A. Teori Gangguan Bebas Waktu

1. Kasus Tak Terdegenerasi

Tinjau Hamiltonian dari sebuah system dengan bentuk

H¿

=H 0

¿

+g H1

¿

, |g H¿

−1|<<|H¿

0|, (1.1)

dengan H0

¿

merupakan Hamiltonian tanpa gangguan dan g H1

¿

merupakan

Hamiltonian gangguan. Akibat gangguan tersebut, nilai dan fungsi eigen energy akan

mengalami koreksi kecil,

En=En(0)+ΔEn (1.2)

ϕn=ϕn(0)+Δϕn (1.3)

Selanjutnya, nilai dan fungsi eigen energy tersebut dapat dituliskan dalam bentuk

sebuah deret konvergen,

En=En(0)+gEn

(1)+g2 En(2 )+. .. (1.4)

ϕn=ϕn(0)+gϕn

(1)+g2ϕn(2)+ .. . (1.5)

Jelas bahwa pada g→0 berlaku ϕn=ϕn(0)

dan En=En(0)

Persamaan eigen energy untuk kasus gangguan ini adalah

H¿

ϕn=(H¿

0+g H¿

1) ϕn=En ϕn (1.6)

Dengan H¿

0 ϕn(0 )=En

(0)ϕn(0 )

diketahui solusinya secara eksak. Substitusi (1.2) dan

(1.3) ke (1.4) menghasilkan

{H0

¿ϕn(0)−En

(0)ϕn(0 )}+g {H0

¿ϕn(1 )+H1

¿ϕn(0 )−En

(0 )ϕn(1)−En

(1 )ϕn(0)}

+g2 {H 0

¿

ϕn(2)+H1

¿

ϕn(1)−En

(0)ϕn(2 )−En

(1)ϕn(1 )−En

(2)ϕn(0 )}

+g3 {H 0

¿

ϕn(3 )+H1

¿

ϕn(2 )−En

(0)ϕn(3)−En

(1)ϕn(2)−En

(2 )ϕn(1)−En

(3 )ϕn(0 )}+.. . .=0

(1.7)

atau dapat ditulis dalam bentuk

g0 F (0 )+g1 F(1)+g2F (2 )+g3 F(3)+.. . .=0 (1.8)

yang berlaku jika dan hanya jika

F(0)=F(1)=F(2)=F (3 )=. . ..=0 (1.9)

Dari persamaan tersebut diperoleh

H¿

0 ϕn(0)=En

(0)ϕn(0 )

(1.10)

(H¿ 0−En(0) )ϕn

(1)=(En(1)−H1

¿ )ϕn(0 )

(1.11)

(H¿ 0−En(0) )ϕn

(2)=(En(1)−H1

¿ )ϕn(1 )+En

(2)ϕn(0 )

(1.12)

(dan seterusnya)

Perhatikan bahwa ϕn(1 )+aϕn

(0 )juga merupakan solusi untuk persamaan (1.11).

Sehingga solusi persamaan tersebut adalah ϕn(1 )

dan En(1)

serta ϕn(1 )+aϕn

(0 )dan En

(1).

Dengan demikian diperlukan kendala (constraint) untuk membuat solusinya unik.

Kendala ini diambil sebagai berikut : semua koreksi dari ϕn(0 )

pada persamaan (1.3)

dianggap normal terhadap ϕn(0 )

, yaitu

⟨ϕn( s )|ϕn

(0 )⟩=0 untuk s > 0 dan semua n (1.13)

Dalam ruang Hilbert H , hubungan normalisasi di atas menunjukkan bahwa Δϕn

(dan juga ϕn=ϕn(0)+ Δϕn ) adalah normal (orthogonal) terhadap ϕn

(0 ).Hubungan ini

akan digunakan membangun ϕn( s)

.

Koreksi Orde 1

Dari persamaan (1.11) di atas, terlihat bahwa H¿

0 ϕn(1)

mengusulkan bahwa solusi ϕn(1 )

merupakan

kombinasi linear dari ϕn(0 )

, yaitu |ϕn(1 )⟩=∑i

Cni(1)|ϕi

(0)⟩. Jadi persamaan tersebut dapat dituliskan

dalam bentuk

(H¿ 0−En(0) )∑

i

Cni(1 )|ϕi

(0) ⟩=(En(1)−H1

¿ )ϕn(0 )

(1.14)

Perkalian persamaan di atas dengan |ϕ j(0)⟩ dari arah kanan menghasilkan

(E j(0 )−En

(0 ))Cnj(1)=En

(1 )δ jn−(H1

¿ ) jn (1.15)

Dengan ⟨H1

¿

⟩ jn=⟨ϕ j(0 )|H1

¿

|ϕn(0 )⟩

Pada j≠n , diperoleh

Cnj(1)=

⟨H1

¿

⟩ jn

(En(0)−E j

(0 )) (1.16)

Dan

ϕn(1 )=∑

j≠n

⟨H 1

¿

⟩ jn

(En(0)−E j

(0))ϕ j(0)+Cnn ϕn

(0)

(1.17)

Selanjutnya, nilai Cnndiperoleh dari kendala normalisasi ⟨ϕn( s )|ϕn

(0 )⟩=0 pada s = 1,

∑j≠n

⟨H1

¿

⟩ jn

(En(0)−E j

(0 ))δ jn+Cnn δnn=0⇒Cnn=0

(1.18)

0 1

Sehingga,

ϕn(1 )=∑

j≠n

⟨H 1

¿

⟩ jn

(En(0)−E j

(0))ϕ j(0)

(1.19)

Pada j = n , berlaku

En(1)=⟨H1

¿

⟩nn (1.20)

Jadi, fungsi gelombang dan nilai eigen partikel pada koreksi orde 1 akibat Hamiltonian gangguan

adalah

ϕn=ϕn(0)+∑

j≠n

⟨H1

¿

⟩ jn

(En(0)−E j

(0))ϕ j(0)

(1.21)

En=En(0)=⟨H1

¿

⟩nn (1.22)

Agar ekspansinya konvergen, maka haruslah berlaku

|⟨H1

¿

⟩ jn

(En(0 )−E j

(0))|<<1

, atau

⟨H1

¿

⟩ jn <<|En(0)−E j

(0)|dan

⟨H1

¿

⟩nn<<|En(0)|

(1.23)

Koreksi Orde 2

Sebagaimana pada koreksi orde 1, fungsi gelombang untuk koreksi orde 2 diambil sebagai

kombinasi linear fungsi gelombang tak terganggu,

|ϕn(2 )⟩=∑

i

Cni(2)|ϕi

(0)⟩(1.24)

Sehingga persamaan (1.12) dapat dituliskan menjadi

(H0−En(0 )

¿ )∑i

Cni(2)|ϕi

(0)⟩=(En(1)−H

¿

1)|ϕi(1)⟩+En

(2)|ϕi(0 )⟩

(1.25)

Perkalian persamaan terakhir dengan ⟨ ϕ j(0)|dari arah kiri menghasilkan

(E j(0 )−En

(0 ))∑i

Cni(2) δ ji=En

(1)⟨ϕ j(0 )|ϕn

(1)⟩−⟨ϕ j(0 )|H

¿

1|ϕn(1)⟩+En

(2 )δ jn(1.26)

Pada n = j diperoleh

En(2)=⟨ϕn

(0)|H1

¿

|ϕn(1)⟩

¿∑i≠n

⟨ϕn(0 )|

H1

¿

⟨H1

¿

⟩inEn(0 )−E i

(0 )|ϕi(0 )⟩

¿∑i≠n

⟨H1

¿

⟩ni ⟨H1

¿

⟩inEn(0)−Ei

(0)

¿∑i≠n

|⟨H1

¿

⟩in|2

En(0)−Ei

(0)(1.27)

Pada n≠ j ,persamaan (1.26) ditulis menjadi

(E j(0 )−En

(0 ))Cnj(2)=⟨H1

¿

⟩nn⟨ϕ j(0 )|∑

k≠n

⟨H 1

¿

⟩kn

(En(0)−Ek

(0))|ϕk(0)⟩−⟨ϕ j

(0)|H¿

1∑k≠n

⟨H1

¿

⟩kn

(En(0)−Ek

(0 ))|ϕk(0 )⟩

(1.28)

Sehingga,

Cnj(2)=

1

(En(0)−E j

(0 )) (∑k≠n

⟨H1

¿

⟩ jk ⟨H1

¿

⟩kn

(En(0)−Ek

(0)) )−⟨H1

¿

⟩nn ⟨H1

¿

⟩ jn

(En(0 )−E j

(0) )2(1.29)

Dengan menerapkan syarat normalisasi ⟨ϕn( s )|ϕn

(0 )⟩=0 ,didapat

∑j

Cnj(2 )⟨ϕ j

(0)|ϕn(0 )⟩=0⇒∑

j

Cnj(2 )δ jn=Cnn

(2)=0(1.30)

Sehingga fungsi gelombang dan energi total partikel setelah koreksi orde 2 dapat dituliskan

sebagai,

ϕn=ϕn(0)+∑

j≠n [ ⟨H1

¿

⟩ jn

(En(0)−E j

(0))−⟨H1

¿

⟩nn ⟨H 1

¿

⟩ jn

(En(0)−E j

(0 ))2+∑

k≠n

⟨H1

¿

⟩ jk ⟨H 1

¿

⟩kn

(En(0 )−E j

(0 )) (En(0 )−Ek

(0) ) ]ϕ j(0 )

(1.31)

En=En(0)+⟨H1

¿

⟩ jn+∑i≠n

|⟨H 1

¿

⟩in|2

En(0)−Ei

(0)(1.32)

2. Kasus Degenerasi

Perhatikan bahwa

|ϕn(1 )⟩=∑

i

Cni(1)|ϕi

(0 )⟩

(1.33)

dengan Cni(1)=

⟨H¿

1⟩inEn(0)−Ei

(0)

.

Pada kasus lipat-q (q-fold degeneracy), i = 1, 2, …q, bera

berarti E1(0)=E2

(0)=.. .. .=Eq(0)

walaupun ϕ1(0 )≠ϕ2

(0)≠. .. ..=ϕq(0 )

.Sehingga

Cni(0)→∝ untuk i≤q .

Jadi solusinya adalah membangun fungsi basis baru dari himpunan {ϕn(0 )}yang

mendiagonalisasi (H¿ 1 )in dengan (n ,i≤q )

, yang berarti membangun elemen off-

diagonalnya bernilai nol, sehingga Cni(0)→ 0

0 . Anggap ϕ−

n terdiri atas q buah fungsi

yang mendiagonalisasi (H¿ 1 )in dengan (n ,i≤q )

|ϕn ⟩=∑i=1

q

ani|ϕi(0) ⟩ (1 .34 )

Sehingga,

⟨ϕn|H1

¿

|ϕ p

−⟩=(H¿ 1)np δnp (n , p≤q )

(1.35)

Selanjutnya, bentuk tersebut dapat dinyatakan sebagai matriks diagonal berukuran q x q.

Mengingat bahwa basis ruang Hilbert untuk ϕn dan ϕ p

− adalah

H= {ϕ1 , ϕ2 , . .. ϕq , ϕq(0)+1 , ϕq

(0 )+2 , .. .. , ϕ2 q(0 )}

,maka matris untuk ⟨ϕn|H1

¿

|ϕ p⟩ dituliskan sebagai

Koreksi Orde 1

Mirip seperti pada kasus tak terdegenerasi, koreksi energi orde 1 untuk kasus terdegenerasi

dapat dituliskan sebagai.

En(1)=⟨ϕn|H

¿

1|ϕn ⟩≡⟨H¿

1 ⟩nn , n≤q(1.37)

Perhatikan Persamaan Schrodinger H¿

1 ϕn=(H¿

0+H¿

1)ϕn=En ϕn . Dengan mengambil

ϕn=ϕn dan En=En(0)+En

(1) dengan n≤q ,maka persamaan Schrodinger dituliskan menjadi

(H¿ 0+H¿

1)ϕn=(En(0 )+En

(1))ϕn⇒H¿

1 ϕn=En(1)ϕn (n≤q )

(1.38)

(akibat di atas disebabkan karena

|ϕn ⟩=∑i=1

q

ani|ϕi(0) ⟩ . Ini berarti En

(1)=⟨ϕn|H¿

1|ϕn ⟩≡(H¿

1)nn dengan (n≤q )

(1.36)

. Sehingga elemen diagonal submatriks ⟨H¿

1⟩nn dengan (n≤q ) merupakan koreksi orde 1 dari Hamiltonian H¿

H¿

1 ϕn=En(1)ϕn⇒H

¿

1∑i=1

q

ani|ϕi(0) ⟩ .=En

(1)∑i=1

q

ani|ϕi(0 )⟩ (1.39 )

Perkalian persamaan terakhir dengan ⟨ϕ p(0)| menghasilkan

∑i=1

q

ani ⟨H¿

1⟩ .pi=En(1)∑

i=1

q

ani δ pi= En(1 )anp (n , p≤q ) (1 . 40 )

Persamaan di atas dapat dituliskan dalam bentuk matriks. Misal, untuk n = 1, diperoleh

persamaan untuk E1(1) dan a1i sebagai berikut

(⟨H¿ 1⟩11−E1(1) ⟨H

¿

1 ⟩12 … ⟨H¿

1⟩1q¿ )(⟨H¿ 1⟩21 ⟨H

¿

1 ⟩22−E1(1) ⋯ ⟨H

¿

1 ⟩2 q¿) ( ⋮ ⋮ ⋱ ⋮¿ ) ¿

¿¿¿

(1.42)

Basis untuk matriks di atas adalah {ϕn(0 ) , n≤q }.

Untuk n = 2, maka didapat q buah persamaan untuk E2(0)dan {a2i}. Demikian seterusnya. Lalu,

karena n ≤ q, maka akan terdapat q buah persamaan matriks seperti di atas. Untuk tiap n = 1,

2, . . . , q, supaya solusinya ada, maka

det|⟨H¿

1⟩ pi−En(1)|=0

1.43

Tiap En(1 ) dengan n=1,2 ,. .. , q memberikan solusi pada {a1i , . .. , aqi } dan koefisien ini akan

memberikan basis baru pada ϕn=∑ ani . Dalam basis ini degenerasi disingkirkan dan menjadi tak terdegenerasi

Jadi, pada akhirnya diperoleh fungsi dan nilai eigen sebagai berikut:

ϕn=ϕn+gϕn(1)+g2ϕn

(2)+ .. . n≤q (1.44 )

ϕn=ϕn+gϕn(1)+g2 ϕn

(2)+. .. n>q (1. 45)

En=En+gEn(1)+g2 En

(2)+ .. . n≤q (E1(0 )=E2

(0)=. .. .=Eq(0) (1.46 )

En=En(0)+gEn

(1)+g2 En(2 )+. .. n>q (1.47 )

En(1)=⟨ϕn|H

¿

1|ϕn ⟩ n≤q (1 .48)

En(1)=⟨ϕn|H

¿

1|ϕn ⟩ n>q (1.49 )

B. Teori Gangguan BergantungWaktu

Misal terdapat Hamiltonian berbentuk

H¿

=H¿

0+g H¿

1 ( r⃗ , t ) (1.50)

dengan solusi dari H¿

0 ( r⃗ , t )ψn ( r⃗ ,t )=En(0)ψn ( r⃗ , t ) berbentuk ψn ( r⃗ , t )=ϕn ( r⃗ )e

−iωn t

(yang merupakan

solusi stasioner dan diperoleh melalui separasi variabel) diketahui secara eksak. Anggap

Hamiltonian gangguan g H¿

1 ( r⃗ , t )diterapkan pada t≥0 . Setelah gangguan diterapkan, solusi

persamaan Schrodinger menjadi bersifat tak stasioner. Solusi tak stasioner dapat diperoleh dari

kombinasi linear dari solusi-solusi stasioner,

Ψ n ( r⃗ ,t )=∑n

Cn ( t )ψ n ( r⃗ ,t )=∑n

Cn ( t )ϕn ( r⃗ ) e−iωn t

(1.51)

dengan Cn(t) merupakan koefisien kombinasi linear yang (hanya) bergantung waktu.

Arti fisis dari Cn(t) diperoleh dengan menerapkan Ψ n ( r⃗ ,t )

pada hubungan kelengkapan,

1=∫Ψ n¿ ( r⃗ , t )Ψ m ( r⃗ ,t )d2 r⃗

¿∑n∑

m

Cn¿ (t )Cm( t )e

i(ωn−ωm ) t∫ϕn¿ ( r⃗ )ϕn ( r⃗ )d

3 r⃗

=∑n

|Cn( t )|2

Jadi, ∑

n

|Cn ( t )|2

dapat diartikan sebagai kemungkinan untuk menemukan partikel/sistem berada pada keadaan n saat waktu t.

Substitusi (1.51) ke persamaan Schrodinger,

i ℏ∂∂ t

Ψ n ( r⃗ , t ) =(H¿ 0+g H¿

1)Ψ n ( r⃗ , t )

⇔i ℏ∂∂ t [∑n Cn( t )ψn ( r⃗ , t ) ] =(H

¿

0+g H¿

1)∑n

Cn( t )ψn ( r⃗ ,t )

⇔i ℏ∂∂ t [dCn

dtψn ( r⃗ , t )+Cn

∂ψ n ( r⃗ ,t )∂ t ] =∑

n

Cn (H¿

0+g H¿

1 )∑n

Cn ( t )ψn ( r⃗ ,t )

⇔∑n[ iℏ dCn( t )

dt−gCn H

¿

1 ]ψn ( r⃗ ,t ) =∑n

Cn(H¿ 0−i ℏ∂ψ ( r⃗ , t )∂ t )

⇔i ℏ∑n

dCn ( t )dt

ψ n ( r⃗ ,t ) =g∑n

Cn H 1

¿

Kalikan persamaan terakhir dengan ψm¿ ( r⃗ ,t )

lalu integralkan pada seluruh ruang,

i ℏ∑n

dCn

dt∫ψm

¿ ( r⃗ , t )ψn ( r⃗ , t )d3 r⃗=g∑n

Cn∫ψ m¿ ( r⃗ , t ) H

¿

1ψn ( r⃗ , t )d3 r⃗

i ℏdCm

dt =g∑

n

Cn ⟨H¿

1 ⟩mn (1 .54 )

Terlihat bahwa pada g→0 (tak ada gangguan), nilai Cm konstan (tak bergantung waktu).

Selanjutnya dapat dituliskan

Cm( t )=g0 Cm(0 )+gCm

(1)( t )+g2 Cm(2 )( t )+.. . (1 .55 )

Substitusi deret tersebut ke persamaan (1.54),

δnm

i ℏ ddt [ g

0 Cm(0 )+gCm

(1)( t )+g2 Cm(2)( t )+ .. . ]=g∑

n[ g0 Cn

(0)+gCn(1)( t )+g2 Cn

(2)( t )+ .. . ] ⟨H¿

1 ⟩mn (1 .56 ) (1 .55 )

Dengan mengumpulkan tiap suku menurut pangkat dari g, diperoleh

i ℏddt

Cm(0 )=0 (1 .57 )

i ℏddt

Cm(1 )=∑

n

Cn(0 )⟨H

¿

1 ⟩mn (1 .58 )

i ℏddt

Cm(2 )=∑

n

Cn(1 )⟨H

¿

1 ⟩mn (1.59 )

⋮ (1 .60 )

i ℏddt

Cm(p )=∑

n

Cn( p−1 )⟨H

¿

1 ⟩mn (1.61 )

Misal gangguan diterapkan saat t = 0, sehingga sebelum gangguan (ambil t→−∞ dan keadaan

sistem sebelum gangguan dinyatakan sebagai ψ l ( r⃗ , t )=ϕ1 ( r⃗ ) e−ωl t

berlaku

Ψ n ( r⃗ ,t )≈Ψ l ( r⃗ ,t )=∑n

δnl ψn ( r⃗ , t ) (1 . 62)

Dengan demikian, berlaku Cn(0)( t→−∞)=δnl ,dan ini tentu berlaku untuk semua t (karena Cn

(0)

konstan),

Cn(0)=δnl (1.63)

Substitusi hasil ini ke (1.58) memberikan

i ℏddt

Cm(1 )( t )=∑

n

δnl ⟨H¿

1 ⟩mn

Cm(1)( t )=−i

ℏ ∫−∞t⟨H¿

1 ⟩ml dτ (1.64 )

Substitusi hasil ini ke persamaan-persamaan berikutnya akan memberikan hasil

Cm(2)( t )=(1i ℏ )

2

∫−∞t 1 ∫−∞

t2 ⟨H¿

1 (r⃗ , τ1 )⟩ml⟨H¿

1 (r⃗ , τ2 )⟩mldτ1 dτ2 (1. 65 )

⋮

Cm( p )( t )=(1i ℏ )

p

∫−∞t1 ⋯∫−∞

t p ⟨H¿

1 ( r⃗ , τ1)⟩ml⋯⟨H

¿

1 (r⃗ , τ p ) ⟩mldτ1⋯dτ p (1. 66 )

dengan −∞<t1<t−2<. . .< t p<∞ (chronological time). Pada mekanika kuantum, persamaan-persamaan untuk Cm tersebut digambarkan melalui diagram Feynman.

Contoh 1.1.

Sebuah sistem osilator harmonik satu dimensi dikenai gaya gangguan bergantung waktu,

F⃗ ( t )=F⃗0e−t /τ (1 .67)

saat t = 0. Sebelumnya, sistem berada pada keadaan dasar.

1. Tuliskanlah Hamiltonian awal sistem sebelum dan setelah tergangu.2. Tentukan probabilitas transisi sistem berpindah ke keadaan eksitasi pertama (n = 1). Gunakan

teori gangguan orde pertama.3. Mungkinkah terjadi transisi ke keadaan eksitasi lebih tinggi (n > 1)?

Solusi.

Petunjuk mengerjakan soal:

1. Lihat dan gunakan definisi serta sifat-sifat operator kreasi (a¿⋄ )

dan anihilasi (a¿ )

pada osilator

harmonik, lalu nyatakan Hamiltonian awal sebagai H¿

0=(a¿⋄+12 )ℏω

.Potensial gangguan

diperoleh dengan mengingat definisi gaya, F⃗=−∂V

∂ x

2. Hitung nilai Cm(1)( t )menggunakan persamaan (1.64), dengan keadaan awal l = 0 dan akhir m

= 1. Nilai ⟨H¿

1⟩ml dihitung dengan terlebih dahulu menyatakan H¿

1 dalam bentuk a¿⋄

dan a¿

.Probabilitas transisi didefinisikan sebagai |Cm(1)|2 .

3. Hitung nilai |Cm(1)|2

untuk tiap m > 1. Jika didapat nilai bukan nol, berarti terjadi transisi.

Contoh 1.2.

Sebuah sistem dengan keadaan dan energi eigen yang diskrit, {ϕn}dan {En} , dikenai sebuah Hamiltonian gangguan berbentuk

H¿

'=H¿( x ) e

−t2 /τ 2

τ √π

Gangguan tersebut mulai dikenakan pada t = −∞ saat sistem tak terganggu berada dalam

keadaan dasar. Hitunglah probabilitas sistem mengalami transisi ke keadaan k saat t → ∞.