Transformada Inversa

Matemática IV

Daniela Salazar García.

Transformada de Fourier

La transformada de Fourier (pr. fʊrieɪ), denominada así por Joseph Fourier, es una transformación matematica empleada para transformar señales entre el dominio del tiempo (o espacial) y el dominio de la frecuencia, que tiene muchas aplicaciones en la física y la ingeniería. Es reversible, siendo capaz de transformaciones de cualquiera de los dominios al otro. El propio término se refiere tanto a la operación de transformación como a la función que produce.

En el caso de una función periódica en el tiempo (por ejemplo, un sonido musical continuo pero no necesariamente sinusoidal), la transformada de Fourier se puede simplificar para el cálculo de un conjunto discreto de amplitudes complejas, llamado coeficientes de las series de fourier. Ellos representan el espectro de frecuencia de la señal del dominio-tiempo original.

La transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una función   de valores complejos y definida en la recta, con otra función   definida de la manera siguiente:

Donde   es  , es decir,   tiene que ser una función integrable en el sentido de la integral de lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definición facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la más comúnmente adoptada, no es universal. En la práctica las variables   y   suelen estar asociadas a dimensiones como el tiempo —segundos— y frecuencia —herzios— respectivamente, si se utiliza la fórmula alternativa:

la constante    cancela las dimensiones asociadas a las variables obteniendo un exponente adimensional.

La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas.

Sus aplicaciones son muchas, en áreas de la ciencia e ingeniería como la física, la teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de señales (electrónica), la teoría de la probabilidad, la estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento de señales la transformada de Fourier suele considerarse como la descomposición de una señal en componentes de frecuencias diferentes, es decir,    corresponde al espectro de frecuencias de la señal  .

La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus generalizaciones es denominada análisis armónico.

Son varias las notaciones que se utilizan para la transformada de Fourier de . He aquí algunas de ellas:

Definicion

La transformada de Fourier es básicamente el espectro de frecuencias de una función. Un buen ejemplo de eso es lo que hace el oído humano, ya que recibe una onda auditiva y la transforma en una descomposición en distintas frecuencias (que es lo que finalmente se escucha). El oído humano va percibiendo distintas frecuencias a medida que pasa el tiempo, sin embargo, la transformada de Fourier contiene todas las frecuencias del tiempo durante el cual existió la señal; es decir, en la transformada de Fourier se obtiene un sólo espectro de frecuencias para toda la función.

Definición formal Sea    una función Lebesgue integrable:

La transformada de Fourier de   es la función

Esta integral tiene sentido, pues el integrando es una función integrable. Una estimativa simple demuestra que la transformada de Fourier   es una función acotada. Además por medio del teorema de convergencia denominada puede demostrarse que    es continua.

La transformada de Fourier inversa de una función integrable   está definida por:

Nótese que la única diferencia entre la transformada de Fourier y la transformada de Fourier inversa es el signo negativo en el exponente del integrando. El teorema de inversión de Fourier formulado abajo justifica el nombre de transformada de Fourier inversa dado a esta transformada. El signo negativo en el exponente del integrado indica la traspolación de complementos yuxtapuestos. Estos complementos pueden ser analizados a través de la aplicación de la varianza para cada función.

Propiedades Basicas

La transformada de Fourier es una aplicación lineal:

Valen las siguientes propiedades para una función absolutamente integrable :

Cambio de escala Traslación: Traslación en la variable

transformada:

Transformada de la derivada: Si   y su derivada son integrables,

Derivada de la transformada: Si   y   →    son integrables, la transformada de Fourier     es diferenciable

Estas identidades se demuestran por un cambio de variables o integración por partes.

En lo que sigue, definimos la  convolución  de dos funciones    y    en la recta de la manera siguiente:

Nuevamente la presencia del factor delante de la integral simplifica el enunciado de los resultados como el que sigue: Si   y   son funciones absolutamente integrables, la convolución también es integrable, y vale la igualdad:

También puede enunciarse un teorema análogo para la convolución en la variable transformada,

pero este exige cierto cuidado con el dominio de definición de la transformada de Fourier.

Tabla de transformadas básicas

En algunas ocasiones se define la transformada con un factor multiplicativo diferente de   , siendo frecuente en ingeniería el uso de un factor unidad en la transformada directa y un factor de   en la transformada inversa. A continuación se lista una tabla de funciones y sus transformadas de Fourier con un factor unidad. Si se desea utilizar otro factor, sólo debe multiplicar la segunda columna por ese factor.

Uso en ingeniería

La transformada de Fourier se utiliza para pasar una señal al dominio de frecuencia para así obtener información que no es evidente en el dominio temporal. Por ejemplo, es más fácil saber sobre qué ancho de banda se concentra la energía de una señal analizándola en el dominio de la frecuencia.

También sirve para resolver ecuaciones diferenciales con mayor facilidad y, por consiguiente, se usa para el diseño de controladores clásicos de sistemas realimentado, si conocemos la densidad espectral de un sistema y la entrada podemos conocer la densidad espectral de la salida. Esto es muy útil para el diseño de filtros de radiotransistores.

La transformada de Fourier también se utiliza en el ámbito del tratamiento digital de imágenes, como por ejemplo para mejorar o definir más ciertas zonas de una imagen fotográfica o tomada con una computadora

Transformada inversa de Fourier

La Transformada de Fourier es una aplicación lineal esta definida y goza de una serie de propiedades de continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas. De una función

Se define mediante una integral, a esta integral se le llama integral de contorno. El hecho es que las transformadas integrales aparecen en pares de transformadas si se transforma en mediante una transformad integral

Entonces se puede recuperar la funcion mediante otra transformada integral

Llamada transformada inversa a las funciones se les llama nucleos de sus transformadas respectivas. El teorema de inversion de Fourier formulado abajo justifica el nombre de transformada de Fourier inversa dado a esta transformada.

El signo negativo en el exponente del integrado indica la traspolacion de complementos yuxtapuestos.

Se F(x) una funcion definida en - ∞ a ∞ entonces su transformada de Fourier no es mas que el coeficiente cw de la integral de Fourier en forma compleja para F(x)

Definición Formal

Sea una función Lesbesgue integrable: La transformada de Fourier de es la función

Esta integral tiene sentido, pues el integrado es una función variable. Una estimativa simple demuestra que la transformada de Fourier F(f) es una función acotada. Además por medio del teorema de convergencia denominada puede demostrarse que F(f) es continua

La transformada de Fourier inversa de una funcion integrable f esta definida por :

Nótese que la unica diferencia entre la transformada de Fourier y la transformada de Fourier inversa es el signo negativo en el exponente del integrado. El teorema de inversión de Fourier formulado abajo justifica el nombre de transformada de Fourier inversa dado a esta transformada. El signo negativo en el exponente del integrado indica la traspolacion de complementos yuxtapuestos. Estos complementos pueden ser analizados a través de la aplicación de la Varianza para cada función

Transformada de Fourier

Transformada inversa de Fourier

Transformada de Fourier de funciones simples

Teoremas

Teorema 1 Teorema 2 Teorema 3 Teorema 4 Teorema 5 Teorema 6 Teorema 7 Teorema 8

Teorema 9 Teorema 10 Teorema 11 Teorema 12

Transformada de Fourier

Si converge, entonces si la transformada de Fourier se define como

Teorema 1 Teorema 2 Teorema 3 (pulso unitario) Teorema 4 (corrimiento del tiempo)

Teorema 5 (corrimiento en la frecuencia)

Teorema 6 (cambio de escala)

Teorema 7 (inversión del tiempo) Teorema 8 (teorema de simetria) Teorema 9 (teorema de modulacion)

Teorema 10 Teorema 11 Teorema 12