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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta
DEEC/ IST Isabel Lourtie
TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA
Transformada de Fourier de sinais discretos não periódicos
Transformada e série de Fourier de sinais discretos periódicos
Propriedades da transformada e da série de Fourier de sinais discretos
Função resposta de frequência e resposta impulsional
Amostragem de sinais
Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta
DEEC/ IST Isabel Lourtie
nhTF
Motivação
njenx nh ?ny
SLIT
nj
k
kj
k
knj
k
eekh
ekh
knxkh
nxnhny
njjnj eeHnyenx
Espectro de frequência
n
njj enxeX
deeXnx njnj
22
1 jeH
Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta
DEEC/ IST Isabel Lourtie
Definição
n
njj enxeXnx
0
01
n
nj
n
njn
n
njnj
ae
eaenuaeX
jn
aeanua
1
11;1
Exponencial direita
1;1 anuanx n
1 nx
n0
Série geométrica:
1;
1;1
1
r
rr
rr
N
Nn
n
jae1
1
r
Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta
DEEC/ IST Isabel Lourtie
Espectro de frequência da exponencial real
sincos1
1
1
11;1 jaaae
anuaj
n
cos21
1
sincos1
1
1
1
2
222
aa
aaaeeX
j
j
cos1
sinarctanarg
a
aeX j
Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta
DEEC/ IST Isabel Lourtie
Transformada de Fourier Discreta
é sempre periódica em com período jeX 2
Demonstração
n
nkjkj enxeX 22
n
knjnj eenx 2
1
j
n
nj eXenx
Exponenciais complexas discretas com frequências separadas de um múltiplo de representam a mesma exponencial
2
Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta
DEEC/ IST Isabel Lourtie
Definição
22
1deeXnxeX njjj
jeXjjj eeXeX arg
jeX
2
1
22
2
jeXarg
2
1 2
2
2
1
2arg
1:22
j
j
eX
eX
2
2
2
2
1
deenx nj
j
2
2
2
2
1
de
nj
2
2
2
22
1
nj
enj
2
2
2
2
22
1 njnj
eenj
2
2sin2 nj
2
12
sin
n
nnx
Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta
DEEC/ IST Isabel Lourtie
Convergência da Transformada de Fourier Discreta
Condição suficiente para a existência de transformada de Fourier:
é absolutamente somável, i.e., nx
n
nx
ou
é de energia finita, i.e., nx
n
nx2
Vários sinais não periódicos, como o escalão unitário, e os sinais periódicos, não satisfazem estas condições.
DEEC/ IST Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta
Sinais periódicos
njnjnjj ededeeXnx 00
2
22
1
2
1
Qual é o sinal cuja transformada de Fourier é periódica de período e que para é ?
nx 02 jeX2
jeX
0
2
20 20 40 40
22 0
TF0nje
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta
Sinais periódicos
Ex. 1
22TF1 0njj eeXnnx
22 0
TF0nje
jeX
2
22 44 0
DEEC/ IST Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta
22
22222
1
2TFcosTF
00
00
0
00 njnj een
Ex. 2
Sinais periódicos
22 0
TF0nje
jeX
22 44 00
DEEC/ IST Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta
Sinais periódicos
Nk
knNj
keanx2
é periódico com período fundamental e, portanto, com frequência fundamental
N nx
N2
Nkk
j kN
aeX 2
2
TF
Série de Fourier do sinal periódico nx
Coeficientes da série de Fourier:
Nn
knNj
k enxN
a21
Combinação linear de exponenciais complexas de frequências Nkk 2
N
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta
periódico com períodoka 12N
2
1;
2
1:65 4433 jaaaak
Série de Fourier
Ex. 1
nnnx
2
3cos
3
2sin
3
210
2
320
124,3mmc4
4
3
2
33
1
2
2
2
1
1
00
00
NN
N
22
2
3
2
3
3
2
3
2njnjnjnj
ee
j
ee
Nk
knNj
keanx2
Nn
knNj
k enxN
a21
6
2
N
Mas
...... 2
5
22
3
2
7
njnjnjnj
eeee
pelo que ...... 153921 aaaa
4a9a 9a4a
njnjnjnjee
je
je 2
3
3
2
3
2
2
3
2
1
2
1
2
1
2
1
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta
Série de Fourier
2
1
4
2
4
14
n
knj
k enxaN
2222 0100
4
1 kjkjkjeee
kje 2
4
1
2
1
12
2
1
22
4
1
4
1
k
knj
k
knjkjeeenx
Nk
knNj
keanx2
Nn
knNj
k enxN
a21
Ex. 2 nx
n
1
4 0 4 8812
… …
12 114
11
2cos
2
1
4
1
nkj
k nnxea
11
21
2 14
1 njnjnjeee
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta
Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P1. Linearidade jj ebXeaXnbxnax 21
TF
21
kbXkaXnbxnaxN
21
2SF,
21
P2. Translação no Tempo jnj eXennx 0
TF
0
kXennxkn
NjN 02
2SF,
0
P3. Translação na Frequência 00
TF jnj eXnxe
0
2SF,2
0
kkXnxeNn
Njk
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta
P4. Inversão Temporal jeXnx
TF
kXnxN
2SF,
Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P5. Convolução jj eXeXnxnx 21
TF
21
kXkNXnxnxN
21
2SF,
21
N
nxxnxnx
2121 Convolução circular:
P6. Diferenciação na Frequência
d
edXjnnx
jTF
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta
Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P7. Soma no Tempo
k
jjj
n
keXeXe
x 21
1 0TF
P8. Simetria Se nx é uma função real, então
jj eXeX *TF: kXkX *SF:
P9. Modulação jjj ePeSeRnpnsnr
2
1TF
kPkSkRnpnsnrN
2SF,
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta
2sin2 j
0Para é 2
Exemplo
111 NnuNnu
jjNjNjjNjjNjj eUeeeeUeeUeeX 111
1
21
11
TF
1 jj
eeUnu
Tabela:
2
1sin2 Nj
2sin
21
sin N
eX j
Linearidade + Translação no TemponN N
nx1
… …
j
NjNjjjjNjjNjjeUeeeeUeeeee 1
2
1
2
1
21
222
22
1sin2
12
1sin2
2
Nje
eNj
j
j
22
1
2
1sin2
jjee
Nj
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta
Resposta Impulsional Resposta em Frequência
nxnhny nx nh jjj eXeHeY jeX jeH
jeHnhTF
Baixa Frequência:
Alta Frequência:
...4,2,0
...5,3,
jeH
2 2
… …
0
Filtro passa-baixo
jeH
2 2
… …
0
Filtro passa-alto
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta
Resposta em Frequência
jeX jeH1 jeH 2
jeY jj eHeH 21
jeX jeY
SLITs em série
jeH1
jeH 2
jeX jeY jj eHeH 21
jeX jeY
SLITs em paralelo
jeX jeY jeH1
jeH 2
jj
jj
eHeH
eHeH
21
1
1
Realimentação
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta
Equação às Diferenças Resposta em Frequência
nySLIT
nx
M
kk
N
kk knxbknya
00
M
kk
N
kk knxbknya
00
TFTF
M
kk
N
kk knxbknya
00
TFTFLinearidade
Translação no tempo
jkjM
kk
N
k
jkjk eXebeYea
00
jkjM
kk
jN
k
kjk eXebeYea
00
N
k
kjk
kjM
kk
j
jj
ea
eb
eX
eYeH
0
0
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta
Amostragem de sinais
t
x(t)
0 T 2T 3T-T-2T-3T 4T-8T -6T-5T-4T 5T-7T-8 n0 1 2 3-1-2-3
xd(n)=x(nT)
-7 -6 -5 -4 54
Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta
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modelo matemático
tp
txp tx
n
nTttp
n
p
nTtnTx
tptxtx
Amostragem de sinais
t
xp(t)
-2T -T 0 T 2T 3T 4T 5T
t
x(t)
0
p(t)
t0 T 2T 4T 5T-T 3T-2T
1
Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta
DEEC/ IST Isabel Lourtie
Relação entre os espectros de e tx txp
jPjXjXtptxtx pTF
p 2
1
k Tk
TjP
22
Tabela
djX
T
k
TdjXjPjX
kp
22
2
1
2
1
k
djXT
k
T 21
k T
kjX
T
21
k
sp kjXT
jX 1
- frequência de amostragemTs 2
Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta
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Relação entre os espectros de e tx txp
k
sp kjXT
jX 1 jX
M M
1
Ms T 2
2
jX p
T1
2s
ss2s
… …
Ms T 2
2
jX p
ss
T1
… …
Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta
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Teorema da Amostragem
0, jXM
Ms T 2
2
tx
txSeja um sinal contínuo de banda limitada tal que
Então é univocamente determinado pelas suas amostras sse a frequência de amostragem
M2 - ritmo de Nyquist
Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta
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Relação entre os espectros do sinal contínuo e do sinal discreto nTxnxd
txp
n
njnj
nd
jd enTxenxeX
n
Tnj
np enTxnTtnTxjX TF
nTtnTxtxn
p
Tjdp eXjX
Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta
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Relação entre os espectros do sinal contínuo e do sinal discreto nTxnxd
txp
Tjdp eXjX Mudança de escala: T jX p
T1
2s
ss2s
……
T1
jd eX
2 2
……
Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta
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Amostragem e Reconstrução jX
M M
1
jX r
M M
1
T
t
tth
TjH s
s
s
2sin
2;0
2;
dthxthtxtx ppr
nn
nTthnTxdthnTnTx
t
nTtnTxtx s
nr
2sin
fórmula de interpolação
jX p
T1
2s
ss2s
tp
tx
n
p nTtnTxtx
… …
Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta
DEEC/ IST Isabel Lourtie
Amostragem de uma sinusoide ttx 50cos)(
)( jX
5050Ms 2100150
txttxr 50cos)(
T
)( jX p
5050 100200 150 200100150
T
T
……
Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta
DEEC/ IST Isabel Lourtie
ttx 50cos)(
)( jX
5050
Amostragem de uma sinusoide
Ms 210040
txttxr 10cos)(
T)( jX p
5050
40
90 9010
40
10
T
T
80 80
……