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Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 1
Desarrollo de la Transformada de Fourier en Tiempo Continuo
Transformadas coseno y seno de Fourier
Propiedades de las transformadas de Fourier
Transformada de Fourier de funciones especiales
Transformada de Fourier de una función periódica
Tema IV
Transformada de Fourier
Contenido
Tema 4. La Transformada de Fourier.
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La transformada de Fourier permite hallar la representación en el dominio de la
frecuencia de una función no periódica para poder conocer su composición armónica.
Sea f(t) una función localmente integrable cuya integral valor absoluto esta acotada
en R.
La Transformada Inversa de Fourier
Es el proceso a través del cual, dada F(w) es posible hallar f(t) a partir de ella:
Transformada de Fourier
Transformada Inversa de Fourier
1. Desarrollo de la Transformada de Fourier en Tiempo Continuo
Se define su transformada de Fourier como:
Tema 4. La Transformada de Fourier.
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Condiciones suficientes y necesarias para que la Transformada de Fourier de f(t)
exista.
Suficiente
Necesaria
En general funciones que no vayan asintóticamente a cero cuando t tiende a + ∞ y –
∞ no tienen Transformadas de Fourier.
1. Desarrollo de la Transformada de Fourier en Tiempo Continuo
Tema 4. La Transformada de Fourier.
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La Transformada de Fourier F(w) en general es compleja por lo tanto:
Para la representación fasorial tenemos:
F(w) = Re(w) +j Im (w) Re(w) : Parte real
Im (w) : Parte imaginaria
Ø(w) : Espectro de Fase
La Transformada de Fourier cuando f(t) es real queda:
1. Desarrollo de la Transformada de Fourier en Tiempo Continuo
Tema 4. La Transformada de Fourier.
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La función Re(w) es una función par de w, mientras que Im(w) es una función impar
de w, esto es:
Re(w) = Re(-w) Im(w) = - Im(-w) F(-w) = F*(w)
F*(w) denota el conjugado complejo de F(w)
1. Desarrollo de la Transformada de Fourier en Tiempo Continuo
Si f(t) es real, su espectro de magnitud |F(w)| es una función par de w y su
espectro de fase ø(w), es una función impar de w.
Si la transformada de Fourier de una función real f(t) es real, entonces f(t) es una
función par de t y si la transformada de Fourier de una función real f(t) es
imaginaria pura, entonces f(t) es una función impar de t
Tema 4. La Transformada de Fourier.
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2. Transformadas coseno y seno de Fourier
Si f(t) está definida solo para 0 < t < ∞, la función f(t) puede ser representada por:
Transformada coseno de Fourier
Transformada seno de Fourier
Tema 4. La Transformada de Fourier.
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Linealidad
3. Propiedades de la Transformada de Fourier.
Sea y con a1 y a2 constantes tenemos:
Escalamiento
Sea a una constante real y entonces:
Si a es positiva y mayor que uno, f(at) se comprime y su densidad espectral se
expande.
Si a es positiva y menor que uno, f(at) se expande y su densidad espectral se
comprime.
Tema 4. La Transformada de Fourier.
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Desplazamiento en el Tiempo
Si entonces:
3. Propiedades de la Transformada de Fourier.
Desplazamiento en la frecuencia
Si w0 es una constante real y entonces:
Simetría (Dualidad)
Si entonces:
Tema 4. La Transformada de Fourier.
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Derivación en el tiempo
Si y f(t) → 0 cuando t → ∞ entonces:
En general
n = 1,2,3….
Integración en el tiempo
Si con w ≠ 0 entonces:
3. Propiedades de la Transformada de Fourier.
Tema 4. La Transformada de Fourier.
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Convolución en el Tiempo
3. Propiedades de la Transformada de Fourier.
Si y entonces:
La convolución en el tiempo equivale al producto en la frecuencia.
Esta propiedad, es muy importante en el análisis y síntesis de sistemas LTI.
Como x(t) ∗ h(t) puede interpretarse como la salida del sistema h(t) al ser
excitado por la señal x(t), la propiedad nos dice que si x(t) la representamos como
combinación lineal de exponenciales complejas de distinta frecuencia, entonces
un sistema LTI, amplifica o atenua la contribución de cada componente
frecuencial.
Tema 4. La Transformada de Fourier.
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Convolución en la Frecuencia
Si y entonces:
El producto en el tiempo equivale a la convolución en la frecuencia.
3. Propiedades de la Transformada de Fourier.
Tema 4. La Transformada de Fourier.
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Resumen de las propiedades
3. Propiedades de la Transformada de Fourier.
Tema 4. La Transformada de Fourier.
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Función Impulso.
4. Transformada de Fourier de Funciones Especiales
La función Impulso puede escribirse como la siguiente identidad:
δ (t)
t
F (w)
w
Función Impulso Unitario Transformada de Fourier Función Impulso Unitario
1
Tema 4. La Transformada de Fourier.
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Función Constante
Sea f(t) = A, entonces:
Función Constante Transformada de Fourier Función Constante
F (w)
w
2Aπδ(w)
f (t)
t
A
4. Transformada de Fourier de Funciones Especiales
Tema 4. La Transformada de Fourier.
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u (t)
t
Función Escalón Unitario
Función Escalón Unitario Transformada de Fourier Función Escalón Unitario
w
F (w)
1 w
πδ(w) Espectro de la Función Escalón Unitario
F (w)
w
πδ(w)
1 w
-
4. Transformada de Fourier de Funciones Especiales
Tema 4. La Transformada de Fourier.
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5. Tabla de Transformada de Algunas Funciones
Tema 4. La Transformada de Fourier.
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6. Ejemplo
Calcular la Transformada de Fourier de f(t) (pulso rectangular):
P
2 -P
2 t
f (t)
1
Tema 4. La Transformada de Fourier.
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6. Ejemplo
F (w)
w
1
2π
Sabiendo que según la ecuación de Euler
Seno Cardinal
Función sinc (seno cardinal) Sinc (θ)
θ
Tema 4. La Transformada de Fourier.
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Sea f(t) una función periódica de periodo T, entonces:
7. Transformada de Fourier de una Función Periódica
La Transformada de Fourier de una función periódica, consta de una sucesión de
impulsos equidistantes localizados en las frecuencias armónicas de la función.
Aplicando Transformada de Fourier
Tema 4. La Transformada de Fourier.
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7. Transformada de Fourier de una Función Periódica
Se establece que la transformada de Fourier de un tren de impulsos es también
un tren de impulsos equidistantes en w0.
f (t)
t T
f (w)
w w0
Tema 4. La Transformada de Fourier.
