S�������� Si el procedimiento anterior se aplica a la expresión se tiene

(2 c w V 306» V r ( 2 a ? c ? \ f 30&«Y13 ,\ I6 6 */V 4 o W LV l5& V V 4aw J s e g u n ( 7 ' 3 )

_ ( 6 0 a * ¥ c * \ *

\6 0 a W /= (a»6*c)’ según (7.5)= (62c)3 según (7.7)— bPc? según (7.3) y (7.4)

n o t a 1. Al aplicar (7.4) se debe observar que el exponente dentro

del paréntesis se multiplica por el del exterior. Por ejemplo, (2a2) 3 =

8a2<3) - 8a6.

NOTA 2. Cuando se multiplican dos potencias de la misma base se

conserva la base y se suman los exponentes. Por ejemplo (2a2) 3 (2a2) 2

=* (2a2) 5.

n o t a 3. Cuando se multiplican dos potencias iguales de bases dife-

rentes se conserva el exponente y se multiplican las bases, (3a2) 3 (2a4) 3

= (6a6) 3

EJERCICIO 25: SIMPLIFICACION DE EXPRESIONES EXPONENCIALES

Efectúense las operaciones indicadas en los problemas 1 a 32.

1 : 3233 2 : 2 42 3: 5352 4: 4442 5:6 : 37/3 4 7: 6 5/ 6 3 8 : 58/5 4 9: 3222 1 0 :

1 1 : 83/4 3 1 2 : 42/2 2 13: ( I ) 3 14: ( I ) 3 15:16: ( f ) 2 17: (2 4) 3 18: (32) 3 19: (2332)2 2 0 :

21

25

29

(2a3) (3a2)

65/b2

(2x3)2

22: (4x4)(2a;2)

26: a7/a?

30: (2 x4) 3

23: (3z3)(2x4)

27- ^' ' 6263

31: ( —3a: * )3

(I)4

24: (4x2)(5x3)

32: ( - 3 s 5) 3

Simplifíquense las expresiones exponenciales siguientes, de acuerdo con los méto- todos expuestos en el Pr. 7.1.

33:

37:

18a364 6a2b

27 a2x3y 18ax2y4

34:

„ / 2a2b3\ f 3ac?\

41: V 6 * A ~ W )

. ( 14kb2um3\ f 20us \U : V 15b6 A 2 1 6 W

( 9

* * • \ 1 5 o W 50: (462z3)2(3&z2)2

/ 4aW V Z 60c5 V53:

V 3c4 / V 8b2 /

56:

18y5&35:

39:

30ax324a3x233a563c2

42:

45:

32fr7y2¿ ______12 b*ybP üí7‘ 12a265c2

10&/A! V 5/ 4 A 8/ y

f 2fe2a3V \ 3 ha4/

« G g ? )51: (2t2h3)z(3t2h3)z

( 6b*d*\2( lO b^V : \ 5c2 / \ 12d5 /

(b2asty

36:

40:

1567y3 9 ¥ y 2

4264a3¿2 35& W

54

57:(bat)2(ba2t)3

JO ( 15a2xtsY 21a3\ 43 : V 7o *3 A 5í3 /

/ ia 3ki\ 2 46: \8 a fe V

49: (2a2í)3(3a3f) 3

52: (3s%3)2(2s37t) 2

/ 6p3d2W 20pYV! V 5? / V 24d /

(c3o2w)s (c2ow3)2(c3o3w2)3

55:

58:

EXPONENTES Y RADICALES

5�

62:

65:

68 :

71:

(p4d2g)2(pd3g2)3 (p2d3q)5

a b - i c i + d

c 2 n - B ¿ n + 3

cn+3^n-l

(X2n~3/yn-2x n - 8 y 3 n -

60

63

66

69

72

(s*h*p*y(sh?p*y( S 5^8p 12)2

a 3 +6f l l - 2 6

^ » —3^»2n+l

¿2-ncn-2

(an+26n+1)2a2w62

(53n+lc2n+3)2

66nC6

61: k^+sk*-*

64: d«+^2.-3x 2 a - l y a - 2

67:

70:

^•o —ZyZa —2

(an_26n+1)4an-8̂ 371-1

EXPRESIONES EXPONENCIALES CON EXPONENTES ENTEROS NEGATIVOS.

En este párrafo se ampliará la interpretación acerca de los exponentes de modo de incluir exponentes enteros negativos.

Se considerará que £Tn, a 0, representa un número y que ec. (7.2)

se aplica a exponentes de este tipo. Si se multiplica a n por án/ a n, se

obtiene

/ d~n+na~n = a _n( — ) = ------- según (7.2))

\ a nJ a n

-

a n _ 1_

ansegún (7.7)

Por tanto, ctn se define como sigue: Si a 7 ^ 0 y re es entero positivo,

entonces

► « - - i (7.8)

Ya que esta definición da un sentido para los exponentes negativos,

se puede ahora levantar la restricción impuesta en (7.5) de que m > n.

Además, las leyes (7.3) a (7 .6), Pr. 46, se satisfacen también para esta

interpretación. El método general para demostrar esta proposición se

muestra a continuación al aplicarlo a (7.5).

a~m _ am

a~ n 1según (7.8)

a na n se ha multiplicado numerador y denominador por am

am

según (7.5)= an~m

Mediante el uso de (7.5) de este párrafo y de las leyes (7.3) a (7 .7),

se puede convertir cualquier expresión con exponentes enteros negativos

en otra equivalente en la cual todos los exponentes sean positivos^

7.3 EXPRESIONES EXPONENCIALES CON EXPONENTES ENTEROS NEGATIVOS 115

EE�� � �

EJEMPLO

EJEMPLO

EJEMPLO

EJEMPLO

EJEMPLO

Convertir las expresiones siguientes en otras sin exponentes negativos

4-2

Solución

4-2 = i = JL 42 16

\ 2 - 4 X 2 " 2

Solución

2~4 X 2~2 = 2~6 = — = —26 64

\ 3-5 -5- 3~3

Solución

3-5 1 1— = 3“5-(-3) = 3-5+3 = Q-2 _ _±_ — ±3“ 3 32 9

j áxay~bz-o

Solución. f 1 \ 4xa 4x° . , x

4xay~h _ X \ y b) _ _y*>_ _ yb Z _ 4xazcz~° 1 1 1 , . N ~ y*

F V * ( t z )

Si en el ejemplo (4) se compara la fracción original con la del re-

sultado, se observa que cada letra con exponente negativo que está en

cualquier miembro de la fracción original aparece, con signo contrario

en el exponente, en el otro miembro de la fracción que se obtiene como

resultado. Lo anterior ilustra la regla siguiente para exponentes nega-

tivos.

Cualquier factor de un miembro de una fracción se puede trasladar

al otro miembro, si se cambia el signo del exponente del factor.

i Escribir ———— como una fracción sin exponentes negativos. x~4y~ 2z3

Solución

2a~2bc~3 _ 2bx*y2 x~4y~2zz ~ a2czzz

Debe notarse que la proposición del anterior ejemplo se aplica a facto-

res y no a términos. Cualquier intento para aplicarla a fracciones cuyos

miembros no estén factorizados conduce a errores graves, como se ilus-

tra en el ejemplo siguiente

> Si se aplica (7.3) a (2"2 + 2~3)/2 “4, se tiene

1 1 1 1 2 + 1 32 “2 + 2 -3 _ 22 23 _ 4 8 _ 8 _ 8

2-4 i i_ JL _L 24 16 16 16

Este resultado no es igual a 24/ (2 2 + 2a) = 1|. = JL que es lo que se obtendría si

se aplicara la proposición del ejemplo 5 a este problema.

116 EXPONENTES Y RADICALES

�������

EJEMPLO

Se convendrá, por tanto, en que una expresión que contiene exponentes

negativos queda simplificada cuando se han hecho todas las combina-

ciones posibles según las leyes (7.2) a (7.6) y cuando el resultado se ha

expresado sin exponentes negativos ni exponente cero. Si este resultado es

una fracción, debe reducirse a su mínima expresión.

Simplificar

í 3a-262V

\ a3c~3)

Solución

a3a-z¡¿\-2 _ 3”2(a -2) - 2(62)-

“ 1 ) (a3) - 2(c- 3) - 2

= 3~2a4fr~4 a~*cP

según (7.6)

según (7.4)

3 W aw

según la regla para exponentes ne-gativos en los factores

según (7.2)

En el ejemplo anterior se muestran en detalle todos los pasos de la

solución. Después de cierta práctica se pueden efectuar muchos de ellos

mentalmente. Algunas veces es más rápido eliminar primeramente to-

dos los exponentes negativos y continuar luego con la simplificación.

Si se emplea este procedimiento en el ejemplo anterior se tiene

c3 a -% 2 \~ 2 _ 1 por la regla para exponentes negativos y ec. (7.8)

a?c~3 ) ~ /Sb2c* \2

\ a2az)

_ 1 (a5)2 a 10

/ 3b2{ f \ 2 (3 b2c?)2 9 b4c*

Podemos, por tanto, eliminar cualquier exponente negativo que entre

en una expresión, sea en un término o en un factor, introduciendo el

exponente positivo correspondiente. Así podemos eliminar arn multipli-

cando y dividiendo por an, lo cual equivale a multiplicar por 1; por ello

no se altera el valor de la expresión.

2x~'2 — y¡ Simplificar -------------

x~l - 3y~2

Solución: Se multiplica y se divide la expresión por ac2 y2, se eliminan los expo* nenies negativos y se tiene

2x~2 — y _ 2x~i — y x^y2x~l — 3y~2 ~ x~l — 3y~2 x2̂

= 2 y2 — y2(? — &y) sumando los exponentes de los tér-xy2 — Sx2 x(y2 — 3x) minos semejantes.

EJERCICIO 26: ELIMINACION DE EXPONENTES NEGATIVOS

Encuéntrese el valor de cada una de las expresiones dadas en los problemas 1 a 20.

7.3 EXPRESIONES EXPONENCIALES CON EXPONENTES ENTEROS NEGATIVOS 117

1�

5:9:

13:17:19:

3“*2_623 (3-2)-2 (3 -242)-2

(2-i)-^(3 •)-( 2 - 4 ) - l ( 4 2 ) -

2: 4_1

6: 3_233 10: (2~3)2 14: (2_332)~

7:11:15:18:20:

5-3

(42) - 1

(5-142)-1(3~2)_1(9~1)-1(3~3)-2(22)-2

4:8:

12:16:

2-44 - 14-2

(2 -1) - 2(3-24-1)-

Mediante el uso de exponentes negativos escríbanse sin denominadores las expre-siones de los problemas 21 a 32.

¥

b2c3d2

s% -3k-

2 1 :2x2y ~ Z 2 2 :

x3y - 2 23:

a3~¥

24:

25:2y_

x 2yZ 26:Sx2 2 yz3

27:2a

Sy2w28:

29:a2b~l

30:xy~ 2

31:2x°y

32:ab~2e~z x2y~HiP a~2x~ly~3 4%_1fc_2a(

Simplifíquense las expresiones siguientes expresando los resultados sin exponentes negativos y sin exponente cero. Usense todas las combinaciones posibles de las leyes (7.2) a (7.6).

33: a~'

2 a~3b 3-3a -26-3d-w b-s

S - ta - ^ c - s 2~3ab~1c~2

( i ) " .51: (c3p2)~3

5 5 . ( 855* V ±-*b~'y )

( b~2a-Ho V \6 ~ 3a_2¿_1/

63:

a ¿y~l

2~5a~5b~3 4 _2a _46_1

S ^ q - ^ c - 3 3 ̂ a ~ 3b~2c

(£ rQ ) - l y - 2) 3

6-2a362V 3: V S ^ a - W

- ( S í ) "64: 3z -

40:

44:

48:

52:

56

a -2

75:

68:

72:

a -1 a h1̂ h

a -1

x~Ly

a~2 — b~l U1-2 _j_ x~2y~l

y - 2 _ X - 2

y-'1 + 2x~1y~1 — 3x-2 —3(x - l ) (x + I ) " 4 + (x + 1)-

- ( x + 3)2(x - 2 )-3 + (x - 2)~2(x + 3) - 3 ( s - l ) 4(x - 2)-4 + 4(* - l ) 3(x - 2)-3

118 EXPONENTES Y RADICALES

(2a? + l ) 1'2 - (x + l)(2x + l ) - i /2 = (2x + l ) 1'2 - x + 1(2a? -h 1 yi*

(2a? + 1)1/2 (2a; + 1)1/2 - (a; + 1) (2a? + 1 )1/2

2x -h 1 — x — 1 (2x + l ) 1'2

a?(2x + 1 )1/2

EJERCICIO 27: SIMPLIFICACION DE EXPRESIONES RADICALES Y

EXPONENCIALES

Escríbanse sin exponentes o radicales los números o expresiones de los problemas

1 a 48.

1 641/2 2: 251/2 3: 64I/3 4:5 .OI1/2 6: .0641/3 7: .OOI61/4 8:9 322/5 10: I63/4 11: 274/3 12:

13 .OI3'2 14: .0272/3 15: .000324'6 16:17 (A )3/2 18: ( * ) 4/3 19: (i?-)3'4 20:21 4 - 1/2 22: 8-1/3 23: 32_2/s 24:25 ( t ) " 1/2 26: ( ¥ ) " 2/3 27: (if-)"3/4 28:

29 V 25 30: V 64 31: ^ 2 7 32:

33 V 43 34: 35: ^ 36:

37 V l6 a 2&4 38: V 9a466 39: V 468c6 40:

41 8a?3i/6 42: ^ 27a6c9 43: ^ le i / 4̂ 8 44:

45ÍÍ9x*

\ t/2̂ 46:3 Iy6wl2V 27Í3 47* \ / ^ * '* \&4<* 48:

40: V 2 5 a°y6

44: y / 32a?5i/15

: yix/243a5

J X 10y20

Escríbanse en su forma radical las expresiones de los problemas 49 a 60. Las po-tencias de orden n deben quedar fuera de los radicales de orden n.

49: a4/3 53: s3'4̂ 4

a2fzb«¡1/357:

50: ¥/354: a2/566/5

5~3/4c5/458:

51: a3/5

55: c2/3d5/3

59: 32 ' 3'5

52: a5/3 56: ac5/2

82/3a-4/3al/55-6/5 60:

6~1/3

Simplífíquense las expresiones siguientes:

61:

65:

69:

73:

75:

77:

79:

81:

83:

85:

a?1/2a?3/4[5/6

62: y2l3y1¡

66:

70:

?Lgil*

(4x2y&)112

(i

(9a?~4i/2/3) _1/2

/ 16a?~4?/2/5V /2

\ 9-W y ^ J

íV 8 1 “2c8/5 /

(Ga-tytylábv*) (Sa2y~2lz) (-Ja-3?/1/3)

212lza2lby~112Sa~2lby

W2(dxGy )̂112

63: z2/5z3/50*5/6

67: -TT3 371: (32a10)1/5

74: (27a-6&3/2) -1/3

76: (32_1x10)1/5

8̂a~3í/3/4V /3

64: w1̂ 1'5

k2lz(81a_4512)1/4

68:

72:

78

80.

82:

84:

86:

27-1b6 /

-2̂ 5/6 \lj •5/4̂10 y

(2s~2y2lb) (s1/2yllb)(9 x1/2y~zlb) (-%x~ly1/b)^/2x-2l3yll22>~lxy~ ^

124 EXPONENTES Y RADICALES

� � � � � � i/«” • \32_1a5/V

0 8- 2'36~22/2'6 00. 813l4x~ll3y4 - i6-i2/i/5 88: 27tl3x~ly~1

89: (4a2&4)1/2(8a3&6)-1'3 90: (9a;22 r4)1/2(8x ^ y6)1'3

91: (2 7 a -V )_2/3(4a-2̂ )1« 92: (16*4y -8) - 3/4(32-1a;62/5)1'5

/ i z ^ y V 1'2 nj, f 27a3y V 1/393 ’ \9x^1/2/ \8a_1i/V2/

1 e a ^ 'A - 1'4 V a°c4'7 /

97: (a3/2 - a1'2) (a3'2 + o1'2)

98: (a;1'3 - yll3){x2'3 + xll3y113 -¡- jí2'3)99: (a2/3 + 62/3) (a4'3 - a2'3?»2'3 + fe4'3)

100 : (2a3'4 + o6'4) (2o1'4 - a3'4)101 : (a; + l ) (2a; - l ) -1'2 + (2a; - l )1'2 102 : (2a; - l ) (3x + 2) " 1'* + (3* + 2)2'3 103: (3a; + 2 ) (2a: - l ) - 1'4 + 8(2a; - l ) 3'4 104: (2a; - 3)3(3x - 4 )~ 3'4 + 8(3a; - 4 )1'4 105: 2(x + l ) 1/2(a; - l)~2's + 2(x + l)~i'2(a; - l ) 1'3106: (2a; - 5)I'22(8a: + l ) -8'4 + (2a; - 5 )- !'2(8a; + l )1'4107: (3a; - 2 ) -2'3(4a; + l )1'4 + 3(3* - 2)>'3(4x + l ) -3'4108: (5x - l )2'6(3x + 1) “2'3 + 2(5x - 1)-M (3x + l ) 1' 3

( a*l/(a— l)\(o2— l)/o / % a —2 b \ a / ( a —b )

& * * ) 110: v W

(y b * l c \ b U b 2-c ? ') , ,1L_ _ J 112: m

( s r a + b \ a f ^rb—a \ a

113: 114: ( —

m : [(̂ 1/ (o+6))a-62/a]o/(a-&)

LEYES DE LOS RADICALES.

Puesto que las leyes (7.3), (7.4) y (7.6), son válidas para exponentes

fraccionarios, se pueden emplear para obtener leyes acerca de los radi-

cales, como las tres que se muestran a continuación.

Si en la ley (7.3), se reemplaza n por 1 /n , se tiene

(iabyt* = a1/nblln

que expresada en forma radical, es

aXab = \ /a \ / b (7.15)

De la misma manera, de (7.6), se obtiene

a \ lfn a 1/n

=

nía\ b

X I (7.16)v ' T

7.7 LEYES DE LOS RADICALES 125