Tema 1: Electrostática en el vacío

1.1 Carga eléctrica y Ley de Coulomb

1.2 Campo eléctrico

1.3 Campo creado por distribuciones continuas de carga

1.4 Ley de Gauss

1.5 Potencial electrostático

1.6 Energía potencial electrostática

Masoller AF 2012 1

1.1 Carga eléctrica y Ley de Coulomb

• Primer modelo de electricidad desarrollado por Benjamín Franklin (1706-1790) para explicar experimentos frotando objetos materiales.

• Hay dos tipos de cargas: positivas y negativas.

• Normalmente los objetos son neutros: tienen una cantidad exactamente igual de cargas positivas y negativas.

• Cuando un objeto se frota puede adquirir carga positiva o negativa dependiendo del material.

• Los objetos cargados que portan distinto tipo de carga se atraen.

• Los objetos que portan igual tipo de carga se repelen. Dos barras de caucho frotadas

con piel se repelen mutuamente 2 Masoller AF 2012

• La carga eléctrica esta cuantizada.

• La unidad de fundamental de carga es la carga del electrón (-e).

• En el sistema MKS la unidad de carga es el Coulomb (C).

•

• La carga eléctrica se conserva.

Carga eléctrica

C 106.1 19e

3 Masoller AF 2012

Ley de Coulomb

• La fuerza eléctrica entre dos partículas puntuales cargadas es:

122

12

2112

ˆ

rr

qqkF

/CmN 109 29k

Fuerza ejercida por q1 sobre q2

4 Masoller AF 2012

2112 FF

12

1212ˆ

r

rr

1212 rrr

04

1

k )/(NmC 1085,8 2212

0

Permeabilidad (o permitividad dieléctrica) del vacío

Ley de Coulomb: Principio de Superposición

• Fuerza ejercida sobre q0 por un conjunto de cargas puntuales:

N

i

iFF1

00

Suma vectorial!

5 Masoller AF 2012

1.2 Campo eléctrico

• q0 es una pequeña carga testigo o de prueba, en presencia de un conjunto de cargas q1, q2, q3…

• q0 ejerce fuerzas sobre las demás cargas. Estas fuerzas, si q0 es suficientemente pequeña, se pueden considerar despreciables (q0 no afecta a q1, q2, q3… ).

0q

FE

Unidades: N/C

• El movimiento de una partícula de masa m y carga q en un campo E (creado por otras cargas) es un movimiento acelerado:

E

m

q

m

Fa

6 Masoller AF 2012

• Definición del campo eléctrico en el punto del espacio donde esta q0:

Campo eléctrico creado por partículas puntuales

122

12

2112

ˆ

rr

qqkF

Fuerza ejercida por q1 sobre q2

Si q2 es una carga de prueba:

7 Masoller AF 2012

2q

FE

Campo creado por q1 en el punto donde esta q2

122

12

1 ˆ r

r

qkE

Ley de Coulomb:

N

j

jEE1

(suma vectorial!) Campo creado por un conjunto de cargas:

2r

qkE

Principio de superposición:

Líneas de campo (o líneas de fuerza)

• El sentido y dirección de las líneas de campo indican el sentido y dirección del campo eléctrico.

• La densidad de líneas (número de líneas por unidad de superficie o de volumen) indica la magnitud (o intensidad) del campo eléctrico.

8 Masoller AF 2012

Líneas de campo

Desde lejos: parece el campo creado por una carga puntual q

¿relación entre las dos cargas?

9 Masoller AF 2012

1.3 Campo creado por distribuciones continuas de carga

Si bien a escala microscópica la carga esta cuantizada, en cuerpos macroscópicos la carga se puede considerar distribuida en forma continua.

122

12

1

2

ˆ r

r

qk

q

FE

Vimos que el campo creado por una carga puntual q1 en un punto donde hay una carga de prueba q2 es:

rr

dqq

ˆˆ

12

1

r

r

dqkEd ˆ

2

dqr

rkE

2

Para integrar conviene tomar un sistema de coordenadas apropiado y usar simetrías.

10 Masoller AF 2012

Distribuciones continuas de carga

dqr

rkE

2

En un volumen:

11 Masoller AF 2012

En una superficie:

C/m3

C/m2

En una línea: C/m

dqr

rkE

3

Distribución de carga uniforme:

V

Q

S

Q

L

Q

dVQdVdq

dAQdAdq

dlQdldq

Cálculo del campo mediante la ley de Coulomb Ejemplo 1: Campo creado por una línea cargada

12 Masoller AF 2012

dqr

rkE

3

ixjyr ˆ ˆ

jEiEE yxˆ ˆ

dxr

ykE

dxr

xkE

y

x

3

3

0

L

Q

r

En el punto medio:

dxdq

)( ˆ

3dx

r

ixjykE

(por simetría)

Campo creado por una línea cargada

13 Masoller AF 2012

2/

2/

2/322

L

L

y

yx

dxykE

En el punto medio:

2/

0

2/1222

2

Lx

x

y

yxy

xykE

2

2

2

yL

L

y

kEy

r

LQ

Campo creado por una línea cargada

14 Masoller AF 2012

En el punto medio:

2

2

2

y 0

yL

Q

y

kEE yx

jy

kQE ˆ

2

Cerca: y << L

Lejos: y>>L (campo creado por una carga puntual q=L)

jy

kjyL

QkE ˆ2ˆ2

Línea infinita: L→ jy

kE ˆ2

r

Masoller AF 2012 15

Segmento de línea

Carga puntual

Línea infinita

Cerca: → línea infinita

Lejos: → carga puntual

222/

yL

Q

y

kEy

2/ ykQEy

ykEy /2

'z zz

Masoller AF 2012 16

Campo creado por una línea cargada

dqr

rkE

3

'

ˆ)(

dzdq

Rkzzr

r

En un punto cualquiera

REkEE Rzˆˆ

zdr

zzkEz 3

3

r

zdRkER

Cambio de variable: z’→

' ˆ ˆ)(

3dz

r

RRkzzkE

(R es constante)

21 2

'2

L

zL

2/L

'z zz

Masoller AF 2012 17

r

tanzz

R

sin

Rr

zdr

zzkEz 3

d

R

R

RkEz

23

3

sin

sin

tan

dR

kEz cos

12 sinsin

R

kEz

Componente longitudinal:

dR

dzR

zz2sin

'tan

Masoller AF 2012 18

dR

dz2sin

' sin

Rr

d

R

RRkER

23

3

sin

sin

d

R

k sin

12 coscos

R

kER

zdr

RkER 3

Componente

perpendicular:

'z zz

Masoller AF 2012 19

r

sinr

R

12 coscos

R

kER

Des-haciendo el cambio de variable:

12 sinsin

R

kEz

cos

'tan

r

R

zz

R

12

11

rrkEz

1122 tan

1

tan

1

rrkER

Masoller AF 2012 20

12

11

rrkEz

1122 tan

1

tan

1

rrkER

Si P esta en el punto medio de la barra, el campo coincide con resultado anterior:

22

12 )2/(LRrr 0zE

22 )2/(

2/2

LRR

LkER

2/tan

tantan

1

12

L

R

22 )2/(LRR

Qk

21 Masoller AF 2012

iEE xˆ

dq

r

rkE

3

ˆ ˆ eaixr

2

0

3

ad

r

xkEx 2

3

ar

xkEx

Qr

xkEx 3

Ejemplo 2: Campo en el eje de un anillo

(por simetría)

i

ˆe

222 axr

a

Q

2

addq

22 Masoller AF 2012

3

r

xkQEx

2/322

ax

xkQ

x/a

Ex

(carga puntual)

2

0 x

kQE

a

xx

Ejemplo 3: Campo en el eje de un disco

23 Masoller AF 2012

2/322

2

ax

xdaπakdEE xx

2/322

ax

xkdqdEx

daπadSdq 2

R

x

ax

daaxπkE

0

2/322

2

22

22/12

Rxu

xuuxπk

aduaxu 222

22

2

23

Rx

x

/xu

du xπkE

(sumamos campo creado por anillos)

P

x

2

a

Q

2

2

1

11 )(sign 2

x

RxπkEx

24 Masoller AF 2012

222

11 2

xRxxπkEx

Lejos del disco: R/x << 1

2

2

2

111 2

x

RπkEx

2

2

x

RπkEx

2 x

Qk

(carga puntual)

22

22/1 2

Rxu

xux uxπkE

2

11

1

1

xxxx )(sign2

25 Masoller AF 2012

R >> x

2

2

1

11 )(sign 2

x

RxπkEx

)(sign 2 xπkEx

El campo en la superficie del disco es discontinuo

Cerca del disco:

Masoller AF 2012 26

Ejemplo 4: Campo creado por un plano infinito

2

2

1

11 )(sign 2

x

RxπkEx

Plano infinito: R→ )(sign 2 xπkEx

Disco Plano infinito

Carga puntual

Disco de radio R:

Ejemplo 5: Campo entre dos planos infinitos con cargas opuestas

27 Masoller AF 2012

4 πkE

0E

0E

1.4 Ley de Gauss

Masoller AF 2012 28

El “numero de líneas” neto que atraviesa una superficie cerrada es proporcional a la carga neta encerrada.

Flujo de campo eléctrico

Masoller AF 2012 29

s

dAnE ˆ

Unidades: (N/C)m2

mide el “numero de líneas” que atraviesa una superficie. Es proporcional a - Densidad de líneas (E) - Tamaño de la superficie (A) - Orientación relativa de E y A

s

ˆ ndAAd

Ley de Gauss

• Carga puntual Flujo a través de una superficie cerrada que “encierra” a Q

30 Masoller AF 2012

S

dAnE ˆ

nR

QkE ˆ

2

ddRdA sin2

ddRnnR

Qk sin ˆˆ 2

2

(calculado a partir de la Ley de Coulomb)

0

2

0

sin ddkQ

4 4

1

0

Q

Para cualquier superficie cerrada que “encierra” a Q

0

Q

n

Ley de Gauss

• Conjunto de cargas

Masoller AF 2012 31

i

iEE

ˆ0

enc

QdAnE

S

forma integral de la Ley de Gauss

• Teorema de la divergencia

ˆ VS

dVEdAnE

VVi

i dVqQ enc

• Carga encerrada

VV

dVdVE 1

0

forma diferencial de la Ley de Gauss 0

E V

Donde S es la superficie que limita al volumen V

Cálculo del campo eléctrico mediante la ley de Gauss

Para situaciones que presentan algún eje de simetría • Cuando hay simetría esférica: la superficie de Gauss es

una esfera • Cuando hay simetría cilíndrica: la superficie de Gauss

es un cilindro co-axial • Cuando hay un plano de simetría: la superficie de

Gauss es una “caja de píldoras”

Masoller AF 2012 32

hueca solida

Masoller AF 2012 33

Campo creado por una esfera cargada

Campo creado por

Una línea infinita Un plano infinito

Masoller AF 2012 34

1.5 Potencial electrostático

• El potencial eléctrico es una magnitud escalar que suele ser mas fácil del calcular que el campo eléctrico (que es una magnitud vectorial).

• La diferencia de potencial se puede medir con un voltímetro. • Si q0 es una carga de prueba que se mueve en el campo externo E, el

trabajo realizado por las cargas que crean el campo sobre q0 es

Masoller AF 2012 35

ldEqldFdW

0

dWdU variación de energía potencial eléctrica de q0

ldEqdU

0

• Diferencia de potencial: ldEq

dUdV

0• Unidad: V = J/C • Nueva unidad de energía: J 106.1eV 1 19

¿la diferencia de potencial entre dos puntos depende del camino?

Masoller AF 2012 36

? ¿)()(

iii

ldEldE

Calculamos para una carga puntual en el origen usando la Ley de Coulomb. ˆ sinˆ ˆ drrdrdrld

rr

qkE ˆ

2

b

a

ab ldEVVV

drr

qkldE

2

ldEdV

En coordenadas esféricas:

Masoller AF 2012 37

2r

qkldE

drr

qkV

2

ab

r

r rrkq

r

qk

b

a

11

)()( iii

ldEldE

La diferencia de potencial NO depende del camino

0C

ldE

0 baab VV

baab VV Donde C es una curva cerrada a →b + b → a

b

a

ab ldEVV

Potencial electrostático

Masoller AF 2012 38

refP

refPrr

kqVV11

r

kqrV )( Potencial en r creado por una

carga en reposo en el origen.

Potencial creado por un conjunto de cargas:

i i

i

rr

kqrV )(

cteP

Pr

kqV

r

dqkV

Las superficies equipotenciales son esferas concéntricas.

i

q rVrVi

)()(

donde ri es la posición de la carga qi

Si la distribución de carga es continua:

Pr

Pto. de ref. en el infinito: r→ V→0

Distribución de carga localizada: r→ V→0

Determinación del campo eléctrico a partir del potencial eléctrico

• Teorema del gradiente

Masoller AF 2012 39

b

a

ab ldEVV

b

a

b

a

ab ldVdVVV

• En coordenadas cartesianas: kdzjdyidxld ˆ ˆ ˆ

kz

Vj

y

Vi

x

VV ˆˆ ˆ

dVdzz

Vdy

y

Vdx

x

VldV

b

a

b

a

ldVldE

VE

Esta ecuación nos permite calcular primero V (escalar) y luego el campo (vector)

¿y como calculamos el potencial?

• Conjunto de cargas puntuales

• Distribución de carga continua

Masoller AF 2012 40

i i

i

r

qkPV )(

dqr

rkPE

2

ˆ)(

r

dqkPV )(

i

i i

i rr

qkPE ˆ

)(

2

dq

dVdq

dAdq

dldq

dq

r

rk

3

Suele ser mas fácil que calcular el campo directamente:

Calculo de E a partir de V

Dos partículas puntuales. Potencial en el eje x

Potencial en el eje del anillo

Masoller AF 2012 41

ax

q

x

qkxV 21)( 22

)(ax

QkxV

VE

Calculo del potencial

Potencial en el eje de un disco Potencial debido a un plano infinito

Masoller AF 2012 42

zRzkxV 222)(

Calculo del potencial

Esfera hueca Esfera cargada uniformemente

Masoller AF 2012 43

Masoller AF 2012 44

SC

dAnEldE ˆ ˆ

0 E

Vale cuando el campo es generado por un conjunto de cargas en reposo (cuando vale la Ley de Coulomb)

Donde C es el contorno que limita a la superficie S

0ˆ C

ldE

0 ˆ S

dAnE

Rotacional en coordenadas cartesianas:

zyx EEEzyx

kji

E

ˆˆˆ

Ecuaciones de Poisson y de Laplace

Masoller AF 2012 45

0 E

0

E VE

0

E

2

2

2

2

2

2

z

V

y

V

x

VV

En coordenadas cartesianas:

0

2

V

Ecuación de Poisson (lineal de segundo orden)

kz

Vj

y

Vi

x

VV ˆˆ ˆ

kz

jy

ix

ˆˆ ˆ

0

V

Si =0: 0 2 V Ecuación de Laplace

Resumen de ecuaciones entre E, V y

Masoller AF 2012 46

• ¿Qué trabajo hay que hacer para mover una carga Q en presencia de otras cargas qi?

1.6 Energía potencial electrostática

ldFW

ldEQ

ab VVQW

• Si Q viene desde el infinito hasta r

)(rQVW

ldEV

• ¿Qué trabajo hay que hacer para crear una distribución de carga? (trayendo las cargas una por una desde el infinito).

• La energía potencial electrostática de un conjunto de cargas puntuales es el trabajo que hay que hacer para traer las cargas desde el infinito.

01 W

Energía de un conjunto de cargas puntuales

)( 2122 rVqW 12

12

rr

kqq

)( 32,133 rVqW 23

23

13

13

rr

kqq

rr

kqq

23

32

13

31

12

21321

rr

qkq

rr

qkq

rr

qkqWWW

i ij ji

ji

rr

qqkW …

i ij ji

ji

rr

qqkW

i ij ji

ji

rr

qqk

2

i ij ji

j

irr

qkq

2

1

i

ii rVqW )(2

1 Energía potencial electrostática de un conjunto de cargas puntuales

• Para una distribución continua de carga

)(2

1rdqVW

vol dVdq vol0 dVE

vol0 )(

2dVErVW

vol0

vol0 )(

2

2dVErVdVEV

EVEVEV

vol00

2 ˆ

2dVEEdSnEVW

vol0

vol0

2

2dVEVdVEVW

vol

2

espacio el Todo

0

2dVEW

20

2Eu

Densidad de energía potencial electrostática

Observaciones:

• u 0

• Si 21 EEE

210

2

202

10

22EEEEu