Tehnicka-mehanika

SVEUILITE U SPLITU POMORSKI FAKULTET U SPLITU

Prof. dr. sc. Zlatan Kulenovi

TEHNIKA MEHANIKA

Prirunik za pomorce

Split, 2007.

PREDGOVOR

Ovaj prirunik sastavljen je prema vaeem nastavnom programu predmeta Tehnika mehanika preddiplomskog sveuilinog studija Pomorska nautika, koji se izvodi na Pomorskom fakultetu Sveuilita u Splitu ali i svim pomorskim visokim uilitima u Hrvatskoj. On obuhvaa sve sadraje koji su propisani programom Meunarodne pomorske organizacije (IMO) za naobrazbu pomorskih asnika.

U priruniku je dat saetak predavanja iz Tehnike mehanike, koje sam odrao u prvom semestru akademske 2006./2007. godine. U skladu s tim, u tekstu su obraeni osnovni pojmovi i metode primijenjene mehanike u pomorstvu, pri emu mi je tenja bila da ukaem na praktino znaenje razmatranih problema, a da matematiki aparat koji je pri tome neophodan svedem na primjenu osnovnih elemenata matematike analize i vektorskog rauna. Iako ovaj saeti materijal ne moe zamijeniti udbenik i zbirku zadataka, vjerujem da e on pomoi studentima u pripremanju ispita iz ovog temeljnog predmeta tehnike struke. Split, prosinac 2007. Autor

SADRAJ Stranica

I. Uvod 1. Zadatak i podjela mehanike 2. Elementi i osnovni zakoni mehanike

II. Statika krutih tijela

1. Osnovni pojmovi i zadaci 2. Aksiomi statike 3. Veze i njihove reakcije 4. Statika estice

4.1 Sastavljanje sila 4.2 Rastavljanje sile 4.3 Ravnotea sila 4.4 Rjeavanje zadataka ravnotee

5. Statika tijela 5.1 Moment sile 5.2 Momentno pravilo 5.3 Spreg sila 5.4 Redukcija sustava sila 5.5 Ravnotea sustava sila 5.6 Rjeavanje zadataka ravnotee tijela

6. Trenje 6.1 Trenje klizanja 6.2 Trenje kotrljanja

7. Nosai 7.1 Gredni nosai 7.1.1 Reakcije u osloncima 7.1.2 Unutranje sile 7.2 Reetkasti nosai 7.2.1 Metoda vorova 7.2.2 Metoda presjeka

8. Geometrijske znaajke tijela i povrina 8.1 Teite 8.2 Momenti tromosti i otpora III. Statika elastinih tijela

1. Osnovni pojmovi i zadaci 2. Naprezanja i deformacije 3. Hookeov zakon 4. Aksijalno optereenje 5. Smicanje 6. Uvijanje 7. Savijanje 8. Izvijanje

1 1 1

3 3 6 7 9 9 11 11 12 14 14 15 16 17 19 19 21 21 22 24 24 25 25 29 30 31 32 32 34

37 37 38 39 41 43 45 48 52

IV. Kinematika 1. Kinematika estice

1.1 Osnovne kinematike veliine 1.2 Pravocrtno gibanje 1.2.1 Jednoliko gibanje 1.2.2 Jednoliko promjenljivo gibanje 1.3 Krivocrtno gibanje 1.3.1 Prikazivanje u Descartesovom koordinatnom sustavu 1.3.2 Prikazivanje u prirodnom koordinatnom sustavu

2. Kinematika krutog tijela 2.1 Translacija tijela 2.2 Rotacija tijela oko nepomine osi 2.3 Ravninsko gibanje tijela V. Dinamika 1. Dinamika estice 1.1 Jednadbe gibanja 1.2 DAlembertov princip 1.3 Rad i snaga 1.4 Kinetika i potencijalna energija 1.5 Impuls i koliina gibanja

1.6 Moment koliine gibanja 2. Dinamika krutog tijela 2.1 Geometrija masa 2.2 Translacija tijela 2.3 Rotacija tijela oko nepomine osi 2.4 Ravninsko gibanje tijela

VI. Mehanika fluida 1. Hidrostatika 1.2 Tlak 1.3 Hidrostatiki uzgon i plivanje 2. Hidrodinamika 2.1 Jednadba kontinuiteta 2.2 Bernoullijeva jednadba 2.3 Istjecanje kroz otvore 2.4 Protjecanje kroz cijevi Dodatak

1. Mjerne jedinice u tehnikoj mehanici 2. Predmetci (prefiksi) SI jedinica 3. Grka slova 4. Upute za polaganje pismenog ispita 5. Primjer pismenog ispita

54 54 54 55 57 57 58 58 60 62 62 63 65

68 68 68 69 70 72 74 75 76 76 78 78 80

82 82 82 85 87 87 88 90 91

94 94 95 95 96 97

Tehnika mehanika - prirunik za pomorce 1

I. UVOD 1. ZADATAK I PODJELA MEHANIKE

Mehanika je znanost o gibanju tijela i njegovim uzrocima. Gibanje je promjena poloaja tijela u prostoru i vremenu, a uzrokuju ga sile.

Dio mehanike koji razmatra tehnike probleme zove se tehnika mehanika. Ona poiva na zakonima klasine mehanike (Newton 17. st.) i daje praktina rjeenja.

Pri gibanju, svako vrsto tijelo manje ili vie mijenja svoj oblik i volumen odnosno, deformira se. Meutim, takve se promjene u praksi esto mogu zanemariti jer ne utjeu na gibanje tijela, pa se govori o krutom tijelu. Ako su i dimenzije takvog idealiziranog tijela nebitne za rjeavanje problema njegovog gibanja, dolazi se do pojma estice.

Za razliku od vrstih tijela, tekuine (kapljevine i plinovi) lako mijenjaju svoj oblik. Takva se tijela openito nazivaju fluidi i posebno se prouavaju.

Prema problemima kojima se bavi, uobiajena podjela tehnike mehanike

je:

1. Statika prouava sile i ravnoteu tijela 2. Kinematika prouava gibanja tijela bez obzira na sile 3. Dinamika prouava gibanja tijela pod utjecajem sila

2. ELEMENTI I OSNOVNI ZAKONI MEHANIKE Osnovni elementi klasine mehanike su:

Prostor. To je geometrijsko podruje u kojem se prikazuje poloaj tijela. On se uvijek odreuje u odnosu na neki pogodan koordinatni sustav, a temelji se na mjerenju udaljenosti. Ako se koordinatni sustav vee za povrinu Zemlje, tada se on moe smatrati apsolutno nepominim i predstavlja tzv. referentni k. sustav. Najee je to Descartesov pravokutni desni k. sustav, u kome je poloaj neke toke odreen s tri koordinate (x, y, z), odnosno s tri duine koje se mjere od ishodita O u pravcima k. osi.

Jedinica za duinu je metar [m].

2 Zlatan Kulenovi

Poloaj neke toke moe se odrediti i vektorom poloaja rr , usmjerenom veliinom koja je odreena duinom (OA) i orijentacijom u prostoru (kutovi , i prema k. osima x, y i z).

Dakle, u mehanici postoje dvije

vrste veliina: skalari i vektori.

Skalari su veliine odreene samo svojom brojanom vrijednou

(veliinom), kao npr. duljina, vrijeme, masa, temperatura itd. Vektori su veliine za iji je opis osim brojane vrijednosti potreban i poloaj u prostoru, kao npr. sila, pomak, brzina, ubrzanje itd.

Vrijeme. Ono je mjera slijeda dogaanja. Univerzalno je jer tee isto i

nepovratno u svim dijelovima prostora. Jedinica za vrijeme je sekunda [s].

Masa. To je koliina materije koja ispunjava tijelo. Ona predstavlja mjeru otpora tijela prema promjeni gibanja, odnosno mjeru tromosti tijela. Masa je konstantna veliina i ima jedinicu kilogram [kg].

Sila. Ona je mjera meusobnog djelovanja tijela i nastoji promijeniti njihovo gibanje ili izazvati deformacije.

Sila je vektorska veliina koju u opem sluaju odreuju sljedei podaci:

1) veliina (intenzitet), 2) pravac, 3) smjer i 4) hvatite (napadna toka). Grafiki, sila se predstavlja u odreenom mjerilu ( FU ) pomou

orijentirane duine. Pokraj ovako predoenog vektora stavlja se njegova oznaka veliko slovo sa strelicom (kukicom) iznad, npr. F

r.

UF (N/cm) Jedinica za silu je njutn [N = kgm-2].

Polazei od osnovnih elemenata, Newton je postavio osnovne zakone mehanike, koji glase:


1. Zakon (zakon inercije) Svako tijelo ostaje u stanju mirovanja ili jednolikog pravocrtnog gibanja, sve dok neka sila koja na njega djeluje to stanje ne promijeni. 2. Zakon (osnovni zakon dinamike) Ubrzanje je proporcionalno sili koja djeluje na tijelo, a zbiva se u njenom pravcu i smjeru. Njegov vektorski zapis glasi:

amF rr =

gdje je: F

r vektor sile, m masa tijela, ar vektor ubrzanja.

Prema ovom zakonu, teina tijela G

r

predstavlja silu kojom Zemlja privlai tijelo prema svome sreditu i ima veliinu:

gmG =

gdje je g = 9,81 m/s2 gravitacijsko ubrzanje. 3. Zakon (zakon akcije i reakcije) Dva tijela djeluju jedno na drugo silama iste veliine i pravca a suprotnog smjera. Prvi zakon mehanike jasno ukazuje na postojanje sile. Drugi zakon mehanike definira veliinu sile. Trei zakon mehanike odreuje da izvor sile treba traiti u materijalnim tijelima. II. STATIKA KRUTIH TIJELA 1. OSNOVNI POJMOVI I ZADACI Sila je pojam koji u statici ima primarno znaenje. Osim grafikog prikaza, silu je mogue predstaviti i analitiki preko svojih komponenata, odnosno ortogonalnih (okomitih) projekcija na osi izabranog k. sustava. Razmotrimo silu F

r iji pravac s osi x zatvara kut .

4 Zlatan Kulenovi

Moemo pisati: iXX

rr = (1) gdje je: X

r komponenta sile (vektor) u pravcu osi x;

X projekcija sile (skalar) na os x; i

r jedinini vektor osi x (odreuje njen pravac i smjer).

U prostornom k. sustavu, ijim su osima x, y i z, pridrueni jedinini vektori i

r, j

r i k

r, vektor sile napisan u analitikom obliku glasi:

kZjYiXZYXF

rrrrrrr ++=++= (2) gdje su: X , Y

r i Z

r komponente sile u pravcima odgovarajuih k. osi;

X, Y i Z projekcije sile na odgovarajue k. osi.

Iz slike je vidljivo da je sila Fr

prostorna dijagonala kvadra, koja s k. osima x, y i z zatvara kutove , i , pa vrijedi: cosFX = , cosFY = , cosFZ = (3) Na osnovi Pitagorina pouka, slijedi veliina sile:


222 ZYXF ++= (4) Pravac sile (kosinusi pravca), dobiva se na osnovi izraza (2):

FX=cos ,

FY=cos ,

FZ=cos (5)

Prema tome, sila je analitiki potpuno definirana izrazima (4) i (5).

Skup sila ),...,2,1( niFi =r

koje djeluju na tijelo naziva se sustav sila.

Sustav sila je u ravnotei, ako se njegovim

djelovanjem stanje tijela (mirovanje ili jednoliko gibanje) ne mijenja.

Dva sustava sila su ekvivalentna ako djelovanjem na isto tijelo uzrokuju

jednaku promjenu njegovog stanja. Ako je sustav sila ekvivalentan samo jednoj sili, tada se ona naziva rezultanta takvog sustava sila.

Sile koje predstavljaju djelovanje drugih tijela

na promatrano tijelo, zovu se vanjske sile. Sile koje se suprotstavljaju djelovanju vanjskih sila, a nastaju izmeu pojedinih estica tijela, predstavljaju unutranje sile. Prouavajui opa svojstva sila koja djeluju na kruto tijelo, u statici se rjeavaju sljedea dva osnovna zadatka:

1. Svoenje sustava sila na jednostavniji oblik 2. Odreivanje uvjeta ravnotee sustava sila

Ovi se zadaci mogu rjeavati grafikim i analitikim metodama. U daljnjem razmatranju, analitikim metodama dat emo prednost.

6 Zlatan Kulenovi

2. AKSIOMI STATIKE

To su istine koje su potvrene iskustvom i eksperimentima. 1. Aksiom

Tijelo se nalazi u ravnotei pod djelovanjem dviju sila samo ako su one

jednake veliine i pravca a suprotnog smjera. Uravnoteen sustav sila

2. Aksiom

Stanje tijela se ne mijenja ako mu se doda ili oduzme uravnoteen sustav

sila.

Na osnovi slike oigledno je da se hvatite sile moe pomjerati du pravca

njenog djelovanja. Prema tome, sila je klizei vektor ili vektor vezan za pravac. Kako se unutranje sile u tijelu uvijek pojavljuju u parovima akcije i reakcije,

one ine uravnoteen sustav sila, to znai da pri prouavanju ravnotee krutog tijela u obzir treba uzeti samo vanjske sile. 3. Aksiom

Rezultanta dviju sila koje djeluju u toki tijela, djeluje u istoj toki a

jednaka je dijagonali paralelograma konstruiranog nad silama kao stranicama.

Paralelogram sila Trokut sila


Pravilo paralelograma sila ili pravilo trokuta sila predstavlja vektorsko zbrajanje sila.

Veliinu rezultante R

r te kutove 1 i 2 koji odreuju njen pravac, dobivamo

mjerenjem. Meutim, njih je mogue i izraunati koritenjem poznatih pouaka geometrije i to: Kosinusni pouak: cos2 212221 FFFFR ++= (6) Sinusni pouak: sinsinsin 1

2

2

1 RFF == (7) 4. Aksiom

Ravnotea deformabilnog tijela se ne mijenja, ako se ono ukruti. Ovaj princip ukruivanja omoguuje da

se uvjeti ravnotee krutog tijela primjene i na deformabilno tijelo. Tako npr. kada savitljivo ue pod djelovanjem sila zauzme deformirani ravnoteni oblik i poloaj, ono se moe razmatrati kao kruto tijelo. 5. Aksiom

Vezano tijelo moe se smatrati slobodnim ako se sve veze uklone, a njihov

utjecaj zamijeni reakcijama tih veza. 3. VEZE I NJIHOVE REAKCIJE

Tijelo ije su mogunosti gibanja ograniene drugim tijelima naziva se vezano tijelo. Tijela koji sprjeavaju gibanje nazivaju se veze, a sile kojima takve veze djeluju na tijelo predstavljaju reakcije veza.

Tijelo i veza meusobno djeluju jednakim silama istoga pravca a suprotnog smjera (zakon akcije i reakcije).

Vanjske sile koje djeluju na vezano tijelo mogu biti aktivne i reaktivne. Aktivne sile (i teina tijela) nastoje izazvati gibanje tijela, dok su reaktivne sile zapravo reakcije veza koje se suprotstavljaju tom gibanju.

Odreivanje reakcija veza vaan je problem pri istraivanju ravnotee tijela.

Postoji vie vrsta veza, a najvanije veze (bez trenja) su sljedee:

8 Zlatan Kulenovi

1. Glatka povrina

Reakcija veze Nr

djeluje okomito na zajedniku povrinu u dodirnoj toki. 2. Savitljivo tijelo

Ako je veza ostvarena pomou savitljivog tijela

(ue, remen, lanac, opruga i sl.), reakcija veze Sr

ima pravac osi zategnute veze.

3. Cilindrini zglob To je veza dva tijela spojena osovinom kroz

otvore na njima. Ona doputa samo okretanje tijela u ravnini okomitoj na os zgloba (xy). Kako pravac reakcije veze A

r nije poznat (kut ), ona se

predstavlja svojim komponentama: xAr

i yAr

u pravcima osi izabranog k. sustava.

4. tap

Ako je tijelo vezano tapom sa zglobovima na

krajevima, reakcija veze Sr

ima pravac spojnice sredita zglobova. 5. Oslonci

U tehnikim konstrukcijama, tijela se oslanjaju na podlogu (postolje, temelj,

leaj i sl.) pomou oslonaca. Najvaniji oslonci u ravnini su: a) Nepomini oslonac

To je zglobna veza koja doputa samo okretanje tijela

oko toke oslanjanja u ravnini okomitoj na os zgloba. Reakcija veze A

r jednaka je kao kod cilindrinog zgloba.


b) Pomini oslonac Ne doputa samo pomak tijela okomito na povrinu

klizanja. Reakcija veze Ar

je kao kod glatke povrine. c) Ukljetenje

vrsta veza koja ne doputa bilo kakvo

gibanje tijela. Ako je ukljetenje u ravnini, reakcije veze su dvije komponente sile: xA

r i

yAr

(opiru se pomacima u pravcima k. osi) i moment AM (opire se okretanju u ravnini). 4. STATIKA ESTICE

Ako se kruto tijelo prikae kao estica, tada se pravci svih sile koje na njega djeluju sijeku u jednoj toki. Takav sustav sila naziva se konkurentni (sueljeni) sustav sila. 4.1 SASTAVLJANJE SILA

To je postupak odreivanja rezultante sustava sila, to je mogue napraviti grafiki i analitiki.

Grafiko sastavljanje sila temelji se na pravilu paralelograma (trokuta sila) koje se, poto se radi o veem broju sila, mora primijeniti vie puta uzastopce.

Na taj se nain dobije pravilo poligona sila. Poligon sila crta se nizanjem jedne sile na drugu,

tako da na kraj prethodne sile postavljamo poetak sljedee. Zavrna stranica tako dobivene izlomljene crte je rezultanta. Ona je usmjerena od poetka prve prema kraju zadnje sile u nizu.

Dakle, rezultanta konkurentnog sustava sila

jednaka je njihovom vektorskom zbroju, tj.:

10 Zlatan Kulenovi

=

=+++=n

iin FFFFR

121 ...

rrrrr (8)

U posebnom sluaju kada sile imaju zajedniki pravac djelovanja, one ine

kolinearni sustav sila. Poligon takvog sustava sila je pravac, to znai da je njihova rezultanta jednaka algebarskom zbroju veliina sila, tj.:

==

n

iiFR

1

(9)

Predznak zbroja () odreuje smjer rezultante.

Analitiko sastavljanje sila temelji se na algebarskom zbrajanju projekcija sila na osi izabranog k. sustava. Zbroj tih projekcija na pojedinu k. os, predstavlja odgovarajuu projekciju rezultante.

Projekcije rezultante na k. osi su:

======

iiiz

iiiy

iiix

FZR

FYR

FXR

cos

cos

cos

(10)

gdje su: i , i i i - kutovi koje svaka od sila iF

r sustava zatvara s k. osima x, y i z.

Veliina rezultante je: 222 zyx RRRR ++= (11) a njen pravac odreuju kutovi koje ona zatvara s k. osima:

RRx

R =cos , RRy

R =cos , RRz

R =cos (12) Posebno, u sluaju da sve sile djeluju u jednoj ravnini, vrijedi:


=+=====

x

yR

yx

iiiy

iiix

RR

RRR

FYR

FXR

tan

sin

cos

22 (13)

4.2 RASTAVLJNJE SILE

To je postupak obrnut sastavljanju sila. Rastaviti silu na komponente znai nai takav sustav sila kome je dana sila rezultanta.

U opem sluaju takva je zadaa neodreena i rjeiva je samo ako su poznati

dopunski podaci o traenim komponentama. Najee su to njihovi unaprijed poznati pravci. Na taj je nain silu mogue jednoznano rastaviti u ravnini na dvije, a u prostoru na tri komponente.

Grafiki, sila se rastavlja na komponente pomou paralelograma odnosno

trokuta sila, a analitiki koritenjem izraza (10). Npr:

4.3 RAVNOTEA SILA

Sustav sila koje djeluju na esticu je u ravnotei, ako je njihova rezultanta jednaka nuli (R = 0). U tom sluaju estica ili miruje ili se giba jednoliko.

12 Zlatan Kulenovi

Grafiki uvjet ravnotee: Poligon (trokut) sila mora biti zatvoren (kraj posljednje sile poklapa se s poetkom prve).

Analitiki uvjeti ravnotee: Algebarski zbrojevi projekcija svih sila na k.

osi moraju biti jednaki nuli.

======

0 3. 0

0 2. 0

0 1. 0

iz

iy

ix

ZR

YR

XR

(14)

Posebno, ako sile djeluju u jednoj ravnini, vrijedi:

==

0 .2

0 .1

i

i

Y

X (15)

Za kolinearne sile, uvjet ravnotee glasi: 0= iF (16)

4.4 RJEAVANJE ZADATAKA RAVNOTEE Pri rjeavanju zadataka ravnotee estice ili krutog tijela, obino su nepoznate reakcije veza. Da bi zadatak bio rjeiv, odnosno statiki odreen, broj nepoznanica mora biti jednak broju uvjeta ravnotee (3 u prostoru, 2 u ravnini). Za vei broj nepoznanica zadatak postaje statiki neodreen. U tom sluaju rjeenje se trai uzimanjem u obzir deformiranje tijela, ime se neemo baviti.


Postupak rjeavanja zadataka: 1. Svaka tehnika konstrukcija obino predstavlja skup meusobno vezanih

tijela. Zato je u ovisnosti od zahtijeva zadatka, potrebno izabrati tijelo ija e se ravnotea razmatrati.

2. Izabrano tijelo treba osloboditi veza i prikazati slikom posebno. Ucrtavaju se sve aktivne sile i reakcije veza, pri emu se smjerovi reakcija mogu uzeti proizvoljno.

3. Postaviti uvjete ravnotee, Za vei broj sila koristiti njihov analitiki oblik, za to je potrebno izabrati pogodan koordinatni sustav s ishoditem u napadnoj toki konkurentnog sustava sila.

4. Odrediti nepoznate veliine, pri emu negativna vrijednost dobivene reakcije znai da je njen stvarni smjer suprotan od pretpostavljenog. Pri rjeavanju zadataka vana je urednost, preglednost i postupnost.

Racionalno je rjeavanje provesti u opim brojevima, a zadane brojane vrijednosti uvrstiti na kraju. Time je omoguena kontrola dimenzija i analiza dobivenih rezultata. Primjer:

14 Zlatan Kulenovi

5. STATIKA TIJELA 5.1 MOMENT SILE

Vektorska veliina koja opisuje tenju sile da okrene tijelo oko neke toke naziva se moment sile za toku.

Vektor momenta sile za toku O, definira se vektorskim (ex) produktom: FrM O

vvv = (17) gdje je: rv vektor poloaja hvatita A vektora sile F

v

Vektor OM

v prolazi kroz toku O, a okomit je na ravninu rotacije OAB u

kojoj lee vektori Fv

i rv . Njegov je smjer odreen pravilom desne ruke: Ako sila nastoji da okrene tijelo u smjeru savijenih prsta desne ruke, tada vektor momenta ima smjer ispruenog palca.

Veliina momenta sile za toku je:

FhrFM O == sin (18) gdje je: h krak sile (udaljenost sile od momentne toke O)

Predznak momenta je pozitivan ako sila tei da okrene tijelo u smjeru suprotnom gibanju kazaljke na satu.

Jedinica za moment sile je njutnmetar [Nm].


Valja primijetiti: 0=OM 0=F ili 0=h (sila prolazi tokom O). Zakljuimo: Moment sile za toku je vektor vezan za toku.

Skalarna veliina koja opisuje tenju sile da okrene tijelo oko neke osi naziva se moment sile za os.

Definira se kao moment projekcije sile na ravninu okomitu na tu os, za

toku u kojoj os probija ravninu.

Prema slici, moment sile za os z glasi:

hFMM xy

Foz

xy == (19) gdje je: Fxy projekcija sile F na ravnin xy, h krak sile u ravnini xy. Oito je: 0=zM 0=xyF (sila F paralelna osi z) ili 0=h (sila F sijee os z) 5.2 MOMENTNO PRAVILO

Razmotrimo sustav sila iFv

s hvatitem u toki A. Njihova rezultanta je: = iFR vv (20) Njen moment za toku O glasi:

== iRO FrRrM vvvvv = FnOFO MM vv ++ ...1

16 Zlatan Kulenovi

ili: = iFORO MM vv (21)

To je momentno pravilo koje glasi: moment rezultante za neku toku jednak je zbroju momenata njenih komponenata za istu toku.

To pravilo vrijedi i za sustav sila s razliitim hvatitima, ako on ima

rezultantu. Posebno, ako sve sile lee u jednoj ravnini, vrijedi skalarna jednadba:

= iFORO MM (22)

Primjena momentnog pravila olakava odreivanje momenta sile F

r za toku O, ako su

poznate njene komponente Xv

i Yv

te koordinate x i y njenog hvatita A, tj:

yXxYFhM O == (23)

5.3 SPREG SILA Spreg sila ine dvije jednake paralelne sile suprotnog smjera. Iako nema rezultantu ( 0== FFR ), taj sustav sila nije u ravnotei ve on nastoji okrenuti tijeko u svojoj ravnini.

Moment sprega sila je vektor okomit na ravninu sprega. Smjer toga vektora odreen je pravilom desne ruke, a njegova veliina iznosi: aFM = (24)

gdje je: a krak sprega (meusobna udaljenost sila).

Moment sprega sila M

v je slobodan vektor i

moe se slobodno pomicati paralelno i du svoga pravca. Zato se njegovo djelovanje u ravnini prikazuje samo krunom strelicom.


Ako na tijelo djeluje vie spregova sila s momentima

)..., ,2 ,1( niM i =v , oni se mogu

zamijeniti jednim rezultantnim spregom sila momenta M

v, tj:

=

=n

iiMM

1

vv (25)

Uvjet ravnotee spregova sila je: 0

1

==

n

iiM

v (26)

U sluaju da spregovi sila djeluju u jednoj ravnini, tada vrijedi skalarni

zapis izraza (25) i (26). 5.4 REDUKCIJA SUSTAVA SILA Djelovanje sile na kruto tijelo nee se promijeniti ako je pomaknemo paralelno u drugu toku i dodamo spreg sila, iji je moment jednak momentu sile za tu toku. Dokaz ovog pravila oigledan je na osnovi slike:

Ovaj postupak naziva se redukcija sile na toku i moe se primijeniti i

na bilo koji sustav sila ),...,2,1( niFi =r

. Ako se sve sile nekog sustava reduciraju na proizvoljnu toku O, tada u

njoj djeluju sustavi konkurentnih vektora sila iFv

i spregova sila momenata iMv

. Vektorski zbroj svih sila iF

v naziva se glavni vektor sustava sila RF

v, a vektorski

18 Zlatan Kulenovi

zbroj svih momenata spregova sila iMv

naziva se glavni moment RMv

sustava sila za toku O.

Vrijedi: = iR FF vv (27)

== iFOiR MMM vvv (28)

Veliine RF i RM odreuju se analitiki preko svojih projekcija na koordinatne osi, tj:

++=

=== 222

,,

RzRyRxR

iRziRyiRx

FFFF

ZFYFXF (29)

++=

=== 222

,,

RzRyRxR

izRziyRyixRx

MMMM

MMMMMM (30)

Kut izmeu vektora RFv i RMv , moe se odrediti na osnovi izraza:

RR

RzRzRyRyRxRx

MFMFMFMF

++= cos (31)

Zakljuimo:

Redukcija sustava sila na neku toku predstavlja svoenje takvog sustava na jednostavniji oblik.


5.5 RAVNOTEA SUSTAVA SILA

Sustav sila je u ravnotei, ako je: 0=RFv

i 0=RMv

, tj.:

0=RF 0=== RzRyRx FFF 0=RM 0=== RzRyRx MMM (32)

Prema tome, na osnovi izraza (29) i (30), analitiki uvjeti ravnotee sustava sila u prostoru glase:

0.1 = iX , 0.2 = iY , 0.3 = iZ 0.4 = ixM , 0.5 = iyM , 0.6 = izM (33)

Ako sve sile djeluju u jednoj ravnini, tada uvjeti ravnotee dobivaju oblik: 0.1 = iX 0 .2 = iY (34) 0.3 = OM

Mogue je koristiti i druge oblike uvjeta ravnotee, uz uvjet da budu

meusobno neovisni. Tako npr. vrijede i sljedei uvjeti ravnotee:

0.1 = AM 0.2 = BM (35) 0.3 = CM

5.6 RJEAVANJE ZADATAKA RAVNOTEE TIJELA Pri rjeavanju zadaa ravnotee vezanog tijela, koje je optereeno proizvoljnim sustavom sila, veze je potrebno ukloniti i zamijeniti njihovim reakcijama. Nepoznate reakcije odreuju se primjenom uvjeta ravnotee (33) ili (34).

20 Zlatan Kulenovi

Zadatak je statiki odreen samo ako broj nepoznanica nije vei od broja uvjeta ravnotee (6 u prostoru, 3 u ravnini). Postupak rjeavanja zadataka ravnotee krutog tijela, jednak je kao kod estice. Primjer:


6.TRENJE

Dodirne povrine tijela u stvarnosti nisu glatke nego su hrapave, to znai da se pri meusobnom pomicanju dva tijela koja se dodiruju javlja otpor nazvan trenje.

U ovisnosti od karaktera gibanja tijela u dodiru, razlikujemo trenje klizanja i trenje kotrljanja. 6.1 TRENJE KLIZANJA Kada jedno tijelo teine G

v klie, ili tei da klie, po drugom tijelu

hrapave povrine pod djelovanjem neke sile Fv

, na mjestu dodira djeluje normalna sila N

v kao kod idealno glatke povrine, ali i tangencijalna sila trenja

Tv

koja se suprotstavlja gibanju. Dakle, trenje predstavlja poseban oblik veze.

Eksperimenti pokazuju da u mirovanju tijela (kada je sila F

v dovoljno mala) vrijedi

izraz: NT S = (36) gdje je: maxTT = - sila statikog trenja (najvea sila koja se pojavljuje neposredno prije poetka klizanja), S - koeficijent statikog trenja. Ovaj izraz predstavlja Coulombov zakon trenja, koji se koristi u tehnikoj praksi za sluaj suhog trenja.

Ako sila Fv

postane dovoljno velika da svlada otpor podloge, nastupa klizanje tijela. Pri gibanju tijela, izraz (36) dobiva oblik:

NT K = (37) gdje je: T - sila kinetikog trenja K - koeficijent kinetikog trenja

Koeficijenti trenja su bezdimenzionalne veliine koje ne ovise o veliini dodirne povrine, ve samo o njenom materijalu i hrapavosti. Odreuju se eksperimentalno. Redovito je: S > K .

22 Zlatan Kulenovi

Ukupna reakcija Rv

hrapave povrine na tijelo, ini s njenom normalom tzv. kut trenja . Slijedi:

==

NTtan (38)

Kut trenja je najvei u graninom sluaju kada je

maxTT = , odnosno u trenutku kada zapoinje klizanje tijela.

Zato se prouavanje ravnotea tijela uz trenje i razmatra u takvom

graninom sluaju.

Trenje klizanja javlja se i pri dodiru savitljivog tijela, npr. ueta s valjkastim krutim tijelom. Zbog trenja, sile 1S i 2S , koje zateu krajeve ueta, nisu jednake.

Za smjer gibanja ueta kao na slici, vrijedi Eulerova formula:

eSS = 12 (39)

gdje je: e baza prirodnog logaritma ( = 2, 7183... ) koeficijent trenja klizanja (na dodiru savitljivo tijelo kruto tijelo)

obuhvatnim kut savitljivog tijela [rad]

Valja uoiti da u idealnom sluaju kada trenja nema ( 0= ), izraz (39) glasi: 21 SS = . 6.2 TRENJE KOTRLJANJA To je otpor koji nastaje pri kotrljanju cilindrinog tijela po hrapavoj podlozi.

Ako na takvo tijelo polumjera r djeluje sila Fv

, zbog teine Gv

tijela podloga se lokalno deformira. Stoga je reakcija R

v podloge na tijelo pomaknuta

u toku B, za veliinu koja se naziva koeficijent trenja kotrljanja f . Ovaj koeficijent ima dimenziju duine ([m]), a ovisi od svojstava materijala i stanja dodirnih povrina.


Ako se reakcija R

v reducira na toku A i rastavi na komponente N

v i T

v,

pojavljuje se i spreg sila, koji se naziva moment trenja kotrljanja TM . Kako je fNM T = , iz ravnotee tijela slijedi veliina sile F

v potrebna za

kotrljanje tijela: G

rfF = (40)

Da bi nastupilo kotrljanje bez klizanja, sila trenja kotrljanja T mora biti

manja od sile statikog trenja klizanja maxT , tj.:

T < maxT ili rf < (41)

Ovaj uvjet je gotovo redovito u praksi ispunjen, to znai da je trenje kotrljanja znatno manje od trenja klizanja.

24 Zlatan Kulenovi

7. NOSAI To su tehnike konstrukcije koje su nepomino oslonjene o podlogu i optereene vanjskim silama. Prema obliku nosai se dijele na gredne i reetkaste. Gredni nosa ima oblik tapa ravne osi, dok je reetkasti nosa kruti sustav meusobno zglobno povezanih tapova.

Vanjske sile koje djeluju na nosa nastoje da ga deformiraju, zbog ega se u nosau pojavljuju unutranje sile. Poznavanje unutranjih sila od bitnog je znaenja za odreivanje potrebnih dimenzija nosaa, ime se osigurava da ne nastupe prevelike deformacije ili lom.

Temeljne zadae statike analize nosaa su odreivanje reakcija u osloncima i unutranjih sila. 7.1 GREDNI NOSAI

Osnovni tipovi grednih nosaa su:


7.1.1 REAKCIJE U OSLONCIMA Grede mogu biti optereene razliitim vrstama optereenja, a osnovna optereenja su:

Reakcije u osloncima i zadano optereenje grede moraju biti u ravnotei, to znai da se reakcije u osloncima odreuju iz uvjeta ravnotee. To su analitiki uvjeti ravnotee sustava sila u ravnini, pri emu se koristi desni koordinatni sustav ija je os z postavljena uzdu osi grede.

7.1.2 UNUTRANJE SILE

Unutranje sile pojavljuju se u nekom zamiljenom poprenom presjeku optereene grede i razdvojene dijelove dre u ravnotei. To su:

N uzduna sila, Q poprena sila, M moment savijanja.

26 Zlatan Kulenovi

Sve ove sile djeluju u teitu T presjeka. Za lijevi (L) i desni (D) dio grede, unutranje sile se razlikuju samo po smjeru (zakon akcije i reakcije).

Veliine unutranjih sila mogu se odrediti iz uvjeta ravnotee, bilo za

lijevi ili za desni dio grede (bira se onaj dio za koji je raun jednostavniji), tj:

= ZN (zbroj projekcija svih sila na uzdunu os z) = YQ (zbroj projekcija svih sila na poprenu os y) (42) = TMM (zbroj momenata svih sila za teita T presjeka)

Da bi unutranje sile imale isti predznak s bilo koje strane presjeka, uvodi

se dogovor o predznacima, koji se temelji na nainu deformiranja grede. Pozitivni smjerovi unutranjih sila u nekom presjeku z, gledano s lijeve

(L) i desne (D) strane su:

Vidljivo je da sila N optereuje gredu aksijalno (vlano ili tlano, ovisno o predznaku), sila Q na smicanje (popreno klizanje), a moment M savija gredu.

Veliine unutranjih sila ovise od poloaja presjeka z grede. Grafiki prikaz promjene unutranjih sila du grede, prikazuju tzv. statiki dijagrami. To su: N, Q i M dijagram.


U tim dijagramima pozitivne vrijednosti unutranjih sila crtaju se iznad a negativne ispod nul linije (linija grede). Oblik statikih dijagrama ovisi od vrste optereenja izmeu promatranih presjeka grede.

Za ilustraciju prikaimo statike dijagrame izmeu dva presjeka, za osnovna optereenja grede:

Valja uoiti skokovite promjene u statikim dijagramima na mjestima

djelovanja koncentrirane sile F (u Q dijagramu) odnosno momenta M (u M dijagramu). Vidljivo je da moment savijanja M raste na dijelu grede na kojem je poprena sila Q pozitivna (Q > 0), a opada na dijelu na kojem je poprena sila negativna (Q < 0). Na mjestu gdje poprena sila Q mijenja predznak (Q = 0), moment savijanja M poprima ekstremnu vrijednost (maksimum ili minimum). Mjesto na gredi gdje moment savijanja ima maksimalnu vrijednost M = Mmax, naziva se opasni presjek. Taj presjek je vaan za dimenzioniranje grede.

Na osnovi gornjih slika i izraunatih vrijednosti unutranjih sila u

karakteristinim presjecima grede, mogue je nacrtati njene statike dijagrame.

28 Zlatan Kulenovi

Primjer:


7.2 REETKASTI NOSAI Reetkasti nosa (reetka) je konstrukcija sastavljena od ravnih tapova meusobno vezanih zglobovima na krajevima. Zglobne veze zovu se vorovi i ne prenose moment. Ako se uzme da vanjske sile djeluju u vorovima i da su teine tapova zanemarive, slijedi da su tapovi reetke optereeni samo aksijalno, na vlak ili na tlak.

Da bi reetka bila nosa, ona mora biti geometrijski nepromjenljiva odnosno kruta. Zato njeni tapovi moraju biti spojeni tako da ine trokute. Reetkasti nosa je statiki odreen ako je zadovoljen uvjet: 32 = ns (43)

gdje je: s broj tapova, n broj vorova.

Ako je broj tapova vei, reetka je statiki neodreena, a za manji broj tapova reetka postaje labilna (mehanizam).

Proraun reetkastih nosaa sastoji se od odreivanja reakcija u osloncima

i unutranjih sila u tapovima. Reakcije u osloncima odreuju se na osnovi analitikih uvjeta ravnotee

sustava sila u ravnini, pri emu se reetka razmatra kao kruta ploa osloboena veza.

30 Zlatan Kulenovi

Sile u tapovima reetke obino se odreuju analitikim metodama, najee metodom vorova i metodom presjeka. 7.2.1 METODA VOROVA

Ova se metoda temelji na uvjetu da sve sile, vanjske (aktivne sile i reakcije u osloncima) i unutranje (sile u tapovima), koje djeluju na jedan vor reetke, moraju biti u ravnotei ako je i cijeli nosa u ravnotei. Prema tome, ako se iz reetke izdvoji neki vor te ucrtaju sve sile u njemu, nepoznate unutranje sile Si u presjeenim tapovima mogu se dobiti iz analitikih uvjeta ravnotee konkurentnog ravninskog sustava sila.

Proraun treba zapoeti s onim vorom u kojem nema vie od dvije nepoznate sile. Pri tome se pretpostavlja da su tapovi optereeni na vlak, to znai da su sile u tapovima usmjerene od vora. Ako se kao rezultat dobije negativan predznak neke sile, to znai da je taj tap optereen na tlak.

Postupak se nastavlja na isti nain i

za ostale vorove reetke, sve dok se ne odrede sve nepoznate sile u tapovima.


7.2.2 METODA PRESJEKA

Ova se metoda (Ritterova metoda) primjenjuje kada treba odrediti sile samo u pojedinim tapovima reetke. Zato se reetka zamiljeno presijeca na dva dijela, tako da mogu biti prerezana najvie tri tapa. Iz ravnotee jednog od dijelova reetke, odreuju se nepoznate unutranje sile Si u presjeenim tapovima.

U pravilu promatra se onaj dio reetke na koji djeluje manje sila, a za sile u tapovima pretpostavlja se da su vlane, to znai da se usmjeravaju od vorova prema presjeku promatranog dijela reetke.

Kako se osi tapova sijeku, koriste se tri momentne jednadbe ravnotee, pri emu se momentne toke biraju u vorovima. Ako se kao rezultat dobije negativan predznak neke sile, to znai da je taj tap optereen na tlak.

32 Zlatan Kulenovi

8. GEOMETRIJSKE ZNAAJKE TIJELA I PLOHA 8.1 TEITE Na svaki djeli tijela djeluje privlana sila sila Zemlje, koja predstavlja njegovu teinu iG

r (i = 1, 2, ... , n). Rezultanta takvog sustava vezanih paralelnih

sila je teina tijela Gr

, ija je veliina: = iGG (44)

Hvatite teine tijela naziva se teite T. Njegov poloaj s obzirom na tijelo ostaje uvijek nepromijenjen bez obzira na poloaj tijela u prostoru.

Primjenom momentnog pravila za koordinatne osi, jednostavno je odrediti poloaj teita tijela.

Koordinate teita su:

G

xGx iiT

= ; G

yGy iiT

= ; G

zGz iiT

= (45) gdje su: xi ,, yi , zi - koordinate i tog djelia tijela.

Kod homogenog tijela gustoa materijala jednaka je za sve njegove djelie, tj. .konst= Kako je VgmgG == , iz (45) slijede koordinate teita volumena:

V

xVx iiT

= ; V

yVy iiT

= ; V

zVz iiT

= (46) gdje je: iV - volumen i tog djelia tijela; = iVV - volumen tijela.

Ako je jedna dimenzija tijela mala u odnosu na ostale dvije, radi se o povrini (npr. tanka ploa). Koordinate teita povrine u njenoj ravnini, dobivaju se analogno i iznose:

A

xAx iiT

= ; A

yAy iiT

= (47) gdje je: iA - povrina i tog djelia tijela; = iAA - povrina tijela.


Izraz (47) koristi se i u sljedeem obliku:

AS

x yT = ; ASy xT = (48)

gdje su: iix yAS = , iiy xAS = - statiki momenti povrine za osi x i y . Jedinica statikog momenta povrine je [m3].

Ako su dvije dimenzije tijela zanemarive, tijelo prelazi u liniju (npr. tap). Koordinate teita linije u ravnini glase:

l

xlx iiT

= ; l

yly iiT

= (49) gdje je: il - duina i tog djelia tijela; = ill - duina tijela.

Prema tome, teita homogenih tijela odreuju se kao teita volumena,

povrina i linija, a ovise samo od geometrijskih svojstava tijela.

Svi gornji izrazi su priblini. Toni izrazi dobivaju se ako se uzme da tijelo ima beskonano mnogo djelia i razmotri granini sluaj. Kako je zbrajanje beskonano malih veliina zapravo integriranje, u svim izrazima znak zbroja () treba zamijeniti znakom integrala (). Takvi izrazi vrijede u opem sluaju, dakle i za nehomogena tijela.

Tako npr. izraz (47) dobiva oblik: = xdAAxT 1 ; = ydAAyT 1 (50) gdje je: dA - povrina djelia tijela; = dAA - povrina tijela.

Postupak traenja poloaja teita tijela moe se znatno pojednostaviti ako je tijelo simetrino, zatim pogodnim izborom koordinatnog sustava, te odgovarajuom zamiljenom podjelom tijela na jednostavnije dijelove.

Kod simetrinih tijela teite se uvijek nalazi u ravnini, na osi ili u toki simetrije.

34 Zlatan Kulenovi

Ako se tijelo moe rastaviti na konaan broj dijelova iji je poloaj teita poznat, tada se koordinate teita tijela odreuju na osnovi izraza (46), (47) i

(49). Kod tijela s izrezima, volumene i povrine takvih izreza treba uvrstiti s negativnim predznakom. Tako npr., ako su koordinate teita dijelova 1, 2 i 3 sloenog lika poznate: );(T ),;(T ),;(T 333222111 yxyxyx , koordinate teita T sloenog lika glase:

321

332211

AAAxAxAxA

AxA

x iiT ++==

321

332211

AAAyAyAyA

AyA

y iiT ++==

8.2 MOMENTI TROMOSTI I OTPORA U statici elastinih tijela koriste se karakteristine geometrijske veliine njihovih poprenih presjeka povrine A. To su: 1. Momenti tromosti povrine

Aksijalni momenti tromosti oko osi x i y : ==

Ay

Ax dAxIdAyI

22 ; (51)

Polarni moment tromosti oko pola P:

=

Ap dArI

2 (52)

Jedinica momenata tromosti povrine je [m4].


Polumjer tromosti oko osi x i y:

AIi xx = ; A

Ii yy = (53)

Jedinica polumjera tromosti je [m].

Moment tromosti sloenog presjeka za neku os jednak je zbroju momenata tromosti pojedinih njegovih dijelova za istu os. Npr.:

4321 xxxxx IIIII +=

Moment tromosti presjeka za os paralelnu teinoj osi, mogue je dobiti na osnovi tzv. Steinerovog pravila.

Npr., ako je poznat moment tromosti presjeka za njegovu teinu os x, za paralelnu os x1 na udaljenosti a, moment tromosti glasi:

AaII xx 21 += (54) 2. Momenti otpora povrine

Aksijalni momenti otpora oko osi x i y :

maxyIW xx = ,

maxxI

W yy = (55) gdje su: maxx i maxy - najvee udaljenosti konture presjeka od koordinatnih osi.

Polarni moment otpora oko pola P:

maxrI

W pp = (56)

36 Zlatan Kulenovi

gdje je: maxr - najvei polumjer konture presjeka (vrijedi samo za krune i prstenaste presjeke). Jedinica za momente otpora je [m3]. Valja naglasiti da se momenti otpora povrine ne mogu zbrajati. Veliine momenata tromosti i otpora nekih jednostavnih povrina presjeka:

64

4DII yx== ;

32

4DI p= ;

32

3DWW yx== ;

16

3DWp= .

)1(646464

4444

==== DdDIIII oxOxyx ;

)1(32

44

= DI p ;

)1(32

43

== DWW yx ; )1(164

3

= DWp ,

gdje je: Dd= .

12

3bhI x = ; 123hbI y = ;

6

2bhWx = ; 62hbWy = .


III STATIKA ELASTINIH TIJELA 1. OSNOVNI POJMOVI I ZADACI

Svako vrsto tijelo pod djelovanjem vanjskog optereenja mijenja svoj oblik i volumen, a u njemu se pojavljuju unutranje sile. Promjena oblika i volumena tijela naziva se deformacija, a specifino optereenje tijela izazvano njegovim unutranjim silama predstavlja naprezanje.

Nakon rastereenja deformacije mogu nestati (elastine deformacije) ili ostati trajne (plastine deformacije).

Analizom naprezanja i deformacija elastinih tijela kao elemenata tehnikih konstrukcija, bavi se elastostatika ili nauka o vrstoi. Njeni osnovni zadaci su prouavanje vrstoe, krutosti i stabilnosti konstrukcija, koje moraju ispunjavati i zahtjeve sigurnosti i ekonominosti.

vrstoa konstrukcije je njezina sposobnost da prenese optereenje bez loma, trajnih deformacija ili oteenja (pukotina).

Krutost konstrukcije podrazumijeva njezinu otpornost prema deformiranju. Stabilnost jest sposobnost konstrukcije da zadri poetni ravnoteni oblik. Pri analizi konstrukcija, uvode se odreene pretpostavke koje

pojednostavljuju rjeavanje i osiguravaju inenjersku tonost (pogreka manja od 5%). Najvanije pretpostavke su izotropnost i homogenost materijala (ista svojstva u svim tokama i pravcima), te male deformacije (u odnosu na veliinu tijela).

Kakve e deformacije vrstog tijela nastupiti pod utjecajem vanjskih sila, ovisi o vrsti optereenja. To se moe pokazati na primjeru tapa kao najvanijeg i najjednostavnijeg konstrukcijskog elementa.

Osnovne vrste optereenja:

38 Zlatan Kulenovi

Aksijalno optereenje. Sile djeluju uzdu osi tapa, tako da njegovo optereenje moe biti vlano (rastezanje), to izaziva produljenje tapa, slika a, ili tlano (sabijanje), koje proizvodi skraenje tapa, slika b.

Smicanje. Sile djeluju u ravnini poprenog presjeka tapa i nastoje izazvati klizanje jednog njegovog dijela u odnosu na drugi, slika c.

Uvijanje (torzija). tap je optereen spregovima sila koji lee u ravnini njegovog poprenog presjeka, slika d.

Savijanje. Takvo optereenje tapa moe biti spregovima sila, slika e, ili silama u ravnini koja prolazi kroz njegovu os, slika f. U prvom se sluaju radi o istom savijanju, dok drugi sluaj predstavlja savijanje silama.

Izvijanje. Tlano optereenje vitkog tapa (dug i tanak tap), kada sila prijee odreenu graninu vrijednost, dovodi do iskrivljenja osi tapa, tj. do njegovog bonog izvijanja, slika g. Izvijanje je, zapravo, gubitak elastine stabilnosti tapa.

Za prikazana optereenja, navest emo izraze za odreivanje naprezanja i

deformacija.

2. NAPREZANJA I DEFORMACIJE

Ako na neko tijelo djeluju vanjske sile, one nastoje da priblie ili razdvoje pojedine estice tijela, emu se suprotstavljaju unutranje sile koje djeluju meu esticama. Pretpostavimo da se tijelo pod djelovanjem vanjskih sila

) ,...,2 ,1( niFi =r

nalazi u ravnotei. Ovo znai da je uspostavljena ravnotea izmeu vanjskih i unutranjih sila i da je deformiranje zavreno.

U zamiljenom presjeku tijela ravninom djeluju unutranje sile, koje predstavljaju utjecaj odstranjenog dijela. Mjera intenziteta ovih sila naziva se naprezanje, i podrazumijeva veliinu unutranje sile svedenu na jedinicu povrine.

U nekoj toki O presjeka, naprezanje se definira vektorom:


dAFd pr

r = (1)

gdje je: Fdr

- elementarna unutranja sila, dA - elementarna povrina presjeka oko toke O. Jedinica za naprezanje je paskal [Pa = N/m2].

U opem sluaju, vektor pr moe se rastaviti na dvije komponente:

- normalno naprezanje (okomito na presjek - pravac normale nr ) i - tangencijalno naprezanje (lei u ravnini presjeka - pravac tangente tr ).

Deformacija u nekoj toki tijela, moe se opisati promjenom elementarnih duina i kutova njezine okolice. Za toku O i dva meusobno okomita pravca povuena kroz nju, mjere deformiranja su:

Duljinska deformacija definira se kao relativno produljenje elementarne duine na pravcu, tj. kao omjer produljenja i poetne duine:

dldl)(= (2)

Kutna deformacija definira se kao promjena prvobitnog pravog kuta izmeu dva pravaca kroz toku:

=2

(3)

Deformacije su bezdimenzionalne veliine. Duljinsku deformaciju izaziva normalno naprezanje , a kutnu deformaciju izaziva tangencijalno naprezanje . U tehnikoj praksi deformacije su vrlo male, reda veliine 10-3 i manje.

3. HOOKEOV ZAKON

Meusobna ovisnost izmeu naprezanja i deformacija svakog vrstog tijela ovisi o fiziko-mehanikim svojstvima materijala od kojeg je tijelo izgraeno, a utvruje se eksperimentalno. Rezultati pokusa najee se prikazuju dijagramom, u kojem se daje ovisnost naprezanja o deformaciji, tj.: - ili - . Prema obliku dobivenih dijagrama, tehniki materijali se dijele na krhke i rastezljive.

40 Zlatan Kulenovi

Tijelo od krhkog materijala (npr. kaljeni elik, sivi lijev, beton itd.) prije loma dobiva male elastine deformacije (el), za razliku od tijela izgraenog od rastezljivog materijala (npr. meki elik, bakar, bronca itd.), koje nakon poetnih elastinih deformacija pokazuje sposobnost znatnih plastinih deformacija (pl) prije loma.

Vane toke na dijagramu s odgovarajuim naprezanjima su:

P P granica proporcionalnosti (do te toke ovisnost naprezanja i deformacije je linearna, a deformacije su elastine); T T granica teenja (od te toke zapoinju velike deformacije, tzv. teenje materijala, pri emu su takve deformacije plastine); M M granica vrstoe (najvee naprezanje koje materijal moe podnijeti prije loma). Prema tome, pri malim elastinim deformacijama (do toke P), postoji proporcionalnost izmeu naprezanja i deformacija, tj.: = E (4) ili = G (5) gdje je: E - modul elastinosti [Pa], G modul smicanja [Pa]. To su konstantne veliine za odreeni materijal. Npr. za elik vrijedi: E = 210 GPa i G = 80 GPa.

Izrazi (4) i (5) predstavljaju Hookeov

zakon. To je temeljni zakon nauke o vrstoi, jer sva dobivena rjeenja vrijede samo u njegovim granicama, tj. do granice proporcionalnosti.

Da bi konstrukcija u radu bila sigurna (bez loma ili trajnih deformacija), njeno najvee naprezanja mora biti manje od nekog doputenog naprezanja, koje se definira kao:

SM

d = - krhki materijali;

ST

d = - rastezljivi materijali (6)

gdje je: S koeficijent sigurnosti (S > 1).


4. AKSIJALNO OPTEREENJE

Razmotrimo tap proizvoljnog poprenog presjeka povrine A na krajevima optereen silama F, koje djeluju du njegove osi z. U nekom poprenom presjeku tapa, pojavljuju se unutranje sile koje su paralelne njegovoj osi. Njihova rezultanta je uzduna sila N. To znai da se u svakoj toki presjeka pojavljuje samo normalno naprezanje .

Na svakoj elementarnoj povrini dA djeluje normalna unutranja sila

dA . Uvjet ravnotee dijela tapa glasi:

== 0 0 FNZ ili FdAA

= (-)

Kako je raspodjela naprezanja po presjeku jednolika, tj. = konst., slijedi naprezanje:

AF= ili

AN= (7)

U sluaju vlanog optereenja tapa (N > 0), naprezanje je pozitivno ( >

0), a kod tlanog optereenja (N < 0), naprezanje je negativno ( < 0).

Aksijalno optereenje tapa duljine l, uzrokuje promjenu njegove duljine za l . Pri vlanom optereenju l > 0 (produljenje) , a pri tlanom l < 0 (skraenje).

42 Zlatan Kulenovi

Uzimajui u obzir Hookeov zakon (4), uzduna duljinska deformacija tapa iznosi:

El

l == (8)

Ako se u izraz (7) uvrsti izraz (8), slijedi promjena duljine tapa:

EA

lNl = (9)

Veliina EA naziva se aksijalna krutost tapa i predstavlja mjeru opiranja tapa deformiranju u pravcu njegove osi.

U sluaju da se popreni presjek tapa i/ili

njegovo optereenje mijenjaju skokovito, tada ukupno produljenje tapa iznosi:

=

=n

i ii

ii

AElN

l1

(10)

gdje je: li duljina i-tog dijela tapa na kojem je Ni = konst. i EiAi = konst.

Promjena duljine tapa moe nastati i zbog promjene njegove temperature za t i iznosi: tll = (11) gdje je: - koeficijent toplinskog rastezanja [K-1].

Pri tome je toplinska deformacija tapa: t

ll

T == (12)

Ako je promjena duljine tapa sprijeena, npr. zbog nepominih i krutih stijenki izmeu kojih je tap uvren, tada se pojavljuje toplinsko naprezanje: tEETT == (13)

Naprezanje u tapu je tlano (T < 0), ako se temperatura povisi (t > 0). Pri smanjenju temperature (t < 0), u tapu se pojavljuje vlano naprezanje (T > 0).


Odreivanje dimenzija tapova ili njihova provjera za zadano optereenje, izvodi se prema: 1. Uvjet vrstoe: dA

N = maxmax (14) 2. Uvjet krutosti: d max ili dlEA

lNl maxmax = (15)

gdje indeks max oznaava najvee, a indeks d doputene vrijednosti. 5. SMICANJE Ako na tap djeluju dvije bliske sile okomito na njegovu os, one nastoje da pomaknu dijelove tapa u poprenom presjeku. Takvo optereenje se naziva isto smicanje, jer se utjecaj savijanja izazvan spregom sila (M = Fe) zbog male udaljenosti sila (e

44 Zlatan Kulenovi

Iako je rasporedjela naprezanja neravnomjerna po presjeku, u praksi se uzima da je = konst., pa iz izraza (16) slijedi naprezanje:

AF= ili

AQ= (17)

Ovaj izraz je priblian, a koristi se kod dimenzioniranja ili kod provjere vrstoe konstrukcijskih elemenata izloenih istom smicanju. Uvjet vrstoe glasi: d (18)

gdje je d - doputeno naprezanje na smicanje (npr. za elik dd 8,0 ).

Pri smicanju, kvadratni oblik napregnutog elementa zbog djelovanja naprezanja poprima oblik romba, pa iz Hookeovog zakona slijedi kutna deformacija:

G = (19)

gdje je: G - modul smicanja.

U tehnikoj praksi postoji niz primjera optereenja konstrukcijskih elemenata na isto smicanje. Tipian primjer je spoj dijelova konstrukcija ostvaren zakovicama.

Popreni presjek zakovice (oznaen crtkano) optereen je

na smicanje i u njemu se pojavljuju tangencijalna naprezanja. Trup zakovice bit e prerezan u tom presjeku, ako sila F bude dovoljno velika.

Uvjet vrstoe na smicanje zakovice je:

dAF = (20)

gdje je: 4

2dA = - povrina smicanja. Ako je spoj ostvaren s n zakovica, tada je ukupna povrina smicanja An .


6. UVIJANJE Uvijanje tapa izazivaju momenti Mt koji djeluju u ravnini njegovog poprenog presjeka. Kako su u praksi najei tapovi okruglog poprenog presjeka, moe se uzeti da se pri uvijanju popreni presjeci ne deformiraju ve se zakreu kao krute figure oko osi tapa z. To znai da se u tim presjecima pojavljuju samo tangencijalna naprezanja .

Prikaimo tap koji je uklijeten na jednom kraju, a na drugom optereen vanjskim momentom uvijanja tM . Eksperimenti pokazuju da se svaka njegova izvodnica nakon deformiranja zakree za konstantan kut , koji predstavlja kutnu deformaciju (kut smicanja).

Kvadrat na povrini tapa poprima oblik romba, to znai da je izloen

smicanju tangencijalnim naprezanjima . Meusobni zakret krajnjih poprenih presjeka tapa, opisuje kut uvijanja . Na osnovi geometrijske analize gornje slike slijedi:

r= (21) pa Hookeov zakon (4) glasi: GrG == (22) gdje je:

dzd = - relativni kut uvijanja (analogan kod aksijalnog optereenja

tapa).

46 Zlatan Kulenovi

Izrazi (21) i (22) pokazuju da i , rastu linearno od nule u osi tapa ( 0=r ), do maksimalne vrijednosti na povrini tapa ( Rr = ).

Na svaku elementarnu povrinu tapa dA djeluje unutranja sila dA , pa uvjet ravnotee jednog dijela tapa glasi:

0 0 == t

Az MrdAM (23)

Nakon uvrtavanja izraza (22) i rjeavanja slijedi: Relativni kut uvijanja:

p

t

GIM= (24)

gdje je: Ip - polarni moment tromosti povrine presjeka. Veliina GIp naziva se krutost na uvijanje (torzijska krutost). Naprezanje: r

IM

p

t= (25) Za r = rmax = R (povrina tapa), slijedi veliina maksimalnog naprezanja:

p

t

p

t

WMr

IM == maxmax (26)

gdje je: pW - polarni moment otpora povrine presjeka. Na slici je pokazana raspodjela naprezanja u poprenom presjeku tapa: a) kruni presjek, b) prstenasti presjek.


Kut uvijanja:

p

t

GIlMl == (27)

Jedinica za kut uvijanja je [rad].

U sluaju da se popreni presjek tapa i/ili njegovo optereenje mijenjaju skokovito, vrijedi:

pii

itin

i IGlM

==

1

(28) gdje je: li duljina i-tog dijela tapa na kojem je .konstM ti = i .konstIG pii =

Dimenzioniranje ili provjera tapova optereenih na uvijanje, provodi se

na osnovi: 1. Uvjet vrstoe:

dp

t

WM =max (29)

gdje je: d - doputeno tangencijalno naprezanje. 2. Uvjet krutosti: d

p

t

GIM =max (30)

gdje je: d - doputeni relativni kut uvijanja [rad/m].

Na slici je prikazano lako vratilo optereeno na uvijanje, konstrukcijski element u obliku tapa koji prenosi snagu i rotacijsko gibanje.

48 Zlatan Kulenovi

7. SAVIJANJE tap je optereen na savijanje kada vanjsko optereenje djeluje u ravnini koja prolazi kroz njegovu uzdunu os z. Konstrukcijski element oblika tapa oslonjen o podlogu i optereen na savijanje naziva se greda, pri emu on dobiva zakrivljeni oblik.

Greda

Ako u ravnini optereenja djeluju samo spregovi sila, tap je optereen na isto savijanje. U sluaju da u njoj djeluju i sile, radi se o savijanju silama.

Razmotrimo najei sluaj istog savijanja tapa, kada su teine osi poprenog presjeka x i y, ujedno i njegove osi simetrije. Ravnina yz je ravnina optereenja. tap je na svojim krajevima optereen spregovima sila momenta M.


Pod djelovanjem optereenja tap se deformira, a njegova uzduna os prelazi u zakrivljenu crtu koja se naziva elastina linija. U ovom sluaju elastina linija ima oblik krunog luka (polumjer zakrivljenosti = konst.).

Ako su deformacije male, moe se pretpostaviti da popreni presjeci tapa ostaju ravni i okomiti na elastinu liniju i nakon deformiranja. Pri tom se uzduna vlakna na gornjoj strani tapa skrauju a na donjoj produljuju. Naravno, postoje vlakna koja ne mijenjaju svoju duljinu a lee u neutralnoj liniji, koja u poprenom presjeku daje neutralnu os (n-n). Ona se poklapa s osi x.

Prema tome, u poprenom presjeku tapa postoje samo normalna naprezanja u pravcu osi tapa.

Razmotrimo jedan deformirani element tapa izmeu dva bliska poprena presjeka koja meusobno zatvaraju kut d . Vlakno duljine dz na udaljenosti y od neutralne linije produljuje se za

dz , uslijed normalnog naprezanja .

Uzduna deformacija toga vlakna, prema definiciji je:

yd

yddzdz === (31)

Prema Hookeovom zakonu, naprezanje iznosi: yEE == (32)

Jednadba ravnotee elementa tapa glasi: 0 0 ==

Ax ydAMM (33)

Uvrtavanjem izraza (32), slijedi zakrivljenost elastine linije:

xEI

M=1 (34)

gdje je: Ix aksijalni moment tromosti povrine presjeka za os x (neutralna os). Veliina xEI naziva se krutost na savijanje.

50 Zlatan Kulenovi

Uvrtavajui izraz (34) u izraz (32), dobiva se naprezanje: y

IM

x

= (35)

Pomou ovog izraza mogue je odrediti naprezanje u bilo kojoj toki presjeka tapa. Moe se zakljuiti da je raspodjela normalnog naprezanja linearna po visini poprenog presjeka. U tokama neutralne osi (y = 0), naprezanja nema, dok se najvea naprezanja pojavljuju u tokama presjeka koje su najudaljenije od neutralne osi ( maxyy = ).

Maksimalno naprezanje ima veliinu:

xx WMy

IM == maxmax (36)

Raspodjela normalnih naprezanja u poprenom presjeku prikazana je sljedeom slikom:

Kod savijanja silama, u poprenom presjeku tapa pojavljuje se i tangencijalno naprezanje izazvano poprenom silom Q. Meutim, ono je u pravilu mnogo manje od normalnog naprezanja , pa ga neemo odreivati.

Prema tome, uvjet vrstoe na savijanje glasi:

dxW

M = maxmax (37)

gdje je: maxM - maksimalni moment savijanja u opasnom presjeku tapa, d - doputeno naprezanje na savijanje.


Elastina linija predstavlja mjeru deformacije tapa pri savijanju. Poznavanje njezinog oblika vano je pri ispitivanju krutosti ovako optereenih konstrukcijskih elemenata.

Jednadba elastine linije u opem sluaju ima oblik y = y (z). Vertikalni pomak teita T presjeka tapa u nekoj toki naziva se progib f, a kut zakreta tangente t na elastinu liniju naziva se nagib .

Podaci o elastinim linijama za razliito optereene grede, mogu se nai u tehnikim prirunicima.

Primjer:

52 Zlatan Kulenovi

7. IZVIJANJE Kod tlano optereenih tapova koji imaju relativno veliku duljinu u odnosu na dimenzije poprenog presjeka (tzv. vitki tapovi), moe doi do savijanja u stranu, odnosno izvijanja. Takvo krivljenje tapa izazvano je aksijalnom a ne poprenom silom i predstavlja gubitak stabilnosti oblika. Gubitak stabilnosti i pored ispunjenih uvjeta vrstoe i krutosti, neizbjeno vodi do loma tapa. To znai da sigurnost konstrukcijskog elementa iji deformirani ravnoteni oblik nije stabilan, zapravo i ne postoji. Prema tome, osim vrstoe i krutosti konstrukcije, prvorazredno znaenje ima i pitanje njezine stabilnosti. Ovo je posebno izraeno u suvremenim konstrukcijama, gdje se do minimuma smanjuju poprene dimenzije zbog uporabe otpornijih materijala i nastojanja da se teina to vie smanji. Najmanja sila pri kojoj se tap izvija, naziva se kritina sila Fkr. Njena veliina definirana je Eulerovim izrazom, koji glasi:

20

min2

lEIFkr

= (38) gdje je: Imin - minimalni aksijalni moment tromosti presjeka tapa (izvijanje se uvijek odvija oko osi presjeka za koju je krutost tapa najmanja, odnosno za koju je aksijalni moment tromosti najmanji), 0l - slobodna duljina izvijanja.

Na slici su prikazani osnovni oblici i slobodne duljine izvijanja za razliite naine uvrenja tapa.


U trenutku izvijanja tapa, kritino naprezanje iznosi:

22

E

AFkr

kr == (39)

gdje je: min

0

il= - bezdimenzijska karakteristika tapa koja se naziva vitkost

tapa,

A

Ii minmin = - minimalni polumjer tromosti presjeka tapa.

Izrazi (38) i (39) vrijede samo u elastinom podruju, tj. za naprezanja:

Pkr

gdje je: P - granica proporcionalnosti, odnosno, za vitkosti: > P

gdje je: P

PE = - granina vitkost (npr. elik P 100).

Pri provjeri stabilnosti oblika, mora se voditi rauna da tap ima izvjesnu

sigurnost protiv izvijanja, to znai da naprezanje mora biti manje od doputene vrijednosti, tj.:

Skr

d = (40)

gdje je: S koeficijent sigurnosti (stabilnosti). On ovisi o materijalu, vitkosti i drugim faktorima (npr. za elik vrijedi 35,1 =S i vie).

54 Zlatan Kulenovi

IV. KINEMATIKA Kinematika prouava geometrijska svojstva gibanja tijela ne uzimajui u obzir njihovu masu i sile koje na njih djeluju. Temeljni zadatak kinematike je odreivanje kinematikih veliina (putanja, brzina i ubrzanja) pojedinih toaka tijela. Kinematike veliine funkcije su vremena. 1. KINEMATIKA ESTICE 1.1 OSNOVNE KINEMATIKE VELIINE Svaka toka tijela ili estica opisuje pri gibanju krivulju koja se naziva putanja. Ovisno o njenom obliku, gibanje moe biti pravocrtno i krivocrtno.

Poloaj estice u prostoru,

odreen je vektorom poloaja rr , ili vrh slijedi putanju estice. Dakle rr je funkcija vremena, tj.: )(trr rr = (1) To je jednadba gibanja estice u vektorskom obliku.

U intervalu vremena t, estica prelazi iz poloaja A1 u poloaj A2 na putanji, pri emu se vektor rr promijeni za rr .

Omjer prirasta vektora poloaja i prirasta pripadnog vremena, naziva se

srednja brzina estice srvr :

trvsr

=rr (2)

Vektor srv

r ima isti pravac i smjer kao i vektor rr .

Granina vrijednost izraza (2), daje trenutnu brzinu estice vr : r

dtrd

tr v

t&r

rrr === 0lim (3)


Dakle, vektor brzine jednak je prvoj derivaciji vektora poloaja po vremenu. On ima pravac tangente na putanju u datoj toki i smjer gibanja. Jedinica za brzinu je [ms-1].

U promatranom intervalu vremena t, promijenit e se i vektor brzine vr za vr .

Omjer prirasta vektora brzine i prirasta pripadnog vremena, naziva se srednje ubrzanje estice

srar :

tvasr

=rr (4)

Vektor sra

r ima isti pravac i smjer kao i vektor vr .

Granina vrijednost izraza (4), daje trenutno ubrzanje estice ar : rv

dtvd

tv a

t&&r&r

rrr ==== 0lim (5) Prema tome, vektor ubrzanja jednak je prvoj derivaciji vektora brzine po vremenu, odnosno drugoj derivaciji vektora poloaja po vremenu. Vektor ubrzanja uvijek je usmjeren u konkavnu stranu putanje estice. Jedinica za ubrzanje je [ms-2]. U opem sluaju, svakom trenutku vremena t odgovara odreeni vektor rr , vr i ar . 1.2 PRAVOCRTNO GIBANJE

Izvodi ga estica ija je putanja pravac. Ako se ishodite vektora poloaja odabere u jednoj toki putanje, tada se vektori rr , vr i ar , poklapaju s putanjom, pa vektorsko opisivanje nije potrebno.

Poloaj estice prikazuje se njenom udaljenou od ishodita O, koja se

naziva put s.

56 Zlatan Kulenovi

Vrijedi: )(tss = (6) To je zakon pravocrtnog gibanja estice. Jedinica za put je [m].

Prema izrazu (3), brzina estice je: s

dtdsv &== (7)

a prema izrazu (5), njeno ubrzanje iznosi: sv

dtdva &&& === (8)

Predznaci s, v i a, odgovaraju smjeru gibanja estice. Ako su predznaci v i a jednaki, gibanje estice je ubrzano. U suprotnom, gibanje estice je usporeno.

U sluaju da je poznato ubrzanje a estice, tada se brzina v i put s mogu odrediti integriranjem, tj.:

+=== 1 Cadtvadtdvdtdva (9)

+=== 2 Cvdtsvdtdsdtdsv gdje su: C1 i C2 konstante integracije, za ije se odreivanje moraju poznavati poetni uvjeti , odnosno vrijednosti s i v na poetku gibanja.

Radi preglednosti, esto se promjene kinematikih veliina: s(t), v(t) i a(t), prikazuju grafiki tzv. kinematikim dijagramima:


1.2.1 JEDNOLIKO GIBANJE Takvo gibanje izvodi estica ija je brzina konstantna (v = konst.), a ubrzanja nema (a = 0).

Razmotrimo esticu koja zapoinje gibanje iz nekog poloaja A0, udaljenog za s0 od ishodita O. U tom poetnom trenutku vremena t0, poetna brzina estice iznosi v0.

Nakon vremena t estica se pomjeri u poloaj A, pri emu njena brzina ostaje ista. Na osnovi izraza (9) slijedi:

+=+= CvtCvdts Poetni uvjeti glase: u trenutku t = 0, s = s0 C = s0, to uvrteno u gornji izraz daje prijeeni put: vtss += 0 (10) Kinematiki dijagrami jednolikog gibanja estice imaju izgled:

1.2.2 JEDNOLIKO PROMJENLJIVO GIBANJE Pri ovakvom gibanju, ubrzanje estice je konstantno (a = konst.). Na osnovi izraza (9) moe se pisati:

+=+= 11 CatCadtv

Poetni uvjeti glase: u trenutku t = 0, v = v0 C1 = v0, to uvrteno u gornji izraz daje brzinu: atvv += 0 (11)

58 Zlatan Kulenovi

Vrijedi i:

++=++=+= 220202 2)( CattvCdtatvCvdts Poetni uvjeti glase: u trenutku t = 0, s = s0 C2 = s0, to uvrteno u gornji izraz daje prijeeni put:

2

2

00attvss ++= (12)

Izrazi (11) i (12) vrijede za jednoliko ubrzano gibanje (a > 0). Za

jednoliko usporeno gibanje (a < 0), u te izraze treba ubrzanje uvrstiti s negativnim predznakom.

Kinematiki dijagrami jednoliko promjenljivog gibanja estice imaju

izgled:

Tipini primjeri jednoliko promjenljivog gibanja estice su slobodan pad (v0 = 0; a = g = 9,81 ms-2 gravitacijsko ubrzanje) i vertikalni hitac (prema dolje: a = g; uvis: a = - g).

1.3 KRIVOCRTNO GIBANJE Kinematike veliine pri krivocrtnom gibanju estice obino se prikazuju u nekom koordinatnom sustavu. Najee se koriste pravokutni Descartesov koordinatni sustav i prirodni koordinatni sustav. 1.3.1 PRIKAZIVANJE U DESCARTESOVOM K. SUSTAVU Poloaj estice u ovom koordinatnom sustavu, odreen je njenim koordinatama, koje ovise od vremena, tj.: x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t) (13)


To su jednadbe gibanja estice u Descartesovim koordinatama.

Vektor poloaja estice u tom sluaju glasi:

kzjyixrrrrr ++= (14)

gdje su: i

r, j

r, k

r - jedinini vektori koordinatnih osi x,

y, z (ne ovise o vremenu t).

Vektor brzine je: kzjyixrv

r&

r&r&&rr ++== (15) gdje su veliine komponenata vektora brzine u pravcima koordinatnih osi:

==

==

==

dtdzzv

dtdyyv

dtdxxv

z

y

x

&

&

&

(16)

Veliina i pravac vektora brzine su:

===++=

cos ;cos ;cos

222

vv

vv

vv

vvvv

zv

yv

xv

zyx

(17)

Vektor ubrzanja glasi: kzjyixrva

r&&

r&&r&&&&r&rr ++=== (18) gdje su veliine komponenata vektora brzine u pravcima koordinatnih osi:

==

==

==

2

2

2

2

2

2

dtzdza

dtydya

dtxdxa

z

y

x

&&

&&

&&

(19)

60 Zlatan Kulenovi

Veliina i pravac vektora ubrzanja su:

===++=

cos ;cos ;cos

222

aa

aa

aa

aaaa

za

ya

xa

zyx

(20)

Ako se estica giba u ravnini, vektori poloaja, brzine i ubrzanja imaju

samo po dvije komponente u toj ravnini. 1.3.2 PRIKAZIVANJE U PRIRODNOM KOORDINATNOM SUSTAVU Prirodni koordinatni sustav vee se za esticu koja se giba, a ine ga dvije meusobno okomite osi: tangenta T i glavna normala N, definirane svojim jedininim vektorima Te

r i Ner .

Pozitivan smjer osi T bira se proizvoljno, dok je pozitivan smjer osi N onaj koji gleda prema sreditu zakrivljenosti putanje C s polumjerom zakrivljenosti R.

Poloaj estice A na putanji,

odreen je duljinom luka s, mjereno s obzirom na poetni poloaj A0. Dakle s je krivocrtna koordinata i funkcija je vremena, tj.:

s = s(t) (21) To je jednadba gibanja estice u prirodnim koordinatama.

Za beskonano male pomake estice na putanji vrijedi: Tedsrdrr , pa

vektor brzine estice glasi: TT esedt

dsdtrdrv r&&r ==== (22)

Vektor brzine poklapa se s osi T, a veliina brzine estice iznosi: sv &= (23) Vektor ubrzanja estice je:


TTT esesesdtd

dtvdva &r&r&&r&&rr +==== )( (24)

Kako jedinini vektor Te

r mijenja svoj pravac tijekom vremena (pripada pominom k. sustavu), vrijedi:

NT eRse &r&&r =

pa izraz (24) dobiva oblik:

NT eRsesa r&r&&r

2

+= (25)

Oigledno je da vektor ubrzanja ima dvije

komponente u pravcima k. osi T i N. Veliine komponenata ubrzanja su:

tangencijalna komponenta saT &&= (26)

normalna komponenta RsaN

2&=

Veliina i pravac vektora ubrzanja iznose:

=+=

cos

22

aa

aaa

Ta

NT

(27)

Vektori tangencijalnog ubrzanja Tar i brzine vr imaju isti pravac jer lee

na osi T. Ako ti vektori imaju isti smjer, gibanje estice je ubrzano. U suprotnom, njeno je gibanje usporeno. U sluaju da je 0=Tar , gibanje estice je jednoliko ( .konstv =r ). Vektor normalnog ubrzanja Nar lei na osi N i uvijek je usmjeren prema sreditu zakrivljenosti C putanje. Ako je putanja estice pravac, tada je 0=Nar .

62 Zlatan Kulenovi

2. KINEMATIKA KRUTOG TIJELA Poloaj krutog tijela koje se moe slobodno gibati u prostoru, potpuno je odreen koordinatama njegove tri proizvoljne nekolinearne toke. Kako je meusobni razmak tih toaka nepromjenljiv, ostaje est meusobno neovisnih koordinata poloaja krutog tijela koje su funkcije vremena t, tj.:

)(321 . )( );( );(

ji , , j i,konstAAtzztyytxx

ji

iiiiii

=====

To su jednadbe opeg gibanja slobodnog krutog tijela. Meutim,

sl

Documents

Tehnicka-mehanika