Upload
others
View
7
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
8. Vyjednávání
• Teorie her
– Věda o řešení konfliktů
– Ale také věda o hledání vzájemně výhodné
spolupráce
• Teorie vyjednávání
– Odvětví teorie her – dohoda o spolupráci
– Zabývá se vyjednávací hrou (vyjednávacím
problémem)
2Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
8.1 Nashovo vyjednávací řešení
• John Nash v letech 1950 a 1953
publikoval články o axiomatickém
přístupu k řešení vyjednávací hry
• Sestavil soubor axiomů
• Ukázal, že existuje jediné řešení, které
tyto axiomy splňuje
= Nashovo vyjednávací řešení3Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
8.1 Nashovo vyjednávací řešení
• Ve vyjednávací hře předpokládáme
– Existuje množina přípustných dohod
– Existuje bod nedohody (hráči se nedohodnou)
• Hráči hledají lepší řešení než nedohodu
• Bod nedohody je před vyjednáváním
známý
– příp. lze určit na základě maximinové či
rovnovážné zaručené výhry
4Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
8.1 Nashovo vyjednávací řešení
• Vyjednávací problém je charakterizován:
– Množinou hráčů 𝑵 = {1, 2, … , 𝑁}
• Pro jednoduchost uvažujme 2 hráče, N = 2
– Množinou přípustných dohod (množinou
přípustných řešení)
– Bodem nedohody
– Množinou užitkových funkcí, které každé
přípustné dohodě i bodu nedohody přiřadí
užitek pro i-tého hráče
5Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
8.1 Nashovo vyjednávací řešení
• Předpokládáme dále
– Hráči jsou racionální
– Hráči maximalizují svůj užitek
– Hráči dokonale navzájem znají své užitkové
funkce
• Uvažujeme vyjednávací hru s 2 hráči
– Užitková funkce 1. hráče u(x) … reálné číslo
– Užitková funkce 2. hráče v(y) … reálné číslo
6Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
8.1 Nashovo vyjednávací řešení
• Nashovo vyjednávací řešení (𝑥∗, 𝑦∗)
– Užitek 1. hráče 𝑢(𝑥∗)
– Užitek 2. hráče 𝑣(𝑦∗)
• Bod nedohody (𝑥𝑜, 𝑦𝑜)
– Užitek 1. hráče 𝑢(𝑥𝑜)
– Užitek 2. hráče 𝑣(𝑦𝑜)
7Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
8.1 Nashovo vyjednávací řešení
• Na základě von Neumannovy a
Morgensternovy teorie užitečnosti Nash
stanovil následující axiomy:
1. Paretovská efektivnost
2. Symetrie
3. Nezávislost na měřítku
4. Nezávislost na irelevantních alternativách
8Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
8.1 Nashovo vyjednávací řešení
• Příklad 1 – ukázka významu axiomů
– Hru hrají dva hráči
– Mají si mezi sebe jakkoliv rozdělit částku 2 Kč
– Pokud se nedohodnou, dostane každý 0 Kč
• Bod nedohody
– Pro jednoduchost předpokládejme, že užitek
obou hráčů odpovídá finančnímu zisku
• 𝑢 𝑥 = 𝑥
• 𝑣 𝑦 = 𝑦
9Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
8.1 Nashovo vyjednávací řešení
• Paretovská efektivnost
– Vyjadřuje maximalizaci užitku obou hráčů
– Řešení, které je dominované nemůže být
vyjednávacím řešením
– Nechť 𝑥1, 𝑦1 a 𝑥2, 𝑦2 jsou libovolné
přípustné dohody vyjednávacího problému P
– Pokud 𝑢 𝑥1 > 𝑢 𝑥2 a 𝑣 𝑦1 > 𝑣 𝑦2 pak
𝑥2, 𝑦2 nemůže být vyjednávacím řešením
problému P
11Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 12
𝑢 𝑥
𝑣 𝑦2
2
0
0
Bod nedohody
Množina přípustných dohod
Paretovsky efektivní řešení
P
𝑥1, 𝑦1
𝑥2, 𝑦2
𝑥𝑒 , 𝑦𝑒
8.1 Nashovo vyjednávací řešení
• Symetrie
– Problém P je symetrický, pokud
• 𝑢 𝑥 , 𝑣 𝑦 a 𝑣 𝑦 , 𝑢 𝑥 jsou prvky
vyjednávacího problému P
• pro bod nedohody platí 𝑢 𝑥𝑜 = 𝑣 𝑦𝑜
13Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 14
𝑢 𝑥
𝑣 𝑦2
2
0
0
Bod nedohody
Množina přípustných dohod
Paretovsky efektivní řešení
Symetrie
P
𝑥, 𝑦
𝑢(𝑥)
𝑣(𝑦)
𝑣(𝑦)
𝑢(𝑥)
𝑢 𝑥𝑜 = 𝑣 𝑦𝑜 = 0
8.1 Nashovo vyjednávací řešení
• Symetrie
– Problém P je symetrický, pokud
• 𝑢 𝑥 , 𝑣 𝑦 a 𝑣 𝑦 , 𝑢 𝑥 jsou prvky
vyjednávacího problému P
• pro bod nedohody platí 𝑢 𝑥𝑜 = 𝑣 𝑦𝑜
– Pokud je P symetrický, pak pro Nashovo
rovnovážné řešení platí 𝑢 𝑥∗ = 𝑣 𝑦∗
• Oba hráči mají stejné vyjednávací schopnosti
15Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 16
𝑢 𝑥
𝑣 𝑦2
2
0
0
Bod nedohody
Množina přípustných dohod
Paretovsky efektivní řešení
Symetrie
P
Nashovo vyjednávací řešení
leží na ose symetrie
𝑥, 𝑦
𝑢(𝑥)
𝑣(𝑦)
8.1 Nashovo vyjednávací řešení• Nezávislost na měřítku
– Nechť 𝑥∗, 𝑦∗ je vyjednávací řešení
vyjednávacího problému P
– Pokud transformujeme původní problém P na
nový problém Q pomocí nových užitkových
funkcí 𝑢𝑁 𝑥 = 𝑎𝑢 𝑥 + 𝑏
𝑣𝑁 𝑦 = 𝑐𝑣 𝑦 + 𝑑
– Pak vyjednávacím řešením problému Q bude
opět 𝑥∗, 𝑦∗ s užitky 𝑢𝑁 𝑥∗ = 𝑎𝑢 𝑥∗ + 𝑏𝑣𝑁 𝑦∗ = 𝑐𝑣 𝑦∗ + 𝑑
17Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 18
𝑢 𝑥
𝑣 𝑦2
2
0
0
Bod nedohody
Symetrie
P
Nashovo vyjednávací řešení
𝑢𝑁 𝑥 = 𝑥
𝑣𝑁 𝑦 = 2𝑦 … nesymetrie → 𝒗(𝒚) = 𝟎, 𝟓𝒗𝑵 𝒚
Paretovsky efektivní řešení
𝑥, 𝑦 Množina přípustných dohod
1
1
8.1 Nashovo vyjednávací řešení• Nezávislost na irelevantních alternativách
– Nechť vyjednávací problém Q je podmnožinou
vyjednávacího problému P
– Jestiže 𝑥∗, 𝑦∗ je vyjednávací řešení problému
P
– A zároveň je přípustným řešením problému Q
(leží v Q)
– Pak 𝑥∗, 𝑦∗ je také vyjednávacím řešením
problému Q
19Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 20
𝑢 𝑥
𝑣 𝑦2
2
0
0
Bod nedohody
Množina přípustných dohod
Paretovsky efektivní řešení
Symetrie
PQ
Nashovo vyjednávací řešení
8.1 Nashovo vyjednávací řešení
Nashovo vyjednávací řešení
• Řešení, které splňuje uvedené 4 axiomy
• Hledáme řešení s nejvyšší hodnotou tzv.
Nashova součinu
𝒖 𝒙∗ − 𝒖 𝒙𝒐 ∙ 𝒗 𝒚∗ − 𝒗 𝒚𝒐
21Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
8.1 Nashovo vyjednávací řešení
Příklad 1:
𝑢 𝑥∗ − 𝑢 𝑥𝑜 ∙ 𝑣 𝑦∗ − 𝑣 𝑦𝑜
= 𝑢 1 − 𝑢 0 ∙ 𝑣 1 − 𝑣 0= 1 − 0 ∙ 1 − 0 = 1
• Lze ukázat, že to je nejvyšší možná
hodnota, pokud 𝑢 𝑥 + 𝑣 𝑦 = 2
• V tomto případě hledáme maximum
𝑢 𝑥∗ − 0 ∙ 𝑣 𝑦∗ − 0 = 𝑢 𝑥∗ ∙ 𝑣 𝑦∗
22Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
8.2 Příklady
Příklad 2: Bill a Jack směňují věci
• Zdroj: J. F. Nash, The Bargaining Problem.
Econometrica, 1950
• Dva kamarádi: Bill a Jack
• Bill: knížka, káča, míč, pálka, krabička
• Jack: psací pero, hračka, nůž, čapka
24Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
8.2 Příklady
25Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
Užitek pro Billa Užitek pro Jacka
Billovy věci Knížka 2 4
Káča 2 2
Míč 2 1
Pálka 2 2
Krabička 4 1
Jackovy věci Psací pero 10 1
Hračka 4 1
Nůž 6 2
Čapka 2 2A teď Vy!
𝒖 𝑩𝒐 = 𝟏𝟐 𝒖 𝑱𝒐 = 𝟔
8.2 Příklady
Příklad 2: Bill a Jack směňují věci
• Jakého nejvýhodnějšího řešení mohou
chlapci dosáhnout?
• Kolik je Nashův součin pro Vaši výměnu?
𝒖 𝒙∗ − 𝒖 𝒙𝒐 ∙ 𝒗 𝒚∗ − 𝒗 𝒚𝒐
26Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
8.2 Příklady
27Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
Užitek pro Billa Užitek pro Jacka
Billovy věci Knížka 2 4
Káča 2 2
Míč 2 1
Pálka 2 2
Krabička 4 1
Jackovy věci Psací pero 10 1
Hračka 4 1
Nůž 6 2
Čapka 2 2
𝒖 𝑩𝒐 = 𝟏𝟐 𝒖 𝑱𝒐 = 𝟔𝒖 𝑩∗ = 𝟐𝟒 𝒖 𝑱∗ = 𝟏𝟏
Kolik je Nashův součin?
𝒖 𝒙∗ − 𝒖 𝒙𝒐 ∙ 𝒗 𝒚∗ − 𝒗 𝒚𝒐
= 𝟐𝟒 − 𝟏𝟐 𝟏𝟏 − 𝟔 = 𝟔𝟎
Máte víc?
8.2 Příklady
Příklad 3: Aleš a Bert investují
• Zdroj: Fiala a kol. Kvantitativní ekonomie,
1994
• Dva kamarádi: Aleš a Bert
• Riskantní investice 60 Kč
• Při úspěchu výdělek 160 Kč (zisk 100 Kč)
• Při neúspěchu výdělek 0 Kč (ztráta 60 Kč)
• Obě možnosti s pravděpodobností 50 %28Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
8.2 Příklady
Příklad 3: Aleš a Bert investují
• Investice je nabídnuta nejdříve Alešovi
• 𝑢 𝑥 = 𝑥 pro 𝑥 > −204𝑥 + 60 jinak
• x označuje výnos z investice
• Aleš citelně nese ztrátu větší než 20 Kč
• Má Aleš investici přijmout?
29Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
8.2 Příklady
Příklad 3: Aleš a Bert investují
• 𝑢 𝑥 = 𝑥 pro 𝑥 > −204𝑥 + 60 jinak
• 𝒖 𝒙 = 0,5 ∙ 𝑢 100 + 0,5 ∙ 𝑢 −60 =0,5 ∙ 100 + 0,5 ∙ −4 ∙ 60 + 60 = 50 +0,5 ∙ −180 = 50 − 90 = −𝟒𝟎
• Aleš by nabídku přijmout neměl
• Při odmítnutí bude mít 𝑢 𝑥 = 030Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
8.2 Příklady
Příklad 3: Aleš a Bert investují
• Investice je tedy nabídnuta Bertovi
• 𝑣 𝑦 = 𝑦 pro 𝑦 > −303𝑦 + 60 jinak
• y označuje výnos z investice
• Bert nese ztrátu lépe než Aleš
• Má Bert investici přijmout?
31Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
8.2 Příklady
Příklad 3: Aleš a Bert investují
• 𝑣 𝑦 = 𝑦 pro 𝑦 > −303𝑦 + 60 jinak
• 𝒗 𝒚 = 0,5 ∙ 𝑣 100 + 0,5 ∙ 𝑣 −60 =0,5 ∙ 100 + 0,5 ∙ −3 ∙ 60 + 60 = 50 +0,5 ∙ −120 = 50 − 60 = −𝟏𝟎
• Také Bert by nabídku přijmout neměl
• Při odmítnutí bude mít 𝑣 𝑦 = 032Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
8.2 Příklady
Příklad 3: Aleš a Bert investují
• Bert navrhne Alešovi společnou investici v poměru 60:40 (náklady i výnosy)
• Bert zaplatí 60 % nákladů (0,6 ∙ 60 = 36)
• Aleš zaplatí 40 % nákladů (0,4 ∙ 60 = 24)
• Výnosy rozdělí ve stejném poměru
• Má Aleš na dohodu přistoupit?
33Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
8.2 Příklady
Příklad 3: Aleš a Bert investují
• Aleš (investice: 24, výnos: 0,4.160=64)
• 𝑢 𝑥 = 𝑥 pro 𝑥 > −204𝑥 + 60 jinak
• 𝒖 𝒙 = 0,5 ∙ 𝑢 40 + 0,5 ∙ 𝑢 −24 = 0,5 ∙40 + 0,5 ∙ −4 ∙ 24 + 60 = 20 + 0,5 ∙−36 = 20 − 18 = 𝟐
• Při odmítnutí bude mít 𝑢 𝑥 = 034Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
8.2 Příklady
Příklad 3: Aleš a Bert investují
• Bert (investice: 36, výnos: 0,6.160=96)
• 𝑣 𝑦 = 𝑦 pro 𝑦 > −303𝑦 + 60 jinak
• 𝒗 𝒚 = 0,5 ∙ 𝑣 60 + 0,5 ∙ 𝑣 −36 = 0,5 ∙60 + 0,5 ∙ −3 ∙ 36 + 60 = 30 + 0,5 ∙−48 = 30 − 24 = 𝟔
• Při odmítnutí bude mít 𝑣 𝑦 = 035Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
8.2 Příklady
Příklad 3: Aleš a Bert investují
• Aleš: 𝑢 𝑥 = 2
• Bert: 𝑣 𝑦 = 6
• Má Aleš nabídku přijmout?
• Kolik je Nashův součin?
• Co by se stalo, kdyby
– Aleš vložil 20 Kč a v případě výhry získá 50
– Bert vložil 40 Kč a získá 110 Kč36Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
2 − 0 6 − 0 = 12
8.2 Příklady
Příklad 3: Aleš a Bert investují
• Aleš: investice 20, výnos 50
• 𝑢 𝑥 = 𝑥 pro 𝑥 > −204𝑥 + 60 jinak
• 𝒖 𝒙 = 0,5 ∙ 𝑢 30 + 0,5 ∙ 𝑢 −20 = 0,5 ∙30 + 0,5 ∙ −4 ∙ 20 + 60 = 15 + 0,5 ∙−20 = 15 − 10 = 𝟓
37Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
8.2 Příklady
Příklad 3: Aleš a Bert investují
• Bert: investice 40, výnos 110
• 𝑣 𝑦 = 𝑦 pro 𝑦 > −303𝑦 + 60 jinak
• 𝒗 𝒚 = 0,5 ∙ 𝑣 70 + 0,5 ∙ 𝑣 −40 = 0,5 ∙70 + 0,5 ∙ −3 ∙ 40 + 60 = 35 + 0,5 ∙−60 = 35 − 30 = 𝟓
38Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
8.2 Příklady
Příklad 3: Aleš a Bert investují
• Aleš: investice 20, výnos 50𝒖 𝒙 = 𝟓
• Bert: investice 40, výnos 110𝒗 𝒚 = 𝟓
• Kolik je Nashův součin?
• Měl tedy Aleš nabídku 60:40 přijmout?
39Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
5 − 0 5 − 0 = 25
8.2 Příklady
Příklad 3: Aleš a Bert investují
• Měl tedy Aleš nabídku 60:40 přijmout?
• Nikoliv. Vhodným vyjednáváním může
Aleš získat více.
– Původní nabídka vedla k očekávanému užitku 2
– Nashovo vyjednávací řešení má pro Aleše
očekávaný užitek 5
40Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
8.2 Příklady
Příklad 3: Aleš a Bert investují
• Pro tento příklad neexistuje řešení s vyšším
Nashovým součinem než 25
• Aleš: investice 20, výnos 50, 𝒖 𝒙 = 𝟓
• Bert: investice 40, výnos 110, 𝒗 𝒚 = 𝟓
• Aleš investuje třetinu a získá 31,25 %
(méně než třetinu)
• Je to logické?41Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
8.2 Příklady
Příklad 3: Aleš a Bert investují
• Bert nevnímá ztráty tak citlivě jako Aleš
• Do investice tedy dává vyšší částku (dvě
třetiny počáteční investice)
• Má tedy lepší vyjednávací pozici
• Může požadovat více než dvě třetiny
výnosu
42Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.