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Ecole Suprieure des Communications de Tunis

Travaux Dirigs de Transmission Numrique N 3 : Transmission en

Bande Porteuse sur Canal Idal

Exercice 1 : Modulation MAQ

On dsire transmettre des lments binaires au dbit D de 1 Gbit/s ( 910 bits/s), en utilisant une

modulation MAQ 22 n (comportant un alphabet de 22 n signaux, n entier positif), sans interfrence

entre symboles, et on dispose dune bande de frquences B disponible de 200 MHz (1 MHz = 610

Hz).

Quel est le nombre minimal de signaux de lalphabet si on simpose un coefficient de retombe

(roll-off) du filtre de Nyquist suprieure ou gale 0,2 ?

Exercice 2 : Modulation MDP-2 avec modulateur imparfait en phase

On considre une modulation de phase deux tats dans laquelle les deux phases possibles du

signal sont0

et0

2 + ,0

tant une certaine phase et est un angle compris entre 0 et / 2 .

1) Dterminer la phase0

telle que la dmodulation du signal reu par multipliant par la porteuse

0 0cos(2 )f t + donne, en labsence de bruit, deux signaux opposs selon le symbole binaire

transmis.

2) Exprimer la probabilit derreur en prsence de bruit blanc gaussien et comparer une

modulation de phase idale ( 0 = ).

Exercice 3 : Liens entre modulations en bande de base et modulations en bande porteuse

1) On considre une modulation dimpulsion en amplitude en bande de base, de rapidit de

modulation 1/R T= , o T est la priode symbole. On suppose que cette modulation utilise un

filtre dmission en racine de cosinus surlev, de facteur de retombe [0,1 ] . Dterminer, en

rappelant et en sappuyant sur la formule de BENNET, loccupation spectrale (la largeur de la

bande spectrale occupe) du signal modul.


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2) On considre maintenant une modulation damplitude en quadrature, de mme rapidit de

modulation 1/R T= et utilisant un filtre en racine de cosinus surlev de mme facteur de

retombe .

a) Dterminer loccupation spectrale de cette modulation en bande porteuse.

b) Comparer son occupation spectrale celle de la modulation en bande base du 1).

c) Si N dnote la taille de lalphabet utilis par la modulation en bande de base, quelle doit

tre la taille M de lalphabet de la modulation en bande porteuse, en fonction de N , pour

conserver la mme efficacit spectrale.

d) Est-ce que le changement de taille de lalphabet en bande porteuse, par rapport celui de

la bande de base, conduit une augmentation du rapport0

/b

E N (Rapport nergie moyenne par

lment binaire sur densit spectrale mono latrale du bruit) ncessaire lobtention dune

probabilit derreur binaire cible donne ?

Problme 1 : Modulation MDP-2 avec modulateur imparfait en amplitude

On considre un modulateur de phase deux tats (Modulation MDP-2) imparfait qui dlivre une

onde, la frquence porteuse0

f , de phase0

et damplitude A , lorsque llment binaire

transmettre est 1, et de phase0

+ et damplitude A , avec 0 1< < , lorsque llment binaire

transmettre est 0. Les symboles binaires, transmis un dbit 1/D T= , sont supposs quiprobables.Le signal reu la sortie dun canal idal, est entach dun bruit blanc additif gaussien bande

troite ( )B t autour de0

f , de densit spectrale de puissance0

/ 2N . Le schma du dmodulateur

utilis est donn par la figure 1.

Figure 1 : Structure du rcepteur utilis

1) a) Exprimer le signal modul sous la forme

0 0( ) ( ) cos(2 )k

k

u t a h t kT f t = +

x(t) w(t)

cos(2f0t+ 0)

Filtrage

asse-bas

w1(t)

gr(t)

Filtrage

ada t

y(t)

Comparateur

t0+nT


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o ( )h t est une porte rectangulaire damplitude gale 1 et de dure T , et les ka sont des symboles

prenant leurs valeurs dans un alphabet quon demande didentifier.

b) Evaluer la puissance moyenne mP du signal mis en bande porteuse.

2) Exprimer ( )B t en fonction de ses composantes en phase, ( )cB t , et en quadrature, ( )sB t .

3) Donner lexpression de chacun des signaux ( )x t , ( )w t et 1( )w t , reprsents en Figure 1.

4) En notant par ( )b t le bruit en sortie du filtre adapt et par ( ) ( ) ( )rr t h t g t = le filtrage global

dans la chane, donner lexpression de ( )y t , reprsent en Figure 1, en fonction de ( )r t et de ( )b t .

5) Conditionnellement une valeur donne de llment binaire transmis, lchantillon

0( )y t nT+ est une variable alatoire gaussienne, note Y .

a) Dterminer la moyenne et la variance de Y .

b) Dterminer les densits de probabilit conditionnelles de Y pour chaque valeur de

llment binaires transmis.

c) Donner lexpression de la probabilit derreur binaire en fonction dun seuil de dcision

S quelconque. On rappelle que si X est une variable alatoire gaussienne relle, de moyenne m et

de variance 2 , alors

1( ) erfc

2 2

c mP X c

=

.

6) Le signal transmis est dmodul au moyen du dmodulateur qui serait optimal si les deux

amplitudes taient gales. Exprimer la probabilit derreur binaire en fonction de A , T , 0N et ,

puis en fonction de D , 0N , et mP .

7) En utilisant les rsultats du cours, donner le seuil optimal, oS , tenant compte de cette

imperfection. Donner lexpression de la probabilit derreur correspondant ce seuil optimal.

8) Exprimer la dgradation en fonction de , par rapport au cas dun modulateurparfait.

Problme 2 : Modulation MDP-2 avec dmodulateur imparfait

On considre le signal modul en MDP-2 sur onde porteuse :

0 0( ) ( )cos(2 )

cu t u t f t = +

o

( ) ( )c kk

u t a h t kT = ,


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0f et 0 dsignent respectivement la frquence porteuse et la phase de la porteuse, les { }ka

dsignent une suite de symboles binaires prenant leurs valeurs dans lalphabet { , }d d + et ( )h t

reprsente dans toute la suite un filtre en racine de Nyquist pour le rythme symbole 1/R T= .

Le signal reu se met sous la forme

( ) ( ) ( )x t u t B t= +

o ( )B t est un bruit blanc bande troite dont la densit spectrale de puissance est limite une

bande de largeur finie autour des frquences 0f et 0f .

Le bruit ( )B t se dcompose sous la forme

0 0 0 0( ) ( ) cos(2 ) ( )sin(2 )c sB t B t f t B t f t = + + .

Les composantes en phase ( )cB t et en quadrature ( )sB t sont supposes gaussiennes, dcorrles de

densit spectrale puissance commune 0N .

x

( )x t

0 0 0cos(2 )A f t

Filtrageadapt

Filtragepasse-bas

*

0( )h t t

Comparateur

0t kT

k

a( )w t 1( )w t

Figure 2 : Structure du rcepteur dune modulation MDP2 en prsence dune erreur de phase

de loscillateur local.

La structure du rcepteur pour la MDP2 est reprsente sur la Figure 2. On suppose que le rcepteur

possde une estimation errone0

de la phase initiale0

de la porteuse. Le signal reu ( )x t est

alors multipli par une onde porteuse sinusodale 0 0 0cos(2 )A f t + issue dun oscillateur local.

Dans toute la suite, 0 0 0 = reprsente lerreur destimation de phase au niveau du rcepteur.

1) a) Expliciter le signal ( )w t , produit du signal reu ( )x t et de la porteuse 0 0 0cos(2 )A f t + ,

sous la forme

1 2( ) ( ) ( )w t w t w t = +

o 1( )w t et 2 ( )w t sont des signaux bande troite dont les spectres sont localiss respectivement

autour de 0 et de 02f .

b) Donner les expressions explicites de 1( )w t et de 2 ( )w t .


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2) On suppose quun filtrage passe-bas supprime pratiquement2( )w t et naltre pratiquement pas

1( )w t .

a) Mettre le signal 1( )w t en sortie du filtre passe-bas sous la forme

( )0

1( ) ( ) ( ) ( )2 c c sA

w t u t B t B t = + + .

b) Donner les expressions explicites de facteurs multiplicatifs , et en fonction de

lerreur de phase 0 .

3) Montrer que le terme de bruit

( ) ( ) ( )c sb t B t B t = +

est quivalent un bruit blanc bande troite rel de densit spectrale de puissance 0N .

4) Avec le signal filtr 1( )w t on se ramne un signal modul numriquement en bande de base en

prsence dun bruit blanc gaussien. On a vu que le rcepteur qui minimise la probabilit derreur est

constitu par le filtre *0

( )h t t adapt au signal ( )h t , suivi dun comparateur seuil.

a) Exprimer lexpression de la probabilit derreur binaire (identique la probabilit

derreur sur les symboles pour une modulation MDP-2) sous la forme

0

1erfc

2e

PP

N D

=

,

o P est la puissance reue utile, 0 / 2N est la densit spectrale de puissance du bruit en bande

porteuse et 1/D R T= = est le dbit binaire. Indication : sinspirer de lexpression de la probabilit

derreur en labsence derreur de phase au niveau du rcepteur.

b) Donner la valeur explicite de la dgradation 1010log occasionne par une erreur sur la

phase initiale par rapport une dmodulation parfaite (sans erreur sur la phase initiale) en fonction

de lerreur de phase0

.

c) Dterminer lerreur de phase correspondant la probabilit derreur maximale de 0.5 etinterprter.

Problme 3 : Modulation MDP-4 avec dmodulateur imparfait

On considre le signal modul en MDP-4 sur onde porteuse :

{ }0 0( ) ( ) exp( (2 ))eu t e u t j f t = +

o {}e est loprateur partie relle,

( ) ( )e k

k

u t c h t kT =


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est lenveloppe complexe du signal mis, 0f et 0 sont respectivement la frquence et la phase de la

porteuse,k k kc a jb= + est le symbole transmis linstant kT , de composantes en phase ka et en

quadraturekb , prenant ses valeurs dans lalphabet { ( 1 ) / 2}d j et ( )h t est un filtre de mise en

forme, rel, en racine de Nyquist pour le rythme symbole 1/R T= .

Le signal reu se met sous la forme

( ) ( ) ( )x t u t B t= +

o ( )B t est un bruit blanc bande troite dont la densit spectrale de puissance est limite une

bande de largeur finie autour des frquences 0f et 0f .

Le bruit ( )B t en bande porteuse, denveloppe complexe ( ) ( ) ( )e c sB t B t jB t= + relativement une

phase de rfrence0

arbitraire, peut se mettre sous la forme

0 0 0 0( ) ( ) cos(2 ) ( )sin(2 )

c sB t B t f t B t f t = + + .

Les composantes en phase ( )cB t et en quadrature ( )sB t sont supposes gaussiennes, dcorrles de

densit spectrale puissance commune0N , 0 / 2N tant la densit spectrale de puissance bilatrale

du bruit en bande porteuse.

Figure 3 : Structure du rcepteur dune modulation MDP-4 en prsence dune erreur de

phase de loscillateur local.

La structure du rcepteur pour la MDP-4 est reprsente sur la Figure 3. On suppose que le

rcepteur possde une estimation errone0

de la phase initiale0

de la porteuse. Le signal reu

( )x t est alors multipli par 0 0 0cos(2 )A f t + pour rcuprer la phase et par 0 0 0sin(2 )A f t +

pour rcuprer la quadrature. Dans toute la suite, 0 0 0 = reprsente lerreur destimation de

phase au niveau du rcepteur.

x(t)

wc(t)

Filtrage

passe-bas

wc1(t)

Filtrage

adapt

h(t0 - t)

A0cos(2f0t+ 0)

ws(t)

Filtrage

passe-bas

ws1(t)

Filtrage

adapt

h (t0 - t)

/2

t0+kT

t0+kT

ak

bk

Comparateur

Comparateur

yc1(t)

ys1(t)


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1) a) Expliciter le signal ( )cw t , produit de ( )x t et de 0 0 0cos(2 )A f t + , sous la forme

1 2( ) ( ) ( )

c c cw t w t w t = +

o1( )

cw t et 2 ( )cw t sont des signaux bande troite dont les spectres sont localiss respectivement


b) De mme, expliciter le signal ( )sw t , produit de ( )x t et de 0 0 0sin(2 )A f t + , sous la

forme

1 2( ) ( ) ( )

s s sw t w t w t = +

o1( )

sw t et 2 ( )sw t sont des signaux bande troite dont les spectres sont localiss respectivement


2) On suppose que les deux filtrages passe-bas utiliss en rception suppriment pratiquement

2( )

cw t et 2 ( )sw t sans altrer 1( )cw t et 1( )sw t . Montrer que pour un choix adquat de la phase de

rfrence0

quon prcisera, on peut mettre les signaux en sortie des deux filtres passe-bas en

rception sous la forme

( )01( ) ( ) ( ) ( )2

c c s c

Aw t u t u t B t = + + et ( )01( ) ( ) ( ) ( )

2s s c s

Aw t u t u t B t = + ,

o

( ) { ( )} ( )c e k

k

u t e u t a h t kT = = et ( ) { ( )} ( )s e kk

u t m u t b h t kT = =

sont les parties relle et imaginaire de lenveloppe complexe du signal mis et {}m est loprateur

partie imaginaire. Expliciter les paramtres et en fonction de lerreur de phase0

.

3) Avec les signaux filtrs1( )

cw t et 1( )sw t , on se ramne des signaux moduls numriquement

en bande de base en prsence de bruits blancs gaussiens. On a vu quen labsence dinterfrence

entre symboles, le rcepteur qui minimise la probabilit derreur est constitu par le filtre

0( ) ( )g t h t t = adapt au signal ( )h t , suivi dun comparateur seuil.

a) Exprimer, en utilisant la structure en racine de Nyquist du filtre dmission ( )h t , les

chantillons0

( )ck cY y t kT = + et 0( )sk sY y t kT = + , obtenus par filtrage adapt des signaux 1( )cw t et

1( )

sw t , en fonction de ka , de kb , de , de , de 0( )cb t kT + , de 0( )sb t kT + et de 0( )r t , o

( ) ( ) ( )r t h t g t = , ( ) ( ) ( )c cb t g t B t = , ( ) ( ) ( )s sb t g t B t = et est loprateur de convolution.

b) Expliciter les conditions vrifier par lerreur de phase0

pour garantir louverture du

diagramme de lil.

c) Montrer quune erreur de phase0

, non nulle entre metteur et rcepteur, peut tre

lorigine de deux types de dgradation que lon prcisera.


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d) En se plaant dans les conditions du 3) b), exprimer la probabilit derreur binaire sur les

symboles binaireska et kb sous la forme

0 0

0 0

1 2 1 2erfc cos( / 4 ) erfc cos( / 4 )

4 4e

P PP

N D N D

= + +

,

o P est la puissance reue utile, 0 / 2N est la densit spectrale de puissance du bruit en bande

porteuse, 2 2 /D R T= = est le dbit binaire et0

est un angle prciser en fonction de lerreur de

phase0

. Indication : sinspirer de lexpression de la probabilit derreur en labsence derreur de

phase au niveau du rcepteur.

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