UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de Fundamentos del Análisis Económico I

Microeconomía Superior I:Tema 2

Rafael Salas octubre de 2004

2. Las preferencias del consumidor1. Enfoque ordinal. Axiomas de la elección racional: supuestos

sobre las preferencias.

2. Las curvas de indiferencia. Propiedades. La función de utilidad. La construcción de las funciones de utilidad.

Dos enfoques de la utilidad1. Enfoque cardinal: marginalistas.

La utilidad es medible y comparable cardinalmente: la utilidad transmite información cuantitativa

Si U(x) = 2U(x'), x es preferido el doble que x'

2. Enfoque ordinal moderno: HicksLa utilidad es medible pero comparable ordinalemente: la utilidad sólo transmite información cualitativa.

Si U(x) > U(x') sólo quiere decir que x es preferido a x', pero no dice nada sobre cuánto más preferido

Es un enfoque más general (no tan restrictivo)

Ejemplos:

�La distancia �El peso�La temperatura

•cardinal •cardinal•ordinal

oF 50 100

oC 10 37,8

Es importante en nuestro caso, pues queremos un modelo donde la utilidad optimizada sea ordinal y el resultado de la elección no dependa de la escala de medida

Enfoque ordinalEstablecemos un orden de preferencias que nos clasifique de

mejor a peor las cestas de consumo (que no dependa de la escala de medida).

(1) Enfoque axiomático:

Partimos de unos axiomas y el orden de preferencias se establece mediante un mapa de curvas de indiferencia, Hicks 1939

(2) Enfoque de la preferencia revelada, Samuelson 1947

Sólo podemos tener en cuenta situaciones observadas para establecer el orden de preferencias

La La La La relaciónrelaciónrelaciónrelación ((((débildébildébildébil) de ) de ) de ) de preferenciaspreferenciaspreferenciaspreferencias

n La relación de preferencia débilbásica:

x ≽ x'

“ La cesta x es al menostan preferida como la cesta x'... ”

n …y la relación de preferenciaestricta…

x ≻ x'“ x ≽ x' ” y no “ x' ≽ x”

n Podemos derivar a partir de la

anterior la relación de indiferencia.

x ∽ x'

“ x ≽ x' ” y “ x' ≽ x”

Nótese queno es x ≥ x'Nótese queno es x ≥ x'

�Completitud

�Transitividad

�Continuidad

�Monotonicidad

�(Estricta) Cuasi-concavidad

�Diferenciabilidad

Axiomas (enfoque axiomático)

“ Para todo x,x' ∈ Rn+ , bien x ≽ x' , ó

x' ≽ x , ó los dos son verdad (en cuyo caso

son indiferentes). ”

...ó ambos (para todas las cestas)

bien...

ó...

CompletitudCompletitudCompletitudCompletitud

�La idea que transmite es que no se admite la “no comparabilidad”

�Gráficamente, no hay “huecos” en el orden de preferencias

Completitud

�Definimos tres conjuntos:

�PD(x) ={x' ∈ Rn+, si x' ≽ x} PREFERIDO DÉBILMENTE A x

�MPD(x) ={x' ∈ Rn+, si x ≽ x' } MENOS PREFERIDO DÉBILMENTE A x

�I(x) ={x' ∈ Rn+, si x ∽ x' } INDIFERENTE A x

�La completitud implica que dado un x , el resto de cestasde consumo pertenecen a PD(x), a MPD(x) o a I(x)

Completitud

�Completitud

�Transitividad

�Continuidad

�Monotonicidad

�(Estricta) Cuasi-concavidad

�Diferenciabilidad

Axiomas

“ Para todo x,x', x' ' ∈ Rn+, si x' ≽ x y

x' ' ≽ x' , entonces x' ' ≽ x. ”

TransitividadTransitividadTransitividadTransitividad

si

y ...

entonces

�La idea que transmite es una cierta consistenciaen las preferencias y evitar circularidadesperversas

�Junto con la completitud, son la base de la racionalidad del consumidor (se puede establecerun orden débil de preferencias)

Transitividad

�Una cesta de consumo x no puede pertenecer simultáneamente a dos conjuntos de indiferencia diferentes

�La demostración se basa en la transitividad de la relación de indiferencia (demostrar)

�Implicación: los distintos conjuntos de indiferencia son disjuntos(no se solapan). Su intersección es nula

Transitividad

�El conjunto de todas las cestas de consumo posibles se puedeparticionar en conjuntos de indiferencia disjuntos, con consistencia transitiva

�[Todas: se debe a la completitud (demostrar)]

�Esta es la base del orden de preferencias, que se crea a partir de esa partición exhaustiva y disjunta en conjuntos de indiferencia

�Ejemplos: 1. la altitud referida a las coordenadas geográficas(latitud y longitud) en un mapa topográfico ¿cumplen los axiomasde completitud y transitividad?¿se puede realizar una particiónexhaustiva y disjunta?

�2.El orden de preferencia lexicográfico ¿satisface dichosaxiomas?

Completitud y Transitividad

�Completitud

�Transitividad

�Continuidad

�Monotonicidad

�(Estricta) Cuasi-concavidad

�Diferenciabilidad

Axiomas

“ Para todo x ∈ Rn+, el conjunto

PD(x) ={x' ∈ Rn+, si x' ≽ x} y

MPD(x) ={x' ∈ Rn+, si x ≽ x' } son

cerrados ”

Nota aclaratoria sobre la conjuntos cerrados

Un conjunto cerrado es aquel que incluye su frontera.

Una implicación es que el conjunto intersección PD(x) y MPD(x), que llamamos elconjunto de indiferencia I(x) ={x' ∈ Rn

+, si x ∽∽∽∽ x' }, es cerrado también.

Normalmente, I(x) va a ser una curva “contínua”, en el sentido que no tiene“saltos” o discontinuidades” en ningún punto.

No obstante, esta noción de continuidad puede complicarse pues el conjunto deindiferencia puede que sea “grueso”. En este sentido se trataría de unacorrespondencia y no función de indiferencia propiamente dicha. En este caso la idea de continuidad se complica. Este caso, no obstante, seexcluirá más adelante con la monotonicidad.

ContinuidadContinuidadContinuidadContinuidad

� Dada una cesta de consumo A.

�El conjunto de indiferencia (en azul) es en este caso unacurva “contínua” (aunque podría ser “grueso” y el conceptode continuidad se complicaría)

x1

x2

�

A

La funciónde utilidad

�completitud

�transitividad

�continuidad

aaaaxiomasxiomasxiomasxiomas 1 a 3 son 1 a 3 son 1 a 3 son 1 a 3 son crucialescrucialescrucialescruciales ............

U(x) ≥ U(x')

La La La La funciónfunciónfunciónfunción de de de de utilidadutilidadutilidadutilidad representarepresentarepresentarepresenta el el el el ordenordenordenorden de de de de preferenciaspreferenciaspreferenciaspreferencias............DebreuDebreuDebreuDebreu 1959195919591959

x1

x2

A

B� C

ExistenciaExistenciaExistenciaExistencia de la de la de la de la funciónfunciónfunciónfunción de de de de utilidadutilidadutilidadutilidad…………

U(x)

100

150200

AxiomasAxiomasAxiomasAxiomas

�EJERCICIOS:

�(1) Define y y discute brevemente los axiomas en la teoría de la elección del consumidor: completitud, transitividad y continuidad.

�(2) Dadas la completitud y la transitividad, demostrad que dos curvas de indiferencia (con distintos niveles de satisfacción) no se puedencortar. ¿Y con el mismo nivel de satisfacción?

.

AxiomasAxiomasAxiomasAxiomas

�EJERCICIOS:

�(3) Representad el orden de preferenciaslexicográfico (a modo de diccionario) que se define: Dados x,y ∈

x ≽ y ≡≡≡≡

¿Podemos representarlo por una función de utilidad?

.

2+R

≥=>

2211

11

, yxyxóyx

�Son contínuas

�Representan órdenes de preferencias

� Por lo tanto, la escala no importa

� Asi, si transformamos la función de utilidadutilizando cualquier forma monotóna...el orden de preferencias no varía

Claves de Claves de Claves de Claves de laslaslaslas funcionesfuncionesfuncionesfunciones de de de de utilidadutilidadutilidadutilidad

IrrelevanciaIrrelevanciaIrrelevanciaIrrelevancia de la de la de la de la cardinalizacióncardinalizacióncardinalizacióncardinalización

� Dada cualquierfunción de utilidad...

� y, en general, éstas...

(φφφφes cualquier función creciente y a es cualquier número real)

� …y éstas también

� a+φ ( U(x1, x2,..., xn) )

� U(x1, x2,..., xn)

� √( U(x1, x2,..., xn) )� exp(U(x1, x2,..., xn) )

� Esta transformaciónrepresenta las mismaspreferencias...

� 5+log( U(x1, x2,..., xn) )

UUUUnnnnaaaa ffffuuuunnnncccciiiióóóónnnn ddddeeee uuuuttttiiiilllliiiiddddaaaaddddu

0

U(x1,x2)

x2

x1

Curva de indiferencia

OtraOtraOtraOtra funciónfunciónfunciónfunción de de de de utilidadutilidadutilidadutilidad quequequequerepresentarepresentarepresentarepresenta laslaslaslas mismasmismasmismasmismas preferenciaspreferenciaspreferenciaspreferencias

u

0

U*(x1,x2)

x2

x1

La mismacurva de

indiferencia

FuncionesFuncionesFuncionesFunciones de de de de utilidadutilidadutilidadutilidad

�EJERCICIOS:

�(4) Dada una función de utilidad U(x), cuáles son transformaciones monótonas V=2U-13, V=1/U2 , V=eU , V=U2 si U>0, y V=U2 si U<0?

�(5) Dada una función de utilidad U(x), la transformación V=a+bU(x), a<0 y b>0 representa las mismas preferencias?

�(6)¿Son iguales los órdenes de preferenciasdados por U= x1 x2 y V= Ln x1 + Ln x2? ¿Y losdados por U= 14x1 + 14x2 y V= √(x1 + x2)

.

�Completitud

�Transitividad

�Continuidad

�Monotonicidad

�(Estricta) Cuasi-concavidad

�Diferenciabilidad

Axiomas que dan forma a la función de utilidad

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Rafael Salas octubre de 2004