TEHNICKA MEHANIKA 2 - grf.bg.ac.rs · PDF fileKineti£ka energija Elementarni i virtuelni rad Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema TEHNI KA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije,

Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad

Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema

TEHNI�KA MEHANIKA 2

Osnovne akademske studije, III semestar

Prof. dr Stanko Br£i¢Prof. dr Rastislav Mandi¢Doc. dr Stanko �ori¢

email: [email protected]

Gra�evinski fakultetUniverzitet u Beogradu

�k. god. 2017/18

S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2



Sadrºaj

1 Kineti£ka energija

Kineti£ka energija materijalne ta£ke

Kineti£ka energija sistema materijalnih ta£aka

Kineti£ka energija krutog tela

2 Elementarni i virtuelni rad

Elementarni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo

Virtuelni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo

3 Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema

Drugi Njutnov zakon

Dalamberov princip

Op²ta jedna£ina dinamike

Lagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrste

Primer: matemati£ko klatno




Kineti£ka energija materijalne ta£keKineti£ka energija sistema materijalnih ta£akaKineti£ka energija krutog tela

Sadrºaj









Drugi Njutnov zakon

Dalamberov princip








Kineti£ka energija mat. ta£ke





Kineti£ka energija


De�nicija kineti£ke energije

T =1

2m (~v)2

Skalarni oblik u Dekatrovim koorinatama

T =1

2m(x2 + y2 + z2)

Skalarni oblik u prirodnim koordinatama

T =1

2ms2





Kineti£ka energija


Generalisane koordinate q1, q2, q3- polarno-cilindarske ρ, ϕ, z- sferne kordinate R,ϕ, ϑ

Vektor poloºaja ta£ke ~r = ~r(q1, q2, q3)

Bazni vektori generalisanog sistema ~gi =∂~r

∂qi(i = 1, 2, 3)

Kineti£ka energija se dobija u obliku:

T =1

2

3∑i=1

3∑j=1

gij qi qj

gde su gij koe�cijenti metri£ke forme gij = ~gi · ~gj = gjiS.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2




Sadrºaj









Drugi Njutnov zakon

Dalamberov princip








Kineti£ka energija


Broj materijalnih ta£aka: N

Broj stacionarnih holonomnih veza: r

Broj stepeni slobode: n = 3N − rGeneralisane koordinate: qi = qi(t) (i = 1, 2, . . . , n)

Vektor poloºaja ta£ke Pk je ~rk = ~rk(q1, q2, . . . , qn)

Vektor brzine proizvoljne ta£ke sistema je

~vk =

n∑i=1

∂~rk∂qi

qi





Kineti£ka energija sistema mat. ta£aka





Kineti£ka energija


Kineti£ka energija jedne ta£ke Pk je

Tk =1

2mk(~vk)

2 =1

2mk

(n∑i=1

∂~rk∂qi

qi

) n∑j=1

∂~rk∂qj

qj

Ukupna kineti£ka energija sistema je jednaka

T =

N∑k=1

Tk





Kineti£ka energija


Posle sre�ivanja moºe da se dobije T kao homogena kvadratna

forma po generalisanim brzinama (za stacionarne veze)

T =1

2

n∑i=1

n∑j=1

Aij qi qj

gde su Aij elementi generalisane mase:

Aij = Aji =

N∑k=1

mk∂~rk∂qi

∂~rk∂qj





Sadrºaj









Drugi Njutnov zakon

Dalamberov princip













Kineti£ka energija


De�nicija kineti£ke energije krutog tela:

T =1

2

∫m(~v)2dm

Kako je

(~v)2 = (~vA + ~ω × ~ρ)2 = (~vA)2 + 2~vA · (~ω × ~ρ) + (~ω × ~ρ)2

kineti£ka energija se dobija u obliku:

T =1

2m(~vA)

2 + (~vA × ~ω) ·∫m~ρ dm+

1

2

∫m(~ω × ~ρ)2 dm





Kineti£ka energija


Integral u sredini izraza je jednak nuli

(~vA × ~ω) ·∫m~ρ dm = 0

u slu£ajevima:

• Op²te kretanje A ≡ S ⇒∫~ρdm = 0

• Sferno kretanje ~rA = const ⇒ ~vA = 0• Zavojno kretanje ~vA ‖ ~ω ⇒ ~vA × ~ω = 0• Translatorno kretanje ~ω = 0 ⇒ T = 1

2m(~vA)2





Kineti£ka energija


Uvek je ispunjen jedan od navedenih uslova, pa je

T =1

2m(~vA)

2 +1

2

∫m(~ω × ~ρ)2 dm

Prvi deo je kineti£ka energija translacije, a drugi deo kineti£ka

energija rotacije

Integral u kineti£koj energiji rotacije se dobija u vidu proizvoda

momenata inercije i koordinata vektora ~ω = {p, q, r}:∫m(~ω × ~ρ)2 dm = p2Jξ + q2Jη + r2Jζ

+ 2pqJξη + 2qrJηζ + 2rpJζξ





Kineti£ka energija


Kineti£ka energija krutog tela u op²tem slu£aju kretanja

(A ≡ S) je data sa:

T =1

2m(~vS)

2 +1

2(p2Jξ + q2Jη + r2Jζ)

+ (pqJξη + qrJηζ + rpJζξ)

U slu£aju sfernog kretanja (referentna ta£ka A je nepokretna),

kineti£ka energija je:

T =1

2(p2Jξ + q2Jη + r2Jζ)

+ (pqJξη + qrJηζ + rpJζξ)





Kineti£ka energija


U referentnoj ta£ki (S ili A) se za materijalne ose biraju glavne

ose inercije (1), (2) i (3). Vektor ~ω = {ω1, ω2, ω3}Kineti£ka energija krutog tela u op²tem slu£aju kretanja

(A ≡ S) je data sa:

T =1

2m(~vS)

2 +1

2(ω2

1J1 + ω22J2 + ω2

3J3)

U slu£aju sfernog kretanja (referentna ta£ka A je nepokretna),

kineti£ka energija je:

T =1

2(ω2

1J1 + ω22J2 + ω2

3J3)










Kineti£ka energija


Kineti£ka energija krutog tela moºe da se prikaºe i u

matri£nom obliku (za op²te kretanje tela):

T =1

2{vS}T [m]{vS}+

1

2{ω}T [J ](S){ω}

Prvi deo izraza predstavlja kineti£ku energiju translacije, a

drugi deo je kineti£ka energija rotacije





Kineti£ka energija


U izrazu za T sa{vS} i {ω} su matri£no prikazani vektori

brzine sredi²ta mase i ugaona brzina krutog tela:

{vS} =

vSξvSηvSζ

{ω} =

pqr

dok su [m] i [J ] matrica mase i matrica inercije:

[m] =

mm

m

[J ](S) =

Jξ Jξη JξζJηξ Jη JηζJζξ Jζη Jζ

(S)





Kineti£ka energija

Kineti£ka energija krutog tela - ravno kretanje

Kineti£ka energija krutog tela u slu£aju ravnog kretanja je:

T =1

2m(~vS)

2 +1

2JS ω

2

Prvi deo izraza predstavlja kineti£ku energiju translacije, a

drugi deo je kineti£ka energija rotacije

~vS je vektor brzine sredi²ta mase, ω je ugaona brzina, dok su

m i JS masa tela i centralni momenat inercije tela za osu

upravno na ravan kretanja





Kineti£ka energija krutog tela - ravno kretanje




Elementarni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto teloVirtuelni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo

Sadrºaj









Drugi Njutnov zakon

Dalamberov princip








Elementarni rad sile - materijalna ta£ka





Elementarni rad sila


Elementarni rad sile, odn. rad sile na elementarnom

pomeranju, je, za materijalnu ta£ku, de�nisan sa:

dA = ~F · d~r

Prema de�niciji vektorskog proizvoda, elementarni rad sile je

dA = |~F | |d~r| cos(~F , d~r)

Koordinatni oblici elementarnog rada sile su

- Dekartov sistem (x, y, z) . . . dA = Xdx+ Y dy + Zdz- Prirodni sistem (τ, n, b) . . . dA = Fτds







Ako na ta£ku istovremeno deluje vi²e sila, elementarni rad svih

sila je dat sa

dA = ~FR · d~r

gde je ~FR rezultanta sila koje deluju na ta£ku

Ako je sila ⊥ na elementarno pomeranje, elementarni rad je

nula:~F⊥d~r ⇒ dA = 0

(jer je cos(~F , d~r) = 0)





Elementarni rad sile - sistem materijalnih ta£aka






Elementarni rad sila - sistem mat. ta£aka

Posmatra se sistem mat. ta£aka sa reonomnim

(nestacionarnim) holonomnim vezama Pk, (k = 1, . . . , N)

Sistem ima n stepeni slobode i generalisane koordinate su

qi = qi(t)

Za takav sistem vektor poloºaja proizvoljne ta£ke Pk je dat sa

~rk = ~rk(q1, q2, . . . , qn, t)

Prema tome, elementarno pomeranje je dato sa:

d~rk =

n∑i=1

∂~rk∂qi

dqi +∂~rk∂t

(k = 1, 2, . . . , N)






Elementarni rad sile - sistem mat. ta£aka

Elementarni rad sila na sistemu materijalnih ta£aka je:

dA =

N∑k=1

~Fk · d~rk =

N∑k=1

n∑i=1

~Fk ·∂~rk∂qi

dqi +

N∑k=1

~Fk ·∂~rk∂t

dt

U dvostrukoj sumi se promeni redosled sabiranja

(komutativnost):

N∑k=1

n∑i=1

~Fk ·∂~rk∂qi

dqi =

n∑i=1

dqi

(N∑k=1

~Fk ·∂~rk∂qi

)






Elementarni rad sile - sistem mat. ta£aka

Uvodi se oznaka za generalisanu silu koja odgovara

generalisanoj koordinati qi:

Qi =N∑k=1

~Fk ·∂~rk∂qi

(i = 1, 2, . . . , n)

ili, u razvijenom obliku,

Qi =

N∑k=1

(Xk∂xk∂qi

+ Yk∂yk∂qi

+ Zk∂zk∂qi

)






Materijalna ta£ka i sistem mat. ta£aka

Sa ovim se dobija ukupan elementarni rad sila koje deluju na

sistem materijalnih ta£aka u obliku:

dA =

n∑i=1

Qi dqi +

N∑k=1

~Fk∂~rk∂t

dt

U slu£aju sistema sa stacionarnim holonomnim vezama je

dA =

n∑i=1

Qi dqi





Elementarni rad sila - kruto telo






Elementarni rad sila na krutom telu

Posmatra se slobodno kruto telo

Na telo deluje sistem koncentrisanih sila ~Fk u napadnim

ta£kama Pk (k = 1, 2, . . . , N)

Elementarni rad sila koje deluju na kruto telo je dat sa

dA =

N∑k=1

~Fk · d~rk

gde su d~rk elementarna pomeranja napadnih ta£aka sila







Kod krutog tela je elementarno pomeranje d~rk napadne ta£ke

Pk dato sa:

d~rk = d~rA + �~θ × ~ρkgde je d~rA elementarno pomeranje referentne ta£ke A, dok je

�~θ vektor elementarne rotacije tela, a ~ρk vektor poloºaja ta£ke

Pk u odnosu na referentnu ta£ku A

Prema tome, elementarni rad sila koje deluju na kruto telo je

dat sa

dA =

N∑k=1

~Fk · (d~rA + �~θ × ~ρk)







Me²oviti proizvod u izrazu za dA se transformi²e

~Fk · (�~θ × ~ρk) = �~θ · (~ρk × ~Fk)

Vektori d~rA i �~θ ne zavise od sabiranja (jedinstveni su za

telo), tako da se dobija

dA = d~rA ·N∑k=1

~Fk + �~θ ·N∑k=1

(~ρk × ~Fk)







Elementarni rad sila koje deluju na kruto telo se dobija u obliku

dA = ~FR · d~rA + ~M(A)R · �~θ

gde su uvedene oznake za glavni vektor sila ~FR =∑N

k=1~Fk

i za glavni vektor momenata za redukcionu referentnu ta£ku A

~M(A)R =

N∑k=1

(~ρk × ~Fk)





Sadrºaj









Drugi Njutnov zakon

Dalamberov princip








Virtuelni rad sile - materijalna ta£ka







Virtuelni rad sile koja deluje na materijalnu ta£ku, odnosno,

rad sile na virtuelnom pomeranju ta£ke, de�ni²e se sa:

δA = ~F · δ~r

Virtuelni rad sile koja deluje na materijalnu ta£ku moºe da se

prikaºe u obliku

δA = |~F | |δ~r| cos(~F , δ~r)

Virtuelni rad je jednak nuli ako je

~F⊥δ~r ⇒ δA = 0





Virtuelni rad sila - sistem materijalnih ta£ka







Posmatra se sistem sa holonomnim nestacionarnim vezama

Vektor poloºaja svake ta£ke sistema Pk, (k = 1, . . . , N),

prikazuje se kao

~rk = ~rk(q1, q2, . . . , qn, t)

Virtuelni rad sila koje deluju na sistem materijalnih ta£aka je:

δA =

N∑k=1

~Fk · δ~rk

gde su δ~rk virtuelna pomeranja ta£aka sistema







Vektor virtuelnog pomeranja ta£ke Pk je dat sa

δ~rk =

n∑i=1

∂~rk∂qi

δqi

Kod virtuelnih pomeranja se vreme ne menja, tako da nema

parcijalnog izvoda ~rk po vremenu, iako su veze nestacionarne

Virtuelni rad postaje

δA =

N∑k=1

n∑i=1

~Fk ·∂~rk∂qi

δqi







Redosled sabiranja se promeni:

δA =

n∑i=1

δqi

N∑k=1

~Fk ·∂~rk∂qi

Imaju¢i u vidu de�niciju generalisane sile koja odgovara

generalisanoj koordinati

Qi =N∑k=1

~Fk ·∂~rk∂qi







kona£an izraz za virtuelni rad sila koje deluju na sistem mat.

ta£aka je

δA =

n∑i=1

Qi δqi

Izraz za virtuelni rad omogu¢ava e�kasnije odre�ivanje

generalisanih sila izra£unavanjem virtuelnog rada







Ako se posmatra vitruelno pomeranje kod koga samo jedna od

generalisanih koordinata qi dobije virtuelni prira²taj:

δqj = 0, j = 1, 2, . . . , (i− 1), (i+ 1), . . . , n δqi 6= 0

onda je virtuelni rad jednak:

δA = Qi δqi

Drugim re£ima, generalisana sila je koe�cijent u izrazu za

virtuelni rad uz varijaciju generalisane koordinate, za slu£aj

virtuelnog pomeranja kod kojeg sa samo jedna od

generalisanih koordinata virtuelno menja (δqi 6= 0)





Virtuelni rad sila na krutom telu







Posmatra se slobodno kruto telo

Na telo deluje sistem koncentrisanih sila ~Fk u napadnim

ta£kama Pk (k = 1, 2, . . . , N)

Virtuelni rad sila na krutom telu je de�nisan kao i za sistem

mat. ta£aka

δA =

N∑k=1

~Fk · δ~rk

gde su δ~rk virtuelna pomeranja napadnih ta£aka sila







Kod krutog tela je virtuelno pomeranje δ~rk napadne ta£ke Pkdato sa:

δ~rk = δ~rA + δ~θ × ~ρkgde je δ~rA virtuelno pomeranje referentne ta£ke A, dok je δ~θvektor virtuelne rotacije tela, a ~ρk vektor poloºaja ta£ke Pk u

odnosu na referentnu ta£ku A

Prema tome, virtuelni rad sila koje deluju na kruto telo je dat

sa

δA =

N∑k=1

~Fk · (δ~rA + δ~θ × ~ρk)







Me²oviti proizvod u izrazu za δA se transformi²e

~Fk · (δ~θ × ~ρk) = δ~θ · (~ρk × ~Fk)

Vektori δ~rA i δ~θ ne zavise od sabiranja (proizvoljni su, ali su

jedinstveni za telo), tako da se dobija

δA = δ~rA ·N∑k=1

~Fk + δ~θ ·N∑k=1

(~ρk × ~Fk)







Virtuelni rad sila na krutom telu se dobija u kona£nom obliku

δA = ~FR · δ~rA + ~M(A)R · δ~θ

gde je

- δ~rA virtuelno pomeranje referentne ta£ke A- δ~θ vektor virtuelne rotacije oko proizvoljne ose kroz referentnuta£ku A

- dok su ~FR i ~M(A)R glavni vektor sila i glavni vektor momenata

za ta£ku A




Drugi Njutnov zakonDalamberov principOp²ta jedna£ina dinamikeLagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrstePrimer: matemati£ko klatno

Sadrºaj









Drugi Njutnov zakon

Dalamberov princip








Drugi Njutnov zakon






Drugi Njutnov zakon

Sistem od N mat. ta£aka sa r veza, odn. sa n = 3N − rstepeni slobode kretanja

Na svaku ta£ku k deluje aktivna sile ~Fk (moºe da bude i nula,

a ako ima vi²e sila na jednu ta£ku, onda je ~Fk njihova

rezultanta)

Veze se uklone i zamene odgovaraju¢im reakcijama veza ~Rk

Posmatra se sistem slobodnih ta£aka Pk

Na svaku slobodnu ta£ku deluju dve sile: ~Fk i ~Rk






Drugi Njutnov zakon

Primeni se Drugi Njutnov zakon (aksiom) na svaku slobodnu

ta£ku:

mk ~ak = ~Fk + ~Rk (k = 1, 2, . . . , N)

Kako je ubrzanje ~ak drugi izvod ~rk, to se dobija sistem

diferencijalnih jedna£ina kretanja:

mk ~rk = ~Fk + ~Rk (k = 1, 2, . . . , N)

Neophodno je da se poznaju i po£etni uslovi kretanja

t = 0 : ~rk(0) = ~rk0 ~rk(0) = ~vk0






Drugi Njutnov zakon

Ukupan broj skalarnih diferencijalnih jedna£ina kretanja je 3N

Ukupan broj nepoznatih je: n+ r:

- n generalisanih koordinata- r reakcija veza

Kako je broj stepeni slobode kretanja (odn. broj generalisanih

koordinata) odre�en sa n = 3N − r , iz dif. jedna£ina

kretanja napisanih direktnom primenom 2. Njutnovog zakona

se (na£elno) odre�uju i generalisane koordinate i reakcije veza





Sadrºaj









Drugi Njutnov zakon

Dalamberov princip









Dalamberov princip

Posmatraju se dif. jed. kretanja sistema napisane primenom

Drugog Njutnovog zakona:

mk ~ak = ~Fk + ~Rk (k = 1, 2, . . . , N)

De�ni²e se inercijalna sila koja deluje na ta£ku Pk:

~F ink = −mk ~ak

Drugi Njutnov zakon za svaku ta£ku moºe da se napi²e u

obliku:

~Fk + ~Rk + ~F ink = 0 (k = 1, 2, . . . , N)






Dalamberov princip

Dalamberov princip: (za mat. ta£ku i sistem mat. ta£aka)

Tokom kretanja materijalne ta£ke ili sistema materijalnih

ta£aka, aktivne, reaktivne i inercijalne sile su u "ravnoteºi"

~Fk + ~Rk + ~F ink = 0 (k = 1, 2, . . . , N)

Inercijalna sila za materijalnu ta£ku, ili za materijalnu ta£ku

izdvojenu iz sistema mat. ta£aka, de�nisana je sa

~Fin = −m~a odn. ~F ink = −mk ~ak






Dalamberov princip

Relacija predstavlja uslove kvazi-ravnoteºe aktivnih, reaktivnih

i inercijalnih sila

Formalno gledano, problem kretanja sistema je transformisan u

kvazi-mirovanje, odn. diferencijalne jedna£ine kretanja su

prikazane kao jedna£ine "ravnoteºe" aktivnih, reaktivnih i

inercijalnih sila

Inercijalne sile se nazivaju i "�ktivne sile inercije" jer nemaju

svoje poreklo u drugim telima, ve¢ se izraºavaju preko mase i

ubrzanja posmatranog tela





Sadrºaj









Drugi Njutnov zakon

Dalamberov princip










Posmatra se sistem materijalnih ta£aka sa idealnim vezama

koje su de�nisane sa relacijom:

N∑k=1

~Rk δ~rk = 0

(ukupan virtuelni rad reakcija veza za ceo sistem je jednak nuli)

Ako se uklone veze u posmatranom sistemu i zamene

reakcijama veza, na svaku slobodnu ta£ku deluje aktivna ~Fk i

reaktivna sila ~Rk

Napi²e se 2. Njutnov zakon za svaku slobodnu ta£ku sistema







Svaka od jedna£ina se pomnoºi sa virtuelnim pomeranjem

posmatrane ta£ke:

mk~ak = ~Fk + ~Rk / · δ~rk (k = 1, 2, . . . , N)

Ako se sve jedna£ine saberu, dobija se:

N∑k=1

mk~akδ~rk =

N∑k=1

~Fkδ~rk +

N∑k=1

~Rkδ~rk

Imaju¢i u vidu de�niciju idealnih veza, drugi zbir na desnoj

strani je jednak nuli







Dalamber-Lagranºova jedna£ina ili Op²ta jedna£ina dinamike:

U svakom trenutku kretanja materijalnog sistema sa idealnim

vezama zbir radova svih aktivnih i inercijalnih sila na virtuelnim

pomeranjima ta£aka sistema jednak je nuli:

N∑k=1

[~Fk + (−mk~ak)]δ~rk = 0





Sadrºaj









Drugi Njutnov zakon

Dalamberov princip










Op²ta jedna£ina dinamike za sistem sa idealnim vezama:

N∑k=1

mk~akδ~rk =

N∑k=1

~Fkδ~rk

Kako je ~ak =d~vkdt , kao i

∑Nk=1

~Fkδ~rk =∑n

i=1Qiδqi, to se

dobijaN∑k=1

mkd~vkdtδ~rk =

n∑i=1

Qiδqi (1)







Iz relacijed

dt(~vkδ~rk) =

d~vkdtδ~rk + ~vk

dδ~rkdt

se dobijad~vkdtδ~rk =

d

dt(~vkδ~rk)− ~vk

dδ~rkdt

Sa ovim, imaju¢i u vidu da je mk = const, relacija (1) postaje

d

dt

N∑k=1

mk~vkδ~rk −N∑k=1

mk~vkdδ~rkdt

=

n∑i=1

Qiδqi (2)







Obzirom na komutativnost operatora d i δ, sledi:

dδ~rkdt

= δ

(d~rkdt

)= δ~vk

pa relacija (2) postaje

d

dt

N∑k=1

mk~vkδ~rk −N∑k=1

mk~vkδ~vk =

n∑i=1

Qiδqi (3)







Tako�e je virtuelno pomeranje ta£ke Pk dato sa

δ~rk =n∑i=1

∂~rk∂qi

δqi / · ddt

pa se, diferenciranjem po vremenu, dobija

δ~vk =

n∑i=1

∂~vk∂qi

δqi







Na taj na£in relacija (3) postaje

d

dt

N∑k=1

mk~vk

n∑i=1

∂~rk∂qi

δqi −N∑k=1

mk~vk

n∑i=1

∂~vk∂qi

δqi =

n∑i=1

Qiδqi

(4)

Ranije je pokazano da vaºi relacija

∂~vk∂qi

=∂~rk∂qi







odn., izvod vektora brzine po generalisanoj brzini jednak je

izvodu vektora poloºaja po generalisanoj koordinati

Unose¢i to u relaciju (5), uz promenu redosleda sabiranja,

dobija se:

n∑i=1

[d

dt

N∑k=1

mk~vk∂~vk∂qi

]δqi −

n∑i=1

(N∑k=1

mk~vk∂~vk∂qi

)δqi =

n∑i=1

Qiδqi

(5)







Kineti£ka energija sistema je data sa

T =1

2

N∑k=1

mk(~vk)2

pa se dobijaju relacije

∂T

∂qi=

N∑k=1

mk~vk∂~vk∂qi

∂T

∂qi=

N∑k=1

mk~vk∂~vk∂qi

(6)







Unose¢i (6) u (5), dobija se

n∑i=1

[d

dt

(∂T

∂qi

)− ∂T

∂qi

]δqi =

n∑i=1

Qiδqi (7)

Kako se posmatra sistem sa holonomnim vezama, to su

varijacije δqi me�usobno nezavisne

Zbog toga jedna£ine (7) postaju

d

dt

(∂T

∂qi

)− ∂T

∂qi= Qi (i=1,2,. . . ,n) (8)

odn. dobijaju se Lagranºeve dif. jedna£ine kretanja II vrsteS.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2






Sa T je ozna£ena kineti£ka energija sistema

T =1

2

n∑i=1

n∑j=1

Aij qi qj

dok su Qi generalisane sile date sa

Qi =

N∑k=1

~Fk∂~rk∂qi

(i = 1, 2, . . . , n)

U Lagranºevim diferencijalnim jedna£inama kretanja nema

reakcija veza - �guri²u samo generalisane koordinate





Sadrºaj









Drugi Njutnov zakon

Dalamberov princip









PRIMER:

Posmatra se matemati£ko klatno mase m i duºine `(materijalna ta£ka mase m je vezana nerastegljivim uºetom

duºine ` za nepokretnu ta£ku i kre¢e se u vertikalnoj ravni)

Napisati diferencijalne jedna£ine kretanja klatna primenom:1 Drugog Njutnovog zakona2 Dalamberovog principa3 Op²te jedna£ine dinamike4 Lagranºevih jedna£ina II vrste





Primer: Matemati£ko klatno u vertikalnoj ravni


Documents

TEHNICKA MEHANIKA 2 - grf.bg.ac.rs · PDF fileKineti£ka energija Elementarni i virtuelni rad Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema TEHNI KA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije,