discrète u[k] (attentionaux confusions pouvant provenir de cette notation). Le degré relatif du systèmediscret "régulateur PID numérique" est de zéro (d = 0), la sortie étant influencéeinstantanément par l’entrée e[k] grâce à l’action du terme proportionnel.

La première des deux réponses indicielles tracées sur la figure 4.9 fait appa-raître individuellement les contributions proportionnelle, intégrale et dérivée durégulateur.

L’observation de la réponse indicielle du régulateur PID à l’instant k = 0










confirme ce qui apparaissait déjà lors de l’écriture de l’équation aux différences :le degré relatif de ce système dynamique est d = 0.






−1 0 1 2 3 4 5 6

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

∆ (k

)


−1 0 1 2 3 4 5 6

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k

g(k)

Réponse impulsionnelle d’un retard pur de d=4 période d’échantillonnage

f_ch_04_05_1c.eps

Figure 4.10 – Réponse impulsionnelle d’un système insérant un retard pur ded = 4 périodes d’échantillonnage (fichier source).

Retard pur de d périodes d’échantillonnage Le système discret décrit parl’équation aux différences

y[k] = u [k − d] (4.10)

n’est autre que l’opérateur "retard pur de d périodes d’échantillonnages". L’ob-servation de la réponse impulsionnelle (figure 4.10) met ce retard clairement enévidence (ici pour d = 4).

Filtre passe-bas du premier ordre On peut imaginer construire un filtrenumérique passe-bas de premier ordre en développant un algorithme discret re-produisant aussi bien que possible le comportement d’un filtre analogique demême type. Ce dernier ayant pour fonction de transfert

G (s) =Y (s)

U (s)=

1

1 + s · τ(4.11)

il est décrit par l’équation différentielle

dy

dt+

1

τ· y (t) =

1

τ· u (t) (4.12)

La discrétisation de cette dernière peut se faire par plusieurs méthodes, se dis-tinguant par la manière d’approximer la dérivée. Choisissons d’approcher celle-cisimplement par l’expression

dy

dt≈ y[k]− y [k − 1]

h(4.13)

La discrétisation de l’équation différentielle donne alors :

y[k]− y[k − 1]

h+

1

τ· y[k] =

1

τ· u[k] (4.14)








et après une légère mise en forme

y[k] + a1 · y[k − 1] = b0 · u[k] avec

a1 = −τh

(1+ τh)

b0 = 1

(1+ τh)

(4.15)

qui n’est autre que l’équation aux différences régissant le filtre numérique recher-ché.

La comparaison des réponses indicielles du filtre analogique et de son ap-proximation numérique est instructive (figure 4.11), notamment dans le cas où lapériode d’échantillonnage h est choisie un peu élevée par rapport à la constantede temps τ du filtre.

0 5 10 15 20 25 30

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k, t[s]

γ (t

), γ

[k]

Réponses indicielles des filtres analogique et numérique (h=1[s], τ=1[s], τ=6[s])

f_ch_03_04_1.eps

Figure 4.11 – Réponses indicielles du filtre analogique et de sa version discrète,pour 2 constantes de temps différentes. Pour la plus petite des constantes detemps, l’adéquation entre le filtre analogique et sa version numérique est moinsbonne, à cause de l’inexactitude de l’approximation (4.14) (fichier source).

Le degré relatif du filtre numérique est ici

d = 0

Remarquons au passage que si nécessaire, la construction d’un filtre semblabled’un degré relatif différent est élémentaire ; les équations aux différences étantrespectivement, pour d = 1, 2 ou 3 :∣∣∣∣∣∣

y[k] + a1 · y[k − 1] = b0 · u[k − 1]y[k] + a1 · y[k − 1] = b0 · u[k − 2]y[k] + a1 · y[k − 1] = b0 · u [k − 3]

(4.16)








0 5 10 15 20 25 30

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k, t[s]

γ [k

]

Réponses des filtres analogique et numérique (h=1[s], τ=6[s]) pour d=0, 1, 2, 3

f_ch_03_04_2.eps

Figure 4.12 – Réponses indicielles pour différentes valeur de d, qui déterminele nombre de périodes d’échantillonnage s’écoulant entre la variation du signald’excitation et celle correspondante de la sortie (fichier source).

Les réponses indicielles apparaissent sur le tracé sur la figure 4.12.

4.3.2 Représentation par la réponse impulsionnelle discrèteg[k]

Considérons la situation où un système numérique, par exemple un processeur,est programmé pour exécuter un algorithme (figure 4.13).

u ( k ) y ( k )

a l g o r i t h m ef _ 0 4 _ 0 3 . e p s

Figure 4.13 – Algorithme de traitement numérique (fichier source).

L’algorithme transforme la suite de nombres u[k] en une autre suite de nombres,










−1 0 1 2 3 4 5

−2

−1

0

1

2

3

Signal discret de durée finie

k

x(k)

f_04_03_2c.eps

Figure 4.14 – Signal utilisé pour exciter le système dynamique linéaire discret(fichier source).

y[k], selon des règles bien déterminées : c’est un système dynamique discret. Dansle cas où l’algorithme et son implémentation sont tels que le système discret ré-pond aux exigences suivantes,

1. le système est linéaire,

2. le système est au repos,

3. le système est causal,

4. le système est stationnaire,

le bloc algorithme représente alors un système dynamique linéaire discret. Laquestion qui se pose ici est de savoir comment calculer la réponse y[k] à uneentrée quelconque u[k].

Un premier élément de réponse peut être trouvé si l’on se réfère au § 4.3.1page 113, où l’on montre que la connaissance de l’équation aux différences et del’entrée u[k] est suffisante pour trouver y[k]. On propose ici une tout autre manièrede faire, basée essentiellement sur la réponse impulsionnelle g[k] du système.

Le système discret soumis à l’entrée u[k] étant en fait excité à chaque instantd’échantillonnage par une impulsion discrète pondérée par l’entrée u[k], on peutécrire :

u[k] =k∑l=0

u[l] ·∆[k − l] (4.17)

Par exemple, soit le signal discret u[k] de durée finie qui a l’allure de la figure 4.14.On a effectivement :








y[k] =

g[k] · u[0] réponse à l’instant k à l’impulsion de poidsu[0] survenue à l’instant 0

+ g[k − 1] · u[1] réponse à l’instant k à l’impulsion de poidsu[1] survenue à l’instant 1

+ g[k − 2] · u[2] réponse à l’instant k à l’impulsion de poidsu[2] survenue à l’instant 2

+ . . . . . .+ g[0] · u[k] réponse à l’instant k à l’impulsion de poids

u[k] survenue à l’instant k= =

∑kl=0 g[k − l] · u[l] réponse complète à l’instant k au signal u[k]

u[k] = 1 ·∆[k] + 3 ·∆ [k − 1]− 2 ·∆[k − 2]

= u [0] ·∆[k] + u [1] ·∆ [k − 1] + u [2] ·∆[k − 2]

=k∑l=0

u[l] ·∆[k − l]

soit :

u[k] =k∑l=0

u[l] ·∆[k − l] (4.18)

La réponse y[k] est alors, par linéarité, constituée de la superposition de 0, 1, 2 . . . k,soit au total (k+ 1) réponses impulsionnelles discrètes décalées et pondérées. Ona tout d’abord dans le cas de l’exemple,

y[k] = 1 · g[k] + 3 · g[k − 1]− 2 · g[k − 2]

= u[0] · g[k] + u[1] · g[k − 1] + u[2] · g[k − 2]

=k∑l=0

u[l] · g[k − l]

En disposant de g[k], la réponse discrète y[k] à toute entrée u[k] est donc donnéepar ce qu’on appelle le produit de convolution :

y[k] = g[k] ∗ u[k] =k∑l=0

g[k − l] · u[l] (4.19)

On constate donc qu’un système discret peut être décrit mathématiquement parsa réponse impulsionnelle discrète g[k] (figure 4.15 page suivante).






g ( k )

a l g o r i t h m e

y ( k )u ( k )

u ( k ) = D ( k )1

0 k

y ( k ) = g ( k )

f _ 0 4 _ 0 4 . e p s

Figure 4.15 – Un système dynamique, linéaire, causal et stationnaire peut êtrereprésenté par sa réponse impulsionnelle g[k] (fichier source).








Afin d’illustrer graphiquement ces considérations, examinons par exemple unsystème dynamique linéaire ayant la réponse impulsionnelle g[k] graphée sur lafigure ci-dessous.

∆[k] g[k]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

k

∆(k)

f_rep_imp_1c.eps g ( k )y ( k )u ( k )

f _ 0 4 _ 0 8 . e p s

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k

g(k)

f_rep_imp_2c.eps

Ce système est excité à l’instant k = 0 par le signal u[k],

u[k]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

k

u(k)

f_rep_imp_3c.eps

u[k] =k∑l=0

u[l] ·∆[k − l]

(4.20)

décomposable en une suite d’impulsions pondérées et décalées ; on a :




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_04/Figures/rgb/f_rep_imp_1.pdf






l u[l] g[k − l] · u[l]

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

k

u(0)

⋅ ∆(

k−0)

l=0


f _ 0 4 _ 0 8 . e p s

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

k

u(0)

⋅ g(

k−0)

l=0

f_rep_imp_6c.eps

+ +

10 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

k

u(1)

⋅ ∆(

k−1)

l=1


f _ 0 4 _ 0 8 . e p s

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

k

u(1)

⋅ g(

k−1)

l=1

f_rep_imp_8c.eps

+ +

20 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

k

u(2)

⋅ ∆(

k−2)

l=2


f _ 0 4 _ 0 8 . e p s

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

k

u(2)

⋅ g(

k−2)

l=2

f_rep_imp_10c.eps

La réponse y[k] est obtenue par somme sur l des réponses g[k − l] · u[l] :=

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

k

y(k)

= g(

k) *

u(k

)

f_rep_imp_4c.eps

y[k] =k∑l=0

g[k−l]·u[l] (4.21)
















u ( k )

G ( z )y ( k )

kk

U ( z ) Y ( z )f _ 0 4 _ 0 2 . e p s

Figure 4.16 – Représentation d’un système dynamique linéaire, au repos causalet stationnaire par sa fonction de transfert G(z) (fichier source).

La réponse impulsionnelle g[k] se profile donc comme un autre moyen, "concur-rent" de l’équation aux différences, de décrire exhaustivement le système dyna-mique linéaire discret.

4.3.3 Représentation par la fonction de transfert G(z)

Le signal de sortie y[k] émanant d’un système discret, linéaire, au repos, causalet stationnaire est donné par le produit de convolution

y[k] = g[k] ∗ u[k] =k∑l=0

g[k − l] · u[l] (4.22)

La transformée en z des deux membres de cette égalité est, en faisant usage despropriétés de la transformation en z :

Y (z) = G (z) · U (z) (4.23)

L’expression G(z) est la fonction de transfert du système discret. On voit qu’ellen’est autre que la transformée en z de la réponse impulsionnelle g[k] :

G (z) = Zg[k] (4.24)

On note par ailleurs que G(z) est équivalente au quotient des transformées en zde y[k] et u[k] :

G (z) =Y (z)

U (z)(4.25)

L’étude approfondie des propriétés de la fonction de transfert sera poursuivie auchapitre 5.













Chapitre 5

Fonction de transfert discrète

5.1 Introduction

Ce chapitre a pour but l’étude de la fonction de transfert de systèmes dyna-miques linéaires discrets. Indifféremment, on parlera de fonction de transfert enz, de fonction de transfert discrète ou plus simplement de fonction de transfert.

Après avoir défini la fonction de transfert discrète d’un système comme étantla transformée en z de sa réponse impulsionnelle, on examinera différentes formesde présentation (puissances de z positives ou négatives, etc), et l’on définira lespôles et les zéros. Aux pôles correspondent des modes temporels discrets, dontl’allure sera examinée en détails. On verra que certains d’entre-eux peuvent avoirune allure surprenante (effet sonnette, § 5.3.4 page 150).

Un paragraphe particulièrement important sera consacré à l’établissement dumodèle échantillonné du système à régler, ce qui permettra d’établir un lien précisentre les domaines analogique et numérique au niveau des fonctions de transferts.Le même type de lien pourra être obtenu ensuite entre les pôles de systèmesanalogiques et numériques.

5.2 Fonction de transfert d’un système dynamiquediscret

5.2.1 Définition

La fonction de transfert d’un système dynamique discret

1 linéaire2 au repos3 causal4 stationnaire






est la transformée en z de sa réponse impulsionnelle discrète :

G(z) = Z g[k]

La fonction de transfert apparaît donc comme un autre moyen, avec l’équationaux différences et la réponse impulsionnelle, de représentation des systèmes dy-namiques linéaires (figure 5.1).

G ( z ) Y ( z )U ( z )u ( k ) y ( k )

f _ 0 5 a _ 0 1 . e p s

Figure 5.1 – Représentation d’un système dynamique linéaire discret par safonction de transfert G(z) (fichier source).

Dans G(z) sont concentrées toutes les informations nécessaires à la connais-sance complète du système dynamique vu de son environnement, au travers deson entrée u[k] et sa sortie y[k]. Cette dernière étant donnée par le produit deconvolution (§ 4.3.2 page 123)

y[k] =k∑l=0

g[k − 1]− l) · u(l) = g[k] ∗ u[k]

on voit par la transformation en z des deux membres de cette égalité,

Z y[k] = Z

k∑l=0

g[k − l] · u[l]

→ Y (z) = G(z) · U(z)

que la fonction de transfert G(z) peut être obtenue indirectement par

G(z) =Y (z)

U(z)=Z y [k]Z u [k]

=transformée en z du signal de sortietransformée en z du signal d’entrée

Définir la fonction de transfert par le biais de cette dernière relation pourraitprêter à confusion, puisqu’une telle définition laisserait entendre que G(z) dépendde l’entrée U(z) appliquée alors qu’il n’en est évidemment rien. Cette propriété,a priori évidente, doit être néanmoins soulignée, puisqu’elle a des conséquencespratiques importantes : elle autorise ainsi à identifier la fonction de transfert d’unsystème dynamique linéaire quelconque en le soumettant à un signal d’excitationu[k] choisi arbitrairement. Ce signal peut ainsi être composé en répondant auxexigences les plus diverses comme par exemple :

– sa durée (minimale, maximale) ;– son amplitude (minimale, maximale) ;




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_05/Figures/rgb/f_05a_01.pdf

http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_05/Figures/rgb///f_05a.dsf



0 10 20 30 40 50 60−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

k

u(k)

Suite binaire pseudo aléatoire de 64 points et son spectre d’amplitude

f_ch_05_04_1c.eps

Figure 5.2 – Signal d’excitation de type suite binaire pseudo-aléatoire, ici de26 = 64points (SBPA) (fichier source).

– sa valeur en certains instants ;– ses caractéristiques spectrales (bande limitée, large bande), par exemple

pour faciliter l’identification d’une constante de temps, d’une résonance,etc ;

– les valeurs limites de ses dérivées (i.e. taux de variation), par exemple pouréviter des saturations.

Dans certains cas, ce signal est un saut, un signal carré ou encore une sinusoïdede fréquence variable. Au laboratoire, u[k] est souvent une suite binaire pseudo-aléatoire (SBPA), dont un exemple est donné sur la figure 5.2.

5.2.2 Exemples

Fonction de transfert de l’intégrateur "forward"

Soit un système dynamique linéaire, au repos, causal et stationnaire dont laréponse impulsionnelle discrète g[k] est un saut unité discret retardé d’une périoded’échantillonnage et d’amplitude h (figure 5.3 page suivante) :

y[k] = g[k] = h · ε[k − 1]

La fonction de transfert de ce système est simplement, en consultant la tabledes transformées en z donnée en annexe du chapitre 3 (§ 3.A page 106) et en








y ( k ) = g ( k ) = h e ( k - 1 )u ( k ) = D ( k )

k0k0e x c i t a t i o n r é p o n s ei m p u l s i o n n e l l e

h1

f _ 0 5 a _ 0 2 . e p s

Figure 5.3 – Système dynamique linéaire discret ayant pour réponse impul-sionnelle un saut unité retardé d’une période d’échantillonnage et d’amplitude h(fichier source).

appliquant la propriété de décalage avant :

G (z) = Z g [k] = Z h · ε [k − 1] = h · z−1 · Z ε [k] =h

z − 1

G (z) =Y (z)

U(z)=

h

z − 1

Fonction de transfert du régulateur PID numérique

La loi de commande du régulateur PID numérique, telle qu’elle a pu êtreétablie en exercices, est donnée par (approximation du terme intégral par laméthode des trapèzes) :

u [k] = Kp ·

(e [k] +

1

Ti·k−1∑l=0

e [l] + e (l + 1]

2· h+ Td ·

e [k]− e [k − 1]

h

)

La réponse indicielle, tracée au chapitre 4, § 4.3.1 page 119, a pour expression

y [k] = γ [k] = Kp · ε [k] + Ki︸︷︷︸KpTi

· (k + 1) · h · ε [k] + Kd︸︷︷︸Kp·Tdh

·∆ [k]








La fonction de transfert du régulateur s’en déduit facilement :

G(z) =Y (z)

U(z)=Z y [k]Z u [k]

=Kp ·

(zz−1

+ 12·Ti ·

(z·h

(z−1)2 + z2·h(z−1)2

)+ Td

h

)zz−1

=

Kp·(z·(z−1)+ h

2·Ti·z·(z+1)+

Tdh·(z−1)2

)(z−1)2

zz−1

=Kp ·

(z · (z − 1) + h

2·Ti · z · (z + 1) + Tdh· (z − 1)2

)z · (z − 1)

=z2 ·

(Kp +Ki · h+ Kd

h

)+ z ·

(−Kp − 2 · Kd

h

)+ Kd

h

z · (z − 1)

=b0 · z2 + b1 · z + b2

z · (z − 1)

5.2.3 Fonction de transfert d’un système décrit par sonéquation aux différences

Dans la majorité des cas, un système discret est défini par son équation auxdifférences plutôt que par l’une de ses réponses temporelles discrètes. La fonctionde transfert s’obtient alors directement par transformation en z des deux membresde l’équation, ce qui donne, dans le cas de conditions initiales nulles :


= b0 · u[k − d] + b1 · u[k − d− 1] + . . .+ bm−1 · u[k − n+ 1] + bm · u[k − n]

La transformée en z des 2 membres de l’équation aux différences donne :(1 + a1 · z−1 + . . .+ an−1 · z1−n + an · z−n

)· Y (z)

= z−d ·(b0 + b1 · z−1 + . . .+ bm−1 · z1−m + bm · z−m

)· U(z)

d’où :

G(z) =Y (z)

U(z)=z−d · b0 + b1 · z−1 + ...+ bm−1 · z1−m + bm · z−m

1 + a1 · z−1 + ...+ an−1 · z1−n + an · z−n

La fonction de transfert apparaît ici comme une fraction rationnelle en z, misesous forme de puissances de z négatives. La multiplication des numérateur et






dénominateur par zn permet de mettre cette expression sous forme de puissancesde z positives :

G(z) =Y (z)

U(z)=zn

zn· z−d · b0 + b1 · z−1 + ...+ bm−1 · z1−m + bm · z−m

1 + a1 · z−1 + ...+ an−1 · z1−n + an · z−n

=zn−d

zn· b0 + b1 · z−1 + ...+ bm−1 · z1−m + bm · z−m

1 + a1 · z−1 + ...+ an−1 · z1−n + an · z−n

=zm

zn· b0 + b1 · z−1 + ...+ bm−1 · z1−m + bm · z−m

1 + a1 · z−1 + ...+ an−1 · z1−n + an · z−n

soit :

G(z) =Y (z)

U(z)=b0 · zm + b1 · zm−1 + ...+ bm−1 · z + bmzn + a1 · zn−1 + ...+ an−1 · z + an

Exemple : fonction de transfert du régulateur PID numérique

Partant de la loi de commande du régulateur PID numérique donnée parl’équation aux différences

u [k]− u [k − 1) = b0 · e [k] + b1 · e [k − 1) + b2 · e [k − 2)

où le signal d’erreur e[k] est l’entrée et la commande u[k] la sortie, avec :

b0 = Kp +Ki · h+ Kdh

b1 = −Kp − 2 · Kdh

b2 = Kdh

a0 = 1a1 = −1a2 = 0

La fonction de transfert s’en déduit immédiatement (on pourrait également ef-fectuer la transformation en z des deux membres de l’équation aux différences) :

G (z) =U(z)

E(z)=b0 + b1 · z−1 + b2 · z−2

1− z−1

=b0 · z2 + b1 · z + b2

z · (z − 1)

=

(Kp +Ki · h+ Kd

h

)· z2 +

(−Kp − 2 · Kd

h

)· z + Kd

h

z · (z − 1)

Cette expression est identique à celle obtenue au §5.2.2 .






Exemple : fonction de transfert de l’opérateur "retard pur d’un nombreentier de périodes d’échantillonnage"

L’opérateur "retard pur de d périodes d’échantillonnage" est décrit par l’équa-tion aux différences

y [k] = u [k − d)

Sa fonction de transfert est simplement :

G (z) =Y (z)

U(z)= z−d =

1

zd

z - du ( k ) y ( k ) = u ( k - d )f _ 0 5 a _ 0 9 . e p s

Figure 5.4 – Schéma fonctionnel d’un retard pur de d périodes d’échantillonnage(fichier source).

Il est à noter la facilité avec laquelle un retard d’un nombre entier d depériodes d’échantillonnage peut être décrit. Contrairement au cas analogique,la fonction de transfert demeure une fraction rationnelle et ne nécessite aucuntraitement mathématique particulier.

Rappel : un retard pur analogique de valeur Tr a pour fonctionde transfert (§1.6.3)

e−s·Tr

On peut l’approcher par une fraction rationnelle en s à l’aide del’approximation de Padé (§ 1.6.3 page 54) :

e−s·Tr ≈1− s · Tr

2

1 + s · Tr2

5.2.4 Présentation de G(z)

G(z) est toujours une fraction rationnelle en z que l’on peut représentersous diverses formes, adaptées au type d’analyse que l’on s’apprête à effectuer. Ilest à noter que la forme de Bode perd son sens, car contrairement aux fonctionsde transfert de systèmes analogiques, on ne peut mettre en évidence de constantesde temps ou de pulsations caractéristiques comme coefficients de z.








Forme de puissances de z positives (forme de Laplace ou d’Evans)

Cette forme est telle que la variable z apparaît en puissances positives ounulles, le coefficient de la plus haute puissance du dénominateur deG(z) étant unitaire :

G(z) =Y (z)

U(z)=b0 · zm + b1 · zm−1 + ...+ bm−1 · z + bmzn + a1 · zn−1 + ...+ an−1 · z + an

C’est la forme qui, avec sa version factorisée, sera privilégiée dans le cadre de cecours. Les degrés des numérateur et dénominateur sont respectivement m et n.

Souvent, on s’arrange pour que le numérateur de G(z) soit aussi tel le coeffi-cient de la plus haute puissance de z soit unitaire :

G(z) =Y (z)

U(z)= b0 ·

zm + b1b0· zm−1 + ...+ bm−1

b0· z + bm

b0

zn + a1 · zn−1 + ...+ an−1 · z + an

Cela prépare la présentation où les numérateurs et dénominateurs sont factorisés.

Forme de puissances de z négatives

Sous cette représentation, tous les z sont sous forme de puissances négativesou nulle. De plus, pour le dénominateur, on fait en sorte que le coefficient de lapuissance de z la plus proche de zéro soit unitaire :

G(z) =Y (z)

U(z)=z−d · b0 + b1 · z−1 + ...+ bm−1 · z1−m + bm · z−m

1 + a1 · z−1 + ...+ an−1 · z1−n + an · z−n

Cette règle est parfois aussi appliquée au numérateur :

G(z) =Y (z)

U(z)=b0 · z−d ·

1 + b1b0· z−1 + ...+ bm−1

b0· z1−m + bm

b0· z−m

1 + a1 · z−1 + ...+ an−1 · z1−n + an · z−n

Dans un cas comme dans l’autre, il faut remarquer le très important facteur z−dmis en évidence.






Formes factorisées

Lorsque cela est possible, on factorise numérateur et dénominateur pour ob-tenir l’une des formes suivantes :

G(z) =Y (z)

U(z)= b0 ·

(z − z1) · (z − z2) · ... · (z − zm)

(z − p1) · (z − p2) · ... · (z − pn)

= b0 ·∏m

i=1 (z − zi)∏ni=1 (z − pi)

G(z) =Y (z)

U(z)= b0 ·

(1− z1 · z−1) · (1− z2 · z−1) · ... · (1− zm · z−1)

(1− p1 · z−1) · (1− p2 · z−1) · ... · (1− pn1 · z−1)

= b0 ·∏m

i=1 (1− zi · z−1)∏ni=1 (1− pi · z−1)

5.2.5 Pôles et zéros, ordre et degré relatif

Les valeurs de z qui annulent le numérateur de G(z) en sont les zéros. G(z)compte donc m zéros, réels ou complexes. Les zéros sont ainsi :

z1, z2, . . . zm

valeurs dépendant des coefficients b0 à bm.

Quant aux valeurs de z annulant le dénominateur de G(z), elles portent lenom de pôles, au nombre de n. Ceux-ci sont également réels ou complexes. Lespôles sont :

p1, p2, ..., pn

valeurs dépendant des coefficients a1 à an. Le régulateur PID numérique des§ 5.2.2 page 134 et 5.2.3 page 136 est d’ordre n = 2, de degré relatif d = 0. Sespôles sont situés dans le plan de z en z = 0 et z = 1.

Graphiquement, les pôles sont représentés dans le plan complexe, i.e. le plande z, par des croix (’x’), les zéros l’étant par des cercles (’o’) (figure 5.5 pagesuivante).






0 R e

I m

1

jZ

z 2

z 1p 2 p 1

f _ 0 5 b _ 0 3 . e p s

Figure 5.5 – Configuration pôles-zéros du régulateur PID numérique (fichier source).

L’ordre d’un système dynamique linéaire est égal à son nombre de pôles n.On rappelle que son degré relatif est le nombre entier

d = n−m

i.e. la différence entre le nombre de ses pôles et de ses zéros.

Formes privilégiées de G(z)

Lorsqu’il s’agit de déterminer l’ordre d’un système (le nombre de ses pôles) etle nombre de ses zéros, on privilégiera la forme en puissances de z positives.

De cette façon, on peut par exemple être sûr que la fonction de transfertG (z) = z−d = 1

zdd’un retard d’un nombre entier d de périodes d’échantillonnage

possède bel et bien d pôles !La forme de G(z) en puissances négatives de z est utile notamment lorsque

l’on souhaite retrouver l’équation aux différences régissant le système étudié, parexemple dans le but d’en implanter l’algorithme.

5.2.6 Schéma structurel

L’équation aux différences peut être représentée par son schéma structurel(figure 5.7 page 142), indiquant graphiquement les liaisons entre les variables




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_05/Figures/rgb/f_05b_03.pdf

http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_05/Figures/rgb///f_05b.dsf



internes du système. Après un léger remaniement de l’équation

y[k] = b0 · u[k − d] + b1 · u[k − d− 1] + . . .+ bm−1 · u[k − n+ 1] + bm · u[k − n]

− (a1 · y[k − 1] + . . .+ an−1 · y[k − n+ 1] + an · y[k − n])

on peut facilement construire le schéma structurel de la page suivante, où l’opé-rateur de décalage d’une période d’échantillonnage est désigné par un bloc z−1.

S

z - 1

u ( k )

u ( k - 1 )

-u ( k ) y ( k )1 b 0

- b 0

S

b 0(u(k

)-u(k-

1))f _ 0 5 b _ 0 5 . e p s

Figure 5.6 – Vue détaillée de l’effet des zéros d’un système sur son comportementdynamique (fichier source).

L’organisation de ce schéma permet d’avoir une compréhension intuitive desrôles respectifs des pôles et des zéros. En effet, les paramètres a1 à an définissantles pôles du système, on voit que ceux-ci en déterminent les contre-réactionsinternes. Quant aux zéros, dépendant exclusivement des paramètres b0 à bm, ilsindiquent comment la grandeur d’entrée u[k] est introduite dans le système (re-tard, amplification, etc). On voit par exemple (figure 5.6) que si b0 = −b1, u[k]est introduite en étant multipliée par z−d · b0 · (1− z−1), synonyme d’une forteamplification des hautes fréquences (comportement dérivateur). Notons que ceschéma n’est pas unique, et que plusieurs formes peuvent représenter l’équationaux différences (voir la représentation des systèmes dynamiques linéaires dansl’espace d’état, [[13], [14]]).

5.3 Modes temporels discrets

5.3.1 Définition

Lorsqu’un système dynamique linéaire est excité par un signal d’entrée u[k]quelconque, la forme de la réponse y[k] dépend bien sûr de celle de u[k] maisaussi et surtout des propriétés du système. En se rappelant que u[k] peut être








Sb 0

a 1z-1

a 2z-1

a nz-1

b 1z-1

b 2z-1

b mz-1

z-dy(k

)u(k

)u(k

-d)

u(k-n)

u(k-d-

1)

u(k-d-

2)

y(k-n)

y(k-1)

y(k-2)

- --

zéros

(couplag

e du s

ystèm

e avec s

on en

vironneme

nt)pôles

(couplag

es int

ernes

du sy

stème

,i.e. contre

-réact

ions in

ternes)

f_05b

_04.e

ps

Figure 5.7 – Schéma fonctionnel détaillé d’un système discret linéaire : la struc-ture interne du système ainsi présentée montre les rôles respectifs joués par lespôles (contre-réactions internes) les zéros ("mise en forme" du signal d’entrée)(fichier source).








représenté sous la forme d’une suite d’impulsions-unité décalées et pondérées(§ 4.3.2 page 123),

u[k] =k∑l=0

u[l] ·∆[k − l]

il devient évident que le système répond par un signal y[k] constitué de la super-position des réponses impulsionnelles correspondantes.

y[k) = g [k] ∗ u [k] =k∑l=0

g[k − l] · u[l]

La connaissance de la réponse impulsionnelle discrète est ainsi de première im-portance en vue de déterminer la forme de la réponse à un signal quelconque,raison pour laquelle on se propose d’en obtenir l’expression analytique à partirde la fonction de transfert G(z) du système considéré. On a simplement (voirégalement [1], §V.5.4.3, pour les systèmes analogiques) :

G (z) =Y (z)

U (z)⇐⇒ Y (z) = G (z) · U (z)

Comme u[k] est une impulsion-unité discrète, Y (z) s’écrit :

Y (z) = G (z)

G(z) est une fraction rationnelle en z pouvant être décomposée en élémentssimples, soit manuellement, soit systématiquement à l’aide du théorème des rési-dus. Sans restriction de la généralité des développements à faire, on peut limiterl’étude au cas particulier où tous les pôles de G(z) sont simples, ce qui donne :

Y (z) = G (z) =n∑i=1

Ci · zz − pi

où les n pôles pi, ainsi que les n résidus Ci peuvent être soit réels, soit apparaîtrepar paires complexes conjuguées. Le calcul de y[k] par transformation inverse deY (z) est dès lors immédiat, lorsque l’on sait que (voir §3.A, transformée no 7) :

Z−1

(z

z − p

)= pk

On a donc, pour y[k] :

y [k] = g [k] =n∑i=1

Ci · pki

Cela montre que g[k] est constituée de la superposition de n signaux temporels.Ces signaux sont les modes discrets du système dynamique, leur combinaisonlinéaire fournissant la réponse du système à l’entrée appliquée. On voit que lesmodes sont essentiellement déterminés par les pôles de G(z). Seuls deux cas sontà considérer :






– le pôle pi est réel ;– le pôle pi est complexe.

5.3.2 Mode associé à un pôle réel

Lorsque le pôle pi est réel, le mode correspondant est simplement donné par

y [k] = g [k] = C · pki (5.1)

Le pôle est situé sur l’axe réel du plan (complexe) de z (figure 5.8). Il s’agit d’un

0

I m

p i

z

R ef _ 0 5 a _ 0 4 . e p s

Figure 5.8 – Pôle réel (fichier source).

mode exponentiel. On remarque immédiatement que pour |pi| < 1, limk→∞ y[k] =0. Dans le cas contraire, le mode diverge.

5.3.3 Mode associé à une paire de pôles complexes conju-gués

Prenant d’emblée en compte que les pôles complexes apparaissent toujourspar paires conjuguées, on a, en les exprimant sous forme polaire :

p1,2 =

module︷︸︸︷R ·ej·

argument︷︸︸︷±Ω

Le polynôme en z correspondant est :

(z − p1) · (z − p2) =(z −R · ej·Ω

)·(z −R · e−j·Ω

)= z2 − 2 ·R · cos (Ω) · z +R2

Les pôles complexes sont disposés dans le plan de z comme le montre la figure 5.9page ci-contre.

Rappel (§ 3.3.3 page 98) :

Z(ak·h

)=

(z

z − ah

)=

(z

z − p

)








0

I m

R e

z+ j R s i n ( W )

R c o s ( W )

- j R s i n ( W )

R

W

f _ 0 5 a _ 0 5 . e p s

Figure 5.9 – Paire de pôles complexes conjugués (fichier source).

La transformée en z G(z) de la réponse impulsionnelle discrète g[k] s’exprimesous la forme générale :

Y (z) = G(z) = C · z

(z − p1)+ C · z

(z − p2)

où C et C sont les résidus des pôles p1 et p2. La transformée en z inverse donne :

y [k] = g[k] = C · pk1 + C · pk2 = C ·(R · ej·Ω

)k+ C ·

(R · e−j·Ω

)kEn développant et en faisant usage d’identités trigonométriques, on montre quele mode correspondant est sinusoïdal, pondéré par un terme exponentiel :

y [k] = C ·(R · ej·Ω

)k+ C ·

(R · e−j·Ω

)k= 2 ·Rk · [<C · cos (Ω · k)−=C · sin (Ω · k)]

= 2 ·Rk · |C| · sin(

Ω · k + arctan

=C< C

)Le mode discret associé à une paire de pôles discrets complexes conjugués estdonc de forme générale :

y[k] = Rk · sin(Ω · k) (5.2)

On remarque aussi que pour |R| < 1, limk→∞ y[k] = 0. Dans le cas contraire, lemode diverge.








5.3.4 Relation entre la position des pôles dans le plan com-plexe et la forme des modes discrets

D’après ce qui précède, la position, dans le plan de z, des pôles de la fonctionde transfert d’un système discret détermine la forme du mode leur étant associéselon la relation

yi [k] ∝ pki

On présente ci-après les différents modes caractérisant un système discret.

Modes apériodiques

Les modes temporels associés à des pôles réel sont apériodiques, selon la re-lation (5.1). Le tableau suivant donne leur forme en fonction de la position despôles dans le plan de z.






Configuration des pôles Mode discret

0 R e

I m

1

j

f _ 0 5 _ 0 1 . e p s

z

0 5 10 15 20 250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

k

g(k)

f_ch_05_03_1c.eps

0 R e

I m

1

j

f _ 0 5 _ 0 2 . e p s

z

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k

g(k)

f_ch_05_03_11c.eps

0 R e

I m

1

j

f _ 0 5 _ 0 4 . e p s

z

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k

g(k)

f_ch_05_03_12c.eps

0 R e

I m

1

j

f _ 0 5 _ 0 3 . e p s

z

0 5 10 15 20 250

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

k

g(k)

f_ch_05_03_5c.eps




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_05/Figures/rgb/f_05_01.pdf










Modes oscillatoires

La relation (5.2) montre qu’un mode oscillatoire est dû à la présence d’unepaire de pôles complexes conjugués. Il est formé d’une sinusoïde pondérée par unterme exponentiel.


0 R e

I m

1

j z

f _ 0 5 _ 0 8 . e p s

0 5 10 15 20 25−0.5

0

0.5

1

1.5

2

k

g(k)

f_ch_05_03_2c.eps

0 R e

I m

1

j z

f _ 0 5 _ 1 1 . e p s

0 5 10 15 20 25−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k

g(k)

f_ch_05_03_7c.eps

0 R e

I m

1

j z

f _ 0 5 _ 0 9 . e p s

0 5 10 15 20 25−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

k

g(k)

f_ch_05_03_3c.eps

On observe que pour des pôles exactement situés sur le cercle-unité, le modeest oscillatoire entretenu.

Des pôles complexes conjugués à partie réelle négative engendrent un modedont les échantillons changent de signe très fréquemment, presque à chaque ins-tant k. La conversion D/A d’un tel signal (figure 5.10 page 150) convainc qu’un













0 R e

I m

1

j z

f _ 0 5 _ 1 2 . e p s

0 5 10 15 20 25−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k

g(k)

f_ch_05_03_8c.eps

0 R e

I m

1

j z

f _ 0 5 _ 1 0 . e p s

0 5 10 15 20 25−20

−10

0

10

20

30

40

k

g(k)

f_ch_05_03_4c.eps

0 R e

I m

1

j z

f _ 0 5 _ 1 3 . e p s

0 5 10 15 20 25−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

25

k

g(k)

f_ch_05_03_9c.eps












mode de cette nature, même stable, est à éviter à tout prix dans une boucle derégulation, à moins qu’il soit notablement dominé par d’autres modes de com-portement plus acceptable.

0 5 10 15 20 25−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

t

g(t)

Figure 5.10 – Commande issue d’un régulateur, lorsque le système asservi pos-sède des pôles discrets à partie réelle négative (fichier source).

Il faut en effet s’imaginer qu’un système à régler, analogique, excité par unecommande variant de cette façon, peut avoir un comportement quasi chaotiqueentre deux instants d’échantillonnage (voir par exemple la figure 2 page 45). Si l’onn’est pas attentif, de tels pôles peuvent se retrouver dans la fonction de transfertGuw (z) = U(z)

W (z), tout en étant absents de la fonction de transfert Gyw (z) = Y (z)

W (z).

Modes alternés

Un mode alterné est observable lorsqu’un système dynamique linéaire possèdeun pôle réel négatif. Le mode associé à tout pôle discret pi étant du type pki , ilressort que pour un pôle réel et négatif, le signal change de signe à chaque instantd’échantillonnage. On parle de mode alterné ou d’effet sonnette.

La remarque concernant les pôles complexes à partie réelle négative s’appliqueparticulièrement dans le cas d’un mode alterné.









0 R e

I m

1

j z

f _ 0 5 _ 0 5 . e p s

0 5 10 15 20 25−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k

g(k)

f_ch_05_03_6c.eps

0 R e

I m

1

j z

f _ 0 5 _ 0 6 . e p s

0 5 10 15 20 25−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k

g(k)

f_ch_05_03_13c.eps

0 R e

I m

1

j z

f _ 0 5 _ 0 7 . e p s

0 5 10 15 20 25−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

80

k

g(k)

f_ch_05_03_10c.eps












5.4 Analyse des propriétés d’un système discretsur la base de sa fonction de transfert

On peut très facilement connaître certaines caractéristiques importantes d’unsystème dynamique linéaire discret en faisant une brève analyse de sa fonctionde transfert.

5.4.1 Gain statique

Le gain statique se calcule par

K = limk→∞

y [k]

u [k]

∣∣∣∣u[k]=ε[k]

= limk→∞

y [k]

lorsque u[k] est un saut unité discret. L’application du théorème de la valeurfinale (§ 3.3.4 page 101) permet de mettre le gain statique sous la forme :

K = limz→1

[z − 1

z·(G (z) · z

z − 1

)]= lim

z→1G (z)

5.4.2 Comportement intégrateur

Lorsque que G(z) possède un pôle en z = 1, et n’a pas de zéro le compensant,soit

G (z) ∝ 1

z − 1

G(z) possède un comportement intégrateur.

. . .. . . . . . . . .11z -

G ( z )

u ( k ) y ( k )u i ( k ) y i ( k )

y i ( k ) = y i ( k - 1 ) + u i ( k - 1 )

f _ 0 5 b _ 0 6 . e p s

Figure 5.11 – Système discret à comportement intégrateur (fichier source).

Il suffit pour s’en convaincre de calculer la fonction de transfert de l’intégrateurdiscret (forward), dont l’équation aux différences est :

y [k] = y [k − 1] + u [k] · h








On obtientG (z) =

Y (z)

U (z)=

z · hz − 1

fonction de transfert possédant manifestement un pôle en z = 1. Toute fonctionde transfert ayant ainsi un pôle en z = 1 a donc un comportement intégrateur,dont l’effet est particulièrement visible en régime permanent.

On note que le gain statique d’un système possédant un ou plusieurs pôles enz = 1 tend sans surprise vers l’infini.

5.4.3 Comportement dérivateur

L’opérateur de dérivation peut être approximé de manière discrète par

y (t) =du

dt≈ u [k]− u [k − 1]

h= y [k]

correspondant à la fonction de transfert

G (z) =1− z−1

h=z − 1

h · zLorsque le numérateur de la fonction de transfert d’un système dynamique linéairepossède un facteur (z − 1), soit

G (z) ∝ (z − 1)

. . .. . . . . . . . .z - 1

G ( z )

u ( k ) y ( k )u i ( k ) y i ( k )

y i ( k ) = u i ( k + 1 ) - u i ( k )

f _ 0 5 b _ 0 7 . e p s

Figure 5.12 – Système discret à comportement dérivateur (fichier source).

le système considéré a un comportement dérivateur. Notons que logiquement, songain statique est alors nul.

5.4.4 Retard pur

On a déjà montré dans les exemples introductifs que la fonction de transfertde l’opérateur "retard pur d’un nombre entier de périodes d’échantillonnage"s’exprimait sous la forme très simple

G (z) = z−d =1

zd.








z−d

On se propose ici d’examiner le comportement d’un système dynamique linéairequelconque entaché d’un retard pur de d périodes d’échantillonnage.

. . .. . . . . . . . .z d-

G ( z )

u ( k ) y ( k )u i ( k ) y i ( k )

y i ( k ) = u i ( k - d )

f _ 0 5 b _ 0 8 . e p s

Figure 5.13 – Système discret comportant un retard pur de d périodes d’échan-tillonnage (fichier source).

Revenant à l’équation aux différences utilisée pour construire le schéma struc-turel du système dynamique linéaire,

y[k] = b0 · u[k − d] + b1 · u[k − d− 1] + . . .+ bm−1 · u[k − n+ 1] + bm · u[k − n]− (a1 · y[k − 1] + . . .+ an−1 · y[k − n+ 1] + an · y[k − n])

la signification pratique du degré relatif d = n−m va être précisée.Rappelant que k désigne l’instant présent, une valeur de d négative implique-

rait que l’entrée u[k − d], alors future, pourrait influencer la sortie présente y[k].Le système serait non-causal. Si d = 0, il existe un lien direct, instantané, entrela sortie y[k] et l’entrée u[k] et le système réagit donc sans aucun retard (voir leschéma structurel, figure 5.7 page 142). Si d > 0, la sortie y[k] est retardée parrapport à u[k], dont l’effet sur y[k] ne s’observera que d périodes d’échantillonnageplus tard.

Le paramètre d définit en fait le nombre de périodes d’échantillonnage s’écou-lant entre l’instant où le système discret au repos est excité et celui où l’effetcorrélatif sur la sortie peut être observé. En pratique, on a, pour les systèmesphysiquement réalisables :

d > 0

Le degré relatif d peut s’extraire directement de la fonction de transfert, lorsquecelle-ci est mise sous forme convenable, on a :

G(z) =Y (z)

U(z)=z−d · b0 + b1 · z−1 + . . .+ bm−1 · z1−m + bm · z−m

1 + a1 · z−1 + . . .+ an−1 · z1−n + an · z−n

ouG(z) =

Y (z)

U(z)=b0 · zm + b1 · zm−1 + . . .+ bm−1 · z + bmzn + a1 · zn−1 + . . .+ an−1 · z + an

∣∣∣∣d=n−m








A l g o r i t h m e AD G a ( s )

AD

S-+w ( k )

y ( k )

u ( t ) y ( t )u ( k )e ( k )

N U M E R I Q U E A N A L O G I Q U Ef _ 0 5 b _ 0 1 . e p s

Figure 5.14 – Schéma fonctionnel d’un système de régulation numérique : lesystème asservi Ga(s) n’est vu par l’algorithme qu’aux instants d’échantillonnageau travers des convertisseurs D/A et A/D (fichier source).

5.5 Modèle échantillonné du système à régler

5.5.1 Introduction

Dans le cas d’un système de régulation numérique, le système asservi Ga(s),de nature analogique, n’est vu par l’algorithme qu’aux instants d’échantillonnageau travers des convertisseurs D/A et A/D (figure 5.14). On dit parfois que l’algo-rithme n’a qu’une vue stroboscopique du système à régler, qu’il perçoit par unepaire de signaux discrets, en fait 2 suites de nombres :

1. la commande u[k] qu’il lui fournit ;

2. la grandeur réglée contre-réactionnée y[k].

Il n’y a alors qu’un pas à franchir pour affirmer que l’algorithme "considère" lesystème à régler comme un système discret (figure 5.15 page suivante). Immédia-tement se pose la question de savoir par quelle équation aux différences puis parquelle fonction de transfert H(z) l’algorithme voit le système à régler analogiqueGa(s) au travers des convertisseurs D/A et A/D.

5.5.2 Relation fondamentale

Pour déterminer H(z), les hypothèses de linéarité de chaque élément doiventêtre posées. Cela signifie en particulier que l’effet de quantification des conver-tisseurs A/D et D/A doit pouvoir être admis négligeable. On admet que ceux-cisont également au repos, causals et stationnaires. On sait alors que la fonction detransfert cherchée H(z) est donnée par définition par la transformée en z de laréponse impulsionnelle discrète du système. Appliquons donc une impulsion unitédiscrète au système. On a successivement, en examinant les signaux d’entrée etde sortie de chaque bloc de la figure 5.15 page suivante :








AD A D y ( k )u ( t ) y ( t )

u ( k )

U ( z ) Y ( z )

G a ( s )

H ( z )f _ 0 5 b _ 0 2 . e p s

Figure 5.15 – L’algorithme voit le système à régler analogique Ga(s) comme unsystème discret (fichier source).

Signal Transformée

1 u[k] = ∆[k] U(z) = 1 impulsionunité discrète

2 u(t) = ε(t)− ε(t− h) U(s) = 1s · (1− e

−s·h) impulsioncontinue rec-tangulaire delargeur h

3 y(t) = L−1 (Ga(s) · U(s)) Y (s) = Ga(s) · U(s) réponse dusystème ana-logique àl’impulsionrectangulaire

4 y[k] =L−1 (Ga(s) · U(s))

Y (z) = Z

L−1 (Ga(s) · U(s))

réponse im-pulsionnellediscrète

Y (z) a donc pour expression :

Y (z) = Z

L−1

(Ga(s) ·

1

s·(1− e−s·h

))︸︷︷︸

signal analogique y(t)

︸︷︷︸signal discret y[k]︸︷︷︸

transformée en z du signal discret

où le fait de mettre le signal y(t) entre accolades signifie qu’on en prend sa version








échantillonnée y[k]. En poursuivant, on a :

Y (z) = ZL−1

(Ga(s) ·

1

s−Ga(s) ·

1

s· e−s·h

)

= Z

L−1

(Ga(s) ·

1

s

)︸︷︷︸

”f(t)”

−L−1

(Ga(s) ·

1

s· e−s·h

)︸︷︷︸

”f(t−h)”

= Z

L−1

(Ga(s) ·

1

s

)︸︷︷︸

”f(t)”

︸︷︷︸f(k·h)

−Z

L−1

(Ga(s) ·

1

s· e−s·h

)︸︷︷︸

”f(t−h)”

︸︷︷︸f((k−1)·h)

et en appliquant la propriété de translation avant d’un signal discret, on obtientdans un premier temps :

Y (z) =(1− z−1

)· ZL−1

(Ga(s) ·

1

s

)= Z g[k] = H(z)

puis finalement la relation fondamentale :

H(z) =Y (z)

U(z)=(1− z−1

)· ZL−1

(Ga(s)

s

)On doit relever ici que cette relation a été obtenue en appliquant simplement ladéfinition de la fonction de transfert :

H(z) = Z g[k]

Remarque : les ordres de H(z) et de Ga(s) sont les mêmes, sauf cas très particu-liers (voir par exemple la transformée en z no 21 du tableau du § 3.A page 106).Dans la règle, le processus d’échantillonnage n’ajoute ou ne supprime pas depôles.

5.5.3 Exemple

Soit un système à régler analogique de fonction de transfert

Ga(s) =Y (s)

U(s)=

1

s− s1

On obtient son modèle échantillonné H(z) en calculant successivement :






Etape Opération1 Ga(s)

s= 1s·(s−s1)

2 L−1(

1s·(s−s1)

)= 1−s1 · (1− e

s1·t)

3

1−s1 · (1− e

s1·t)

= 1−s1 ·

(1− es1·k·h

)4 Z

1−s1 ·

(1− es1·k·h

)= 1−s1 ·

(zz−1− z

z−es1·h

)= 1−s1 ·

z·(1−es1·h)(z−1)·(z−es1·h)

5 (1− z−1) · 1−s1 ·

z·(1−es1·h)(z−1 ·(z−es1·h)

= 1−s1 ·

(1−es1·h)(z−es1·h)

6 H(z) = Y (z)U(z)

= 1−s1 ·

(1−es1·h)(z−es1·h)

= b1z−p1

= b1z+a1

Les étapes 2 et 3 peuvent être omises si l’on travaille avec une table destransformées en z telle que celle du § 3.A page 106. On peut en effet directementpasser de la colonne F (s) à la colonne F (z). Il y a donc moins de calculs à fairequ’il n’y paraît a priori.

Cet exemple montre que les ordres de Ga(s) et deH(z) sont les mêmes, commec’est presque toujours le cas.

5.6 Combinaisons de fonctions de transfert

5.6.1 Règles générales

La similitude incontestable des relations valables pour les systèmes– analogiques : Y (s) = G (s) · U (s)

et les systèmes– discrets : Y (z) = G (z) · U (z)

fait que les mêmes règles de combinaison des fonctions de transfert peuvent êtreutilisées. On se référera donc à [11], chapitre 3, pour une présentation des mé-thodes de réduction des schémas fonctionnels.

5.6.2 Fonctions de transfert d’un système de régulation nu-mérique

Fonction de transfert en boucle ouverte Go(z)

La fonction de transfert en boucle ouverte, définie pour w[k] = 0 et v(t) = 0,s’obtient comme dans le cas analogique, en coupant la rétroaction y[k] en amontdu comparateur et en injectant un signal e[k]. Si l’on mesure ou calcule y[k], lafonction de transfert en boucle ouverte est alors :

Go (z) =Z y [k]Z e [k]

∣∣∣∣w[k] = 0v(t) = 0

=Y (z)

E (z)






1s

S 1s

+-

w ( k ) = 0 y ( k )u ( k )

y ( k )

e ( k )+

e ( k )

G c ( z )

G o ( z )

H ( z )

f _ 0 5 b _ 0 9 . e p s

Figure 5.16 – Fonction de transfert en boucle ouverte d’un système de régulationnumérique (fichier source).

Avec les conventions prises (schéma fonctionnel universel et définition des fonc-tions de transfert), la fonction de transfert en boucle ouverte est donnée par leproduit des fonctions de transfert du régulateur numérique et du modèle échan-tillonné du système à régler.

Go (z) =Y (z)

E (z)= Gc (z) ·H (z) = Gc (z) ·

(1− z−1

)· ZL−1

(Ga(s)

s

)

Fonction de transfert en régulation de correspondance Gyw(z)

L’obtention de la fonction de transfert en régulation de correspondance estimmédiate ; partant du schéma fonctionnel de la figure 5.17 page suivante on a,puisque le retour est unitaire :

Gyw (z) =Y (z)

W (z)=

Go (z)

1 +Go (z)

Connaissant Gyw(z), il est désormais possible de calculer la réponse en bouclefermée d’un système de régulation numérique. Il suffit de résoudre (v(t) = 0) :

y [k] = Z−1 Y (z) = Z−1 Gyw (z) ·W (z) = Z−1

Go (z)

1 +Go (z)·W (z)

.

5.7 Correspondance entre pôles analogiques et dis-crets

5.7.1 Définition du problème

Considérons la situation décrite par la figure 5.18 page suivante : le systèmeà régler analogique Ga(s) est encadré par les convertisseurs D/A et A/D et l’on








G c ( z ) AD

AD

S-+w ( k )

y ( k )

u ( t ) y ( t )u ( k )e ( k )

S-+w ( k ) y ( k )u ( k )e ( k ) H ( z )

G a ( s )

G c ( z )f _ 0 5 b _ 1 0 . e p s

Figure 5.17 – Fonction de transfert en régulation de correspondance (fichier source).

AD

ADy ( k )

u ( t ) y ( t )u ( k ) G a ( s )

f _ 0 5 a _ 0 6 . e p s

Figure 5.18 – Système analogique encadré par des convertisseurs D/A et A/D(fichier source).










sait que l’algorithme fournissant u[k] et recevant y[k] le voit par la fonction detransfert équivalente :

H(z) =Y (z)

U(z)=(1− z−1

)· ZL−1

(Ga(s)

s

)La question se posant ici est de déterminer s’il existe un lien direct entre les pôlesdu système analogique de fonction de transfert Ga(s) et ceux du système discretde fonction de transfert H(z). On cherche donc, pour les pôles, une relationmathématique entre les plans de s et de z.

5.7.2 Relation fondamentale

Soit la fonction de transfert

Ga(s) =Y (s)

U(s)=

1

s− s1

possédant un pôle réel ou complexe en s = s1. Son modèle échantillonné est, enreprenant le résultat de l’exemple du § 5.5.3 page 157 :

H(z) =Y (z)

U(z)=

1

−s1

·(1− es1·h

)(z − es1·h)

=b0

z − p1

On constate que le pôle analogique s1 s’est transformé, par suite de l’échantillon-nage, en un pôle discret de valeur

p1= es1·h

La relation liant les pôles d’un système analogique à ceux de son modèle échan-tillonné est donc :

z = es·h

La figure 5.19 page suivante illustre cette relation.

5.7.3 Propriétés

Il faut relever que la transformation des pôles par l’expression z = es·h faitintervenir la période d’échantillonnage h ; selon la valeur de celle-ci, un mêmepôle analogique du plan de s aura différentes images dans le plan de z.






sI m

R e

zI m

R e0 1

j

0

f _ 0 5 _ 2 4 . e p s

Figure 5.19 – Transformation des pôles d’un système analogique par l’échan-tillonnage : la relation z = es·h définit le lien entre les plans s et z (fichier source).

D’autre part, la relation z = es·h est périodique de période ωe = 2·πh, puisque :

z = es·h

= e(−δ+j·ω0)·h

= e−δ·h · (cos(ω0 · h) + j · (sin(ω0 · h))

= e−δ·h · (cos ((ω0 + ωe) · h) + j · sin ((ω0 + ωe) · h))

= e−δ·h · (cos (ω0 · h+ 2 · π) + j · sin (ω0 · h+ 2 · π))

= e(−δ+j·(ω0+ωe))·h

Ainsi, les pôles complexes analogiques

s1,2 = −δ ± j · ω0 et s3,4 = −δ + j · (ωe ± ω0)

ont la même image dans le plan de z (figure 5.20 page suivante).Ce phénomène est une conséquence directe de l’échantillonnage, ou plus pré-

cisément du sous-échantillonnage, puisqu’aux pôles s3 et s4 correspond un modesinusoïdal analogique d’une pulsation propre ω0 +ωe ne respectant de loin pas lethéorème de Shannon.

C’est pourquoi, en pratique, un tel phénomène est sans conséquence, les modesde pôles tels que s3 et s4 étant fortement atténués par le filtre anti-repliementqu’on aura pris soin d’insérer entre le capteur et le convertisseur A/D.








I m

R e0

sI m

0 R e

z+ j w e

+ j w N

- j w N

s 1s 2

- j w e

z = e s h

p 1

p 2

s 3s 4

f _ 0 5 _ 1 4 . e p s

Figure 5.20 – Par suite du non-respect du théorème de l’échantillonnage (§ 2.3page 73), des pôles analogiques distincts de la quantité j · ωe ont la même imagedans le plan de z (fichier source).

0 R e

I m

1

j

f _ 0 5 _ 0 2 . e p s

z

Figure 5.21 – Transformation du pôle d’un système intégrateur par suite del’échantillonnage : s = 0

[ rads

]←→ z = 1. Voir également le § 5.4.2 page 152

(fichier source).










5.7.4 Exemples

Intégrateur

Un pôle analogique situé en s = 0[ rad

s

], soit à l’origine du plan de s, est sy-

nonyme d’un système analogique ayant un comportement intégrateur. La trans-formation de ce pôle lors de l’échantillonnage du système analogique

z = es·h = e0·h = 1

La fonction de transfert d’un système discret possédant un comportement inté-grateur a donc un pôle en z = 1.

Filtre passe-bas numérique d’ordre 1

Pour montrer tout l’intérêt de la relation z = esh, essayons, comme au § 4.3.1page 121, de construire un filtre numérique passe-bas de premier ordre en partantde la fonction de transfert

G (s) =Y (s)

U (s)=

1

1 + s · τ=

(−s1)

s− s1

Afin d’obtenir la fonction de transfert du filtre numérique reproduisant au mieuxle comportement de G(s), calculons le modèle échantillonné H(z) de G(s). Celui-ci a été obtenu dans l’exemple du § 5.5.3 page 157. On a :

H(z) =Y (z)

U(z)=

1

−s1

·(1− es1·h

)(z − es1·h)

=b0

z − p1

=b0

z + a1

avec :a1= −p1 = −es1·h = −e−

hτ

Le pôle du filtre numérique est réel, situé en p1 = es1·h = e−hτ (figure 5.22 page ci-

contre). Par comparaison avec l’exemple du §4.3.1, on observe que le coefficient a1

est différent, ce qui se traduit par une parfaite correspondance entre les réponsesindicielles des réalisations analogiques et numériques (figure 5.23 page suivante).

Il vaut ici la peine de remarquer que

a1 = −e−hτ = − 1

ehτ

≈ −

1

1 +hτ

1!

= −

(1

1 + 1τh

)= −

( τh

1 + τh

)Le coefficient a1 obtenu au chapitre 4 par discrétisation de l’équation différentiellen’a pour autre valeur que celle du développement limité du coefficient a1 "exact".Si l’on avait connu au § 4.3.1 page 121 la correspondance z = esh entre les pôlesdes plans de s et z, on aurait donc pu déterminer immédiatement le coefficienta1.






0 R e

I m

1

j

f _ 0 5 _ 0 1 . e p s

z

Figure 5.22 – Pôle discret d’un filtre numérique passe-bas (fichier source).

0 5 10 15 20 25 30

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k, t[s]

γ (t)

, γ (k

)

Réponses indicielles des filtres analogique et numérique (h=1[s], T=6[s])

f_ch_05_17_1.eps

Figure 5.23 – Correspondance parfaite (dans le cas particulier) en les filtresanalogique et numérique. A comparer avec la figure 4.11 page 122, pour τ = 6 [s](fichier source).










Comment construire, "vite fait" (bien fait ?), de manière approxi-mative, un filtre passe-bas numérique d’ordre 1 ? En désignantpar H(z) la fonction de transfert du filtre recherché, on procèdecomme suit :

1. Calculer le pôle du filtre analogique correspondant

G (s) =Y (s)

U (s)=

1

1 + s · τ⇒ s1= −1

τ

2. Calculer le pôle discret équivalent

p1 = es1·h = e−hτ ⇒ H (z) ∝ 1

z − p1

3. Faire en sorte que le gain statique de H(z) soit égal à celuide G(s)

K = G (s)|s=0 = H (z)|z=1 = H (1)

d’oùH (z) =

Y (z)

U (z)=

1− p1

z − p1

=b0

z + a1

4. L’équation aux différences du filtre est alors :

y [k] + a1 · y [k − 1] = b0 · u [k − 1]

5.7.5 Images de courbes et surfaces particulières

L’application de la relation z = es·h permet de déterminer très facilementce que deviennent les pôles du plan de s par suite de l’échantillonnage. D’unemanière générale, un pôle analogique s est complexe et s’exprime sous formecartésienne par

s = σ + j · ω0 ,

et sa transformation par échantillonnage est le pôle discret z :

z = es·h = eσ·h · ej·ω0·h

Rappel : la relation z = es·h n’est valable que pour les pôles.Elle est inapplicable pour trouver la transformation des zéros paréchantillonnage !






sI m

R e0

zI m

R e0

+ j w N

- j w N

f _ 0 5 _ 1 5 . e p s

Figure 5.24 – Image de droites horizontales (fichier source).

Image de droites horizontales et verticales

Une droite horizontale du plan de s est décrite par

s = σ + j · b b = const.

Son image dans le plan de z est

z = eσ·h︸︷︷︸module variable

· ej·b·h︸︷︷︸argument constant

On voit (figure 5.24) qu’il s’agit de demi-droites de pentes b · h, et l’on note quel’axe réel du plan s devient l’axe réel positif du plan z. Quant à la droite verticaledu plan de s,

s = a+ j · ω0

où a est une constante réelle, elle se transforme en un cercle de rayon ea·h :

z = ea·h︸︷︷︸module constant

· ej·ω0·h︸︷︷︸argument variable

On relève que l’image de l’axe imaginaire du plan de s n’est autre que le cercleunité dans le plan de z (figure 5.25 page suivante).








s

I m

R e0

zI m

R e0 1

jI m a g e d e l ' a x ei m a g i n a i r e :c e r c l e u n i t é+ j w N

- j w N f _ 0 5 _ 1 6 . e p s

Figure 5.25 – Image de droites verticales (fichier source).

Image des courbes équi-amortissement

Tous les pôles analogiques situés sur les demi-droites équi-amortissement duplan de s sont caractérisés par le même taux d’amortissement ζ (figure 5.26).Leur image par la transformation fournit ainsi les courbes équi-amortissement duplan de z. On a :

s = σ + j · ω0 = −δ + j · ω0

où δ et ω0 sont tels que ζ soit constant, donc :

ζ = sin (Ψ) =δ√

δ2 + ω20

= constante

Comme il s’agit d’une droite passant par l’origine, les parties réelles et imaginairessont proportionnelles :

ω0 = −a · σ

On obtient :z = eσ·h · e−j·a·σ·h

qui graphiquement se présente sous la forme d’une spirale logarithmique. Lescourbes équi-amortissement du plan de z ont donc l’allure de spirales logarith-miques. La figure 5.27 page suivante en représente quelques-unes. La figure 5.28page 170 montre de plus les courbes à ωn · h = constante (pulsation propre non-amortie ωn multipliée par la période d’échantillonnage h), qui sont des cerclesdans le plan de s.








sI m

R e

Y

0

z = c o n s t a n t e

j w 0

- df _ 0 5 _ 1 7 . e p s

Figure 5.26 – Courbe équi-amortissement du plan de s (fichier source).

−2 0 2−3

−2

−1

0

1

2

3

ζ=0ζ=0.25

ζ=0.5

ζ=0.70711

ζ=0.9

Re

Im

Courbes équi−amortissement (plan s)

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

ζ=0ζ=0.25

ζ=0.5ζ=0.70711

ζ=0.9ζ=1

Re

Im

Courbes équi−amortissement (plan z)

f_ch_05_01_1c.eps

Figure 5.27 – Image des courbes équi-amortissement (fichier source).










−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Re

Im

Courbes équi−amortissement et équi−ωn (plan z)

f_ch_05_01_2c.eps

Figure 5.28 – Image des courbes équi-amortissement (fichier source).








sI m

R e

zI m

R e0 1

j

0

f _ 0 5 _ 2 0 . e p s

Figure 5.29 – Image du demi-plan complexe gauche (fichier source).

A l’instar de que qui a été fait en régulation analogique, la connaissance descourbes équi-amortissement dans le plan de z permettra par exemple de déter-miner où placer les pôles en boucle fermée d’un système de régulation numérique(§6.6.2).

Image du contour d’Evans

Compte tenu de ce qui précède, il est maintenant aisé de déterminer l’imagedu contour d’Evans :

sI m

R e0- d m i n

m a r g e d e s t a b i l i t é a b s o l u e

m a r g e d e s t a b i l i t é r e l a t i v e

c o n t o u r d ' E v a n s

z = zm i n = c o n s t

f _ 0 5 _ 1 9 . e p s

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Re

Im

Marges de stabilité et contour d’Evans (plan z)

f_ch_05_02_2c.eps

Images de surfaces

L’image du demi-plan complexe gauche est le disque unité (figure 5.29). L’imaged’une portion du demi-plan complexe gauche est un disque de rayon inférieur à 1










sI m

R e

zI m

R e0 1

j

0

f _ 0 5 _ 2 1 . e p s

Figure 5.30 – Image d’une portion du demi-plan complexe gauche (fichier source).

(figure 5.30). Mettons encore en évidence l’image de la surface définie par lescourbes équi-amortissement (figure 5.31 page suivante), ainsi que celle délimitéepar le contour d’Evans (figure 5.32 page ci-contre).








sI m

R e0

zI m

R e1

j

0

f _ 0 5 _ 2 2 . e p s

Figure 5.31 – Image de la surface définie par les courbes équi-amortissement(fichier source).

sI m

R e

zI m

R e1

j

0 0

f _ 0 5 _ 2 2 . e p s

Figure 5.32 – Image de la surface délimitée par le contour d’Evans (fichier source).















G c ( z ) AD G a ( s )

AD

S-+w ( k ) = 0

y ( k )

u ( t ) y ( t )u ( k )e ( k )S

v ( t )

f _ 0 5 b _ 1 2 . e p s

Figure 5.33 – Mise en évidence du signal de perturbation analogique agissantsur un système de régulation numérique (fichier source).

5.A Fonction de transfert en régulation de main-tien Gv(z)

L’obtention de la fonction de transfert en régulation de maintien pose plusde difficultés. Dans le cas de la régulation de maintien, la grandeur d’entrée estun signal purement analogique v(t), alors que celle de sortie est discrète puis-qu’il s’agit de y[k] (figure 5.33). La perturbation v(t) étant totalement aléatoire,elle intervient et peut varier à n’importe quel moment, sans synchronisme avecl’horloge dictant la période d’échantillonnage, au contraire de w[k] ou de y[k].

En effet, en régulation de correspondance, on a obtenu une relation entre 2grandeurs w[k] et y[k] en tirant parti du fait que la consigne w[k] est naturediscrète, provenant d’un générateur de consigne ou résultant de l’échantillonnagesynchrone avec les convertisseurs A/D et D/A d’une consigne analogique w(t).De ce fait, w[k] n’est définie et ne peut varier qu’aux instants d’échantillonnage.Tel n’est pas le cas de v(t), la conséquence pratique en étant que le régulateur,"aveugle" entre 2 instants d’échantillonnage, par exemple k et (k + 1), ne peutréagir à l’apparition d’une perturbation v(t) en t = t0

k · h < t0 < (k + 1) · h,

qu’à l’instant d’échantillonnage suivant, i.e. l’instant (k + 1).Il est alors clair que l’erreur e[k + 1] dépend de la durée écoulée ((k + 1) ·

h − t0) depuis la manifestation de la perturbation, et l’amplitude de la réactiondu régulateur est ainsi fonction de t0 (figure 5.34 page 177). Le système asserviréagit donc différemment selon l’instant auquel l’entrée v(t) lui est appliquée, cequi signifie qu’il est non-stationnaire (§ 4.2.2 page 111 et exemple § 2 page 45).La conséquence en est que la fonction de transfert

Z grandeur réglée yZ perturbation v








ne peut être définie mathématiquement. En effet, s’il reste possible de déterminerla transformée en z Y (z) de y[k], en sommant les transformées en z de chaquecontribution à y[k],

Z y[k] = Y (z)

= Z Ga (s) · V (s)︸︷︷︸contribution de v(t) à y[k]

+ H (z) · U (z)︸︷︷︸contribution de U(z)à Y (z)

= Z Ga (s) · V (s) −Gc (z) ·H (z) · Y (z)

d’où,

Y (z) =Z Ga (s) · V (s)1 +Gc (z) ·H (z)

il est par contre impossible d’extraire une quelconque fonction de transfert Gv(z) !On représente ci-dessous (figure 5.34 page suivante) la réponse d’un système

asservi à un saut unité de perturbation intervenant aux instants 0, 0.25 · h, 0.5 ·h, 0.75·h. Un tel effet est en pratique négligeable, si la fréquence d’échantillonnagefe est suffisamment élevée et surtout par le fait que le système à régler présentetoujours un comportement de type passe-bas atténuant l’effet des perturbationsrapides.

Une manière de contourner le problème consiste à admettre que les perturba-tions probables ont une dynamique modérée par rapport à la fréquence d’échan-tillonnage choisie (figure 5.35 page 178). Dans ce cas là, une perturbation interve-nant n’importe quand entre 2 instants d’échantillonnage aura un effet semblabledans tous les cas. Elle peut alors être approximée par le signal qu’elle produi-rait en traversant un bloqueur d’ordre zéro, ce qui présente le grand avantagede la synchroniser sur l’horloge du système asservi. Le système étant maintenantdevenu stationnaire, on peut calculer la fonction de transfert en régulation demaintien

Z y[k]Z vm[k]

par application de la définition de la fonction de transfert : Gv(z) est la transfor-mée en z de la réponse impulsionnelle du système, soit

Gv (z) = Z g [k]

La réponse impulsionnelle g[k] est obtenue en posant :

v(t) = δ(t)

Dans ce cas, où la perturbation est synchronisée sur la période d’échantillonnage,on a tout d’abord

vm[k] = ∆[k]

vm(t) = ε(t)− ε(t− h)






0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

v(t)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

t [s]

y(t)

f_ch_05_05_1.eps

Figure 5.34 – Réponses indicielles en régulation de maintien d’un système de ré-gulation numérique, pour des perturbations intervenant entre 2 instants d’échan-tillonnage. On observe que les réponses sont différentes (i.e. pas simplement déca-lées, mais de formes différentes) selon l’instant d’apparition de la perturbation :le système est non-stationnaire (fichier source).








G c ( z ) AD G a ( s )

AD

S-+w ( k ) = 0

y ( k )

u ( t ) y ( t )u ( k )e ( k )S

v ( t ) ADDA v ( k )

h

p e r t u r b a t i o na n a l o g i q u es y n c h r o n i s é e

v m ( t )

f _ 0 5 b _ 1 1 . e p s

Figure 5.35 – Artifice consistant à synchroniser la perturbation afin d’évaluer, demanière approximative, la fonction de transfert en régulation de maintien Gv(z)(fichier source).

puis en se rappelant la démarche suivie au § 5.5.2 page 155 :

Z y[k] = Gv (z)

= Z Ga (s) · Vm (s)︸︷︷︸contribution de vm(t) à y[k]

+ H (z) · U (z)︸︷︷︸contribution de U(z) à Y (z)

= ZGa (s) · 1

s·(1− e−s·h

)︸︷︷︸

contribution de v(t) à y[k]

+ H (z) · U (z)︸︷︷︸contribution de U(z) à Y (z)

= H (z)︸︷︷︸modèle échantillonné de Ga(s)

−Gc (z) ·H (z) ·Gv (z)

d’où :Gv (z) =

Y (z)

Vm (z)=

H (z)

1 +Gc (z) ·H (z)

Une telle approximation se justifie dans la plupart des cas.








Chapitre 6

Stabilité

6.1 Introduction

Ce chapitre est l’un des plus importants du cours de régulation numérique.Le premier des points étudiés consiste en l’établissement de la condition fonda-mentale de stabilité des systèmes discrets. Le calcul de la réponse harmoniqueexacte de tels systèmes est ensuite abordé avant d’examiner dans quelle mesurele critère de Nyquist peut être appliqué aux systèmes discrets. Enfin, ce chapitrese termine par quelques indications concernant la manière d’effectuer la synthèsede régulateurs numériques par les méthodes de Bode et du lieu des pôles.

L’approximation de la réponse harmonique par la transformée en w est pré-sentée en annexe.

6.2 Stabilité des systèmes discrets

6.2.1 Définition de la stabilité

Dans le cadre du cours de régulation analogique, la définition suivante de lastabilité avait été adoptée :

Un système dynamique linéaire est stable si et seulement si, écarté de saposition d’équilibre par une sollicitation extérieure, le système revient àcette position lorsque la sollicitation a cessé.

Cette définition est conservée ici et permet d’établir au § 6.2.2 page suivante la

condition fondamentale de stabilité.

Stabilité BIBO Une alternative généralement mieux acceptée [[1], §7.2] à ladéfinition ci-dessus consiste en la définition de la stabilité BIBO (Bounded Input,






G ( z )

u ( k ) = D ( k )1

0 k

y ( k ) = g ( k )

0 k

f _ 0 6 _ 0 1 . e p s

Figure 6.1 – Test de la stabilité d’un système dynamique linéaire discret G(z)par application d’une impulsion-unité discrète ∆[k] (fichier source).

Bounded Ouptut) : un système dynamique, linéaire, au repos, causal et station-naire est stable si sa réponse à toute entrée bornée est également bornée.

Selon cette définition, on voit par exemple que l’intégrateur numérique n’estpas BIBO stable, puisque sa réponse à l’entrée bornée u[k] = ε[k] est une rampediscrète, i.e. un signal non borné.

On montre que la condition nécessaire et suffisante pour qu’un système soitBIBO stable est que

∞∑l=0

|g(l)| ≤ C

où g[k] est la réponse impulsionnelle du système discret considéré et C est unnombre fini. La condition fondamentale de stabilité correspondante établie au§6.2.2 est néanmoins valable pour les 2 définitions présentée ici.

6.2.2 Condition fondamentale de stabilité

Afin de tester si un système dynamique linéaire discret est stable, appliquonsà son entrée une impulsion-unité discrète u[k] = ∆[k], laquelle joue le rôle desollicitation extérieure (figure 6.1). Celle-ci disparaissant pratiquement aussitôtqu’elle apparaît, il suffit d’examiner le signal de sortie y[k] pour juger de la sta-bilité du système. Ce dernier étant au repos à l’instant où u[k] est appliquée, ona mathématiquement :

G (z) =Y (z)

U (z)⇐⇒ Y (z) = G (z) · U (z) = G(z)

puisque u[k] est une impulsion-unité discrète.Comme déjà souligné au § 5.2.3 page 135, G(z) est une fraction rationnelle en

z, pouvant être décomposée en éléments simples. Dans le cas particulier où tous








les pôles de G(z) sont simples, la décomposition on peut écrire :

G (z) =Y (z)

U (z)=b0 · zm + b1 · zm−1 + . . .+ bm−1 · z + bmzn + a1 · zn−1 + . . .+ an−1 · z + an

=n∑i=1

Ci · zz − pi

Il s’ensuit :

Y (z) = G (z) =n∑i=1

Ci · zz − pi

On en déduit y[k], par transformation inverse de Y (z) et après une légère miseen forme :

y[k] = g[k] =n∑i=1

Ci · pki

Ainsi, la réponse du système à la sollicitation extérieure u[k] = ∆[k] dépendessentiellement de ses pôles, par l’intermédiaire des modes temporels discrets pkileurs étant associés (§ 5.3 page 141). Si G(z) possède une paire de pôles complexesconjugués de module R et d’argument ±Ω, le développement mathématique du§ 5.3.3 page 144, a montré que la contribution correspondante était de la forme

y[k] = Rk · sin (k · Ω)

Le système retrouve son état initial (le repos) si la réponse y[k] tend vers zéroaprès disparition de la sollicitation extérieure. Que les pôles soient réels ou com-plexes, on voit que c’est le cas si et seulement si

|pi| < 1

On en conclut qu’ils doivent tous se trouver à l’intérieur du cercle-unité du plande z pour que le système analysé puisse être qualifié de stable. C’est la conditionfondamentale de stabilité :

Un système dynamique linéaire discret est stable, si et seulement si, tousles pôles de sa fonction de transfert sont situés à l’intérieur du disque-unité :

|pi| < 1

Dans le cas des systèmes linéaires, la stabilité est donc une propriété intrin-sèque, dépendant exclusivement des paramètres et de la structure du système,mais aucunement des signaux d’entrée.

Lorsqu’un ou plusieurs pôles sont à l’extérieur du cercle-unité, le système estinstable car sa réponse impulsionnelle diverge. Pour des pôles situés exactementsur cercle-unité, le système est à stabilité marginale.






0 R e

I m

1

j

c e r c l e - u n i t é z

s t a b l e

i n s t a b l ef _ 0 6 _ 0 4 . e p s

Figure 6.2 – Zone de stabilité du plan de z (fichier source).

Exemple L’intégrateur numérique, de fonction de transfert

G (z) =Y (z)

U(z)=

h · zz − 1

est un système marginalement stable. La visualisation de la réponse impulsion-nelle montre que le pôle en z = 1, situé sur le cercle-unité, empêche le système derevenir à son état initial (y(0) = 0) bien que la sollicitation extérieure ait disparu.

0 R e

I m

1

j

f _ 0 6 _ 0 5 . e p s

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k

g(k)

f_ch_05_03_1.eps

Il en est ainsi de tout système dynamique possédant un ou plusieurs pôlessitués exactement sur le cercle-unité, soit à la limite de stabilité.










6.3 Réponse harmonique d’un système numérique

6.3.1 Définition et calcul

Le régime permanent du signal de sortie d’un système dynamique linéairediscret stable excité par un signal sinusoïdal discret est sa réponse harmonique.On relève le fait que par hypothèse, le système discret analysé est supposé stable.

Pour obtenir la réponse harmonique sous forme analytique, en simplifiant lescalculs au maximum, on profite de la propriété de linéarité du système pourl’exciter non pas avec un signal purement sinusoïdal, mais avec l’entrée complexe

u[k] = ej·ω·k·h = cos (ω · k · h) + j · sin (ω · k · h)

De surcroît, l’amplitude de u[k] est unitaire. Le signal de sortie cherché serasimplement égal, par linéarité, à la partie imaginaire de la réponse calculée.

La transformée en z de la réponse cherchée est :

Y (z) = G (z) · U (z)

= G (z) · z

z − ej·ω·h= b0 ·

∏mi=1 (z − zi)∏ni=1 (z − pi)

· z

z − ej·ω·h

=b0 · zm + b1 · zm−1 + ...+ bm−1 · z + bm∏n

i=1 (z − pi)· z

z − ej·ω·h

Cette expression peut être décomposée en éléments simples. Dans le cas où aucundes pôles deG(z) n’est multiple (la multiplicité des pôles n’est pas prise en compteici, sans que cela ne limite pour autant la validité des résultats qui vont êtreobtenus), on a :

Y (z) = b0︸︷︷︸6=0 si n=m, i.e. d=0

+n∑i=1

Ci · zz − pi

+C · z

z − ej·ω·h

où en particulier le résidu C est calculé par (voir [11]) :

C = limz→ej·ω·h

[z − ej·ω·h

z· Y (z)

]La transformation en z inverse des deux membres de l’égalité donne, en s’aidantde la table de l’annexe du chapitre 3 :

y[k] = b0 ·∆[k] +n∑i=1

Ci · pki + C · ej·ω·k·h

Les pôles de G(z) étant par hypothèse à l’intérieur du cercle-unité, leurs modesne sont visibles qu’en régime transitoire, après quoi il sont notablement atténués.






Il en va de même du premier terme de l’expression de y[k]. Le régime permanent,obtenu pour k →∞, est donc formé exclusivement de

y[k] = C · ej·ω·k·h

L’obtention de la valeur du résidu C

C = limz→ej·ω·h

[z − ej·ω·h

z· Y (z)

]= lim

z→ej·ω·h

[z − ej·ω·h

z·(G (z) · z

z − ej·ω·h

)]= G

(ej·ω·h

)permet de préciser y[k] :

y[k] = G(ej·ω·h

)· ej·ω·k·h

La réponse au signal d’entrée réel

u[k] = =ej·ω·k·h

= sin (ω · k · h)

est finalement

y[k] = =G(ej·ω·h

)· ej·ω·k·h

= =

∣∣G (ej·ω·h)∣∣ · e(j·ω·k·h+argG(ej·ω·h))

soit encore

y[k] =∣∣G (ej·ω·h)∣∣ · sin (ω · k · h+ arg

G(ej·ω·h

))= A (ω) · sin (ω · k · h+ ϕ (ω))

La réponse harmonique d’un système dynamique linéaire stable est un signalsinusoïdal de même pulsation,

– amplifié par le gain A (ω) =∣∣G (ej·ω·h)∣∣,

– déphasé de l’angle ϕ (ω) = argG(ej·ω·h

)[rad],

par rapport au signal d’entrée.Connaissant l’entrée u[k], cette réponse se calcule simplement en posant

z = ej·ω·h

dans l’expression de la fonction de transfert en z G(z),

G (z) −→z=ej·ω·h

G(ej·ω·h

)ce qui revient à dire que z parcourt le cercle-unité.






Le nombre complexe G(ej·ω·h

), appelé transmittance isochrone ou, plus sim-

plement réponse harmonique ou encore fonction de réponse fréquentielle, indiquecomment le système dynamique modifie l’amplitude et la phase du signal sinu-soïdal d’entrée. Ses module et argument, tous deux dépendants de la pulsation,fournissent ainsi respectivement le gain et la phase apportés par le système.

Contrairement au cas analogique, la réponse harmonique G(ej·ω·h

)n’est pas

une fraction rationnelle en ω, mais en ej·ω·h :

G(z)|z=ej·ω·h =b0 ·(ej·ω·h

)m+ b1 ·

(ej·ω·h

)m−1+ . . .+ bm−1 ·

(ej·ω·h

)+ bm

(ej·ω·h)n + a1 · (ej·ω·h)n−1 + . . .+ an−1 · (ej·ω·h) + an

Ceci qui complique considérablement les calculs et les estimations des valeursprises par G

(ej·ω·h

)à certaines pulsations, ces estimations étant notamment pra-

tiquées lors de l’esquisse du lieu de Nyquist ou du diagramme de Bode. Ce pro-blème peut être contourné au prix d’un résultat approximatif si l’on fait usagede la transformation en w, qui sera présentée en annexe ce ce chapitre.

6.3.2 Propriétés

La réponse harmonique G(ej·ω·h

)est périodique de période ωe = 2·π

h, puis-

qu’en effet :ej·(ω+ωe)·h = ej·ω·h · ej·

2·πh·h = ej·ω·h

De plus, les coefficients de la fraction rationnelle G(ej·ω·h) étant tous réels, on a

G(e−j·ω·h

)= G (ej·ω·h)

ce qui implique que : ∣∣G (e−j·ω·h)∣∣ =∣∣G (ej·ω·h)∣∣

argG(e−j·ω·h

)= − arg

G(ej·ω·h

)Le module de G(jω) est donc une fonction paire, alors que son argument est unefonction impaire (figure 6.3 page suivante). Ces propriétés, ajoutées à celle depériodicité, font que la représentation graphique de la réponse harmonique peutse limiter à l’intervalle [0 . . . ωN ].

G(ej·ω·h

)est d’autre part réelle en ω = ωe

2= ωN . En effet,

ej·ωe2·h = ej·

πh·h = −1

et par conséquentG(ej·

ωe2·h)

= G (−1)

Les coefficients de G(z) étant réels, il en va de même de G(−1).






−12.5664 −9.4248 −6.2832 −3.1416 0 3.1416 6.2832 9.4248 12.56640

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ω

A(Ω

)

Réponse harmonique (échelles linéaires)

−10 −5 0 5 10

−540

−360

−180

0

180

360

540

Ω

φ(Ω

) [d

eg]

f_ch_06_02_1.eps

Figure 6.3 – Le gain harmonique d’un système dynamique linéaire discret est unefonction paire alors que la phase est une fonction impaire. Comme G

(ej·ω·h

)est

périodique de période ωe, la représentation graphique de la réponse harmoniquepeut se limiter à l’intervalle indiqué en gras [0 . . . ωN ]. A relever également queG(ej·

ωe2·h) = G (−1) est réelle (fichier source).

6.3.3 Lieu de de Nyquist et diagramme de Bode

Il n’est pas nécessaire ici de définir les deux représentations graphiques deG(ej·ω·h

)que sont le lieu de Nyquist et le diagramme de Bode, ceux-ci ayant été

étudiés en détail dans le cours de régulation analogique [15]. On relève toutefoisque l’obtention de la réponse harmonique d’un système discret est fastidieuse enraison des calculs à effectuer. En effet, les lieux de transfert sont tracés aprèsavoir calculé les module et argument de G

(ej·ω·h

)pour différentes pulsations.

Cependant, contrairement au cas analogique, l’estimation de valeurs particulièresn’est pas immédiate, et de plus, le diagramme de Bode ne possède pas d’asymptote(cf périodicité). Le recours à un logiciel de calcul et de traçage, ou tout au moinsà une calculatrice traitant les nombres complexes est dès lors vivement conseillé.

Enfin, il faut garder en mémoire qu’en présence de systèmes discrets, l’opéra-tion d’échantillonnage restreint la gamme de pulsations utiles à la zone

0 < ωN =ωe2

soit en-deçà de la pulsation de Nyquist, puisque le théorème de Shannon doit êtrerespecté. Les tracés se limitent donc en principe à cette bande de pulsations.








Exemple : lieux de transfert d’un filtre numérique

Au § 5.7.4 page 164, la fonction de transfert discrète d’un filtre numérique depremier ordre de type passe-bas a été calculée :

H(z) =Y (z)

U(z)=

1

−s1

·(1− es1·h

)(z − es1·h)

=b0

z − p1

=b0

z + a1

avec : a1 = −p1 = −e−hτb0 = 1−e−

hτ

−s1

En vue d’en évaluer la réponse harmonique, la réponse harmonique du filtre esttout d’abord obtenue :

G(z = ej·ω·h) =b0

ej·ω·h + a1

En introduisant la pulsation réduite

Ω = ω · h

on a :

G(ej·Ω)

=b0

ej·Ω + a1

=b0

(cos (Ω) + a1) + j · sin (Ω)

=b0√

(cos (Ω) + a1)2 + (sin (Ω))2· e−j·arctan

sin(Ω)

(cos(Ω)+a1)

=b0√

1 + 2 · a1 · cos (Ω) + a21

· e−j·arctan

sin(Ω)(cos(Ω)+a1)

Remarque :

Ω = π ⇐⇒ ω =π

h= ωN =

ωe2

On se propose ici d’en tracer ses lieux de transfert, tout d’abord en échelleslinéaires, puis ceux de Bode et Nyquist. La constante de temps du filtre estτ = 2.5 [s], sa fréquence caractéristique est donc fp = 1

2·π ·1τ

= 0.063 [Hz] alorsque la période d’échantillonnage est h = 1 [s]. Celle-ci ne peut bien sûr pas êtrechoisie sans prendre en compte la valeur de la constante de temps τ : le théorèmede Shannon doit être au moins respecté. Appliquant les règles approximatives duchoix de h par rapport à τ exposées § 1.6.1 page 49, on devrait avoir :

4 . . . 10 = Nm =Treg

h=

3 · τh

=3 · 2.5

1= 7.5






−18.8496−15.708−12.5664−9.4248−6.2832−3.1416 0 3.1416 6.2832 9.4248 12.5664 15.708 18.84960

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ω

A(Ω

)


analogiquenumérique

−15 −10 −5 0 5 10 15−1080−900−720−540−360−180

0180360540720900

1080

Ω

φ(Ω

) [d

eg]

numériqueanalogique

f_ch_06_02_2.eps

Figure 6.4 – Réponse harmonique de H(z) = Y (z)U(z)

= b0z−p1

. L’échelle de la pul-sation est linéaire et l’on observe bien la périodicité. En pointillé la réponse har-monique du filtre analogique correspondant (fichier source).

Le calcul du gain et de la phase est facilité si la réponse harmonique est mise sousforme polaire :

G(ej·Ω)

=b0

ej·Ω + a1

=b0

(cos (Ω) + a1) + j · sin (Ω)

=b0√

(cos (Ω) + a1)2 + (sin (Ω))2· e−j·arctan

sin(Ω)

(cos(Ω)+a1)

=b0√

1 + 2 · a1 · cos (Ω) + a21

· e−j·arctan

sin(Ω)(cos(Ω)+a1)

On pressent que les calculs peuvent devenir très compliqués lorsque la fonctionde transfert est d’ordre plus élevé. Après avoir calculé les valeurs numériques dea1 et b0,

a1 = −p1 = −e−1[s]

2.5[s] = −0.6703

b0 = 1− e−1[s]

2.5[s] = 0.3297

on peut tracer l’allure du gain et de la phase en fonction de la pulsation ω (échelleslinéaires, figure 6.4).








−3 −2 −1 0 1 2 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ω

A(Ω

)



−3 −2 −1 0 1 2 3−180

0

180

Ω

φ(Ω

) [d

eg]


f_ch_06_02_3.eps


= b0z−p1

. L’échelle de la pul-sation est linéaire et limitée à ωN = ωe

2. En pointillé la réponse harmonique du

filtre analogique correspondant (fichier source).

Outre l’effet d’atténuation et le déphasage apportés par le filtre passe-bas nu-mérique, ces tracés confirment le caractère périodique de la réponse harmoniqueG(ej·ω·h

). Les tracés pourraient donc se limiter sans autres à la gamme de pulsa-

tions [0 . . . ωN ], comme le montre la figure 6.5. En pointillé est reportée la réponseharmonique du filtre analogique correspondant.

Les diagrammes de Bode pour une gamme de pulsations étendue et pourune gamme restreinte sont donnés sur les figures 6.6 page suivante et 6.7 pagesuivante, avec encore en pointillé est reportée la réponse harmonique du filtreanalogique correspondant.








10−1

100

101

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

Ω

A(Ω

)

Réponse harmonique (diagramme de Bode)


10−1

100

101

−1080

−900

−720

−540

−360

−180

0

Ω

φ(Ω

) [d

eg]


f_ch_06_02_4.eps


= b0z−p1

. L’échelle de la pulsa-tion est logarithmique (comme le veut la représentation de Bode) et la périodicitése manifeste par un effet "accordéon". En pointillé la réponse harmonique du filtreanalogique correspondant (fichier source).

10−1

100

−20

−15

−10

−5

0

Ω

A(Ω

)

Réponse harmonique (diagramme de Bode)


10−1

100

−180

−135

−90

−45

0

Ω

φ(Ω

) [d

eg]


f_ch_06_02_5.eps


= b0z−p1

. L’échelle de la pulsa-tion est cette fois limitée à ωN = ωe

2. En pointillé la réponse harmonique du filtre

analogique correspondant (fichier source).










−0.5 0 0.5 1 1.5−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Re(G(jΩ))

Im(G

(jΩ)

Réponse harmonique (diagramme de Nyquist)

f_ch_06_02_6.eps

Figure 6.8 – Lieu de Nyquist de H(z) = Y (z)U(z)

= b0z−p1

. En pointillé la réponseharmonique du filtre analogique correspondant (fichier source).

Le lieu de Nyquist est à la figure 6.8.








6.4 Etude de la stabilité par la réponse harmo-nique : critère de Nyquist ([[1], §7.4])

Le critère de Nyquist permet de déterminer la stabilité d’un système bouclé,i.e. en boucle fermée, sur la base de sa réponse harmonique en boucle ouverte.Celle-ci pouvant être obtenue expérimentalement, le critère de Nyquist présenteun grand intérêt pratique.

6.4.1 Critère de Nyquist simplifié (critère du revers)

Partant du critère de Nyquist précédemment démontré, on relève que lorsquele système considéré est stable en boucle ouverte, i.e. lorsque P = 0, on doit avoir

arg 1 +Go (z)C = 0

pour que Gf (z) soit stable. Cela signifie que le lieu de Nyquist complet n’entourejamais le point critique. Ceci revient à dire que le lieu de doit laisser le point−1 à sa gauche lorsqu’on le parcourt dans le sens croissant des ω. Il s’agit ducritère de Nyquist simplifié, ou critère du revers, qui s’applique ainsi égalementaux systèmes discrets :

Critère de Nyquist simplifié

Un système de régulation automatique linéaire, causal et stationnaire,stable en boucle ouverte, i.e. dont la fonction de transfert en boucle ou-verte Go(z) ne possède aucun pôle instable, est stable en boucle ferméesi le lieu de Nyquist de Go

(ej·ω·h

)= Go

(ej·Ω)laisse le point critique

−1 + j · 0

à sa gauche lorsqu’on le parcourt dans le sens croissant des ω.

En conséquence, connaissant la réponse harmonique en boucle ouverte dusystème analysé, la stabilité de ce dernier en boucle fermée peut être analyséeen traçant le lieu de Nyquist de

Go

(ej·ω·h

)= Go

(ej·Ω)

et en vérifiant que lorsque l’on le parcourt de

ω = 0

[rads

]Chapitre 6, v.1.5 192 MEE \cours_rn.tex

12 décembre 2011





G o ( e j w h )I m

R ew = 0 [ r a d / s ]

w = [ r a d / s ]¥

f _ 0 6 _ 1 3 . e p s

0- 1 + j 0

s t a b l e

i n s t a b l e

Figure 6.9 – Application du critère de Nyquist simplifié pour déterminer si unsystème est stable en boucle fermée ou non (fichier source).

à

ω −→∞[rads

]on laisse le point critique

−1 + j · 0 = −1

à sa gauche.La validité du critère du revers se limite donc aux systèmes stables en boucle

ouverte. Certains systèmes vus au laboratoire, tels que la suspension magné-tique, de fonction de transfert

Ga (s) =X (s)

Ua (s)=

ko(s+ 1

Ta

)·(s2 + kx

m

)nécessiteraient l’emploi du critère de Nyquist complet afin de tester la stabilitéen boucle fermée.

Les notions de marge de phase ϕm et de gain Am s’appliquent telles quellesà Go

(ej·ω·h

)= Go

(ej·Ω), que la réponse harmonique soit représentée graphique-

ment dans le plan de Bode ou dans celui de Nyquist. Pour mémoire, les marges dephase et de gain sont définies comme suit (figures 6.10 page 195 et 6.11 page 196)(voir [11] §6.12) :

ϕm = π + argGo

(ej·ωco·h

)Am = 1

|Go(ej·ωπ ·h)|avec

ωco = pulsation à laquelle∣∣Go

(ej·ω·h

)∣∣ = 1ωπ = pulsation à laquelle arg

Go

(ej·ω·h

)= −π








Rappelons que les marges de phase et de gain constituent un moyen indirect d’es-timer la distance entre le point lieu de Nyquist et le point critique. Même en im-posant des valeurs recommandées pour ϕm (45 . . . 60 []) et Am (> 8 . . . 15 [dB]),il se peut que le degré de stabilité soit insuffisant (voir exercices de régulationanalogique). La distance minimum exacte entre le lieu de Nyquist et le pointcritique pourra être évaluée précisément à l’aide la fonction de sensibilité (§ 7.8page 273).






G o ( e j w h )I m

R e

w = 0 [ r a d / s ]

w = [ r a d / s ]¥

f _ 0 6 _ 1 1 . e p s

0- 1

w c o

w p

1 / A m

c e r c l e d e r a y o n 1

mj

Figure 6.10 – Définition graphique des marges de phase ϕm et de gain Am(fichier source).








w [ r a d / s ]

A ( w ) |[ d B ]

0 [ d B ]w c o

| G o ( e j w h ) |

w [ r a d / s ]

f ( w ) |[ d e g ]0

f _ 0 6 _ 1 2 . e p s

- 1 8 0

a r g G o ( e j w h ) w c o

w p

w p

A m

mjf ( w c o )

A p

Figure 6.11 – Définition graphique des marges de phase ϕm et de gain Am dansle plan de Bode (fichier source).








6.5 Eléments de synthèse fréquentielle de régula-teurs numériques

Les paragraphes de ce chapitre qui sont dédiés à l’analyse fréquentielle four-nissent les éléments nécessaires à la mise en oeuvre des méthodes classiques desynthèse fréquentielle, telles celles du plan de Bode étudiées en régulation analo-gique.

Le principe de la méthode de synthèse fréquentielle discrète (parfois dite ri-goureuse) est présenté. La méthode approchée, basée sur la transformation enw, a été développée autrefois pour contourner les difficultés liées au traçage deréponses harmoniques des systèmes discrets et n’est plus présentée dans le cadrede ce chapitre. La description précise de l’application de la synthèse discrète àdifférents types de régulateurs (P, PD, PI, PID), sort du cadre de ce chapitre.

6.5.1 Synthèse fréquentielle discrète

La méthode de synthèse fréquentielle discrète s’appuie sur la réponse harmo-nique exacte

G(ej·ω·h

)= G

(z = ej·ω·h

)des systèmes numériques. Celle-ci étant malaisée à obtenir, l’usage de cette mé-thode est facilité si l’on dispose de moyens informatiques facilitant le tracé desdiagrammes de Bode, qui rappelons-le, ne possèdent pas d’asymptotes dans lecas de systèmes discrets. La synthèse rapide (et quelque peu approximative) d’unrégulateur, faite sur la base d’un diagramme asymptotique n’est donc ici paspossible.

Exemple : synthèse d’un régulateur P numérique

On considère le système à régler suivant

H (z) =Y (z)

U(z)=

z3

(z − 1) · (z − 0.9) · (z2 − 2 ·R · cos (Ω) · z +R2)

avec h = 1[s]R = 0.95Ω = 2·π

3

donné par son modèle échantillonné.Le choix de h est fait a priori en tenant compte de l’allure de la réponse har-

monique de H(z) (figure 6.12 page suivante), laquelle montre un comportementrésonant à une fréquence de l’ordre de 2

[ rads

], soit à peine inférieure à la moi-

tié de la pulsation d’échantillonnage ωe = 2·πh

= 6.28[ rad

s

]. Du point de vue du






théorème de Shannon, ce choix se justifie, mais le chapitre 3 du présent cours ena montré les limites d’applicabilité.

10−2

10−1

100

101

−20

0

20

40

60Diagramme de Bode de H(z)

gain

[dB

]

10−2

10−1

100

101

−270

−225

−180

−135

−90

−45

0

pulsation [rad/s]

phas

e [d

egré

]

f_ch_05_09_1c.eps

Figure 6.12 – Réponse harmonique du système à régler H(z) (fichier source).

On se propose de déterminer le gain Kp d’un régulateur proportionnel tel quele comportement soit optimal en boucle fermée. Dans ce but, on fait en sorteque la marge de phase ϕm (qui se mesure toujours sur la base de la réponseharmonique Go(e

j·ω·h) en boucle ouverte) soit de l’ordre de 45 [ []].La fonction de transfert de boucle s’écrit donc :

Go (z) = Gc (z) ·H (z) = Kp ·z3

(z − 1) · (z − 0.9) · (z2 − 2 ·R · cos (Ω) · z +R2)

Sur le diagramme Bode de la figure 6.13 page suivante sont superposées les ré-ponses harmoniques H

(ej·ω·h

)et Go

(ej·ω·h

). Pour cette dernière, on a choisi

Kp = Kpop = 0.0642

que l’on a trouvé en appliquant la méthode de Bode.








0.01 0.10.1375 1 10−40

−20

0

20

40

60

Diagrammes de Bode de H(z) et Go(z)

gain

[dB

]

0.01 0.10.1375 1 10−270

−225

−180

−135

−90

−45

0

ω [rad/s]

phas

e [d

egré

]

H(z)G

o(z)

f_ch_05_09_2.eps

Figure 6.13 – Réponses harmoniques du système à régler H(z) et de la fonctionde transfert en boucle ouverte Go(z) (fichier source).

La réponse indicielle en boucle fermée est donnée sur la figure 6.14.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Réponse indicielle en boucle fermée

k

f_ch_05_09_3.eps

Figure 6.14 – Réponse indicielle en boucle fermée pour Kp = Kpop = 0.0642(fichier source).










Elle a un comportement optimal, typique d’un système du second ordre àpôles dominants, de taux d’amortissement ζ = 0.5...0.707.

Remarque La réponse indicielle présentée sur la figure 6.14 page précédenteest visiblement sur-échantillonnée. La responsabilité en incombe à la résonancede H(z), qui, pour des raisons de stabilité, limite la valeur du gain Kp à unevaleur relativement modeste et par conséquent :

– la pulsation de coupure à 0 [dB] en boucle ouverte est relativement faible ;– la bande passante ωB en boucle fermée est aussi relativement faible ;– la durée de réglage Treg du système asservi est élevée.

Avec un simple régulateur P, on ne peut guère espérer de meilleures performances.






6.6 Eléments de synthèse de régulateurs numé-riques dans le plan complexe

6.6.1 Lieu des pôles (ou lieu d’Evans)

On se propose ici de définir la notion de lieu des pôles (ou lieu d’Evans)pour les systèmes numériques, puis d’introduire les principes de synthèse dans leplan complexe. Comme dans le cas de la synthèse fréquentielle, on ne procéderapas, dans ce chapitre, à une énumération détaillée des méthodes de synthèses dedifférents régulateurs : seul le principe est exposé.

Définition

La définition du lieu des pôles vue dans de cadre des systèmes analogiquespeut sans autre être conservée dans le contexte des systèmes numériques, puisquedans les deux cas, on cherche à représenter dans le plan complexe l’évolution despôles de la fonction de transfert en boucle fermée lorsque que le gain de boucleko varie de 0 à l’infini.

Que le système soit analogique ou numérique, ses pôles en déterminent complè-tement la stabilité, et en affinant l’analyse, l’examen de la position des pôles per-met également de déterminer le degré de stabilité (par le calcul du taux d’amor-tissement ζ par exemple). De plus, pour autant que les zéros soient "standards",en particulier situés dans le disque unité, les pôles imposent la forme du régimelibre (apériodique ou oscillatoire), observable en régime transitoire, par exempleaux premiers instants de la réponse indicielle.

Il y a donc un intérêt certain à connaître l’emplacement dans le plan complexedes pôles de la fonction de transfert en boucle fermée d’un système de régulationnumérique. Le plan complexe est bien sûr ici le plan de z. Il est encore plusintéressant de pouvoir examiner la manière dont ces mêmes pôles évoluent dansle plan de z lorsque les gains, voire la structure du système en boucle ouvertesont modifiés par l’adjonction d’un régulateur.

On se contentera ici d’examiner le cas où seul le gain de boucle ko varie, lastructure du système en boucle ouverte étant fixée.

Tracé du lieu des pôles

Si la fonction de transfert en boucle ouverte d’un système de régulation nu-mérique a pour expression générale

Go (z) =Y (z)

E (z)= ko ·

no (z)

do (z)

où l’on aura pris soin de mettre Go(z) sous forme d’Evans (aussi appelée formede Laplace), la fonction de transfert en boucle fermée s’écrit, dans le cas de la






régulation de correspondance et lorsque le retour est unitaire (figure 6.15) :

Gyw (z) =Y (z)

W (z)=

Go (z)

1 +Go (z)=

ko · no(z)do(z)

1 + ko · no(z)do(z)

=ko · no (z)

do (z) + ko · no (z)

On note au passage que toutes les fonctions de transfert en boucle fermée quel’on peut calculer ont le même dénominateur

do (z) + ko · no (z)

puisque l’on a toujours

Gfermé(s) =fonction de transfert de la chaîne d’action1 + fonction de transfert en boucle ouverte

le cas de la compensation pôle-zéro étant réservé (§ 7.2 page 229). Les pôles de lafonction de transfert en boucle fermée sont les valeurs de z annulant le dénomina-teur de Gyw(z). Ils sont donc solutions de l’équation de l’équation caractéristique

dc (z) = do (z) + ko · no (z) = 0

S-

w ( k ) y ( k )

f _ 0 6 _ 1 4 . e p s

( )( )zdznk

o

oo ×

Figure 6.15 – Schéma fonctionnel d’un système de régulation numérique, pré-senté de façon à ce que le retour soit unitaire et mettant en évidence la fonctionde transfert en boucle ouverte Go(z) sous forme d’Evans.

Si l’équation caractéristique dc(s) d’un système analogique est un polynômeen s, celle dc(z) d’un système numérique n’est autre qu’un polynôme en z. Dansun cas comme dans l’autre, il s’agit de déterminer l’évolution des racines del’équation caractéristique lorsque le facteur d’Evans ko varie de zéro à l’infini. Ils’en suit que les règles de tracé du lieu des pôles énoncées en régulation analogiquesont applicables telles quelles aux systèmes numériques. Seule l’interprétationchange, les domaines de stabilité des plan de s et z étant différents. Les courbeséqui-amortissement, le contour d’Evans se représentent eux aussi par d’autrescourbes dans le plan de z (voir § 5.7.5 page 168). Ainsi, la fameuse droite équi-amortissement à 45 [] du plan de s devient une spirale équi-amortissement. En







général, il faut tracer le lieu des pôles dans un plan de z muni d’un réseau decourbes (des spirales) équi-amortissement.

Les 7 règles les plus utiles à l’esquisse du lieu, selon [11], sont rappelées ci-dessous sans démonstration. Les conditions des modules et des angles s’appliquentaussi telles quelles, pour autant qu’on s’astreigne à présenter toutes les fonctionsde transfert sous forme d’Evans (§ 5.2.4 page 138).

1 Le lieu des pôles a n branches.2 Le lieu des pôles est symétrique par rapport à l’axe réel.3 Les points de départ du lieu sont les pôles de Go(z).4 m pôles aboutissent aux zéros de Go(z).5 Les points d’arrivée des (n −m) pôles restant sont situés

à l’infini. Il rejoignent (n−m) asymptotes d’angle

ξ =(1 + 2 · λ)

(n−m)· π λ ∈ Z

formant une étoile régulière.6 Le centre de l’étoile est situé sur l’axe réel en

∆ =

n∑i=1

pi −m∑j=1

zj

n−m

7 Tout point de l’axe réel situé à gauche d’un nombre impairede pôles et de zéros réels fait partie du lieu.

6.6.2 Principe de la synthèse discrète dans le plan com-plexe

Partant d’un système asservi ayant pour fonction de transfert de boucle

Go (z) = ko ·no (z)

do (z)

il s’agit de déterminer la valeur koc du facteur d’Evans ko telle que les pôlesdominants en boucle fermée

– soient caractérisés par un taux d’amortissement optimal ζ = ζopt,ou

– imposent une durée de réglage Treg définie,ou

– aient des modes apériodiques,ou

– répondent à une autre spécification particulière du cahier des charges.






Notons que les possibilités énumérées ci-dessus sont en général mutuellementexclusives : la méthode de synthèse basée sur le lieu des pôles n’offre en effet pasbeaucoup de degrés de liberté.

Pour la première des possibilités évoquée, soit l’imposition d’un taux d’amor-tissement ζ donné, la recherche de koc, est effectuée comme suit :

1. Calculer la fonction de transfert de boucle corrigée Go (z) = Gc (z) ·H (z)

2. Mettre Go(z) sous forme d’Evans, les coefficients des plus hautes puissancesde z des numérateur et dénominateur étant unitaires (la factorisation estoptionnelle) ;

Go(z) = b0︸︷︷︸ko

·zm + b1

b0· zm−1 + ...+ bm−1

b0· z + bm

b0

zn + a1 · zn−1 + ...+ an−1 · z + an

= ko ·(z − z1) · (z − z2) · ... · (z − zm)

(z − p1) · (z − p2) · ... · (z − pn)

= ko ·

m∏i=1

(z − zi)n∏i=1

(z − pi)

3. Tracer le lieu des pôles de Go(z) dans le plan de z muni d’un réseau decourbes équi-amortissement ;

4. Repérer son intersection S (la position d’un des futurs pôles dominants enboucle fermée) avec la courbe (une spirale en l’occurrence) équi-amortissementcorrespondant à ζ = ζopt = 0.5 ;

5. Appliquer la condition des modules pour déterminer le gain de boucle op-timal ko = koc : ∣∣∣∣(s− z1) · . . . · (s− zm)

(s− p1) · . . . · (s− pn)

∣∣∣∣ =1

ko

6. Le gain du régulateur, sous forme d’Evans, est donné par : kc = kocka

Exemple : synthèse d’un régulateur P

On considère le système de régulation numérique dont le système à régler apour modèle échantillonné

H (z) =Y (z)

U(z)=

ka(z − 1) · (z − c)

=10

(z − 1) · (z − 0.5)

On se propose de déterminer le gain de boucle koc de façon que le comportementen boucle fermée soit optimal. Cela signifie que l’on souhaite que la fonctionde transfert du système en boucle fermée possède une paire de pôles complexes






conjugués caractérisés par un taux d’amortissement ζ de 0.5 (ou 0.707, dépen-dant des normes et surtout de la définition d’un comportement optimal...). Cettedernière condition implique que les pôles dominants en boucle fermée doivent sesituer sur la spirale logarithmique caractérisée par ζ = ζopt.

L’application des 6 points de la procédure à la fonction de transfert H(z)donne :

1. Go (z) = Gc (z) ·H (z) = kc · 10(z−1)·(z−0.5)

2. Go (z) = kc · 10 · 1(z−1)·(z−0.5)

= ko · 1(z−1)·(z−0.5)

3. En appliquant les règles 1 à 9 du tracé du lieu d’Evans, on parvient rapi-dement au tracé suivant. Comme indiqué plus haut, le lieu a été tracé dansun plan de z muni des courbes équi-amortissement (figure 6.16).

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.80.7

0.4

0.2π/T

0.6π/T

π/T

0.9

0.6

0.4π/T

0.5

0.8π/T

0.2

0.9π/T

0.1π/T

0.1π/T

0.3π/T

0.2π/T

0.5π/T

0.3π/T

0.7π/T

0.4π/T

0.9π/T

0.5π/T

0.1

0.6π/T

0.3

0.7π/T

0.8π/T

π/T

f_ch_05_11_1.eps

Lieu des pôles de Go(z)

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Figure 6.16 – Lieu des pôles de Go(z) = ko · 1(z−1)·(z−0.5)

(fichier source).

4. Le point S est facilement repéré si l’on agrandit la zone intéressante, situéedans le premier quadrant (figure 6.17 page suivante) :

5. Le gain optimal, à appliquer pour que l’un des pôles dominants en bouclefermée soit effectivement au point S, a pour expression

koc =SP1 · . . . · SPnSZ1 · . . . · SZm

=0.3833 · 0.3833

1= 0.147

6. Le gain kc du régulateur est donc : kc = kocka

= 0.0147

La réponse indicielle en boucle fermée est sur la figure 6.18 page 207. Le compor-tement est comme attendu oscillatoire optimal.








0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.9

0.8

0.3

0.2π/T

0.4π/T

0.1

0.1π/T0.7

0.5

0.6

0.5π/T

0.2

0.4

0.3π/T

f_ch_05_11_2.eps


Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Figure 6.17 – Lieu des pôles de Go(z) = ko · 1(z−1)·(z−0.5)

: zoom et sélection despôles en boucle fermée correspondant à ζ = 0.5 (fichier source).

Cas particulier de lieu des pôles

On peut montrer que lorsque Go(z) possède deux pôles et un zéro, ce dernierétant soit à droite, soit à gauche des deux pôles, le lieu des pôles correspondantest (pour une bonne partie) un cercle

– centré au zéro,– de rayon R =

√Z1P1 · Z1P2 ,

où P1 , P2 et Z1 sont respectivement les positions dans le plan de z des pôles p1

et p2 en boucle ouverte, ainsi que du zéro z1. La forme de Go(z) est alors

Go (z) = ko ·(z − z1)

(z − p1) · (z − p2)

On remarque en particulier que les points de séparation et de jonction du lieuavec l’axe réel sont très facilement trouvés puisqu’il s’agit des points d’intersectionde ce dernier avec le cercle.

Une telle configuration de pôles et zéro se rencontre assez souvent, notammentlorsque que l’on applique la technique de la compensation pôle-zéro (voir exemple§ 6.6.2 page suivante).








0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

k

Réponse indicielle en boucle fermée

f_ch_05_11_3.eps

Figure 6.18 – Réponse indicielle en boucle fermée. Avec une oscillation complèteavant stabilisation, on peut en déduire que le taux d’amortissement en bouclefermée des pôles dominants est voisin de ζ = 0.5, comme imposé à la figure 6.17page ci-contre (fichier source).

Exemple : synthèse d’un régulateur PID numérique

On considère le modèle échantillonné d’un système à régler

H (z) =Y (z)

U(z)= 10 · (z + 0.8)

(z − 0.9) · (z − 0.7)

Ce système est asservi par un régulateur PID numérique de fonction de transfert(§ 5.2.2 page 134)

Gc (z) =U(z)

E(z)=b0 + b1 · z−1 + b2 · z−2

1− z−1=b0 · z2 + b1 · z + b2

z · (z − 1)

=

(Kp +Ki · h+ Kd

h

)· z2 +

(−Kp − 2 · Kd

h

)· z + Kd

h

z · (z − 1)

avec b0 = Kp +Ki · h+ Kd

h

b1 = −Kp − 2 · Kdh

b2 = Kdh

L’application des 6 points à la fonction de transfert H(z) de l’exemple donne :

1. Go (z) = Gc (z) ·H (z) = b0·z2+b1·z+b2z·(z−1)

· 10 · (z+0.8)(z−0.9)·(z−0.7)








−4 −3 −2 −1 0 1 2−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

p2

p1

z1

f_ch_05_12_1.eps

Lieu des pôles Go(z)

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Figure 6.19 – Pour un système en boucle ouverte ayant deux pôles et un zéro,celui-ci étant situé à gauche ou à droite des 2 pôles, le lieu des pôles est en partieun cercle (fichier source).

2. Go (z) = b0︸︷︷︸kc

·(z2+

b1b0·z+ b2

b0

)z·(z−1)

· 10 · (z+0.8)(z−0.9)·(z−0.7)

= kc · 10︸︷︷︸ko

·(z2+

b1b0·z+ b2

b0

)·(z+0.8)

z·(z−1)·(z−0.9)·(z−0.7).

Appliquant la technique de compensation des pôles du système afin d’effec-tuer la synthèse du régulateur PID numérique, on pose(

z2 +b1

b0

· z +b2

b0

)= (z − 0.9) · (z − 0.7)

La fonction de transfert de boucle est alors

Go (z) = Gc (z) ·H (z) = koc ·(z + 0.8)

z · (z − 1)

3. La forme de Go(z) suggère immédiatement que le lieu des pôles sera pourune bonne partie un cercle. Pour le reste (points de départ, d’arrivée, etc),l’application de quelques-unes des règles 1 à 7 du tracé du lieu des pôlespermet de tracer rapidement le lieu de la figure 6.20 page suivante (Centredu cercle : z1 = −0.8, rayon

√Z1P 1 · Z1P 2 =

√0.8 · 1.8 = 1.2)

4. Le point S est facilement repéré si l’on agrandit la zone intéressante, situéedans le premier quadrant :








−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

0.80.7

0.4 0.2π/T

0.6π/T

π/T0.9

0.6

0.4π/T

0.50.8π/T

0.2

0.9π/T

0.1π/T

0.1π/T

0.3π/T

0.2π/T

0.5π/T

0.3π/T

0.7π/T

0.4π/T

0.9π/T

0.5π/T

0.1

0.6π/T

0.3

0.7π/T

0.8π/T

π/T

f_ch_05_13_1.eps


Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Figure 6.20 – Lieu des pôles de Go (z) = koc · (z+0.8)z·(z−1)

(fichier source).

5. Le gain optimal, à appliquer pour que l’un des pôles dominants en bouclefermée soit effectivement au point S, a pour expression koc = SP1·SP2

SZ1=

0.8414·0.56091.2

= 0.3933 ;6. le gain kc du régulateur est donc : kc = koc

ka= 0.03933

Le régulateur PID recherché a donc pour fonction de transfert :

Gc (z) =b0 + b1 · z−1 + b2 · z−2

1− z−1=b0 · z2 + b1 · z + b2

z · (z − 1)

=

(Kp +Ki · h+ Kd

h

)· z2 +

(−Kp − 2 · Kd

h

)· z + Kd

h

z · (z − 1)

La réponse indicielle en boucle fermée donnée sur la figure 6.22 page suivante. Lecomportement est, comme attendu, oscillatoire optimal.








0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.9

0.8

0.3

0.2π/T

0.4π/T

0.1

0.1π/T0.7

0.5

0.6

0.5π/T

0.2

0.4

0.3π/T

f_ch_05_13_2.eps


Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Figure 6.21 – Zoom sur la zone où l’on va positionner les pôles dominants enboucle fermée (fichier source).

0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

k

Réponse indicielle en boucle fermée

f_ch_05_13_3.eps

Figure 6.22 – Réponse indicielle en boucle fermée (fichier source).










6.A Critère de Nyquist généralisé ([[1], §7.4.2])

Le critère de Nyquist généralisé a été démontré lors de l’étude de la régulationanalogique (voir [11], §VI.11.3). Cette démonstration peut être reprise quasi tellequelle pour les systèmes discrets.

6.A.1 Théorème de Cauchy ou principe de l’argument ([[11],§6.11.2], [[1], §I.2], [[4], §5.2 p.122])

R e0

zI m

f _ 0 6 _ 0 8 . e p s

C

p ô l e d e F ( z ) z é r o d e F ( z )

Figure 6.23 – Contour C orienté du plan de z. Z = 1 et P = 3 dans cet exemple(fichier source).

Soit (figure 6.23)– C un contour simple du plan de z orienté dans le sens trigonométrique– F (z) une fraction rationnelle en z n’ayant ni pôle, ni zéro sur C.

P et Z représentant respectivement le nombre de pôles et de zéros de F (z) situésà l’intérieur de la surface définie par C, le théorème de Cauchy, ou principe del’argument, indique que

∆ arg F (z)C = 2 · π · (Z − P )

i.e. l’image F (z) du contour C entoure l’origine du plan complexe (Z − P ) fois(figure 6.24 page suivante).








R e0

F ( z )I m

f _ 0 6 _ 0 9 . e p s

F ( z ) C

Figure 6.24 – Image du contour C par la fonction F (z) : la courbe obtenuelorsque z parcourt le contour C, entoure l’origine (Z − P ) fois, selon le principede l’argument. Ici (figure 6.23 page précédente) Z = 1 et P = 3, donc la variationde l’argument est 1− 3 = −2, soit −2 [tour] (fichier source).

6.A.2 Contour de Bromwhich

Pour démontrer le critère de Nyquist généralisé, on commence par construiredans le plan de z un chemin fermé C, orienté dans le sens trigonométrique direct,entourant la zone instable, i.e. tout le plan de z en excluant le disque unité. Ils’agit du contour de Bromwhich (figure 6.25 page suivante).

Afin de pouvoir mettre en application le théorème de Cauchy présenté auparagraphe précédent, on fait en sorte que ce contour évite le point z = 1, aumoyen de deux quarts de cercle infinitésimaux. En effet, les fonctions de transferten boucle ouverte rencontrées dans les applications d’automatique ayant trèssouvent un voire plusieurs pôles en z = 1, i.e. ayant souvent un comportementintégrateur voire même double intégrateur, l’utilisation du théorème de Cauchyne serait pas possible sans faire usage de cet artifice mathématique.

6.A.3 Démonstration du critère de Nyquist généralisé

La démonstration du critère de Nyquist généralisé fait usage du théorème deCauchy en prenant le contour de Bromwhich en guise de contour C et (1+Go(z))








j

1

z

I

I I I I I

I V

C

r a y o n i n f i n i

R e

I m

0

f _ 0 6 _ 0 6 . e p s

Figure 6.25 – Contour C, appelé contour de Bromwhich, entourant la zoneinstable du plan de z (fichier source).

en qualité de fraction rationnelle F (z).Considérons la fraction rationnelle en z dont les numérateurs et dénominateurs

n’ont pas de facteurs communs (les simplifications pôle-zéro ont été faites, i.e. laréalisation est minimale) :

F (z) = 1 +Go(z) = 1 + ko ·no(z)

do(z)=do(z) + ko · no(z)

do(z)

Le numérateur de cette expression n’est autre que le dénominateur de la fonc-tion de transfert en boucle fermée Gf (z) d’un système de régulation auto-matique ayant Go(z) pour fonction de transfert en boucle ouverte. Les zéros deF (z) sont donc les pôles de Gf (z), alors que ses pôles coïncident avec ceux deGo(z) :

– zéros de F (z) = 1 +Go(z) = pôles de Gf (z) ∝ 11+Go(z)

– pôles de F (z) = 1 +Go(z) = pôles de Go(z)La stabilité en boucle fermée est assurée pour autant que tous les pôles de Gf (z),i.e. les zéros de F (z), soient à l’intérieur du disque unité.








Soient alors Z et P le nombre de zéros, respectivement le nombre de pôles deF (z) ne répondant pas à cette condition, i.e. situés en dehors du disque-unité :

– Z = nombre de zéros de F (z) = 1 +Go(z) situés en dehors du disque unité= nombre de pôles de Gf (z) ∝ 1

1+Go(z)situés en dehors du disque unité

– P=nombre de pôles de F (z) = 1 + Go(z) situés en dehors du disque unité= nombre de pôles de Go(z) situés en dehors du disque unité

Pour que le système soit stable en boucle fermée, on sait de la condition fonda-mentale de stabilité des systèmes discrets (§ 6.2.2 page 180) que tous les pôlesdoivent se situer dans le disque unité. Il s’ensuit qu’il faut impérativement queZ = 0.

Considérant le contour de Bromwhich C, l’application du théorème de Cauchydonne lorsque F (z) = 1 +Go(z) n’a ni pôle, ni zéro sur C :

∆ arg 1 +Go (z)C = 2 · π · (Z − P )

Pour que Gf (z) soit stable, il faut que

Z = 0

ce qui implique que si le système est stable en boucle fermée, on doit avoir :

arg 1 +Go (z)C = −2 · π · P

Ce résultat est essentiel. Mais c’est sous une forme légèrement modifiée qu’on vale mettre en évidence. En effet, l’argument du nombre complexe

1 +Go(z)

mesuré par rapport à l’origine étant égal à celui de

Go(z)

mesuré par rapport au point (−1 + j · 0) (figure 6.26 page suivante), le critère deNyquist peut s’énoncer comme suit :

Critère de Nyquist généralisé

Un système de régulation automatique linéaire, causal et stationnaire,dont la fonction de transfert en boucle ouverte Go(z) possède P pôlesinstables, est stable en boucle fermée si la courbe image Go (z)C entoure(−P ) fois le point critique

−1 + j · 0

lorsque z parcourt le contour de Bromwhich C défini sur la figure 6.25page précédente.






R e0

I m

f _ 0 6 _ 1 0 . e p s

- 1 + j 0R e

I mG o ( z )

0

1 + G o ( z )

- 1 + j 0

1 + G o ( z ) C

G o ( z ) C

Figure 6.26 – Mesurer le nombre de tours de la courbe image F (z) = 1 +Go(z)autour de l’origine est identique à mesurer le nombre de tours de la courbe imageF (z) = Go(z) autour du point critique −1 + j · 0 (fichier source).

Bien que ce critère s’applique à tous les types de systèmes dynamiques li-néaires, y compris ceux qui sont instables en boucle ouverte (P 6= 0), il estcependant très rarement utilisé dans le cas général. C’est essentiellement la ver-sion simplifiée de ce critère, présentée ci-après au §6.4.1, qui est d’une grandeutilité pratique. Comme on l’indiquera, cette version simplifiée n’est cependantapplicable que pour des systèmes stables en boucle ouverte (P = 0).

Dès qu’un système est instable en boucle ouverte, la synthèse du régulateurs’effectue en effet de préférence dans le plan complexe (comme par exemple pourla suspension magnétique ou le pendule inversé dans le cadre des laboratoires).

6.A.4 Lieu de Nyquist complet

Les coefficients de F (z) = 1 +Go(z) étant réels, et le degré relatif d = n−métant supposé supérieur à zéro, l’image du contour de Bromwhich, i.e. l’allure dela courbe image Go (z)C se décompose en quatre portions, I, II III et IV ainsiqu’en leurs symétriques par rapport à l’axe réel :








Portion Expression dez sur le contourde Bromwhich

Domaine devariation de z

Image Go (z)C

I

z = ej·ω·h = ej·Ω π ≥ Ω > 0Go (z) = Go

(ej·Ω)

Il s’agit du lieu de Nyquist de Go(z), cal-culé entre Ω = π et Ω = 0, i.e. parcourudans le sens décroissant des ω

II

z = 1 + r · ej·ϑ +π

2≥ ϑ ≥ 0

r → 0

Go (z) = b0·zm+...+bm−1·z+bm(z−1)α·(zn−α+...+a′n−α−1·z+a′n−α)

→b0+...+bm−1+bm

1+...+a′n−α−1+a′n−α

(1+r·ej·ϑ−1)α

→∞ · e−j·α·ϑ · ej·arg

b0+...+bm−1+bm

1+...+a′n−α−1+a′n−α

Si α > 0, l’image du contour évolue sur unarc de cercle de rayon infini, de l’argument

−α · π2

+ arg

b0 + . . .+ bm−1 + bm

1 + . . .+ a′n−α−1 + a′n−α

à

arg

b0 + . . .+ bm−1 + bm

1 + . . .+ a′n−α−1 + a′n−α

III

z = 1 + r 0 < r <∞

Pour r → 0, Go(z) →b0+...+bm−1+bm

1+...+a′n−α−1+a′n−α(1+r−1)α

Pour r →∞, Go (z)→ 0Le tronçon tend vers l’origine du plancomplexe

IV

z = r · ej·ϑ 0 ≤ ϑ ≤ πr →∞

Go (z)→ 1

(r · ej·ϑ)n−m→ 0 · e−j·(n−m)·ϑ

Il s’agit également de l’origine du plancomplexe

Il ressort du tableau ci-dessus que pour appliquer le critère de Nyquist, il estsuffisant de tracer les images des portions I et II du contour de Bromwhich, avecleurs symétriques, en vue de compter le nombre de tours que fait Go(z) autour






R e

I m

0- 1

G o ( z ) C

I I I

I I II V

i m a g e d u q u a r t d e c e r c l e i n f i n i t é s i m a l= a q u a r t ( s ) c e c e r c l e ( s ) d e r a y o n i n f i n i

i m a g e d u c e r c l e u n i t é= l i e u d e N y q u i s t

p o i n t c r i t i q u e

W = 0

W = p

f _ 0 6 _ 0 7 . e p s

Figure 6.27 – Exemple de lieu de Nyquist complet : on y observe l’image dudemi-cercle de rayon 1 (tronçon I, i.e. lieu de Nyquist parcouru en sens inverse),celle du quart de cercle infinitésimal (tronçon II), et l’image du tronçon III ainsique l’image du quart de cercle de rayon ∞ (tronçon IV). Le tracé en traitillé estle symétrique du tracé en trait plein. On note également que Go

(ej·Ω)est réel

pour Ω = ω · h = ωN · h = π (fichier source).

du point critique. Le contour obtenu est l’image recherchée : il porte le nom delieu de Nyquist complet. On voit que lorsque le système est de type intégrateur,le lieu de Nyquist complet est en partie formé d’un ou plusieurs (exactement α)quarts de cercle de rayon infini.

La figure 6.27 montre un lieu de Nyquist complet typique, correspondant parexemple à un système ayant 3 pôles stables, dont un en z = 1 (comportementintégrateur), ce qui explique la présence du quart de cercle de rayon infini. Anoter que le sens de parcourt correspond au sens décroissant des Ω (selon le sensdu tronçon I, figure 6.25 page 213).








−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

ReGo(z)

C

ImG

o(z) C

Lieu de Nyquist complet de Go(z)

−1

<−

−>

f_06_06_2c.eps

Figure 6.28 – Lieu de Nyquist complet de Go (z) = ko · (z−0.5)(z−0.2)·(z−1.1)

(fichier source).

6.A.5 Exemple : système instable sans intégrateur (P = 1,α = 0)

Soit le modèle échantillonné d’un système à régler

H (z) =Y (z)

U (z)=

0.05 · z(z − 0.2) · (z − 1.1)

asservi par un régulateur PD numérique

Gc (z) =U (z)

E (z)= Kp ·

(1 +

(1− z−1)

h· Td)

= kc ·(z − 0.5)

z

La fonction de transfert en boucle ouverte est donc :

Go (z) = Gc (z) ·H (z) = ko ·(z − 0.5)

(z − 0.2) · (z − 1.1)

et possède un pôle instable en z = 1.1. Le nombre de pôles instables en boucleouverte est ainsi P = 1.

Le lieu de Nyquist complet, tracé pour ko = 1.0 (figure 6.28), se réduit à laportion I (soit au tracé du lieu de Nyquist de la réponse harmonique, parcourutoutefois en sens inverse) et à son symétrique par rapport à l’axe réel. En effet,Go(z) étant de type α = 0, la portion II a pour image l’origine du plan de Go(z),tout comme les portions III et IV.








Le décompte du nombre de tours montre que l’on tourne −1 fois autour dupoint −1 + j · 0, soit −P fois, P = 1 étant le nombre de pôles instables en boucleouverte. En conséquence, le système est stable en boucle fermée, ce que l’on peutvérifier en calculant les pôles, i.e. les racines de l’équation caractéristique :

dc (z) = d0 (z) + k0 · n0 (z)

= (z − 0.2) · (z − 1.1) + 1.0 · (z − 0.5) = (z − 0.7) · (z + 0.4)

Les pôles en boucle fermée, situés en p1 = 0.7 et p2 = −0.4, sont bel et bien dansla zone de stabilité du plan de z, i.e. dans le disque unité.

6.A.6 Exemple : système instable avec intégrateur (P = 1,α = 1)

Soit le modèle échantillonné d’un système à régler

H (z) =Y (z)

U (z)=

0.05 · z(z − 0.2) · (z − 1.1)

asservi par un régulateur PI numérique

Gc (z) =U (z)

E (z)=b0 · z + b1

(z − 1)= kc ·

(z − 0.9)

(z − 1)

La fonction de transfert en boucle ouverte est donc :

Go (z) = Gc (z) ·H (z) = ko ·z · (z − 0.9)

(z − 0.2) · (z − 1) · (z − 1.1)

et possède un pôle instable en z = 1.1, ce qui implique que P = 1. Le type deGo(z) est α = 1 puisque l’on dénote un pôle en z = 1, synonyme d’un comporte-ment intégrateur.

Le lieu de Nyquist complet, tracé pour kc = 1.0 (figure 6.29 page suivante),se réduit dans le plan de Go(z) aux images des portions I et II du plan de z ainsiqu’à leurs symétriques par rapport à l’axe réel. La portion I n’est autre que lelieu de Nyquist de la réponse harmonique, tracé en sens inverse (sens décroissantdes Ω). La portion II est un quart de cercle de rayon infini, situé entre

−α · π2

+ arg

b0 + . . .+ bm−1 + bm

1 + . . .+ a′n−α−1 + a′n−α

= −π

2− π = −3 · π

2

et

0 + arg

b0 + . . .+ bm−1 + bm

1 + . . .+ a′n−α−1 + a′n−α

= −π






−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

ReGo(z)

C

ImG

o(z) C


−1

rayon ∞

I

II

III, IV

<−

−>

f_06_05_2c.eps

Figure 6.29 – Lieu de Nyquist complet de Go (z) = kc ·ka · (z−0.9)(z−0.2)·(z−1)·(z−1.1)

pourkc = 1 : on y observe l’image du demi-cercle de rayon 1 (tronçon I, i.e. lieu deNyquist parcouru en sens inverse), celle du quart de cercle infinitésimal (tronçonII), et l’image du tronçon III ainsi que l’image du quart de cercle de rayon ∞(tronçon IV). On voit que le lieu entoure le point critique +1 fois (fichier source).

On observe que l’on tourne +1 fois autour du point −1+j ·0, alors que P = 1.Ce système sera donc instable en boucle fermée.

Afin de stabiliser le système, il faut augmenter le gain de façon à ce que lelieu entoure le point critique −P = −1 fois. La lecture du lieu de la figure 6.29indique de poser kc = 5 par exemple. La zone d’intérêt apparaît dès lors commeindiqué sur la figure 6.30 page ci-contre.








−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

ReGo(z)

C

ImG

o(z) C


−1<−

−>

f_06_05_3c.eps

Figure 6.30 – Lieu de Nyquist complet de Go (z) = kc · ka · (z−0.9)(z−0.2)·(z−1)·(z−1.1)

pour kc = 5 : comparé au lieu de la figure 6.30, le lieu entroure cette fois le pointcritique −1 + j · 0 −P = −1 fois et le système est stable en boucle fermée (voirla réponse indicielle sur la figure 6.31) (fichier source).

Le décompte du nombre de tours montre que l’on tourne maintenant −1 foisautour du point −1 + j · 0. Ce nombre étant égal à P , i.e. le nombre de pôlesinstables en boucle ouverte, le système est stable en boucle fermée (figure 6.31).

0 10 20 30 40 50 600

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6Réponse indicielle en boucle fermée

k

γ(k)

f_06_05_4c.eps

Figure 6.31 – Réponse indicielle en boucle fermée du système asservi, pourkc = 5, correspondant au lieu de Nyquist de la figure 6.30 (fichier source).














HEIG-VD Régulation numérique

Chapitre 7

Stratégies de commandesparticulières et aspects pratiquesdes régulateurs numériques etanalogiques

7.1 Choix des pôles en boucle fermée en fonctionde la période d’échantillonnage h ([[2], §6.6])

Admettons que la réponse indicielle en boucle fermée, régulation de correspon-dance, d’un système asservi par un régulateur numérique (figure 7.1) ait l’alluredonnée à la figure 7.2 page suivante.

Le mode discret dominant de la fonction de transfert correspondante,Gyw(z) =

1s

S 1s-

w ( k ) y ( k )u ( k )

y ( k )

e ( k ) G c ( z ) H ( z )

f _ 0 7 _ 0 8 . e p s

G w ( z )

Figure 7.1 – Système asservi numériquement : la fonction de transfert en bouclefermée, régulation de correspondance, est Gyw(z) = Y (z)

W (z)(fichier source).








0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k, t [s]

w[k

], y[

k], y

(t)

Réponse indicielle en boucle fermée, régulation de correspondance

f_ch_07_01_1.eps

Figure 7.2 – Réponse indicielle en boucle fermée (fichier source).

Y (z)W (z)

est du type sinusoïdal, pondéré par un terme exponentiel

e−δ·

t︷︸︸︷k · h · sin (ω0 ·

t︷︸︸︷k · h)

et correspond aux pôles analogiques (figure 7.3 page ci-contre) :

s1,2 = −δ ± j · ω0

Son échantillonnage nécessite que h permette de définir convenablement (table 7.1page suivante) les signaux

e−δ·t = e−tT

et

sin (ω0 · t)








sI m

R e

Y

0

z = c o n s t a n t e

j w 0

- d

s f 1 , 2

f _ 0 7 _ 7 1 _ 0 3 . e p s

Figure 7.3 – Pôles analogiques correspondants aux pôles numériques ayant pourmode e−δ·k·h · sin (ω0 · k · h) (fichier source).

Mode Réponse impulsionnelle

e−δ·t = e−tT

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k, t [s]

g[k]

, g(t

)

Mode exponentiel (enveloppe de la réponse indicielle en boucle fermée)

f_ch_07_01_2.eps

sin (ω0 · t)0 2 4 6 8 10 12

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k, t [s]

g[k]

, g(t

)

Mode sinusodïal

f_ch_07_01_3.eps

Table 7.1 – Visualisation du nombre approximatif d’échantillons nécessaires pourreprésenter "fidèlement" l’enveloppe de la réponse indicielle e−δ·t ainsi que lapartie sinusoïdale sin (ω0 · t) du mode (fichier source).Chapitre 7, v.1.9 225 MEE \cours_rn.tex

12 décembre 2011










– Pour un mode exponentiel amorti, il semble raisonnable de choisir

Treg

h=

3 · Th

=3

δ · h= Nr ≈ 8 =⇒ δ · h ≤ 3

Nr

≈ 3

8

où l’on rappelle que la durée de réglage Treg à ±5% est donnée par

Treg ≈ 3 · T

et que le facteur d’amortissement δ est lié à la constante de temps T par larelation

δ =1

TCeci revient à exiger que la durée de réglage corresponde à une dizaine(précisément Nr = 8) d’échantillons.

– Pour un mode sinusoïdal, un choix de h tel que

T0

h=

2·πω0

h= Nr ≈ 8 =⇒ ω0 · h ≤

2 · πNr

≈ 2 · π8

=π

4

impliquant que la sinusoïde est décrite par une dizaine de points (8 exacte-ment) par période semble également correct.

On voit que selon les valeurs de δ et ω0, la période d’échantillonnage h a unelimite supérieure donnée par les relations ci-dessus (h ≤

38

δet h ≤

π4

ω0). De ce fait,

les pôles dominants (numériques) du système en boucle fermée, d’expression

pf1,2 = es·h = e(−δ±j·ω0)·h

doivent répondre aux conditions ci-dessous :

|pf1,2| = e−δ·h ≥ e−38 = 0.69

|arg(pf1,2)| = ω0 · h ≤2 · π

8=π

4Dans le but de satisfaire les exigences d’un échantillonnage convenable au sensdes considérations faites ci-dessus, les pôles en boucle fermée doivent donc sesituer dans une zone bien définie du plan de z (figure 7.4 page ci-contre).

Si en plus, on impose des conditions de stabilité absolue et relative (§ 5.7.5page 171), la zone permise devient alors celle indiquée sur la figure 7.5 pageci-contre.

En conséquence, partant d’un comportement dynamique donné par le cahierdes charges du système asservi, au moyen de la durée de réglage Treg ou ses équi-valents (bande passante en boucle fermée ωB−3dB, pulsation de coupure à 0 [dB]en boucle ouverte ωco), on peut en déduire les pôles dominants analogiques sf1,2

correspondants, et, par suite, une valeur de h assurant que leur transformationen les pôles numériques pf1,2 par échantillonnage (relation z = es·h) tombe dansla zone indiquée sur la figure 7.5 page suivante.






−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.69

Zone autorisée pour les pôles en boucle fermée, selon le critère d’échantillonnage

f_ch_07_02_1c.eps

Figure 7.4 – Zone autorisée pour les pôles en boucle fermée, selon le critèred’échantillonnage seul (fichier source).

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Zone autorisée pour les pôles en boucle fermée, selon les critères d’échantillonnage, d’amortissement absolu et relatif (ζ=0.5)

f_ch_07_02_2c.eps

Figure 7.5 – Zone autorisée pour les pôles en boucle fermée, selon les critèresd’échantillonnage, d’amortissement absolu et relatif (ζ = 0.5) (fichier source).










7.1.1 Exemple

Un système de régulation automatique numérique doit offrir une durée deréglage Treg donnée.

Partant de Treg, on peut estimer la constante de temps dominante τw en bouclefermée (Gyw(s) = Y (s)

W (s)≈ 1

1+s·τw ). On a :

τw ≈Treg

3

Le pôle analogique correspondant est en − 1τw. Le pôle numérique dominant devra

donc se situer enpw = e−

hτw = e

− 3·hTreg

Selon les règles établies ci-dessus pour le choix de h, on doit avoir

0.69 < pw < 1

Commeh = − log(pw) · Treg

3

on en déduit0 < h <

1

8· Treg






1s

S 1s-

w ( k ) y ( k )u ( k )

y ( k )

e ( k ) G c ( z ) H ( z )

f _ 0 7 _ 0 6 . e p s

S

v ( k )

-

Figure 7.6 – Schéma fonctionnel du système asservi (fichier source).

7.2 Compensation pôle-zéro

On étudie ici les effets de la technique d’ajustage de régulateurs par compen-sation pôle-zéro. On montre que cette manière de faire peut induire un compor-tement dynamique très différent selon le mode de régulation (correspondance oumaintien).

Les développements effectués ci-dessous sont aussi bien valables en régulationanalogique qu’en régulation numérique.

On considère le système asservi de la figure 7.6. Admettons que certains pôlesde la fonction de transfert H(z) du système à régler soient compensés par deszéros de celle du régulateur Gc(z). On voit que les pôles mentionnés, réunis ci-dessous dans le polynôme Dacomp(z) n’apparaissent dès lors plus dans la fonctionde transfert en boucle ouverte Go(z) si l’on pose Dacomp(z) = Nccomp(z), puisque

Go(z) = Gc(z) ·H(z)

= kc ·(z − zc1) · (z − zc2) · . . .(z − pc1) · (z − pc2) · . . .

· ka ·(z − za1) · (z − za2) · . . .(z − pa1) · (z − pa2) · . . .

= ko ·N ′c(z) ·Nccomp(z)

Dc(z)· Na(z)

D′a(z) ·Dacomp(z)

= ko ·N ′c(z) ·Na(z)

Dc(z) ·D′a(z)

ce qui a une influence très favorable sur le comportement dynamique, la réductionde l’ordre Go(z) ayant pour conséquence la diminution du déphasage, i.e. duretard subi par les des signaux se propageant dans la boucle.

La grandeur réglée Y (z) ayant pour expression (en se basant pour le calculde l’effet des perturbations sur le § 5.A page 175)

Y (z) = Go(z) · E(z) +H(z) · V (z) = Go(z) ·W (z)−Go(z) · Y (z) +H(z) · V (z)








on voit que les pôles compensés, éliminés de Go(z), n’apparaissent pas en ré-gulation de correspondance (v[k] = 0), mais qu’ils sont bel et bien présents enrégulation de maintien, i.e. pour v[k] 6= 0. En fait, les pôles compensés deviennentdes pôles de

Gv(z) =Y (z)

V (z)=

H(z)

1 +Go(z)

ce que l’on montre facilement :

Gv(z) =Y (z)

V (z)=

H(z)︷︸︸︷ka ·

Na(z)

D′a(z) ·Dacomp(z)

1 + ko ·N ′c(z) ·Na(z)

Dc(z) ·D′a(z)︸︷︷︸Go(z)

=ka · Na(z)

D′a(z)·Dacomp (z)·Dc(z) ·D′a(z)

Dc(z) ·D′a(z) + ko ·N ′c(z) ·Na(z)

=1

Dacomp(z)︸︷︷︸pôles compensés !

· ka ·Na(z) ·Dc(z)

Dc(z) ·D′a(z) + ko ·N ′c(z) ·Na(z)

On explique de ce fait que– l’on ne peut compenser des pôles instables (sans quoi toute perturbationdéstabiliserait le système asservi !) ;

– si les pôles compensés sont lents (c’est en principe le cas puisque l’on com-pense habituellement les pôles dominants, i.e. les constantes de temps domi-nantes), le comportement dynamique est plus lent en régulation de maintienqu’en régulation de correspondance (figure 7.8 page ci-contre, correspon-dant au schéma de la figure 7.7 page suivante). Sans compensation, la règleconsiste en effet à dire que le comportement dynamique en boucle fermée(mesurable par exemple au moyen de la durée que met le régulateur pourannuler une erreur, i.e. la durée du régime transitoire) est le même dans lesdeux modes de régulation puisque les deux fonctions de transfert ont lesmêmes pôles ;

– si des pôles compensés sont proches de la zone d’instabilité, on peut avoirun comportement très bien amorti en régulation de correspondance et trèspeu amorti en régulation de maintien (figure 7.9 page 232).






-( )G sa 1 ++

w ( t )v ( t )

x ( t )+z ( t )

y ( t )

( )G sc ( )G sa 2

u ( t )

S y s t è m e à r é g l e r

S S

f _ 0 7 _ 7 2 _ 0 5 . e p s

Figure 7.7 – Asservissement par un régulateur PID compensant les deuxconstantes de temps dominantes (T1 = 1 [s] et T2 = 0.1 [s]) du système à ré-gler : Gc(s) = 500 · (1+s·1.1+s2·0.0909)

s·1.1 , Ga1(s) = 11+s·0.1 et Ga2(s) = 0.1

(1+s·1)·(1+s·0.01)

(fichier source).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t [s]

Réponse indicielle en régulation de correspondance

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

−3

t [s]

Réponse indicielle en régulation de maintien

f_ch_07_03_2c.eps

Figure 7.8 – Réponse indicielle en boucle fermée dans les deux modes de régu-lation (correspondance et maintien) : les durées des régimes transitoires sont trèsdifférentes à cause de la compensation pôle-zéro (fichier source).










0 1 2 3 4 5 6

x 10−3

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

t [s]

Réponse indicielle en régulation de correspondance

0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

t [s]

Réponse indicielle en régulation de maintien

f_comp_pole_zero_3c.eps

Figure 7.9 – Réponse indicielle en boucle fermée dans les deux modes de régu-lation (correspondance et maintien) lorsque des pôles complexes conjugués peuamortis (proches de l’instabilité) ont été compensés. A noter que les échelles detemps sont très différentes entre les deux graphes (fichier source).




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_07/Figures/rgb/f_comp_pole_zero_3.pdf

http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_07/matlab///comp_pole_zero.m



1s

S-

w ( t ) y ( t )

u f f ( t )

y ( t )

e ( t ) G c ( s )

f _ 0 7 _ 0 7 _ 0 6 . e p s

v ( t )

Su c ( t ) G a ( s )

C o m m a n d ea n t i c i p é e

G f f ( s )

Figure 7.10 – Principe des commandes anticipées : la commande délivrée par lerégulateur Gc(s) est complétée par une commande uff (ff = feedforward) tenantcompte de la consigne et des paramètres du système à régler Ga(s) (fichier source).

7.3 Commande anticipée/a priori

7.3.1 Principe

Les commandes anticipées, ou a priori (Vorsteuerung, feedforward), ont pourbut de faciliter le travail du régulateur en formant, sur la base de connaissancesa priori du comportement dynamique du système à régler, une commande uff (t)proche de celle de la valeur idéale que l’on devrait effectivement appliquer poursuivre la consigne sans erreur. Le schéma de commande est donné sur la fi-gure 7.10. Il est facile de montrer que :

Gyw(s) =Y (s)

W (s)=Gff (s) ·Ga(s) +Go(s)

1 +Go(s)

Bien que les développements effectués dans ce paragraphe le soient avec des sys-tèmes analogiques, ils sont applicables tels quels en régulation numérique.

Dans un cas idéal, par ailleurs non réalisable physiquement, il suffirait en faitde construire le schéma de commande de la figure 7.11 page suivante. En posant

Gff (s) =1

Ga(s)

où Ga(s) est un modèle (une estimation) de Ga(s), on devrait avoir

Y (s) =Ga(s)

Ga(s)︸︷︷︸≈1

·W (s) ≈ W (s)|Ga(s)≈Ga(s)





http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_07/Figures/rgb///f_07_07.dsf



w ( t ) y ( t )

u f f ( t )

f _ 0 7 _ 0 7 _ 0 7 . e p s

G a ( s )

G f f ( s )

Figure 7.11 – Cas idéal de la commande anticipée (fichier source).

La structure de la figure 7.11 n’est évidemment pas vraiment utilisable en pra-tique (cela dépend en fait des performances requises) : outre ses problèmes deréalisabilité (stabilité de 1

Ga(s), degré relatif), la sensibilité

– aux perturbations– aux variations paramétriques

est évidente, ce pourquoi la combinaison commandes anticipées+ contre-réactionpar régulateur (figure 7.10 page précédente) offre de loin les meilleures perfor-mances en régulation de correspondance. La commande anticipée ne modifiantpas le gain en boucle ouverte Go(s), elle n’a aucune influence (notamment néga-tive) sur la stabilité. Si elle est bien dimensionnée, elle permet de limiter la tâchedu régulateur à l’annulation des erreurs de poursuite dues aux différences entreGa(s) et son modèle Ga(s) ainsi qu’à la réjection des perturbations. On peut decette manière offrir des performances très élevées en poursuite de consigne (bandepassante élevée) tout en maintenant les performances en régulation de maintiencompatibles avec les contraintes de stabilité et de bruit ([15], chap.1). On a alorsune structure d’asservissement dite à 2 degrés de liberté (2 DOF, 2 degrees offreedom) telles que le régulateur RST l’offre [1] [4].

7.3.2 Exemples

Commande anticipée d’accélération Le schéma d’une régulation cascade(§7.4) de vitesse/couple (figure 7.12 page suivante) montre une commande a prioribasée sur l’inertie J de la charge mécanique entraînée. Connaissant cette dernièreavec une certaine précision (grâce aux travaux de modélisation et d’identification,mais on peut également travailler manuellement par essais de plusieurs valeurssuccessives de J), on ajoute à la commande délivrée par le régulateur de vitessed’une quantité proportionnelle à

J · ωc(t)








M O T E U R + C H A R G E + C A P T E U R

wS S

-

++ y

K m wK TK pu ce i a T e m

v

R E G U L A T E U RP D E V I T E S S E

i a c

A S S E R V I S S E M E N TD E C O U R A N T

G w i ( s )1 / K T ' 1 / ( s J )ST e m c

c o n s i g n e d e c o u p l e

C o m m a n d e a n t i c i p é ed ' i n e r t i e

f _ 0 7 _ 0 7 _ 0 3 . e p s

u f f

wmKJs ~~

×

Figure 7.12 – Régulation cascade de vitesse/courant (couple), avec commandeanticipée basée sur l’inertie de la charge (fichier source).

(la valeur exacte tenant compte de la nécessaire mise à l’échelle de la consignede vitesse par le gain du capteur de vitesse Kmω étant J · ωc(t) · 1

Kmω), couple

que le régulateur aurait, dans un cas idéal, dû lui-même former pour accélérerl’inertie selon la consigne de vitesse. J est donc une estimation de la vraie valeurde l’inertie J . Une des conséquences de ce type de commande est que la consignede vitesse, dont la dérivée doit être évaluée si la commande a priori est implantéetelle que sur la figure, doit être de bonne qualité, i.e. peu bruitée, notamment ence qui concerne le bruit de quantification. L’idéal consiste évidemment à pouvoirgénérer spécifiquement la dérivée de la consigne de vitesse, lorsque celle-ci estreprésentable analytiquement.

Dans le cas de l’exemple, on pourrait imaginer que lorsque le profil de laconsigne de vitesse est une rampe αc ·t, l’on construise directement, connaissant ladérivée analytique, J ·αc· 1

˜Kmω, plutôt que de dériver approximativement ωc(t) avec

un dispositif tout à la fois imparfait(s · J

Kmω→ s

1+s·Ta ·J

Kmω

)et amplificateur de

bruits.








S-

S

T r e s

w

u = u a

-

i a m

T e me m

i aS

u cSi a c

-

u f f = e mC o n s i g n ed e v i t e s s ew = w c

C o m m a n d ea n t i c i p a t r i c ed e F E M

K E K T

K m is T i

K p ( 1 + s T i )

K E

1 / R a1 + s L a / R a

s J t1

G c ( s )

G a ( s )f _ 0 7 _ 0 7 _ 0 4 . e p s

Figure 7.13 – Régulation courant (couple), avec commande anticipée compen-sant approximativement la FEM em(t) (fichier source).

Commande anticipée compensant l’effet de la FEM L’exemple de lafigure 7.13 illustre la technique de la commande anticipée pour compenser laFEM em(t) d’un moteur DC, laquelle est considérée parfois, à tort, comme uneperturbation. Au sens des conventions admises dans le cadre ce cours, l’examende la figure montre que la FEM em(t) n’est pas une perturbation puisque ce signalest largement corrélé avec ua(t).








1s

S-

w f ( t )y ( t )

u f f ( t )

y ( t )

e ( t ) G c ( s )

f _ 0 7 _ 0 7 _ 0 5 . e p s

v ( t )

Su c ( t ) G a ( s )

C o m m a n d ea n t i c i p é e

w ( t )G f c ( s )f i l t r e d ec o n s i g n e

G f f ( s )

Figure 7.14 – Commande anticipée avec filtre de consigne (fichier source).

7.3.3 Filtre de consigne

La commande anticipée se base sur un modèle dynamique inverse du systèmeà régler :

Uff (s) =1

Ga(s)·W (s)

Tous les systèmes à régler ayant un comportement de type passe-bas, 1Ga(s)

estdonc de type passe-haut et ainsi extrêmement sensible aux variations de son si-gnal d’entrée w(t). Ceci se manifeste par une saturation probable de la commandeu(t). D’autre part, même si la construction de 1

Ga(s)était possible, promettant

théoriquement que la grandeur réglée y(t) peut varier en saut, une forte variationde la consigne nécessiterait une commande d’amplitude infinie et dont pratique-ment une saturation de u(t). En conséquence, pour tirer pleinement profit descommandes anticipées, il est nécessaire de ne spécifier que des consignes w(t) quele système peut physiquement poursuivre. Ceci se fait soit en filtrant la consigneavec un bloc atténuant celle-ci au-delà de la bande passante ωB exigée en bouclefermée (compatible avec les capacités de l’actionneur) mais ne garantissant tou-tefois pas un taux de variation maximal de wf (t) supporté par l’installation, soiten utilisant un véritable générateur de consigne garantissant que la commanden’entre pas en limitation. La fonction de transfert du filtre de consigne devrait enprincipe est égale à la fonction de transfert du modèle en boucle fermée souhaitée,i.e. à par exemple :

Gfc(s) =Wf (s)

W (s)=

1

1 + s · τavec

3 · τ = Treg








w ( t ) = w 2

y ( t ) = y 2

S-

G c 1 ( s )G c 2 ( s ) G a 1 ( s )

G m 1 ( s )

G a 2 ( s )

G m 2 ( s )

S-

S

v ( t )

e 2u 2 = w 1

e 1

y 1

u 1 x 1 x 2

R é g u l a t e u r 1R é g u l a t e u r 2

f _ 0 7 _ 7 3 _ 0 1 . e p s

Figure 7.15 – Principe de la régulation cascade (fichier source).

7.4 Régulation cascade

7.4.1 Introduction

Le but de ce paragraphe est de présenter et étudier le principe de la régulationcascade et notamment de le comparer avec la régulation dite parallèle dans lecadre du cas particulier, très répandu en pratique, du positionnement en machine-outil (§ 7.4.6 page 246).

Comme on le verra, les deux principes de régulation sont équivalents parrapport à l’effet des perturbations (ci-après "régulation de maintien"), mais larégulation parallèle offre clairement de meilleures performances en poursuite deconsigne (ci-après "régulation de correspondance") et cela sans qu’aucune sophis-tication ne soit nécessaire.

Les développements effectués ci-dessous sont aussi bien valables en régulationanalogique qu’en régulation numérique.

7.4.2 Principe de la régulation cascade

Le schéma fonctionnel d’un système asservi de structure cascade est donnésur la figure 7.15. La consigne appliquée au système asservi par une commandeextérieure est le signal w(t). La grandeur à régler est y(t), mesurée au moyendu capteur Gm2(s). Des perturbations v(t) interviennent sur le système. La seuletâche de ce système est d’asservir la grandeur réglée y(t) à la consigne w(t) malgrél’influence des perturbations v(t).

Les autres grandeurs intervenant dans ce système sont des grandeurs internesdont la connaissance est sans intérêt direct pour la commande ayant généré laconsigne w(t).








La figure 7.15 page précédente montre en fait une structure industriellementtrès répandue formée ici de deux régulateurs consécutifs ayant pour charge d’as-servir leurs grandeurs réglées respectives y1(t) et y(t) = y2(t) aux consignes w1(t)et w = w2(t).

Le régulateur Gc2(s), sur la base de l’erreur e(t) = e1(t) mesurée, fournitune commande u2(t) interprétée comme consigne w1(t) par un second régulateurGc1(s). Ce dernier la compare à sa grandeur réglée y1(t) en vue de former l’erreure1(t), puis, après traitement applique la commande u(t) = u1(t) au système àrégler.

Bien qu’il y ait ici deux régulateurs, y(t) = y2(t) est la grandeur à réglerprincipale, y1(t) n’étant qu’une grandeur à régler secondaire en principe inconnuedu système ayant généré la consigne (principale) w(t) = w2(t).

Le fait que le régulateur Gc1(s) reçoive sa consigne du régulateur Gc2(s) amèneà penser à une hiérachisation des tâches, par-là même à une décomposition mo-dulaire du problème d’asservissement. On dira donc que le régulateur Gc2(s) esthiéarchiquement supérieur à Gc1(s).

7.4.3 Exemples

Régulation cascade de vitesse et de courant/couple

Un exemple classique de régulation cascade peut être trouvé dans le domainedes entraînements électriques réglés (figure 7.16 page suivante).

Un moteur DC à excitation séparée constante est asservi en vitesse au moyend’un régulateur de vitesse Gcω(s) = Gc2(s) dont la commande correspond à laconsigne de couple (ou de courant) Temc(t) = w1(t) transmise à un régulateurde couple (de courant) Gci(s) = Gc1(s). Pour ajuster théoriquement ou expé-rimentalement les deux régulateurs, on procède séquentiellement en faisant toutd’abord la synthèse du régulateur hiérachiquement inférieur Gci(s) = Gc1(s) pourlequel les exigences en termes de performances dynamiques sont de loin les plusélevées : pour varier la vitesse rapidement, il faut bien sûr que le couple (le cou-rant) s’établisse encore plus rapidement.

L’ajustage du premier régulateur Gc1(s) terminé, celui du second Gc2(s) peutêtre entrepris, la tâche étant relativement facilitée : le système à régler Ga2(s) vupar Gc2(s) a pour fonction de transfert

Ga2(s) =Y (s)

U2(s)= Gwi(s) ·KT ·Gaω(s) ·Gmω(s)

laquelle comprend notamment la fonction de transfert en boucle fermée Gwi(s)du système asservi en couple (courant), i.e. un système contre-réactionné dont lescaractéristiques sont plutôt bien déterminées grâce aux propriétés bien connuesd’insensibilité (robustesse) offertes par tout système de ce genre.






S

REGU

LATE

URDE

COUR

ANT

AMPL

IFICA

TEUR

DE PU

ISSAN

CE

CONS

TANT

EDE

COUP

LE

CAPT

EUR D

ECO

URAN

T

-

e ii a

i am

uu a

K TG a

i1(s)

G ci(s)

G mi(s)

ST res

w-

T em

u 2(t) =

i ac(t)

consi

gne

de co

urant

y grandeur

réglée

Asser

vissem

ent

de co

urant

/ couple

Charg

emé

caniqu

e

Capte

ur de

vitess

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S -w consi

gne

de vi

tesse

eCH

ARGE

ELEC

TRIQ

UE

G ai2(s

)

Asser

vissem

ent

de vi

tesse

Régulateur

de vi

tesse

G cw(s

)

G mw(s

)

G aw(s

)

f_07_73_02.e

ps

G wi(s)

Asser

vissem

ent

de co

urant

/ couple

K TST re

s

w-

T emi ac(

t)

y

S -w

e

Régulateur

de vi

tesse

G cw(s

)

G mw(s

)

G aw(s

)G w

i(s)Fo

nctio

n de

transf

ert de

type a=

0

Figure 7.16 – Régulation cascade de vitesse et de courant (fichier source).








S -

i a

i am

uu a

K TG a

i1(s)

G ci(s)

G mi(s)

ST res

w-

T em

u 2(t) =

i ac(t)

consi

gne

de co

urant

y w

Asser

vissem

ent

de co

urant

/ couple

Charg

emé

caniqu

e

Capte

ur de

vitess

e

S -

w w consigne

de vi

tesse

G ai2(s

)

Asser

vissem

ent

de vi

tesse

Régulateur

de vi

tesse

G cw(s

)

G mw(s

)

G aw(s

)

G wi(s)

Régulateur

de co

urant

Capte

ur de

coura

nt

Charg

emé

caniqu

eG a

x(s)

Capte

ur de

position

G mx(s

)

xS -

w x consigne

de po

sition

Régulateur

de po

sition

G cq(s

)

G ww(s

)

y x grandeur

réglée

Asser

vissem

ent

de po

sition

f_07_73_16.e

psG w

q(s)

Figure 7.17 – Régulation cascade de position/vitesse/courant dans le cas de lamachine-outil (fichier source).Chapitre 7, v.1.9 241 MEE \cours_rn.tex

12 décembre 2011







w x

y x

S-

G c w ( s )G c x ( s ) G a w ( s )

G m w ( s )

G a x ( s )

G m x ( s )

S-

S

p e r t u r b a t i o n s

e x e w u

R é g u l a t e u rd e v i t e s s e

( d a n s c o m m a n d ed ' a x e )

R é g u l a t e u rd e p o s i t i o n

( d a n s c o m m a n d en u m é r i q u e )

w c xw

y w

C o n s i g n e d e v i t e s s et r a n s m i s e p a r l i a i s o n + / - 1 0 [ V ]

o u p a r b u s d e t e r r a i n

C o n s i g n e d e p o s i t i o np o u r 1 a x e

f _ 0 7 _ 7 3 _ 0 8 . e p s

Figure 7.18 – Régulation cascade de position/vitesse dans le cas de la machine-outil (fichier source).

Le principe de cette régulation de vitesse peut être repris sans autres pourconstruire un système de régulation de position tel qu’on en trouve en nombredans le domaine de la machine-outil. En complétant la structure de la figure 7.16page 240 par un capteur de position et un régulateur de position, on obtientun système (figure 7.17 page précédente) où le régulateur de vitesse reçoit uneconsigne provenant désormais du régulateur de position. On a donc de cettefaçon mis trois boucles de régulation en cascade. Cette répartition est logique : lerégulateur de position, constatant une erreur de position décide d’augmenter oudiminuer la vitesse afin de réduire, voire annuler ladite erreur. Le développementde cet exemple est poursuivi au § 7.4.3.

Régulation cascade de position et de vitesse en machine-outil

Un second exemple (figure 7.19 page ci-contre), provenant du domaine dela machine-outil, où pour l’usinage 3D, on a recours à une commande numé-rique (comprenant notamment la fonction de coordination des axes) qui effectueles calculs d’interpolation générant les consignes de position de chaque axe. Lacommande numérique réalise l’asservissement en position, duquel elle déduit lesconsignes de vitesse pour les commandes d’axes et la structure de commande estcelle d’une régulation cascade de position/vitesse. Cette structure est mise en évi-dence sur la figure 7.18, où le régulateur de position de la commande numériquetransmet sous forme analogique ±10 [V] (la solution moderne consiste bien sûr à








w x

y x

S -G c

x(s)

G mx(s

)Régulateur

de vi

tesse+

coura

nt(da

ns comm

ande

d'axe)

Régulateur

de po

sition

(dans

comm

ande

numé

rique)

w c

x

Générateur de consignes(interpolateur, coordinateur d'axes)

f_07_73_07.e

ps

Consi

gne d

e vitesse

transm

ise pa

r liais

on +/

-10 [V

]ou pa

r bus

de terra

in

écrou

visx

écrou

vis

y

écrouvis

z

w y

y y

S -G c

y(s)

G my(s

)

w c

y

w z

y z

S -G c

z(s)

G mz(s)

w c

z

Consi

gne d

e posi

tion

pour

l'axe X

Consi

gne d

e posi

tion

pour

l'axe Y

Consi

gne d

e posi

tion

pour

l'axe Z

axe X

axe Y

axe Z

Figure 7.19 – Régulation cascade de position/vitesse dans le cas de la machine-outil (fichier source).








e q ( t )

y ( t )

K p 1

M

q

0

h ( t )

c a p t e u rd e n i v e a u

S e r v o - v a n n e

SR p

C i R i

y q

Sw ( t )

r é g u l a t e u rd e d é b i t

c a p t e u rd e d é b i t

r é g u l a t e u rd e n i v e a u

w q

f _ 0 7 _ 7 3 _ 0 8 . e p s

c o n s i g n ed e n i v e a u

m e s u r ed e n i v e a u

m e s u r ed e d é b i t

c o n s i g n ed e d é b i t

Figure 7.20 – Régulation cascade de niveau d’eau et de débit (fichier source).

utiliser un bus de terrain, si les performances technico-économiques l’exigent/lepermettent) une consigne de vitesse à la commande chargée d’asservir l’axe envitesse.

Régulation cascade de niveau et de débit

Un autre exemple (figure 7.20) peut être trouvé dans le cas d’un systèmehydro-électrique où le niveau de remplissage d’un bassin de compensation estcontrôlé au moyen d’un régulateur de niveau. Si le niveau est trop élevé, le ré-gulateur transmet une consigne de débit à un régulateur de débit, lequel ajustel’ouverture de la vanne en conséquence.

7.4.4 Avantages de la structure cascade

A la lumière des exemples précédents, plusieurs avantages de la régulationcascade apparaissent clairement :

– l’ajustage des régulateurs peut être fait individuellement, en commençantpar le régulateur hiérarchiquement le plus inférieur, lequel est par ailleurssoumis aux contraintes de comportement dynamique les plus élevées ;

– le système à régler vu par le régulateur est de mieux en mieux déterminépar le fait qu’il est composé en bonne partie d’un système déjà asservipar un régulateur hiérarchiquement inférieur. L’effet de non-linéarités oude variations paramétriques est de cette façon en largement compensé par








i ai a c

A s s e r v i s s e m e n td e c o u r a n t

C h a r g em é c a n i q u e

C a p t e u r d ev i t e s s e

R é g u l a t e u rd e v i t e s s e S

-c o n s i g n ed e v i t e s s e

m e s u r ed e v i t e s s e

v i t e s s ei c l i m

L i m i t a t i o n d el a c o n s i g n ed e c o u r a n t

f _ 0 7 _ 7 3 _ 1 0 . e p s

v

u+ u m a x

- u m a x

Figure 7.21 – La structure cascade permet par exemple de limiter indirectementle courant dans un moteur électrique par action sur la consigne de celui-ci. Unpoint de détail à relever est qu’il faut alors être attentif, lors de l’ajustage durégulateur de courant, au problème de dépassement de la consigne, ayant pourconséquence que le courant réel peut dépasser temporairement celle-ci en régimetransitoire (figure 7.22 page suivante) (fichier source).

les régulateurs inférieurs. Le système à régler vu par le régulateur est desurcroît de type α = 0, i.e. sans intégrateur ;

– la limitation de grandeurs internes est facilitée puisqu’elle peut s’opérer surla consigne correspondante (exemple : limitation de courant, figure 7.21) ;

– le problème d’asservissement est décomposé de manière logique, i.e. modu-laire ;

– la technique de réalisation des différents régulateurs peut être adaptée enfonction des contraintes dynamiques. Le régulateur le plus inférieur devrapeut-être être réalisé analogiquement avec des composants électroniquesrapides alors que le régulateur supérieur pourra être réalisé numériquementpar logiciel avec une unité de calcul de moyenne performance.

Tous ces avantages expliquent pourquoi ce type de structure est très répanduen pratique.

7.4.5 Inconvénients de la structure cascade

Les développements des paragraphes 7.4.6 page suivante et 7.4.10 page 256montreront qu’à performances identiques en régulation de maintien, la structurecascade est moins performante en régulation de correspondance que la structuredite parallèle (figure 7.24 page 248).

7.4.6 Comparaison des régulations cascade et parallèle dansun cas particulier (positionnement en machine-outil)

Comme indiqué précédemment au § 7.4.3 page 242, une structure couram-ment répandue en machine-outil, pour des applications de positionnement, est








t [ s ]

i a m ( t )

0

i a c 1 ( t )

D é p a s s e m e n t e n t r a n s i t o i r e= d é p a s s e m e n t d e l a l i m i t a t i o n d e l a c o n s i g n e

i a m m a x

i a c 2 ( t )

i a c 3 ( t )

Figure 7.22 – Dépassement de la consigne, ayant pour conséquence que le cou-rant réel peut dépasser temporairement celle-ci en régime transitoire (fichier source).

celle donnée sur la figure 7.23 page ci-contre. Le régulateur de position, intégrépar exemple dans une commande numérique (CNC), est de type P (gain Kpθ)et fournit (souvent sous une forme analogique ±10 [V]) une commande corres-pondant à une consigne de vitesse pour un régulateur de type PI situé dans unecommande d’axe. Admettons que ses gains soient Kpω et Tiω.

Le calcul de la commande u(t) délivrée par ce dernier régulateur nous ren-seigne sur les différentes contributions :

ucascade(t) = Kpω ·(eω(t) +

1

Tiω·∫ t

−∞eω(τ) · dτ

)

= Kpω ·

eω(t)︷︸︸︷Kpθ · eθ(t)− yω(t) +

1

Tiω·∫ t

−∞(

eω(τ)︷︸︸︷Kpθ · eθ(τ)− yω(τ)) · dτ

= Kpω ·

Kpθ · eθ(t)−θc(t)−eθ(t)︷︸︸︷yω(t) +

1

Tiω·∫ t

−∞(Kpθ · eθ(τ) · dτ)− 1

Tiω·θc(t)−eθ(t)︷︸︸︷θ(t)

=

(Kpω ·Kpθ +

Kpω

Tiω

)· eθ(t)−

Kpω

Tiω· θc(t)

+Kpω ·Kpθ

Tiω·∫ t

−∞eθ(τ) · dτ +Kpω · eθ(t)−Kpω · θc(t)

Pour la commande du régulateur à structure parallèle (figure 7.24), on a sim-








w q = q c

y q

S- G c q ( s )

K p q G a w ( s )

G m w ( s )

G a q ( s )

G m q ( s )

S-

S


e q e w u

R é g u l a t e u rd e v i t e s s ed e t y p e P I

( d a n s c o m m a n d ed ' a x e )

R é g u l a t e u rd e p o s i t i o nd e t y p e P

( d a n s c o m m a n d en u m é r i q u e )

w w = w c qw

y w

C o n s i g n e d e v i t e s s et r a n s m i s e p a r l i a i s o n + / - 1 0 [ V ]

o u p a r b u s d e t e r r a i n

C o n s i g n e d e p o s i t i o np o u r 1 a x e

f _ 0 7 _ 1 4 . e p s

G c w ( s )w

ww

i

ip Ts

TsK××+× 1

Figure 7.23 – Régulation cascade de position vitesse, avec un régulateur P deposition et PI de vitesse (fichier source).

qiTs ×1

qdTs ×

qpKS

1

e q ( t ) u p a r a l l è l e ( t )+

++

f _ 0 7 _ 7 3 _ 1 3 . e p s

Figure 7.24 – Régulateur PID de position, structure parallèle (fichier source).










plement :

uparallèle(t) = Kpθparallèle ·(eθ(t) +

1

Tiθ·∫ t

−∞eθ(τ) · dτ + Tdθ · eθ(t)

)Comparée à ucascade(t), on observe que la commande uparallèle(t) offre également– un gain Kpθparallèle sur l’erreur de position eθ(t), tel que

Kpθparallèle = Kpω ·Kpθ +Kpω

Tiω

– un gainKpθparallèle

Tiθsur l’intégrale

∫ t−∞ eθ(τ) · dτ de l’erreur de position, tel

queKpω ·Kpθ

Tiω=Kpθparallèle

Tiθ– un gain Kpθparallèle · Tdθ sur la dérivée eθ(t) de l’erreur de position, tel que

Kpω = Kpθparallèle · TdθEn notant que

uparallèle(t) = ucascade(t) +Kpω

Tiω· θc(t) +Kpω · θc(t)

on voit que uparallèle(t) offre en plus les contributions

+Kpω

Tiω· θc(t)

+Kpω · θc(t)qui peuvent être vues commes des commandes anticipées, i.e. a priori (§7.3),basées respectivement sur les consignes θc(t) de position et de vitesse ωc(t) = θc(t)(figure 7.25 page suivante).

Par rapport aux seules contributions sur le signal d’erreur de position eθ(t),son intégrale

∫ t−∞ eθ(τ) · dτ et sa dérivée eθ(t), l’équivalence entre les deux régu-

lateurs est obtenue si l’ajustage est effectué comme suit :

Kpθparallèle = Kpω ·(Kpθ +

1

Tiω

)(7.1)

1

Tiθ=

Kpω ·KpθTiω

Kpθparallèle

(7.2)

Tdθ =Kpω

Kpθparallèle

(7.3)

Avec cet ajustage, les gains contre-réaction sont identiques, ce qui signifie ici queles performances en régulation de maintien seront identiques (puisque w(t) = 0dans ce mode de régulation). En revanche, grâce aux commandes anticipées,la précision et la rapidité pourront différentes en régulation de correspondance,comme va le montrer l’exemple du paragraphe 7.4.6 page suivante.






w q = q c

y q

S- G c q ( s )

K p q c a s c a d e G a w ( s )

G m w ( s )

G a q ( s )

G m q ( s )

S-

S


e q e w uw c qw

y w

f _ 0 7 _ 1 8 . e p s

G c w ( s )w

ww

i

ip Ts

TsK××+× 1

w

w

i

p

TK

sK p ×w

a p p o r t d e l a s t r u c t u r ep a r a l l è l e

Figure 7.25 – Mise en évidence des commandes anticipées +KpωTiω· θc(t) et

+Kpω · θc(t) apportées par la structure parallèle par rapport à la structure cascade(fichier source).

Exemple

On considère une application pour laquelle les fonctions de transfert (selonfigure 7.23 page 247) ont pour expressions :

Gaω(s) =1

(1 + s · 0.1) · (1 + s · 0.01)

Gmω(s) = 1

Gaθ(s) =1

sGmθ(s) = 1

La synthèse par la méthode de Bode des régulateurs PI de vitesse et P de positionfournit :

Gcω(s) = Kpω ·1 + s · Tiωs · Tiω

= 1 · 1 + s · 10

s · 10

Gcθ(s) = Kpθ = 1

Le calcul des paramètres du régulateur PID à structure parallèle, selon les








0 50 100 150 200 250 300−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1Erreurs de position en cas de poursuite d’une consigne sinusoïdale de fréquence 0.01 [Hz]

e(t)

t [s]

cascadeparallèle

f_cas_par_10c.eps

Figure 7.26 – Erreurs de position lors de la poursuite d’une consigne de positionsinusoïdale de fréquence 0.01 [Hz] (fichier source).

formules 7.1 ci-dessus, donne :

Kpθparallèle = 1 ·(

1 +1

10

)= 1.1

1

Tiθ=

1·110

1.1= 0.0909 [s−1]

Tdθ =1

1.1= 0.9091 [s]

Pour juger des performances, appliquons aux deux régulateurs une consigne deposition sinusoïdale de fréquence 0.01 [Hz] (figure 7.26 page ci-contre). Il est clairque la structure parallèle offre de bien meilleures performances dynamiques.

L’examen des diagrammes de Bode (pour le gain seul) de la fonction de trans-fert Gew(s) = E(s)

W (s), traduisant l’effet de la consigne de position sur l’erreur,

montre (figure 7.27 page suivante) de manière quantifiée l’avantage de la struc-ture parallèle par rapport à la structure cascade.

7.4.7 Calcul des fonctions de transfert en boucle ferméedans les deux modes de régulation (correspondanceet maintien)

Partant du schéma fonctionnel de la figure 7.15 page 238, on voit que le ré-gulateur Gc1(s) reçoit sa consigne du régulateur Gc2(s) ; il voit un système à




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_07/Figures/rgb/f_cas_par_10.pdf

http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_07/matlab///cas_par.m



10−3

10−2

10−1

100

101

102

103

−180

−160

−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

ω [rad/s]

A(ω

)

cascadeparallèle

f_cas_par_9c.eps

Figure 7.27 – Réponses harmoniques (gain seul) des fonctions de transfertGew(s) = E(s)

W (s)pour les structures cascade et parallèle (fichier source).

régler ayant pour fonction de transfert Ga1(s) ·Gm1(s) et c’est sur cette base qu’ilest ajusté. Le schéma fonctionnel de la boucle interne peut alors être réduit (fi-gure 7.28). Le schéma réduit étant intégré dans le schéma de base de la figure 7.15page 238, on obtient le schéma fonctionnel de la figure 7.29 page suivante. On yobserve que le régulateur Gc2(s) voit un système à régler Gyw1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s)comprenant notamment la fonction de transfert en boucle fermée Gyw1(s) dusystème asservi par le régulateur Gc1(s).

Du schéma fonctionnel de la figure 7.29 page ci-contre, on peut obtenir l’ex-pression analytique de la grandeur réglée y(t) dans le domaine de Laplace :

Y (s) =

Gm2(s) ·Ga2(s) ·

Gv1(s)︷︸︸︷Ga1(s)

1 +Gc1(s) ·Ga1(s) ·Gm1(s)·V (s)

+Gm2(s) ·Ga2(s) ·

Gyw1(s)︷︸︸︷Gc1(s) ·Ga1(s)

1 +Gc1(s) ·Ga1(s) ·Gm1(s)·Gc2(s) ·

E(s)︷︸︸︷(W (s)− Y (s))




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_07/Figures/rgb/f_cas_par_9.pdf

http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_07/matlab///cas_par.m



S-

S

v ( t )

u 2 = w 1e 1 u 1 x 1G c 1 ( s ) G a 1 ( s )

G m 1 ( s )

S-

S

y 1

S

v ( t )

G w 1 ( s )G v 1 ( s )

Su 2 = w 1 x 1

f _ 0 7 _ 2 1 . e p s

Figure 7.28 – Boucle interne et son schéma équivalent (fichier source).

w ( t ) = w 2

y ( t ) = y 2

S-

G c 2 ( s ) G a 2 ( s )

G m 2 ( s )

e 2u 2 = w 1

x 2

S

v ( t )

G w 1 ( s )G v 1 ( s )

Sx 1

f _ 0 7 _ 7 3 _ 0 5 . e p s

Figure 7.29 – Réduction du schéma fonctionnel global (fichier source).

w ( t ) y ( t )S

v ( t )

G w 2 ( s )G v 2 ( s )

Sf _ 0 7 _ 7 3 _ 0 6 . e p s

Figure 7.30 – Equivalence du schéma fonctionnel global réduit (fichier source).












Y (s) ·(

1 +Gc2(s) ·Gc1(s) ·Ga1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s)

1 +Gc1(s) ·Ga1(s) ·Gm1(s)

)=

Ga1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s)

1 +Gc1(s) ·Ga1(s) ·Gm1(s)· V (s) +

Gc2(s) ·Gc1(s) ·Ga1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s)

1 +Gc1(s) ·Ga1(s) ·Gm1(s)·W (s)

Y (s) =

Gyw2(s)︷︸︸︷Gc2(s) ·Gc1(s) ·Ga1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s)

1 +Gc2(s) ·Gc1(s) ·Ga1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s) +Gc1(s) ·Ga1(s) ·Gm1(s)·W (s)

+

Gv2(s)︷︸︸︷Ga1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s)

1 +Gc2(s) ·Gc1(s) ·Ga1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s) +Gc1(s) ·Ga1(s) ·Gm1(s)·V (s)

La fonction de transfert en régulation de correspondance Gyw(s) est donc donnéepar :

Gyw(s)|cascade =Y (s)

W (s)= Gyw2(s)

=Gc2(s) ·Gc1(s) ·Ga1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s)

1 +Gc2(s) ·Gc1(s) ·Ga1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s) +Gc1(s) ·Ga1(s) ·Gm1(s)

La fonction de transfert en régulation de maintien Gyv(s) est quant à elledonnée par :

Gyv(s)|cascade =Y (s)

V (s)= Gv2(s)

=Gm2(s) ·Ga1(s) ·Ga2(s)

1 +Gc2(s) ·Gc1(s) ·Ga1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s) +Gc1(s) ·Ga1(s) ·Gm1(s)

7.4.8 Régulation parallèle

Dans le cas de la régulation parallèle, un seul régulateur est mis en oeuvre surle système à régler Ga1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s) (figure 7.31 page suivante). Le calculdes fonctions de transfert en régulation de correspondance et de maintien est iciimmédiat ; on a :

Gyw(s)|parallèle =Y (s)

W (s)=

Gc(s) ·Ga1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s)

1 +Gc(s) ·Ga1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s)

La fonction de transfert en régulation de maintien Gv(s) est quant à elledonnée par :

Gyv(s)|parallèle =Y (s)

V (s)=

Ga2(s) ·Gm2(s)

1 +Gc(s) ·Ga1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s)






w ( t )

y ( t )

S-

G c ( s ) G a 1 ( s ) G a 2 ( s )

G m 2 ( s )

e u x

f _ 0 7 _ 2 0 . e p s

S

v ( t )

Figure 7.31 – Structure de régulation parallèle (fichier source).

7.4.9 Comparaison des structures parallèle et cascade enrégulation de maintien

La question qui se pose est de savoir si l’une des deux structures est meilleureque l’autre en régulation de maintien. On montre ci-dessous que ces deux struc-tures sont rigoureusement équivalentes en ce qui concerne la régulation de main-tien. Partant de la fonction de transfert Gv(s) de la structure parallèle, on voitqu’en choisissant le régulateur Gc(s) tel que

Gc(s) = Gc2(s) ·Gc1(s) +Gc1(s) ·Gm1(s)

Ga2(s) ·Gm2(s)








i.e. égal à une combinaison des fonctions de transfert des régulateurs Gc1(s) etGc2(s) de la structure cascade, on a :

Gyv(s)|parallèle =Y (s)

V (s)

=Ga2(s) ·Gm2(s)

1 +Gc(s) ·Ga1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s)

=Ga2(s) ·Gm2(s)

1 + (Gc2(s) ·Gc1(s) +Gc1(s) ·Gm1(s)

Ga2(s) ·Gm2(s))︸︷︷︸

Gc(s)

·Ga1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s)

=Ga2(s) ·Gm2(s)

1 + (Gc2(s) ·Gc1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s) +Gc1(s) ·Gm1(s)) ·Ga1(s)

=Ga2(s) ·Gm2(s)

1 +Gc2(s) ·Gc1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s) ·Ga1(s) +Gc1(s) ·Gm1(s) ·Ga1(s))

= Gyv(s)|cascade

ce qui signifie que le comportement en régulation de maintien de la structureparallèle peut être rendu identique à celui de la structure cascade. On prouvedonc ainsi que la structure parallèle peut être aussi bonne que la structure cascadedans ce mode de régulation.

7.4.10 Comparaison des structures parallèle et cascade enrégulation de correspondance

Partant du principe que les deux systèmes offrent les mêmes performances enrégulation de maintien, i.e. que l’on a


Ga2(s) ·Gm2(s)






le calcul de la fonction de transfert en régulation de correspondance pour lastructure parallèle donne :

Gyw(s)|parallèle =Y (s)

W (s)=

Gc(s) ·Ga1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s)

1 +Gc(s) ·Ga1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s)

=(Gc2(s) ·Gc1(s) + Gc1(s)·Gm1(s)

Ga2(s)·Gm2(s)) ·Ga1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s)

1 + (Gc2(s) ·Gc1(s) + Gc1(s)·Gm1(s)Ga2(s)·Gm2(s)

) ·Ga1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s)

=(Gc2(s) ·Gc1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s) +Gc1(s) ·Gm1(s)) ·Ga1(s)

1 + (Gc2(s) ·Gc1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s) +Gc1(s) ·Gm1(s)) ·Ga1(s)

=Gc2(s) ·Gc1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s) ·Ga1(s) +Gc1(s) ·Gm1(s) ·Ga1(s)

1 +Gc2(s) ·Gc1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s) ·Ga1(s) +Gc1(s) ·Gm1(s) ·Ga1(s)

=

Gyw(s)|cascade︷︸︸︷Gc2(s) ·Gc1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s) ·Ga1(s)


+Gc1(s) ·Gm1(s) ·Ga1(s)


= Gyw(s)|cascade

+Gc1(s) ·Gm1(s) ·Ga1(s)


On voit donc que les performances en régulation de correspondance peuvent êtremeilleures en régulation parallèle qu’en régulation cascade. En effet, avec


Ga2(s) ·Gm2(s)

on aura :– les mêmes performances en régulation de maintien ;– de meilleures performances en régulation de correspondance avec la struc-

ture parallèle grâce au terme supplémentaire

Gc1(s) ·Gm1(s) ·Ga1(s)


que l’on ne retrouve pas dans la fonction de transfert de la structure cascade.Ce dernier terme permet de rendre le numérateur

Gc2(s) ·Gc1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s) ·Ga1(s) +Gc1(s) ·Gm1(s) ·Ga1(s)

de la fonction de transfert Gyw(s)|parallèle plus proche encore du dénomina-teur







satisfaisant ainsi d’autant mieux l’objectif

Gyw(s) =Y (s)

W (s)≈ 1






S

S

G 1 1 ( s )

G 1 2 ( s )

G 2 2 ( s )

S Y S T E M E A R E G L E R

y 1 ( t )

y 2 ( t )

G 2 1 ( s )

f _ 0 7 _ 7 4 _ 0 1 . e p s

u 1 ( t )

u 2 ( t )

Figure 7.32 – Système à 2 entrées/sorties couplées (fichier source).

7.5 Découplage de systèmes ([3])

7.5.1 Introduction

Soit le schéma fonctionnel du système à régler de la figure 7.32. Il s’agit d’unsystème à 2 entrées (les commandes u1(t) et u2(t)) et 2 sorties (les grandeursréglées y1(t) et y2(t)). On remarque que chacune des commandes influence les 2signaux de sorties, de telle manière que ceux-ci s’écrivent :

Y1(s) = G11(s) · U1(s) +G21(s) · U2(s)

Y2(s) = G22(s) · U2(s) +G12(s) · U1(s)

De tels systèmes sont fréquents dans la pratique. Citons par exemple :– des installations de régulations de températures, où une enceinte réglée à

une certaine température T1 influence une autre asservie à une températureT2 6= T1.

– la caisse de tête d’une installation de production de papier comporte uncouplage pression/débit (voir laboratoire de régulation numérique, "décou-plage d’une caisse de tête") ;

– les modèles d’hélicoptères du laboratoire d’automatique de l’eivd ont uncouplage très net entre le rotor principal et celui d’anti-couple ;

– une machine synchrone auto-commutée, i.e. un moteur sans balais à aimantpermanent, possède un couplage entre les courants des axes d et q lorsqu’elleest modélisée dans le référentiel biphasé solidaire du rotor (figure 7.33) [9].








1

1R

sLR

s

s

s+ ×

u s q ( t )w ( t )

S

1

1R

sLR

s

s

s+ ×

S

L s

L s

i s d ( t )

i s q ( t )

u s d ( t )

--

f _ 0 7 _ 7 4 _ 0 5 . e p s

pw s ( t )

K E3

c o u p l a g ee n t r e a x e s

Figure 7.33 – Couplage entre les axes d et q d’une machine synchrone auto-commutée vue dans le référentiel d-q solidaire du rotor (fichier source).








S

S

G 1 1 ( s )

G 1 2 ( s )

G 2 2 ( s )

v 1 ( t )S

S

H 1 ( s )

D E C O U P L A G E S Y S T E M E A R E G L E R

v 2 ( t )

u 1 ( t )

u 2 ( t )

y 1 ( t )

y 2 ( t )

H 2 ( s )

G 2 1 ( s )

f _ 0 7 _ 7 4 _ 0 2 . e p s

-

-

Figure 7.34 – Système à 2 entrées/sorties couplées avec découpleurs (fichier source).

7.5.2 Découplage

On peut remédier à l’inconvénient du couplage en connectant en amont dusystème à régler un réseau de découplage (figure 7.34) composé des fonctions detransfert H1(s) et H2(s), chargé de modifier les commandes u1(t) et u2(t) en leurretranchant par anticipation l’effet des couplages G21(s) · U2(s) et G12(s) · U1(s).On a :

Y1(s) = G11(s) · V1(s) +G21(s) · V2(s) = [U1(s)−H2(s) · V2(s)] ·G11(s) +G21(s) · V2(s)

Y2(s) = G22(s) · V2(s) +G12(s) · V1(s) = [U2(s)−H1(s) · V1(s)] ·G22(s) +G12(s) · V1(s)

Le couplage est éliminé si

Y1(s) = G11(s) · U1(s)

Y2(s) = G22(s) · U2(s)

ce qui est effectif lorsque

−H2(s) · V2(s) ·G11(s) +G21(s) · V2(s) = 0

−H1(s) · V1(s) ·G22(s) +G12(s) · V1(s) = 0

On en déduit que

H1(s) =G12(s)

G22(s)

H2(s) =G21(s)

G11(s)

Le schéma fonctionnel de la figure 7.34 montre l’emplacement et la fonction desdécoupleurs.








S

S

S

S

D E C O U P L A G E S Y S T E M E A R E G L E R

S

S

-

-

R E G U L A T E U R S

w 1 ( t ) v 1 ( t )

v 2 ( t )

y 1 ( t )

y 2 ( t )

u 1 ( t )

u 2 ( t )

G 1 1 ( s )

G 1 2 ( s )

G 2 2 ( s )

H 1 ( s )

H 2 ( s )

G 2 1 ( s )

G c 1 ( s )

G c 2 ( s )w 2 ( t )

f _ 0 7 _ 7 4 _ 0 3 . e p s

-

-

Figure 7.35 – Système à 2 entrées/sorties couplées avec découpleurs et régula-teurs (fichier source).

Les relations fournissant y1(t) et y2(t) deviennent ainsi :

Y1(s) = G11(s) ·

V1(s)︷︸︸︷(U1(s)− G21(s)

G11(s)· V2(s)

)+G21(s) · V2(s) = G11(s) · U1(s)

Y2(s) = G22(s) ·(U2(s)− G12(s)

G22(s)· V1(s)

)︸︷︷︸

V2(s)

+G12(s) · V1(s) = G22(s) · U2(s)

Le couplage est effectivement devenu inopérant.

7.5.3 Schéma équivalent du système découplé

En termes de régulation automatique, le schéma fonctionnel de l’asservis-sement des grandeurs y1(t) et y2(t) aux consignes w1(t) et w2(t) sera celui dela figure 7.35. L’ajustage des régulateurs s’effectue alors simplement en consi-dérant qu’ils voient uniquement les fonctions de transfert G11(s) et G22(s). Leschéma équivalent du système asservi est donné sur la figure 7.36 page ci-contre.L’ajustage des régulateurs Gc1(s) et Gc2(s) peut donc s’effectuer sur la seule basedes fonctions de transfert directes G11(s) et G22(s) respectivement.








S Y S T E M E A R E G L E R

S

S

-

-

R E G U L A T E U R S

w 1 ( t ) y 1 ( t )

y 2 ( t )

u 1 ( t )

u 2 ( t )

G 1 1 ( s )

G 2 2 ( s )

G c 1 ( s )

G c 2 ( s )w 2 ( t )

f _ 0 7 _ 7 4 _ 0 4 . e p s

Figure 7.36 – Système équivalent à un système à 2 entrées/sorties couplées avecdécoupleurs et régulateurs : le découplage est théoriquement parfait ! (fichier source)








v+ u m a x

- u m a x

L I M I T A T I O N

f _ 0 7 _ 7 5 _ 1 1 . e p s

1sS 1

s+-

w ( t ) y ( t )u ( t )

y ( t )

e ( t ) G a ( s )v ( t )

K pSdTs ×

iTs ×1

R é g u l a t e u r P I D

u i ( t )

Figure 7.37 – Régulateur comportant une action intégrale et suivi d’une limita-tion (fichier source).

7.6 Anti-wind-up ([1], [4])

7.6.1 Présentation du problème : wind-up de l’intégrateur

On considère l’installation de la figure 7.37, où un régulateur PID est utilisépour asservir un système à régler. La commande u(t) délivrée par le régulateurest limitée, dans le but de protéger le système à régler.

Dans le cas où l’erreur e(t) est de même signe pendant une longue durée,par exemple lors de l’application d’un saut de consigne, la sortie ui(t) de l’inté-grateur peut atteindre un niveau élevé prolongeant l’état de saturation (car lecontenu d’un intégrateur est par nature lent à modifier, par exemple à vider)de la commande v(t) (figure 7.38 page ci-contre). Il y alors risque de wind-up(emballement), car

– l’erreur ne décroît qu’à un rythme modéré, dicté par la valeur maximale dela commande, i.e. umax ;

– de ce fait, le niveau de l’intégrateur continue de croître, et peut atteindreune valeur bien supérieure à la valeur finale

v∞ = limt→+∞

v(t) =limt→+∞ y(t)

limω→0Ga(j · ω)

de la commande que le régulateur finira par appliquer au système à réglerpour le maintenir à la valeur de consigne (v∞ = 0 dans le cas de la figure 7.38page suivante car le système à régler est de type α = 0).

Pour que le contenu de l’intégrateur diminue afin que la commande atteigne lavaleur finale v∞, il est nécessaire que l’erreur change de signe, ce qui est synonymed’un dépassement souvent considérable de la consigne (figures 7.39 page ci-contreet 7.40 page 266),








0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−40

−20

0

20

40

60

80

u(t)

u(t)

v(t)

u(t) (sans limitation)

u(t) (avec limitation)v(t) (limitation de u(t))u(t) sans limitation

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−10

0

10

20

30

40

50

60

t [s]

Kpu i(t

)

avec limitationsans limitation

f_wind_up_ini_4.eps

Figure 7.38 – Wind-up de l’intégrateur en cas de limitation prolongée de lagrandeur de commande : le contenu de l’intégrateur continue d’augmenter, pro-longeant ainsi l’état de saturation (fichier source).

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

t [s]

w(t

), y

(t)

sans limitation

avec limitation

f_wind_up_ini_3.eps

Figure 7.39 – Effet sur la grandeur réglée du wind-up de l’intégrateur en cas delimitation prolongée de la grandeur de commande (fichier source).




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_07/Figures/rgb/f_wind_up_ini_4.pdf

http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_07/matlab///wind_up_ini.m





0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−1

−0.5

0

0.5

1

e(t)

Erreur et intégrale de l’erreur avec limitation


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−5

0

5

10

15

20

t [s]

∫ −∞

te(

τ)dτ


f_wind_up_ini_5.eps

Figure 7.40 – L’erreur doit changer de signe pour que l’intégrateur voie sonniveau baisser, ce qui implique un dépassement de la consigne (fichier source).

7.6.2 Dispositif anti-wind-up

Le wind-up de l’intégrateur peut être considérablement diminué en injectantdans celui-ci un signal tendant à faire correspondre la commande u(t) et sa valeurlimitée v(t) : ce dispositif est décrit sur la figure 7.41. Comme on peut l’observer,l’effet du dispositif est inexistant lorsqu’il n’y a pas de limitation, i.e. lorsquev(t) = u(t) ≤ ±umax. En présence de limitation, la différence v(t) − u(t) estformée, puis amplifiée par le facteur 1

Tawavant d’être ajoutée au signal intégré. Il

s’agit d’une sorte de système de régulation automatique (figure 7.42) : la consigne

v+ u m a x

- u m a x

L I M I T A T I O N

f _ 0 7 _ 7 5 _ 1 2 . e p s

1sS 1

s+-

w ( t ) y ( t )u ( t )

y ( t )

e ( t ) G a ( s )K pSdTs ×

s1

S

R é g u l a t e u r P I D a v e c a n t i - w i n d - u pS

-

a wT1

v ( t )

iT1 u i ( t )

Figure 7.41 – Dispositif anti-wind-up (fichier source).










1s u ( t )K p

a wTs ×1

S-

u i ( t )v ( t )

f _ 0 7 _ 7 5 _ 1 3 . e p s

u ( t )

Figure 7.42 – Le dispositif anti-wind-up fonctionne comme un système asservi(fichier source).

étant v(t), on s’arrange pour que la grandeur réglée u(t) lui corresponde en agis-sant sur l’intégrateur (par exemple en le vidant) avec une action proportionnellefixée par 1

Taw. Le comportement dynamique de cette boucle définit vitesse à la-

quelle la différence v(t) − u(t) est annulée, et peut être déterminé en fixant lavaleur de la pulsation de coupure ωco à 0 [dB] de la fonction de transfert

Goaw(s) =

KpTaw

s

puisque l’on a approximativement :

ωco · Treg ≈ π

Les résultats obtenus dans le cas l’exemple illustré précédemment sont condenséssur les figures 7.43 page suivante et 7.44 page suivante.








0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

t [s]

w(t

), y

(t)

sans limitation

avec limitation et anti−windup

avec limitation et sans anti−windup

f_wind_up_ini_6.eps

Figure 7.43 – Effet du dispositif antiwindup sur la grandeur réglée (fichier source).

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−40

−20

0

20

40

60

80

t [s]

u(t)

u(t) avec anti−windup

v(t) avec anti−windup

u(t) sans anti−windup

v(t) sans anti−windup

f_wind_up_ini_8.eps

Figure 7.44 – Effet du dispositif antiwindup sur la commande (fichier source).










Dispositif anti-windup simplifié

On peut également réduire les effets indésirables de la limitation du signalde commande en cessant d’intégrer dès que la limitation entre en action. Cettemanière de faire est d’autant plus facilement mise en oeuvre que le régulateur estimplanté sous forme numérique :

/∗ . . . ∗/

/∗ I n t e g r a l e de l ’ erreur ∗/int_e = int_e + e ;

/∗Loi de commande du r e gu l a t eu r PID∗/u = Kp ∗ ( e + Gi ∗ int_e + Td ∗ de ) ;

/∗Limita t ion e t co r r ec t i on sur l ’ i n t e g r a l e ( ant i−windup s imp l i f i e ) ∗/i f (u > u_max)

v = u_max ;int_e = int_e − e ; /∗Cesse l ’ i n t e g r a t i on ∗/

else i f (u < u_min)v = u_min ;int_e = int_e − e ; /∗Cesse l ’ i n t e g r a t i on ∗/

/∗ . . . ∗/






1s

S 1s

+-

w ( k ) y ( k )u ( k )

y ( k )

e ( k ) G c ( z ) H ( z )

f _ 0 7 _ 7 6 _ 0 1 . e p s

S

v ( k )

-

D y q

Figure 7.45 – Mise en évidence de la quantification de la mesure de la grandeurréglée dans le cadre d’un système de régulation numérique (fichier source).

7.7 Influence de la résolution de la grandeur ré-glée mesurée

Le but de ce paragraphe est de mettre en évidence les effets de la résolutionde la mesure de la grandeur réglée sur le système asservi.

Soit ∆yq la résolution (ou pas de quantification) de la mesure y[k] d’un systèmede régulation numérique (figure 7.45).

Si ce système est asservi par un régulateur PD, la commande u[k] a pourexpression :

u[k] = Kp ·(e[k] + Td ·

e[k]− e[k − 1]

h

)La résolution de la consigne étant généralement plus élevée que celle de la

grandeur réglée, on examine la contribution de y[k] seule de façon à se focalisersur le problème principal. On a :

uy[k] = Kp ·(−y[k]− Td ·

y[k]− y[k − 1]

h

)La commande élaborée par le régulateur PD est sans surprise formée

– d’une contribution proportionnelle à y[k]

uyP [k] = −Kp · y[k]

Le plus petit élément de commande formable par l’action P, hormis 0, i.e.un LSB de uyP [k] vaut :

∆uyPq = Kp ·1 LSB de y[k]︷︸︸︷

∆yq








On voit que la quantification de la mesure est amplifiée au niveau de lacommande par Kp ! Cette quantification peut s’avérer grossière pour dessystèmes très dynamiques, i.e. tels que Kp est très élevé ;

– d’une contribution proportionnelle à y[k]− y[k − 1]

uyD[k] = −Kp · Td ·y[k]− y[k − 1]

h

De même, le plus petit élément de commande formable par l’action D,hormis 0, i.e. un LSB de uyD[k] s’écrit :

∆uyDq = Kp · Td ·

résolutionde lamesure devitesse︷︸︸︷

∆yqh

En principe, Kp, Td et h sont fixés d’après des critères de stabilité, de respectdu théorème de l’échantillonnage, etc.

On observe ici que plus h est petite, meilleure est l’estimation de la dérivée,mais moins bonne est la résolution ∆uyDq de la commande uyD[k] qui varie enraison inverse de h :

∆uyDq ∝1

hLa figure 7.46 page suivante illustre la situation : pour une même résolution ∆yq,la plus petite variation de y(t) par rapport au temps t est ∆yq

h1lorsque h = h1 et

∆yqh2

lorsque h = h2. Comme h1 > h2, la plus petite variation perceptible est plusgrande, i.e. moins fine, pour le cas de la petite période d’échantillonnage h2.

Les conséquences en sont un bruit (de quantification) sur la commande pou-vant être souvent inacceptable. Dans le cas de systèmes de servo-entraînementspar exemple, le bruit de quantification sur la commande se répercute directementsur le couple électromagnétique produit, avec des conséquences parfois gênantes,comme du bruit audible et une usure prématurée des organes de transmission.

Rappel : bruit équivalent dû à la quantitfication L’effet de la quantifica-tion de la grandeur réglée peut être représenté par un bruit, i.e. une perturbation,comme le montre la figure 7.47 page suivante.

Ce bruit peut être considéré comme un signal aléatoire à moyenne nulle (σ =0) dont la variance σ2 dépend du pas de quantification [7] :

σ2 ≈∆y2

q

12

Ce résultat correspond au cas où la quantification est uniforme (∆yq constant).On a de plus fait l’hypothèse que la densité de probabilité du signal y[k] estconstante sur un pas de quantification. On rappelle que la racine carrée de lavariance d’un signal aléatoire correspond à sa valeur efficace.






t [ s ]

y ( t )

( h = h 1 )

0

D y q

y ( t )

( h = h 2 )

h 1 = 4 h 2

h 2

t [ s ]

d y / d t

( h = h 1 )

0

D y q / h 2

= 4 D y q / h 1

f _ 0 7 _ 2 9 . e p s

d y / d t

( h = h 2 )

D y q / h 1

Figure 7.46 – Plus la période d’échantillonnage est petite, moins la résolutionde la mesure de la variation par rapport à t est bonne. Ici, on observe que laplus petite variation de y(t) par rapport au temps perceptible entre 2 instantsd’échantillonnage est 4 fois plus grande, i.e. 4 fois plus grossière lorsque la périoded’échantillonnage est 4 fois plus petite (fichier source).

AD

AD

w ( k h )

y ( k h )

u ( t ) x ( t )u ( k h )A L G O R I T H M E

S Y S T E M EA

R E G L E R

y ( t )

v ( t )

S++

n ( t )b r u i t s u r l a m e s u r e


f _ 0 7 _ 1 9 . e p s

Figure 7.47 – Représentation de l’effet de la quantification par un bruit n(t) devariance σ2 ≈ ∆y2

q

12(fichier source).










1s

S 1s-

w ( t ) y ( t )u ( t )

y ( t )

e ( t ) G c ( s ) G a ( s )

f _ 0 7 _ 7 8 _ 0 3 . e p s

S

v ( t )

-

Figure 7.48 – Système asservi (fichier source).

7.8 Fonction de sensibilité ([5], §3.4)

La fonction de sensibilité S(s) d’un système asservi (figure 7.48) exprime lavariation relative ∆Gyw(s)

Gyw(s)de la fonction de transfert en boucle fermée, régulation

de correspondance,Gyw(s), par rapport à la variation relative ∆Ga(s)Ga(s)

de la fonctionde transfert du système à régler Ga(s) :

S(s) =

dGyw(s)

Gyw(s)

dGa(s)Ga(s)

On a :

dGyw(s)

dGa(s)=d Go(s)

1+Go(s)

dGa(s)

=d Gc(s)·Ga(s)

1+Gc(s)·Ga(s)

dGa(s)

=Gc(s) · (1 +Gc(s) ·Ga(s))−Gc(s) ·Ga(s) ·Gc(s)

(1 +Gc(s) ·Ga(s))2

=Gc(s)

(1 +Gc(s) ·Ga(s))2








d’où :

dGyw(s) =Gc(s)

(1 +Gc(s) ·Ga(s))2· dGa(s)

dGyw(s)

Gyw(s)=

Gc(s)(1+Gc(s)·Ga(s))2 · dGa(s)

Gyw(s)

=

Gc(s)(1+Gc(s)·Ga(s))2 · dGa(s)

Gc(s)·Ga(s)1+Gc(s)·Ga(s)

=1

1 +Gc(s) ·Ga(s)· dGa(s)

Ga(s)

La fonction de sensibilité S(s) a donc pour expression :

S(s) =

dGyw(s)

Gyw(s)

dGa(s)Ga(s)

=1

1 +Go(s)

On constate que, sous réserve d’un maintien de la stabilité en boucle fermée, plusle gain de boucle Go(s) est élevé, moins les variations des paramètres du systèmeà régler Ga(s) n’ont d’influence sur les performances en boucle fermée, i.e. lesparamètres de la fonction de transfert Gyw(s). Cette observation concorde avecles propriétés de linéarisation offertes par la contre-réaction.

On note également que cette expression est identique à celle que l’on obtientsi l’on calcule la fonction de transfert liant la consigne w(t) à l’erreur e(t) :

Gew(s) =E(s)

W (s)=

1

1 +Go(s)

La réponse harmonique de S(j · ω) a une allure tout à fait typique (figure 7.49page suivante) : son module est faible à basse fréquences (peu de sensibilité,i.e. bonne performance en précision) et tend vers l’unité (grande sensibilité) auxhautes fréquences.

Une propriété tout à fait remarquable ([5], §4.2) de la fonction de sensibilitéest que le maximum du module de sa réponse harmonique

max |S(j · ω)| = ‖S‖∞

correspond à la distance minimum entre le lieu de Nyquist de Go(j ·ω) et le point






10−2

10−1

100

101

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

ω [rad/s]

A(ω

) [d

B]

Diagramme de Bode de Go(jω), G

w(jω), G

ew(jω)=S(jω)

|Go|

|Gw

| |Gew

|

f_rn_07_1_1.eps

Figure 7.49 – Diagrammes de Bode de Go(j · ω), Gyw(j · ω) et S(j · ω) : allurestypiques (fichier source).

critique −1 + j · 0 (figure 7.50 page suivante) :

distance minimum entre Go(j · ω) et − 1

= min |Go(j · ω)− (−1)|= min |1 +Go(j · ω)|

= max

∣∣∣∣ 1

1 +Go(j · ω)

∣∣∣∣= max |S(j · ω)|= ‖S‖∞

Il s’agit donc d’une mesure plus fine de la distance entre le lieu de Nyquist et lepoint critique que celle donnée classiquement par les marges de phase ϕm et degain Am.

7.8.1 Application : spécification de performance ([5], §3.4)

En relevant que la fonction de sensibilité définie comme S(s) =dGyw(s)

Gyw(s)

dGa(s)Ga(s)

coïn-

cide avec la fonction de transfert

Gew(s) =E(s)

W (s)=

1

1 +Go(s)= S(s)




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_07/Figures/rgb/f_rn_07_1_1.pdf

http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_07/matlab///rn_07_1.m



0

G o ( j w )I m

R e- 1

w = 0 [ r a d / s ]w = [ r a d / s ]¥

G o ( j w )1 + G o ( j w )

1

G o ( j w )1 + G o ( j w )

1

f _ 0 7 _ 0 8 _ 0 1 . e p s

- 1

Figure 7.50 – Lieu de Nyquist de Go(j · ω) : sa distance minimale au pointcritique −1 + j · 0 est donnée par min|1 +Go(j ·ω|), soit l’inverse du maximumdu module de la fonction de sensibilité max|S(j · ω)| (fichier source).








w [ r a d / s ]

A ( w ) |

[ d B ]

0 [ d B ]

w c o| W 1- 1 ( j w ) |

| S ( j w ) |

| W 1 ( j w ) |

f _ 0 7 _ 2 3 c . e p s

Figure 7.51 – Illustration d’une méthode de spécification des performances d’unsystème asservi : on impose que le module de fonction de sensibilité soit inférieurà une limite

∣∣W−11 (j · ω)

∣∣ variant en fonction de la fréquence (fichier source).

traduisant l’effet de la consigne sur l’erreur, il est envisageable de spécifier lesperformances de précision d’un système de régulation automatique en imposantune valeur maximale 1

|W1(j·ω)| de la fonction de sensibilité pour chaque pulsationω. On pourrait écrire :

|S(j · ω)| < 1

|W1(j · ω)|

i.e. le module de la fonction de sensibilité doit être inférieur à la borne∣∣W−1

1 (j · ω)∣∣

(figure 7.51). On peut condenser cela sous la forme

‖W1(j · ω) · S(j · ω)‖∞ < 1 (7.4)

illustrée par la figure 7.52 page suivante.Typiquement, on choisira |W1(j · ω)| élevé à basse fréquence (bonne précision)

et tendant vers 1 aux hautes fréquences, là où l’action régulateur est sans effetsur le système à régler, vu le caractère filtrant de ce dernier (y(t) → 0 =⇒e(t) = w(t)− y(t)→ w(t)).

Il existe une interprétation graphique intéressante de la relation 7.4 : pourque le module de la fonction de sensibilité soit toujours inférieur à

∣∣W−11 (j · ω)

∣∣,il faut que lieu de Nyquist de Go(j ·ω) soit toujours en dehors du disque de rayon|W1(j · ω)| et de centre −1 + j · 0 (figure 7.53 page suivante).








w [ r a d / s ]

A ( w ) |

[ d B ]

0 [ d B ]

w c o

| S ( j w ) |

| W 1 ( j w ) |

| W 1 ( j w ) S ( j w ) |

f _ 0 7 _ 2 4 c . e p s

Figure 7.52 – Spécification des performances d’un système asservi : on imposeque la valeur supérieure de |W1(j · ω) · S(j · ω)| soit inférieure à 1, i.e. à 0 [dB](fichier source).

G o ( j w )I m

R e

w = 0 [ r a d / s ]w = [ r a d / s ]¥

- 1

| W 1 |

f _ 0 7 _ 2 5 c . e p s

Figure 7.53 – Interprétation graphique de la condition de performance‖W1(j · ω) · S(j · ω)‖∞ < 1 (fichier source).










T (z) Σ-

1R(z) Σ

S(z)

B(z)A(z)

Σ

w[k] y[k]u[k]

v[k]

n[k]

Figure 7.54 – Structure du régulateur RST (fichier source).

7.9 Régulateur RST polynômial

7.9.1 Structure du régualteur RST [1] [4]

Un système asservi par un régulateur RST a la structure définie sur la fi-gure 7.54. Toutes les lettres situées dans des blocs désignent des polynômes en zet non des fonctions de transfert. La figure 7.55 page suivante montre un schémaéquivalent où les blocs correspondent cette fois à des fonctions de transfert cau-sales (voir également l’équation (7.21)). Dans ce schéma, on a tenu compte del’existence de bruit n[k] sur la grandeur réglée mesurée. On remarque que l’onne considère que des signaux discrets, aussi bien pour le bruit que pour les per-turbations. De même, c’est le modèle échantillonné du système à régler qui estemployé

H(z) =Y (z)

U(z)=(1− z−1

)· ZL−1

(Ga(s)

s

)où Ga(s) est le modèle analogique du système à régler. On part de l’hypothèseque A(z) et B(z) n’ont pas de facteur commun, i.e. les simplifications pôles-zéroon été faites.

7.9.2 Fonctions de transfert

Les fonctions de transfert suivantes peuvent être calculées :Système à régler

H(z) =Y (z)

U(z)=B(z)

A(z)(7.5)

Boucle ouverteGo(z) =

S(z) ·B(z)

R(z) · A(z)(7.6)




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_07/Figures/rgb/rst_apriori_1_1.pdf

http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_07/Figures/rgb////metapost/rst_apriori_1.mp



T (z)zδR Σ

-

zδR

R(z) Σ

S(z)zδR

B(z)A(z)

Σ

w[k] y[k]u[k]

v[k]

n[k]

Figure 7.55 – Structure du régulateur RST. δR est l’ordre du polynôme R(z)(fichier source).

Régulation de correspondance

Gw(z) =Y (z)

W (z)=

T (z)R(z)· B(z)A(z)

1 +Go(z)=

T (z)R(z)· B(z)A(z)

1 + S(z)·B(z)R(z)·A(z)

=B(z) · T (z)

A(z) ·R(z) +B(z) · S(z)=Bm(z)

Am(z)

(7.7)

Régulation de maintien

Gv(z) =Y (z)

V (z)=

B(z)A(z)

1 +Go(z)=

B(z)A(z)

1 + S(z)·B(z)R(z)·A(z)

=B(z) ·R(z)

A(z) ·R(z) +B(z) · S(z)

(7.8)

Réjection des perturbations (bruit n[k])

Gn(z) =Y (z)

N(z)=

S(z)R(z)· B(z)A(z)

1 + S(z)·B(z)R(z)·A(z)

=B(z) · S(z)

A(z) ·R(z) +B(z) · S(z)(7.9)

7.9.3 Forme des polynômes et contraintes

Les performances en asservissement sont spécifiées par le modèle en bouclefermée

Gw(z) =Y (z)

W (z)=Bm(z)

Am(z)= Hm(z) (7.10)

lequel peut être fixé dès le début du projet sur la base d’informations comme ladurée de réglage Treg, la bande passante en boucle fermée ω−3dB, la précision enpoursuite de consigne et en réjection des perturbations, le taux de dépassement de




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la réponse indicielle autorisé, etc. Si l’on souhaite un comportement apériodiqueen boucle fermée avec une durée de réglage Treg, il suffira alors de poser

Am(z) ∝ (z − pf1) =(z − e−

hTreg

)(7.11)

Le polynôme B(z) détermine les zéros du système à régler. Il est dans le casgénéral envisageable de les compenser, à condition toutefois que l’on se limite auxzéros de B(z) situés dans le disque unité (voir § 7.2 page 229). Des conditions plusdrastiques d’amortissement absolu et relatif peuvent également être imposées.En désignant par B+(z) le polynôme monique facteur de B(z) dont les racinesrépondent à cette condition, on peut alors écrire B(z) comme

B(z) = B+(z) ·B−(z) (7.12)

Le polynôme Bm(z) devra ainsi contenir le terme B−(z) afin de s’assurer qu’aucunzéro hors du disque unité, voire hors d’une zone plus restrictive spécifiée par desconditions d’amortissement absolue et relative, n’ait été compensé :

Bm(z) = B−(z) ·B′m(z) (7.13)

Si le polynôme B+(z) est compensé, la seule possibilité est qu’il le soit par deszéros de R(z) puisque A(z) et B(z) n’ont par hypothèse pas de facteurs communs :

Go(z) =S(z)

R(z)· B(z)

A(z)=

S(z)

B+(z) ·R′(z)· B

+(z) ·B−(z)

A(z)=S(z) ·B−(z)

R′(z) · A(z)

On en déduit queR(z) = B+(z) ·R′(z) (7.14)

En réécrivant la fonction de transfert en boucle fermée, régulation de correspon-dance, on a :

Hm(z) =Y (z)

W (z)=

B(z) · T (z)

A(z) ·R(z) +B(z) · S(z)

=B−(z) ·B+(z) · T (z)

A(z) ·B+(z) ·R′(z) +B+(z) ·B−(z) · S(z)

=B−(z) · T (z)

A(z) ·R′(z) +B−(z) · S(z)

D’autre part, selon (7.7) et (7.13) :

Hm(z) =Bm(z)

Am(z)=B−(z) ·B′m(z)

Am(z)

On en déduit :

B−(z) · T (z)

A(z) ·R′(z) +B−(z) · S(z)=B−(z) ·B′m(z)

Am(z)=B−(z) ·B′m(z)

Am(z)· Ao(z)

Ao(z)






Le polynôme Ao(z) porte le nom de polynôme observateur : il permet de tenircompte du fait que si

7

4=

7

4· 3

3=

21

12

on ne peut cependant égaler directement les numérateurs et dénominateurs dechacune des fractions. Dans le cas de l’exemple, Ao(z) = 3.

Pour la synthèse du régulateur, i.e la détermination des polynômes R(z),S(z) et T (z) à partir des polynômes A(z), B(z), Am(z) et Bm(z), les équationssuivantes sont donc à résoudre :

A(z) ·R′(z) +B−(z) · S(z) = Ao(z) · Am(z) (7.15)T (z) = Ao(z) ·B′m(z) (7.16)

Si une compensation des perturbations d’ordre j est spécifiée, il suffit d’incluredans Go(z) le nombre l = j + 1 correspondant d’intégrateurs. S’inspirant de ladémarche ayant conduit à l’équation (7.14), ceci se fait en imposant que R(z) aitla forme :

R(z) = B+(z) · (z − 1)l ·R′(z) (7.17)

7.9.4 Calcul de R(z) et S(z)

Condition d’existence de solutions uniques

Le calcul de R(z) et S(z) passe par la résolution de l’équation de Diophantine

A(z) ·X(z) +B(z) · Y (z) = C(z) (7.18)

où A(z), X(z), B(z), Y (z) et C(z) sont des polynômes. A(z), B(z) et C(z) sontconnus, X(z) et Y (z) sont les polynômes à déterminer. Il est clair qu’une telleéquation possède une infinité de solutions. Cependant, on peut démontrer quel’équation (7.18) a des solutions uniques si (la notation δX signifie "degré dupolynôme X")

δY < δA (7.19)

i.e. si le degré du polynôme Y (z) est strictement inférieur à celui du polynômeA(z). Dans le cas du régulateur RST, une équation de la même forme est juste-ment obtenue lorsque l’on considère le dénominateur A(z) ·R′(z)+B−(z) ·S(z) =Ao(z) · Am(z) de la fonction de transfert en boucle fermée. En en multipliant les2 membres par B+(z), on a :

A(z) ·R(z) +B(z) · S(z) = B+(z) · Ao(z) · Am(z) (7.20)






Contraintes sur les degrés des polynômes

Si (7.19) est respectée, l’on sait que (7.20) a une solution unique offrant lespolynômes R(z) et S(z) recherchés : encore faut-il chercher une solution pourceux-ci telle que leurs degrés soient compatibles avec les contraintes contenuesimplicitement dans (7.20). Il faut par exemple que le degré du polynôme dumembre de gauche, résultant de la somme de produits A(z)·R(z)+B(z)·S(z) soitéquivalent à celui du membre de droite, résultant du produit B+(z)·Ao(z)·Am(z).C’est la liste des ces contraintes qui est développée dans ce paragraphe.

Il faut commencer par prendre en compte les contraintes de causalité desfonctions de transfert du système à régler, régulateur et du modèle à poursuivre :

δR ≥ δS (7.21)δR ≥ δT (7.22)δA > δB (7.23)δAm − δBm ≥ δA− δB (7.24)

Degré du polynôme R(z) En examinant (7.20), avec (7.23) et (7.21), on a :

δR + δA > δB + δS

Ainsi :δR + δA = δB+ + δAo + δAm

d’oùδR = δB+ + δAo + δAm − δA (7.25)

Degré du polynôme T (z) Comme

T (z) = Ao(z) ·B′m(z)

on peut écrireδT = δAo + δB′m

Degré du polynôme Am(z) On peut alors écrire, sachant que selon (7.22)δR ≥ δT :

δB+ + δAo + δAm − δA︸︷︷︸δR

≥ δAo + δB′m︸︷︷︸δT

et finalement :δAm ≥ δB′m − δB+ + δA (7.26)






Degré des polynômes S(z) et Ao(z) Il reste à déterminer les degrés despolynômes S(z) et Ao(z). Pour S(z), on prendra simplement, selon l’équation(7.19) :

δS = δA− 1 (7.27)

Pour Ao(z), la prise en compte des équations (7.21), (7.25) et (7.27) permet decalculer :

δR ≥ δS

δB+ + δAo + δAm − δA︸︷︷︸δR

≥ δA− 1︸︷︷︸δS

d’où :δAo ≥ 2 · δA− δAm − δB+ − 1 (7.28)

Résumé

En résumé, pour la synthèse du régulateur RST, on s’arrangera pour respecter,dans l’ordre, les conditions suivantes :

ChoisirB′m(z) selon les contraintes en poursuite de consigneδAm ≥ δB′m − δB+ + δA

δAo ≥ 2 · δA− δAm − δB+ − 1

δR = δB+ + δAo + δAm − δAδS = δA− 1

δT = δAo + δB′m

Ces contraintes étant respectées, une solution unique causale (i.e. réalisable) peutêtre trouvée en résolvant l’équation de Diophantine. Celle-ci aura alors la forme :

A(z) ·R(z) +B(z) · S(z) = B+(z) · Ao(z) · Am(z)

On trouvera les coefficients des polynômes R′(z) et S(z) d’une manière aisée sil’on construit la matrice de Sylvester, comme indiqué au § 7.9.5 page suivante.Il faut remarquer qu’on a imposé que les zéros stables et bien amortis de B,soit ceux du ploynômes B+(z) soient compensés par R(z), qui a alors la formegénérale :

R(z) = B+(z) ·R′(z)





HEIG

-VD

Rég

ulatio

nnumér

ique

7.9.5 Calcul des polynômes R(z) et S(z) : matrice de Sylvester [[1], §10.3.3]

Les polynômes R(z), S(z), A(z), B(z) et C(z) = B+(z) · Ao(z) · Am(z) ont pour formes :

R(z) = zδR + r1 · zδR−1 + r2 · zδR−2 + . . .+ rδR−1 · z + rδR

S(z) = s0 · zδS + s1 · zδS−1 + s2 · zδS−2 + . . .+ sδS−1 · z + sδS

C(z) = zδC + c1 · zδC−1 + c2 · zδC−2 + . . .+ cδC−1 · z + cδC

B(z) = b0 · zδB + b1 · zδB−1 + b2 · zδB−2 + . . .+ bδB−1 · z + bδB

A(z) = zδA + a1 · zδA−1 + a2 · zδA−2 + . . .+ aδA−1 · z + aδA

En écrivant :

A(z) ·R(z) +B(z) · S(z) =

C(z)︷︸︸︷B+(z) · Ao(z) · Am(z)

on a dans le détail :

(zδA + a1 · zδA−1 + a2 · zδA−2 + . . .+ aδA−1 · z + aδA

)·(zδR + r1 · zδR−1 + r2 · zδR−2 + . . .+ rδR−1 · z + rδR

)+(b0 · zδB + b1 · zδB−1 + b2 · zδB−2 + . . .+ bδB−1 · z + bδB

)·(s0 · zδS + s1 · zδS−1 + s2 · zδS−2 + . . .+ sδS−1 · z + sδS

)= zδC + c1 · zδC−1 + c2 · zδC−2 + . . .+ cδC−1 · z + cδC

Chapitr

e7,

v.1.9

284M

EE\cou

rs_rn.tex

12décem

bre

2011




HEIG

-VD

Rég

ulatio

nnumér

ique

En identifiant terme à terme (de mêmes degrés), on peut montrer que l’on aboutit à un système d’équations linéairesreprésentable par la matrice de Sylvester :

1 0 . . . 0 0 0 . . . 0

a1 1. . . ...

...... . . . ...

a2 a1. . . 0 b0 0

. . . 0... a2

. . . 1 b1 b0. . . ...

...... . . . a1 b2 b1

. . . 0

aδA−1... . . . a2

... b2. . . b0

aδA aδA−1. . . ... bδB

... . . . b1

0 aδA. . . ... 0 bδB

. . . b2...

... . . . ......

... . . . ...0 0 . . . aδA 0 0 . . . bδB

·

r1

r2...

rδR−1

rδRs0

s1...

sδS−1

sδS

=

c1 − a1

c2 − a2...

cδA−1 − aδA−1

cδA − aδAcδA+1

cδA+2...

cδR+δS−1

cδR+δS

On en déduit les polynômes recherchés R(z) et S(z).

Chapitr

e7,

v.1.9

285M

EE\cou

rs_rn.tex

12décem

bre

2011










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Régulation numérique(REN) · y Asservissement de systèmes complexes (suspension magnétique, balle dans un tube, pendule inversé, etc). 12 Contrôle des connaissances : Contrôle