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Muy interesante y de gran ayuda para los estudiantes
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FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS Son necesarias para calcular los ángulos de un triangulo a partir de la medición de sus lados ,aparecen con frecuencia en las soluciones de ecuaciones diferenciales Sin embargo ninguna de las 6 funciones trigonomètricas básicas tiene inversa debido a que son funciones periódicas y por lo tanto no son inyectivas pero restringiendo los dominios se puede hallar la inversa
RECORDAR LA FUNCION SENO
La funcion y=sen x no es uno a uno en su dominio natural porque al trazar
cualquier recta horizontal corta la grafica en mas de un punto El codominio es [-1, 1],su grafica es
LA FUNCION SENO CONDOMINIO RESTRINGIDO
F(X)=sen x en el intervalo ]2
,2
[ ππ− es creciente y por lo tanto inyectiva es
decir existe la inversa su dominio ]2
,2
[ ππ− y el recorrido es [-1, 1] su grafica
es de azul
FUNCION ARCOSENO INVERSA DE LA FUNCION SENO
Si y=senx entonces la inversa se nota y=arcsen x o tambien se nota
xseny 1−=
xseny 1−= 22ππ ≤≤−=⇔ ysenyx
La notacion de inversa xseny 1−= No se debe confundir con senx1
La funcion inversa de y=senx restringido es :
xseny 1−= dominio es [-1, 1] y el recorrido es ]2
,2
[ ππ− esta grafica
es creciente , es una funcion impar porque )()( 11 xsenxsen −− −=− La grafica es:
Las 2 graficas se reflejan sobre la recta y=x
EVALUACION DE LA INVERSA DEL SENO
Evalue )23(1−= seny
Se busca el ángulo θ en el intervalo ]2
,2
[ ππ−para el cual )
23(=θsen por
lo tanto )23()
3( =πsen y ]
2,
2[
3πππ −∈ por lo tanto
3)
23(1 π=−sen
La compuesta entre xseny 1−= y y=sen x es la identidad
xxsensen =− ))(( 1
xxsensen =− ))((1 El Arco seno de x es un ángulo cuyo seno es x
Valores comunes de xseny 1−=
621
422
323
621
422
323
)(1
π
π
π
π
π
π
−−
−−
−−
− xsenx
32)3(1 π=−sen
42)2(1 π−=−−sen
--------------------------------------------------------------
LA FUNCION COSENO
La funcion y=cos x no es uno a uno en su dominio natural porque al trazar
cualquier recta horizontal corta la grafica en mas de un punto El codominio es [-1, 1],su grafica es
LA FUNCION COSENO CON DOMINIO RESTRINGIDO
F(X)=cos x en el intervalo ],0[ π es decreciente y por lo tanto inyectiva es decir existe la inversa , su dominio ],0[ π y el recorrido es [-1, 1] su grafica es la azul
FUNCION ARCOCOSENO INVERSA DE LA FUNCION COSENO
y=cosx entonces la inversa se nota y=arccos x o tambien se nota
xy 1cos−=
xy 1cos−= π≤≤=⇔ yyx 0cos
La notacion de inversa xy 1cos−= No se debe confundir con xcos1
La funcion inversa de y=cosx restringido es :
xy 1cos−= dominio es [-1, 1] y el recorrido es ],0[ π esta grafica
También es decreciente , es una funcion par )(cos)(cos 11 xx −− =−
La grafica es:
Las 2 graficas se reflejan sobre la recta y=x
EVALUACION DE LA INVERSA DEL COSENO
Evalue )23(cos 1−=y
Se busca el ángulo θ en el intervalo ],0[ π para el cual )23(cos =θ por lo
tanto )23()
6cos( =π
y ]π,0[6π ∈ por lo tanto
6)
23(cos 1 π=−
La compuesta entre xy 1cos−= y y=cosx es la identidad
xx =− ))(cos(cos 1 xx =− ))(cos(cos 1
Valores comunes de xy 1cos−=
32
21
43
22
65
23
321
422
623
)(cos 1
π
π
π
π
π
π
−
−
−
− xx
62)3(cos 1 π=−
423)2(cos1 π=−−
El Arco coseno de x es un ángulo cuyo coseno es x IDENTIDADES RELACIONADAS CON EL ARCO SENO Y ARCO COSENO
+x1cos−2
1 π=− xsen
Si xsenA 1−= y xB 1cos−=
entonces 2
cos 11 π=+ −− xxsen
x1cos− + π=−− )(cos 1 x
Porque la suma de los 2 angulos es igual a 180 grados
x1cos− + π=−− )(cos 1 x ----------------------------------------------------------------------------------
LA FUNCION TANGENTE
La funcion y=tan x no es uno a uno en su dominio
El codominio es el conjunto de los numeros reales su grafica es
LA FUNCION TANGENTE CON DOMINIO RESTRINGIDO F(X)=tanx en el intervalo es creciente y por lo tanto inyectiva es decir existe la
inversa su dominio )2
,2
( ππ− y el recorrido es los reales su grafica es de azul
FUNCION ARCOTANGENTE INVERSA DE LA FUNCION TANGENTE
y=tanx entonces la inversa se nota y=arctan x o tambien se nota
xy 1tan−=
xy 1tan−= 22
tan ππ <<−=⇔ yyx
No se debe confundir xy 1tan−= con xtan1
La funcion inversa de y=tanx restringido es :
xy 1tan−= dominio es ),( −∞∞ y el recorrido es )2
,2
( ππ− esta funcion
También es creciente ,
La grafica es:
Las 2 graficas se reflejan sobre la recta y=x
EVALUACION DE LA INVERSA DEL TANGENTE
Evalue )33(tan 1−=y
Se busca el ángulo θ en el intervalo ),( −∞∞ para el cual )33(tan =θ por
lo tanto )33)
6tan( =π ( y ∈
6π
)2
,2
( ππ−por lo tanto
6)
33(tan 1 π=−
La compuesta entre xy 1tan−= y y=tanx es la identidad
xx =− ))(tan(tan 1
xx =− ))(tan(tan 1 El Arco tangente de x es un ángulo cuyo tangente es x Valores comunes de xy 1tan−=
33
41
633
41
33
633
)(tan 1
π
π
π
π
π
π
−−
−−
−−
− xx
--------------------------------------------------------------------------------------
LA FUNCION COTANGENTE
La funcion y=cotan x no es uno a uno en su dominio natural y
El codominio es el conjunto de los numeros reales su grafica es
LA FUNCION COTANGENTE CONDOMINIO RESTRINGIDO
F(X)=cotanx en el intervalo es creciente y por lo tanto inyectiva es decir existe
la inversa su dominio )2
,2
( ππ− y el recorrido es los reales su grafica es de
azul
FUNCION ARCOCOTANGENTE
INVERSA DE LA FUNCION COTANGENTE
y=cotanx entonces la inversa se nota y=arcctan x o tambien se nota
xy 1cot−=
xy 1cot−= π<<=⇔ yyx 0cot
No se debe confundir xy 1cot−= con xcot1
La funcion inversa de y=cotanx restringido es :
xy 1cot−= dominio es ),( −∞∞ y el recorrido es ),0( π esta funcion También es decreciente , La grafica es:
Las 2 graficas se reflejan sobre la recta y=x EVALUACION DE LA INVERSA DE COTANGENTE
Evalue 4
)1(cot 1 π== −y
Se busca el ángulo θ en el intervalo ),0( π para el cual )1(cot =θ por lo
tanto 1)4
cot( =π y ∈
4π
),0( π por lo tanto
4)1(cot 1 π=−
La compuesta entre xy 1cot−= y y=cotanx es la identidad
xx =− ))(cot(cot 1
xx =− ))(cot(cot 1 El Arco cotangente de x es un ángulo cuyo cotangente es x
LA FUNCION SECANTE
La funcion y=sec x no es uno a uno en su dominio natural
El codominio es los reales excepto [-1, 1] su grafica es
LA FUNCION SECANTE CON DOMINIO RESTRINGIDO
F(X)=sec x en el intervalo )2
,0[ π es creciente y en )
23,[ ππ es decreciente
por lo tanto es inyectiva es decir existe la inversa ,en el
dominio )2
3,[)2
,0[ πππU y el recorrido es [- ),1[]1,( ∞−−∞ U , 1] su grafica es la
de color azul
FUNCION ARCOSECANTE INVERSA DE LA FUNCION SECANTE
y=secx entonces la inversa se nota y=arcsec x o tambien se nota
xy 1sec−=
xy 1sec−=
12
312
0sec=⇔ yx −≤<≤≥<≤ xsiyxsiy πππ
No se debe confundir xy 1sec−= con xsec1
La funcion inversa de y=secx restringido es :
xy 1sec−= dominio es [- ),1[]1,( ∞−−∞ U , 1] y el recorrido
)2
3,[)2
,0[ πππU y la grafica
La grafica es:
Las 2 graficas se reflejan sobre la recta y=x
EVALUACION DE LA INVERSA DE LA SECANTE
Evalue )32(sec 1 −= −y
Se busca el ángulo θ en el intervalo ],0[ π para el cual )32(sec −=θ por lo
tanto )32()
65 −=sec( π
por lo tanto
65)
32(cos 1 π=−−
La compuesta entre xy 1sec−= y y=secx es la identidad
xx =− ))(sec(sec 1
xx =− ))(sec(sec 1 El Arco secante de x es un ángulo cuya secante es x NOTA
Como x
xcos
1sec = se sigue que )1(cossec 11
yy −− =
Valores comunes de xy 1sec−=
322
65
32
632
432
42
)(sec 1
π
π
π
π
π
−
−
−
− xx
LA FUNCION COSECANTE
La funcion y=cosec x no es uno a uno en su dominio natural
El codominio es los reales excepto (-1, 1) su grafica es
LA FUNCION COSECANTE CON DOMINIO RESTRINGIDO
F(X)=csc x en el intervalo )2
,( ππ −− es decreciente y en ]2
,0( π es creciente
por lo tanto es inyectiva es decir existe la inversa ,en el
dominio ]2
,0(]2
,( πππ U−− y el recorrido es [- ),1[]1,( ∞−−∞ U , 1] su grafica es
la de color gris
LA FUNCION ARCOCOSECANTE
INVERSA DE LA FUNCION COSECANTE
y=cscx entonces la inversa se nota y=arccosec x o tambien se nota xy 1csc−=
xy 1csc−= 12
31csc −≤<≤≥=⇔ xsiyxsiyyx ππ
No se debe confundir xy 1csc−= con xcsc1
La funcion inversa de y=cosecx restringido es :
xy 1csc−= dominio es [- ),1[]1,( ∞−−∞ U , 1] y el recorrido
)2
,(]2
,0( πππ −−U y la grafica
: Las 2 graficas se reflejan sobre la recta y=x EVALUACION DE LA INVERSA DE LA COSECANTE
Evalue 6
)2(csc 1 π== −y
Se busca el ángulo θ en el intervalo ],0[ π para el cual )2(csc =θ por lo
tanto )32−()
65 =sec( π
por lo tanto
65)
32(cos 1 π=−−
La compuesta entre xy 1sec−= y y=secx es la identidad
xx =− ))(sec(sec 1
xx =− ))(sec(sec 1 El Arco cosecante de x es un ángulo cuya cosecante es x
Valores comunes de xy 1csc−=
322
65
32
632
652
62
)(csc 1
π
π
π
π
π
−
−
−−
− xx
DERIVADAS E INTEGRALES DE LAS TRIGONOMETRICCAS INVERSAS
DERIVADA DE LA FUNCION ARCO SENO
21
1
1'x
yentoncesxseny−
== −
Si la variable x se cambia por la funcion diferenciable se usa la regla de la cadena para derivar es decir
)(xu
dxdu
uyentoncesxuseny
21
1
1')(−
== −
EJEMPLO
dxxd
xyentoncesxseny )(
)(1
1')(2
2221
−== −
42221
12)2(
)(11')(
xxx
xyentoncesxseny
−=
−== −
INTEGRALES QUE PRODUCEN TRIGONOMETRICAS INVERSAS
A partir de las formulas de derivadas de las funciones trigonomètricas inversas se obtienen algunas formulas de integración de arco seno
∫ +=−
− Cxsendxx
121
1
∫ +=−
− Cusendxu
121
1
EJEMPLO
∫ +=−
− Cxsendxx
441
161
1 12 con xu 4=
DERIVADAS E INTEGRALES DE ARCO COSENO
DERIVADAS DE ARCO COSENO
21
1
1'cosx
yentoncesxy−
−== −
Si la variable x se cambia por la funcion diferenciable se usa la regla de la cadena para derivar es decir
)(xu
dxdu
uyentoncesxuy
21
1
1')(cos−
−== −
EJEMPLOS
dxxd
xyentoncesxy )4(
)4(11')4(cos
3
2331
−
−== −
26
3
2312
161
1)4(
)4(1
1' xxdx
xd
xy
−
−=−
=
3525
)35(1
1')35(cos2
1
++−
−=+= −
xx
xyentoncesxy
3525
)35(11'
3525
)35(1
1'2 +
−+−
==++−
−=xx
xxx
xy
INTEGRALES QUE PRODUCEN TRIGONOMETRICAS INVERSAS
A partir de las formulas de derivadas de las funciones trigonomètricas inversas se obtienen algunas formulas de integración de arcocoseno
∫ +=−
− − Cxdxx
12
cos1
1
∫ +=−
− − Cudxu
12
cos1
1
DERIVADAS E INTEGRALES DE ARCO TANGENTE
DERIVADAS DE ARCO TANGENTE
21
11'tanx
yentoncesxy+
== −
ncion diferenciable se usa la regla de la cadena para derivar es decir
Si la variable x se cambia por la fu )(xu
)(1
1')(tan2
1
dxdu
uyentoncesxuy
+== −
JEMPLO
E
)42(tan 31 xxy −= −
)46()42(1
1' 223
−−+
= xxx
y
INTEGRALES QUE PRODUCEN TRIGONOMETRICAS INVERSAS
ètricas inversas se obtienen algunas formulas de integración de arco tangente
A partir de las formulas de derivadas de las funciones trigonom
Cxdxx
+=∫+
−12
tan1
1
Cudxu
+=∫+
−12
tan1
1
Cxdxx
+=∫ +− 3tan
31
91 1
2 con xu 3=
1
Cxdxx
+∫ =+
− 5tan51
2511 1
2 con xu 5=
DERIVADAS E INTEGRALES DE ARCO COTANGENTE
DERIVADAS DE ARCO COTANGENTE
21
11'cotx
yentoncesxy+−== −
ncion diferenciable se usa la regla e la cadena para derivar es decir
Si la variable x se cambia por la fu )(xud
)(1
1')(cot2
1
dxdu
uyentoncesxuy
+−== −
EJEMPLO
)6()26(1
1')26(cot2
1
++−=+= −
xyentoncesxy
INTEGRALES QUE PRODUCEN TRIGONOMETRICAS INVERSAS
Cxdxx
+=∫+− −1
2cot
11
DERIVADAS E INTEGRALES DE ARCO SECANTE DERIVADAS DE ARCO SECANTE
1
1'sec2
1
−== −
xxyentoncesxy
)(1)()(
1')(sec2
1
dxdu
xuxuyentoncesxuy
−== −
