TEMA 13 Funciones Trigonometricas Directas e Inversas

INSTITUCION EDUCATIVA PUBLICA “NUESTRA SEÑORA DE FATIMA” 5to sec GUIA DIDACTICATEMA 13: FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DIRECTAS E INVERSAS

INTRODUCCIONFUNCION

DEFINICION.- Se dice que y es una función de x, si a cada valor de x, le corresponde un único valor de y. (es decir uno y único elemento del conjunto de partida debe corresponder uno o va-rios elementos de conjunto de llegada)

A AB Bf g

.1 .1

.2 .2

.3 .3.4 .4

.1 .1.2 .2.3 .3.4 .4

E n el d iagram a, es u n a fun ció n f E n el d iagram a, no es u n a fu nció n g(en 3 vem o s d o s p artid as)

Diagrama sagital de una función

A Bf

.1.2.3.4

.1.2.3.4

Diagrama cartesiana de una función

1

1 2 3 4 5

2

3

4

5

A

B

Notación de una funciónPor extensión:

Por comprensión:

Notación formal:

A Bf

f :A B

f A xB

S i: x A y B y= (x)f DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

Dada una función , el dominio de f, es el conjunto de valores que toma x en la función. El dominio de f se denota Df.

RANGO DE UNA FUNCIÓN

Dada una función , el rango es el con-junto de valores que toma y en la función.El rango f se denota por Rf.

Ejemplo:

A Bf

.1

.2

.3.4

.1.2.3.4

R fD f

Luego:

Propiedad Siendo F una función, se verifica lo siguiente :

Ejemplo :

¿Cuál o cuáles de las siguientes relaciones, , y

son funciones?

FUNCION APLICACIÓN.

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Sean una relación binaria se llama aplicación del conjunto A al conjunto B, si para todo

elemento de A existe un único elemento en B, esto es .Para una aplicación, todo el conjunto de partida es el dominio de la aplicación, sin embargo, el rango esta incluido en el conjunto de llegada.

fA B

.x .y

Regla de correspondencia:

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

1. Definición :Dada una función F de A en B, , si A y B son subconjuntos de los números reales R, se afirmará que F es una función real de variable real.

RBRA,BA:F

Debido a ello, F tendrá una representación gráfica en el plano cartesiano (x.y), la cual viene dada por un conjunto de puntos generados al establecer la relación de correspondencia entre la variable independiente "x" y su imagen la variable dependiente "y", es decir :

)}x(FyDx/R)y;x{(F F2

La igualdad mostrada: y = F(x) expresa la regla de correspondencia de la función real F.

GRAFICA DE UNA FUNCION1.1. Teorema

Toda recta vertical, trazada a la gráfica de una función, la corta sólo en un punto.

y

x

F

Fig. (1)F corresponde a la gráfica de una función.

y

x

H

Fig. (2)H no corresponde a la gráfica de una

función.

1.2. Criterios para determinar el dominio y el rango

I. Para el Dominio :Se despeja la variable "y", para luego analizar la existencia de su equivalente.

II. Para el Rango :Se despeja la variable "x", para luego analizar la existencia de su equivalente.

A veces, el rango se determina a partir del dominio.

Observación : Frecuentemente, para determinar dominios y rangos es necesario reconocer la existencia de las expresiones dadas dentro del conjunto de los números reales, así pues, tenemos :

*

*

Ejemplo :

Determinar el dominio y el rango de la función F, en cada uno:

a)

b)




GRAFICA DE FUNCIONES:Función creciente

x 1 2

1

2

f(x )

f(x )

x x

y

EJEMPLO:

( ) f x y 0 , 2 5 0 , 5

x 2 0 1

1

22

3 44 8 16

......

x

y

0, 5

2

1

1

( ) 2 xf x y

Función decreciente

x 1 2

1

2

f(x )

f(x )

x x

y

EJEMPLO:

( ) f x y 0 , 2 50 , 5

x 2 0 1

1

224

...

...

1 x

y

0, 5

2

1

4

( ) 0, 5 xf x y

Función impar

xx

f ( x )

f ( x )

x

y

O

Su gráfica es simétrica al origen “O” de coordenadas cartesianas, entonces:

EJEMPLO:

22

8

8

x

y

O

Función par

x

f( x)= f(x)

x x

y

Su gráfica es simétrica al eje “y”, entonces:

EJEMPLO:

x

y2( ) f x y x

2 2

4

Función periódica Función continua




Es aquella que repite completamente su gráfica cada cierto intervalo en su dominio, a este intervalo se le denomina período (T), además se cumple que:

x

y( ) cos f x y x

3,1416

2

3

2

2

2

2

T =

T =

2T =

0

1

1

Una función y = f(x) es continua en un punto x = a; tal que a Dom (f); si la función está definida en dicho punto y la gráfica no muestra saltos.

a x

y

Fu n ció n co n tinu a en x= a

f

a x

y Fu n ció n d isco n tinu a en x= af

BLOQUE I: Analizar los siguientes gráficos:

1. ¿Cuál de ellos corresponden a una función?a)

x

yb)

x

yc)

x

y

Analizar la función cuya gráfica se muestra:2.

x

y

D o m in io

R an go

C recien te

D ecrecien te

P ar

Im p ar

Perió d ica

C o ntin u a

D isco ntin ua

3.

x

y

1

12

f

D o m in io

R an go

C recien te

D ecrecien te

P ar

Im p ar

Perió d ica

C o ntin u a

D isco ntin ua

4.

x

y

2

0

1

1

D o m in io

R an go

C recien te

D ecrecien te

P ar

Im p ar

Perió d ica

C o ntin u a

D isco ntin ua

5. 6. 7.




3 x

y

f

2

4

D o m in io

R an go

C recien te

D ecrecien te

P ar

Im p ar

Perió d ica

C o ntin u a

D isco ntin ua

x

y

2

20

1

1

D o m in io

R an go

C recien te

D ecrecien te

P ar

Im p ar

Perió d ica

C o ntin u a

D isco ntin ua

x

y

2

3

2

20

1

1

D o m in io

R an go

C recien te

D ecrecien te

P ar

Im p ar

Perió d ica

C o ntin u a

D isco ntin ua

8.

x

y

5/21 3

D o m in io

R an go

C recien te

D ecrecien te

P ar

Im p ar

Perió d ica

C o ntin u a

D isco ntin ua

9.

x

y

5/21 3

3

f

D o m in io

R an go

C recien te

D ecrecien te

P ar

Im p ar

Perió d ica

C o ntin u a

D isco ntin ua

10. Grafique la funcion:

e identi-fique:

D o m in io

R an go

C recien te

D ecrecien te

P ar

Im p ar

Perió d ica

C o ntin u a

D isco ntin ua

FUNCIONES TRIGONOMETRICASDentro del análisis matemático, el concepto de función es materia de un largo estudio debido a su flexibilidad para representar vía modelos matemáticos una cierta realidad que se desea investigar, ya sea para prevenir u optimizar. En ese contexto las funciones trigonométricas, debido a sus características de periodicidad, juegan un rol importante en la representación de fenómenos periódicos, como las transmisiones radiales por ejemplo; por ello su estudio es imprescindible.

F.T. = {(x ;y ) IR / y = R .T. (x) ; x D (F.T.)}2

Por ejemplo :

Si queremos algunos pares ordenados :




Variación de funciones trigonométricas en los cuadrantes:

0000Tan

10011001C os

01100110S en

22

32

322

0

0

C sc

111S ec

0C o t

1

1

0 0

1

1 1

FUNCION SENO

F.T.(S en ) = {(x ;y ) IR / y = S en x ; x IR }2

Evaluando la función para algunos puntos, tenemos:

25

23

2 0 2

2

y= sen x

x

y

Graficando de acuerdo al cuadro de variaciones, tenemos :

2x

1x

2S enx

1S enx

25

23

2

1

02

2 3 x

y

1

C o rrespo nde a una circun ferencia

Gráfica que recibe el nombre de sinusoide; desde el cual podemos afirmar, en la tabla :D o m in io

R an go

C recien te

D ecrecien te

P ar

Im p ar

Perió d ica

C o ntin u a

D isco ntin uaE s in yectiva

C o n T =

FUNCION COSENO

F.T.(C o s) = {(x ;y) IR / y = C osx ; x IR }2





25

23

2 0 2

2

y= C o sx

x

y


2x

1x

2C o sx

1C o sx

25

23

2

1

02

2

3x

y

1


Gráfica que recibe el nombre de cosenoide; desde el cual podemos afirmar, en la tabla :D o m in io

R an go

C recien te

D ecrecien te

P ar

Im p ar

Perió d ica

C o ntin u a


C o n T =

FUNCION TANGENTE

F.T.(T g)= {(x ;y ) IR / y= T gx ; x IR (2 n+ 1) /2; n Z} 2

De acuerdo a la representación en la C.T. y el cuadro de variaciones; y con el detalle adicional que la tangente no se define para todo arco cuyo extremo coincide con B o B', (en la C.T.), es

decir, los arcos de la forma no pertenecen al dominio de la función, en estos se trazara una recta vertical llamada ASINTOTAS. La grafica se aproxima a dicha asíntota, pero no toca y la tangente tiende al infinito (±∞).

Tabulamos en la siguiente tabla:

25

23

2 0 2

2

y= T gx

x

y





25

23

2 0

2 x

y

Tan

Tan

3

A sín to tasC o rre sp o n d e

a u n a c ircu n feren c ia

2

TAnalizando el grafico en la siguiente tabla:

D o m in io

R an go

C recien te

D ecrecien te

P ar

Im p ar

Perió d ica

C o ntin u a


C o n T =

FUNCION COTANGENTE

F.T.(C tg)= {(x ;y) IR / y= C tgx ; x IR n ; n Z} 2

Como ejemplo evaluando la función para algunos puntos, tenemos:

25

23

2 0 2

2

y= C tgx

x

y

Graficando:Se observa que las ASINTOTAS a los puntos en la cotangente no existen.

23

2 0

2 x

y

C o t

C o t

2

A sín to tas


T

Analizando el grafico:




D o m in io

R an go

C recien te

D ecrecien te

P ar

Im p ar

Perió d ica

C o ntin u a


C o n T =

FUNCION SECANTE

F.T.(S ec)= {(x ;y) IR / y= S ecx ; x IR (2n+ 1 ) /2; n Z} 2


25

23

2 0 2

2

y= S ecx

x

y

Graficando:

230

2 x

y

2

A sín to ta

2

1

1

25 3

C o rrespo nde a una circun ferenciaT

Analizando el grafico:D o m in io

R an go

C recien te

D ecrecien te

P ar

Im p ar

Perió d ica

C o ntin u a


C o n T =




FUNCION COSECANTE

F.T.(C sc)= {(x ;y) IR / y= C scx ; x IR n ; n Z} 2


25

23

2 0 2

2

y= C scx

x

y

Graficando:

23

02 x

y

2

A sín to ta

2

1

1

25

TEvaluando el grafico:

D o m in io

R an go

C recien te

D ecrecien te

P ar

Im p ar

Perió d ica

C o ntin u a


C o n T =

RECOMENDACIONES PARA HALLAR DOMINIO:Para hallar el conjunto dominio: (análisis de existencia de la solución)

*

* BLOQUE II: Halle el dominio de la función dada:11. Calcule el dominio de la

función definida por:

12. Calcule el dominio de la


13. Calcule el dominio de la función

definida por:


función

definida por:


















en

el intervalo



en el intervalo

RECOMENDACIONES PARA GRAFICAR UNA FUNCION TRIGONOMETRICA:

Para graficar una función de la forma:

CRITERIO DE PERIODICIDAD:

De la función:

Transformamos:

D esp lazam ien tovertica l

S i ; h acia arriba (+ y)S i ; h acia abajo (-y)

E l valo r de D no a lteran i la am p litu d n i el

p erio d o

A M P L IT U D :| A | D esp lazam ien toh o rizo n tal

CS i 0; hacia la derecha (+ x)

B

CS i 0; hacia la izqu ierd a ( x)

B

2oT T

B B

C o no cido co m o Á N G U L OFA S E en fun cio n es trigo n o m étrico s.E l án gu lo fase n o a ltera n i la am plitud n i el perio d o

S i ; estira vertical-m en te el gráfico.S i ; co m p rim e vertica lm en te el gráfico.S i ; refleja resp ecto a l eje X .

0< A < 1

A < 0

S i ; co m p rim e h o ri-zo n ta lm en te el gráfico.S i ; estira h o ri-zo n ta lm en te el gráfico.S i ; refleja resp ecto a l eje Y .

0< B < 1

B < 0

E l perio do T no a ltera

L a am p litu d | A | n o a ltera

P E R IO D O T

n +CF (x)= y R .T B (x+ ) ; A y B 0, n Z

BA D




y

y

y

m ax

m inD

| A |

| A |CB

2oT T

B B

m ax m in

2

y yA

m ax min

2y y

D

4T

4T

4T

4T

RECUERDE:

2x

1x

2S enx

1S enx

25

23

2

1

02

2 3 x

y

1

Donde:

2x

1x

2C o sx

1C o sx

25

23

2

1

02

2

3x

y

1

Donde:

25

23

2 0

2 2 x

y

Tan

Tan

3

A sín to tas

23

2 0

2 x

y

C o t

C o t

2

A sín to tas

2

302 x

y

2

A sín to ta

2

1

1

25 3

23

02 x

y

2

A sín to ta

2

1

1

25

Ejemplo:Grafique la funciones dadas:

y




Resolución:

Ubicando puntos para el mapeo:

Graficando:y

x

ym ax

ym in

D = 4

21, 256

5T

21, 25 6

5T

0, 6284T

10,1

10

1

10

4T

4T

4T

4T

7

1

4

Resolución:

Ubicando puntos para el mapeo:

Graficando:

BLOQUE III: grafique las siguientes funciones1:

1 En estas funciones, use calculadora o software de funciones para graficar y ubique los puntos. Use términos en ingles: sine sin(x);cosine cos(x);tangent tan(x);cotengent cot(x);secant sec(x) y cosecant csc(x) Visite: http://guiadidacticadematematicas.blogspot.com/ 13






BLOQUE IV: 23. Halle la suma del máxi-

mo y mínimo valor de la función: f(x) = 3+Senx

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

24. Indique el mínimo valor que asume la

función:

g(x) = 4-Cos2x

a) 1 b) 3 c) 5d) 6 e) 7

25. Determine el dominio de la función:

a) b) R

c) R - {0} d)

e) 26. Determine el dominio

de la función: 27. Graficar la función:

y = F(x) = 2Senx; 28. Graficar: y=f(x) = |Senx|;




a) R b) R - {0} c) R - {1}

d) e) R - {2}

y

x

-1

1

/223 /2

y

x

-1

1

2

a

y

x

-2

2

2

y

x

-2

2

2

y

x2

1

0

y

x

-1

1

2

y

x

1

20

y

x2

y

x

-1

1

2

0

e) N.A.

29. Dadas las funciones f y g definidas por: f(x)=2Cosx y g(x) = 1+Cosx.

Hallar un intervalo donde f(x) < g(x)

a) <0; > b) <0;>

c) <;2> d) < ; > e) <0;2>

30. Determine el rango de la

función: H(x)=3+3Cos2x

a) [2,5] b) [2,4] c) [3,6]d) R e) [0,3]

31. Determine el rango de la

función: F(x)=4-2Sen2x

a) [1,2] b) [2,4] c) [3,7]d) [-1,1] e) R

32. Determine el rango de:

g(x)=8Sen2x-1

a) [-2,5] b) [-1,7] c) [2,4]d) [-3,3] e) R

33. Determine el periodo de: y=f(x)=4Cos3x+7

a) 2 b) c) 3

d) e)

34. ¿Cuál es el dominio de la función: f definida por: ?

a) R b) R-{1} c) [-1;1]d) R-{0} e) [0;+ >

35. ¿Cuál es el dominio de la función g definida por: ?

a) R b) R+{0} c) [-1;1]d) R-{1} e) <0;+ >

36. Determine el rango de la función f definida por: .

a) b)

c) d) e)

37. Si f es una función definida por:

Determine el valor de:

a) 14 b) 15 c) 16d) 17 e) 18

38. Graficar: y = |Sen4x|Indicar su periodo.

a) b) c) d) e) 2

39. Determine la extensión de la función:

a) [-2;2] b) [-1;1] c) [1;2]d) [-1;5] e) R

40. Si: . Deter-mine el rango de F.

a) <- ;-1] b) <-1;1> c) [0;1>

d) <1;+ > e) R-{0}

41. Si: . Determine el rango de g.

a) b)

c) d) [-1;1]

e)

42. Hallar el rango de la fun-ción f definida por:

a) b)

c) R d) e)

43. Señale Verdadero (V) o Fal-so (F) según corresponda en :

I. La función : y = f(x) = Senx,

posee un máximo en II. La función y = f(x) = Senx,

es inyectiva en III. La función : y = f(x) =




Senx, es impar.

a) VVV b) VVF c) FVV d) VFV e) VFF

FUNCIONES TRIGONOMETRCAS INVERSASNOCIONES:FUNCION INYECTIVAS O UNIVALENTESFUNCION INVERSAFUNCIONES TRIGONOMETRICA INVERSA

BLOQUE III: Analizar y graficar funciones trigonométricas inversas:



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