TEMA 6 BLOQUES BÁSICOS ACTIVOS

1 © F.V.Fernández-S.Espejo-R.Carmona Área de Electrónica, ESI

Análisis y Síntesis de Circuitos

TEMA 6

BLOQUES BÁSICOS ACTIVOS



5.1 Diseño de funciones básicas utilizando amplificadoresoperacionales

Los amplificadores operacionales se utilizan con varios propósitos:

A) Amplificación de señales

B) Suma de señales

C) Simulación de la impedancia de otros elementos, frecuentemente un inductor

D) Simulación operacional de la función de inductores y condensadores



Simulación de la impedancia de otros elementosLa simulación de inductores se realiza como indica la figura. Se construye un circuito RC activo

cuya impedancia se aproxima a la de un inductor a tierra o flotante, tan bien como sea posible enlas frecuencias de interés. Para un inductor a tierra se necesita un circuito cuya impedancia de en-trada sea Zin(s)=sL y para un inductor flotante se necesita una bipuerta cuya matriz de admitancia

sea,

siendo I1=−I2. Debido a las tolerancias de los elementos y las no-idealidades de los amplificadores operacio-

nales, las simulaciones serán imperfectas y serán válidas únicamente en un rango limitado de fre-cuencias.

donde QL(ω) es el factor de calidad del inductor.

I1I2

1sL------ 1 1–

1– 1

V1V2

=

jωL jωLr RL+→ jωLr 1 jRLωLr---------–

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

jωLr 1 j 1QL ω( )-----------------–⎝ ⎠

⎛ ⎞= =

Fig.4.16 Schauman

(a) (b)



Simulación operacional de la función de inductores y condensadoresConsidere el inductor en serie y el condensador en paralelo de la figura. Están descritos por:

La misma función de integración la realiza el circuito de la figura:

Está claro que debido a las no idealidades de los dispositivos aparecerán desviaciones respecto ala función de integración ideal. Por tanto, de forma análoga a la simulación de la impedancia de losinductores conviene introducir un factor de calidad de los integradores. Denominamos TL(s)=1/sLa la función de integración del inductor. Sustituyendo jωL por jωLr+RL se obtiene:

IV1 V2–

sL--------------------= VI1 I2–

sC---------------=

Fig.4.15 Schauman

VoV1 V2–

sCR--------------------=



Se puede definir entonces un factor de calidad del integrador como:

de manera análoga al factor de calidad de los inductores. Por tanto::

de donde se obtiene la fase y el error de fase:

Similares resultados se obtienen para el integrador con condensador:

TL jω( ) 1jωLr RL+------------------------- 1

jIm ω( ) Re ω( )+-----------------------------------------= =

QI ω( ) Im ω( )Re ω( )-----------------

ωLr R⁄RL R⁄------------------

ωLrRL---------= = =

TL jω( ) 1jIm ω( ) Re ω( )+----------------------------------------- 1

jIm ω( ) 1 j 1QI ω( )---------------–

--------------------------------------------------= =

φI ω( ) π2---– 1

QI ω( )---------------atan+ π

2---– ΔφI ω( )+= =

QI ω( ) Im ω( )Re ω( )-----------------

ωCrRGCR--------------- ωCrRC= = =



5.2 Amplificadores/sumadores

En muchas ocasiones durante el diseño de un filtro debe amplificarse una señal determinada osumarse dos o varias señales con peso, para lo que se pueden utilizar los circuitos de la figura.

Fig.4.17 Schauman



La operación del amplificador inversor se obtiene de forma trivial.

Si en lugar de un modelo ideal consideamos una ganancia genérica del amplificador operacio-nal; aplicando la ecuación del amplificador, principio de superposición y divisor de tensiones:

Vo ARF

R1 RF+---------------------V1R1

R1 RF+---------------------Vo+⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

–=

Vo 1 AR1

R1 RF+---------------------+⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

ARF

R1 RF+---------------------V1–=

VoARF

AR1 R1 RF++---------------------------------------V1–RFR1------- 1

1 1A s( )------------ 1

RFR1-------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

+

---------------------------------------------V1–= =

VoV1-------

RFR1-------–=



La operación del amplificador no inversor se obtiene de forma trivial

Si en lugar de un modelo ideal consideamos una ganancia genérica del amplificador operacional;aplicando la ecuación del amplificador, principio de superposición y divisor de tensiones:

Vo A V1R1

R1 RF+---------------------Vo–

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

=

Vo 1 AR1

R1 RF+---------------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

AV1=

VoA

1 AR1

R1 RF+---------------------+-----------------------------------V1 1

RFR1-------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞ 1

1 1A s( )------------ 1

RFR1-------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

+

---------------------------------------------V1= =

VoV1------- 1

RFR1-------+=



Si las ganancias en tensión del amplificador inversor y no inversor tienden a:

donde Ko=RF/R1.

En realidad la ganancia de estos amplificadores depende de la frecuencia. Si modelamos A(s):

puede observarse que dichos amplificadores tienen un ancho de banda reducido:

y se obtiene que el producto ganancia ancho de banda en lazo cerrado (1+Ko)ωK es aproximada-mente igual al producto ganancia-ancho de banda en lazo abierto GB.

A jω( ) ∞→

VoVi------- Ko–=

VoVi------- 1 Ko+( )=

A s( ) GBs σ+------------- GB

s---------≅=

ωKGB

1 Ko+----------------≅



El siguiente circuito es un sumador. Se ha construido a partir del amplificador inversor añadien-do nuevas entradas en el terminal de entrada inversor que es un nudo de tierra virtual.

En el caso ideal |A(jω)|→∞ :

donde cada coeficiente se puede ajustar independientemente, lo que resulta muy adecuado paraajuste de filtros activos. La operación de suma puede llevarse a cabo siempre que se disponga deun nodo de tierra virtual en un circuito activo, no es necesario construir un sumador aislado.

Fig.4.17

VoGiGF--------Vi

i 1=

n∑–=



El análisis de este circuito con una ganancia genérica del amplificador operacional conduce a:

siendo . Agrupando términos:

Por lo que la operación del circuito sumador es:

Vo AGiVi∑

G----------------GFG--------Vo+⎝ ⎠

⎛ ⎞–=

G GF Gi( )∑+=

Vo 1 AGFG--------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ AGiVi∑

G----------------–=

Vo1

1 1A s( )------------ G

GF--------+

------------------------------GiGF--------Vi

i 1=

n∑–=

Fig.4.17



Otro circuito interesante es el buffer de la figura.

Es un caso especial del amplificador no inversor con RF=0 y R1=∞. Su ganancia es pues:

El ancho de banda de 3dB de este buffer es GB, y puede observarse que para las fre-cuencias normales de funcionamiento . La utilidad de este amplificador de ganancia unidades su alta impedancia de entrada y su baja impedancia de salida:

Luego este circuito puede utilizarse para soportar grandes cargas sin cargar los filtros activos.

.17 Schauman

VoVi------- A s( )

1 A s( )+--------------------- 1

1 1 A s( )⁄+----------------------------- 1

1 s GB⁄+-------------------------≅= =

Vo Vi⁄ 1≅ω GB«

Zin Ri≅ ZoutRo

1 A s( )+--------------------- 0≅ ≅



5.3 Integradores

No sólo simulan la operación de inductores y condensadores sino que pueden utilizarse paraconstruir secciones de segundo orden, como se muestra en la figura.

Si consideramos como modelo para cada integrador 1/s:

de donde se obtiene:

Combinando, pues, un integrador inversor y uno no inversor se obtiene una función de transferen-cia de segundo orden.

Fig.4.19 Schauman

V21s---V+ 1

s--- KV1 aV2– 1s---V2–⎝ ⎠

⎛ ⎞= =

H s( )V2V1------- Ks

s2 as 1+ +----------------------------= =



5.3.1 Integradores inversores

El integrador básico (integrador Miller) puede obtenerse a partir del amplificador inversor susti-tuyendo RF por 1/sC, tal como se muestra en la figura.

Las desviaciones respecto al comportamiento ideal pueden evaluarse a través del factor de calidado error de fase del integrador.

Puede obtenerse pues la función de transferencia a partir de la del amplificador inversor:

Fig.4.20 SchaumanV2V1------- 1

sCR------------–=

comportamiento ideal

V2V1------- 1

sCR------------ 1

1 1A s( )------------ 1 1

sCR------------+⎝ ⎠⎛ ⎞+

--------------------------------------------------–=



Sustituyendo y suponiendo que se obtiene:

Para s=jω:

El error de fase y el factor de calidad del integrador:

El factor de calidad del integrador Miller es negativo, así como el error de fase, y vienen deter-minados por la ganancia del amplificador operacional a la frecuencia de interés. Por tanto, es im-portante tener ganancias grandes. Si el factor de calidad es demasiado bajo (o el error de fase esdemasiado alto) se pueden utilizar métodos de compensación pasiva o activa.

A s( ) GB s⁄= GBCR 1»

V2V1------- 1

sCR 1 sGB--------- 1

GBCR------------------++⎝ ⎠⎛ ⎞

--------------------------------------------------------------– 1sCR------------ 1

1 sGB---------+

-------------------–≅=

V2V1------- 1

jωCR ω2CR GB⁄–--------------------------------------------------–=

Δφ ωGB---------atan–≅ 1

A jω( )-----------------atan–= QI

GBω

---------–≅ A jω( )–=



Es interesante hacer algunas simulaciones de magnitud, fase, error de fase y factor de calidadutilizando distintos niveles de modelos.

Vamos a considerar un integrador Miller con y . Utilizaremos un ampli-

ficador comercial cuyas características son y . En primer lugar

consideraremos un modelo ideal del amplificador operacional. La magnitude de la función de integración es:

R 10KΩ= C 1nF=A0 228000≈ GB 714KHz≈



La fase permanece constante en , el error de fase es nulo y el factor de calidad es .Consideremos ahora el efecto de la ganancia finita del amplificador operacional. La magnitud:

La desviación a baja frecuencia se debe al desplazamiento del polo a bajas frecuencias.

π 2⁄ ∞

V2V1------- 1

sCR------------ 1

1 1A s( )------------ 1 1

sCR------------+⎝ ⎠⎛ ⎞+

--------------------------------------------------–=



La fase:

Consideraremos ahora un modelo de un polo:

con los parámetros correspondientes al amplificador operacional real.

A s( ) GBs σ+------------- 1

sGB--------- 1

A0-------+

----------------------= =



La magnitud (como referencia comparativa también para ):

y la fase (como referencia comparativa también para ):

GB ∞→

GB ∞→





El error de fase:



Realizaremos ahora la comparación con las simulaciones considerando una descripción de losamplificadores operacionales a nivel de transistor.

En cuanto a la magnitud (por referencia comparativa se muestra también el resultado con el mo-delo de un polo):

Las desviaciones importantes a alta frecuencia se deben al resto de polos y ceros y se encuen-tran fuera del rango de frecuencias de interés.



En cuanto a la fase:

que muestra muy buen acuerdo con el modelo de un polo.



Finalmente, el error de fase, centrándonos en el rango de frecuencias de interés:



5.3.2 Integradores no inversores

El método más simple para obtener un integrador no inversor es conectar un amplificador inver-sor y un integrador Miller en cascada como se muestra en la figura. El circuito adicional reduce elfactor de calidad QI de la cascada inversor-integrador Miller.

Pero mediante el simple cambio de una interconexión, como se muestra en la figura, puede obte-nerse el mismo factor de calidad que el integrador Miller.

Fig.4.23 Schauman(a)

Vo1


(b)



5.4 Giradores

Uno de los propósitos de circuitos activos es la simulación de la impedancia de inductores. Latécnica más conocida está basada en el uso de giradores, que son bipuertas descritas por:

y la impedancia de entrada es:

donde r es la resistencia del girador y es la admitancia de carga.

I11r---V2= I2

1r---–⎝ ⎠

⎛ ⎞V1=

Zin s( ) ZinV1I1------- r2 I2–

V2------- r2Yload s( )= = = =

Yload s( )



Está claro que si Yload=sC, Zin será de tipo inductivo.Ya que la mayoría de los diseños de gira-

dores tienen tierra común entre las puertas de entrada y salida, se simulan inductores conectadosa tierra.

Para simular inductores flotantes se suele recurrir a un circuito construido a partir de dos gira-dores con tierra común.

Si bien los giradores se adecúan muy bien a su realización utilizando OTAs, no ofrece ventajas surealización utilizando amplificadores operacionales por lo que para la simulación de la impedanciade inductores utilizando amplificadores operacionales se suelen utilizar convertidores de inmitan-cia.

Fig.4.2

Fig.4.26 SchaumanV21

I21 I22



5.5 Convertidores de inmitancia

La estructura general de un convertidor de inmitancia de Antoniou se muestra en la figura.

Utilizando modelos ideales de los amplificadores operacionales se obtiene que:

Fig.4.33 Schauman

I4 Y5V1= V4 V1 1Y5Y4-------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

=

I3 I2Y3Y5

Y4--------------V1–= = V2 V1 1

Y3Y5Y2Y4--------------–

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

= I1Y1Y3Y5

Y2Y4---------------------V1=



Por tanto, la impedancia del GIC es:

Para Z2=1/sC y Z1=Z3=Z4=Z5=R conduce a Zin=sL=sCR2, el circuito resultante se denomina GICde tipo I y se muestra en la figura. Pero también se obtiene comportamiento inductivo si se inter-cambia Z2 y Z4, es decir, Z4=1/sC y Z1=Z2=Z3=Z5=R. Este último se denomina GIC de tipo II y semuestra también en la figura.

Zin s( )Z1 s( )Z3 s( )Z5 s( )

Z2 s( )Z4 s( )---------------------------------------------=

Fig.4.32 Schauman

R2

R3

R4 R5

R1 R1

R3

R5

GIC tipo I GIC tipo II



5.6 Diseño de funciones básicas usando amplificadores detransconductancia

Estos bloques contienen únicamente OTAs y condensadores.El circuito de la figura se utiliza para simular una resistencia a tierra.

El análisis de esta estructura con un modelo ideal para el OTA es:

por lo que el valor de la resistencia simulada es:

Si se intercambian los terminales de entrada se obtiene −gm en lugar de gm por lo que pueden im-plementarse también resistencias negativas.

Fig.4.13 Schauman

I1 gm V1 0–( )=

Rin1

gm-------=



Para simular una resistencia flotante la intensidad I1 debe fluir a través del segundo terminal. El re-sultado es el circuito de la figura.

Por simple análisis se obtiene:

Si los OTAs están apareados gm1=gm2=gm por lo que tenemos una resistencia flotante de valorR=1/gm.

Fig.4.34 Schauman

I1 gm1 V1 V2–( )= I2 gm2 V1 V2–( )=



Para implementar sumadores con OTAs se necesita un OTA por cada señal a sumar como semuestra con el circuito de la figura.

La intensidad Is, suma de la que circula por todos los OTAs se transforma en la tensión de salidamediante una resistencia simulada a tierra. Para el circuito de la figura se han sumado dos señalesescaladas:

La extensión a más de dos señales es obvia. Intercambiando simplemente los terminales de entra-da de cualquier OTA se obtiene la diferencia de dos señales.

Fig.4.35a Schauman

Vsgm1gms----------V1

gm2gms----------V2+=



La figura muestra un integrador con pérdidas.

Implementa la siguiente función:

Si los OTAs son ideales el integrador puede hacerse sin pérdidas eliminando gm4.

Fig.4.35b Schauman

Vogm3

sC gm4+------------------------- Vi+ Vi

––( )=



Para simular inductores se pueden utilizar giradores. Se pueden construir muy fácilmente gira-dores utilizando OTAs como se indica en la figura.

El análisis de este circuito proporciona:

Por tanto, la impedancia de entrada corresponde a la de un inductor controlable variando gm:

Fig.4.36a Schauman

VCgm1sC----------V1= I1 gm2VC

gm1gm2sC----------------------V1= =

ZinV1I1------- s C

gm1gm2----------------------= =



La simulación de inductores flotantes es muy fácil con la conocida estructura de dos giradores.Sin embargo, podemos ahorrar el uso de un OTA sin más que tener en cuenta que solo necesita-mos un circuito que proporcione I2=I1 en el segundo terminal. Esto se realiza con el circuito:

El análisis de este circuito es:

Si los OTAs están apareados gm2=gm3=gm se simula un inductor de valor:

Fig.4.36b Schauman

VCgm1sC---------- V1 V2–( )=

I1 gm2VCgm1gm2

sC---------------------- V1 V2–( )= = I2 gm3VCgm1gm3

sC---------------------- V1 V2–( )= =

L Cgmgm1-------------------=



EjercicioEstudiar el uso del circuito de la figura como método de compensación pasiva del integradorMiller para minimizar el error de fase y aumentar por tanto su factor de calidad. Estudiar losproblemas asociados a dicha compensación pasiva.

Calculamos la función de transferencia. Analizamos el circuito utilizando un modelo de un polo

para el amplificador operacional y calculando la tensión en el nudo x mediante el prin-

cipio de superposición y el divisor de tensiones:

V2V1

Rc CR1

x

A s( ) GBs---------=



Agrupando términos:

La función de transferencia:

Dividiendo numerador y denominador por :

V2GBs---------

Rc1

sC-------+

R1 Rc1

sC-------+ +-----------------------------------V1

R1

R1 Rc1

sC-------+ +-----------------------------------V2+–=

V2 1

GBs---------R

1

R1 Rc1

sC-------+ +-----------------------------------+ GB

s---------Rc

1sC-------+

R1 Rc1

sC-------+ +-----------------------------------V1–=

V2 sC R1 Rc+( ) 1 GBR1C+ +[ ] GBs--------- 1 sR+ cC[ ]V1–=

V2V1-------

GBRcCs--------------------- s 1

RcC-----------+

sC R1 Rc+( ) 1 GBR1C+ +-----------------------------------------------------------------------–=

GBRc R1 Rc+( )C2



Sería un integrador ideal si se cancelara el cero en el semiplano de la izquierda con el polo:

La solución de esta ecuación es:

El esquema pasivo de la figura proporciona una compensación de primer orden pero tiene difi-cultades prácticas porque se está tratanto de fijar una correspondencia entre elementos muy dis-tintos eléctricamente: la resistencia, un elemento pasivo, debe guardar una cierta relación con unparámetro activo, el GB, que suele presentar variabilidades muy grandes. Por lo tanto, la resisten-cia de compensación debería tener un valor distinto para cada amplificador. Es más, la compensa-ción desaparece si GB varía debido a un cambio en las condiciones de operación.

V2V1------- 1

sC R1 Rc+( )---------------------------------

s 1RcC-----------+

1GBRcC--------------------- s 1

R1 Rc+( )C------------------------------GBR1

R1 Rc+--------------------+ +

----------------------------------------------------------------------------------------------–=

1RcC----------- 1

R1 Rc+( )C------------------------------GBR1

R1 Rc+--------------------+1 GBR1C+R1 Rc+( )C-------------------------------= =

Rc1

GBC-------------=



Si consideramos compensación perfecta la magnitud y fase:



El error de fase es nulo en el rango de frecuencias de interés:



Pero como el apareamiento entre el producto RC y GB no es preciso que si tenemos una des-viación del producto RC de +20%, el error de fase (aparece como referencia comparativa el errorde fase en caso de apareamiento perfecto):



Si tenemos una desviación del producto RC de +50%, el error de fase (aparece como referenciacomparativa el error de fase en caso de apareamiento perfecto y desviación de +20%):



Si tenemos una desviación del producto RC de -50%, el error de fase (aparece como referenciacomparativa el error de fase en caso de apareamiento perfecto, desviación de +20% y desviaciónde +50%):

Aparece claro pues que puede aparecer tanto adelanto como retraso de fase según como seael desapareamiento del producto RC con el GB del operacional.



Es interesante comparar estos errores de fase con el integrador Miller en el rango de frecuen-cias de interés:

−10

4

integrador Miller

compensación R (RC+20%)compensación R (RC+50%)

compensación R (RC-50%) compensación R



EjercicioEstudiar el uso del circuito de la figura como método de compensación activa del integrador Miller

Las relaciones impuestas por los amplificadores operacionales son:

de donde:

V1 V2

R

C

A1

A2

Va

Vb

V2 A1Va–=

Vb A2 V2 Vb–( )=

VaV2A1-------–=

VbA2V21 A2+----------------=



Aplicando análisis nodal en el nudo a:

Separando términos:

de donde la función de transferencia del integrador:

Consideraremos un modelo de un polo para el amplificador operacional y hacemos:

1R---- V1

V2A1-------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

sCV2A1-------–

A2V21 A2+----------------–

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

=

V1 V21

A1------- sRC

A1------------

sRCA21 A2+

-------------------+ +⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

–=

H s( )V2V1------- 1

1 sRC+A1

---------------------- sRC 1

1 1A2-------+

-----------------+----------------------------------------------------------–= =

A s( ) GBs---------=

s jω=

V1 V2

R

C

A1

A2

Va

Vb



El factor de calidad es pues:

H jω( ) 1jω 1 jωRC+( )

GB1----------------------------------- jωRC 1

1 jωGB2------------+

----------------------+-------------------------------------------------------------------------------- 1

jω 1 jωRC+( )GB1

----------------------------------- jωRC1 jω

GB2------------–

1 ω2

GB22---------------+

-------------------------+

-----------------------------------------------------------------------------------= = =

1 ω2

GB22---------------+

jωRC j ωGB1------------ 1 ω2

GB22---------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞ ω2RC

GB2---------------- ω2RC

GB1---------------- 1 ω2

GB22---------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

–+ +

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=

QIIm ω( )Re ω( )-----------------

GB2ω

------------

1 1GB1RC--------------------- ω2

GB22GB1RC

-------------------------------------+ +

1GB2GB1------------– ω2

GB1GB2------------------------–

---------------------------------------------------------------------------≅=



Si suponemos que y :

Si consideramos que los dos amplificadores operacionales son idénticos:

que significa una mejora significativa respecto al integrador Miller. Si consideramos por ejemplo unarealización con dos amplificadores operacionales con un producto ganancia-ancho de banda de1 MHz y una frecuencia de operación de 10KHz entonces el factor de calidad del integrador es:

(6.1)

mientras que un integrador Miller usando el mismo amplificador operacional tendría .

GB1RC 1» ωGB2------------ 1«

QIGB2ω

------------ 1

1GB2GB1------------– ω2

GB1GB2------------------------–

----------------------------------------------------≅

QIGBω

---------⎝ ⎠⎛ ⎞3

–≅ A jω( ) 3–=

QI 102( )3

–≅ 106–=

QI 102–≅



Si el desapareamiento entre ambos amplificadores es suficientemente grande para poder des-

preciar el término tendremos:

Si consideramos el mismo ejemplo numérico anterior pero ahora consideramos que entre los pro-ducto ganancia-ancho de banda de los amplificadores operacionales existe un desapareamientodel 1% tendremos que el factor de calidad se ha deteriorado a:

A título ilustrativo consideremos el error de fase obtenido por simulación para el integrador concompensación activa considerando apareamiento perfecto entre ambos operacionales. Por compa-ración aparece también el error de fase del integrador Miller sin compensación:

ω2

GB1GB2------------------------

QIGB2ω

------------ 1

1GB2GB1------------–

---------------------≅A2 jω( )

1GB2GB1------------–

---------------------=

QI106

104--------- 11 0.99–---------------------≅ 104=





Si consideramos un desapareamiento de un 10% entre los productos ganancia - ancho de ban-da de los amplificadores operacionales, el error de fase:

integrador Miller

compensación activa

compensación activa (desapareamiento GB 10%)



EjercicioCalcular el factor de calidad del integrador no-inversor de la figura.

Consideramos que los amplificadores operacionales tienen impedancia de salida nula por loque la función de transferencia del integrador no-inversor de la figura puede obtenerse como el pro-ducto de la función de transferencia en tensión del integrador Miller y la de un amplificador inversorde ganancia unidad. Para el integrador Miller se ha obtenido la función de transferencia:

y para el amplificador inversor con resistencias iguales se particulariza a:


Vo1

V01V1--------- 1

sCR------------ 1

1 1A s( )------------ 1 1

sCR------------+⎝ ⎠⎛ ⎞+

--------------------------------------------------–=

V2V01--------- 1

1 2A s( )------------+

----------------------–=



La cascada tendrá como ganancia el producto de ambas y considerando un modelo de un polo

de los amplificadores operacionales (el mismo para ambos):

Sustituyendo s=jω para separar parte real e imaginaria y calcular el factor de calidad del integrador:

Suponiendo se tiene que

A s( ) GBs---------=

V2V1------- 1

sCR------------ 1

1 sGB--------- 1 1

sCR------------+⎝ ⎠⎛ ⎞+

----------------------------------------------- 1

1 2sGB---------+

-------------------=

V2V1------- 1

jωCR--------------- 1

1 jωGB--------- 1

GBCR------------------++-------------------------------------------- 1

1 2jωGB---------+

-------------------=

GBCR 1»

V2V1------- 1

jωCR--------------- 1

1 jωGB---------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 1 2jωGB---------+⎝ ⎠

⎛ ⎞-------------------------------------------------≅ 1

jωCR--------------- 1

1 2 ω2

GB2------------– j3 ωGB---------+

----------------------------------------------=



Por tanto el factor de calidad es:

Para las frecuencias de interés se puede aproximar:

QI

1 2 ω2

GB2------------–

3 ωGB---------

-------------------------–=

ω GB«

QI1

3 ωGB---------

------------–≅ 13---

GBω

---------– 13--- A jω( )–= =



EjercicioCalcular el factor de calidad del integrador no-inversor de la figura.

Consideramos que los amplificadores operacionales tienen impedancia de salida nula por loque la función de transferencia del integrador no-inversor de la figura puede obtenerse como el pro-ducto de las funciones de transferencia de los dos bloques en cascada. La nueva interconexión noafecta a la realización del producto puesto que está conectado a un amplificador de impedancia deentrada infinita por lo que no circula intensidad. Para el integrador Miller se ha obtenido la funciónde transferencia:

La ganancia del segundo bloque considerando ecuación del amplificador operacional, principiode superposición y divisor de tensiones:


(b)

V01V1--------- 1

sCR------------ 1

1 1A1 s( )--------------- 1 1

sCR------------+⎝ ⎠⎛ ⎞+

-----------------------------------------------------–=



Por tanto, para el integrador no-inversor se tiene la función de transferencia:

Si consideramos los amplificadores operacionales idénticos, la cascada modificada de integradorMiller e inversor tiene el mismo factor de calidad que el integrador Miller simple:

V2 A2Vo1A1

----------– 12---V2– 1

2---Vo1–=

V2 1A22-------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 12---A2 1 2

A1-------+⎝ ⎠

⎛ ⎞Vo1–=

V2Vo1----------

12---A2 1 2

A1-------+⎝ ⎠

⎛ ⎞

1A22-------+

---------------------------------–A2 1 2

A1-------+⎝ ⎠

⎛ ⎞

2 A2+-----------------------------–1 2

A1-------+⎝ ⎠

⎛ ⎞

1 2A2-------+⎝ ⎠

⎛ ⎞----------------------–= = =

V2V1------- 1

sCR------------ 1

1 1A1 s( )--------------- 1 1

sCR------------+⎝ ⎠⎛ ⎞+

-----------------------------------------------------1 2 A1 s( )⁄+1 2 A2 s( )⁄+--------------------------------=

QI A jω( )–=



Ejercicio Demostrar que el circuito de la figura (integrador de Deboo) es un integrador no inversor yobtener su factor de calidad.

El integrador de Deboo tiene la particularidad de ser un integrador no inversor con un único am-plificador operacional.

Calculamos en primer lugar la función de transferencia. Aplicamos ecuación constitutiva del am-plificador operacional, principio de superposición y divisor de tensiones:

VoVi

r

r

R

C R

Vo A s( )

R1 sRC+----------------------

R R1 sRC+----------------------+

---------------------------------Vi

R1 sRC+----------------------

R R1 sRC+----------------------+

---------------------------------Vo12---Vo–+=




Resultanto la función de transferencia en tensión:

Utilizamos el modelo de un polo para el amplificador operacional:

Hacemos :

Vo 1 A2----

A2 sRC+----------------------–+ A

2 sRC+----------------------Vi=

H s( )VoVi-------

A2 sRC+----------------------

1 A2----

A2 sRC+----------------------–+

------------------------------------------ 12 sRC+

A---------------------- sRC2------------+

-----------------------------------------= = =

H s( )VoVi------- 1

2sGB--------- s2RC

GB--------------- sRC2------------+ +

--------------------------------------------------= =

s jω=



por lo que el factor de calidad:

y despreciando frente a :

H jω( )VoVi------- 1

ω2RCGB----------------– jω RC

2--------- 2GB---------++

----------------------------------------------------------------= =

QI

RC2--------- 2

GB---------+

ωRCGB-------------

------------------------–=

2GB--------- RC

2---------

QI

RC2---------

ωRCGB-------------

-------------–≈ GB2ω---------– 1

2--- A jω( )–= =



EjercicioDemostrar que intercambiando los terminales de entrada del amplificador operacional de unintegrador inversor Miller y colocando un amplificador inversor de ganancia −1 en el lazo derealimentación como se muestra en la figura se obtiene un integrador no inversor con factor decalidad positivo (adelanto de fase o “phase-lead”).

Calculamos la función de transferencia del integrador utilizando ganancias genéricas de los am-plificadores operacionales. Aplicando la relación impuesta por el amplificador A1, principio de su-

perposición y divisor de tensiones:

Vo

R1

R1

Vi

R

C

A1

A2x



De la misma forma, para el amplificador A2:

de donde:

y sustituyendo:

Vo A1

1sC-------

R 1sC-------+

------------------ViR

R 1sC-------+

------------------Vx+=

Vx A– 212---Vo

12---Vx+=

Vx

A– 22----------

1A– 22----------+

--------------------Vo1

1 2A2-------+

-----------------Vo–= =

Vo

R1

R1

Vi

R

C

A1

A2x




Utilizamos un modelo de un polo de los amplificadores operacionales . La funciónde transferencia:

Vo A1

1sC-------

R 1sC-------+

------------------ViR

R 1sC-------+

------------------– 1

1 2A2-------+

-----------------Vo=

Vo 1 sRC1 sRC+----------------------

A1

1 2A2-------+

-----------------+A1

1 sRC+----------------------Vi=

Ai s( ) GBi s⁄=

H s( )VoVi-------

GB1s------------

1 sRC sRC

GB1s------------

1 2sGB2------------+

----------------------+ +

---------------------------------------------------------------= =



Haciendo :s jω=

H jω( )

GB1jω------------

1 jωRC RCGB1

1 2jωGB2------------+

----------------------+ +---------------------------------------------------------------= =

GB1

jω ω2RC–jωRCGB1 1 2jω

GB2------------–⎝ ⎠

⎛ ⎞

1 4ω2

GB22---------------+

-------------------------------------------------------+

------------------------------------------------------------------------------------------= =

GB1 1 4ω2

GB22---------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

ω2RC 1 4ω2

GB22---------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

2ω2RCGB1GB2------------+– jω 1 4ω2

GB22---------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

jωRCGB1+ +

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=



El factor de calidad:

Suponiendo y se tiene que

Si suponemos que los productos ganancia-ancho de banda de los amplificadores son iguales:

QI

ωRC ωGB1------------ 1 4ω2

GB22---------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

+

2ω2RCGB2

-------------------- ω2RCGB1

---------------- 1 4ω2

GB22---------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

–

-----------------------------------------------------------------------≅

GBCR 1» ωGB2------------ 1«

QIωRC

2ω2RCGB2

-------------------- ω2RCGB1

----------------–

----------------------------------------≅ 12ω

GB2------------ ω

GB1------------–

----------------------------=

GB1 GB2 GB= =

QIGBω

---------≅ A jω( )=



Resultados de simulación considerando un mdelo de un polo para los amplificadores operacio-nales proporciona la magnitud y fase:

En cuanto al error de fase y su comparación con el integrador Miller en el rango de frecuenciasde interés:





EjercicioEl GIC de tipo I de la figura simula la impedancia de un inductor conectado a tierra. Diseñardicho circuito para maximizar el factor de calidad del inductor y minimizar las desviaciones quese producen respecto al valor nominal del inductor cuando se consideran modelos no idealesde los amplificadores operacionales.

El análisis del circuito de la figura considerando una ganancia genérica A(s) para los amplifica-dores operacionales conduce a la siguiente expresión para la admitancia de entrada:

R3

R4 R5

R1

Yin s( )Y1Y3Y5

Y2Y4----------------------

1 1A2------- 1

Y4Y5-------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞ 1

A1-------

Y2Y3------- 1

Y4Y5-------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞ 1

A1A2-------------- 1

Y2Y3-------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

1Y4Y5-------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

+ + +

1 1A1------- 1

Y5Y4-------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞ 1

A2-------

Y3Y2------- 1

Y5Y4-------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞ 1

A1A2-------------- 1

Y3Y2-------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

1Y5Y4-------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

+ + +

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=



Utilizando el modelo de un polo para los amplificadores operacionales: y sustitu-

yendo los valores de las admitancias para el GIC de tipo I:

resulta que la admitancia del inductor simulado es:

donde hemos despreciado los términos de segundo orden porque ,

es el valor del inductor nominal y

A s( ) GBs---------=

Y1 G1= Y2 sC2= Y3 G3=

Y4 G4= Y5 G5=

YL1

sLo---------

1 sGB2------------ H

H 1–------------- s2

GB1------------

C2G3------- H

H 1–-------------+ +

1 sGB1------------H 1

GB2------------

G3C2-------H+ +

-----------------------------------------------------------------------------=

ω2 GB1GB2«

LoC2G4

G1G3G5-----------------------= H 1

G5G4-------+=



Haciendo s=jω:

Desarrollando en serie de Taylor y cortando en el término de primer orden se obtiene:

Operando y haciendo la misma aproximación anterior de eliminar los términos de segundo orden:

Al considerar un modelo de un polo para los amplificadores operacionales el inductor simuladotiene pérdidas y el inductor tiene un cierto error.

YL1

jωLo------------

1 HH 1–------------- jω

GB2------------

ω2C2GB1G3--------------------–

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

+

1 H jωGB1------------

G3GB2C2-------------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

+

--------------------------------------------------------------------≅

YL1

jωLo------------ 1 H

H 1–-------------–ω2C2

GB1G3-------------------- H

H 1–------------- jωGB2------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

1 H jωGB1------------– H

G3GB2C2-------------------–

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

≅

YL1

jωLo------------ 1 H

H 1–-------------–ω2C2

GB1G3-------------------- H

G3GB2C2-------------------–

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞ 1

Lo------ H

GB1------------ H

H 1–------------- 1GB2------------–⎝ ⎠

⎛ ⎞–≅ 1jωL--------- GL+=



La conductancia GL se puede anular haciendo:

Es decir, luego

Para minimizar el error del inductor hay que minimizar:

Si suponemos que GB1≅GB2 hay que minimizar:

o bien:

Esto se minimiza para:

por lo que:

HGB1------------ H

H 1–------------- 1GB2------------– 0= H 1–

GB1GB2------------ 1≅=

G5G4------- 1=

ω2C2GB1G3--------------------

G3GB2C2-------------------+

ω2C2G3

--------------G3C2-------+

ωC2G3

-----------G3

C2ω-----------+

ωC2G3

----------- 1= C21

ωR3-----------=



EjercicioEl GIC de tipo II de la figura simula la impedancia de un inductor conectado a tierra. Diseñardicho circuito para maximizar el factor de calidad del inductor y minimizar las desviaciones quese producen respecto al valor nominal del inductor cuando se consideran modelos no idealesde los amplificadores operacionales.

El análisis del circuito de la figura considerando una ganancia genérica A(s) para los amplifica-dores operacionales conduce a la siguiente expresión para la admitancia de entrada:

Fig.4.32 Schauman

R2

R1

R3

R5

Yin s( )Y1Y3Y5

Y2Y4----------------------

1 1A2------- 1

Y4Y5-------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞ 1

A1-------

Y2Y3------- 1

Y4Y5-------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞ 1

A1A2-------------- 1

Y2Y3-------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

1Y4Y5-------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

+ + +

1 1A1------- 1

Y5Y4-------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞ 1

A2-------

Y3Y2------- 1

Y5Y4-------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞ 1

A1A2-------------- 1

Y3Y2-------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

1Y5Y4-------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

+ + +

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=



Vamos a utilizar el modelo de un polo y sustituimos los valores de las admitancias:

El inductor realizado tenía como valor:

y la admitancia despreciando los factores de segundo orden:

Haciendo :

A s( ) GBs---------=

Y1 G1= Y2 G2= Y3 G3=

Y4 sC4= Y5 G5=

L0G2C4

G1G3G5-----------------------=

YL s( ) 1sL0---------

1 s 1GB2------------

G2G3GB1--------------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

s2C4G5------- 1

GB2------------

G2G3GB1--------------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

+ +

1G5C4------- 1

GB1------------

G3G2GB2--------------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

s 1GB1------------

G3G2GB2--------------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

+ +

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------≅

s jω=



Desarrollando en serie de Taylor y cortando en el término de primer orden:

YL jω( ) 1jωL0------------

1 jω 1GB2------------

G2G3GB1--------------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

ω2–C4G5------- 1

GB2------------

G2G3GB1--------------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

+

1G5C4------- 1

GB1------------

G3G2GB2--------------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

jω 1GB1------------

G3G2GB2--------------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

+ +

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------≅

YL jω( ) 1jωL0------------ 1 ω2–

C4G5------- 1

GB2------------

G2G3GB1--------------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

jω 1GB2------------

G2G3GB1--------------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

+ ⋅≅

1G5C4-------– 1

GB1------------

G3G2GB2--------------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

j– ω 1GB1------------

G3G2GB2--------------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

=

1jωL0------------ 1 ω2C4

G5------- 1

GB2------------

G2G3GB1--------------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

–G5C4------- 1

GB1------------

G3G2GB2--------------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

– –=

1L0------ 1

GB1------------

G3G2GB2-------------------- 1

GB2------------

G2G3GB1--------------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

–+–



Las pérdidas se anulan si hacemos . La desviación del valor del inductor se minimizacuando se hace mínimo

que es mínimo para

Obviamente esto es función de la frecuencia por lo que sólo se puede igualar para un valor concre-to, por lo que se escoge una frecuencia adecuada .

R2 R3=

ωC4G5

-----------G5ωC4-----------+

G5 ωC4=

ωc

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