1

© copywriter

2

1.1. Definir la raíz enésima de un número.Definir la raíz enésima de un número.2.2. Calcular Calcular raicesraices cuadradas principales cuadradas principales..3.3. Calcular raíces cúbicas y de índice mayor.Calcular raíces cúbicas y de índice mayor.4.4. Simplificar expresiones con radicalesSimplificar expresiones con radicales5.5. Expresar una raiz en forma exponencial y Expresar una raiz en forma exponencial y

viceversa. viceversa. 6.6. Racionalizar Racionalizar numeradoresnumeradores y/o y/o

denominadores.denominadores.7.7. Sumar y restar expresiones con radicales.Sumar y restar expresiones con radicales.8.8. Multiplicar expresiones con radicales.Multiplicar expresiones con radicales.

Objetivos:

© copywriter

3

DefiniciónDefiniciónDecimos que la raíz enésima de Decimos que la raíz enésima de xx es es cc, y , y escribimos;escribimos;

n x = c si y solo si nc x=

índice

radicalradicando

raíz

33Ejemplo: 8 2 si y solo si 2 8= =© copywriter

4

Aclaración:Aclaración:

Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas, Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas,

una raíz cuadrada positivauna raíz cuadrada positiva o principal y o principal y una raíz una raíz

cuadrada negativacuadrada negativa. Para cualquier número . Para cualquier número

positivo positivo x, x, escribimos la raíz cuadrada positivaescribimos la raíz cuadrada positiva

como como y la raíz cuadrada negativa como . x x−

( )( )

2

2

Ejemplo: La 4 puede ser igual a 2 o igual a 2 pues 2 4 y 2 4.

− =− =

© copywriter

5

Para cualquier número real Para cualquier número real aa

si es par y 0.n na a n a= <

si es par y 0.n na a n a= ≥

si es impar.n na a n=

21. 5 = 5

( ) 22. 5− = 5− = 5

Ejemplos:

© copywriter

6

3 33. 7 = 7

( ) 334. 7− = 7−

( ) 775. 56− = 56−

( ) 446. 56− = 56− = 56

6 68. x = x

( ) 29. a b+ = a b+

( ) 210. 7 5x + = 7 5x +

27. 2 1w w− + = ( ) ( )1 1w w− − = ( ) 21w− = 1w−

© copywriter

7

Propiedades de los radicales

Sean m y n números naturales mayores que 1. Si a y b son números reales tal que a > 0 y b > 0 ( números positivos ), entonces;

( ). .

mmn

1.

2. .

3.

4.

5. a

n n

n n n

n

nn

n m nm k k

n

a a

a b a b

a a

b b

a a

a

=

=

=

=

=© copywriter

8Ejemplos:Ejemplos:Simplifica. Suponga que las variables representan Simplifica. Suponga que las variables representan números positivos.números positivos.

1) 36 =6

32) 27 = 3

53) 32 = 2

3 64) x = 2x

2 85) 25x y = 45xy

3 1236) 64x y− = 44xy−

6 4

10

167)

81

x y

z=

3 2

5

4

9

x y

z

© copywriter

9Ejemplos:Ejemplos:Simplifica. Suponga que las variables representan Simplifica. Suponga que las variables representan números positivos. números positivos.

1) 24 = 4 6× = 2 6

32) 16− = 3 8 2− × = 32 2−

4 53) 12x y = 4 44 3x y y× = 2 22 3x y y

© copywriter

10

24) +2 +1x x = ( ) ( )1 1x x+ + = ( ) 21x + =

7 6

48

325)

x y

z=

4 3 4 2

48

16 2x x y y

z

× = 3 242

22

xyx y

z

1+x

© copywriter

11Exponentes Racionales como RaícesExponentes Racionales como RaícesLas raíces o radicales representan exponentes Las raíces o radicales representan exponentes racionales.racionales.

n ma = ( ) mn am

na =

Potencia

índice

3 21. x =2

3x

( ) 342. 6 =

346

Ejemplos:

© copywriter

12

( ) 233. a b+ = ( ) 2 3a b+

( ) 3

4. z =3

2z

( ) 345. 3w w+ − = ( ) 3142 3w w+ −

3 16.

3 5

x

x

+ =−

123 1

3 5

x

x

+ ÷−

4

37.

2

x

x

− =+

( )( )

12

14

3

2

x

x

−

+© copywriter

13

Evalúa usando raíces:Evalúa usando raíces:

231) 27 = 3 227 = ( ) 2

3 27 = ( ) 23 = 9

522) 9

− = 52

1

9=

( ) 5

1

9=

( ) 5

1

3= 1

243

3416

3) 81

− = ÷

3481

16 = ÷

3

481

16

= ÷ ÷

33

2 = ÷

27

8

© copywriter

14

La racionalización del denominadorLa racionalización del denominador

Al Al procesoproceso de escribir una expresión racional con de escribir una expresión racional con

radicales en el denominador como otra expresiónradicales en el denominador como otra expresión

que no tiene radicales en el denominador se que no tiene radicales en el denominador se

denomina como denomina como racionalizar el denominadorracionalizar el denominador..

““De igual forma podemos racionalizar elDe igual forma podemos racionalizar el

numerador.”numerador.”

© copywriter

15

AclaraciónAclaración: : Para Para racionalizar el denominador racionalizar el denominador de una expresiónde una expresión que tiene un solo término que tiene un solo término con raíz en el denominador, se multiplica el con raíz en el denominador, se multiplica el numerador y el denominador por una numerador y el denominador por una expresión con radical que eleve cada factor expresión con radical que eleve cada factor dentro del radicando a una potencia que dentro del radicando a una potencia que coincida con el índice del radical.coincida con el índice del radical.

© copywriter

16

51)

3x= 5

3x

3

3

x

x× =

2 2

5 3

3

x

x= 5 3

3

x

x

32)

7= 3 7

7 7× =

2

3 7

7= 3 7

7

3

3

43)

5=

3

3 1

4

5

3 2

3 2

5

5× = ( )3

3 3

4 25

5=

3 100

5

Ejemplos:Ejemplos: Racionaliza cada denominador. Racionaliza cada denominador. Suponga que las Suponga que las variables representan números positivos.variables representan números positivos.

© copywriter

17

32

24)

5

x

y=

3

23

2

5

x

y

23

23

5

5

y

y× =

3

3 33

50

5

xy

y=

3 50

5

xy

y

5 7

43 15

35)

32

a b

a b=

2

48

3

32

a

b=

24

84

3

32

a

b= ( )

24

84

3

16 2

a

b=

24

2 4

3

2 2

a

b=

42 34

2 4 4 3

3 2

2 2 2

a

b= × =

24

42 4

24

2 2

a

b=

24

2

24

4

a

b

© copywriter

18

Aclaración: Aclaración: Para racionalizar un denominador que Para racionalizar un denominador que tiene un binomio con raíces cuadradas, se multiplica tiene un binomio con raíces cuadradas, se multiplica el numerador y el denominador por la expresión el numerador y el denominador por la expresión conjugadaconjugada del denominador. La expresión del denominador. La expresión conjugada se obtiene cambiando el signo del medio conjugada se obtiene cambiando el signo del medio del binomio.del binomio.

El objetivo es construir una diferencia de cuadrados.El objetivo es construir una diferencia de cuadrados.

© copywriter

19

Ejemplos:Ejemplos:Racionaliza el denominador.Racionaliza el denominador.

41)

1 3=

−4 1 3

1 3 1 3

+×+

=−

( )( ) ( )

4 1+ 3

1 3 1 3=

− + 2

4+4 3

1 3=

−

4+4 3

1 3=

−4+4 3

2=

−2 2 3− −

32)

5 6

x + =+

3 5 6

5 6 5 6

x + −× =+ −

( ) ( )2

3 5 6

5 36

x + −=

−5 6 3 5 18

31

x x− + −−

© copywriter

20

Ejemplos:Ejemplos:Racionaliza el numerador.Racionaliza el numerador.

3 31)

x h x

h

+ + − + =3 3 3 3

3 3

x h x x h x

h x h x

+ + − + + + + = ÷ ÷+ + +++

( ) ( )( )

2 2

3 3

3 3

x h x

h x h x

+ + − +=

+ + + +( )

( )3 3

3 3

x h x

h x h x

+ + − +=

+ + + +

( )3 3

3 3

x h x

h x h x

+ + − − =+ + + +

1

3 3x h x+ + + +

© copywriter

21

2) , 0x h x

hh

+ − = ≠

x h x x h x

h x h x

+ − + = ÷÷+++

( ) ( )( )

2 2

x h x

h x h x

+ −=

+ +

( ) x h x

h x h x

+ − =+ +

1 x h x+ +

© copywriter

22

Multiplicación de expresiones con radicalesexpresiones con radicales

Para multiplicar expresiones con radicales se usa la propiedad distributiva y las propiedades de radicales;

( )

0

0

n

n

n

n.m m.k

mmn

1. para todo

2. .

a3.

b

4. a para todo

5. a

n

n n

n

n

n k

n

a a a

a b a b

a

b

a a

a

= ≥

=

=

= ≥

=© copywriter

23Ejemplos:Multiplica las expresiones con radicales. Suponga que las variables representan números positivos.

( ) ( )3 3 3 11. + − 3 3 3 3 3 = − + − 2 3 =

( ) ( )5 3 5 22. + − 5 2 5 3 5 6= − + −

1 5= − +

( ) ( )4 23. x x+ − 2 4 8x x x= − + −

2 8x x= + −© copywriter

24

( ) ( )4 2 3 2 2 2x x= + −

( ) ( )32 3 8 24. x x+ − ( ) ( )16 2 3 4 2 2x x= + −

( )8 2 8 2 6 2 6x x x= − + −

16 2 2 6x x= − −

( ) ( )3 3 3 35. x x+ − 3 3 3 3 3 9x x x= − + −

3 9x= −

( ) 2

2 3 16. x + ( ) ( ) ( )4 3 2 2 3 1 1x x= + +

12 4 3 1x x= + +© copywriter

25

Suma y resta de expresiones con radicalesexpresiones con radicales

Para sumar o restar expresiones con radicales se usa la propiedad distributiva y las propiedades deradicales.El objetivo es simplificar los radicales para tenerradicandos iguales. En tal caso sumamos los coeficientes y conservamos el radical, mediante el uso de la propiedad distributiva.

© copywriter

26Ejemplos:Suma y/o resta las expresiones con radicales. Suponga que las variables representan números positivos.

1 2 3 4 3+. 6 3=

2 2 7−. x x 5 x= −

3 8 50 32+ −.

2 2 5 2 4 2= + −

4 2 25 2 16 2= + −

3 2=© copywriter

27

4 8 50 32+ −. x x x

2 2 5 2 4 2x x x= + −

4 2 25 2 16 2x x x= + −

3 2x=3 3 35 2 54 3 16 4 128+ −. x x x

3 3 3 3 3 32 27 2 3 8 2 4 64 2 x x x= + −

( ) ( ) ( )3 3 32 3 2 3 2 2 4 4 2 x x x= + −3 3 36 2 6 2 16 2 x x x= + − 34 2 x= −© copywriter