15
TEMA 1.- FRACCIONES Y DECIMALES 1.1.- NÚMEROS RACIONALES NÚMEROS NATURALES.- Los números naturales son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, …….. Hay infinitos números naturales. El conjunto de los números naturales se denota por N . NÚMEROS ENTEROS.- Los números enteros son los números naturales y sus opuestos (los números enteros negativos): ……., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,………. Hay infinitos números enteros. El conjunto de los números enteros se denota por Z . OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS: Para operar correctamente con números enteros, es fundamental respetar la jerarquía de las operaciones que es: - Paréntesis. - Corchetes. - Llaves. - Potencias. - Multiplicaciones y divisiones. - Sumas y restas. FRACCIONES Y N ÚMEROS FRACCIONARIOS.- Una fracción es el cociente indicado de dos números enteros. Dicho cociente puede ser un número entero (si la división es exacta) o un número fraccionario si la división es inexacta. Una fracción se representa por el cociente indicado b a , donde a y b son números enteros y se llaman, respectivamente, el numerador y el denominador de la fracción. Dicho cociente puede ser entero (si el numerador es múltiplo del denominador: 2 1 2 3 6 ) o fraccionario (si el numerador no es múltiplo del denominador 2 5 ). Los números enteros sirven para contar elementos, pero no son tan buenos para expresar medidas. Las medidas se suelen expresar mediante números fraccionarios. A la unión de todos los números enteros y de todos los números fraccionarios se le llama el conjunto de los números racionales y se designa por Q . Los números racionales son los que se pueden poner en forma de fracción. REPRESENTACIÓN EN LA RECTA: Los números fraccionarios se pueden representar en la recta junto con los números enteros. Los números racionales (enteros y fraccionarios) se aglomeran en la recta de tal forma que, entre cada dos de ellos, hay infinitos números racionales.

TEMA 1.- FRACCIONES Y DECIMALES

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Page 1: TEMA 1.- FRACCIONES Y DECIMALES

TEMA 1.- FRACCIONES Y DECIMALES

1.1.- NÚMEROS RACIONALES

NÚMEROS NATURALES.-

Los números naturales son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ……..

Hay infinitos números naturales.

El conjunto de los números naturales se denota por N .

NÚMEROS ENTEROS.-

Los números enteros son los números naturales y sus opuestos (los números enteros negativos):

……., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,……….

Hay infinitos números enteros.

El conjunto de los números enteros se denota por Z .

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS: Para operar correctamente con números enteros, es fundamental respetar la jerarquía de las

operaciones que es:

- Paréntesis.

- Corchetes.

- Llaves.

- Potencias.

- Multiplicaciones y divisiones.

- Sumas y restas.

FRACCIONES Y N ÚMEROS FRACCIONARIOS.-

Una fracción es el cociente indicado de dos números enteros. Dicho cociente puede ser un número

entero (si la división es exacta) o un número fraccionario si la división es inexacta.

Una fracción se representa por el cociente indicado b

a, donde a y b son números enteros y se llaman,

respectivamente, el numerador y el denominador de la fracción.

Dicho cociente puede ser entero (si el numerador es múltiplo del denominador: 21

2

3

6 ) o

fraccionario (si el numerador no es múltiplo del denominador 2

5).

Los números enteros sirven para contar elementos, pero no son tan buenos para expresar medidas.

Las medidas se suelen expresar mediante números fraccionarios.

A la unión de todos los números enteros y de todos los números fraccionarios se le llama el conjunto de

los números racionales y se designa por Q .

Los números racionales son los que se pueden poner en forma de fracción.

REPRESENTACIÓN EN LA RECTA: Los números fraccionarios se pueden representar en la recta junto con los números enteros.

Los números racionales (enteros y fraccionarios) se aglomeran en la recta de tal forma que, entre cada

dos de ellos, hay infinitos números racionales.

Page 2: TEMA 1.- FRACCIONES Y DECIMALES

FRACCIONES EQUIVALENTES: Cada número racional puede expresarse mediante infinitas fracciones, por lo tanto vamos a obtener

un criterio para saber cuándo dos fracciones representan el mismo número racional.

Se dice que dos fracciones son equivalentes cuando, al simplificarlas, dan lugar a la misma fracción

irreducible. Esta fracción irreducible es la que tomaremos como expresión habitual del número

racional que representan ambas fracciones.

Dos fracciones b

a y

d

c son equivalentes y lo escribiremos

d

c

b

a cuando el producto de los extremos (

a y d son los extremos) es igual al producto de los medios ( b y c son los medios), es decir, cuando se

verifica que: cbda .

EJEMPLO:

Las fracciones 3

2 y

6

4 son equivalentes ya que: 4362

OBTENCIÓN DE FRACCIONES EQUIVALENTES: Dada una fracción si se multiplican o dividen el numerador y el denominador de una fracción por un

mismo número se obtiene una fracción equivalente a la dada.

EJEMPLO:

Dada la fracción 15

12 , si multiplicamos su numerador y su denominador por 2 obtenemos la fracción

30

24 que es equivalente a la dada.

Dada la fracción , si dividimos su numerador y su denominador por 3 obtenemos la fracción 5

4

que es equivalente a la dada.

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES.-

Si el numerador y el denominador de una fracción se pueden dividir por un mismo número, al hacerlo

diremos que hemos simplificado o reducido la fracción.

Cuando una fracción no se puede reducir (simplificar) más (el numerador y el denominador son

números primos entre sí) y el denominador es positivo, diremos que la fracción es irreducible.

Simplificar una fracción es encontrar una fracción equivalente a la dada pero que tenga

números menores en el numerador y en el denominador, lo cual se consigue dividiendo el numerador y

el denominador por un mismo número.

La simplificación termina cuando llegamos a una fracción en la que el numerador y el

denominador son números primos entre sí, y se llama fracción irreducible.

EJEMPLO:

Expresa como fracción irreducible la fracción 630

1050.

Solución: Si simplificamos numerador y denominador sucesivamente por 2, 3, 5 y 7 se obtiene que:

3

5

21

35

105

175

315

525

630

1050 ; por lo tanto la fracción irreducible es

3

5.

15

12

Page 3: TEMA 1.- FRACCIONES Y DECIMALES

EJEMPLO:

Dada la fracción 45

30 podemos simplificarla dividiendo numerador y denominador entre 3, con lo que

obtenemos la fracción 15

10; que a su vez podemos simplificarla dividiendo numerador y denominador

entre 5, con lo que obtenemos la fracción 3

2 que es una fracción irreducible porque 2 y 3 son números

primos entre sí.

OBTENCIÓN DE LA FRACCIÓN IRREDUCIBLE: Para obtener la fracción irreducible podemos proceder de dos formas:

a) Dividiendo el numerador y el denominador por divisores comunes:

EJEMPLO:

Para hallar la fracción irreducible equivalente a la fracción 90

72 dividimos numerador y

denominador entre 2 obteniendo 45

36, esta nueva fracción dividimos su numerador y su denominador

entre 3 obteniendo , esta nueva fracción dividimos su numerador y su denominador entre 3

obteniendo 5

4 que ya es una fracción irreducible ya que 4 y 5 son números primos entre sí.

b) Dividiendo numerador y denominador por el máximo común divisor de ambos.

EJEMPLO:

Para hallar la fracción irreducible equivalente a la fracción dividimos numerador y el

denominador entre el máximo común divisor de 72 y 90 que es 9 con lo que obtenemos la fracción

que es irreducible ya que 4 y 5 son números primos entre sí.

REDUCCIÓN DE FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR: Reducir fracciones a común denominador es hallar otras fracciones, equivalentes a las

primeras, que tengan todas, los mismos denominadores.

Para reducir fracciones a común denominador seguiremos los siguientes pasos:

1º) Tomaremos como denominador común de todas las fracciones el mínimo común múltiplo de las

fracciones dadas.

2º) El nuevo numerador de cada una de las fracciones se obtiene multiplicando el numerador antiguo

por el cociente de dividir el mínimo común múltiplo por el denominador de la fracción

correspondiente.

EJEMPLO:

Para reducir a común denominador las fracciones 6

5 y

4

3 tomamos como denominador

común el mínimo común múltiplo de 4 y 6 (que son los denominadores de las fracciones dadas) que es

12, y procedemos de la siguiente forma:

12

10

26

25

6

52612

:

12

9

34

33

4

33412

: ; y las fracciones y

4

3 reducidas

a común denominador se con vierten en las fracciones 12

10 y

12

9.

15

12

90

72

5

4

6

5

Page 4: TEMA 1.- FRACCIONES Y DECIMALES

COMPARACIÓN DE FRACCIONES.-

Para comparar fracciones tendremos en cuenta dos casos:

a) Si las fracciones que tienen igual denominador, será menor la que tenga menor numerador y

será mayor la que tenga mayor numerador.

b) Si las fracciones tienen distinto denominador, las reducimos a denominador común (hallando el

mínimo común múltiplo de los denominadores, y escribiendo las fracciones equivalentes que tengan

todas como denominador el mínimo común múltiplo de los denominadores) y aplicamos el criterio del

apartado a).

EJEMPLO:

Comparar las fracciones 3

8,

3

7,

3

5 .

Solución: Como son fracciones que tienen el mismo denominador entonces será mayor la que tenga mayor

numerador y, en consecuencia, se tiene que 3

8

3

5

3

7

.

EJEMPLO:

Comparar las fracciones 32

11,

24

7,

16

5.

Solución: Como son fracciones que tienen distinto denominador las reducimos a denominador común hallando

el mínimo común múltiplo de los denominadores que es: 9632,24,16.. mcm y escribiendo las

fracciones equivalentes a las dadas que tengan como denominador 9632,24,16.. mcm , que son:

96

30

96

56

16

5616:96

;

96

28

96

74

24

7424:96

;

96

33

96

113

32

11332:96

Como ahora todas las fracciones tienen el mismo denominador será mayor la que tenga mayor

numerador y, en consecuencia, se tiene que 96

33

96

30

96

28 ; y por lo tanto se tiene que

32

11

16

5

24

7 .

EJEMPLO: Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones:

18

13

4

3

9

5

6

4

12

7;;;; .

Solución: Como son fracciones de distinto denominador las reducimos a común denominador calculando el

mínimo común múltiplo de los denominadores que es 361849612 ,,,,m.c.m y se tiene que:

36

21

12

7 ,

36

24

6

4 ,

36

20

9

5 ,

36

27

4

3 y

36

26

18

13 ; como

36

21,

36

24,

36

20,

36

27 y

36

26 son fracciones que

tienen igual denominador, sabemos que es mayor la que tiene mayor numerador, por lo tanto:

36

27

36

26

36

24

36

21

36

20

4

3

36

27

18

13

36

26

6

4

36

24

12

7

36

21

9

5

36

20

4

3

18

13

6

4

12

7

9

5 .

Page 5: TEMA 1.- FRACCIONES Y DECIMALES

1.2.- OPERACIONES CON FRACCIONES

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES.-

Para sumar (restar) fracciones vamos a tener en cuenta dos casos:

a) Para sumar (restar) fracciones del mismo denominador se deja el mismo denominador y se suman

(restan) los numeradores.

b) Para sumar (restar) fracciones del distinto denominador se reducen a denominador común

(hallando el mínimo común múltiplo de los denominadores y escribiendo las fracciones equivalentes

que tengan como denominador común el mínimo común múltiplo de los denominadores) y se procede

como en el apartado a).

EJEMPLO:

Efectuar las siguientes operaciones: a) 4

5

4

3 ; b)

7

5

7

3 .

Solución: a) Como es la suma de dos fracciones de igual denominador se deja el mismo denominador y se suman

los numeradores, con lo que se tiene que:

24

8

4

53

4

5

4

3

.

b) Como es la resta de dos fracciones de igual denominador se deja el mismo denominador y se restan

los numeradores, con lo que se tiene que:

7

2

7

53

7

5

7

3

.

EJEMPLO:

Efectuar la siguiente operación: 15

3

6

5

2

3 .

Solución: Como es la suma y resta de fracciones que tienen distinto denominador se reducen a igual

denominador, hallando el mínimo común múltiplo de los denominadores que es 3015,6,2.. mcm , y

se escriben las fracciones equivalentes que tienen como denominador 3015,6,2.. mcm , que son:

30

45

30

315

2

3152:30

30

25

30

55

6

556:30

30

6

30

32

15

3215:30

Como ahora las fracciones tienen igual denominador se deja el mismo denominador y se operan los

numeradores, con lo que se tiene que:

15

32

30

64

30

62545

30

6

30

25

30

45

15

3

6

5

2

3

.

Page 6: TEMA 1.- FRACCIONES Y DECIMALES

PRODUCTO DE FRACCIONES.-

El producto de dos o más fracciones es otra fracción que tiene como numerador el producto de los

numeradores de las fracciones dadas y como denominador el producto de los denominadores de las

fracciones dadas.

EJEMPLO:

Calcula la siguiente operación: 7

24

16

5 .

Solución:

14

15

28

30

56

60

112

120

716

245

7

24

16

5

.

INVERSA DE UNA FRACCIÓN.-

La inversa de una fracción es otra fracción que multiplicada por la primera es igual a la unidad.

La inversa de una fracción es otra fracción que tiene como numerador el denominador de la primera y

como denominador el numerador de la primera, es decir, la inversa de la fracción b

a es la fracción

a

b.

COCIENTE DE DOS FRACCIONES.-

El cociente de dos fracciones es el producto de la primera por la in versa de la segunda, es decir:

cb

da

c

d

b

a

d

c

b

a

: .

El cociente de dos fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto del numerador de

la primera fracción por el denominador de la segunda fracción, y como denominador el producto del

denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción, es decir: cb

da

d

c

b

a

: .

EJEMPLO:

Efectuar las siguientes operaciones: a) 36

10:

16

5; b) 5:

6

55.

Solución:

a) 8

9

16

18

160

180

1016

365

10

36

16

5

36

10:

16

5

.

b) 6

11

30

55

56

155

5

1

6

55

1

5:

6

555:

6

55

.

OPERACIONES COMBINADAS:

EJEMPLO:

Calcular:

a) 12

25

8

7

6

7

4

3:

, b)

33

13

22

9

25

7

15

13.

Solución:

a) Primero hacemos la operación del paréntesis que es una suma de fracciones de distinto

denominador para lo que calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores que es

24864 ,,m.c.m y tenemos que , como ahora son fracciones que

tienen el mismo denominador, entonces sumamos los numeradores y tenemos que

24

21

24

28

24

18

8

7

6

7

4

3

Page 7: TEMA 1.- FRACCIONES Y DECIMALES

; en consecuencia

2

1

24

12

2524

1225

12

25

24

25

12

25

8

7

6

7

4

3

:: .

b) Primero hacemos las operaciones de los paréntesis que es una suma de fracciones de

distinto denominador para lo que calculamos el mínimo común múltiplo de los

denominadores y se tiene que:

75

44

75

2165

75

21

75

65

25

7

15

13

;

66

1

66

2627

66

2627

66

26

66

27

33

13

22

9

.

Con lo cual tenemos que:

225

2

375

12

675

14

6675

144

66

1

75

44

33

13

22

9

25

7

15

13

.

EJEMPLO:

Calcular:

a)

14

3

14

3

2

1

; b)

5

6

3

42

3

1

5

33

; c)

4

3

2

1

25

46

15

2

5

3

4

13

; d)

13

4

6

5

12

7

6

5

4

3

9

5

3

2

.

Solución:

a) 7

3; b) 3; c)

7881

865

.; d)

72

1.

1.3.- LA FRACCIÓN COMO OPERADOR

-- La parte P que corresponde a una fracción b

a de una cantidad C nos viene dada por C

b

aP .

EJEMPLO.-

¿Cuántas cartas le tocan repartir a un cartero al que le asignan 46

5 del total de 2990 cartas?

Solución:

32546

14950

46

299052990

46

5

.

Le corresponde repartir 325 cartas.

-- Si conocemos la parte P que corresponde a la fracción b

a de una cantidad total C , esa cantidad C

se obtiene dividiendo la parte P por la fracción b

a, es decir,

b

aPC : , o lo que es lo mismo, esa

cantidad C se obtiene multiplicando la parte P por la inversa a

b de la fracción

b

a, es decir,

a

bPC .

24

25

24

212818

24

21

24

28

24

18

8

7

6

7

4

3

Page 8: TEMA 1.- FRACCIONES Y DECIMALES

EJEMPLO.-

Una persona posee los 30

7 de una compañía y este año le han correspondido 18900 € de ganancias.

¿Cuáles han sido las ganancias totales de la compañía?

Solución:

810007

567000

7

3018900

7

3018900

30

7:18900

.

Las ganancias totales de la compañía han sido 81000 €.

-- Para hallar una parte b

a de otra parte

d

c de una cantidad C , se multiplica C

d

c

b

a .

EJEMPLO.-

De una herencia de 312000€, Antonio posee los 5

2, Belén los

12

7 y María el resto. María emplea los

8

3

de su parte en pagar deudas. ¿Cuánto le queda a María después de pagar las deudas?

Solución: Calculamos la fracción que le corresponde a María que nos viene dada por:

60

1

60

35

60

24

60

60

12

7

5

21

Como María emplea 8

3 de su parte en pagar deuda, entonces le quedan

8

5 de su parte, con lo que la

cantidad que le queda a María después de pagar la deuda nos viene dada por:

3250480

1560000

608

31200015312000

60

1

8

5

.

A María le quedan 3250 € después de pagar la deuda.

1.4.- NÚMEROS DECIMALES

Un número decimal es la expresión de un número no entero que tiene una parte entera y una parte

decimal que va separada por una coma.

La parte decimal de los valores decimales se ubica al lado derecho de la coma y la parte entera se

ubica a la izquierda de la coma.

Todo número decimal se compone de parte entera, la coma y la parte decimal.

Los números decimales se leen de la siguiente manera:

Primero: Nombramos la parte entera seguida de la palabra “unidades”.

Segundo: Nombramos el número que está a la derecha de la coma, dándole el nombre de la

unidad decimal que aparece.

Parte

entera

Coma Décimas Centésimas Milésimas Diez

milésimas

Cien

milésimas

Millonésimas

12,23 se lee: Doce unidades veintitrés centésimas.

0,0734 se lee: Cero unidades setecientas treinta y cuatro diezmilésimas.

3,25 se lee: Tres unidades veinticinco centésimas.

12,0456 se lee: Doce unidades cuatrocientas cincuenta y seis diezmilésimas.

Page 9: TEMA 1.- FRACCIONES Y DECIMALES

EJEMPLO:

Escribir como se leen los siguientes números:

a) 107,5402 b) 9,706 c) 30,07 d) 902,8 e) 15,73 f) 0,094 g) 1,01 h) 7,0205 i) 0,39.

Solución:

a) 107 unidades y cinco mil cuatrocientas dos diezmilésimas.

b) Nueve unidades y 706 milésimas.

c) Treinta unidades y siete centésimas.

d) Novecientas dos unidades y ocho décimas.

e) Quince unidades y setenta y tres centésimas.

f) Noventa y cuatro milésimas.

g) Una unidad y una centésima.

h) Siete unidades y doscientas cinco diezmilésimas.

i) Treinta y nueve centésimas.

EJEMPLO:

Escribe con cifras los siguientes números:

a) Doce unidades tres milésimas.

b) Cuatrocientas veinticinco diezmilésimas.

c) Ochenta y tres unidades cinco décimas.

d) Siete unidades trece milésimas.

e) Cinco unidades siete centésimas.

f) Doscientas unidades dos milésimas.

g) Una unidad una diezmilésima.

h) Veintiséis unidades tres centésimas

i) Cuatro unidades catorce centésimas

Solución:

a) 12,003 b) 0,0425 c) 83,5 d) 7,013 e) 5,07 f) 200,002 g) 1,0001 h) 26,03 i) 4,14.

TIPOS DE NÚMEROS DECIMALES:

Expresión decimal: Es una expresión numérica formada por unidades naturales (que se

llaman parte entera de la expresión decimal) y de unidades decimales separadas de la parte

entera por una coma. La parte entera figura a la izquierda de la coma y la parte decimal a la

derecha de la misma

Ejemplo:

En la expresión decimal 38,325 la parte entera es 38 y la parte decimal es 325.

Clasificación de las expresiones decimales:

Las expresiones decimales pueden ser:

.......33373733733373,2:

3452,8...2345345345,8:

73,12....737373,12:

72,0:

periodicaNo

Mixta

PuraPeriódica

Infinita

Finita

Decimal

Finitas (que también se llaman limitadas o exactas), por ejemplo 3,24, que son aquellas que

tienen un número finito de cifras, distintas de cero, después de la coma.

Infinitas (que también se llaman ilimitadas o inexactas), por ejemplo ....,6767672 que suele

escribirse abreviadamente como 672, , que son aquellas que tienen un número infinito de

cifras, distintas de cero, después de la coma.

Las expresiones decimales infinitas pueden ser:

Periódica que es una expresión decimal infinita en la que hay una o varias cifras decimales

que se repiten indefinidamente y en el mismo orden a partir de cierto lugar después de la

coma. A la cifra o grupo de cifras que se repiten se llama el período (parte periódica) y a las

cifras decimales que no se repiten se les llaman el ante período (parte no periódica). El

período se suele expresarse por medio de un arco que abarca a todas las cifras que lo forman.

Page 10: TEMA 1.- FRACCIONES Y DECIMALES

No periódica que es una expresión decimal de infinitas cifras no periódicas, es decir, no

contiene una cifra o un grupo de cifras que se repitan indefinidamente y en el mismo orden.

Estas expresiones no provienen de un número racional, son números irracionales.

EJEMPLO:

Indica que tipo de número decimal es cada uno de los siguientes:

a) 3,52; b) 82, ; c) 541, ; d) ......,732050813 ; e) 372, ; f) 3,5222……; g)

......,141592612π

Solución:

a) Exacto; b) Periódico puro; c) Periódico puro; d) No periódico; e) Periódico mixto;

f) Periódico mixto; g) No periódico.

EJEMPLO:

Expresar con notación abreviada las siguientes expresiones decimales y decir cual es la parte

entera, el período y la parte no periódica:

a) 0,3333…. se escribe de forma abreviada 30, la parte entera es 0 (no tiene parte entera), el

período es 3 y no tiene parte no periódica porque es un decimal periódico puro.

b) 0,121212... se escribe de forma abreviada 120, la parte entera es 0 (no tiene parte entera),

el período es 12 y no tiene parte no periódica porque es un decimal periódico puro.

c) 0,08333…. se escribe de forma abreviada 3080, la parte entera es 0 (no tiene parte entera),

el período es 3 y la parte no periódica es 08.

d) 0,23535… se escribe de forma abreviada 3520, la parte entera es 0 (no tiene parte entera),

el período es 35 y la parte no periódica es 2.

e) 12,4545… se escribe de forma abreviada 4512, la parte entera es 12, el período es 45 y no

tiene parte no periódica porque es un decimal periódico puro.

f) 7,51919…. se escribe de forma abreviada 1957, la parte entera es 7, el período es 19 y la

parte no periódica es 5.

g) 132,12546546546…. se escribe de forma abreviada 54612132, la parte entera es 132, el

período es 546 y la parte no periódica es 12.

EJEMPLO:

Ordena de menor a mayor los siguientes números: 52, ; 52, ; 532, ; .............,5050052

Solución:

52505005252532 ,..........,,,

EJEMPLO:

Escribe tres números decimales comprendidos entre 52, y 52, .

Solución:

2,51; 2,52; 2,53.

PASO DE FRACCIÓN A DECIMAL.-

Para obtener la expresión decimal de una fracción, se efectúa la división entre el numerador y el

denominador y el decimal puede ser:

a) Un número entero.

b) Un decimal exacto.

c) Un decimal periódico puro.

d) Decimal periódico mixto.

Por lo tanto si un número decimal es no periódico y no exacto no puede ser la expresión decimar de un

número racional, es decir, un número decimal no periódico y no exacto es la expresión decimal de un

número irracional.

Page 11: TEMA 1.- FRACCIONES Y DECIMALES

Como conocer el tipo de expresión decimal que representa una fracción sin hacer la división:

1º) Se convierte la fracción en irreducible.

2º) Se hace la factorización del denominador y se tiene que:

a) Si los factores primos del denominador son el 2, el 5 o ambos entonces el numero

decimal es exacto.

b) Si los factores primos del denominador son distintos de 2 y de 5 entonces el número

decimal es periódico puro.

c) Si los factores primos del denominador son el 2 o el cinco o ambos acompañados de

otros factores entonces el número decimal es periódico mixto.

EJEMPLO:

Sin hacer la división decir que tipo de expresión decimal tienen las siguientes fracciones:

a) 500

313

Primero la convertiríamos en irreducible, como ya lo es factorizamos el denominador, cuya

factorización es 32 52500 ; por lo tanto su expresión decimal es exacta ya que solo tiene

como factores primos el 2 y el 5.

b) 21

5

Primero la convertiríamos en irreducible, como ya lo es factorizamos el denominador, cuya

factorización es 7321 ; por lo tanto su expresión decimal es periódico pura ya que los

factores primos son distintos de 2 y de 5.

c) 150

122

Primero la convertimos en irreducible y obtenemos la fracción 75

61.

Segundo factorizamos el denominador, cuya factorización es 25375 , por lo tanto la

expresión decimal es periódico mixto ya que los factores primos son el 5 y el 3.

EJEMPLO:

Sin efectuar la división, y atendiendo solo al denominador de la fracción simplificada, di si las

siguientes fracciones darán lugar a decimales exactos o periódicos:

a) 150

44; b)

150

42; c)

1024

101; d)

500

1001.

Solución:

a) Convertimos la fracción en irreducible y tenemos que:

75

22

150

44 y como el denominador

25375 tiene como factor al 2 y factores distintos de 2 y

de 5 la fracción dará lugar a un decimal periódico mixto.

b) Convertimos la fracción en irreducible y tenemos que:

25

7

75

21

150

42 y como el denominador

2525 no tiene factores distintos de 2 y de 5 la

fracción dará lugar a un decimal exacto.

c) Como la fracción 1024

101es irreducible y el denominador

1021024 no tiene factores distintos

de 2 y de 5 la fracción dará lugar a un decimal exacto.

d) Como la fracción 500

1001es irreducible y el denominador

32 52500 no tiene factores

distintos de 2 y de 5 la fracción dará lugar a un decimal exacto.

Page 12: TEMA 1.- FRACCIONES Y DECIMALES

1.4.- PASO DE DECIMAL A FRACCIÓN. FRACCIÓN GENERATRIZ

FRACCIÓN GENERATRIZ DE UNA EXPRESIÓN DECIMAL:

Es la fracción irreducible de que procede toda expresión decimal. Vamos a ver cuál es la fracción que corresponde a un número decimal, que llamaremos la fracción

generatriz del número decimal.

FRACCIÓN GENERATRIZ DE UNA EXPRESIÓN DECIMAL EXACTA: La fracción generatriz de un número decimal exacto es una fracción que tiene como numerador el

decimal sin la coma y como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales

tiene el número decimal.

EJEMPLO:

Hallar la fracción generatriz del número decimal 7,24.

Solución:

25

181

50

362

100

72424,7 .

FRACCIÓN GENERATRIZ DE UNA EXPRESIÓN DECIMAL PERIÓDICO PURA: La fracción generatriz de un decimal periódico puro es una fracción que tiene como numerador el

decimal sin la coma menos la parte4 entera del decimal y como denominador ntantos nueves como

cifras decimales tiene el periodo.

EJEMPLO:

Calcular la fracción generatriz del número decimal 13,275275275…..

Solución:

999

13262

999

1313275275,13.......275275275,13

.

FRACCIÓN GENERATRIZ DE UNA EXPRESIÓN DECIMAL PERIÓDICO MIXTA: La fracción generatriz de un número decimal periódico mixto es una fracción que tiene por

numerador el decimal sin la coma menos la parte entera seguida de la parte no periódica y como

denominador tantos nueves como cifras tiene el período seguidos de tantos ceros como cifras tiene la

parte decimal no periódica.

EJEMPLO:

Calcular la fracción generatriz del número decimal 5,2353535……..

Solución:

990

5183

990

525235352,5....235353535,5

.

DECIMALES NO EXACTOS Y NO PERIÓDICOS.-

Como los números decimales no exactos y no periódicos no son números racionales, no pueden ponerse

en forma de fracción.

Page 13: TEMA 1.- FRACCIONES Y DECIMALES

1.5.- CÁLCULOS CON PORCENTAJES

CÁLCULO DEL TANTO POR CIENTO DE UNA CANTIDAD.-

Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, se expresa el tanto por ciento en forma de decimal

(tanto por uno) y se multiplica la cantidad por el tanto por ciento expresado en forma decimal.

EJEMPLO:

Calcular el 25% de 83200 €.

Solución:

Como 25,0100

25 , entonces se tiene que el 25% de 83200 € son:

€2080025,083200 .

OBTENCIÓN DEL TANTO POR CIENTO CORRESPONDIENTE A UNA PROPORCIÓN.-

Para hallar que tanto por ciento representa una cantidad a respecto a una cantidad total C , se

efectúa la siguiente operación: 100C

a.

EJEMPLO:

En una población de 4200 habitantes, 1470 son simpatizantes de un cierto partido político. ¿Qué

porcentaje del total representan?

Solución:

354200

147000100

4200

1470

Representan el 35% del total.

CÁLCULO DE AUMENTOS PORCENTUALES.-

Cuando tenemos una cantidad inicial que se aumenta en un cierto porcentaje, el número por el que

hay que multiplicar la cantidad inicial para obtener la cantidad final se llama índice de variación.

VARIACIÓNDEÍNDICEINICIALVALORFINALVALOR .

En aumentos porcentuales el índice de variación es la unidad más el aumento porcentual expresado en

forma decimal.

EJEMPLO:

Un artículo de regalo que costaba 70 € aumenta su precio en un 20%. ¿Cuál es el valor del artículo

tras el aumento de precio?

Solución:

2,12,01100

201 VARIACIÓNDEÍNDICE

€842,170 VARIACIÓNDEÍNDICEINICIALVALORFINALVALOR .

CÁLCULO DE DISMINUCIONES PORCENTUALES.-

Cuando tenemos una cantidad inicial que se disminuye en un cierto porcentaje, el número por el que

hay que multiplicar la cantidad inicial para obtener la cantidad final se llama índice de variación.

VARIACIÓNDEÍNDICEINICIALVALORFINALVALOR .

Page 14: TEMA 1.- FRACCIONES Y DECIMALES

En disminuciones porcentuales el índice de variación es la unidad menos el aumento porcentual

expresado en forma decimal.

EJEMPLO:

Un electrodoméstico valía 1860 €, si se rebaja un 45 %, ¿Cuánto VALE AHORA?

Solución:

55,045,01100

451 VARIACIÓNDEÍNDICE

€102355,01860 VARIACIÓNDEÍNDICEINICIALVALORFINALVALOR

CÁLCULO DE LA CANTIDAD INICIAL CONOCIENDO LA VARIACIÓN PORCENTUAL Y LA

CANTIDAD FINAL.-

Si conocemos la cantidad final después que resulta de haber realizado una variación porcentual, la

cantidad inicial se obtiene dividiendo la cantidad final entre el índice de variación.

VARIACIÓNDEÍNDICEFINALVALORVALORINICIALVALOR : .

EJEMPLO:

Un ordenador cuesta 820 € tras aumentar su precio en un 40%. ¿Cuánto costaba el ordenador antes

del aumento de precio?

Solución:

4,14,01100

401 VARIACIÓNDEÍNDICE

6004,1:840: VARIACIÓNDEÍNDICEFINALVALORVALORINICIALVALOR .

El ordenador costaba 600 € antes de aumentar su precio en un 40%.

ENCADENAMIENTO DE VARIACIONES PORCENTUALES.-

Para encadenar aumentos y disminuciones porcentuales, se multiplican los índices de variación de los

sucesivos pasos.

EJEMPLO:

El precio de una enciclopedia de 640 € sube un 15%, después, sube un 35% y, finalmente baja un 40%.

a) ¿Cuál es el precio final de la enciclopedia?

b) ¿Cuál es el porcentaje total de aumento o disminución?

Solución: a) El índice de variación total nos viene dado por:

9315,06,035,115,1 TOTALVARIACIÓNDEÍNDICE .

Por lo tanto el precio final de la enciclopedia es: €16,5969315,0640 .

b) Como el índice de variación total es 0,9315.

0,9315-1= -0,0685

Por lo tanto este índice de variación corresponde a una disminución del 6,85%.

Page 15: TEMA 1.- FRACCIONES Y DECIMALES

1.5.- INTERÉS COMPUESTO

El capital final FC (capital más intereses) que tenemos al cabo de n años de depositar un capital C al

%r de interés compuesto anual nos viene dado por:

n

F

rCC

1001

EJEMPLO:

¿En cuánto se transforma un capital de 20.000€ colocado al 3,6% anual durante 5 años?

Solución:

7,868.23036,1000.20100

6,31000.20

1001 5

5

n

F

rCC €.

EJEMPLO:

¿En cuánto se transforma un capital de 20.000€ colocado al 3,6% anual durante 5 años, con

pago de intereses mensuales?

Solución:

9,937.23003,1000.20100

126,3

1000.20100

1 60

125

n

F

rCC €.