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fourier
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La transformadade
Fourier
1
TELECOMUNICACIONESIng. ANGEL, AYALA HERRERA
De la Serie de Fourier a la Transformada de Fourier
La serie de Fourier nos permite obtener una representación en el dominio de la frecuencia de funciones periódicas f(t).
¿Es posible extender de alguna manera las series de Fourier para obtener una representación en el dominio de la frecuencia de funciones no periódicas?
Consideremos la siguiente función periódica de periodo T:
2
Tren de pulsos de amplitud 1, ancho p y periodo T:
1f(t)
t. . . -T -T/2
0
T/2 T . . .
p
-p/2 p/2
22
22
22
0
1
0
)(Tp
pp
pT
t
t
t
tf
3
Los coeficientes de la serie compleja de Fourier en este caso resultan puramente reales:
El espectro de frecuencia correspondiente lo obtenemos (en este caso) graficando cn contra = n0.
)(
)(
20
20p
p
n n
nsen
T
pc
4
Espectro del tren de pulsos para p = 1, T = 2
-60 -40 -20 0 20 40 60-0.2
0
0.2
0.4
0.6
w=nw0
c n
5
Si el periodo del tren de pulsos aumenta...
-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5
p = 1, T = 2
t
f(t)
t-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5
p = 1, T = 5
f(t)
-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5
p = 1, T = 10
t
f(t)
-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5
p = 1, T = 20
t
f(t)
6
-50 0 50-0.1
0
0.1
0.2
0.3
p = 1, T = 5
-50 0 50-0.05
0
0.05
0.1
0.15
p = 1, T = 10
-50 0 50-0.02
0
0.02
0.04
0.06p = 1, T = 20
-50 0 50-0.2
0
0.2
0.4
0.6p = 1, T = 2
=n0
c n
...el espectro se "densifica".
7
En el límite cuando T, la función deja de ser periódica:
¿Qué pasa con los coeficientes de la serie de Fourier?
-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5
p = 1, T =
t
f(t)
8
Si se hace T muy grande (T), el espectro se vuelve "continuo":
9
El razonamiento anterior nos lleva a reconsiderar la expresión de una función f(t) no periódica en el dominio de la frecuencia, no como una suma de armónicos de frecuencia n0, sino como una función continua de la frecuencia .
Así, la serie:
al cambiar la "variable discreta" n0 (cuando T) por la variable continua , se transforma en una integral de la siguiente manera:
n
tinnectf 0)(
10
Recordemos:
La serie de Fourier es:-T/2< x < T/2
O bien:
n
tinT
T
tinT edtetftf 00
2/
2/
1 )()(
0
2/
2/
1 2y)( 0
TdtetfcT
T
tinTn
n
tinT
T
tin edtetftf 000
2/
2/21 )()(
dedtetftf titi)()( 21
T
T
/2
/2
0
0
Cuando T , n0 y 0 d y el sumatorio se convierte en:
11
La transformada de Fourier
Es decir,
donde:
Estas expresiones nos permiten calcular la expresión F() (dominio de la frecuencia) a partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa.
deFtf ti)()( 21
dtetfF ti )()(
Identidad de Fouriero antitrans-formada de Fourier
Transformadade Fourier
12
La transformada de Fourier y la transformada inversa de Fourier
( ) ( ) exp( )F f t i t dt
1
( ) ( ) exp( )2
f t F i t d
En algunos textos, el factor 1/2 se "reparte" entre la transformada y la anti-transformada para obtener simetría en la expresión, como: 1/√(2). 13
Notación: A la función F() se le llama transformada de Fourier de f(t) y se denota por F o , es decir
En forma similar, a la expresión que nos permite obtener f(t) a partir de F() se le llama transformada inversa de Fourier y se denota por F –1 ,es decir
deFtfFF ti)()()]([ 211
dtetffFtfF ti )()(ˆ)()]([
f̂
14
Transformadas integrales
– K(,t): núcleo o kernel.
– Asocia a cada función f(t) en el espacio t, directo o real, otra función F() en el espacio o recíproco.
– Ejemplos: de Fourier, Wavelet, transformada Z, de Laplace, de Hilbert, de Radon, etc
dttftKFb
a )(),()(
15
Un problema que es difícil de resolver en sus "coordenadas" (espacio t) originales, a menudo, es más sencillo de resolver al transformarlo a espacio . Después, la transformada inversa nos devuelve la solución en el espacio original.
Problem in
Transform space
Original
problem
Solution in
Transform space
Solution of
original problem
Integral transform
Relatively easy solution
Difficult solution
Inverse transform
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Ejemplo. Calcular F() para el pulso rectangular f(t) siguiente:
Solución. La expresión en el dominio del tiempo de la función es:
-p/2 0 p/2
1f(t)
t
t
t
t
tfp
pp
p
2
22
2
0
1
0
)(
17
Integrando:
Usando la fórmula de Euler:
2/
2/
)()(p
p
titi dtedtetfF
2/
2/
1p
p
tii e
)( 2/2/1 pipii ee
)2/(sinc2/
)2/()( pp
p
psenpF
ieepsen
pipi
2)2/(
2/2/
18
En forma gráfica,la transformada es:
-50 0 50
0
0.5
1F(w) con p=1
w
F(w
)
p =1
t
t
t
tfp
pp
p
2
22
2
0
1
0
)(
)2/(sinc)( ppF
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Sinc(x/2) es la transformada de Fourier de una función rectángulo.
Sinc2(x/2) es la transformada de Fourier de una función triangulo.
Sinc2(ax) es el patrón de difracción de una ranura.
La función sinc(x)
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