Università degli studi di Napoli Federico II Facoltà di Ingegneria 

 

Corso di Laurea Specialistica in 

    Ingegneria Elettronica (Classe delle Lauree in Ingegneria dell’Informazione) 

Dipartimento di Ingegneria Elettrica 

Tesi di Laurea 

Sincronizzazione di Circuiti Caotici di Chua: 

Analisi di Robustezza 

Relatori

Ch.mo Prof. 

Massimiliano de  Magistris 

Ch.mo Prof.  

Mario Di Bernardo  

Candidata

Paola Della Corte

Matr. 884/162

Anno Accademico 2008‐2009 

 

iii  

Indice 

 

Introduzione ___________________________________________________ v 

Capitolo 1 ______________________________________________________ 1 

Il Caos Deterministico ___________________________________________ 1 

1.1 Introduzione ____________________________________________________ 1 

1.2  Generalità sui Sistemi Dinamici __________________________________ 3 

1.2.1 Nozioni di base _____________________________________________ 3 

1.2.2 Sistemi autonomi e non autonomi ____________________________ 6 

1.2.3 Stabilità delle soluzioni _____________________________________ 8 

1.2.4 Mappe di Poincaré _________________________________________ 10 

1.2.5 Esponenti di Lyapunov _____________________________________ 12 

1.3 La Teoria del Caos Deterministico ________________________________ 16 

1.4 Caos per la Sicurezza delle Comunicazioni ________________________ 29 

Capitolo 2 _____________________________________________________ 31 

Il Circuito di Chua _____________________________________________ 31 

2.1 Perchè il Circuito di Chua? ______________________________________ 31 

2.2 Analisi del Circuito _____________________________________________ 33 

2.3 Morfologia della Dinamica ______________________________________ 36 

Capitolo 3 _____________________________________________________ 44 

Sincronizzazione di Dinamiche Caotiche _________________________ 44 

3.1 Introduzione ___________________________________________________ 44 

3.2 Generalità sulle Reti di Sistemi __________________________________ 45 

iv  

3.3  Sincronizzazione delle Dinamiche di Circuiti Caotici ______________ 46 

3.4 Esempi d’Interesse in Letteratura _________________________________ 51 

3.5  Particolarizzazione del Modello di Accoppiamento per i Casi di 

Studio _________________________________________________________ 56 

3.6 Cenno sui Sistemi Ipercaotici ____________________________________ 59 

3 Capitolo 4  ___________________________________________________ 60 

4 Realizzazione, Simulazioni e Verifiche Sperimentali _____________ 60 

4.1 Definizione del Lay‐out  ________________________________________ 60 

4.1.1 L’induttore ________________________________________________ 62 

4.1.2 Il diodo di Chua ___________________________________________ 63 

4.1.3 Componenti e tolleranze ____________________________________ 68 

4.2  Simulazione e Realizzazione Hardware della Topologia Scelta  _____ 69 

4.3 Simulazioni SPICE della Sincronizzazione ________________________ 75 

4.3.1 Coppia di circuiti __________________________________________ 76 

4.3.2 Tris di circuiti _____________________________________________ 80 

4.3.3 Considerazioni sulle simulazioni ____________________________ 91 

4.4 Risultati Sperimentali ___________________________________________ 92 

4.4.1 Coppia di circuiti __________________________________________ 94 

4.4.2 Tris di circuiti ____________________________________________ 104 

4.4.3  Analisi dei Risultati ______________________________________ 124 

4.5 Conclusioni ___________________________________________________ 127 

 Riferimenti Bibliografici ______________________________________ 129 

  

 

 

   

v  

 

 

Introduzione 

 

Negli  ultimi  decenni  un  interesse  sempre  crescente  della  comunità 

scientifica  per  le  dinamiche  dei  sistemi  non  lineari  ha  portato  allo 

sviluppo  della  teoria  del  Caos  Deterministico,  la  quale  pone  limiti 

definiti alla prevedibilità dell’evoluzione dei sistemi complessi. Questa 

imprevedibilità,  strettamente  legata  ad  un  fattore  di  incertezza  sulle 

condizioni iniziali del sistema, si pone alla base di un “nuovo mondo” 

costituito dalle dinamiche  caotiche del  sistema  stesso,  e  che permette 

numerosi esempi nella vita quotidiana: basti pensare al cuore umano. E’ 

stato sperimentalmente provato che l’andamento del battito cardiaco di 

una  persona  sana  è  intrinsecamente  caotico,  ed  anzi  la  periodicità  è 

sintomo di disfunzioni e patologie. Ancora, numerosi sistemi biologici 

complessi,  come  quelli  cellulari, mostrano  una  intrinseca  capacità  di 

sincronizzazione. La sincronizzazione di sistemi caotici complessi, oltre 

alla  sua  massiccia  presenza  in  natura,  trova  spazio  nel  mondo 

“artificiale”, quale quello delle  tecnologie. Tra  le diverse applicazioni, 

ricordiamo quella che permette di realizzare, mediante la definizione di 

un apposito schema crittografico, un canale di comunicazione sicuro da 

intrusioni  esterne.  Ciò  può  essere  ottenuto  proprio  a  partire  dalla 

possibilità sincronizzare  fra  loro due o più sistemi di  tipo caotico, per 

mascherare il messaggio e garantirne la non intellegibilità a terzi. 

Per  poter  studiare  le  dinamiche  di  sincronizzazione  è  necessario 

anzitutto  disporre  di  un  sistema  caotico,  dotato  cioè  di  alta 

vi  

impredicibilità  dell’uscita  in  funzione  dei  parametri  di  ingresso. Dal 

punto  di  vista  circuitale  la  via  migliore  sotto  molti  punti  di  vista 

prevede  l’utilizzo del circuito di Chua. Esso costituisce  il più semplice 

esempio di  circuito  caotico  ed  inoltre  è  economicamente  accessibile  e 

semplice da realizzare.  

Obiettivo della  tesi  è  lo  studio preliminare, numerico  e  sperimentale, 

delle dinamiche di  sincronizzazione di più  circuiti di Chua, al  fine di 

analizzare le condizioni che ne garantiscano la robustezza (qualora esse 

esistano).   

L’analisi è  stata effettuata attraverso due  fasi  temporali, una prima di 

studio  teorico  dell’argomento  e  della  letteratura  d’interesse,  ed  una 

successiva  che  consiste nelle verifiche  sperimentali. Tale  suddivisione 

dell’operato  è  altresì  riscontrabile  nel  presente  elaborato,  che  consta 

quindi di due parti.  

La prima parte, costituita da tre capitoli, affronta  lo studio della teoria 

del  caos,  con  richiami  a  concetti  chiave  della  dinamica  dei  sistemi, 

nonché  presenta  spunti  applicativi  della  stessa.  Successivamente  si 

analizza  in dettaglio  la  topologia e  le dinamiche del  circuito di Chua, 

“protagonista” del lavoro. Infine, nel terzo capitolo, vengono introdotti 

i  concetti  di  sincronizzazione,  e  sincronizzazione  di  reti  di  sistemi 

caotici,  con una particolare attenzione alla  sincronizzazione di  circuiti 

caotici di Chua tramite lo studio di esempi presenti in letteratura. 

La  seconda parte dell’elaborato  è di  carattere  implementativo:  in  essa 

vengono presentati  il modello matematico  linearizzato  che descrive  il 

problema  in  esame,    la  soluzione  topologica  adottata  per  la 

realizzazione  dei  circuiti,  e  i  risultati  delle  analisi  effettuate  al 

calcolatore  delle  dinamiche  degli  stessi  nonché  dei  tentativi  di 

sincronizzazione,  effettuati  mediante  l’ausilio  dei  software  SwCad  e 

MatLab.  Infine,  alla  verifica  al  calcolatore  si  aggiunge  la  prova 

sperimentale  vera  e  propria:  i  circuiti  di  Chua  sono  stati  realizzati 

presso  il Laboratorio di Elettrotecnica del Dipartimento di  Ingegneria 

Elettrica  dell’Università  Federico  II,  ed  è  stato  verificato  il  loro 

vii  

funzionamento  e  la  capacità  di  sincronizzazione.  L’elaborazione  dei 

dati sperimentali è avvenuta  con il supporto del software LabView.  

Nel corso del lavoro sono stati analizzati diversi possibili scenari, per i 

quali  sono  state  identificate  le  condizioni  parametriche  necessarie  a 

garantire  sincronia  al  sistema  complessivo.  Ciò  si  pone  come 

fondamento  per  successivi  studi  di  robustezza  della  sincronizzazione 

per reti complesse di circuiti caotici. 

1  

 

 

 

CAPITOLO 1  

IL CAOS DETERMINISTICO 

 

1.1 INTRODUZIONE 

 

ʺUna goccia dʹacqua che si spande nellʹacqua, le fluttuazioni delle popolazioni animali, la linea 

frastagliata di una costa, i ritmi della fibrillazione cardiaca, lʹevoluzione delle condizioni 

meteorologiche, la forma delle nubi, la grande macchia rossa di Giove, gli errori dei computer, 

le oscillazioni dei prezzi. 

Sono fenomeni apparentemente assai diversi, che possono suscitare la curiosità di un bambino o 

impegnare per anni uno studioso,  con un solo tratto in comune: 

per la scienza tradizionale, appartengono al regno dellʹinforme, dellʹimprevedibile 

dellʹirregolare. In una parola al caos. 

Ma da due decenni, scienziati di diverse discipline stanno scoprendo che dietro il caos cʹè in 

realtà un ordine nascosto, che dà origine a fenomeni estremamente complessi a partire da regole 

molto semplici.ʺ 

(J.Gleick, Chaos – La nascita di una nuova scienza) 

 

Risultati  recenti  dellʹevoluzione  della  fisica  degli  ultimi  venti  anni 

hanno  ultimato  probabilmente  in  modo  definitivo  quel  lavoro  di 

distruzione della visione Laplaciana della realtà  fisica come  ʺuniverso‐

orologioʺ  e  del  mondo  come    retto  da  perfette  e  perfettamente 

conoscibili  leggi dʹevoluzione,  iniziato alla  fine del secolo scorso. Se  la 

2  

meccanica  quantistica  introduceva  il  caso  in  un modo  per  così  dire 

esterno  e  a  priori,  lʹevoluzione  della  teoria  dei  sistemi  dinamici  lo 

scopriva  a posteriori dentro  teorie,  là dove  era  sempre  stato, passando 

inosservato  o  quasi.  Naturalmente  il  caso  quantistico  e  quello 

deterministico dei sistemi caotici sono due ʺcasiʺ diversi. Il primo è posto 

come un attributo della realtà fisica in sé, il secondo continua ad essere 

frutto, classicamente, della finitezza dei nostri mezzi. Ma ciò che risulta 

oltremodo  significativo  è  che  le  conseguenze di questa  finitezza  sono 

assai di più vasta portata di quanto si potesse a prima vista sospettare: 

essa  finisce per  impedire  in  linea di principio previsioni affidabili  sul 

comportamento della realtà fisica, anche la più banale, o meglio confina 

queste  previsioni  entro  un  orizzonte  temporale  ristretto,  spesso 

sorprendentemente  ristretto.  Il  Caos,  in  questo  significato  artificiale 

della  teoria  delle  reti  elettriche  e  della  teoria  dei  sistemi,  è  appunto 

lʹesistenza di un orizzonte  finito di predicibilità dei  sistemi,  effetto di 

una  sensibilità  alle  condizioni  iniziali  che  amplifica  lʹindeterminazione 

iniziale,  per  quanto  piccola  essa  sia,  sulla  conoscenza  del  sistema.  I 

sistemi non  sono dunque buoni: non  conservano, ma  amplificano, gli 

errori. 

Come  per  il  caos,  anche  la  complessità  ci  si  presenta  oggi  come  un 

concetto emergente e denso di significato. ʺComplessoʺ indica qualcosa 

di molto articolato, di composto di molte parti interagenti tra loro, certo 

in maniera non banale, in modo cioè che le parti abbiano tutte un certo 

grado di  autonomia  l’una dall’altra, ma  siano  anche dipendenti  lʹuna 

dallʹaltra. C’è un nesso tra complessità e caos? Il caos è forse nientʹaltro 

che il frutto della complessità? 

La risposta, come sappiamo, è no. Sono caotici anche sistemi piuttosto 

semplici,  anche  molto  semplici,  come  un  pendolo,  ad  esempio. 

Viceversa,  non  è  detto  che  un  sistema  complesso  mostri 

necessariamente  un  comportamento  caotico. Quello  che  però  avviene 

sicuramente  in  un  sistema  caotico  è  che  se  si  esplora  lo  spazio  delle 

possibili  evoluzioni  a  partire  da  un  insieme  ristretto  e  ʺsempliceʺ  di 

possibilità iniziali, si ottiene qualcosa di molto complesso, cioè di dotato 

3  

di molti  dettagli  e  popolato  di molte  parti  e  alternative.  Eʹ  da  lì  che 

nasce  appunto,  lʹimpossibilità  di  una  previsione.  Lʹuniverso  delle 

possibili evoluzioni diventa sempre più complesso, man  mano che ci si 

spinge in là con il tempo. 

 

 

1.2  GENERALITÀ SUI SISTEMI DINAMICI 

 

Vengono introdotte qui alcune nozioni e alcuni risultati necessari per lo 

svolgimento di questo lavoro. 

 

1.2.1 Nozioni di base 

 

 Cominciamo  col  definire  un  sistema  dinamico  dal  punto  di  vista 

analitico: un  sistema dinamico  è un  sistema di  equazioni differenziali 

della forma: 

( , )x f x t  

Con : nf U R , e con  U aperto su Rn ×R e   

dxx

dt . 

Lo  spazio  delle  variabili  dipendenti  è  il  cosiddetto  spazio  delle  fasi  o 

degli stati.  

Per soluzione  del sistema dinamico si intende una mappa  φ : U → Rn , con 

I    intervallo  su R. Si può  interpretare φ  come una  curva nello  spazio 

delle fasi,  con f  campo di vettori tangenti alla curva.  

4  

È  necessario  ricordare  il  classico  risultato  del  teorema  di  esistenza  e 

unicità: 

supponendo che  f sia di classe Cr  su di U, (  f   Cr (U) ) e che per t1, t2 

siano I1 = {t   R : t0 − t1 < t< t0 + t1} e I2 = {t   R : t0 − t2 < t <t0 + t2}, allora 

vale il seguente: 

 

Teorema (di esistenza e unicità) 

Sia (x0,t0)   U, allora per un t1 sufficientemente piccolo esiste una soluzione φ1 

del sistema dinamico tale che φ1 : I1 → Rn,φ1(t0)= x0.  

Se f   Cr(U), r ≥ 1, ed esiste φ2 : I2 → Rn, φ2(t0)= x0, allora φ1 = φ2,  t   I3, con 

I3 = {t   R : t0 − t3 < t < t0 + t3} e t3 = min(t1,t2). 

 

Osservazione  

Si  utilizza  qui  una  versione  del  teorema  di  esistenza  e  unicità  con 

ipotesi più forti su f, dato che la natura di f non è mai un problema nelle 

applicazioni che tratteremo.  

Altro importante risultato nelle applicazioni è il seguente: 

 

Teorema  

Se f   Cr (U) allora la soluzione φ(t, t0, x0) è di classe Cr per le variabili t, t0, x0.  

 

Osservazione  

 Questo  permette  di  fare  lo  sviluppo  di  Taylor  di  una  soluzione 

nellʹintorno di una data condizione iniziale.  

 

5  

Definizione  

Sia  I  un  intervallo  aperto  e A  una  funzione A  :  I → Mn×n 

e  siano  le 

funzioni u1,...,un una base di soluzioni del sistema lineare omogeneo: 

v Av  

Si indica con  11

( ) ( ) , , .n

k k kk

u t u t c u u c

  

Nel caso  in cui  i coefficienti A  siano costanti,  la matrice  1, , nZ u u  

viene detta matrice risolvente quando Z(0) = Id.  

 

Osservazione  

 Se  i  coefficienti  sono  costanti,  posta  R  =  Z(t)Z−1(0),  la  soluzione  al 

problema omogeneo è: 

u(t)= R(t − t0). 

 

Il  teorema di  esistenza  ed unicità  garantisce  la  soluzione  solo per un 

piccolo intervallo. Per enunciare il teorema che consente di estendere la 

soluzione, è necessaria la seguente:  

 

Definizione  

Sia  φ1  una  soluzione  del  sistema  dinamico  definita  su  I1  e  φ2  una 

soluzione  del  medesimo  sistema  definita  su  I2.  Si  definisce  φ2  un 

prolungamento di φ1 se I1   I2 e φ2 = φ2 su I1. Una soluzione è detta non 

prolungabile  se  il  suo prolungamento non  esiste,  ed  in  tal  caso viene 

definito l’intervallo massimo di esistenza.  

 

6  

Teorema  

Sia  f    Cr(U)  e  φ  una  soluzione  del  sistema  dinamico,  allora  esiste  un 

prolungamento  di  φ  fino  ad  un  intervallo  di massima  esistenza.  Inoltre,  se 

(t1,t2) è un intervallo massimo di esistenza, allora (φ(t),t) tende al bordo di U 

per t → t1, t → t2.  

 

1.2.2 Sistemi autonomi e non autonomi  

I  sistemi dinamici possono  essere  caratterizzati dal  fatto  che  il  campo 

vettoriale  dipenda  in  maniera  esplicita  o  meno  dal  parametro 

indipendente t (tempo).  

Sistemi autonomi 

Un  sistema  autonomo  di  equazioni  differenziali  ordinarie  è 

caratterizzato dallʹespressione : 

xֹ = f (x) 

con  f  : U → Rn con U  aperto  su R

n e  φ una  soluzione del  sistema.  Si 

verifica  facilmente  che  la  soluzione  di  un  sistema  autonomo  è 

indipendente  da  un  incremento  del  parametro  indipendente,  cioè  se 

φ(t) è una  soluzione, allora  lo è anche φ(t +  τ  )  τ   R. Seguono due 

importanti proprietà dei sistemi autonomi.  

 

 

Proprietà 1 

Sia  f   Cr(U),  r  ≥ 1,  φ1 una  soluzione del  sistema dinamico autonomo 

definita  su  I1 e φ1 una  soluzione del medesimo  sistema definita  su  I2  , 

con φ1(t1)= φ2(t2), allora su I1 ∩ I2, φ1(t − (t2 − t1)) = φ2(t). 

7  

Proprietà 2 

Sia  f   Cr(U),  r  ≥  1,  φ una  soluzione del  sistema dinamico  autonomo 

definita su I. Supponiamo esistere due valori t1,t2   I tali che φ(t1)= φ(t2), 

allora la soluzione φ(t) esiste  t   R ed è periodica in t di periodo T = t2 

− t1, ovvero φ(t)= φ(t + T ) t   R.  

 

Queste due proprietà dicono che due soluzioni qualsiasi (e quindi tutte 

le  orbite)  non  possono  coincidere  su  di  uno  stesso  punto  senza 

coincidere nel loro intervallo di definizione.  

 

Sistemi non autonomi 

Un sistema si dice non autonomo se il suo campo di vettori dipende in 

maniera  esplicita  dalla  variabile  indipendente  tempo.  Quindi  la  sua 

espressione è:  

xֹ = f (x, t) 

con  f  : U → Rn, con U aperto su R

n × R e φ soluzione del sistema non 

autonomo.  

 

Le proprietà espresse per i sistemi autonomi non valgono per quelli non 

autonomi, ma è sempre possibile scrivere un sistema non autonomo in 

forma di sistema autonomo.  

Per la regola della catena:  

( , )

1

dx dx ds f x t

dt ds dt

  

È allora possibile scrivere il  sistema nel nuovo parametro indipendente 

s: 

8  

' ( , )

' 1

dxx f x t

dtdt

tds

 

 

Si definisce  il nuovo vettore delle variabili di  stato y =[x,  t], quindi  il 

sistema non autonomo diviene: 

' ( ) [ ( ),1]y g y f y  

 

che  risulta autonomo nella variabile  s.    Infatti ad una  soluzione φ del 

sistema non autonomo che passa per (x0,t0),  corrisponde una soluzione 

ϕ(s) del sistema autonomo dallʹespressione ϕ(s)=[φ(s+t0), t(s)= s+t0], con 

s0 =0.  

Questo banale accorgimento  consente di  tenere  conto  solo dei  sistemi 

autonomi nei risultati che seguiranno.  

 

 

1.2.3 Stabilità delle soluzioni 

La nozione di stabilità (o di instabilità) è molto importante nello studio 

di  una  soluzione,  infatti  la  stabilità  garantisce  in  qualche modo  una 

proporzionalità  tra  la  perturbazione  dellʹingresso  di  un  sistema 

dinamico  e  la  sua  perturbazione.  In  linea  di  principio  una  soluzione 

stabile di un sistema dinamico se leggermente perturbato varia di poco 

la sua evoluzione.  

Si  definisce  in  maniera  analitica  questa  forte  proprietà  con  la 

definizione dovuta a Lyapunov:  

Sia φ(t,  0,  x0)  una  soluzione  del  sistema  dinamico  autonomo  definita 

nellʹintervallo massimale destro  I+,  che  si può  sempre  supporre  come  

[0, +∞)  

9  

Definizione (stabilità secondo Lyapunov) 

La soluzione φ(t, 0, x0) si dice stabile (secondo Lyapunov) se  t > 0,   δ = 

δ(t) tale che: 

se  0 0x x  allora la soluzione  0( ) ( ,0, )t t x  è definita in [0, +∞) e  

||ψ(t) − φ(t)|| < t  t   [0, +∞).  

Se inoltre ||ψ(t) − φ(t)|| → 0 per t →∞, φ si dice asintoticamente stabile.  

In pratica per una soluzione stabile secondo Lyapunov, se si da origine 

ad un orbita sufficientemente vicino al x0, essa  rimarrà confinata nelle 

vicinanze di φ(t). Unʹorbita che non è stabile è detta instabile.  

Metodo di linearizzazione 

Il metodo di  linearizzazione consente di determinare  la stabilità  locale 

di un sistema dinamico nellʹintorno di una data soluzione.  

Si consideri il sistema autonomo  

y  = f (y, t) 

con f   C1 (Ω), Ω aperto su Rn e tale che f(0) = 0 e sia Df(0) non singolare.  

Sviluppiamo nellʹorigine la nostra f, che ricordiamo essere (almeno) C1: 

( ) (0) ( ).f y Df y o y  

Si ponga A ≡ Dyf(0) e si consideri il sistema (sistema linearizzato) : 

z Az  

Vale il seguente risultato, del quale si omette la dimostrazione: 

10  

Teorema  

Se  lʹorigine  è asintoticamente stabile per  il  sistema  z Az , allora  lo  è anche 

per  ( )y f y  

 

Teorema (di stabilità lineare) 

La soluzione nulla del sistema non lineare non autonomo  

( ) ( , )z A t z o x t  

è asintoticamente stabile se: 

0

( , )) lim 0

) ( ) l imitata

c) se la soluzione per è asintoticamente stabile t

x

o x ta t

x

b A t

z Az

 

 

Risulta ovvio ricondursi al teorema precedente trasformando il sistema 

non autonomo in un sistema autonomo.  

 

1.2.4 Mappe di Poincaré   

La mappa  di  Poincaré  è  una  tecnica  che  consente  di  trasformare  un 

sistema di equazioni differenziali  in un sistema discreto, comportando 

una  serie  di  vantaggi,  tra  i  quali  la  riduzione  delle  dimensioni  del 

problema, senza nulla perdere in termini di interpretabilità dei risultati 

ottenuti. Lʹidea di fondo di questa tecnica è, dato un sistema dinamico 

autonomo,  prendere  una  varietà  Σ,  n  −  1‐dimensionale,  nello  spazio 

delle  fasi,  tale  che  sia  trasversale  al  campo  dei  vettori  nel  punto  x , ovvero tale che: 

11  

( ) ( ) 0n x f x  

 

Supponiamo di avere una soluzione γ di periodo T per il nostro sistema 

dinamico.  Allora  si  posizioni  Σ  su  di  un  punto  di  questa  orbita.  Eʹ 

possibile  trovare  su Σ un  sottoinsieme  aperto V  ,  tale  che  x   V  ,  il 

tempo che impiega un orbita originata da x a ritornare in Σ è prossimo 

al periodo T . Chiamiamo questo tempo di ritorno con τ : V → R.  

Allora si definisce la mappa di Poincaré P come la mappa che relaziona 

un punto su V con il punto in cui lʹorbita da esso generata incide su Σ la 

prima volta. Quindi:  

:

( ( ), )

P V

x x x

  

Eʹ  legittimo  chiedersi  come,  data  lʹarbitrarietà  delle  superfici  di 

Poincaré,  le  mappe  varino  al  variare  delle  superfici.  Eʹ  possibile 

dimostrare che, prese due superfici Σ1, Σ2 e di conseguenza due mappe 

P1 e P2, esse siano localmente coniugate,   cioè una funzione h tale che:  

P1 ◦ h = h ◦ P2 

Con h un difeomorfismo di classe C

r (mappa di classe C

r con una inversa 

anchʹessa di classe Cr) , tale che:  

h(Σ1)=Σ2 

È possibile  estendere  questa  idea  ad un  sistema dinamico  autonomo, 

effettuando  una  cosiddetta  mappatura  stroboscopia.  Tale  tecnica 

consiste  nel  prendere  un  orbita  φ(t,  x0)  e  posizionare  delle  superfici 

trasversali  alla  traiettoria  scelta  con  periodo  T  .  Quindi  creare  una 

mappa:  

1:

( ( ), )k kP

x x x

  

12  

Questa  mappatura  ci  servirà  per  poter  trovare  agevolmente  gli 

esponenti di Lyapunov per un sistema continuo.  

 

1.2.5 Esponenti di Lyapunov 

Ora per trattare questo fondamentale argomento nellʹambito dei sistemi 

dinamici utilizzerà un approccio  intuitivo, cercando di generalizzare a 

partire dal semplice caso di una equazione di ricorrenza.  

Si consideri, allʹinizio, unʹequazione di ricorrenza:  

1 ( )k kx f x  

E si prenda una sua traiettoria, originata da x0:  

0 1 2, , ,...x x x  

e  la  traiettoria  originata  da  x0  sottoposto  ad  una  perturbazione,  che 

chiameremo 0x :  

0 1 2, , ,...x x x . 

Per  poter  apprezzare  di  quanto  varia  la  dinamica  del  sistema  sotto 

lʹeffetto  della  perturbazione,  si  vuole  valutare  il  valore  1 1 1e x x   

attraverso uno sviluppo lineare. Assumendo che e0 sia piccolo  

1 1 1 0 0 0 0 0( ) ( ) '( ) ( )e x x f x f x f x e o e . 

Dopo t istanti si ha che: 

0

1'

0 0 0 0 0 0 00

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t

t t tt k

kx

de f x f x f x e o e f x e o e

dx

. 

 

Trascurando i termini o(e0): 

13  

1 1' '

0 00 0

( ) exp ln ( ) .

tt t

t tt k k

k k

e f x e t f x e

 

Per  t →∞:  0( )0

L x tte e e , 

dove x0 è l’esponente di Lyapunov relativo all’orbita generata da x0 e la 

sua definizione è: 

1'

0

1( ) lim ln ( )

t

o ktk

L x f xt

 

Esso può essere interpretato, in analogia alla teoria dei sistemi dinamici 

lineari,  come  la  costante di  tempo della  dinamica  dellʹevoluzione del 

sistema, se ne viene perturbata un’orbita, per t →∞. Se L(x0) < 0 lʹorbita 

si  allontana  indefinitamente,  se  L(x0)=0  la  distanza  rimane  costante, 

mentre  per  L(x0)  >  0  la  perturbazione  si  esaurisce  riportando  lʹorbita 

perturbata su quella originale. Per un sistema monodimensionale, se la 

sua  orbita  è  non  periodica,    il  valore  dellʹesponente  non  può  essere 

calcolato  esattamente, ma  viene  iterata  la  sua  definizione  finché  non 

converge.  

Tale concetto può essere generalizzato per un sistema, sempre discreto, 

ma di dimensione n.  

Si supponga di avere un sfera n‐dimensionale di raggio infinitesimo con 

condizioni  iniziali nello spazio delle  fasi. Se si  trasforma  la sfera sotto 

lʹazione di una  trasformazione  lineare,  la sfera diviene un ellisse,  i cui 

semiassi,  diretti  lungo  le  direzioni  principali,  sono  lunghi 

(considerando  il  raggio  della  sfera  di  partenza  unitario)  al  tempo  t, 

1 2( ) ( ) ... ( )nr t r t r t   

A partire da questi valori, si definiscono gli esponenti di Lyapunov per 

la direzione i‐esima: 

1( ) limln ( ) lim ln ( )t

i o i it tL x r t r t

t  

Quindi per come abbiamo ordinato  le  lunghezze e per come abbiamo 

definito gli esponenti:  

14  

1 2( ) ( ) ... ( )nL t L t L t  

Alternativamente  gli  esponenti  di  Lyapunov  possono  essere  calcolati 

con la seguente definizione: 

1 1

00 0

1( ) lim ln ( ) ( )

Tt t

i i k kt

k k

L x D x D xt

 

 

Indicando  con λi{•}  lʹautovalore  i‐esimo della matrice  in argomento, e 

definendo: 

1 1

0 0

( ) ( )Tt t

k kk k

M D x D x

, 

si nota come la matrice sia simmetrica e di come valga, di conseguenza, 

il risultato del teorema spettrale.  

Anche qui  lʹesponente di Lyapunov esprime  il  tasso medio al quale  la 

distanza  di  un  orbita  converge  o  diverge,  diretta  lungo  la  direzione 

indicata  dallʹautovettore  corrispondente.  Come  detto,  la matrice M  è 

simmetrica e quindi grazie al  teorema  spettrale  i  suoi autovalori  sono 

reali e gli autovettori formano una base ortonormale dellʹautospazio. Si 

può quindi dire che  lʹesponente di Lyapunov L1(x0)  indica  la direzione 

di maggior crescita, mentre in generale lʹi‐esimo esponente Li(x0) indica 

la direzione di maggiore crescita tra quelle ortogonali alle direzioni che 

lo  precedono  nellʹordinamento  indicato  (quindi,  ad  esempio,  il  terzo 

esponente  è  la direzione di maggiore  crescita nello  spazio  ortogonale 

alla  prima  e  alla  seconda  direzione,  e  così  via).  Lungo  una  generica 

direzione  0e   (  che  può  essere  vista  come  combinazione  degli 

autovettori considerati ) anche la divergenza dellʹorbita può essere vista 

come  combinazione dei moti proiettati  lungo  gli  autovettori. Per una 

quantità  di  tempo  sufficientemente  elevata  i  moti  relativi  agli  altri 

esponenti  diventeranno  trascurabili  rispetto  a  quello  relativo  a  L1(x0). 

Allora per t→∞:  1 0( )

0L x t

te e e . 

15  

Lʹesponente maggiore quindi, a  lungo andare, caratterizza  la dinamica 

del sistema.  

Sistemi tempo‐continui 

Per  un  sistema  a  tempo  continuo  lʹidea  di  esponente  di  Lyapunov 

rimane sostanzialmente la stessa, cioè il tasso medio di divergenza delle 

orbite perturbate. Per un sistema a tempo continuo è possibile definire 

una mappa  stroboscopica di  periodo T  che  associa  al punto  x  la  sua 

posizione a dopo T istanti:  

x((k + 1)T )= P (x(kT ))  T > 0 

e  poi  calcolare  gli  esponenti  di  Lyapunov  ( )i oL x     per  la  mappa 

stroboscopica.  Gli  esponenti  di  Lyapunov  del  sistema  continuo 

originale possono essere trovati sapendo che: 

( )

( ) i oi o

L xL x

T

. 

 

 

Osservazione  

Benchè  la  scelta  di  T  sia  arbitraria,  è  sempre  conveniente  prende  T 

piccolo,  perché  una  scelta  di  T  grande  indurrebbe molti  errori  nelle 

simulazioni  numeriche.  Infatti  le  definizioni  degli  esponenti  di 

Lyapunov nel caso n> 1 sono numericamente divergenti.  

Esistono  comunque  molti  algoritmi  convergenti  per  il  calcolo  degli 

esponenti. 

 

 

16  

1.3 LA TEORIA DEL CAOS DETERMINISTICO 

 

Il 29 dicembre 1979,  il fisico Edward Lorenz   presentò alla Conferenza 

annuale  dellʹAmerican  Association  for  the  Advancement  of  Science,    una 

relazione  in  cui  ipotizzava  come  il  battito  delle  ali  di  una  farfalla  in 

Brasile, a séguito di una catena di eventi, potesse provocare una tromba 

dʹaria  nel  Texas[14].  Lʹinsolita  quanto  suggestiva  relazione,  diede  il 

nome al cosiddetto butterfly effect, effetto farfalla.  

Nel  corso  di  un  programma  di  simulazione  del  clima,  Lorenz  fece 

unʹinaspettata quanto importante scoperta. Una 

delle simulazioni climatiche si basava su dodici 

variabili,  incluse  relazioni  non  lineari.  Lorenz 

scoprì  che,  ripetendo  la  stessa  simulazione  con 

valori  leggermente  diversi,  una  serie  di  dati 

veniva prima arrotondata a sei cifre decimali, e 

successivamente  a  tre,  lʹevoluzione  del  clima 

elaborata dal computer si discostava nettamente 

dai  risultati  precedenti:  a  quella  che  si 

configurava  appena  una  perturbazione,  dopo 

unʹeffimera somiglianza iniziale, si sostituiva un 

modello climatico completamente diverso. 

Queste  osservazioni  hanno  portato  allo 

sviluppo della Teoria del Caos che pone limiti  definiti alla prevedibilità 

dellʹevoluzione di sistemi complessi non lineari.  

Nei  sistemi  lineari,  una  piccola  variazione  nello  stato  iniziale  di  un 

sistema fisico, chimico, biologico, o economico provoca una variazione 

corrispondentemente  piccola    nel  suo  stato  finale:  per  esempio, 

colpendo leggermente più forte una palla da biliardo, questa andrà più 

lontano. 

Al contrario, sono non  lineari  le situazioni di un sistema  in cui piccole 

differenze  nelle  condizioni  iniziali  producono  differenze  non 

prevedibili nel comportamento successivo.  

 Figura 1.1: Il fisico Edward Lorenz

17  

Un  sistema può  anche  comportarsi  in modo  caotico  in  certi  casi  e  in 

modo non caotico  in altri. Per esempio, da un rubinetto non chiuso  le 

gocce  cadono  in  una  sequenza  regolare,  variando  leggermente 

lʹapertura  del  rubinetto,  si  può  far  sì  che  le  gocce  cadano  invece  in 

modo irregolare, appunto caotico.  

Eʹ impossibile prevedere il comportamento che un sistema caotico avrà 

dopo un intervallo di tempo anche piuttosto breve. Infatti, per calcolare 

il  comportamento  futuro  del  sistema,  anche  se  descritto  da 

unʹequazione  molto  semplice,  è  necessario  inserire  i  valori  delle 

condizioni iniziali. 

Dʹaltra  parte,  nel  caso  di  un  sistema  complesso  non  lineare,  data  la 

grande sensibilità del sistema agli agenti che  lo sollecitano, un piccolo 

errore  nella  misura  delle  condizioni  iniziali,  oppure  una  modifica 

apparentemente  irrilevante  dei  dati  immessi  ed  ovviamente  anche  il 

loro  successivo  arrotondamento  durante  il  calcolo,  cresce 

esponenzialmente con  il  tempo, producendo un radicale cambiamento 

dei risultati. 

Questo  significa  che  i  dati  relativi  alle  condizioni  iniziali  dovrebbero 

essere  misurati  con  unʹaccuratezza  teoricamente  infinita,  ma  ciò  é 

praticamente impossibile. 

Quanto  detto  spiega  perché  le  previsioni  meteorologiche,  sebbene 

descritte con le equazioni deterministiche della fisica, fluidodinamica e 

termodinamica, ed elaborate 

con raffinate tecniche di calcolo eseguite da super computer, producono 

risultati  molto  approssimativi.    Per  rappresentare  lʹatmosfera  sono 

necessari sei milioni di numeri e questo comporta  i problemi connessi 

alle misurazioni. Gli strumenti a terra sono molto accurati, ma le sonde 

in quota possono  rilevare  la  temperatura con un errore di un grado;  i 

satelliti pagano lo scotto di sondare spazi altrimenti irraggiungibili con 

errori anche di due gradi. 

Lʹeffetto  farfalla  in conclusione, sottolinea come nella maggior parte dei 

sistemi  biologici,  chimici,  fisici,  economici  e  sociali,  esistano  degli 

elementi che, apparentemente insignificanti, sono in grado, interagendo 

18  

fra  loro,  di  propagarsi  e  amplificarsi  provocando  effetti  catastrofici. 

Questi  elementi,  e perché  trascurati,  e perché  imprevedibili,  e perché 

non  individuabili,  costituiscono  il dilemma del nostro  secolo  giacché, 

come  visto, possono condurci a conclusioni errate.  

Ecco  il  motivo  per  cui  molto  spesso,  ad  esempio,  per  spiegare  il 

comportamento  di  un  sistema  come  la  crescita  della  popolazione, 

lʹeutrofizzazione delle coste marine, o le variazioni climatiche, si ricorre 

ad un modello. 

Un  modello  è  una  riproduzione  semplificata  della  realtà,  ossia 

unʹastrazione  che  considera  solamente  le  principali  caratteristiche  di 

quello  che  è  il  reale oggetto di  studio. Tuttavia, un modello,  sebbene 

possa  sembrare  limitato,  in  quanto  non  riproduce  completamente  la 

realtà, permette di esaminare gli aspetti più importanti di un problema. 

Dalla  scoperta di Lorenz molto  cammino  è  stato  compiuto  in  tutte  le 

branche del sapere. Tra tutte le definizioni create sul 1900, una sembra 

la  più  significativa:  il  1900  è  il  secolo  delle  Rivoluzioni.  Dopo  la 

Relatività e la Meccanica Quantistica, la rivoluzione più importante è la 

scoperta della teoria del Caos. 

Essa ha  investito spazi come quello dei matematici, una volta  isolati e 

gelosi delle   proprie scoperte, dei  fisici, dagli studiosi della meccanica 

dei liquidi, agli astronomi, dei chimici e degli studiosi di etologia, degli 

informatici e di quanti si occupano di crittografia, dei cardiologi, degli 

analisti,  dei  chirurghi,  degli  studiosi  del  comportamento 

nellʹorganizzazione aziendale, nella comunicazione o nella geriatria. 

In tutte le discipline lo studio del Caos ha dato conferme sorprendenti e 

sorprendenti ne sono state  finora  le conseguenze applicative. Gli studi 

di  tutti  gli  scienziati  dimostrano  che  il  comportamento  naturale  dei 

fenomeni è non lineare. 

I  comportamenti  della  maggioranza  dei  fenomeni  della  natura  e 

dellʹuomo  non  procedono  con  ritmi  che  si  ripetono,  ma,  dopo  un 

periodo  regolare, presentano  in modo  inaspettato una biforcazione  in 

un punto  critico  che  si moltiplica  fino  a generare una  turbolenza. Un 

flusso  regolare  si  scompone  in  vortici  e mulinelli.  Strutture  irregolari 

19  

interrompono la continuità del confine tra fluido e solido, per esempio 

quando il liquido si ghiaccia [15]. 

La  turbolenza  genera  entropia:  mescolanza,  disordine,  casualità. 

Tuttavia,  le parti scomposte,  i vortici nel moto dei  fluidi, non  fuggono 

via, ma restano vicini, pur seguendo regole proprie. 

Ciò avviene per un fenomeno che dà luogo ai cosiddetti attrattori strani.  

In poche parole  la turbolenza si produce restando tuttavia allʹinterno di 

una fase. 

Alla  fine dellʹintero processo si produce unʹautoorganizzazione  in una 

situazione  nuova,  che  a  sua  volta  può  riprodurre  un  altro momento 

caotico e così via. 

Ciò, come già detto, è  impredicibile,  sebbene  si  sappia che avviene  in 

forma rigorosa e deterministica.  

Uno  degli  aspetti  più  interessanti  dello  studio  della  dinamica  dei 

sistemi  non  lineari  è  lʹorganizzazione  che  emerge  spontaneamente 

dallʹinterazione  di  molte  componenti  elementari  [16].  Un  classico 

esempio è quello di un fluido riscaldato dal basso dove  in presenza di 

opportune  condizioni  al  contorno  i moti  convettivi  delle molecole  si 

dispongono  secondo  le  cosiddette  colonne  di  Bénard,  che  sono 

formazioni  verticali  a  nido  dʹape.  Si  instaura  cioè  unʹinattesa 

cooperazione  tra molecole  laddove  sarebbe  atteso  semplicemente  un 

aumento del disordine molecolare.  I  sistemi  complessi  reagiscono alle 

modificazioni  dellʹambiente  esterno  riorganizzandosi  in  modo  da 

esibire proprietà innovative. Lʹautoorganizzazione, infatti, è una struttura 

spazio‐temporale  che  non  è  imposta  dallʹesterno  ma  emerge 

spontaneamente dallʹevoluzione del sistema stesso come funzione della 

sua dinamica. Lʹorganizzazione  emergente  è  osservabile  ad una  scala 

spazio‐temporale diversa, molto maggiore, da quella molecolare. 

La  costruzione di modelli matematici per  tali  sistemi evidenzia  che  le 

equazioni  che  li  reggono  sono  in  genere  estremamente  sensibili  alle 

condizioni iniziali, in modo che fluttuazioni estremamente piccole danno 

luogo a storie dinamiche completamente diverse. 

20  

Questo indeterminismo di fatto, ma non di principio, non è eliminabile, 

dato che in un sistema numerico è comunque necessario fissare un certo 

grado  di  precisione  non  infinito  e  qualsiasi  grado  anche  più  alto  di 

precisione produrrà storie dinamiche differenti. Questo è  il cosiddetto 

caos  deterministico,  dove  il  sistema  ha  un  comportamento 

complessivamente  regolare  ma  irregolare  nel  dettaglio,  e  quindi  è 

impossibile prevedere il suo comportamento negli istanti futuri. 

 

Si definisce  allora  il Caos  come un  comportamento non  predicibile  di un 

sistema  dinamico  deterministico  a  causa  della  sua  sensibilità  alle  condizioni 

iniziali [15]. 

 

Più precisamente, un  insieme S esibisce  sensibilità ai valori  iniziali  se 

esiste una ρ  tale che, per ogni ε > 0 e per ogni x in S, esiste un y tale che 

|x ‐ y | < ε , e |xn ‐ yn |> ρ per  n > 0. Allora esiste una distanza fissa r 

tale che, per quanto precisamente si specifichi uno stato iniziale, ci sono 

stati vicini che alla fine si allontanano di una distanza r.  

Questo è ciò che avviene nei sistemi caotici. Un sistema caotico esibirà 

quindi  sensibilità  alle  condizioni  iniziali,  comportandosi  in  modo 

complesso. 

 

 

Non linearità e sistemi dinamici 

 

In  natura, molti  sistemi  sono  lineari  o  approssimabili  alla  linearità,  e 

grazie  alla  trasformata  di  Fourier  per  cui  ogni  funzione matematica 

periodica  può  essere  rappresentata  da  una  serie  di  onde  sinusoidali 

pure, si è giunti alla modellizzazione di moltissimi  fenomeni naturali. 

Per  alcuni  sistemi  fisici  la  linearità  non  è  sostenibile,  e  la  loro 

modellizzazione diviene estremamente complessa: quasi  tutti  i sistemi 

dinamici sono caotici, quindi   intrinsecamente deterministici, e di fatto 

non predicibili [12] [13]. 

 

21  

Le funzioni lineari si comportano in modo tale che: 

 

f(ax+by) = af(x) + bf(y). 

 

Nei casi in cui non vale questa eguaglianza, e qui entra in gioco la non 

linearità, tutto diviene matematicamente più difficile. Ad esempio se: 

 

f(x) = 0  e  f(y) = 0 

 

 per ogni a e b non vale più  f(ax+by) = 0,  perciò la soluzione va cercata 

con metodi particolari.  

Nessun  modello  reale  è  veramente  lineare,  ma  spesso  si  può 

approssimare ad una  funzione  lineare.  I sistemi non  lineari esibiscono 

effetti  complessi  non  deducibili  con  metodi  lineari,  caratteristica 

particolare  dei  sistemi  dinamici.  Tuttavia,  introducendo  delle 

approssimazioni, essi possono essere linearizzati e risolti numericamente 

con tecniche tipiche dei sistemi lineari. 

Come  già  anticipato  nel  paragrafo  precedente,  un  sistema  si  dice 

sistema  dinamico  quando  esprime  la  variabilità di uno  stato,  ossia un 

punto in uno spazio vettoriale, nel tempo: 

 

( , ) (*)

: differenziabilen n

dXF X t

dt

F W R R

  

La  soluzione del  sistema  è  lʹinsieme delle  traiettorie  in  funzione delle 

condizioni  iniziali. Un  sistema dinamico  è  completamente definito da 

uno spazio delle fasi o degli stati, le cui coordinate lo descrivono in ogni 

istante,  e  da  una  regola  che  specifica  lʹandamento  futuro  di  tutte  le 

variabili di stato. I sistemi dinamici sono deterministici se esiste un unico 

conseguente per ciascuno stato, stocastici se ne esistono diversi con una 

certa distribuzione di probabilità come il classico lancio di una moneta. 

22  

Lo  spazio delle  fasi è  la collezione di  tutti  i possibili stati di un sistema 

dinamico. Può essere finita, come nel caso della moneta in cui si hanno 

due stati, o infinita se le variabili sono numeri reali. 

 

Matematicamente, un sistema dinamico è descritto da un problema ai 

valori iniziali. La curva nello spazio delle fasi tracciata da una soluzione 

di  un  problema  ai  valori  iniziali  è  chiamata  traiettoria  del  sistema 

dinamico.  

Si definisce  traiettoria  costante una  soluzione  costante x(t) = x(0) di  (*),  

ossia un vettore x(0) per il quale ciascuna componente della parte destra 

di (*) è zero.  

 

Una  traiettoria  costante  è  detta  stabile  se  sono  soddisfatte  le  seguenti 

condizioni: 

a) deve  esistere un numero positivo  ε  tale  che,  ogni  traiettoria 

che parte allʹinterno di ε di x(0), deve avvicinarsi asintoticamente 

a x(0), 

b) per ogni numero positivo ε, deve esistere un numero positivo 

δ(ε),  tale  che,  una  traiettoria  sia  garantita  stare  entro  di  x(0) 

semplicemente richiedendo che abbia inizio entro δ(ε) di x(0), 

c)  lʹinsieme  di  tutti  i  punti  che  possono  essere  stati  iniziali  di 

traiettorie  che  si  avvicinano  asintoticamente  ad  una  traiettoria 

stabile è detto regione di attrazione della traiettoria stabile. 

Si definisce ciclo limite, o attrattore ciclico,  una curva chiusa nello spazio 

n‐dimensionale con le seguenti proprietà: 

a) nessuna traiettoria costante è contenuta nel ciclo limite, 

b)  qualsiasi  traiettoria  che  abbia  inizio  in  un  punto  nel  ciclo 

limite deve stare entro il ciclo limite anche in seguito, 

23  

c)  deve  esistere  un  numero  positivo  ε    tale  che  ciascuna 

traiettoria  che  abbia  inizio  entro  δ(ε)  del  ciclo  limite  deve 

avvicinarsi asintoticamente al ciclo limite, 

d) per ogni numero positivo ε  deve esistere un numero positivo 

δ(ε)  tale  che una  traiettoria  sia  garantita  stare  entro  e del  ciclo 

limite semplicemente richiedendo che abbia inizio entro δ(ε) del 

ciclo limite. 

In sintesi, se alcune  traiettorie convergono  in qualche punto,  lʹinsieme 

degli stati  iniziali di tali traiettorie generate è detto regione di attrazione 

del punto. Una regione di attrazione è in definitiva un insieme di punti 

nello  spazio degli  stati di diametro  finito  tale per  cui  ogni  traiettoria 

entra e non esce più. 

Lʹattrattore,  allora,  può  essere  visto  come  una  generalizzazione  della 

nozione di equilibrio, e rappresenta ciò su cui si arresta, o verso cui è 

attratto il comportamento di un sistema. 

Prendiamo  un  comune  pendolo  che  si  muove  sottostando  a  forze 

dʹattrito  che  lo  rallentano  fino  a  farlo  fermare.  Si  può  descrivere  il 

movimento del pendolo utilizzando il cosiddetto diagramma di fase, o 

di stato,  in cui vengano  rappresentati su un asse  lʹangolo del pendolo 

con  la verticale e sullʹaltro  la velocità con cui cambia  lʹangolo.  Il moto 

oscillante  del  pendolo  è  allora  rappresentato  da  un  punto  che  gira 

intorno  allʹorigine  del  diagramma  di  fase; man mano  che  il  pendolo 

perde energia, il punto si avvicina a spirale allʹorigine dove infine va a 

fermarsi. In questo caso lʹorigine sembra attrarre il punto in movimento 

del diagramma di fase. 

Questo è il tipo più semplice di attrattore, il cosiddetto attrattore a punto 

fisso che descrive,  visto, un sistema che evolve sempre verso un singolo 

stato.  Si  passa  poi  alla  forma  più  complessa  di  attrattore,  detta  ciclo 

limite. Esso corrisponde ad un sistema, pendolo ideale senza attriti, che 

evolve verso uno  stato periodico. Nello  stato delle  fasi vicino  al  ciclo 

limite  le  traiettorie  seguono  un  percorso  regolare  che  può  essere 

circolare o ellittico. 

24  

Altri  attrattori,  definiti  semplicemente  attrattori  strani,  descrivono 

sistemi  che  non  sono  né  statici  né  periodici.  Nello  spazio  delle  fasi 

vicino a un attrattore strano, due  traiettorie che presentano condizioni 

iniziali  praticamente  identiche  divergono  rapidamente  e  su  lunghe 

distanze  temporali  divengono  molto  differenti.  Un  sistema  la  cui 

descrizione  presenta  attrattori  strani  è  caotico  ed  un  tipico  esempio 

sono  le  equazioni  di  Lorenz.  Ma  vediamo  più  in  dettaglio  le 

caratteristiche delle diverse tipologie di attrattore. 

 

 

Attrattori puntuali 

 

Lʹattrattore è una figura geometrica nello spazio degli stati cui converge 

il vettore di stato di un sistema dinamico, esaurito il transitorio. 

 

 

Linearizzando nellʹintorno del punto di equilibrio si può dimostrare che 

gli  autovalori  della  matrice  Jacobiana  hanno  parte  reale  negativa  e 

quindi tale punto è un attrattore puntuale. Scegliendo qualunque stato 

Figura 1.2: Convergenza delle traiettorie verso un attrattore puntuale nello spazio di stato

25  

iniziale  la  traiettoria conseguente converge verso  lʹattrattore  seguendo 

una linea di flusso dellʹenergia. 

 

 

Attrattori periodici 

 

Se lo stesso sistema precedente viene polarizzato in modo diverso, per 

esempio  sommando un opportuno valore  costante alla  seconda  curva 

isoclina, il punto di equilibrio diventa instabile.  

Esiste tuttavia unʹorbita o ciclo‐limite, verso cui tendono le traiettorie di 

stato  a  partire  sia  dallʹinterno  sia  dallʹesterno.  Una  volta  raggiunta 

lʹorbita, questa viene ripercorsa periodicamente allʹinfinito. 

 

     

Figura 1.3a  Convergenza delle traiettorie verso un ciclo limite nello spazio di stato

26  

 

 

La  pendenza positiva nel tratto intermedio della seconda curva isoclina 

destabilizza il punto di equilibrio per questa particolare polarizzazione; 

tuttavia,  la  pendenza  della  curva  è  negativa  allʹesterno  del  tratto 

intermedio e questo è sufficiente a garantire la stabilità in senso lato del 

sistema, pur non essendo asintoticamente stabile. 

 

 

Attrattori caotici o strani 

 

Il  fatto  di  avere  un  punto  di  equilibrio  instabile,  accoppiato  ad  una 

stabilità  alla  Lyapunov  in  senso  lato,  non  implica  necessariamente  la 

presenza di un attrattore periodico.  

Si  consideri,  ad  esempio,  il  sistema dinamico non  lineare di  ordine  3 

(sistema di Lorenz): 

 

Figura 1.3b: Convergenza delle traiettorie verso un attrattore periodico nello spazio di stato 

27  

1

2

3

( , , ) ( )

( , , )

( , , )

dxf x y z y x

dtdy

f x y z rx xz ydtdz

f x y z xy bzdt

 

 

Il sistema è costituito di  tre equazioni differenziali di primo ordine  in 

forma  normale  nelle  variabili  x,  y  e  z.  Lo  spazio  delle  fasi  è 

tridimensionale,  e  le  variabili  (x,y,z)  non  sono  variabili  spaziali,  ma 

legate  ai  campi  di  velocità  e  temperatura  di  un  fluido  in  moto 

convettivo (σ, b e r sono parametri idrodinamici che possono assumere 

solo valori positivi). 

 

Durante  lo  studio  del  sistema  precedente,  Lorenz  si  accorse  di  un 

andamento  non  periodico,  mentre  allora  si  riteneva  che  il 

comportamento  tipico  di  un  sistema  di  equazioni  differenziali  fosse 

quello periodico. Volendo ricontrollare  i dati ottenuti fino allʹistante T, 

decise di ripetere lʹintegrazione numerica, e per risparmiare tempo non 

scelse la condizione iniziale (x (0), y (0), z (0)), ma un punto intermedio 

tʹ  <  T,  le  cui  coordinate  erano  già  state  stampate  dal  calcolatore. 

Ovviamente  si  aspettava  di  ritrovare  gli  stessi  punti  già  ottenuti 

nellʹintervallo  [tʹ,T], ma  ciò  non  si  verificò.  Con  suo  grande  stupore 

constatò infatti che la causa di questa discrepanza non era attribuibile a 

errori  di  integrazione,  bensì  soltanto  a  valori  iniziali  leggermente 

diversi: mentre nella prima  integrazione  il punto  (x(tʹ), y(tʹ),  z(tʹ)) era 

stato memorizzato con sei cifre significative, nel ripetere lʹintegrazione, 

la seconda volta, Lorenz ne ricopiò soltanto tre.  

In  figura  1.4  (pag.  seguente)  è mostrato  il  tipico  attrattore di Lorenz, 

come proiezione della traiettoria nel piano x. 

28  

 

I punti C1 e C2 rappresentano punti instabili per  il sistema considerato. 

La soluzione si muove con percorso a spirale attorno ad   uno dei due 

punti  fissi, per poi passare  ad avvolgersi  attorno  all’altro  sempre  con 

moto  a  spirale.  Tale  andamento  si  ripete  all’infinito,  ed  il  numero  di 

rivoluzioni  attorno  ad  un  punto  fisso,    prima  di  alternarsi,  varia  in 

maniera apparentemente randomica.  

Figura 1.4: Attrattore caotico di Lorenz 

Figura 1.5: Attrattore caotico di Lorenz nello spazio di stato per le tre variabili 

29  

Riassumendo:   un particolare  sistema deterministico può generare un 

comportamento  caotico  inteso  come  comportamento  aperiodico, 

duraturo nel  tempo, delle proprie  traiettorie.  In  tal caso, a causa della 

dipendenza  sensibile  dalle  condizioni  iniziali,  si  possono  avere 

traiettorie che non raggiungono punti di equilibrio e non si chiudono su 

cicli limite, ma continuano a muoversi nello spazio di stato presentando 

oscillazioni    non  periodiche  non  determinabili  a  priori.  In  base  alle 

condizioni iniziali degli elementi il sistema può volgere verso una certa 

direzione lungo le traiettorie ed evolvere verso la stabilità o l’instabilità. 

In un circuito elettronico autonomo, come quello di Chua oggetto del 

presente lavoro,  questo comportamento non è dovuto a fattori forzanti 

esterni ma è una proprietà intrinseca del sistema caotico. 

 

 

1.4 CAOS PER LA SICUREZZA DELLE COMUNICAZIONI 

 

 

Come  appena  visto,  una  delle  caratteristiche  più  conosciute  di  un 

sistema  caotico  è    la  sua  sensibilità  alle  condizioni  iniziali.  Si  rivelò 

quindi sorprendente la scoperta ottenuta da Pecora e Carroll, i quali per 

primi  mostrarono  che  sistemi  caotici  possono  essere  sincronizzati 

inviando solo una parte delle  informazioni relative allo spazio di stato 

da  un  sistema  all’altro  [25]. Dopo  poco  fu  suggerito  di  usare  questo 

risultato per  creare  chiavi  crittografiche,  costruite  con  le  informazioni 

dello  spazio  di  stato  non  inviate  per  la  sincronizzazione;  un  primo 

utilizzo  di  quest’idea  avvenne  per  l’equazione  di  Lorenz.  L’idea  alla 

base è che accedere al messaggio risulta impossibile senza conoscere i tre 

parametri  dell’equazione,  e  per  questo  motivo  tale  insieme  è  detto 

super‐chiave. 

Tuttavia questo sistema si rivela facilmente violabile e la super‐chiave si 

può  determinare  rapidamente  dal  segnale  di  sincronizzazione.  Altre 

soluzioni  che  rendono più  efficace  e  sicuro questo  sistema da  attacchi 

30  

esterni sono state studiante del corso degli anni [22] [23][24], ed esse si 

basano  sulla  riduzione  della  durata  del  segnale  di  sincronizzazione, 

fornendolo periodicamente nel tempo; ciò comporta tuttavia un ritardo 

nel raggiungimento della condizione di sincronizzazione. 

Il  requisito  di  sicurezza,  fondamentale  nella  crittografia,  rientra 

naturalmente  anche  nella  crittografia  caotica,  e  costituisce  una 

motivazione  importante  per  la  ricerca  nel  campo  della  comunicazione 

caotica.  Pertanto,  diverse  tecniche  sono  state  supposte  e  sviluppate, 

quali  masking  con  segnale  caotico  aggiuntivo,  switching  caotico,  e 

modulazione con portante caotica. Questo per sistemi a tempo continuo. 

Sviluppi  in  ambito  dell’elettronica  digitale  sono  stati  altresì  proposti, 

primo  fra  tutti  l’utilizzo  di  sistemi  caotici  per  generare  sequenze 

numeriche random (RNG) utilizzabili come chiavi o maschere del testo 

in chiaro. Tuttavia, l’implementazione numerica non gode di particolari 

vantaggi rispetto al caso analogico. Poiché i calcolatori sono in grado di 

rappresentare le cifre con una precisione finita, qualunque tipo di orbita 

di un attrattore caotico, in uno spazio delle fasi a dimensione finita sarà 

necessariamente periodica.  In  altre parole, non  è possibile generare  il 

caos con sistemi a stati finiti. Si avrà pertanto una periodicità del sistema 

(e da qui la definizione di PRNG, pseudo‐random numbers generator), 

e quindi una maggiore vulnerabilità da attacchi esterni. 

 

   

31  

 

 

 

 

CAPITOLO 2 

IL CIRCUITO DI CHUA   

 

2.1 PERCHÈ IL CIRCUITO DI CHUA? 

 

Il circuito di Chua   è un circuito elettronico non  lineare, e sin dal suo 

sviluppo nel 1983 ad opera del prof. Leon 

O.Chua  (figura  2.1  ),  docente 

dell’università della California, Berkeley, è 

stato  oggetto  di  numerose  attività  di 

ricerca  scientifica.  Esso  ha  il  pregio  di 

essere  l’unico circuito autonomo  in cui  la 

presenza  del  caos  è  stata  provata  in 

maniera analitica, tanto da essere definito 

a universal paradigm for chaos.  

Prima  del  1983,    nessun  circuito 

elettronico  autonomo  aveva  mostrato 

comportamento  caotico,  nonostante  gli 

sforzi del prof. Matsumoto di realizzare un circuito analogico a partire 

dalle  equazioni  di  Lorenz.  Nel  1984  fu  lo  stesso  Matsumoto  a 

Figura 2.1: Il prof. Leon O. Chua 

32  

dimostrare l’intriseca caoticità di un circuito realizzato dal suo collega, e 

da  lui  stesso  battezzato  circuito  di  Chua,  mediante  simulazioni  al 

calcolatore  (  [1]  e  [2]  ).  La  verifica  sperimentale  del  comportamento 

caotico arrivò  pochi mesi dopo, ad opera di Zhong ed Ayrom [3].  

 

Nel corso degli anni, e fino ai giorni nostri, sono stati sviluppati diversi 

modelli  e  varianti  del  circuito  in  questione.  Una  delle  soluzioni  più 

gettonate è quella di realizzare il componente non lineare (il cosiddetto 

Diodo di Chua, che consente  il comportamento caotico del circuito), in 

maniera  semplice  ed economica mediante una  coppia di amplificatori 

operazionali e sei resistori di polarizzazione [4]. 

Grazie  al  basso  costo  ed  alla  efficienza  pratica  il  circuito  di  Chua  è 

divenuto  il circuito di riferimento per applicazioni che richiedono una 

sorgente di segnale caotico robusta ed economica. 

 

 

 

 

Figura 2.2: Il circuito di Chua

33  

2.2 ANALISI DEL CIRCUITO 

 

Il circuito di Chua contiene quattro elementi lineari (due condensatori, 

un induttore ed un resistore) ed un resistore non lineare. Ha pertanto i 

requisiti  minimi  necessari  (ma  non  sufficienti)  affinchè  presenti 

comportamento caotico: 

almeno tre componenti  dinamici, 

almeno un componente non lineare, 

almeno un componente attivo. 

La  sua  peculiarità  di  essere  un  circuito  autonomo  fa  sì  che  non  sia 

necessario  pilotarlo  mediante  una  tensione  ac.  Partendo  dal 

presupposto  che  il  resistore R,  l’induttore L,  e  i  condensatori C1  e C2  

assumano  valori  nominali  positivi,  risulta  necessario  che,  affinchè    il 

circuito oscilli o esibisca comportamento caotico, l’elemento non lineare 

sia attivo. 

Ciò  vuol  dire  richiedere  che  la  sua  caratteristica  tensione‐corrente 

appartenga  almeno  per  alcuni  tratti  al  secondo  e  quarto  quadrante, 

dove  il  prodotto  v*i  risulta  negativo,  e  quindi  che  l’elemento  in 

considerazione  fornisca  energia  agli  elementi  passivi.  Però,  visto  che 

nessun dispositivo  fisico è  in grado di  fornire una quantità di potenza 

infinita,  la  scelta di una  caratteristica v*i  fisicamente  realizzabile deve 

ricadere sulla caratteristica di un bipolo asintoticamente passivo. 

34  

 

 

Il  circuito  di  Chua  rappresentato  in  figura  potrà  allora  esibire 

comportamento  caotico.  In  particolare,  modificando  il  valore  del 

resistore  lineare,    sarà  possibile  scorrere  la  gamma  delle  possibili 

dinamiche di questo circuito, che esibisce una varietà di biforcazioni e 

di andamenti caotici. 

 

Il  circuito  sopra mostrato  è  caratterizzato  da  tre  variabili  di  stato,  e 

pertanto può essere descritto dalle seguenti equazioni circuitali: 

Figura 2.3: Caratteristica del diodo di Chua

Figura 2.4: Il circuito di Chua con resistore variabile 

35  

1

2 1 1

2

2 1

2

1

2

1 1[ ( )]

1 1[ ]

1

C

C C C

C

C C L

LC

dvv v f v

dt C R

dvv v i

dt C R

div

dt L

 

dove: 

− vC1 rappresenta la tensione ai capi del condensatore C1, 

− vC2 rappresenta la tensione ai capi del condensatore C2, 

−  iL rappresenta la corrente passante attraverso l’induttore L,    

− f(vC1)  rappresenta  la  caratteristica  tensione‐corrente  del 

componente  non  lineare,  approssimata  come  detto  con  una 

spezzata lineare a tratti. 

Quest’ultima ha  la  seguente espressione, con  l’andamento  riporato 

in figura:  

1( )

2b a bf v G v G G v E v E  

 

 

A partire da  tali  equazioni,  è possibile adiamensionalizzare  il  sistema 

per poterlo trattatare in unaforma più maneggevole nel seguente modo: 

Figura 2.5: Caratteristica del diodo di Chua 

36  

( )x y x g x

y x y z

z y

 

dove sono state effettuate le seguenti sostituzioni: 

1 2

22 2

2 1

, y , z , , a , b , , ; C C L

a b

v v i R C C Rtx RG RG

E E E RC C L

E dove: 

1( ) 1 1

2

, y , z .

g x bx a b x x

dx dy dzx

dt dt dt

 

 

2.3 MORFOLOGIA DELLA DINAMICA 

  

Come già anticipato, agendo sul valore del resistore lineare, è possibile 

apprezzare le varie dinamiche che il circuito è in grado di offrire. Infatti, 

variando R variano conseguentemente anche i punti di equilibrio delle 

regioni esterne della caratteristica. 

È necessario a questo punto ricavare quali sono i punti di equilibrio del 

sistema. Il passo successivo sarà quindi  l’analisi per piccoli segnali nei 

punti  di  equilibrio,  ovvero    linearizzare  il  sistema  per  ogni  punto 

trovato,  e  traslare  in  questi  ultimi  gli  assi  considerando  la 

linearizzazione  dell’elemento  non  lineare.  In  pratica  ciò  avviene 

arrestando  al  1°  termine  lo  sviluppo    in  serie  di  Taylor  arrestato 

mediante  lo  Jacobiano del sistema, che  in questo caso specifico  risulta 

essere diverso per le tre zone rettilinee della caratteristica in figura. 

37  

0= ii

Ax bd x

A x A x bdt

Ax b

 ,        

(1 ) 0

1 1 1

0

b

A k

  , 

0

0

a b

b

, 

0

(1 ) 0

1 1 1

0

A

; 

Dove i=‐1,0,1 rispetto alle tre  regioni di linearità  

-1 11 ; - -A A A b b b . 

In questo modo lo Jacobiano diventa la matrice di stato A per il piccolo 

segnale  e  in  generale  sarà  una  funzione  delle  variabili  di  stato. 

Valutando A  in ogni punto di  equilibrio  si possono  così  ricavare dati 

aggiuntivi  sul  tipo  di  equilibrio  dei  punti.  In  particolare  esiste  un 

teorema che afferma: 

 

“Nell’intorno di un punto di equilibrio di un sistema dinamico non lineare, il 

tipo di comportamento del sistema linearizzato coincide con quello del sistema 

non  lineare,  a meno  che  non  risulti  che  i  punti  di  equilibrio  siano  di  tipo 

iperbolico, cioè punti per cui almeno un autovalore λi abbia Re( λi ) nulla” . 

   

Grazie  a  questo  teorema  è  possibile  calcolare  le  frequenze  naturali 

relative ad ogni punto di equilibrio dall’equazione: 

 

0,iDet I A  

 

risolvendo, cioè, il polinomio caratteristico per il sistema normalizzato:  

 

38  

3 2[1 (1 )] [ (1 )(1 ) ] [(1 )( ) ] 0k v a k v   

 dove v=a oppure v=b a seconda della zona della caratteristica rettilinea 

a tratti dell’elemento non lineare che si sta considerando.  

Si noti in particolare che si otterranno, per  0 , un autovalore reale e 

due complessi coniugati, e per  0  tre autovalori reali.  

Indicando allora con λi  gli autovalori e con ηi  i rispettivi autovettori, le 

soluzioni saranno del tipo:  

31 21 1 2 2 3 3( ) tt t

ix t W e W e W e X  

Con  iW costanti dipendenti dalle condizioni  iniziali e  1ii iX A b punti 

di equilibrio per A non degenere, che nelle tre regioni valgono: 

1

1

eqX x

 

Come  già detto questo vale solo localmente, cioè solo all’interno di una 

stessa regione. Tuttavia se la traiettoria attraversa nel suo percorso più 

regioni,  la  soluzione può essere ottenuta  come  somma delle  soluzioni 

calcolate separatamente nelle rispettive zone. La  traiettoria seguita dal 

sistema partirà pertanto da un certo punto iniziale (corrispondente allo 

stato  iniziale)  seguendo  l’andamento  indicato  dall’equazione  della 

soluzione  finché  non  raggiungerà  uno  dei  piani  di  confine.  Infatti, 

quando  ciò  avviene,  essa  entra  nella  nuova  regione  con  un’orbita 

determinata  ancora  dalla  stessa  equazione, ma  in  cui  parametri  sono 

dettati dalla nuova zona e il punto di partenza corrisponde a quello in 

cui  la  traiettoria attraversa  il confine. Si è quindi  in grado di calcolare 

l’orbita ad ogni istante e partendo da qualsiasi condizione iniziale.  

39  

Come  già  anticipato,  la  dinamica  del  circuito  può  essere modificata 

variando R. In tal caso  infatti variano conseguentemente anche  i punti 

di  equilibrio  delle  regioni  esterne  della  caratteristica  non  lineare. 

Quindi, nel caso in cui si volessero mantenere inalterati questi punti di 

equilibrio,  ciò  che  bisognerebbe  fare  è  andare  a  modificare  1C  

mantenendo  costante  R.  Così  facendo  l’unico  valore  a  cambiare  nel 

polinomio  caratteristico  sarebbe  α,  il  quale  non  contribuisce  alla 

determinazione dei punti di  equilibrio. Però, per  esigenze  costruttive, 

queste variazioni non sono di grande praticità, e quindi è preferibile far 

variare il parametro R del circuito.  

 

Allora,  partendo  dal  presupposto  di  poter  variare  R,  con  l’ausilio 

grafico  di  un  oscilloscopio  è  possibile  visualizzare    i  vari  attrattori 

raggiunti dalle  traiettorie del circuito. Per fare questo è necessario però 

che l’oscilloscopio permetta la visualizzazione in X‐Y Mode , e che sugli 

assi si plottino due delle tre grandezze di stato del circuito (solitamente 

VC1 e VC2  ). Utilizzando allora l’oscilloscopio Tektronix Tds224, e con il 

supporto del software LabView, si è potuto sperimentare che: 

Per R  sufficientemente  grande  [R=2kOhm]  si  ha  che  i punti di 

equilibrio delle regioni esterne sono stabili, mentre l’origine è un 

punto  di  equilibrio  instabile.  Il  sistema  si  porterà  quindi,  a 

seconda  del  suo  stato  iniziale,  su  uno  dei  punti  di  equilibrio 

stabile per rimanervi  indefinitamente. Se ci si pone  in un punto 

della  regione  interna,  la  traiettoria  si  allontanerà  in  modo 

esponenziale dall’origine in direzione delle regioni esterne dove 

l’effetto  dell’autovalore  negativo  costringerà  la  traiettoria  ad 

avvolgersi  spiralmente  nel  punto  di  equilibrio  della  stessa 

regione. In poche parole,  la traiettoria si adagia su uno dei punti 

di equilibrio delle zone esterne. 

Diminuendo R [R=1.88kOhm], la parte negativa degli autovalori 

complessi  delle  regioni  esterne  diminuisce  e  crescerà  il  tempo 

necessario  all’orbita per portarsi  in uno dei punti di  equilibrio 

40  

stabile. Allora  la  traiettoria passa dalla  regione esterna a quella 

interna  e da  questa  nuovamente  in  quella  esterna di  partenza, 

dando così origine ad un’orbita periodica che esegue un solo giro 

intorno al punto di equilibrio instabile: il cosiddetto ciclo limite 1.  

 

 

Diminuendo  ulteriormente  la  resistenza  R  [R=1.85kOhm  e 

R=1.84kOhm  ]  si  arriva  a  dei  valori  per    i  quali  si  ottiene  la 

biforcazione  di  Hopf.  In  corrispondenza  di  essa  i  punti  di 

equilibrio delle regioni esterne perdono la loro stabilità e i punti 

instabili del  sistema passano da uno a  tre. La nuova  situazione 

che  si  viene  a  creare  tuttavia,    pur modificando  totalmente  il 

comportamento  delle  regioni  esterne,  non  altera  quello  della 

regione interna.  

Tale  biforcazione, portando duplicazione del periodo,  consente 

all’orbita di  eseguire prima due  e  successivamente  quattro  giri 

attorno  alla  instabilità  rispettivamente  per  i  valori  sopracitati. 

Questi cicli vengono detti ciclo limite 2 (figura 2.7) e ciclo limite 4. 

 

Figura 2.6: La traiettoria nello spazio di stato è costituita da un attrattore periodico, ciclo limite‐1

41  

 

 

L’orbita nelle regioni esterne allora segue sempre un andamento 

a  spirale  con  centro  il  punto  di  equilibrio  instabile,   ma  ora  è 

caratterizzata  da  un’espansione  e  dunque  ritorna  nella  regione 

interna dopo un periodo più o meno  lungo. Poiché  l’orbita non 

può stare indefinitamente in nessuna regione dello spazio di fase, 

si osserva un continuo cambio di regione da parte della stessa. 

In  una  situazione  di  questo  tipo  risulta  difficile  prevedere 

l’andamento globale del sistema.  

 

Passando ad un valore di R ancora inferiore,  i cicli diventeranno 

allora 8, 16, 32 e così via fino a raggiungere, al limite, infiniti cicli 

dell’orbita [R=1.79kOhm].  Questa situazione corrisponde ad uno 

strano  attrattore,  detto  strano  attrattore  a  spirale  di Chua  (figura 

2.8).  Esso rappresenta l’esempio più semplice nello spazio delle 

fasi di un regime caotico. 

 

Figura 2.7: Biforcazione della traiettoria nello spazio di stato, ciclo limite‐2

42  

 

Diminuendo  ulteriormente  la  resistenza  [R=1.74kOhm]  

appaiono diversi attrattori di questo  tipo separati uno dall’altro 

tramite  zone  ambigue.  Si  osserva,  cioè,   che  l’orbita  esegue  un 

fissato  numero di  giri  attorno  al  suo punto  instabile poi passa 

nella zona  interna della linearità dell’elemento non  lineare dove 

compie a sua volta una spirale  attorno alla sua instabilità per poi 

ritornare  nella  zona  di  partenza.  Le  due  spirali  si  uniranno 

pertanto  nel  formare  questo  nuovo  tipo  di  attrattore  chiamato 

Attrattore Double Scroll (figura 2.9). 

 

  

Figura 2.8: Attrattore caotico a spirale 

Figura 2.9: Attrattore caotico double‐scroll 

43  

Continuando a diminuire R  [R=1.49kOhm] si osserva sempre un 

attrattore caotico di tipo double scroll. Tuttavia per taluni valori 

di R,  l’orbita  caotica  può mostrare  condizioni di  periodicità di 

periodo‐8, periodo‐16, e così via: sono le cosiddette finestre nel caos 

(figura 2.10). 

 

Infine, per R=1.4kOhm  si ottiene il limite critico (figura 2.11), dal 

quale  in  poi  un’ulteriore  diminuzione  del  valore  di  R 

provocherebbe  una  instabilità  generale  del  sistema.  Ciò 

porterebbe  l’orbita  ad una divergenza  a  spirale  verso  l’infinito 

(condizione di saturazione). 

 

 

Figura 2.10: Attrattore periodico, finestra nel caos 

Figura 2.11: Ciclo limite instabile di saturazione 

44  

 

 

CAPITOLO 3   

SINCRONIZZAZIONE DI DINAMICHE 

CAOTICHE 

 

3.1 INTRODUZIONE 

 

Lo studio del concetto di sincronizzazione è basilare per la comprensione 

dei  fenomeni  di  auto‐organizzazione  che  si  verificano  accoppiando 

circuiti caotici di tipo dissipativo, come nel nostro caso. 

Il  concetto  di  sincronizzazione  implica  che  processi  caratterizzati  da 

periodi  multipli,  con  differenti  frequenze  naturali,  acquisiscano  un 

frequenza naturale comune come risultato della loro interazione, mutua 

o  unidirezionale.  Per  secoli,  fenomeni  di  sincronizzazione  collettiva 

sono  stati  osservati  in  sistemi  sociali,  fisici,  biologici  e  chimici.  Un 

esempio di questo fenomeno può essere osservato  in sistemi oscillanti, 

che  mostrano  una  frequenza  comune  differente  dalla  frequenza 

naturale dei singoli oscillatori del sistema. Come esempio in biologia si 

può considerare un gruppo di lucciole, che brillano in sincronia! 

 

45  

3.2 GENERALITÀ SULLE RETI DI SISTEMI 

 

Recentemente, allo studio di reti complesse è stato dedicato un interesse 

crescente, come mostrato anche in [17]. In aggiunta, molte attenzioni ha 

ricevuto anche la sincronizzazione di reti complesse accoppiate, poiché 

il fenomeno di sincronizzazione non solo può spiegare alcuni fenomeni 

naturali  [18], ma presenta anche diverse applicazioni nel  campo della 

sicurezza delle comunicazioni, dell’image processing [19] e così via.  

In generale, una  rete ha bisogno di diversi parametri per poter essere 

descritta in maniera efficace, poiché è la topologia stessa che determina 

il  funzionamento della  struttura. La  comprensione della  rete presenta 

pertanto  difficoltà  intrinseche  dovute  alle  possibili  variazioni  di  tali 

parametri, tra cui: 

Complessità strutturale, dovuta alle connessioni tra i nodi; 

Evoluzione della rete, le connessioni possono variare nel tempo; 

Diversità dei  collegamenti,  i  quali possono presentare  valenza, 

direzione e verso differenti; 

Complessità dinamica, i nodi possono essere costituiti da sistemi 

dinamici non lineari; 

Diversità  dei  nodi,  che  possono  appartenere  a  tipologie 

differenti.  

In  riferimento al caso  in esame nel presente  lavoro,  si  suppone che  la 

rete  sia  costituita  da  sistemi  dinamici,  accoppiati  secondo  particolari 

connessioni, ed in cui i nodi presenti attrattori di tipo caotico. Nel corso 

degli  anni  alcuni  studi  si  sono  rivolto  agli  effetti  dell’architettura  di 

accoppiamento  su  questo  tipo  di  dinamiche,  ed  è  emerso  che  reti  di 

sistemi  caotici  identici  possono  presentare  questa  caratteristica  di 

46  

sincronizzazione del loro comportamento erratico, fenomeno curioso ed 

interessante per le applicazioni di cui sopra. 

Per  un  ampio  range  di  topologie  di  rete,  la  sincronizzazione 

dell’evoluzione  caotica  richiede  che  l’accoppiamento  non  risultì  né 

troppo debole, nè al limite troppo forte, in quanto quest’ultima condizione 

può portare a comportamenti instabili [20]. 

È sempre possibile identificare un parametro relativo all’accoppiamento 

dei  sistemi  considerati;  indicando  questa  grandezza  con  k,  in  [21]  è 

mostrato  che,  se  essa  risulta maggiore di un valore  critico  k*, allora  è 

possibile  sincronizzare  i  sistemi  accoppiati.  Tale  k*  dipende  come 

prevedibile dalla matrice di  accoppiamento dei  sistemi, definita dalla 

topologia della rete, ma anche dal comportamento dinamico del singolo 

sistema non accoppiato. 

 

 

3.3  SINCRONIZZAZIONE DELLE DINAMICHE DI 

CIRCUITI CAOTICI 

 

Nel  1990,  L.  Pecora  e  T. Carroll  dimostrarono  che  particolari  sistemi 

caotici posseggono proprietà di auto sincronizzazione [25]. 

Un  sistema  dinamico  autonomo  n‐dimensionale  sarà  decomponibile 

(drive  decomposable)  se  può  essere  suddiviso  in  due  sistemi,  uno 

guidato  (response,  o  brevemente  R)  e  uno  guidante  (drive,  o  D).  Il 

sistema R è influenzato dalla dinamica di D, mentre D è indipendente. 

Il sistema caotico complessivo è detto autosincronizzante nel caso  in cui 

tutti  gli  esponenti  di  Lyapunov  del  sottosistema  guidato  risultano 

negativi.  Nel sistema D ci saranno delle variabili che influenzeranno R, 

e  altre  che  non  lo  influenzeranno.  Le  prime  sono  rappresentate 

mediante  il  vettore m‐dimensionale  v  e  le  seconde  con  il  vettore  k‐

47  

dimensionale  u,  mentre  il  vettore  l‐dimensionale  w  rappresenta  le 

variabili del sottosistema R. 

 

Quindi in sintesi: 

( , ) dimensione

( , ) dimensione

( , ) dimensione

u f u v mD

v g u v l

R w h w v k

 

L’obiettivo è quello di rendere il sistema R stabile, quindi che presi due 

punti w(0), w’(0) e  le relative orbite che ne scaturiscono, w(t) e w0(t), si 

sincronizzino. Bisogna cioè identificare le condizioni per le quali  

||w’(t) − w(t)|| → 0. 

Altro  obiettivo  è  quello  di mantenere  il  sistema  globale  caotico,  per 

poter approfittare dei vantaggi che esso comporta.  

Essendo le due orbite in considerazione generate dallo stesso sistema, si 

ha che: 

', , ( , ) ( , )ww h w v h w v D h w v w o v w . 

 

Con Δw suffcientemente piccolo, è possibile trascurare lʹerrore o(v,w). Il 

sistema linearizzato è: 

( , )ww D h w v w  

ed è quindi un sistema differenziale  lineare a coefficienti non costanti, 

poiché  il primo differenziale primo del  sistema  linearizzato  varia  nel 

tempo.  

La  maggior  parte  delle  tecniche  risolutive  di  questa  tipologia  di 

problemi si basa su ipotesi particolari sulla natura del termine Dwh(w,v), 

ma avendo a che fare con segnali caotici bisogna intraprendere unʹaltra 

strategia. Una soluzione del problema può essere trovata calcolando gli 

esponenti di Lyapunov,  infatti  se  si  riuscisse  a  verificare  che  tutti  gli 

esponenti sono negativi, allora il sottosistema w risulterà stabile. 

48  

Questi  esponenti  di  Lyapunov,  poiché  non    legati  direttamente  al 

sistema  complessivo  u,  v, w,  possono  allora  essere  definiti  esponenti 

condizionali  o sub‐esponenti. 

La  possibilità  di  calcolare  il  valore  dei  sub‐esponenti  di  Lyapunov  è 

fondamentale,  perché  essi  danno  una  stima  (in  generale  buona)  del 

tempo che impiega il sistema a sincronizzarsi, quindi di quanto tempo è 

necessario  attendere  prima  di  godere  dei  vantaggi  dellʹavvenuta 

sincronia nei due sistemi.  

 

Considerando  un  sistema  discreto,  si  possono  definire  i  seguenti 

formalismi: 

1

( )

( ( ))... ( ( )) ( )

x

n nx

T x D f

T T f x T f x T x

 

 

In genere per calcolare il primo esponente è sufficiente fare il limite: 

 

limln nxn

T u

 

per  quasi  qualsiasi  u,  dato  che  i moti  relativi  ad  gli  altri  esponenti 

divengono trascurabili per grandi valori di t.  

con riferimento al seguente sistema dinamico continuo: 

 

x( ), linearizzato x= Dx f x f x  

 

la prima equazione alle variazioni sarà: 

 

xZ= D f Z , 

con Z(0) = Id. La soluzione è  

Z(t) =Dx0φ. 

 

Il  tempo del nostro  sistema può  essere discretizzato prendendo T=τ  . 

Allora la soluzione del problema discreto 

 

49  

( ( 1)) ( ( ))x n f x n       è       0( ) ( )nx n f x . 

 

Allora 0 00( ) ( )n n

x xZ t D f x T . 

 

La scelta del valore di τ, ovvero il passo di discretizzazione del tempo, 

deve essere ragionevole. Questo perchè nel calcolare Tnx  ,  il numero di 

prodotti matrici che vengono svolti è proporzionale a τ‐1, e un τ elevato 

induce una perdita di precisione. 

Presa  la matrice T(x),  è possibile  fattorizzarla,  e  tale  scomposizione  è 

unica  se  la matrice  è non  singolare. Ponendo T(x) = Q1R1,  con Qk una 

matrice ortogonale e Rk una matrice triangolare superiore, allora, 

 1

1 1( ( )).... ( ( ))n nxT T f x T f x Q R

  

avendo definito  11( ( ))n k

k kT T f x Q , allora  1 '

2 1( ( ))...n nxT T f x T R . 

 

A sua volta T’k può essere decomposta secondo una fattorizzazione QR: 

 '

k k kT Q R  e allora:  12 2 1( ( ))...n n

xT T f x Q R R . 

Iterando:  2 1...nx n nT Q R R R . 

 

Si  può  dimostrare  che  la  scelta  di  Q  è  ininfluente  al  fine  della 

determinazione degli esponenti di Lyapunov, risultato che è comunque 

ragionevole, dato che una matrice ortogonale è una trasformazione che 

conserva la misura. 

Lʹesponente i‐esimo si può trovare mediante la relazione: 

1lim ln( )n

ii in n

 

dove λii(n) è  lʹelemento  i‐esimo della diagonale principale della matrice 

Rn . . .R2R12. 

Lʹidea alla base della trattazione esposta è quella di prendere un sistema 

caotico  cercando  di  stabilizzarne  una  sua  parte  (il    sistema  R) 

50  

nonostante  esso  sia  influenzato  da  un  segnale  v  dal  comportamento 

caotico. Quindi  si  sincronizza  un  sistema w  inserendo  al  suo  interno 

una  dipendenza  da  v. Questo  approccio  può  risultare  limitante,  dato 

che solo un numero limitato di accoppiamenti possibili possono essere 

presi,  cioè  solo quei  sotto‐sistemi  in  cui  i  sub‐esponenti di Lyapunov 

risultano  essere  negativi.  Ma  è  possibile  generalizzare  lʹapproccio 

esposto precedentemente. 

Il sistema dinamico caotico in esame: 

 

( )x f x  

può  essere  sempre  formalmente  scritto    sotto  forma  di  sistema  non‐

autonomo 

( , ( ))x f x s t  

 

con  s(t)  =  h(ξ)  oppure  ( , ( ))s s t ,  indicando  con  ξ  un  sottoinsieme 

qualsiasi delle variabili del sistema dinamico precedente. Una  copia del 

sistema dinamico di cui sopra,  lavorerà per ipotesi da ricevitore: 

 

( , ( ))y f y s t   

si può allora considerare  la differenza delle due variabili e = x − y. 

Il sistema risulta, sviluppando y nellʹintorno di x (ovvero nellʹintorno di 

e = 0): 

( , ( )) ( , ( )) ( , ( )) ( , ( ))

( , ( )) ( ( , ( ))) ( ) ( , ( ))( ) ( ( , ( ))) ( )

( , ( )) ( , ( ))( )

( , ( ))

x s x s

x x

x

e f x s t f y s t f x s t f x e s t

D f x s t D f x s t s t D f x s t x e D f x s t s t

D f x s t D f x s t x e

e D f x s t e

 

 

Si nota subito che la soluzione e = 0 (quindi y = x ) è una soluzione del 

sistema  linearizzato  e  risulta  stabile  solamente  se  i  sub‐esponenti  di 

Lyapunov per e = 0 sono minori di zero. Per quanto non sia stato ancora 

dimostrato in maniera formale, questa tecnica risulta da simulazioni al 

calcolatore  strutturalmente  stabile  (cioè  tollerante  rispetto  a  piccole 

51  

variazioni di parametro).  Questo rappresenta un incredibile vantaggio 

nelle  applicazioni,  visto  che  è  impossibile  riprodurre  con  infinita 

precisione  un  sistema,  indipendentemente  dalla  bontà  del  processo 

produttivo. 

 

 

3.4 ESEMPI D’INTERESSE IN LETTERATURA 

 

In [8] è dimostrato come la scelta di sincronizzare di tre circuiti di Chua 

mutuamente  accoppiati  fra  loro mediante  una  sola  variabile  di  stato 

presenti  robustezza  e  garanzia  di  successo  maggiori  rispetto  ad  un  

accoppiamento su due o tre variabili di stato.  

Con  riferimento  ad  un  singolo  circuito  di  Chua,  partendo  dalle 

equazioni di stato: 

 

1

2 1 1

2

2 1

2

1

2

1 1[ ( )]

1 1[ ]

1

C

C C C

C

C C L

LC

dvv v f v

dt C R

dvv v i

dt C R

div

dt L

 

 

 

Figura 3.1: Circuito di Chua 

52  

   

con   

1( )

2NR b NR a b NR NRf v G v G G v E v E  

 

caratteristica  del  diodo  di  Chua,  è  possibile  considerare  il  seguente 

sistema equivalente, adimensionalizzato nei suoi parametri: 

 

( )x y x g x

y x y z

z y

 

con 

1 2

22 2

2 1

, y , z , , a , b , , ; C C L

a b

v v i R C C Rtx RG RG

E E E RC C L

 

e dove                       1

( ) 1 12

, y , z .

g x bx a b x x

dx dy dzx

dt dt dt

 

Di  seguito è  riportato  il modello utilizzato  in  [8], dove  si considerano 

due circuiti di Chua accoppiati mutuamente con legge diffusiva su tutte 

le variabili di stato: 

( )

( )

( )

( )

( )

( )

x

y

z

x

y

z

x y x f x k x x

y x y z k y y

z y k z z

x y x f x k x x

y x y z k y y

z y k z z

 

dove kx, ky e kz sono i fattori di accoppiamento, mentre le equazioni dei 

diodi di Chua sono: 

53  

1( ) 1 1

21

( ) 1 12

f x bx a b x x

f x b b x a a b b x x

 

Come  si  nota dalle precedenti  equazioni,  in  questo modello  vengono 

previste variazioni  sui parametri circuitali del secondo circuito rispetto 

al primo, ed esse sono tenute in contro tramite i termini Δα, Δβ, Δa, Δb 

(si  ricorda  che  i  parametri  circuitali  sono  stati  in  precedenza 

adimensionalizzati proprio tramite  α, β, a, b). 

Il  seguente  circuito  è  quello  di  riferimento  per  la  pubblicazione  in 

questione (l’accoppiamento per la variabile z non è mostrato): 

 

 

 

 

Come già detto, da tale esperimento risulta che i migliori risultati per la 

sincronizzazione si  ottengono quando ky e kz vengono assunti uguali a 

zero, e cioè quando l’accoppiamento è solo per la variabile x. Negli altri 

casi, comunque, i fattori di accoppiamento considerati sono stati uguali 

e pari a un valore maggiore del valore critico determinato in [10], cioè si 

è posto  

kx = ky = kz = δ > δ*. 

 

Figura 3.2: Circuiti di Chua accoppiati sulle tre variabili di stato 

54  

Di seguito è riportato il modello utilizzato in [9], dove sono tre i circuiti 

di Chua considerati ed accoppiati con legge diffusiva: 

 

1 1 1 2 3 1

1 1 1 1 2 3 1

1 1 2 3 1

2 2 2 2 1 3 2

2 2 2 2 1 3 2

2 2 1 3 2

3 3 3 3 1 2 3

3 3 3 3 1 2 3

3 3 1

( ) 2

2

2

( ) 2

2

2

( ) 2

2

x y x f x k x x x

y x y z k y y y

z y k z z z

x y x f x k x x x

y x y z k y y y

z y k z z z

x y x f x k x x x

y x y z k y y y

z y k z

2 32z z 

 

In tale modello non sono previste variazioni sui valori dei parametri nei 

differenti circuiti (essi sono cioè assunti idealmente identici), ed inoltre 

l’accoppiamento avviene  in maniera uguale  su  tutte  le  tre variabili di 

stato mediante il coefficiente di accoppiamento k. 

 

Un  altro  efficiente metodo  per  garantire  la  sincronizzazione  tra  due 

circuiti di Chua  –uguali‐  accoppiati  come  rappresentato nello  schema 

seguente: 

 

Figura 3.3: Circuiti di Chua con doppio accoppiamento unidirezionale 

55  

 

è quello presentato da Brucoli in [11] e consiste nel definire il vettore e 

errore di sincronizzazione come:  

'e x x  

dove  

( )

' ' ( )d

d

x Ax g x

x Ax g x

 

sono  i  vettori  di  stato  del  sistema  in  considerazione  ed A  è  definita 

come 

0 0 0 0

1 ( 1 ) 1 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 1 ( 1 ) 0

0 0 0 0 0

K K

A

M M

 

con K ed M coefficienti di accoppiamento del precedente circuito. 

Definendo allora il seguente vettore:    

e Ae  

come errore dinamico si determina che, se gli autovalori della matrice A 

hanno  tutti  parte  reale  negativa,  allora  esso  risulta  globalmente 

asintoticamente  stabile  e  la  sincronizzazione  tra  i  due  circuiti  è 

garantita. 

 

56  

3.5  PARTICOLARIZZAZIONE DEL MODELLO DI 

ACCOPPIAMENTO PER I CASI DI STUDIO 

 

Per completezza è sembrato utile provare ad utilizzare il modello [9], ed 

adattarlo  alle  caratteristiche  dei  circuiti  che  si  intende  realizzare 

(mostrati  nel  capitolo  4),  per  la  determinazione  del  coefficiente  di 

accoppiamento. In tal caso il modello prevede accoppiamento su tutte le 

tre variabili di stato, e pertanto il sistema complessivo risulta: 

 

1 1 1 1 2 3 1

1 1 1 1 2 3 1

1 1 2 3 1

2 2 2 2 1 3 2

2 2 2 2 1 3 2

2

x = (y - x - f(x )) + k(x + x - 2x ) ,

y = x - y + z + k(y + y - 2y ) ,

z = - y + k(z + z - 2z ) ,

x = (y - x - f(x )) + k(x + x - 2x ) ,

y = x - y + z + k(y + y - 2y ) ,

z

2 1 3 2

2 3 3 3 1 2 3

3 3 3 3 1 2 3

3 3 1 2 3

= - y + k(z + z - 2z ),

x = (y - x - f(x )) + k(x + x - 2x ) ,

y = x - y + z + k(y + y - 2y ),

z = - y + k(z + z - 2z ) .

 

Ad esso, secondo quanto illustrato in [9], corrisponde: 

0 10 10 0

1 1 1 1 1 1 22.86

0 0 0 17.88 0E

A A A

 

Il criterio per garantire  sincronizzazione mostrato  in  [9], nel caso di n 

circuiti accoppiati, è quello di scegliere il coefficiente di accoppiamento 

pari a: 

24 1 cos

A Lk

n

 

nel caso di n=3, la precedente espressione può essere semplificata come: 

57  

3

A Lk

 

L si ricava dalla condizione di lipschitzianità per f(x), per la quale si può 

scrivere: 

( ) ( )f x f x a x x , 

con L=‐a. 

Alla luce di ciò, il k risulterebbe pari a: 

k = (22.86+1.35)/3=8.07 

Vediamo però a cosa corrisponde esattamente tale parametro.  

Partendo dalla seguente equazione adimensionalizzata 

 

1 1 1 1 2 3 1( - - ( )) ( -2 )x y x f x k x x x  

ed  andando  a  sostituire  ad  ogni  parametro  l’espressione 

corrispondente: 

11 2 1 1 1 1 1 131 2 2 1 1 1 1 1 2 1

1

1- - 1 1 -2

2cc c c c c c c c

B A B

vd v v v v v v v vRC CRG RG RG k

dt E C E E E E E E E E

 

semplificando: 

11 2 1 1 1 1 1 131 2 2 1 1 1 1 1 2 1

1

1 1- - - 2

2 1 1 1 1 1cc c c c c c c c

B A B

vd v v v v v v v vRC CRG R G G E E k

dt E C E E E E E

 

11 2 1 1 131 2 2 1 1 2 11 1

1

1- - - 2

1 1 1cc c c c c

c

vd v v v v vRC C Rg v k

dt E C E E E E

 

1 1 22 2 1 1 1 1 11 1 1 2 3 1

1

- - 2cc c c c c c

d v CRC v v Rg v k v v v

dt C  

58  

adesso, per ritornare alla 1° equazione di stato del circuito: 

c1 1 1 1 2 12 c2 c1 c1 c1 c1 c11 1 1 2 3 1

2 2 1 2

c1 1 11 c2 c1 c1 c1 c1 c11 1 1 2 3 1

2

c1 1 11 c2 c1 c1 c1 c1 c11 1 1 2 3 1

2

v C C C CRC = v - v +R v + k v + v -2 v

RC RC C RC

v C1C = v - v +R v + k v + v - 2 v

R RC

v C1C = v - v + v + k v + v -2 v

R RC

dg

dt

dg

dt

dg

dt

 

ora  al secondo membro il termine   1c1 c1 c12 3 1

2

Ck v + v -2 v

RC   deve 

essere una tensione su una resistenza (per poter essere sommato al 

termine che lo precede), quindi  1

2

Ck

RC è l’inverso di una resistenza 

1 2

2 acc 1 acc

C C1 R k

RC R C Rk  

Allora, sostituendo i valori corrispondenti, si ricava  

2acc acc

1

C R 1780R R 10 2206

C k 8.07 . 

Verificando  tale  risultato  al  calcolatore  con  l’ausilio  del  software  di 

simulazione  circuitale  PSpice,  imponendo  tale  valore  resistivo  per  il 

resistore  di  accoppiamento,  si  ottiene  che  per  esso  i  tre  circuiti  si 

sincronizzano. Il modello utilizzato non fornisce un valore limite, ma un 

cosiddetto valore di sicurezza: effettuando simulazioni per R maggiori, si 

vede  infatti  che  la  sincronizzazione  è mantenuta, ma  scegliendone  il 

valore con  tale metodo si è sicuramente all’interno del range di valori 

validi per la sincronizzazione. 

 

59  

3.6 CENNO SUI SISTEMI IPERCAOTICI 

 

Due  sistemi  caotici  possono  essere  accoppiati  in maniera  tale  che  il 

comportamento  complessivo  del  sistema  sia  caratterizzato  da  una 

dinamica  più  ricca  di  quella  originata  dal  singolo  sistema.  Il  caos  è, 

nella  sua  forma  più  semplice,  caratterizzato  da  un  solo  esponente  di 

Lyapunov positivo. Dal punto di vista geometrico, esiste quindi nello 

spazio  delle  fasi  una  direzione  lungo  la  quale  la  distanza  tra  due 

traiettorie che hanno origine in punti iniziali vicini si espande. Tuttavia, 

in un sistema caotico di n‐dimensioni,  lungo  le altre n‐1 direzioni  tale 

distanza  si  contrae  (esponente  negativo)  o  al  più  resta  costante 

(esponente  nullo).  Un  numero  maggiore  di  esponenti  di  Lyapunov 

positivi  aumenta  la  complessità  del  sistema  e  in  tal  modo  la  sua 

impredicibilità,  perché  è  indice  di  un  numero maggiore  di  direzioni 

lungo le quali la distanza tra le traiettorie cresce. Si parla in questo caso 

di  sistemi  ipercaotici,  caratterizzati da 2 o piú esponenti di Lyapunov 

positivi. 

 

   

60  

1 

2 

3CAPITOLO 4  

4REALIZZAZIONE, SIMULAZIONI E 

VERIFICHE SPERIMENTALI 

 

Fino ad ora sono state introdotte conoscenze basilari relative alla teoria 

del caos, alle dinamiche caotiche del circuito di Chua, e al fenomeno di 

sincronizzazione. Questo  consente  adesso di poter procedere  con una 

analisi sperimentale di quanto studiato in teoria.  

Ciò  è  mostrato  di  seguito,  ed  è  stato  ottenuto  attraverso  tre  fasi. 

Inizialmente è stata delineato  il progetto circuitale, mediante  lo studio 

di quanto presente in letteratura al riguardo. 

A questa prima fase è potuta seguire una serie di verifiche al calcolatore 

delle  dinamiche,  realizzate  mediante  il  software  di  simulazione 

circuitale SwitcherCAD  in ambiente SPICE; dopodiché, si è proceduto 

con la parte sperimentale vera e propria in laboratorio. 

 

 4.1 DEFINIZIONE DEL LAY‐OUT 

 

Il primo passo da  fare per procedere  in questa direzione è  far si che  il 

circuito da  realizzare  funzioni  in  regione  caotica:  ciò può essere  fatto, 

61  

come  visto  in  precedenza,  tramite  lo  studio  degli  esponenti  di 

Lyapunov del sistema. Nel nostro caso, tuttavia, ciò risulta superfluo, in 

quanto tale studio è già stato effettuato in passato. In letteratura infatti è 

possibile trovare dei set di valori dei componenti del circuito per i quali 

sono specificati i relativi regimi di funzionamento. 

Stabiliamo  allora  che  il  circuito  debba  esibire  un  attrattore  di  tipo 

double  scroll:  questo  garantisce  un  buon margine  di  sicurezza  per  il 

comportamento caotico. Scegliamo allora i valori dei componenti come 

mostrato  in  letteratura  [8]  [9]:    è  necessario,  per  visualizzare  un 

attrattore di tipo double scroll, che essi assumano i seguenti valori: 

 

10  ,    10  ,    18 ,    1,78 , 

   0,756 ,        0,409 , 1  

 

È allora provvedere allora alla fisica realizzazione del circuito mediante 

componenti presenti in commercio del valore opportuno. 

 

 

Il  realtà  il  circuito effettivamente  realizzato non è direttamente quello 

della  figura  4.1,  in  quanto  induttore  e  diodo  di  Chua  a  loro  volta 

devono essere opportunamente implementati. 

Figura 4.1: Circuito di Chua, schema SwCAD 

62  

4.1.1 L’induttore  

 

Per quanto  riguarda  l’induttore,  ad  esempio, basta osservare  che una 

induttanza pari a 18mH realizzata in modo particolare (avvolgimento in 

rame  su  nucleo  ferromagnetico)  presenta  una  resistenza  parassita  di 

valore  tale che molte volte non permette  l’innesco dell’oscillazione. La 

soluzione più adottata è quella di usare o il circuito di Antoniou  o, più 

semplicemente,  un  condensatore  in  cascata  ad  un  giratore,  il  quale 

trasforma  la  capacità  del  condensatore  in  una  induttanza  del  valore 

desiderato  con  resistenza  praticamente  nulla.  Per  ottenere  le migliori 

performance pertanto l’induttore è stato realizzato in modo equivalente, 

tramite due amplificatori operazionali TL082, più capacità e resistenze 

di polarizzazione (figura 4.2 ). 

Il seguente circuito: 

 

Figura 4.2: Schema circuitale dell’induttore realizzato tramite induttanza equivalente 

63  

rappresenta  un  circuito  giratore  costruito  come  un  trasformatore  di 

impedenza, il quale simula il comportamento di un induttore ideale. Il 

valore di  induttanza  equivalente può  essere  calcolato  con  la  seguente 

formula: 

7 9 103

8eq

R R RL C

R . 

 

4.1.2 Il diodo di Chua  

Tra tutti  i componenti che compongono  il circuito di Chua,  il resistore 

non  lineare  è  indubbiamente  la  più  difficile  per  quanto  riguarda  la 

realizzazione.  Come  anticipato  nel  paragrafo  2.1,    per  la  sua 

realizzazione  sono necessari due OpAmp  e  sei  resistori. È allora utile 

introdurre la genesi concettuale di tale componente [7].  

Una realizzazione generica di resistore a resistenza negativa è mostrata 

in figura: 

 

Figura 4.3: Resistenza negativa, schema SwCAD

64  

Dalla legge di Kirchoff delle correnti (KCL) al nodo N1 si ottiene che: 

01

1I V V

R , 

mentre dalla  legge di Kirchoff delle  tensioni  (KVL) alla maglia chiusa 

dai N1‐N3‐N0‐N1 si ottiene: 

30

2 3d

RV V V

R R

, 

Inoltre, sapendo che l’operazionale segue la legge  V0=A*Vd  dove A è il 

guadagno, si può ricavare che: 

2 3

02 3

(1 )d

R A RV V V

A R R

, 

e sostituendo nella formula trovata la KCL si ricava: 

3 2

1 2 3

(1 )

(1 )

R A RI V

R R A R

, 

che per A molto grande si può approssimare a: 

2

1 3

RI V

R R

, 

e scegliendo R1=R2 si ottiene finalmente la resistenza negativa: 

3

1I V

R . 

Il modello  considerato  funziona  in  regione  lineare.  In  realtà  nessun 

dispositivo reale può erogare energia indefinitamente. In questo caso la 

limitazione cade sull’operazionale, il quale se ha una R3  piccola rispetto 

alla tensione applicata non è  in grado di rispondere correttamente alla 

richiesta di corrente; al contrario se  e  sono troppo grandi la tensione in 

uscita dall’operazionale risulterebbe inaccettabile, inoltre se né corrente 

65  

né tensione sono regolate si potrebbero presentare problemi di potenza. 

Si  può  allora  procedere    allo  studio  della  avvenuta  saturazione 

dell’operazionale,  tenendo conto della sua caratteristica. 

   

 

Una volta  in saturazione  la tensione all’uscita del operazionale rimane 

fissata alla tensione Esat e la corrente nel dipolo non lineare sarà pari a 

I=(V‐Esat)/R1, che non è nient’altro che la caratteristica tensione‐corrente 

di una resistenza positiva traslata. Si noti  la regolazione della tensione 

di  offset  che  è  in  relazione  alla  simmetria  delle  orbite  disegnate  dal 

circuito di Chua. In definitiva la caratteristica reale sarebbe: 

 

66  

Dove 

32 3

satEE R

R R

 

Per   problemi di  limitazione  in potenza,  inoltre,   è   necessario  che gli 

elementi  attivi  siano  due.  Essi  vengono  disposti  in  parallelo  come 

mostrato in figura: 

 

 

Fintanto  che gli  operazionali  lavorano  in  zona  attiva,  il dispositivo  si 

comporta come se avesse due resistenze negative  in parallelo e quindi 

vedrà: 

3 6

1 1I

V R R

 

Quando però un primo operazionale satura, cioè quando: 

Figura 4.4: Realizzazione del diodo di Chua, schema SwCAD 

67  

3 62 63 5

, sat satE EV Min R R

R R R R

 

allora la conduttanza vista in ingresso verrà modificata. In particolare:   

3 61 6 2 63 5

3 64 3 2 63 5

1 1 se

1 1 se

sat sat

sat sat

E EIR R

V R R R R R R

E EIR R

V R R R R R R

 

Infine se entrambi gli amplificatori sono saturi si avrà: 

1 4

1 1

I

V R R  

In modo analogo si procede per  la  tensione negativa, che è  in modulo 

uguale a quella positiva dato che i livelli di saturazione sono duali; così 

facendo si arriva ad una caratteristica del diodo di Chua che presenta 

due pendenze negative e una positiva. 

 

  

Dove: 

Figura 4.5: Caratteristica finale ottenuta per il diodo di Chua 

68  

3 62 63 5

1 , ed 2sat satE EE R E R

R R R R

  

oppure  viceversa.  In  figura  4.6    lo  schema  finale  del  resistore  non 

lineare. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.1.3 Componenti e tolleranze   

 

Per  quanto  riguarda  il modello  di  operazionale  da  utilizzare  non  ne 

esiste uno  specifico, ma  come  elemento  attivo  è possibile  optare  tra  i 

diversi  modelli  di  amplificatore  operazionale  presenti  in  commercio 

adatti  al  caso,  tra  cui un AD712  oppure  un TL082  oppure  ancora un 

uA741, a  larga  scala produttiva. Forse quello che  si adatta meglio alle 

esigenze del caso è  il TL082 della ST Microelectronics,  il quale presenta 

due OpAmp senza i rispettivi morsetti per la regolazione dell’offset, già 

Figura 4.6: Diodo di Chua

69  

tarato, e questo garantisce una messa a punto più facile per i problemi 

di simmetria ad esso associati.  

Le  resistenze  associate  alla parte non  lineare devono  essere  anch’esse 

fortemente  considerate  in quanto devono  tarare  la  curva del  resistore 

attivo.  Il  valore  delle  altre  resistenze  presenti  nel  circuito  è  meno 

cruciale. 

A  queste  valutazioni  bisogna  però  ricordare  che,  dato  l’obiettivo  del 

presente  lavoro,  è  fondamentale  riuscire  a  realizzare  più  circuiti  di 

Chua quanto più possibile identici fra loro. Questo, come detto, a causa 

della  variabilità  del  loro  comportamento  caotico  in  relazioni  alle 

perturbazioni  iniziali,  che  in  questo  caso  sono  proprio  i  valori  dei 

componenti. Risulta allora critico il valore di tolleranza dei componenti, 

che  rappresenta  lo  scostamento massimo percentuale del  valore  reale 

rispetto a quello nominale, ed in base  al quale essi vengono acquistati.  

4.2  SIMULAZIONE E REALIZZAZIONE HARDWARE 

DELLA TOPOLOGIA SCELTA 

Per una verifica iniziale di quanto detto, si è provveduto a simulare al

calcolatore il comportamento di un circuito di Chua, realizzato come descritto,

e a visualizzarne le dinamiche al variare del parametro di biforcazione R.

70  

Figura 4.7  Implementazione del circuito di Chua per la simulazione in SwCAD

Per R=2kOhm, l’attrattore determinato è dato dal seguente ciclo limite:

Figura 4.8: Ciclo limite ottenuto nello spazio di stato per R=2kOhm, simulazione SwCAD

71  

Per R=1800 Ohm, si ottiene invece il double-scroll:

Per R=1450 Ohm, invece, il circuito si porta in saturazione con il seguente

attrattore:

Figura 4.9: Attrattore double‐scroll ottenuto per R=1.8kOhm, simulazione SwCAD 

Figura 4.10: Ciclo limite di saturazione ottenuto per R=1.45kOhm, simulazione SwCAD

72  

Realizzando in laboratorio il circuito precedentemente mostrato, è stato

possibile confermare quanto appena visto in simulazione.

Tuttavia, dal momento che il circuito reale non è mai uguale al circuito teorico,

il comportamento è risultato leggermente diverso in termini quantitativi, in

funzione cioè del parametro R. La dinamica è stata visualizzata tramite un

oscilloscopio Tektronix TDS224.

Per il montaggio del circuito, è stata utilizzata una board stampata realizzata ad

hoc (figura 4.11 e 4.12), sulla quale, date le dimensioni e la forma, hanno

trovato posto i componenti di quattro circuiti di Chua, ciascuno secondo i

valori dello schema precedente.

Figura 4.11: Progetto in CAD della PCB stampata su cui verranno montati i quattro 

circuiti di Chua 

73  

Figura 4.12: Retro della board stampata, con le connessioni e i componenti già saldati 

In laboratorio tuttavia non era presente un resistore da 53,7 Ohm, come 

considerato  nel  progetto  iniziale,  necessario  alla  realizzazione 

dell’induttore  virtuale  del  circuito.  È  stato  perciò  sostituito  da  una 

coppia di resistori  in parallelo, rispettivamente del valore di 100 e 110 

Ohm, all’1% di tolleranza. La resistenza che si ottiene è di 52 Ohm. 

Con  questi  valori  dei  componenti,  risulta  evidente  che  il  valore  di 

induttanza  equivalente  non  è  più  quello  considerato  nel  progetto 

iniziale: 

11 9 86

10

17.16eq

R R RL C mH

R  

Tale  valore  risulta  inferiore  a  quello  di  17.72  mH  considerato  sia 

durante  le  simulazioni  che  nel  modello  analitico,  il  che  ha  reso 

necessaria  una  nuova  verifica  delle  dinamiche.  E’  emerso  comunque 

che  il  comportamento  del  circuito  non  è  variato  qualitativamente,  e 

probabilmente  la modifica  è  solo  quantitativa:  l’andamento  caotico  è 

presente.  

Lo  schema  circuitale  relativo  ai Chua  effettivamente  realizzati  è  stato 

allora il seguente: 

74  

 

Figura 4.14: I quattro circuiti di Chua completi

Figura 4.13: Progetto completo del circuito di Chua 

75  

4.3 SIMULAZIONI SPICE DELLA SINCRONIZZAZIONE 

 

A questo punto del  lavoro è  stato possibile andare ad esaminare cosa 

accade  collegando  fra  loro  due  o  più  circuiti  di  Chua:  si  è  cioè 

provveduto alla verifica della sincronizzazione tra più circuiti di Chua 

funzionanti in regime caotico. 

Per  fare questo,  si  è dapprima  considerato un  caso  semplice  con due 

circuiti, per poi  estendere  l’analisi  ad una  situazione più  complessa  e 

più generale in cui erano accoppiati fra loro tre circuiti di Chua. 

La  sincronizzazione  può  essere  ricercata  sia  accoppiando  i  circuiti 

attraverso  una  sola  variabile  di  stato,  oppure  una  qualsiasi  loro 

combinazione.  In  [8]  tuttavia  è  mostrato  come  l’accoppiamento 

attraverso  una  sola  variabile  di  stato  non  solo  sia  sufficiente  per 

raggiungere  la  sincronizzazione  del  sistema  complessivo,  ma 

addirittura presenti robustezza e garanzia di successo maggiori rispetto 

ad un  accoppiamento su due o tre variabili di stato. Pertanto, si è scelto 

di  realizzare un accoppiamento sulla sola variabile di  tensione ai capi 

dell’elemento non lineare (alias “Vc1”, tensione ai capi del condensatore 

in parallelo al diodo di Chua) nei diversi circuiti. 

In  entrambi  gli  scenari  analizzati  (coppia  di  circuiti  o  tris  di  circuiti), 

l’accoppiamento è stato realizzato mediante un interruttore che collega 

tali  variabili.    In  questo modo  si  può  avere  un  fase  iniziale  in  cui  i 

circuiti  lavorano  in maniera  indipendente  l’uno dall’altro; dopodiché, 

alla  chiusura dell’interruttore,  si ha  interazione  tra  i diversi  circuiti  e 

quindi  si  possono  valutare  le  condizioni  che  portano  alla 

sincronizzazione del comportamento caotico dei singoli circuiti di Chua 

e  quindi  alla  definizione  di  un  unico  andamento  per  il  sistema 

complessivo, qualora questa si verifichi. 

 

 

76  

4.3.1 Coppia di circuiti 

 

In  questo  primo  caso  sono  state  analizzate  le  dinamiche  di 

accoppiamento  di  due  circuiti  di  Chua  uguali  fra  loro  per  tutti  i 

parametri  ad  eccezione  del  valore  dei  2  resistori  lineari  (di  seguito, 

circuito a e circuito b). 

Sono state quindi effettuate delle simulazioni del comportamento dei 2 

circuiti realizzati in SWCAD, secondo lo schema sottostante: 

 

 

Figura 4.15: Implemantazione SwCad dell’accoppiamento di due circuiti di Chua 

Tali  simulazioni  hanno  interessato  differenti  casi  le  misure  hanno 

interessato  differenti  casi  al  variare  dei  resistori  Ra  ed  Rb  dei  due 

circuiti. 

In  tutte  le  analisi  effettuate  si  parte  da  una  situazione  in  cui 

l’interruttore  è  aperto  e  tra  i  due  circuiti  di  Chua  non  è  presente 

accoppiamento. Dopo un tempo pari a 10ms l’interruttore si chiude, e a 

questo punto  i  circuiti  risultano  accoppiati  tramite  il  resistore  lineare 

Rx. 

Sono stati analizzati diversi scenari, in quanto si sono considerati valori 

di Ra ed Rb variabili tra 1500 e 2000 Ohm, con risultati pressoché simili 

77  

in termini di qualità della sincronizzazione,  e valori di Rx variabili tra 

0.1 e 10 kOhm. 

Nel caso di seguito riportato, i valori utilizzati sono: Ra 1800 Ohm, Rb 

2000 Ohm, Rx 1 kOhm. 

 

Circuiti  in evoluzione  indipendente: circuito  (a),   particolare attrattore 

double scroll, circuito (b) ciclo limite. 

 

 

Figura 4.16: Circuito a : traiettoria nello spazio di stato a 5.8 ms. Attrattore caotico 

double scroll ottenuto per R=1.8kOhm,  

78  

 

Figura 4.17: Circuito b : traiettoria nello spazio di stato a 5.8 ms.  

Ciclo limite periodico ottenuto per R=2kOhm 

 

 

Come si nota dal grafico sottostante, l’andamento delle tensioni nei due 

circuiti è completamente indipendente. 

 

 

Figura 4.18: Andamento delle tensioni Vc1a e Vc1b  a 5.8 ms 

 

 

 

79  

 Chiusura  dell’interruttore  (24ms):  circuiti  accoppiati  e  inizio  della 

sincronizzazione.  

 

Figura 4.19: Andamento delle tensioni Vc1a, Vc1b e segnale di pilotaggio dell’interruttore a 

24 ms. Vc1a e Vc1b risultano sovrapposte dopo la chiusura dell’interruttore 

Alla  chiusura dell’interruttore  (in  azzurro), dopo un breve  transitorio 

temporale  si  vede  come  i  valori  delle  tensioni mostrino  il medesimo 

andamento. Sia  (a) che  (b) ora descrivono uno stesso attrattore double 

scroll: la sincronizzazione è raggiunta. 

Nell’ovale  è  evidenziato  il brusco passaggio  che porta  alla variazione 

della tipologia di attrattore:  

 

Figura 4.20: Circuito b : traiettoria nello spazio di stato a 24 ms. Il ciclo limite periodico 

diviene un attrattore caotico double‐scroll 

80  

Sono  stati  analizzati  anche  i  casi  in  cui  Rx=0.1,  Rx=10,  Rx=100,  con 

risultati  equivalenti. Nel  caso di Rx=10 kOhm,  invece, non  si  riesce  a 

raggiungere la sincronizzazione. 

 

 

4.3.2 Tris di circuiti 

Volendo  simulare  una  situazione  in  cui  sono  tre  i  circuiti  caotici 

accoppiati, è possibile scegliere tra tre diversi scenari di collegamento: a 

triangolo, a stella, ad array. In realtà, le prime due topologie citate godono 

della  equivalenza  elettrotecnica  stella‐triangolo,  pertanto  è  stato 

considerato  superfluo  simularle  entrambe  al  calcolatore. 

L’accoppiamento  a  stella  perciò  verrà  esaminato  esclusivamente  nel 

paragrafo seguente (in quanto è stato comunque realizzato fisicamente 

in laboratorio) ma verrà trascurato nel discorso che segue. 

Nel primo scenario esaminato è stata adottata la topologia a triangolo, in 

cui ogni circuito è accoppiato con entrambi gli altri. 

Dal  momento  che  si  ha  intenzione  di  verificare  poi  praticamente  i 

circuiti,  è  opportuno  analizzare  una  situazione  il  più  possibile 

corrispondente  alla  realtà:  per  fare  questo,  vengono    introdotte  delle 

tolleranze sui valori dei parametri circuitali.  

A  livello  industriale,  infatti,  risulta  pressoché  impossibile  riuscire  a 

realizzare  elementi  quali  resistori,  condensatori,  ecc.,  di  valore 

esattamente  eguale,  e  ciò  a  causa  di  fluttuazioni  di  processo  ed 

inevitabili  tolleranze,  e  si  è  altresì  già discusso di  quanto  sia  basilare 

conoscere  le  condizioni  iniziali  di  un  sistema  caotico,  se  si  vuole 

quantomeno  stimare  il  comportamento negli  istanti  successivi. Ai  fini 

della  sincronizzazione,  inoltre,  è  importante  che  i  circuiti  considerati 

siano  il  più  uguali  possibile,  per  far  si  che  essi  lavorino  nella  stessa 

regione caotica. 

81  

Per  tenere conto di queste non  idealità, allora, è necessario  introdurre 

delle perturbazioni parametriche. Questo può essere fatto, dal punto di 

vista  analitico,  introducendo    nelle  equazioni  di  stato  del  circuito  le 

perturbazioni  Δα  e  Δβ  sui  parametri  adimensionalizzati  α  e  β  del 

sistema  equivalente  [8].  Per  quanto  riguarda  le  simulazioni  al 

calcolatore,  invece,  si  può  tenere  conto  di  queste  variazioni 

parametriche  effettuando  simulazioni  in  modalità  Monte  Carlo.  Tale 

funzione Spice  consente di attribuire a prescelti  elementi  circuitali un 

valore che rientra in un range pari a [valore nominale +/‐(tolleranza%)], 

dove  la  tolleranza  è  scelta  dall’utente.  A  diverse  iterazioni, 

corrisponderanno  in  maniera  randomica  diversi  valori  appartenenti 

all’intervallo stabilito. 

Si riportano a questo punto le equazioni adimensionalizzate del caso in 

esame: 

1 1 1 1 2 3 1

1 1 1 1

1 1

2 2 2 2 2 1 3 2

2 2 2 2

2 2 2

2 3 3 3 3 1

x = (y - x - f(x )) + k(x + x - 2x ) ,

y = x - y + z ,

z = - y ,

x = (y - x - f(x )) + k(x + x - 2x ) ,

y = x - y + z ,

z = - y ,

x = (y - x - f(x )) + k(x +

2 3

3 3 3 3

3 3 3

x - 2x ) ,

y = x - y + z ,

z = - y .

 

Come  si  nota  analizzando  il  precedente  sistema,  si  è  tenuto  conto 

dell’accoppiamento sulla sola variabile x (in quanto questa è la tipologia 

diaccoppiamento che si intende poi realizzare praticamente) mediante il 

parametro  k,  coefficiente  d’accoppiamento,  e  considerando  un 

accoppiamento di tipo diffusivo. 

Come  si  nota  dalle  equazioni  precedenti,  inoltre,  i  coefficienti  di 

accoppiamento sono  stati   considerati uguali,  in quanto si suppone di 

collegare  i circuiti mediante  tre  resistori di egual valore.  Inoltre, come 

82  

anticipato,  si  è  tenuto  conto  delle  possibile  tolleranze  nei  vari 

componenti  utilizzati  nella  realizzazione  dei  circuiti,  e  tali  differenze 

sono espresse tramite i termini Δα2, Δα3 , Δβ2, Δβ3.  

Il  caso  di  interesse  è  quello  in  cui  ogni  singolo  circuito  di  Chua 

utilizzato presenti comportamento caotico con attrattore double scroll, 

come già anticipato. 

Per  ottenere  questa  condizione,  i  valori  dei  parametri  adimensionali 

devono risultare: 

α = 10;  β = 17.88;  a = ‐1.35;  b = ‐0.73; 

dove per gli  α e  β dei  tre  circuiti  si  terrà  conto delle  tolleranze  sopra 

citate. 

A questo punto, è possibile visualizzare  l’evoluzione ed  il  risultato di 

tale scenario mediante simulazioni al calcolatore. Il circuito complessivo 

utilizzato è il seguente: 

 

4.21  Implementazione  dell’accoppiamento  di  tre  circuiti  di  Chua  in  SwCAD  con 

topologia a triangolo 

83  

I diversi parametri sono distinti dai pedici a, b e c, a seconda che essi 

appartengano al primo, secondo o terzo circuito. Il valore di tolleranza 

assunto è dell’1% sui condensatori dei circuiti. 

 

Esportando ed elaborando in MATLAB i dati ottenuti in SwCAD è stato 

possibile determinare il valore degli errori di sincronizzazione sulle tre 

variabili di stato, per i diversi circuiti. Nei grafici che seguono e1, e2 ed 

e3 sono gli errori per la variabile Vc1 dei tre circuiti, calcolati nel modo 

seguente: 

 

1 1 1 , 

2 1 1 , 

3 1 1 .  

 Figura 4.22: errori di sincronizzazione calcolati sulla variabile Vc1 per i tre circuiti, con 

Racc=1 kOhm 

 

Dai  grafici  emerge  che,  successivamente  all’istante  di  accoppiamento 

dei  tre  circuiti  (15 ms),  l’errore di  sincronizzazione  si  riduce  e  risulta 

contenuto  entro un valore  limitato. Ciò non  avviene  istantaneamente, 

ma con transitorio stimato di circa 2.5 ms: 

 

84  

 Figura 4.23: errori di sincronizzazione calcolati sulla variabile Vc1 per i tre circuiti alla 

chiusura dell’interruttore, con Racc=1 kOhm 

Per le altre variabili di stato il procedimento è analogo. 

Sono  stati  calcolati gli errori complessivi per  i  tre circuiti, per ognuna 

delle 3 variabili di stato, come: 

| | | | | |

3 

| | | | | |

3 

| | | | | |

3 

Ciò che si ottiene per E1 ed E2 è mostrato in figura:  

 

Figura 4.24: Errori complessivi per ciascun circuito, per le variabili in tensione 

85  

 

Mentr per E3:  

 

Figura 4.25: Errori complessivi per ciascun circuito, per la variabile in corrente 

 

Andando  a  normalizzare  gli  errori  appena  calcolati  rispetto  alla  loro 

norma, nello spazio degli errori si ottiene: 

Figura 4.26: inviluppo dell’errore complessivo nello spazio degli errori 

Da esso, possiamo dire che l’errore complessivo è confinato nello spazio 

da una sfera centrata nello zero e con raggio r=0.0786 (distanza massima 

dall’origine).  Considerazioni  simili  possono  essere  fatte  anche 

86  

considerando invece degli errori, i loro corrispondenti normalizzati (in 

questo caso per le rispettive norme). 

 

Figura 4.27: errori normalizzati per i tre circuiti, relativi alle tre variabili di stato, 

calcolati in sincronizzazione 

In tale grafico sono stati considerati solo i campioni successivi all’istante 

di tempo per il quale esso risulta appartenente ad un boundary limitato. 

Di  seguito  vediamo  l’andamento  degli  errori  complessivi,  anch’essi 

normalizzati  e  considerando  solo  i  campioni  in  condizioni  di 

sincronizzazione. 

 

  

Figura 4.28: Inviluppo degli errori normalizzati per i tre circuiti, relativi alle tre 

variabili di stato, calcolati in sincronizzazione, nello spazio degli errori 

87  

Effettuando più  simulazioni,  variando Racc,    è possibile determinare  i 

diversi valori di errore corrispondenti ai diversi Racc. 

A  tal  proposito,  sono  stati  presi  in  considerazione  quattro  possibili 

scenari, al variare delle tolleranza ammesse sui componenti. 

Tali valori sono riassunti nella tabella che segue. 

 

% sulle resistenze del 

circuiti 

% sulle capacità del 

circuiti 

Tolleranza A  ±1  ±2 

Tolleranza B  ±1  ±5 

Tolleranza C  ±2  ±8 

Tolleranza D  ±5  ±10 

 

Per ognuno di essi non si   è operato con analisi di  tipo Montecarlo,  in 

quanto  essa,  come  prima  notato,  non  avrebbe  permesso    di  valutare 

esattamente  il  worst  case  delle  tolleranze  in  gioco,  bensì  imponendo 

manualmente  i  valori  dei  componenti  tenendo  conto  delle  possibili 

variazioni nel range considerato. 

Inoltre,  come  anticipato,  sono  state  effettuate  diverse  iterazioni  per 

diversi valori di Racc. 

Quindi è  stato valutato  l’andamento dell’errore di  sincronizzazione al 

variare  di  Racc,  per  diverse  combinazioni  di  tolleranze  ammesse  sui 

componenti,  calcolato  come  somma  delle  norme  degli  errori 

precedentemente definiti, cioè: 

 | | | | | |

 

| | | | | | 

88  

| | | | | | 

 

 Il seguente grafico mostra i risultati ottenuti: 

 

Figura 4.29: Errore complessivo, al variare del resistore di accoppiamento e della 

tolleranza sui componenti  

Risulta evidente che utilizzare componenti a bassa tolleranza è pagante 

in termini di qualità della sincronizzazione. 

Un’analisi  similare  può  essere  valutata  anche  considerando  una 

topologia differente per la rete dei tre circuiti. 

Eliminando  l’accoppiamento  diretto  tra  due  circuiti,  si  passa  da  una 

topologia  a  triangolo  (tutti  sono  connessi  con  tutti)  ad  una  topologia  

invece  ad  array  (in  fila).  Ciò  equivale  al  porre  un  resistore  di 

accoppiamento al valore  infinito  (lasciando quindi un circuito aperto), 

cioè  a  considerare  un  coefficiente  di  accoppiamento  k  pari  a  0.    Di 

seguito lo schema circuitale utilizzato: 

 

89  

 

4.30 Schema dell’accoppiamento di tre circuiti di Chua con topologia ad array 

 

Nell’ovale si è evidenziata l’assenza di accoppiamento diretto. 

In  tal  caso,  non  essendo  presente  accoppiamento  diretto  per  due 

circuiti,  il sistema di equazioni di stato valutato  in precedenza viene a 

modificarsi come segue: 

 

1 1 1 1 2 3 1

1 1 1 1

1 1

2 2 2 2 2 1 2

2 2 2 2

2 2 2

3 3 3 3 3 1 3

x = (y - x - f(x )) + k(x + x - 2x ) ,

y = x - y + z ,

z = - y ,

x = (y - x - f(x )) + k(x - x ) ,

y = x - y + z ,

z = - y ,

x = (y - x - f(x )) + k(x - x ) ,

3 3 3 3

3 3 3

y = x - y + z ,

z = - y .

 

90  

 

dove  le variabili contraddistinte dai pedici 2 e 3 sono quelle poste alle 

estremità dell’array. 

Effettuando una simulazione considerando valori di tolleranza del caso 

“b” precedentemente considerato, si nota che da un certo valore di Racc 

in poi non si ottiene sincronizzazione,  in quanto per almeno uno dei tre 

circuiti si raggiunge un regime di saturazione. 

In  figura  sono  mostrati  l’andamento  dell’errore  calcolato  come  già 

effettuato  per  la  topologia  a  triangolo,  nonché  l’andamento  delle 

variabili di  stato per Racc=8 kOhm:  come  si vede, non  si  raggiunge  la 

sincronizzazione. Inoltre, superato  il valore di soglia di Racc=4.5 kOhm, 

l’errore misurato aumenta quasi di un ordine di grandezza. 

 

 

  

Figura 4.31: Errore calcolato per la topologia ad array, al variare di Racc [Ohm] 

 

91  

 Figura 4.32: andamento delle Vc1 e Vc2 per i tre circuiti con Racc=8kOhm: alla 

chiusura dell’interruttore i circuiti si portano in saturazione, e la sincronizzazione non 

avviene. 

 

Oltre  a  quanto  mostrato,  sono  state  effettuate  anche  analisi 

considerando  valori  di  tolleranza  maggiori,  tuttavia  con  risultati 

insoddisfacenti. 

Ad esempio, considerando una tolleranza del 5% per i valori di tutti gli 

elementi  lineari del circuito, procedendo con simulazione Monte Carlo 

per  20  iterazioni,  la  sincronizzazione  si  è  ottenuta  in  soli  5  casi:  tale 

valore di tolleranza sui componenti, pertanto, risulta troppo elevato per 

poter essere considerato accettabile come valore di tolleranza reale dei 

componenti di un circuito fisico. 

 

 

4.3.3 Considerazioni sulle simulazioni 

 

Dalle  diverse  simulazioni  effettuate,  è  emerso  innanzitutto  che  la 

capacità  di  sincronizzazione  del  sistema  complessivo    (che  esso  sia 

costituito da due o tre circuiti di Chua mutuamente accoppiati) dipende 

fortemente dal valore dei parametri di accoppiamento. 

92  

Per  entrambi  i  casi  infatti, a partire da  certi valori di Racc  crescenti,  (e 

quindi del coefficiente di accoppiamento k in maniera inversa),  diversi 

a  seconda  delle  peculiarità  del  circuito,  il  fenomeno  della 

sincronizzazione  non  si  verifica:  i  circuiti  risentono  sì 

dell’accoppiamento, variando  il  loro  regime,   ma  l’influenza  reciproca 

non  è  tale  da  consentire  al  sistema  complessivo  di  raggiungere  un 

comportamento omogeneo, nonché un ritratto di fase comune. 

Naturalmente,  come  suggerisce  anche  la  legge  di  Ohm,  valori  Racc 

piccoli  inducono  anche differenze minori  fra  le  tensioni  accoppiate,  e 

quindi una sincronizzazione migliore. 

Per  quanto mostrato,  inoltre,  si  evince  che  uno  sforzo  nel  realizzare 

circuiti  di Chua  il  quanto  più  possibile  simili  tra    loro  comporta  un 

notevole miglioramento in termini di qualità della sincronizzazione. 

Qualora  non  fosse  possibile  utilizzare  componenti  realizzati  con 

maggior precisione,  è possibile,  seppur  in maniera  limitata,  ridurre  il 

valore di Racc per migliorare il comportamento del circuito complessivo. 

 

 

 

 

4.4 RISULTATI SPERIMENTALI  

Nel  seguito, per  i  circuiti A, B, C, D,  si  intendono  i quattro  circuiti di 

Chua realizzati come descritto nel par. 4.2. 

Al  fine della sincronizzazione, è  importante che ciascun circuito  lavori 

in regime caotico, e pertanto bisogna scegliere opportunamente il valore 

del resistore lineare affinchè l’attrattore sia con buona sicurezza lontano 

dai comportamenti periodici delle finestre sul caos. 

Per fare questo, i circuiti sono stati dapprima composti con un resistore 

variabile:  con  l’ausilio  di  un  oscilloscopio  Tektronix  TDS224  e  di  un 

93  

multimetro Agilent 33401A è stato possibile determinare  il valore di R 

opportuno. Durante le misure, per tutti si presentavano più finestre sul 

caos in regime caotico, a valori diversi di R; tuttavia, il comportamento 

del circuito D è quello risultato più singolare e diverso rispetto altri tre, 

probabilmente  a  causa di  qualche  componente  fuori  tolleranza,  e per 

questo è stato “scartato”. 

Con  tre  circuiti  rimasti,  è  stato  possibile  calcolare  un  valore  di  R 

ottimale,  cioè  che  consentisse  ad  ognuno  di  funzionare  in  regime 

caotico sufficientemente lontano dalle finestre periodiche. Tale valore è 

risultato di  1663 Ohm:  ottenuti  tre  resistori  opportuni,  essi  sono  stati 

sostituiti  nei  singoli  circuiti  al  posto  del  potenziometro  fin  qui 

utilizzato. A questo punto, i circuiti sono pronti per poter procedere alla 

sincronizzazione. 

Le misure seguenti sono state effettuate con l’ausilio di un oscilloscopio 

Tektronix TDS5104B a quattro canali (figura 4.33) 

 

  

Figura 4.33: La piastra con i tre circuiti di Chua alimentata. Sullo schermo 

dell’oscilloscopio è visibile come le Vc1A, Vc1B e Vc1C mostrino andamento caotico. 

 

 

94  

4.4.1 Coppia di circuiti 

 

 

E’ stata effettuata una verifica della sincronizzazione tra i circuiti A e B. 

Innanzitutto, si sono portati entrambi i circuiti in regime caotico, in cui 

entrambi presentano l’attrattore double scroll. 

In queste condizioni di funzionamento, si sono provati diversi possibili 

accoppiamenti collegando i circuiti A e B sulla variabile Vc1 tramite un 

resistore (accoppiamento passivo e bidirezionale). 

Il valore Ohmico è stato dapprima variato mediante un potenziometro, 

così  da  avere  un’idea  complessiva  della  dinamica,  e  poi 

successivamente sostituendo valori di R più precisi man mano che ci si 

avvicinava  al  valore  di  transizione  dedotto  dall’analisi  precedente.  I 

risultati  emersi  sono  riportati  di  seguito,  e  per  graficare  l’andamento 

delle tensioni è stata utilizzata la seguente convenzione: 

 

linea gialla 1: tensione prelevata dal canale 1 del circuito A, VC1A, 

linea azzurra 2: VC1B,  

linea fucsia 3: VC2A, 

linea verde scuro 4: VC2B, 

linea arancio M1: ABS(VC1A+VC1B)*0.5, valore assoluto della forma 

d’onda media tra Vc1A  e Vc1B, 

linea viola M2: ABS(VC1A‐ VC1B), differenza tra le tensioni su C1A e 

C1B, 

linea rossa M3: ABS(VC2A+VC2B)*0.5, 

linea verde chiaro M4: ABS(VC2A‐VC2B). 

 

M2 e M4 rappresentano, rispettivamente, gli errori istantanei sulla Vc1 

e sulla Vc2.  Di M1, M2, M3, M4 sono poi stati calcolati, caso per caso, i 

valori medi.  

95  

Si  ricorda  che  l’accoppiamento  è  effettuato  sulla  variabile  Vc1:  è 

pertanto per essa che si attendono i migliori risultati, rispetto alla Vc2. 

 

Racc= 0.5 kOhm 

Tale valore  è  stato  scelto  come prova  iniziale, per verificare 

che  tutto  funzionasse al meglio. Per  esso  (come per  i valori 

successivi) sono mostrati gli andamenti delle tensioni.  

Come  si  nota  dal  grafico,  le  tensioni  sono molto  prossime: 

l’offset visualizzato è un artifizio per consentire una migliore 

comprensione del risultato. 

 

  

In  tali condizioni  i circuiti sono  funzionanti  in regime caotico, e 

ciò si evince visualizzando gli attrattori nello spazio di stato: 

 

96  

 Figura 4.34: Attrattori caotici double scroll per i circuiti in esame (Vc1 vs Vc2) 

 

 

È evidente come gli attrattori, nonostante siano caotici, risultino 

pressoché identici. Risulta, inoltre: 

 

  ABS(Vc1A+Vc1B)0.5 

[mV] 

ABS(Vc1A‐ Vc1B) 

[mV] 

Errore 

[%] 

VC1  M1= 177.6*  M2=7.25*  4.1 

VC2  M3=19.1*  M4=2.13*  11.2 

*valore medio 

 

Si  prevede  pertanto  che  la  sincronizzazione  è migliore  per  la 

variabile 1. Ciò è confermati dalle rette di sincronizzazione, dove 

quella relativa alla prima variabile di stato (in giallo, Vc1 vs Vc2) 

risulta più stretta: 

 

97  

 Figura 4.35: Rette di sincronizzazione nel piano di stato (Vc1A vs Vc1B in 

giallo, Vc2A vs Vc2B in rosa) 

 

 

Racc= 4.6 kOhm 

Di seguito sono presentati i risultati come nel caso 

precedente: 

 

  

I circuiti sono ancora in regime caotico: 

98  

 Figura 4.36: Attrattori caotici double scroll per i circuiti in esame (Vc1 vs Vc2) 

 

 

Dalle misure risulta che: 

 

  ABS(Vc1A+Vc1B)0.5 

[mV] 

ABS(Vc1A‐ Vc1B) 

[mV] 

Errore 

[%] 

VC1  M1= 171.8*  M2=7.93*  4.6 

VC2  M3=23.54*  M4=5.59*  23.7 

*valore medio 

 

Come si  legge dalla  tabella,  la sincronizzazione è ancora buona 

per la variabile su cui è effettuato l’accoppiamento, mentre per la 

Vc2  l’errore percentuale è aumentato  in maniera considerevole. 

Nel piano di stato: 

 

99  

 Figura 4.37: Rette di sincronizzazione nel piano di stato (Vc1A vs Vc1B in 

giallo, Vc2A vs Vc2B in rosa) 

 

 

a conferma di quanto appena detto.  

 

 

Racc= 5 kOhm 

La situazione in questo caso non varia nella sostanza rispetto 

al caso precedente: si riportano solo i risultati delle misure: 

 

*valore medio 

 

 

Racc= 5.45 kOhm 

Ora inizia a divenire leggermente più complicata: ciò è segno 

che  ci  si  sta  avvicinando  al  valore  limite  per  la 

  ABS(Vc1A+Vc1B)0.5 

[mV] 

ABS(Vc1A‐ Vc1B) 

[mV] 

Errore 

[%] 

VC1  M1= 173.89*  M2=9.14*  4.5 

VC2  M3=24.16*  M4=6.32*  26.2 

100  

sincronizzazione.  I  circuiti  funzionano  sempre  in  regime 

caotico:  

 

  

Tuttavia già dal precedente grafico è evidente  la distorsione 

per la seconda variabile di stato (fucsia, verde). Dalle misure 

infatti: 

 

*valore medio 

 

Inoltre, nello spazio di stato: 

  ABS(Vc1A+Vc1B)0.5 

[mV] 

ABS(Vc1A‐ Vc1B) 

[mV] 

Errore 

[%] 

VC1  M1= 170.50*  M2=22.69*  7.5 

VC2  M3=20.09*  M4=13.71*  68.1 

101  

  

Figura 4.38: Attrattori caotici double scroll per i circuiti in esame (Vc1 vs Vc2) 

 

Il comportamento può ancora definirsi caotico, ma è difficile 

trovare delle coincidenze fra i due attrattori. Ancora: 

 

  

Figura 4.39: Rette di sincronizzazione nel piano di stato (Vc1A vs Vc1B in 

giallo, Vc2A vs Vc2B in rosa) 

 

Questa  situazione  potrebbe  essere  definita  come  “sincronia 

parziale”. 

102  

Racc= 5.47 kOhm 

Questo  valore  risulta  proprio  a  ridosso  della  transizione. 

Infatti, come si nota dal grafico, nella parte sinistra e destra  le 

tensioni  hanno  comportamento  completamente  diverso:  per 

la Vc1  ad  esempio,  a  sinistra  l’andamento  è  simile  a quello 

che  assumerebbe  in  saturazione,  per  poi  tendere  ad  un 

comportamento caotico nella seconda metà del grafico.  

  

Ciò vuol dire che anche gli attrattori mutano la loro forma: 

 Figura 4.40: Attrattori c per i circuiti in esame (Vc1 vs Vc2) 

 

103  

Per quanto riguarda  la retta di sincronizzazione nello spazio 

di  stato,  essa  ovviamente  assume  un  altro  aspetto:  in 

particola, essa non è stabile, ma “salta” da una figura all’altra 

in maniera apparentemente impredicibile. 

Di seguito, alcune forme assunte nel tempo: 

 

               Figura 4.42a 

 

 

 

 

Figura 4.41b  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Figura 4.41a, 4.41b:  Rette di sincronizzazione nel piano di stato (Vc1A vs 

Vc1B in giallo, Vc2A vs Vc2B in rosa) 

 

Non si riportano i risultati delle misure: non sono significativi 

a causa della mancata sincronizzazione dei segnali. 

 

104  

Racc= 6.7 kOhm 

In tale scenario si è in completa saturazione dei circuiti. 

 

  

Il  comportamento  non  è  caotico,  bensì  periodico,  e  la 

sincronizzazione non  ha rilevanza. 

 

 

 

4.4.2 Tris di circuiti 

 

 

Guardando  i  circuiti,  ci  si  rende  subito  conto  che  per  collegare  i  tre 

Chua  si  possono  effettuare  varie  scelte,  nell’ambito dell’accoppiamento 

passivo mutuo che si sta analizzando. 

Sono  state  pertanto  prese  in  considerazione  tre  possibili  topologie  di 

collegamento: 

a triangolo, a stella, ad array. 

Poiché  l’oscilloscopio utilizzato presenta 4 canali,  le misure sono state 

effettuate solo sulla variabile di accoppiamento Vc1. Così  facendo sono 

stati impiegati i primi tre canali. Il quarto è stato solitamente utilizzato 

105  

per  visualizzare  l’andamento  della  Vc2  del  circuito  A,  per  avere 

conferma di essere in regime caotico. 

La convenzione utilizzata per i grafici è la seguente: 

 

linea gialla 1: tensione prelevata dal canale 1 del circuito A, VC1A, 

linea azzurra 2: VC1B,  

linea fucsia 3: VC1C, 

linea verde scuro 4: VC2A, 

linea arancio chiaro M1: ABS(VC1A‐ VC1C), differenza tra le tensioni 

su C1A e C1C, 

linea viola M2: ABS(VC1A‐ VC1B), 

linea arancio scuro M3: ABS(VC1C‐ VC1B), 

linea verde mela M4:  ABS(VC1A+VC1B+VC1C )/3, valore assoluto della 

forma d’onda media tra VC1A,VC1B e VC1C. 

 

 

 

4.4.3.1 Topologia a triangolo 

 

 Figura 4.42 schema concettuale della connessione a triangolo fra i circuiti A, B, C 

 

 

I circuiti sono collegati fra loro, sulla variabile Vc1, in maniera reciproca. 

 

106  

 

 

Racc= 4.5 kOhm 

In questa situazione, i circuiti funzionano in regime caotico e 

presentano  una  sincronizzazione  di  qualità  soddisfacente: 

l’errore percentuale è confinato in valori molto bassi. 

 

  

x‐y ABS(Vc1x‐ Vc1y) 

[mV] 

ABS(Vc1A+Vc1B+Vc1C )/3 

[mV] 

Errore

[%] 

A‐C  M1=6.62* 

M4= 176.5* 

3.7 

A‐B  M2=6.90*  3.9 

B‐C  M3=6.01*  3.4 

*valore medio 

 

 

Infatti,  come  si  evince  dal  grafico  e  dai  risultati  mostrati,  la 

sincronizzazione avviene in maniera quasi perfetta: 

107  

 Figura 4.43: Retta di sincronizzazione Vc1A vs Vc1B, e attrattore double scroll (Vc1C 

vs Vc2C) 

 

 

Racc= 5 kOhm 

Anche in questo caso, la sincronizzazione avviene con successo: 

 

x‐y ABS(Vc1x‐ Vc1y) 

[mV] 

ABS(Vc1A+Vc1B+Vc1C )/3 

[mV] 

Errore

[%] 

A‐C  M1=6.44* 

M4= 175.2* 

3.7 

A‐B  M2=6.75*  4.3 

B‐C  M3=6.03  3.4 

* Valore medio 

 

 

Racc= 5.45 kOhm 

In questo caso il comportamento è simile al caso precedente. 

La sincronizzazione che si ottiene è comunque accettabile: 

 

108  

  

x‐y ABS(Vc1x‐ Vc1y) 

[mV] 

ABS(Vc1A+Vc1B+Vc1C )/3 

[mV] 

Errore

[%] 

A‐C  M1=14.73* 

M4= 166.7* 

8.8 

A‐B  M2=15.19*  9.1 

B‐C  M3=14.36*  8.6 

* Valore medio 

 Figura 4.44: Retta di sincronizzazione Vc1A vs Vc1B, e attrattore double scroll Vc1C vs 

Vc2C 

109  

  

Figura 4.45: Rette di sincronizzazione nel piano di stato (Vc1A vs Vc1C in giallo, Vc1B 

vs Vc1C in rosa) 

 

 

Racc= 5.5 kOhm 

La soglia per la sincronizzazione è stata superata: i circuiti A 

e C si portano in saturazione. 

 

  

 

110  

  

Figura 4.46:  Rette di sincronizzazione nel piano di stato (Vc1A vs Vc1C in giallo, Vc1B 

vs Vc1C in rosa) 

 

 

 

Racc= 6.3kOhm 

Ora tutti e tre i circuiti mostrano comportamento periodico: le 

tensioni hanno andamento simile e risultano sfasate tra loro. 

 

  

111  

4.4.3.2  Topologia a stella 

 

 Figura 4.47 schema concettuale della connessione a stella fra i circuiti A, B, C 

 

In tale tipologia di connessione i circuiti sono collegati tramite i resistori 

ad  un  punto  comune,  a  potenziale  flottante.  Essa  è  equivalente  alla 

precedente, viene tuttavia analizzata per verificare che tale equivalenza 

sia valida anche nel  caso di  circuiti  caotici, o meglio  che  la differente 

struttura non modifichi la dinamica rispetto al caso precedente. 

 

 

Racc= 2.5 kOhm 

La sincronizzazione si verifica con successo: 

 

 

112  

 

x‐y ABS(Vc1x‐ Vc1y) 

[mV] 

ABS(Vc1A+Vc1B+Vc1C )/3 

[mV] 

Errore

[%] 

A‐C  M1=6.39* 

M4= 170.1* 

3.7 

A‐B  M2=6.78*  4.0 

B‐C  M3=6.04*  3.6 

*valore medio 

 Figura 4.48: Retta di sincronizzazione Vc1A vs Vc1B, e double scroll Vc1C vs Vc2C 

 

 Figura 4.49: Rette di sincronizzazione nel piano di stato (Vc1A vs Vc1C in giallo, Vc1B 

vs Vc1C in rosa) 

113  

Racc= 5.38 kOhm 

La sincronizzazione è ancora buona, seppur leggermente 

peggiorata rispetto al caso precedente: 

 

  

x‐y ABS(Vc1x‐ Vc1y) 

[mV] 

ABS(Vc1A+Vc1B+Vc1C )/3 

[mV] 

Errore

[%] 

A‐C  M1=11.08* 

M4= 176.3* 

6.3 

A‐B  M2=9.11*  5.2 

B‐C  M3=8.03*  4.6 

*valore medio 

 

Le rette di sincronizzazione sono ancora riconoscibili nello 

spazio di stato: 

114  

 

Figura 4.50: Rette di sincronizzazione nel piano di stato (Vc1A vs Vc1B in giallo, Vc1B vs Vc1C in rosa) 

 

Racc= 5.46 kOhm 

In  tale  scenario,  si  ottiene  per  un  certo  periodo  di  tempo 

dall’istante  iniziale  di  accoppiamento  una  sincronizzazione 

soddisfacente, dopodiché  essa  viene perduta  ed  i  circuiti  si 

portano da regime caotico a regime periodico. 

Nei grafici sottostanti sono mostrati i due risultati: 

 

  

115  

x‐y ABS(Vc1x‐ Vc1y) 

[mV] 

ABS(Vc1A+Vc1B+Vc1C )/3 

[mV] 

Errore

[%] 

A‐C  M1=12.56* 

M4= 172.9* 

7.3 

A‐B  M2=11.9*  6.9 

B‐C  M3=9.17*  5.3 

  *valore medio   

 

Per le rette di sincronizzazione nei due casi si ottiene pertanto: 

 Figura 4.51: Rette di sincronizzazione nel piano di stato (Vc1A vs Vc1B  in giallo, Vc1B 

vs Vc1C in rosa) 

116  

 

 

Figura 4.52: Rette di sincronizzazione nel piano di stato (Vc1A vs Vc1B  in giallo, Vc1B vs Vc1C in rosa) 

 

Racc= 5.8 kOhm 

I  circuiti  sono  in  saturazione,  analizzando  attentamente  le 

tensioni  si  evince  che  esse  hanno  andamento  simile  tra  loro,  a 

meno di una differenza di fase: 

 

 

117  

 Figura 4.53: Rette di sincronizzazione nel piano di stato (Vc1A vs Vc1B  in giallo, Vc1B 

vs Vc1C in rosa) 

 

 

Racc= 6  kOhm 

Circuiti in saturazione, tensioni periodiche e sfasate tra loro. 

 

  

 

 

 

 

 

118  

4.4.3.3  Topologia ad array 

 

  

Figura 4.54 schema concettuale della connessione ad array fra i circuiti A, B, C 

 

 

Ora  i  circuiti  sono  accoppiati  in maniera  che  solo  il  circuito A  risulti 

collegato  agli  altri  2:  è praticamente  simile  alla  topologia  a  triangolo, 

con il collegamento B‐C aperto. 

 

Racc= 2 kOhm 

Si  ottiene  una  buona  sincronizzazione  fra  i  tre  circuiti,  e 

l’errore percentuale risulta pertanto piuttosto basso: 

 

  

 

 

 

119  

x‐y ABS(Vc1x‐ Vc1y) 

[mV] 

ABS(Vc1A+Vc1B+Vc1C )/3 

[mV] 

Errore

[%] 

A‐C  M1=6.16* 

M4= 164.80* 

3.7 

A‐B  M2=5.98*  3.6 

B‐C  M3=6.56*  4.0 

*valore medio 

 

 

 

Racc= 2.9 kOhm 

Per tale valore di R, il comportamento dei tre circuiti diviene 

complesso: per un periodo  iniziale di durata   variabile si ha 

una buona  sincronizzazione, che poi viene perduta a  favore 

di un comportamento caotico indipendente dei tre circuiti. In 

un primo momento si ha: 

 

  

  

 

120  

Con i seguenti risultati: 

 

x‐y ABS(Vc1x‐ Vc1y) 

[mV] 

ABS(Vc1A+Vc1B+Vc1C )/3 

[mV] 

Errore

[%] 

A‐C  M1=7,48* 

M4= 173,10* 

4,3 

A‐B  M2=7,99*  4,6 

B‐C  M3=10,96*  6,3 

*valore medio 

 

In un  secondo momento  invece  le  tensioni,  come  visibile dalle 

figure  seguenti,  risultano  qualitativamente  simili  ma  diverse 

quantitativamente: inevitabile la perdita di sincronizzazione. 

 

  

121  

  

x‐y ABS(Vc1x‐ Vc1y) 

[mV] 

ABS(Vc1A+Vc1B+Vc1C )/3 

[mV] 

Errore

[%] 

A‐C  M1=37,0* 

M4= 159,2* 

23,2 

A‐B  M2=36,9*  23,1 

B‐C  M3=73,3*  46,0 

*valore medio 

 

Nello  spazio  di  stato,  la  retta  di  sincronizzazione  muta  forma  non 

appena cambia la dinamica del sistema, ed assume un comportamento 

irregolare: 

 

Figura 4.55.a   

122  

Figura 4.55.b   

Figura 4.55.c 

 Figura 4.55.d 

 

Figura 4.55.a, b, c, d: Rette di sincronizzazione nel piano di stato (Vc1A vs Vc1B  in giallo, Vc1B vs Vc1C in rosa 

123  

Racc= 3 kOhm 

A  tale  valore  di  R,  i  circuiti  sono  in  saturazione: 

comportamento  periodico,  nessun  interesse  nella 

sincronizzazione.  Analizzando  le  forme  d’onda,  salta  però 

all’occhio che due di esse (relative ai circuiti B e C) son simili, 

con una differenza nella fase. 

  

 

Racc= 5.5 kOhm 

Come  è  logico  aspettarsi,  anche per  tale  valore di R  si  è  in 

saturazione. Come prima, le tensioni di B e C sono simili ma 

sfasate tra loro.  

 

124  

4.4.3  Analisi dei Risultati 

 

Sono stati analizzati due diversi scenari per la sincronizzazione: a due e 

a  tre circuiti. L’accoppiamento effettuato,  in  tutti  i casi, è stato di  tipo 

passivo  e mutuo,  cioè    è  avvenuto  collegando  i  circuiti mediante  un 

resistore. Sono state effettuate diverse misure al variare di quest’ultimo.  

 

Per  la  sincronizzazione  a due  si  è determinato un  valore  limite 

per  la  sincronizzazione, date  le  caratteristiche dei due  circuiti  in 

esame.  

Tale  valore  ohmico,  compreso  tra  5.45  e  5.47  kOhm, può  altresì 

essere riportato in termini di coefficiente di accoppiamento, come 

calcolato nel par. 3.5. Così facendo si ottiene: 

 

2

1 acc

C R 166310 3.05

C R 5450k

 

 

Per quanto  analizzato  con  le misure,  allora,  è possibile  riportare 

l’errore  percentuale  che  è  stato  calcolato  in  funzione  di Racc    (o, 

equivalentemente, di k  calcolato  come  rapporto  tra  la differenza 

locale tra le variabili di stato, mediata su un valore n di campioni, 

e la forma d’onda media delle variabili di stato corrispondenti, in 

valore assoluto: 

 

| 1   1 | | 1 1 1   /3|⁄  

 

Il grafico che segue riassume brevemente i risultati ottenuti. 

 

 

 

 

 

 

125  

Errore percentuale di sincronizzazione per la coppia di circuiti                     

 

Come  si  vede  dal  grafico,  la  sincronizzazione  è migliore  per  la 

variabile  accoppiata:  l’  errore percentuale  su Vc2  è  sensibilmente 

maggiore rispetto a quello su Vc1. 

È possibile stabilire, come limite per la sincronizzazione, il valore 

di errore percentuale calcolato sulla variabile accoppiata pari al 10 

%:  oltre  questo  valore  si  perde  la  sincronizzazione  (parte  non 

visualizzata nel grafico). 

Per  la  sincronizzazione  a  tre  circuiti,  le  topologie  di 

interconnessione studiate sono state: a triangolo, a stella, ad array.  

In  realtà,  data  l’equivalenza  elettrotecnica  delle  prime  due,  è 

possibile  suddividere  i  risultati  in  due  classi:  quelli  relativi  alla 

topologia  chiusa  (triangolo,  stella)  e  quelli  relativi  alla  topologia 

aperta (array). 

 

Per quanto riguarda  la prima classe,  tenendo presente  la suddetta 

equivalenza,  non  sorprende  che  la  soglia  determinata  risulti 

praticamente la stessa sia in connessione a triangolo che a stella, in 

1,00

10,00

100,00

0,50 4,60 5,00 5,45

VC2

VC1

126  

quanto  questo  è  proprio  il  risultato  atteso.  Tale  soglia  inoltre 

coincide  con  la  stessa  calcolata per  il  caso  a due.  In  effetti,  le  tre 

situazioni  non  differiscono  in  sostanza  tra  di  loro:  tutti  i  circuiti 

risultano  collegati  con  lo  stesso  valore  di  Racc  l’uno  all’altro.  Si 

ricorda,  infatti,  che  il  valore  considerato  è  quello  visto  tra  i  due 

circuiti:  nella  topologia  a  stella,  esso  non  si  riferisce  pertanto  al 

singolo resistore montato nel collegamento, bensì al valore effettivo 

in accoppiamento. Anche per  le due  topologie sopracitate,  l’errore  

in sincronizzazione rimane compreso nel 10 % del valore medio dei 

segnali su cui viene calcolato, per poi schizzare a valori più alti non 

appena tale condizione viene a mancare. 

 

Errore percentuale di sincronizzazione per la topologia a triangolo

 

Per  la  seconda  classe  essendo  essa  profondamente  diversa  dalle 

precedenti  (manca  un  collegamento),  si  sono  ottenuti  risultati 

diversi,  e  più  stringenti.  Il  valore  limite  di Racc=2.9  kOhm,    a  cui 

corrisponde un valore di k=5.73. 

 

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4,5 5 5,45

A‐C

A‐B

B‐C

127  

Errore percentuale di sincronizzazione per la topologia ad array 

 

Come si vede, tra i circuiti direttamente accoppiati i risultati sono 

praticamente equivalenti, mentre per i due circuiti alle estremità la 

qualità della sincronizzazione risulta notevolmente inferiore. 

 

 

 

4.5 CONCLUSIONI  

 

L’analisi della sincronizzazione robusta di sistemi di circuiti di Chua è stata portata a termine con successo, con un ragionevole accordo tra le 

previsioni  dei  modelli  teorici,  delle  simulazioni  SwCAD  e  degli 

esperimenti. In particolare sono stati trattati  in modo completo  i casi a 

due  ed  a  tre  circuiti,  con  l’analisi  della  robustezza  (mediante 

simulazioni) a diversi livelli di tolleranza dei componenti in presenza di 

accoppiamento  di  tipo  diffusivo  ed  al  variare  della  topologia.  Ciò  ha 

permesso di definire livelli di tolleranza accettabili per gli esperimenti e 

1,00

10,00

100,00

2,00 2,90 2,91

A‐C

A‐B

B‐C

128  

di realizzare prototipi in accordo a tali livelli. Sui circuiti effettivamente 

realizzati,  dopo  la  fase  di  testing  e  di  “selezione”  di  esemplari  più 

omogenei, è stata condotta  l’analisi di robustezza al variare del valore 

dei  resistori di accoppiamento  e della  topologia  (chiusa o ad array).  I 

risultati  sperimentali  sono  in  buon  accordo  sia    qualitativo  che 

quantitativo con modelli e simulazioni. 

Questo  lavoro  pone  le  basi  per  una  analisi  della  sincronizzazione 

robusta di numeri elevati (n=50, 100) di sistemi caotici, al variare sia del 

tipo di accoppiamento che della topologia (regolare/random). 

 

   

129  

5 

6RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI  

[1] CHUA, L. O., The genesis of Chua’s circuit, Archive fur Elektronik 

und Ubertragungstechnik, 1992; 

[2] MATSUMOTO,  T.,   A  chaotic  attractor  from Chua’s  circuit,  IEEE 

Trans. Circuits & Systems, 1984; 

[3] ZHONG, G. Q, AYROM,  F.,    Experimental  confirmation  of  chaos 

from  Chua’s  circuit,  International  Journal  of  Circuit  Theory  and 

Applications, 1985; 

[4] KENNEDY, M.  P.,  Robust OP Amp  realization  of  Chua’s  circuit, 

Frequenz, 1992; 

[5]  CHUA,  L.  O.,    Chua’s  circuit:  ten  years  later,  IEICE  Trans. 

Fundamentals, 1994; 

[6] MADAN, R. N., Learning  chaotic phenomena  from Chua’s circuit, 

ONR; 

[7]  VALLAVANTI,  R.,  Il  circuito  di  Chua  in  ambiente  musicale, 

Politecnico di Milano; 

[8]  ZHONG,  KO,  MAN,  Robustness  of  synchronization  in  coupled 

Chua’s circuit, IEP‐ISIE, 1998;  

[9]  WANG,  H.,  LU,  WANG,  Q.,  A  criterion  for  stability  of 

synchronization  and  application  to  coupled Chua’s  systems, CPS‐

IOP, 2008; 

130  

[10]  ZHONG,  KO,  MAN,  Synchronization  boundaries  in  coupled 

Chua’s circuits, NCCAS, 1998; 

[11]  BRUCOLI,  CAFAGNA,  CARNIMEO,  GRASSI,  Hyperchaotic 

circuits  for  secure  communications:  an  efficient  synchronization 

technique, ICECS, 1996; 

[12]  KAPLAN  D.,  GLASS  L.,  Understanding  Nonlinear  Dynamics, 

Springer, 1995; 

[13]  JACKSON  E.,  Perspectives  in  Nonlinear  Dynamics,  Cambridge, 

1989; 

[14] LORENZ E., The Essence of Chaos, London UCL Press. 1993; 

[15] GLEICK J., Chaos, Viking  New York 1987; 

[16] PIZZI R., Sistemi Dinamici  ed auto‐organizzazione, Dipartimento 

di tecnologie dellʹinformazione di Crema,  2002; 

[17] STROGATZ, S. H., Exploring complex networks, Nature, 2001; 

[18] MIROLLO, R., STROGATZ, S.H., Synchronization of pulse‐coupled 

biological oscillators, SIAM J. App. Math., 1990; 

[19]  WEI  G.  W.,  JIA,  Y.  Q.,    Synchronization‐based  image  edge 

detection, Europhys. Lett., 2002; 

[20] PECORA, L., CARROLL, T., JOHNSON, G., MAR, D., HEAGY, J., 

Fundamentals of synchronization  in chaotic systems: concepts and 

applications, Chaos 7, 1997; 

 [21] PIKOVSKY, A., ROSENBLUM, M., KURTHS, J., Synchronization: a 

universal  concept  in  nonlinear  sciences,  Cambridge  University 

Press, 2001; 

131  

[22] CUOMO, K., OPPENHEIM, A., STROGATZ, S., Synchronization of 

Lorenz‐based chaotic circuits with applications to communications, 

IEEE Trans. Circuits & Systems,1993; 

[23]  CUOMO,  K.,  OPPENHEIM,  A.,  Circuit  implementation  of 

synchronized  chaos  with  applications  to  communications,  Phys. 

Rev. Lett, 1993; 

[24]  VAIDYA,  P.  G.,  ANAND,  S.,  Cryptography  based  on  chaotic 

synchronization, NIAS‐IISC, 2004; 

[25]  PECORA,  L., CARROLL,  T.,  Synchronization  in  chaotic  systems, 

Phys. Rev. Lett, 1990; 

[26]  AMIGO  J.  M.,  SZCZEPANSKI  J.,  KOCAREV  L.,    Theory  and 

practice of chaotic cryptography, Physics Letters A, 2007; 

[27]  STROGATZ,  S.  H.,  Non  linear  dynamics  and  chaos:  with 

application  to  physics,  biology,  chemistry  and  engineering, 

Addison‐Wesley P. C., 1994 

www.tektronix.it; 

www.ni.com; 

TDS200_SERIES Programmer Manual; 

AGILENT 34401A User’s Guide.