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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTOacuteNOMA DE MEacuteXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGOacuteN
DIVISIOacuteN DE LAS CIENCIAS FIacuteSICO-MATEMAacuteTICAS
Y DE LAS INGENIERIacuteAS
INGENIERIacuteA MECAacuteNICA-ELEacuteCTRICA
APUNTES
AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
1621 44 aa =
nmnm xxx += 10 === minus
n
nnn
xxxx
mnm n aa = yxxy
35
45 2= 2
2
21
21
)( yxyx +=
+
33 43 43 4 291285416 xxxxx =minusminus+
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
2009
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
El presente trabajo tiene como
objetivo describir los conceptos y
propiedades de los exponentes y los
radicales con los cuales se operan
Obviamente no se pretende sustituir a este
tema relacionado con el aacutelgebra
contenidos en publicaciones tan
prestigiadas relacionadas con las
matemaacuteticas ya que solamente es una
guiacutea
Por lo que si se quiere profundizar en
este tema es necesario consultar
bibliografiacutea especializada para tener una
informacioacuten maacutes amplia y con mayor
profundidad que la que aquiacute se presenta
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
i
CONTENIDO
Paacuteg
1 INTRODUCCIOacuteN 1 11 GENERALIDADES 1
12 LOS NUacuteMEROS ALGEBRAICOS 4 121 VALOR ABSOLUTO 5 122 NUacuteMEROS IGUALES DESIGUALES Y SIMEacuteTRICOS 5 1221 SUMA o ADICIOacuteN 6 1222 RESTA o SUSTRACCIOacuteN 7 13 REGLA DE LOS SIGNOS DEL PRODUCTO 7 14 REGLA DE LOS SIGNOS DEL COCIENTE 9 15 EXPRESIONES ALGEBRAICAS 10 141 TEacuteRMINOS Y COEFICIENTES 13
2 EXPONENTES 15 21 POTENCIACIOacuteN 15 211 POTENCIA DE UN MONOMIO 15 2111 PROPIEDADES 16 22 EXPONENTES DE NUacuteMEROS REALES 16 221 REGLA DEL PRODUCTO PARA EXPONENTES 18 222 EL EXPONENTE CERO 22 223 EXPONENTES NEGATIVOS 23 2224 REGLA DEL COCIENTE 24 23 RESUMEN 26 24 EJERCICIOS 27
3 RADICALES 29 31 RAIacuteZ CUADRADA DE a 30 32 RAIacuteZ CUADRADA PRINCIPAL 30
33 RAIacuteCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE 32 34 RAIacuteCES CUacuteBICAS 33 35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS 33 36 EXPONENTES RACIONALES 35 37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1 37
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
ii
38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS 39 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES 43 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES 44 3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA 45 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES 46 3103 SUMA Y RESTA 48 311 RESUMEN 50 4 RACIONALIZACIOgraveN 50 41 BINOacuteMIOS CONJUGADOS 52
5 BIBLIOGRAFIacuteA 54
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
1
1 INTRODUCCIOacuteN
Aacutelgebra es una palabra de origen aacuterabe algiabr que se utiliza para nombrar el estudio de las operaciones y propiedades de magnitudes representadas por siacutembolos que generalmente son literales o letras
El primer introductor del aacutelgebra se cree que fue el griego Diofanto en el siglo III
aunque parece que en la India y Persia ya se conociacutea anteriormente En Europa fueron los aacuterabes los que lo introdujeron en el siglo IX
El sabio Al-Khuwarizmi fue el que introdujo siacutembolos para representar
magnitudes operaciones y expresiones El italiano Leonardo Pisano recogioacute en el siglo XIII las ensentildeanzas de las aacuterabes las tradujo al latiacuten y asiacute se extendieron por toda Europa
11 GENERALIDADES
El aacutelgebra es la rama de la matemaacutetica que estudia la cantidad considerada del
modo maacutes general posible [BALDOR A Paacuteg 5] Lo mismo que en aritmeacutetica en el aacutelgebra se efectuacutean operaciones con los
nuacutemeros pero su modo de representarlos difiere en ambas ramas de la matemaacutetica Para la aritmeacutetica soacutelo se emplean los signos comuacutenmente llamados araacutebigos (0 1 2 3 hellip) con la finalidad de escribir los nuacutemeros mientras que en el Aacutelgebra para representarlos se utilizan literales (a b c hellip x y z)
Los siacutembolos empleados en aacutelgebra para representar cantidades son los
nuacutemeros y las letras donde
a) Los nuacutemeros se emplean para representar cantidades conocidas y determinada
b) Las letras se usan para representar toda clase de cantidades ya sean conocidas o desconocidas
c) Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto a b c hellip
d) Las cantidades desconocidas son expresadas por las uacuteltimas letras del alfabeto u v w x y z
Consecuencia de la generalizacioacuten que implica la representacioacuten de cantidades
por medio de expresiones algebraicas Para ello se emplean signos de operacioacuten signos de relacioacuten y signos de agrupacioacuten Ejemplo Sean las siguientes dos literales a y b efectuar
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
2
1 Signos de Operacioacuten
Solucioacuten
En aacutelgebra se verifican las cantidades con las mismas operaciones que en Aritmeacutetica suma resta multiplicacioacuten divisioacuten elevacioacuten a potencias y extraccioacuten de raiacuteces a) Signo de la suma (adicioacuten) es + que se lee maacutes
ba + (se lee ldquoa maacutes b rdquo)
b) Signo de la resta (sustraccioacuten) es ndash que se lee menos
ba minus (se lee ldquoa menos b rdquo)
c) Signo de la multiplicacioacuten (producto) es X que se lee multiplicado por
a X b (se lee ldquoa multiplicado por b rdquo o ldquo a por b rdquo)
En lugar del signo X suele usarse un punto entre los factores o en su caso colocar los factores entre pareacutentesis como se indica a continuacioacuten
a bull b o (a )(b ) (leyeacutendose igual que el anterior)
Entre factores literales o entre un factor numeacuterico y un literal el signo de la multiplicacioacuten suele omitirse
Asiacute abc equivale a a X b X c
xy7 equivale a 7 X x X y y
x5 equivale a 5 X x
d) Signo de la divisioacuten (cociente) es que se lee dividido entre
ba (se lee ldquoa dividido entre b rdquo)
Tambieacuten esta operacioacuten se indica separando el dividendo y el divisor por medio de una raya horizontal tal como se indica a continuacioacuten
ba
(se lee ldquo a dividido entre b o a sobre b rdquo)
e) Signo de la elevacioacuten a potencia (exponente) el cual es un nuacutemero pequentildeo colocado en la parte superior de una cantidad o literal esto indica las veces
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
3
que dicha cantidad seraacute multiplicada por si misma llamada base la cual se toma como factor
bbbbbbaaaa == 53
Cuando una letra no tiene exponente su exponente es la unidad
1111 xnmmnxaa ==
f) Signo de raiacutez es y bajo este signo se coloca la cantidad a la cual se le extrae la raiacutez Asiacute a equivale a la raiacutez cuadrada de a cuya cantidad que elevada al cuadrado reproduce la cantidad de a Tambieacuten 3 b equivale a la raiacutez cuacutebica de b que al ser elevada al cubo reproduce la cantidad de b
2 Signos de relacioacuten
Se emplean estos signos para indicar la relacioacuten que existe entre dos cantidades Los principales son a) Signo de igual es = que se lee igual a
ba = (se lee ldquoa igual a b rdquo)
b) Signo de mayor es gt que se lee mayor que
ba gt ( se lee ldquoa mayor que b rdquo)
c) Signo de mayor e igual ge que se lee mayor o igual que
ba ge (se lee ldquoa mayor o igual que b rdquo)
d) Signo de menor lt que se lee menor que
ba lt ( se lee ldquoa menor que b rdquo)
e) Signo de menor e igual le que se lee menor o igual que
ba le ( se lee ldquoa menor o igual que b rdquo)
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
4
3 Signos de agrupacioacuten
Los signos de agrupacioacuten indican que la operacioacuten colocada entre ellos debe efectuarse primero Estos signos son los siguientes a) El pareacutentesis ordinario ( ) b) El corchete [ ] c) Las llaves y d) La barra o viacutenculo Asiacute cba )( + indica que el resultado de la suma de a y b debe multiplicarse por c [ ]mba minus indica que la diferencia entre a y b debe multiplicarse por m y ba + dc minus indica que la suma de a y bdebe dividirse entre la diferencia c y d
En el producto de dos factores cualquiera de los factores es llamado coeficiente del otro factor Asiacute en el producto a5 el factor 5 es coeficiente del factor a e indica que el factor a se toma como sumando cinco veces ya que a5 aaaaa ++++= En el producto b4 el factor 4 es coeficiente de b e indica que bbbbb +++=4 Siendo estos coeficientes numeacutericos En el producto ab el factor a es coeficiente del factor b e indica que el factor b se toma como sumando a veces es decir bbbbbab +++++= veces Este es un coeficiente literal
a En el producto de maacutes de dos factores uno o varios de ellos son el coeficiente de los restantes Asiacute en el producto abcd a es el coeficiente de bcd ab es el coeficiente de cd abc es el coeficiente de d Cuando una cantidad no tiene coeficiente numeacuterico su coeficiente es la unidad Asiacute b equivale a b1 abc equivale a abc1 12 LOS NUacuteMEROS ALGEBRAICOS
Muchas magnitudes pueden considerarse en dos sentidos opuestos asiacute en el comercio puede hablarse de peacuterdidas y de ganancias existen temperaturas sobre cero y bajo cero existen regiones sobre el nivel del mar y bajo dicho nivel se hace referencia a fechas posteriores a cierta edad o anteriores a ella en la superficie de la tierra hay lugares de latitud norte y de latitud sur etc
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
5
Las peacuterdidas y las ganancias las temperaturas sobre cero o bajo cero etc constituyen evidentemente diferentes clases de cantidades Los nuacutemeros con que se designan las ganancias las temperaturas sobre cero las latitudes norte etc se llaman nuacutemeros positivos y se indican convencionalmente anteponieacutendoles el signo + como
5+ Los nuacutemeros que sirven para identificar peacuterdidas temperaturas bajo cero
latitudes sur etc se llaman nuacutemeros negativos y se ha convenido en representarlos anteponieacutendoles el signo ndash Asiacute ( )250minus pesos representa una peacuterdida ( )5minus grados referido a temperatura indica 5grados bajo cero 18minus grados de latitud indica un lugar situado en el hemisferio sur
Si un nuacutemero no estaacute precedido de ninguacuten signo se considera como positivo por
tanto 26 es lo mismo que 26+ Llaacutemense nuacutemeros algebraicos el conjunto de los nuacutemeros positivos y negativos
incluyendo el cero
Recta numeacuterica o eje de los nuacutemeros reales (R)
121 VALOR ABSOLUTO El valor absoluto o moacutedulo de un nuacutemero algebraico es el valor aritmeacutetico de ese nuacutemero Este valor es el que se obtiene suprimiendo el signo v gr el moacutedulo de 3+ es 3 y el de 7minus es 7
El valor absoluto de un nuacutemero se representa escribiendo dicho nuacutemero entre dos rayas verticales como 55 =+ 66 =minus Que se leen respectivamente valor absoluto de 55 =+ y valor absoluto de
66 =minus NOTA Como se observa todo nuacutemero positivo es igual a su valor absoluto
122 NUacuteMEROS IGUALES DESIGUALES Y SIMEacuteTRICOS
Dos nuacutemeros algebraicos son iguales cuando tienen el mismo valor absoluto e
igual signo como
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10X
-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10X O
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
6
4+ y 4+ 3minus y 3minus
Dos nuacutemeros algebraicos son desiguales cuando difieren por el signo por el
moacutedulo o por el signo y el moacutedulo La desigualdad se indica por el signo ne que se lee no igual a o diferente de Asiacute
545833 minusne++ne++neminus
Dos nuacutemeros algebraicos son simeacutetricos cuando soacutelo difieren por el signo Asiacute 10+ y 10minus
3minus y 3+ aminus y a+ son simeacutetricos
1221 SUMA o ADICIOacuteN
Sumar )5(+ con )7(+ Para efectuar esta operacioacuten aritmeacutetica se puede partir
del valor 5+ y localizarlo en la escala de los nuacutemeros de la recta numeacuterica XrsquoX seguidamente contar 7 divisiones a la derecha asiacute se alcanza el 12
12)7()5( =+++ o simplemente 1275 =+
Para sumar )6(minus con )3(minus se parte de 3minus y se cuentan 6 divisiones a la
izquierda asiacute se llega al punto 9minus por lo que
)9()6()3( minus=minus+minus o simplemente 963 minus=minusminus De esto se deduce lo siguiente para sumar nuacutemeros algebraicos del mismo
signo se suman sus moacutedulos y a la suma se le da el signo de los sumandos Para sumar )6(+ con )9(minus se parte de 9minus y se cuentan 6 divisiones a la
derecha hasta llegar a 3minus Ya que
)3()6()9( minus=++minus o simplemente 369 minus=+minus Del mismo modo se obtendraacute
538)3()8( =minus=minus++
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
7
Por tanto para sumar dos nuacutemeros algebraicos de distinto signo se resta el moacutedulo menor del mayor y a la diferencia se le da el signo del nuacutemero de mayor moacutedulo
La suma de varios nuacutemeros algebraicos de diferentes signos se reduce a los dos
casos anteriores ya que basta agrupar por separado todos los positivos y todos los negativos aplicando la suma y la resta para finalmente adicionarlos
=minus+++minus++ )2()4()5()7(
Agrupando los signos iguales
4711)2()5()4()7( =minus=minus+minus++++
1222 RESTA o SUSTRACCIOacuteN La resta es la operacioacuten inversa de la suma por lo tanto para restar nuacutemeros
algebraicos se procede a la inversa de coacutemo se hace para sumar Sea restar )5(+ de )8(+ Para efectuar esta operacioacuten se parte de 8 y se
recorren 5divisiones a la izquierda llegaacutendose al punto 3
358)5()8( =minus=+minus+ Para restar )2(+ de )3(minus se parte de 3minus y se cuentan 2 unidades a la
izquierda llegaacutendose al punto 5minus
523)2()3( minus==minusminus=+minusminus Para restar )8(minus de )3(minus se parte de 3minus y se cuentan 8 unidades a la derecha
se llega asiacute al punto 5
583)8()3( =+minus=minusminusminus
13 REGLA DE LOS SIGNOS DEL PRODUCTO A continuacioacuten se enuncia la regla de los signos del producto
a) El producto de dos nuacutemeros algebraicos de mismo signo es positivo b) El producto de dos nuacutemeros algebraicos de distinto signo es negativo
Este resultado puede indicarse simboacutelicamente como se indica a continuacioacuten
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
8
+=minusminus+=++
))(())((
minus=+minusminus=minus+
))(())((
En la multiplicacioacuten o producto de nuacutemeros algebraicos se pueden distinguir dos
casos
1 Multiplicar dos nuacutemeros positivos como )5)(3( ++
Al considerar 3 como coeficiente la operacioacuten equivale a tomar 3 sumandos iguales a )5(+ por tanto
15555)5()5()5()5)(3( =++=+++++=++ Como se nota este caso no difiere del de la multiplicacioacuten de nuacutemeros aritmeacuteticos
Ejemplo
Multiplicar dos nuacutemeros de diferente signo a) )5)(3( minus+ y b) )5)(3( +minus
Solucioacuten
a) En el producto )5)(3( minus+ considerando a )3(+ como coeficiente la operacioacuten indicada equivale a tomar 3 sumandos iguales a 5minus
15)5()5()5()5)(3( minus=minus+minus+minus=minus+
b) En el producto )5)(3( +minus donde )3(minus se considera como coeficiente la
operacioacuten indicada equivale a tomar negativamente 3sumandos iguales a )5(+
15)5()5()5()5)(3( minus=+minus+minus+minus=+minus
Resultado que como se observa es igual al anterior
2 Multiplicar dos nuacutemeros negativos como )5)(3( minusminus
Este caso es una combinacioacuten de a) y de b) del caso anterior ya que equivale a tomar negativamente 3 sumandos iguales a )5(minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
9
15)5()5()5()5)(3( =minusminusminusminusminusminus=minusminus
14 REGLA DE LOS SIGNOS DEL COCIENTE El anaacutelisis de los signos indicado en los ejemplos anteriores de este subtema permiten formular la siguiente regla
a) El cociente de dos nuacutemeros algebraicos de mismo signo es positivo b) El cociente de dos nuacutemeros algebraicos de distinto signo es negativo
Esta regla puede indicarse simboacutelicamente de la siguiente manera
+=++
)()(
+=minusminus
)()(
minus=minus+
)()(
minus=+minus
)()(
La divisioacuten es una operacioacuten inversa de la multiplicacioacuten que tiene por objeto
hallar uno de dos factores (cociente) cuando se conoce su producto (dividendo) y el otro factor (divisor) Por tanto para dividir se procede a la inversa de coacutemo se hace en la multiplicacioacuten
Suelen considerarse los mismos casos que en la multiplicacioacuten los cuales
pueden resumirse como se indica seguidamente 1
)4)(5(204)5()20(
=+=++ porque y 4
)5()4)(5(=
1
)4)(5(204)5()20(
minusminus=minus=minus+ porque y 4
)5()4)(5(
minus=minusminusminus
20)5)(4(4)5()20(
minus=+minusminus=+minus porque
20)5)(4(4)5()20(
minus=minus++=minusminus porque
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
10
15 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Sea el siguiente rectaacutengulo ABCD el cual tiene 5 centiacutemetros (cm) de largo y 3 centiacutemetros de ancho como se indica en la siguiente figura geomeacutetrica
En esta figura geomeacutetrica se pueden formar 3 fajas de 5 centiacutemetros de largo por 1 centiacutemetro de ancho cada faja puede dividirse en cinco cuadritos de 1 centiacutemetro de largo y 1 centiacutemetro de ancho Las tres fajas juntas constan de 5 X 153 = 2cm que es el aacuterea del rectaacutengulo
El resultado se expresa diciendo el aacuterea de un rectaacutengulo es igual al producto de la base por la altura Esta expresioacuten puede abreviarse de la siguiente manera Aacuterea = base X altura La cual puede ser representada por las literales =A aacuterea =b base y a = altura Por lo que
bA = X a
Dicha abreviacioacuten a su vez resulta maacutes corta si se suprime el signo X y asiacute queda la expresioacuten baA =
Dicha expresioacuten se llama foacutermula algebraica Toda foacutermula es una regla expresada por medio de siacutembolos e indica las
operaciones que deben de efectuarse con los nuacutemeros representados por las literales para obtener ciertos resultados [Anfosi Agustiacuten Paacuteg 2]
Asiacute el rectaacutengulo constaraacute de n fajas de 25 cm cada una y el aacuterea seraacute de
5=A X n = ][5 2cmn
5 cm de largo
3 cm
de
anch
o
A B
CD
B
CD
5 cm A
3 cm
1 cm
1 cm
1 cm2
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
11
De la foacutermula para obtener el aacuterea del rectaacutengulo baA= se deducen las siguientes transformaciones de dicha expresioacuten
aAb = y
bAa =
Donde para la primera expresioacuten conocida el aacuterea del rectaacutengulo y su altura se puede saber su base y para la segunda expresioacuten conocida el aacuterea del rectaacutengulo y su base se puede obtener su altura
El aacuterea de un rectaacutengulo de base b y altura a es ba El aacuterea de tres rectaacutengulos iguales al anterior es babababa 3=++
El volumen de un paralelepiacutepedo en que las dimensiones de la base son b y a
y la altura es c es bac
El volumen de dos paralelepiacutepedos iguales al anterior es bacbacbac 2=+
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
12
El duplo se escribe a2 el triple de b se escribe b3 el cuaacutedruplo de 3a
3
4 a el
quiacutentuplo de c c5 etc Asiacute se tiene aaa +=2 bbbb ++=3
33333
4 aaaaa+++=
cccccc ++++=5 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
)( eaigualessumandosneeene ++++= En las expresiones anteriores ny5432 se llaman coeficientes El coeficiente es el nuacutemero o la literal que indica cuaacutentos sumandos iguales se toman Los cuatro primeros son numeacutericos y el uacuteltimo es literal
Ejemplo a) Representar la edad de cada uno de los miembros de la familia de Carlos Se
sabe que la edad de la hermana es dos tercios de la de Carlos la de la madre el triple la del padre cuatro veces y la del abuelo es igual a la suma de las edades del padre y de la madre
Solucioacuten La edad de Carlos es = a
La edad de la hermana es = a32
La edad de la madre es = a3 La edad del padre es = a4 Y la edad del abuelo es = aa 43 +
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
13
b) A continuacioacuten se presenta un plano de una parte de un piso cuyas dimensiones estaacuten expresadas en el mismo
En este plano se observa que la longitud de este piso se puede expresar como ba+=8 de donde ba minus= 8 Y que el ancho es ihdc +=+
En estos dos ejemplos aparecen expresiones que son combinaciones de
nuacutemeros y literales separadas por los signos de las operaciones matemaacuteticas (aritmeacuteticas) Estas expresiones reciben el nombre de expresiones algebraicas 141 TEacuteRMINOS Y COEFICIENTES Sea la siguiente expresioacuten algebraica la cual estaacute formada por cinco sumandos
babbaa 3212
35
++++
Se llama teacutermino de una expresioacuten algebraica a cada uno de dichos sumandos Asiacute a2 es una expresioacuten algebraica de un teacutermino ba +3 es una expresioacuten algebraica de dos teacuterminos 123 ++ aab es una expresioacuten algebraica de tres teacuterminos Donde cada teacutermino consta de una parte numeacuterica (coeficiente del teacutermino) y otra literal Asiacute a2 es un teacutermino de coeficiente 2 y parte literal a
ab23
es un teacutermino de coeficiente 23
y parte literal ab
a b
c
e
d
h
i
8
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
14
2xy es un teacutermino de coeficiente 1 y parte literal 2xy
Ejemplo Representar la edad de cada uno de los miembros de la familia de Carlos Se sabe que la edad de la hermana es dos tercios de la edad de Carlos la de la madre el triple la del padre cuatro veces y la del abuelo es igual a la suma de las edades del padre y la madre Solucioacuten Las expresiones algebraicas seraacuten las siguientes La edad de Carlos = a
La edad de la hermana = a32
La edad de la madre = a3 La edad del padre = a4 Y la edad del abuelo = aa 43 + A continuacioacuten se presenta el valor numeacuterico de cada una de las expresiones algebraicas si se sabe que la edad de Carlos es de 9 antildeos es decir 9=a La edad de Carlos = 9 antildeos
La edad de la hermana = 63
183
)9)(2()9(32
=== antildeos
La edad de la madre = 27)9(3 = antildeos La edad del padre = 36)9(4 = antildeos Y la edad del abuelo = 633627)9(4)9(3 =+=+ antildeos Nota
Si la edad de Carlos fuera otra los valores numeacutericos de cada una de las expresiones algebraicas seriacutean distintos
El valor numeacuterico de una expresioacuten algebraica no es uacutenico ya que depende del valor que se le deacute a la literal o letra(s) que en ella intervengan
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
15
2 EXPONENTES Considere el caso especial de la multiplicacioacuten en el que todos los factores que se van a multiplicar son iguales Asiacute si se multiplica el nuacutemero a por siacute mismo se obtiene el producto aa el cual generalmente se escribe en la forma 2a En general el producto de n factores cada uno de ellos iguales a a se escribe en la forma na recibiendo el nuacutemero entero y positivo n el nombre de exponente En este caso se dice que se ha elevado el nuacutemero a a la eneacutesima potencia operacioacuten que recibe el nombre de potenciacioacuten 21 POTENCIACIOacuteN La potencia de una expresioacuten algebraica es la misma expresioacuten o el resultado de tomarla como factor dos o maacutes veces Asiacute la primera potencia de una expresioacuten es la misma expresioacuten como se indica a continuacioacuten aa 2)2( 1 =
La segunda potencia o cuadrado de una expresioacuten es el resultado de tomarla como factor dos veces Por lo que
22 4))()(2)(2()2)(2()2( aaaaaa === El cubo de una expresioacuten es el resultado de tomarla como factor tres veces por
ejemplo
33 8))()()(2)(2)(2()2)(2)(2()2( aaaaaaaa === Y en forma general ( ) ( )( )( ) vecesnaaaa n
2222 = 211 POTENCIA DE UN MONOMIO Para elevar un monomio a una potencia se eleva su coeficiente a esa potencia y se multiplica el exponente de cada letra por el exponente que indica la potencia Ejemplo Desarrollar las siguientes expresiones algebraicas
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
16
a) 32 )3( ab b) 343 )5( yxminus c) 4
232
minus
yx
d) 5
43
32
minus ba
Solucioacuten
a) 63)3)(2()3)(1(32333 2727)()()3()3( bababaab ===
b) =minus=minus=minus )3)(4()3)(3(34333343 125)()()5()5( yxyxyx 129125 yxminus
c) 8
4
)4)(2(
)4)(1(
4
44
2
44
2 8116
)()(
)3()2(
32
32
yx
yx
yx
yx
=minus
=
minus=
minus
d) ( ) ( ) =minus
=
minus=
minus 543
5
5543
5543
)3()2(
32
32 bababa
2015)5)(4()5)(3(5
5
24332)()(
)3()2( baba minus=
minus=
2111 PROPIEDADES
Los exponentes indican multiplicacioacuten repetida por ejemplo
a) yy =2 ))(( yyy =
Donde 2y se lee y a la segunda potencia o y al cuadrado b) zz =3 z z = ))()(( zzz se lee z a la tercera potencia o z al cubo c) xx =4 x x x = ))()()(( xxxx se lee x a la cuarta potencia
22 EXPONENTES DE NUacuteMEROS REALES
Si n es un nuacutemero real entonces
xdefactoresn
xxn = x x x
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
17
La expresioacuten exponencial nx se llama potencia de x y se lee x a la eneacutesima potencia o x a la potencia n En la expresioacuten siguiente
nx Exponente
Base
x se llama base y n es el exponente Un exponente que sea nuacutemero natural indica cuaacutentas veces se usa la base de expresioacuten exponencial como factor de un producto por ejemplo
a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==
b) 32)2)(2)(2)(2)(2()2( 5 minus=minusminusminusminusminus=minus
c) 4()4(4 44 minus=minus=minus 4 4 256)4 minus=
d) 256)4)(4)(4)(4()4( 4 =minusminusminusminus=minus
e) 33
81
21
21
21
21 aaaaa =
=
f) 22
251
51
51
51 bbbb =
minus
minus=
minus
g) 35 xx indica que x se debe usar cinco veces como factor y 3x representa que x se debe usar tres veces como factor por lo que 35 xx se usaraacute ocho veces como factor xdefactores5 xdefactores3
xxx =35 x x x x X x x x =
xdefactores8 = x x x x x x x x
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EXPONENTES y RADICALES
18
En general
xdefactoresm xdefactoresn
xxx nm = x x x X x x x x = xdefactoresnm + = x x x x x Por lo tanto para multiplicar expresiones exponenciales con la misma base se
mantiene esa base y se suman los exponentes 221 REGLA DEL PRODUCTO PARA EXPONENTES
Si m y n son nuacutemeros naturales entonces nmnm xxx += Para desarrollar la regla de divisioacuten de las expresiones exponenciales se procede de la siguiente manera
nmnmnmn
mn
m
xxxxx
xxx minusminus+minus ===
= )(1
Por tanto para dividir dos expresiones exponenciales con la misma base distinta de cero se mantiene la base y se resta el exponente del denominador del exponente del numerador
NOTA La regla del producto para exponentes soacutelo se aplica a expresiones exponenciales que tienen la misma base Por ejemplo la expresioacuten 35 yx no se puede simplificar porque las bases de las expresiones exponenciales son diferentes Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)
minus 34
418 xx
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EXPONENTES y RADICALES
19
Solucioacuten
a) 16511511 xxxx == +
b) 15645645 aaaaa == ++
c) 67244324432443 bababbaababa === ++
d) 7343434 248
418
418 xxxxxx minus=
minus=
minus=
minus +
Para encontrar otra propiedad se simplificaraacute la expresioacuten 34 )(x que significa
que 4x se eleva al cubo o en su caso 4x se repite tres veces 4x 4x 4x Donde 4x 4x 4x
=34 )(x 4x 4x 4x = ( x x x x )( x x x x )( x x x x )= = 12444 xx =++ En general se tiene que
nxdefactoresn nxdefactoresmn
mnm xx =)( mx mx mx = x x x x x x = mnx
Asiacute para elevar una expresioacuten exponencial a una potencia se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes
Ejemplo
Si se eleva x3 al cuadrado se obtiene el siguiente resultado
( ) )3(3 2 xx = ))()(3)(3()3( xxx = = 222 93 xx = En general se tiene que
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EXPONENTES y RADICALES
20
xydefactoresn xdefactoresn ( ) ))()(( xyxyxyxy n = xxxxy =)( x yyy y = nn yx
ydefactoresn
Otra propiedad por ejemplo es elevar al cubo la siguiente expresioacuten 3x
Solucioacuten
33
3 xx=
3x
3x
= 27)3)(3)(3(
))()(( 3xxxx=
En general se tiene lo siguiente
yxdefactoresn
=
yx
yx
yx
yx
n
yx
( )0ney
xdefactoresn
)())()(()())()((
yyyyxxxx
= = n
n
yx
ydefactoresn Los tres resultados anteriores se llaman reglas de potencias de los exponentes Si m y n son nuacutemeros naturales entonces
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EXPONENTES y RADICALES
21
( ) mnnm xx = nnn yxxy =)( n
nn
yx
yx
=
)0( ney
Ejemplos
Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) ( )323 b) ( )511x c) ( )632xx d) ( ) ( )2342 xx e) ( )32 yx f) ( )443 yx g) 4
2
yx
h) 2
4
3
yx
Solucioacuten
a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===
b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==
c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +
d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +
e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===
f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==
g) ( ) 8
4
42
44
2 yx
yx
yx
==
( )0ney
h) ( )( ) 8
62
24
32
4
3
yx
yx
yx
==
( )0ney
Analizar la diferencia que existe entre nxminus y nx)(minus
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EXPONENTES y RADICALES
22
Solucioacuten
xdefactoresn xdefactoresn minus
(minus=minus nx x x x x ) y )())()(()( xxxxx n minusminusminusminus=minus
Tambieacuten es conveniente hacer notar la diferencia que existe entre nax y ( )nax donde
xdefactoresn axdefactoresn
aaxn = x x x x y )())()(()( axaxaxaxax n = 222 EL EXPONENTE CERO Cuando las reglas de los exponentes son vaacutelidas y si el exponente es igual a 0 (cero) se tiene lo siguiente nnnnn xxxxxx 1)1()1(00 ==== + Como nn xxx 10 = en consecuencia ( )010 ne= xx
El exponente cero si 10 0 =ne xentoncesx En general cualquier base distinta de cero elevada a la potencia cero es igual a 1 Tambieacuten
10 === minusn
nnn
xxxx
Si todas las bases son distintas de cero y el exponente es cero entonces
a) 150 =
b) ( ) 17 0 =minus
c) ( ) 1303 =ax
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EXPONENTES y RADICALES
23
d) 121 0
975 =
zyx
NOTA
00 es indefinido esto a consecuencia de que infin=00 223 EXPONENTES NEGATIVOS Las reglas de los exponentes son vaacutelidas tambieacuten cuando eacutestos son enteros negativos ( )010 ne=== +minusminus xxxxx nnnn
ya que nxminus 1=nx y nx
1 1=nx
Ademaacutes se define a nxminus como el reciacuteproco de nx Por lo que
nn
xx 1
=minus y nn x
x=
minus
1
NOTA De acuerdo con la definicioacuten de exponentes negativos la base no puede ser 0
Asiacute una expresioacuten como 50minus no estaacute definida por lo que
infin=minus50 Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 25minus b) 310minus c) ( ) 32 minusx d) 13 minusx e) 35xxminus f) ( ) 23 minusminusx Solucioacuten
a) 251
515 2
2 ==minus
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EXPONENTES y RADICALES
24
b) 1000
110110 3
3 ==minus
c) ( ) 33
3
81
21)2(
xxx ==minus
d) 33 1 =minusx xx31
=
e) 2
23535 1x
xxxx === minus+minusminus
f) ( ) 6)2)(3(23 xxx == minusminusminusminus
2224 REGLA DEL COCIENTE Si m y n son enteros entonces
( )0 ne= minus xxxx nm
n
m
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 3
5
aa
b) 11
5
xxminus
c) 5
34
minusxxx
d) ( )( )23
32
x
x e) 4
32
xyyx
f) 3
432
32
minus
baaba
Solucioacuten
a) 2353
5
aaaa
== minus
b) 16
1611511
5 1x
xxxx
=== minusminusminusminus
c) 12575
7
5
34
5
34
xxxxx
xx
xxx
====minusminus
+
minus
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EXPONENTES y RADICALES
25
d) ( )( )
( )( )
( )( ) 10666
6
23
32
23
32
===== minus xxxx
xx
xx
o en su caso
( )( )
( )( )
( )( ) 16
6
23
32
23
32
===xx
xx
xx
e) yxyxyxyyxx
xyyx
==== minusminusminusminusminus 11431243124
32
f) ( )( )
( )
)3)(4()3)(3()3)(middot2(
)3)(3(3)(2
3432
3323
432
32
baaba
baa
babaaba minusminusminus
==
= =
minus
1296
96
baaba
1221321
1215
96 1ba
bababa
=== minusminusminus
o en su caso
=
=
minusminus 3
45
323
432
32
baba
baaba
= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317
33
17
317 1111babababa
ba ===
=minusminus
El siguiente teorema indica que una fraccioacuten elevada a una potencia negativa se puede invertir y elevarse asiacute a una potencia positiva
Teorema Si n es un nuacutemero entero entonces
( )00 nene
=
minus
yxny
yx nn
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EXPONENTES y RADICALES
26
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 4
32 minus
b)
3
2
xy
c) 4
3
2
32
minus
minus
yx
d)
minus
432
32
baaba
Solucioacuten
a) ( )( ) 16
8123
23
32
4
444
==
=
minus
b) ( )( ) 6
9
)3)(2(
)3)(3(
32
333
2
33
3
2
yx
yx
yx
yx
xy
===
=
minus
c) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ====
=
minusminusminusminusminus
minus )4)(2(
)4)(3(
424
434
42
434
2
34
3
2
1681
23
23
23
32
xy
xy
xy
xy
yx
= 8
12
1681
xy minus
= 1681
8
12
xy minus
= 1281681
yx
d) ( )( )
( )( ) ===
=
minusminusminus
minusminus
)3)(3()3)(2(
)3)(4()3)(5(
332
3453
32
4323
432
32
baba
baba
babaa
baaba
= =minus 96
1215
baba 321912)6(15 babbaa =minusminusminus
23 RESUMEN Si no existen divisiones entre 0 (cero) entonces para enteros m y n cualesquiera
a) nmnm xxx += b) ( ) mnnm xx =
c) ( ) nnn yxxy =
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EXPONENTES y RADICALES
27
d) n
nn
yx
yx
=
e) ( )010 ne= xx
f) n
n
xx 1
=minus
g) nmn
m
xxx minus=
h) nn
xy
yx
=
minus
NOTA Las mismas reglas se aplican cuando los exponentes son variables 24 EJERCICIOS
1 Simplificar las siguientes expresiones
a) 24 b) 32 )(x c) 12 )( minusminusx d) 5
2
xx
e) 25minus
Solucioacuten a) 16)4)(4(42 == b) 6)3)(2(32 )( xxx == c) 2)1)(2(12 )( xxx == minusminusminusminus
o tambieacuten
222
22
21212
1)1)(1())(1(
111
111
)(1)( xxx
xxxx
x =======minusminus
minusminus
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EXPONENTES y RADICALES
28
d) 2253)5()3(53
5
3 1))((x
xxxxxxx
===== minusminusminus+minus
o tambieacuten 1 1 1
21
))()()()(())()((
))()()()(())()((
xxxxxxxxx
xxxxxxxx
== = 2minusx
e) 12
2 25251
515 minusminus ===
2 Simplificar las siguientes expresiones considerando que ninguno de los
denominadores sea igual a cero
a) 32
29
)(mmm minus
b) 43
32 )2(minus
minus
aaa
c)043
22 )3(xxx
xminus
minus
d) 042
2022
)4()(4
minus
minus
minusminus
yxyxx
e) 2
25
44
93
minus
minus
minusminus
yxyx
Solucioacuten
a) mmmmm
mm
mmm
===== minusminusminus
1676
7
)3)(2(
29
32
29
)(
b) 561
6
43
)3)(2(3
43
32 88))(8())(2()2(aa
aa
aaa
aaa
====minus
minus
minus
minus
minus
minus
c) 37
4
3)4(
4
322
4
043
22
91
99)1()1()3()3(
xxx
xxx
xxx
xxxx
====minus
minus
d) =minus
=minus
=minus
minus +minus
minus
minus
1)1(4
1)1(4
)4()(4 0222
042
2022 xxyx
yxx
414
1)1)(1(4
minus=minus
=minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
29
e) ( )( )
( )( ) =minusminus
=minusminus
=
minusminus
minus
minus
minusminus
minusminus
minus 224
225
225
2442
25
44
39
93
93
yxyx
yxyx
yxyx
= ( )
( ) ( ) ( )2
48
410
22242
22252
99
813
)()9( xyxyx
yxyx
==minusminus
minus
minus
minus
minus
3 Encontrar el valor numeacuterico de las siguientes expresiones con 2minus=x y
3=y para
a) 23 yx b) 3
3
yxminus
c) ( ) 22 minusxy d) 23 minusminus xy e) 23)( minusminus xy
Solucioacuten
a) ( ) ( ) 72)9)(8(32 2323 minus=minus=minus=yx
b) ( ) ( ) ( )( ) =minus
=minus
==minus
2781
3211
33333
3
yxyx
2161
2161
minus=minus
=
c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241
3211
2222
22 =minus
==minus
xyxy
d) ( ) ( )( ) 16
2722723 4
4323 minus=
minusminus
=minusminus=minus minusminusxy 1627
minus=
e) ( )( ) 4
272
3)()( 2
3
2
323 =
minus=
minus=minus minus
xyxy
3 RADICALES Con frecuencia en los problemas de aplicacioacuten se debe determinar queacute nuacutemero se puede elevar al cuadrado para obtener un segundo nuacutemero a Si se puede determinar a ese nuacutemero se le llama una raiacutez cuadrada de a Por ejemplo
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EXPONENTES y RADICALES
30
a) 0es una raiacutez cuadrada de 0 porque 002 = b) 4 es una raiacutez cuadrada de 16 porque 1642 = c) 4minus es una raiacutez cuadrada de 16 porque 16)4( 2 =minus d) xy7 es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy = e) xy7minus es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy =minus
31 RAIacuteZ CUADRADA DE a El nuacutemero b es una raiacutez cuadrada de a cuando 2 ab = Todos los nuacutemeros positivos tienen dos nuacutemeros reales que son sus raiacuteces cuadradas uno positivo y otro negativo El uacutenico nuacutemero con una sola raiacutez cuadrada es 0 cuya raiacutez cuadrada es 0 Ejemplo Determinar las dos raiacuteces cuadradas de 121 Solucioacuten Las dos raiacuteces cuadradas de 121son 11y 11minus porque 121112 = y 121)11( 2 =minus 32 RAIacuteZ CUADRADA PRINCIPAL Se llama signo radical al siacutembolo y a x el nuacutemero que se encuentran dentro del signo radical que se llama radicando Siacute x gt 0 la raiacutez principal de x es la raiacutez cuadrada positiva de x y se
representa con x La raiacutez cuadrada principal de 0 es 0 00 = NOTA Por definicioacuten el cuadrado principal de un nuacutemero positivo siempre es positivo Aunque 5 y 5minus son raiacuteces cuadradas de 25 soacutelo 5es la raiacutez cuadrada principal El radical
25 representa 5 El radical 25minus representa 5minus Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuadradas
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EXPONENTES y RADICALES
31
a) 11 =
b) 981 =
c) 981 minus=minus
d) 21
41=
e) 114
12116
minus=minus
f) 20040 =
g) 03000090 minus=minus
Los nuacutemeros como 1600491694 y se llaman cuadrados enteros porque cada uno de ellos es el cuadrado de un entero La raiacutez cuadrada de todo cuadrado entero es un nuacutemero racional Por ejemplo
4016007494163924 =====
Las raiacuteces cuadradas de muchos enteros positivos no son nuacutemeros racionales Por ejemplo 11 es un nuacutemero irracional cuyo valor aproximado ( )asymp es de
31662473 )3166247311( asymp Donde el siacutembolo asympquiere decir ldquoaproximadamente igual ardquo
Las raiacuteces cuadradas de nuacutemeros negativos no son nuacutemeros reales Por
ejemplo 9minus no es nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado al cuadrado es igual a 9minus Las raiacuteces cuadradas de los nuacutemeros negativos originan un conjunto llamado nuacutemeros imaginarios
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
32
33 RAIacuteCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE Si 0nex el nuacutemero positivo 2x tiene por raiacuteces a x y a xminus porque 22)( xx =
y 22)( xx =minus Para indicar la raiacutez cuadrada positiva de 2x se debe saber si x es positivo o negativo Si 0gtx se puede escribir lo siguiente xx =2 donde 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es x Si x es negativo entonces 0gtminus x es xx minus=2 ya que 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es xminus Si no se sabe si x es positivo o negativo se pueden emplear siacutembolos de valor absoluto para garantizar que 2x sea positiva xx =2 siempre y cuando x sea cualquier nuacutemero real Si x es cualquier nuacutemero real entonces
a) xxxx 44)4(16 22 ===
Por lo que escribir 216x en la forma 2)4( x siendo que ( ) 22 164 xx = Puesto que x podriacutea ser negativo Los siacutembolos de valor absoluto son necesarios ya que en el producto x4 4 es una constante positiva
b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2
+=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 4+x puede ser negativo por ejemplo cuando
8minus=x
c) ( ) 1112 22 +=+=++ xxxx Porque ( )211 +=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 1+x puede ser negativo por ejemplo cuando 5minus=x
d) 24 xx = porque ( ) 422 xx = Como 02 gex
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
33
34 RAIacuteCES CUacuteBICAS La raiacutez cuacutebica de x se representa por yx =3 si xy =3 Por ejemplo el nuacutemero 64 tiene dos raiacuteces cuadradas que son nuacutemeros reales 8 y 8minus Sin embargo 64 soacutelo tiene una raiacutez cuacutebica real que es el valor de 4 porque 4 es el uacutenico nuacutemero real cuyo cubo es 64 Por lo tanto
xx =3 3 Como todos los nuacutemeros reales tienen una y solo una raiacutez cuacutebica real algunas
de las cuales son positivas y otras negativas no es necesario emplear siacutembolos de valor absoluto al simplificar las raiacuteces cuacutebicas
Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuacutebicas
a) 3 125 b) 3
81
c) 3 327xminus d) 33
3
278
ba
minus e) 3 632160 yx
Solucioacuten a) 51253 = porque 125)5)(5)(5(53 ==
b) 21
81
3 = porque 81
21
21
21
21 3
=
=
c) xx 3273 3 minus=minus porque ( ) ( )( )( ) 33 273333 xxxxx minus=minusminusminus=minus
d) ba
ba
32
278
33
3
minus=minus porque 3
33
278
32
32
32
32
ba
ba
ba
ba
ba
minus=
minus
minus
minus=
minus
e) 23 63 602160 xyyx = porque
( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==
35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS Asiacute como existen raiacuteces cuadradas y raiacuteces cuacutebicas tambieacuten existen las raiacuteces cuartas raiacuteces quintas raiacuteces sextas etc
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
34
Cuando n es impar el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez impar Como todo nuacutemero real tiene una y soacutelo una raiacutez eneacutesima real cuando n es impar no es necesario preocuparse por los siacutembolos de valor absoluto cuando se calculan raiacuteces impares Ejemplo
a) 33243 5 55 == porque 24335 = b) ( ) xxx 227128 77 7 minus=minus=minus porque ( ) 77 1282 xx minus=minus
Cuando n es par el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez par En este caso habraacute una raiacutez eneacutesima positiva y una eneacutesima negativa Por ejemplo las dos raiacuteces sextas reales de 729 son 3 y 3minus porque
72936 = y 729)3( 6 =minus Cuando se determinan raiacuteces reales se emplean con frecuencia los siacutembolos de valor absoluto para garantizar que la eneacutesima raiacutez sea positiva Ejemplos
a) ( ) 3334 4 =minus=minus
Tambieacuten se puede simplificar de la siguiente manera ( ) 3813 44 4 ==minus
b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===
Los siacutembolos de valor absoluto garantizan que la raiacutez sexta es positiva
Generalizando se tienen las siguientes reglas Si x es un nuacutemero real y 1gtn entonces
a) Si n es un nuacutemero impar natural xxn n =
b) Si n es un nuacutemero par natural xxn n =
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
35
NOTA En el radical n x a n se le llama el iacutendice u orden del radical Cuando el iacutendice
es 2 el radical es una raiacutez cuadrada y se acostumbra no escribir el iacutendice Cuando n es par ( )2gtn y 0ltx el radical n x no es un nuacutemero real Por
ejemplo 4 81minus no es un nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado a la cuarta potencia es 81minus
Ejemplo
a) 56254 = porque 62554 = b) 2325 minus=minus porque ( ) 322 5 minus=minus
c) 21
641
6 = porque 641
21 6
=
36 EXPONENTES RACIONALES Los exponentes enteros positivos indican la cantidad de veces que se debe usar una base como factor en un producto Por ejemplo 5x significa que x se debe emplear cinco veces como factor ya que xdefactores5 ( )( )( )( )( )xxxxxx =5 Es posible elevar bases a potencias racionales (fraccionarias) cuando se desea que dichos exponentes respeten las mismas reglas que los coeficientes enteros el
cuadrado de 21
10 debe ser 10 porque
( )
10101010 1
2
212
21
===
Se mantiene la base y se multiplican los exponentes
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
36
( ) 112
212
21
=
=
10101 =
Sin embargo hay que recordar que ( ) 1010
2=
Como 2
21
10
y ( )210 son iguales a 10
Con esto se puede definir que 21
10 es igual a 10 Igualmente para
a) 31
10 como 3 10
b) 41
10 como 4 10
c) 51
10 como 5 10
Por lo que si n es un nuacutemero natural mayor que 1 y n x es un nuacutemero real entonces
nn xx =1
Ejemplo Resolver los siguientes radicales
a) 21
9 b) 21
916
minus c) ( )3
1
64minus d) 41
16 e) 51
321
f) 8
1
0 g) ( )51
232xminus
h) ( )41
xyz
Solucioacuten
a) 3999 221
===
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
37
b) 34
916
916
916
221
minus=minus=minus=
minus
c) ( ) 46464 331
minus=minus=minus
d) 21616 441
==
e) 21
321
321
551
==
f) 000 881
==
g) ( ) xxx 23232 5 551
5 minus=minus=minus
h) ( ) 441
xyzxyz =
i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes
fraccionarios
a) 4 5xyz b) 52
15xy
Solucioacuten
a) ( )41
4 55 xyzxyz =
b) 51
2
5
2
1515
=xyxy
37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1
Se puede ampliar la definicioacuten de nx1
para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
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EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
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EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
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EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
El presente trabajo tiene como
objetivo describir los conceptos y
propiedades de los exponentes y los
radicales con los cuales se operan
Obviamente no se pretende sustituir a este
tema relacionado con el aacutelgebra
contenidos en publicaciones tan
prestigiadas relacionadas con las
matemaacuteticas ya que solamente es una
guiacutea
Por lo que si se quiere profundizar en
este tema es necesario consultar
bibliografiacutea especializada para tener una
informacioacuten maacutes amplia y con mayor
profundidad que la que aquiacute se presenta
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
i
CONTENIDO
Paacuteg
1 INTRODUCCIOacuteN 1 11 GENERALIDADES 1
12 LOS NUacuteMEROS ALGEBRAICOS 4 121 VALOR ABSOLUTO 5 122 NUacuteMEROS IGUALES DESIGUALES Y SIMEacuteTRICOS 5 1221 SUMA o ADICIOacuteN 6 1222 RESTA o SUSTRACCIOacuteN 7 13 REGLA DE LOS SIGNOS DEL PRODUCTO 7 14 REGLA DE LOS SIGNOS DEL COCIENTE 9 15 EXPRESIONES ALGEBRAICAS 10 141 TEacuteRMINOS Y COEFICIENTES 13
2 EXPONENTES 15 21 POTENCIACIOacuteN 15 211 POTENCIA DE UN MONOMIO 15 2111 PROPIEDADES 16 22 EXPONENTES DE NUacuteMEROS REALES 16 221 REGLA DEL PRODUCTO PARA EXPONENTES 18 222 EL EXPONENTE CERO 22 223 EXPONENTES NEGATIVOS 23 2224 REGLA DEL COCIENTE 24 23 RESUMEN 26 24 EJERCICIOS 27
3 RADICALES 29 31 RAIacuteZ CUADRADA DE a 30 32 RAIacuteZ CUADRADA PRINCIPAL 30
33 RAIacuteCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE 32 34 RAIacuteCES CUacuteBICAS 33 35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS 33 36 EXPONENTES RACIONALES 35 37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1 37
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EXPONENTES y RADICALES
ii
38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS 39 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES 43 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES 44 3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA 45 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES 46 3103 SUMA Y RESTA 48 311 RESUMEN 50 4 RACIONALIZACIOgraveN 50 41 BINOacuteMIOS CONJUGADOS 52
5 BIBLIOGRAFIacuteA 54
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1
1 INTRODUCCIOacuteN
Aacutelgebra es una palabra de origen aacuterabe algiabr que se utiliza para nombrar el estudio de las operaciones y propiedades de magnitudes representadas por siacutembolos que generalmente son literales o letras
El primer introductor del aacutelgebra se cree que fue el griego Diofanto en el siglo III
aunque parece que en la India y Persia ya se conociacutea anteriormente En Europa fueron los aacuterabes los que lo introdujeron en el siglo IX
El sabio Al-Khuwarizmi fue el que introdujo siacutembolos para representar
magnitudes operaciones y expresiones El italiano Leonardo Pisano recogioacute en el siglo XIII las ensentildeanzas de las aacuterabes las tradujo al latiacuten y asiacute se extendieron por toda Europa
11 GENERALIDADES
El aacutelgebra es la rama de la matemaacutetica que estudia la cantidad considerada del
modo maacutes general posible [BALDOR A Paacuteg 5] Lo mismo que en aritmeacutetica en el aacutelgebra se efectuacutean operaciones con los
nuacutemeros pero su modo de representarlos difiere en ambas ramas de la matemaacutetica Para la aritmeacutetica soacutelo se emplean los signos comuacutenmente llamados araacutebigos (0 1 2 3 hellip) con la finalidad de escribir los nuacutemeros mientras que en el Aacutelgebra para representarlos se utilizan literales (a b c hellip x y z)
Los siacutembolos empleados en aacutelgebra para representar cantidades son los
nuacutemeros y las letras donde
a) Los nuacutemeros se emplean para representar cantidades conocidas y determinada
b) Las letras se usan para representar toda clase de cantidades ya sean conocidas o desconocidas
c) Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto a b c hellip
d) Las cantidades desconocidas son expresadas por las uacuteltimas letras del alfabeto u v w x y z
Consecuencia de la generalizacioacuten que implica la representacioacuten de cantidades
por medio de expresiones algebraicas Para ello se emplean signos de operacioacuten signos de relacioacuten y signos de agrupacioacuten Ejemplo Sean las siguientes dos literales a y b efectuar
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2
1 Signos de Operacioacuten
Solucioacuten
En aacutelgebra se verifican las cantidades con las mismas operaciones que en Aritmeacutetica suma resta multiplicacioacuten divisioacuten elevacioacuten a potencias y extraccioacuten de raiacuteces a) Signo de la suma (adicioacuten) es + que se lee maacutes
ba + (se lee ldquoa maacutes b rdquo)
b) Signo de la resta (sustraccioacuten) es ndash que se lee menos
ba minus (se lee ldquoa menos b rdquo)
c) Signo de la multiplicacioacuten (producto) es X que se lee multiplicado por
a X b (se lee ldquoa multiplicado por b rdquo o ldquo a por b rdquo)
En lugar del signo X suele usarse un punto entre los factores o en su caso colocar los factores entre pareacutentesis como se indica a continuacioacuten
a bull b o (a )(b ) (leyeacutendose igual que el anterior)
Entre factores literales o entre un factor numeacuterico y un literal el signo de la multiplicacioacuten suele omitirse
Asiacute abc equivale a a X b X c
xy7 equivale a 7 X x X y y
x5 equivale a 5 X x
d) Signo de la divisioacuten (cociente) es que se lee dividido entre
ba (se lee ldquoa dividido entre b rdquo)
Tambieacuten esta operacioacuten se indica separando el dividendo y el divisor por medio de una raya horizontal tal como se indica a continuacioacuten
ba
(se lee ldquo a dividido entre b o a sobre b rdquo)
e) Signo de la elevacioacuten a potencia (exponente) el cual es un nuacutemero pequentildeo colocado en la parte superior de una cantidad o literal esto indica las veces
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3
que dicha cantidad seraacute multiplicada por si misma llamada base la cual se toma como factor
bbbbbbaaaa == 53
Cuando una letra no tiene exponente su exponente es la unidad
1111 xnmmnxaa ==
f) Signo de raiacutez es y bajo este signo se coloca la cantidad a la cual se le extrae la raiacutez Asiacute a equivale a la raiacutez cuadrada de a cuya cantidad que elevada al cuadrado reproduce la cantidad de a Tambieacuten 3 b equivale a la raiacutez cuacutebica de b que al ser elevada al cubo reproduce la cantidad de b
2 Signos de relacioacuten
Se emplean estos signos para indicar la relacioacuten que existe entre dos cantidades Los principales son a) Signo de igual es = que se lee igual a
ba = (se lee ldquoa igual a b rdquo)
b) Signo de mayor es gt que se lee mayor que
ba gt ( se lee ldquoa mayor que b rdquo)
c) Signo de mayor e igual ge que se lee mayor o igual que
ba ge (se lee ldquoa mayor o igual que b rdquo)
d) Signo de menor lt que se lee menor que
ba lt ( se lee ldquoa menor que b rdquo)
e) Signo de menor e igual le que se lee menor o igual que
ba le ( se lee ldquoa menor o igual que b rdquo)
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4
3 Signos de agrupacioacuten
Los signos de agrupacioacuten indican que la operacioacuten colocada entre ellos debe efectuarse primero Estos signos son los siguientes a) El pareacutentesis ordinario ( ) b) El corchete [ ] c) Las llaves y d) La barra o viacutenculo Asiacute cba )( + indica que el resultado de la suma de a y b debe multiplicarse por c [ ]mba minus indica que la diferencia entre a y b debe multiplicarse por m y ba + dc minus indica que la suma de a y bdebe dividirse entre la diferencia c y d
En el producto de dos factores cualquiera de los factores es llamado coeficiente del otro factor Asiacute en el producto a5 el factor 5 es coeficiente del factor a e indica que el factor a se toma como sumando cinco veces ya que a5 aaaaa ++++= En el producto b4 el factor 4 es coeficiente de b e indica que bbbbb +++=4 Siendo estos coeficientes numeacutericos En el producto ab el factor a es coeficiente del factor b e indica que el factor b se toma como sumando a veces es decir bbbbbab +++++= veces Este es un coeficiente literal
a En el producto de maacutes de dos factores uno o varios de ellos son el coeficiente de los restantes Asiacute en el producto abcd a es el coeficiente de bcd ab es el coeficiente de cd abc es el coeficiente de d Cuando una cantidad no tiene coeficiente numeacuterico su coeficiente es la unidad Asiacute b equivale a b1 abc equivale a abc1 12 LOS NUacuteMEROS ALGEBRAICOS
Muchas magnitudes pueden considerarse en dos sentidos opuestos asiacute en el comercio puede hablarse de peacuterdidas y de ganancias existen temperaturas sobre cero y bajo cero existen regiones sobre el nivel del mar y bajo dicho nivel se hace referencia a fechas posteriores a cierta edad o anteriores a ella en la superficie de la tierra hay lugares de latitud norte y de latitud sur etc
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5
Las peacuterdidas y las ganancias las temperaturas sobre cero o bajo cero etc constituyen evidentemente diferentes clases de cantidades Los nuacutemeros con que se designan las ganancias las temperaturas sobre cero las latitudes norte etc se llaman nuacutemeros positivos y se indican convencionalmente anteponieacutendoles el signo + como
5+ Los nuacutemeros que sirven para identificar peacuterdidas temperaturas bajo cero
latitudes sur etc se llaman nuacutemeros negativos y se ha convenido en representarlos anteponieacutendoles el signo ndash Asiacute ( )250minus pesos representa una peacuterdida ( )5minus grados referido a temperatura indica 5grados bajo cero 18minus grados de latitud indica un lugar situado en el hemisferio sur
Si un nuacutemero no estaacute precedido de ninguacuten signo se considera como positivo por
tanto 26 es lo mismo que 26+ Llaacutemense nuacutemeros algebraicos el conjunto de los nuacutemeros positivos y negativos
incluyendo el cero
Recta numeacuterica o eje de los nuacutemeros reales (R)
121 VALOR ABSOLUTO El valor absoluto o moacutedulo de un nuacutemero algebraico es el valor aritmeacutetico de ese nuacutemero Este valor es el que se obtiene suprimiendo el signo v gr el moacutedulo de 3+ es 3 y el de 7minus es 7
El valor absoluto de un nuacutemero se representa escribiendo dicho nuacutemero entre dos rayas verticales como 55 =+ 66 =minus Que se leen respectivamente valor absoluto de 55 =+ y valor absoluto de
66 =minus NOTA Como se observa todo nuacutemero positivo es igual a su valor absoluto
122 NUacuteMEROS IGUALES DESIGUALES Y SIMEacuteTRICOS
Dos nuacutemeros algebraicos son iguales cuando tienen el mismo valor absoluto e
igual signo como
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10X
-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10X O
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6
4+ y 4+ 3minus y 3minus
Dos nuacutemeros algebraicos son desiguales cuando difieren por el signo por el
moacutedulo o por el signo y el moacutedulo La desigualdad se indica por el signo ne que se lee no igual a o diferente de Asiacute
545833 minusne++ne++neminus
Dos nuacutemeros algebraicos son simeacutetricos cuando soacutelo difieren por el signo Asiacute 10+ y 10minus
3minus y 3+ aminus y a+ son simeacutetricos
1221 SUMA o ADICIOacuteN
Sumar )5(+ con )7(+ Para efectuar esta operacioacuten aritmeacutetica se puede partir
del valor 5+ y localizarlo en la escala de los nuacutemeros de la recta numeacuterica XrsquoX seguidamente contar 7 divisiones a la derecha asiacute se alcanza el 12
12)7()5( =+++ o simplemente 1275 =+
Para sumar )6(minus con )3(minus se parte de 3minus y se cuentan 6 divisiones a la
izquierda asiacute se llega al punto 9minus por lo que
)9()6()3( minus=minus+minus o simplemente 963 minus=minusminus De esto se deduce lo siguiente para sumar nuacutemeros algebraicos del mismo
signo se suman sus moacutedulos y a la suma se le da el signo de los sumandos Para sumar )6(+ con )9(minus se parte de 9minus y se cuentan 6 divisiones a la
derecha hasta llegar a 3minus Ya que
)3()6()9( minus=++minus o simplemente 369 minus=+minus Del mismo modo se obtendraacute
538)3()8( =minus=minus++
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7
Por tanto para sumar dos nuacutemeros algebraicos de distinto signo se resta el moacutedulo menor del mayor y a la diferencia se le da el signo del nuacutemero de mayor moacutedulo
La suma de varios nuacutemeros algebraicos de diferentes signos se reduce a los dos
casos anteriores ya que basta agrupar por separado todos los positivos y todos los negativos aplicando la suma y la resta para finalmente adicionarlos
=minus+++minus++ )2()4()5()7(
Agrupando los signos iguales
4711)2()5()4()7( =minus=minus+minus++++
1222 RESTA o SUSTRACCIOacuteN La resta es la operacioacuten inversa de la suma por lo tanto para restar nuacutemeros
algebraicos se procede a la inversa de coacutemo se hace para sumar Sea restar )5(+ de )8(+ Para efectuar esta operacioacuten se parte de 8 y se
recorren 5divisiones a la izquierda llegaacutendose al punto 3
358)5()8( =minus=+minus+ Para restar )2(+ de )3(minus se parte de 3minus y se cuentan 2 unidades a la
izquierda llegaacutendose al punto 5minus
523)2()3( minus==minusminus=+minusminus Para restar )8(minus de )3(minus se parte de 3minus y se cuentan 8 unidades a la derecha
se llega asiacute al punto 5
583)8()3( =+minus=minusminusminus
13 REGLA DE LOS SIGNOS DEL PRODUCTO A continuacioacuten se enuncia la regla de los signos del producto
a) El producto de dos nuacutemeros algebraicos de mismo signo es positivo b) El producto de dos nuacutemeros algebraicos de distinto signo es negativo
Este resultado puede indicarse simboacutelicamente como se indica a continuacioacuten
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8
+=minusminus+=++
))(())((
minus=+minusminus=minus+
))(())((
En la multiplicacioacuten o producto de nuacutemeros algebraicos se pueden distinguir dos
casos
1 Multiplicar dos nuacutemeros positivos como )5)(3( ++
Al considerar 3 como coeficiente la operacioacuten equivale a tomar 3 sumandos iguales a )5(+ por tanto
15555)5()5()5()5)(3( =++=+++++=++ Como se nota este caso no difiere del de la multiplicacioacuten de nuacutemeros aritmeacuteticos
Ejemplo
Multiplicar dos nuacutemeros de diferente signo a) )5)(3( minus+ y b) )5)(3( +minus
Solucioacuten
a) En el producto )5)(3( minus+ considerando a )3(+ como coeficiente la operacioacuten indicada equivale a tomar 3 sumandos iguales a 5minus
15)5()5()5()5)(3( minus=minus+minus+minus=minus+
b) En el producto )5)(3( +minus donde )3(minus se considera como coeficiente la
operacioacuten indicada equivale a tomar negativamente 3sumandos iguales a )5(+
15)5()5()5()5)(3( minus=+minus+minus+minus=+minus
Resultado que como se observa es igual al anterior
2 Multiplicar dos nuacutemeros negativos como )5)(3( minusminus
Este caso es una combinacioacuten de a) y de b) del caso anterior ya que equivale a tomar negativamente 3 sumandos iguales a )5(minus
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9
15)5()5()5()5)(3( =minusminusminusminusminusminus=minusminus
14 REGLA DE LOS SIGNOS DEL COCIENTE El anaacutelisis de los signos indicado en los ejemplos anteriores de este subtema permiten formular la siguiente regla
a) El cociente de dos nuacutemeros algebraicos de mismo signo es positivo b) El cociente de dos nuacutemeros algebraicos de distinto signo es negativo
Esta regla puede indicarse simboacutelicamente de la siguiente manera
+=++
)()(
+=minusminus
)()(
minus=minus+
)()(
minus=+minus
)()(
La divisioacuten es una operacioacuten inversa de la multiplicacioacuten que tiene por objeto
hallar uno de dos factores (cociente) cuando se conoce su producto (dividendo) y el otro factor (divisor) Por tanto para dividir se procede a la inversa de coacutemo se hace en la multiplicacioacuten
Suelen considerarse los mismos casos que en la multiplicacioacuten los cuales
pueden resumirse como se indica seguidamente 1
)4)(5(204)5()20(
=+=++ porque y 4
)5()4)(5(=
1
)4)(5(204)5()20(
minusminus=minus=minus+ porque y 4
)5()4)(5(
minus=minusminusminus
20)5)(4(4)5()20(
minus=+minusminus=+minus porque
20)5)(4(4)5()20(
minus=minus++=minusminus porque
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10
15 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Sea el siguiente rectaacutengulo ABCD el cual tiene 5 centiacutemetros (cm) de largo y 3 centiacutemetros de ancho como se indica en la siguiente figura geomeacutetrica
En esta figura geomeacutetrica se pueden formar 3 fajas de 5 centiacutemetros de largo por 1 centiacutemetro de ancho cada faja puede dividirse en cinco cuadritos de 1 centiacutemetro de largo y 1 centiacutemetro de ancho Las tres fajas juntas constan de 5 X 153 = 2cm que es el aacuterea del rectaacutengulo
El resultado se expresa diciendo el aacuterea de un rectaacutengulo es igual al producto de la base por la altura Esta expresioacuten puede abreviarse de la siguiente manera Aacuterea = base X altura La cual puede ser representada por las literales =A aacuterea =b base y a = altura Por lo que
bA = X a
Dicha abreviacioacuten a su vez resulta maacutes corta si se suprime el signo X y asiacute queda la expresioacuten baA =
Dicha expresioacuten se llama foacutermula algebraica Toda foacutermula es una regla expresada por medio de siacutembolos e indica las
operaciones que deben de efectuarse con los nuacutemeros representados por las literales para obtener ciertos resultados [Anfosi Agustiacuten Paacuteg 2]
Asiacute el rectaacutengulo constaraacute de n fajas de 25 cm cada una y el aacuterea seraacute de
5=A X n = ][5 2cmn
5 cm de largo
3 cm
de
anch
o
A B
CD
B
CD
5 cm A
3 cm
1 cm
1 cm
1 cm2
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11
De la foacutermula para obtener el aacuterea del rectaacutengulo baA= se deducen las siguientes transformaciones de dicha expresioacuten
aAb = y
bAa =
Donde para la primera expresioacuten conocida el aacuterea del rectaacutengulo y su altura se puede saber su base y para la segunda expresioacuten conocida el aacuterea del rectaacutengulo y su base se puede obtener su altura
El aacuterea de un rectaacutengulo de base b y altura a es ba El aacuterea de tres rectaacutengulos iguales al anterior es babababa 3=++
El volumen de un paralelepiacutepedo en que las dimensiones de la base son b y a
y la altura es c es bac
El volumen de dos paralelepiacutepedos iguales al anterior es bacbacbac 2=+
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12
El duplo se escribe a2 el triple de b se escribe b3 el cuaacutedruplo de 3a
3
4 a el
quiacutentuplo de c c5 etc Asiacute se tiene aaa +=2 bbbb ++=3
33333
4 aaaaa+++=
cccccc ++++=5 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
)( eaigualessumandosneeene ++++= En las expresiones anteriores ny5432 se llaman coeficientes El coeficiente es el nuacutemero o la literal que indica cuaacutentos sumandos iguales se toman Los cuatro primeros son numeacutericos y el uacuteltimo es literal
Ejemplo a) Representar la edad de cada uno de los miembros de la familia de Carlos Se
sabe que la edad de la hermana es dos tercios de la de Carlos la de la madre el triple la del padre cuatro veces y la del abuelo es igual a la suma de las edades del padre y de la madre
Solucioacuten La edad de Carlos es = a
La edad de la hermana es = a32
La edad de la madre es = a3 La edad del padre es = a4 Y la edad del abuelo es = aa 43 +
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13
b) A continuacioacuten se presenta un plano de una parte de un piso cuyas dimensiones estaacuten expresadas en el mismo
En este plano se observa que la longitud de este piso se puede expresar como ba+=8 de donde ba minus= 8 Y que el ancho es ihdc +=+
En estos dos ejemplos aparecen expresiones que son combinaciones de
nuacutemeros y literales separadas por los signos de las operaciones matemaacuteticas (aritmeacuteticas) Estas expresiones reciben el nombre de expresiones algebraicas 141 TEacuteRMINOS Y COEFICIENTES Sea la siguiente expresioacuten algebraica la cual estaacute formada por cinco sumandos
babbaa 3212
35
++++
Se llama teacutermino de una expresioacuten algebraica a cada uno de dichos sumandos Asiacute a2 es una expresioacuten algebraica de un teacutermino ba +3 es una expresioacuten algebraica de dos teacuterminos 123 ++ aab es una expresioacuten algebraica de tres teacuterminos Donde cada teacutermino consta de una parte numeacuterica (coeficiente del teacutermino) y otra literal Asiacute a2 es un teacutermino de coeficiente 2 y parte literal a
ab23
es un teacutermino de coeficiente 23
y parte literal ab
a b
c
e
d
h
i
8
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EXPONENTES y RADICALES
14
2xy es un teacutermino de coeficiente 1 y parte literal 2xy
Ejemplo Representar la edad de cada uno de los miembros de la familia de Carlos Se sabe que la edad de la hermana es dos tercios de la edad de Carlos la de la madre el triple la del padre cuatro veces y la del abuelo es igual a la suma de las edades del padre y la madre Solucioacuten Las expresiones algebraicas seraacuten las siguientes La edad de Carlos = a
La edad de la hermana = a32
La edad de la madre = a3 La edad del padre = a4 Y la edad del abuelo = aa 43 + A continuacioacuten se presenta el valor numeacuterico de cada una de las expresiones algebraicas si se sabe que la edad de Carlos es de 9 antildeos es decir 9=a La edad de Carlos = 9 antildeos
La edad de la hermana = 63
183
)9)(2()9(32
=== antildeos
La edad de la madre = 27)9(3 = antildeos La edad del padre = 36)9(4 = antildeos Y la edad del abuelo = 633627)9(4)9(3 =+=+ antildeos Nota
Si la edad de Carlos fuera otra los valores numeacutericos de cada una de las expresiones algebraicas seriacutean distintos
El valor numeacuterico de una expresioacuten algebraica no es uacutenico ya que depende del valor que se le deacute a la literal o letra(s) que en ella intervengan
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EXPONENTES y RADICALES
15
2 EXPONENTES Considere el caso especial de la multiplicacioacuten en el que todos los factores que se van a multiplicar son iguales Asiacute si se multiplica el nuacutemero a por siacute mismo se obtiene el producto aa el cual generalmente se escribe en la forma 2a En general el producto de n factores cada uno de ellos iguales a a se escribe en la forma na recibiendo el nuacutemero entero y positivo n el nombre de exponente En este caso se dice que se ha elevado el nuacutemero a a la eneacutesima potencia operacioacuten que recibe el nombre de potenciacioacuten 21 POTENCIACIOacuteN La potencia de una expresioacuten algebraica es la misma expresioacuten o el resultado de tomarla como factor dos o maacutes veces Asiacute la primera potencia de una expresioacuten es la misma expresioacuten como se indica a continuacioacuten aa 2)2( 1 =
La segunda potencia o cuadrado de una expresioacuten es el resultado de tomarla como factor dos veces Por lo que
22 4))()(2)(2()2)(2()2( aaaaaa === El cubo de una expresioacuten es el resultado de tomarla como factor tres veces por
ejemplo
33 8))()()(2)(2)(2()2)(2)(2()2( aaaaaaaa === Y en forma general ( ) ( )( )( ) vecesnaaaa n
2222 = 211 POTENCIA DE UN MONOMIO Para elevar un monomio a una potencia se eleva su coeficiente a esa potencia y se multiplica el exponente de cada letra por el exponente que indica la potencia Ejemplo Desarrollar las siguientes expresiones algebraicas
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EXPONENTES y RADICALES
16
a) 32 )3( ab b) 343 )5( yxminus c) 4
232
minus
yx
d) 5
43
32
minus ba
Solucioacuten
a) 63)3)(2()3)(1(32333 2727)()()3()3( bababaab ===
b) =minus=minus=minus )3)(4()3)(3(34333343 125)()()5()5( yxyxyx 129125 yxminus
c) 8
4
)4)(2(
)4)(1(
4
44
2
44
2 8116
)()(
)3()2(
32
32
yx
yx
yx
yx
=minus
=
minus=
minus
d) ( ) ( ) =minus
=
minus=
minus 543
5
5543
5543
)3()2(
32
32 bababa
2015)5)(4()5)(3(5
5
24332)()(
)3()2( baba minus=
minus=
2111 PROPIEDADES
Los exponentes indican multiplicacioacuten repetida por ejemplo
a) yy =2 ))(( yyy =
Donde 2y se lee y a la segunda potencia o y al cuadrado b) zz =3 z z = ))()(( zzz se lee z a la tercera potencia o z al cubo c) xx =4 x x x = ))()()(( xxxx se lee x a la cuarta potencia
22 EXPONENTES DE NUacuteMEROS REALES
Si n es un nuacutemero real entonces
xdefactoresn
xxn = x x x
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EXPONENTES y RADICALES
17
La expresioacuten exponencial nx se llama potencia de x y se lee x a la eneacutesima potencia o x a la potencia n En la expresioacuten siguiente
nx Exponente
Base
x se llama base y n es el exponente Un exponente que sea nuacutemero natural indica cuaacutentas veces se usa la base de expresioacuten exponencial como factor de un producto por ejemplo
a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==
b) 32)2)(2)(2)(2)(2()2( 5 minus=minusminusminusminusminus=minus
c) 4()4(4 44 minus=minus=minus 4 4 256)4 minus=
d) 256)4)(4)(4)(4()4( 4 =minusminusminusminus=minus
e) 33
81
21
21
21
21 aaaaa =
=
f) 22
251
51
51
51 bbbb =
minus
minus=
minus
g) 35 xx indica que x se debe usar cinco veces como factor y 3x representa que x se debe usar tres veces como factor por lo que 35 xx se usaraacute ocho veces como factor xdefactores5 xdefactores3
xxx =35 x x x x X x x x =
xdefactores8 = x x x x x x x x
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EXPONENTES y RADICALES
18
En general
xdefactoresm xdefactoresn
xxx nm = x x x X x x x x = xdefactoresnm + = x x x x x Por lo tanto para multiplicar expresiones exponenciales con la misma base se
mantiene esa base y se suman los exponentes 221 REGLA DEL PRODUCTO PARA EXPONENTES
Si m y n son nuacutemeros naturales entonces nmnm xxx += Para desarrollar la regla de divisioacuten de las expresiones exponenciales se procede de la siguiente manera
nmnmnmn
mn
m
xxxxx
xxx minusminus+minus ===
= )(1
Por tanto para dividir dos expresiones exponenciales con la misma base distinta de cero se mantiene la base y se resta el exponente del denominador del exponente del numerador
NOTA La regla del producto para exponentes soacutelo se aplica a expresiones exponenciales que tienen la misma base Por ejemplo la expresioacuten 35 yx no se puede simplificar porque las bases de las expresiones exponenciales son diferentes Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)
minus 34
418 xx
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EXPONENTES y RADICALES
19
Solucioacuten
a) 16511511 xxxx == +
b) 15645645 aaaaa == ++
c) 67244324432443 bababbaababa === ++
d) 7343434 248
418
418 xxxxxx minus=
minus=
minus=
minus +
Para encontrar otra propiedad se simplificaraacute la expresioacuten 34 )(x que significa
que 4x se eleva al cubo o en su caso 4x se repite tres veces 4x 4x 4x Donde 4x 4x 4x
=34 )(x 4x 4x 4x = ( x x x x )( x x x x )( x x x x )= = 12444 xx =++ En general se tiene que
nxdefactoresn nxdefactoresmn
mnm xx =)( mx mx mx = x x x x x x = mnx
Asiacute para elevar una expresioacuten exponencial a una potencia se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes
Ejemplo
Si se eleva x3 al cuadrado se obtiene el siguiente resultado
( ) )3(3 2 xx = ))()(3)(3()3( xxx = = 222 93 xx = En general se tiene que
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EXPONENTES y RADICALES
20
xydefactoresn xdefactoresn ( ) ))()(( xyxyxyxy n = xxxxy =)( x yyy y = nn yx
ydefactoresn
Otra propiedad por ejemplo es elevar al cubo la siguiente expresioacuten 3x
Solucioacuten
33
3 xx=
3x
3x
= 27)3)(3)(3(
))()(( 3xxxx=
En general se tiene lo siguiente
yxdefactoresn
=
yx
yx
yx
yx
n
yx
( )0ney
xdefactoresn
)())()(()())()((
yyyyxxxx
= = n
n
yx
ydefactoresn Los tres resultados anteriores se llaman reglas de potencias de los exponentes Si m y n son nuacutemeros naturales entonces
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EXPONENTES y RADICALES
21
( ) mnnm xx = nnn yxxy =)( n
nn
yx
yx
=
)0( ney
Ejemplos
Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) ( )323 b) ( )511x c) ( )632xx d) ( ) ( )2342 xx e) ( )32 yx f) ( )443 yx g) 4
2
yx
h) 2
4
3
yx
Solucioacuten
a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===
b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==
c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +
d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +
e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===
f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==
g) ( ) 8
4
42
44
2 yx
yx
yx
==
( )0ney
h) ( )( ) 8
62
24
32
4
3
yx
yx
yx
==
( )0ney
Analizar la diferencia que existe entre nxminus y nx)(minus
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EXPONENTES y RADICALES
22
Solucioacuten
xdefactoresn xdefactoresn minus
(minus=minus nx x x x x ) y )())()(()( xxxxx n minusminusminusminus=minus
Tambieacuten es conveniente hacer notar la diferencia que existe entre nax y ( )nax donde
xdefactoresn axdefactoresn
aaxn = x x x x y )())()(()( axaxaxaxax n = 222 EL EXPONENTE CERO Cuando las reglas de los exponentes son vaacutelidas y si el exponente es igual a 0 (cero) se tiene lo siguiente nnnnn xxxxxx 1)1()1(00 ==== + Como nn xxx 10 = en consecuencia ( )010 ne= xx
El exponente cero si 10 0 =ne xentoncesx En general cualquier base distinta de cero elevada a la potencia cero es igual a 1 Tambieacuten
10 === minusn
nnn
xxxx
Si todas las bases son distintas de cero y el exponente es cero entonces
a) 150 =
b) ( ) 17 0 =minus
c) ( ) 1303 =ax
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EXPONENTES y RADICALES
23
d) 121 0
975 =
zyx
NOTA
00 es indefinido esto a consecuencia de que infin=00 223 EXPONENTES NEGATIVOS Las reglas de los exponentes son vaacutelidas tambieacuten cuando eacutestos son enteros negativos ( )010 ne=== +minusminus xxxxx nnnn
ya que nxminus 1=nx y nx
1 1=nx
Ademaacutes se define a nxminus como el reciacuteproco de nx Por lo que
nn
xx 1
=minus y nn x
x=
minus
1
NOTA De acuerdo con la definicioacuten de exponentes negativos la base no puede ser 0
Asiacute una expresioacuten como 50minus no estaacute definida por lo que
infin=minus50 Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 25minus b) 310minus c) ( ) 32 minusx d) 13 minusx e) 35xxminus f) ( ) 23 minusminusx Solucioacuten
a) 251
515 2
2 ==minus
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EXPONENTES y RADICALES
24
b) 1000
110110 3
3 ==minus
c) ( ) 33
3
81
21)2(
xxx ==minus
d) 33 1 =minusx xx31
=
e) 2
23535 1x
xxxx === minus+minusminus
f) ( ) 6)2)(3(23 xxx == minusminusminusminus
2224 REGLA DEL COCIENTE Si m y n son enteros entonces
( )0 ne= minus xxxx nm
n
m
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 3
5
aa
b) 11
5
xxminus
c) 5
34
minusxxx
d) ( )( )23
32
x
x e) 4
32
xyyx
f) 3
432
32
minus
baaba
Solucioacuten
a) 2353
5
aaaa
== minus
b) 16
1611511
5 1x
xxxx
=== minusminusminusminus
c) 12575
7
5
34
5
34
xxxxx
xx
xxx
====minusminus
+
minus
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EXPONENTES y RADICALES
25
d) ( )( )
( )( )
( )( ) 10666
6
23
32
23
32
===== minus xxxx
xx
xx
o en su caso
( )( )
( )( )
( )( ) 16
6
23
32
23
32
===xx
xx
xx
e) yxyxyxyyxx
xyyx
==== minusminusminusminusminus 11431243124
32
f) ( )( )
( )
)3)(4()3)(3()3)(middot2(
)3)(3(3)(2
3432
3323
432
32
baaba
baa
babaaba minusminusminus
==
= =
minus
1296
96
baaba
1221321
1215
96 1ba
bababa
=== minusminusminus
o en su caso
=
=
minusminus 3
45
323
432
32
baba
baaba
= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317
33
17
317 1111babababa
ba ===
=minusminus
El siguiente teorema indica que una fraccioacuten elevada a una potencia negativa se puede invertir y elevarse asiacute a una potencia positiva
Teorema Si n es un nuacutemero entero entonces
( )00 nene
=
minus
yxny
yx nn
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EXPONENTES y RADICALES
26
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 4
32 minus
b)
3
2
xy
c) 4
3
2
32
minus
minus
yx
d)
minus
432
32
baaba
Solucioacuten
a) ( )( ) 16
8123
23
32
4
444
==
=
minus
b) ( )( ) 6
9
)3)(2(
)3)(3(
32
333
2
33
3
2
yx
yx
yx
yx
xy
===
=
minus
c) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ====
=
minusminusminusminusminus
minus )4)(2(
)4)(3(
424
434
42
434
2
34
3
2
1681
23
23
23
32
xy
xy
xy
xy
yx
= 8
12
1681
xy minus
= 1681
8
12
xy minus
= 1281681
yx
d) ( )( )
( )( ) ===
=
minusminusminus
minusminus
)3)(3()3)(2(
)3)(4()3)(5(
332
3453
32
4323
432
32
baba
baba
babaa
baaba
= =minus 96
1215
baba 321912)6(15 babbaa =minusminusminus
23 RESUMEN Si no existen divisiones entre 0 (cero) entonces para enteros m y n cualesquiera
a) nmnm xxx += b) ( ) mnnm xx =
c) ( ) nnn yxxy =
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EXPONENTES y RADICALES
27
d) n
nn
yx
yx
=
e) ( )010 ne= xx
f) n
n
xx 1
=minus
g) nmn
m
xxx minus=
h) nn
xy
yx
=
minus
NOTA Las mismas reglas se aplican cuando los exponentes son variables 24 EJERCICIOS
1 Simplificar las siguientes expresiones
a) 24 b) 32 )(x c) 12 )( minusminusx d) 5
2
xx
e) 25minus
Solucioacuten a) 16)4)(4(42 == b) 6)3)(2(32 )( xxx == c) 2)1)(2(12 )( xxx == minusminusminusminus
o tambieacuten
222
22
21212
1)1)(1())(1(
111
111
)(1)( xxx
xxxx
x =======minusminus
minusminus
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EXPONENTES y RADICALES
28
d) 2253)5()3(53
5
3 1))((x
xxxxxxx
===== minusminusminus+minus
o tambieacuten 1 1 1
21
))()()()(())()((
))()()()(())()((
xxxxxxxxx
xxxxxxxx
== = 2minusx
e) 12
2 25251
515 minusminus ===
2 Simplificar las siguientes expresiones considerando que ninguno de los
denominadores sea igual a cero
a) 32
29
)(mmm minus
b) 43
32 )2(minus
minus
aaa
c)043
22 )3(xxx
xminus
minus
d) 042
2022
)4()(4
minus
minus
minusminus
yxyxx
e) 2
25
44
93
minus
minus
minusminus
yxyx
Solucioacuten
a) mmmmm
mm
mmm
===== minusminusminus
1676
7
)3)(2(
29
32
29
)(
b) 561
6
43
)3)(2(3
43
32 88))(8())(2()2(aa
aa
aaa
aaa
====minus
minus
minus
minus
minus
minus
c) 37
4
3)4(
4
322
4
043
22
91
99)1()1()3()3(
xxx
xxx
xxx
xxxx
====minus
minus
d) =minus
=minus
=minus
minus +minus
minus
minus
1)1(4
1)1(4
)4()(4 0222
042
2022 xxyx
yxx
414
1)1)(1(4
minus=minus
=minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
29
e) ( )( )
( )( ) =minusminus
=minusminus
=
minusminus
minus
minus
minusminus
minusminus
minus 224
225
225
2442
25
44
39
93
93
yxyx
yxyx
yxyx
= ( )
( ) ( ) ( )2
48
410
22242
22252
99
813
)()9( xyxyx
yxyx
==minusminus
minus
minus
minus
minus
3 Encontrar el valor numeacuterico de las siguientes expresiones con 2minus=x y
3=y para
a) 23 yx b) 3
3
yxminus
c) ( ) 22 minusxy d) 23 minusminus xy e) 23)( minusminus xy
Solucioacuten
a) ( ) ( ) 72)9)(8(32 2323 minus=minus=minus=yx
b) ( ) ( ) ( )( ) =minus
=minus
==minus
2781
3211
33333
3
yxyx
2161
2161
minus=minus
=
c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241
3211
2222
22 =minus
==minus
xyxy
d) ( ) ( )( ) 16
2722723 4
4323 minus=
minusminus
=minusminus=minus minusminusxy 1627
minus=
e) ( )( ) 4
272
3)()( 2
3
2
323 =
minus=
minus=minus minus
xyxy
3 RADICALES Con frecuencia en los problemas de aplicacioacuten se debe determinar queacute nuacutemero se puede elevar al cuadrado para obtener un segundo nuacutemero a Si se puede determinar a ese nuacutemero se le llama una raiacutez cuadrada de a Por ejemplo
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
30
a) 0es una raiacutez cuadrada de 0 porque 002 = b) 4 es una raiacutez cuadrada de 16 porque 1642 = c) 4minus es una raiacutez cuadrada de 16 porque 16)4( 2 =minus d) xy7 es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy = e) xy7minus es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy =minus
31 RAIacuteZ CUADRADA DE a El nuacutemero b es una raiacutez cuadrada de a cuando 2 ab = Todos los nuacutemeros positivos tienen dos nuacutemeros reales que son sus raiacuteces cuadradas uno positivo y otro negativo El uacutenico nuacutemero con una sola raiacutez cuadrada es 0 cuya raiacutez cuadrada es 0 Ejemplo Determinar las dos raiacuteces cuadradas de 121 Solucioacuten Las dos raiacuteces cuadradas de 121son 11y 11minus porque 121112 = y 121)11( 2 =minus 32 RAIacuteZ CUADRADA PRINCIPAL Se llama signo radical al siacutembolo y a x el nuacutemero que se encuentran dentro del signo radical que se llama radicando Siacute x gt 0 la raiacutez principal de x es la raiacutez cuadrada positiva de x y se
representa con x La raiacutez cuadrada principal de 0 es 0 00 = NOTA Por definicioacuten el cuadrado principal de un nuacutemero positivo siempre es positivo Aunque 5 y 5minus son raiacuteces cuadradas de 25 soacutelo 5es la raiacutez cuadrada principal El radical
25 representa 5 El radical 25minus representa 5minus Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuadradas
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
31
a) 11 =
b) 981 =
c) 981 minus=minus
d) 21
41=
e) 114
12116
minus=minus
f) 20040 =
g) 03000090 minus=minus
Los nuacutemeros como 1600491694 y se llaman cuadrados enteros porque cada uno de ellos es el cuadrado de un entero La raiacutez cuadrada de todo cuadrado entero es un nuacutemero racional Por ejemplo
4016007494163924 =====
Las raiacuteces cuadradas de muchos enteros positivos no son nuacutemeros racionales Por ejemplo 11 es un nuacutemero irracional cuyo valor aproximado ( )asymp es de
31662473 )3166247311( asymp Donde el siacutembolo asympquiere decir ldquoaproximadamente igual ardquo
Las raiacuteces cuadradas de nuacutemeros negativos no son nuacutemeros reales Por
ejemplo 9minus no es nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado al cuadrado es igual a 9minus Las raiacuteces cuadradas de los nuacutemeros negativos originan un conjunto llamado nuacutemeros imaginarios
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
32
33 RAIacuteCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE Si 0nex el nuacutemero positivo 2x tiene por raiacuteces a x y a xminus porque 22)( xx =
y 22)( xx =minus Para indicar la raiacutez cuadrada positiva de 2x se debe saber si x es positivo o negativo Si 0gtx se puede escribir lo siguiente xx =2 donde 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es x Si x es negativo entonces 0gtminus x es xx minus=2 ya que 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es xminus Si no se sabe si x es positivo o negativo se pueden emplear siacutembolos de valor absoluto para garantizar que 2x sea positiva xx =2 siempre y cuando x sea cualquier nuacutemero real Si x es cualquier nuacutemero real entonces
a) xxxx 44)4(16 22 ===
Por lo que escribir 216x en la forma 2)4( x siendo que ( ) 22 164 xx = Puesto que x podriacutea ser negativo Los siacutembolos de valor absoluto son necesarios ya que en el producto x4 4 es una constante positiva
b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2
+=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 4+x puede ser negativo por ejemplo cuando
8minus=x
c) ( ) 1112 22 +=+=++ xxxx Porque ( )211 +=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 1+x puede ser negativo por ejemplo cuando 5minus=x
d) 24 xx = porque ( ) 422 xx = Como 02 gex
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
33
34 RAIacuteCES CUacuteBICAS La raiacutez cuacutebica de x se representa por yx =3 si xy =3 Por ejemplo el nuacutemero 64 tiene dos raiacuteces cuadradas que son nuacutemeros reales 8 y 8minus Sin embargo 64 soacutelo tiene una raiacutez cuacutebica real que es el valor de 4 porque 4 es el uacutenico nuacutemero real cuyo cubo es 64 Por lo tanto
xx =3 3 Como todos los nuacutemeros reales tienen una y solo una raiacutez cuacutebica real algunas
de las cuales son positivas y otras negativas no es necesario emplear siacutembolos de valor absoluto al simplificar las raiacuteces cuacutebicas
Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuacutebicas
a) 3 125 b) 3
81
c) 3 327xminus d) 33
3
278
ba
minus e) 3 632160 yx
Solucioacuten a) 51253 = porque 125)5)(5)(5(53 ==
b) 21
81
3 = porque 81
21
21
21
21 3
=
=
c) xx 3273 3 minus=minus porque ( ) ( )( )( ) 33 273333 xxxxx minus=minusminusminus=minus
d) ba
ba
32
278
33
3
minus=minus porque 3
33
278
32
32
32
32
ba
ba
ba
ba
ba
minus=
minus
minus
minus=
minus
e) 23 63 602160 xyyx = porque
( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==
35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS Asiacute como existen raiacuteces cuadradas y raiacuteces cuacutebicas tambieacuten existen las raiacuteces cuartas raiacuteces quintas raiacuteces sextas etc
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
34
Cuando n es impar el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez impar Como todo nuacutemero real tiene una y soacutelo una raiacutez eneacutesima real cuando n es impar no es necesario preocuparse por los siacutembolos de valor absoluto cuando se calculan raiacuteces impares Ejemplo
a) 33243 5 55 == porque 24335 = b) ( ) xxx 227128 77 7 minus=minus=minus porque ( ) 77 1282 xx minus=minus
Cuando n es par el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez par En este caso habraacute una raiacutez eneacutesima positiva y una eneacutesima negativa Por ejemplo las dos raiacuteces sextas reales de 729 son 3 y 3minus porque
72936 = y 729)3( 6 =minus Cuando se determinan raiacuteces reales se emplean con frecuencia los siacutembolos de valor absoluto para garantizar que la eneacutesima raiacutez sea positiva Ejemplos
a) ( ) 3334 4 =minus=minus
Tambieacuten se puede simplificar de la siguiente manera ( ) 3813 44 4 ==minus
b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===
Los siacutembolos de valor absoluto garantizan que la raiacutez sexta es positiva
Generalizando se tienen las siguientes reglas Si x es un nuacutemero real y 1gtn entonces
a) Si n es un nuacutemero impar natural xxn n =
b) Si n es un nuacutemero par natural xxn n =
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
35
NOTA En el radical n x a n se le llama el iacutendice u orden del radical Cuando el iacutendice
es 2 el radical es una raiacutez cuadrada y se acostumbra no escribir el iacutendice Cuando n es par ( )2gtn y 0ltx el radical n x no es un nuacutemero real Por
ejemplo 4 81minus no es un nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado a la cuarta potencia es 81minus
Ejemplo
a) 56254 = porque 62554 = b) 2325 minus=minus porque ( ) 322 5 minus=minus
c) 21
641
6 = porque 641
21 6
=
36 EXPONENTES RACIONALES Los exponentes enteros positivos indican la cantidad de veces que se debe usar una base como factor en un producto Por ejemplo 5x significa que x se debe emplear cinco veces como factor ya que xdefactores5 ( )( )( )( )( )xxxxxx =5 Es posible elevar bases a potencias racionales (fraccionarias) cuando se desea que dichos exponentes respeten las mismas reglas que los coeficientes enteros el
cuadrado de 21
10 debe ser 10 porque
( )
10101010 1
2
212
21
===
Se mantiene la base y se multiplican los exponentes
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EXPONENTES y RADICALES
36
( ) 112
212
21
=
=
10101 =
Sin embargo hay que recordar que ( ) 1010
2=
Como 2
21
10
y ( )210 son iguales a 10
Con esto se puede definir que 21
10 es igual a 10 Igualmente para
a) 31
10 como 3 10
b) 41
10 como 4 10
c) 51
10 como 5 10
Por lo que si n es un nuacutemero natural mayor que 1 y n x es un nuacutemero real entonces
nn xx =1
Ejemplo Resolver los siguientes radicales
a) 21
9 b) 21
916
minus c) ( )3
1
64minus d) 41
16 e) 51
321
f) 8
1
0 g) ( )51
232xminus
h) ( )41
xyz
Solucioacuten
a) 3999 221
===
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
37
b) 34
916
916
916
221
minus=minus=minus=
minus
c) ( ) 46464 331
minus=minus=minus
d) 21616 441
==
e) 21
321
321
551
==
f) 000 881
==
g) ( ) xxx 23232 5 551
5 minus=minus=minus
h) ( ) 441
xyzxyz =
i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes
fraccionarios
a) 4 5xyz b) 52
15xy
Solucioacuten
a) ( )41
4 55 xyzxyz =
b) 51
2
5
2
1515
=xyxy
37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1
Se puede ampliar la definicioacuten de nx1
para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
i
CONTENIDO
Paacuteg
1 INTRODUCCIOacuteN 1 11 GENERALIDADES 1
12 LOS NUacuteMEROS ALGEBRAICOS 4 121 VALOR ABSOLUTO 5 122 NUacuteMEROS IGUALES DESIGUALES Y SIMEacuteTRICOS 5 1221 SUMA o ADICIOacuteN 6 1222 RESTA o SUSTRACCIOacuteN 7 13 REGLA DE LOS SIGNOS DEL PRODUCTO 7 14 REGLA DE LOS SIGNOS DEL COCIENTE 9 15 EXPRESIONES ALGEBRAICAS 10 141 TEacuteRMINOS Y COEFICIENTES 13
2 EXPONENTES 15 21 POTENCIACIOacuteN 15 211 POTENCIA DE UN MONOMIO 15 2111 PROPIEDADES 16 22 EXPONENTES DE NUacuteMEROS REALES 16 221 REGLA DEL PRODUCTO PARA EXPONENTES 18 222 EL EXPONENTE CERO 22 223 EXPONENTES NEGATIVOS 23 2224 REGLA DEL COCIENTE 24 23 RESUMEN 26 24 EJERCICIOS 27
3 RADICALES 29 31 RAIacuteZ CUADRADA DE a 30 32 RAIacuteZ CUADRADA PRINCIPAL 30
33 RAIacuteCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE 32 34 RAIacuteCES CUacuteBICAS 33 35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS 33 36 EXPONENTES RACIONALES 35 37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1 37
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
ii
38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS 39 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES 43 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES 44 3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA 45 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES 46 3103 SUMA Y RESTA 48 311 RESUMEN 50 4 RACIONALIZACIOgraveN 50 41 BINOacuteMIOS CONJUGADOS 52
5 BIBLIOGRAFIacuteA 54
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
1
1 INTRODUCCIOacuteN
Aacutelgebra es una palabra de origen aacuterabe algiabr que se utiliza para nombrar el estudio de las operaciones y propiedades de magnitudes representadas por siacutembolos que generalmente son literales o letras
El primer introductor del aacutelgebra se cree que fue el griego Diofanto en el siglo III
aunque parece que en la India y Persia ya se conociacutea anteriormente En Europa fueron los aacuterabes los que lo introdujeron en el siglo IX
El sabio Al-Khuwarizmi fue el que introdujo siacutembolos para representar
magnitudes operaciones y expresiones El italiano Leonardo Pisano recogioacute en el siglo XIII las ensentildeanzas de las aacuterabes las tradujo al latiacuten y asiacute se extendieron por toda Europa
11 GENERALIDADES
El aacutelgebra es la rama de la matemaacutetica que estudia la cantidad considerada del
modo maacutes general posible [BALDOR A Paacuteg 5] Lo mismo que en aritmeacutetica en el aacutelgebra se efectuacutean operaciones con los
nuacutemeros pero su modo de representarlos difiere en ambas ramas de la matemaacutetica Para la aritmeacutetica soacutelo se emplean los signos comuacutenmente llamados araacutebigos (0 1 2 3 hellip) con la finalidad de escribir los nuacutemeros mientras que en el Aacutelgebra para representarlos se utilizan literales (a b c hellip x y z)
Los siacutembolos empleados en aacutelgebra para representar cantidades son los
nuacutemeros y las letras donde
a) Los nuacutemeros se emplean para representar cantidades conocidas y determinada
b) Las letras se usan para representar toda clase de cantidades ya sean conocidas o desconocidas
c) Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto a b c hellip
d) Las cantidades desconocidas son expresadas por las uacuteltimas letras del alfabeto u v w x y z
Consecuencia de la generalizacioacuten que implica la representacioacuten de cantidades
por medio de expresiones algebraicas Para ello se emplean signos de operacioacuten signos de relacioacuten y signos de agrupacioacuten Ejemplo Sean las siguientes dos literales a y b efectuar
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
2
1 Signos de Operacioacuten
Solucioacuten
En aacutelgebra se verifican las cantidades con las mismas operaciones que en Aritmeacutetica suma resta multiplicacioacuten divisioacuten elevacioacuten a potencias y extraccioacuten de raiacuteces a) Signo de la suma (adicioacuten) es + que se lee maacutes
ba + (se lee ldquoa maacutes b rdquo)
b) Signo de la resta (sustraccioacuten) es ndash que se lee menos
ba minus (se lee ldquoa menos b rdquo)
c) Signo de la multiplicacioacuten (producto) es X que se lee multiplicado por
a X b (se lee ldquoa multiplicado por b rdquo o ldquo a por b rdquo)
En lugar del signo X suele usarse un punto entre los factores o en su caso colocar los factores entre pareacutentesis como se indica a continuacioacuten
a bull b o (a )(b ) (leyeacutendose igual que el anterior)
Entre factores literales o entre un factor numeacuterico y un literal el signo de la multiplicacioacuten suele omitirse
Asiacute abc equivale a a X b X c
xy7 equivale a 7 X x X y y
x5 equivale a 5 X x
d) Signo de la divisioacuten (cociente) es que se lee dividido entre
ba (se lee ldquoa dividido entre b rdquo)
Tambieacuten esta operacioacuten se indica separando el dividendo y el divisor por medio de una raya horizontal tal como se indica a continuacioacuten
ba
(se lee ldquo a dividido entre b o a sobre b rdquo)
e) Signo de la elevacioacuten a potencia (exponente) el cual es un nuacutemero pequentildeo colocado en la parte superior de una cantidad o literal esto indica las veces
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EXPONENTES y RADICALES
3
que dicha cantidad seraacute multiplicada por si misma llamada base la cual se toma como factor
bbbbbbaaaa == 53
Cuando una letra no tiene exponente su exponente es la unidad
1111 xnmmnxaa ==
f) Signo de raiacutez es y bajo este signo se coloca la cantidad a la cual se le extrae la raiacutez Asiacute a equivale a la raiacutez cuadrada de a cuya cantidad que elevada al cuadrado reproduce la cantidad de a Tambieacuten 3 b equivale a la raiacutez cuacutebica de b que al ser elevada al cubo reproduce la cantidad de b
2 Signos de relacioacuten
Se emplean estos signos para indicar la relacioacuten que existe entre dos cantidades Los principales son a) Signo de igual es = que se lee igual a
ba = (se lee ldquoa igual a b rdquo)
b) Signo de mayor es gt que se lee mayor que
ba gt ( se lee ldquoa mayor que b rdquo)
c) Signo de mayor e igual ge que se lee mayor o igual que
ba ge (se lee ldquoa mayor o igual que b rdquo)
d) Signo de menor lt que se lee menor que
ba lt ( se lee ldquoa menor que b rdquo)
e) Signo de menor e igual le que se lee menor o igual que
ba le ( se lee ldquoa menor o igual que b rdquo)
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EXPONENTES y RADICALES
4
3 Signos de agrupacioacuten
Los signos de agrupacioacuten indican que la operacioacuten colocada entre ellos debe efectuarse primero Estos signos son los siguientes a) El pareacutentesis ordinario ( ) b) El corchete [ ] c) Las llaves y d) La barra o viacutenculo Asiacute cba )( + indica que el resultado de la suma de a y b debe multiplicarse por c [ ]mba minus indica que la diferencia entre a y b debe multiplicarse por m y ba + dc minus indica que la suma de a y bdebe dividirse entre la diferencia c y d
En el producto de dos factores cualquiera de los factores es llamado coeficiente del otro factor Asiacute en el producto a5 el factor 5 es coeficiente del factor a e indica que el factor a se toma como sumando cinco veces ya que a5 aaaaa ++++= En el producto b4 el factor 4 es coeficiente de b e indica que bbbbb +++=4 Siendo estos coeficientes numeacutericos En el producto ab el factor a es coeficiente del factor b e indica que el factor b se toma como sumando a veces es decir bbbbbab +++++= veces Este es un coeficiente literal
a En el producto de maacutes de dos factores uno o varios de ellos son el coeficiente de los restantes Asiacute en el producto abcd a es el coeficiente de bcd ab es el coeficiente de cd abc es el coeficiente de d Cuando una cantidad no tiene coeficiente numeacuterico su coeficiente es la unidad Asiacute b equivale a b1 abc equivale a abc1 12 LOS NUacuteMEROS ALGEBRAICOS
Muchas magnitudes pueden considerarse en dos sentidos opuestos asiacute en el comercio puede hablarse de peacuterdidas y de ganancias existen temperaturas sobre cero y bajo cero existen regiones sobre el nivel del mar y bajo dicho nivel se hace referencia a fechas posteriores a cierta edad o anteriores a ella en la superficie de la tierra hay lugares de latitud norte y de latitud sur etc
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EXPONENTES y RADICALES
5
Las peacuterdidas y las ganancias las temperaturas sobre cero o bajo cero etc constituyen evidentemente diferentes clases de cantidades Los nuacutemeros con que se designan las ganancias las temperaturas sobre cero las latitudes norte etc se llaman nuacutemeros positivos y se indican convencionalmente anteponieacutendoles el signo + como
5+ Los nuacutemeros que sirven para identificar peacuterdidas temperaturas bajo cero
latitudes sur etc se llaman nuacutemeros negativos y se ha convenido en representarlos anteponieacutendoles el signo ndash Asiacute ( )250minus pesos representa una peacuterdida ( )5minus grados referido a temperatura indica 5grados bajo cero 18minus grados de latitud indica un lugar situado en el hemisferio sur
Si un nuacutemero no estaacute precedido de ninguacuten signo se considera como positivo por
tanto 26 es lo mismo que 26+ Llaacutemense nuacutemeros algebraicos el conjunto de los nuacutemeros positivos y negativos
incluyendo el cero
Recta numeacuterica o eje de los nuacutemeros reales (R)
121 VALOR ABSOLUTO El valor absoluto o moacutedulo de un nuacutemero algebraico es el valor aritmeacutetico de ese nuacutemero Este valor es el que se obtiene suprimiendo el signo v gr el moacutedulo de 3+ es 3 y el de 7minus es 7
El valor absoluto de un nuacutemero se representa escribiendo dicho nuacutemero entre dos rayas verticales como 55 =+ 66 =minus Que se leen respectivamente valor absoluto de 55 =+ y valor absoluto de
66 =minus NOTA Como se observa todo nuacutemero positivo es igual a su valor absoluto
122 NUacuteMEROS IGUALES DESIGUALES Y SIMEacuteTRICOS
Dos nuacutemeros algebraicos son iguales cuando tienen el mismo valor absoluto e
igual signo como
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10X
-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10X O
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EXPONENTES y RADICALES
6
4+ y 4+ 3minus y 3minus
Dos nuacutemeros algebraicos son desiguales cuando difieren por el signo por el
moacutedulo o por el signo y el moacutedulo La desigualdad se indica por el signo ne que se lee no igual a o diferente de Asiacute
545833 minusne++ne++neminus
Dos nuacutemeros algebraicos son simeacutetricos cuando soacutelo difieren por el signo Asiacute 10+ y 10minus
3minus y 3+ aminus y a+ son simeacutetricos
1221 SUMA o ADICIOacuteN
Sumar )5(+ con )7(+ Para efectuar esta operacioacuten aritmeacutetica se puede partir
del valor 5+ y localizarlo en la escala de los nuacutemeros de la recta numeacuterica XrsquoX seguidamente contar 7 divisiones a la derecha asiacute se alcanza el 12
12)7()5( =+++ o simplemente 1275 =+
Para sumar )6(minus con )3(minus se parte de 3minus y se cuentan 6 divisiones a la
izquierda asiacute se llega al punto 9minus por lo que
)9()6()3( minus=minus+minus o simplemente 963 minus=minusminus De esto se deduce lo siguiente para sumar nuacutemeros algebraicos del mismo
signo se suman sus moacutedulos y a la suma se le da el signo de los sumandos Para sumar )6(+ con )9(minus se parte de 9minus y se cuentan 6 divisiones a la
derecha hasta llegar a 3minus Ya que
)3()6()9( minus=++minus o simplemente 369 minus=+minus Del mismo modo se obtendraacute
538)3()8( =minus=minus++
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EXPONENTES y RADICALES
7
Por tanto para sumar dos nuacutemeros algebraicos de distinto signo se resta el moacutedulo menor del mayor y a la diferencia se le da el signo del nuacutemero de mayor moacutedulo
La suma de varios nuacutemeros algebraicos de diferentes signos se reduce a los dos
casos anteriores ya que basta agrupar por separado todos los positivos y todos los negativos aplicando la suma y la resta para finalmente adicionarlos
=minus+++minus++ )2()4()5()7(
Agrupando los signos iguales
4711)2()5()4()7( =minus=minus+minus++++
1222 RESTA o SUSTRACCIOacuteN La resta es la operacioacuten inversa de la suma por lo tanto para restar nuacutemeros
algebraicos se procede a la inversa de coacutemo se hace para sumar Sea restar )5(+ de )8(+ Para efectuar esta operacioacuten se parte de 8 y se
recorren 5divisiones a la izquierda llegaacutendose al punto 3
358)5()8( =minus=+minus+ Para restar )2(+ de )3(minus se parte de 3minus y se cuentan 2 unidades a la
izquierda llegaacutendose al punto 5minus
523)2()3( minus==minusminus=+minusminus Para restar )8(minus de )3(minus se parte de 3minus y se cuentan 8 unidades a la derecha
se llega asiacute al punto 5
583)8()3( =+minus=minusminusminus
13 REGLA DE LOS SIGNOS DEL PRODUCTO A continuacioacuten se enuncia la regla de los signos del producto
a) El producto de dos nuacutemeros algebraicos de mismo signo es positivo b) El producto de dos nuacutemeros algebraicos de distinto signo es negativo
Este resultado puede indicarse simboacutelicamente como se indica a continuacioacuten
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EXPONENTES y RADICALES
8
+=minusminus+=++
))(())((
minus=+minusminus=minus+
))(())((
En la multiplicacioacuten o producto de nuacutemeros algebraicos se pueden distinguir dos
casos
1 Multiplicar dos nuacutemeros positivos como )5)(3( ++
Al considerar 3 como coeficiente la operacioacuten equivale a tomar 3 sumandos iguales a )5(+ por tanto
15555)5()5()5()5)(3( =++=+++++=++ Como se nota este caso no difiere del de la multiplicacioacuten de nuacutemeros aritmeacuteticos
Ejemplo
Multiplicar dos nuacutemeros de diferente signo a) )5)(3( minus+ y b) )5)(3( +minus
Solucioacuten
a) En el producto )5)(3( minus+ considerando a )3(+ como coeficiente la operacioacuten indicada equivale a tomar 3 sumandos iguales a 5minus
15)5()5()5()5)(3( minus=minus+minus+minus=minus+
b) En el producto )5)(3( +minus donde )3(minus se considera como coeficiente la
operacioacuten indicada equivale a tomar negativamente 3sumandos iguales a )5(+
15)5()5()5()5)(3( minus=+minus+minus+minus=+minus
Resultado que como se observa es igual al anterior
2 Multiplicar dos nuacutemeros negativos como )5)(3( minusminus
Este caso es una combinacioacuten de a) y de b) del caso anterior ya que equivale a tomar negativamente 3 sumandos iguales a )5(minus
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EXPONENTES y RADICALES
9
15)5()5()5()5)(3( =minusminusminusminusminusminus=minusminus
14 REGLA DE LOS SIGNOS DEL COCIENTE El anaacutelisis de los signos indicado en los ejemplos anteriores de este subtema permiten formular la siguiente regla
a) El cociente de dos nuacutemeros algebraicos de mismo signo es positivo b) El cociente de dos nuacutemeros algebraicos de distinto signo es negativo
Esta regla puede indicarse simboacutelicamente de la siguiente manera
+=++
)()(
+=minusminus
)()(
minus=minus+
)()(
minus=+minus
)()(
La divisioacuten es una operacioacuten inversa de la multiplicacioacuten que tiene por objeto
hallar uno de dos factores (cociente) cuando se conoce su producto (dividendo) y el otro factor (divisor) Por tanto para dividir se procede a la inversa de coacutemo se hace en la multiplicacioacuten
Suelen considerarse los mismos casos que en la multiplicacioacuten los cuales
pueden resumirse como se indica seguidamente 1
)4)(5(204)5()20(
=+=++ porque y 4
)5()4)(5(=
1
)4)(5(204)5()20(
minusminus=minus=minus+ porque y 4
)5()4)(5(
minus=minusminusminus
20)5)(4(4)5()20(
minus=+minusminus=+minus porque
20)5)(4(4)5()20(
minus=minus++=minusminus porque
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EXPONENTES y RADICALES
10
15 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Sea el siguiente rectaacutengulo ABCD el cual tiene 5 centiacutemetros (cm) de largo y 3 centiacutemetros de ancho como se indica en la siguiente figura geomeacutetrica
En esta figura geomeacutetrica se pueden formar 3 fajas de 5 centiacutemetros de largo por 1 centiacutemetro de ancho cada faja puede dividirse en cinco cuadritos de 1 centiacutemetro de largo y 1 centiacutemetro de ancho Las tres fajas juntas constan de 5 X 153 = 2cm que es el aacuterea del rectaacutengulo
El resultado se expresa diciendo el aacuterea de un rectaacutengulo es igual al producto de la base por la altura Esta expresioacuten puede abreviarse de la siguiente manera Aacuterea = base X altura La cual puede ser representada por las literales =A aacuterea =b base y a = altura Por lo que
bA = X a
Dicha abreviacioacuten a su vez resulta maacutes corta si se suprime el signo X y asiacute queda la expresioacuten baA =
Dicha expresioacuten se llama foacutermula algebraica Toda foacutermula es una regla expresada por medio de siacutembolos e indica las
operaciones que deben de efectuarse con los nuacutemeros representados por las literales para obtener ciertos resultados [Anfosi Agustiacuten Paacuteg 2]
Asiacute el rectaacutengulo constaraacute de n fajas de 25 cm cada una y el aacuterea seraacute de
5=A X n = ][5 2cmn
5 cm de largo
3 cm
de
anch
o
A B
CD
B
CD
5 cm A
3 cm
1 cm
1 cm
1 cm2
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EXPONENTES y RADICALES
11
De la foacutermula para obtener el aacuterea del rectaacutengulo baA= se deducen las siguientes transformaciones de dicha expresioacuten
aAb = y
bAa =
Donde para la primera expresioacuten conocida el aacuterea del rectaacutengulo y su altura se puede saber su base y para la segunda expresioacuten conocida el aacuterea del rectaacutengulo y su base se puede obtener su altura
El aacuterea de un rectaacutengulo de base b y altura a es ba El aacuterea de tres rectaacutengulos iguales al anterior es babababa 3=++
El volumen de un paralelepiacutepedo en que las dimensiones de la base son b y a
y la altura es c es bac
El volumen de dos paralelepiacutepedos iguales al anterior es bacbacbac 2=+
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EXPONENTES y RADICALES
12
El duplo se escribe a2 el triple de b se escribe b3 el cuaacutedruplo de 3a
3
4 a el
quiacutentuplo de c c5 etc Asiacute se tiene aaa +=2 bbbb ++=3
33333
4 aaaaa+++=
cccccc ++++=5 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
)( eaigualessumandosneeene ++++= En las expresiones anteriores ny5432 se llaman coeficientes El coeficiente es el nuacutemero o la literal que indica cuaacutentos sumandos iguales se toman Los cuatro primeros son numeacutericos y el uacuteltimo es literal
Ejemplo a) Representar la edad de cada uno de los miembros de la familia de Carlos Se
sabe que la edad de la hermana es dos tercios de la de Carlos la de la madre el triple la del padre cuatro veces y la del abuelo es igual a la suma de las edades del padre y de la madre
Solucioacuten La edad de Carlos es = a
La edad de la hermana es = a32
La edad de la madre es = a3 La edad del padre es = a4 Y la edad del abuelo es = aa 43 +
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EXPONENTES y RADICALES
13
b) A continuacioacuten se presenta un plano de una parte de un piso cuyas dimensiones estaacuten expresadas en el mismo
En este plano se observa que la longitud de este piso se puede expresar como ba+=8 de donde ba minus= 8 Y que el ancho es ihdc +=+
En estos dos ejemplos aparecen expresiones que son combinaciones de
nuacutemeros y literales separadas por los signos de las operaciones matemaacuteticas (aritmeacuteticas) Estas expresiones reciben el nombre de expresiones algebraicas 141 TEacuteRMINOS Y COEFICIENTES Sea la siguiente expresioacuten algebraica la cual estaacute formada por cinco sumandos
babbaa 3212
35
++++
Se llama teacutermino de una expresioacuten algebraica a cada uno de dichos sumandos Asiacute a2 es una expresioacuten algebraica de un teacutermino ba +3 es una expresioacuten algebraica de dos teacuterminos 123 ++ aab es una expresioacuten algebraica de tres teacuterminos Donde cada teacutermino consta de una parte numeacuterica (coeficiente del teacutermino) y otra literal Asiacute a2 es un teacutermino de coeficiente 2 y parte literal a
ab23
es un teacutermino de coeficiente 23
y parte literal ab
a b
c
e
d
h
i
8
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EXPONENTES y RADICALES
14
2xy es un teacutermino de coeficiente 1 y parte literal 2xy
Ejemplo Representar la edad de cada uno de los miembros de la familia de Carlos Se sabe que la edad de la hermana es dos tercios de la edad de Carlos la de la madre el triple la del padre cuatro veces y la del abuelo es igual a la suma de las edades del padre y la madre Solucioacuten Las expresiones algebraicas seraacuten las siguientes La edad de Carlos = a
La edad de la hermana = a32
La edad de la madre = a3 La edad del padre = a4 Y la edad del abuelo = aa 43 + A continuacioacuten se presenta el valor numeacuterico de cada una de las expresiones algebraicas si se sabe que la edad de Carlos es de 9 antildeos es decir 9=a La edad de Carlos = 9 antildeos
La edad de la hermana = 63
183
)9)(2()9(32
=== antildeos
La edad de la madre = 27)9(3 = antildeos La edad del padre = 36)9(4 = antildeos Y la edad del abuelo = 633627)9(4)9(3 =+=+ antildeos Nota
Si la edad de Carlos fuera otra los valores numeacutericos de cada una de las expresiones algebraicas seriacutean distintos
El valor numeacuterico de una expresioacuten algebraica no es uacutenico ya que depende del valor que se le deacute a la literal o letra(s) que en ella intervengan
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EXPONENTES y RADICALES
15
2 EXPONENTES Considere el caso especial de la multiplicacioacuten en el que todos los factores que se van a multiplicar son iguales Asiacute si se multiplica el nuacutemero a por siacute mismo se obtiene el producto aa el cual generalmente se escribe en la forma 2a En general el producto de n factores cada uno de ellos iguales a a se escribe en la forma na recibiendo el nuacutemero entero y positivo n el nombre de exponente En este caso se dice que se ha elevado el nuacutemero a a la eneacutesima potencia operacioacuten que recibe el nombre de potenciacioacuten 21 POTENCIACIOacuteN La potencia de una expresioacuten algebraica es la misma expresioacuten o el resultado de tomarla como factor dos o maacutes veces Asiacute la primera potencia de una expresioacuten es la misma expresioacuten como se indica a continuacioacuten aa 2)2( 1 =
La segunda potencia o cuadrado de una expresioacuten es el resultado de tomarla como factor dos veces Por lo que
22 4))()(2)(2()2)(2()2( aaaaaa === El cubo de una expresioacuten es el resultado de tomarla como factor tres veces por
ejemplo
33 8))()()(2)(2)(2()2)(2)(2()2( aaaaaaaa === Y en forma general ( ) ( )( )( ) vecesnaaaa n
2222 = 211 POTENCIA DE UN MONOMIO Para elevar un monomio a una potencia se eleva su coeficiente a esa potencia y se multiplica el exponente de cada letra por el exponente que indica la potencia Ejemplo Desarrollar las siguientes expresiones algebraicas
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EXPONENTES y RADICALES
16
a) 32 )3( ab b) 343 )5( yxminus c) 4
232
minus
yx
d) 5
43
32
minus ba
Solucioacuten
a) 63)3)(2()3)(1(32333 2727)()()3()3( bababaab ===
b) =minus=minus=minus )3)(4()3)(3(34333343 125)()()5()5( yxyxyx 129125 yxminus
c) 8
4
)4)(2(
)4)(1(
4
44
2
44
2 8116
)()(
)3()2(
32
32
yx
yx
yx
yx
=minus
=
minus=
minus
d) ( ) ( ) =minus
=
minus=
minus 543
5
5543
5543
)3()2(
32
32 bababa
2015)5)(4()5)(3(5
5
24332)()(
)3()2( baba minus=
minus=
2111 PROPIEDADES
Los exponentes indican multiplicacioacuten repetida por ejemplo
a) yy =2 ))(( yyy =
Donde 2y se lee y a la segunda potencia o y al cuadrado b) zz =3 z z = ))()(( zzz se lee z a la tercera potencia o z al cubo c) xx =4 x x x = ))()()(( xxxx se lee x a la cuarta potencia
22 EXPONENTES DE NUacuteMEROS REALES
Si n es un nuacutemero real entonces
xdefactoresn
xxn = x x x
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EXPONENTES y RADICALES
17
La expresioacuten exponencial nx se llama potencia de x y se lee x a la eneacutesima potencia o x a la potencia n En la expresioacuten siguiente
nx Exponente
Base
x se llama base y n es el exponente Un exponente que sea nuacutemero natural indica cuaacutentas veces se usa la base de expresioacuten exponencial como factor de un producto por ejemplo
a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==
b) 32)2)(2)(2)(2)(2()2( 5 minus=minusminusminusminusminus=minus
c) 4()4(4 44 minus=minus=minus 4 4 256)4 minus=
d) 256)4)(4)(4)(4()4( 4 =minusminusminusminus=minus
e) 33
81
21
21
21
21 aaaaa =
=
f) 22
251
51
51
51 bbbb =
minus
minus=
minus
g) 35 xx indica que x se debe usar cinco veces como factor y 3x representa que x se debe usar tres veces como factor por lo que 35 xx se usaraacute ocho veces como factor xdefactores5 xdefactores3
xxx =35 x x x x X x x x =
xdefactores8 = x x x x x x x x
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EXPONENTES y RADICALES
18
En general
xdefactoresm xdefactoresn
xxx nm = x x x X x x x x = xdefactoresnm + = x x x x x Por lo tanto para multiplicar expresiones exponenciales con la misma base se
mantiene esa base y se suman los exponentes 221 REGLA DEL PRODUCTO PARA EXPONENTES
Si m y n son nuacutemeros naturales entonces nmnm xxx += Para desarrollar la regla de divisioacuten de las expresiones exponenciales se procede de la siguiente manera
nmnmnmn
mn
m
xxxxx
xxx minusminus+minus ===
= )(1
Por tanto para dividir dos expresiones exponenciales con la misma base distinta de cero se mantiene la base y se resta el exponente del denominador del exponente del numerador
NOTA La regla del producto para exponentes soacutelo se aplica a expresiones exponenciales que tienen la misma base Por ejemplo la expresioacuten 35 yx no se puede simplificar porque las bases de las expresiones exponenciales son diferentes Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)
minus 34
418 xx
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EXPONENTES y RADICALES
19
Solucioacuten
a) 16511511 xxxx == +
b) 15645645 aaaaa == ++
c) 67244324432443 bababbaababa === ++
d) 7343434 248
418
418 xxxxxx minus=
minus=
minus=
minus +
Para encontrar otra propiedad se simplificaraacute la expresioacuten 34 )(x que significa
que 4x se eleva al cubo o en su caso 4x se repite tres veces 4x 4x 4x Donde 4x 4x 4x
=34 )(x 4x 4x 4x = ( x x x x )( x x x x )( x x x x )= = 12444 xx =++ En general se tiene que
nxdefactoresn nxdefactoresmn
mnm xx =)( mx mx mx = x x x x x x = mnx
Asiacute para elevar una expresioacuten exponencial a una potencia se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes
Ejemplo
Si se eleva x3 al cuadrado se obtiene el siguiente resultado
( ) )3(3 2 xx = ))()(3)(3()3( xxx = = 222 93 xx = En general se tiene que
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EXPONENTES y RADICALES
20
xydefactoresn xdefactoresn ( ) ))()(( xyxyxyxy n = xxxxy =)( x yyy y = nn yx
ydefactoresn
Otra propiedad por ejemplo es elevar al cubo la siguiente expresioacuten 3x
Solucioacuten
33
3 xx=
3x
3x
= 27)3)(3)(3(
))()(( 3xxxx=
En general se tiene lo siguiente
yxdefactoresn
=
yx
yx
yx
yx
n
yx
( )0ney
xdefactoresn
)())()(()())()((
yyyyxxxx
= = n
n
yx
ydefactoresn Los tres resultados anteriores se llaman reglas de potencias de los exponentes Si m y n son nuacutemeros naturales entonces
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EXPONENTES y RADICALES
21
( ) mnnm xx = nnn yxxy =)( n
nn
yx
yx
=
)0( ney
Ejemplos
Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) ( )323 b) ( )511x c) ( )632xx d) ( ) ( )2342 xx e) ( )32 yx f) ( )443 yx g) 4
2
yx
h) 2
4
3
yx
Solucioacuten
a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===
b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==
c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +
d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +
e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===
f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==
g) ( ) 8
4
42
44
2 yx
yx
yx
==
( )0ney
h) ( )( ) 8
62
24
32
4
3
yx
yx
yx
==
( )0ney
Analizar la diferencia que existe entre nxminus y nx)(minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
22
Solucioacuten
xdefactoresn xdefactoresn minus
(minus=minus nx x x x x ) y )())()(()( xxxxx n minusminusminusminus=minus
Tambieacuten es conveniente hacer notar la diferencia que existe entre nax y ( )nax donde
xdefactoresn axdefactoresn
aaxn = x x x x y )())()(()( axaxaxaxax n = 222 EL EXPONENTE CERO Cuando las reglas de los exponentes son vaacutelidas y si el exponente es igual a 0 (cero) se tiene lo siguiente nnnnn xxxxxx 1)1()1(00 ==== + Como nn xxx 10 = en consecuencia ( )010 ne= xx
El exponente cero si 10 0 =ne xentoncesx En general cualquier base distinta de cero elevada a la potencia cero es igual a 1 Tambieacuten
10 === minusn
nnn
xxxx
Si todas las bases son distintas de cero y el exponente es cero entonces
a) 150 =
b) ( ) 17 0 =minus
c) ( ) 1303 =ax
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EXPONENTES y RADICALES
23
d) 121 0
975 =
zyx
NOTA
00 es indefinido esto a consecuencia de que infin=00 223 EXPONENTES NEGATIVOS Las reglas de los exponentes son vaacutelidas tambieacuten cuando eacutestos son enteros negativos ( )010 ne=== +minusminus xxxxx nnnn
ya que nxminus 1=nx y nx
1 1=nx
Ademaacutes se define a nxminus como el reciacuteproco de nx Por lo que
nn
xx 1
=minus y nn x
x=
minus
1
NOTA De acuerdo con la definicioacuten de exponentes negativos la base no puede ser 0
Asiacute una expresioacuten como 50minus no estaacute definida por lo que
infin=minus50 Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 25minus b) 310minus c) ( ) 32 minusx d) 13 minusx e) 35xxminus f) ( ) 23 minusminusx Solucioacuten
a) 251
515 2
2 ==minus
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EXPONENTES y RADICALES
24
b) 1000
110110 3
3 ==minus
c) ( ) 33
3
81
21)2(
xxx ==minus
d) 33 1 =minusx xx31
=
e) 2
23535 1x
xxxx === minus+minusminus
f) ( ) 6)2)(3(23 xxx == minusminusminusminus
2224 REGLA DEL COCIENTE Si m y n son enteros entonces
( )0 ne= minus xxxx nm
n
m
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 3
5
aa
b) 11
5
xxminus
c) 5
34
minusxxx
d) ( )( )23
32
x
x e) 4
32
xyyx
f) 3
432
32
minus
baaba
Solucioacuten
a) 2353
5
aaaa
== minus
b) 16
1611511
5 1x
xxxx
=== minusminusminusminus
c) 12575
7
5
34
5
34
xxxxx
xx
xxx
====minusminus
+
minus
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EXPONENTES y RADICALES
25
d) ( )( )
( )( )
( )( ) 10666
6
23
32
23
32
===== minus xxxx
xx
xx
o en su caso
( )( )
( )( )
( )( ) 16
6
23
32
23
32
===xx
xx
xx
e) yxyxyxyyxx
xyyx
==== minusminusminusminusminus 11431243124
32
f) ( )( )
( )
)3)(4()3)(3()3)(middot2(
)3)(3(3)(2
3432
3323
432
32
baaba
baa
babaaba minusminusminus
==
= =
minus
1296
96
baaba
1221321
1215
96 1ba
bababa
=== minusminusminus
o en su caso
=
=
minusminus 3
45
323
432
32
baba
baaba
= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317
33
17
317 1111babababa
ba ===
=minusminus
El siguiente teorema indica que una fraccioacuten elevada a una potencia negativa se puede invertir y elevarse asiacute a una potencia positiva
Teorema Si n es un nuacutemero entero entonces
( )00 nene
=
minus
yxny
yx nn
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EXPONENTES y RADICALES
26
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 4
32 minus
b)
3
2
xy
c) 4
3
2
32
minus
minus
yx
d)
minus
432
32
baaba
Solucioacuten
a) ( )( ) 16
8123
23
32
4
444
==
=
minus
b) ( )( ) 6
9
)3)(2(
)3)(3(
32
333
2
33
3
2
yx
yx
yx
yx
xy
===
=
minus
c) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ====
=
minusminusminusminusminus
minus )4)(2(
)4)(3(
424
434
42
434
2
34
3
2
1681
23
23
23
32
xy
xy
xy
xy
yx
= 8
12
1681
xy minus
= 1681
8
12
xy minus
= 1281681
yx
d) ( )( )
( )( ) ===
=
minusminusminus
minusminus
)3)(3()3)(2(
)3)(4()3)(5(
332
3453
32
4323
432
32
baba
baba
babaa
baaba
= =minus 96
1215
baba 321912)6(15 babbaa =minusminusminus
23 RESUMEN Si no existen divisiones entre 0 (cero) entonces para enteros m y n cualesquiera
a) nmnm xxx += b) ( ) mnnm xx =
c) ( ) nnn yxxy =
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EXPONENTES y RADICALES
27
d) n
nn
yx
yx
=
e) ( )010 ne= xx
f) n
n
xx 1
=minus
g) nmn
m
xxx minus=
h) nn
xy
yx
=
minus
NOTA Las mismas reglas se aplican cuando los exponentes son variables 24 EJERCICIOS
1 Simplificar las siguientes expresiones
a) 24 b) 32 )(x c) 12 )( minusminusx d) 5
2
xx
e) 25minus
Solucioacuten a) 16)4)(4(42 == b) 6)3)(2(32 )( xxx == c) 2)1)(2(12 )( xxx == minusminusminusminus
o tambieacuten
222
22
21212
1)1)(1())(1(
111
111
)(1)( xxx
xxxx
x =======minusminus
minusminus
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EXPONENTES y RADICALES
28
d) 2253)5()3(53
5
3 1))((x
xxxxxxx
===== minusminusminus+minus
o tambieacuten 1 1 1
21
))()()()(())()((
))()()()(())()((
xxxxxxxxx
xxxxxxxx
== = 2minusx
e) 12
2 25251
515 minusminus ===
2 Simplificar las siguientes expresiones considerando que ninguno de los
denominadores sea igual a cero
a) 32
29
)(mmm minus
b) 43
32 )2(minus
minus
aaa
c)043
22 )3(xxx
xminus
minus
d) 042
2022
)4()(4
minus
minus
minusminus
yxyxx
e) 2
25
44
93
minus
minus
minusminus
yxyx
Solucioacuten
a) mmmmm
mm
mmm
===== minusminusminus
1676
7
)3)(2(
29
32
29
)(
b) 561
6
43
)3)(2(3
43
32 88))(8())(2()2(aa
aa
aaa
aaa
====minus
minus
minus
minus
minus
minus
c) 37
4
3)4(
4
322
4
043
22
91
99)1()1()3()3(
xxx
xxx
xxx
xxxx
====minus
minus
d) =minus
=minus
=minus
minus +minus
minus
minus
1)1(4
1)1(4
)4()(4 0222
042
2022 xxyx
yxx
414
1)1)(1(4
minus=minus
=minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
29
e) ( )( )
( )( ) =minusminus
=minusminus
=
minusminus
minus
minus
minusminus
minusminus
minus 224
225
225
2442
25
44
39
93
93
yxyx
yxyx
yxyx
= ( )
( ) ( ) ( )2
48
410
22242
22252
99
813
)()9( xyxyx
yxyx
==minusminus
minus
minus
minus
minus
3 Encontrar el valor numeacuterico de las siguientes expresiones con 2minus=x y
3=y para
a) 23 yx b) 3
3
yxminus
c) ( ) 22 minusxy d) 23 minusminus xy e) 23)( minusminus xy
Solucioacuten
a) ( ) ( ) 72)9)(8(32 2323 minus=minus=minus=yx
b) ( ) ( ) ( )( ) =minus
=minus
==minus
2781
3211
33333
3
yxyx
2161
2161
minus=minus
=
c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241
3211
2222
22 =minus
==minus
xyxy
d) ( ) ( )( ) 16
2722723 4
4323 minus=
minusminus
=minusminus=minus minusminusxy 1627
minus=
e) ( )( ) 4
272
3)()( 2
3
2
323 =
minus=
minus=minus minus
xyxy
3 RADICALES Con frecuencia en los problemas de aplicacioacuten se debe determinar queacute nuacutemero se puede elevar al cuadrado para obtener un segundo nuacutemero a Si se puede determinar a ese nuacutemero se le llama una raiacutez cuadrada de a Por ejemplo
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EXPONENTES y RADICALES
30
a) 0es una raiacutez cuadrada de 0 porque 002 = b) 4 es una raiacutez cuadrada de 16 porque 1642 = c) 4minus es una raiacutez cuadrada de 16 porque 16)4( 2 =minus d) xy7 es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy = e) xy7minus es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy =minus
31 RAIacuteZ CUADRADA DE a El nuacutemero b es una raiacutez cuadrada de a cuando 2 ab = Todos los nuacutemeros positivos tienen dos nuacutemeros reales que son sus raiacuteces cuadradas uno positivo y otro negativo El uacutenico nuacutemero con una sola raiacutez cuadrada es 0 cuya raiacutez cuadrada es 0 Ejemplo Determinar las dos raiacuteces cuadradas de 121 Solucioacuten Las dos raiacuteces cuadradas de 121son 11y 11minus porque 121112 = y 121)11( 2 =minus 32 RAIacuteZ CUADRADA PRINCIPAL Se llama signo radical al siacutembolo y a x el nuacutemero que se encuentran dentro del signo radical que se llama radicando Siacute x gt 0 la raiacutez principal de x es la raiacutez cuadrada positiva de x y se
representa con x La raiacutez cuadrada principal de 0 es 0 00 = NOTA Por definicioacuten el cuadrado principal de un nuacutemero positivo siempre es positivo Aunque 5 y 5minus son raiacuteces cuadradas de 25 soacutelo 5es la raiacutez cuadrada principal El radical
25 representa 5 El radical 25minus representa 5minus Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuadradas
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EXPONENTES y RADICALES
31
a) 11 =
b) 981 =
c) 981 minus=minus
d) 21
41=
e) 114
12116
minus=minus
f) 20040 =
g) 03000090 minus=minus
Los nuacutemeros como 1600491694 y se llaman cuadrados enteros porque cada uno de ellos es el cuadrado de un entero La raiacutez cuadrada de todo cuadrado entero es un nuacutemero racional Por ejemplo
4016007494163924 =====
Las raiacuteces cuadradas de muchos enteros positivos no son nuacutemeros racionales Por ejemplo 11 es un nuacutemero irracional cuyo valor aproximado ( )asymp es de
31662473 )3166247311( asymp Donde el siacutembolo asympquiere decir ldquoaproximadamente igual ardquo
Las raiacuteces cuadradas de nuacutemeros negativos no son nuacutemeros reales Por
ejemplo 9minus no es nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado al cuadrado es igual a 9minus Las raiacuteces cuadradas de los nuacutemeros negativos originan un conjunto llamado nuacutemeros imaginarios
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
32
33 RAIacuteCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE Si 0nex el nuacutemero positivo 2x tiene por raiacuteces a x y a xminus porque 22)( xx =
y 22)( xx =minus Para indicar la raiacutez cuadrada positiva de 2x se debe saber si x es positivo o negativo Si 0gtx se puede escribir lo siguiente xx =2 donde 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es x Si x es negativo entonces 0gtminus x es xx minus=2 ya que 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es xminus Si no se sabe si x es positivo o negativo se pueden emplear siacutembolos de valor absoluto para garantizar que 2x sea positiva xx =2 siempre y cuando x sea cualquier nuacutemero real Si x es cualquier nuacutemero real entonces
a) xxxx 44)4(16 22 ===
Por lo que escribir 216x en la forma 2)4( x siendo que ( ) 22 164 xx = Puesto que x podriacutea ser negativo Los siacutembolos de valor absoluto son necesarios ya que en el producto x4 4 es una constante positiva
b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2
+=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 4+x puede ser negativo por ejemplo cuando
8minus=x
c) ( ) 1112 22 +=+=++ xxxx Porque ( )211 +=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 1+x puede ser negativo por ejemplo cuando 5minus=x
d) 24 xx = porque ( ) 422 xx = Como 02 gex
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
33
34 RAIacuteCES CUacuteBICAS La raiacutez cuacutebica de x se representa por yx =3 si xy =3 Por ejemplo el nuacutemero 64 tiene dos raiacuteces cuadradas que son nuacutemeros reales 8 y 8minus Sin embargo 64 soacutelo tiene una raiacutez cuacutebica real que es el valor de 4 porque 4 es el uacutenico nuacutemero real cuyo cubo es 64 Por lo tanto
xx =3 3 Como todos los nuacutemeros reales tienen una y solo una raiacutez cuacutebica real algunas
de las cuales son positivas y otras negativas no es necesario emplear siacutembolos de valor absoluto al simplificar las raiacuteces cuacutebicas
Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuacutebicas
a) 3 125 b) 3
81
c) 3 327xminus d) 33
3
278
ba
minus e) 3 632160 yx
Solucioacuten a) 51253 = porque 125)5)(5)(5(53 ==
b) 21
81
3 = porque 81
21
21
21
21 3
=
=
c) xx 3273 3 minus=minus porque ( ) ( )( )( ) 33 273333 xxxxx minus=minusminusminus=minus
d) ba
ba
32
278
33
3
minus=minus porque 3
33
278
32
32
32
32
ba
ba
ba
ba
ba
minus=
minus
minus
minus=
minus
e) 23 63 602160 xyyx = porque
( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==
35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS Asiacute como existen raiacuteces cuadradas y raiacuteces cuacutebicas tambieacuten existen las raiacuteces cuartas raiacuteces quintas raiacuteces sextas etc
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
34
Cuando n es impar el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez impar Como todo nuacutemero real tiene una y soacutelo una raiacutez eneacutesima real cuando n es impar no es necesario preocuparse por los siacutembolos de valor absoluto cuando se calculan raiacuteces impares Ejemplo
a) 33243 5 55 == porque 24335 = b) ( ) xxx 227128 77 7 minus=minus=minus porque ( ) 77 1282 xx minus=minus
Cuando n es par el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez par En este caso habraacute una raiacutez eneacutesima positiva y una eneacutesima negativa Por ejemplo las dos raiacuteces sextas reales de 729 son 3 y 3minus porque
72936 = y 729)3( 6 =minus Cuando se determinan raiacuteces reales se emplean con frecuencia los siacutembolos de valor absoluto para garantizar que la eneacutesima raiacutez sea positiva Ejemplos
a) ( ) 3334 4 =minus=minus
Tambieacuten se puede simplificar de la siguiente manera ( ) 3813 44 4 ==minus
b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===
Los siacutembolos de valor absoluto garantizan que la raiacutez sexta es positiva
Generalizando se tienen las siguientes reglas Si x es un nuacutemero real y 1gtn entonces
a) Si n es un nuacutemero impar natural xxn n =
b) Si n es un nuacutemero par natural xxn n =
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
35
NOTA En el radical n x a n se le llama el iacutendice u orden del radical Cuando el iacutendice
es 2 el radical es una raiacutez cuadrada y se acostumbra no escribir el iacutendice Cuando n es par ( )2gtn y 0ltx el radical n x no es un nuacutemero real Por
ejemplo 4 81minus no es un nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado a la cuarta potencia es 81minus
Ejemplo
a) 56254 = porque 62554 = b) 2325 minus=minus porque ( ) 322 5 minus=minus
c) 21
641
6 = porque 641
21 6
=
36 EXPONENTES RACIONALES Los exponentes enteros positivos indican la cantidad de veces que se debe usar una base como factor en un producto Por ejemplo 5x significa que x se debe emplear cinco veces como factor ya que xdefactores5 ( )( )( )( )( )xxxxxx =5 Es posible elevar bases a potencias racionales (fraccionarias) cuando se desea que dichos exponentes respeten las mismas reglas que los coeficientes enteros el
cuadrado de 21
10 debe ser 10 porque
( )
10101010 1
2
212
21
===
Se mantiene la base y se multiplican los exponentes
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
36
( ) 112
212
21
=
=
10101 =
Sin embargo hay que recordar que ( ) 1010
2=
Como 2
21
10
y ( )210 son iguales a 10
Con esto se puede definir que 21
10 es igual a 10 Igualmente para
a) 31
10 como 3 10
b) 41
10 como 4 10
c) 51
10 como 5 10
Por lo que si n es un nuacutemero natural mayor que 1 y n x es un nuacutemero real entonces
nn xx =1
Ejemplo Resolver los siguientes radicales
a) 21
9 b) 21
916
minus c) ( )3
1
64minus d) 41
16 e) 51
321
f) 8
1
0 g) ( )51
232xminus
h) ( )41
xyz
Solucioacuten
a) 3999 221
===
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
37
b) 34
916
916
916
221
minus=minus=minus=
minus
c) ( ) 46464 331
minus=minus=minus
d) 21616 441
==
e) 21
321
321
551
==
f) 000 881
==
g) ( ) xxx 23232 5 551
5 minus=minus=minus
h) ( ) 441
xyzxyz =
i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes
fraccionarios
a) 4 5xyz b) 52
15xy
Solucioacuten
a) ( )41
4 55 xyzxyz =
b) 51
2
5
2
1515
=xyxy
37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1
Se puede ampliar la definicioacuten de nx1
para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
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EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
ii
38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS 39 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES 43 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES 44 3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA 45 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES 46 3103 SUMA Y RESTA 48 311 RESUMEN 50 4 RACIONALIZACIOgraveN 50 41 BINOacuteMIOS CONJUGADOS 52
5 BIBLIOGRAFIacuteA 54
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
1
1 INTRODUCCIOacuteN
Aacutelgebra es una palabra de origen aacuterabe algiabr que se utiliza para nombrar el estudio de las operaciones y propiedades de magnitudes representadas por siacutembolos que generalmente son literales o letras
El primer introductor del aacutelgebra se cree que fue el griego Diofanto en el siglo III
aunque parece que en la India y Persia ya se conociacutea anteriormente En Europa fueron los aacuterabes los que lo introdujeron en el siglo IX
El sabio Al-Khuwarizmi fue el que introdujo siacutembolos para representar
magnitudes operaciones y expresiones El italiano Leonardo Pisano recogioacute en el siglo XIII las ensentildeanzas de las aacuterabes las tradujo al latiacuten y asiacute se extendieron por toda Europa
11 GENERALIDADES
El aacutelgebra es la rama de la matemaacutetica que estudia la cantidad considerada del
modo maacutes general posible [BALDOR A Paacuteg 5] Lo mismo que en aritmeacutetica en el aacutelgebra se efectuacutean operaciones con los
nuacutemeros pero su modo de representarlos difiere en ambas ramas de la matemaacutetica Para la aritmeacutetica soacutelo se emplean los signos comuacutenmente llamados araacutebigos (0 1 2 3 hellip) con la finalidad de escribir los nuacutemeros mientras que en el Aacutelgebra para representarlos se utilizan literales (a b c hellip x y z)
Los siacutembolos empleados en aacutelgebra para representar cantidades son los
nuacutemeros y las letras donde
a) Los nuacutemeros se emplean para representar cantidades conocidas y determinada
b) Las letras se usan para representar toda clase de cantidades ya sean conocidas o desconocidas
c) Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto a b c hellip
d) Las cantidades desconocidas son expresadas por las uacuteltimas letras del alfabeto u v w x y z
Consecuencia de la generalizacioacuten que implica la representacioacuten de cantidades
por medio de expresiones algebraicas Para ello se emplean signos de operacioacuten signos de relacioacuten y signos de agrupacioacuten Ejemplo Sean las siguientes dos literales a y b efectuar
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
2
1 Signos de Operacioacuten
Solucioacuten
En aacutelgebra se verifican las cantidades con las mismas operaciones que en Aritmeacutetica suma resta multiplicacioacuten divisioacuten elevacioacuten a potencias y extraccioacuten de raiacuteces a) Signo de la suma (adicioacuten) es + que se lee maacutes
ba + (se lee ldquoa maacutes b rdquo)
b) Signo de la resta (sustraccioacuten) es ndash que se lee menos
ba minus (se lee ldquoa menos b rdquo)
c) Signo de la multiplicacioacuten (producto) es X que se lee multiplicado por
a X b (se lee ldquoa multiplicado por b rdquo o ldquo a por b rdquo)
En lugar del signo X suele usarse un punto entre los factores o en su caso colocar los factores entre pareacutentesis como se indica a continuacioacuten
a bull b o (a )(b ) (leyeacutendose igual que el anterior)
Entre factores literales o entre un factor numeacuterico y un literal el signo de la multiplicacioacuten suele omitirse
Asiacute abc equivale a a X b X c
xy7 equivale a 7 X x X y y
x5 equivale a 5 X x
d) Signo de la divisioacuten (cociente) es que se lee dividido entre
ba (se lee ldquoa dividido entre b rdquo)
Tambieacuten esta operacioacuten se indica separando el dividendo y el divisor por medio de una raya horizontal tal como se indica a continuacioacuten
ba
(se lee ldquo a dividido entre b o a sobre b rdquo)
e) Signo de la elevacioacuten a potencia (exponente) el cual es un nuacutemero pequentildeo colocado en la parte superior de una cantidad o literal esto indica las veces
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
3
que dicha cantidad seraacute multiplicada por si misma llamada base la cual se toma como factor
bbbbbbaaaa == 53
Cuando una letra no tiene exponente su exponente es la unidad
1111 xnmmnxaa ==
f) Signo de raiacutez es y bajo este signo se coloca la cantidad a la cual se le extrae la raiacutez Asiacute a equivale a la raiacutez cuadrada de a cuya cantidad que elevada al cuadrado reproduce la cantidad de a Tambieacuten 3 b equivale a la raiacutez cuacutebica de b que al ser elevada al cubo reproduce la cantidad de b
2 Signos de relacioacuten
Se emplean estos signos para indicar la relacioacuten que existe entre dos cantidades Los principales son a) Signo de igual es = que se lee igual a
ba = (se lee ldquoa igual a b rdquo)
b) Signo de mayor es gt que se lee mayor que
ba gt ( se lee ldquoa mayor que b rdquo)
c) Signo de mayor e igual ge que se lee mayor o igual que
ba ge (se lee ldquoa mayor o igual que b rdquo)
d) Signo de menor lt que se lee menor que
ba lt ( se lee ldquoa menor que b rdquo)
e) Signo de menor e igual le que se lee menor o igual que
ba le ( se lee ldquoa menor o igual que b rdquo)
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
4
3 Signos de agrupacioacuten
Los signos de agrupacioacuten indican que la operacioacuten colocada entre ellos debe efectuarse primero Estos signos son los siguientes a) El pareacutentesis ordinario ( ) b) El corchete [ ] c) Las llaves y d) La barra o viacutenculo Asiacute cba )( + indica que el resultado de la suma de a y b debe multiplicarse por c [ ]mba minus indica que la diferencia entre a y b debe multiplicarse por m y ba + dc minus indica que la suma de a y bdebe dividirse entre la diferencia c y d
En el producto de dos factores cualquiera de los factores es llamado coeficiente del otro factor Asiacute en el producto a5 el factor 5 es coeficiente del factor a e indica que el factor a se toma como sumando cinco veces ya que a5 aaaaa ++++= En el producto b4 el factor 4 es coeficiente de b e indica que bbbbb +++=4 Siendo estos coeficientes numeacutericos En el producto ab el factor a es coeficiente del factor b e indica que el factor b se toma como sumando a veces es decir bbbbbab +++++= veces Este es un coeficiente literal
a En el producto de maacutes de dos factores uno o varios de ellos son el coeficiente de los restantes Asiacute en el producto abcd a es el coeficiente de bcd ab es el coeficiente de cd abc es el coeficiente de d Cuando una cantidad no tiene coeficiente numeacuterico su coeficiente es la unidad Asiacute b equivale a b1 abc equivale a abc1 12 LOS NUacuteMEROS ALGEBRAICOS
Muchas magnitudes pueden considerarse en dos sentidos opuestos asiacute en el comercio puede hablarse de peacuterdidas y de ganancias existen temperaturas sobre cero y bajo cero existen regiones sobre el nivel del mar y bajo dicho nivel se hace referencia a fechas posteriores a cierta edad o anteriores a ella en la superficie de la tierra hay lugares de latitud norte y de latitud sur etc
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
5
Las peacuterdidas y las ganancias las temperaturas sobre cero o bajo cero etc constituyen evidentemente diferentes clases de cantidades Los nuacutemeros con que se designan las ganancias las temperaturas sobre cero las latitudes norte etc se llaman nuacutemeros positivos y se indican convencionalmente anteponieacutendoles el signo + como
5+ Los nuacutemeros que sirven para identificar peacuterdidas temperaturas bajo cero
latitudes sur etc se llaman nuacutemeros negativos y se ha convenido en representarlos anteponieacutendoles el signo ndash Asiacute ( )250minus pesos representa una peacuterdida ( )5minus grados referido a temperatura indica 5grados bajo cero 18minus grados de latitud indica un lugar situado en el hemisferio sur
Si un nuacutemero no estaacute precedido de ninguacuten signo se considera como positivo por
tanto 26 es lo mismo que 26+ Llaacutemense nuacutemeros algebraicos el conjunto de los nuacutemeros positivos y negativos
incluyendo el cero
Recta numeacuterica o eje de los nuacutemeros reales (R)
121 VALOR ABSOLUTO El valor absoluto o moacutedulo de un nuacutemero algebraico es el valor aritmeacutetico de ese nuacutemero Este valor es el que se obtiene suprimiendo el signo v gr el moacutedulo de 3+ es 3 y el de 7minus es 7
El valor absoluto de un nuacutemero se representa escribiendo dicho nuacutemero entre dos rayas verticales como 55 =+ 66 =minus Que se leen respectivamente valor absoluto de 55 =+ y valor absoluto de
66 =minus NOTA Como se observa todo nuacutemero positivo es igual a su valor absoluto
122 NUacuteMEROS IGUALES DESIGUALES Y SIMEacuteTRICOS
Dos nuacutemeros algebraicos son iguales cuando tienen el mismo valor absoluto e
igual signo como
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10X
-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10X O
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
6
4+ y 4+ 3minus y 3minus
Dos nuacutemeros algebraicos son desiguales cuando difieren por el signo por el
moacutedulo o por el signo y el moacutedulo La desigualdad se indica por el signo ne que se lee no igual a o diferente de Asiacute
545833 minusne++ne++neminus
Dos nuacutemeros algebraicos son simeacutetricos cuando soacutelo difieren por el signo Asiacute 10+ y 10minus
3minus y 3+ aminus y a+ son simeacutetricos
1221 SUMA o ADICIOacuteN
Sumar )5(+ con )7(+ Para efectuar esta operacioacuten aritmeacutetica se puede partir
del valor 5+ y localizarlo en la escala de los nuacutemeros de la recta numeacuterica XrsquoX seguidamente contar 7 divisiones a la derecha asiacute se alcanza el 12
12)7()5( =+++ o simplemente 1275 =+
Para sumar )6(minus con )3(minus se parte de 3minus y se cuentan 6 divisiones a la
izquierda asiacute se llega al punto 9minus por lo que
)9()6()3( minus=minus+minus o simplemente 963 minus=minusminus De esto se deduce lo siguiente para sumar nuacutemeros algebraicos del mismo
signo se suman sus moacutedulos y a la suma se le da el signo de los sumandos Para sumar )6(+ con )9(minus se parte de 9minus y se cuentan 6 divisiones a la
derecha hasta llegar a 3minus Ya que
)3()6()9( minus=++minus o simplemente 369 minus=+minus Del mismo modo se obtendraacute
538)3()8( =minus=minus++
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
7
Por tanto para sumar dos nuacutemeros algebraicos de distinto signo se resta el moacutedulo menor del mayor y a la diferencia se le da el signo del nuacutemero de mayor moacutedulo
La suma de varios nuacutemeros algebraicos de diferentes signos se reduce a los dos
casos anteriores ya que basta agrupar por separado todos los positivos y todos los negativos aplicando la suma y la resta para finalmente adicionarlos
=minus+++minus++ )2()4()5()7(
Agrupando los signos iguales
4711)2()5()4()7( =minus=minus+minus++++
1222 RESTA o SUSTRACCIOacuteN La resta es la operacioacuten inversa de la suma por lo tanto para restar nuacutemeros
algebraicos se procede a la inversa de coacutemo se hace para sumar Sea restar )5(+ de )8(+ Para efectuar esta operacioacuten se parte de 8 y se
recorren 5divisiones a la izquierda llegaacutendose al punto 3
358)5()8( =minus=+minus+ Para restar )2(+ de )3(minus se parte de 3minus y se cuentan 2 unidades a la
izquierda llegaacutendose al punto 5minus
523)2()3( minus==minusminus=+minusminus Para restar )8(minus de )3(minus se parte de 3minus y se cuentan 8 unidades a la derecha
se llega asiacute al punto 5
583)8()3( =+minus=minusminusminus
13 REGLA DE LOS SIGNOS DEL PRODUCTO A continuacioacuten se enuncia la regla de los signos del producto
a) El producto de dos nuacutemeros algebraicos de mismo signo es positivo b) El producto de dos nuacutemeros algebraicos de distinto signo es negativo
Este resultado puede indicarse simboacutelicamente como se indica a continuacioacuten
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EXPONENTES y RADICALES
8
+=minusminus+=++
))(())((
minus=+minusminus=minus+
))(())((
En la multiplicacioacuten o producto de nuacutemeros algebraicos se pueden distinguir dos
casos
1 Multiplicar dos nuacutemeros positivos como )5)(3( ++
Al considerar 3 como coeficiente la operacioacuten equivale a tomar 3 sumandos iguales a )5(+ por tanto
15555)5()5()5()5)(3( =++=+++++=++ Como se nota este caso no difiere del de la multiplicacioacuten de nuacutemeros aritmeacuteticos
Ejemplo
Multiplicar dos nuacutemeros de diferente signo a) )5)(3( minus+ y b) )5)(3( +minus
Solucioacuten
a) En el producto )5)(3( minus+ considerando a )3(+ como coeficiente la operacioacuten indicada equivale a tomar 3 sumandos iguales a 5minus
15)5()5()5()5)(3( minus=minus+minus+minus=minus+
b) En el producto )5)(3( +minus donde )3(minus se considera como coeficiente la
operacioacuten indicada equivale a tomar negativamente 3sumandos iguales a )5(+
15)5()5()5()5)(3( minus=+minus+minus+minus=+minus
Resultado que como se observa es igual al anterior
2 Multiplicar dos nuacutemeros negativos como )5)(3( minusminus
Este caso es una combinacioacuten de a) y de b) del caso anterior ya que equivale a tomar negativamente 3 sumandos iguales a )5(minus
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EXPONENTES y RADICALES
9
15)5()5()5()5)(3( =minusminusminusminusminusminus=minusminus
14 REGLA DE LOS SIGNOS DEL COCIENTE El anaacutelisis de los signos indicado en los ejemplos anteriores de este subtema permiten formular la siguiente regla
a) El cociente de dos nuacutemeros algebraicos de mismo signo es positivo b) El cociente de dos nuacutemeros algebraicos de distinto signo es negativo
Esta regla puede indicarse simboacutelicamente de la siguiente manera
+=++
)()(
+=minusminus
)()(
minus=minus+
)()(
minus=+minus
)()(
La divisioacuten es una operacioacuten inversa de la multiplicacioacuten que tiene por objeto
hallar uno de dos factores (cociente) cuando se conoce su producto (dividendo) y el otro factor (divisor) Por tanto para dividir se procede a la inversa de coacutemo se hace en la multiplicacioacuten
Suelen considerarse los mismos casos que en la multiplicacioacuten los cuales
pueden resumirse como se indica seguidamente 1
)4)(5(204)5()20(
=+=++ porque y 4
)5()4)(5(=
1
)4)(5(204)5()20(
minusminus=minus=minus+ porque y 4
)5()4)(5(
minus=minusminusminus
20)5)(4(4)5()20(
minus=+minusminus=+minus porque
20)5)(4(4)5()20(
minus=minus++=minusminus porque
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EXPONENTES y RADICALES
10
15 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Sea el siguiente rectaacutengulo ABCD el cual tiene 5 centiacutemetros (cm) de largo y 3 centiacutemetros de ancho como se indica en la siguiente figura geomeacutetrica
En esta figura geomeacutetrica se pueden formar 3 fajas de 5 centiacutemetros de largo por 1 centiacutemetro de ancho cada faja puede dividirse en cinco cuadritos de 1 centiacutemetro de largo y 1 centiacutemetro de ancho Las tres fajas juntas constan de 5 X 153 = 2cm que es el aacuterea del rectaacutengulo
El resultado se expresa diciendo el aacuterea de un rectaacutengulo es igual al producto de la base por la altura Esta expresioacuten puede abreviarse de la siguiente manera Aacuterea = base X altura La cual puede ser representada por las literales =A aacuterea =b base y a = altura Por lo que
bA = X a
Dicha abreviacioacuten a su vez resulta maacutes corta si se suprime el signo X y asiacute queda la expresioacuten baA =
Dicha expresioacuten se llama foacutermula algebraica Toda foacutermula es una regla expresada por medio de siacutembolos e indica las
operaciones que deben de efectuarse con los nuacutemeros representados por las literales para obtener ciertos resultados [Anfosi Agustiacuten Paacuteg 2]
Asiacute el rectaacutengulo constaraacute de n fajas de 25 cm cada una y el aacuterea seraacute de
5=A X n = ][5 2cmn
5 cm de largo
3 cm
de
anch
o
A B
CD
B
CD
5 cm A
3 cm
1 cm
1 cm
1 cm2
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EXPONENTES y RADICALES
11
De la foacutermula para obtener el aacuterea del rectaacutengulo baA= se deducen las siguientes transformaciones de dicha expresioacuten
aAb = y
bAa =
Donde para la primera expresioacuten conocida el aacuterea del rectaacutengulo y su altura se puede saber su base y para la segunda expresioacuten conocida el aacuterea del rectaacutengulo y su base se puede obtener su altura
El aacuterea de un rectaacutengulo de base b y altura a es ba El aacuterea de tres rectaacutengulos iguales al anterior es babababa 3=++
El volumen de un paralelepiacutepedo en que las dimensiones de la base son b y a
y la altura es c es bac
El volumen de dos paralelepiacutepedos iguales al anterior es bacbacbac 2=+
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EXPONENTES y RADICALES
12
El duplo se escribe a2 el triple de b se escribe b3 el cuaacutedruplo de 3a
3
4 a el
quiacutentuplo de c c5 etc Asiacute se tiene aaa +=2 bbbb ++=3
33333
4 aaaaa+++=
cccccc ++++=5 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
)( eaigualessumandosneeene ++++= En las expresiones anteriores ny5432 se llaman coeficientes El coeficiente es el nuacutemero o la literal que indica cuaacutentos sumandos iguales se toman Los cuatro primeros son numeacutericos y el uacuteltimo es literal
Ejemplo a) Representar la edad de cada uno de los miembros de la familia de Carlos Se
sabe que la edad de la hermana es dos tercios de la de Carlos la de la madre el triple la del padre cuatro veces y la del abuelo es igual a la suma de las edades del padre y de la madre
Solucioacuten La edad de Carlos es = a
La edad de la hermana es = a32
La edad de la madre es = a3 La edad del padre es = a4 Y la edad del abuelo es = aa 43 +
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EXPONENTES y RADICALES
13
b) A continuacioacuten se presenta un plano de una parte de un piso cuyas dimensiones estaacuten expresadas en el mismo
En este plano se observa que la longitud de este piso se puede expresar como ba+=8 de donde ba minus= 8 Y que el ancho es ihdc +=+
En estos dos ejemplos aparecen expresiones que son combinaciones de
nuacutemeros y literales separadas por los signos de las operaciones matemaacuteticas (aritmeacuteticas) Estas expresiones reciben el nombre de expresiones algebraicas 141 TEacuteRMINOS Y COEFICIENTES Sea la siguiente expresioacuten algebraica la cual estaacute formada por cinco sumandos
babbaa 3212
35
++++
Se llama teacutermino de una expresioacuten algebraica a cada uno de dichos sumandos Asiacute a2 es una expresioacuten algebraica de un teacutermino ba +3 es una expresioacuten algebraica de dos teacuterminos 123 ++ aab es una expresioacuten algebraica de tres teacuterminos Donde cada teacutermino consta de una parte numeacuterica (coeficiente del teacutermino) y otra literal Asiacute a2 es un teacutermino de coeficiente 2 y parte literal a
ab23
es un teacutermino de coeficiente 23
y parte literal ab
a b
c
e
d
h
i
8
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EXPONENTES y RADICALES
14
2xy es un teacutermino de coeficiente 1 y parte literal 2xy
Ejemplo Representar la edad de cada uno de los miembros de la familia de Carlos Se sabe que la edad de la hermana es dos tercios de la edad de Carlos la de la madre el triple la del padre cuatro veces y la del abuelo es igual a la suma de las edades del padre y la madre Solucioacuten Las expresiones algebraicas seraacuten las siguientes La edad de Carlos = a
La edad de la hermana = a32
La edad de la madre = a3 La edad del padre = a4 Y la edad del abuelo = aa 43 + A continuacioacuten se presenta el valor numeacuterico de cada una de las expresiones algebraicas si se sabe que la edad de Carlos es de 9 antildeos es decir 9=a La edad de Carlos = 9 antildeos
La edad de la hermana = 63
183
)9)(2()9(32
=== antildeos
La edad de la madre = 27)9(3 = antildeos La edad del padre = 36)9(4 = antildeos Y la edad del abuelo = 633627)9(4)9(3 =+=+ antildeos Nota
Si la edad de Carlos fuera otra los valores numeacutericos de cada una de las expresiones algebraicas seriacutean distintos
El valor numeacuterico de una expresioacuten algebraica no es uacutenico ya que depende del valor que se le deacute a la literal o letra(s) que en ella intervengan
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EXPONENTES y RADICALES
15
2 EXPONENTES Considere el caso especial de la multiplicacioacuten en el que todos los factores que se van a multiplicar son iguales Asiacute si se multiplica el nuacutemero a por siacute mismo se obtiene el producto aa el cual generalmente se escribe en la forma 2a En general el producto de n factores cada uno de ellos iguales a a se escribe en la forma na recibiendo el nuacutemero entero y positivo n el nombre de exponente En este caso se dice que se ha elevado el nuacutemero a a la eneacutesima potencia operacioacuten que recibe el nombre de potenciacioacuten 21 POTENCIACIOacuteN La potencia de una expresioacuten algebraica es la misma expresioacuten o el resultado de tomarla como factor dos o maacutes veces Asiacute la primera potencia de una expresioacuten es la misma expresioacuten como se indica a continuacioacuten aa 2)2( 1 =
La segunda potencia o cuadrado de una expresioacuten es el resultado de tomarla como factor dos veces Por lo que
22 4))()(2)(2()2)(2()2( aaaaaa === El cubo de una expresioacuten es el resultado de tomarla como factor tres veces por
ejemplo
33 8))()()(2)(2)(2()2)(2)(2()2( aaaaaaaa === Y en forma general ( ) ( )( )( ) vecesnaaaa n
2222 = 211 POTENCIA DE UN MONOMIO Para elevar un monomio a una potencia se eleva su coeficiente a esa potencia y se multiplica el exponente de cada letra por el exponente que indica la potencia Ejemplo Desarrollar las siguientes expresiones algebraicas
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EXPONENTES y RADICALES
16
a) 32 )3( ab b) 343 )5( yxminus c) 4
232
minus
yx
d) 5
43
32
minus ba
Solucioacuten
a) 63)3)(2()3)(1(32333 2727)()()3()3( bababaab ===
b) =minus=minus=minus )3)(4()3)(3(34333343 125)()()5()5( yxyxyx 129125 yxminus
c) 8
4
)4)(2(
)4)(1(
4
44
2
44
2 8116
)()(
)3()2(
32
32
yx
yx
yx
yx
=minus
=
minus=
minus
d) ( ) ( ) =minus
=
minus=
minus 543
5
5543
5543
)3()2(
32
32 bababa
2015)5)(4()5)(3(5
5
24332)()(
)3()2( baba minus=
minus=
2111 PROPIEDADES
Los exponentes indican multiplicacioacuten repetida por ejemplo
a) yy =2 ))(( yyy =
Donde 2y se lee y a la segunda potencia o y al cuadrado b) zz =3 z z = ))()(( zzz se lee z a la tercera potencia o z al cubo c) xx =4 x x x = ))()()(( xxxx se lee x a la cuarta potencia
22 EXPONENTES DE NUacuteMEROS REALES
Si n es un nuacutemero real entonces
xdefactoresn
xxn = x x x
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EXPONENTES y RADICALES
17
La expresioacuten exponencial nx se llama potencia de x y se lee x a la eneacutesima potencia o x a la potencia n En la expresioacuten siguiente
nx Exponente
Base
x se llama base y n es el exponente Un exponente que sea nuacutemero natural indica cuaacutentas veces se usa la base de expresioacuten exponencial como factor de un producto por ejemplo
a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==
b) 32)2)(2)(2)(2)(2()2( 5 minus=minusminusminusminusminus=minus
c) 4()4(4 44 minus=minus=minus 4 4 256)4 minus=
d) 256)4)(4)(4)(4()4( 4 =minusminusminusminus=minus
e) 33
81
21
21
21
21 aaaaa =
=
f) 22
251
51
51
51 bbbb =
minus
minus=
minus
g) 35 xx indica que x se debe usar cinco veces como factor y 3x representa que x se debe usar tres veces como factor por lo que 35 xx se usaraacute ocho veces como factor xdefactores5 xdefactores3
xxx =35 x x x x X x x x =
xdefactores8 = x x x x x x x x
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EXPONENTES y RADICALES
18
En general
xdefactoresm xdefactoresn
xxx nm = x x x X x x x x = xdefactoresnm + = x x x x x Por lo tanto para multiplicar expresiones exponenciales con la misma base se
mantiene esa base y se suman los exponentes 221 REGLA DEL PRODUCTO PARA EXPONENTES
Si m y n son nuacutemeros naturales entonces nmnm xxx += Para desarrollar la regla de divisioacuten de las expresiones exponenciales se procede de la siguiente manera
nmnmnmn
mn
m
xxxxx
xxx minusminus+minus ===
= )(1
Por tanto para dividir dos expresiones exponenciales con la misma base distinta de cero se mantiene la base y se resta el exponente del denominador del exponente del numerador
NOTA La regla del producto para exponentes soacutelo se aplica a expresiones exponenciales que tienen la misma base Por ejemplo la expresioacuten 35 yx no se puede simplificar porque las bases de las expresiones exponenciales son diferentes Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)
minus 34
418 xx
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EXPONENTES y RADICALES
19
Solucioacuten
a) 16511511 xxxx == +
b) 15645645 aaaaa == ++
c) 67244324432443 bababbaababa === ++
d) 7343434 248
418
418 xxxxxx minus=
minus=
minus=
minus +
Para encontrar otra propiedad se simplificaraacute la expresioacuten 34 )(x que significa
que 4x se eleva al cubo o en su caso 4x se repite tres veces 4x 4x 4x Donde 4x 4x 4x
=34 )(x 4x 4x 4x = ( x x x x )( x x x x )( x x x x )= = 12444 xx =++ En general se tiene que
nxdefactoresn nxdefactoresmn
mnm xx =)( mx mx mx = x x x x x x = mnx
Asiacute para elevar una expresioacuten exponencial a una potencia se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes
Ejemplo
Si se eleva x3 al cuadrado se obtiene el siguiente resultado
( ) )3(3 2 xx = ))()(3)(3()3( xxx = = 222 93 xx = En general se tiene que
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EXPONENTES y RADICALES
20
xydefactoresn xdefactoresn ( ) ))()(( xyxyxyxy n = xxxxy =)( x yyy y = nn yx
ydefactoresn
Otra propiedad por ejemplo es elevar al cubo la siguiente expresioacuten 3x
Solucioacuten
33
3 xx=
3x
3x
= 27)3)(3)(3(
))()(( 3xxxx=
En general se tiene lo siguiente
yxdefactoresn
=
yx
yx
yx
yx
n
yx
( )0ney
xdefactoresn
)())()(()())()((
yyyyxxxx
= = n
n
yx
ydefactoresn Los tres resultados anteriores se llaman reglas de potencias de los exponentes Si m y n son nuacutemeros naturales entonces
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EXPONENTES y RADICALES
21
( ) mnnm xx = nnn yxxy =)( n
nn
yx
yx
=
)0( ney
Ejemplos
Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) ( )323 b) ( )511x c) ( )632xx d) ( ) ( )2342 xx e) ( )32 yx f) ( )443 yx g) 4
2
yx
h) 2
4
3
yx
Solucioacuten
a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===
b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==
c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +
d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +
e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===
f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==
g) ( ) 8
4
42
44
2 yx
yx
yx
==
( )0ney
h) ( )( ) 8
62
24
32
4
3
yx
yx
yx
==
( )0ney
Analizar la diferencia que existe entre nxminus y nx)(minus
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EXPONENTES y RADICALES
22
Solucioacuten
xdefactoresn xdefactoresn minus
(minus=minus nx x x x x ) y )())()(()( xxxxx n minusminusminusminus=minus
Tambieacuten es conveniente hacer notar la diferencia que existe entre nax y ( )nax donde
xdefactoresn axdefactoresn
aaxn = x x x x y )())()(()( axaxaxaxax n = 222 EL EXPONENTE CERO Cuando las reglas de los exponentes son vaacutelidas y si el exponente es igual a 0 (cero) se tiene lo siguiente nnnnn xxxxxx 1)1()1(00 ==== + Como nn xxx 10 = en consecuencia ( )010 ne= xx
El exponente cero si 10 0 =ne xentoncesx En general cualquier base distinta de cero elevada a la potencia cero es igual a 1 Tambieacuten
10 === minusn
nnn
xxxx
Si todas las bases son distintas de cero y el exponente es cero entonces
a) 150 =
b) ( ) 17 0 =minus
c) ( ) 1303 =ax
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EXPONENTES y RADICALES
23
d) 121 0
975 =
zyx
NOTA
00 es indefinido esto a consecuencia de que infin=00 223 EXPONENTES NEGATIVOS Las reglas de los exponentes son vaacutelidas tambieacuten cuando eacutestos son enteros negativos ( )010 ne=== +minusminus xxxxx nnnn
ya que nxminus 1=nx y nx
1 1=nx
Ademaacutes se define a nxminus como el reciacuteproco de nx Por lo que
nn
xx 1
=minus y nn x
x=
minus
1
NOTA De acuerdo con la definicioacuten de exponentes negativos la base no puede ser 0
Asiacute una expresioacuten como 50minus no estaacute definida por lo que
infin=minus50 Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 25minus b) 310minus c) ( ) 32 minusx d) 13 minusx e) 35xxminus f) ( ) 23 minusminusx Solucioacuten
a) 251
515 2
2 ==minus
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EXPONENTES y RADICALES
24
b) 1000
110110 3
3 ==minus
c) ( ) 33
3
81
21)2(
xxx ==minus
d) 33 1 =minusx xx31
=
e) 2
23535 1x
xxxx === minus+minusminus
f) ( ) 6)2)(3(23 xxx == minusminusminusminus
2224 REGLA DEL COCIENTE Si m y n son enteros entonces
( )0 ne= minus xxxx nm
n
m
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 3
5
aa
b) 11
5
xxminus
c) 5
34
minusxxx
d) ( )( )23
32
x
x e) 4
32
xyyx
f) 3
432
32
minus
baaba
Solucioacuten
a) 2353
5
aaaa
== minus
b) 16
1611511
5 1x
xxxx
=== minusminusminusminus
c) 12575
7
5
34
5
34
xxxxx
xx
xxx
====minusminus
+
minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
25
d) ( )( )
( )( )
( )( ) 10666
6
23
32
23
32
===== minus xxxx
xx
xx
o en su caso
( )( )
( )( )
( )( ) 16
6
23
32
23
32
===xx
xx
xx
e) yxyxyxyyxx
xyyx
==== minusminusminusminusminus 11431243124
32
f) ( )( )
( )
)3)(4()3)(3()3)(middot2(
)3)(3(3)(2
3432
3323
432
32
baaba
baa
babaaba minusminusminus
==
= =
minus
1296
96
baaba
1221321
1215
96 1ba
bababa
=== minusminusminus
o en su caso
=
=
minusminus 3
45
323
432
32
baba
baaba
= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317
33
17
317 1111babababa
ba ===
=minusminus
El siguiente teorema indica que una fraccioacuten elevada a una potencia negativa se puede invertir y elevarse asiacute a una potencia positiva
Teorema Si n es un nuacutemero entero entonces
( )00 nene
=
minus
yxny
yx nn
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
26
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 4
32 minus
b)
3
2
xy
c) 4
3
2
32
minus
minus
yx
d)
minus
432
32
baaba
Solucioacuten
a) ( )( ) 16
8123
23
32
4
444
==
=
minus
b) ( )( ) 6
9
)3)(2(
)3)(3(
32
333
2
33
3
2
yx
yx
yx
yx
xy
===
=
minus
c) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ====
=
minusminusminusminusminus
minus )4)(2(
)4)(3(
424
434
42
434
2
34
3
2
1681
23
23
23
32
xy
xy
xy
xy
yx
= 8
12
1681
xy minus
= 1681
8
12
xy minus
= 1281681
yx
d) ( )( )
( )( ) ===
=
minusminusminus
minusminus
)3)(3()3)(2(
)3)(4()3)(5(
332
3453
32
4323
432
32
baba
baba
babaa
baaba
= =minus 96
1215
baba 321912)6(15 babbaa =minusminusminus
23 RESUMEN Si no existen divisiones entre 0 (cero) entonces para enteros m y n cualesquiera
a) nmnm xxx += b) ( ) mnnm xx =
c) ( ) nnn yxxy =
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
27
d) n
nn
yx
yx
=
e) ( )010 ne= xx
f) n
n
xx 1
=minus
g) nmn
m
xxx minus=
h) nn
xy
yx
=
minus
NOTA Las mismas reglas se aplican cuando los exponentes son variables 24 EJERCICIOS
1 Simplificar las siguientes expresiones
a) 24 b) 32 )(x c) 12 )( minusminusx d) 5
2
xx
e) 25minus
Solucioacuten a) 16)4)(4(42 == b) 6)3)(2(32 )( xxx == c) 2)1)(2(12 )( xxx == minusminusminusminus
o tambieacuten
222
22
21212
1)1)(1())(1(
111
111
)(1)( xxx
xxxx
x =======minusminus
minusminus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
28
d) 2253)5()3(53
5
3 1))((x
xxxxxxx
===== minusminusminus+minus
o tambieacuten 1 1 1
21
))()()()(())()((
))()()()(())()((
xxxxxxxxx
xxxxxxxx
== = 2minusx
e) 12
2 25251
515 minusminus ===
2 Simplificar las siguientes expresiones considerando que ninguno de los
denominadores sea igual a cero
a) 32
29
)(mmm minus
b) 43
32 )2(minus
minus
aaa
c)043
22 )3(xxx
xminus
minus
d) 042
2022
)4()(4
minus
minus
minusminus
yxyxx
e) 2
25
44
93
minus
minus
minusminus
yxyx
Solucioacuten
a) mmmmm
mm
mmm
===== minusminusminus
1676
7
)3)(2(
29
32
29
)(
b) 561
6
43
)3)(2(3
43
32 88))(8())(2()2(aa
aa
aaa
aaa
====minus
minus
minus
minus
minus
minus
c) 37
4
3)4(
4
322
4
043
22
91
99)1()1()3()3(
xxx
xxx
xxx
xxxx
====minus
minus
d) =minus
=minus
=minus
minus +minus
minus
minus
1)1(4
1)1(4
)4()(4 0222
042
2022 xxyx
yxx
414
1)1)(1(4
minus=minus
=minus
=
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
29
e) ( )( )
( )( ) =minusminus
=minusminus
=
minusminus
minus
minus
minusminus
minusminus
minus 224
225
225
2442
25
44
39
93
93
yxyx
yxyx
yxyx
= ( )
( ) ( ) ( )2
48
410
22242
22252
99
813
)()9( xyxyx
yxyx
==minusminus
minus
minus
minus
minus
3 Encontrar el valor numeacuterico de las siguientes expresiones con 2minus=x y
3=y para
a) 23 yx b) 3
3
yxminus
c) ( ) 22 minusxy d) 23 minusminus xy e) 23)( minusminus xy
Solucioacuten
a) ( ) ( ) 72)9)(8(32 2323 minus=minus=minus=yx
b) ( ) ( ) ( )( ) =minus
=minus
==minus
2781
3211
33333
3
yxyx
2161
2161
minus=minus
=
c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241
3211
2222
22 =minus
==minus
xyxy
d) ( ) ( )( ) 16
2722723 4
4323 minus=
minusminus
=minusminus=minus minusminusxy 1627
minus=
e) ( )( ) 4
272
3)()( 2
3
2
323 =
minus=
minus=minus minus
xyxy
3 RADICALES Con frecuencia en los problemas de aplicacioacuten se debe determinar queacute nuacutemero se puede elevar al cuadrado para obtener un segundo nuacutemero a Si se puede determinar a ese nuacutemero se le llama una raiacutez cuadrada de a Por ejemplo
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EXPONENTES y RADICALES
30
a) 0es una raiacutez cuadrada de 0 porque 002 = b) 4 es una raiacutez cuadrada de 16 porque 1642 = c) 4minus es una raiacutez cuadrada de 16 porque 16)4( 2 =minus d) xy7 es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy = e) xy7minus es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy =minus
31 RAIacuteZ CUADRADA DE a El nuacutemero b es una raiacutez cuadrada de a cuando 2 ab = Todos los nuacutemeros positivos tienen dos nuacutemeros reales que son sus raiacuteces cuadradas uno positivo y otro negativo El uacutenico nuacutemero con una sola raiacutez cuadrada es 0 cuya raiacutez cuadrada es 0 Ejemplo Determinar las dos raiacuteces cuadradas de 121 Solucioacuten Las dos raiacuteces cuadradas de 121son 11y 11minus porque 121112 = y 121)11( 2 =minus 32 RAIacuteZ CUADRADA PRINCIPAL Se llama signo radical al siacutembolo y a x el nuacutemero que se encuentran dentro del signo radical que se llama radicando Siacute x gt 0 la raiacutez principal de x es la raiacutez cuadrada positiva de x y se
representa con x La raiacutez cuadrada principal de 0 es 0 00 = NOTA Por definicioacuten el cuadrado principal de un nuacutemero positivo siempre es positivo Aunque 5 y 5minus son raiacuteces cuadradas de 25 soacutelo 5es la raiacutez cuadrada principal El radical
25 representa 5 El radical 25minus representa 5minus Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuadradas
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
31
a) 11 =
b) 981 =
c) 981 minus=minus
d) 21
41=
e) 114
12116
minus=minus
f) 20040 =
g) 03000090 minus=minus
Los nuacutemeros como 1600491694 y se llaman cuadrados enteros porque cada uno de ellos es el cuadrado de un entero La raiacutez cuadrada de todo cuadrado entero es un nuacutemero racional Por ejemplo
4016007494163924 =====
Las raiacuteces cuadradas de muchos enteros positivos no son nuacutemeros racionales Por ejemplo 11 es un nuacutemero irracional cuyo valor aproximado ( )asymp es de
31662473 )3166247311( asymp Donde el siacutembolo asympquiere decir ldquoaproximadamente igual ardquo
Las raiacuteces cuadradas de nuacutemeros negativos no son nuacutemeros reales Por
ejemplo 9minus no es nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado al cuadrado es igual a 9minus Las raiacuteces cuadradas de los nuacutemeros negativos originan un conjunto llamado nuacutemeros imaginarios
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
32
33 RAIacuteCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE Si 0nex el nuacutemero positivo 2x tiene por raiacuteces a x y a xminus porque 22)( xx =
y 22)( xx =minus Para indicar la raiacutez cuadrada positiva de 2x se debe saber si x es positivo o negativo Si 0gtx se puede escribir lo siguiente xx =2 donde 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es x Si x es negativo entonces 0gtminus x es xx minus=2 ya que 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es xminus Si no se sabe si x es positivo o negativo se pueden emplear siacutembolos de valor absoluto para garantizar que 2x sea positiva xx =2 siempre y cuando x sea cualquier nuacutemero real Si x es cualquier nuacutemero real entonces
a) xxxx 44)4(16 22 ===
Por lo que escribir 216x en la forma 2)4( x siendo que ( ) 22 164 xx = Puesto que x podriacutea ser negativo Los siacutembolos de valor absoluto son necesarios ya que en el producto x4 4 es una constante positiva
b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2
+=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 4+x puede ser negativo por ejemplo cuando
8minus=x
c) ( ) 1112 22 +=+=++ xxxx Porque ( )211 +=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 1+x puede ser negativo por ejemplo cuando 5minus=x
d) 24 xx = porque ( ) 422 xx = Como 02 gex
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
33
34 RAIacuteCES CUacuteBICAS La raiacutez cuacutebica de x se representa por yx =3 si xy =3 Por ejemplo el nuacutemero 64 tiene dos raiacuteces cuadradas que son nuacutemeros reales 8 y 8minus Sin embargo 64 soacutelo tiene una raiacutez cuacutebica real que es el valor de 4 porque 4 es el uacutenico nuacutemero real cuyo cubo es 64 Por lo tanto
xx =3 3 Como todos los nuacutemeros reales tienen una y solo una raiacutez cuacutebica real algunas
de las cuales son positivas y otras negativas no es necesario emplear siacutembolos de valor absoluto al simplificar las raiacuteces cuacutebicas
Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuacutebicas
a) 3 125 b) 3
81
c) 3 327xminus d) 33
3
278
ba
minus e) 3 632160 yx
Solucioacuten a) 51253 = porque 125)5)(5)(5(53 ==
b) 21
81
3 = porque 81
21
21
21
21 3
=
=
c) xx 3273 3 minus=minus porque ( ) ( )( )( ) 33 273333 xxxxx minus=minusminusminus=minus
d) ba
ba
32
278
33
3
minus=minus porque 3
33
278
32
32
32
32
ba
ba
ba
ba
ba
minus=
minus
minus
minus=
minus
e) 23 63 602160 xyyx = porque
( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==
35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS Asiacute como existen raiacuteces cuadradas y raiacuteces cuacutebicas tambieacuten existen las raiacuteces cuartas raiacuteces quintas raiacuteces sextas etc
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
34
Cuando n es impar el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez impar Como todo nuacutemero real tiene una y soacutelo una raiacutez eneacutesima real cuando n es impar no es necesario preocuparse por los siacutembolos de valor absoluto cuando se calculan raiacuteces impares Ejemplo
a) 33243 5 55 == porque 24335 = b) ( ) xxx 227128 77 7 minus=minus=minus porque ( ) 77 1282 xx minus=minus
Cuando n es par el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez par En este caso habraacute una raiacutez eneacutesima positiva y una eneacutesima negativa Por ejemplo las dos raiacuteces sextas reales de 729 son 3 y 3minus porque
72936 = y 729)3( 6 =minus Cuando se determinan raiacuteces reales se emplean con frecuencia los siacutembolos de valor absoluto para garantizar que la eneacutesima raiacutez sea positiva Ejemplos
a) ( ) 3334 4 =minus=minus
Tambieacuten se puede simplificar de la siguiente manera ( ) 3813 44 4 ==minus
b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===
Los siacutembolos de valor absoluto garantizan que la raiacutez sexta es positiva
Generalizando se tienen las siguientes reglas Si x es un nuacutemero real y 1gtn entonces
a) Si n es un nuacutemero impar natural xxn n =
b) Si n es un nuacutemero par natural xxn n =
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
35
NOTA En el radical n x a n se le llama el iacutendice u orden del radical Cuando el iacutendice
es 2 el radical es una raiacutez cuadrada y se acostumbra no escribir el iacutendice Cuando n es par ( )2gtn y 0ltx el radical n x no es un nuacutemero real Por
ejemplo 4 81minus no es un nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado a la cuarta potencia es 81minus
Ejemplo
a) 56254 = porque 62554 = b) 2325 minus=minus porque ( ) 322 5 minus=minus
c) 21
641
6 = porque 641
21 6
=
36 EXPONENTES RACIONALES Los exponentes enteros positivos indican la cantidad de veces que se debe usar una base como factor en un producto Por ejemplo 5x significa que x se debe emplear cinco veces como factor ya que xdefactores5 ( )( )( )( )( )xxxxxx =5 Es posible elevar bases a potencias racionales (fraccionarias) cuando se desea que dichos exponentes respeten las mismas reglas que los coeficientes enteros el
cuadrado de 21
10 debe ser 10 porque
( )
10101010 1
2
212
21
===
Se mantiene la base y se multiplican los exponentes
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
36
( ) 112
212
21
=
=
10101 =
Sin embargo hay que recordar que ( ) 1010
2=
Como 2
21
10
y ( )210 son iguales a 10
Con esto se puede definir que 21
10 es igual a 10 Igualmente para
a) 31
10 como 3 10
b) 41
10 como 4 10
c) 51
10 como 5 10
Por lo que si n es un nuacutemero natural mayor que 1 y n x es un nuacutemero real entonces
nn xx =1
Ejemplo Resolver los siguientes radicales
a) 21
9 b) 21
916
minus c) ( )3
1
64minus d) 41
16 e) 51
321
f) 8
1
0 g) ( )51
232xminus
h) ( )41
xyz
Solucioacuten
a) 3999 221
===
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EXPONENTES y RADICALES
37
b) 34
916
916
916
221
minus=minus=minus=
minus
c) ( ) 46464 331
minus=minus=minus
d) 21616 441
==
e) 21
321
321
551
==
f) 000 881
==
g) ( ) xxx 23232 5 551
5 minus=minus=minus
h) ( ) 441
xyzxyz =
i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes
fraccionarios
a) 4 5xyz b) 52
15xy
Solucioacuten
a) ( )41
4 55 xyzxyz =
b) 51
2
5
2
1515
=xyxy
37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1
Se puede ampliar la definicioacuten de nx1
para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
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EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
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EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
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EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
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EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
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EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
1
1 INTRODUCCIOacuteN
Aacutelgebra es una palabra de origen aacuterabe algiabr que se utiliza para nombrar el estudio de las operaciones y propiedades de magnitudes representadas por siacutembolos que generalmente son literales o letras
El primer introductor del aacutelgebra se cree que fue el griego Diofanto en el siglo III
aunque parece que en la India y Persia ya se conociacutea anteriormente En Europa fueron los aacuterabes los que lo introdujeron en el siglo IX
El sabio Al-Khuwarizmi fue el que introdujo siacutembolos para representar
magnitudes operaciones y expresiones El italiano Leonardo Pisano recogioacute en el siglo XIII las ensentildeanzas de las aacuterabes las tradujo al latiacuten y asiacute se extendieron por toda Europa
11 GENERALIDADES
El aacutelgebra es la rama de la matemaacutetica que estudia la cantidad considerada del
modo maacutes general posible [BALDOR A Paacuteg 5] Lo mismo que en aritmeacutetica en el aacutelgebra se efectuacutean operaciones con los
nuacutemeros pero su modo de representarlos difiere en ambas ramas de la matemaacutetica Para la aritmeacutetica soacutelo se emplean los signos comuacutenmente llamados araacutebigos (0 1 2 3 hellip) con la finalidad de escribir los nuacutemeros mientras que en el Aacutelgebra para representarlos se utilizan literales (a b c hellip x y z)
Los siacutembolos empleados en aacutelgebra para representar cantidades son los
nuacutemeros y las letras donde
a) Los nuacutemeros se emplean para representar cantidades conocidas y determinada
b) Las letras se usan para representar toda clase de cantidades ya sean conocidas o desconocidas
c) Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto a b c hellip
d) Las cantidades desconocidas son expresadas por las uacuteltimas letras del alfabeto u v w x y z
Consecuencia de la generalizacioacuten que implica la representacioacuten de cantidades
por medio de expresiones algebraicas Para ello se emplean signos de operacioacuten signos de relacioacuten y signos de agrupacioacuten Ejemplo Sean las siguientes dos literales a y b efectuar
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
2
1 Signos de Operacioacuten
Solucioacuten
En aacutelgebra se verifican las cantidades con las mismas operaciones que en Aritmeacutetica suma resta multiplicacioacuten divisioacuten elevacioacuten a potencias y extraccioacuten de raiacuteces a) Signo de la suma (adicioacuten) es + que se lee maacutes
ba + (se lee ldquoa maacutes b rdquo)
b) Signo de la resta (sustraccioacuten) es ndash que se lee menos
ba minus (se lee ldquoa menos b rdquo)
c) Signo de la multiplicacioacuten (producto) es X que se lee multiplicado por
a X b (se lee ldquoa multiplicado por b rdquo o ldquo a por b rdquo)
En lugar del signo X suele usarse un punto entre los factores o en su caso colocar los factores entre pareacutentesis como se indica a continuacioacuten
a bull b o (a )(b ) (leyeacutendose igual que el anterior)
Entre factores literales o entre un factor numeacuterico y un literal el signo de la multiplicacioacuten suele omitirse
Asiacute abc equivale a a X b X c
xy7 equivale a 7 X x X y y
x5 equivale a 5 X x
d) Signo de la divisioacuten (cociente) es que se lee dividido entre
ba (se lee ldquoa dividido entre b rdquo)
Tambieacuten esta operacioacuten se indica separando el dividendo y el divisor por medio de una raya horizontal tal como se indica a continuacioacuten
ba
(se lee ldquo a dividido entre b o a sobre b rdquo)
e) Signo de la elevacioacuten a potencia (exponente) el cual es un nuacutemero pequentildeo colocado en la parte superior de una cantidad o literal esto indica las veces
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
3
que dicha cantidad seraacute multiplicada por si misma llamada base la cual se toma como factor
bbbbbbaaaa == 53
Cuando una letra no tiene exponente su exponente es la unidad
1111 xnmmnxaa ==
f) Signo de raiacutez es y bajo este signo se coloca la cantidad a la cual se le extrae la raiacutez Asiacute a equivale a la raiacutez cuadrada de a cuya cantidad que elevada al cuadrado reproduce la cantidad de a Tambieacuten 3 b equivale a la raiacutez cuacutebica de b que al ser elevada al cubo reproduce la cantidad de b
2 Signos de relacioacuten
Se emplean estos signos para indicar la relacioacuten que existe entre dos cantidades Los principales son a) Signo de igual es = que se lee igual a
ba = (se lee ldquoa igual a b rdquo)
b) Signo de mayor es gt que se lee mayor que
ba gt ( se lee ldquoa mayor que b rdquo)
c) Signo de mayor e igual ge que se lee mayor o igual que
ba ge (se lee ldquoa mayor o igual que b rdquo)
d) Signo de menor lt que se lee menor que
ba lt ( se lee ldquoa menor que b rdquo)
e) Signo de menor e igual le que se lee menor o igual que
ba le ( se lee ldquoa menor o igual que b rdquo)
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
4
3 Signos de agrupacioacuten
Los signos de agrupacioacuten indican que la operacioacuten colocada entre ellos debe efectuarse primero Estos signos son los siguientes a) El pareacutentesis ordinario ( ) b) El corchete [ ] c) Las llaves y d) La barra o viacutenculo Asiacute cba )( + indica que el resultado de la suma de a y b debe multiplicarse por c [ ]mba minus indica que la diferencia entre a y b debe multiplicarse por m y ba + dc minus indica que la suma de a y bdebe dividirse entre la diferencia c y d
En el producto de dos factores cualquiera de los factores es llamado coeficiente del otro factor Asiacute en el producto a5 el factor 5 es coeficiente del factor a e indica que el factor a se toma como sumando cinco veces ya que a5 aaaaa ++++= En el producto b4 el factor 4 es coeficiente de b e indica que bbbbb +++=4 Siendo estos coeficientes numeacutericos En el producto ab el factor a es coeficiente del factor b e indica que el factor b se toma como sumando a veces es decir bbbbbab +++++= veces Este es un coeficiente literal
a En el producto de maacutes de dos factores uno o varios de ellos son el coeficiente de los restantes Asiacute en el producto abcd a es el coeficiente de bcd ab es el coeficiente de cd abc es el coeficiente de d Cuando una cantidad no tiene coeficiente numeacuterico su coeficiente es la unidad Asiacute b equivale a b1 abc equivale a abc1 12 LOS NUacuteMEROS ALGEBRAICOS
Muchas magnitudes pueden considerarse en dos sentidos opuestos asiacute en el comercio puede hablarse de peacuterdidas y de ganancias existen temperaturas sobre cero y bajo cero existen regiones sobre el nivel del mar y bajo dicho nivel se hace referencia a fechas posteriores a cierta edad o anteriores a ella en la superficie de la tierra hay lugares de latitud norte y de latitud sur etc
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
5
Las peacuterdidas y las ganancias las temperaturas sobre cero o bajo cero etc constituyen evidentemente diferentes clases de cantidades Los nuacutemeros con que se designan las ganancias las temperaturas sobre cero las latitudes norte etc se llaman nuacutemeros positivos y se indican convencionalmente anteponieacutendoles el signo + como
5+ Los nuacutemeros que sirven para identificar peacuterdidas temperaturas bajo cero
latitudes sur etc se llaman nuacutemeros negativos y se ha convenido en representarlos anteponieacutendoles el signo ndash Asiacute ( )250minus pesos representa una peacuterdida ( )5minus grados referido a temperatura indica 5grados bajo cero 18minus grados de latitud indica un lugar situado en el hemisferio sur
Si un nuacutemero no estaacute precedido de ninguacuten signo se considera como positivo por
tanto 26 es lo mismo que 26+ Llaacutemense nuacutemeros algebraicos el conjunto de los nuacutemeros positivos y negativos
incluyendo el cero
Recta numeacuterica o eje de los nuacutemeros reales (R)
121 VALOR ABSOLUTO El valor absoluto o moacutedulo de un nuacutemero algebraico es el valor aritmeacutetico de ese nuacutemero Este valor es el que se obtiene suprimiendo el signo v gr el moacutedulo de 3+ es 3 y el de 7minus es 7
El valor absoluto de un nuacutemero se representa escribiendo dicho nuacutemero entre dos rayas verticales como 55 =+ 66 =minus Que se leen respectivamente valor absoluto de 55 =+ y valor absoluto de
66 =minus NOTA Como se observa todo nuacutemero positivo es igual a su valor absoluto
122 NUacuteMEROS IGUALES DESIGUALES Y SIMEacuteTRICOS
Dos nuacutemeros algebraicos son iguales cuando tienen el mismo valor absoluto e
igual signo como
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10X
-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10X O
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
6
4+ y 4+ 3minus y 3minus
Dos nuacutemeros algebraicos son desiguales cuando difieren por el signo por el
moacutedulo o por el signo y el moacutedulo La desigualdad se indica por el signo ne que se lee no igual a o diferente de Asiacute
545833 minusne++ne++neminus
Dos nuacutemeros algebraicos son simeacutetricos cuando soacutelo difieren por el signo Asiacute 10+ y 10minus
3minus y 3+ aminus y a+ son simeacutetricos
1221 SUMA o ADICIOacuteN
Sumar )5(+ con )7(+ Para efectuar esta operacioacuten aritmeacutetica se puede partir
del valor 5+ y localizarlo en la escala de los nuacutemeros de la recta numeacuterica XrsquoX seguidamente contar 7 divisiones a la derecha asiacute se alcanza el 12
12)7()5( =+++ o simplemente 1275 =+
Para sumar )6(minus con )3(minus se parte de 3minus y se cuentan 6 divisiones a la
izquierda asiacute se llega al punto 9minus por lo que
)9()6()3( minus=minus+minus o simplemente 963 minus=minusminus De esto se deduce lo siguiente para sumar nuacutemeros algebraicos del mismo
signo se suman sus moacutedulos y a la suma se le da el signo de los sumandos Para sumar )6(+ con )9(minus se parte de 9minus y se cuentan 6 divisiones a la
derecha hasta llegar a 3minus Ya que
)3()6()9( minus=++minus o simplemente 369 minus=+minus Del mismo modo se obtendraacute
538)3()8( =minus=minus++
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
7
Por tanto para sumar dos nuacutemeros algebraicos de distinto signo se resta el moacutedulo menor del mayor y a la diferencia se le da el signo del nuacutemero de mayor moacutedulo
La suma de varios nuacutemeros algebraicos de diferentes signos se reduce a los dos
casos anteriores ya que basta agrupar por separado todos los positivos y todos los negativos aplicando la suma y la resta para finalmente adicionarlos
=minus+++minus++ )2()4()5()7(
Agrupando los signos iguales
4711)2()5()4()7( =minus=minus+minus++++
1222 RESTA o SUSTRACCIOacuteN La resta es la operacioacuten inversa de la suma por lo tanto para restar nuacutemeros
algebraicos se procede a la inversa de coacutemo se hace para sumar Sea restar )5(+ de )8(+ Para efectuar esta operacioacuten se parte de 8 y se
recorren 5divisiones a la izquierda llegaacutendose al punto 3
358)5()8( =minus=+minus+ Para restar )2(+ de )3(minus se parte de 3minus y se cuentan 2 unidades a la
izquierda llegaacutendose al punto 5minus
523)2()3( minus==minusminus=+minusminus Para restar )8(minus de )3(minus se parte de 3minus y se cuentan 8 unidades a la derecha
se llega asiacute al punto 5
583)8()3( =+minus=minusminusminus
13 REGLA DE LOS SIGNOS DEL PRODUCTO A continuacioacuten se enuncia la regla de los signos del producto
a) El producto de dos nuacutemeros algebraicos de mismo signo es positivo b) El producto de dos nuacutemeros algebraicos de distinto signo es negativo
Este resultado puede indicarse simboacutelicamente como se indica a continuacioacuten
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
8
+=minusminus+=++
))(())((
minus=+minusminus=minus+
))(())((
En la multiplicacioacuten o producto de nuacutemeros algebraicos se pueden distinguir dos
casos
1 Multiplicar dos nuacutemeros positivos como )5)(3( ++
Al considerar 3 como coeficiente la operacioacuten equivale a tomar 3 sumandos iguales a )5(+ por tanto
15555)5()5()5()5)(3( =++=+++++=++ Como se nota este caso no difiere del de la multiplicacioacuten de nuacutemeros aritmeacuteticos
Ejemplo
Multiplicar dos nuacutemeros de diferente signo a) )5)(3( minus+ y b) )5)(3( +minus
Solucioacuten
a) En el producto )5)(3( minus+ considerando a )3(+ como coeficiente la operacioacuten indicada equivale a tomar 3 sumandos iguales a 5minus
15)5()5()5()5)(3( minus=minus+minus+minus=minus+
b) En el producto )5)(3( +minus donde )3(minus se considera como coeficiente la
operacioacuten indicada equivale a tomar negativamente 3sumandos iguales a )5(+
15)5()5()5()5)(3( minus=+minus+minus+minus=+minus
Resultado que como se observa es igual al anterior
2 Multiplicar dos nuacutemeros negativos como )5)(3( minusminus
Este caso es una combinacioacuten de a) y de b) del caso anterior ya que equivale a tomar negativamente 3 sumandos iguales a )5(minus
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EXPONENTES y RADICALES
9
15)5()5()5()5)(3( =minusminusminusminusminusminus=minusminus
14 REGLA DE LOS SIGNOS DEL COCIENTE El anaacutelisis de los signos indicado en los ejemplos anteriores de este subtema permiten formular la siguiente regla
a) El cociente de dos nuacutemeros algebraicos de mismo signo es positivo b) El cociente de dos nuacutemeros algebraicos de distinto signo es negativo
Esta regla puede indicarse simboacutelicamente de la siguiente manera
+=++
)()(
+=minusminus
)()(
minus=minus+
)()(
minus=+minus
)()(
La divisioacuten es una operacioacuten inversa de la multiplicacioacuten que tiene por objeto
hallar uno de dos factores (cociente) cuando se conoce su producto (dividendo) y el otro factor (divisor) Por tanto para dividir se procede a la inversa de coacutemo se hace en la multiplicacioacuten
Suelen considerarse los mismos casos que en la multiplicacioacuten los cuales
pueden resumirse como se indica seguidamente 1
)4)(5(204)5()20(
=+=++ porque y 4
)5()4)(5(=
1
)4)(5(204)5()20(
minusminus=minus=minus+ porque y 4
)5()4)(5(
minus=minusminusminus
20)5)(4(4)5()20(
minus=+minusminus=+minus porque
20)5)(4(4)5()20(
minus=minus++=minusminus porque
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EXPONENTES y RADICALES
10
15 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Sea el siguiente rectaacutengulo ABCD el cual tiene 5 centiacutemetros (cm) de largo y 3 centiacutemetros de ancho como se indica en la siguiente figura geomeacutetrica
En esta figura geomeacutetrica se pueden formar 3 fajas de 5 centiacutemetros de largo por 1 centiacutemetro de ancho cada faja puede dividirse en cinco cuadritos de 1 centiacutemetro de largo y 1 centiacutemetro de ancho Las tres fajas juntas constan de 5 X 153 = 2cm que es el aacuterea del rectaacutengulo
El resultado se expresa diciendo el aacuterea de un rectaacutengulo es igual al producto de la base por la altura Esta expresioacuten puede abreviarse de la siguiente manera Aacuterea = base X altura La cual puede ser representada por las literales =A aacuterea =b base y a = altura Por lo que
bA = X a
Dicha abreviacioacuten a su vez resulta maacutes corta si se suprime el signo X y asiacute queda la expresioacuten baA =
Dicha expresioacuten se llama foacutermula algebraica Toda foacutermula es una regla expresada por medio de siacutembolos e indica las
operaciones que deben de efectuarse con los nuacutemeros representados por las literales para obtener ciertos resultados [Anfosi Agustiacuten Paacuteg 2]
Asiacute el rectaacutengulo constaraacute de n fajas de 25 cm cada una y el aacuterea seraacute de
5=A X n = ][5 2cmn
5 cm de largo
3 cm
de
anch
o
A B
CD
B
CD
5 cm A
3 cm
1 cm
1 cm
1 cm2
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EXPONENTES y RADICALES
11
De la foacutermula para obtener el aacuterea del rectaacutengulo baA= se deducen las siguientes transformaciones de dicha expresioacuten
aAb = y
bAa =
Donde para la primera expresioacuten conocida el aacuterea del rectaacutengulo y su altura se puede saber su base y para la segunda expresioacuten conocida el aacuterea del rectaacutengulo y su base se puede obtener su altura
El aacuterea de un rectaacutengulo de base b y altura a es ba El aacuterea de tres rectaacutengulos iguales al anterior es babababa 3=++
El volumen de un paralelepiacutepedo en que las dimensiones de la base son b y a
y la altura es c es bac
El volumen de dos paralelepiacutepedos iguales al anterior es bacbacbac 2=+
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EXPONENTES y RADICALES
12
El duplo se escribe a2 el triple de b se escribe b3 el cuaacutedruplo de 3a
3
4 a el
quiacutentuplo de c c5 etc Asiacute se tiene aaa +=2 bbbb ++=3
33333
4 aaaaa+++=
cccccc ++++=5 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
)( eaigualessumandosneeene ++++= En las expresiones anteriores ny5432 se llaman coeficientes El coeficiente es el nuacutemero o la literal que indica cuaacutentos sumandos iguales se toman Los cuatro primeros son numeacutericos y el uacuteltimo es literal
Ejemplo a) Representar la edad de cada uno de los miembros de la familia de Carlos Se
sabe que la edad de la hermana es dos tercios de la de Carlos la de la madre el triple la del padre cuatro veces y la del abuelo es igual a la suma de las edades del padre y de la madre
Solucioacuten La edad de Carlos es = a
La edad de la hermana es = a32
La edad de la madre es = a3 La edad del padre es = a4 Y la edad del abuelo es = aa 43 +
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EXPONENTES y RADICALES
13
b) A continuacioacuten se presenta un plano de una parte de un piso cuyas dimensiones estaacuten expresadas en el mismo
En este plano se observa que la longitud de este piso se puede expresar como ba+=8 de donde ba minus= 8 Y que el ancho es ihdc +=+
En estos dos ejemplos aparecen expresiones que son combinaciones de
nuacutemeros y literales separadas por los signos de las operaciones matemaacuteticas (aritmeacuteticas) Estas expresiones reciben el nombre de expresiones algebraicas 141 TEacuteRMINOS Y COEFICIENTES Sea la siguiente expresioacuten algebraica la cual estaacute formada por cinco sumandos
babbaa 3212
35
++++
Se llama teacutermino de una expresioacuten algebraica a cada uno de dichos sumandos Asiacute a2 es una expresioacuten algebraica de un teacutermino ba +3 es una expresioacuten algebraica de dos teacuterminos 123 ++ aab es una expresioacuten algebraica de tres teacuterminos Donde cada teacutermino consta de una parte numeacuterica (coeficiente del teacutermino) y otra literal Asiacute a2 es un teacutermino de coeficiente 2 y parte literal a
ab23
es un teacutermino de coeficiente 23
y parte literal ab
a b
c
e
d
h
i
8
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EXPONENTES y RADICALES
14
2xy es un teacutermino de coeficiente 1 y parte literal 2xy
Ejemplo Representar la edad de cada uno de los miembros de la familia de Carlos Se sabe que la edad de la hermana es dos tercios de la edad de Carlos la de la madre el triple la del padre cuatro veces y la del abuelo es igual a la suma de las edades del padre y la madre Solucioacuten Las expresiones algebraicas seraacuten las siguientes La edad de Carlos = a
La edad de la hermana = a32
La edad de la madre = a3 La edad del padre = a4 Y la edad del abuelo = aa 43 + A continuacioacuten se presenta el valor numeacuterico de cada una de las expresiones algebraicas si se sabe que la edad de Carlos es de 9 antildeos es decir 9=a La edad de Carlos = 9 antildeos
La edad de la hermana = 63
183
)9)(2()9(32
=== antildeos
La edad de la madre = 27)9(3 = antildeos La edad del padre = 36)9(4 = antildeos Y la edad del abuelo = 633627)9(4)9(3 =+=+ antildeos Nota
Si la edad de Carlos fuera otra los valores numeacutericos de cada una de las expresiones algebraicas seriacutean distintos
El valor numeacuterico de una expresioacuten algebraica no es uacutenico ya que depende del valor que se le deacute a la literal o letra(s) que en ella intervengan
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EXPONENTES y RADICALES
15
2 EXPONENTES Considere el caso especial de la multiplicacioacuten en el que todos los factores que se van a multiplicar son iguales Asiacute si se multiplica el nuacutemero a por siacute mismo se obtiene el producto aa el cual generalmente se escribe en la forma 2a En general el producto de n factores cada uno de ellos iguales a a se escribe en la forma na recibiendo el nuacutemero entero y positivo n el nombre de exponente En este caso se dice que se ha elevado el nuacutemero a a la eneacutesima potencia operacioacuten que recibe el nombre de potenciacioacuten 21 POTENCIACIOacuteN La potencia de una expresioacuten algebraica es la misma expresioacuten o el resultado de tomarla como factor dos o maacutes veces Asiacute la primera potencia de una expresioacuten es la misma expresioacuten como se indica a continuacioacuten aa 2)2( 1 =
La segunda potencia o cuadrado de una expresioacuten es el resultado de tomarla como factor dos veces Por lo que
22 4))()(2)(2()2)(2()2( aaaaaa === El cubo de una expresioacuten es el resultado de tomarla como factor tres veces por
ejemplo
33 8))()()(2)(2)(2()2)(2)(2()2( aaaaaaaa === Y en forma general ( ) ( )( )( ) vecesnaaaa n
2222 = 211 POTENCIA DE UN MONOMIO Para elevar un monomio a una potencia se eleva su coeficiente a esa potencia y se multiplica el exponente de cada letra por el exponente que indica la potencia Ejemplo Desarrollar las siguientes expresiones algebraicas
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16
a) 32 )3( ab b) 343 )5( yxminus c) 4
232
minus
yx
d) 5
43
32
minus ba
Solucioacuten
a) 63)3)(2()3)(1(32333 2727)()()3()3( bababaab ===
b) =minus=minus=minus )3)(4()3)(3(34333343 125)()()5()5( yxyxyx 129125 yxminus
c) 8
4
)4)(2(
)4)(1(
4
44
2
44
2 8116
)()(
)3()2(
32
32
yx
yx
yx
yx
=minus
=
minus=
minus
d) ( ) ( ) =minus
=
minus=
minus 543
5
5543
5543
)3()2(
32
32 bababa
2015)5)(4()5)(3(5
5
24332)()(
)3()2( baba minus=
minus=
2111 PROPIEDADES
Los exponentes indican multiplicacioacuten repetida por ejemplo
a) yy =2 ))(( yyy =
Donde 2y se lee y a la segunda potencia o y al cuadrado b) zz =3 z z = ))()(( zzz se lee z a la tercera potencia o z al cubo c) xx =4 x x x = ))()()(( xxxx se lee x a la cuarta potencia
22 EXPONENTES DE NUacuteMEROS REALES
Si n es un nuacutemero real entonces
xdefactoresn
xxn = x x x
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17
La expresioacuten exponencial nx se llama potencia de x y se lee x a la eneacutesima potencia o x a la potencia n En la expresioacuten siguiente
nx Exponente
Base
x se llama base y n es el exponente Un exponente que sea nuacutemero natural indica cuaacutentas veces se usa la base de expresioacuten exponencial como factor de un producto por ejemplo
a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==
b) 32)2)(2)(2)(2)(2()2( 5 minus=minusminusminusminusminus=minus
c) 4()4(4 44 minus=minus=minus 4 4 256)4 minus=
d) 256)4)(4)(4)(4()4( 4 =minusminusminusminus=minus
e) 33
81
21
21
21
21 aaaaa =
=
f) 22
251
51
51
51 bbbb =
minus
minus=
minus
g) 35 xx indica que x se debe usar cinco veces como factor y 3x representa que x se debe usar tres veces como factor por lo que 35 xx se usaraacute ocho veces como factor xdefactores5 xdefactores3
xxx =35 x x x x X x x x =
xdefactores8 = x x x x x x x x
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EXPONENTES y RADICALES
18
En general
xdefactoresm xdefactoresn
xxx nm = x x x X x x x x = xdefactoresnm + = x x x x x Por lo tanto para multiplicar expresiones exponenciales con la misma base se
mantiene esa base y se suman los exponentes 221 REGLA DEL PRODUCTO PARA EXPONENTES
Si m y n son nuacutemeros naturales entonces nmnm xxx += Para desarrollar la regla de divisioacuten de las expresiones exponenciales se procede de la siguiente manera
nmnmnmn
mn
m
xxxxx
xxx minusminus+minus ===
= )(1
Por tanto para dividir dos expresiones exponenciales con la misma base distinta de cero se mantiene la base y se resta el exponente del denominador del exponente del numerador
NOTA La regla del producto para exponentes soacutelo se aplica a expresiones exponenciales que tienen la misma base Por ejemplo la expresioacuten 35 yx no se puede simplificar porque las bases de las expresiones exponenciales son diferentes Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)
minus 34
418 xx
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19
Solucioacuten
a) 16511511 xxxx == +
b) 15645645 aaaaa == ++
c) 67244324432443 bababbaababa === ++
d) 7343434 248
418
418 xxxxxx minus=
minus=
minus=
minus +
Para encontrar otra propiedad se simplificaraacute la expresioacuten 34 )(x que significa
que 4x se eleva al cubo o en su caso 4x se repite tres veces 4x 4x 4x Donde 4x 4x 4x
=34 )(x 4x 4x 4x = ( x x x x )( x x x x )( x x x x )= = 12444 xx =++ En general se tiene que
nxdefactoresn nxdefactoresmn
mnm xx =)( mx mx mx = x x x x x x = mnx
Asiacute para elevar una expresioacuten exponencial a una potencia se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes
Ejemplo
Si se eleva x3 al cuadrado se obtiene el siguiente resultado
( ) )3(3 2 xx = ))()(3)(3()3( xxx = = 222 93 xx = En general se tiene que
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EXPONENTES y RADICALES
20
xydefactoresn xdefactoresn ( ) ))()(( xyxyxyxy n = xxxxy =)( x yyy y = nn yx
ydefactoresn
Otra propiedad por ejemplo es elevar al cubo la siguiente expresioacuten 3x
Solucioacuten
33
3 xx=
3x
3x
= 27)3)(3)(3(
))()(( 3xxxx=
En general se tiene lo siguiente
yxdefactoresn
=
yx
yx
yx
yx
n
yx
( )0ney
xdefactoresn
)())()(()())()((
yyyyxxxx
= = n
n
yx
ydefactoresn Los tres resultados anteriores se llaman reglas de potencias de los exponentes Si m y n son nuacutemeros naturales entonces
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EXPONENTES y RADICALES
21
( ) mnnm xx = nnn yxxy =)( n
nn
yx
yx
=
)0( ney
Ejemplos
Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) ( )323 b) ( )511x c) ( )632xx d) ( ) ( )2342 xx e) ( )32 yx f) ( )443 yx g) 4
2
yx
h) 2
4
3
yx
Solucioacuten
a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===
b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==
c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +
d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +
e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===
f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==
g) ( ) 8
4
42
44
2 yx
yx
yx
==
( )0ney
h) ( )( ) 8
62
24
32
4
3
yx
yx
yx
==
( )0ney
Analizar la diferencia que existe entre nxminus y nx)(minus
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EXPONENTES y RADICALES
22
Solucioacuten
xdefactoresn xdefactoresn minus
(minus=minus nx x x x x ) y )())()(()( xxxxx n minusminusminusminus=minus
Tambieacuten es conveniente hacer notar la diferencia que existe entre nax y ( )nax donde
xdefactoresn axdefactoresn
aaxn = x x x x y )())()(()( axaxaxaxax n = 222 EL EXPONENTE CERO Cuando las reglas de los exponentes son vaacutelidas y si el exponente es igual a 0 (cero) se tiene lo siguiente nnnnn xxxxxx 1)1()1(00 ==== + Como nn xxx 10 = en consecuencia ( )010 ne= xx
El exponente cero si 10 0 =ne xentoncesx En general cualquier base distinta de cero elevada a la potencia cero es igual a 1 Tambieacuten
10 === minusn
nnn
xxxx
Si todas las bases son distintas de cero y el exponente es cero entonces
a) 150 =
b) ( ) 17 0 =minus
c) ( ) 1303 =ax
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EXPONENTES y RADICALES
23
d) 121 0
975 =
zyx
NOTA
00 es indefinido esto a consecuencia de que infin=00 223 EXPONENTES NEGATIVOS Las reglas de los exponentes son vaacutelidas tambieacuten cuando eacutestos son enteros negativos ( )010 ne=== +minusminus xxxxx nnnn
ya que nxminus 1=nx y nx
1 1=nx
Ademaacutes se define a nxminus como el reciacuteproco de nx Por lo que
nn
xx 1
=minus y nn x
x=
minus
1
NOTA De acuerdo con la definicioacuten de exponentes negativos la base no puede ser 0
Asiacute una expresioacuten como 50minus no estaacute definida por lo que
infin=minus50 Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 25minus b) 310minus c) ( ) 32 minusx d) 13 minusx e) 35xxminus f) ( ) 23 minusminusx Solucioacuten
a) 251
515 2
2 ==minus
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EXPONENTES y RADICALES
24
b) 1000
110110 3
3 ==minus
c) ( ) 33
3
81
21)2(
xxx ==minus
d) 33 1 =minusx xx31
=
e) 2
23535 1x
xxxx === minus+minusminus
f) ( ) 6)2)(3(23 xxx == minusminusminusminus
2224 REGLA DEL COCIENTE Si m y n son enteros entonces
( )0 ne= minus xxxx nm
n
m
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 3
5
aa
b) 11
5
xxminus
c) 5
34
minusxxx
d) ( )( )23
32
x
x e) 4
32
xyyx
f) 3
432
32
minus
baaba
Solucioacuten
a) 2353
5
aaaa
== minus
b) 16
1611511
5 1x
xxxx
=== minusminusminusminus
c) 12575
7
5
34
5
34
xxxxx
xx
xxx
====minusminus
+
minus
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EXPONENTES y RADICALES
25
d) ( )( )
( )( )
( )( ) 10666
6
23
32
23
32
===== minus xxxx
xx
xx
o en su caso
( )( )
( )( )
( )( ) 16
6
23
32
23
32
===xx
xx
xx
e) yxyxyxyyxx
xyyx
==== minusminusminusminusminus 11431243124
32
f) ( )( )
( )
)3)(4()3)(3()3)(middot2(
)3)(3(3)(2
3432
3323
432
32
baaba
baa
babaaba minusminusminus
==
= =
minus
1296
96
baaba
1221321
1215
96 1ba
bababa
=== minusminusminus
o en su caso
=
=
minusminus 3
45
323
432
32
baba
baaba
= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317
33
17
317 1111babababa
ba ===
=minusminus
El siguiente teorema indica que una fraccioacuten elevada a una potencia negativa se puede invertir y elevarse asiacute a una potencia positiva
Teorema Si n es un nuacutemero entero entonces
( )00 nene
=
minus
yxny
yx nn
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EXPONENTES y RADICALES
26
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 4
32 minus
b)
3
2
xy
c) 4
3
2
32
minus
minus
yx
d)
minus
432
32
baaba
Solucioacuten
a) ( )( ) 16
8123
23
32
4
444
==
=
minus
b) ( )( ) 6
9
)3)(2(
)3)(3(
32
333
2
33
3
2
yx
yx
yx
yx
xy
===
=
minus
c) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ====
=
minusminusminusminusminus
minus )4)(2(
)4)(3(
424
434
42
434
2
34
3
2
1681
23
23
23
32
xy
xy
xy
xy
yx
= 8
12
1681
xy minus
= 1681
8
12
xy minus
= 1281681
yx
d) ( )( )
( )( ) ===
=
minusminusminus
minusminus
)3)(3()3)(2(
)3)(4()3)(5(
332
3453
32
4323
432
32
baba
baba
babaa
baaba
= =minus 96
1215
baba 321912)6(15 babbaa =minusminusminus
23 RESUMEN Si no existen divisiones entre 0 (cero) entonces para enteros m y n cualesquiera
a) nmnm xxx += b) ( ) mnnm xx =
c) ( ) nnn yxxy =
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EXPONENTES y RADICALES
27
d) n
nn
yx
yx
=
e) ( )010 ne= xx
f) n
n
xx 1
=minus
g) nmn
m
xxx minus=
h) nn
xy
yx
=
minus
NOTA Las mismas reglas se aplican cuando los exponentes son variables 24 EJERCICIOS
1 Simplificar las siguientes expresiones
a) 24 b) 32 )(x c) 12 )( minusminusx d) 5
2
xx
e) 25minus
Solucioacuten a) 16)4)(4(42 == b) 6)3)(2(32 )( xxx == c) 2)1)(2(12 )( xxx == minusminusminusminus
o tambieacuten
222
22
21212
1)1)(1())(1(
111
111
)(1)( xxx
xxxx
x =======minusminus
minusminus
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EXPONENTES y RADICALES
28
d) 2253)5()3(53
5
3 1))((x
xxxxxxx
===== minusminusminus+minus
o tambieacuten 1 1 1
21
))()()()(())()((
))()()()(())()((
xxxxxxxxx
xxxxxxxx
== = 2minusx
e) 12
2 25251
515 minusminus ===
2 Simplificar las siguientes expresiones considerando que ninguno de los
denominadores sea igual a cero
a) 32
29
)(mmm minus
b) 43
32 )2(minus
minus
aaa
c)043
22 )3(xxx
xminus
minus
d) 042
2022
)4()(4
minus
minus
minusminus
yxyxx
e) 2
25
44
93
minus
minus
minusminus
yxyx
Solucioacuten
a) mmmmm
mm
mmm
===== minusminusminus
1676
7
)3)(2(
29
32
29
)(
b) 561
6
43
)3)(2(3
43
32 88))(8())(2()2(aa
aa
aaa
aaa
====minus
minus
minus
minus
minus
minus
c) 37
4
3)4(
4
322
4
043
22
91
99)1()1()3()3(
xxx
xxx
xxx
xxxx
====minus
minus
d) =minus
=minus
=minus
minus +minus
minus
minus
1)1(4
1)1(4
)4()(4 0222
042
2022 xxyx
yxx
414
1)1)(1(4
minus=minus
=minus
=
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
29
e) ( )( )
( )( ) =minusminus
=minusminus
=
minusminus
minus
minus
minusminus
minusminus
minus 224
225
225
2442
25
44
39
93
93
yxyx
yxyx
yxyx
= ( )
( ) ( ) ( )2
48
410
22242
22252
99
813
)()9( xyxyx
yxyx
==minusminus
minus
minus
minus
minus
3 Encontrar el valor numeacuterico de las siguientes expresiones con 2minus=x y
3=y para
a) 23 yx b) 3
3
yxminus
c) ( ) 22 minusxy d) 23 minusminus xy e) 23)( minusminus xy
Solucioacuten
a) ( ) ( ) 72)9)(8(32 2323 minus=minus=minus=yx
b) ( ) ( ) ( )( ) =minus
=minus
==minus
2781
3211
33333
3
yxyx
2161
2161
minus=minus
=
c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241
3211
2222
22 =minus
==minus
xyxy
d) ( ) ( )( ) 16
2722723 4
4323 minus=
minusminus
=minusminus=minus minusminusxy 1627
minus=
e) ( )( ) 4
272
3)()( 2
3
2
323 =
minus=
minus=minus minus
xyxy
3 RADICALES Con frecuencia en los problemas de aplicacioacuten se debe determinar queacute nuacutemero se puede elevar al cuadrado para obtener un segundo nuacutemero a Si se puede determinar a ese nuacutemero se le llama una raiacutez cuadrada de a Por ejemplo
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EXPONENTES y RADICALES
30
a) 0es una raiacutez cuadrada de 0 porque 002 = b) 4 es una raiacutez cuadrada de 16 porque 1642 = c) 4minus es una raiacutez cuadrada de 16 porque 16)4( 2 =minus d) xy7 es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy = e) xy7minus es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy =minus
31 RAIacuteZ CUADRADA DE a El nuacutemero b es una raiacutez cuadrada de a cuando 2 ab = Todos los nuacutemeros positivos tienen dos nuacutemeros reales que son sus raiacuteces cuadradas uno positivo y otro negativo El uacutenico nuacutemero con una sola raiacutez cuadrada es 0 cuya raiacutez cuadrada es 0 Ejemplo Determinar las dos raiacuteces cuadradas de 121 Solucioacuten Las dos raiacuteces cuadradas de 121son 11y 11minus porque 121112 = y 121)11( 2 =minus 32 RAIacuteZ CUADRADA PRINCIPAL Se llama signo radical al siacutembolo y a x el nuacutemero que se encuentran dentro del signo radical que se llama radicando Siacute x gt 0 la raiacutez principal de x es la raiacutez cuadrada positiva de x y se
representa con x La raiacutez cuadrada principal de 0 es 0 00 = NOTA Por definicioacuten el cuadrado principal de un nuacutemero positivo siempre es positivo Aunque 5 y 5minus son raiacuteces cuadradas de 25 soacutelo 5es la raiacutez cuadrada principal El radical
25 representa 5 El radical 25minus representa 5minus Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuadradas
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
31
a) 11 =
b) 981 =
c) 981 minus=minus
d) 21
41=
e) 114
12116
minus=minus
f) 20040 =
g) 03000090 minus=minus
Los nuacutemeros como 1600491694 y se llaman cuadrados enteros porque cada uno de ellos es el cuadrado de un entero La raiacutez cuadrada de todo cuadrado entero es un nuacutemero racional Por ejemplo
4016007494163924 =====
Las raiacuteces cuadradas de muchos enteros positivos no son nuacutemeros racionales Por ejemplo 11 es un nuacutemero irracional cuyo valor aproximado ( )asymp es de
31662473 )3166247311( asymp Donde el siacutembolo asympquiere decir ldquoaproximadamente igual ardquo
Las raiacuteces cuadradas de nuacutemeros negativos no son nuacutemeros reales Por
ejemplo 9minus no es nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado al cuadrado es igual a 9minus Las raiacuteces cuadradas de los nuacutemeros negativos originan un conjunto llamado nuacutemeros imaginarios
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
32
33 RAIacuteCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE Si 0nex el nuacutemero positivo 2x tiene por raiacuteces a x y a xminus porque 22)( xx =
y 22)( xx =minus Para indicar la raiacutez cuadrada positiva de 2x se debe saber si x es positivo o negativo Si 0gtx se puede escribir lo siguiente xx =2 donde 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es x Si x es negativo entonces 0gtminus x es xx minus=2 ya que 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es xminus Si no se sabe si x es positivo o negativo se pueden emplear siacutembolos de valor absoluto para garantizar que 2x sea positiva xx =2 siempre y cuando x sea cualquier nuacutemero real Si x es cualquier nuacutemero real entonces
a) xxxx 44)4(16 22 ===
Por lo que escribir 216x en la forma 2)4( x siendo que ( ) 22 164 xx = Puesto que x podriacutea ser negativo Los siacutembolos de valor absoluto son necesarios ya que en el producto x4 4 es una constante positiva
b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2
+=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 4+x puede ser negativo por ejemplo cuando
8minus=x
c) ( ) 1112 22 +=+=++ xxxx Porque ( )211 +=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 1+x puede ser negativo por ejemplo cuando 5minus=x
d) 24 xx = porque ( ) 422 xx = Como 02 gex
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
33
34 RAIacuteCES CUacuteBICAS La raiacutez cuacutebica de x se representa por yx =3 si xy =3 Por ejemplo el nuacutemero 64 tiene dos raiacuteces cuadradas que son nuacutemeros reales 8 y 8minus Sin embargo 64 soacutelo tiene una raiacutez cuacutebica real que es el valor de 4 porque 4 es el uacutenico nuacutemero real cuyo cubo es 64 Por lo tanto
xx =3 3 Como todos los nuacutemeros reales tienen una y solo una raiacutez cuacutebica real algunas
de las cuales son positivas y otras negativas no es necesario emplear siacutembolos de valor absoluto al simplificar las raiacuteces cuacutebicas
Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuacutebicas
a) 3 125 b) 3
81
c) 3 327xminus d) 33
3
278
ba
minus e) 3 632160 yx
Solucioacuten a) 51253 = porque 125)5)(5)(5(53 ==
b) 21
81
3 = porque 81
21
21
21
21 3
=
=
c) xx 3273 3 minus=minus porque ( ) ( )( )( ) 33 273333 xxxxx minus=minusminusminus=minus
d) ba
ba
32
278
33
3
minus=minus porque 3
33
278
32
32
32
32
ba
ba
ba
ba
ba
minus=
minus
minus
minus=
minus
e) 23 63 602160 xyyx = porque
( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==
35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS Asiacute como existen raiacuteces cuadradas y raiacuteces cuacutebicas tambieacuten existen las raiacuteces cuartas raiacuteces quintas raiacuteces sextas etc
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EXPONENTES y RADICALES
34
Cuando n es impar el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez impar Como todo nuacutemero real tiene una y soacutelo una raiacutez eneacutesima real cuando n es impar no es necesario preocuparse por los siacutembolos de valor absoluto cuando se calculan raiacuteces impares Ejemplo
a) 33243 5 55 == porque 24335 = b) ( ) xxx 227128 77 7 minus=minus=minus porque ( ) 77 1282 xx minus=minus
Cuando n es par el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez par En este caso habraacute una raiacutez eneacutesima positiva y una eneacutesima negativa Por ejemplo las dos raiacuteces sextas reales de 729 son 3 y 3minus porque
72936 = y 729)3( 6 =minus Cuando se determinan raiacuteces reales se emplean con frecuencia los siacutembolos de valor absoluto para garantizar que la eneacutesima raiacutez sea positiva Ejemplos
a) ( ) 3334 4 =minus=minus
Tambieacuten se puede simplificar de la siguiente manera ( ) 3813 44 4 ==minus
b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===
Los siacutembolos de valor absoluto garantizan que la raiacutez sexta es positiva
Generalizando se tienen las siguientes reglas Si x es un nuacutemero real y 1gtn entonces
a) Si n es un nuacutemero impar natural xxn n =
b) Si n es un nuacutemero par natural xxn n =
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EXPONENTES y RADICALES
35
NOTA En el radical n x a n se le llama el iacutendice u orden del radical Cuando el iacutendice
es 2 el radical es una raiacutez cuadrada y se acostumbra no escribir el iacutendice Cuando n es par ( )2gtn y 0ltx el radical n x no es un nuacutemero real Por
ejemplo 4 81minus no es un nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado a la cuarta potencia es 81minus
Ejemplo
a) 56254 = porque 62554 = b) 2325 minus=minus porque ( ) 322 5 minus=minus
c) 21
641
6 = porque 641
21 6
=
36 EXPONENTES RACIONALES Los exponentes enteros positivos indican la cantidad de veces que se debe usar una base como factor en un producto Por ejemplo 5x significa que x se debe emplear cinco veces como factor ya que xdefactores5 ( )( )( )( )( )xxxxxx =5 Es posible elevar bases a potencias racionales (fraccionarias) cuando se desea que dichos exponentes respeten las mismas reglas que los coeficientes enteros el
cuadrado de 21
10 debe ser 10 porque
( )
10101010 1
2
212
21
===
Se mantiene la base y se multiplican los exponentes
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EXPONENTES y RADICALES
36
( ) 112
212
21
=
=
10101 =
Sin embargo hay que recordar que ( ) 1010
2=
Como 2
21
10
y ( )210 son iguales a 10
Con esto se puede definir que 21
10 es igual a 10 Igualmente para
a) 31
10 como 3 10
b) 41
10 como 4 10
c) 51
10 como 5 10
Por lo que si n es un nuacutemero natural mayor que 1 y n x es un nuacutemero real entonces
nn xx =1
Ejemplo Resolver los siguientes radicales
a) 21
9 b) 21
916
minus c) ( )3
1
64minus d) 41
16 e) 51
321
f) 8
1
0 g) ( )51
232xminus
h) ( )41
xyz
Solucioacuten
a) 3999 221
===
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EXPONENTES y RADICALES
37
b) 34
916
916
916
221
minus=minus=minus=
minus
c) ( ) 46464 331
minus=minus=minus
d) 21616 441
==
e) 21
321
321
551
==
f) 000 881
==
g) ( ) xxx 23232 5 551
5 minus=minus=minus
h) ( ) 441
xyzxyz =
i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes
fraccionarios
a) 4 5xyz b) 52
15xy
Solucioacuten
a) ( )41
4 55 xyzxyz =
b) 51
2
5
2
1515
=xyxy
37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1
Se puede ampliar la definicioacuten de nx1
para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1
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EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
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EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
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EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
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EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
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EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
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EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
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EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
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EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
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EXPONENTES y RADICALES
2
1 Signos de Operacioacuten
Solucioacuten
En aacutelgebra se verifican las cantidades con las mismas operaciones que en Aritmeacutetica suma resta multiplicacioacuten divisioacuten elevacioacuten a potencias y extraccioacuten de raiacuteces a) Signo de la suma (adicioacuten) es + que se lee maacutes
ba + (se lee ldquoa maacutes b rdquo)
b) Signo de la resta (sustraccioacuten) es ndash que se lee menos
ba minus (se lee ldquoa menos b rdquo)
c) Signo de la multiplicacioacuten (producto) es X que se lee multiplicado por
a X b (se lee ldquoa multiplicado por b rdquo o ldquo a por b rdquo)
En lugar del signo X suele usarse un punto entre los factores o en su caso colocar los factores entre pareacutentesis como se indica a continuacioacuten
a bull b o (a )(b ) (leyeacutendose igual que el anterior)
Entre factores literales o entre un factor numeacuterico y un literal el signo de la multiplicacioacuten suele omitirse
Asiacute abc equivale a a X b X c
xy7 equivale a 7 X x X y y
x5 equivale a 5 X x
d) Signo de la divisioacuten (cociente) es que se lee dividido entre
ba (se lee ldquoa dividido entre b rdquo)
Tambieacuten esta operacioacuten se indica separando el dividendo y el divisor por medio de una raya horizontal tal como se indica a continuacioacuten
ba
(se lee ldquo a dividido entre b o a sobre b rdquo)
e) Signo de la elevacioacuten a potencia (exponente) el cual es un nuacutemero pequentildeo colocado en la parte superior de una cantidad o literal esto indica las veces
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EXPONENTES y RADICALES
3
que dicha cantidad seraacute multiplicada por si misma llamada base la cual se toma como factor
bbbbbbaaaa == 53
Cuando una letra no tiene exponente su exponente es la unidad
1111 xnmmnxaa ==
f) Signo de raiacutez es y bajo este signo se coloca la cantidad a la cual se le extrae la raiacutez Asiacute a equivale a la raiacutez cuadrada de a cuya cantidad que elevada al cuadrado reproduce la cantidad de a Tambieacuten 3 b equivale a la raiacutez cuacutebica de b que al ser elevada al cubo reproduce la cantidad de b
2 Signos de relacioacuten
Se emplean estos signos para indicar la relacioacuten que existe entre dos cantidades Los principales son a) Signo de igual es = que se lee igual a
ba = (se lee ldquoa igual a b rdquo)
b) Signo de mayor es gt que se lee mayor que
ba gt ( se lee ldquoa mayor que b rdquo)
c) Signo de mayor e igual ge que se lee mayor o igual que
ba ge (se lee ldquoa mayor o igual que b rdquo)
d) Signo de menor lt que se lee menor que
ba lt ( se lee ldquoa menor que b rdquo)
e) Signo de menor e igual le que se lee menor o igual que
ba le ( se lee ldquoa menor o igual que b rdquo)
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EXPONENTES y RADICALES
4
3 Signos de agrupacioacuten
Los signos de agrupacioacuten indican que la operacioacuten colocada entre ellos debe efectuarse primero Estos signos son los siguientes a) El pareacutentesis ordinario ( ) b) El corchete [ ] c) Las llaves y d) La barra o viacutenculo Asiacute cba )( + indica que el resultado de la suma de a y b debe multiplicarse por c [ ]mba minus indica que la diferencia entre a y b debe multiplicarse por m y ba + dc minus indica que la suma de a y bdebe dividirse entre la diferencia c y d
En el producto de dos factores cualquiera de los factores es llamado coeficiente del otro factor Asiacute en el producto a5 el factor 5 es coeficiente del factor a e indica que el factor a se toma como sumando cinco veces ya que a5 aaaaa ++++= En el producto b4 el factor 4 es coeficiente de b e indica que bbbbb +++=4 Siendo estos coeficientes numeacutericos En el producto ab el factor a es coeficiente del factor b e indica que el factor b se toma como sumando a veces es decir bbbbbab +++++= veces Este es un coeficiente literal
a En el producto de maacutes de dos factores uno o varios de ellos son el coeficiente de los restantes Asiacute en el producto abcd a es el coeficiente de bcd ab es el coeficiente de cd abc es el coeficiente de d Cuando una cantidad no tiene coeficiente numeacuterico su coeficiente es la unidad Asiacute b equivale a b1 abc equivale a abc1 12 LOS NUacuteMEROS ALGEBRAICOS
Muchas magnitudes pueden considerarse en dos sentidos opuestos asiacute en el comercio puede hablarse de peacuterdidas y de ganancias existen temperaturas sobre cero y bajo cero existen regiones sobre el nivel del mar y bajo dicho nivel se hace referencia a fechas posteriores a cierta edad o anteriores a ella en la superficie de la tierra hay lugares de latitud norte y de latitud sur etc
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EXPONENTES y RADICALES
5
Las peacuterdidas y las ganancias las temperaturas sobre cero o bajo cero etc constituyen evidentemente diferentes clases de cantidades Los nuacutemeros con que se designan las ganancias las temperaturas sobre cero las latitudes norte etc se llaman nuacutemeros positivos y se indican convencionalmente anteponieacutendoles el signo + como
5+ Los nuacutemeros que sirven para identificar peacuterdidas temperaturas bajo cero
latitudes sur etc se llaman nuacutemeros negativos y se ha convenido en representarlos anteponieacutendoles el signo ndash Asiacute ( )250minus pesos representa una peacuterdida ( )5minus grados referido a temperatura indica 5grados bajo cero 18minus grados de latitud indica un lugar situado en el hemisferio sur
Si un nuacutemero no estaacute precedido de ninguacuten signo se considera como positivo por
tanto 26 es lo mismo que 26+ Llaacutemense nuacutemeros algebraicos el conjunto de los nuacutemeros positivos y negativos
incluyendo el cero
Recta numeacuterica o eje de los nuacutemeros reales (R)
121 VALOR ABSOLUTO El valor absoluto o moacutedulo de un nuacutemero algebraico es el valor aritmeacutetico de ese nuacutemero Este valor es el que se obtiene suprimiendo el signo v gr el moacutedulo de 3+ es 3 y el de 7minus es 7
El valor absoluto de un nuacutemero se representa escribiendo dicho nuacutemero entre dos rayas verticales como 55 =+ 66 =minus Que se leen respectivamente valor absoluto de 55 =+ y valor absoluto de
66 =minus NOTA Como se observa todo nuacutemero positivo es igual a su valor absoluto
122 NUacuteMEROS IGUALES DESIGUALES Y SIMEacuteTRICOS
Dos nuacutemeros algebraicos son iguales cuando tienen el mismo valor absoluto e
igual signo como
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10X
-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10X O
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EXPONENTES y RADICALES
6
4+ y 4+ 3minus y 3minus
Dos nuacutemeros algebraicos son desiguales cuando difieren por el signo por el
moacutedulo o por el signo y el moacutedulo La desigualdad se indica por el signo ne que se lee no igual a o diferente de Asiacute
545833 minusne++ne++neminus
Dos nuacutemeros algebraicos son simeacutetricos cuando soacutelo difieren por el signo Asiacute 10+ y 10minus
3minus y 3+ aminus y a+ son simeacutetricos
1221 SUMA o ADICIOacuteN
Sumar )5(+ con )7(+ Para efectuar esta operacioacuten aritmeacutetica se puede partir
del valor 5+ y localizarlo en la escala de los nuacutemeros de la recta numeacuterica XrsquoX seguidamente contar 7 divisiones a la derecha asiacute se alcanza el 12
12)7()5( =+++ o simplemente 1275 =+
Para sumar )6(minus con )3(minus se parte de 3minus y se cuentan 6 divisiones a la
izquierda asiacute se llega al punto 9minus por lo que
)9()6()3( minus=minus+minus o simplemente 963 minus=minusminus De esto se deduce lo siguiente para sumar nuacutemeros algebraicos del mismo
signo se suman sus moacutedulos y a la suma se le da el signo de los sumandos Para sumar )6(+ con )9(minus se parte de 9minus y se cuentan 6 divisiones a la
derecha hasta llegar a 3minus Ya que
)3()6()9( minus=++minus o simplemente 369 minus=+minus Del mismo modo se obtendraacute
538)3()8( =minus=minus++
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EXPONENTES y RADICALES
7
Por tanto para sumar dos nuacutemeros algebraicos de distinto signo se resta el moacutedulo menor del mayor y a la diferencia se le da el signo del nuacutemero de mayor moacutedulo
La suma de varios nuacutemeros algebraicos de diferentes signos se reduce a los dos
casos anteriores ya que basta agrupar por separado todos los positivos y todos los negativos aplicando la suma y la resta para finalmente adicionarlos
=minus+++minus++ )2()4()5()7(
Agrupando los signos iguales
4711)2()5()4()7( =minus=minus+minus++++
1222 RESTA o SUSTRACCIOacuteN La resta es la operacioacuten inversa de la suma por lo tanto para restar nuacutemeros
algebraicos se procede a la inversa de coacutemo se hace para sumar Sea restar )5(+ de )8(+ Para efectuar esta operacioacuten se parte de 8 y se
recorren 5divisiones a la izquierda llegaacutendose al punto 3
358)5()8( =minus=+minus+ Para restar )2(+ de )3(minus se parte de 3minus y se cuentan 2 unidades a la
izquierda llegaacutendose al punto 5minus
523)2()3( minus==minusminus=+minusminus Para restar )8(minus de )3(minus se parte de 3minus y se cuentan 8 unidades a la derecha
se llega asiacute al punto 5
583)8()3( =+minus=minusminusminus
13 REGLA DE LOS SIGNOS DEL PRODUCTO A continuacioacuten se enuncia la regla de los signos del producto
a) El producto de dos nuacutemeros algebraicos de mismo signo es positivo b) El producto de dos nuacutemeros algebraicos de distinto signo es negativo
Este resultado puede indicarse simboacutelicamente como se indica a continuacioacuten
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EXPONENTES y RADICALES
8
+=minusminus+=++
))(())((
minus=+minusminus=minus+
))(())((
En la multiplicacioacuten o producto de nuacutemeros algebraicos se pueden distinguir dos
casos
1 Multiplicar dos nuacutemeros positivos como )5)(3( ++
Al considerar 3 como coeficiente la operacioacuten equivale a tomar 3 sumandos iguales a )5(+ por tanto
15555)5()5()5()5)(3( =++=+++++=++ Como se nota este caso no difiere del de la multiplicacioacuten de nuacutemeros aritmeacuteticos
Ejemplo
Multiplicar dos nuacutemeros de diferente signo a) )5)(3( minus+ y b) )5)(3( +minus
Solucioacuten
a) En el producto )5)(3( minus+ considerando a )3(+ como coeficiente la operacioacuten indicada equivale a tomar 3 sumandos iguales a 5minus
15)5()5()5()5)(3( minus=minus+minus+minus=minus+
b) En el producto )5)(3( +minus donde )3(minus se considera como coeficiente la
operacioacuten indicada equivale a tomar negativamente 3sumandos iguales a )5(+
15)5()5()5()5)(3( minus=+minus+minus+minus=+minus
Resultado que como se observa es igual al anterior
2 Multiplicar dos nuacutemeros negativos como )5)(3( minusminus
Este caso es una combinacioacuten de a) y de b) del caso anterior ya que equivale a tomar negativamente 3 sumandos iguales a )5(minus
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EXPONENTES y RADICALES
9
15)5()5()5()5)(3( =minusminusminusminusminusminus=minusminus
14 REGLA DE LOS SIGNOS DEL COCIENTE El anaacutelisis de los signos indicado en los ejemplos anteriores de este subtema permiten formular la siguiente regla
a) El cociente de dos nuacutemeros algebraicos de mismo signo es positivo b) El cociente de dos nuacutemeros algebraicos de distinto signo es negativo
Esta regla puede indicarse simboacutelicamente de la siguiente manera
+=++
)()(
+=minusminus
)()(
minus=minus+
)()(
minus=+minus
)()(
La divisioacuten es una operacioacuten inversa de la multiplicacioacuten que tiene por objeto
hallar uno de dos factores (cociente) cuando se conoce su producto (dividendo) y el otro factor (divisor) Por tanto para dividir se procede a la inversa de coacutemo se hace en la multiplicacioacuten
Suelen considerarse los mismos casos que en la multiplicacioacuten los cuales
pueden resumirse como se indica seguidamente 1
)4)(5(204)5()20(
=+=++ porque y 4
)5()4)(5(=
1
)4)(5(204)5()20(
minusminus=minus=minus+ porque y 4
)5()4)(5(
minus=minusminusminus
20)5)(4(4)5()20(
minus=+minusminus=+minus porque
20)5)(4(4)5()20(
minus=minus++=minusminus porque
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EXPONENTES y RADICALES
10
15 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Sea el siguiente rectaacutengulo ABCD el cual tiene 5 centiacutemetros (cm) de largo y 3 centiacutemetros de ancho como se indica en la siguiente figura geomeacutetrica
En esta figura geomeacutetrica se pueden formar 3 fajas de 5 centiacutemetros de largo por 1 centiacutemetro de ancho cada faja puede dividirse en cinco cuadritos de 1 centiacutemetro de largo y 1 centiacutemetro de ancho Las tres fajas juntas constan de 5 X 153 = 2cm que es el aacuterea del rectaacutengulo
El resultado se expresa diciendo el aacuterea de un rectaacutengulo es igual al producto de la base por la altura Esta expresioacuten puede abreviarse de la siguiente manera Aacuterea = base X altura La cual puede ser representada por las literales =A aacuterea =b base y a = altura Por lo que
bA = X a
Dicha abreviacioacuten a su vez resulta maacutes corta si se suprime el signo X y asiacute queda la expresioacuten baA =
Dicha expresioacuten se llama foacutermula algebraica Toda foacutermula es una regla expresada por medio de siacutembolos e indica las
operaciones que deben de efectuarse con los nuacutemeros representados por las literales para obtener ciertos resultados [Anfosi Agustiacuten Paacuteg 2]
Asiacute el rectaacutengulo constaraacute de n fajas de 25 cm cada una y el aacuterea seraacute de
5=A X n = ][5 2cmn
5 cm de largo
3 cm
de
anch
o
A B
CD
B
CD
5 cm A
3 cm
1 cm
1 cm
1 cm2
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EXPONENTES y RADICALES
11
De la foacutermula para obtener el aacuterea del rectaacutengulo baA= se deducen las siguientes transformaciones de dicha expresioacuten
aAb = y
bAa =
Donde para la primera expresioacuten conocida el aacuterea del rectaacutengulo y su altura se puede saber su base y para la segunda expresioacuten conocida el aacuterea del rectaacutengulo y su base se puede obtener su altura
El aacuterea de un rectaacutengulo de base b y altura a es ba El aacuterea de tres rectaacutengulos iguales al anterior es babababa 3=++
El volumen de un paralelepiacutepedo en que las dimensiones de la base son b y a
y la altura es c es bac
El volumen de dos paralelepiacutepedos iguales al anterior es bacbacbac 2=+
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EXPONENTES y RADICALES
12
El duplo se escribe a2 el triple de b se escribe b3 el cuaacutedruplo de 3a
3
4 a el
quiacutentuplo de c c5 etc Asiacute se tiene aaa +=2 bbbb ++=3
33333
4 aaaaa+++=
cccccc ++++=5 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
)( eaigualessumandosneeene ++++= En las expresiones anteriores ny5432 se llaman coeficientes El coeficiente es el nuacutemero o la literal que indica cuaacutentos sumandos iguales se toman Los cuatro primeros son numeacutericos y el uacuteltimo es literal
Ejemplo a) Representar la edad de cada uno de los miembros de la familia de Carlos Se
sabe que la edad de la hermana es dos tercios de la de Carlos la de la madre el triple la del padre cuatro veces y la del abuelo es igual a la suma de las edades del padre y de la madre
Solucioacuten La edad de Carlos es = a
La edad de la hermana es = a32
La edad de la madre es = a3 La edad del padre es = a4 Y la edad del abuelo es = aa 43 +
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EXPONENTES y RADICALES
13
b) A continuacioacuten se presenta un plano de una parte de un piso cuyas dimensiones estaacuten expresadas en el mismo
En este plano se observa que la longitud de este piso se puede expresar como ba+=8 de donde ba minus= 8 Y que el ancho es ihdc +=+
En estos dos ejemplos aparecen expresiones que son combinaciones de
nuacutemeros y literales separadas por los signos de las operaciones matemaacuteticas (aritmeacuteticas) Estas expresiones reciben el nombre de expresiones algebraicas 141 TEacuteRMINOS Y COEFICIENTES Sea la siguiente expresioacuten algebraica la cual estaacute formada por cinco sumandos
babbaa 3212
35
++++
Se llama teacutermino de una expresioacuten algebraica a cada uno de dichos sumandos Asiacute a2 es una expresioacuten algebraica de un teacutermino ba +3 es una expresioacuten algebraica de dos teacuterminos 123 ++ aab es una expresioacuten algebraica de tres teacuterminos Donde cada teacutermino consta de una parte numeacuterica (coeficiente del teacutermino) y otra literal Asiacute a2 es un teacutermino de coeficiente 2 y parte literal a
ab23
es un teacutermino de coeficiente 23
y parte literal ab
a b
c
e
d
h
i
8
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EXPONENTES y RADICALES
14
2xy es un teacutermino de coeficiente 1 y parte literal 2xy
Ejemplo Representar la edad de cada uno de los miembros de la familia de Carlos Se sabe que la edad de la hermana es dos tercios de la edad de Carlos la de la madre el triple la del padre cuatro veces y la del abuelo es igual a la suma de las edades del padre y la madre Solucioacuten Las expresiones algebraicas seraacuten las siguientes La edad de Carlos = a
La edad de la hermana = a32
La edad de la madre = a3 La edad del padre = a4 Y la edad del abuelo = aa 43 + A continuacioacuten se presenta el valor numeacuterico de cada una de las expresiones algebraicas si se sabe que la edad de Carlos es de 9 antildeos es decir 9=a La edad de Carlos = 9 antildeos
La edad de la hermana = 63
183
)9)(2()9(32
=== antildeos
La edad de la madre = 27)9(3 = antildeos La edad del padre = 36)9(4 = antildeos Y la edad del abuelo = 633627)9(4)9(3 =+=+ antildeos Nota
Si la edad de Carlos fuera otra los valores numeacutericos de cada una de las expresiones algebraicas seriacutean distintos
El valor numeacuterico de una expresioacuten algebraica no es uacutenico ya que depende del valor que se le deacute a la literal o letra(s) que en ella intervengan
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
15
2 EXPONENTES Considere el caso especial de la multiplicacioacuten en el que todos los factores que se van a multiplicar son iguales Asiacute si se multiplica el nuacutemero a por siacute mismo se obtiene el producto aa el cual generalmente se escribe en la forma 2a En general el producto de n factores cada uno de ellos iguales a a se escribe en la forma na recibiendo el nuacutemero entero y positivo n el nombre de exponente En este caso se dice que se ha elevado el nuacutemero a a la eneacutesima potencia operacioacuten que recibe el nombre de potenciacioacuten 21 POTENCIACIOacuteN La potencia de una expresioacuten algebraica es la misma expresioacuten o el resultado de tomarla como factor dos o maacutes veces Asiacute la primera potencia de una expresioacuten es la misma expresioacuten como se indica a continuacioacuten aa 2)2( 1 =
La segunda potencia o cuadrado de una expresioacuten es el resultado de tomarla como factor dos veces Por lo que
22 4))()(2)(2()2)(2()2( aaaaaa === El cubo de una expresioacuten es el resultado de tomarla como factor tres veces por
ejemplo
33 8))()()(2)(2)(2()2)(2)(2()2( aaaaaaaa === Y en forma general ( ) ( )( )( ) vecesnaaaa n
2222 = 211 POTENCIA DE UN MONOMIO Para elevar un monomio a una potencia se eleva su coeficiente a esa potencia y se multiplica el exponente de cada letra por el exponente que indica la potencia Ejemplo Desarrollar las siguientes expresiones algebraicas
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EXPONENTES y RADICALES
16
a) 32 )3( ab b) 343 )5( yxminus c) 4
232
minus
yx
d) 5
43
32
minus ba
Solucioacuten
a) 63)3)(2()3)(1(32333 2727)()()3()3( bababaab ===
b) =minus=minus=minus )3)(4()3)(3(34333343 125)()()5()5( yxyxyx 129125 yxminus
c) 8
4
)4)(2(
)4)(1(
4
44
2
44
2 8116
)()(
)3()2(
32
32
yx
yx
yx
yx
=minus
=
minus=
minus
d) ( ) ( ) =minus
=
minus=
minus 543
5
5543
5543
)3()2(
32
32 bababa
2015)5)(4()5)(3(5
5
24332)()(
)3()2( baba minus=
minus=
2111 PROPIEDADES
Los exponentes indican multiplicacioacuten repetida por ejemplo
a) yy =2 ))(( yyy =
Donde 2y se lee y a la segunda potencia o y al cuadrado b) zz =3 z z = ))()(( zzz se lee z a la tercera potencia o z al cubo c) xx =4 x x x = ))()()(( xxxx se lee x a la cuarta potencia
22 EXPONENTES DE NUacuteMEROS REALES
Si n es un nuacutemero real entonces
xdefactoresn
xxn = x x x
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EXPONENTES y RADICALES
17
La expresioacuten exponencial nx se llama potencia de x y se lee x a la eneacutesima potencia o x a la potencia n En la expresioacuten siguiente
nx Exponente
Base
x se llama base y n es el exponente Un exponente que sea nuacutemero natural indica cuaacutentas veces se usa la base de expresioacuten exponencial como factor de un producto por ejemplo
a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==
b) 32)2)(2)(2)(2)(2()2( 5 minus=minusminusminusminusminus=minus
c) 4()4(4 44 minus=minus=minus 4 4 256)4 minus=
d) 256)4)(4)(4)(4()4( 4 =minusminusminusminus=minus
e) 33
81
21
21
21
21 aaaaa =
=
f) 22
251
51
51
51 bbbb =
minus
minus=
minus
g) 35 xx indica que x se debe usar cinco veces como factor y 3x representa que x se debe usar tres veces como factor por lo que 35 xx se usaraacute ocho veces como factor xdefactores5 xdefactores3
xxx =35 x x x x X x x x =
xdefactores8 = x x x x x x x x
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EXPONENTES y RADICALES
18
En general
xdefactoresm xdefactoresn
xxx nm = x x x X x x x x = xdefactoresnm + = x x x x x Por lo tanto para multiplicar expresiones exponenciales con la misma base se
mantiene esa base y se suman los exponentes 221 REGLA DEL PRODUCTO PARA EXPONENTES
Si m y n son nuacutemeros naturales entonces nmnm xxx += Para desarrollar la regla de divisioacuten de las expresiones exponenciales se procede de la siguiente manera
nmnmnmn
mn
m
xxxxx
xxx minusminus+minus ===
= )(1
Por tanto para dividir dos expresiones exponenciales con la misma base distinta de cero se mantiene la base y se resta el exponente del denominador del exponente del numerador
NOTA La regla del producto para exponentes soacutelo se aplica a expresiones exponenciales que tienen la misma base Por ejemplo la expresioacuten 35 yx no se puede simplificar porque las bases de las expresiones exponenciales son diferentes Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)
minus 34
418 xx
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EXPONENTES y RADICALES
19
Solucioacuten
a) 16511511 xxxx == +
b) 15645645 aaaaa == ++
c) 67244324432443 bababbaababa === ++
d) 7343434 248
418
418 xxxxxx minus=
minus=
minus=
minus +
Para encontrar otra propiedad se simplificaraacute la expresioacuten 34 )(x que significa
que 4x se eleva al cubo o en su caso 4x se repite tres veces 4x 4x 4x Donde 4x 4x 4x
=34 )(x 4x 4x 4x = ( x x x x )( x x x x )( x x x x )= = 12444 xx =++ En general se tiene que
nxdefactoresn nxdefactoresmn
mnm xx =)( mx mx mx = x x x x x x = mnx
Asiacute para elevar una expresioacuten exponencial a una potencia se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes
Ejemplo
Si se eleva x3 al cuadrado se obtiene el siguiente resultado
( ) )3(3 2 xx = ))()(3)(3()3( xxx = = 222 93 xx = En general se tiene que
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EXPONENTES y RADICALES
20
xydefactoresn xdefactoresn ( ) ))()(( xyxyxyxy n = xxxxy =)( x yyy y = nn yx
ydefactoresn
Otra propiedad por ejemplo es elevar al cubo la siguiente expresioacuten 3x
Solucioacuten
33
3 xx=
3x
3x
= 27)3)(3)(3(
))()(( 3xxxx=
En general se tiene lo siguiente
yxdefactoresn
=
yx
yx
yx
yx
n
yx
( )0ney
xdefactoresn
)())()(()())()((
yyyyxxxx
= = n
n
yx
ydefactoresn Los tres resultados anteriores se llaman reglas de potencias de los exponentes Si m y n son nuacutemeros naturales entonces
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EXPONENTES y RADICALES
21
( ) mnnm xx = nnn yxxy =)( n
nn
yx
yx
=
)0( ney
Ejemplos
Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) ( )323 b) ( )511x c) ( )632xx d) ( ) ( )2342 xx e) ( )32 yx f) ( )443 yx g) 4
2
yx
h) 2
4
3
yx
Solucioacuten
a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===
b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==
c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +
d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +
e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===
f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==
g) ( ) 8
4
42
44
2 yx
yx
yx
==
( )0ney
h) ( )( ) 8
62
24
32
4
3
yx
yx
yx
==
( )0ney
Analizar la diferencia que existe entre nxminus y nx)(minus
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EXPONENTES y RADICALES
22
Solucioacuten
xdefactoresn xdefactoresn minus
(minus=minus nx x x x x ) y )())()(()( xxxxx n minusminusminusminus=minus
Tambieacuten es conveniente hacer notar la diferencia que existe entre nax y ( )nax donde
xdefactoresn axdefactoresn
aaxn = x x x x y )())()(()( axaxaxaxax n = 222 EL EXPONENTE CERO Cuando las reglas de los exponentes son vaacutelidas y si el exponente es igual a 0 (cero) se tiene lo siguiente nnnnn xxxxxx 1)1()1(00 ==== + Como nn xxx 10 = en consecuencia ( )010 ne= xx
El exponente cero si 10 0 =ne xentoncesx En general cualquier base distinta de cero elevada a la potencia cero es igual a 1 Tambieacuten
10 === minusn
nnn
xxxx
Si todas las bases son distintas de cero y el exponente es cero entonces
a) 150 =
b) ( ) 17 0 =minus
c) ( ) 1303 =ax
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EXPONENTES y RADICALES
23
d) 121 0
975 =
zyx
NOTA
00 es indefinido esto a consecuencia de que infin=00 223 EXPONENTES NEGATIVOS Las reglas de los exponentes son vaacutelidas tambieacuten cuando eacutestos son enteros negativos ( )010 ne=== +minusminus xxxxx nnnn
ya que nxminus 1=nx y nx
1 1=nx
Ademaacutes se define a nxminus como el reciacuteproco de nx Por lo que
nn
xx 1
=minus y nn x
x=
minus
1
NOTA De acuerdo con la definicioacuten de exponentes negativos la base no puede ser 0
Asiacute una expresioacuten como 50minus no estaacute definida por lo que
infin=minus50 Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 25minus b) 310minus c) ( ) 32 minusx d) 13 minusx e) 35xxminus f) ( ) 23 minusminusx Solucioacuten
a) 251
515 2
2 ==minus
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EXPONENTES y RADICALES
24
b) 1000
110110 3
3 ==minus
c) ( ) 33
3
81
21)2(
xxx ==minus
d) 33 1 =minusx xx31
=
e) 2
23535 1x
xxxx === minus+minusminus
f) ( ) 6)2)(3(23 xxx == minusminusminusminus
2224 REGLA DEL COCIENTE Si m y n son enteros entonces
( )0 ne= minus xxxx nm
n
m
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 3
5
aa
b) 11
5
xxminus
c) 5
34
minusxxx
d) ( )( )23
32
x
x e) 4
32
xyyx
f) 3
432
32
minus
baaba
Solucioacuten
a) 2353
5
aaaa
== minus
b) 16
1611511
5 1x
xxxx
=== minusminusminusminus
c) 12575
7
5
34
5
34
xxxxx
xx
xxx
====minusminus
+
minus
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EXPONENTES y RADICALES
25
d) ( )( )
( )( )
( )( ) 10666
6
23
32
23
32
===== minus xxxx
xx
xx
o en su caso
( )( )
( )( )
( )( ) 16
6
23
32
23
32
===xx
xx
xx
e) yxyxyxyyxx
xyyx
==== minusminusminusminusminus 11431243124
32
f) ( )( )
( )
)3)(4()3)(3()3)(middot2(
)3)(3(3)(2
3432
3323
432
32
baaba
baa
babaaba minusminusminus
==
= =
minus
1296
96
baaba
1221321
1215
96 1ba
bababa
=== minusminusminus
o en su caso
=
=
minusminus 3
45
323
432
32
baba
baaba
= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317
33
17
317 1111babababa
ba ===
=minusminus
El siguiente teorema indica que una fraccioacuten elevada a una potencia negativa se puede invertir y elevarse asiacute a una potencia positiva
Teorema Si n es un nuacutemero entero entonces
( )00 nene
=
minus
yxny
yx nn
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EXPONENTES y RADICALES
26
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 4
32 minus
b)
3
2
xy
c) 4
3
2
32
minus
minus
yx
d)
minus
432
32
baaba
Solucioacuten
a) ( )( ) 16
8123
23
32
4
444
==
=
minus
b) ( )( ) 6
9
)3)(2(
)3)(3(
32
333
2
33
3
2
yx
yx
yx
yx
xy
===
=
minus
c) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ====
=
minusminusminusminusminus
minus )4)(2(
)4)(3(
424
434
42
434
2
34
3
2
1681
23
23
23
32
xy
xy
xy
xy
yx
= 8
12
1681
xy minus
= 1681
8
12
xy minus
= 1281681
yx
d) ( )( )
( )( ) ===
=
minusminusminus
minusminus
)3)(3()3)(2(
)3)(4()3)(5(
332
3453
32
4323
432
32
baba
baba
babaa
baaba
= =minus 96
1215
baba 321912)6(15 babbaa =minusminusminus
23 RESUMEN Si no existen divisiones entre 0 (cero) entonces para enteros m y n cualesquiera
a) nmnm xxx += b) ( ) mnnm xx =
c) ( ) nnn yxxy =
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EXPONENTES y RADICALES
27
d) n
nn
yx
yx
=
e) ( )010 ne= xx
f) n
n
xx 1
=minus
g) nmn
m
xxx minus=
h) nn
xy
yx
=
minus
NOTA Las mismas reglas se aplican cuando los exponentes son variables 24 EJERCICIOS
1 Simplificar las siguientes expresiones
a) 24 b) 32 )(x c) 12 )( minusminusx d) 5
2
xx
e) 25minus
Solucioacuten a) 16)4)(4(42 == b) 6)3)(2(32 )( xxx == c) 2)1)(2(12 )( xxx == minusminusminusminus
o tambieacuten
222
22
21212
1)1)(1())(1(
111
111
)(1)( xxx
xxxx
x =======minusminus
minusminus
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EXPONENTES y RADICALES
28
d) 2253)5()3(53
5
3 1))((x
xxxxxxx
===== minusminusminus+minus
o tambieacuten 1 1 1
21
))()()()(())()((
))()()()(())()((
xxxxxxxxx
xxxxxxxx
== = 2minusx
e) 12
2 25251
515 minusminus ===
2 Simplificar las siguientes expresiones considerando que ninguno de los
denominadores sea igual a cero
a) 32
29
)(mmm minus
b) 43
32 )2(minus
minus
aaa
c)043
22 )3(xxx
xminus
minus
d) 042
2022
)4()(4
minus
minus
minusminus
yxyxx
e) 2
25
44
93
minus
minus
minusminus
yxyx
Solucioacuten
a) mmmmm
mm
mmm
===== minusminusminus
1676
7
)3)(2(
29
32
29
)(
b) 561
6
43
)3)(2(3
43
32 88))(8())(2()2(aa
aa
aaa
aaa
====minus
minus
minus
minus
minus
minus
c) 37
4
3)4(
4
322
4
043
22
91
99)1()1()3()3(
xxx
xxx
xxx
xxxx
====minus
minus
d) =minus
=minus
=minus
minus +minus
minus
minus
1)1(4
1)1(4
)4()(4 0222
042
2022 xxyx
yxx
414
1)1)(1(4
minus=minus
=minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
29
e) ( )( )
( )( ) =minusminus
=minusminus
=
minusminus
minus
minus
minusminus
minusminus
minus 224
225
225
2442
25
44
39
93
93
yxyx
yxyx
yxyx
= ( )
( ) ( ) ( )2
48
410
22242
22252
99
813
)()9( xyxyx
yxyx
==minusminus
minus
minus
minus
minus
3 Encontrar el valor numeacuterico de las siguientes expresiones con 2minus=x y
3=y para
a) 23 yx b) 3
3
yxminus
c) ( ) 22 minusxy d) 23 minusminus xy e) 23)( minusminus xy
Solucioacuten
a) ( ) ( ) 72)9)(8(32 2323 minus=minus=minus=yx
b) ( ) ( ) ( )( ) =minus
=minus
==minus
2781
3211
33333
3
yxyx
2161
2161
minus=minus
=
c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241
3211
2222
22 =minus
==minus
xyxy
d) ( ) ( )( ) 16
2722723 4
4323 minus=
minusminus
=minusminus=minus minusminusxy 1627
minus=
e) ( )( ) 4
272
3)()( 2
3
2
323 =
minus=
minus=minus minus
xyxy
3 RADICALES Con frecuencia en los problemas de aplicacioacuten se debe determinar queacute nuacutemero se puede elevar al cuadrado para obtener un segundo nuacutemero a Si se puede determinar a ese nuacutemero se le llama una raiacutez cuadrada de a Por ejemplo
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EXPONENTES y RADICALES
30
a) 0es una raiacutez cuadrada de 0 porque 002 = b) 4 es una raiacutez cuadrada de 16 porque 1642 = c) 4minus es una raiacutez cuadrada de 16 porque 16)4( 2 =minus d) xy7 es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy = e) xy7minus es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy =minus
31 RAIacuteZ CUADRADA DE a El nuacutemero b es una raiacutez cuadrada de a cuando 2 ab = Todos los nuacutemeros positivos tienen dos nuacutemeros reales que son sus raiacuteces cuadradas uno positivo y otro negativo El uacutenico nuacutemero con una sola raiacutez cuadrada es 0 cuya raiacutez cuadrada es 0 Ejemplo Determinar las dos raiacuteces cuadradas de 121 Solucioacuten Las dos raiacuteces cuadradas de 121son 11y 11minus porque 121112 = y 121)11( 2 =minus 32 RAIacuteZ CUADRADA PRINCIPAL Se llama signo radical al siacutembolo y a x el nuacutemero que se encuentran dentro del signo radical que se llama radicando Siacute x gt 0 la raiacutez principal de x es la raiacutez cuadrada positiva de x y se
representa con x La raiacutez cuadrada principal de 0 es 0 00 = NOTA Por definicioacuten el cuadrado principal de un nuacutemero positivo siempre es positivo Aunque 5 y 5minus son raiacuteces cuadradas de 25 soacutelo 5es la raiacutez cuadrada principal El radical
25 representa 5 El radical 25minus representa 5minus Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuadradas
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EXPONENTES y RADICALES
31
a) 11 =
b) 981 =
c) 981 minus=minus
d) 21
41=
e) 114
12116
minus=minus
f) 20040 =
g) 03000090 minus=minus
Los nuacutemeros como 1600491694 y se llaman cuadrados enteros porque cada uno de ellos es el cuadrado de un entero La raiacutez cuadrada de todo cuadrado entero es un nuacutemero racional Por ejemplo
4016007494163924 =====
Las raiacuteces cuadradas de muchos enteros positivos no son nuacutemeros racionales Por ejemplo 11 es un nuacutemero irracional cuyo valor aproximado ( )asymp es de
31662473 )3166247311( asymp Donde el siacutembolo asympquiere decir ldquoaproximadamente igual ardquo
Las raiacuteces cuadradas de nuacutemeros negativos no son nuacutemeros reales Por
ejemplo 9minus no es nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado al cuadrado es igual a 9minus Las raiacuteces cuadradas de los nuacutemeros negativos originan un conjunto llamado nuacutemeros imaginarios
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
32
33 RAIacuteCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE Si 0nex el nuacutemero positivo 2x tiene por raiacuteces a x y a xminus porque 22)( xx =
y 22)( xx =minus Para indicar la raiacutez cuadrada positiva de 2x se debe saber si x es positivo o negativo Si 0gtx se puede escribir lo siguiente xx =2 donde 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es x Si x es negativo entonces 0gtminus x es xx minus=2 ya que 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es xminus Si no se sabe si x es positivo o negativo se pueden emplear siacutembolos de valor absoluto para garantizar que 2x sea positiva xx =2 siempre y cuando x sea cualquier nuacutemero real Si x es cualquier nuacutemero real entonces
a) xxxx 44)4(16 22 ===
Por lo que escribir 216x en la forma 2)4( x siendo que ( ) 22 164 xx = Puesto que x podriacutea ser negativo Los siacutembolos de valor absoluto son necesarios ya que en el producto x4 4 es una constante positiva
b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2
+=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 4+x puede ser negativo por ejemplo cuando
8minus=x
c) ( ) 1112 22 +=+=++ xxxx Porque ( )211 +=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 1+x puede ser negativo por ejemplo cuando 5minus=x
d) 24 xx = porque ( ) 422 xx = Como 02 gex
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
33
34 RAIacuteCES CUacuteBICAS La raiacutez cuacutebica de x se representa por yx =3 si xy =3 Por ejemplo el nuacutemero 64 tiene dos raiacuteces cuadradas que son nuacutemeros reales 8 y 8minus Sin embargo 64 soacutelo tiene una raiacutez cuacutebica real que es el valor de 4 porque 4 es el uacutenico nuacutemero real cuyo cubo es 64 Por lo tanto
xx =3 3 Como todos los nuacutemeros reales tienen una y solo una raiacutez cuacutebica real algunas
de las cuales son positivas y otras negativas no es necesario emplear siacutembolos de valor absoluto al simplificar las raiacuteces cuacutebicas
Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuacutebicas
a) 3 125 b) 3
81
c) 3 327xminus d) 33
3
278
ba
minus e) 3 632160 yx
Solucioacuten a) 51253 = porque 125)5)(5)(5(53 ==
b) 21
81
3 = porque 81
21
21
21
21 3
=
=
c) xx 3273 3 minus=minus porque ( ) ( )( )( ) 33 273333 xxxxx minus=minusminusminus=minus
d) ba
ba
32
278
33
3
minus=minus porque 3
33
278
32
32
32
32
ba
ba
ba
ba
ba
minus=
minus
minus
minus=
minus
e) 23 63 602160 xyyx = porque
( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==
35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS Asiacute como existen raiacuteces cuadradas y raiacuteces cuacutebicas tambieacuten existen las raiacuteces cuartas raiacuteces quintas raiacuteces sextas etc
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
34
Cuando n es impar el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez impar Como todo nuacutemero real tiene una y soacutelo una raiacutez eneacutesima real cuando n es impar no es necesario preocuparse por los siacutembolos de valor absoluto cuando se calculan raiacuteces impares Ejemplo
a) 33243 5 55 == porque 24335 = b) ( ) xxx 227128 77 7 minus=minus=minus porque ( ) 77 1282 xx minus=minus
Cuando n es par el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez par En este caso habraacute una raiacutez eneacutesima positiva y una eneacutesima negativa Por ejemplo las dos raiacuteces sextas reales de 729 son 3 y 3minus porque
72936 = y 729)3( 6 =minus Cuando se determinan raiacuteces reales se emplean con frecuencia los siacutembolos de valor absoluto para garantizar que la eneacutesima raiacutez sea positiva Ejemplos
a) ( ) 3334 4 =minus=minus
Tambieacuten se puede simplificar de la siguiente manera ( ) 3813 44 4 ==minus
b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===
Los siacutembolos de valor absoluto garantizan que la raiacutez sexta es positiva
Generalizando se tienen las siguientes reglas Si x es un nuacutemero real y 1gtn entonces
a) Si n es un nuacutemero impar natural xxn n =
b) Si n es un nuacutemero par natural xxn n =
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
35
NOTA En el radical n x a n se le llama el iacutendice u orden del radical Cuando el iacutendice
es 2 el radical es una raiacutez cuadrada y se acostumbra no escribir el iacutendice Cuando n es par ( )2gtn y 0ltx el radical n x no es un nuacutemero real Por
ejemplo 4 81minus no es un nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado a la cuarta potencia es 81minus
Ejemplo
a) 56254 = porque 62554 = b) 2325 minus=minus porque ( ) 322 5 minus=minus
c) 21
641
6 = porque 641
21 6
=
36 EXPONENTES RACIONALES Los exponentes enteros positivos indican la cantidad de veces que se debe usar una base como factor en un producto Por ejemplo 5x significa que x se debe emplear cinco veces como factor ya que xdefactores5 ( )( )( )( )( )xxxxxx =5 Es posible elevar bases a potencias racionales (fraccionarias) cuando se desea que dichos exponentes respeten las mismas reglas que los coeficientes enteros el
cuadrado de 21
10 debe ser 10 porque
( )
10101010 1
2
212
21
===
Se mantiene la base y se multiplican los exponentes
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
36
( ) 112
212
21
=
=
10101 =
Sin embargo hay que recordar que ( ) 1010
2=
Como 2
21
10
y ( )210 son iguales a 10
Con esto se puede definir que 21
10 es igual a 10 Igualmente para
a) 31
10 como 3 10
b) 41
10 como 4 10
c) 51
10 como 5 10
Por lo que si n es un nuacutemero natural mayor que 1 y n x es un nuacutemero real entonces
nn xx =1
Ejemplo Resolver los siguientes radicales
a) 21
9 b) 21
916
minus c) ( )3
1
64minus d) 41
16 e) 51
321
f) 8
1
0 g) ( )51
232xminus
h) ( )41
xyz
Solucioacuten
a) 3999 221
===
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
37
b) 34
916
916
916
221
minus=minus=minus=
minus
c) ( ) 46464 331
minus=minus=minus
d) 21616 441
==
e) 21
321
321
551
==
f) 000 881
==
g) ( ) xxx 23232 5 551
5 minus=minus=minus
h) ( ) 441
xyzxyz =
i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes
fraccionarios
a) 4 5xyz b) 52
15xy
Solucioacuten
a) ( )41
4 55 xyzxyz =
b) 51
2
5
2
1515
=xyxy
37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1
Se puede ampliar la definicioacuten de nx1
para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
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EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
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EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
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EXPONENTES y RADICALES
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( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
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EXPONENTES y RADICALES
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5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
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3
que dicha cantidad seraacute multiplicada por si misma llamada base la cual se toma como factor
bbbbbbaaaa == 53
Cuando una letra no tiene exponente su exponente es la unidad
1111 xnmmnxaa ==
f) Signo de raiacutez es y bajo este signo se coloca la cantidad a la cual se le extrae la raiacutez Asiacute a equivale a la raiacutez cuadrada de a cuya cantidad que elevada al cuadrado reproduce la cantidad de a Tambieacuten 3 b equivale a la raiacutez cuacutebica de b que al ser elevada al cubo reproduce la cantidad de b
2 Signos de relacioacuten
Se emplean estos signos para indicar la relacioacuten que existe entre dos cantidades Los principales son a) Signo de igual es = que se lee igual a
ba = (se lee ldquoa igual a b rdquo)
b) Signo de mayor es gt que se lee mayor que
ba gt ( se lee ldquoa mayor que b rdquo)
c) Signo de mayor e igual ge que se lee mayor o igual que
ba ge (se lee ldquoa mayor o igual que b rdquo)
d) Signo de menor lt que se lee menor que
ba lt ( se lee ldquoa menor que b rdquo)
e) Signo de menor e igual le que se lee menor o igual que
ba le ( se lee ldquoa menor o igual que b rdquo)
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4
3 Signos de agrupacioacuten
Los signos de agrupacioacuten indican que la operacioacuten colocada entre ellos debe efectuarse primero Estos signos son los siguientes a) El pareacutentesis ordinario ( ) b) El corchete [ ] c) Las llaves y d) La barra o viacutenculo Asiacute cba )( + indica que el resultado de la suma de a y b debe multiplicarse por c [ ]mba minus indica que la diferencia entre a y b debe multiplicarse por m y ba + dc minus indica que la suma de a y bdebe dividirse entre la diferencia c y d
En el producto de dos factores cualquiera de los factores es llamado coeficiente del otro factor Asiacute en el producto a5 el factor 5 es coeficiente del factor a e indica que el factor a se toma como sumando cinco veces ya que a5 aaaaa ++++= En el producto b4 el factor 4 es coeficiente de b e indica que bbbbb +++=4 Siendo estos coeficientes numeacutericos En el producto ab el factor a es coeficiente del factor b e indica que el factor b se toma como sumando a veces es decir bbbbbab +++++= veces Este es un coeficiente literal
a En el producto de maacutes de dos factores uno o varios de ellos son el coeficiente de los restantes Asiacute en el producto abcd a es el coeficiente de bcd ab es el coeficiente de cd abc es el coeficiente de d Cuando una cantidad no tiene coeficiente numeacuterico su coeficiente es la unidad Asiacute b equivale a b1 abc equivale a abc1 12 LOS NUacuteMEROS ALGEBRAICOS
Muchas magnitudes pueden considerarse en dos sentidos opuestos asiacute en el comercio puede hablarse de peacuterdidas y de ganancias existen temperaturas sobre cero y bajo cero existen regiones sobre el nivel del mar y bajo dicho nivel se hace referencia a fechas posteriores a cierta edad o anteriores a ella en la superficie de la tierra hay lugares de latitud norte y de latitud sur etc
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5
Las peacuterdidas y las ganancias las temperaturas sobre cero o bajo cero etc constituyen evidentemente diferentes clases de cantidades Los nuacutemeros con que se designan las ganancias las temperaturas sobre cero las latitudes norte etc se llaman nuacutemeros positivos y se indican convencionalmente anteponieacutendoles el signo + como
5+ Los nuacutemeros que sirven para identificar peacuterdidas temperaturas bajo cero
latitudes sur etc se llaman nuacutemeros negativos y se ha convenido en representarlos anteponieacutendoles el signo ndash Asiacute ( )250minus pesos representa una peacuterdida ( )5minus grados referido a temperatura indica 5grados bajo cero 18minus grados de latitud indica un lugar situado en el hemisferio sur
Si un nuacutemero no estaacute precedido de ninguacuten signo se considera como positivo por
tanto 26 es lo mismo que 26+ Llaacutemense nuacutemeros algebraicos el conjunto de los nuacutemeros positivos y negativos
incluyendo el cero
Recta numeacuterica o eje de los nuacutemeros reales (R)
121 VALOR ABSOLUTO El valor absoluto o moacutedulo de un nuacutemero algebraico es el valor aritmeacutetico de ese nuacutemero Este valor es el que se obtiene suprimiendo el signo v gr el moacutedulo de 3+ es 3 y el de 7minus es 7
El valor absoluto de un nuacutemero se representa escribiendo dicho nuacutemero entre dos rayas verticales como 55 =+ 66 =minus Que se leen respectivamente valor absoluto de 55 =+ y valor absoluto de
66 =minus NOTA Como se observa todo nuacutemero positivo es igual a su valor absoluto
122 NUacuteMEROS IGUALES DESIGUALES Y SIMEacuteTRICOS
Dos nuacutemeros algebraicos son iguales cuando tienen el mismo valor absoluto e
igual signo como
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10X
-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10X O
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6
4+ y 4+ 3minus y 3minus
Dos nuacutemeros algebraicos son desiguales cuando difieren por el signo por el
moacutedulo o por el signo y el moacutedulo La desigualdad se indica por el signo ne que se lee no igual a o diferente de Asiacute
545833 minusne++ne++neminus
Dos nuacutemeros algebraicos son simeacutetricos cuando soacutelo difieren por el signo Asiacute 10+ y 10minus
3minus y 3+ aminus y a+ son simeacutetricos
1221 SUMA o ADICIOacuteN
Sumar )5(+ con )7(+ Para efectuar esta operacioacuten aritmeacutetica se puede partir
del valor 5+ y localizarlo en la escala de los nuacutemeros de la recta numeacuterica XrsquoX seguidamente contar 7 divisiones a la derecha asiacute se alcanza el 12
12)7()5( =+++ o simplemente 1275 =+
Para sumar )6(minus con )3(minus se parte de 3minus y se cuentan 6 divisiones a la
izquierda asiacute se llega al punto 9minus por lo que
)9()6()3( minus=minus+minus o simplemente 963 minus=minusminus De esto se deduce lo siguiente para sumar nuacutemeros algebraicos del mismo
signo se suman sus moacutedulos y a la suma se le da el signo de los sumandos Para sumar )6(+ con )9(minus se parte de 9minus y se cuentan 6 divisiones a la
derecha hasta llegar a 3minus Ya que
)3()6()9( minus=++minus o simplemente 369 minus=+minus Del mismo modo se obtendraacute
538)3()8( =minus=minus++
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EXPONENTES y RADICALES
7
Por tanto para sumar dos nuacutemeros algebraicos de distinto signo se resta el moacutedulo menor del mayor y a la diferencia se le da el signo del nuacutemero de mayor moacutedulo
La suma de varios nuacutemeros algebraicos de diferentes signos se reduce a los dos
casos anteriores ya que basta agrupar por separado todos los positivos y todos los negativos aplicando la suma y la resta para finalmente adicionarlos
=minus+++minus++ )2()4()5()7(
Agrupando los signos iguales
4711)2()5()4()7( =minus=minus+minus++++
1222 RESTA o SUSTRACCIOacuteN La resta es la operacioacuten inversa de la suma por lo tanto para restar nuacutemeros
algebraicos se procede a la inversa de coacutemo se hace para sumar Sea restar )5(+ de )8(+ Para efectuar esta operacioacuten se parte de 8 y se
recorren 5divisiones a la izquierda llegaacutendose al punto 3
358)5()8( =minus=+minus+ Para restar )2(+ de )3(minus se parte de 3minus y se cuentan 2 unidades a la
izquierda llegaacutendose al punto 5minus
523)2()3( minus==minusminus=+minusminus Para restar )8(minus de )3(minus se parte de 3minus y se cuentan 8 unidades a la derecha
se llega asiacute al punto 5
583)8()3( =+minus=minusminusminus
13 REGLA DE LOS SIGNOS DEL PRODUCTO A continuacioacuten se enuncia la regla de los signos del producto
a) El producto de dos nuacutemeros algebraicos de mismo signo es positivo b) El producto de dos nuacutemeros algebraicos de distinto signo es negativo
Este resultado puede indicarse simboacutelicamente como se indica a continuacioacuten
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EXPONENTES y RADICALES
8
+=minusminus+=++
))(())((
minus=+minusminus=minus+
))(())((
En la multiplicacioacuten o producto de nuacutemeros algebraicos se pueden distinguir dos
casos
1 Multiplicar dos nuacutemeros positivos como )5)(3( ++
Al considerar 3 como coeficiente la operacioacuten equivale a tomar 3 sumandos iguales a )5(+ por tanto
15555)5()5()5()5)(3( =++=+++++=++ Como se nota este caso no difiere del de la multiplicacioacuten de nuacutemeros aritmeacuteticos
Ejemplo
Multiplicar dos nuacutemeros de diferente signo a) )5)(3( minus+ y b) )5)(3( +minus
Solucioacuten
a) En el producto )5)(3( minus+ considerando a )3(+ como coeficiente la operacioacuten indicada equivale a tomar 3 sumandos iguales a 5minus
15)5()5()5()5)(3( minus=minus+minus+minus=minus+
b) En el producto )5)(3( +minus donde )3(minus se considera como coeficiente la
operacioacuten indicada equivale a tomar negativamente 3sumandos iguales a )5(+
15)5()5()5()5)(3( minus=+minus+minus+minus=+minus
Resultado que como se observa es igual al anterior
2 Multiplicar dos nuacutemeros negativos como )5)(3( minusminus
Este caso es una combinacioacuten de a) y de b) del caso anterior ya que equivale a tomar negativamente 3 sumandos iguales a )5(minus
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EXPONENTES y RADICALES
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15)5()5()5()5)(3( =minusminusminusminusminusminus=minusminus
14 REGLA DE LOS SIGNOS DEL COCIENTE El anaacutelisis de los signos indicado en los ejemplos anteriores de este subtema permiten formular la siguiente regla
a) El cociente de dos nuacutemeros algebraicos de mismo signo es positivo b) El cociente de dos nuacutemeros algebraicos de distinto signo es negativo
Esta regla puede indicarse simboacutelicamente de la siguiente manera
+=++
)()(
+=minusminus
)()(
minus=minus+
)()(
minus=+minus
)()(
La divisioacuten es una operacioacuten inversa de la multiplicacioacuten que tiene por objeto
hallar uno de dos factores (cociente) cuando se conoce su producto (dividendo) y el otro factor (divisor) Por tanto para dividir se procede a la inversa de coacutemo se hace en la multiplicacioacuten
Suelen considerarse los mismos casos que en la multiplicacioacuten los cuales
pueden resumirse como se indica seguidamente 1
)4)(5(204)5()20(
=+=++ porque y 4
)5()4)(5(=
1
)4)(5(204)5()20(
minusminus=minus=minus+ porque y 4
)5()4)(5(
minus=minusminusminus
20)5)(4(4)5()20(
minus=+minusminus=+minus porque
20)5)(4(4)5()20(
minus=minus++=minusminus porque
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EXPONENTES y RADICALES
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15 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Sea el siguiente rectaacutengulo ABCD el cual tiene 5 centiacutemetros (cm) de largo y 3 centiacutemetros de ancho como se indica en la siguiente figura geomeacutetrica
En esta figura geomeacutetrica se pueden formar 3 fajas de 5 centiacutemetros de largo por 1 centiacutemetro de ancho cada faja puede dividirse en cinco cuadritos de 1 centiacutemetro de largo y 1 centiacutemetro de ancho Las tres fajas juntas constan de 5 X 153 = 2cm que es el aacuterea del rectaacutengulo
El resultado se expresa diciendo el aacuterea de un rectaacutengulo es igual al producto de la base por la altura Esta expresioacuten puede abreviarse de la siguiente manera Aacuterea = base X altura La cual puede ser representada por las literales =A aacuterea =b base y a = altura Por lo que
bA = X a
Dicha abreviacioacuten a su vez resulta maacutes corta si se suprime el signo X y asiacute queda la expresioacuten baA =
Dicha expresioacuten se llama foacutermula algebraica Toda foacutermula es una regla expresada por medio de siacutembolos e indica las
operaciones que deben de efectuarse con los nuacutemeros representados por las literales para obtener ciertos resultados [Anfosi Agustiacuten Paacuteg 2]
Asiacute el rectaacutengulo constaraacute de n fajas de 25 cm cada una y el aacuterea seraacute de
5=A X n = ][5 2cmn
5 cm de largo
3 cm
de
anch
o
A B
CD
B
CD
5 cm A
3 cm
1 cm
1 cm
1 cm2
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EXPONENTES y RADICALES
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De la foacutermula para obtener el aacuterea del rectaacutengulo baA= se deducen las siguientes transformaciones de dicha expresioacuten
aAb = y
bAa =
Donde para la primera expresioacuten conocida el aacuterea del rectaacutengulo y su altura se puede saber su base y para la segunda expresioacuten conocida el aacuterea del rectaacutengulo y su base se puede obtener su altura
El aacuterea de un rectaacutengulo de base b y altura a es ba El aacuterea de tres rectaacutengulos iguales al anterior es babababa 3=++
El volumen de un paralelepiacutepedo en que las dimensiones de la base son b y a
y la altura es c es bac
El volumen de dos paralelepiacutepedos iguales al anterior es bacbacbac 2=+
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EXPONENTES y RADICALES
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El duplo se escribe a2 el triple de b se escribe b3 el cuaacutedruplo de 3a
3
4 a el
quiacutentuplo de c c5 etc Asiacute se tiene aaa +=2 bbbb ++=3
33333
4 aaaaa+++=
cccccc ++++=5 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
)( eaigualessumandosneeene ++++= En las expresiones anteriores ny5432 se llaman coeficientes El coeficiente es el nuacutemero o la literal que indica cuaacutentos sumandos iguales se toman Los cuatro primeros son numeacutericos y el uacuteltimo es literal
Ejemplo a) Representar la edad de cada uno de los miembros de la familia de Carlos Se
sabe que la edad de la hermana es dos tercios de la de Carlos la de la madre el triple la del padre cuatro veces y la del abuelo es igual a la suma de las edades del padre y de la madre
Solucioacuten La edad de Carlos es = a
La edad de la hermana es = a32
La edad de la madre es = a3 La edad del padre es = a4 Y la edad del abuelo es = aa 43 +
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EXPONENTES y RADICALES
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b) A continuacioacuten se presenta un plano de una parte de un piso cuyas dimensiones estaacuten expresadas en el mismo
En este plano se observa que la longitud de este piso se puede expresar como ba+=8 de donde ba minus= 8 Y que el ancho es ihdc +=+
En estos dos ejemplos aparecen expresiones que son combinaciones de
nuacutemeros y literales separadas por los signos de las operaciones matemaacuteticas (aritmeacuteticas) Estas expresiones reciben el nombre de expresiones algebraicas 141 TEacuteRMINOS Y COEFICIENTES Sea la siguiente expresioacuten algebraica la cual estaacute formada por cinco sumandos
babbaa 3212
35
++++
Se llama teacutermino de una expresioacuten algebraica a cada uno de dichos sumandos Asiacute a2 es una expresioacuten algebraica de un teacutermino ba +3 es una expresioacuten algebraica de dos teacuterminos 123 ++ aab es una expresioacuten algebraica de tres teacuterminos Donde cada teacutermino consta de una parte numeacuterica (coeficiente del teacutermino) y otra literal Asiacute a2 es un teacutermino de coeficiente 2 y parte literal a
ab23
es un teacutermino de coeficiente 23
y parte literal ab
a b
c
e
d
h
i
8
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EXPONENTES y RADICALES
14
2xy es un teacutermino de coeficiente 1 y parte literal 2xy
Ejemplo Representar la edad de cada uno de los miembros de la familia de Carlos Se sabe que la edad de la hermana es dos tercios de la edad de Carlos la de la madre el triple la del padre cuatro veces y la del abuelo es igual a la suma de las edades del padre y la madre Solucioacuten Las expresiones algebraicas seraacuten las siguientes La edad de Carlos = a
La edad de la hermana = a32
La edad de la madre = a3 La edad del padre = a4 Y la edad del abuelo = aa 43 + A continuacioacuten se presenta el valor numeacuterico de cada una de las expresiones algebraicas si se sabe que la edad de Carlos es de 9 antildeos es decir 9=a La edad de Carlos = 9 antildeos
La edad de la hermana = 63
183
)9)(2()9(32
=== antildeos
La edad de la madre = 27)9(3 = antildeos La edad del padre = 36)9(4 = antildeos Y la edad del abuelo = 633627)9(4)9(3 =+=+ antildeos Nota
Si la edad de Carlos fuera otra los valores numeacutericos de cada una de las expresiones algebraicas seriacutean distintos
El valor numeacuterico de una expresioacuten algebraica no es uacutenico ya que depende del valor que se le deacute a la literal o letra(s) que en ella intervengan
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EXPONENTES y RADICALES
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2 EXPONENTES Considere el caso especial de la multiplicacioacuten en el que todos los factores que se van a multiplicar son iguales Asiacute si se multiplica el nuacutemero a por siacute mismo se obtiene el producto aa el cual generalmente se escribe en la forma 2a En general el producto de n factores cada uno de ellos iguales a a se escribe en la forma na recibiendo el nuacutemero entero y positivo n el nombre de exponente En este caso se dice que se ha elevado el nuacutemero a a la eneacutesima potencia operacioacuten que recibe el nombre de potenciacioacuten 21 POTENCIACIOacuteN La potencia de una expresioacuten algebraica es la misma expresioacuten o el resultado de tomarla como factor dos o maacutes veces Asiacute la primera potencia de una expresioacuten es la misma expresioacuten como se indica a continuacioacuten aa 2)2( 1 =
La segunda potencia o cuadrado de una expresioacuten es el resultado de tomarla como factor dos veces Por lo que
22 4))()(2)(2()2)(2()2( aaaaaa === El cubo de una expresioacuten es el resultado de tomarla como factor tres veces por
ejemplo
33 8))()()(2)(2)(2()2)(2)(2()2( aaaaaaaa === Y en forma general ( ) ( )( )( ) vecesnaaaa n
2222 = 211 POTENCIA DE UN MONOMIO Para elevar un monomio a una potencia se eleva su coeficiente a esa potencia y se multiplica el exponente de cada letra por el exponente que indica la potencia Ejemplo Desarrollar las siguientes expresiones algebraicas
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EXPONENTES y RADICALES
16
a) 32 )3( ab b) 343 )5( yxminus c) 4
232
minus
yx
d) 5
43
32
minus ba
Solucioacuten
a) 63)3)(2()3)(1(32333 2727)()()3()3( bababaab ===
b) =minus=minus=minus )3)(4()3)(3(34333343 125)()()5()5( yxyxyx 129125 yxminus
c) 8
4
)4)(2(
)4)(1(
4
44
2
44
2 8116
)()(
)3()2(
32
32
yx
yx
yx
yx
=minus
=
minus=
minus
d) ( ) ( ) =minus
=
minus=
minus 543
5
5543
5543
)3()2(
32
32 bababa
2015)5)(4()5)(3(5
5
24332)()(
)3()2( baba minus=
minus=
2111 PROPIEDADES
Los exponentes indican multiplicacioacuten repetida por ejemplo
a) yy =2 ))(( yyy =
Donde 2y se lee y a la segunda potencia o y al cuadrado b) zz =3 z z = ))()(( zzz se lee z a la tercera potencia o z al cubo c) xx =4 x x x = ))()()(( xxxx se lee x a la cuarta potencia
22 EXPONENTES DE NUacuteMEROS REALES
Si n es un nuacutemero real entonces
xdefactoresn
xxn = x x x
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EXPONENTES y RADICALES
17
La expresioacuten exponencial nx se llama potencia de x y se lee x a la eneacutesima potencia o x a la potencia n En la expresioacuten siguiente
nx Exponente
Base
x se llama base y n es el exponente Un exponente que sea nuacutemero natural indica cuaacutentas veces se usa la base de expresioacuten exponencial como factor de un producto por ejemplo
a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==
b) 32)2)(2)(2)(2)(2()2( 5 minus=minusminusminusminusminus=minus
c) 4()4(4 44 minus=minus=minus 4 4 256)4 minus=
d) 256)4)(4)(4)(4()4( 4 =minusminusminusminus=minus
e) 33
81
21
21
21
21 aaaaa =
=
f) 22
251
51
51
51 bbbb =
minus
minus=
minus
g) 35 xx indica que x se debe usar cinco veces como factor y 3x representa que x se debe usar tres veces como factor por lo que 35 xx se usaraacute ocho veces como factor xdefactores5 xdefactores3
xxx =35 x x x x X x x x =
xdefactores8 = x x x x x x x x
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EXPONENTES y RADICALES
18
En general
xdefactoresm xdefactoresn
xxx nm = x x x X x x x x = xdefactoresnm + = x x x x x Por lo tanto para multiplicar expresiones exponenciales con la misma base se
mantiene esa base y se suman los exponentes 221 REGLA DEL PRODUCTO PARA EXPONENTES
Si m y n son nuacutemeros naturales entonces nmnm xxx += Para desarrollar la regla de divisioacuten de las expresiones exponenciales se procede de la siguiente manera
nmnmnmn
mn
m
xxxxx
xxx minusminus+minus ===
= )(1
Por tanto para dividir dos expresiones exponenciales con la misma base distinta de cero se mantiene la base y se resta el exponente del denominador del exponente del numerador
NOTA La regla del producto para exponentes soacutelo se aplica a expresiones exponenciales que tienen la misma base Por ejemplo la expresioacuten 35 yx no se puede simplificar porque las bases de las expresiones exponenciales son diferentes Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)
minus 34
418 xx
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EXPONENTES y RADICALES
19
Solucioacuten
a) 16511511 xxxx == +
b) 15645645 aaaaa == ++
c) 67244324432443 bababbaababa === ++
d) 7343434 248
418
418 xxxxxx minus=
minus=
minus=
minus +
Para encontrar otra propiedad se simplificaraacute la expresioacuten 34 )(x que significa
que 4x se eleva al cubo o en su caso 4x se repite tres veces 4x 4x 4x Donde 4x 4x 4x
=34 )(x 4x 4x 4x = ( x x x x )( x x x x )( x x x x )= = 12444 xx =++ En general se tiene que
nxdefactoresn nxdefactoresmn
mnm xx =)( mx mx mx = x x x x x x = mnx
Asiacute para elevar una expresioacuten exponencial a una potencia se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes
Ejemplo
Si se eleva x3 al cuadrado se obtiene el siguiente resultado
( ) )3(3 2 xx = ))()(3)(3()3( xxx = = 222 93 xx = En general se tiene que
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EXPONENTES y RADICALES
20
xydefactoresn xdefactoresn ( ) ))()(( xyxyxyxy n = xxxxy =)( x yyy y = nn yx
ydefactoresn
Otra propiedad por ejemplo es elevar al cubo la siguiente expresioacuten 3x
Solucioacuten
33
3 xx=
3x
3x
= 27)3)(3)(3(
))()(( 3xxxx=
En general se tiene lo siguiente
yxdefactoresn
=
yx
yx
yx
yx
n
yx
( )0ney
xdefactoresn
)())()(()())()((
yyyyxxxx
= = n
n
yx
ydefactoresn Los tres resultados anteriores se llaman reglas de potencias de los exponentes Si m y n son nuacutemeros naturales entonces
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EXPONENTES y RADICALES
21
( ) mnnm xx = nnn yxxy =)( n
nn
yx
yx
=
)0( ney
Ejemplos
Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) ( )323 b) ( )511x c) ( )632xx d) ( ) ( )2342 xx e) ( )32 yx f) ( )443 yx g) 4
2
yx
h) 2
4
3
yx
Solucioacuten
a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===
b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==
c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +
d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +
e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===
f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==
g) ( ) 8
4
42
44
2 yx
yx
yx
==
( )0ney
h) ( )( ) 8
62
24
32
4
3
yx
yx
yx
==
( )0ney
Analizar la diferencia que existe entre nxminus y nx)(minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
22
Solucioacuten
xdefactoresn xdefactoresn minus
(minus=minus nx x x x x ) y )())()(()( xxxxx n minusminusminusminus=minus
Tambieacuten es conveniente hacer notar la diferencia que existe entre nax y ( )nax donde
xdefactoresn axdefactoresn
aaxn = x x x x y )())()(()( axaxaxaxax n = 222 EL EXPONENTE CERO Cuando las reglas de los exponentes son vaacutelidas y si el exponente es igual a 0 (cero) se tiene lo siguiente nnnnn xxxxxx 1)1()1(00 ==== + Como nn xxx 10 = en consecuencia ( )010 ne= xx
El exponente cero si 10 0 =ne xentoncesx En general cualquier base distinta de cero elevada a la potencia cero es igual a 1 Tambieacuten
10 === minusn
nnn
xxxx
Si todas las bases son distintas de cero y el exponente es cero entonces
a) 150 =
b) ( ) 17 0 =minus
c) ( ) 1303 =ax
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
23
d) 121 0
975 =
zyx
NOTA
00 es indefinido esto a consecuencia de que infin=00 223 EXPONENTES NEGATIVOS Las reglas de los exponentes son vaacutelidas tambieacuten cuando eacutestos son enteros negativos ( )010 ne=== +minusminus xxxxx nnnn
ya que nxminus 1=nx y nx
1 1=nx
Ademaacutes se define a nxminus como el reciacuteproco de nx Por lo que
nn
xx 1
=minus y nn x
x=
minus
1
NOTA De acuerdo con la definicioacuten de exponentes negativos la base no puede ser 0
Asiacute una expresioacuten como 50minus no estaacute definida por lo que
infin=minus50 Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 25minus b) 310minus c) ( ) 32 minusx d) 13 minusx e) 35xxminus f) ( ) 23 minusminusx Solucioacuten
a) 251
515 2
2 ==minus
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EXPONENTES y RADICALES
24
b) 1000
110110 3
3 ==minus
c) ( ) 33
3
81
21)2(
xxx ==minus
d) 33 1 =minusx xx31
=
e) 2
23535 1x
xxxx === minus+minusminus
f) ( ) 6)2)(3(23 xxx == minusminusminusminus
2224 REGLA DEL COCIENTE Si m y n son enteros entonces
( )0 ne= minus xxxx nm
n
m
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 3
5
aa
b) 11
5
xxminus
c) 5
34
minusxxx
d) ( )( )23
32
x
x e) 4
32
xyyx
f) 3
432
32
minus
baaba
Solucioacuten
a) 2353
5
aaaa
== minus
b) 16
1611511
5 1x
xxxx
=== minusminusminusminus
c) 12575
7
5
34
5
34
xxxxx
xx
xxx
====minusminus
+
minus
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EXPONENTES y RADICALES
25
d) ( )( )
( )( )
( )( ) 10666
6
23
32
23
32
===== minus xxxx
xx
xx
o en su caso
( )( )
( )( )
( )( ) 16
6
23
32
23
32
===xx
xx
xx
e) yxyxyxyyxx
xyyx
==== minusminusminusminusminus 11431243124
32
f) ( )( )
( )
)3)(4()3)(3()3)(middot2(
)3)(3(3)(2
3432
3323
432
32
baaba
baa
babaaba minusminusminus
==
= =
minus
1296
96
baaba
1221321
1215
96 1ba
bababa
=== minusminusminus
o en su caso
=
=
minusminus 3
45
323
432
32
baba
baaba
= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317
33
17
317 1111babababa
ba ===
=minusminus
El siguiente teorema indica que una fraccioacuten elevada a una potencia negativa se puede invertir y elevarse asiacute a una potencia positiva
Teorema Si n es un nuacutemero entero entonces
( )00 nene
=
minus
yxny
yx nn
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EXPONENTES y RADICALES
26
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 4
32 minus
b)
3
2
xy
c) 4
3
2
32
minus
minus
yx
d)
minus
432
32
baaba
Solucioacuten
a) ( )( ) 16
8123
23
32
4
444
==
=
minus
b) ( )( ) 6
9
)3)(2(
)3)(3(
32
333
2
33
3
2
yx
yx
yx
yx
xy
===
=
minus
c) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ====
=
minusminusminusminusminus
minus )4)(2(
)4)(3(
424
434
42
434
2
34
3
2
1681
23
23
23
32
xy
xy
xy
xy
yx
= 8
12
1681
xy minus
= 1681
8
12
xy minus
= 1281681
yx
d) ( )( )
( )( ) ===
=
minusminusminus
minusminus
)3)(3()3)(2(
)3)(4()3)(5(
332
3453
32
4323
432
32
baba
baba
babaa
baaba
= =minus 96
1215
baba 321912)6(15 babbaa =minusminusminus
23 RESUMEN Si no existen divisiones entre 0 (cero) entonces para enteros m y n cualesquiera
a) nmnm xxx += b) ( ) mnnm xx =
c) ( ) nnn yxxy =
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EXPONENTES y RADICALES
27
d) n
nn
yx
yx
=
e) ( )010 ne= xx
f) n
n
xx 1
=minus
g) nmn
m
xxx minus=
h) nn
xy
yx
=
minus
NOTA Las mismas reglas se aplican cuando los exponentes son variables 24 EJERCICIOS
1 Simplificar las siguientes expresiones
a) 24 b) 32 )(x c) 12 )( minusminusx d) 5
2
xx
e) 25minus
Solucioacuten a) 16)4)(4(42 == b) 6)3)(2(32 )( xxx == c) 2)1)(2(12 )( xxx == minusminusminusminus
o tambieacuten
222
22
21212
1)1)(1())(1(
111
111
)(1)( xxx
xxxx
x =======minusminus
minusminus
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EXPONENTES y RADICALES
28
d) 2253)5()3(53
5
3 1))((x
xxxxxxx
===== minusminusminus+minus
o tambieacuten 1 1 1
21
))()()()(())()((
))()()()(())()((
xxxxxxxxx
xxxxxxxx
== = 2minusx
e) 12
2 25251
515 minusminus ===
2 Simplificar las siguientes expresiones considerando que ninguno de los
denominadores sea igual a cero
a) 32
29
)(mmm minus
b) 43
32 )2(minus
minus
aaa
c)043
22 )3(xxx
xminus
minus
d) 042
2022
)4()(4
minus
minus
minusminus
yxyxx
e) 2
25
44
93
minus
minus
minusminus
yxyx
Solucioacuten
a) mmmmm
mm
mmm
===== minusminusminus
1676
7
)3)(2(
29
32
29
)(
b) 561
6
43
)3)(2(3
43
32 88))(8())(2()2(aa
aa
aaa
aaa
====minus
minus
minus
minus
minus
minus
c) 37
4
3)4(
4
322
4
043
22
91
99)1()1()3()3(
xxx
xxx
xxx
xxxx
====minus
minus
d) =minus
=minus
=minus
minus +minus
minus
minus
1)1(4
1)1(4
)4()(4 0222
042
2022 xxyx
yxx
414
1)1)(1(4
minus=minus
=minus
=
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
29
e) ( )( )
( )( ) =minusminus
=minusminus
=
minusminus
minus
minus
minusminus
minusminus
minus 224
225
225
2442
25
44
39
93
93
yxyx
yxyx
yxyx
= ( )
( ) ( ) ( )2
48
410
22242
22252
99
813
)()9( xyxyx
yxyx
==minusminus
minus
minus
minus
minus
3 Encontrar el valor numeacuterico de las siguientes expresiones con 2minus=x y
3=y para
a) 23 yx b) 3
3
yxminus
c) ( ) 22 minusxy d) 23 minusminus xy e) 23)( minusminus xy
Solucioacuten
a) ( ) ( ) 72)9)(8(32 2323 minus=minus=minus=yx
b) ( ) ( ) ( )( ) =minus
=minus
==minus
2781
3211
33333
3
yxyx
2161
2161
minus=minus
=
c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241
3211
2222
22 =minus
==minus
xyxy
d) ( ) ( )( ) 16
2722723 4
4323 minus=
minusminus
=minusminus=minus minusminusxy 1627
minus=
e) ( )( ) 4
272
3)()( 2
3
2
323 =
minus=
minus=minus minus
xyxy
3 RADICALES Con frecuencia en los problemas de aplicacioacuten se debe determinar queacute nuacutemero se puede elevar al cuadrado para obtener un segundo nuacutemero a Si se puede determinar a ese nuacutemero se le llama una raiacutez cuadrada de a Por ejemplo
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
30
a) 0es una raiacutez cuadrada de 0 porque 002 = b) 4 es una raiacutez cuadrada de 16 porque 1642 = c) 4minus es una raiacutez cuadrada de 16 porque 16)4( 2 =minus d) xy7 es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy = e) xy7minus es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy =minus
31 RAIacuteZ CUADRADA DE a El nuacutemero b es una raiacutez cuadrada de a cuando 2 ab = Todos los nuacutemeros positivos tienen dos nuacutemeros reales que son sus raiacuteces cuadradas uno positivo y otro negativo El uacutenico nuacutemero con una sola raiacutez cuadrada es 0 cuya raiacutez cuadrada es 0 Ejemplo Determinar las dos raiacuteces cuadradas de 121 Solucioacuten Las dos raiacuteces cuadradas de 121son 11y 11minus porque 121112 = y 121)11( 2 =minus 32 RAIacuteZ CUADRADA PRINCIPAL Se llama signo radical al siacutembolo y a x el nuacutemero que se encuentran dentro del signo radical que se llama radicando Siacute x gt 0 la raiacutez principal de x es la raiacutez cuadrada positiva de x y se
representa con x La raiacutez cuadrada principal de 0 es 0 00 = NOTA Por definicioacuten el cuadrado principal de un nuacutemero positivo siempre es positivo Aunque 5 y 5minus son raiacuteces cuadradas de 25 soacutelo 5es la raiacutez cuadrada principal El radical
25 representa 5 El radical 25minus representa 5minus Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuadradas
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
31
a) 11 =
b) 981 =
c) 981 minus=minus
d) 21
41=
e) 114
12116
minus=minus
f) 20040 =
g) 03000090 minus=minus
Los nuacutemeros como 1600491694 y se llaman cuadrados enteros porque cada uno de ellos es el cuadrado de un entero La raiacutez cuadrada de todo cuadrado entero es un nuacutemero racional Por ejemplo
4016007494163924 =====
Las raiacuteces cuadradas de muchos enteros positivos no son nuacutemeros racionales Por ejemplo 11 es un nuacutemero irracional cuyo valor aproximado ( )asymp es de
31662473 )3166247311( asymp Donde el siacutembolo asympquiere decir ldquoaproximadamente igual ardquo
Las raiacuteces cuadradas de nuacutemeros negativos no son nuacutemeros reales Por
ejemplo 9minus no es nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado al cuadrado es igual a 9minus Las raiacuteces cuadradas de los nuacutemeros negativos originan un conjunto llamado nuacutemeros imaginarios
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
32
33 RAIacuteCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE Si 0nex el nuacutemero positivo 2x tiene por raiacuteces a x y a xminus porque 22)( xx =
y 22)( xx =minus Para indicar la raiacutez cuadrada positiva de 2x se debe saber si x es positivo o negativo Si 0gtx se puede escribir lo siguiente xx =2 donde 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es x Si x es negativo entonces 0gtminus x es xx minus=2 ya que 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es xminus Si no se sabe si x es positivo o negativo se pueden emplear siacutembolos de valor absoluto para garantizar que 2x sea positiva xx =2 siempre y cuando x sea cualquier nuacutemero real Si x es cualquier nuacutemero real entonces
a) xxxx 44)4(16 22 ===
Por lo que escribir 216x en la forma 2)4( x siendo que ( ) 22 164 xx = Puesto que x podriacutea ser negativo Los siacutembolos de valor absoluto son necesarios ya que en el producto x4 4 es una constante positiva
b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2
+=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 4+x puede ser negativo por ejemplo cuando
8minus=x
c) ( ) 1112 22 +=+=++ xxxx Porque ( )211 +=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 1+x puede ser negativo por ejemplo cuando 5minus=x
d) 24 xx = porque ( ) 422 xx = Como 02 gex
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
33
34 RAIacuteCES CUacuteBICAS La raiacutez cuacutebica de x se representa por yx =3 si xy =3 Por ejemplo el nuacutemero 64 tiene dos raiacuteces cuadradas que son nuacutemeros reales 8 y 8minus Sin embargo 64 soacutelo tiene una raiacutez cuacutebica real que es el valor de 4 porque 4 es el uacutenico nuacutemero real cuyo cubo es 64 Por lo tanto
xx =3 3 Como todos los nuacutemeros reales tienen una y solo una raiacutez cuacutebica real algunas
de las cuales son positivas y otras negativas no es necesario emplear siacutembolos de valor absoluto al simplificar las raiacuteces cuacutebicas
Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuacutebicas
a) 3 125 b) 3
81
c) 3 327xminus d) 33
3
278
ba
minus e) 3 632160 yx
Solucioacuten a) 51253 = porque 125)5)(5)(5(53 ==
b) 21
81
3 = porque 81
21
21
21
21 3
=
=
c) xx 3273 3 minus=minus porque ( ) ( )( )( ) 33 273333 xxxxx minus=minusminusminus=minus
d) ba
ba
32
278
33
3
minus=minus porque 3
33
278
32
32
32
32
ba
ba
ba
ba
ba
minus=
minus
minus
minus=
minus
e) 23 63 602160 xyyx = porque
( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==
35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS Asiacute como existen raiacuteces cuadradas y raiacuteces cuacutebicas tambieacuten existen las raiacuteces cuartas raiacuteces quintas raiacuteces sextas etc
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
34
Cuando n es impar el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez impar Como todo nuacutemero real tiene una y soacutelo una raiacutez eneacutesima real cuando n es impar no es necesario preocuparse por los siacutembolos de valor absoluto cuando se calculan raiacuteces impares Ejemplo
a) 33243 5 55 == porque 24335 = b) ( ) xxx 227128 77 7 minus=minus=minus porque ( ) 77 1282 xx minus=minus
Cuando n es par el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez par En este caso habraacute una raiacutez eneacutesima positiva y una eneacutesima negativa Por ejemplo las dos raiacuteces sextas reales de 729 son 3 y 3minus porque
72936 = y 729)3( 6 =minus Cuando se determinan raiacuteces reales se emplean con frecuencia los siacutembolos de valor absoluto para garantizar que la eneacutesima raiacutez sea positiva Ejemplos
a) ( ) 3334 4 =minus=minus
Tambieacuten se puede simplificar de la siguiente manera ( ) 3813 44 4 ==minus
b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===
Los siacutembolos de valor absoluto garantizan que la raiacutez sexta es positiva
Generalizando se tienen las siguientes reglas Si x es un nuacutemero real y 1gtn entonces
a) Si n es un nuacutemero impar natural xxn n =
b) Si n es un nuacutemero par natural xxn n =
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
35
NOTA En el radical n x a n se le llama el iacutendice u orden del radical Cuando el iacutendice
es 2 el radical es una raiacutez cuadrada y se acostumbra no escribir el iacutendice Cuando n es par ( )2gtn y 0ltx el radical n x no es un nuacutemero real Por
ejemplo 4 81minus no es un nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado a la cuarta potencia es 81minus
Ejemplo
a) 56254 = porque 62554 = b) 2325 minus=minus porque ( ) 322 5 minus=minus
c) 21
641
6 = porque 641
21 6
=
36 EXPONENTES RACIONALES Los exponentes enteros positivos indican la cantidad de veces que se debe usar una base como factor en un producto Por ejemplo 5x significa que x se debe emplear cinco veces como factor ya que xdefactores5 ( )( )( )( )( )xxxxxx =5 Es posible elevar bases a potencias racionales (fraccionarias) cuando se desea que dichos exponentes respeten las mismas reglas que los coeficientes enteros el
cuadrado de 21
10 debe ser 10 porque
( )
10101010 1
2
212
21
===
Se mantiene la base y se multiplican los exponentes
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
36
( ) 112
212
21
=
=
10101 =
Sin embargo hay que recordar que ( ) 1010
2=
Como 2
21
10
y ( )210 son iguales a 10
Con esto se puede definir que 21
10 es igual a 10 Igualmente para
a) 31
10 como 3 10
b) 41
10 como 4 10
c) 51
10 como 5 10
Por lo que si n es un nuacutemero natural mayor que 1 y n x es un nuacutemero real entonces
nn xx =1
Ejemplo Resolver los siguientes radicales
a) 21
9 b) 21
916
minus c) ( )3
1
64minus d) 41
16 e) 51
321
f) 8
1
0 g) ( )51
232xminus
h) ( )41
xyz
Solucioacuten
a) 3999 221
===
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
37
b) 34
916
916
916
221
minus=minus=minus=
minus
c) ( ) 46464 331
minus=minus=minus
d) 21616 441
==
e) 21
321
321
551
==
f) 000 881
==
g) ( ) xxx 23232 5 551
5 minus=minus=minus
h) ( ) 441
xyzxyz =
i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes
fraccionarios
a) 4 5xyz b) 52
15xy
Solucioacuten
a) ( )41
4 55 xyzxyz =
b) 51
2
5
2
1515
=xyxy
37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1
Se puede ampliar la definicioacuten de nx1
para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
4
3 Signos de agrupacioacuten
Los signos de agrupacioacuten indican que la operacioacuten colocada entre ellos debe efectuarse primero Estos signos son los siguientes a) El pareacutentesis ordinario ( ) b) El corchete [ ] c) Las llaves y d) La barra o viacutenculo Asiacute cba )( + indica que el resultado de la suma de a y b debe multiplicarse por c [ ]mba minus indica que la diferencia entre a y b debe multiplicarse por m y ba + dc minus indica que la suma de a y bdebe dividirse entre la diferencia c y d
En el producto de dos factores cualquiera de los factores es llamado coeficiente del otro factor Asiacute en el producto a5 el factor 5 es coeficiente del factor a e indica que el factor a se toma como sumando cinco veces ya que a5 aaaaa ++++= En el producto b4 el factor 4 es coeficiente de b e indica que bbbbb +++=4 Siendo estos coeficientes numeacutericos En el producto ab el factor a es coeficiente del factor b e indica que el factor b se toma como sumando a veces es decir bbbbbab +++++= veces Este es un coeficiente literal
a En el producto de maacutes de dos factores uno o varios de ellos son el coeficiente de los restantes Asiacute en el producto abcd a es el coeficiente de bcd ab es el coeficiente de cd abc es el coeficiente de d Cuando una cantidad no tiene coeficiente numeacuterico su coeficiente es la unidad Asiacute b equivale a b1 abc equivale a abc1 12 LOS NUacuteMEROS ALGEBRAICOS
Muchas magnitudes pueden considerarse en dos sentidos opuestos asiacute en el comercio puede hablarse de peacuterdidas y de ganancias existen temperaturas sobre cero y bajo cero existen regiones sobre el nivel del mar y bajo dicho nivel se hace referencia a fechas posteriores a cierta edad o anteriores a ella en la superficie de la tierra hay lugares de latitud norte y de latitud sur etc
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
5
Las peacuterdidas y las ganancias las temperaturas sobre cero o bajo cero etc constituyen evidentemente diferentes clases de cantidades Los nuacutemeros con que se designan las ganancias las temperaturas sobre cero las latitudes norte etc se llaman nuacutemeros positivos y se indican convencionalmente anteponieacutendoles el signo + como
5+ Los nuacutemeros que sirven para identificar peacuterdidas temperaturas bajo cero
latitudes sur etc se llaman nuacutemeros negativos y se ha convenido en representarlos anteponieacutendoles el signo ndash Asiacute ( )250minus pesos representa una peacuterdida ( )5minus grados referido a temperatura indica 5grados bajo cero 18minus grados de latitud indica un lugar situado en el hemisferio sur
Si un nuacutemero no estaacute precedido de ninguacuten signo se considera como positivo por
tanto 26 es lo mismo que 26+ Llaacutemense nuacutemeros algebraicos el conjunto de los nuacutemeros positivos y negativos
incluyendo el cero
Recta numeacuterica o eje de los nuacutemeros reales (R)
121 VALOR ABSOLUTO El valor absoluto o moacutedulo de un nuacutemero algebraico es el valor aritmeacutetico de ese nuacutemero Este valor es el que se obtiene suprimiendo el signo v gr el moacutedulo de 3+ es 3 y el de 7minus es 7
El valor absoluto de un nuacutemero se representa escribiendo dicho nuacutemero entre dos rayas verticales como 55 =+ 66 =minus Que se leen respectivamente valor absoluto de 55 =+ y valor absoluto de
66 =minus NOTA Como se observa todo nuacutemero positivo es igual a su valor absoluto
122 NUacuteMEROS IGUALES DESIGUALES Y SIMEacuteTRICOS
Dos nuacutemeros algebraicos son iguales cuando tienen el mismo valor absoluto e
igual signo como
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10X
-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10X O
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
6
4+ y 4+ 3minus y 3minus
Dos nuacutemeros algebraicos son desiguales cuando difieren por el signo por el
moacutedulo o por el signo y el moacutedulo La desigualdad se indica por el signo ne que se lee no igual a o diferente de Asiacute
545833 minusne++ne++neminus
Dos nuacutemeros algebraicos son simeacutetricos cuando soacutelo difieren por el signo Asiacute 10+ y 10minus
3minus y 3+ aminus y a+ son simeacutetricos
1221 SUMA o ADICIOacuteN
Sumar )5(+ con )7(+ Para efectuar esta operacioacuten aritmeacutetica se puede partir
del valor 5+ y localizarlo en la escala de los nuacutemeros de la recta numeacuterica XrsquoX seguidamente contar 7 divisiones a la derecha asiacute se alcanza el 12
12)7()5( =+++ o simplemente 1275 =+
Para sumar )6(minus con )3(minus se parte de 3minus y se cuentan 6 divisiones a la
izquierda asiacute se llega al punto 9minus por lo que
)9()6()3( minus=minus+minus o simplemente 963 minus=minusminus De esto se deduce lo siguiente para sumar nuacutemeros algebraicos del mismo
signo se suman sus moacutedulos y a la suma se le da el signo de los sumandos Para sumar )6(+ con )9(minus se parte de 9minus y se cuentan 6 divisiones a la
derecha hasta llegar a 3minus Ya que
)3()6()9( minus=++minus o simplemente 369 minus=+minus Del mismo modo se obtendraacute
538)3()8( =minus=minus++
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
7
Por tanto para sumar dos nuacutemeros algebraicos de distinto signo se resta el moacutedulo menor del mayor y a la diferencia se le da el signo del nuacutemero de mayor moacutedulo
La suma de varios nuacutemeros algebraicos de diferentes signos se reduce a los dos
casos anteriores ya que basta agrupar por separado todos los positivos y todos los negativos aplicando la suma y la resta para finalmente adicionarlos
=minus+++minus++ )2()4()5()7(
Agrupando los signos iguales
4711)2()5()4()7( =minus=minus+minus++++
1222 RESTA o SUSTRACCIOacuteN La resta es la operacioacuten inversa de la suma por lo tanto para restar nuacutemeros
algebraicos se procede a la inversa de coacutemo se hace para sumar Sea restar )5(+ de )8(+ Para efectuar esta operacioacuten se parte de 8 y se
recorren 5divisiones a la izquierda llegaacutendose al punto 3
358)5()8( =minus=+minus+ Para restar )2(+ de )3(minus se parte de 3minus y se cuentan 2 unidades a la
izquierda llegaacutendose al punto 5minus
523)2()3( minus==minusminus=+minusminus Para restar )8(minus de )3(minus se parte de 3minus y se cuentan 8 unidades a la derecha
se llega asiacute al punto 5
583)8()3( =+minus=minusminusminus
13 REGLA DE LOS SIGNOS DEL PRODUCTO A continuacioacuten se enuncia la regla de los signos del producto
a) El producto de dos nuacutemeros algebraicos de mismo signo es positivo b) El producto de dos nuacutemeros algebraicos de distinto signo es negativo
Este resultado puede indicarse simboacutelicamente como se indica a continuacioacuten
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
8
+=minusminus+=++
))(())((
minus=+minusminus=minus+
))(())((
En la multiplicacioacuten o producto de nuacutemeros algebraicos se pueden distinguir dos
casos
1 Multiplicar dos nuacutemeros positivos como )5)(3( ++
Al considerar 3 como coeficiente la operacioacuten equivale a tomar 3 sumandos iguales a )5(+ por tanto
15555)5()5()5()5)(3( =++=+++++=++ Como se nota este caso no difiere del de la multiplicacioacuten de nuacutemeros aritmeacuteticos
Ejemplo
Multiplicar dos nuacutemeros de diferente signo a) )5)(3( minus+ y b) )5)(3( +minus
Solucioacuten
a) En el producto )5)(3( minus+ considerando a )3(+ como coeficiente la operacioacuten indicada equivale a tomar 3 sumandos iguales a 5minus
15)5()5()5()5)(3( minus=minus+minus+minus=minus+
b) En el producto )5)(3( +minus donde )3(minus se considera como coeficiente la
operacioacuten indicada equivale a tomar negativamente 3sumandos iguales a )5(+
15)5()5()5()5)(3( minus=+minus+minus+minus=+minus
Resultado que como se observa es igual al anterior
2 Multiplicar dos nuacutemeros negativos como )5)(3( minusminus
Este caso es una combinacioacuten de a) y de b) del caso anterior ya que equivale a tomar negativamente 3 sumandos iguales a )5(minus
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EXPONENTES y RADICALES
9
15)5()5()5()5)(3( =minusminusminusminusminusminus=minusminus
14 REGLA DE LOS SIGNOS DEL COCIENTE El anaacutelisis de los signos indicado en los ejemplos anteriores de este subtema permiten formular la siguiente regla
a) El cociente de dos nuacutemeros algebraicos de mismo signo es positivo b) El cociente de dos nuacutemeros algebraicos de distinto signo es negativo
Esta regla puede indicarse simboacutelicamente de la siguiente manera
+=++
)()(
+=minusminus
)()(
minus=minus+
)()(
minus=+minus
)()(
La divisioacuten es una operacioacuten inversa de la multiplicacioacuten que tiene por objeto
hallar uno de dos factores (cociente) cuando se conoce su producto (dividendo) y el otro factor (divisor) Por tanto para dividir se procede a la inversa de coacutemo se hace en la multiplicacioacuten
Suelen considerarse los mismos casos que en la multiplicacioacuten los cuales
pueden resumirse como se indica seguidamente 1
)4)(5(204)5()20(
=+=++ porque y 4
)5()4)(5(=
1
)4)(5(204)5()20(
minusminus=minus=minus+ porque y 4
)5()4)(5(
minus=minusminusminus
20)5)(4(4)5()20(
minus=+minusminus=+minus porque
20)5)(4(4)5()20(
minus=minus++=minusminus porque
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EXPONENTES y RADICALES
10
15 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Sea el siguiente rectaacutengulo ABCD el cual tiene 5 centiacutemetros (cm) de largo y 3 centiacutemetros de ancho como se indica en la siguiente figura geomeacutetrica
En esta figura geomeacutetrica se pueden formar 3 fajas de 5 centiacutemetros de largo por 1 centiacutemetro de ancho cada faja puede dividirse en cinco cuadritos de 1 centiacutemetro de largo y 1 centiacutemetro de ancho Las tres fajas juntas constan de 5 X 153 = 2cm que es el aacuterea del rectaacutengulo
El resultado se expresa diciendo el aacuterea de un rectaacutengulo es igual al producto de la base por la altura Esta expresioacuten puede abreviarse de la siguiente manera Aacuterea = base X altura La cual puede ser representada por las literales =A aacuterea =b base y a = altura Por lo que
bA = X a
Dicha abreviacioacuten a su vez resulta maacutes corta si se suprime el signo X y asiacute queda la expresioacuten baA =
Dicha expresioacuten se llama foacutermula algebraica Toda foacutermula es una regla expresada por medio de siacutembolos e indica las
operaciones que deben de efectuarse con los nuacutemeros representados por las literales para obtener ciertos resultados [Anfosi Agustiacuten Paacuteg 2]
Asiacute el rectaacutengulo constaraacute de n fajas de 25 cm cada una y el aacuterea seraacute de
5=A X n = ][5 2cmn
5 cm de largo
3 cm
de
anch
o
A B
CD
B
CD
5 cm A
3 cm
1 cm
1 cm
1 cm2
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11
De la foacutermula para obtener el aacuterea del rectaacutengulo baA= se deducen las siguientes transformaciones de dicha expresioacuten
aAb = y
bAa =
Donde para la primera expresioacuten conocida el aacuterea del rectaacutengulo y su altura se puede saber su base y para la segunda expresioacuten conocida el aacuterea del rectaacutengulo y su base se puede obtener su altura
El aacuterea de un rectaacutengulo de base b y altura a es ba El aacuterea de tres rectaacutengulos iguales al anterior es babababa 3=++
El volumen de un paralelepiacutepedo en que las dimensiones de la base son b y a
y la altura es c es bac
El volumen de dos paralelepiacutepedos iguales al anterior es bacbacbac 2=+
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12
El duplo se escribe a2 el triple de b se escribe b3 el cuaacutedruplo de 3a
3
4 a el
quiacutentuplo de c c5 etc Asiacute se tiene aaa +=2 bbbb ++=3
33333
4 aaaaa+++=
cccccc ++++=5 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
)( eaigualessumandosneeene ++++= En las expresiones anteriores ny5432 se llaman coeficientes El coeficiente es el nuacutemero o la literal que indica cuaacutentos sumandos iguales se toman Los cuatro primeros son numeacutericos y el uacuteltimo es literal
Ejemplo a) Representar la edad de cada uno de los miembros de la familia de Carlos Se
sabe que la edad de la hermana es dos tercios de la de Carlos la de la madre el triple la del padre cuatro veces y la del abuelo es igual a la suma de las edades del padre y de la madre
Solucioacuten La edad de Carlos es = a
La edad de la hermana es = a32
La edad de la madre es = a3 La edad del padre es = a4 Y la edad del abuelo es = aa 43 +
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13
b) A continuacioacuten se presenta un plano de una parte de un piso cuyas dimensiones estaacuten expresadas en el mismo
En este plano se observa que la longitud de este piso se puede expresar como ba+=8 de donde ba minus= 8 Y que el ancho es ihdc +=+
En estos dos ejemplos aparecen expresiones que son combinaciones de
nuacutemeros y literales separadas por los signos de las operaciones matemaacuteticas (aritmeacuteticas) Estas expresiones reciben el nombre de expresiones algebraicas 141 TEacuteRMINOS Y COEFICIENTES Sea la siguiente expresioacuten algebraica la cual estaacute formada por cinco sumandos
babbaa 3212
35
++++
Se llama teacutermino de una expresioacuten algebraica a cada uno de dichos sumandos Asiacute a2 es una expresioacuten algebraica de un teacutermino ba +3 es una expresioacuten algebraica de dos teacuterminos 123 ++ aab es una expresioacuten algebraica de tres teacuterminos Donde cada teacutermino consta de una parte numeacuterica (coeficiente del teacutermino) y otra literal Asiacute a2 es un teacutermino de coeficiente 2 y parte literal a
ab23
es un teacutermino de coeficiente 23
y parte literal ab
a b
c
e
d
h
i
8
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14
2xy es un teacutermino de coeficiente 1 y parte literal 2xy
Ejemplo Representar la edad de cada uno de los miembros de la familia de Carlos Se sabe que la edad de la hermana es dos tercios de la edad de Carlos la de la madre el triple la del padre cuatro veces y la del abuelo es igual a la suma de las edades del padre y la madre Solucioacuten Las expresiones algebraicas seraacuten las siguientes La edad de Carlos = a
La edad de la hermana = a32
La edad de la madre = a3 La edad del padre = a4 Y la edad del abuelo = aa 43 + A continuacioacuten se presenta el valor numeacuterico de cada una de las expresiones algebraicas si se sabe que la edad de Carlos es de 9 antildeos es decir 9=a La edad de Carlos = 9 antildeos
La edad de la hermana = 63
183
)9)(2()9(32
=== antildeos
La edad de la madre = 27)9(3 = antildeos La edad del padre = 36)9(4 = antildeos Y la edad del abuelo = 633627)9(4)9(3 =+=+ antildeos Nota
Si la edad de Carlos fuera otra los valores numeacutericos de cada una de las expresiones algebraicas seriacutean distintos
El valor numeacuterico de una expresioacuten algebraica no es uacutenico ya que depende del valor que se le deacute a la literal o letra(s) que en ella intervengan
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15
2 EXPONENTES Considere el caso especial de la multiplicacioacuten en el que todos los factores que se van a multiplicar son iguales Asiacute si se multiplica el nuacutemero a por siacute mismo se obtiene el producto aa el cual generalmente se escribe en la forma 2a En general el producto de n factores cada uno de ellos iguales a a se escribe en la forma na recibiendo el nuacutemero entero y positivo n el nombre de exponente En este caso se dice que se ha elevado el nuacutemero a a la eneacutesima potencia operacioacuten que recibe el nombre de potenciacioacuten 21 POTENCIACIOacuteN La potencia de una expresioacuten algebraica es la misma expresioacuten o el resultado de tomarla como factor dos o maacutes veces Asiacute la primera potencia de una expresioacuten es la misma expresioacuten como se indica a continuacioacuten aa 2)2( 1 =
La segunda potencia o cuadrado de una expresioacuten es el resultado de tomarla como factor dos veces Por lo que
22 4))()(2)(2()2)(2()2( aaaaaa === El cubo de una expresioacuten es el resultado de tomarla como factor tres veces por
ejemplo
33 8))()()(2)(2)(2()2)(2)(2()2( aaaaaaaa === Y en forma general ( ) ( )( )( ) vecesnaaaa n
2222 = 211 POTENCIA DE UN MONOMIO Para elevar un monomio a una potencia se eleva su coeficiente a esa potencia y se multiplica el exponente de cada letra por el exponente que indica la potencia Ejemplo Desarrollar las siguientes expresiones algebraicas
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16
a) 32 )3( ab b) 343 )5( yxminus c) 4
232
minus
yx
d) 5
43
32
minus ba
Solucioacuten
a) 63)3)(2()3)(1(32333 2727)()()3()3( bababaab ===
b) =minus=minus=minus )3)(4()3)(3(34333343 125)()()5()5( yxyxyx 129125 yxminus
c) 8
4
)4)(2(
)4)(1(
4
44
2
44
2 8116
)()(
)3()2(
32
32
yx
yx
yx
yx
=minus
=
minus=
minus
d) ( ) ( ) =minus
=
minus=
minus 543
5
5543
5543
)3()2(
32
32 bababa
2015)5)(4()5)(3(5
5
24332)()(
)3()2( baba minus=
minus=
2111 PROPIEDADES
Los exponentes indican multiplicacioacuten repetida por ejemplo
a) yy =2 ))(( yyy =
Donde 2y se lee y a la segunda potencia o y al cuadrado b) zz =3 z z = ))()(( zzz se lee z a la tercera potencia o z al cubo c) xx =4 x x x = ))()()(( xxxx se lee x a la cuarta potencia
22 EXPONENTES DE NUacuteMEROS REALES
Si n es un nuacutemero real entonces
xdefactoresn
xxn = x x x
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17
La expresioacuten exponencial nx se llama potencia de x y se lee x a la eneacutesima potencia o x a la potencia n En la expresioacuten siguiente
nx Exponente
Base
x se llama base y n es el exponente Un exponente que sea nuacutemero natural indica cuaacutentas veces se usa la base de expresioacuten exponencial como factor de un producto por ejemplo
a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==
b) 32)2)(2)(2)(2)(2()2( 5 minus=minusminusminusminusminus=minus
c) 4()4(4 44 minus=minus=minus 4 4 256)4 minus=
d) 256)4)(4)(4)(4()4( 4 =minusminusminusminus=minus
e) 33
81
21
21
21
21 aaaaa =
=
f) 22
251
51
51
51 bbbb =
minus
minus=
minus
g) 35 xx indica que x se debe usar cinco veces como factor y 3x representa que x se debe usar tres veces como factor por lo que 35 xx se usaraacute ocho veces como factor xdefactores5 xdefactores3
xxx =35 x x x x X x x x =
xdefactores8 = x x x x x x x x
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18
En general
xdefactoresm xdefactoresn
xxx nm = x x x X x x x x = xdefactoresnm + = x x x x x Por lo tanto para multiplicar expresiones exponenciales con la misma base se
mantiene esa base y se suman los exponentes 221 REGLA DEL PRODUCTO PARA EXPONENTES
Si m y n son nuacutemeros naturales entonces nmnm xxx += Para desarrollar la regla de divisioacuten de las expresiones exponenciales se procede de la siguiente manera
nmnmnmn
mn
m
xxxxx
xxx minusminus+minus ===
= )(1
Por tanto para dividir dos expresiones exponenciales con la misma base distinta de cero se mantiene la base y se resta el exponente del denominador del exponente del numerador
NOTA La regla del producto para exponentes soacutelo se aplica a expresiones exponenciales que tienen la misma base Por ejemplo la expresioacuten 35 yx no se puede simplificar porque las bases de las expresiones exponenciales son diferentes Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)
minus 34
418 xx
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19
Solucioacuten
a) 16511511 xxxx == +
b) 15645645 aaaaa == ++
c) 67244324432443 bababbaababa === ++
d) 7343434 248
418
418 xxxxxx minus=
minus=
minus=
minus +
Para encontrar otra propiedad se simplificaraacute la expresioacuten 34 )(x que significa
que 4x se eleva al cubo o en su caso 4x se repite tres veces 4x 4x 4x Donde 4x 4x 4x
=34 )(x 4x 4x 4x = ( x x x x )( x x x x )( x x x x )= = 12444 xx =++ En general se tiene que
nxdefactoresn nxdefactoresmn
mnm xx =)( mx mx mx = x x x x x x = mnx
Asiacute para elevar una expresioacuten exponencial a una potencia se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes
Ejemplo
Si se eleva x3 al cuadrado se obtiene el siguiente resultado
( ) )3(3 2 xx = ))()(3)(3()3( xxx = = 222 93 xx = En general se tiene que
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EXPONENTES y RADICALES
20
xydefactoresn xdefactoresn ( ) ))()(( xyxyxyxy n = xxxxy =)( x yyy y = nn yx
ydefactoresn
Otra propiedad por ejemplo es elevar al cubo la siguiente expresioacuten 3x
Solucioacuten
33
3 xx=
3x
3x
= 27)3)(3)(3(
))()(( 3xxxx=
En general se tiene lo siguiente
yxdefactoresn
=
yx
yx
yx
yx
n
yx
( )0ney
xdefactoresn
)())()(()())()((
yyyyxxxx
= = n
n
yx
ydefactoresn Los tres resultados anteriores se llaman reglas de potencias de los exponentes Si m y n son nuacutemeros naturales entonces
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EXPONENTES y RADICALES
21
( ) mnnm xx = nnn yxxy =)( n
nn
yx
yx
=
)0( ney
Ejemplos
Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) ( )323 b) ( )511x c) ( )632xx d) ( ) ( )2342 xx e) ( )32 yx f) ( )443 yx g) 4
2
yx
h) 2
4
3
yx
Solucioacuten
a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===
b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==
c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +
d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +
e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===
f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==
g) ( ) 8
4
42
44
2 yx
yx
yx
==
( )0ney
h) ( )( ) 8
62
24
32
4
3
yx
yx
yx
==
( )0ney
Analizar la diferencia que existe entre nxminus y nx)(minus
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EXPONENTES y RADICALES
22
Solucioacuten
xdefactoresn xdefactoresn minus
(minus=minus nx x x x x ) y )())()(()( xxxxx n minusminusminusminus=minus
Tambieacuten es conveniente hacer notar la diferencia que existe entre nax y ( )nax donde
xdefactoresn axdefactoresn
aaxn = x x x x y )())()(()( axaxaxaxax n = 222 EL EXPONENTE CERO Cuando las reglas de los exponentes son vaacutelidas y si el exponente es igual a 0 (cero) se tiene lo siguiente nnnnn xxxxxx 1)1()1(00 ==== + Como nn xxx 10 = en consecuencia ( )010 ne= xx
El exponente cero si 10 0 =ne xentoncesx En general cualquier base distinta de cero elevada a la potencia cero es igual a 1 Tambieacuten
10 === minusn
nnn
xxxx
Si todas las bases son distintas de cero y el exponente es cero entonces
a) 150 =
b) ( ) 17 0 =minus
c) ( ) 1303 =ax
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EXPONENTES y RADICALES
23
d) 121 0
975 =
zyx
NOTA
00 es indefinido esto a consecuencia de que infin=00 223 EXPONENTES NEGATIVOS Las reglas de los exponentes son vaacutelidas tambieacuten cuando eacutestos son enteros negativos ( )010 ne=== +minusminus xxxxx nnnn
ya que nxminus 1=nx y nx
1 1=nx
Ademaacutes se define a nxminus como el reciacuteproco de nx Por lo que
nn
xx 1
=minus y nn x
x=
minus
1
NOTA De acuerdo con la definicioacuten de exponentes negativos la base no puede ser 0
Asiacute una expresioacuten como 50minus no estaacute definida por lo que
infin=minus50 Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 25minus b) 310minus c) ( ) 32 minusx d) 13 minusx e) 35xxminus f) ( ) 23 minusminusx Solucioacuten
a) 251
515 2
2 ==minus
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EXPONENTES y RADICALES
24
b) 1000
110110 3
3 ==minus
c) ( ) 33
3
81
21)2(
xxx ==minus
d) 33 1 =minusx xx31
=
e) 2
23535 1x
xxxx === minus+minusminus
f) ( ) 6)2)(3(23 xxx == minusminusminusminus
2224 REGLA DEL COCIENTE Si m y n son enteros entonces
( )0 ne= minus xxxx nm
n
m
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 3
5
aa
b) 11
5
xxminus
c) 5
34
minusxxx
d) ( )( )23
32
x
x e) 4
32
xyyx
f) 3
432
32
minus
baaba
Solucioacuten
a) 2353
5
aaaa
== minus
b) 16
1611511
5 1x
xxxx
=== minusminusminusminus
c) 12575
7
5
34
5
34
xxxxx
xx
xxx
====minusminus
+
minus
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EXPONENTES y RADICALES
25
d) ( )( )
( )( )
( )( ) 10666
6
23
32
23
32
===== minus xxxx
xx
xx
o en su caso
( )( )
( )( )
( )( ) 16
6
23
32
23
32
===xx
xx
xx
e) yxyxyxyyxx
xyyx
==== minusminusminusminusminus 11431243124
32
f) ( )( )
( )
)3)(4()3)(3()3)(middot2(
)3)(3(3)(2
3432
3323
432
32
baaba
baa
babaaba minusminusminus
==
= =
minus
1296
96
baaba
1221321
1215
96 1ba
bababa
=== minusminusminus
o en su caso
=
=
minusminus 3
45
323
432
32
baba
baaba
= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317
33
17
317 1111babababa
ba ===
=minusminus
El siguiente teorema indica que una fraccioacuten elevada a una potencia negativa se puede invertir y elevarse asiacute a una potencia positiva
Teorema Si n es un nuacutemero entero entonces
( )00 nene
=
minus
yxny
yx nn
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EXPONENTES y RADICALES
26
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 4
32 minus
b)
3
2
xy
c) 4
3
2
32
minus
minus
yx
d)
minus
432
32
baaba
Solucioacuten
a) ( )( ) 16
8123
23
32
4
444
==
=
minus
b) ( )( ) 6
9
)3)(2(
)3)(3(
32
333
2
33
3
2
yx
yx
yx
yx
xy
===
=
minus
c) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ====
=
minusminusminusminusminus
minus )4)(2(
)4)(3(
424
434
42
434
2
34
3
2
1681
23
23
23
32
xy
xy
xy
xy
yx
= 8
12
1681
xy minus
= 1681
8
12
xy minus
= 1281681
yx
d) ( )( )
( )( ) ===
=
minusminusminus
minusminus
)3)(3()3)(2(
)3)(4()3)(5(
332
3453
32
4323
432
32
baba
baba
babaa
baaba
= =minus 96
1215
baba 321912)6(15 babbaa =minusminusminus
23 RESUMEN Si no existen divisiones entre 0 (cero) entonces para enteros m y n cualesquiera
a) nmnm xxx += b) ( ) mnnm xx =
c) ( ) nnn yxxy =
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EXPONENTES y RADICALES
27
d) n
nn
yx
yx
=
e) ( )010 ne= xx
f) n
n
xx 1
=minus
g) nmn
m
xxx minus=
h) nn
xy
yx
=
minus
NOTA Las mismas reglas se aplican cuando los exponentes son variables 24 EJERCICIOS
1 Simplificar las siguientes expresiones
a) 24 b) 32 )(x c) 12 )( minusminusx d) 5
2
xx
e) 25minus
Solucioacuten a) 16)4)(4(42 == b) 6)3)(2(32 )( xxx == c) 2)1)(2(12 )( xxx == minusminusminusminus
o tambieacuten
222
22
21212
1)1)(1())(1(
111
111
)(1)( xxx
xxxx
x =======minusminus
minusminus
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EXPONENTES y RADICALES
28
d) 2253)5()3(53
5
3 1))((x
xxxxxxx
===== minusminusminus+minus
o tambieacuten 1 1 1
21
))()()()(())()((
))()()()(())()((
xxxxxxxxx
xxxxxxxx
== = 2minusx
e) 12
2 25251
515 minusminus ===
2 Simplificar las siguientes expresiones considerando que ninguno de los
denominadores sea igual a cero
a) 32
29
)(mmm minus
b) 43
32 )2(minus
minus
aaa
c)043
22 )3(xxx
xminus
minus
d) 042
2022
)4()(4
minus
minus
minusminus
yxyxx
e) 2
25
44
93
minus
minus
minusminus
yxyx
Solucioacuten
a) mmmmm
mm
mmm
===== minusminusminus
1676
7
)3)(2(
29
32
29
)(
b) 561
6
43
)3)(2(3
43
32 88))(8())(2()2(aa
aa
aaa
aaa
====minus
minus
minus
minus
minus
minus
c) 37
4
3)4(
4
322
4
043
22
91
99)1()1()3()3(
xxx
xxx
xxx
xxxx
====minus
minus
d) =minus
=minus
=minus
minus +minus
minus
minus
1)1(4
1)1(4
)4()(4 0222
042
2022 xxyx
yxx
414
1)1)(1(4
minus=minus
=minus
=
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
29
e) ( )( )
( )( ) =minusminus
=minusminus
=
minusminus
minus
minus
minusminus
minusminus
minus 224
225
225
2442
25
44
39
93
93
yxyx
yxyx
yxyx
= ( )
( ) ( ) ( )2
48
410
22242
22252
99
813
)()9( xyxyx
yxyx
==minusminus
minus
minus
minus
minus
3 Encontrar el valor numeacuterico de las siguientes expresiones con 2minus=x y
3=y para
a) 23 yx b) 3
3
yxminus
c) ( ) 22 minusxy d) 23 minusminus xy e) 23)( minusminus xy
Solucioacuten
a) ( ) ( ) 72)9)(8(32 2323 minus=minus=minus=yx
b) ( ) ( ) ( )( ) =minus
=minus
==minus
2781
3211
33333
3
yxyx
2161
2161
minus=minus
=
c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241
3211
2222
22 =minus
==minus
xyxy
d) ( ) ( )( ) 16
2722723 4
4323 minus=
minusminus
=minusminus=minus minusminusxy 1627
minus=
e) ( )( ) 4
272
3)()( 2
3
2
323 =
minus=
minus=minus minus
xyxy
3 RADICALES Con frecuencia en los problemas de aplicacioacuten se debe determinar queacute nuacutemero se puede elevar al cuadrado para obtener un segundo nuacutemero a Si se puede determinar a ese nuacutemero se le llama una raiacutez cuadrada de a Por ejemplo
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EXPONENTES y RADICALES
30
a) 0es una raiacutez cuadrada de 0 porque 002 = b) 4 es una raiacutez cuadrada de 16 porque 1642 = c) 4minus es una raiacutez cuadrada de 16 porque 16)4( 2 =minus d) xy7 es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy = e) xy7minus es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy =minus
31 RAIacuteZ CUADRADA DE a El nuacutemero b es una raiacutez cuadrada de a cuando 2 ab = Todos los nuacutemeros positivos tienen dos nuacutemeros reales que son sus raiacuteces cuadradas uno positivo y otro negativo El uacutenico nuacutemero con una sola raiacutez cuadrada es 0 cuya raiacutez cuadrada es 0 Ejemplo Determinar las dos raiacuteces cuadradas de 121 Solucioacuten Las dos raiacuteces cuadradas de 121son 11y 11minus porque 121112 = y 121)11( 2 =minus 32 RAIacuteZ CUADRADA PRINCIPAL Se llama signo radical al siacutembolo y a x el nuacutemero que se encuentran dentro del signo radical que se llama radicando Siacute x gt 0 la raiacutez principal de x es la raiacutez cuadrada positiva de x y se
representa con x La raiacutez cuadrada principal de 0 es 0 00 = NOTA Por definicioacuten el cuadrado principal de un nuacutemero positivo siempre es positivo Aunque 5 y 5minus son raiacuteces cuadradas de 25 soacutelo 5es la raiacutez cuadrada principal El radical
25 representa 5 El radical 25minus representa 5minus Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuadradas
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
31
a) 11 =
b) 981 =
c) 981 minus=minus
d) 21
41=
e) 114
12116
minus=minus
f) 20040 =
g) 03000090 minus=minus
Los nuacutemeros como 1600491694 y se llaman cuadrados enteros porque cada uno de ellos es el cuadrado de un entero La raiacutez cuadrada de todo cuadrado entero es un nuacutemero racional Por ejemplo
4016007494163924 =====
Las raiacuteces cuadradas de muchos enteros positivos no son nuacutemeros racionales Por ejemplo 11 es un nuacutemero irracional cuyo valor aproximado ( )asymp es de
31662473 )3166247311( asymp Donde el siacutembolo asympquiere decir ldquoaproximadamente igual ardquo
Las raiacuteces cuadradas de nuacutemeros negativos no son nuacutemeros reales Por
ejemplo 9minus no es nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado al cuadrado es igual a 9minus Las raiacuteces cuadradas de los nuacutemeros negativos originan un conjunto llamado nuacutemeros imaginarios
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
32
33 RAIacuteCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE Si 0nex el nuacutemero positivo 2x tiene por raiacuteces a x y a xminus porque 22)( xx =
y 22)( xx =minus Para indicar la raiacutez cuadrada positiva de 2x se debe saber si x es positivo o negativo Si 0gtx se puede escribir lo siguiente xx =2 donde 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es x Si x es negativo entonces 0gtminus x es xx minus=2 ya que 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es xminus Si no se sabe si x es positivo o negativo se pueden emplear siacutembolos de valor absoluto para garantizar que 2x sea positiva xx =2 siempre y cuando x sea cualquier nuacutemero real Si x es cualquier nuacutemero real entonces
a) xxxx 44)4(16 22 ===
Por lo que escribir 216x en la forma 2)4( x siendo que ( ) 22 164 xx = Puesto que x podriacutea ser negativo Los siacutembolos de valor absoluto son necesarios ya que en el producto x4 4 es una constante positiva
b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2
+=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 4+x puede ser negativo por ejemplo cuando
8minus=x
c) ( ) 1112 22 +=+=++ xxxx Porque ( )211 +=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 1+x puede ser negativo por ejemplo cuando 5minus=x
d) 24 xx = porque ( ) 422 xx = Como 02 gex
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
33
34 RAIacuteCES CUacuteBICAS La raiacutez cuacutebica de x se representa por yx =3 si xy =3 Por ejemplo el nuacutemero 64 tiene dos raiacuteces cuadradas que son nuacutemeros reales 8 y 8minus Sin embargo 64 soacutelo tiene una raiacutez cuacutebica real que es el valor de 4 porque 4 es el uacutenico nuacutemero real cuyo cubo es 64 Por lo tanto
xx =3 3 Como todos los nuacutemeros reales tienen una y solo una raiacutez cuacutebica real algunas
de las cuales son positivas y otras negativas no es necesario emplear siacutembolos de valor absoluto al simplificar las raiacuteces cuacutebicas
Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuacutebicas
a) 3 125 b) 3
81
c) 3 327xminus d) 33
3
278
ba
minus e) 3 632160 yx
Solucioacuten a) 51253 = porque 125)5)(5)(5(53 ==
b) 21
81
3 = porque 81
21
21
21
21 3
=
=
c) xx 3273 3 minus=minus porque ( ) ( )( )( ) 33 273333 xxxxx minus=minusminusminus=minus
d) ba
ba
32
278
33
3
minus=minus porque 3
33
278
32
32
32
32
ba
ba
ba
ba
ba
minus=
minus
minus
minus=
minus
e) 23 63 602160 xyyx = porque
( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==
35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS Asiacute como existen raiacuteces cuadradas y raiacuteces cuacutebicas tambieacuten existen las raiacuteces cuartas raiacuteces quintas raiacuteces sextas etc
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EXPONENTES y RADICALES
34
Cuando n es impar el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez impar Como todo nuacutemero real tiene una y soacutelo una raiacutez eneacutesima real cuando n es impar no es necesario preocuparse por los siacutembolos de valor absoluto cuando se calculan raiacuteces impares Ejemplo
a) 33243 5 55 == porque 24335 = b) ( ) xxx 227128 77 7 minus=minus=minus porque ( ) 77 1282 xx minus=minus
Cuando n es par el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez par En este caso habraacute una raiacutez eneacutesima positiva y una eneacutesima negativa Por ejemplo las dos raiacuteces sextas reales de 729 son 3 y 3minus porque
72936 = y 729)3( 6 =minus Cuando se determinan raiacuteces reales se emplean con frecuencia los siacutembolos de valor absoluto para garantizar que la eneacutesima raiacutez sea positiva Ejemplos
a) ( ) 3334 4 =minus=minus
Tambieacuten se puede simplificar de la siguiente manera ( ) 3813 44 4 ==minus
b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===
Los siacutembolos de valor absoluto garantizan que la raiacutez sexta es positiva
Generalizando se tienen las siguientes reglas Si x es un nuacutemero real y 1gtn entonces
a) Si n es un nuacutemero impar natural xxn n =
b) Si n es un nuacutemero par natural xxn n =
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EXPONENTES y RADICALES
35
NOTA En el radical n x a n se le llama el iacutendice u orden del radical Cuando el iacutendice
es 2 el radical es una raiacutez cuadrada y se acostumbra no escribir el iacutendice Cuando n es par ( )2gtn y 0ltx el radical n x no es un nuacutemero real Por
ejemplo 4 81minus no es un nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado a la cuarta potencia es 81minus
Ejemplo
a) 56254 = porque 62554 = b) 2325 minus=minus porque ( ) 322 5 minus=minus
c) 21
641
6 = porque 641
21 6
=
36 EXPONENTES RACIONALES Los exponentes enteros positivos indican la cantidad de veces que se debe usar una base como factor en un producto Por ejemplo 5x significa que x se debe emplear cinco veces como factor ya que xdefactores5 ( )( )( )( )( )xxxxxx =5 Es posible elevar bases a potencias racionales (fraccionarias) cuando se desea que dichos exponentes respeten las mismas reglas que los coeficientes enteros el
cuadrado de 21
10 debe ser 10 porque
( )
10101010 1
2
212
21
===
Se mantiene la base y se multiplican los exponentes
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EXPONENTES y RADICALES
36
( ) 112
212
21
=
=
10101 =
Sin embargo hay que recordar que ( ) 1010
2=
Como 2
21
10
y ( )210 son iguales a 10
Con esto se puede definir que 21
10 es igual a 10 Igualmente para
a) 31
10 como 3 10
b) 41
10 como 4 10
c) 51
10 como 5 10
Por lo que si n es un nuacutemero natural mayor que 1 y n x es un nuacutemero real entonces
nn xx =1
Ejemplo Resolver los siguientes radicales
a) 21
9 b) 21
916
minus c) ( )3
1
64minus d) 41
16 e) 51
321
f) 8
1
0 g) ( )51
232xminus
h) ( )41
xyz
Solucioacuten
a) 3999 221
===
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EXPONENTES y RADICALES
37
b) 34
916
916
916
221
minus=minus=minus=
minus
c) ( ) 46464 331
minus=minus=minus
d) 21616 441
==
e) 21
321
321
551
==
f) 000 881
==
g) ( ) xxx 23232 5 551
5 minus=minus=minus
h) ( ) 441
xyzxyz =
i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes
fraccionarios
a) 4 5xyz b) 52
15xy
Solucioacuten
a) ( )41
4 55 xyzxyz =
b) 51
2
5
2
1515
=xyxy
37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1
Se puede ampliar la definicioacuten de nx1
para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1
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EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
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EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
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EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
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EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
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EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
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EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
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EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
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EXPONENTES y RADICALES
5
Las peacuterdidas y las ganancias las temperaturas sobre cero o bajo cero etc constituyen evidentemente diferentes clases de cantidades Los nuacutemeros con que se designan las ganancias las temperaturas sobre cero las latitudes norte etc se llaman nuacutemeros positivos y se indican convencionalmente anteponieacutendoles el signo + como
5+ Los nuacutemeros que sirven para identificar peacuterdidas temperaturas bajo cero
latitudes sur etc se llaman nuacutemeros negativos y se ha convenido en representarlos anteponieacutendoles el signo ndash Asiacute ( )250minus pesos representa una peacuterdida ( )5minus grados referido a temperatura indica 5grados bajo cero 18minus grados de latitud indica un lugar situado en el hemisferio sur
Si un nuacutemero no estaacute precedido de ninguacuten signo se considera como positivo por
tanto 26 es lo mismo que 26+ Llaacutemense nuacutemeros algebraicos el conjunto de los nuacutemeros positivos y negativos
incluyendo el cero
Recta numeacuterica o eje de los nuacutemeros reales (R)
121 VALOR ABSOLUTO El valor absoluto o moacutedulo de un nuacutemero algebraico es el valor aritmeacutetico de ese nuacutemero Este valor es el que se obtiene suprimiendo el signo v gr el moacutedulo de 3+ es 3 y el de 7minus es 7
El valor absoluto de un nuacutemero se representa escribiendo dicho nuacutemero entre dos rayas verticales como 55 =+ 66 =minus Que se leen respectivamente valor absoluto de 55 =+ y valor absoluto de
66 =minus NOTA Como se observa todo nuacutemero positivo es igual a su valor absoluto
122 NUacuteMEROS IGUALES DESIGUALES Y SIMEacuteTRICOS
Dos nuacutemeros algebraicos son iguales cuando tienen el mismo valor absoluto e
igual signo como
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10X
-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10X O
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EXPONENTES y RADICALES
6
4+ y 4+ 3minus y 3minus
Dos nuacutemeros algebraicos son desiguales cuando difieren por el signo por el
moacutedulo o por el signo y el moacutedulo La desigualdad se indica por el signo ne que se lee no igual a o diferente de Asiacute
545833 minusne++ne++neminus
Dos nuacutemeros algebraicos son simeacutetricos cuando soacutelo difieren por el signo Asiacute 10+ y 10minus
3minus y 3+ aminus y a+ son simeacutetricos
1221 SUMA o ADICIOacuteN
Sumar )5(+ con )7(+ Para efectuar esta operacioacuten aritmeacutetica se puede partir
del valor 5+ y localizarlo en la escala de los nuacutemeros de la recta numeacuterica XrsquoX seguidamente contar 7 divisiones a la derecha asiacute se alcanza el 12
12)7()5( =+++ o simplemente 1275 =+
Para sumar )6(minus con )3(minus se parte de 3minus y se cuentan 6 divisiones a la
izquierda asiacute se llega al punto 9minus por lo que
)9()6()3( minus=minus+minus o simplemente 963 minus=minusminus De esto se deduce lo siguiente para sumar nuacutemeros algebraicos del mismo
signo se suman sus moacutedulos y a la suma se le da el signo de los sumandos Para sumar )6(+ con )9(minus se parte de 9minus y se cuentan 6 divisiones a la
derecha hasta llegar a 3minus Ya que
)3()6()9( minus=++minus o simplemente 369 minus=+minus Del mismo modo se obtendraacute
538)3()8( =minus=minus++
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EXPONENTES y RADICALES
7
Por tanto para sumar dos nuacutemeros algebraicos de distinto signo se resta el moacutedulo menor del mayor y a la diferencia se le da el signo del nuacutemero de mayor moacutedulo
La suma de varios nuacutemeros algebraicos de diferentes signos se reduce a los dos
casos anteriores ya que basta agrupar por separado todos los positivos y todos los negativos aplicando la suma y la resta para finalmente adicionarlos
=minus+++minus++ )2()4()5()7(
Agrupando los signos iguales
4711)2()5()4()7( =minus=minus+minus++++
1222 RESTA o SUSTRACCIOacuteN La resta es la operacioacuten inversa de la suma por lo tanto para restar nuacutemeros
algebraicos se procede a la inversa de coacutemo se hace para sumar Sea restar )5(+ de )8(+ Para efectuar esta operacioacuten se parte de 8 y se
recorren 5divisiones a la izquierda llegaacutendose al punto 3
358)5()8( =minus=+minus+ Para restar )2(+ de )3(minus se parte de 3minus y se cuentan 2 unidades a la
izquierda llegaacutendose al punto 5minus
523)2()3( minus==minusminus=+minusminus Para restar )8(minus de )3(minus se parte de 3minus y se cuentan 8 unidades a la derecha
se llega asiacute al punto 5
583)8()3( =+minus=minusminusminus
13 REGLA DE LOS SIGNOS DEL PRODUCTO A continuacioacuten se enuncia la regla de los signos del producto
a) El producto de dos nuacutemeros algebraicos de mismo signo es positivo b) El producto de dos nuacutemeros algebraicos de distinto signo es negativo
Este resultado puede indicarse simboacutelicamente como se indica a continuacioacuten
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EXPONENTES y RADICALES
8
+=minusminus+=++
))(())((
minus=+minusminus=minus+
))(())((
En la multiplicacioacuten o producto de nuacutemeros algebraicos se pueden distinguir dos
casos
1 Multiplicar dos nuacutemeros positivos como )5)(3( ++
Al considerar 3 como coeficiente la operacioacuten equivale a tomar 3 sumandos iguales a )5(+ por tanto
15555)5()5()5()5)(3( =++=+++++=++ Como se nota este caso no difiere del de la multiplicacioacuten de nuacutemeros aritmeacuteticos
Ejemplo
Multiplicar dos nuacutemeros de diferente signo a) )5)(3( minus+ y b) )5)(3( +minus
Solucioacuten
a) En el producto )5)(3( minus+ considerando a )3(+ como coeficiente la operacioacuten indicada equivale a tomar 3 sumandos iguales a 5minus
15)5()5()5()5)(3( minus=minus+minus+minus=minus+
b) En el producto )5)(3( +minus donde )3(minus se considera como coeficiente la
operacioacuten indicada equivale a tomar negativamente 3sumandos iguales a )5(+
15)5()5()5()5)(3( minus=+minus+minus+minus=+minus
Resultado que como se observa es igual al anterior
2 Multiplicar dos nuacutemeros negativos como )5)(3( minusminus
Este caso es una combinacioacuten de a) y de b) del caso anterior ya que equivale a tomar negativamente 3 sumandos iguales a )5(minus
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EXPONENTES y RADICALES
9
15)5()5()5()5)(3( =minusminusminusminusminusminus=minusminus
14 REGLA DE LOS SIGNOS DEL COCIENTE El anaacutelisis de los signos indicado en los ejemplos anteriores de este subtema permiten formular la siguiente regla
a) El cociente de dos nuacutemeros algebraicos de mismo signo es positivo b) El cociente de dos nuacutemeros algebraicos de distinto signo es negativo
Esta regla puede indicarse simboacutelicamente de la siguiente manera
+=++
)()(
+=minusminus
)()(
minus=minus+
)()(
minus=+minus
)()(
La divisioacuten es una operacioacuten inversa de la multiplicacioacuten que tiene por objeto
hallar uno de dos factores (cociente) cuando se conoce su producto (dividendo) y el otro factor (divisor) Por tanto para dividir se procede a la inversa de coacutemo se hace en la multiplicacioacuten
Suelen considerarse los mismos casos que en la multiplicacioacuten los cuales
pueden resumirse como se indica seguidamente 1
)4)(5(204)5()20(
=+=++ porque y 4
)5()4)(5(=
1
)4)(5(204)5()20(
minusminus=minus=minus+ porque y 4
)5()4)(5(
minus=minusminusminus
20)5)(4(4)5()20(
minus=+minusminus=+minus porque
20)5)(4(4)5()20(
minus=minus++=minusminus porque
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EXPONENTES y RADICALES
10
15 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Sea el siguiente rectaacutengulo ABCD el cual tiene 5 centiacutemetros (cm) de largo y 3 centiacutemetros de ancho como se indica en la siguiente figura geomeacutetrica
En esta figura geomeacutetrica se pueden formar 3 fajas de 5 centiacutemetros de largo por 1 centiacutemetro de ancho cada faja puede dividirse en cinco cuadritos de 1 centiacutemetro de largo y 1 centiacutemetro de ancho Las tres fajas juntas constan de 5 X 153 = 2cm que es el aacuterea del rectaacutengulo
El resultado se expresa diciendo el aacuterea de un rectaacutengulo es igual al producto de la base por la altura Esta expresioacuten puede abreviarse de la siguiente manera Aacuterea = base X altura La cual puede ser representada por las literales =A aacuterea =b base y a = altura Por lo que
bA = X a
Dicha abreviacioacuten a su vez resulta maacutes corta si se suprime el signo X y asiacute queda la expresioacuten baA =
Dicha expresioacuten se llama foacutermula algebraica Toda foacutermula es una regla expresada por medio de siacutembolos e indica las
operaciones que deben de efectuarse con los nuacutemeros representados por las literales para obtener ciertos resultados [Anfosi Agustiacuten Paacuteg 2]
Asiacute el rectaacutengulo constaraacute de n fajas de 25 cm cada una y el aacuterea seraacute de
5=A X n = ][5 2cmn
5 cm de largo
3 cm
de
anch
o
A B
CD
B
CD
5 cm A
3 cm
1 cm
1 cm
1 cm2
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EXPONENTES y RADICALES
11
De la foacutermula para obtener el aacuterea del rectaacutengulo baA= se deducen las siguientes transformaciones de dicha expresioacuten
aAb = y
bAa =
Donde para la primera expresioacuten conocida el aacuterea del rectaacutengulo y su altura se puede saber su base y para la segunda expresioacuten conocida el aacuterea del rectaacutengulo y su base se puede obtener su altura
El aacuterea de un rectaacutengulo de base b y altura a es ba El aacuterea de tres rectaacutengulos iguales al anterior es babababa 3=++
El volumen de un paralelepiacutepedo en que las dimensiones de la base son b y a
y la altura es c es bac
El volumen de dos paralelepiacutepedos iguales al anterior es bacbacbac 2=+
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
12
El duplo se escribe a2 el triple de b se escribe b3 el cuaacutedruplo de 3a
3
4 a el
quiacutentuplo de c c5 etc Asiacute se tiene aaa +=2 bbbb ++=3
33333
4 aaaaa+++=
cccccc ++++=5 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
)( eaigualessumandosneeene ++++= En las expresiones anteriores ny5432 se llaman coeficientes El coeficiente es el nuacutemero o la literal que indica cuaacutentos sumandos iguales se toman Los cuatro primeros son numeacutericos y el uacuteltimo es literal
Ejemplo a) Representar la edad de cada uno de los miembros de la familia de Carlos Se
sabe que la edad de la hermana es dos tercios de la de Carlos la de la madre el triple la del padre cuatro veces y la del abuelo es igual a la suma de las edades del padre y de la madre
Solucioacuten La edad de Carlos es = a
La edad de la hermana es = a32
La edad de la madre es = a3 La edad del padre es = a4 Y la edad del abuelo es = aa 43 +
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
13
b) A continuacioacuten se presenta un plano de una parte de un piso cuyas dimensiones estaacuten expresadas en el mismo
En este plano se observa que la longitud de este piso se puede expresar como ba+=8 de donde ba minus= 8 Y que el ancho es ihdc +=+
En estos dos ejemplos aparecen expresiones que son combinaciones de
nuacutemeros y literales separadas por los signos de las operaciones matemaacuteticas (aritmeacuteticas) Estas expresiones reciben el nombre de expresiones algebraicas 141 TEacuteRMINOS Y COEFICIENTES Sea la siguiente expresioacuten algebraica la cual estaacute formada por cinco sumandos
babbaa 3212
35
++++
Se llama teacutermino de una expresioacuten algebraica a cada uno de dichos sumandos Asiacute a2 es una expresioacuten algebraica de un teacutermino ba +3 es una expresioacuten algebraica de dos teacuterminos 123 ++ aab es una expresioacuten algebraica de tres teacuterminos Donde cada teacutermino consta de una parte numeacuterica (coeficiente del teacutermino) y otra literal Asiacute a2 es un teacutermino de coeficiente 2 y parte literal a
ab23
es un teacutermino de coeficiente 23
y parte literal ab
a b
c
e
d
h
i
8
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
14
2xy es un teacutermino de coeficiente 1 y parte literal 2xy
Ejemplo Representar la edad de cada uno de los miembros de la familia de Carlos Se sabe que la edad de la hermana es dos tercios de la edad de Carlos la de la madre el triple la del padre cuatro veces y la del abuelo es igual a la suma de las edades del padre y la madre Solucioacuten Las expresiones algebraicas seraacuten las siguientes La edad de Carlos = a
La edad de la hermana = a32
La edad de la madre = a3 La edad del padre = a4 Y la edad del abuelo = aa 43 + A continuacioacuten se presenta el valor numeacuterico de cada una de las expresiones algebraicas si se sabe que la edad de Carlos es de 9 antildeos es decir 9=a La edad de Carlos = 9 antildeos
La edad de la hermana = 63
183
)9)(2()9(32
=== antildeos
La edad de la madre = 27)9(3 = antildeos La edad del padre = 36)9(4 = antildeos Y la edad del abuelo = 633627)9(4)9(3 =+=+ antildeos Nota
Si la edad de Carlos fuera otra los valores numeacutericos de cada una de las expresiones algebraicas seriacutean distintos
El valor numeacuterico de una expresioacuten algebraica no es uacutenico ya que depende del valor que se le deacute a la literal o letra(s) que en ella intervengan
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
15
2 EXPONENTES Considere el caso especial de la multiplicacioacuten en el que todos los factores que se van a multiplicar son iguales Asiacute si se multiplica el nuacutemero a por siacute mismo se obtiene el producto aa el cual generalmente se escribe en la forma 2a En general el producto de n factores cada uno de ellos iguales a a se escribe en la forma na recibiendo el nuacutemero entero y positivo n el nombre de exponente En este caso se dice que se ha elevado el nuacutemero a a la eneacutesima potencia operacioacuten que recibe el nombre de potenciacioacuten 21 POTENCIACIOacuteN La potencia de una expresioacuten algebraica es la misma expresioacuten o el resultado de tomarla como factor dos o maacutes veces Asiacute la primera potencia de una expresioacuten es la misma expresioacuten como se indica a continuacioacuten aa 2)2( 1 =
La segunda potencia o cuadrado de una expresioacuten es el resultado de tomarla como factor dos veces Por lo que
22 4))()(2)(2()2)(2()2( aaaaaa === El cubo de una expresioacuten es el resultado de tomarla como factor tres veces por
ejemplo
33 8))()()(2)(2)(2()2)(2)(2()2( aaaaaaaa === Y en forma general ( ) ( )( )( ) vecesnaaaa n
2222 = 211 POTENCIA DE UN MONOMIO Para elevar un monomio a una potencia se eleva su coeficiente a esa potencia y se multiplica el exponente de cada letra por el exponente que indica la potencia Ejemplo Desarrollar las siguientes expresiones algebraicas
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
16
a) 32 )3( ab b) 343 )5( yxminus c) 4
232
minus
yx
d) 5
43
32
minus ba
Solucioacuten
a) 63)3)(2()3)(1(32333 2727)()()3()3( bababaab ===
b) =minus=minus=minus )3)(4()3)(3(34333343 125)()()5()5( yxyxyx 129125 yxminus
c) 8
4
)4)(2(
)4)(1(
4
44
2
44
2 8116
)()(
)3()2(
32
32
yx
yx
yx
yx
=minus
=
minus=
minus
d) ( ) ( ) =minus
=
minus=
minus 543
5
5543
5543
)3()2(
32
32 bababa
2015)5)(4()5)(3(5
5
24332)()(
)3()2( baba minus=
minus=
2111 PROPIEDADES
Los exponentes indican multiplicacioacuten repetida por ejemplo
a) yy =2 ))(( yyy =
Donde 2y se lee y a la segunda potencia o y al cuadrado b) zz =3 z z = ))()(( zzz se lee z a la tercera potencia o z al cubo c) xx =4 x x x = ))()()(( xxxx se lee x a la cuarta potencia
22 EXPONENTES DE NUacuteMEROS REALES
Si n es un nuacutemero real entonces
xdefactoresn
xxn = x x x
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EXPONENTES y RADICALES
17
La expresioacuten exponencial nx se llama potencia de x y se lee x a la eneacutesima potencia o x a la potencia n En la expresioacuten siguiente
nx Exponente
Base
x se llama base y n es el exponente Un exponente que sea nuacutemero natural indica cuaacutentas veces se usa la base de expresioacuten exponencial como factor de un producto por ejemplo
a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==
b) 32)2)(2)(2)(2)(2()2( 5 minus=minusminusminusminusminus=minus
c) 4()4(4 44 minus=minus=minus 4 4 256)4 minus=
d) 256)4)(4)(4)(4()4( 4 =minusminusminusminus=minus
e) 33
81
21
21
21
21 aaaaa =
=
f) 22
251
51
51
51 bbbb =
minus
minus=
minus
g) 35 xx indica que x se debe usar cinco veces como factor y 3x representa que x se debe usar tres veces como factor por lo que 35 xx se usaraacute ocho veces como factor xdefactores5 xdefactores3
xxx =35 x x x x X x x x =
xdefactores8 = x x x x x x x x
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EXPONENTES y RADICALES
18
En general
xdefactoresm xdefactoresn
xxx nm = x x x X x x x x = xdefactoresnm + = x x x x x Por lo tanto para multiplicar expresiones exponenciales con la misma base se
mantiene esa base y se suman los exponentes 221 REGLA DEL PRODUCTO PARA EXPONENTES
Si m y n son nuacutemeros naturales entonces nmnm xxx += Para desarrollar la regla de divisioacuten de las expresiones exponenciales se procede de la siguiente manera
nmnmnmn
mn
m
xxxxx
xxx minusminus+minus ===
= )(1
Por tanto para dividir dos expresiones exponenciales con la misma base distinta de cero se mantiene la base y se resta el exponente del denominador del exponente del numerador
NOTA La regla del producto para exponentes soacutelo se aplica a expresiones exponenciales que tienen la misma base Por ejemplo la expresioacuten 35 yx no se puede simplificar porque las bases de las expresiones exponenciales son diferentes Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)
minus 34
418 xx
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EXPONENTES y RADICALES
19
Solucioacuten
a) 16511511 xxxx == +
b) 15645645 aaaaa == ++
c) 67244324432443 bababbaababa === ++
d) 7343434 248
418
418 xxxxxx minus=
minus=
minus=
minus +
Para encontrar otra propiedad se simplificaraacute la expresioacuten 34 )(x que significa
que 4x se eleva al cubo o en su caso 4x se repite tres veces 4x 4x 4x Donde 4x 4x 4x
=34 )(x 4x 4x 4x = ( x x x x )( x x x x )( x x x x )= = 12444 xx =++ En general se tiene que
nxdefactoresn nxdefactoresmn
mnm xx =)( mx mx mx = x x x x x x = mnx
Asiacute para elevar una expresioacuten exponencial a una potencia se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes
Ejemplo
Si se eleva x3 al cuadrado se obtiene el siguiente resultado
( ) )3(3 2 xx = ))()(3)(3()3( xxx = = 222 93 xx = En general se tiene que
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EXPONENTES y RADICALES
20
xydefactoresn xdefactoresn ( ) ))()(( xyxyxyxy n = xxxxy =)( x yyy y = nn yx
ydefactoresn
Otra propiedad por ejemplo es elevar al cubo la siguiente expresioacuten 3x
Solucioacuten
33
3 xx=
3x
3x
= 27)3)(3)(3(
))()(( 3xxxx=
En general se tiene lo siguiente
yxdefactoresn
=
yx
yx
yx
yx
n
yx
( )0ney
xdefactoresn
)())()(()())()((
yyyyxxxx
= = n
n
yx
ydefactoresn Los tres resultados anteriores se llaman reglas de potencias de los exponentes Si m y n son nuacutemeros naturales entonces
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EXPONENTES y RADICALES
21
( ) mnnm xx = nnn yxxy =)( n
nn
yx
yx
=
)0( ney
Ejemplos
Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) ( )323 b) ( )511x c) ( )632xx d) ( ) ( )2342 xx e) ( )32 yx f) ( )443 yx g) 4
2
yx
h) 2
4
3
yx
Solucioacuten
a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===
b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==
c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +
d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +
e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===
f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==
g) ( ) 8
4
42
44
2 yx
yx
yx
==
( )0ney
h) ( )( ) 8
62
24
32
4
3
yx
yx
yx
==
( )0ney
Analizar la diferencia que existe entre nxminus y nx)(minus
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EXPONENTES y RADICALES
22
Solucioacuten
xdefactoresn xdefactoresn minus
(minus=minus nx x x x x ) y )())()(()( xxxxx n minusminusminusminus=minus
Tambieacuten es conveniente hacer notar la diferencia que existe entre nax y ( )nax donde
xdefactoresn axdefactoresn
aaxn = x x x x y )())()(()( axaxaxaxax n = 222 EL EXPONENTE CERO Cuando las reglas de los exponentes son vaacutelidas y si el exponente es igual a 0 (cero) se tiene lo siguiente nnnnn xxxxxx 1)1()1(00 ==== + Como nn xxx 10 = en consecuencia ( )010 ne= xx
El exponente cero si 10 0 =ne xentoncesx En general cualquier base distinta de cero elevada a la potencia cero es igual a 1 Tambieacuten
10 === minusn
nnn
xxxx
Si todas las bases son distintas de cero y el exponente es cero entonces
a) 150 =
b) ( ) 17 0 =minus
c) ( ) 1303 =ax
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EXPONENTES y RADICALES
23
d) 121 0
975 =
zyx
NOTA
00 es indefinido esto a consecuencia de que infin=00 223 EXPONENTES NEGATIVOS Las reglas de los exponentes son vaacutelidas tambieacuten cuando eacutestos son enteros negativos ( )010 ne=== +minusminus xxxxx nnnn
ya que nxminus 1=nx y nx
1 1=nx
Ademaacutes se define a nxminus como el reciacuteproco de nx Por lo que
nn
xx 1
=minus y nn x
x=
minus
1
NOTA De acuerdo con la definicioacuten de exponentes negativos la base no puede ser 0
Asiacute una expresioacuten como 50minus no estaacute definida por lo que
infin=minus50 Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 25minus b) 310minus c) ( ) 32 minusx d) 13 minusx e) 35xxminus f) ( ) 23 minusminusx Solucioacuten
a) 251
515 2
2 ==minus
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EXPONENTES y RADICALES
24
b) 1000
110110 3
3 ==minus
c) ( ) 33
3
81
21)2(
xxx ==minus
d) 33 1 =minusx xx31
=
e) 2
23535 1x
xxxx === minus+minusminus
f) ( ) 6)2)(3(23 xxx == minusminusminusminus
2224 REGLA DEL COCIENTE Si m y n son enteros entonces
( )0 ne= minus xxxx nm
n
m
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 3
5
aa
b) 11
5
xxminus
c) 5
34
minusxxx
d) ( )( )23
32
x
x e) 4
32
xyyx
f) 3
432
32
minus
baaba
Solucioacuten
a) 2353
5
aaaa
== minus
b) 16
1611511
5 1x
xxxx
=== minusminusminusminus
c) 12575
7
5
34
5
34
xxxxx
xx
xxx
====minusminus
+
minus
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EXPONENTES y RADICALES
25
d) ( )( )
( )( )
( )( ) 10666
6
23
32
23
32
===== minus xxxx
xx
xx
o en su caso
( )( )
( )( )
( )( ) 16
6
23
32
23
32
===xx
xx
xx
e) yxyxyxyyxx
xyyx
==== minusminusminusminusminus 11431243124
32
f) ( )( )
( )
)3)(4()3)(3()3)(middot2(
)3)(3(3)(2
3432
3323
432
32
baaba
baa
babaaba minusminusminus
==
= =
minus
1296
96
baaba
1221321
1215
96 1ba
bababa
=== minusminusminus
o en su caso
=
=
minusminus 3
45
323
432
32
baba
baaba
= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317
33
17
317 1111babababa
ba ===
=minusminus
El siguiente teorema indica que una fraccioacuten elevada a una potencia negativa se puede invertir y elevarse asiacute a una potencia positiva
Teorema Si n es un nuacutemero entero entonces
( )00 nene
=
minus
yxny
yx nn
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EXPONENTES y RADICALES
26
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 4
32 minus
b)
3
2
xy
c) 4
3
2
32
minus
minus
yx
d)
minus
432
32
baaba
Solucioacuten
a) ( )( ) 16
8123
23
32
4
444
==
=
minus
b) ( )( ) 6
9
)3)(2(
)3)(3(
32
333
2
33
3
2
yx
yx
yx
yx
xy
===
=
minus
c) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ====
=
minusminusminusminusminus
minus )4)(2(
)4)(3(
424
434
42
434
2
34
3
2
1681
23
23
23
32
xy
xy
xy
xy
yx
= 8
12
1681
xy minus
= 1681
8
12
xy minus
= 1281681
yx
d) ( )( )
( )( ) ===
=
minusminusminus
minusminus
)3)(3()3)(2(
)3)(4()3)(5(
332
3453
32
4323
432
32
baba
baba
babaa
baaba
= =minus 96
1215
baba 321912)6(15 babbaa =minusminusminus
23 RESUMEN Si no existen divisiones entre 0 (cero) entonces para enteros m y n cualesquiera
a) nmnm xxx += b) ( ) mnnm xx =
c) ( ) nnn yxxy =
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EXPONENTES y RADICALES
27
d) n
nn
yx
yx
=
e) ( )010 ne= xx
f) n
n
xx 1
=minus
g) nmn
m
xxx minus=
h) nn
xy
yx
=
minus
NOTA Las mismas reglas se aplican cuando los exponentes son variables 24 EJERCICIOS
1 Simplificar las siguientes expresiones
a) 24 b) 32 )(x c) 12 )( minusminusx d) 5
2
xx
e) 25minus
Solucioacuten a) 16)4)(4(42 == b) 6)3)(2(32 )( xxx == c) 2)1)(2(12 )( xxx == minusminusminusminus
o tambieacuten
222
22
21212
1)1)(1())(1(
111
111
)(1)( xxx
xxxx
x =======minusminus
minusminus
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EXPONENTES y RADICALES
28
d) 2253)5()3(53
5
3 1))((x
xxxxxxx
===== minusminusminus+minus
o tambieacuten 1 1 1
21
))()()()(())()((
))()()()(())()((
xxxxxxxxx
xxxxxxxx
== = 2minusx
e) 12
2 25251
515 minusminus ===
2 Simplificar las siguientes expresiones considerando que ninguno de los
denominadores sea igual a cero
a) 32
29
)(mmm minus
b) 43
32 )2(minus
minus
aaa
c)043
22 )3(xxx
xminus
minus
d) 042
2022
)4()(4
minus
minus
minusminus
yxyxx
e) 2
25
44
93
minus
minus
minusminus
yxyx
Solucioacuten
a) mmmmm
mm
mmm
===== minusminusminus
1676
7
)3)(2(
29
32
29
)(
b) 561
6
43
)3)(2(3
43
32 88))(8())(2()2(aa
aa
aaa
aaa
====minus
minus
minus
minus
minus
minus
c) 37
4
3)4(
4
322
4
043
22
91
99)1()1()3()3(
xxx
xxx
xxx
xxxx
====minus
minus
d) =minus
=minus
=minus
minus +minus
minus
minus
1)1(4
1)1(4
)4()(4 0222
042
2022 xxyx
yxx
414
1)1)(1(4
minus=minus
=minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
29
e) ( )( )
( )( ) =minusminus
=minusminus
=
minusminus
minus
minus
minusminus
minusminus
minus 224
225
225
2442
25
44
39
93
93
yxyx
yxyx
yxyx
= ( )
( ) ( ) ( )2
48
410
22242
22252
99
813
)()9( xyxyx
yxyx
==minusminus
minus
minus
minus
minus
3 Encontrar el valor numeacuterico de las siguientes expresiones con 2minus=x y
3=y para
a) 23 yx b) 3
3
yxminus
c) ( ) 22 minusxy d) 23 minusminus xy e) 23)( minusminus xy
Solucioacuten
a) ( ) ( ) 72)9)(8(32 2323 minus=minus=minus=yx
b) ( ) ( ) ( )( ) =minus
=minus
==minus
2781
3211
33333
3
yxyx
2161
2161
minus=minus
=
c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241
3211
2222
22 =minus
==minus
xyxy
d) ( ) ( )( ) 16
2722723 4
4323 minus=
minusminus
=minusminus=minus minusminusxy 1627
minus=
e) ( )( ) 4
272
3)()( 2
3
2
323 =
minus=
minus=minus minus
xyxy
3 RADICALES Con frecuencia en los problemas de aplicacioacuten se debe determinar queacute nuacutemero se puede elevar al cuadrado para obtener un segundo nuacutemero a Si se puede determinar a ese nuacutemero se le llama una raiacutez cuadrada de a Por ejemplo
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EXPONENTES y RADICALES
30
a) 0es una raiacutez cuadrada de 0 porque 002 = b) 4 es una raiacutez cuadrada de 16 porque 1642 = c) 4minus es una raiacutez cuadrada de 16 porque 16)4( 2 =minus d) xy7 es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy = e) xy7minus es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy =minus
31 RAIacuteZ CUADRADA DE a El nuacutemero b es una raiacutez cuadrada de a cuando 2 ab = Todos los nuacutemeros positivos tienen dos nuacutemeros reales que son sus raiacuteces cuadradas uno positivo y otro negativo El uacutenico nuacutemero con una sola raiacutez cuadrada es 0 cuya raiacutez cuadrada es 0 Ejemplo Determinar las dos raiacuteces cuadradas de 121 Solucioacuten Las dos raiacuteces cuadradas de 121son 11y 11minus porque 121112 = y 121)11( 2 =minus 32 RAIacuteZ CUADRADA PRINCIPAL Se llama signo radical al siacutembolo y a x el nuacutemero que se encuentran dentro del signo radical que se llama radicando Siacute x gt 0 la raiacutez principal de x es la raiacutez cuadrada positiva de x y se
representa con x La raiacutez cuadrada principal de 0 es 0 00 = NOTA Por definicioacuten el cuadrado principal de un nuacutemero positivo siempre es positivo Aunque 5 y 5minus son raiacuteces cuadradas de 25 soacutelo 5es la raiacutez cuadrada principal El radical
25 representa 5 El radical 25minus representa 5minus Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuadradas
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EXPONENTES y RADICALES
31
a) 11 =
b) 981 =
c) 981 minus=minus
d) 21
41=
e) 114
12116
minus=minus
f) 20040 =
g) 03000090 minus=minus
Los nuacutemeros como 1600491694 y se llaman cuadrados enteros porque cada uno de ellos es el cuadrado de un entero La raiacutez cuadrada de todo cuadrado entero es un nuacutemero racional Por ejemplo
4016007494163924 =====
Las raiacuteces cuadradas de muchos enteros positivos no son nuacutemeros racionales Por ejemplo 11 es un nuacutemero irracional cuyo valor aproximado ( )asymp es de
31662473 )3166247311( asymp Donde el siacutembolo asympquiere decir ldquoaproximadamente igual ardquo
Las raiacuteces cuadradas de nuacutemeros negativos no son nuacutemeros reales Por
ejemplo 9minus no es nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado al cuadrado es igual a 9minus Las raiacuteces cuadradas de los nuacutemeros negativos originan un conjunto llamado nuacutemeros imaginarios
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
32
33 RAIacuteCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE Si 0nex el nuacutemero positivo 2x tiene por raiacuteces a x y a xminus porque 22)( xx =
y 22)( xx =minus Para indicar la raiacutez cuadrada positiva de 2x se debe saber si x es positivo o negativo Si 0gtx se puede escribir lo siguiente xx =2 donde 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es x Si x es negativo entonces 0gtminus x es xx minus=2 ya que 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es xminus Si no se sabe si x es positivo o negativo se pueden emplear siacutembolos de valor absoluto para garantizar que 2x sea positiva xx =2 siempre y cuando x sea cualquier nuacutemero real Si x es cualquier nuacutemero real entonces
a) xxxx 44)4(16 22 ===
Por lo que escribir 216x en la forma 2)4( x siendo que ( ) 22 164 xx = Puesto que x podriacutea ser negativo Los siacutembolos de valor absoluto son necesarios ya que en el producto x4 4 es una constante positiva
b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2
+=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 4+x puede ser negativo por ejemplo cuando
8minus=x
c) ( ) 1112 22 +=+=++ xxxx Porque ( )211 +=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 1+x puede ser negativo por ejemplo cuando 5minus=x
d) 24 xx = porque ( ) 422 xx = Como 02 gex
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
33
34 RAIacuteCES CUacuteBICAS La raiacutez cuacutebica de x se representa por yx =3 si xy =3 Por ejemplo el nuacutemero 64 tiene dos raiacuteces cuadradas que son nuacutemeros reales 8 y 8minus Sin embargo 64 soacutelo tiene una raiacutez cuacutebica real que es el valor de 4 porque 4 es el uacutenico nuacutemero real cuyo cubo es 64 Por lo tanto
xx =3 3 Como todos los nuacutemeros reales tienen una y solo una raiacutez cuacutebica real algunas
de las cuales son positivas y otras negativas no es necesario emplear siacutembolos de valor absoluto al simplificar las raiacuteces cuacutebicas
Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuacutebicas
a) 3 125 b) 3
81
c) 3 327xminus d) 33
3
278
ba
minus e) 3 632160 yx
Solucioacuten a) 51253 = porque 125)5)(5)(5(53 ==
b) 21
81
3 = porque 81
21
21
21
21 3
=
=
c) xx 3273 3 minus=minus porque ( ) ( )( )( ) 33 273333 xxxxx minus=minusminusminus=minus
d) ba
ba
32
278
33
3
minus=minus porque 3
33
278
32
32
32
32
ba
ba
ba
ba
ba
minus=
minus
minus
minus=
minus
e) 23 63 602160 xyyx = porque
( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==
35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS Asiacute como existen raiacuteces cuadradas y raiacuteces cuacutebicas tambieacuten existen las raiacuteces cuartas raiacuteces quintas raiacuteces sextas etc
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
34
Cuando n es impar el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez impar Como todo nuacutemero real tiene una y soacutelo una raiacutez eneacutesima real cuando n es impar no es necesario preocuparse por los siacutembolos de valor absoluto cuando se calculan raiacuteces impares Ejemplo
a) 33243 5 55 == porque 24335 = b) ( ) xxx 227128 77 7 minus=minus=minus porque ( ) 77 1282 xx minus=minus
Cuando n es par el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez par En este caso habraacute una raiacutez eneacutesima positiva y una eneacutesima negativa Por ejemplo las dos raiacuteces sextas reales de 729 son 3 y 3minus porque
72936 = y 729)3( 6 =minus Cuando se determinan raiacuteces reales se emplean con frecuencia los siacutembolos de valor absoluto para garantizar que la eneacutesima raiacutez sea positiva Ejemplos
a) ( ) 3334 4 =minus=minus
Tambieacuten se puede simplificar de la siguiente manera ( ) 3813 44 4 ==minus
b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===
Los siacutembolos de valor absoluto garantizan que la raiacutez sexta es positiva
Generalizando se tienen las siguientes reglas Si x es un nuacutemero real y 1gtn entonces
a) Si n es un nuacutemero impar natural xxn n =
b) Si n es un nuacutemero par natural xxn n =
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
35
NOTA En el radical n x a n se le llama el iacutendice u orden del radical Cuando el iacutendice
es 2 el radical es una raiacutez cuadrada y se acostumbra no escribir el iacutendice Cuando n es par ( )2gtn y 0ltx el radical n x no es un nuacutemero real Por
ejemplo 4 81minus no es un nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado a la cuarta potencia es 81minus
Ejemplo
a) 56254 = porque 62554 = b) 2325 minus=minus porque ( ) 322 5 minus=minus
c) 21
641
6 = porque 641
21 6
=
36 EXPONENTES RACIONALES Los exponentes enteros positivos indican la cantidad de veces que se debe usar una base como factor en un producto Por ejemplo 5x significa que x se debe emplear cinco veces como factor ya que xdefactores5 ( )( )( )( )( )xxxxxx =5 Es posible elevar bases a potencias racionales (fraccionarias) cuando se desea que dichos exponentes respeten las mismas reglas que los coeficientes enteros el
cuadrado de 21
10 debe ser 10 porque
( )
10101010 1
2
212
21
===
Se mantiene la base y se multiplican los exponentes
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
36
( ) 112
212
21
=
=
10101 =
Sin embargo hay que recordar que ( ) 1010
2=
Como 2
21
10
y ( )210 son iguales a 10
Con esto se puede definir que 21
10 es igual a 10 Igualmente para
a) 31
10 como 3 10
b) 41
10 como 4 10
c) 51
10 como 5 10
Por lo que si n es un nuacutemero natural mayor que 1 y n x es un nuacutemero real entonces
nn xx =1
Ejemplo Resolver los siguientes radicales
a) 21
9 b) 21
916
minus c) ( )3
1
64minus d) 41
16 e) 51
321
f) 8
1
0 g) ( )51
232xminus
h) ( )41
xyz
Solucioacuten
a) 3999 221
===
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
37
b) 34
916
916
916
221
minus=minus=minus=
minus
c) ( ) 46464 331
minus=minus=minus
d) 21616 441
==
e) 21
321
321
551
==
f) 000 881
==
g) ( ) xxx 23232 5 551
5 minus=minus=minus
h) ( ) 441
xyzxyz =
i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes
fraccionarios
a) 4 5xyz b) 52
15xy
Solucioacuten
a) ( )41
4 55 xyzxyz =
b) 51
2
5
2
1515
=xyxy
37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1
Se puede ampliar la definicioacuten de nx1
para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
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EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
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EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
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EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
6
4+ y 4+ 3minus y 3minus
Dos nuacutemeros algebraicos son desiguales cuando difieren por el signo por el
moacutedulo o por el signo y el moacutedulo La desigualdad se indica por el signo ne que se lee no igual a o diferente de Asiacute
545833 minusne++ne++neminus
Dos nuacutemeros algebraicos son simeacutetricos cuando soacutelo difieren por el signo Asiacute 10+ y 10minus
3minus y 3+ aminus y a+ son simeacutetricos
1221 SUMA o ADICIOacuteN
Sumar )5(+ con )7(+ Para efectuar esta operacioacuten aritmeacutetica se puede partir
del valor 5+ y localizarlo en la escala de los nuacutemeros de la recta numeacuterica XrsquoX seguidamente contar 7 divisiones a la derecha asiacute se alcanza el 12
12)7()5( =+++ o simplemente 1275 =+
Para sumar )6(minus con )3(minus se parte de 3minus y se cuentan 6 divisiones a la
izquierda asiacute se llega al punto 9minus por lo que
)9()6()3( minus=minus+minus o simplemente 963 minus=minusminus De esto se deduce lo siguiente para sumar nuacutemeros algebraicos del mismo
signo se suman sus moacutedulos y a la suma se le da el signo de los sumandos Para sumar )6(+ con )9(minus se parte de 9minus y se cuentan 6 divisiones a la
derecha hasta llegar a 3minus Ya que
)3()6()9( minus=++minus o simplemente 369 minus=+minus Del mismo modo se obtendraacute
538)3()8( =minus=minus++
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EXPONENTES y RADICALES
7
Por tanto para sumar dos nuacutemeros algebraicos de distinto signo se resta el moacutedulo menor del mayor y a la diferencia se le da el signo del nuacutemero de mayor moacutedulo
La suma de varios nuacutemeros algebraicos de diferentes signos se reduce a los dos
casos anteriores ya que basta agrupar por separado todos los positivos y todos los negativos aplicando la suma y la resta para finalmente adicionarlos
=minus+++minus++ )2()4()5()7(
Agrupando los signos iguales
4711)2()5()4()7( =minus=minus+minus++++
1222 RESTA o SUSTRACCIOacuteN La resta es la operacioacuten inversa de la suma por lo tanto para restar nuacutemeros
algebraicos se procede a la inversa de coacutemo se hace para sumar Sea restar )5(+ de )8(+ Para efectuar esta operacioacuten se parte de 8 y se
recorren 5divisiones a la izquierda llegaacutendose al punto 3
358)5()8( =minus=+minus+ Para restar )2(+ de )3(minus se parte de 3minus y se cuentan 2 unidades a la
izquierda llegaacutendose al punto 5minus
523)2()3( minus==minusminus=+minusminus Para restar )8(minus de )3(minus se parte de 3minus y se cuentan 8 unidades a la derecha
se llega asiacute al punto 5
583)8()3( =+minus=minusminusminus
13 REGLA DE LOS SIGNOS DEL PRODUCTO A continuacioacuten se enuncia la regla de los signos del producto
a) El producto de dos nuacutemeros algebraicos de mismo signo es positivo b) El producto de dos nuacutemeros algebraicos de distinto signo es negativo
Este resultado puede indicarse simboacutelicamente como se indica a continuacioacuten
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EXPONENTES y RADICALES
8
+=minusminus+=++
))(())((
minus=+minusminus=minus+
))(())((
En la multiplicacioacuten o producto de nuacutemeros algebraicos se pueden distinguir dos
casos
1 Multiplicar dos nuacutemeros positivos como )5)(3( ++
Al considerar 3 como coeficiente la operacioacuten equivale a tomar 3 sumandos iguales a )5(+ por tanto
15555)5()5()5()5)(3( =++=+++++=++ Como se nota este caso no difiere del de la multiplicacioacuten de nuacutemeros aritmeacuteticos
Ejemplo
Multiplicar dos nuacutemeros de diferente signo a) )5)(3( minus+ y b) )5)(3( +minus
Solucioacuten
a) En el producto )5)(3( minus+ considerando a )3(+ como coeficiente la operacioacuten indicada equivale a tomar 3 sumandos iguales a 5minus
15)5()5()5()5)(3( minus=minus+minus+minus=minus+
b) En el producto )5)(3( +minus donde )3(minus se considera como coeficiente la
operacioacuten indicada equivale a tomar negativamente 3sumandos iguales a )5(+
15)5()5()5()5)(3( minus=+minus+minus+minus=+minus
Resultado que como se observa es igual al anterior
2 Multiplicar dos nuacutemeros negativos como )5)(3( minusminus
Este caso es una combinacioacuten de a) y de b) del caso anterior ya que equivale a tomar negativamente 3 sumandos iguales a )5(minus
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EXPONENTES y RADICALES
9
15)5()5()5()5)(3( =minusminusminusminusminusminus=minusminus
14 REGLA DE LOS SIGNOS DEL COCIENTE El anaacutelisis de los signos indicado en los ejemplos anteriores de este subtema permiten formular la siguiente regla
a) El cociente de dos nuacutemeros algebraicos de mismo signo es positivo b) El cociente de dos nuacutemeros algebraicos de distinto signo es negativo
Esta regla puede indicarse simboacutelicamente de la siguiente manera
+=++
)()(
+=minusminus
)()(
minus=minus+
)()(
minus=+minus
)()(
La divisioacuten es una operacioacuten inversa de la multiplicacioacuten que tiene por objeto
hallar uno de dos factores (cociente) cuando se conoce su producto (dividendo) y el otro factor (divisor) Por tanto para dividir se procede a la inversa de coacutemo se hace en la multiplicacioacuten
Suelen considerarse los mismos casos que en la multiplicacioacuten los cuales
pueden resumirse como se indica seguidamente 1
)4)(5(204)5()20(
=+=++ porque y 4
)5()4)(5(=
1
)4)(5(204)5()20(
minusminus=minus=minus+ porque y 4
)5()4)(5(
minus=minusminusminus
20)5)(4(4)5()20(
minus=+minusminus=+minus porque
20)5)(4(4)5()20(
minus=minus++=minusminus porque
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EXPONENTES y RADICALES
10
15 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Sea el siguiente rectaacutengulo ABCD el cual tiene 5 centiacutemetros (cm) de largo y 3 centiacutemetros de ancho como se indica en la siguiente figura geomeacutetrica
En esta figura geomeacutetrica se pueden formar 3 fajas de 5 centiacutemetros de largo por 1 centiacutemetro de ancho cada faja puede dividirse en cinco cuadritos de 1 centiacutemetro de largo y 1 centiacutemetro de ancho Las tres fajas juntas constan de 5 X 153 = 2cm que es el aacuterea del rectaacutengulo
El resultado se expresa diciendo el aacuterea de un rectaacutengulo es igual al producto de la base por la altura Esta expresioacuten puede abreviarse de la siguiente manera Aacuterea = base X altura La cual puede ser representada por las literales =A aacuterea =b base y a = altura Por lo que
bA = X a
Dicha abreviacioacuten a su vez resulta maacutes corta si se suprime el signo X y asiacute queda la expresioacuten baA =
Dicha expresioacuten se llama foacutermula algebraica Toda foacutermula es una regla expresada por medio de siacutembolos e indica las
operaciones que deben de efectuarse con los nuacutemeros representados por las literales para obtener ciertos resultados [Anfosi Agustiacuten Paacuteg 2]
Asiacute el rectaacutengulo constaraacute de n fajas de 25 cm cada una y el aacuterea seraacute de
5=A X n = ][5 2cmn
5 cm de largo
3 cm
de
anch
o
A B
CD
B
CD
5 cm A
3 cm
1 cm
1 cm
1 cm2
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EXPONENTES y RADICALES
11
De la foacutermula para obtener el aacuterea del rectaacutengulo baA= se deducen las siguientes transformaciones de dicha expresioacuten
aAb = y
bAa =
Donde para la primera expresioacuten conocida el aacuterea del rectaacutengulo y su altura se puede saber su base y para la segunda expresioacuten conocida el aacuterea del rectaacutengulo y su base se puede obtener su altura
El aacuterea de un rectaacutengulo de base b y altura a es ba El aacuterea de tres rectaacutengulos iguales al anterior es babababa 3=++
El volumen de un paralelepiacutepedo en que las dimensiones de la base son b y a
y la altura es c es bac
El volumen de dos paralelepiacutepedos iguales al anterior es bacbacbac 2=+
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EXPONENTES y RADICALES
12
El duplo se escribe a2 el triple de b se escribe b3 el cuaacutedruplo de 3a
3
4 a el
quiacutentuplo de c c5 etc Asiacute se tiene aaa +=2 bbbb ++=3
33333
4 aaaaa+++=
cccccc ++++=5 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
)( eaigualessumandosneeene ++++= En las expresiones anteriores ny5432 se llaman coeficientes El coeficiente es el nuacutemero o la literal que indica cuaacutentos sumandos iguales se toman Los cuatro primeros son numeacutericos y el uacuteltimo es literal
Ejemplo a) Representar la edad de cada uno de los miembros de la familia de Carlos Se
sabe que la edad de la hermana es dos tercios de la de Carlos la de la madre el triple la del padre cuatro veces y la del abuelo es igual a la suma de las edades del padre y de la madre
Solucioacuten La edad de Carlos es = a
La edad de la hermana es = a32
La edad de la madre es = a3 La edad del padre es = a4 Y la edad del abuelo es = aa 43 +
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EXPONENTES y RADICALES
13
b) A continuacioacuten se presenta un plano de una parte de un piso cuyas dimensiones estaacuten expresadas en el mismo
En este plano se observa que la longitud de este piso se puede expresar como ba+=8 de donde ba minus= 8 Y que el ancho es ihdc +=+
En estos dos ejemplos aparecen expresiones que son combinaciones de
nuacutemeros y literales separadas por los signos de las operaciones matemaacuteticas (aritmeacuteticas) Estas expresiones reciben el nombre de expresiones algebraicas 141 TEacuteRMINOS Y COEFICIENTES Sea la siguiente expresioacuten algebraica la cual estaacute formada por cinco sumandos
babbaa 3212
35
++++
Se llama teacutermino de una expresioacuten algebraica a cada uno de dichos sumandos Asiacute a2 es una expresioacuten algebraica de un teacutermino ba +3 es una expresioacuten algebraica de dos teacuterminos 123 ++ aab es una expresioacuten algebraica de tres teacuterminos Donde cada teacutermino consta de una parte numeacuterica (coeficiente del teacutermino) y otra literal Asiacute a2 es un teacutermino de coeficiente 2 y parte literal a
ab23
es un teacutermino de coeficiente 23
y parte literal ab
a b
c
e
d
h
i
8
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EXPONENTES y RADICALES
14
2xy es un teacutermino de coeficiente 1 y parte literal 2xy
Ejemplo Representar la edad de cada uno de los miembros de la familia de Carlos Se sabe que la edad de la hermana es dos tercios de la edad de Carlos la de la madre el triple la del padre cuatro veces y la del abuelo es igual a la suma de las edades del padre y la madre Solucioacuten Las expresiones algebraicas seraacuten las siguientes La edad de Carlos = a
La edad de la hermana = a32
La edad de la madre = a3 La edad del padre = a4 Y la edad del abuelo = aa 43 + A continuacioacuten se presenta el valor numeacuterico de cada una de las expresiones algebraicas si se sabe que la edad de Carlos es de 9 antildeos es decir 9=a La edad de Carlos = 9 antildeos
La edad de la hermana = 63
183
)9)(2()9(32
=== antildeos
La edad de la madre = 27)9(3 = antildeos La edad del padre = 36)9(4 = antildeos Y la edad del abuelo = 633627)9(4)9(3 =+=+ antildeos Nota
Si la edad de Carlos fuera otra los valores numeacutericos de cada una de las expresiones algebraicas seriacutean distintos
El valor numeacuterico de una expresioacuten algebraica no es uacutenico ya que depende del valor que se le deacute a la literal o letra(s) que en ella intervengan
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EXPONENTES y RADICALES
15
2 EXPONENTES Considere el caso especial de la multiplicacioacuten en el que todos los factores que se van a multiplicar son iguales Asiacute si se multiplica el nuacutemero a por siacute mismo se obtiene el producto aa el cual generalmente se escribe en la forma 2a En general el producto de n factores cada uno de ellos iguales a a se escribe en la forma na recibiendo el nuacutemero entero y positivo n el nombre de exponente En este caso se dice que se ha elevado el nuacutemero a a la eneacutesima potencia operacioacuten que recibe el nombre de potenciacioacuten 21 POTENCIACIOacuteN La potencia de una expresioacuten algebraica es la misma expresioacuten o el resultado de tomarla como factor dos o maacutes veces Asiacute la primera potencia de una expresioacuten es la misma expresioacuten como se indica a continuacioacuten aa 2)2( 1 =
La segunda potencia o cuadrado de una expresioacuten es el resultado de tomarla como factor dos veces Por lo que
22 4))()(2)(2()2)(2()2( aaaaaa === El cubo de una expresioacuten es el resultado de tomarla como factor tres veces por
ejemplo
33 8))()()(2)(2)(2()2)(2)(2()2( aaaaaaaa === Y en forma general ( ) ( )( )( ) vecesnaaaa n
2222 = 211 POTENCIA DE UN MONOMIO Para elevar un monomio a una potencia se eleva su coeficiente a esa potencia y se multiplica el exponente de cada letra por el exponente que indica la potencia Ejemplo Desarrollar las siguientes expresiones algebraicas
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EXPONENTES y RADICALES
16
a) 32 )3( ab b) 343 )5( yxminus c) 4
232
minus
yx
d) 5
43
32
minus ba
Solucioacuten
a) 63)3)(2()3)(1(32333 2727)()()3()3( bababaab ===
b) =minus=minus=minus )3)(4()3)(3(34333343 125)()()5()5( yxyxyx 129125 yxminus
c) 8
4
)4)(2(
)4)(1(
4
44
2
44
2 8116
)()(
)3()2(
32
32
yx
yx
yx
yx
=minus
=
minus=
minus
d) ( ) ( ) =minus
=
minus=
minus 543
5
5543
5543
)3()2(
32
32 bababa
2015)5)(4()5)(3(5
5
24332)()(
)3()2( baba minus=
minus=
2111 PROPIEDADES
Los exponentes indican multiplicacioacuten repetida por ejemplo
a) yy =2 ))(( yyy =
Donde 2y se lee y a la segunda potencia o y al cuadrado b) zz =3 z z = ))()(( zzz se lee z a la tercera potencia o z al cubo c) xx =4 x x x = ))()()(( xxxx se lee x a la cuarta potencia
22 EXPONENTES DE NUacuteMEROS REALES
Si n es un nuacutemero real entonces
xdefactoresn
xxn = x x x
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EXPONENTES y RADICALES
17
La expresioacuten exponencial nx se llama potencia de x y se lee x a la eneacutesima potencia o x a la potencia n En la expresioacuten siguiente
nx Exponente
Base
x se llama base y n es el exponente Un exponente que sea nuacutemero natural indica cuaacutentas veces se usa la base de expresioacuten exponencial como factor de un producto por ejemplo
a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==
b) 32)2)(2)(2)(2)(2()2( 5 minus=minusminusminusminusminus=minus
c) 4()4(4 44 minus=minus=minus 4 4 256)4 minus=
d) 256)4)(4)(4)(4()4( 4 =minusminusminusminus=minus
e) 33
81
21
21
21
21 aaaaa =
=
f) 22
251
51
51
51 bbbb =
minus
minus=
minus
g) 35 xx indica que x se debe usar cinco veces como factor y 3x representa que x se debe usar tres veces como factor por lo que 35 xx se usaraacute ocho veces como factor xdefactores5 xdefactores3
xxx =35 x x x x X x x x =
xdefactores8 = x x x x x x x x
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EXPONENTES y RADICALES
18
En general
xdefactoresm xdefactoresn
xxx nm = x x x X x x x x = xdefactoresnm + = x x x x x Por lo tanto para multiplicar expresiones exponenciales con la misma base se
mantiene esa base y se suman los exponentes 221 REGLA DEL PRODUCTO PARA EXPONENTES
Si m y n son nuacutemeros naturales entonces nmnm xxx += Para desarrollar la regla de divisioacuten de las expresiones exponenciales se procede de la siguiente manera
nmnmnmn
mn
m
xxxxx
xxx minusminus+minus ===
= )(1
Por tanto para dividir dos expresiones exponenciales con la misma base distinta de cero se mantiene la base y se resta el exponente del denominador del exponente del numerador
NOTA La regla del producto para exponentes soacutelo se aplica a expresiones exponenciales que tienen la misma base Por ejemplo la expresioacuten 35 yx no se puede simplificar porque las bases de las expresiones exponenciales son diferentes Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)
minus 34
418 xx
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EXPONENTES y RADICALES
19
Solucioacuten
a) 16511511 xxxx == +
b) 15645645 aaaaa == ++
c) 67244324432443 bababbaababa === ++
d) 7343434 248
418
418 xxxxxx minus=
minus=
minus=
minus +
Para encontrar otra propiedad se simplificaraacute la expresioacuten 34 )(x que significa
que 4x se eleva al cubo o en su caso 4x se repite tres veces 4x 4x 4x Donde 4x 4x 4x
=34 )(x 4x 4x 4x = ( x x x x )( x x x x )( x x x x )= = 12444 xx =++ En general se tiene que
nxdefactoresn nxdefactoresmn
mnm xx =)( mx mx mx = x x x x x x = mnx
Asiacute para elevar una expresioacuten exponencial a una potencia se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes
Ejemplo
Si se eleva x3 al cuadrado se obtiene el siguiente resultado
( ) )3(3 2 xx = ))()(3)(3()3( xxx = = 222 93 xx = En general se tiene que
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EXPONENTES y RADICALES
20
xydefactoresn xdefactoresn ( ) ))()(( xyxyxyxy n = xxxxy =)( x yyy y = nn yx
ydefactoresn
Otra propiedad por ejemplo es elevar al cubo la siguiente expresioacuten 3x
Solucioacuten
33
3 xx=
3x
3x
= 27)3)(3)(3(
))()(( 3xxxx=
En general se tiene lo siguiente
yxdefactoresn
=
yx
yx
yx
yx
n
yx
( )0ney
xdefactoresn
)())()(()())()((
yyyyxxxx
= = n
n
yx
ydefactoresn Los tres resultados anteriores se llaman reglas de potencias de los exponentes Si m y n son nuacutemeros naturales entonces
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EXPONENTES y RADICALES
21
( ) mnnm xx = nnn yxxy =)( n
nn
yx
yx
=
)0( ney
Ejemplos
Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) ( )323 b) ( )511x c) ( )632xx d) ( ) ( )2342 xx e) ( )32 yx f) ( )443 yx g) 4
2
yx
h) 2
4
3
yx
Solucioacuten
a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===
b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==
c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +
d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +
e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===
f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==
g) ( ) 8
4
42
44
2 yx
yx
yx
==
( )0ney
h) ( )( ) 8
62
24
32
4
3
yx
yx
yx
==
( )0ney
Analizar la diferencia que existe entre nxminus y nx)(minus
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EXPONENTES y RADICALES
22
Solucioacuten
xdefactoresn xdefactoresn minus
(minus=minus nx x x x x ) y )())()(()( xxxxx n minusminusminusminus=minus
Tambieacuten es conveniente hacer notar la diferencia que existe entre nax y ( )nax donde
xdefactoresn axdefactoresn
aaxn = x x x x y )())()(()( axaxaxaxax n = 222 EL EXPONENTE CERO Cuando las reglas de los exponentes son vaacutelidas y si el exponente es igual a 0 (cero) se tiene lo siguiente nnnnn xxxxxx 1)1()1(00 ==== + Como nn xxx 10 = en consecuencia ( )010 ne= xx
El exponente cero si 10 0 =ne xentoncesx En general cualquier base distinta de cero elevada a la potencia cero es igual a 1 Tambieacuten
10 === minusn
nnn
xxxx
Si todas las bases son distintas de cero y el exponente es cero entonces
a) 150 =
b) ( ) 17 0 =minus
c) ( ) 1303 =ax
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EXPONENTES y RADICALES
23
d) 121 0
975 =
zyx
NOTA
00 es indefinido esto a consecuencia de que infin=00 223 EXPONENTES NEGATIVOS Las reglas de los exponentes son vaacutelidas tambieacuten cuando eacutestos son enteros negativos ( )010 ne=== +minusminus xxxxx nnnn
ya que nxminus 1=nx y nx
1 1=nx
Ademaacutes se define a nxminus como el reciacuteproco de nx Por lo que
nn
xx 1
=minus y nn x
x=
minus
1
NOTA De acuerdo con la definicioacuten de exponentes negativos la base no puede ser 0
Asiacute una expresioacuten como 50minus no estaacute definida por lo que
infin=minus50 Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 25minus b) 310minus c) ( ) 32 minusx d) 13 minusx e) 35xxminus f) ( ) 23 minusminusx Solucioacuten
a) 251
515 2
2 ==minus
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EXPONENTES y RADICALES
24
b) 1000
110110 3
3 ==minus
c) ( ) 33
3
81
21)2(
xxx ==minus
d) 33 1 =minusx xx31
=
e) 2
23535 1x
xxxx === minus+minusminus
f) ( ) 6)2)(3(23 xxx == minusminusminusminus
2224 REGLA DEL COCIENTE Si m y n son enteros entonces
( )0 ne= minus xxxx nm
n
m
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 3
5
aa
b) 11
5
xxminus
c) 5
34
minusxxx
d) ( )( )23
32
x
x e) 4
32
xyyx
f) 3
432
32
minus
baaba
Solucioacuten
a) 2353
5
aaaa
== minus
b) 16
1611511
5 1x
xxxx
=== minusminusminusminus
c) 12575
7
5
34
5
34
xxxxx
xx
xxx
====minusminus
+
minus
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EXPONENTES y RADICALES
25
d) ( )( )
( )( )
( )( ) 10666
6
23
32
23
32
===== minus xxxx
xx
xx
o en su caso
( )( )
( )( )
( )( ) 16
6
23
32
23
32
===xx
xx
xx
e) yxyxyxyyxx
xyyx
==== minusminusminusminusminus 11431243124
32
f) ( )( )
( )
)3)(4()3)(3()3)(middot2(
)3)(3(3)(2
3432
3323
432
32
baaba
baa
babaaba minusminusminus
==
= =
minus
1296
96
baaba
1221321
1215
96 1ba
bababa
=== minusminusminus
o en su caso
=
=
minusminus 3
45
323
432
32
baba
baaba
= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317
33
17
317 1111babababa
ba ===
=minusminus
El siguiente teorema indica que una fraccioacuten elevada a una potencia negativa se puede invertir y elevarse asiacute a una potencia positiva
Teorema Si n es un nuacutemero entero entonces
( )00 nene
=
minus
yxny
yx nn
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EXPONENTES y RADICALES
26
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 4
32 minus
b)
3
2
xy
c) 4
3
2
32
minus
minus
yx
d)
minus
432
32
baaba
Solucioacuten
a) ( )( ) 16
8123
23
32
4
444
==
=
minus
b) ( )( ) 6
9
)3)(2(
)3)(3(
32
333
2
33
3
2
yx
yx
yx
yx
xy
===
=
minus
c) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ====
=
minusminusminusminusminus
minus )4)(2(
)4)(3(
424
434
42
434
2
34
3
2
1681
23
23
23
32
xy
xy
xy
xy
yx
= 8
12
1681
xy minus
= 1681
8
12
xy minus
= 1281681
yx
d) ( )( )
( )( ) ===
=
minusminusminus
minusminus
)3)(3()3)(2(
)3)(4()3)(5(
332
3453
32
4323
432
32
baba
baba
babaa
baaba
= =minus 96
1215
baba 321912)6(15 babbaa =minusminusminus
23 RESUMEN Si no existen divisiones entre 0 (cero) entonces para enteros m y n cualesquiera
a) nmnm xxx += b) ( ) mnnm xx =
c) ( ) nnn yxxy =
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EXPONENTES y RADICALES
27
d) n
nn
yx
yx
=
e) ( )010 ne= xx
f) n
n
xx 1
=minus
g) nmn
m
xxx minus=
h) nn
xy
yx
=
minus
NOTA Las mismas reglas se aplican cuando los exponentes son variables 24 EJERCICIOS
1 Simplificar las siguientes expresiones
a) 24 b) 32 )(x c) 12 )( minusminusx d) 5
2
xx
e) 25minus
Solucioacuten a) 16)4)(4(42 == b) 6)3)(2(32 )( xxx == c) 2)1)(2(12 )( xxx == minusminusminusminus
o tambieacuten
222
22
21212
1)1)(1())(1(
111
111
)(1)( xxx
xxxx
x =======minusminus
minusminus
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EXPONENTES y RADICALES
28
d) 2253)5()3(53
5
3 1))((x
xxxxxxx
===== minusminusminus+minus
o tambieacuten 1 1 1
21
))()()()(())()((
))()()()(())()((
xxxxxxxxx
xxxxxxxx
== = 2minusx
e) 12
2 25251
515 minusminus ===
2 Simplificar las siguientes expresiones considerando que ninguno de los
denominadores sea igual a cero
a) 32
29
)(mmm minus
b) 43
32 )2(minus
minus
aaa
c)043
22 )3(xxx
xminus
minus
d) 042
2022
)4()(4
minus
minus
minusminus
yxyxx
e) 2
25
44
93
minus
minus
minusminus
yxyx
Solucioacuten
a) mmmmm
mm
mmm
===== minusminusminus
1676
7
)3)(2(
29
32
29
)(
b) 561
6
43
)3)(2(3
43
32 88))(8())(2()2(aa
aa
aaa
aaa
====minus
minus
minus
minus
minus
minus
c) 37
4
3)4(
4
322
4
043
22
91
99)1()1()3()3(
xxx
xxx
xxx
xxxx
====minus
minus
d) =minus
=minus
=minus
minus +minus
minus
minus
1)1(4
1)1(4
)4()(4 0222
042
2022 xxyx
yxx
414
1)1)(1(4
minus=minus
=minus
=
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
29
e) ( )( )
( )( ) =minusminus
=minusminus
=
minusminus
minus
minus
minusminus
minusminus
minus 224
225
225
2442
25
44
39
93
93
yxyx
yxyx
yxyx
= ( )
( ) ( ) ( )2
48
410
22242
22252
99
813
)()9( xyxyx
yxyx
==minusminus
minus
minus
minus
minus
3 Encontrar el valor numeacuterico de las siguientes expresiones con 2minus=x y
3=y para
a) 23 yx b) 3
3
yxminus
c) ( ) 22 minusxy d) 23 minusminus xy e) 23)( minusminus xy
Solucioacuten
a) ( ) ( ) 72)9)(8(32 2323 minus=minus=minus=yx
b) ( ) ( ) ( )( ) =minus
=minus
==minus
2781
3211
33333
3
yxyx
2161
2161
minus=minus
=
c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241
3211
2222
22 =minus
==minus
xyxy
d) ( ) ( )( ) 16
2722723 4
4323 minus=
minusminus
=minusminus=minus minusminusxy 1627
minus=
e) ( )( ) 4
272
3)()( 2
3
2
323 =
minus=
minus=minus minus
xyxy
3 RADICALES Con frecuencia en los problemas de aplicacioacuten se debe determinar queacute nuacutemero se puede elevar al cuadrado para obtener un segundo nuacutemero a Si se puede determinar a ese nuacutemero se le llama una raiacutez cuadrada de a Por ejemplo
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EXPONENTES y RADICALES
30
a) 0es una raiacutez cuadrada de 0 porque 002 = b) 4 es una raiacutez cuadrada de 16 porque 1642 = c) 4minus es una raiacutez cuadrada de 16 porque 16)4( 2 =minus d) xy7 es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy = e) xy7minus es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy =minus
31 RAIacuteZ CUADRADA DE a El nuacutemero b es una raiacutez cuadrada de a cuando 2 ab = Todos los nuacutemeros positivos tienen dos nuacutemeros reales que son sus raiacuteces cuadradas uno positivo y otro negativo El uacutenico nuacutemero con una sola raiacutez cuadrada es 0 cuya raiacutez cuadrada es 0 Ejemplo Determinar las dos raiacuteces cuadradas de 121 Solucioacuten Las dos raiacuteces cuadradas de 121son 11y 11minus porque 121112 = y 121)11( 2 =minus 32 RAIacuteZ CUADRADA PRINCIPAL Se llama signo radical al siacutembolo y a x el nuacutemero que se encuentran dentro del signo radical que se llama radicando Siacute x gt 0 la raiacutez principal de x es la raiacutez cuadrada positiva de x y se
representa con x La raiacutez cuadrada principal de 0 es 0 00 = NOTA Por definicioacuten el cuadrado principal de un nuacutemero positivo siempre es positivo Aunque 5 y 5minus son raiacuteces cuadradas de 25 soacutelo 5es la raiacutez cuadrada principal El radical
25 representa 5 El radical 25minus representa 5minus Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuadradas
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EXPONENTES y RADICALES
31
a) 11 =
b) 981 =
c) 981 minus=minus
d) 21
41=
e) 114
12116
minus=minus
f) 20040 =
g) 03000090 minus=minus
Los nuacutemeros como 1600491694 y se llaman cuadrados enteros porque cada uno de ellos es el cuadrado de un entero La raiacutez cuadrada de todo cuadrado entero es un nuacutemero racional Por ejemplo
4016007494163924 =====
Las raiacuteces cuadradas de muchos enteros positivos no son nuacutemeros racionales Por ejemplo 11 es un nuacutemero irracional cuyo valor aproximado ( )asymp es de
31662473 )3166247311( asymp Donde el siacutembolo asympquiere decir ldquoaproximadamente igual ardquo
Las raiacuteces cuadradas de nuacutemeros negativos no son nuacutemeros reales Por
ejemplo 9minus no es nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado al cuadrado es igual a 9minus Las raiacuteces cuadradas de los nuacutemeros negativos originan un conjunto llamado nuacutemeros imaginarios
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EXPONENTES y RADICALES
32
33 RAIacuteCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE Si 0nex el nuacutemero positivo 2x tiene por raiacuteces a x y a xminus porque 22)( xx =
y 22)( xx =minus Para indicar la raiacutez cuadrada positiva de 2x se debe saber si x es positivo o negativo Si 0gtx se puede escribir lo siguiente xx =2 donde 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es x Si x es negativo entonces 0gtminus x es xx minus=2 ya que 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es xminus Si no se sabe si x es positivo o negativo se pueden emplear siacutembolos de valor absoluto para garantizar que 2x sea positiva xx =2 siempre y cuando x sea cualquier nuacutemero real Si x es cualquier nuacutemero real entonces
a) xxxx 44)4(16 22 ===
Por lo que escribir 216x en la forma 2)4( x siendo que ( ) 22 164 xx = Puesto que x podriacutea ser negativo Los siacutembolos de valor absoluto son necesarios ya que en el producto x4 4 es una constante positiva
b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2
+=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 4+x puede ser negativo por ejemplo cuando
8minus=x
c) ( ) 1112 22 +=+=++ xxxx Porque ( )211 +=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 1+x puede ser negativo por ejemplo cuando 5minus=x
d) 24 xx = porque ( ) 422 xx = Como 02 gex
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EXPONENTES y RADICALES
33
34 RAIacuteCES CUacuteBICAS La raiacutez cuacutebica de x se representa por yx =3 si xy =3 Por ejemplo el nuacutemero 64 tiene dos raiacuteces cuadradas que son nuacutemeros reales 8 y 8minus Sin embargo 64 soacutelo tiene una raiacutez cuacutebica real que es el valor de 4 porque 4 es el uacutenico nuacutemero real cuyo cubo es 64 Por lo tanto
xx =3 3 Como todos los nuacutemeros reales tienen una y solo una raiacutez cuacutebica real algunas
de las cuales son positivas y otras negativas no es necesario emplear siacutembolos de valor absoluto al simplificar las raiacuteces cuacutebicas
Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuacutebicas
a) 3 125 b) 3
81
c) 3 327xminus d) 33
3
278
ba
minus e) 3 632160 yx
Solucioacuten a) 51253 = porque 125)5)(5)(5(53 ==
b) 21
81
3 = porque 81
21
21
21
21 3
=
=
c) xx 3273 3 minus=minus porque ( ) ( )( )( ) 33 273333 xxxxx minus=minusminusminus=minus
d) ba
ba
32
278
33
3
minus=minus porque 3
33
278
32
32
32
32
ba
ba
ba
ba
ba
minus=
minus
minus
minus=
minus
e) 23 63 602160 xyyx = porque
( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==
35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS Asiacute como existen raiacuteces cuadradas y raiacuteces cuacutebicas tambieacuten existen las raiacuteces cuartas raiacuteces quintas raiacuteces sextas etc
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EXPONENTES y RADICALES
34
Cuando n es impar el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez impar Como todo nuacutemero real tiene una y soacutelo una raiacutez eneacutesima real cuando n es impar no es necesario preocuparse por los siacutembolos de valor absoluto cuando se calculan raiacuteces impares Ejemplo
a) 33243 5 55 == porque 24335 = b) ( ) xxx 227128 77 7 minus=minus=minus porque ( ) 77 1282 xx minus=minus
Cuando n es par el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez par En este caso habraacute una raiacutez eneacutesima positiva y una eneacutesima negativa Por ejemplo las dos raiacuteces sextas reales de 729 son 3 y 3minus porque
72936 = y 729)3( 6 =minus Cuando se determinan raiacuteces reales se emplean con frecuencia los siacutembolos de valor absoluto para garantizar que la eneacutesima raiacutez sea positiva Ejemplos
a) ( ) 3334 4 =minus=minus
Tambieacuten se puede simplificar de la siguiente manera ( ) 3813 44 4 ==minus
b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===
Los siacutembolos de valor absoluto garantizan que la raiacutez sexta es positiva
Generalizando se tienen las siguientes reglas Si x es un nuacutemero real y 1gtn entonces
a) Si n es un nuacutemero impar natural xxn n =
b) Si n es un nuacutemero par natural xxn n =
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EXPONENTES y RADICALES
35
NOTA En el radical n x a n se le llama el iacutendice u orden del radical Cuando el iacutendice
es 2 el radical es una raiacutez cuadrada y se acostumbra no escribir el iacutendice Cuando n es par ( )2gtn y 0ltx el radical n x no es un nuacutemero real Por
ejemplo 4 81minus no es un nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado a la cuarta potencia es 81minus
Ejemplo
a) 56254 = porque 62554 = b) 2325 minus=minus porque ( ) 322 5 minus=minus
c) 21
641
6 = porque 641
21 6
=
36 EXPONENTES RACIONALES Los exponentes enteros positivos indican la cantidad de veces que se debe usar una base como factor en un producto Por ejemplo 5x significa que x se debe emplear cinco veces como factor ya que xdefactores5 ( )( )( )( )( )xxxxxx =5 Es posible elevar bases a potencias racionales (fraccionarias) cuando se desea que dichos exponentes respeten las mismas reglas que los coeficientes enteros el
cuadrado de 21
10 debe ser 10 porque
( )
10101010 1
2
212
21
===
Se mantiene la base y se multiplican los exponentes
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EXPONENTES y RADICALES
36
( ) 112
212
21
=
=
10101 =
Sin embargo hay que recordar que ( ) 1010
2=
Como 2
21
10
y ( )210 son iguales a 10
Con esto se puede definir que 21
10 es igual a 10 Igualmente para
a) 31
10 como 3 10
b) 41
10 como 4 10
c) 51
10 como 5 10
Por lo que si n es un nuacutemero natural mayor que 1 y n x es un nuacutemero real entonces
nn xx =1
Ejemplo Resolver los siguientes radicales
a) 21
9 b) 21
916
minus c) ( )3
1
64minus d) 41
16 e) 51
321
f) 8
1
0 g) ( )51
232xminus
h) ( )41
xyz
Solucioacuten
a) 3999 221
===
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EXPONENTES y RADICALES
37
b) 34
916
916
916
221
minus=minus=minus=
minus
c) ( ) 46464 331
minus=minus=minus
d) 21616 441
==
e) 21
321
321
551
==
f) 000 881
==
g) ( ) xxx 23232 5 551
5 minus=minus=minus
h) ( ) 441
xyzxyz =
i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes
fraccionarios
a) 4 5xyz b) 52
15xy
Solucioacuten
a) ( )41
4 55 xyzxyz =
b) 51
2
5
2
1515
=xyxy
37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1
Se puede ampliar la definicioacuten de nx1
para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1
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EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
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EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
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EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
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EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
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EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
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EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
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EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
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EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
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EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
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EXPONENTES y RADICALES
7
Por tanto para sumar dos nuacutemeros algebraicos de distinto signo se resta el moacutedulo menor del mayor y a la diferencia se le da el signo del nuacutemero de mayor moacutedulo
La suma de varios nuacutemeros algebraicos de diferentes signos se reduce a los dos
casos anteriores ya que basta agrupar por separado todos los positivos y todos los negativos aplicando la suma y la resta para finalmente adicionarlos
=minus+++minus++ )2()4()5()7(
Agrupando los signos iguales
4711)2()5()4()7( =minus=minus+minus++++
1222 RESTA o SUSTRACCIOacuteN La resta es la operacioacuten inversa de la suma por lo tanto para restar nuacutemeros
algebraicos se procede a la inversa de coacutemo se hace para sumar Sea restar )5(+ de )8(+ Para efectuar esta operacioacuten se parte de 8 y se
recorren 5divisiones a la izquierda llegaacutendose al punto 3
358)5()8( =minus=+minus+ Para restar )2(+ de )3(minus se parte de 3minus y se cuentan 2 unidades a la
izquierda llegaacutendose al punto 5minus
523)2()3( minus==minusminus=+minusminus Para restar )8(minus de )3(minus se parte de 3minus y se cuentan 8 unidades a la derecha
se llega asiacute al punto 5
583)8()3( =+minus=minusminusminus
13 REGLA DE LOS SIGNOS DEL PRODUCTO A continuacioacuten se enuncia la regla de los signos del producto
a) El producto de dos nuacutemeros algebraicos de mismo signo es positivo b) El producto de dos nuacutemeros algebraicos de distinto signo es negativo
Este resultado puede indicarse simboacutelicamente como se indica a continuacioacuten
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EXPONENTES y RADICALES
8
+=minusminus+=++
))(())((
minus=+minusminus=minus+
))(())((
En la multiplicacioacuten o producto de nuacutemeros algebraicos se pueden distinguir dos
casos
1 Multiplicar dos nuacutemeros positivos como )5)(3( ++
Al considerar 3 como coeficiente la operacioacuten equivale a tomar 3 sumandos iguales a )5(+ por tanto
15555)5()5()5()5)(3( =++=+++++=++ Como se nota este caso no difiere del de la multiplicacioacuten de nuacutemeros aritmeacuteticos
Ejemplo
Multiplicar dos nuacutemeros de diferente signo a) )5)(3( minus+ y b) )5)(3( +minus
Solucioacuten
a) En el producto )5)(3( minus+ considerando a )3(+ como coeficiente la operacioacuten indicada equivale a tomar 3 sumandos iguales a 5minus
15)5()5()5()5)(3( minus=minus+minus+minus=minus+
b) En el producto )5)(3( +minus donde )3(minus se considera como coeficiente la
operacioacuten indicada equivale a tomar negativamente 3sumandos iguales a )5(+
15)5()5()5()5)(3( minus=+minus+minus+minus=+minus
Resultado que como se observa es igual al anterior
2 Multiplicar dos nuacutemeros negativos como )5)(3( minusminus
Este caso es una combinacioacuten de a) y de b) del caso anterior ya que equivale a tomar negativamente 3 sumandos iguales a )5(minus
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EXPONENTES y RADICALES
9
15)5()5()5()5)(3( =minusminusminusminusminusminus=minusminus
14 REGLA DE LOS SIGNOS DEL COCIENTE El anaacutelisis de los signos indicado en los ejemplos anteriores de este subtema permiten formular la siguiente regla
a) El cociente de dos nuacutemeros algebraicos de mismo signo es positivo b) El cociente de dos nuacutemeros algebraicos de distinto signo es negativo
Esta regla puede indicarse simboacutelicamente de la siguiente manera
+=++
)()(
+=minusminus
)()(
minus=minus+
)()(
minus=+minus
)()(
La divisioacuten es una operacioacuten inversa de la multiplicacioacuten que tiene por objeto
hallar uno de dos factores (cociente) cuando se conoce su producto (dividendo) y el otro factor (divisor) Por tanto para dividir se procede a la inversa de coacutemo se hace en la multiplicacioacuten
Suelen considerarse los mismos casos que en la multiplicacioacuten los cuales
pueden resumirse como se indica seguidamente 1
)4)(5(204)5()20(
=+=++ porque y 4
)5()4)(5(=
1
)4)(5(204)5()20(
minusminus=minus=minus+ porque y 4
)5()4)(5(
minus=minusminusminus
20)5)(4(4)5()20(
minus=+minusminus=+minus porque
20)5)(4(4)5()20(
minus=minus++=minusminus porque
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
10
15 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Sea el siguiente rectaacutengulo ABCD el cual tiene 5 centiacutemetros (cm) de largo y 3 centiacutemetros de ancho como se indica en la siguiente figura geomeacutetrica
En esta figura geomeacutetrica se pueden formar 3 fajas de 5 centiacutemetros de largo por 1 centiacutemetro de ancho cada faja puede dividirse en cinco cuadritos de 1 centiacutemetro de largo y 1 centiacutemetro de ancho Las tres fajas juntas constan de 5 X 153 = 2cm que es el aacuterea del rectaacutengulo
El resultado se expresa diciendo el aacuterea de un rectaacutengulo es igual al producto de la base por la altura Esta expresioacuten puede abreviarse de la siguiente manera Aacuterea = base X altura La cual puede ser representada por las literales =A aacuterea =b base y a = altura Por lo que
bA = X a
Dicha abreviacioacuten a su vez resulta maacutes corta si se suprime el signo X y asiacute queda la expresioacuten baA =
Dicha expresioacuten se llama foacutermula algebraica Toda foacutermula es una regla expresada por medio de siacutembolos e indica las
operaciones que deben de efectuarse con los nuacutemeros representados por las literales para obtener ciertos resultados [Anfosi Agustiacuten Paacuteg 2]
Asiacute el rectaacutengulo constaraacute de n fajas de 25 cm cada una y el aacuterea seraacute de
5=A X n = ][5 2cmn
5 cm de largo
3 cm
de
anch
o
A B
CD
B
CD
5 cm A
3 cm
1 cm
1 cm
1 cm2
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EXPONENTES y RADICALES
11
De la foacutermula para obtener el aacuterea del rectaacutengulo baA= se deducen las siguientes transformaciones de dicha expresioacuten
aAb = y
bAa =
Donde para la primera expresioacuten conocida el aacuterea del rectaacutengulo y su altura se puede saber su base y para la segunda expresioacuten conocida el aacuterea del rectaacutengulo y su base se puede obtener su altura
El aacuterea de un rectaacutengulo de base b y altura a es ba El aacuterea de tres rectaacutengulos iguales al anterior es babababa 3=++
El volumen de un paralelepiacutepedo en que las dimensiones de la base son b y a
y la altura es c es bac
El volumen de dos paralelepiacutepedos iguales al anterior es bacbacbac 2=+
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
12
El duplo se escribe a2 el triple de b se escribe b3 el cuaacutedruplo de 3a
3
4 a el
quiacutentuplo de c c5 etc Asiacute se tiene aaa +=2 bbbb ++=3
33333
4 aaaaa+++=
cccccc ++++=5 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
)( eaigualessumandosneeene ++++= En las expresiones anteriores ny5432 se llaman coeficientes El coeficiente es el nuacutemero o la literal que indica cuaacutentos sumandos iguales se toman Los cuatro primeros son numeacutericos y el uacuteltimo es literal
Ejemplo a) Representar la edad de cada uno de los miembros de la familia de Carlos Se
sabe que la edad de la hermana es dos tercios de la de Carlos la de la madre el triple la del padre cuatro veces y la del abuelo es igual a la suma de las edades del padre y de la madre
Solucioacuten La edad de Carlos es = a
La edad de la hermana es = a32
La edad de la madre es = a3 La edad del padre es = a4 Y la edad del abuelo es = aa 43 +
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
13
b) A continuacioacuten se presenta un plano de una parte de un piso cuyas dimensiones estaacuten expresadas en el mismo
En este plano se observa que la longitud de este piso se puede expresar como ba+=8 de donde ba minus= 8 Y que el ancho es ihdc +=+
En estos dos ejemplos aparecen expresiones que son combinaciones de
nuacutemeros y literales separadas por los signos de las operaciones matemaacuteticas (aritmeacuteticas) Estas expresiones reciben el nombre de expresiones algebraicas 141 TEacuteRMINOS Y COEFICIENTES Sea la siguiente expresioacuten algebraica la cual estaacute formada por cinco sumandos
babbaa 3212
35
++++
Se llama teacutermino de una expresioacuten algebraica a cada uno de dichos sumandos Asiacute a2 es una expresioacuten algebraica de un teacutermino ba +3 es una expresioacuten algebraica de dos teacuterminos 123 ++ aab es una expresioacuten algebraica de tres teacuterminos Donde cada teacutermino consta de una parte numeacuterica (coeficiente del teacutermino) y otra literal Asiacute a2 es un teacutermino de coeficiente 2 y parte literal a
ab23
es un teacutermino de coeficiente 23
y parte literal ab
a b
c
e
d
h
i
8
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
14
2xy es un teacutermino de coeficiente 1 y parte literal 2xy
Ejemplo Representar la edad de cada uno de los miembros de la familia de Carlos Se sabe que la edad de la hermana es dos tercios de la edad de Carlos la de la madre el triple la del padre cuatro veces y la del abuelo es igual a la suma de las edades del padre y la madre Solucioacuten Las expresiones algebraicas seraacuten las siguientes La edad de Carlos = a
La edad de la hermana = a32
La edad de la madre = a3 La edad del padre = a4 Y la edad del abuelo = aa 43 + A continuacioacuten se presenta el valor numeacuterico de cada una de las expresiones algebraicas si se sabe que la edad de Carlos es de 9 antildeos es decir 9=a La edad de Carlos = 9 antildeos
La edad de la hermana = 63
183
)9)(2()9(32
=== antildeos
La edad de la madre = 27)9(3 = antildeos La edad del padre = 36)9(4 = antildeos Y la edad del abuelo = 633627)9(4)9(3 =+=+ antildeos Nota
Si la edad de Carlos fuera otra los valores numeacutericos de cada una de las expresiones algebraicas seriacutean distintos
El valor numeacuterico de una expresioacuten algebraica no es uacutenico ya que depende del valor que se le deacute a la literal o letra(s) que en ella intervengan
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
15
2 EXPONENTES Considere el caso especial de la multiplicacioacuten en el que todos los factores que se van a multiplicar son iguales Asiacute si se multiplica el nuacutemero a por siacute mismo se obtiene el producto aa el cual generalmente se escribe en la forma 2a En general el producto de n factores cada uno de ellos iguales a a se escribe en la forma na recibiendo el nuacutemero entero y positivo n el nombre de exponente En este caso se dice que se ha elevado el nuacutemero a a la eneacutesima potencia operacioacuten que recibe el nombre de potenciacioacuten 21 POTENCIACIOacuteN La potencia de una expresioacuten algebraica es la misma expresioacuten o el resultado de tomarla como factor dos o maacutes veces Asiacute la primera potencia de una expresioacuten es la misma expresioacuten como se indica a continuacioacuten aa 2)2( 1 =
La segunda potencia o cuadrado de una expresioacuten es el resultado de tomarla como factor dos veces Por lo que
22 4))()(2)(2()2)(2()2( aaaaaa === El cubo de una expresioacuten es el resultado de tomarla como factor tres veces por
ejemplo
33 8))()()(2)(2)(2()2)(2)(2()2( aaaaaaaa === Y en forma general ( ) ( )( )( ) vecesnaaaa n
2222 = 211 POTENCIA DE UN MONOMIO Para elevar un monomio a una potencia se eleva su coeficiente a esa potencia y se multiplica el exponente de cada letra por el exponente que indica la potencia Ejemplo Desarrollar las siguientes expresiones algebraicas
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
16
a) 32 )3( ab b) 343 )5( yxminus c) 4
232
minus
yx
d) 5
43
32
minus ba
Solucioacuten
a) 63)3)(2()3)(1(32333 2727)()()3()3( bababaab ===
b) =minus=minus=minus )3)(4()3)(3(34333343 125)()()5()5( yxyxyx 129125 yxminus
c) 8
4
)4)(2(
)4)(1(
4
44
2
44
2 8116
)()(
)3()2(
32
32
yx
yx
yx
yx
=minus
=
minus=
minus
d) ( ) ( ) =minus
=
minus=
minus 543
5
5543
5543
)3()2(
32
32 bababa
2015)5)(4()5)(3(5
5
24332)()(
)3()2( baba minus=
minus=
2111 PROPIEDADES
Los exponentes indican multiplicacioacuten repetida por ejemplo
a) yy =2 ))(( yyy =
Donde 2y se lee y a la segunda potencia o y al cuadrado b) zz =3 z z = ))()(( zzz se lee z a la tercera potencia o z al cubo c) xx =4 x x x = ))()()(( xxxx se lee x a la cuarta potencia
22 EXPONENTES DE NUacuteMEROS REALES
Si n es un nuacutemero real entonces
xdefactoresn
xxn = x x x
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
17
La expresioacuten exponencial nx se llama potencia de x y se lee x a la eneacutesima potencia o x a la potencia n En la expresioacuten siguiente
nx Exponente
Base
x se llama base y n es el exponente Un exponente que sea nuacutemero natural indica cuaacutentas veces se usa la base de expresioacuten exponencial como factor de un producto por ejemplo
a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==
b) 32)2)(2)(2)(2)(2()2( 5 minus=minusminusminusminusminus=minus
c) 4()4(4 44 minus=minus=minus 4 4 256)4 minus=
d) 256)4)(4)(4)(4()4( 4 =minusminusminusminus=minus
e) 33
81
21
21
21
21 aaaaa =
=
f) 22
251
51
51
51 bbbb =
minus
minus=
minus
g) 35 xx indica que x se debe usar cinco veces como factor y 3x representa que x se debe usar tres veces como factor por lo que 35 xx se usaraacute ocho veces como factor xdefactores5 xdefactores3
xxx =35 x x x x X x x x =
xdefactores8 = x x x x x x x x
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EXPONENTES y RADICALES
18
En general
xdefactoresm xdefactoresn
xxx nm = x x x X x x x x = xdefactoresnm + = x x x x x Por lo tanto para multiplicar expresiones exponenciales con la misma base se
mantiene esa base y se suman los exponentes 221 REGLA DEL PRODUCTO PARA EXPONENTES
Si m y n son nuacutemeros naturales entonces nmnm xxx += Para desarrollar la regla de divisioacuten de las expresiones exponenciales se procede de la siguiente manera
nmnmnmn
mn
m
xxxxx
xxx minusminus+minus ===
= )(1
Por tanto para dividir dos expresiones exponenciales con la misma base distinta de cero se mantiene la base y se resta el exponente del denominador del exponente del numerador
NOTA La regla del producto para exponentes soacutelo se aplica a expresiones exponenciales que tienen la misma base Por ejemplo la expresioacuten 35 yx no se puede simplificar porque las bases de las expresiones exponenciales son diferentes Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)
minus 34
418 xx
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EXPONENTES y RADICALES
19
Solucioacuten
a) 16511511 xxxx == +
b) 15645645 aaaaa == ++
c) 67244324432443 bababbaababa === ++
d) 7343434 248
418
418 xxxxxx minus=
minus=
minus=
minus +
Para encontrar otra propiedad se simplificaraacute la expresioacuten 34 )(x que significa
que 4x se eleva al cubo o en su caso 4x se repite tres veces 4x 4x 4x Donde 4x 4x 4x
=34 )(x 4x 4x 4x = ( x x x x )( x x x x )( x x x x )= = 12444 xx =++ En general se tiene que
nxdefactoresn nxdefactoresmn
mnm xx =)( mx mx mx = x x x x x x = mnx
Asiacute para elevar una expresioacuten exponencial a una potencia se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes
Ejemplo
Si se eleva x3 al cuadrado se obtiene el siguiente resultado
( ) )3(3 2 xx = ))()(3)(3()3( xxx = = 222 93 xx = En general se tiene que
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EXPONENTES y RADICALES
20
xydefactoresn xdefactoresn ( ) ))()(( xyxyxyxy n = xxxxy =)( x yyy y = nn yx
ydefactoresn
Otra propiedad por ejemplo es elevar al cubo la siguiente expresioacuten 3x
Solucioacuten
33
3 xx=
3x
3x
= 27)3)(3)(3(
))()(( 3xxxx=
En general se tiene lo siguiente
yxdefactoresn
=
yx
yx
yx
yx
n
yx
( )0ney
xdefactoresn
)())()(()())()((
yyyyxxxx
= = n
n
yx
ydefactoresn Los tres resultados anteriores se llaman reglas de potencias de los exponentes Si m y n son nuacutemeros naturales entonces
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EXPONENTES y RADICALES
21
( ) mnnm xx = nnn yxxy =)( n
nn
yx
yx
=
)0( ney
Ejemplos
Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) ( )323 b) ( )511x c) ( )632xx d) ( ) ( )2342 xx e) ( )32 yx f) ( )443 yx g) 4
2
yx
h) 2
4
3
yx
Solucioacuten
a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===
b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==
c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +
d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +
e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===
f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==
g) ( ) 8
4
42
44
2 yx
yx
yx
==
( )0ney
h) ( )( ) 8
62
24
32
4
3
yx
yx
yx
==
( )0ney
Analizar la diferencia que existe entre nxminus y nx)(minus
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EXPONENTES y RADICALES
22
Solucioacuten
xdefactoresn xdefactoresn minus
(minus=minus nx x x x x ) y )())()(()( xxxxx n minusminusminusminus=minus
Tambieacuten es conveniente hacer notar la diferencia que existe entre nax y ( )nax donde
xdefactoresn axdefactoresn
aaxn = x x x x y )())()(()( axaxaxaxax n = 222 EL EXPONENTE CERO Cuando las reglas de los exponentes son vaacutelidas y si el exponente es igual a 0 (cero) se tiene lo siguiente nnnnn xxxxxx 1)1()1(00 ==== + Como nn xxx 10 = en consecuencia ( )010 ne= xx
El exponente cero si 10 0 =ne xentoncesx En general cualquier base distinta de cero elevada a la potencia cero es igual a 1 Tambieacuten
10 === minusn
nnn
xxxx
Si todas las bases son distintas de cero y el exponente es cero entonces
a) 150 =
b) ( ) 17 0 =minus
c) ( ) 1303 =ax
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EXPONENTES y RADICALES
23
d) 121 0
975 =
zyx
NOTA
00 es indefinido esto a consecuencia de que infin=00 223 EXPONENTES NEGATIVOS Las reglas de los exponentes son vaacutelidas tambieacuten cuando eacutestos son enteros negativos ( )010 ne=== +minusminus xxxxx nnnn
ya que nxminus 1=nx y nx
1 1=nx
Ademaacutes se define a nxminus como el reciacuteproco de nx Por lo que
nn
xx 1
=minus y nn x
x=
minus
1
NOTA De acuerdo con la definicioacuten de exponentes negativos la base no puede ser 0
Asiacute una expresioacuten como 50minus no estaacute definida por lo que
infin=minus50 Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 25minus b) 310minus c) ( ) 32 minusx d) 13 minusx e) 35xxminus f) ( ) 23 minusminusx Solucioacuten
a) 251
515 2
2 ==minus
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EXPONENTES y RADICALES
24
b) 1000
110110 3
3 ==minus
c) ( ) 33
3
81
21)2(
xxx ==minus
d) 33 1 =minusx xx31
=
e) 2
23535 1x
xxxx === minus+minusminus
f) ( ) 6)2)(3(23 xxx == minusminusminusminus
2224 REGLA DEL COCIENTE Si m y n son enteros entonces
( )0 ne= minus xxxx nm
n
m
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 3
5
aa
b) 11
5
xxminus
c) 5
34
minusxxx
d) ( )( )23
32
x
x e) 4
32
xyyx
f) 3
432
32
minus
baaba
Solucioacuten
a) 2353
5
aaaa
== minus
b) 16
1611511
5 1x
xxxx
=== minusminusminusminus
c) 12575
7
5
34
5
34
xxxxx
xx
xxx
====minusminus
+
minus
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EXPONENTES y RADICALES
25
d) ( )( )
( )( )
( )( ) 10666
6
23
32
23
32
===== minus xxxx
xx
xx
o en su caso
( )( )
( )( )
( )( ) 16
6
23
32
23
32
===xx
xx
xx
e) yxyxyxyyxx
xyyx
==== minusminusminusminusminus 11431243124
32
f) ( )( )
( )
)3)(4()3)(3()3)(middot2(
)3)(3(3)(2
3432
3323
432
32
baaba
baa
babaaba minusminusminus
==
= =
minus
1296
96
baaba
1221321
1215
96 1ba
bababa
=== minusminusminus
o en su caso
=
=
minusminus 3
45
323
432
32
baba
baaba
= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317
33
17
317 1111babababa
ba ===
=minusminus
El siguiente teorema indica que una fraccioacuten elevada a una potencia negativa se puede invertir y elevarse asiacute a una potencia positiva
Teorema Si n es un nuacutemero entero entonces
( )00 nene
=
minus
yxny
yx nn
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26
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 4
32 minus
b)
3
2
xy
c) 4
3
2
32
minus
minus
yx
d)
minus
432
32
baaba
Solucioacuten
a) ( )( ) 16
8123
23
32
4
444
==
=
minus
b) ( )( ) 6
9
)3)(2(
)3)(3(
32
333
2
33
3
2
yx
yx
yx
yx
xy
===
=
minus
c) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ====
=
minusminusminusminusminus
minus )4)(2(
)4)(3(
424
434
42
434
2
34
3
2
1681
23
23
23
32
xy
xy
xy
xy
yx
= 8
12
1681
xy minus
= 1681
8
12
xy minus
= 1281681
yx
d) ( )( )
( )( ) ===
=
minusminusminus
minusminus
)3)(3()3)(2(
)3)(4()3)(5(
332
3453
32
4323
432
32
baba
baba
babaa
baaba
= =minus 96
1215
baba 321912)6(15 babbaa =minusminusminus
23 RESUMEN Si no existen divisiones entre 0 (cero) entonces para enteros m y n cualesquiera
a) nmnm xxx += b) ( ) mnnm xx =
c) ( ) nnn yxxy =
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27
d) n
nn
yx
yx
=
e) ( )010 ne= xx
f) n
n
xx 1
=minus
g) nmn
m
xxx minus=
h) nn
xy
yx
=
minus
NOTA Las mismas reglas se aplican cuando los exponentes son variables 24 EJERCICIOS
1 Simplificar las siguientes expresiones
a) 24 b) 32 )(x c) 12 )( minusminusx d) 5
2
xx
e) 25minus
Solucioacuten a) 16)4)(4(42 == b) 6)3)(2(32 )( xxx == c) 2)1)(2(12 )( xxx == minusminusminusminus
o tambieacuten
222
22
21212
1)1)(1())(1(
111
111
)(1)( xxx
xxxx
x =======minusminus
minusminus
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EXPONENTES y RADICALES
28
d) 2253)5()3(53
5
3 1))((x
xxxxxxx
===== minusminusminus+minus
o tambieacuten 1 1 1
21
))()()()(())()((
))()()()(())()((
xxxxxxxxx
xxxxxxxx
== = 2minusx
e) 12
2 25251
515 minusminus ===
2 Simplificar las siguientes expresiones considerando que ninguno de los
denominadores sea igual a cero
a) 32
29
)(mmm minus
b) 43
32 )2(minus
minus
aaa
c)043
22 )3(xxx
xminus
minus
d) 042
2022
)4()(4
minus
minus
minusminus
yxyxx
e) 2
25
44
93
minus
minus
minusminus
yxyx
Solucioacuten
a) mmmmm
mm
mmm
===== minusminusminus
1676
7
)3)(2(
29
32
29
)(
b) 561
6
43
)3)(2(3
43
32 88))(8())(2()2(aa
aa
aaa
aaa
====minus
minus
minus
minus
minus
minus
c) 37
4
3)4(
4
322
4
043
22
91
99)1()1()3()3(
xxx
xxx
xxx
xxxx
====minus
minus
d) =minus
=minus
=minus
minus +minus
minus
minus
1)1(4
1)1(4
)4()(4 0222
042
2022 xxyx
yxx
414
1)1)(1(4
minus=minus
=minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
29
e) ( )( )
( )( ) =minusminus
=minusminus
=
minusminus
minus
minus
minusminus
minusminus
minus 224
225
225
2442
25
44
39
93
93
yxyx
yxyx
yxyx
= ( )
( ) ( ) ( )2
48
410
22242
22252
99
813
)()9( xyxyx
yxyx
==minusminus
minus
minus
minus
minus
3 Encontrar el valor numeacuterico de las siguientes expresiones con 2minus=x y
3=y para
a) 23 yx b) 3
3
yxminus
c) ( ) 22 minusxy d) 23 minusminus xy e) 23)( minusminus xy
Solucioacuten
a) ( ) ( ) 72)9)(8(32 2323 minus=minus=minus=yx
b) ( ) ( ) ( )( ) =minus
=minus
==minus
2781
3211
33333
3
yxyx
2161
2161
minus=minus
=
c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241
3211
2222
22 =minus
==minus
xyxy
d) ( ) ( )( ) 16
2722723 4
4323 minus=
minusminus
=minusminus=minus minusminusxy 1627
minus=
e) ( )( ) 4
272
3)()( 2
3
2
323 =
minus=
minus=minus minus
xyxy
3 RADICALES Con frecuencia en los problemas de aplicacioacuten se debe determinar queacute nuacutemero se puede elevar al cuadrado para obtener un segundo nuacutemero a Si se puede determinar a ese nuacutemero se le llama una raiacutez cuadrada de a Por ejemplo
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EXPONENTES y RADICALES
30
a) 0es una raiacutez cuadrada de 0 porque 002 = b) 4 es una raiacutez cuadrada de 16 porque 1642 = c) 4minus es una raiacutez cuadrada de 16 porque 16)4( 2 =minus d) xy7 es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy = e) xy7minus es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy =minus
31 RAIacuteZ CUADRADA DE a El nuacutemero b es una raiacutez cuadrada de a cuando 2 ab = Todos los nuacutemeros positivos tienen dos nuacutemeros reales que son sus raiacuteces cuadradas uno positivo y otro negativo El uacutenico nuacutemero con una sola raiacutez cuadrada es 0 cuya raiacutez cuadrada es 0 Ejemplo Determinar las dos raiacuteces cuadradas de 121 Solucioacuten Las dos raiacuteces cuadradas de 121son 11y 11minus porque 121112 = y 121)11( 2 =minus 32 RAIacuteZ CUADRADA PRINCIPAL Se llama signo radical al siacutembolo y a x el nuacutemero que se encuentran dentro del signo radical que se llama radicando Siacute x gt 0 la raiacutez principal de x es la raiacutez cuadrada positiva de x y se
representa con x La raiacutez cuadrada principal de 0 es 0 00 = NOTA Por definicioacuten el cuadrado principal de un nuacutemero positivo siempre es positivo Aunque 5 y 5minus son raiacuteces cuadradas de 25 soacutelo 5es la raiacutez cuadrada principal El radical
25 representa 5 El radical 25minus representa 5minus Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuadradas
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EXPONENTES y RADICALES
31
a) 11 =
b) 981 =
c) 981 minus=minus
d) 21
41=
e) 114
12116
minus=minus
f) 20040 =
g) 03000090 minus=minus
Los nuacutemeros como 1600491694 y se llaman cuadrados enteros porque cada uno de ellos es el cuadrado de un entero La raiacutez cuadrada de todo cuadrado entero es un nuacutemero racional Por ejemplo
4016007494163924 =====
Las raiacuteces cuadradas de muchos enteros positivos no son nuacutemeros racionales Por ejemplo 11 es un nuacutemero irracional cuyo valor aproximado ( )asymp es de
31662473 )3166247311( asymp Donde el siacutembolo asympquiere decir ldquoaproximadamente igual ardquo
Las raiacuteces cuadradas de nuacutemeros negativos no son nuacutemeros reales Por
ejemplo 9minus no es nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado al cuadrado es igual a 9minus Las raiacuteces cuadradas de los nuacutemeros negativos originan un conjunto llamado nuacutemeros imaginarios
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EXPONENTES y RADICALES
32
33 RAIacuteCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE Si 0nex el nuacutemero positivo 2x tiene por raiacuteces a x y a xminus porque 22)( xx =
y 22)( xx =minus Para indicar la raiacutez cuadrada positiva de 2x se debe saber si x es positivo o negativo Si 0gtx se puede escribir lo siguiente xx =2 donde 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es x Si x es negativo entonces 0gtminus x es xx minus=2 ya que 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es xminus Si no se sabe si x es positivo o negativo se pueden emplear siacutembolos de valor absoluto para garantizar que 2x sea positiva xx =2 siempre y cuando x sea cualquier nuacutemero real Si x es cualquier nuacutemero real entonces
a) xxxx 44)4(16 22 ===
Por lo que escribir 216x en la forma 2)4( x siendo que ( ) 22 164 xx = Puesto que x podriacutea ser negativo Los siacutembolos de valor absoluto son necesarios ya que en el producto x4 4 es una constante positiva
b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2
+=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 4+x puede ser negativo por ejemplo cuando
8minus=x
c) ( ) 1112 22 +=+=++ xxxx Porque ( )211 +=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 1+x puede ser negativo por ejemplo cuando 5minus=x
d) 24 xx = porque ( ) 422 xx = Como 02 gex
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EXPONENTES y RADICALES
33
34 RAIacuteCES CUacuteBICAS La raiacutez cuacutebica de x se representa por yx =3 si xy =3 Por ejemplo el nuacutemero 64 tiene dos raiacuteces cuadradas que son nuacutemeros reales 8 y 8minus Sin embargo 64 soacutelo tiene una raiacutez cuacutebica real que es el valor de 4 porque 4 es el uacutenico nuacutemero real cuyo cubo es 64 Por lo tanto
xx =3 3 Como todos los nuacutemeros reales tienen una y solo una raiacutez cuacutebica real algunas
de las cuales son positivas y otras negativas no es necesario emplear siacutembolos de valor absoluto al simplificar las raiacuteces cuacutebicas
Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuacutebicas
a) 3 125 b) 3
81
c) 3 327xminus d) 33
3
278
ba
minus e) 3 632160 yx
Solucioacuten a) 51253 = porque 125)5)(5)(5(53 ==
b) 21
81
3 = porque 81
21
21
21
21 3
=
=
c) xx 3273 3 minus=minus porque ( ) ( )( )( ) 33 273333 xxxxx minus=minusminusminus=minus
d) ba
ba
32
278
33
3
minus=minus porque 3
33
278
32
32
32
32
ba
ba
ba
ba
ba
minus=
minus
minus
minus=
minus
e) 23 63 602160 xyyx = porque
( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==
35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS Asiacute como existen raiacuteces cuadradas y raiacuteces cuacutebicas tambieacuten existen las raiacuteces cuartas raiacuteces quintas raiacuteces sextas etc
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EXPONENTES y RADICALES
34
Cuando n es impar el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez impar Como todo nuacutemero real tiene una y soacutelo una raiacutez eneacutesima real cuando n es impar no es necesario preocuparse por los siacutembolos de valor absoluto cuando se calculan raiacuteces impares Ejemplo
a) 33243 5 55 == porque 24335 = b) ( ) xxx 227128 77 7 minus=minus=minus porque ( ) 77 1282 xx minus=minus
Cuando n es par el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez par En este caso habraacute una raiacutez eneacutesima positiva y una eneacutesima negativa Por ejemplo las dos raiacuteces sextas reales de 729 son 3 y 3minus porque
72936 = y 729)3( 6 =minus Cuando se determinan raiacuteces reales se emplean con frecuencia los siacutembolos de valor absoluto para garantizar que la eneacutesima raiacutez sea positiva Ejemplos
a) ( ) 3334 4 =minus=minus
Tambieacuten se puede simplificar de la siguiente manera ( ) 3813 44 4 ==minus
b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===
Los siacutembolos de valor absoluto garantizan que la raiacutez sexta es positiva
Generalizando se tienen las siguientes reglas Si x es un nuacutemero real y 1gtn entonces
a) Si n es un nuacutemero impar natural xxn n =
b) Si n es un nuacutemero par natural xxn n =
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EXPONENTES y RADICALES
35
NOTA En el radical n x a n se le llama el iacutendice u orden del radical Cuando el iacutendice
es 2 el radical es una raiacutez cuadrada y se acostumbra no escribir el iacutendice Cuando n es par ( )2gtn y 0ltx el radical n x no es un nuacutemero real Por
ejemplo 4 81minus no es un nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado a la cuarta potencia es 81minus
Ejemplo
a) 56254 = porque 62554 = b) 2325 minus=minus porque ( ) 322 5 minus=minus
c) 21
641
6 = porque 641
21 6
=
36 EXPONENTES RACIONALES Los exponentes enteros positivos indican la cantidad de veces que se debe usar una base como factor en un producto Por ejemplo 5x significa que x se debe emplear cinco veces como factor ya que xdefactores5 ( )( )( )( )( )xxxxxx =5 Es posible elevar bases a potencias racionales (fraccionarias) cuando se desea que dichos exponentes respeten las mismas reglas que los coeficientes enteros el
cuadrado de 21
10 debe ser 10 porque
( )
10101010 1
2
212
21
===
Se mantiene la base y se multiplican los exponentes
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
36
( ) 112
212
21
=
=
10101 =
Sin embargo hay que recordar que ( ) 1010
2=
Como 2
21
10
y ( )210 son iguales a 10
Con esto se puede definir que 21
10 es igual a 10 Igualmente para
a) 31
10 como 3 10
b) 41
10 como 4 10
c) 51
10 como 5 10
Por lo que si n es un nuacutemero natural mayor que 1 y n x es un nuacutemero real entonces
nn xx =1
Ejemplo Resolver los siguientes radicales
a) 21
9 b) 21
916
minus c) ( )3
1
64minus d) 41
16 e) 51
321
f) 8
1
0 g) ( )51
232xminus
h) ( )41
xyz
Solucioacuten
a) 3999 221
===
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
37
b) 34
916
916
916
221
minus=minus=minus=
minus
c) ( ) 46464 331
minus=minus=minus
d) 21616 441
==
e) 21
321
321
551
==
f) 000 881
==
g) ( ) xxx 23232 5 551
5 minus=minus=minus
h) ( ) 441
xyzxyz =
i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes
fraccionarios
a) 4 5xyz b) 52
15xy
Solucioacuten
a) ( )41
4 55 xyzxyz =
b) 51
2
5
2
1515
=xyxy
37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1
Se puede ampliar la definicioacuten de nx1
para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
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EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
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EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
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EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
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EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
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EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
8
+=minusminus+=++
))(())((
minus=+minusminus=minus+
))(())((
En la multiplicacioacuten o producto de nuacutemeros algebraicos se pueden distinguir dos
casos
1 Multiplicar dos nuacutemeros positivos como )5)(3( ++
Al considerar 3 como coeficiente la operacioacuten equivale a tomar 3 sumandos iguales a )5(+ por tanto
15555)5()5()5()5)(3( =++=+++++=++ Como se nota este caso no difiere del de la multiplicacioacuten de nuacutemeros aritmeacuteticos
Ejemplo
Multiplicar dos nuacutemeros de diferente signo a) )5)(3( minus+ y b) )5)(3( +minus
Solucioacuten
a) En el producto )5)(3( minus+ considerando a )3(+ como coeficiente la operacioacuten indicada equivale a tomar 3 sumandos iguales a 5minus
15)5()5()5()5)(3( minus=minus+minus+minus=minus+
b) En el producto )5)(3( +minus donde )3(minus se considera como coeficiente la
operacioacuten indicada equivale a tomar negativamente 3sumandos iguales a )5(+
15)5()5()5()5)(3( minus=+minus+minus+minus=+minus
Resultado que como se observa es igual al anterior
2 Multiplicar dos nuacutemeros negativos como )5)(3( minusminus
Este caso es una combinacioacuten de a) y de b) del caso anterior ya que equivale a tomar negativamente 3 sumandos iguales a )5(minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
9
15)5()5()5()5)(3( =minusminusminusminusminusminus=minusminus
14 REGLA DE LOS SIGNOS DEL COCIENTE El anaacutelisis de los signos indicado en los ejemplos anteriores de este subtema permiten formular la siguiente regla
a) El cociente de dos nuacutemeros algebraicos de mismo signo es positivo b) El cociente de dos nuacutemeros algebraicos de distinto signo es negativo
Esta regla puede indicarse simboacutelicamente de la siguiente manera
+=++
)()(
+=minusminus
)()(
minus=minus+
)()(
minus=+minus
)()(
La divisioacuten es una operacioacuten inversa de la multiplicacioacuten que tiene por objeto
hallar uno de dos factores (cociente) cuando se conoce su producto (dividendo) y el otro factor (divisor) Por tanto para dividir se procede a la inversa de coacutemo se hace en la multiplicacioacuten
Suelen considerarse los mismos casos que en la multiplicacioacuten los cuales
pueden resumirse como se indica seguidamente 1
)4)(5(204)5()20(
=+=++ porque y 4
)5()4)(5(=
1
)4)(5(204)5()20(
minusminus=minus=minus+ porque y 4
)5()4)(5(
minus=minusminusminus
20)5)(4(4)5()20(
minus=+minusminus=+minus porque
20)5)(4(4)5()20(
minus=minus++=minusminus porque
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
10
15 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Sea el siguiente rectaacutengulo ABCD el cual tiene 5 centiacutemetros (cm) de largo y 3 centiacutemetros de ancho como se indica en la siguiente figura geomeacutetrica
En esta figura geomeacutetrica se pueden formar 3 fajas de 5 centiacutemetros de largo por 1 centiacutemetro de ancho cada faja puede dividirse en cinco cuadritos de 1 centiacutemetro de largo y 1 centiacutemetro de ancho Las tres fajas juntas constan de 5 X 153 = 2cm que es el aacuterea del rectaacutengulo
El resultado se expresa diciendo el aacuterea de un rectaacutengulo es igual al producto de la base por la altura Esta expresioacuten puede abreviarse de la siguiente manera Aacuterea = base X altura La cual puede ser representada por las literales =A aacuterea =b base y a = altura Por lo que
bA = X a
Dicha abreviacioacuten a su vez resulta maacutes corta si se suprime el signo X y asiacute queda la expresioacuten baA =
Dicha expresioacuten se llama foacutermula algebraica Toda foacutermula es una regla expresada por medio de siacutembolos e indica las
operaciones que deben de efectuarse con los nuacutemeros representados por las literales para obtener ciertos resultados [Anfosi Agustiacuten Paacuteg 2]
Asiacute el rectaacutengulo constaraacute de n fajas de 25 cm cada una y el aacuterea seraacute de
5=A X n = ][5 2cmn
5 cm de largo
3 cm
de
anch
o
A B
CD
B
CD
5 cm A
3 cm
1 cm
1 cm
1 cm2
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EXPONENTES y RADICALES
11
De la foacutermula para obtener el aacuterea del rectaacutengulo baA= se deducen las siguientes transformaciones de dicha expresioacuten
aAb = y
bAa =
Donde para la primera expresioacuten conocida el aacuterea del rectaacutengulo y su altura se puede saber su base y para la segunda expresioacuten conocida el aacuterea del rectaacutengulo y su base se puede obtener su altura
El aacuterea de un rectaacutengulo de base b y altura a es ba El aacuterea de tres rectaacutengulos iguales al anterior es babababa 3=++
El volumen de un paralelepiacutepedo en que las dimensiones de la base son b y a
y la altura es c es bac
El volumen de dos paralelepiacutepedos iguales al anterior es bacbacbac 2=+
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EXPONENTES y RADICALES
12
El duplo se escribe a2 el triple de b se escribe b3 el cuaacutedruplo de 3a
3
4 a el
quiacutentuplo de c c5 etc Asiacute se tiene aaa +=2 bbbb ++=3
33333
4 aaaaa+++=
cccccc ++++=5 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
)( eaigualessumandosneeene ++++= En las expresiones anteriores ny5432 se llaman coeficientes El coeficiente es el nuacutemero o la literal que indica cuaacutentos sumandos iguales se toman Los cuatro primeros son numeacutericos y el uacuteltimo es literal
Ejemplo a) Representar la edad de cada uno de los miembros de la familia de Carlos Se
sabe que la edad de la hermana es dos tercios de la de Carlos la de la madre el triple la del padre cuatro veces y la del abuelo es igual a la suma de las edades del padre y de la madre
Solucioacuten La edad de Carlos es = a
La edad de la hermana es = a32
La edad de la madre es = a3 La edad del padre es = a4 Y la edad del abuelo es = aa 43 +
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EXPONENTES y RADICALES
13
b) A continuacioacuten se presenta un plano de una parte de un piso cuyas dimensiones estaacuten expresadas en el mismo
En este plano se observa que la longitud de este piso se puede expresar como ba+=8 de donde ba minus= 8 Y que el ancho es ihdc +=+
En estos dos ejemplos aparecen expresiones que son combinaciones de
nuacutemeros y literales separadas por los signos de las operaciones matemaacuteticas (aritmeacuteticas) Estas expresiones reciben el nombre de expresiones algebraicas 141 TEacuteRMINOS Y COEFICIENTES Sea la siguiente expresioacuten algebraica la cual estaacute formada por cinco sumandos
babbaa 3212
35
++++
Se llama teacutermino de una expresioacuten algebraica a cada uno de dichos sumandos Asiacute a2 es una expresioacuten algebraica de un teacutermino ba +3 es una expresioacuten algebraica de dos teacuterminos 123 ++ aab es una expresioacuten algebraica de tres teacuterminos Donde cada teacutermino consta de una parte numeacuterica (coeficiente del teacutermino) y otra literal Asiacute a2 es un teacutermino de coeficiente 2 y parte literal a
ab23
es un teacutermino de coeficiente 23
y parte literal ab
a b
c
e
d
h
i
8
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EXPONENTES y RADICALES
14
2xy es un teacutermino de coeficiente 1 y parte literal 2xy
Ejemplo Representar la edad de cada uno de los miembros de la familia de Carlos Se sabe que la edad de la hermana es dos tercios de la edad de Carlos la de la madre el triple la del padre cuatro veces y la del abuelo es igual a la suma de las edades del padre y la madre Solucioacuten Las expresiones algebraicas seraacuten las siguientes La edad de Carlos = a
La edad de la hermana = a32
La edad de la madre = a3 La edad del padre = a4 Y la edad del abuelo = aa 43 + A continuacioacuten se presenta el valor numeacuterico de cada una de las expresiones algebraicas si se sabe que la edad de Carlos es de 9 antildeos es decir 9=a La edad de Carlos = 9 antildeos
La edad de la hermana = 63
183
)9)(2()9(32
=== antildeos
La edad de la madre = 27)9(3 = antildeos La edad del padre = 36)9(4 = antildeos Y la edad del abuelo = 633627)9(4)9(3 =+=+ antildeos Nota
Si la edad de Carlos fuera otra los valores numeacutericos de cada una de las expresiones algebraicas seriacutean distintos
El valor numeacuterico de una expresioacuten algebraica no es uacutenico ya que depende del valor que se le deacute a la literal o letra(s) que en ella intervengan
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EXPONENTES y RADICALES
15
2 EXPONENTES Considere el caso especial de la multiplicacioacuten en el que todos los factores que se van a multiplicar son iguales Asiacute si se multiplica el nuacutemero a por siacute mismo se obtiene el producto aa el cual generalmente se escribe en la forma 2a En general el producto de n factores cada uno de ellos iguales a a se escribe en la forma na recibiendo el nuacutemero entero y positivo n el nombre de exponente En este caso se dice que se ha elevado el nuacutemero a a la eneacutesima potencia operacioacuten que recibe el nombre de potenciacioacuten 21 POTENCIACIOacuteN La potencia de una expresioacuten algebraica es la misma expresioacuten o el resultado de tomarla como factor dos o maacutes veces Asiacute la primera potencia de una expresioacuten es la misma expresioacuten como se indica a continuacioacuten aa 2)2( 1 =
La segunda potencia o cuadrado de una expresioacuten es el resultado de tomarla como factor dos veces Por lo que
22 4))()(2)(2()2)(2()2( aaaaaa === El cubo de una expresioacuten es el resultado de tomarla como factor tres veces por
ejemplo
33 8))()()(2)(2)(2()2)(2)(2()2( aaaaaaaa === Y en forma general ( ) ( )( )( ) vecesnaaaa n
2222 = 211 POTENCIA DE UN MONOMIO Para elevar un monomio a una potencia se eleva su coeficiente a esa potencia y se multiplica el exponente de cada letra por el exponente que indica la potencia Ejemplo Desarrollar las siguientes expresiones algebraicas
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EXPONENTES y RADICALES
16
a) 32 )3( ab b) 343 )5( yxminus c) 4
232
minus
yx
d) 5
43
32
minus ba
Solucioacuten
a) 63)3)(2()3)(1(32333 2727)()()3()3( bababaab ===
b) =minus=minus=minus )3)(4()3)(3(34333343 125)()()5()5( yxyxyx 129125 yxminus
c) 8
4
)4)(2(
)4)(1(
4
44
2
44
2 8116
)()(
)3()2(
32
32
yx
yx
yx
yx
=minus
=
minus=
minus
d) ( ) ( ) =minus
=
minus=
minus 543
5
5543
5543
)3()2(
32
32 bababa
2015)5)(4()5)(3(5
5
24332)()(
)3()2( baba minus=
minus=
2111 PROPIEDADES
Los exponentes indican multiplicacioacuten repetida por ejemplo
a) yy =2 ))(( yyy =
Donde 2y se lee y a la segunda potencia o y al cuadrado b) zz =3 z z = ))()(( zzz se lee z a la tercera potencia o z al cubo c) xx =4 x x x = ))()()(( xxxx se lee x a la cuarta potencia
22 EXPONENTES DE NUacuteMEROS REALES
Si n es un nuacutemero real entonces
xdefactoresn
xxn = x x x
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EXPONENTES y RADICALES
17
La expresioacuten exponencial nx se llama potencia de x y se lee x a la eneacutesima potencia o x a la potencia n En la expresioacuten siguiente
nx Exponente
Base
x se llama base y n es el exponente Un exponente que sea nuacutemero natural indica cuaacutentas veces se usa la base de expresioacuten exponencial como factor de un producto por ejemplo
a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==
b) 32)2)(2)(2)(2)(2()2( 5 minus=minusminusminusminusminus=minus
c) 4()4(4 44 minus=minus=minus 4 4 256)4 minus=
d) 256)4)(4)(4)(4()4( 4 =minusminusminusminus=minus
e) 33
81
21
21
21
21 aaaaa =
=
f) 22
251
51
51
51 bbbb =
minus
minus=
minus
g) 35 xx indica que x se debe usar cinco veces como factor y 3x representa que x se debe usar tres veces como factor por lo que 35 xx se usaraacute ocho veces como factor xdefactores5 xdefactores3
xxx =35 x x x x X x x x =
xdefactores8 = x x x x x x x x
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EXPONENTES y RADICALES
18
En general
xdefactoresm xdefactoresn
xxx nm = x x x X x x x x = xdefactoresnm + = x x x x x Por lo tanto para multiplicar expresiones exponenciales con la misma base se
mantiene esa base y se suman los exponentes 221 REGLA DEL PRODUCTO PARA EXPONENTES
Si m y n son nuacutemeros naturales entonces nmnm xxx += Para desarrollar la regla de divisioacuten de las expresiones exponenciales se procede de la siguiente manera
nmnmnmn
mn
m
xxxxx
xxx minusminus+minus ===
= )(1
Por tanto para dividir dos expresiones exponenciales con la misma base distinta de cero se mantiene la base y se resta el exponente del denominador del exponente del numerador
NOTA La regla del producto para exponentes soacutelo se aplica a expresiones exponenciales que tienen la misma base Por ejemplo la expresioacuten 35 yx no se puede simplificar porque las bases de las expresiones exponenciales son diferentes Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)
minus 34
418 xx
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EXPONENTES y RADICALES
19
Solucioacuten
a) 16511511 xxxx == +
b) 15645645 aaaaa == ++
c) 67244324432443 bababbaababa === ++
d) 7343434 248
418
418 xxxxxx minus=
minus=
minus=
minus +
Para encontrar otra propiedad se simplificaraacute la expresioacuten 34 )(x que significa
que 4x se eleva al cubo o en su caso 4x se repite tres veces 4x 4x 4x Donde 4x 4x 4x
=34 )(x 4x 4x 4x = ( x x x x )( x x x x )( x x x x )= = 12444 xx =++ En general se tiene que
nxdefactoresn nxdefactoresmn
mnm xx =)( mx mx mx = x x x x x x = mnx
Asiacute para elevar una expresioacuten exponencial a una potencia se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes
Ejemplo
Si se eleva x3 al cuadrado se obtiene el siguiente resultado
( ) )3(3 2 xx = ))()(3)(3()3( xxx = = 222 93 xx = En general se tiene que
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EXPONENTES y RADICALES
20
xydefactoresn xdefactoresn ( ) ))()(( xyxyxyxy n = xxxxy =)( x yyy y = nn yx
ydefactoresn
Otra propiedad por ejemplo es elevar al cubo la siguiente expresioacuten 3x
Solucioacuten
33
3 xx=
3x
3x
= 27)3)(3)(3(
))()(( 3xxxx=
En general se tiene lo siguiente
yxdefactoresn
=
yx
yx
yx
yx
n
yx
( )0ney
xdefactoresn
)())()(()())()((
yyyyxxxx
= = n
n
yx
ydefactoresn Los tres resultados anteriores se llaman reglas de potencias de los exponentes Si m y n son nuacutemeros naturales entonces
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EXPONENTES y RADICALES
21
( ) mnnm xx = nnn yxxy =)( n
nn
yx
yx
=
)0( ney
Ejemplos
Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) ( )323 b) ( )511x c) ( )632xx d) ( ) ( )2342 xx e) ( )32 yx f) ( )443 yx g) 4
2
yx
h) 2
4
3
yx
Solucioacuten
a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===
b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==
c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +
d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +
e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===
f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==
g) ( ) 8
4
42
44
2 yx
yx
yx
==
( )0ney
h) ( )( ) 8
62
24
32
4
3
yx
yx
yx
==
( )0ney
Analizar la diferencia que existe entre nxminus y nx)(minus
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EXPONENTES y RADICALES
22
Solucioacuten
xdefactoresn xdefactoresn minus
(minus=minus nx x x x x ) y )())()(()( xxxxx n minusminusminusminus=minus
Tambieacuten es conveniente hacer notar la diferencia que existe entre nax y ( )nax donde
xdefactoresn axdefactoresn
aaxn = x x x x y )())()(()( axaxaxaxax n = 222 EL EXPONENTE CERO Cuando las reglas de los exponentes son vaacutelidas y si el exponente es igual a 0 (cero) se tiene lo siguiente nnnnn xxxxxx 1)1()1(00 ==== + Como nn xxx 10 = en consecuencia ( )010 ne= xx
El exponente cero si 10 0 =ne xentoncesx En general cualquier base distinta de cero elevada a la potencia cero es igual a 1 Tambieacuten
10 === minusn
nnn
xxxx
Si todas las bases son distintas de cero y el exponente es cero entonces
a) 150 =
b) ( ) 17 0 =minus
c) ( ) 1303 =ax
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EXPONENTES y RADICALES
23
d) 121 0
975 =
zyx
NOTA
00 es indefinido esto a consecuencia de que infin=00 223 EXPONENTES NEGATIVOS Las reglas de los exponentes son vaacutelidas tambieacuten cuando eacutestos son enteros negativos ( )010 ne=== +minusminus xxxxx nnnn
ya que nxminus 1=nx y nx
1 1=nx
Ademaacutes se define a nxminus como el reciacuteproco de nx Por lo que
nn
xx 1
=minus y nn x
x=
minus
1
NOTA De acuerdo con la definicioacuten de exponentes negativos la base no puede ser 0
Asiacute una expresioacuten como 50minus no estaacute definida por lo que
infin=minus50 Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 25minus b) 310minus c) ( ) 32 minusx d) 13 minusx e) 35xxminus f) ( ) 23 minusminusx Solucioacuten
a) 251
515 2
2 ==minus
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EXPONENTES y RADICALES
24
b) 1000
110110 3
3 ==minus
c) ( ) 33
3
81
21)2(
xxx ==minus
d) 33 1 =minusx xx31
=
e) 2
23535 1x
xxxx === minus+minusminus
f) ( ) 6)2)(3(23 xxx == minusminusminusminus
2224 REGLA DEL COCIENTE Si m y n son enteros entonces
( )0 ne= minus xxxx nm
n
m
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 3
5
aa
b) 11
5
xxminus
c) 5
34
minusxxx
d) ( )( )23
32
x
x e) 4
32
xyyx
f) 3
432
32
minus
baaba
Solucioacuten
a) 2353
5
aaaa
== minus
b) 16
1611511
5 1x
xxxx
=== minusminusminusminus
c) 12575
7
5
34
5
34
xxxxx
xx
xxx
====minusminus
+
minus
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EXPONENTES y RADICALES
25
d) ( )( )
( )( )
( )( ) 10666
6
23
32
23
32
===== minus xxxx
xx
xx
o en su caso
( )( )
( )( )
( )( ) 16
6
23
32
23
32
===xx
xx
xx
e) yxyxyxyyxx
xyyx
==== minusminusminusminusminus 11431243124
32
f) ( )( )
( )
)3)(4()3)(3()3)(middot2(
)3)(3(3)(2
3432
3323
432
32
baaba
baa
babaaba minusminusminus
==
= =
minus
1296
96
baaba
1221321
1215
96 1ba
bababa
=== minusminusminus
o en su caso
=
=
minusminus 3
45
323
432
32
baba
baaba
= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317
33
17
317 1111babababa
ba ===
=minusminus
El siguiente teorema indica que una fraccioacuten elevada a una potencia negativa se puede invertir y elevarse asiacute a una potencia positiva
Teorema Si n es un nuacutemero entero entonces
( )00 nene
=
minus
yxny
yx nn
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EXPONENTES y RADICALES
26
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 4
32 minus
b)
3
2
xy
c) 4
3
2
32
minus
minus
yx
d)
minus
432
32
baaba
Solucioacuten
a) ( )( ) 16
8123
23
32
4
444
==
=
minus
b) ( )( ) 6
9
)3)(2(
)3)(3(
32
333
2
33
3
2
yx
yx
yx
yx
xy
===
=
minus
c) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ====
=
minusminusminusminusminus
minus )4)(2(
)4)(3(
424
434
42
434
2
34
3
2
1681
23
23
23
32
xy
xy
xy
xy
yx
= 8
12
1681
xy minus
= 1681
8
12
xy minus
= 1281681
yx
d) ( )( )
( )( ) ===
=
minusminusminus
minusminus
)3)(3()3)(2(
)3)(4()3)(5(
332
3453
32
4323
432
32
baba
baba
babaa
baaba
= =minus 96
1215
baba 321912)6(15 babbaa =minusminusminus
23 RESUMEN Si no existen divisiones entre 0 (cero) entonces para enteros m y n cualesquiera
a) nmnm xxx += b) ( ) mnnm xx =
c) ( ) nnn yxxy =
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EXPONENTES y RADICALES
27
d) n
nn
yx
yx
=
e) ( )010 ne= xx
f) n
n
xx 1
=minus
g) nmn
m
xxx minus=
h) nn
xy
yx
=
minus
NOTA Las mismas reglas se aplican cuando los exponentes son variables 24 EJERCICIOS
1 Simplificar las siguientes expresiones
a) 24 b) 32 )(x c) 12 )( minusminusx d) 5
2
xx
e) 25minus
Solucioacuten a) 16)4)(4(42 == b) 6)3)(2(32 )( xxx == c) 2)1)(2(12 )( xxx == minusminusminusminus
o tambieacuten
222
22
21212
1)1)(1())(1(
111
111
)(1)( xxx
xxxx
x =======minusminus
minusminus
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EXPONENTES y RADICALES
28
d) 2253)5()3(53
5
3 1))((x
xxxxxxx
===== minusminusminus+minus
o tambieacuten 1 1 1
21
))()()()(())()((
))()()()(())()((
xxxxxxxxx
xxxxxxxx
== = 2minusx
e) 12
2 25251
515 minusminus ===
2 Simplificar las siguientes expresiones considerando que ninguno de los
denominadores sea igual a cero
a) 32
29
)(mmm minus
b) 43
32 )2(minus
minus
aaa
c)043
22 )3(xxx
xminus
minus
d) 042
2022
)4()(4
minus
minus
minusminus
yxyxx
e) 2
25
44
93
minus
minus
minusminus
yxyx
Solucioacuten
a) mmmmm
mm
mmm
===== minusminusminus
1676
7
)3)(2(
29
32
29
)(
b) 561
6
43
)3)(2(3
43
32 88))(8())(2()2(aa
aa
aaa
aaa
====minus
minus
minus
minus
minus
minus
c) 37
4
3)4(
4
322
4
043
22
91
99)1()1()3()3(
xxx
xxx
xxx
xxxx
====minus
minus
d) =minus
=minus
=minus
minus +minus
minus
minus
1)1(4
1)1(4
)4()(4 0222
042
2022 xxyx
yxx
414
1)1)(1(4
minus=minus
=minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
29
e) ( )( )
( )( ) =minusminus
=minusminus
=
minusminus
minus
minus
minusminus
minusminus
minus 224
225
225
2442
25
44
39
93
93
yxyx
yxyx
yxyx
= ( )
( ) ( ) ( )2
48
410
22242
22252
99
813
)()9( xyxyx
yxyx
==minusminus
minus
minus
minus
minus
3 Encontrar el valor numeacuterico de las siguientes expresiones con 2minus=x y
3=y para
a) 23 yx b) 3
3
yxminus
c) ( ) 22 minusxy d) 23 minusminus xy e) 23)( minusminus xy
Solucioacuten
a) ( ) ( ) 72)9)(8(32 2323 minus=minus=minus=yx
b) ( ) ( ) ( )( ) =minus
=minus
==minus
2781
3211
33333
3
yxyx
2161
2161
minus=minus
=
c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241
3211
2222
22 =minus
==minus
xyxy
d) ( ) ( )( ) 16
2722723 4
4323 minus=
minusminus
=minusminus=minus minusminusxy 1627
minus=
e) ( )( ) 4
272
3)()( 2
3
2
323 =
minus=
minus=minus minus
xyxy
3 RADICALES Con frecuencia en los problemas de aplicacioacuten se debe determinar queacute nuacutemero se puede elevar al cuadrado para obtener un segundo nuacutemero a Si se puede determinar a ese nuacutemero se le llama una raiacutez cuadrada de a Por ejemplo
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
30
a) 0es una raiacutez cuadrada de 0 porque 002 = b) 4 es una raiacutez cuadrada de 16 porque 1642 = c) 4minus es una raiacutez cuadrada de 16 porque 16)4( 2 =minus d) xy7 es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy = e) xy7minus es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy =minus
31 RAIacuteZ CUADRADA DE a El nuacutemero b es una raiacutez cuadrada de a cuando 2 ab = Todos los nuacutemeros positivos tienen dos nuacutemeros reales que son sus raiacuteces cuadradas uno positivo y otro negativo El uacutenico nuacutemero con una sola raiacutez cuadrada es 0 cuya raiacutez cuadrada es 0 Ejemplo Determinar las dos raiacuteces cuadradas de 121 Solucioacuten Las dos raiacuteces cuadradas de 121son 11y 11minus porque 121112 = y 121)11( 2 =minus 32 RAIacuteZ CUADRADA PRINCIPAL Se llama signo radical al siacutembolo y a x el nuacutemero que se encuentran dentro del signo radical que se llama radicando Siacute x gt 0 la raiacutez principal de x es la raiacutez cuadrada positiva de x y se
representa con x La raiacutez cuadrada principal de 0 es 0 00 = NOTA Por definicioacuten el cuadrado principal de un nuacutemero positivo siempre es positivo Aunque 5 y 5minus son raiacuteces cuadradas de 25 soacutelo 5es la raiacutez cuadrada principal El radical
25 representa 5 El radical 25minus representa 5minus Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuadradas
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
31
a) 11 =
b) 981 =
c) 981 minus=minus
d) 21
41=
e) 114
12116
minus=minus
f) 20040 =
g) 03000090 minus=minus
Los nuacutemeros como 1600491694 y se llaman cuadrados enteros porque cada uno de ellos es el cuadrado de un entero La raiacutez cuadrada de todo cuadrado entero es un nuacutemero racional Por ejemplo
4016007494163924 =====
Las raiacuteces cuadradas de muchos enteros positivos no son nuacutemeros racionales Por ejemplo 11 es un nuacutemero irracional cuyo valor aproximado ( )asymp es de
31662473 )3166247311( asymp Donde el siacutembolo asympquiere decir ldquoaproximadamente igual ardquo
Las raiacuteces cuadradas de nuacutemeros negativos no son nuacutemeros reales Por
ejemplo 9minus no es nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado al cuadrado es igual a 9minus Las raiacuteces cuadradas de los nuacutemeros negativos originan un conjunto llamado nuacutemeros imaginarios
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
32
33 RAIacuteCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE Si 0nex el nuacutemero positivo 2x tiene por raiacuteces a x y a xminus porque 22)( xx =
y 22)( xx =minus Para indicar la raiacutez cuadrada positiva de 2x se debe saber si x es positivo o negativo Si 0gtx se puede escribir lo siguiente xx =2 donde 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es x Si x es negativo entonces 0gtminus x es xx minus=2 ya que 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es xminus Si no se sabe si x es positivo o negativo se pueden emplear siacutembolos de valor absoluto para garantizar que 2x sea positiva xx =2 siempre y cuando x sea cualquier nuacutemero real Si x es cualquier nuacutemero real entonces
a) xxxx 44)4(16 22 ===
Por lo que escribir 216x en la forma 2)4( x siendo que ( ) 22 164 xx = Puesto que x podriacutea ser negativo Los siacutembolos de valor absoluto son necesarios ya que en el producto x4 4 es una constante positiva
b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2
+=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 4+x puede ser negativo por ejemplo cuando
8minus=x
c) ( ) 1112 22 +=+=++ xxxx Porque ( )211 +=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 1+x puede ser negativo por ejemplo cuando 5minus=x
d) 24 xx = porque ( ) 422 xx = Como 02 gex
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
33
34 RAIacuteCES CUacuteBICAS La raiacutez cuacutebica de x se representa por yx =3 si xy =3 Por ejemplo el nuacutemero 64 tiene dos raiacuteces cuadradas que son nuacutemeros reales 8 y 8minus Sin embargo 64 soacutelo tiene una raiacutez cuacutebica real que es el valor de 4 porque 4 es el uacutenico nuacutemero real cuyo cubo es 64 Por lo tanto
xx =3 3 Como todos los nuacutemeros reales tienen una y solo una raiacutez cuacutebica real algunas
de las cuales son positivas y otras negativas no es necesario emplear siacutembolos de valor absoluto al simplificar las raiacuteces cuacutebicas
Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuacutebicas
a) 3 125 b) 3
81
c) 3 327xminus d) 33
3
278
ba
minus e) 3 632160 yx
Solucioacuten a) 51253 = porque 125)5)(5)(5(53 ==
b) 21
81
3 = porque 81
21
21
21
21 3
=
=
c) xx 3273 3 minus=minus porque ( ) ( )( )( ) 33 273333 xxxxx minus=minusminusminus=minus
d) ba
ba
32
278
33
3
minus=minus porque 3
33
278
32
32
32
32
ba
ba
ba
ba
ba
minus=
minus
minus
minus=
minus
e) 23 63 602160 xyyx = porque
( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==
35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS Asiacute como existen raiacuteces cuadradas y raiacuteces cuacutebicas tambieacuten existen las raiacuteces cuartas raiacuteces quintas raiacuteces sextas etc
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EXPONENTES y RADICALES
34
Cuando n es impar el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez impar Como todo nuacutemero real tiene una y soacutelo una raiacutez eneacutesima real cuando n es impar no es necesario preocuparse por los siacutembolos de valor absoluto cuando se calculan raiacuteces impares Ejemplo
a) 33243 5 55 == porque 24335 = b) ( ) xxx 227128 77 7 minus=minus=minus porque ( ) 77 1282 xx minus=minus
Cuando n es par el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez par En este caso habraacute una raiacutez eneacutesima positiva y una eneacutesima negativa Por ejemplo las dos raiacuteces sextas reales de 729 son 3 y 3minus porque
72936 = y 729)3( 6 =minus Cuando se determinan raiacuteces reales se emplean con frecuencia los siacutembolos de valor absoluto para garantizar que la eneacutesima raiacutez sea positiva Ejemplos
a) ( ) 3334 4 =minus=minus
Tambieacuten se puede simplificar de la siguiente manera ( ) 3813 44 4 ==minus
b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===
Los siacutembolos de valor absoluto garantizan que la raiacutez sexta es positiva
Generalizando se tienen las siguientes reglas Si x es un nuacutemero real y 1gtn entonces
a) Si n es un nuacutemero impar natural xxn n =
b) Si n es un nuacutemero par natural xxn n =
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EXPONENTES y RADICALES
35
NOTA En el radical n x a n se le llama el iacutendice u orden del radical Cuando el iacutendice
es 2 el radical es una raiacutez cuadrada y se acostumbra no escribir el iacutendice Cuando n es par ( )2gtn y 0ltx el radical n x no es un nuacutemero real Por
ejemplo 4 81minus no es un nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado a la cuarta potencia es 81minus
Ejemplo
a) 56254 = porque 62554 = b) 2325 minus=minus porque ( ) 322 5 minus=minus
c) 21
641
6 = porque 641
21 6
=
36 EXPONENTES RACIONALES Los exponentes enteros positivos indican la cantidad de veces que se debe usar una base como factor en un producto Por ejemplo 5x significa que x se debe emplear cinco veces como factor ya que xdefactores5 ( )( )( )( )( )xxxxxx =5 Es posible elevar bases a potencias racionales (fraccionarias) cuando se desea que dichos exponentes respeten las mismas reglas que los coeficientes enteros el
cuadrado de 21
10 debe ser 10 porque
( )
10101010 1
2
212
21
===
Se mantiene la base y se multiplican los exponentes
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EXPONENTES y RADICALES
36
( ) 112
212
21
=
=
10101 =
Sin embargo hay que recordar que ( ) 1010
2=
Como 2
21
10
y ( )210 son iguales a 10
Con esto se puede definir que 21
10 es igual a 10 Igualmente para
a) 31
10 como 3 10
b) 41
10 como 4 10
c) 51
10 como 5 10
Por lo que si n es un nuacutemero natural mayor que 1 y n x es un nuacutemero real entonces
nn xx =1
Ejemplo Resolver los siguientes radicales
a) 21
9 b) 21
916
minus c) ( )3
1
64minus d) 41
16 e) 51
321
f) 8
1
0 g) ( )51
232xminus
h) ( )41
xyz
Solucioacuten
a) 3999 221
===
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EXPONENTES y RADICALES
37
b) 34
916
916
916
221
minus=minus=minus=
minus
c) ( ) 46464 331
minus=minus=minus
d) 21616 441
==
e) 21
321
321
551
==
f) 000 881
==
g) ( ) xxx 23232 5 551
5 minus=minus=minus
h) ( ) 441
xyzxyz =
i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes
fraccionarios
a) 4 5xyz b) 52
15xy
Solucioacuten
a) ( )41
4 55 xyzxyz =
b) 51
2
5
2
1515
=xyxy
37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1
Se puede ampliar la definicioacuten de nx1
para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1
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EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
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EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
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EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
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EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
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EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
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EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
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EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
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EXPONENTES y RADICALES
9
15)5()5()5()5)(3( =minusminusminusminusminusminus=minusminus
14 REGLA DE LOS SIGNOS DEL COCIENTE El anaacutelisis de los signos indicado en los ejemplos anteriores de este subtema permiten formular la siguiente regla
a) El cociente de dos nuacutemeros algebraicos de mismo signo es positivo b) El cociente de dos nuacutemeros algebraicos de distinto signo es negativo
Esta regla puede indicarse simboacutelicamente de la siguiente manera
+=++
)()(
+=minusminus
)()(
minus=minus+
)()(
minus=+minus
)()(
La divisioacuten es una operacioacuten inversa de la multiplicacioacuten que tiene por objeto
hallar uno de dos factores (cociente) cuando se conoce su producto (dividendo) y el otro factor (divisor) Por tanto para dividir se procede a la inversa de coacutemo se hace en la multiplicacioacuten
Suelen considerarse los mismos casos que en la multiplicacioacuten los cuales
pueden resumirse como se indica seguidamente 1
)4)(5(204)5()20(
=+=++ porque y 4
)5()4)(5(=
1
)4)(5(204)5()20(
minusminus=minus=minus+ porque y 4
)5()4)(5(
minus=minusminusminus
20)5)(4(4)5()20(
minus=+minusminus=+minus porque
20)5)(4(4)5()20(
minus=minus++=minusminus porque
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EXPONENTES y RADICALES
10
15 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Sea el siguiente rectaacutengulo ABCD el cual tiene 5 centiacutemetros (cm) de largo y 3 centiacutemetros de ancho como se indica en la siguiente figura geomeacutetrica
En esta figura geomeacutetrica se pueden formar 3 fajas de 5 centiacutemetros de largo por 1 centiacutemetro de ancho cada faja puede dividirse en cinco cuadritos de 1 centiacutemetro de largo y 1 centiacutemetro de ancho Las tres fajas juntas constan de 5 X 153 = 2cm que es el aacuterea del rectaacutengulo
El resultado se expresa diciendo el aacuterea de un rectaacutengulo es igual al producto de la base por la altura Esta expresioacuten puede abreviarse de la siguiente manera Aacuterea = base X altura La cual puede ser representada por las literales =A aacuterea =b base y a = altura Por lo que
bA = X a
Dicha abreviacioacuten a su vez resulta maacutes corta si se suprime el signo X y asiacute queda la expresioacuten baA =
Dicha expresioacuten se llama foacutermula algebraica Toda foacutermula es una regla expresada por medio de siacutembolos e indica las
operaciones que deben de efectuarse con los nuacutemeros representados por las literales para obtener ciertos resultados [Anfosi Agustiacuten Paacuteg 2]
Asiacute el rectaacutengulo constaraacute de n fajas de 25 cm cada una y el aacuterea seraacute de
5=A X n = ][5 2cmn
5 cm de largo
3 cm
de
anch
o
A B
CD
B
CD
5 cm A
3 cm
1 cm
1 cm
1 cm2
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EXPONENTES y RADICALES
11
De la foacutermula para obtener el aacuterea del rectaacutengulo baA= se deducen las siguientes transformaciones de dicha expresioacuten
aAb = y
bAa =
Donde para la primera expresioacuten conocida el aacuterea del rectaacutengulo y su altura se puede saber su base y para la segunda expresioacuten conocida el aacuterea del rectaacutengulo y su base se puede obtener su altura
El aacuterea de un rectaacutengulo de base b y altura a es ba El aacuterea de tres rectaacutengulos iguales al anterior es babababa 3=++
El volumen de un paralelepiacutepedo en que las dimensiones de la base son b y a
y la altura es c es bac
El volumen de dos paralelepiacutepedos iguales al anterior es bacbacbac 2=+
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EXPONENTES y RADICALES
12
El duplo se escribe a2 el triple de b se escribe b3 el cuaacutedruplo de 3a
3
4 a el
quiacutentuplo de c c5 etc Asiacute se tiene aaa +=2 bbbb ++=3
33333
4 aaaaa+++=
cccccc ++++=5 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
)( eaigualessumandosneeene ++++= En las expresiones anteriores ny5432 se llaman coeficientes El coeficiente es el nuacutemero o la literal que indica cuaacutentos sumandos iguales se toman Los cuatro primeros son numeacutericos y el uacuteltimo es literal
Ejemplo a) Representar la edad de cada uno de los miembros de la familia de Carlos Se
sabe que la edad de la hermana es dos tercios de la de Carlos la de la madre el triple la del padre cuatro veces y la del abuelo es igual a la suma de las edades del padre y de la madre
Solucioacuten La edad de Carlos es = a
La edad de la hermana es = a32
La edad de la madre es = a3 La edad del padre es = a4 Y la edad del abuelo es = aa 43 +
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EXPONENTES y RADICALES
13
b) A continuacioacuten se presenta un plano de una parte de un piso cuyas dimensiones estaacuten expresadas en el mismo
En este plano se observa que la longitud de este piso se puede expresar como ba+=8 de donde ba minus= 8 Y que el ancho es ihdc +=+
En estos dos ejemplos aparecen expresiones que son combinaciones de
nuacutemeros y literales separadas por los signos de las operaciones matemaacuteticas (aritmeacuteticas) Estas expresiones reciben el nombre de expresiones algebraicas 141 TEacuteRMINOS Y COEFICIENTES Sea la siguiente expresioacuten algebraica la cual estaacute formada por cinco sumandos
babbaa 3212
35
++++
Se llama teacutermino de una expresioacuten algebraica a cada uno de dichos sumandos Asiacute a2 es una expresioacuten algebraica de un teacutermino ba +3 es una expresioacuten algebraica de dos teacuterminos 123 ++ aab es una expresioacuten algebraica de tres teacuterminos Donde cada teacutermino consta de una parte numeacuterica (coeficiente del teacutermino) y otra literal Asiacute a2 es un teacutermino de coeficiente 2 y parte literal a
ab23
es un teacutermino de coeficiente 23
y parte literal ab
a b
c
e
d
h
i
8
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EXPONENTES y RADICALES
14
2xy es un teacutermino de coeficiente 1 y parte literal 2xy
Ejemplo Representar la edad de cada uno de los miembros de la familia de Carlos Se sabe que la edad de la hermana es dos tercios de la edad de Carlos la de la madre el triple la del padre cuatro veces y la del abuelo es igual a la suma de las edades del padre y la madre Solucioacuten Las expresiones algebraicas seraacuten las siguientes La edad de Carlos = a
La edad de la hermana = a32
La edad de la madre = a3 La edad del padre = a4 Y la edad del abuelo = aa 43 + A continuacioacuten se presenta el valor numeacuterico de cada una de las expresiones algebraicas si se sabe que la edad de Carlos es de 9 antildeos es decir 9=a La edad de Carlos = 9 antildeos
La edad de la hermana = 63
183
)9)(2()9(32
=== antildeos
La edad de la madre = 27)9(3 = antildeos La edad del padre = 36)9(4 = antildeos Y la edad del abuelo = 633627)9(4)9(3 =+=+ antildeos Nota
Si la edad de Carlos fuera otra los valores numeacutericos de cada una de las expresiones algebraicas seriacutean distintos
El valor numeacuterico de una expresioacuten algebraica no es uacutenico ya que depende del valor que se le deacute a la literal o letra(s) que en ella intervengan
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EXPONENTES y RADICALES
15
2 EXPONENTES Considere el caso especial de la multiplicacioacuten en el que todos los factores que se van a multiplicar son iguales Asiacute si se multiplica el nuacutemero a por siacute mismo se obtiene el producto aa el cual generalmente se escribe en la forma 2a En general el producto de n factores cada uno de ellos iguales a a se escribe en la forma na recibiendo el nuacutemero entero y positivo n el nombre de exponente En este caso se dice que se ha elevado el nuacutemero a a la eneacutesima potencia operacioacuten que recibe el nombre de potenciacioacuten 21 POTENCIACIOacuteN La potencia de una expresioacuten algebraica es la misma expresioacuten o el resultado de tomarla como factor dos o maacutes veces Asiacute la primera potencia de una expresioacuten es la misma expresioacuten como se indica a continuacioacuten aa 2)2( 1 =
La segunda potencia o cuadrado de una expresioacuten es el resultado de tomarla como factor dos veces Por lo que
22 4))()(2)(2()2)(2()2( aaaaaa === El cubo de una expresioacuten es el resultado de tomarla como factor tres veces por
ejemplo
33 8))()()(2)(2)(2()2)(2)(2()2( aaaaaaaa === Y en forma general ( ) ( )( )( ) vecesnaaaa n
2222 = 211 POTENCIA DE UN MONOMIO Para elevar un monomio a una potencia se eleva su coeficiente a esa potencia y se multiplica el exponente de cada letra por el exponente que indica la potencia Ejemplo Desarrollar las siguientes expresiones algebraicas
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EXPONENTES y RADICALES
16
a) 32 )3( ab b) 343 )5( yxminus c) 4
232
minus
yx
d) 5
43
32
minus ba
Solucioacuten
a) 63)3)(2()3)(1(32333 2727)()()3()3( bababaab ===
b) =minus=minus=minus )3)(4()3)(3(34333343 125)()()5()5( yxyxyx 129125 yxminus
c) 8
4
)4)(2(
)4)(1(
4
44
2
44
2 8116
)()(
)3()2(
32
32
yx
yx
yx
yx
=minus
=
minus=
minus
d) ( ) ( ) =minus
=
minus=
minus 543
5
5543
5543
)3()2(
32
32 bababa
2015)5)(4()5)(3(5
5
24332)()(
)3()2( baba minus=
minus=
2111 PROPIEDADES
Los exponentes indican multiplicacioacuten repetida por ejemplo
a) yy =2 ))(( yyy =
Donde 2y se lee y a la segunda potencia o y al cuadrado b) zz =3 z z = ))()(( zzz se lee z a la tercera potencia o z al cubo c) xx =4 x x x = ))()()(( xxxx se lee x a la cuarta potencia
22 EXPONENTES DE NUacuteMEROS REALES
Si n es un nuacutemero real entonces
xdefactoresn
xxn = x x x
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EXPONENTES y RADICALES
17
La expresioacuten exponencial nx se llama potencia de x y se lee x a la eneacutesima potencia o x a la potencia n En la expresioacuten siguiente
nx Exponente
Base
x se llama base y n es el exponente Un exponente que sea nuacutemero natural indica cuaacutentas veces se usa la base de expresioacuten exponencial como factor de un producto por ejemplo
a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==
b) 32)2)(2)(2)(2)(2()2( 5 minus=minusminusminusminusminus=minus
c) 4()4(4 44 minus=minus=minus 4 4 256)4 minus=
d) 256)4)(4)(4)(4()4( 4 =minusminusminusminus=minus
e) 33
81
21
21
21
21 aaaaa =
=
f) 22
251
51
51
51 bbbb =
minus
minus=
minus
g) 35 xx indica que x se debe usar cinco veces como factor y 3x representa que x se debe usar tres veces como factor por lo que 35 xx se usaraacute ocho veces como factor xdefactores5 xdefactores3
xxx =35 x x x x X x x x =
xdefactores8 = x x x x x x x x
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EXPONENTES y RADICALES
18
En general
xdefactoresm xdefactoresn
xxx nm = x x x X x x x x = xdefactoresnm + = x x x x x Por lo tanto para multiplicar expresiones exponenciales con la misma base se
mantiene esa base y se suman los exponentes 221 REGLA DEL PRODUCTO PARA EXPONENTES
Si m y n son nuacutemeros naturales entonces nmnm xxx += Para desarrollar la regla de divisioacuten de las expresiones exponenciales se procede de la siguiente manera
nmnmnmn
mn
m
xxxxx
xxx minusminus+minus ===
= )(1
Por tanto para dividir dos expresiones exponenciales con la misma base distinta de cero se mantiene la base y se resta el exponente del denominador del exponente del numerador
NOTA La regla del producto para exponentes soacutelo se aplica a expresiones exponenciales que tienen la misma base Por ejemplo la expresioacuten 35 yx no se puede simplificar porque las bases de las expresiones exponenciales son diferentes Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)
minus 34
418 xx
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EXPONENTES y RADICALES
19
Solucioacuten
a) 16511511 xxxx == +
b) 15645645 aaaaa == ++
c) 67244324432443 bababbaababa === ++
d) 7343434 248
418
418 xxxxxx minus=
minus=
minus=
minus +
Para encontrar otra propiedad se simplificaraacute la expresioacuten 34 )(x que significa
que 4x se eleva al cubo o en su caso 4x se repite tres veces 4x 4x 4x Donde 4x 4x 4x
=34 )(x 4x 4x 4x = ( x x x x )( x x x x )( x x x x )= = 12444 xx =++ En general se tiene que
nxdefactoresn nxdefactoresmn
mnm xx =)( mx mx mx = x x x x x x = mnx
Asiacute para elevar una expresioacuten exponencial a una potencia se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes
Ejemplo
Si se eleva x3 al cuadrado se obtiene el siguiente resultado
( ) )3(3 2 xx = ))()(3)(3()3( xxx = = 222 93 xx = En general se tiene que
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EXPONENTES y RADICALES
20
xydefactoresn xdefactoresn ( ) ))()(( xyxyxyxy n = xxxxy =)( x yyy y = nn yx
ydefactoresn
Otra propiedad por ejemplo es elevar al cubo la siguiente expresioacuten 3x
Solucioacuten
33
3 xx=
3x
3x
= 27)3)(3)(3(
))()(( 3xxxx=
En general se tiene lo siguiente
yxdefactoresn
=
yx
yx
yx
yx
n
yx
( )0ney
xdefactoresn
)())()(()())()((
yyyyxxxx
= = n
n
yx
ydefactoresn Los tres resultados anteriores se llaman reglas de potencias de los exponentes Si m y n son nuacutemeros naturales entonces
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EXPONENTES y RADICALES
21
( ) mnnm xx = nnn yxxy =)( n
nn
yx
yx
=
)0( ney
Ejemplos
Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) ( )323 b) ( )511x c) ( )632xx d) ( ) ( )2342 xx e) ( )32 yx f) ( )443 yx g) 4
2
yx
h) 2
4
3
yx
Solucioacuten
a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===
b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==
c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +
d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +
e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===
f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==
g) ( ) 8
4
42
44
2 yx
yx
yx
==
( )0ney
h) ( )( ) 8
62
24
32
4
3
yx
yx
yx
==
( )0ney
Analizar la diferencia que existe entre nxminus y nx)(minus
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EXPONENTES y RADICALES
22
Solucioacuten
xdefactoresn xdefactoresn minus
(minus=minus nx x x x x ) y )())()(()( xxxxx n minusminusminusminus=minus
Tambieacuten es conveniente hacer notar la diferencia que existe entre nax y ( )nax donde
xdefactoresn axdefactoresn
aaxn = x x x x y )())()(()( axaxaxaxax n = 222 EL EXPONENTE CERO Cuando las reglas de los exponentes son vaacutelidas y si el exponente es igual a 0 (cero) se tiene lo siguiente nnnnn xxxxxx 1)1()1(00 ==== + Como nn xxx 10 = en consecuencia ( )010 ne= xx
El exponente cero si 10 0 =ne xentoncesx En general cualquier base distinta de cero elevada a la potencia cero es igual a 1 Tambieacuten
10 === minusn
nnn
xxxx
Si todas las bases son distintas de cero y el exponente es cero entonces
a) 150 =
b) ( ) 17 0 =minus
c) ( ) 1303 =ax
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EXPONENTES y RADICALES
23
d) 121 0
975 =
zyx
NOTA
00 es indefinido esto a consecuencia de que infin=00 223 EXPONENTES NEGATIVOS Las reglas de los exponentes son vaacutelidas tambieacuten cuando eacutestos son enteros negativos ( )010 ne=== +minusminus xxxxx nnnn
ya que nxminus 1=nx y nx
1 1=nx
Ademaacutes se define a nxminus como el reciacuteproco de nx Por lo que
nn
xx 1
=minus y nn x
x=
minus
1
NOTA De acuerdo con la definicioacuten de exponentes negativos la base no puede ser 0
Asiacute una expresioacuten como 50minus no estaacute definida por lo que
infin=minus50 Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 25minus b) 310minus c) ( ) 32 minusx d) 13 minusx e) 35xxminus f) ( ) 23 minusminusx Solucioacuten
a) 251
515 2
2 ==minus
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EXPONENTES y RADICALES
24
b) 1000
110110 3
3 ==minus
c) ( ) 33
3
81
21)2(
xxx ==minus
d) 33 1 =minusx xx31
=
e) 2
23535 1x
xxxx === minus+minusminus
f) ( ) 6)2)(3(23 xxx == minusminusminusminus
2224 REGLA DEL COCIENTE Si m y n son enteros entonces
( )0 ne= minus xxxx nm
n
m
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 3
5
aa
b) 11
5
xxminus
c) 5
34
minusxxx
d) ( )( )23
32
x
x e) 4
32
xyyx
f) 3
432
32
minus
baaba
Solucioacuten
a) 2353
5
aaaa
== minus
b) 16
1611511
5 1x
xxxx
=== minusminusminusminus
c) 12575
7
5
34
5
34
xxxxx
xx
xxx
====minusminus
+
minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
25
d) ( )( )
( )( )
( )( ) 10666
6
23
32
23
32
===== minus xxxx
xx
xx
o en su caso
( )( )
( )( )
( )( ) 16
6
23
32
23
32
===xx
xx
xx
e) yxyxyxyyxx
xyyx
==== minusminusminusminusminus 11431243124
32
f) ( )( )
( )
)3)(4()3)(3()3)(middot2(
)3)(3(3)(2
3432
3323
432
32
baaba
baa
babaaba minusminusminus
==
= =
minus
1296
96
baaba
1221321
1215
96 1ba
bababa
=== minusminusminus
o en su caso
=
=
minusminus 3
45
323
432
32
baba
baaba
= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317
33
17
317 1111babababa
ba ===
=minusminus
El siguiente teorema indica que una fraccioacuten elevada a una potencia negativa se puede invertir y elevarse asiacute a una potencia positiva
Teorema Si n es un nuacutemero entero entonces
( )00 nene
=
minus
yxny
yx nn
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EXPONENTES y RADICALES
26
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 4
32 minus
b)
3
2
xy
c) 4
3
2
32
minus
minus
yx
d)
minus
432
32
baaba
Solucioacuten
a) ( )( ) 16
8123
23
32
4
444
==
=
minus
b) ( )( ) 6
9
)3)(2(
)3)(3(
32
333
2
33
3
2
yx
yx
yx
yx
xy
===
=
minus
c) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ====
=
minusminusminusminusminus
minus )4)(2(
)4)(3(
424
434
42
434
2
34
3
2
1681
23
23
23
32
xy
xy
xy
xy
yx
= 8
12
1681
xy minus
= 1681
8
12
xy minus
= 1281681
yx
d) ( )( )
( )( ) ===
=
minusminusminus
minusminus
)3)(3()3)(2(
)3)(4()3)(5(
332
3453
32
4323
432
32
baba
baba
babaa
baaba
= =minus 96
1215
baba 321912)6(15 babbaa =minusminusminus
23 RESUMEN Si no existen divisiones entre 0 (cero) entonces para enteros m y n cualesquiera
a) nmnm xxx += b) ( ) mnnm xx =
c) ( ) nnn yxxy =
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EXPONENTES y RADICALES
27
d) n
nn
yx
yx
=
e) ( )010 ne= xx
f) n
n
xx 1
=minus
g) nmn
m
xxx minus=
h) nn
xy
yx
=
minus
NOTA Las mismas reglas se aplican cuando los exponentes son variables 24 EJERCICIOS
1 Simplificar las siguientes expresiones
a) 24 b) 32 )(x c) 12 )( minusminusx d) 5
2
xx
e) 25minus
Solucioacuten a) 16)4)(4(42 == b) 6)3)(2(32 )( xxx == c) 2)1)(2(12 )( xxx == minusminusminusminus
o tambieacuten
222
22
21212
1)1)(1())(1(
111
111
)(1)( xxx
xxxx
x =======minusminus
minusminus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
28
d) 2253)5()3(53
5
3 1))((x
xxxxxxx
===== minusminusminus+minus
o tambieacuten 1 1 1
21
))()()()(())()((
))()()()(())()((
xxxxxxxxx
xxxxxxxx
== = 2minusx
e) 12
2 25251
515 minusminus ===
2 Simplificar las siguientes expresiones considerando que ninguno de los
denominadores sea igual a cero
a) 32
29
)(mmm minus
b) 43
32 )2(minus
minus
aaa
c)043
22 )3(xxx
xminus
minus
d) 042
2022
)4()(4
minus
minus
minusminus
yxyxx
e) 2
25
44
93
minus
minus
minusminus
yxyx
Solucioacuten
a) mmmmm
mm
mmm
===== minusminusminus
1676
7
)3)(2(
29
32
29
)(
b) 561
6
43
)3)(2(3
43
32 88))(8())(2()2(aa
aa
aaa
aaa
====minus
minus
minus
minus
minus
minus
c) 37
4
3)4(
4
322
4
043
22
91
99)1()1()3()3(
xxx
xxx
xxx
xxxx
====minus
minus
d) =minus
=minus
=minus
minus +minus
minus
minus
1)1(4
1)1(4
)4()(4 0222
042
2022 xxyx
yxx
414
1)1)(1(4
minus=minus
=minus
=
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
29
e) ( )( )
( )( ) =minusminus
=minusminus
=
minusminus
minus
minus
minusminus
minusminus
minus 224
225
225
2442
25
44
39
93
93
yxyx
yxyx
yxyx
= ( )
( ) ( ) ( )2
48
410
22242
22252
99
813
)()9( xyxyx
yxyx
==minusminus
minus
minus
minus
minus
3 Encontrar el valor numeacuterico de las siguientes expresiones con 2minus=x y
3=y para
a) 23 yx b) 3
3
yxminus
c) ( ) 22 minusxy d) 23 minusminus xy e) 23)( minusminus xy
Solucioacuten
a) ( ) ( ) 72)9)(8(32 2323 minus=minus=minus=yx
b) ( ) ( ) ( )( ) =minus
=minus
==minus
2781
3211
33333
3
yxyx
2161
2161
minus=minus
=
c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241
3211
2222
22 =minus
==minus
xyxy
d) ( ) ( )( ) 16
2722723 4
4323 minus=
minusminus
=minusminus=minus minusminusxy 1627
minus=
e) ( )( ) 4
272
3)()( 2
3
2
323 =
minus=
minus=minus minus
xyxy
3 RADICALES Con frecuencia en los problemas de aplicacioacuten se debe determinar queacute nuacutemero se puede elevar al cuadrado para obtener un segundo nuacutemero a Si se puede determinar a ese nuacutemero se le llama una raiacutez cuadrada de a Por ejemplo
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EXPONENTES y RADICALES
30
a) 0es una raiacutez cuadrada de 0 porque 002 = b) 4 es una raiacutez cuadrada de 16 porque 1642 = c) 4minus es una raiacutez cuadrada de 16 porque 16)4( 2 =minus d) xy7 es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy = e) xy7minus es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy =minus
31 RAIacuteZ CUADRADA DE a El nuacutemero b es una raiacutez cuadrada de a cuando 2 ab = Todos los nuacutemeros positivos tienen dos nuacutemeros reales que son sus raiacuteces cuadradas uno positivo y otro negativo El uacutenico nuacutemero con una sola raiacutez cuadrada es 0 cuya raiacutez cuadrada es 0 Ejemplo Determinar las dos raiacuteces cuadradas de 121 Solucioacuten Las dos raiacuteces cuadradas de 121son 11y 11minus porque 121112 = y 121)11( 2 =minus 32 RAIacuteZ CUADRADA PRINCIPAL Se llama signo radical al siacutembolo y a x el nuacutemero que se encuentran dentro del signo radical que se llama radicando Siacute x gt 0 la raiacutez principal de x es la raiacutez cuadrada positiva de x y se
representa con x La raiacutez cuadrada principal de 0 es 0 00 = NOTA Por definicioacuten el cuadrado principal de un nuacutemero positivo siempre es positivo Aunque 5 y 5minus son raiacuteces cuadradas de 25 soacutelo 5es la raiacutez cuadrada principal El radical
25 representa 5 El radical 25minus representa 5minus Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuadradas
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EXPONENTES y RADICALES
31
a) 11 =
b) 981 =
c) 981 minus=minus
d) 21
41=
e) 114
12116
minus=minus
f) 20040 =
g) 03000090 minus=minus
Los nuacutemeros como 1600491694 y se llaman cuadrados enteros porque cada uno de ellos es el cuadrado de un entero La raiacutez cuadrada de todo cuadrado entero es un nuacutemero racional Por ejemplo
4016007494163924 =====
Las raiacuteces cuadradas de muchos enteros positivos no son nuacutemeros racionales Por ejemplo 11 es un nuacutemero irracional cuyo valor aproximado ( )asymp es de
31662473 )3166247311( asymp Donde el siacutembolo asympquiere decir ldquoaproximadamente igual ardquo
Las raiacuteces cuadradas de nuacutemeros negativos no son nuacutemeros reales Por
ejemplo 9minus no es nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado al cuadrado es igual a 9minus Las raiacuteces cuadradas de los nuacutemeros negativos originan un conjunto llamado nuacutemeros imaginarios
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
32
33 RAIacuteCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE Si 0nex el nuacutemero positivo 2x tiene por raiacuteces a x y a xminus porque 22)( xx =
y 22)( xx =minus Para indicar la raiacutez cuadrada positiva de 2x se debe saber si x es positivo o negativo Si 0gtx se puede escribir lo siguiente xx =2 donde 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es x Si x es negativo entonces 0gtminus x es xx minus=2 ya que 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es xminus Si no se sabe si x es positivo o negativo se pueden emplear siacutembolos de valor absoluto para garantizar que 2x sea positiva xx =2 siempre y cuando x sea cualquier nuacutemero real Si x es cualquier nuacutemero real entonces
a) xxxx 44)4(16 22 ===
Por lo que escribir 216x en la forma 2)4( x siendo que ( ) 22 164 xx = Puesto que x podriacutea ser negativo Los siacutembolos de valor absoluto son necesarios ya que en el producto x4 4 es una constante positiva
b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2
+=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 4+x puede ser negativo por ejemplo cuando
8minus=x
c) ( ) 1112 22 +=+=++ xxxx Porque ( )211 +=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 1+x puede ser negativo por ejemplo cuando 5minus=x
d) 24 xx = porque ( ) 422 xx = Como 02 gex
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
33
34 RAIacuteCES CUacuteBICAS La raiacutez cuacutebica de x se representa por yx =3 si xy =3 Por ejemplo el nuacutemero 64 tiene dos raiacuteces cuadradas que son nuacutemeros reales 8 y 8minus Sin embargo 64 soacutelo tiene una raiacutez cuacutebica real que es el valor de 4 porque 4 es el uacutenico nuacutemero real cuyo cubo es 64 Por lo tanto
xx =3 3 Como todos los nuacutemeros reales tienen una y solo una raiacutez cuacutebica real algunas
de las cuales son positivas y otras negativas no es necesario emplear siacutembolos de valor absoluto al simplificar las raiacuteces cuacutebicas
Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuacutebicas
a) 3 125 b) 3
81
c) 3 327xminus d) 33
3
278
ba
minus e) 3 632160 yx
Solucioacuten a) 51253 = porque 125)5)(5)(5(53 ==
b) 21
81
3 = porque 81
21
21
21
21 3
=
=
c) xx 3273 3 minus=minus porque ( ) ( )( )( ) 33 273333 xxxxx minus=minusminusminus=minus
d) ba
ba
32
278
33
3
minus=minus porque 3
33
278
32
32
32
32
ba
ba
ba
ba
ba
minus=
minus
minus
minus=
minus
e) 23 63 602160 xyyx = porque
( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==
35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS Asiacute como existen raiacuteces cuadradas y raiacuteces cuacutebicas tambieacuten existen las raiacuteces cuartas raiacuteces quintas raiacuteces sextas etc
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
34
Cuando n es impar el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez impar Como todo nuacutemero real tiene una y soacutelo una raiacutez eneacutesima real cuando n es impar no es necesario preocuparse por los siacutembolos de valor absoluto cuando se calculan raiacuteces impares Ejemplo
a) 33243 5 55 == porque 24335 = b) ( ) xxx 227128 77 7 minus=minus=minus porque ( ) 77 1282 xx minus=minus
Cuando n es par el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez par En este caso habraacute una raiacutez eneacutesima positiva y una eneacutesima negativa Por ejemplo las dos raiacuteces sextas reales de 729 son 3 y 3minus porque
72936 = y 729)3( 6 =minus Cuando se determinan raiacuteces reales se emplean con frecuencia los siacutembolos de valor absoluto para garantizar que la eneacutesima raiacutez sea positiva Ejemplos
a) ( ) 3334 4 =minus=minus
Tambieacuten se puede simplificar de la siguiente manera ( ) 3813 44 4 ==minus
b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===
Los siacutembolos de valor absoluto garantizan que la raiacutez sexta es positiva
Generalizando se tienen las siguientes reglas Si x es un nuacutemero real y 1gtn entonces
a) Si n es un nuacutemero impar natural xxn n =
b) Si n es un nuacutemero par natural xxn n =
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
35
NOTA En el radical n x a n se le llama el iacutendice u orden del radical Cuando el iacutendice
es 2 el radical es una raiacutez cuadrada y se acostumbra no escribir el iacutendice Cuando n es par ( )2gtn y 0ltx el radical n x no es un nuacutemero real Por
ejemplo 4 81minus no es un nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado a la cuarta potencia es 81minus
Ejemplo
a) 56254 = porque 62554 = b) 2325 minus=minus porque ( ) 322 5 minus=minus
c) 21
641
6 = porque 641
21 6
=
36 EXPONENTES RACIONALES Los exponentes enteros positivos indican la cantidad de veces que se debe usar una base como factor en un producto Por ejemplo 5x significa que x se debe emplear cinco veces como factor ya que xdefactores5 ( )( )( )( )( )xxxxxx =5 Es posible elevar bases a potencias racionales (fraccionarias) cuando se desea que dichos exponentes respeten las mismas reglas que los coeficientes enteros el
cuadrado de 21
10 debe ser 10 porque
( )
10101010 1
2
212
21
===
Se mantiene la base y se multiplican los exponentes
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
36
( ) 112
212
21
=
=
10101 =
Sin embargo hay que recordar que ( ) 1010
2=
Como 2
21
10
y ( )210 son iguales a 10
Con esto se puede definir que 21
10 es igual a 10 Igualmente para
a) 31
10 como 3 10
b) 41
10 como 4 10
c) 51
10 como 5 10
Por lo que si n es un nuacutemero natural mayor que 1 y n x es un nuacutemero real entonces
nn xx =1
Ejemplo Resolver los siguientes radicales
a) 21
9 b) 21
916
minus c) ( )3
1
64minus d) 41
16 e) 51
321
f) 8
1
0 g) ( )51
232xminus
h) ( )41
xyz
Solucioacuten
a) 3999 221
===
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
37
b) 34
916
916
916
221
minus=minus=minus=
minus
c) ( ) 46464 331
minus=minus=minus
d) 21616 441
==
e) 21
321
321
551
==
f) 000 881
==
g) ( ) xxx 23232 5 551
5 minus=minus=minus
h) ( ) 441
xyzxyz =
i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes
fraccionarios
a) 4 5xyz b) 52
15xy
Solucioacuten
a) ( )41
4 55 xyzxyz =
b) 51
2
5
2
1515
=xyxy
37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1
Se puede ampliar la definicioacuten de nx1
para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
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EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
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EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
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EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
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EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
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EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
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EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
10
15 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Sea el siguiente rectaacutengulo ABCD el cual tiene 5 centiacutemetros (cm) de largo y 3 centiacutemetros de ancho como se indica en la siguiente figura geomeacutetrica
En esta figura geomeacutetrica se pueden formar 3 fajas de 5 centiacutemetros de largo por 1 centiacutemetro de ancho cada faja puede dividirse en cinco cuadritos de 1 centiacutemetro de largo y 1 centiacutemetro de ancho Las tres fajas juntas constan de 5 X 153 = 2cm que es el aacuterea del rectaacutengulo
El resultado se expresa diciendo el aacuterea de un rectaacutengulo es igual al producto de la base por la altura Esta expresioacuten puede abreviarse de la siguiente manera Aacuterea = base X altura La cual puede ser representada por las literales =A aacuterea =b base y a = altura Por lo que
bA = X a
Dicha abreviacioacuten a su vez resulta maacutes corta si se suprime el signo X y asiacute queda la expresioacuten baA =
Dicha expresioacuten se llama foacutermula algebraica Toda foacutermula es una regla expresada por medio de siacutembolos e indica las
operaciones que deben de efectuarse con los nuacutemeros representados por las literales para obtener ciertos resultados [Anfosi Agustiacuten Paacuteg 2]
Asiacute el rectaacutengulo constaraacute de n fajas de 25 cm cada una y el aacuterea seraacute de
5=A X n = ][5 2cmn
5 cm de largo
3 cm
de
anch
o
A B
CD
B
CD
5 cm A
3 cm
1 cm
1 cm
1 cm2
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EXPONENTES y RADICALES
11
De la foacutermula para obtener el aacuterea del rectaacutengulo baA= se deducen las siguientes transformaciones de dicha expresioacuten
aAb = y
bAa =
Donde para la primera expresioacuten conocida el aacuterea del rectaacutengulo y su altura se puede saber su base y para la segunda expresioacuten conocida el aacuterea del rectaacutengulo y su base se puede obtener su altura
El aacuterea de un rectaacutengulo de base b y altura a es ba El aacuterea de tres rectaacutengulos iguales al anterior es babababa 3=++
El volumen de un paralelepiacutepedo en que las dimensiones de la base son b y a
y la altura es c es bac
El volumen de dos paralelepiacutepedos iguales al anterior es bacbacbac 2=+
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
12
El duplo se escribe a2 el triple de b se escribe b3 el cuaacutedruplo de 3a
3
4 a el
quiacutentuplo de c c5 etc Asiacute se tiene aaa +=2 bbbb ++=3
33333
4 aaaaa+++=
cccccc ++++=5 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
)( eaigualessumandosneeene ++++= En las expresiones anteriores ny5432 se llaman coeficientes El coeficiente es el nuacutemero o la literal que indica cuaacutentos sumandos iguales se toman Los cuatro primeros son numeacutericos y el uacuteltimo es literal
Ejemplo a) Representar la edad de cada uno de los miembros de la familia de Carlos Se
sabe que la edad de la hermana es dos tercios de la de Carlos la de la madre el triple la del padre cuatro veces y la del abuelo es igual a la suma de las edades del padre y de la madre
Solucioacuten La edad de Carlos es = a
La edad de la hermana es = a32
La edad de la madre es = a3 La edad del padre es = a4 Y la edad del abuelo es = aa 43 +
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
13
b) A continuacioacuten se presenta un plano de una parte de un piso cuyas dimensiones estaacuten expresadas en el mismo
En este plano se observa que la longitud de este piso se puede expresar como ba+=8 de donde ba minus= 8 Y que el ancho es ihdc +=+
En estos dos ejemplos aparecen expresiones que son combinaciones de
nuacutemeros y literales separadas por los signos de las operaciones matemaacuteticas (aritmeacuteticas) Estas expresiones reciben el nombre de expresiones algebraicas 141 TEacuteRMINOS Y COEFICIENTES Sea la siguiente expresioacuten algebraica la cual estaacute formada por cinco sumandos
babbaa 3212
35
++++
Se llama teacutermino de una expresioacuten algebraica a cada uno de dichos sumandos Asiacute a2 es una expresioacuten algebraica de un teacutermino ba +3 es una expresioacuten algebraica de dos teacuterminos 123 ++ aab es una expresioacuten algebraica de tres teacuterminos Donde cada teacutermino consta de una parte numeacuterica (coeficiente del teacutermino) y otra literal Asiacute a2 es un teacutermino de coeficiente 2 y parte literal a
ab23
es un teacutermino de coeficiente 23
y parte literal ab
a b
c
e
d
h
i
8
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
14
2xy es un teacutermino de coeficiente 1 y parte literal 2xy
Ejemplo Representar la edad de cada uno de los miembros de la familia de Carlos Se sabe que la edad de la hermana es dos tercios de la edad de Carlos la de la madre el triple la del padre cuatro veces y la del abuelo es igual a la suma de las edades del padre y la madre Solucioacuten Las expresiones algebraicas seraacuten las siguientes La edad de Carlos = a
La edad de la hermana = a32
La edad de la madre = a3 La edad del padre = a4 Y la edad del abuelo = aa 43 + A continuacioacuten se presenta el valor numeacuterico de cada una de las expresiones algebraicas si se sabe que la edad de Carlos es de 9 antildeos es decir 9=a La edad de Carlos = 9 antildeos
La edad de la hermana = 63
183
)9)(2()9(32
=== antildeos
La edad de la madre = 27)9(3 = antildeos La edad del padre = 36)9(4 = antildeos Y la edad del abuelo = 633627)9(4)9(3 =+=+ antildeos Nota
Si la edad de Carlos fuera otra los valores numeacutericos de cada una de las expresiones algebraicas seriacutean distintos
El valor numeacuterico de una expresioacuten algebraica no es uacutenico ya que depende del valor que se le deacute a la literal o letra(s) que en ella intervengan
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
15
2 EXPONENTES Considere el caso especial de la multiplicacioacuten en el que todos los factores que se van a multiplicar son iguales Asiacute si se multiplica el nuacutemero a por siacute mismo se obtiene el producto aa el cual generalmente se escribe en la forma 2a En general el producto de n factores cada uno de ellos iguales a a se escribe en la forma na recibiendo el nuacutemero entero y positivo n el nombre de exponente En este caso se dice que se ha elevado el nuacutemero a a la eneacutesima potencia operacioacuten que recibe el nombre de potenciacioacuten 21 POTENCIACIOacuteN La potencia de una expresioacuten algebraica es la misma expresioacuten o el resultado de tomarla como factor dos o maacutes veces Asiacute la primera potencia de una expresioacuten es la misma expresioacuten como se indica a continuacioacuten aa 2)2( 1 =
La segunda potencia o cuadrado de una expresioacuten es el resultado de tomarla como factor dos veces Por lo que
22 4))()(2)(2()2)(2()2( aaaaaa === El cubo de una expresioacuten es el resultado de tomarla como factor tres veces por
ejemplo
33 8))()()(2)(2)(2()2)(2)(2()2( aaaaaaaa === Y en forma general ( ) ( )( )( ) vecesnaaaa n
2222 = 211 POTENCIA DE UN MONOMIO Para elevar un monomio a una potencia se eleva su coeficiente a esa potencia y se multiplica el exponente de cada letra por el exponente que indica la potencia Ejemplo Desarrollar las siguientes expresiones algebraicas
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
16
a) 32 )3( ab b) 343 )5( yxminus c) 4
232
minus
yx
d) 5
43
32
minus ba
Solucioacuten
a) 63)3)(2()3)(1(32333 2727)()()3()3( bababaab ===
b) =minus=minus=minus )3)(4()3)(3(34333343 125)()()5()5( yxyxyx 129125 yxminus
c) 8
4
)4)(2(
)4)(1(
4
44
2
44
2 8116
)()(
)3()2(
32
32
yx
yx
yx
yx
=minus
=
minus=
minus
d) ( ) ( ) =minus
=
minus=
minus 543
5
5543
5543
)3()2(
32
32 bababa
2015)5)(4()5)(3(5
5
24332)()(
)3()2( baba minus=
minus=
2111 PROPIEDADES
Los exponentes indican multiplicacioacuten repetida por ejemplo
a) yy =2 ))(( yyy =
Donde 2y se lee y a la segunda potencia o y al cuadrado b) zz =3 z z = ))()(( zzz se lee z a la tercera potencia o z al cubo c) xx =4 x x x = ))()()(( xxxx se lee x a la cuarta potencia
22 EXPONENTES DE NUacuteMEROS REALES
Si n es un nuacutemero real entonces
xdefactoresn
xxn = x x x
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
17
La expresioacuten exponencial nx se llama potencia de x y se lee x a la eneacutesima potencia o x a la potencia n En la expresioacuten siguiente
nx Exponente
Base
x se llama base y n es el exponente Un exponente que sea nuacutemero natural indica cuaacutentas veces se usa la base de expresioacuten exponencial como factor de un producto por ejemplo
a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==
b) 32)2)(2)(2)(2)(2()2( 5 minus=minusminusminusminusminus=minus
c) 4()4(4 44 minus=minus=minus 4 4 256)4 minus=
d) 256)4)(4)(4)(4()4( 4 =minusminusminusminus=minus
e) 33
81
21
21
21
21 aaaaa =
=
f) 22
251
51
51
51 bbbb =
minus
minus=
minus
g) 35 xx indica que x se debe usar cinco veces como factor y 3x representa que x se debe usar tres veces como factor por lo que 35 xx se usaraacute ocho veces como factor xdefactores5 xdefactores3
xxx =35 x x x x X x x x =
xdefactores8 = x x x x x x x x
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EXPONENTES y RADICALES
18
En general
xdefactoresm xdefactoresn
xxx nm = x x x X x x x x = xdefactoresnm + = x x x x x Por lo tanto para multiplicar expresiones exponenciales con la misma base se
mantiene esa base y se suman los exponentes 221 REGLA DEL PRODUCTO PARA EXPONENTES
Si m y n son nuacutemeros naturales entonces nmnm xxx += Para desarrollar la regla de divisioacuten de las expresiones exponenciales se procede de la siguiente manera
nmnmnmn
mn
m
xxxxx
xxx minusminus+minus ===
= )(1
Por tanto para dividir dos expresiones exponenciales con la misma base distinta de cero se mantiene la base y se resta el exponente del denominador del exponente del numerador
NOTA La regla del producto para exponentes soacutelo se aplica a expresiones exponenciales que tienen la misma base Por ejemplo la expresioacuten 35 yx no se puede simplificar porque las bases de las expresiones exponenciales son diferentes Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)
minus 34
418 xx
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EXPONENTES y RADICALES
19
Solucioacuten
a) 16511511 xxxx == +
b) 15645645 aaaaa == ++
c) 67244324432443 bababbaababa === ++
d) 7343434 248
418
418 xxxxxx minus=
minus=
minus=
minus +
Para encontrar otra propiedad se simplificaraacute la expresioacuten 34 )(x que significa
que 4x se eleva al cubo o en su caso 4x se repite tres veces 4x 4x 4x Donde 4x 4x 4x
=34 )(x 4x 4x 4x = ( x x x x )( x x x x )( x x x x )= = 12444 xx =++ En general se tiene que
nxdefactoresn nxdefactoresmn
mnm xx =)( mx mx mx = x x x x x x = mnx
Asiacute para elevar una expresioacuten exponencial a una potencia se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes
Ejemplo
Si se eleva x3 al cuadrado se obtiene el siguiente resultado
( ) )3(3 2 xx = ))()(3)(3()3( xxx = = 222 93 xx = En general se tiene que
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EXPONENTES y RADICALES
20
xydefactoresn xdefactoresn ( ) ))()(( xyxyxyxy n = xxxxy =)( x yyy y = nn yx
ydefactoresn
Otra propiedad por ejemplo es elevar al cubo la siguiente expresioacuten 3x
Solucioacuten
33
3 xx=
3x
3x
= 27)3)(3)(3(
))()(( 3xxxx=
En general se tiene lo siguiente
yxdefactoresn
=
yx
yx
yx
yx
n
yx
( )0ney
xdefactoresn
)())()(()())()((
yyyyxxxx
= = n
n
yx
ydefactoresn Los tres resultados anteriores se llaman reglas de potencias de los exponentes Si m y n son nuacutemeros naturales entonces
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EXPONENTES y RADICALES
21
( ) mnnm xx = nnn yxxy =)( n
nn
yx
yx
=
)0( ney
Ejemplos
Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) ( )323 b) ( )511x c) ( )632xx d) ( ) ( )2342 xx e) ( )32 yx f) ( )443 yx g) 4
2
yx
h) 2
4
3
yx
Solucioacuten
a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===
b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==
c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +
d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +
e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===
f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==
g) ( ) 8
4
42
44
2 yx
yx
yx
==
( )0ney
h) ( )( ) 8
62
24
32
4
3
yx
yx
yx
==
( )0ney
Analizar la diferencia que existe entre nxminus y nx)(minus
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EXPONENTES y RADICALES
22
Solucioacuten
xdefactoresn xdefactoresn minus
(minus=minus nx x x x x ) y )())()(()( xxxxx n minusminusminusminus=minus
Tambieacuten es conveniente hacer notar la diferencia que existe entre nax y ( )nax donde
xdefactoresn axdefactoresn
aaxn = x x x x y )())()(()( axaxaxaxax n = 222 EL EXPONENTE CERO Cuando las reglas de los exponentes son vaacutelidas y si el exponente es igual a 0 (cero) se tiene lo siguiente nnnnn xxxxxx 1)1()1(00 ==== + Como nn xxx 10 = en consecuencia ( )010 ne= xx
El exponente cero si 10 0 =ne xentoncesx En general cualquier base distinta de cero elevada a la potencia cero es igual a 1 Tambieacuten
10 === minusn
nnn
xxxx
Si todas las bases son distintas de cero y el exponente es cero entonces
a) 150 =
b) ( ) 17 0 =minus
c) ( ) 1303 =ax
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EXPONENTES y RADICALES
23
d) 121 0
975 =
zyx
NOTA
00 es indefinido esto a consecuencia de que infin=00 223 EXPONENTES NEGATIVOS Las reglas de los exponentes son vaacutelidas tambieacuten cuando eacutestos son enteros negativos ( )010 ne=== +minusminus xxxxx nnnn
ya que nxminus 1=nx y nx
1 1=nx
Ademaacutes se define a nxminus como el reciacuteproco de nx Por lo que
nn
xx 1
=minus y nn x
x=
minus
1
NOTA De acuerdo con la definicioacuten de exponentes negativos la base no puede ser 0
Asiacute una expresioacuten como 50minus no estaacute definida por lo que
infin=minus50 Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 25minus b) 310minus c) ( ) 32 minusx d) 13 minusx e) 35xxminus f) ( ) 23 minusminusx Solucioacuten
a) 251
515 2
2 ==minus
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EXPONENTES y RADICALES
24
b) 1000
110110 3
3 ==minus
c) ( ) 33
3
81
21)2(
xxx ==minus
d) 33 1 =minusx xx31
=
e) 2
23535 1x
xxxx === minus+minusminus
f) ( ) 6)2)(3(23 xxx == minusminusminusminus
2224 REGLA DEL COCIENTE Si m y n son enteros entonces
( )0 ne= minus xxxx nm
n
m
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 3
5
aa
b) 11
5
xxminus
c) 5
34
minusxxx
d) ( )( )23
32
x
x e) 4
32
xyyx
f) 3
432
32
minus
baaba
Solucioacuten
a) 2353
5
aaaa
== minus
b) 16
1611511
5 1x
xxxx
=== minusminusminusminus
c) 12575
7
5
34
5
34
xxxxx
xx
xxx
====minusminus
+
minus
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EXPONENTES y RADICALES
25
d) ( )( )
( )( )
( )( ) 10666
6
23
32
23
32
===== minus xxxx
xx
xx
o en su caso
( )( )
( )( )
( )( ) 16
6
23
32
23
32
===xx
xx
xx
e) yxyxyxyyxx
xyyx
==== minusminusminusminusminus 11431243124
32
f) ( )( )
( )
)3)(4()3)(3()3)(middot2(
)3)(3(3)(2
3432
3323
432
32
baaba
baa
babaaba minusminusminus
==
= =
minus
1296
96
baaba
1221321
1215
96 1ba
bababa
=== minusminusminus
o en su caso
=
=
minusminus 3
45
323
432
32
baba
baaba
= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317
33
17
317 1111babababa
ba ===
=minusminus
El siguiente teorema indica que una fraccioacuten elevada a una potencia negativa se puede invertir y elevarse asiacute a una potencia positiva
Teorema Si n es un nuacutemero entero entonces
( )00 nene
=
minus
yxny
yx nn
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26
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 4
32 minus
b)
3
2
xy
c) 4
3
2
32
minus
minus
yx
d)
minus
432
32
baaba
Solucioacuten
a) ( )( ) 16
8123
23
32
4
444
==
=
minus
b) ( )( ) 6
9
)3)(2(
)3)(3(
32
333
2
33
3
2
yx
yx
yx
yx
xy
===
=
minus
c) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ====
=
minusminusminusminusminus
minus )4)(2(
)4)(3(
424
434
42
434
2
34
3
2
1681
23
23
23
32
xy
xy
xy
xy
yx
= 8
12
1681
xy minus
= 1681
8
12
xy minus
= 1281681
yx
d) ( )( )
( )( ) ===
=
minusminusminus
minusminus
)3)(3()3)(2(
)3)(4()3)(5(
332
3453
32
4323
432
32
baba
baba
babaa
baaba
= =minus 96
1215
baba 321912)6(15 babbaa =minusminusminus
23 RESUMEN Si no existen divisiones entre 0 (cero) entonces para enteros m y n cualesquiera
a) nmnm xxx += b) ( ) mnnm xx =
c) ( ) nnn yxxy =
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27
d) n
nn
yx
yx
=
e) ( )010 ne= xx
f) n
n
xx 1
=minus
g) nmn
m
xxx minus=
h) nn
xy
yx
=
minus
NOTA Las mismas reglas se aplican cuando los exponentes son variables 24 EJERCICIOS
1 Simplificar las siguientes expresiones
a) 24 b) 32 )(x c) 12 )( minusminusx d) 5
2
xx
e) 25minus
Solucioacuten a) 16)4)(4(42 == b) 6)3)(2(32 )( xxx == c) 2)1)(2(12 )( xxx == minusminusminusminus
o tambieacuten
222
22
21212
1)1)(1())(1(
111
111
)(1)( xxx
xxxx
x =======minusminus
minusminus
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EXPONENTES y RADICALES
28
d) 2253)5()3(53
5
3 1))((x
xxxxxxx
===== minusminusminus+minus
o tambieacuten 1 1 1
21
))()()()(())()((
))()()()(())()((
xxxxxxxxx
xxxxxxxx
== = 2minusx
e) 12
2 25251
515 minusminus ===
2 Simplificar las siguientes expresiones considerando que ninguno de los
denominadores sea igual a cero
a) 32
29
)(mmm minus
b) 43
32 )2(minus
minus
aaa
c)043
22 )3(xxx
xminus
minus
d) 042
2022
)4()(4
minus
minus
minusminus
yxyxx
e) 2
25
44
93
minus
minus
minusminus
yxyx
Solucioacuten
a) mmmmm
mm
mmm
===== minusminusminus
1676
7
)3)(2(
29
32
29
)(
b) 561
6
43
)3)(2(3
43
32 88))(8())(2()2(aa
aa
aaa
aaa
====minus
minus
minus
minus
minus
minus
c) 37
4
3)4(
4
322
4
043
22
91
99)1()1()3()3(
xxx
xxx
xxx
xxxx
====minus
minus
d) =minus
=minus
=minus
minus +minus
minus
minus
1)1(4
1)1(4
)4()(4 0222
042
2022 xxyx
yxx
414
1)1)(1(4
minus=minus
=minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
29
e) ( )( )
( )( ) =minusminus
=minusminus
=
minusminus
minus
minus
minusminus
minusminus
minus 224
225
225
2442
25
44
39
93
93
yxyx
yxyx
yxyx
= ( )
( ) ( ) ( )2
48
410
22242
22252
99
813
)()9( xyxyx
yxyx
==minusminus
minus
minus
minus
minus
3 Encontrar el valor numeacuterico de las siguientes expresiones con 2minus=x y
3=y para
a) 23 yx b) 3
3
yxminus
c) ( ) 22 minusxy d) 23 minusminus xy e) 23)( minusminus xy
Solucioacuten
a) ( ) ( ) 72)9)(8(32 2323 minus=minus=minus=yx
b) ( ) ( ) ( )( ) =minus
=minus
==minus
2781
3211
33333
3
yxyx
2161
2161
minus=minus
=
c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241
3211
2222
22 =minus
==minus
xyxy
d) ( ) ( )( ) 16
2722723 4
4323 minus=
minusminus
=minusminus=minus minusminusxy 1627
minus=
e) ( )( ) 4
272
3)()( 2
3
2
323 =
minus=
minus=minus minus
xyxy
3 RADICALES Con frecuencia en los problemas de aplicacioacuten se debe determinar queacute nuacutemero se puede elevar al cuadrado para obtener un segundo nuacutemero a Si se puede determinar a ese nuacutemero se le llama una raiacutez cuadrada de a Por ejemplo
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EXPONENTES y RADICALES
30
a) 0es una raiacutez cuadrada de 0 porque 002 = b) 4 es una raiacutez cuadrada de 16 porque 1642 = c) 4minus es una raiacutez cuadrada de 16 porque 16)4( 2 =minus d) xy7 es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy = e) xy7minus es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy =minus
31 RAIacuteZ CUADRADA DE a El nuacutemero b es una raiacutez cuadrada de a cuando 2 ab = Todos los nuacutemeros positivos tienen dos nuacutemeros reales que son sus raiacuteces cuadradas uno positivo y otro negativo El uacutenico nuacutemero con una sola raiacutez cuadrada es 0 cuya raiacutez cuadrada es 0 Ejemplo Determinar las dos raiacuteces cuadradas de 121 Solucioacuten Las dos raiacuteces cuadradas de 121son 11y 11minus porque 121112 = y 121)11( 2 =minus 32 RAIacuteZ CUADRADA PRINCIPAL Se llama signo radical al siacutembolo y a x el nuacutemero que se encuentran dentro del signo radical que se llama radicando Siacute x gt 0 la raiacutez principal de x es la raiacutez cuadrada positiva de x y se
representa con x La raiacutez cuadrada principal de 0 es 0 00 = NOTA Por definicioacuten el cuadrado principal de un nuacutemero positivo siempre es positivo Aunque 5 y 5minus son raiacuteces cuadradas de 25 soacutelo 5es la raiacutez cuadrada principal El radical
25 representa 5 El radical 25minus representa 5minus Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuadradas
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EXPONENTES y RADICALES
31
a) 11 =
b) 981 =
c) 981 minus=minus
d) 21
41=
e) 114
12116
minus=minus
f) 20040 =
g) 03000090 minus=minus
Los nuacutemeros como 1600491694 y se llaman cuadrados enteros porque cada uno de ellos es el cuadrado de un entero La raiacutez cuadrada de todo cuadrado entero es un nuacutemero racional Por ejemplo
4016007494163924 =====
Las raiacuteces cuadradas de muchos enteros positivos no son nuacutemeros racionales Por ejemplo 11 es un nuacutemero irracional cuyo valor aproximado ( )asymp es de
31662473 )3166247311( asymp Donde el siacutembolo asympquiere decir ldquoaproximadamente igual ardquo
Las raiacuteces cuadradas de nuacutemeros negativos no son nuacutemeros reales Por
ejemplo 9minus no es nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado al cuadrado es igual a 9minus Las raiacuteces cuadradas de los nuacutemeros negativos originan un conjunto llamado nuacutemeros imaginarios
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EXPONENTES y RADICALES
32
33 RAIacuteCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE Si 0nex el nuacutemero positivo 2x tiene por raiacuteces a x y a xminus porque 22)( xx =
y 22)( xx =minus Para indicar la raiacutez cuadrada positiva de 2x se debe saber si x es positivo o negativo Si 0gtx se puede escribir lo siguiente xx =2 donde 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es x Si x es negativo entonces 0gtminus x es xx minus=2 ya que 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es xminus Si no se sabe si x es positivo o negativo se pueden emplear siacutembolos de valor absoluto para garantizar que 2x sea positiva xx =2 siempre y cuando x sea cualquier nuacutemero real Si x es cualquier nuacutemero real entonces
a) xxxx 44)4(16 22 ===
Por lo que escribir 216x en la forma 2)4( x siendo que ( ) 22 164 xx = Puesto que x podriacutea ser negativo Los siacutembolos de valor absoluto son necesarios ya que en el producto x4 4 es una constante positiva
b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2
+=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 4+x puede ser negativo por ejemplo cuando
8minus=x
c) ( ) 1112 22 +=+=++ xxxx Porque ( )211 +=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 1+x puede ser negativo por ejemplo cuando 5minus=x
d) 24 xx = porque ( ) 422 xx = Como 02 gex
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EXPONENTES y RADICALES
33
34 RAIacuteCES CUacuteBICAS La raiacutez cuacutebica de x se representa por yx =3 si xy =3 Por ejemplo el nuacutemero 64 tiene dos raiacuteces cuadradas que son nuacutemeros reales 8 y 8minus Sin embargo 64 soacutelo tiene una raiacutez cuacutebica real que es el valor de 4 porque 4 es el uacutenico nuacutemero real cuyo cubo es 64 Por lo tanto
xx =3 3 Como todos los nuacutemeros reales tienen una y solo una raiacutez cuacutebica real algunas
de las cuales son positivas y otras negativas no es necesario emplear siacutembolos de valor absoluto al simplificar las raiacuteces cuacutebicas
Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuacutebicas
a) 3 125 b) 3
81
c) 3 327xminus d) 33
3
278
ba
minus e) 3 632160 yx
Solucioacuten a) 51253 = porque 125)5)(5)(5(53 ==
b) 21
81
3 = porque 81
21
21
21
21 3
=
=
c) xx 3273 3 minus=minus porque ( ) ( )( )( ) 33 273333 xxxxx minus=minusminusminus=minus
d) ba
ba
32
278
33
3
minus=minus porque 3
33
278
32
32
32
32
ba
ba
ba
ba
ba
minus=
minus
minus
minus=
minus
e) 23 63 602160 xyyx = porque
( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==
35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS Asiacute como existen raiacuteces cuadradas y raiacuteces cuacutebicas tambieacuten existen las raiacuteces cuartas raiacuteces quintas raiacuteces sextas etc
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EXPONENTES y RADICALES
34
Cuando n es impar el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez impar Como todo nuacutemero real tiene una y soacutelo una raiacutez eneacutesima real cuando n es impar no es necesario preocuparse por los siacutembolos de valor absoluto cuando se calculan raiacuteces impares Ejemplo
a) 33243 5 55 == porque 24335 = b) ( ) xxx 227128 77 7 minus=minus=minus porque ( ) 77 1282 xx minus=minus
Cuando n es par el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez par En este caso habraacute una raiacutez eneacutesima positiva y una eneacutesima negativa Por ejemplo las dos raiacuteces sextas reales de 729 son 3 y 3minus porque
72936 = y 729)3( 6 =minus Cuando se determinan raiacuteces reales se emplean con frecuencia los siacutembolos de valor absoluto para garantizar que la eneacutesima raiacutez sea positiva Ejemplos
a) ( ) 3334 4 =minus=minus
Tambieacuten se puede simplificar de la siguiente manera ( ) 3813 44 4 ==minus
b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===
Los siacutembolos de valor absoluto garantizan que la raiacutez sexta es positiva
Generalizando se tienen las siguientes reglas Si x es un nuacutemero real y 1gtn entonces
a) Si n es un nuacutemero impar natural xxn n =
b) Si n es un nuacutemero par natural xxn n =
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EXPONENTES y RADICALES
35
NOTA En el radical n x a n se le llama el iacutendice u orden del radical Cuando el iacutendice
es 2 el radical es una raiacutez cuadrada y se acostumbra no escribir el iacutendice Cuando n es par ( )2gtn y 0ltx el radical n x no es un nuacutemero real Por
ejemplo 4 81minus no es un nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado a la cuarta potencia es 81minus
Ejemplo
a) 56254 = porque 62554 = b) 2325 minus=minus porque ( ) 322 5 minus=minus
c) 21
641
6 = porque 641
21 6
=
36 EXPONENTES RACIONALES Los exponentes enteros positivos indican la cantidad de veces que se debe usar una base como factor en un producto Por ejemplo 5x significa que x se debe emplear cinco veces como factor ya que xdefactores5 ( )( )( )( )( )xxxxxx =5 Es posible elevar bases a potencias racionales (fraccionarias) cuando se desea que dichos exponentes respeten las mismas reglas que los coeficientes enteros el
cuadrado de 21
10 debe ser 10 porque
( )
10101010 1
2
212
21
===
Se mantiene la base y se multiplican los exponentes
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
36
( ) 112
212
21
=
=
10101 =
Sin embargo hay que recordar que ( ) 1010
2=
Como 2
21
10
y ( )210 son iguales a 10
Con esto se puede definir que 21
10 es igual a 10 Igualmente para
a) 31
10 como 3 10
b) 41
10 como 4 10
c) 51
10 como 5 10
Por lo que si n es un nuacutemero natural mayor que 1 y n x es un nuacutemero real entonces
nn xx =1
Ejemplo Resolver los siguientes radicales
a) 21
9 b) 21
916
minus c) ( )3
1
64minus d) 41
16 e) 51
321
f) 8
1
0 g) ( )51
232xminus
h) ( )41
xyz
Solucioacuten
a) 3999 221
===
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
37
b) 34
916
916
916
221
minus=minus=minus=
minus
c) ( ) 46464 331
minus=minus=minus
d) 21616 441
==
e) 21
321
321
551
==
f) 000 881
==
g) ( ) xxx 23232 5 551
5 minus=minus=minus
h) ( ) 441
xyzxyz =
i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes
fraccionarios
a) 4 5xyz b) 52
15xy
Solucioacuten
a) ( )41
4 55 xyzxyz =
b) 51
2
5
2
1515
=xyxy
37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1
Se puede ampliar la definicioacuten de nx1
para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
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EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
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EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
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EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
11
De la foacutermula para obtener el aacuterea del rectaacutengulo baA= se deducen las siguientes transformaciones de dicha expresioacuten
aAb = y
bAa =
Donde para la primera expresioacuten conocida el aacuterea del rectaacutengulo y su altura se puede saber su base y para la segunda expresioacuten conocida el aacuterea del rectaacutengulo y su base se puede obtener su altura
El aacuterea de un rectaacutengulo de base b y altura a es ba El aacuterea de tres rectaacutengulos iguales al anterior es babababa 3=++
El volumen de un paralelepiacutepedo en que las dimensiones de la base son b y a
y la altura es c es bac
El volumen de dos paralelepiacutepedos iguales al anterior es bacbacbac 2=+
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
12
El duplo se escribe a2 el triple de b se escribe b3 el cuaacutedruplo de 3a
3
4 a el
quiacutentuplo de c c5 etc Asiacute se tiene aaa +=2 bbbb ++=3
33333
4 aaaaa+++=
cccccc ++++=5 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
)( eaigualessumandosneeene ++++= En las expresiones anteriores ny5432 se llaman coeficientes El coeficiente es el nuacutemero o la literal que indica cuaacutentos sumandos iguales se toman Los cuatro primeros son numeacutericos y el uacuteltimo es literal
Ejemplo a) Representar la edad de cada uno de los miembros de la familia de Carlos Se
sabe que la edad de la hermana es dos tercios de la de Carlos la de la madre el triple la del padre cuatro veces y la del abuelo es igual a la suma de las edades del padre y de la madre
Solucioacuten La edad de Carlos es = a
La edad de la hermana es = a32
La edad de la madre es = a3 La edad del padre es = a4 Y la edad del abuelo es = aa 43 +
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
13
b) A continuacioacuten se presenta un plano de una parte de un piso cuyas dimensiones estaacuten expresadas en el mismo
En este plano se observa que la longitud de este piso se puede expresar como ba+=8 de donde ba minus= 8 Y que el ancho es ihdc +=+
En estos dos ejemplos aparecen expresiones que son combinaciones de
nuacutemeros y literales separadas por los signos de las operaciones matemaacuteticas (aritmeacuteticas) Estas expresiones reciben el nombre de expresiones algebraicas 141 TEacuteRMINOS Y COEFICIENTES Sea la siguiente expresioacuten algebraica la cual estaacute formada por cinco sumandos
babbaa 3212
35
++++
Se llama teacutermino de una expresioacuten algebraica a cada uno de dichos sumandos Asiacute a2 es una expresioacuten algebraica de un teacutermino ba +3 es una expresioacuten algebraica de dos teacuterminos 123 ++ aab es una expresioacuten algebraica de tres teacuterminos Donde cada teacutermino consta de una parte numeacuterica (coeficiente del teacutermino) y otra literal Asiacute a2 es un teacutermino de coeficiente 2 y parte literal a
ab23
es un teacutermino de coeficiente 23
y parte literal ab
a b
c
e
d
h
i
8
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EXPONENTES y RADICALES
14
2xy es un teacutermino de coeficiente 1 y parte literal 2xy
Ejemplo Representar la edad de cada uno de los miembros de la familia de Carlos Se sabe que la edad de la hermana es dos tercios de la edad de Carlos la de la madre el triple la del padre cuatro veces y la del abuelo es igual a la suma de las edades del padre y la madre Solucioacuten Las expresiones algebraicas seraacuten las siguientes La edad de Carlos = a
La edad de la hermana = a32
La edad de la madre = a3 La edad del padre = a4 Y la edad del abuelo = aa 43 + A continuacioacuten se presenta el valor numeacuterico de cada una de las expresiones algebraicas si se sabe que la edad de Carlos es de 9 antildeos es decir 9=a La edad de Carlos = 9 antildeos
La edad de la hermana = 63
183
)9)(2()9(32
=== antildeos
La edad de la madre = 27)9(3 = antildeos La edad del padre = 36)9(4 = antildeos Y la edad del abuelo = 633627)9(4)9(3 =+=+ antildeos Nota
Si la edad de Carlos fuera otra los valores numeacutericos de cada una de las expresiones algebraicas seriacutean distintos
El valor numeacuterico de una expresioacuten algebraica no es uacutenico ya que depende del valor que se le deacute a la literal o letra(s) que en ella intervengan
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EXPONENTES y RADICALES
15
2 EXPONENTES Considere el caso especial de la multiplicacioacuten en el que todos los factores que se van a multiplicar son iguales Asiacute si se multiplica el nuacutemero a por siacute mismo se obtiene el producto aa el cual generalmente se escribe en la forma 2a En general el producto de n factores cada uno de ellos iguales a a se escribe en la forma na recibiendo el nuacutemero entero y positivo n el nombre de exponente En este caso se dice que se ha elevado el nuacutemero a a la eneacutesima potencia operacioacuten que recibe el nombre de potenciacioacuten 21 POTENCIACIOacuteN La potencia de una expresioacuten algebraica es la misma expresioacuten o el resultado de tomarla como factor dos o maacutes veces Asiacute la primera potencia de una expresioacuten es la misma expresioacuten como se indica a continuacioacuten aa 2)2( 1 =
La segunda potencia o cuadrado de una expresioacuten es el resultado de tomarla como factor dos veces Por lo que
22 4))()(2)(2()2)(2()2( aaaaaa === El cubo de una expresioacuten es el resultado de tomarla como factor tres veces por
ejemplo
33 8))()()(2)(2)(2()2)(2)(2()2( aaaaaaaa === Y en forma general ( ) ( )( )( ) vecesnaaaa n
2222 = 211 POTENCIA DE UN MONOMIO Para elevar un monomio a una potencia se eleva su coeficiente a esa potencia y se multiplica el exponente de cada letra por el exponente que indica la potencia Ejemplo Desarrollar las siguientes expresiones algebraicas
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EXPONENTES y RADICALES
16
a) 32 )3( ab b) 343 )5( yxminus c) 4
232
minus
yx
d) 5
43
32
minus ba
Solucioacuten
a) 63)3)(2()3)(1(32333 2727)()()3()3( bababaab ===
b) =minus=minus=minus )3)(4()3)(3(34333343 125)()()5()5( yxyxyx 129125 yxminus
c) 8
4
)4)(2(
)4)(1(
4
44
2
44
2 8116
)()(
)3()2(
32
32
yx
yx
yx
yx
=minus
=
minus=
minus
d) ( ) ( ) =minus
=
minus=
minus 543
5
5543
5543
)3()2(
32
32 bababa
2015)5)(4()5)(3(5
5
24332)()(
)3()2( baba minus=
minus=
2111 PROPIEDADES
Los exponentes indican multiplicacioacuten repetida por ejemplo
a) yy =2 ))(( yyy =
Donde 2y se lee y a la segunda potencia o y al cuadrado b) zz =3 z z = ))()(( zzz se lee z a la tercera potencia o z al cubo c) xx =4 x x x = ))()()(( xxxx se lee x a la cuarta potencia
22 EXPONENTES DE NUacuteMEROS REALES
Si n es un nuacutemero real entonces
xdefactoresn
xxn = x x x
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EXPONENTES y RADICALES
17
La expresioacuten exponencial nx se llama potencia de x y se lee x a la eneacutesima potencia o x a la potencia n En la expresioacuten siguiente
nx Exponente
Base
x se llama base y n es el exponente Un exponente que sea nuacutemero natural indica cuaacutentas veces se usa la base de expresioacuten exponencial como factor de un producto por ejemplo
a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==
b) 32)2)(2)(2)(2)(2()2( 5 minus=minusminusminusminusminus=minus
c) 4()4(4 44 minus=minus=minus 4 4 256)4 minus=
d) 256)4)(4)(4)(4()4( 4 =minusminusminusminus=minus
e) 33
81
21
21
21
21 aaaaa =
=
f) 22
251
51
51
51 bbbb =
minus
minus=
minus
g) 35 xx indica que x se debe usar cinco veces como factor y 3x representa que x se debe usar tres veces como factor por lo que 35 xx se usaraacute ocho veces como factor xdefactores5 xdefactores3
xxx =35 x x x x X x x x =
xdefactores8 = x x x x x x x x
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EXPONENTES y RADICALES
18
En general
xdefactoresm xdefactoresn
xxx nm = x x x X x x x x = xdefactoresnm + = x x x x x Por lo tanto para multiplicar expresiones exponenciales con la misma base se
mantiene esa base y se suman los exponentes 221 REGLA DEL PRODUCTO PARA EXPONENTES
Si m y n son nuacutemeros naturales entonces nmnm xxx += Para desarrollar la regla de divisioacuten de las expresiones exponenciales se procede de la siguiente manera
nmnmnmn
mn
m
xxxxx
xxx minusminus+minus ===
= )(1
Por tanto para dividir dos expresiones exponenciales con la misma base distinta de cero se mantiene la base y se resta el exponente del denominador del exponente del numerador
NOTA La regla del producto para exponentes soacutelo se aplica a expresiones exponenciales que tienen la misma base Por ejemplo la expresioacuten 35 yx no se puede simplificar porque las bases de las expresiones exponenciales son diferentes Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)
minus 34
418 xx
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19
Solucioacuten
a) 16511511 xxxx == +
b) 15645645 aaaaa == ++
c) 67244324432443 bababbaababa === ++
d) 7343434 248
418
418 xxxxxx minus=
minus=
minus=
minus +
Para encontrar otra propiedad se simplificaraacute la expresioacuten 34 )(x que significa
que 4x se eleva al cubo o en su caso 4x se repite tres veces 4x 4x 4x Donde 4x 4x 4x
=34 )(x 4x 4x 4x = ( x x x x )( x x x x )( x x x x )= = 12444 xx =++ En general se tiene que
nxdefactoresn nxdefactoresmn
mnm xx =)( mx mx mx = x x x x x x = mnx
Asiacute para elevar una expresioacuten exponencial a una potencia se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes
Ejemplo
Si se eleva x3 al cuadrado se obtiene el siguiente resultado
( ) )3(3 2 xx = ))()(3)(3()3( xxx = = 222 93 xx = En general se tiene que
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EXPONENTES y RADICALES
20
xydefactoresn xdefactoresn ( ) ))()(( xyxyxyxy n = xxxxy =)( x yyy y = nn yx
ydefactoresn
Otra propiedad por ejemplo es elevar al cubo la siguiente expresioacuten 3x
Solucioacuten
33
3 xx=
3x
3x
= 27)3)(3)(3(
))()(( 3xxxx=
En general se tiene lo siguiente
yxdefactoresn
=
yx
yx
yx
yx
n
yx
( )0ney
xdefactoresn
)())()(()())()((
yyyyxxxx
= = n
n
yx
ydefactoresn Los tres resultados anteriores se llaman reglas de potencias de los exponentes Si m y n son nuacutemeros naturales entonces
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EXPONENTES y RADICALES
21
( ) mnnm xx = nnn yxxy =)( n
nn
yx
yx
=
)0( ney
Ejemplos
Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) ( )323 b) ( )511x c) ( )632xx d) ( ) ( )2342 xx e) ( )32 yx f) ( )443 yx g) 4
2
yx
h) 2
4
3
yx
Solucioacuten
a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===
b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==
c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +
d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +
e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===
f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==
g) ( ) 8
4
42
44
2 yx
yx
yx
==
( )0ney
h) ( )( ) 8
62
24
32
4
3
yx
yx
yx
==
( )0ney
Analizar la diferencia que existe entre nxminus y nx)(minus
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EXPONENTES y RADICALES
22
Solucioacuten
xdefactoresn xdefactoresn minus
(minus=minus nx x x x x ) y )())()(()( xxxxx n minusminusminusminus=minus
Tambieacuten es conveniente hacer notar la diferencia que existe entre nax y ( )nax donde
xdefactoresn axdefactoresn
aaxn = x x x x y )())()(()( axaxaxaxax n = 222 EL EXPONENTE CERO Cuando las reglas de los exponentes son vaacutelidas y si el exponente es igual a 0 (cero) se tiene lo siguiente nnnnn xxxxxx 1)1()1(00 ==== + Como nn xxx 10 = en consecuencia ( )010 ne= xx
El exponente cero si 10 0 =ne xentoncesx En general cualquier base distinta de cero elevada a la potencia cero es igual a 1 Tambieacuten
10 === minusn
nnn
xxxx
Si todas las bases son distintas de cero y el exponente es cero entonces
a) 150 =
b) ( ) 17 0 =minus
c) ( ) 1303 =ax
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EXPONENTES y RADICALES
23
d) 121 0
975 =
zyx
NOTA
00 es indefinido esto a consecuencia de que infin=00 223 EXPONENTES NEGATIVOS Las reglas de los exponentes son vaacutelidas tambieacuten cuando eacutestos son enteros negativos ( )010 ne=== +minusminus xxxxx nnnn
ya que nxminus 1=nx y nx
1 1=nx
Ademaacutes se define a nxminus como el reciacuteproco de nx Por lo que
nn
xx 1
=minus y nn x
x=
minus
1
NOTA De acuerdo con la definicioacuten de exponentes negativos la base no puede ser 0
Asiacute una expresioacuten como 50minus no estaacute definida por lo que
infin=minus50 Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 25minus b) 310minus c) ( ) 32 minusx d) 13 minusx e) 35xxminus f) ( ) 23 minusminusx Solucioacuten
a) 251
515 2
2 ==minus
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EXPONENTES y RADICALES
24
b) 1000
110110 3
3 ==minus
c) ( ) 33
3
81
21)2(
xxx ==minus
d) 33 1 =minusx xx31
=
e) 2
23535 1x
xxxx === minus+minusminus
f) ( ) 6)2)(3(23 xxx == minusminusminusminus
2224 REGLA DEL COCIENTE Si m y n son enteros entonces
( )0 ne= minus xxxx nm
n
m
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 3
5
aa
b) 11
5
xxminus
c) 5
34
minusxxx
d) ( )( )23
32
x
x e) 4
32
xyyx
f) 3
432
32
minus
baaba
Solucioacuten
a) 2353
5
aaaa
== minus
b) 16
1611511
5 1x
xxxx
=== minusminusminusminus
c) 12575
7
5
34
5
34
xxxxx
xx
xxx
====minusminus
+
minus
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EXPONENTES y RADICALES
25
d) ( )( )
( )( )
( )( ) 10666
6
23
32
23
32
===== minus xxxx
xx
xx
o en su caso
( )( )
( )( )
( )( ) 16
6
23
32
23
32
===xx
xx
xx
e) yxyxyxyyxx
xyyx
==== minusminusminusminusminus 11431243124
32
f) ( )( )
( )
)3)(4()3)(3()3)(middot2(
)3)(3(3)(2
3432
3323
432
32
baaba
baa
babaaba minusminusminus
==
= =
minus
1296
96
baaba
1221321
1215
96 1ba
bababa
=== minusminusminus
o en su caso
=
=
minusminus 3
45
323
432
32
baba
baaba
= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317
33
17
317 1111babababa
ba ===
=minusminus
El siguiente teorema indica que una fraccioacuten elevada a una potencia negativa se puede invertir y elevarse asiacute a una potencia positiva
Teorema Si n es un nuacutemero entero entonces
( )00 nene
=
minus
yxny
yx nn
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EXPONENTES y RADICALES
26
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 4
32 minus
b)
3
2
xy
c) 4
3
2
32
minus
minus
yx
d)
minus
432
32
baaba
Solucioacuten
a) ( )( ) 16
8123
23
32
4
444
==
=
minus
b) ( )( ) 6
9
)3)(2(
)3)(3(
32
333
2
33
3
2
yx
yx
yx
yx
xy
===
=
minus
c) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ====
=
minusminusminusminusminus
minus )4)(2(
)4)(3(
424
434
42
434
2
34
3
2
1681
23
23
23
32
xy
xy
xy
xy
yx
= 8
12
1681
xy minus
= 1681
8
12
xy minus
= 1281681
yx
d) ( )( )
( )( ) ===
=
minusminusminus
minusminus
)3)(3()3)(2(
)3)(4()3)(5(
332
3453
32
4323
432
32
baba
baba
babaa
baaba
= =minus 96
1215
baba 321912)6(15 babbaa =minusminusminus
23 RESUMEN Si no existen divisiones entre 0 (cero) entonces para enteros m y n cualesquiera
a) nmnm xxx += b) ( ) mnnm xx =
c) ( ) nnn yxxy =
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EXPONENTES y RADICALES
27
d) n
nn
yx
yx
=
e) ( )010 ne= xx
f) n
n
xx 1
=minus
g) nmn
m
xxx minus=
h) nn
xy
yx
=
minus
NOTA Las mismas reglas se aplican cuando los exponentes son variables 24 EJERCICIOS
1 Simplificar las siguientes expresiones
a) 24 b) 32 )(x c) 12 )( minusminusx d) 5
2
xx
e) 25minus
Solucioacuten a) 16)4)(4(42 == b) 6)3)(2(32 )( xxx == c) 2)1)(2(12 )( xxx == minusminusminusminus
o tambieacuten
222
22
21212
1)1)(1())(1(
111
111
)(1)( xxx
xxxx
x =======minusminus
minusminus
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EXPONENTES y RADICALES
28
d) 2253)5()3(53
5
3 1))((x
xxxxxxx
===== minusminusminus+minus
o tambieacuten 1 1 1
21
))()()()(())()((
))()()()(())()((
xxxxxxxxx
xxxxxxxx
== = 2minusx
e) 12
2 25251
515 minusminus ===
2 Simplificar las siguientes expresiones considerando que ninguno de los
denominadores sea igual a cero
a) 32
29
)(mmm minus
b) 43
32 )2(minus
minus
aaa
c)043
22 )3(xxx
xminus
minus
d) 042
2022
)4()(4
minus
minus
minusminus
yxyxx
e) 2
25
44
93
minus
minus
minusminus
yxyx
Solucioacuten
a) mmmmm
mm
mmm
===== minusminusminus
1676
7
)3)(2(
29
32
29
)(
b) 561
6
43
)3)(2(3
43
32 88))(8())(2()2(aa
aa
aaa
aaa
====minus
minus
minus
minus
minus
minus
c) 37
4
3)4(
4
322
4
043
22
91
99)1()1()3()3(
xxx
xxx
xxx
xxxx
====minus
minus
d) =minus
=minus
=minus
minus +minus
minus
minus
1)1(4
1)1(4
)4()(4 0222
042
2022 xxyx
yxx
414
1)1)(1(4
minus=minus
=minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
29
e) ( )( )
( )( ) =minusminus
=minusminus
=
minusminus
minus
minus
minusminus
minusminus
minus 224
225
225
2442
25
44
39
93
93
yxyx
yxyx
yxyx
= ( )
( ) ( ) ( )2
48
410
22242
22252
99
813
)()9( xyxyx
yxyx
==minusminus
minus
minus
minus
minus
3 Encontrar el valor numeacuterico de las siguientes expresiones con 2minus=x y
3=y para
a) 23 yx b) 3
3
yxminus
c) ( ) 22 minusxy d) 23 minusminus xy e) 23)( minusminus xy
Solucioacuten
a) ( ) ( ) 72)9)(8(32 2323 minus=minus=minus=yx
b) ( ) ( ) ( )( ) =minus
=minus
==minus
2781
3211
33333
3
yxyx
2161
2161
minus=minus
=
c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241
3211
2222
22 =minus
==minus
xyxy
d) ( ) ( )( ) 16
2722723 4
4323 minus=
minusminus
=minusminus=minus minusminusxy 1627
minus=
e) ( )( ) 4
272
3)()( 2
3
2
323 =
minus=
minus=minus minus
xyxy
3 RADICALES Con frecuencia en los problemas de aplicacioacuten se debe determinar queacute nuacutemero se puede elevar al cuadrado para obtener un segundo nuacutemero a Si se puede determinar a ese nuacutemero se le llama una raiacutez cuadrada de a Por ejemplo
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EXPONENTES y RADICALES
30
a) 0es una raiacutez cuadrada de 0 porque 002 = b) 4 es una raiacutez cuadrada de 16 porque 1642 = c) 4minus es una raiacutez cuadrada de 16 porque 16)4( 2 =minus d) xy7 es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy = e) xy7minus es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy =minus
31 RAIacuteZ CUADRADA DE a El nuacutemero b es una raiacutez cuadrada de a cuando 2 ab = Todos los nuacutemeros positivos tienen dos nuacutemeros reales que son sus raiacuteces cuadradas uno positivo y otro negativo El uacutenico nuacutemero con una sola raiacutez cuadrada es 0 cuya raiacutez cuadrada es 0 Ejemplo Determinar las dos raiacuteces cuadradas de 121 Solucioacuten Las dos raiacuteces cuadradas de 121son 11y 11minus porque 121112 = y 121)11( 2 =minus 32 RAIacuteZ CUADRADA PRINCIPAL Se llama signo radical al siacutembolo y a x el nuacutemero que se encuentran dentro del signo radical que se llama radicando Siacute x gt 0 la raiacutez principal de x es la raiacutez cuadrada positiva de x y se
representa con x La raiacutez cuadrada principal de 0 es 0 00 = NOTA Por definicioacuten el cuadrado principal de un nuacutemero positivo siempre es positivo Aunque 5 y 5minus son raiacuteces cuadradas de 25 soacutelo 5es la raiacutez cuadrada principal El radical
25 representa 5 El radical 25minus representa 5minus Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuadradas
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
31
a) 11 =
b) 981 =
c) 981 minus=minus
d) 21
41=
e) 114
12116
minus=minus
f) 20040 =
g) 03000090 minus=minus
Los nuacutemeros como 1600491694 y se llaman cuadrados enteros porque cada uno de ellos es el cuadrado de un entero La raiacutez cuadrada de todo cuadrado entero es un nuacutemero racional Por ejemplo
4016007494163924 =====
Las raiacuteces cuadradas de muchos enteros positivos no son nuacutemeros racionales Por ejemplo 11 es un nuacutemero irracional cuyo valor aproximado ( )asymp es de
31662473 )3166247311( asymp Donde el siacutembolo asympquiere decir ldquoaproximadamente igual ardquo
Las raiacuteces cuadradas de nuacutemeros negativos no son nuacutemeros reales Por
ejemplo 9minus no es nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado al cuadrado es igual a 9minus Las raiacuteces cuadradas de los nuacutemeros negativos originan un conjunto llamado nuacutemeros imaginarios
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
32
33 RAIacuteCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE Si 0nex el nuacutemero positivo 2x tiene por raiacuteces a x y a xminus porque 22)( xx =
y 22)( xx =minus Para indicar la raiacutez cuadrada positiva de 2x se debe saber si x es positivo o negativo Si 0gtx se puede escribir lo siguiente xx =2 donde 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es x Si x es negativo entonces 0gtminus x es xx minus=2 ya que 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es xminus Si no se sabe si x es positivo o negativo se pueden emplear siacutembolos de valor absoluto para garantizar que 2x sea positiva xx =2 siempre y cuando x sea cualquier nuacutemero real Si x es cualquier nuacutemero real entonces
a) xxxx 44)4(16 22 ===
Por lo que escribir 216x en la forma 2)4( x siendo que ( ) 22 164 xx = Puesto que x podriacutea ser negativo Los siacutembolos de valor absoluto son necesarios ya que en el producto x4 4 es una constante positiva
b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2
+=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 4+x puede ser negativo por ejemplo cuando
8minus=x
c) ( ) 1112 22 +=+=++ xxxx Porque ( )211 +=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 1+x puede ser negativo por ejemplo cuando 5minus=x
d) 24 xx = porque ( ) 422 xx = Como 02 gex
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
33
34 RAIacuteCES CUacuteBICAS La raiacutez cuacutebica de x se representa por yx =3 si xy =3 Por ejemplo el nuacutemero 64 tiene dos raiacuteces cuadradas que son nuacutemeros reales 8 y 8minus Sin embargo 64 soacutelo tiene una raiacutez cuacutebica real que es el valor de 4 porque 4 es el uacutenico nuacutemero real cuyo cubo es 64 Por lo tanto
xx =3 3 Como todos los nuacutemeros reales tienen una y solo una raiacutez cuacutebica real algunas
de las cuales son positivas y otras negativas no es necesario emplear siacutembolos de valor absoluto al simplificar las raiacuteces cuacutebicas
Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuacutebicas
a) 3 125 b) 3
81
c) 3 327xminus d) 33
3
278
ba
minus e) 3 632160 yx
Solucioacuten a) 51253 = porque 125)5)(5)(5(53 ==
b) 21
81
3 = porque 81
21
21
21
21 3
=
=
c) xx 3273 3 minus=minus porque ( ) ( )( )( ) 33 273333 xxxxx minus=minusminusminus=minus
d) ba
ba
32
278
33
3
minus=minus porque 3
33
278
32
32
32
32
ba
ba
ba
ba
ba
minus=
minus
minus
minus=
minus
e) 23 63 602160 xyyx = porque
( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==
35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS Asiacute como existen raiacuteces cuadradas y raiacuteces cuacutebicas tambieacuten existen las raiacuteces cuartas raiacuteces quintas raiacuteces sextas etc
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EXPONENTES y RADICALES
34
Cuando n es impar el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez impar Como todo nuacutemero real tiene una y soacutelo una raiacutez eneacutesima real cuando n es impar no es necesario preocuparse por los siacutembolos de valor absoluto cuando se calculan raiacuteces impares Ejemplo
a) 33243 5 55 == porque 24335 = b) ( ) xxx 227128 77 7 minus=minus=minus porque ( ) 77 1282 xx minus=minus
Cuando n es par el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez par En este caso habraacute una raiacutez eneacutesima positiva y una eneacutesima negativa Por ejemplo las dos raiacuteces sextas reales de 729 son 3 y 3minus porque
72936 = y 729)3( 6 =minus Cuando se determinan raiacuteces reales se emplean con frecuencia los siacutembolos de valor absoluto para garantizar que la eneacutesima raiacutez sea positiva Ejemplos
a) ( ) 3334 4 =minus=minus
Tambieacuten se puede simplificar de la siguiente manera ( ) 3813 44 4 ==minus
b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===
Los siacutembolos de valor absoluto garantizan que la raiacutez sexta es positiva
Generalizando se tienen las siguientes reglas Si x es un nuacutemero real y 1gtn entonces
a) Si n es un nuacutemero impar natural xxn n =
b) Si n es un nuacutemero par natural xxn n =
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EXPONENTES y RADICALES
35
NOTA En el radical n x a n se le llama el iacutendice u orden del radical Cuando el iacutendice
es 2 el radical es una raiacutez cuadrada y se acostumbra no escribir el iacutendice Cuando n es par ( )2gtn y 0ltx el radical n x no es un nuacutemero real Por
ejemplo 4 81minus no es un nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado a la cuarta potencia es 81minus
Ejemplo
a) 56254 = porque 62554 = b) 2325 minus=minus porque ( ) 322 5 minus=minus
c) 21
641
6 = porque 641
21 6
=
36 EXPONENTES RACIONALES Los exponentes enteros positivos indican la cantidad de veces que se debe usar una base como factor en un producto Por ejemplo 5x significa que x se debe emplear cinco veces como factor ya que xdefactores5 ( )( )( )( )( )xxxxxx =5 Es posible elevar bases a potencias racionales (fraccionarias) cuando se desea que dichos exponentes respeten las mismas reglas que los coeficientes enteros el
cuadrado de 21
10 debe ser 10 porque
( )
10101010 1
2
212
21
===
Se mantiene la base y se multiplican los exponentes
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EXPONENTES y RADICALES
36
( ) 112
212
21
=
=
10101 =
Sin embargo hay que recordar que ( ) 1010
2=
Como 2
21
10
y ( )210 son iguales a 10
Con esto se puede definir que 21
10 es igual a 10 Igualmente para
a) 31
10 como 3 10
b) 41
10 como 4 10
c) 51
10 como 5 10
Por lo que si n es un nuacutemero natural mayor que 1 y n x es un nuacutemero real entonces
nn xx =1
Ejemplo Resolver los siguientes radicales
a) 21
9 b) 21
916
minus c) ( )3
1
64minus d) 41
16 e) 51
321
f) 8
1
0 g) ( )51
232xminus
h) ( )41
xyz
Solucioacuten
a) 3999 221
===
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EXPONENTES y RADICALES
37
b) 34
916
916
916
221
minus=minus=minus=
minus
c) ( ) 46464 331
minus=minus=minus
d) 21616 441
==
e) 21
321
321
551
==
f) 000 881
==
g) ( ) xxx 23232 5 551
5 minus=minus=minus
h) ( ) 441
xyzxyz =
i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes
fraccionarios
a) 4 5xyz b) 52
15xy
Solucioacuten
a) ( )41
4 55 xyzxyz =
b) 51
2
5
2
1515
=xyxy
37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1
Se puede ampliar la definicioacuten de nx1
para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1
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EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
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EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
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EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
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EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
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EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
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EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
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EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
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EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
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EXPONENTES y RADICALES
12
El duplo se escribe a2 el triple de b se escribe b3 el cuaacutedruplo de 3a
3
4 a el
quiacutentuplo de c c5 etc Asiacute se tiene aaa +=2 bbbb ++=3
33333
4 aaaaa+++=
cccccc ++++=5 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
)( eaigualessumandosneeene ++++= En las expresiones anteriores ny5432 se llaman coeficientes El coeficiente es el nuacutemero o la literal que indica cuaacutentos sumandos iguales se toman Los cuatro primeros son numeacutericos y el uacuteltimo es literal
Ejemplo a) Representar la edad de cada uno de los miembros de la familia de Carlos Se
sabe que la edad de la hermana es dos tercios de la de Carlos la de la madre el triple la del padre cuatro veces y la del abuelo es igual a la suma de las edades del padre y de la madre
Solucioacuten La edad de Carlos es = a
La edad de la hermana es = a32
La edad de la madre es = a3 La edad del padre es = a4 Y la edad del abuelo es = aa 43 +
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EXPONENTES y RADICALES
13
b) A continuacioacuten se presenta un plano de una parte de un piso cuyas dimensiones estaacuten expresadas en el mismo
En este plano se observa que la longitud de este piso se puede expresar como ba+=8 de donde ba minus= 8 Y que el ancho es ihdc +=+
En estos dos ejemplos aparecen expresiones que son combinaciones de
nuacutemeros y literales separadas por los signos de las operaciones matemaacuteticas (aritmeacuteticas) Estas expresiones reciben el nombre de expresiones algebraicas 141 TEacuteRMINOS Y COEFICIENTES Sea la siguiente expresioacuten algebraica la cual estaacute formada por cinco sumandos
babbaa 3212
35
++++
Se llama teacutermino de una expresioacuten algebraica a cada uno de dichos sumandos Asiacute a2 es una expresioacuten algebraica de un teacutermino ba +3 es una expresioacuten algebraica de dos teacuterminos 123 ++ aab es una expresioacuten algebraica de tres teacuterminos Donde cada teacutermino consta de una parte numeacuterica (coeficiente del teacutermino) y otra literal Asiacute a2 es un teacutermino de coeficiente 2 y parte literal a
ab23
es un teacutermino de coeficiente 23
y parte literal ab
a b
c
e
d
h
i
8
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EXPONENTES y RADICALES
14
2xy es un teacutermino de coeficiente 1 y parte literal 2xy
Ejemplo Representar la edad de cada uno de los miembros de la familia de Carlos Se sabe que la edad de la hermana es dos tercios de la edad de Carlos la de la madre el triple la del padre cuatro veces y la del abuelo es igual a la suma de las edades del padre y la madre Solucioacuten Las expresiones algebraicas seraacuten las siguientes La edad de Carlos = a
La edad de la hermana = a32
La edad de la madre = a3 La edad del padre = a4 Y la edad del abuelo = aa 43 + A continuacioacuten se presenta el valor numeacuterico de cada una de las expresiones algebraicas si se sabe que la edad de Carlos es de 9 antildeos es decir 9=a La edad de Carlos = 9 antildeos
La edad de la hermana = 63
183
)9)(2()9(32
=== antildeos
La edad de la madre = 27)9(3 = antildeos La edad del padre = 36)9(4 = antildeos Y la edad del abuelo = 633627)9(4)9(3 =+=+ antildeos Nota
Si la edad de Carlos fuera otra los valores numeacutericos de cada una de las expresiones algebraicas seriacutean distintos
El valor numeacuterico de una expresioacuten algebraica no es uacutenico ya que depende del valor que se le deacute a la literal o letra(s) que en ella intervengan
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EXPONENTES y RADICALES
15
2 EXPONENTES Considere el caso especial de la multiplicacioacuten en el que todos los factores que se van a multiplicar son iguales Asiacute si se multiplica el nuacutemero a por siacute mismo se obtiene el producto aa el cual generalmente se escribe en la forma 2a En general el producto de n factores cada uno de ellos iguales a a se escribe en la forma na recibiendo el nuacutemero entero y positivo n el nombre de exponente En este caso se dice que se ha elevado el nuacutemero a a la eneacutesima potencia operacioacuten que recibe el nombre de potenciacioacuten 21 POTENCIACIOacuteN La potencia de una expresioacuten algebraica es la misma expresioacuten o el resultado de tomarla como factor dos o maacutes veces Asiacute la primera potencia de una expresioacuten es la misma expresioacuten como se indica a continuacioacuten aa 2)2( 1 =
La segunda potencia o cuadrado de una expresioacuten es el resultado de tomarla como factor dos veces Por lo que
22 4))()(2)(2()2)(2()2( aaaaaa === El cubo de una expresioacuten es el resultado de tomarla como factor tres veces por
ejemplo
33 8))()()(2)(2)(2()2)(2)(2()2( aaaaaaaa === Y en forma general ( ) ( )( )( ) vecesnaaaa n
2222 = 211 POTENCIA DE UN MONOMIO Para elevar un monomio a una potencia se eleva su coeficiente a esa potencia y se multiplica el exponente de cada letra por el exponente que indica la potencia Ejemplo Desarrollar las siguientes expresiones algebraicas
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EXPONENTES y RADICALES
16
a) 32 )3( ab b) 343 )5( yxminus c) 4
232
minus
yx
d) 5
43
32
minus ba
Solucioacuten
a) 63)3)(2()3)(1(32333 2727)()()3()3( bababaab ===
b) =minus=minus=minus )3)(4()3)(3(34333343 125)()()5()5( yxyxyx 129125 yxminus
c) 8
4
)4)(2(
)4)(1(
4
44
2
44
2 8116
)()(
)3()2(
32
32
yx
yx
yx
yx
=minus
=
minus=
minus
d) ( ) ( ) =minus
=
minus=
minus 543
5
5543
5543
)3()2(
32
32 bababa
2015)5)(4()5)(3(5
5
24332)()(
)3()2( baba minus=
minus=
2111 PROPIEDADES
Los exponentes indican multiplicacioacuten repetida por ejemplo
a) yy =2 ))(( yyy =
Donde 2y se lee y a la segunda potencia o y al cuadrado b) zz =3 z z = ))()(( zzz se lee z a la tercera potencia o z al cubo c) xx =4 x x x = ))()()(( xxxx se lee x a la cuarta potencia
22 EXPONENTES DE NUacuteMEROS REALES
Si n es un nuacutemero real entonces
xdefactoresn
xxn = x x x
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EXPONENTES y RADICALES
17
La expresioacuten exponencial nx se llama potencia de x y se lee x a la eneacutesima potencia o x a la potencia n En la expresioacuten siguiente
nx Exponente
Base
x se llama base y n es el exponente Un exponente que sea nuacutemero natural indica cuaacutentas veces se usa la base de expresioacuten exponencial como factor de un producto por ejemplo
a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==
b) 32)2)(2)(2)(2)(2()2( 5 minus=minusminusminusminusminus=minus
c) 4()4(4 44 minus=minus=minus 4 4 256)4 minus=
d) 256)4)(4)(4)(4()4( 4 =minusminusminusminus=minus
e) 33
81
21
21
21
21 aaaaa =
=
f) 22
251
51
51
51 bbbb =
minus
minus=
minus
g) 35 xx indica que x se debe usar cinco veces como factor y 3x representa que x se debe usar tres veces como factor por lo que 35 xx se usaraacute ocho veces como factor xdefactores5 xdefactores3
xxx =35 x x x x X x x x =
xdefactores8 = x x x x x x x x
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EXPONENTES y RADICALES
18
En general
xdefactoresm xdefactoresn
xxx nm = x x x X x x x x = xdefactoresnm + = x x x x x Por lo tanto para multiplicar expresiones exponenciales con la misma base se
mantiene esa base y se suman los exponentes 221 REGLA DEL PRODUCTO PARA EXPONENTES
Si m y n son nuacutemeros naturales entonces nmnm xxx += Para desarrollar la regla de divisioacuten de las expresiones exponenciales se procede de la siguiente manera
nmnmnmn
mn
m
xxxxx
xxx minusminus+minus ===
= )(1
Por tanto para dividir dos expresiones exponenciales con la misma base distinta de cero se mantiene la base y se resta el exponente del denominador del exponente del numerador
NOTA La regla del producto para exponentes soacutelo se aplica a expresiones exponenciales que tienen la misma base Por ejemplo la expresioacuten 35 yx no se puede simplificar porque las bases de las expresiones exponenciales son diferentes Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)
minus 34
418 xx
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EXPONENTES y RADICALES
19
Solucioacuten
a) 16511511 xxxx == +
b) 15645645 aaaaa == ++
c) 67244324432443 bababbaababa === ++
d) 7343434 248
418
418 xxxxxx minus=
minus=
minus=
minus +
Para encontrar otra propiedad se simplificaraacute la expresioacuten 34 )(x que significa
que 4x se eleva al cubo o en su caso 4x se repite tres veces 4x 4x 4x Donde 4x 4x 4x
=34 )(x 4x 4x 4x = ( x x x x )( x x x x )( x x x x )= = 12444 xx =++ En general se tiene que
nxdefactoresn nxdefactoresmn
mnm xx =)( mx mx mx = x x x x x x = mnx
Asiacute para elevar una expresioacuten exponencial a una potencia se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes
Ejemplo
Si se eleva x3 al cuadrado se obtiene el siguiente resultado
( ) )3(3 2 xx = ))()(3)(3()3( xxx = = 222 93 xx = En general se tiene que
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EXPONENTES y RADICALES
20
xydefactoresn xdefactoresn ( ) ))()(( xyxyxyxy n = xxxxy =)( x yyy y = nn yx
ydefactoresn
Otra propiedad por ejemplo es elevar al cubo la siguiente expresioacuten 3x
Solucioacuten
33
3 xx=
3x
3x
= 27)3)(3)(3(
))()(( 3xxxx=
En general se tiene lo siguiente
yxdefactoresn
=
yx
yx
yx
yx
n
yx
( )0ney
xdefactoresn
)())()(()())()((
yyyyxxxx
= = n
n
yx
ydefactoresn Los tres resultados anteriores se llaman reglas de potencias de los exponentes Si m y n son nuacutemeros naturales entonces
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EXPONENTES y RADICALES
21
( ) mnnm xx = nnn yxxy =)( n
nn
yx
yx
=
)0( ney
Ejemplos
Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) ( )323 b) ( )511x c) ( )632xx d) ( ) ( )2342 xx e) ( )32 yx f) ( )443 yx g) 4
2
yx
h) 2
4
3
yx
Solucioacuten
a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===
b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==
c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +
d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +
e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===
f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==
g) ( ) 8
4
42
44
2 yx
yx
yx
==
( )0ney
h) ( )( ) 8
62
24
32
4
3
yx
yx
yx
==
( )0ney
Analizar la diferencia que existe entre nxminus y nx)(minus
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EXPONENTES y RADICALES
22
Solucioacuten
xdefactoresn xdefactoresn minus
(minus=minus nx x x x x ) y )())()(()( xxxxx n minusminusminusminus=minus
Tambieacuten es conveniente hacer notar la diferencia que existe entre nax y ( )nax donde
xdefactoresn axdefactoresn
aaxn = x x x x y )())()(()( axaxaxaxax n = 222 EL EXPONENTE CERO Cuando las reglas de los exponentes son vaacutelidas y si el exponente es igual a 0 (cero) se tiene lo siguiente nnnnn xxxxxx 1)1()1(00 ==== + Como nn xxx 10 = en consecuencia ( )010 ne= xx
El exponente cero si 10 0 =ne xentoncesx En general cualquier base distinta de cero elevada a la potencia cero es igual a 1 Tambieacuten
10 === minusn
nnn
xxxx
Si todas las bases son distintas de cero y el exponente es cero entonces
a) 150 =
b) ( ) 17 0 =minus
c) ( ) 1303 =ax
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EXPONENTES y RADICALES
23
d) 121 0
975 =
zyx
NOTA
00 es indefinido esto a consecuencia de que infin=00 223 EXPONENTES NEGATIVOS Las reglas de los exponentes son vaacutelidas tambieacuten cuando eacutestos son enteros negativos ( )010 ne=== +minusminus xxxxx nnnn
ya que nxminus 1=nx y nx
1 1=nx
Ademaacutes se define a nxminus como el reciacuteproco de nx Por lo que
nn
xx 1
=minus y nn x
x=
minus
1
NOTA De acuerdo con la definicioacuten de exponentes negativos la base no puede ser 0
Asiacute una expresioacuten como 50minus no estaacute definida por lo que
infin=minus50 Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 25minus b) 310minus c) ( ) 32 minusx d) 13 minusx e) 35xxminus f) ( ) 23 minusminusx Solucioacuten
a) 251
515 2
2 ==minus
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EXPONENTES y RADICALES
24
b) 1000
110110 3
3 ==minus
c) ( ) 33
3
81
21)2(
xxx ==minus
d) 33 1 =minusx xx31
=
e) 2
23535 1x
xxxx === minus+minusminus
f) ( ) 6)2)(3(23 xxx == minusminusminusminus
2224 REGLA DEL COCIENTE Si m y n son enteros entonces
( )0 ne= minus xxxx nm
n
m
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 3
5
aa
b) 11
5
xxminus
c) 5
34
minusxxx
d) ( )( )23
32
x
x e) 4
32
xyyx
f) 3
432
32
minus
baaba
Solucioacuten
a) 2353
5
aaaa
== minus
b) 16
1611511
5 1x
xxxx
=== minusminusminusminus
c) 12575
7
5
34
5
34
xxxxx
xx
xxx
====minusminus
+
minus
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EXPONENTES y RADICALES
25
d) ( )( )
( )( )
( )( ) 10666
6
23
32
23
32
===== minus xxxx
xx
xx
o en su caso
( )( )
( )( )
( )( ) 16
6
23
32
23
32
===xx
xx
xx
e) yxyxyxyyxx
xyyx
==== minusminusminusminusminus 11431243124
32
f) ( )( )
( )
)3)(4()3)(3()3)(middot2(
)3)(3(3)(2
3432
3323
432
32
baaba
baa
babaaba minusminusminus
==
= =
minus
1296
96
baaba
1221321
1215
96 1ba
bababa
=== minusminusminus
o en su caso
=
=
minusminus 3
45
323
432
32
baba
baaba
= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317
33
17
317 1111babababa
ba ===
=minusminus
El siguiente teorema indica que una fraccioacuten elevada a una potencia negativa se puede invertir y elevarse asiacute a una potencia positiva
Teorema Si n es un nuacutemero entero entonces
( )00 nene
=
minus
yxny
yx nn
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EXPONENTES y RADICALES
26
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 4
32 minus
b)
3
2
xy
c) 4
3
2
32
minus
minus
yx
d)
minus
432
32
baaba
Solucioacuten
a) ( )( ) 16
8123
23
32
4
444
==
=
minus
b) ( )( ) 6
9
)3)(2(
)3)(3(
32
333
2
33
3
2
yx
yx
yx
yx
xy
===
=
minus
c) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ====
=
minusminusminusminusminus
minus )4)(2(
)4)(3(
424
434
42
434
2
34
3
2
1681
23
23
23
32
xy
xy
xy
xy
yx
= 8
12
1681
xy minus
= 1681
8
12
xy minus
= 1281681
yx
d) ( )( )
( )( ) ===
=
minusminusminus
minusminus
)3)(3()3)(2(
)3)(4()3)(5(
332
3453
32
4323
432
32
baba
baba
babaa
baaba
= =minus 96
1215
baba 321912)6(15 babbaa =minusminusminus
23 RESUMEN Si no existen divisiones entre 0 (cero) entonces para enteros m y n cualesquiera
a) nmnm xxx += b) ( ) mnnm xx =
c) ( ) nnn yxxy =
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EXPONENTES y RADICALES
27
d) n
nn
yx
yx
=
e) ( )010 ne= xx
f) n
n
xx 1
=minus
g) nmn
m
xxx minus=
h) nn
xy
yx
=
minus
NOTA Las mismas reglas se aplican cuando los exponentes son variables 24 EJERCICIOS
1 Simplificar las siguientes expresiones
a) 24 b) 32 )(x c) 12 )( minusminusx d) 5
2
xx
e) 25minus
Solucioacuten a) 16)4)(4(42 == b) 6)3)(2(32 )( xxx == c) 2)1)(2(12 )( xxx == minusminusminusminus
o tambieacuten
222
22
21212
1)1)(1())(1(
111
111
)(1)( xxx
xxxx
x =======minusminus
minusminus
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EXPONENTES y RADICALES
28
d) 2253)5()3(53
5
3 1))((x
xxxxxxx
===== minusminusminus+minus
o tambieacuten 1 1 1
21
))()()()(())()((
))()()()(())()((
xxxxxxxxx
xxxxxxxx
== = 2minusx
e) 12
2 25251
515 minusminus ===
2 Simplificar las siguientes expresiones considerando que ninguno de los
denominadores sea igual a cero
a) 32
29
)(mmm minus
b) 43
32 )2(minus
minus
aaa
c)043
22 )3(xxx
xminus
minus
d) 042
2022
)4()(4
minus
minus
minusminus
yxyxx
e) 2
25
44
93
minus
minus
minusminus
yxyx
Solucioacuten
a) mmmmm
mm
mmm
===== minusminusminus
1676
7
)3)(2(
29
32
29
)(
b) 561
6
43
)3)(2(3
43
32 88))(8())(2()2(aa
aa
aaa
aaa
====minus
minus
minus
minus
minus
minus
c) 37
4
3)4(
4
322
4
043
22
91
99)1()1()3()3(
xxx
xxx
xxx
xxxx
====minus
minus
d) =minus
=minus
=minus
minus +minus
minus
minus
1)1(4
1)1(4
)4()(4 0222
042
2022 xxyx
yxx
414
1)1)(1(4
minus=minus
=minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
29
e) ( )( )
( )( ) =minusminus
=minusminus
=
minusminus
minus
minus
minusminus
minusminus
minus 224
225
225
2442
25
44
39
93
93
yxyx
yxyx
yxyx
= ( )
( ) ( ) ( )2
48
410
22242
22252
99
813
)()9( xyxyx
yxyx
==minusminus
minus
minus
minus
minus
3 Encontrar el valor numeacuterico de las siguientes expresiones con 2minus=x y
3=y para
a) 23 yx b) 3
3
yxminus
c) ( ) 22 minusxy d) 23 minusminus xy e) 23)( minusminus xy
Solucioacuten
a) ( ) ( ) 72)9)(8(32 2323 minus=minus=minus=yx
b) ( ) ( ) ( )( ) =minus
=minus
==minus
2781
3211
33333
3
yxyx
2161
2161
minus=minus
=
c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241
3211
2222
22 =minus
==minus
xyxy
d) ( ) ( )( ) 16
2722723 4
4323 minus=
minusminus
=minusminus=minus minusminusxy 1627
minus=
e) ( )( ) 4
272
3)()( 2
3
2
323 =
minus=
minus=minus minus
xyxy
3 RADICALES Con frecuencia en los problemas de aplicacioacuten se debe determinar queacute nuacutemero se puede elevar al cuadrado para obtener un segundo nuacutemero a Si se puede determinar a ese nuacutemero se le llama una raiacutez cuadrada de a Por ejemplo
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EXPONENTES y RADICALES
30
a) 0es una raiacutez cuadrada de 0 porque 002 = b) 4 es una raiacutez cuadrada de 16 porque 1642 = c) 4minus es una raiacutez cuadrada de 16 porque 16)4( 2 =minus d) xy7 es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy = e) xy7minus es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy =minus
31 RAIacuteZ CUADRADA DE a El nuacutemero b es una raiacutez cuadrada de a cuando 2 ab = Todos los nuacutemeros positivos tienen dos nuacutemeros reales que son sus raiacuteces cuadradas uno positivo y otro negativo El uacutenico nuacutemero con una sola raiacutez cuadrada es 0 cuya raiacutez cuadrada es 0 Ejemplo Determinar las dos raiacuteces cuadradas de 121 Solucioacuten Las dos raiacuteces cuadradas de 121son 11y 11minus porque 121112 = y 121)11( 2 =minus 32 RAIacuteZ CUADRADA PRINCIPAL Se llama signo radical al siacutembolo y a x el nuacutemero que se encuentran dentro del signo radical que se llama radicando Siacute x gt 0 la raiacutez principal de x es la raiacutez cuadrada positiva de x y se
representa con x La raiacutez cuadrada principal de 0 es 0 00 = NOTA Por definicioacuten el cuadrado principal de un nuacutemero positivo siempre es positivo Aunque 5 y 5minus son raiacuteces cuadradas de 25 soacutelo 5es la raiacutez cuadrada principal El radical
25 representa 5 El radical 25minus representa 5minus Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuadradas
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EXPONENTES y RADICALES
31
a) 11 =
b) 981 =
c) 981 minus=minus
d) 21
41=
e) 114
12116
minus=minus
f) 20040 =
g) 03000090 minus=minus
Los nuacutemeros como 1600491694 y se llaman cuadrados enteros porque cada uno de ellos es el cuadrado de un entero La raiacutez cuadrada de todo cuadrado entero es un nuacutemero racional Por ejemplo
4016007494163924 =====
Las raiacuteces cuadradas de muchos enteros positivos no son nuacutemeros racionales Por ejemplo 11 es un nuacutemero irracional cuyo valor aproximado ( )asymp es de
31662473 )3166247311( asymp Donde el siacutembolo asympquiere decir ldquoaproximadamente igual ardquo
Las raiacuteces cuadradas de nuacutemeros negativos no son nuacutemeros reales Por
ejemplo 9minus no es nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado al cuadrado es igual a 9minus Las raiacuteces cuadradas de los nuacutemeros negativos originan un conjunto llamado nuacutemeros imaginarios
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EXPONENTES y RADICALES
32
33 RAIacuteCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE Si 0nex el nuacutemero positivo 2x tiene por raiacuteces a x y a xminus porque 22)( xx =
y 22)( xx =minus Para indicar la raiacutez cuadrada positiva de 2x se debe saber si x es positivo o negativo Si 0gtx se puede escribir lo siguiente xx =2 donde 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es x Si x es negativo entonces 0gtminus x es xx minus=2 ya que 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es xminus Si no se sabe si x es positivo o negativo se pueden emplear siacutembolos de valor absoluto para garantizar que 2x sea positiva xx =2 siempre y cuando x sea cualquier nuacutemero real Si x es cualquier nuacutemero real entonces
a) xxxx 44)4(16 22 ===
Por lo que escribir 216x en la forma 2)4( x siendo que ( ) 22 164 xx = Puesto que x podriacutea ser negativo Los siacutembolos de valor absoluto son necesarios ya que en el producto x4 4 es una constante positiva
b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2
+=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 4+x puede ser negativo por ejemplo cuando
8minus=x
c) ( ) 1112 22 +=+=++ xxxx Porque ( )211 +=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 1+x puede ser negativo por ejemplo cuando 5minus=x
d) 24 xx = porque ( ) 422 xx = Como 02 gex
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EXPONENTES y RADICALES
33
34 RAIacuteCES CUacuteBICAS La raiacutez cuacutebica de x se representa por yx =3 si xy =3 Por ejemplo el nuacutemero 64 tiene dos raiacuteces cuadradas que son nuacutemeros reales 8 y 8minus Sin embargo 64 soacutelo tiene una raiacutez cuacutebica real que es el valor de 4 porque 4 es el uacutenico nuacutemero real cuyo cubo es 64 Por lo tanto
xx =3 3 Como todos los nuacutemeros reales tienen una y solo una raiacutez cuacutebica real algunas
de las cuales son positivas y otras negativas no es necesario emplear siacutembolos de valor absoluto al simplificar las raiacuteces cuacutebicas
Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuacutebicas
a) 3 125 b) 3
81
c) 3 327xminus d) 33
3
278
ba
minus e) 3 632160 yx
Solucioacuten a) 51253 = porque 125)5)(5)(5(53 ==
b) 21
81
3 = porque 81
21
21
21
21 3
=
=
c) xx 3273 3 minus=minus porque ( ) ( )( )( ) 33 273333 xxxxx minus=minusminusminus=minus
d) ba
ba
32
278
33
3
minus=minus porque 3
33
278
32
32
32
32
ba
ba
ba
ba
ba
minus=
minus
minus
minus=
minus
e) 23 63 602160 xyyx = porque
( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==
35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS Asiacute como existen raiacuteces cuadradas y raiacuteces cuacutebicas tambieacuten existen las raiacuteces cuartas raiacuteces quintas raiacuteces sextas etc
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EXPONENTES y RADICALES
34
Cuando n es impar el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez impar Como todo nuacutemero real tiene una y soacutelo una raiacutez eneacutesima real cuando n es impar no es necesario preocuparse por los siacutembolos de valor absoluto cuando se calculan raiacuteces impares Ejemplo
a) 33243 5 55 == porque 24335 = b) ( ) xxx 227128 77 7 minus=minus=minus porque ( ) 77 1282 xx minus=minus
Cuando n es par el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez par En este caso habraacute una raiacutez eneacutesima positiva y una eneacutesima negativa Por ejemplo las dos raiacuteces sextas reales de 729 son 3 y 3minus porque
72936 = y 729)3( 6 =minus Cuando se determinan raiacuteces reales se emplean con frecuencia los siacutembolos de valor absoluto para garantizar que la eneacutesima raiacutez sea positiva Ejemplos
a) ( ) 3334 4 =minus=minus
Tambieacuten se puede simplificar de la siguiente manera ( ) 3813 44 4 ==minus
b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===
Los siacutembolos de valor absoluto garantizan que la raiacutez sexta es positiva
Generalizando se tienen las siguientes reglas Si x es un nuacutemero real y 1gtn entonces
a) Si n es un nuacutemero impar natural xxn n =
b) Si n es un nuacutemero par natural xxn n =
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EXPONENTES y RADICALES
35
NOTA En el radical n x a n se le llama el iacutendice u orden del radical Cuando el iacutendice
es 2 el radical es una raiacutez cuadrada y se acostumbra no escribir el iacutendice Cuando n es par ( )2gtn y 0ltx el radical n x no es un nuacutemero real Por
ejemplo 4 81minus no es un nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado a la cuarta potencia es 81minus
Ejemplo
a) 56254 = porque 62554 = b) 2325 minus=minus porque ( ) 322 5 minus=minus
c) 21
641
6 = porque 641
21 6
=
36 EXPONENTES RACIONALES Los exponentes enteros positivos indican la cantidad de veces que se debe usar una base como factor en un producto Por ejemplo 5x significa que x se debe emplear cinco veces como factor ya que xdefactores5 ( )( )( )( )( )xxxxxx =5 Es posible elevar bases a potencias racionales (fraccionarias) cuando se desea que dichos exponentes respeten las mismas reglas que los coeficientes enteros el
cuadrado de 21
10 debe ser 10 porque
( )
10101010 1
2
212
21
===
Se mantiene la base y se multiplican los exponentes
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EXPONENTES y RADICALES
36
( ) 112
212
21
=
=
10101 =
Sin embargo hay que recordar que ( ) 1010
2=
Como 2
21
10
y ( )210 son iguales a 10
Con esto se puede definir que 21
10 es igual a 10 Igualmente para
a) 31
10 como 3 10
b) 41
10 como 4 10
c) 51
10 como 5 10
Por lo que si n es un nuacutemero natural mayor que 1 y n x es un nuacutemero real entonces
nn xx =1
Ejemplo Resolver los siguientes radicales
a) 21
9 b) 21
916
minus c) ( )3
1
64minus d) 41
16 e) 51
321
f) 8
1
0 g) ( )51
232xminus
h) ( )41
xyz
Solucioacuten
a) 3999 221
===
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EXPONENTES y RADICALES
37
b) 34
916
916
916
221
minus=minus=minus=
minus
c) ( ) 46464 331
minus=minus=minus
d) 21616 441
==
e) 21
321
321
551
==
f) 000 881
==
g) ( ) xxx 23232 5 551
5 minus=minus=minus
h) ( ) 441
xyzxyz =
i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes
fraccionarios
a) 4 5xyz b) 52
15xy
Solucioacuten
a) ( )41
4 55 xyzxyz =
b) 51
2
5
2
1515
=xyxy
37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1
Se puede ampliar la definicioacuten de nx1
para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1
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EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
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41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
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EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
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EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
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EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
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EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
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EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
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EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
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EXPONENTES y RADICALES
13
b) A continuacioacuten se presenta un plano de una parte de un piso cuyas dimensiones estaacuten expresadas en el mismo
En este plano se observa que la longitud de este piso se puede expresar como ba+=8 de donde ba minus= 8 Y que el ancho es ihdc +=+
En estos dos ejemplos aparecen expresiones que son combinaciones de
nuacutemeros y literales separadas por los signos de las operaciones matemaacuteticas (aritmeacuteticas) Estas expresiones reciben el nombre de expresiones algebraicas 141 TEacuteRMINOS Y COEFICIENTES Sea la siguiente expresioacuten algebraica la cual estaacute formada por cinco sumandos
babbaa 3212
35
++++
Se llama teacutermino de una expresioacuten algebraica a cada uno de dichos sumandos Asiacute a2 es una expresioacuten algebraica de un teacutermino ba +3 es una expresioacuten algebraica de dos teacuterminos 123 ++ aab es una expresioacuten algebraica de tres teacuterminos Donde cada teacutermino consta de una parte numeacuterica (coeficiente del teacutermino) y otra literal Asiacute a2 es un teacutermino de coeficiente 2 y parte literal a
ab23
es un teacutermino de coeficiente 23
y parte literal ab
a b
c
e
d
h
i
8
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EXPONENTES y RADICALES
14
2xy es un teacutermino de coeficiente 1 y parte literal 2xy
Ejemplo Representar la edad de cada uno de los miembros de la familia de Carlos Se sabe que la edad de la hermana es dos tercios de la edad de Carlos la de la madre el triple la del padre cuatro veces y la del abuelo es igual a la suma de las edades del padre y la madre Solucioacuten Las expresiones algebraicas seraacuten las siguientes La edad de Carlos = a
La edad de la hermana = a32
La edad de la madre = a3 La edad del padre = a4 Y la edad del abuelo = aa 43 + A continuacioacuten se presenta el valor numeacuterico de cada una de las expresiones algebraicas si se sabe que la edad de Carlos es de 9 antildeos es decir 9=a La edad de Carlos = 9 antildeos
La edad de la hermana = 63
183
)9)(2()9(32
=== antildeos
La edad de la madre = 27)9(3 = antildeos La edad del padre = 36)9(4 = antildeos Y la edad del abuelo = 633627)9(4)9(3 =+=+ antildeos Nota
Si la edad de Carlos fuera otra los valores numeacutericos de cada una de las expresiones algebraicas seriacutean distintos
El valor numeacuterico de una expresioacuten algebraica no es uacutenico ya que depende del valor que se le deacute a la literal o letra(s) que en ella intervengan
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EXPONENTES y RADICALES
15
2 EXPONENTES Considere el caso especial de la multiplicacioacuten en el que todos los factores que se van a multiplicar son iguales Asiacute si se multiplica el nuacutemero a por siacute mismo se obtiene el producto aa el cual generalmente se escribe en la forma 2a En general el producto de n factores cada uno de ellos iguales a a se escribe en la forma na recibiendo el nuacutemero entero y positivo n el nombre de exponente En este caso se dice que se ha elevado el nuacutemero a a la eneacutesima potencia operacioacuten que recibe el nombre de potenciacioacuten 21 POTENCIACIOacuteN La potencia de una expresioacuten algebraica es la misma expresioacuten o el resultado de tomarla como factor dos o maacutes veces Asiacute la primera potencia de una expresioacuten es la misma expresioacuten como se indica a continuacioacuten aa 2)2( 1 =
La segunda potencia o cuadrado de una expresioacuten es el resultado de tomarla como factor dos veces Por lo que
22 4))()(2)(2()2)(2()2( aaaaaa === El cubo de una expresioacuten es el resultado de tomarla como factor tres veces por
ejemplo
33 8))()()(2)(2)(2()2)(2)(2()2( aaaaaaaa === Y en forma general ( ) ( )( )( ) vecesnaaaa n
2222 = 211 POTENCIA DE UN MONOMIO Para elevar un monomio a una potencia se eleva su coeficiente a esa potencia y se multiplica el exponente de cada letra por el exponente que indica la potencia Ejemplo Desarrollar las siguientes expresiones algebraicas
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EXPONENTES y RADICALES
16
a) 32 )3( ab b) 343 )5( yxminus c) 4
232
minus
yx
d) 5
43
32
minus ba
Solucioacuten
a) 63)3)(2()3)(1(32333 2727)()()3()3( bababaab ===
b) =minus=minus=minus )3)(4()3)(3(34333343 125)()()5()5( yxyxyx 129125 yxminus
c) 8
4
)4)(2(
)4)(1(
4
44
2
44
2 8116
)()(
)3()2(
32
32
yx
yx
yx
yx
=minus
=
minus=
minus
d) ( ) ( ) =minus
=
minus=
minus 543
5
5543
5543
)3()2(
32
32 bababa
2015)5)(4()5)(3(5
5
24332)()(
)3()2( baba minus=
minus=
2111 PROPIEDADES
Los exponentes indican multiplicacioacuten repetida por ejemplo
a) yy =2 ))(( yyy =
Donde 2y se lee y a la segunda potencia o y al cuadrado b) zz =3 z z = ))()(( zzz se lee z a la tercera potencia o z al cubo c) xx =4 x x x = ))()()(( xxxx se lee x a la cuarta potencia
22 EXPONENTES DE NUacuteMEROS REALES
Si n es un nuacutemero real entonces
xdefactoresn
xxn = x x x
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EXPONENTES y RADICALES
17
La expresioacuten exponencial nx se llama potencia de x y se lee x a la eneacutesima potencia o x a la potencia n En la expresioacuten siguiente
nx Exponente
Base
x se llama base y n es el exponente Un exponente que sea nuacutemero natural indica cuaacutentas veces se usa la base de expresioacuten exponencial como factor de un producto por ejemplo
a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==
b) 32)2)(2)(2)(2)(2()2( 5 minus=minusminusminusminusminus=minus
c) 4()4(4 44 minus=minus=minus 4 4 256)4 minus=
d) 256)4)(4)(4)(4()4( 4 =minusminusminusminus=minus
e) 33
81
21
21
21
21 aaaaa =
=
f) 22
251
51
51
51 bbbb =
minus
minus=
minus
g) 35 xx indica que x se debe usar cinco veces como factor y 3x representa que x se debe usar tres veces como factor por lo que 35 xx se usaraacute ocho veces como factor xdefactores5 xdefactores3
xxx =35 x x x x X x x x =
xdefactores8 = x x x x x x x x
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EXPONENTES y RADICALES
18
En general
xdefactoresm xdefactoresn
xxx nm = x x x X x x x x = xdefactoresnm + = x x x x x Por lo tanto para multiplicar expresiones exponenciales con la misma base se
mantiene esa base y se suman los exponentes 221 REGLA DEL PRODUCTO PARA EXPONENTES
Si m y n son nuacutemeros naturales entonces nmnm xxx += Para desarrollar la regla de divisioacuten de las expresiones exponenciales se procede de la siguiente manera
nmnmnmn
mn
m
xxxxx
xxx minusminus+minus ===
= )(1
Por tanto para dividir dos expresiones exponenciales con la misma base distinta de cero se mantiene la base y se resta el exponente del denominador del exponente del numerador
NOTA La regla del producto para exponentes soacutelo se aplica a expresiones exponenciales que tienen la misma base Por ejemplo la expresioacuten 35 yx no se puede simplificar porque las bases de las expresiones exponenciales son diferentes Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)
minus 34
418 xx
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EXPONENTES y RADICALES
19
Solucioacuten
a) 16511511 xxxx == +
b) 15645645 aaaaa == ++
c) 67244324432443 bababbaababa === ++
d) 7343434 248
418
418 xxxxxx minus=
minus=
minus=
minus +
Para encontrar otra propiedad se simplificaraacute la expresioacuten 34 )(x que significa
que 4x se eleva al cubo o en su caso 4x se repite tres veces 4x 4x 4x Donde 4x 4x 4x
=34 )(x 4x 4x 4x = ( x x x x )( x x x x )( x x x x )= = 12444 xx =++ En general se tiene que
nxdefactoresn nxdefactoresmn
mnm xx =)( mx mx mx = x x x x x x = mnx
Asiacute para elevar una expresioacuten exponencial a una potencia se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes
Ejemplo
Si se eleva x3 al cuadrado se obtiene el siguiente resultado
( ) )3(3 2 xx = ))()(3)(3()3( xxx = = 222 93 xx = En general se tiene que
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EXPONENTES y RADICALES
20
xydefactoresn xdefactoresn ( ) ))()(( xyxyxyxy n = xxxxy =)( x yyy y = nn yx
ydefactoresn
Otra propiedad por ejemplo es elevar al cubo la siguiente expresioacuten 3x
Solucioacuten
33
3 xx=
3x
3x
= 27)3)(3)(3(
))()(( 3xxxx=
En general se tiene lo siguiente
yxdefactoresn
=
yx
yx
yx
yx
n
yx
( )0ney
xdefactoresn
)())()(()())()((
yyyyxxxx
= = n
n
yx
ydefactoresn Los tres resultados anteriores se llaman reglas de potencias de los exponentes Si m y n son nuacutemeros naturales entonces
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EXPONENTES y RADICALES
21
( ) mnnm xx = nnn yxxy =)( n
nn
yx
yx
=
)0( ney
Ejemplos
Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) ( )323 b) ( )511x c) ( )632xx d) ( ) ( )2342 xx e) ( )32 yx f) ( )443 yx g) 4
2
yx
h) 2
4
3
yx
Solucioacuten
a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===
b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==
c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +
d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +
e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===
f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==
g) ( ) 8
4
42
44
2 yx
yx
yx
==
( )0ney
h) ( )( ) 8
62
24
32
4
3
yx
yx
yx
==
( )0ney
Analizar la diferencia que existe entre nxminus y nx)(minus
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EXPONENTES y RADICALES
22
Solucioacuten
xdefactoresn xdefactoresn minus
(minus=minus nx x x x x ) y )())()(()( xxxxx n minusminusminusminus=minus
Tambieacuten es conveniente hacer notar la diferencia que existe entre nax y ( )nax donde
xdefactoresn axdefactoresn
aaxn = x x x x y )())()(()( axaxaxaxax n = 222 EL EXPONENTE CERO Cuando las reglas de los exponentes son vaacutelidas y si el exponente es igual a 0 (cero) se tiene lo siguiente nnnnn xxxxxx 1)1()1(00 ==== + Como nn xxx 10 = en consecuencia ( )010 ne= xx
El exponente cero si 10 0 =ne xentoncesx En general cualquier base distinta de cero elevada a la potencia cero es igual a 1 Tambieacuten
10 === minusn
nnn
xxxx
Si todas las bases son distintas de cero y el exponente es cero entonces
a) 150 =
b) ( ) 17 0 =minus
c) ( ) 1303 =ax
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EXPONENTES y RADICALES
23
d) 121 0
975 =
zyx
NOTA
00 es indefinido esto a consecuencia de que infin=00 223 EXPONENTES NEGATIVOS Las reglas de los exponentes son vaacutelidas tambieacuten cuando eacutestos son enteros negativos ( )010 ne=== +minusminus xxxxx nnnn
ya que nxminus 1=nx y nx
1 1=nx
Ademaacutes se define a nxminus como el reciacuteproco de nx Por lo que
nn
xx 1
=minus y nn x
x=
minus
1
NOTA De acuerdo con la definicioacuten de exponentes negativos la base no puede ser 0
Asiacute una expresioacuten como 50minus no estaacute definida por lo que
infin=minus50 Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 25minus b) 310minus c) ( ) 32 minusx d) 13 minusx e) 35xxminus f) ( ) 23 minusminusx Solucioacuten
a) 251
515 2
2 ==minus
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EXPONENTES y RADICALES
24
b) 1000
110110 3
3 ==minus
c) ( ) 33
3
81
21)2(
xxx ==minus
d) 33 1 =minusx xx31
=
e) 2
23535 1x
xxxx === minus+minusminus
f) ( ) 6)2)(3(23 xxx == minusminusminusminus
2224 REGLA DEL COCIENTE Si m y n son enteros entonces
( )0 ne= minus xxxx nm
n
m
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 3
5
aa
b) 11
5
xxminus
c) 5
34
minusxxx
d) ( )( )23
32
x
x e) 4
32
xyyx
f) 3
432
32
minus
baaba
Solucioacuten
a) 2353
5
aaaa
== minus
b) 16
1611511
5 1x
xxxx
=== minusminusminusminus
c) 12575
7
5
34
5
34
xxxxx
xx
xxx
====minusminus
+
minus
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EXPONENTES y RADICALES
25
d) ( )( )
( )( )
( )( ) 10666
6
23
32
23
32
===== minus xxxx
xx
xx
o en su caso
( )( )
( )( )
( )( ) 16
6
23
32
23
32
===xx
xx
xx
e) yxyxyxyyxx
xyyx
==== minusminusminusminusminus 11431243124
32
f) ( )( )
( )
)3)(4()3)(3()3)(middot2(
)3)(3(3)(2
3432
3323
432
32
baaba
baa
babaaba minusminusminus
==
= =
minus
1296
96
baaba
1221321
1215
96 1ba
bababa
=== minusminusminus
o en su caso
=
=
minusminus 3
45
323
432
32
baba
baaba
= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317
33
17
317 1111babababa
ba ===
=minusminus
El siguiente teorema indica que una fraccioacuten elevada a una potencia negativa se puede invertir y elevarse asiacute a una potencia positiva
Teorema Si n es un nuacutemero entero entonces
( )00 nene
=
minus
yxny
yx nn
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
26
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 4
32 minus
b)
3
2
xy
c) 4
3
2
32
minus
minus
yx
d)
minus
432
32
baaba
Solucioacuten
a) ( )( ) 16
8123
23
32
4
444
==
=
minus
b) ( )( ) 6
9
)3)(2(
)3)(3(
32
333
2
33
3
2
yx
yx
yx
yx
xy
===
=
minus
c) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ====
=
minusminusminusminusminus
minus )4)(2(
)4)(3(
424
434
42
434
2
34
3
2
1681
23
23
23
32
xy
xy
xy
xy
yx
= 8
12
1681
xy minus
= 1681
8
12
xy minus
= 1281681
yx
d) ( )( )
( )( ) ===
=
minusminusminus
minusminus
)3)(3()3)(2(
)3)(4()3)(5(
332
3453
32
4323
432
32
baba
baba
babaa
baaba
= =minus 96
1215
baba 321912)6(15 babbaa =minusminusminus
23 RESUMEN Si no existen divisiones entre 0 (cero) entonces para enteros m y n cualesquiera
a) nmnm xxx += b) ( ) mnnm xx =
c) ( ) nnn yxxy =
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
27
d) n
nn
yx
yx
=
e) ( )010 ne= xx
f) n
n
xx 1
=minus
g) nmn
m
xxx minus=
h) nn
xy
yx
=
minus
NOTA Las mismas reglas se aplican cuando los exponentes son variables 24 EJERCICIOS
1 Simplificar las siguientes expresiones
a) 24 b) 32 )(x c) 12 )( minusminusx d) 5
2
xx
e) 25minus
Solucioacuten a) 16)4)(4(42 == b) 6)3)(2(32 )( xxx == c) 2)1)(2(12 )( xxx == minusminusminusminus
o tambieacuten
222
22
21212
1)1)(1())(1(
111
111
)(1)( xxx
xxxx
x =======minusminus
minusminus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
28
d) 2253)5()3(53
5
3 1))((x
xxxxxxx
===== minusminusminus+minus
o tambieacuten 1 1 1
21
))()()()(())()((
))()()()(())()((
xxxxxxxxx
xxxxxxxx
== = 2minusx
e) 12
2 25251
515 minusminus ===
2 Simplificar las siguientes expresiones considerando que ninguno de los
denominadores sea igual a cero
a) 32
29
)(mmm minus
b) 43
32 )2(minus
minus
aaa
c)043
22 )3(xxx
xminus
minus
d) 042
2022
)4()(4
minus
minus
minusminus
yxyxx
e) 2
25
44
93
minus
minus
minusminus
yxyx
Solucioacuten
a) mmmmm
mm
mmm
===== minusminusminus
1676
7
)3)(2(
29
32
29
)(
b) 561
6
43
)3)(2(3
43
32 88))(8())(2()2(aa
aa
aaa
aaa
====minus
minus
minus
minus
minus
minus
c) 37
4
3)4(
4
322
4
043
22
91
99)1()1()3()3(
xxx
xxx
xxx
xxxx
====minus
minus
d) =minus
=minus
=minus
minus +minus
minus
minus
1)1(4
1)1(4
)4()(4 0222
042
2022 xxyx
yxx
414
1)1)(1(4
minus=minus
=minus
=
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
29
e) ( )( )
( )( ) =minusminus
=minusminus
=
minusminus
minus
minus
minusminus
minusminus
minus 224
225
225
2442
25
44
39
93
93
yxyx
yxyx
yxyx
= ( )
( ) ( ) ( )2
48
410
22242
22252
99
813
)()9( xyxyx
yxyx
==minusminus
minus
minus
minus
minus
3 Encontrar el valor numeacuterico de las siguientes expresiones con 2minus=x y
3=y para
a) 23 yx b) 3
3
yxminus
c) ( ) 22 minusxy d) 23 minusminus xy e) 23)( minusminus xy
Solucioacuten
a) ( ) ( ) 72)9)(8(32 2323 minus=minus=minus=yx
b) ( ) ( ) ( )( ) =minus
=minus
==minus
2781
3211
33333
3
yxyx
2161
2161
minus=minus
=
c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241
3211
2222
22 =minus
==minus
xyxy
d) ( ) ( )( ) 16
2722723 4
4323 minus=
minusminus
=minusminus=minus minusminusxy 1627
minus=
e) ( )( ) 4
272
3)()( 2
3
2
323 =
minus=
minus=minus minus
xyxy
3 RADICALES Con frecuencia en los problemas de aplicacioacuten se debe determinar queacute nuacutemero se puede elevar al cuadrado para obtener un segundo nuacutemero a Si se puede determinar a ese nuacutemero se le llama una raiacutez cuadrada de a Por ejemplo
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EXPONENTES y RADICALES
30
a) 0es una raiacutez cuadrada de 0 porque 002 = b) 4 es una raiacutez cuadrada de 16 porque 1642 = c) 4minus es una raiacutez cuadrada de 16 porque 16)4( 2 =minus d) xy7 es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy = e) xy7minus es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy =minus
31 RAIacuteZ CUADRADA DE a El nuacutemero b es una raiacutez cuadrada de a cuando 2 ab = Todos los nuacutemeros positivos tienen dos nuacutemeros reales que son sus raiacuteces cuadradas uno positivo y otro negativo El uacutenico nuacutemero con una sola raiacutez cuadrada es 0 cuya raiacutez cuadrada es 0 Ejemplo Determinar las dos raiacuteces cuadradas de 121 Solucioacuten Las dos raiacuteces cuadradas de 121son 11y 11minus porque 121112 = y 121)11( 2 =minus 32 RAIacuteZ CUADRADA PRINCIPAL Se llama signo radical al siacutembolo y a x el nuacutemero que se encuentran dentro del signo radical que se llama radicando Siacute x gt 0 la raiacutez principal de x es la raiacutez cuadrada positiva de x y se
representa con x La raiacutez cuadrada principal de 0 es 0 00 = NOTA Por definicioacuten el cuadrado principal de un nuacutemero positivo siempre es positivo Aunque 5 y 5minus son raiacuteces cuadradas de 25 soacutelo 5es la raiacutez cuadrada principal El radical
25 representa 5 El radical 25minus representa 5minus Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuadradas
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EXPONENTES y RADICALES
31
a) 11 =
b) 981 =
c) 981 minus=minus
d) 21
41=
e) 114
12116
minus=minus
f) 20040 =
g) 03000090 minus=minus
Los nuacutemeros como 1600491694 y se llaman cuadrados enteros porque cada uno de ellos es el cuadrado de un entero La raiacutez cuadrada de todo cuadrado entero es un nuacutemero racional Por ejemplo
4016007494163924 =====
Las raiacuteces cuadradas de muchos enteros positivos no son nuacutemeros racionales Por ejemplo 11 es un nuacutemero irracional cuyo valor aproximado ( )asymp es de
31662473 )3166247311( asymp Donde el siacutembolo asympquiere decir ldquoaproximadamente igual ardquo
Las raiacuteces cuadradas de nuacutemeros negativos no son nuacutemeros reales Por
ejemplo 9minus no es nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado al cuadrado es igual a 9minus Las raiacuteces cuadradas de los nuacutemeros negativos originan un conjunto llamado nuacutemeros imaginarios
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EXPONENTES y RADICALES
32
33 RAIacuteCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE Si 0nex el nuacutemero positivo 2x tiene por raiacuteces a x y a xminus porque 22)( xx =
y 22)( xx =minus Para indicar la raiacutez cuadrada positiva de 2x se debe saber si x es positivo o negativo Si 0gtx se puede escribir lo siguiente xx =2 donde 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es x Si x es negativo entonces 0gtminus x es xx minus=2 ya que 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es xminus Si no se sabe si x es positivo o negativo se pueden emplear siacutembolos de valor absoluto para garantizar que 2x sea positiva xx =2 siempre y cuando x sea cualquier nuacutemero real Si x es cualquier nuacutemero real entonces
a) xxxx 44)4(16 22 ===
Por lo que escribir 216x en la forma 2)4( x siendo que ( ) 22 164 xx = Puesto que x podriacutea ser negativo Los siacutembolos de valor absoluto son necesarios ya que en el producto x4 4 es una constante positiva
b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2
+=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 4+x puede ser negativo por ejemplo cuando
8minus=x
c) ( ) 1112 22 +=+=++ xxxx Porque ( )211 +=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 1+x puede ser negativo por ejemplo cuando 5minus=x
d) 24 xx = porque ( ) 422 xx = Como 02 gex
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EXPONENTES y RADICALES
33
34 RAIacuteCES CUacuteBICAS La raiacutez cuacutebica de x se representa por yx =3 si xy =3 Por ejemplo el nuacutemero 64 tiene dos raiacuteces cuadradas que son nuacutemeros reales 8 y 8minus Sin embargo 64 soacutelo tiene una raiacutez cuacutebica real que es el valor de 4 porque 4 es el uacutenico nuacutemero real cuyo cubo es 64 Por lo tanto
xx =3 3 Como todos los nuacutemeros reales tienen una y solo una raiacutez cuacutebica real algunas
de las cuales son positivas y otras negativas no es necesario emplear siacutembolos de valor absoluto al simplificar las raiacuteces cuacutebicas
Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuacutebicas
a) 3 125 b) 3
81
c) 3 327xminus d) 33
3
278
ba
minus e) 3 632160 yx
Solucioacuten a) 51253 = porque 125)5)(5)(5(53 ==
b) 21
81
3 = porque 81
21
21
21
21 3
=
=
c) xx 3273 3 minus=minus porque ( ) ( )( )( ) 33 273333 xxxxx minus=minusminusminus=minus
d) ba
ba
32
278
33
3
minus=minus porque 3
33
278
32
32
32
32
ba
ba
ba
ba
ba
minus=
minus
minus
minus=
minus
e) 23 63 602160 xyyx = porque
( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==
35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS Asiacute como existen raiacuteces cuadradas y raiacuteces cuacutebicas tambieacuten existen las raiacuteces cuartas raiacuteces quintas raiacuteces sextas etc
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EXPONENTES y RADICALES
34
Cuando n es impar el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez impar Como todo nuacutemero real tiene una y soacutelo una raiacutez eneacutesima real cuando n es impar no es necesario preocuparse por los siacutembolos de valor absoluto cuando se calculan raiacuteces impares Ejemplo
a) 33243 5 55 == porque 24335 = b) ( ) xxx 227128 77 7 minus=minus=minus porque ( ) 77 1282 xx minus=minus
Cuando n es par el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez par En este caso habraacute una raiacutez eneacutesima positiva y una eneacutesima negativa Por ejemplo las dos raiacuteces sextas reales de 729 son 3 y 3minus porque
72936 = y 729)3( 6 =minus Cuando se determinan raiacuteces reales se emplean con frecuencia los siacutembolos de valor absoluto para garantizar que la eneacutesima raiacutez sea positiva Ejemplos
a) ( ) 3334 4 =minus=minus
Tambieacuten se puede simplificar de la siguiente manera ( ) 3813 44 4 ==minus
b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===
Los siacutembolos de valor absoluto garantizan que la raiacutez sexta es positiva
Generalizando se tienen las siguientes reglas Si x es un nuacutemero real y 1gtn entonces
a) Si n es un nuacutemero impar natural xxn n =
b) Si n es un nuacutemero par natural xxn n =
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EXPONENTES y RADICALES
35
NOTA En el radical n x a n se le llama el iacutendice u orden del radical Cuando el iacutendice
es 2 el radical es una raiacutez cuadrada y se acostumbra no escribir el iacutendice Cuando n es par ( )2gtn y 0ltx el radical n x no es un nuacutemero real Por
ejemplo 4 81minus no es un nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado a la cuarta potencia es 81minus
Ejemplo
a) 56254 = porque 62554 = b) 2325 minus=minus porque ( ) 322 5 minus=minus
c) 21
641
6 = porque 641
21 6
=
36 EXPONENTES RACIONALES Los exponentes enteros positivos indican la cantidad de veces que se debe usar una base como factor en un producto Por ejemplo 5x significa que x se debe emplear cinco veces como factor ya que xdefactores5 ( )( )( )( )( )xxxxxx =5 Es posible elevar bases a potencias racionales (fraccionarias) cuando se desea que dichos exponentes respeten las mismas reglas que los coeficientes enteros el
cuadrado de 21
10 debe ser 10 porque
( )
10101010 1
2
212
21
===
Se mantiene la base y se multiplican los exponentes
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EXPONENTES y RADICALES
36
( ) 112
212
21
=
=
10101 =
Sin embargo hay que recordar que ( ) 1010
2=
Como 2
21
10
y ( )210 son iguales a 10
Con esto se puede definir que 21
10 es igual a 10 Igualmente para
a) 31
10 como 3 10
b) 41
10 como 4 10
c) 51
10 como 5 10
Por lo que si n es un nuacutemero natural mayor que 1 y n x es un nuacutemero real entonces
nn xx =1
Ejemplo Resolver los siguientes radicales
a) 21
9 b) 21
916
minus c) ( )3
1
64minus d) 41
16 e) 51
321
f) 8
1
0 g) ( )51
232xminus
h) ( )41
xyz
Solucioacuten
a) 3999 221
===
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EXPONENTES y RADICALES
37
b) 34
916
916
916
221
minus=minus=minus=
minus
c) ( ) 46464 331
minus=minus=minus
d) 21616 441
==
e) 21
321
321
551
==
f) 000 881
==
g) ( ) xxx 23232 5 551
5 minus=minus=minus
h) ( ) 441
xyzxyz =
i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes
fraccionarios
a) 4 5xyz b) 52
15xy
Solucioacuten
a) ( )41
4 55 xyzxyz =
b) 51
2
5
2
1515
=xyxy
37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1
Se puede ampliar la definicioacuten de nx1
para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1
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EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
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EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
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EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
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EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
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EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
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EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
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EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
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EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
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EXPONENTES y RADICALES
14
2xy es un teacutermino de coeficiente 1 y parte literal 2xy
Ejemplo Representar la edad de cada uno de los miembros de la familia de Carlos Se sabe que la edad de la hermana es dos tercios de la edad de Carlos la de la madre el triple la del padre cuatro veces y la del abuelo es igual a la suma de las edades del padre y la madre Solucioacuten Las expresiones algebraicas seraacuten las siguientes La edad de Carlos = a
La edad de la hermana = a32
La edad de la madre = a3 La edad del padre = a4 Y la edad del abuelo = aa 43 + A continuacioacuten se presenta el valor numeacuterico de cada una de las expresiones algebraicas si se sabe que la edad de Carlos es de 9 antildeos es decir 9=a La edad de Carlos = 9 antildeos
La edad de la hermana = 63
183
)9)(2()9(32
=== antildeos
La edad de la madre = 27)9(3 = antildeos La edad del padre = 36)9(4 = antildeos Y la edad del abuelo = 633627)9(4)9(3 =+=+ antildeos Nota
Si la edad de Carlos fuera otra los valores numeacutericos de cada una de las expresiones algebraicas seriacutean distintos
El valor numeacuterico de una expresioacuten algebraica no es uacutenico ya que depende del valor que se le deacute a la literal o letra(s) que en ella intervengan
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EXPONENTES y RADICALES
15
2 EXPONENTES Considere el caso especial de la multiplicacioacuten en el que todos los factores que se van a multiplicar son iguales Asiacute si se multiplica el nuacutemero a por siacute mismo se obtiene el producto aa el cual generalmente se escribe en la forma 2a En general el producto de n factores cada uno de ellos iguales a a se escribe en la forma na recibiendo el nuacutemero entero y positivo n el nombre de exponente En este caso se dice que se ha elevado el nuacutemero a a la eneacutesima potencia operacioacuten que recibe el nombre de potenciacioacuten 21 POTENCIACIOacuteN La potencia de una expresioacuten algebraica es la misma expresioacuten o el resultado de tomarla como factor dos o maacutes veces Asiacute la primera potencia de una expresioacuten es la misma expresioacuten como se indica a continuacioacuten aa 2)2( 1 =
La segunda potencia o cuadrado de una expresioacuten es el resultado de tomarla como factor dos veces Por lo que
22 4))()(2)(2()2)(2()2( aaaaaa === El cubo de una expresioacuten es el resultado de tomarla como factor tres veces por
ejemplo
33 8))()()(2)(2)(2()2)(2)(2()2( aaaaaaaa === Y en forma general ( ) ( )( )( ) vecesnaaaa n
2222 = 211 POTENCIA DE UN MONOMIO Para elevar un monomio a una potencia se eleva su coeficiente a esa potencia y se multiplica el exponente de cada letra por el exponente que indica la potencia Ejemplo Desarrollar las siguientes expresiones algebraicas
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EXPONENTES y RADICALES
16
a) 32 )3( ab b) 343 )5( yxminus c) 4
232
minus
yx
d) 5
43
32
minus ba
Solucioacuten
a) 63)3)(2()3)(1(32333 2727)()()3()3( bababaab ===
b) =minus=minus=minus )3)(4()3)(3(34333343 125)()()5()5( yxyxyx 129125 yxminus
c) 8
4
)4)(2(
)4)(1(
4
44
2
44
2 8116
)()(
)3()2(
32
32
yx
yx
yx
yx
=minus
=
minus=
minus
d) ( ) ( ) =minus
=
minus=
minus 543
5
5543
5543
)3()2(
32
32 bababa
2015)5)(4()5)(3(5
5
24332)()(
)3()2( baba minus=
minus=
2111 PROPIEDADES
Los exponentes indican multiplicacioacuten repetida por ejemplo
a) yy =2 ))(( yyy =
Donde 2y se lee y a la segunda potencia o y al cuadrado b) zz =3 z z = ))()(( zzz se lee z a la tercera potencia o z al cubo c) xx =4 x x x = ))()()(( xxxx se lee x a la cuarta potencia
22 EXPONENTES DE NUacuteMEROS REALES
Si n es un nuacutemero real entonces
xdefactoresn
xxn = x x x
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EXPONENTES y RADICALES
17
La expresioacuten exponencial nx se llama potencia de x y se lee x a la eneacutesima potencia o x a la potencia n En la expresioacuten siguiente
nx Exponente
Base
x se llama base y n es el exponente Un exponente que sea nuacutemero natural indica cuaacutentas veces se usa la base de expresioacuten exponencial como factor de un producto por ejemplo
a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==
b) 32)2)(2)(2)(2)(2()2( 5 minus=minusminusminusminusminus=minus
c) 4()4(4 44 minus=minus=minus 4 4 256)4 minus=
d) 256)4)(4)(4)(4()4( 4 =minusminusminusminus=minus
e) 33
81
21
21
21
21 aaaaa =
=
f) 22
251
51
51
51 bbbb =
minus
minus=
minus
g) 35 xx indica que x se debe usar cinco veces como factor y 3x representa que x se debe usar tres veces como factor por lo que 35 xx se usaraacute ocho veces como factor xdefactores5 xdefactores3
xxx =35 x x x x X x x x =
xdefactores8 = x x x x x x x x
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EXPONENTES y RADICALES
18
En general
xdefactoresm xdefactoresn
xxx nm = x x x X x x x x = xdefactoresnm + = x x x x x Por lo tanto para multiplicar expresiones exponenciales con la misma base se
mantiene esa base y se suman los exponentes 221 REGLA DEL PRODUCTO PARA EXPONENTES
Si m y n son nuacutemeros naturales entonces nmnm xxx += Para desarrollar la regla de divisioacuten de las expresiones exponenciales se procede de la siguiente manera
nmnmnmn
mn
m
xxxxx
xxx minusminus+minus ===
= )(1
Por tanto para dividir dos expresiones exponenciales con la misma base distinta de cero se mantiene la base y se resta el exponente del denominador del exponente del numerador
NOTA La regla del producto para exponentes soacutelo se aplica a expresiones exponenciales que tienen la misma base Por ejemplo la expresioacuten 35 yx no se puede simplificar porque las bases de las expresiones exponenciales son diferentes Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)
minus 34
418 xx
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EXPONENTES y RADICALES
19
Solucioacuten
a) 16511511 xxxx == +
b) 15645645 aaaaa == ++
c) 67244324432443 bababbaababa === ++
d) 7343434 248
418
418 xxxxxx minus=
minus=
minus=
minus +
Para encontrar otra propiedad se simplificaraacute la expresioacuten 34 )(x que significa
que 4x se eleva al cubo o en su caso 4x se repite tres veces 4x 4x 4x Donde 4x 4x 4x
=34 )(x 4x 4x 4x = ( x x x x )( x x x x )( x x x x )= = 12444 xx =++ En general se tiene que
nxdefactoresn nxdefactoresmn
mnm xx =)( mx mx mx = x x x x x x = mnx
Asiacute para elevar una expresioacuten exponencial a una potencia se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes
Ejemplo
Si se eleva x3 al cuadrado se obtiene el siguiente resultado
( ) )3(3 2 xx = ))()(3)(3()3( xxx = = 222 93 xx = En general se tiene que
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EXPONENTES y RADICALES
20
xydefactoresn xdefactoresn ( ) ))()(( xyxyxyxy n = xxxxy =)( x yyy y = nn yx
ydefactoresn
Otra propiedad por ejemplo es elevar al cubo la siguiente expresioacuten 3x
Solucioacuten
33
3 xx=
3x
3x
= 27)3)(3)(3(
))()(( 3xxxx=
En general se tiene lo siguiente
yxdefactoresn
=
yx
yx
yx
yx
n
yx
( )0ney
xdefactoresn
)())()(()())()((
yyyyxxxx
= = n
n
yx
ydefactoresn Los tres resultados anteriores se llaman reglas de potencias de los exponentes Si m y n son nuacutemeros naturales entonces
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EXPONENTES y RADICALES
21
( ) mnnm xx = nnn yxxy =)( n
nn
yx
yx
=
)0( ney
Ejemplos
Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) ( )323 b) ( )511x c) ( )632xx d) ( ) ( )2342 xx e) ( )32 yx f) ( )443 yx g) 4
2
yx
h) 2
4
3
yx
Solucioacuten
a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===
b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==
c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +
d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +
e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===
f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==
g) ( ) 8
4
42
44
2 yx
yx
yx
==
( )0ney
h) ( )( ) 8
62
24
32
4
3
yx
yx
yx
==
( )0ney
Analizar la diferencia que existe entre nxminus y nx)(minus
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EXPONENTES y RADICALES
22
Solucioacuten
xdefactoresn xdefactoresn minus
(minus=minus nx x x x x ) y )())()(()( xxxxx n minusminusminusminus=minus
Tambieacuten es conveniente hacer notar la diferencia que existe entre nax y ( )nax donde
xdefactoresn axdefactoresn
aaxn = x x x x y )())()(()( axaxaxaxax n = 222 EL EXPONENTE CERO Cuando las reglas de los exponentes son vaacutelidas y si el exponente es igual a 0 (cero) se tiene lo siguiente nnnnn xxxxxx 1)1()1(00 ==== + Como nn xxx 10 = en consecuencia ( )010 ne= xx
El exponente cero si 10 0 =ne xentoncesx En general cualquier base distinta de cero elevada a la potencia cero es igual a 1 Tambieacuten
10 === minusn
nnn
xxxx
Si todas las bases son distintas de cero y el exponente es cero entonces
a) 150 =
b) ( ) 17 0 =minus
c) ( ) 1303 =ax
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EXPONENTES y RADICALES
23
d) 121 0
975 =
zyx
NOTA
00 es indefinido esto a consecuencia de que infin=00 223 EXPONENTES NEGATIVOS Las reglas de los exponentes son vaacutelidas tambieacuten cuando eacutestos son enteros negativos ( )010 ne=== +minusminus xxxxx nnnn
ya que nxminus 1=nx y nx
1 1=nx
Ademaacutes se define a nxminus como el reciacuteproco de nx Por lo que
nn
xx 1
=minus y nn x
x=
minus
1
NOTA De acuerdo con la definicioacuten de exponentes negativos la base no puede ser 0
Asiacute una expresioacuten como 50minus no estaacute definida por lo que
infin=minus50 Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 25minus b) 310minus c) ( ) 32 minusx d) 13 minusx e) 35xxminus f) ( ) 23 minusminusx Solucioacuten
a) 251
515 2
2 ==minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
24
b) 1000
110110 3
3 ==minus
c) ( ) 33
3
81
21)2(
xxx ==minus
d) 33 1 =minusx xx31
=
e) 2
23535 1x
xxxx === minus+minusminus
f) ( ) 6)2)(3(23 xxx == minusminusminusminus
2224 REGLA DEL COCIENTE Si m y n son enteros entonces
( )0 ne= minus xxxx nm
n
m
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 3
5
aa
b) 11
5
xxminus
c) 5
34
minusxxx
d) ( )( )23
32
x
x e) 4
32
xyyx
f) 3
432
32
minus
baaba
Solucioacuten
a) 2353
5
aaaa
== minus
b) 16
1611511
5 1x
xxxx
=== minusminusminusminus
c) 12575
7
5
34
5
34
xxxxx
xx
xxx
====minusminus
+
minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
25
d) ( )( )
( )( )
( )( ) 10666
6
23
32
23
32
===== minus xxxx
xx
xx
o en su caso
( )( )
( )( )
( )( ) 16
6
23
32
23
32
===xx
xx
xx
e) yxyxyxyyxx
xyyx
==== minusminusminusminusminus 11431243124
32
f) ( )( )
( )
)3)(4()3)(3()3)(middot2(
)3)(3(3)(2
3432
3323
432
32
baaba
baa
babaaba minusminusminus
==
= =
minus
1296
96
baaba
1221321
1215
96 1ba
bababa
=== minusminusminus
o en su caso
=
=
minusminus 3
45
323
432
32
baba
baaba
= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317
33
17
317 1111babababa
ba ===
=minusminus
El siguiente teorema indica que una fraccioacuten elevada a una potencia negativa se puede invertir y elevarse asiacute a una potencia positiva
Teorema Si n es un nuacutemero entero entonces
( )00 nene
=
minus
yxny
yx nn
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EXPONENTES y RADICALES
26
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 4
32 minus
b)
3
2
xy
c) 4
3
2
32
minus
minus
yx
d)
minus
432
32
baaba
Solucioacuten
a) ( )( ) 16
8123
23
32
4
444
==
=
minus
b) ( )( ) 6
9
)3)(2(
)3)(3(
32
333
2
33
3
2
yx
yx
yx
yx
xy
===
=
minus
c) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ====
=
minusminusminusminusminus
minus )4)(2(
)4)(3(
424
434
42
434
2
34
3
2
1681
23
23
23
32
xy
xy
xy
xy
yx
= 8
12
1681
xy minus
= 1681
8
12
xy minus
= 1281681
yx
d) ( )( )
( )( ) ===
=
minusminusminus
minusminus
)3)(3()3)(2(
)3)(4()3)(5(
332
3453
32
4323
432
32
baba
baba
babaa
baaba
= =minus 96
1215
baba 321912)6(15 babbaa =minusminusminus
23 RESUMEN Si no existen divisiones entre 0 (cero) entonces para enteros m y n cualesquiera
a) nmnm xxx += b) ( ) mnnm xx =
c) ( ) nnn yxxy =
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EXPONENTES y RADICALES
27
d) n
nn
yx
yx
=
e) ( )010 ne= xx
f) n
n
xx 1
=minus
g) nmn
m
xxx minus=
h) nn
xy
yx
=
minus
NOTA Las mismas reglas se aplican cuando los exponentes son variables 24 EJERCICIOS
1 Simplificar las siguientes expresiones
a) 24 b) 32 )(x c) 12 )( minusminusx d) 5
2
xx
e) 25minus
Solucioacuten a) 16)4)(4(42 == b) 6)3)(2(32 )( xxx == c) 2)1)(2(12 )( xxx == minusminusminusminus
o tambieacuten
222
22
21212
1)1)(1())(1(
111
111
)(1)( xxx
xxxx
x =======minusminus
minusminus
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EXPONENTES y RADICALES
28
d) 2253)5()3(53
5
3 1))((x
xxxxxxx
===== minusminusminus+minus
o tambieacuten 1 1 1
21
))()()()(())()((
))()()()(())()((
xxxxxxxxx
xxxxxxxx
== = 2minusx
e) 12
2 25251
515 minusminus ===
2 Simplificar las siguientes expresiones considerando que ninguno de los
denominadores sea igual a cero
a) 32
29
)(mmm minus
b) 43
32 )2(minus
minus
aaa
c)043
22 )3(xxx
xminus
minus
d) 042
2022
)4()(4
minus
minus
minusminus
yxyxx
e) 2
25
44
93
minus
minus
minusminus
yxyx
Solucioacuten
a) mmmmm
mm
mmm
===== minusminusminus
1676
7
)3)(2(
29
32
29
)(
b) 561
6
43
)3)(2(3
43
32 88))(8())(2()2(aa
aa
aaa
aaa
====minus
minus
minus
minus
minus
minus
c) 37
4
3)4(
4
322
4
043
22
91
99)1()1()3()3(
xxx
xxx
xxx
xxxx
====minus
minus
d) =minus
=minus
=minus
minus +minus
minus
minus
1)1(4
1)1(4
)4()(4 0222
042
2022 xxyx
yxx
414
1)1)(1(4
minus=minus
=minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
29
e) ( )( )
( )( ) =minusminus
=minusminus
=
minusminus
minus
minus
minusminus
minusminus
minus 224
225
225
2442
25
44
39
93
93
yxyx
yxyx
yxyx
= ( )
( ) ( ) ( )2
48
410
22242
22252
99
813
)()9( xyxyx
yxyx
==minusminus
minus
minus
minus
minus
3 Encontrar el valor numeacuterico de las siguientes expresiones con 2minus=x y
3=y para
a) 23 yx b) 3
3
yxminus
c) ( ) 22 minusxy d) 23 minusminus xy e) 23)( minusminus xy
Solucioacuten
a) ( ) ( ) 72)9)(8(32 2323 minus=minus=minus=yx
b) ( ) ( ) ( )( ) =minus
=minus
==minus
2781
3211
33333
3
yxyx
2161
2161
minus=minus
=
c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241
3211
2222
22 =minus
==minus
xyxy
d) ( ) ( )( ) 16
2722723 4
4323 minus=
minusminus
=minusminus=minus minusminusxy 1627
minus=
e) ( )( ) 4
272
3)()( 2
3
2
323 =
minus=
minus=minus minus
xyxy
3 RADICALES Con frecuencia en los problemas de aplicacioacuten se debe determinar queacute nuacutemero se puede elevar al cuadrado para obtener un segundo nuacutemero a Si se puede determinar a ese nuacutemero se le llama una raiacutez cuadrada de a Por ejemplo
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EXPONENTES y RADICALES
30
a) 0es una raiacutez cuadrada de 0 porque 002 = b) 4 es una raiacutez cuadrada de 16 porque 1642 = c) 4minus es una raiacutez cuadrada de 16 porque 16)4( 2 =minus d) xy7 es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy = e) xy7minus es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy =minus
31 RAIacuteZ CUADRADA DE a El nuacutemero b es una raiacutez cuadrada de a cuando 2 ab = Todos los nuacutemeros positivos tienen dos nuacutemeros reales que son sus raiacuteces cuadradas uno positivo y otro negativo El uacutenico nuacutemero con una sola raiacutez cuadrada es 0 cuya raiacutez cuadrada es 0 Ejemplo Determinar las dos raiacuteces cuadradas de 121 Solucioacuten Las dos raiacuteces cuadradas de 121son 11y 11minus porque 121112 = y 121)11( 2 =minus 32 RAIacuteZ CUADRADA PRINCIPAL Se llama signo radical al siacutembolo y a x el nuacutemero que se encuentran dentro del signo radical que se llama radicando Siacute x gt 0 la raiacutez principal de x es la raiacutez cuadrada positiva de x y se
representa con x La raiacutez cuadrada principal de 0 es 0 00 = NOTA Por definicioacuten el cuadrado principal de un nuacutemero positivo siempre es positivo Aunque 5 y 5minus son raiacuteces cuadradas de 25 soacutelo 5es la raiacutez cuadrada principal El radical
25 representa 5 El radical 25minus representa 5minus Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuadradas
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EXPONENTES y RADICALES
31
a) 11 =
b) 981 =
c) 981 minus=minus
d) 21
41=
e) 114
12116
minus=minus
f) 20040 =
g) 03000090 minus=minus
Los nuacutemeros como 1600491694 y se llaman cuadrados enteros porque cada uno de ellos es el cuadrado de un entero La raiacutez cuadrada de todo cuadrado entero es un nuacutemero racional Por ejemplo
4016007494163924 =====
Las raiacuteces cuadradas de muchos enteros positivos no son nuacutemeros racionales Por ejemplo 11 es un nuacutemero irracional cuyo valor aproximado ( )asymp es de
31662473 )3166247311( asymp Donde el siacutembolo asympquiere decir ldquoaproximadamente igual ardquo
Las raiacuteces cuadradas de nuacutemeros negativos no son nuacutemeros reales Por
ejemplo 9minus no es nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado al cuadrado es igual a 9minus Las raiacuteces cuadradas de los nuacutemeros negativos originan un conjunto llamado nuacutemeros imaginarios
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EXPONENTES y RADICALES
32
33 RAIacuteCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE Si 0nex el nuacutemero positivo 2x tiene por raiacuteces a x y a xminus porque 22)( xx =
y 22)( xx =minus Para indicar la raiacutez cuadrada positiva de 2x se debe saber si x es positivo o negativo Si 0gtx se puede escribir lo siguiente xx =2 donde 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es x Si x es negativo entonces 0gtminus x es xx minus=2 ya que 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es xminus Si no se sabe si x es positivo o negativo se pueden emplear siacutembolos de valor absoluto para garantizar que 2x sea positiva xx =2 siempre y cuando x sea cualquier nuacutemero real Si x es cualquier nuacutemero real entonces
a) xxxx 44)4(16 22 ===
Por lo que escribir 216x en la forma 2)4( x siendo que ( ) 22 164 xx = Puesto que x podriacutea ser negativo Los siacutembolos de valor absoluto son necesarios ya que en el producto x4 4 es una constante positiva
b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2
+=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 4+x puede ser negativo por ejemplo cuando
8minus=x
c) ( ) 1112 22 +=+=++ xxxx Porque ( )211 +=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 1+x puede ser negativo por ejemplo cuando 5minus=x
d) 24 xx = porque ( ) 422 xx = Como 02 gex
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EXPONENTES y RADICALES
33
34 RAIacuteCES CUacuteBICAS La raiacutez cuacutebica de x se representa por yx =3 si xy =3 Por ejemplo el nuacutemero 64 tiene dos raiacuteces cuadradas que son nuacutemeros reales 8 y 8minus Sin embargo 64 soacutelo tiene una raiacutez cuacutebica real que es el valor de 4 porque 4 es el uacutenico nuacutemero real cuyo cubo es 64 Por lo tanto
xx =3 3 Como todos los nuacutemeros reales tienen una y solo una raiacutez cuacutebica real algunas
de las cuales son positivas y otras negativas no es necesario emplear siacutembolos de valor absoluto al simplificar las raiacuteces cuacutebicas
Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuacutebicas
a) 3 125 b) 3
81
c) 3 327xminus d) 33
3
278
ba
minus e) 3 632160 yx
Solucioacuten a) 51253 = porque 125)5)(5)(5(53 ==
b) 21
81
3 = porque 81
21
21
21
21 3
=
=
c) xx 3273 3 minus=minus porque ( ) ( )( )( ) 33 273333 xxxxx minus=minusminusminus=minus
d) ba
ba
32
278
33
3
minus=minus porque 3
33
278
32
32
32
32
ba
ba
ba
ba
ba
minus=
minus
minus
minus=
minus
e) 23 63 602160 xyyx = porque
( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==
35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS Asiacute como existen raiacuteces cuadradas y raiacuteces cuacutebicas tambieacuten existen las raiacuteces cuartas raiacuteces quintas raiacuteces sextas etc
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EXPONENTES y RADICALES
34
Cuando n es impar el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez impar Como todo nuacutemero real tiene una y soacutelo una raiacutez eneacutesima real cuando n es impar no es necesario preocuparse por los siacutembolos de valor absoluto cuando se calculan raiacuteces impares Ejemplo
a) 33243 5 55 == porque 24335 = b) ( ) xxx 227128 77 7 minus=minus=minus porque ( ) 77 1282 xx minus=minus
Cuando n es par el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez par En este caso habraacute una raiacutez eneacutesima positiva y una eneacutesima negativa Por ejemplo las dos raiacuteces sextas reales de 729 son 3 y 3minus porque
72936 = y 729)3( 6 =minus Cuando se determinan raiacuteces reales se emplean con frecuencia los siacutembolos de valor absoluto para garantizar que la eneacutesima raiacutez sea positiva Ejemplos
a) ( ) 3334 4 =minus=minus
Tambieacuten se puede simplificar de la siguiente manera ( ) 3813 44 4 ==minus
b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===
Los siacutembolos de valor absoluto garantizan que la raiacutez sexta es positiva
Generalizando se tienen las siguientes reglas Si x es un nuacutemero real y 1gtn entonces
a) Si n es un nuacutemero impar natural xxn n =
b) Si n es un nuacutemero par natural xxn n =
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EXPONENTES y RADICALES
35
NOTA En el radical n x a n se le llama el iacutendice u orden del radical Cuando el iacutendice
es 2 el radical es una raiacutez cuadrada y se acostumbra no escribir el iacutendice Cuando n es par ( )2gtn y 0ltx el radical n x no es un nuacutemero real Por
ejemplo 4 81minus no es un nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado a la cuarta potencia es 81minus
Ejemplo
a) 56254 = porque 62554 = b) 2325 minus=minus porque ( ) 322 5 minus=minus
c) 21
641
6 = porque 641
21 6
=
36 EXPONENTES RACIONALES Los exponentes enteros positivos indican la cantidad de veces que se debe usar una base como factor en un producto Por ejemplo 5x significa que x se debe emplear cinco veces como factor ya que xdefactores5 ( )( )( )( )( )xxxxxx =5 Es posible elevar bases a potencias racionales (fraccionarias) cuando se desea que dichos exponentes respeten las mismas reglas que los coeficientes enteros el
cuadrado de 21
10 debe ser 10 porque
( )
10101010 1
2
212
21
===
Se mantiene la base y se multiplican los exponentes
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
36
( ) 112
212
21
=
=
10101 =
Sin embargo hay que recordar que ( ) 1010
2=
Como 2
21
10
y ( )210 son iguales a 10
Con esto se puede definir que 21
10 es igual a 10 Igualmente para
a) 31
10 como 3 10
b) 41
10 como 4 10
c) 51
10 como 5 10
Por lo que si n es un nuacutemero natural mayor que 1 y n x es un nuacutemero real entonces
nn xx =1
Ejemplo Resolver los siguientes radicales
a) 21
9 b) 21
916
minus c) ( )3
1
64minus d) 41
16 e) 51
321
f) 8
1
0 g) ( )51
232xminus
h) ( )41
xyz
Solucioacuten
a) 3999 221
===
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EXPONENTES y RADICALES
37
b) 34
916
916
916
221
minus=minus=minus=
minus
c) ( ) 46464 331
minus=minus=minus
d) 21616 441
==
e) 21
321
321
551
==
f) 000 881
==
g) ( ) xxx 23232 5 551
5 minus=minus=minus
h) ( ) 441
xyzxyz =
i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes
fraccionarios
a) 4 5xyz b) 52
15xy
Solucioacuten
a) ( )41
4 55 xyzxyz =
b) 51
2
5
2
1515
=xyxy
37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1
Se puede ampliar la definicioacuten de nx1
para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
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EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
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EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
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EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
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EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
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EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
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EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
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EXPONENTES y RADICALES
15
2 EXPONENTES Considere el caso especial de la multiplicacioacuten en el que todos los factores que se van a multiplicar son iguales Asiacute si se multiplica el nuacutemero a por siacute mismo se obtiene el producto aa el cual generalmente se escribe en la forma 2a En general el producto de n factores cada uno de ellos iguales a a se escribe en la forma na recibiendo el nuacutemero entero y positivo n el nombre de exponente En este caso se dice que se ha elevado el nuacutemero a a la eneacutesima potencia operacioacuten que recibe el nombre de potenciacioacuten 21 POTENCIACIOacuteN La potencia de una expresioacuten algebraica es la misma expresioacuten o el resultado de tomarla como factor dos o maacutes veces Asiacute la primera potencia de una expresioacuten es la misma expresioacuten como se indica a continuacioacuten aa 2)2( 1 =
La segunda potencia o cuadrado de una expresioacuten es el resultado de tomarla como factor dos veces Por lo que
22 4))()(2)(2()2)(2()2( aaaaaa === El cubo de una expresioacuten es el resultado de tomarla como factor tres veces por
ejemplo
33 8))()()(2)(2)(2()2)(2)(2()2( aaaaaaaa === Y en forma general ( ) ( )( )( ) vecesnaaaa n
2222 = 211 POTENCIA DE UN MONOMIO Para elevar un monomio a una potencia se eleva su coeficiente a esa potencia y se multiplica el exponente de cada letra por el exponente que indica la potencia Ejemplo Desarrollar las siguientes expresiones algebraicas
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EXPONENTES y RADICALES
16
a) 32 )3( ab b) 343 )5( yxminus c) 4
232
minus
yx
d) 5
43
32
minus ba
Solucioacuten
a) 63)3)(2()3)(1(32333 2727)()()3()3( bababaab ===
b) =minus=minus=minus )3)(4()3)(3(34333343 125)()()5()5( yxyxyx 129125 yxminus
c) 8
4
)4)(2(
)4)(1(
4
44
2
44
2 8116
)()(
)3()2(
32
32
yx
yx
yx
yx
=minus
=
minus=
minus
d) ( ) ( ) =minus
=
minus=
minus 543
5
5543
5543
)3()2(
32
32 bababa
2015)5)(4()5)(3(5
5
24332)()(
)3()2( baba minus=
minus=
2111 PROPIEDADES
Los exponentes indican multiplicacioacuten repetida por ejemplo
a) yy =2 ))(( yyy =
Donde 2y se lee y a la segunda potencia o y al cuadrado b) zz =3 z z = ))()(( zzz se lee z a la tercera potencia o z al cubo c) xx =4 x x x = ))()()(( xxxx se lee x a la cuarta potencia
22 EXPONENTES DE NUacuteMEROS REALES
Si n es un nuacutemero real entonces
xdefactoresn
xxn = x x x
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EXPONENTES y RADICALES
17
La expresioacuten exponencial nx se llama potencia de x y se lee x a la eneacutesima potencia o x a la potencia n En la expresioacuten siguiente
nx Exponente
Base
x se llama base y n es el exponente Un exponente que sea nuacutemero natural indica cuaacutentas veces se usa la base de expresioacuten exponencial como factor de un producto por ejemplo
a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==
b) 32)2)(2)(2)(2)(2()2( 5 minus=minusminusminusminusminus=minus
c) 4()4(4 44 minus=minus=minus 4 4 256)4 minus=
d) 256)4)(4)(4)(4()4( 4 =minusminusminusminus=minus
e) 33
81
21
21
21
21 aaaaa =
=
f) 22
251
51
51
51 bbbb =
minus
minus=
minus
g) 35 xx indica que x se debe usar cinco veces como factor y 3x representa que x se debe usar tres veces como factor por lo que 35 xx se usaraacute ocho veces como factor xdefactores5 xdefactores3
xxx =35 x x x x X x x x =
xdefactores8 = x x x x x x x x
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EXPONENTES y RADICALES
18
En general
xdefactoresm xdefactoresn
xxx nm = x x x X x x x x = xdefactoresnm + = x x x x x Por lo tanto para multiplicar expresiones exponenciales con la misma base se
mantiene esa base y se suman los exponentes 221 REGLA DEL PRODUCTO PARA EXPONENTES
Si m y n son nuacutemeros naturales entonces nmnm xxx += Para desarrollar la regla de divisioacuten de las expresiones exponenciales se procede de la siguiente manera
nmnmnmn
mn
m
xxxxx
xxx minusminus+minus ===
= )(1
Por tanto para dividir dos expresiones exponenciales con la misma base distinta de cero se mantiene la base y se resta el exponente del denominador del exponente del numerador
NOTA La regla del producto para exponentes soacutelo se aplica a expresiones exponenciales que tienen la misma base Por ejemplo la expresioacuten 35 yx no se puede simplificar porque las bases de las expresiones exponenciales son diferentes Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)
minus 34
418 xx
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EXPONENTES y RADICALES
19
Solucioacuten
a) 16511511 xxxx == +
b) 15645645 aaaaa == ++
c) 67244324432443 bababbaababa === ++
d) 7343434 248
418
418 xxxxxx minus=
minus=
minus=
minus +
Para encontrar otra propiedad se simplificaraacute la expresioacuten 34 )(x que significa
que 4x se eleva al cubo o en su caso 4x se repite tres veces 4x 4x 4x Donde 4x 4x 4x
=34 )(x 4x 4x 4x = ( x x x x )( x x x x )( x x x x )= = 12444 xx =++ En general se tiene que
nxdefactoresn nxdefactoresmn
mnm xx =)( mx mx mx = x x x x x x = mnx
Asiacute para elevar una expresioacuten exponencial a una potencia se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes
Ejemplo
Si se eleva x3 al cuadrado se obtiene el siguiente resultado
( ) )3(3 2 xx = ))()(3)(3()3( xxx = = 222 93 xx = En general se tiene que
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EXPONENTES y RADICALES
20
xydefactoresn xdefactoresn ( ) ))()(( xyxyxyxy n = xxxxy =)( x yyy y = nn yx
ydefactoresn
Otra propiedad por ejemplo es elevar al cubo la siguiente expresioacuten 3x
Solucioacuten
33
3 xx=
3x
3x
= 27)3)(3)(3(
))()(( 3xxxx=
En general se tiene lo siguiente
yxdefactoresn
=
yx
yx
yx
yx
n
yx
( )0ney
xdefactoresn
)())()(()())()((
yyyyxxxx
= = n
n
yx
ydefactoresn Los tres resultados anteriores se llaman reglas de potencias de los exponentes Si m y n son nuacutemeros naturales entonces
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EXPONENTES y RADICALES
21
( ) mnnm xx = nnn yxxy =)( n
nn
yx
yx
=
)0( ney
Ejemplos
Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) ( )323 b) ( )511x c) ( )632xx d) ( ) ( )2342 xx e) ( )32 yx f) ( )443 yx g) 4
2
yx
h) 2
4
3
yx
Solucioacuten
a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===
b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==
c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +
d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +
e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===
f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==
g) ( ) 8
4
42
44
2 yx
yx
yx
==
( )0ney
h) ( )( ) 8
62
24
32
4
3
yx
yx
yx
==
( )0ney
Analizar la diferencia que existe entre nxminus y nx)(minus
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EXPONENTES y RADICALES
22
Solucioacuten
xdefactoresn xdefactoresn minus
(minus=minus nx x x x x ) y )())()(()( xxxxx n minusminusminusminus=minus
Tambieacuten es conveniente hacer notar la diferencia que existe entre nax y ( )nax donde
xdefactoresn axdefactoresn
aaxn = x x x x y )())()(()( axaxaxaxax n = 222 EL EXPONENTE CERO Cuando las reglas de los exponentes son vaacutelidas y si el exponente es igual a 0 (cero) se tiene lo siguiente nnnnn xxxxxx 1)1()1(00 ==== + Como nn xxx 10 = en consecuencia ( )010 ne= xx
El exponente cero si 10 0 =ne xentoncesx En general cualquier base distinta de cero elevada a la potencia cero es igual a 1 Tambieacuten
10 === minusn
nnn
xxxx
Si todas las bases son distintas de cero y el exponente es cero entonces
a) 150 =
b) ( ) 17 0 =minus
c) ( ) 1303 =ax
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EXPONENTES y RADICALES
23
d) 121 0
975 =
zyx
NOTA
00 es indefinido esto a consecuencia de que infin=00 223 EXPONENTES NEGATIVOS Las reglas de los exponentes son vaacutelidas tambieacuten cuando eacutestos son enteros negativos ( )010 ne=== +minusminus xxxxx nnnn
ya que nxminus 1=nx y nx
1 1=nx
Ademaacutes se define a nxminus como el reciacuteproco de nx Por lo que
nn
xx 1
=minus y nn x
x=
minus
1
NOTA De acuerdo con la definicioacuten de exponentes negativos la base no puede ser 0
Asiacute una expresioacuten como 50minus no estaacute definida por lo que
infin=minus50 Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 25minus b) 310minus c) ( ) 32 minusx d) 13 minusx e) 35xxminus f) ( ) 23 minusminusx Solucioacuten
a) 251
515 2
2 ==minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
24
b) 1000
110110 3
3 ==minus
c) ( ) 33
3
81
21)2(
xxx ==minus
d) 33 1 =minusx xx31
=
e) 2
23535 1x
xxxx === minus+minusminus
f) ( ) 6)2)(3(23 xxx == minusminusminusminus
2224 REGLA DEL COCIENTE Si m y n son enteros entonces
( )0 ne= minus xxxx nm
n
m
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 3
5
aa
b) 11
5
xxminus
c) 5
34
minusxxx
d) ( )( )23
32
x
x e) 4
32
xyyx
f) 3
432
32
minus
baaba
Solucioacuten
a) 2353
5
aaaa
== minus
b) 16
1611511
5 1x
xxxx
=== minusminusminusminus
c) 12575
7
5
34
5
34
xxxxx
xx
xxx
====minusminus
+
minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
25
d) ( )( )
( )( )
( )( ) 10666
6
23
32
23
32
===== minus xxxx
xx
xx
o en su caso
( )( )
( )( )
( )( ) 16
6
23
32
23
32
===xx
xx
xx
e) yxyxyxyyxx
xyyx
==== minusminusminusminusminus 11431243124
32
f) ( )( )
( )
)3)(4()3)(3()3)(middot2(
)3)(3(3)(2
3432
3323
432
32
baaba
baa
babaaba minusminusminus
==
= =
minus
1296
96
baaba
1221321
1215
96 1ba
bababa
=== minusminusminus
o en su caso
=
=
minusminus 3
45
323
432
32
baba
baaba
= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317
33
17
317 1111babababa
ba ===
=minusminus
El siguiente teorema indica que una fraccioacuten elevada a una potencia negativa se puede invertir y elevarse asiacute a una potencia positiva
Teorema Si n es un nuacutemero entero entonces
( )00 nene
=
minus
yxny
yx nn
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
26
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 4
32 minus
b)
3
2
xy
c) 4
3
2
32
minus
minus
yx
d)
minus
432
32
baaba
Solucioacuten
a) ( )( ) 16
8123
23
32
4
444
==
=
minus
b) ( )( ) 6
9
)3)(2(
)3)(3(
32
333
2
33
3
2
yx
yx
yx
yx
xy
===
=
minus
c) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ====
=
minusminusminusminusminus
minus )4)(2(
)4)(3(
424
434
42
434
2
34
3
2
1681
23
23
23
32
xy
xy
xy
xy
yx
= 8
12
1681
xy minus
= 1681
8
12
xy minus
= 1281681
yx
d) ( )( )
( )( ) ===
=
minusminusminus
minusminus
)3)(3()3)(2(
)3)(4()3)(5(
332
3453
32
4323
432
32
baba
baba
babaa
baaba
= =minus 96
1215
baba 321912)6(15 babbaa =minusminusminus
23 RESUMEN Si no existen divisiones entre 0 (cero) entonces para enteros m y n cualesquiera
a) nmnm xxx += b) ( ) mnnm xx =
c) ( ) nnn yxxy =
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
27
d) n
nn
yx
yx
=
e) ( )010 ne= xx
f) n
n
xx 1
=minus
g) nmn
m
xxx minus=
h) nn
xy
yx
=
minus
NOTA Las mismas reglas se aplican cuando los exponentes son variables 24 EJERCICIOS
1 Simplificar las siguientes expresiones
a) 24 b) 32 )(x c) 12 )( minusminusx d) 5
2
xx
e) 25minus
Solucioacuten a) 16)4)(4(42 == b) 6)3)(2(32 )( xxx == c) 2)1)(2(12 )( xxx == minusminusminusminus
o tambieacuten
222
22
21212
1)1)(1())(1(
111
111
)(1)( xxx
xxxx
x =======minusminus
minusminus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
28
d) 2253)5()3(53
5
3 1))((x
xxxxxxx
===== minusminusminus+minus
o tambieacuten 1 1 1
21
))()()()(())()((
))()()()(())()((
xxxxxxxxx
xxxxxxxx
== = 2minusx
e) 12
2 25251
515 minusminus ===
2 Simplificar las siguientes expresiones considerando que ninguno de los
denominadores sea igual a cero
a) 32
29
)(mmm minus
b) 43
32 )2(minus
minus
aaa
c)043
22 )3(xxx
xminus
minus
d) 042
2022
)4()(4
minus
minus
minusminus
yxyxx
e) 2
25
44
93
minus
minus
minusminus
yxyx
Solucioacuten
a) mmmmm
mm
mmm
===== minusminusminus
1676
7
)3)(2(
29
32
29
)(
b) 561
6
43
)3)(2(3
43
32 88))(8())(2()2(aa
aa
aaa
aaa
====minus
minus
minus
minus
minus
minus
c) 37
4
3)4(
4
322
4
043
22
91
99)1()1()3()3(
xxx
xxx
xxx
xxxx
====minus
minus
d) =minus
=minus
=minus
minus +minus
minus
minus
1)1(4
1)1(4
)4()(4 0222
042
2022 xxyx
yxx
414
1)1)(1(4
minus=minus
=minus
=
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
29
e) ( )( )
( )( ) =minusminus
=minusminus
=
minusminus
minus
minus
minusminus
minusminus
minus 224
225
225
2442
25
44
39
93
93
yxyx
yxyx
yxyx
= ( )
( ) ( ) ( )2
48
410
22242
22252
99
813
)()9( xyxyx
yxyx
==minusminus
minus
minus
minus
minus
3 Encontrar el valor numeacuterico de las siguientes expresiones con 2minus=x y
3=y para
a) 23 yx b) 3
3
yxminus
c) ( ) 22 minusxy d) 23 minusminus xy e) 23)( minusminus xy
Solucioacuten
a) ( ) ( ) 72)9)(8(32 2323 minus=minus=minus=yx
b) ( ) ( ) ( )( ) =minus
=minus
==minus
2781
3211
33333
3
yxyx
2161
2161
minus=minus
=
c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241
3211
2222
22 =minus
==minus
xyxy
d) ( ) ( )( ) 16
2722723 4
4323 minus=
minusminus
=minusminus=minus minusminusxy 1627
minus=
e) ( )( ) 4
272
3)()( 2
3
2
323 =
minus=
minus=minus minus
xyxy
3 RADICALES Con frecuencia en los problemas de aplicacioacuten se debe determinar queacute nuacutemero se puede elevar al cuadrado para obtener un segundo nuacutemero a Si se puede determinar a ese nuacutemero se le llama una raiacutez cuadrada de a Por ejemplo
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
30
a) 0es una raiacutez cuadrada de 0 porque 002 = b) 4 es una raiacutez cuadrada de 16 porque 1642 = c) 4minus es una raiacutez cuadrada de 16 porque 16)4( 2 =minus d) xy7 es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy = e) xy7minus es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy =minus
31 RAIacuteZ CUADRADA DE a El nuacutemero b es una raiacutez cuadrada de a cuando 2 ab = Todos los nuacutemeros positivos tienen dos nuacutemeros reales que son sus raiacuteces cuadradas uno positivo y otro negativo El uacutenico nuacutemero con una sola raiacutez cuadrada es 0 cuya raiacutez cuadrada es 0 Ejemplo Determinar las dos raiacuteces cuadradas de 121 Solucioacuten Las dos raiacuteces cuadradas de 121son 11y 11minus porque 121112 = y 121)11( 2 =minus 32 RAIacuteZ CUADRADA PRINCIPAL Se llama signo radical al siacutembolo y a x el nuacutemero que se encuentran dentro del signo radical que se llama radicando Siacute x gt 0 la raiacutez principal de x es la raiacutez cuadrada positiva de x y se
representa con x La raiacutez cuadrada principal de 0 es 0 00 = NOTA Por definicioacuten el cuadrado principal de un nuacutemero positivo siempre es positivo Aunque 5 y 5minus son raiacuteces cuadradas de 25 soacutelo 5es la raiacutez cuadrada principal El radical
25 representa 5 El radical 25minus representa 5minus Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuadradas
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
31
a) 11 =
b) 981 =
c) 981 minus=minus
d) 21
41=
e) 114
12116
minus=minus
f) 20040 =
g) 03000090 minus=minus
Los nuacutemeros como 1600491694 y se llaman cuadrados enteros porque cada uno de ellos es el cuadrado de un entero La raiacutez cuadrada de todo cuadrado entero es un nuacutemero racional Por ejemplo
4016007494163924 =====
Las raiacuteces cuadradas de muchos enteros positivos no son nuacutemeros racionales Por ejemplo 11 es un nuacutemero irracional cuyo valor aproximado ( )asymp es de
31662473 )3166247311( asymp Donde el siacutembolo asympquiere decir ldquoaproximadamente igual ardquo
Las raiacuteces cuadradas de nuacutemeros negativos no son nuacutemeros reales Por
ejemplo 9minus no es nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado al cuadrado es igual a 9minus Las raiacuteces cuadradas de los nuacutemeros negativos originan un conjunto llamado nuacutemeros imaginarios
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
32
33 RAIacuteCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE Si 0nex el nuacutemero positivo 2x tiene por raiacuteces a x y a xminus porque 22)( xx =
y 22)( xx =minus Para indicar la raiacutez cuadrada positiva de 2x se debe saber si x es positivo o negativo Si 0gtx se puede escribir lo siguiente xx =2 donde 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es x Si x es negativo entonces 0gtminus x es xx minus=2 ya que 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es xminus Si no se sabe si x es positivo o negativo se pueden emplear siacutembolos de valor absoluto para garantizar que 2x sea positiva xx =2 siempre y cuando x sea cualquier nuacutemero real Si x es cualquier nuacutemero real entonces
a) xxxx 44)4(16 22 ===
Por lo que escribir 216x en la forma 2)4( x siendo que ( ) 22 164 xx = Puesto que x podriacutea ser negativo Los siacutembolos de valor absoluto son necesarios ya que en el producto x4 4 es una constante positiva
b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2
+=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 4+x puede ser negativo por ejemplo cuando
8minus=x
c) ( ) 1112 22 +=+=++ xxxx Porque ( )211 +=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 1+x puede ser negativo por ejemplo cuando 5minus=x
d) 24 xx = porque ( ) 422 xx = Como 02 gex
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
33
34 RAIacuteCES CUacuteBICAS La raiacutez cuacutebica de x se representa por yx =3 si xy =3 Por ejemplo el nuacutemero 64 tiene dos raiacuteces cuadradas que son nuacutemeros reales 8 y 8minus Sin embargo 64 soacutelo tiene una raiacutez cuacutebica real que es el valor de 4 porque 4 es el uacutenico nuacutemero real cuyo cubo es 64 Por lo tanto
xx =3 3 Como todos los nuacutemeros reales tienen una y solo una raiacutez cuacutebica real algunas
de las cuales son positivas y otras negativas no es necesario emplear siacutembolos de valor absoluto al simplificar las raiacuteces cuacutebicas
Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuacutebicas
a) 3 125 b) 3
81
c) 3 327xminus d) 33
3
278
ba
minus e) 3 632160 yx
Solucioacuten a) 51253 = porque 125)5)(5)(5(53 ==
b) 21
81
3 = porque 81
21
21
21
21 3
=
=
c) xx 3273 3 minus=minus porque ( ) ( )( )( ) 33 273333 xxxxx minus=minusminusminus=minus
d) ba
ba
32
278
33
3
minus=minus porque 3
33
278
32
32
32
32
ba
ba
ba
ba
ba
minus=
minus
minus
minus=
minus
e) 23 63 602160 xyyx = porque
( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==
35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS Asiacute como existen raiacuteces cuadradas y raiacuteces cuacutebicas tambieacuten existen las raiacuteces cuartas raiacuteces quintas raiacuteces sextas etc
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
34
Cuando n es impar el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez impar Como todo nuacutemero real tiene una y soacutelo una raiacutez eneacutesima real cuando n es impar no es necesario preocuparse por los siacutembolos de valor absoluto cuando se calculan raiacuteces impares Ejemplo
a) 33243 5 55 == porque 24335 = b) ( ) xxx 227128 77 7 minus=minus=minus porque ( ) 77 1282 xx minus=minus
Cuando n es par el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez par En este caso habraacute una raiacutez eneacutesima positiva y una eneacutesima negativa Por ejemplo las dos raiacuteces sextas reales de 729 son 3 y 3minus porque
72936 = y 729)3( 6 =minus Cuando se determinan raiacuteces reales se emplean con frecuencia los siacutembolos de valor absoluto para garantizar que la eneacutesima raiacutez sea positiva Ejemplos
a) ( ) 3334 4 =minus=minus
Tambieacuten se puede simplificar de la siguiente manera ( ) 3813 44 4 ==minus
b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===
Los siacutembolos de valor absoluto garantizan que la raiacutez sexta es positiva
Generalizando se tienen las siguientes reglas Si x es un nuacutemero real y 1gtn entonces
a) Si n es un nuacutemero impar natural xxn n =
b) Si n es un nuacutemero par natural xxn n =
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
35
NOTA En el radical n x a n se le llama el iacutendice u orden del radical Cuando el iacutendice
es 2 el radical es una raiacutez cuadrada y se acostumbra no escribir el iacutendice Cuando n es par ( )2gtn y 0ltx el radical n x no es un nuacutemero real Por
ejemplo 4 81minus no es un nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado a la cuarta potencia es 81minus
Ejemplo
a) 56254 = porque 62554 = b) 2325 minus=minus porque ( ) 322 5 minus=minus
c) 21
641
6 = porque 641
21 6
=
36 EXPONENTES RACIONALES Los exponentes enteros positivos indican la cantidad de veces que se debe usar una base como factor en un producto Por ejemplo 5x significa que x se debe emplear cinco veces como factor ya que xdefactores5 ( )( )( )( )( )xxxxxx =5 Es posible elevar bases a potencias racionales (fraccionarias) cuando se desea que dichos exponentes respeten las mismas reglas que los coeficientes enteros el
cuadrado de 21
10 debe ser 10 porque
( )
10101010 1
2
212
21
===
Se mantiene la base y se multiplican los exponentes
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
36
( ) 112
212
21
=
=
10101 =
Sin embargo hay que recordar que ( ) 1010
2=
Como 2
21
10
y ( )210 son iguales a 10
Con esto se puede definir que 21
10 es igual a 10 Igualmente para
a) 31
10 como 3 10
b) 41
10 como 4 10
c) 51
10 como 5 10
Por lo que si n es un nuacutemero natural mayor que 1 y n x es un nuacutemero real entonces
nn xx =1
Ejemplo Resolver los siguientes radicales
a) 21
9 b) 21
916
minus c) ( )3
1
64minus d) 41
16 e) 51
321
f) 8
1
0 g) ( )51
232xminus
h) ( )41
xyz
Solucioacuten
a) 3999 221
===
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
37
b) 34
916
916
916
221
minus=minus=minus=
minus
c) ( ) 46464 331
minus=minus=minus
d) 21616 441
==
e) 21
321
321
551
==
f) 000 881
==
g) ( ) xxx 23232 5 551
5 minus=minus=minus
h) ( ) 441
xyzxyz =
i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes
fraccionarios
a) 4 5xyz b) 52
15xy
Solucioacuten
a) ( )41
4 55 xyzxyz =
b) 51
2
5
2
1515
=xyxy
37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1
Se puede ampliar la definicioacuten de nx1
para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
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EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
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EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
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EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
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EXPONENTES y RADICALES
16
a) 32 )3( ab b) 343 )5( yxminus c) 4
232
minus
yx
d) 5
43
32
minus ba
Solucioacuten
a) 63)3)(2()3)(1(32333 2727)()()3()3( bababaab ===
b) =minus=minus=minus )3)(4()3)(3(34333343 125)()()5()5( yxyxyx 129125 yxminus
c) 8
4
)4)(2(
)4)(1(
4
44
2
44
2 8116
)()(
)3()2(
32
32
yx
yx
yx
yx
=minus
=
minus=
minus
d) ( ) ( ) =minus
=
minus=
minus 543
5
5543
5543
)3()2(
32
32 bababa
2015)5)(4()5)(3(5
5
24332)()(
)3()2( baba minus=
minus=
2111 PROPIEDADES
Los exponentes indican multiplicacioacuten repetida por ejemplo
a) yy =2 ))(( yyy =
Donde 2y se lee y a la segunda potencia o y al cuadrado b) zz =3 z z = ))()(( zzz se lee z a la tercera potencia o z al cubo c) xx =4 x x x = ))()()(( xxxx se lee x a la cuarta potencia
22 EXPONENTES DE NUacuteMEROS REALES
Si n es un nuacutemero real entonces
xdefactoresn
xxn = x x x
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
17
La expresioacuten exponencial nx se llama potencia de x y se lee x a la eneacutesima potencia o x a la potencia n En la expresioacuten siguiente
nx Exponente
Base
x se llama base y n es el exponente Un exponente que sea nuacutemero natural indica cuaacutentas veces se usa la base de expresioacuten exponencial como factor de un producto por ejemplo
a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==
b) 32)2)(2)(2)(2)(2()2( 5 minus=minusminusminusminusminus=minus
c) 4()4(4 44 minus=minus=minus 4 4 256)4 minus=
d) 256)4)(4)(4)(4()4( 4 =minusminusminusminus=minus
e) 33
81
21
21
21
21 aaaaa =
=
f) 22
251
51
51
51 bbbb =
minus
minus=
minus
g) 35 xx indica que x se debe usar cinco veces como factor y 3x representa que x se debe usar tres veces como factor por lo que 35 xx se usaraacute ocho veces como factor xdefactores5 xdefactores3
xxx =35 x x x x X x x x =
xdefactores8 = x x x x x x x x
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
18
En general
xdefactoresm xdefactoresn
xxx nm = x x x X x x x x = xdefactoresnm + = x x x x x Por lo tanto para multiplicar expresiones exponenciales con la misma base se
mantiene esa base y se suman los exponentes 221 REGLA DEL PRODUCTO PARA EXPONENTES
Si m y n son nuacutemeros naturales entonces nmnm xxx += Para desarrollar la regla de divisioacuten de las expresiones exponenciales se procede de la siguiente manera
nmnmnmn
mn
m
xxxxx
xxx minusminus+minus ===
= )(1
Por tanto para dividir dos expresiones exponenciales con la misma base distinta de cero se mantiene la base y se resta el exponente del denominador del exponente del numerador
NOTA La regla del producto para exponentes soacutelo se aplica a expresiones exponenciales que tienen la misma base Por ejemplo la expresioacuten 35 yx no se puede simplificar porque las bases de las expresiones exponenciales son diferentes Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)
minus 34
418 xx
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
19
Solucioacuten
a) 16511511 xxxx == +
b) 15645645 aaaaa == ++
c) 67244324432443 bababbaababa === ++
d) 7343434 248
418
418 xxxxxx minus=
minus=
minus=
minus +
Para encontrar otra propiedad se simplificaraacute la expresioacuten 34 )(x que significa
que 4x se eleva al cubo o en su caso 4x se repite tres veces 4x 4x 4x Donde 4x 4x 4x
=34 )(x 4x 4x 4x = ( x x x x )( x x x x )( x x x x )= = 12444 xx =++ En general se tiene que
nxdefactoresn nxdefactoresmn
mnm xx =)( mx mx mx = x x x x x x = mnx
Asiacute para elevar una expresioacuten exponencial a una potencia se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes
Ejemplo
Si se eleva x3 al cuadrado se obtiene el siguiente resultado
( ) )3(3 2 xx = ))()(3)(3()3( xxx = = 222 93 xx = En general se tiene que
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
20
xydefactoresn xdefactoresn ( ) ))()(( xyxyxyxy n = xxxxy =)( x yyy y = nn yx
ydefactoresn
Otra propiedad por ejemplo es elevar al cubo la siguiente expresioacuten 3x
Solucioacuten
33
3 xx=
3x
3x
= 27)3)(3)(3(
))()(( 3xxxx=
En general se tiene lo siguiente
yxdefactoresn
=
yx
yx
yx
yx
n
yx
( )0ney
xdefactoresn
)())()(()())()((
yyyyxxxx
= = n
n
yx
ydefactoresn Los tres resultados anteriores se llaman reglas de potencias de los exponentes Si m y n son nuacutemeros naturales entonces
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
21
( ) mnnm xx = nnn yxxy =)( n
nn
yx
yx
=
)0( ney
Ejemplos
Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) ( )323 b) ( )511x c) ( )632xx d) ( ) ( )2342 xx e) ( )32 yx f) ( )443 yx g) 4
2
yx
h) 2
4
3
yx
Solucioacuten
a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===
b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==
c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +
d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +
e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===
f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==
g) ( ) 8
4
42
44
2 yx
yx
yx
==
( )0ney
h) ( )( ) 8
62
24
32
4
3
yx
yx
yx
==
( )0ney
Analizar la diferencia que existe entre nxminus y nx)(minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
22
Solucioacuten
xdefactoresn xdefactoresn minus
(minus=minus nx x x x x ) y )())()(()( xxxxx n minusminusminusminus=minus
Tambieacuten es conveniente hacer notar la diferencia que existe entre nax y ( )nax donde
xdefactoresn axdefactoresn
aaxn = x x x x y )())()(()( axaxaxaxax n = 222 EL EXPONENTE CERO Cuando las reglas de los exponentes son vaacutelidas y si el exponente es igual a 0 (cero) se tiene lo siguiente nnnnn xxxxxx 1)1()1(00 ==== + Como nn xxx 10 = en consecuencia ( )010 ne= xx
El exponente cero si 10 0 =ne xentoncesx En general cualquier base distinta de cero elevada a la potencia cero es igual a 1 Tambieacuten
10 === minusn
nnn
xxxx
Si todas las bases son distintas de cero y el exponente es cero entonces
a) 150 =
b) ( ) 17 0 =minus
c) ( ) 1303 =ax
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
23
d) 121 0
975 =
zyx
NOTA
00 es indefinido esto a consecuencia de que infin=00 223 EXPONENTES NEGATIVOS Las reglas de los exponentes son vaacutelidas tambieacuten cuando eacutestos son enteros negativos ( )010 ne=== +minusminus xxxxx nnnn
ya que nxminus 1=nx y nx
1 1=nx
Ademaacutes se define a nxminus como el reciacuteproco de nx Por lo que
nn
xx 1
=minus y nn x
x=
minus
1
NOTA De acuerdo con la definicioacuten de exponentes negativos la base no puede ser 0
Asiacute una expresioacuten como 50minus no estaacute definida por lo que
infin=minus50 Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 25minus b) 310minus c) ( ) 32 minusx d) 13 minusx e) 35xxminus f) ( ) 23 minusminusx Solucioacuten
a) 251
515 2
2 ==minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
24
b) 1000
110110 3
3 ==minus
c) ( ) 33
3
81
21)2(
xxx ==minus
d) 33 1 =minusx xx31
=
e) 2
23535 1x
xxxx === minus+minusminus
f) ( ) 6)2)(3(23 xxx == minusminusminusminus
2224 REGLA DEL COCIENTE Si m y n son enteros entonces
( )0 ne= minus xxxx nm
n
m
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 3
5
aa
b) 11
5
xxminus
c) 5
34
minusxxx
d) ( )( )23
32
x
x e) 4
32
xyyx
f) 3
432
32
minus
baaba
Solucioacuten
a) 2353
5
aaaa
== minus
b) 16
1611511
5 1x
xxxx
=== minusminusminusminus
c) 12575
7
5
34
5
34
xxxxx
xx
xxx
====minusminus
+
minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
25
d) ( )( )
( )( )
( )( ) 10666
6
23
32
23
32
===== minus xxxx
xx
xx
o en su caso
( )( )
( )( )
( )( ) 16
6
23
32
23
32
===xx
xx
xx
e) yxyxyxyyxx
xyyx
==== minusminusminusminusminus 11431243124
32
f) ( )( )
( )
)3)(4()3)(3()3)(middot2(
)3)(3(3)(2
3432
3323
432
32
baaba
baa
babaaba minusminusminus
==
= =
minus
1296
96
baaba
1221321
1215
96 1ba
bababa
=== minusminusminus
o en su caso
=
=
minusminus 3
45
323
432
32
baba
baaba
= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317
33
17
317 1111babababa
ba ===
=minusminus
El siguiente teorema indica que una fraccioacuten elevada a una potencia negativa se puede invertir y elevarse asiacute a una potencia positiva
Teorema Si n es un nuacutemero entero entonces
( )00 nene
=
minus
yxny
yx nn
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EXPONENTES y RADICALES
26
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 4
32 minus
b)
3
2
xy
c) 4
3
2
32
minus
minus
yx
d)
minus
432
32
baaba
Solucioacuten
a) ( )( ) 16
8123
23
32
4
444
==
=
minus
b) ( )( ) 6
9
)3)(2(
)3)(3(
32
333
2
33
3
2
yx
yx
yx
yx
xy
===
=
minus
c) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ====
=
minusminusminusminusminus
minus )4)(2(
)4)(3(
424
434
42
434
2
34
3
2
1681
23
23
23
32
xy
xy
xy
xy
yx
= 8
12
1681
xy minus
= 1681
8
12
xy minus
= 1281681
yx
d) ( )( )
( )( ) ===
=
minusminusminus
minusminus
)3)(3()3)(2(
)3)(4()3)(5(
332
3453
32
4323
432
32
baba
baba
babaa
baaba
= =minus 96
1215
baba 321912)6(15 babbaa =minusminusminus
23 RESUMEN Si no existen divisiones entre 0 (cero) entonces para enteros m y n cualesquiera
a) nmnm xxx += b) ( ) mnnm xx =
c) ( ) nnn yxxy =
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EXPONENTES y RADICALES
27
d) n
nn
yx
yx
=
e) ( )010 ne= xx
f) n
n
xx 1
=minus
g) nmn
m
xxx minus=
h) nn
xy
yx
=
minus
NOTA Las mismas reglas se aplican cuando los exponentes son variables 24 EJERCICIOS
1 Simplificar las siguientes expresiones
a) 24 b) 32 )(x c) 12 )( minusminusx d) 5
2
xx
e) 25minus
Solucioacuten a) 16)4)(4(42 == b) 6)3)(2(32 )( xxx == c) 2)1)(2(12 )( xxx == minusminusminusminus
o tambieacuten
222
22
21212
1)1)(1())(1(
111
111
)(1)( xxx
xxxx
x =======minusminus
minusminus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
28
d) 2253)5()3(53
5
3 1))((x
xxxxxxx
===== minusminusminus+minus
o tambieacuten 1 1 1
21
))()()()(())()((
))()()()(())()((
xxxxxxxxx
xxxxxxxx
== = 2minusx
e) 12
2 25251
515 minusminus ===
2 Simplificar las siguientes expresiones considerando que ninguno de los
denominadores sea igual a cero
a) 32
29
)(mmm minus
b) 43
32 )2(minus
minus
aaa
c)043
22 )3(xxx
xminus
minus
d) 042
2022
)4()(4
minus
minus
minusminus
yxyxx
e) 2
25
44
93
minus
minus
minusminus
yxyx
Solucioacuten
a) mmmmm
mm
mmm
===== minusminusminus
1676
7
)3)(2(
29
32
29
)(
b) 561
6
43
)3)(2(3
43
32 88))(8())(2()2(aa
aa
aaa
aaa
====minus
minus
minus
minus
minus
minus
c) 37
4
3)4(
4
322
4
043
22
91
99)1()1()3()3(
xxx
xxx
xxx
xxxx
====minus
minus
d) =minus
=minus
=minus
minus +minus
minus
minus
1)1(4
1)1(4
)4()(4 0222
042
2022 xxyx
yxx
414
1)1)(1(4
minus=minus
=minus
=
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
29
e) ( )( )
( )( ) =minusminus
=minusminus
=
minusminus
minus
minus
minusminus
minusminus
minus 224
225
225
2442
25
44
39
93
93
yxyx
yxyx
yxyx
= ( )
( ) ( ) ( )2
48
410
22242
22252
99
813
)()9( xyxyx
yxyx
==minusminus
minus
minus
minus
minus
3 Encontrar el valor numeacuterico de las siguientes expresiones con 2minus=x y
3=y para
a) 23 yx b) 3
3
yxminus
c) ( ) 22 minusxy d) 23 minusminus xy e) 23)( minusminus xy
Solucioacuten
a) ( ) ( ) 72)9)(8(32 2323 minus=minus=minus=yx
b) ( ) ( ) ( )( ) =minus
=minus
==minus
2781
3211
33333
3
yxyx
2161
2161
minus=minus
=
c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241
3211
2222
22 =minus
==minus
xyxy
d) ( ) ( )( ) 16
2722723 4
4323 minus=
minusminus
=minusminus=minus minusminusxy 1627
minus=
e) ( )( ) 4
272
3)()( 2
3
2
323 =
minus=
minus=minus minus
xyxy
3 RADICALES Con frecuencia en los problemas de aplicacioacuten se debe determinar queacute nuacutemero se puede elevar al cuadrado para obtener un segundo nuacutemero a Si se puede determinar a ese nuacutemero se le llama una raiacutez cuadrada de a Por ejemplo
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EXPONENTES y RADICALES
30
a) 0es una raiacutez cuadrada de 0 porque 002 = b) 4 es una raiacutez cuadrada de 16 porque 1642 = c) 4minus es una raiacutez cuadrada de 16 porque 16)4( 2 =minus d) xy7 es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy = e) xy7minus es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy =minus
31 RAIacuteZ CUADRADA DE a El nuacutemero b es una raiacutez cuadrada de a cuando 2 ab = Todos los nuacutemeros positivos tienen dos nuacutemeros reales que son sus raiacuteces cuadradas uno positivo y otro negativo El uacutenico nuacutemero con una sola raiacutez cuadrada es 0 cuya raiacutez cuadrada es 0 Ejemplo Determinar las dos raiacuteces cuadradas de 121 Solucioacuten Las dos raiacuteces cuadradas de 121son 11y 11minus porque 121112 = y 121)11( 2 =minus 32 RAIacuteZ CUADRADA PRINCIPAL Se llama signo radical al siacutembolo y a x el nuacutemero que se encuentran dentro del signo radical que se llama radicando Siacute x gt 0 la raiacutez principal de x es la raiacutez cuadrada positiva de x y se
representa con x La raiacutez cuadrada principal de 0 es 0 00 = NOTA Por definicioacuten el cuadrado principal de un nuacutemero positivo siempre es positivo Aunque 5 y 5minus son raiacuteces cuadradas de 25 soacutelo 5es la raiacutez cuadrada principal El radical
25 representa 5 El radical 25minus representa 5minus Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuadradas
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EXPONENTES y RADICALES
31
a) 11 =
b) 981 =
c) 981 minus=minus
d) 21
41=
e) 114
12116
minus=minus
f) 20040 =
g) 03000090 minus=minus
Los nuacutemeros como 1600491694 y se llaman cuadrados enteros porque cada uno de ellos es el cuadrado de un entero La raiacutez cuadrada de todo cuadrado entero es un nuacutemero racional Por ejemplo
4016007494163924 =====
Las raiacuteces cuadradas de muchos enteros positivos no son nuacutemeros racionales Por ejemplo 11 es un nuacutemero irracional cuyo valor aproximado ( )asymp es de
31662473 )3166247311( asymp Donde el siacutembolo asympquiere decir ldquoaproximadamente igual ardquo
Las raiacuteces cuadradas de nuacutemeros negativos no son nuacutemeros reales Por
ejemplo 9minus no es nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado al cuadrado es igual a 9minus Las raiacuteces cuadradas de los nuacutemeros negativos originan un conjunto llamado nuacutemeros imaginarios
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
32
33 RAIacuteCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE Si 0nex el nuacutemero positivo 2x tiene por raiacuteces a x y a xminus porque 22)( xx =
y 22)( xx =minus Para indicar la raiacutez cuadrada positiva de 2x se debe saber si x es positivo o negativo Si 0gtx se puede escribir lo siguiente xx =2 donde 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es x Si x es negativo entonces 0gtminus x es xx minus=2 ya que 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es xminus Si no se sabe si x es positivo o negativo se pueden emplear siacutembolos de valor absoluto para garantizar que 2x sea positiva xx =2 siempre y cuando x sea cualquier nuacutemero real Si x es cualquier nuacutemero real entonces
a) xxxx 44)4(16 22 ===
Por lo que escribir 216x en la forma 2)4( x siendo que ( ) 22 164 xx = Puesto que x podriacutea ser negativo Los siacutembolos de valor absoluto son necesarios ya que en el producto x4 4 es una constante positiva
b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2
+=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 4+x puede ser negativo por ejemplo cuando
8minus=x
c) ( ) 1112 22 +=+=++ xxxx Porque ( )211 +=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 1+x puede ser negativo por ejemplo cuando 5minus=x
d) 24 xx = porque ( ) 422 xx = Como 02 gex
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
33
34 RAIacuteCES CUacuteBICAS La raiacutez cuacutebica de x se representa por yx =3 si xy =3 Por ejemplo el nuacutemero 64 tiene dos raiacuteces cuadradas que son nuacutemeros reales 8 y 8minus Sin embargo 64 soacutelo tiene una raiacutez cuacutebica real que es el valor de 4 porque 4 es el uacutenico nuacutemero real cuyo cubo es 64 Por lo tanto
xx =3 3 Como todos los nuacutemeros reales tienen una y solo una raiacutez cuacutebica real algunas
de las cuales son positivas y otras negativas no es necesario emplear siacutembolos de valor absoluto al simplificar las raiacuteces cuacutebicas
Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuacutebicas
a) 3 125 b) 3
81
c) 3 327xminus d) 33
3
278
ba
minus e) 3 632160 yx
Solucioacuten a) 51253 = porque 125)5)(5)(5(53 ==
b) 21
81
3 = porque 81
21
21
21
21 3
=
=
c) xx 3273 3 minus=minus porque ( ) ( )( )( ) 33 273333 xxxxx minus=minusminusminus=minus
d) ba
ba
32
278
33
3
minus=minus porque 3
33
278
32
32
32
32
ba
ba
ba
ba
ba
minus=
minus
minus
minus=
minus
e) 23 63 602160 xyyx = porque
( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==
35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS Asiacute como existen raiacuteces cuadradas y raiacuteces cuacutebicas tambieacuten existen las raiacuteces cuartas raiacuteces quintas raiacuteces sextas etc
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
34
Cuando n es impar el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez impar Como todo nuacutemero real tiene una y soacutelo una raiacutez eneacutesima real cuando n es impar no es necesario preocuparse por los siacutembolos de valor absoluto cuando se calculan raiacuteces impares Ejemplo
a) 33243 5 55 == porque 24335 = b) ( ) xxx 227128 77 7 minus=minus=minus porque ( ) 77 1282 xx minus=minus
Cuando n es par el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez par En este caso habraacute una raiacutez eneacutesima positiva y una eneacutesima negativa Por ejemplo las dos raiacuteces sextas reales de 729 son 3 y 3minus porque
72936 = y 729)3( 6 =minus Cuando se determinan raiacuteces reales se emplean con frecuencia los siacutembolos de valor absoluto para garantizar que la eneacutesima raiacutez sea positiva Ejemplos
a) ( ) 3334 4 =minus=minus
Tambieacuten se puede simplificar de la siguiente manera ( ) 3813 44 4 ==minus
b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===
Los siacutembolos de valor absoluto garantizan que la raiacutez sexta es positiva
Generalizando se tienen las siguientes reglas Si x es un nuacutemero real y 1gtn entonces
a) Si n es un nuacutemero impar natural xxn n =
b) Si n es un nuacutemero par natural xxn n =
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
35
NOTA En el radical n x a n se le llama el iacutendice u orden del radical Cuando el iacutendice
es 2 el radical es una raiacutez cuadrada y se acostumbra no escribir el iacutendice Cuando n es par ( )2gtn y 0ltx el radical n x no es un nuacutemero real Por
ejemplo 4 81minus no es un nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado a la cuarta potencia es 81minus
Ejemplo
a) 56254 = porque 62554 = b) 2325 minus=minus porque ( ) 322 5 minus=minus
c) 21
641
6 = porque 641
21 6
=
36 EXPONENTES RACIONALES Los exponentes enteros positivos indican la cantidad de veces que se debe usar una base como factor en un producto Por ejemplo 5x significa que x se debe emplear cinco veces como factor ya que xdefactores5 ( )( )( )( )( )xxxxxx =5 Es posible elevar bases a potencias racionales (fraccionarias) cuando se desea que dichos exponentes respeten las mismas reglas que los coeficientes enteros el
cuadrado de 21
10 debe ser 10 porque
( )
10101010 1
2
212
21
===
Se mantiene la base y se multiplican los exponentes
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
36
( ) 112
212
21
=
=
10101 =
Sin embargo hay que recordar que ( ) 1010
2=
Como 2
21
10
y ( )210 son iguales a 10
Con esto se puede definir que 21
10 es igual a 10 Igualmente para
a) 31
10 como 3 10
b) 41
10 como 4 10
c) 51
10 como 5 10
Por lo que si n es un nuacutemero natural mayor que 1 y n x es un nuacutemero real entonces
nn xx =1
Ejemplo Resolver los siguientes radicales
a) 21
9 b) 21
916
minus c) ( )3
1
64minus d) 41
16 e) 51
321
f) 8
1
0 g) ( )51
232xminus
h) ( )41
xyz
Solucioacuten
a) 3999 221
===
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
37
b) 34
916
916
916
221
minus=minus=minus=
minus
c) ( ) 46464 331
minus=minus=minus
d) 21616 441
==
e) 21
321
321
551
==
f) 000 881
==
g) ( ) xxx 23232 5 551
5 minus=minus=minus
h) ( ) 441
xyzxyz =
i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes
fraccionarios
a) 4 5xyz b) 52
15xy
Solucioacuten
a) ( )41
4 55 xyzxyz =
b) 51
2
5
2
1515
=xyxy
37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1
Se puede ampliar la definicioacuten de nx1
para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
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EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
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EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
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EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
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EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
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EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
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EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
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EXPONENTES y RADICALES
17
La expresioacuten exponencial nx se llama potencia de x y se lee x a la eneacutesima potencia o x a la potencia n En la expresioacuten siguiente
nx Exponente
Base
x se llama base y n es el exponente Un exponente que sea nuacutemero natural indica cuaacutentas veces se usa la base de expresioacuten exponencial como factor de un producto por ejemplo
a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==
b) 32)2)(2)(2)(2)(2()2( 5 minus=minusminusminusminusminus=minus
c) 4()4(4 44 minus=minus=minus 4 4 256)4 minus=
d) 256)4)(4)(4)(4()4( 4 =minusminusminusminus=minus
e) 33
81
21
21
21
21 aaaaa =
=
f) 22
251
51
51
51 bbbb =
minus
minus=
minus
g) 35 xx indica que x se debe usar cinco veces como factor y 3x representa que x se debe usar tres veces como factor por lo que 35 xx se usaraacute ocho veces como factor xdefactores5 xdefactores3
xxx =35 x x x x X x x x =
xdefactores8 = x x x x x x x x
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EXPONENTES y RADICALES
18
En general
xdefactoresm xdefactoresn
xxx nm = x x x X x x x x = xdefactoresnm + = x x x x x Por lo tanto para multiplicar expresiones exponenciales con la misma base se
mantiene esa base y se suman los exponentes 221 REGLA DEL PRODUCTO PARA EXPONENTES
Si m y n son nuacutemeros naturales entonces nmnm xxx += Para desarrollar la regla de divisioacuten de las expresiones exponenciales se procede de la siguiente manera
nmnmnmn
mn
m
xxxxx
xxx minusminus+minus ===
= )(1
Por tanto para dividir dos expresiones exponenciales con la misma base distinta de cero se mantiene la base y se resta el exponente del denominador del exponente del numerador
NOTA La regla del producto para exponentes soacutelo se aplica a expresiones exponenciales que tienen la misma base Por ejemplo la expresioacuten 35 yx no se puede simplificar porque las bases de las expresiones exponenciales son diferentes Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)
minus 34
418 xx
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EXPONENTES y RADICALES
19
Solucioacuten
a) 16511511 xxxx == +
b) 15645645 aaaaa == ++
c) 67244324432443 bababbaababa === ++
d) 7343434 248
418
418 xxxxxx minus=
minus=
minus=
minus +
Para encontrar otra propiedad se simplificaraacute la expresioacuten 34 )(x que significa
que 4x se eleva al cubo o en su caso 4x se repite tres veces 4x 4x 4x Donde 4x 4x 4x
=34 )(x 4x 4x 4x = ( x x x x )( x x x x )( x x x x )= = 12444 xx =++ En general se tiene que
nxdefactoresn nxdefactoresmn
mnm xx =)( mx mx mx = x x x x x x = mnx
Asiacute para elevar una expresioacuten exponencial a una potencia se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes
Ejemplo
Si se eleva x3 al cuadrado se obtiene el siguiente resultado
( ) )3(3 2 xx = ))()(3)(3()3( xxx = = 222 93 xx = En general se tiene que
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EXPONENTES y RADICALES
20
xydefactoresn xdefactoresn ( ) ))()(( xyxyxyxy n = xxxxy =)( x yyy y = nn yx
ydefactoresn
Otra propiedad por ejemplo es elevar al cubo la siguiente expresioacuten 3x
Solucioacuten
33
3 xx=
3x
3x
= 27)3)(3)(3(
))()(( 3xxxx=
En general se tiene lo siguiente
yxdefactoresn
=
yx
yx
yx
yx
n
yx
( )0ney
xdefactoresn
)())()(()())()((
yyyyxxxx
= = n
n
yx
ydefactoresn Los tres resultados anteriores se llaman reglas de potencias de los exponentes Si m y n son nuacutemeros naturales entonces
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EXPONENTES y RADICALES
21
( ) mnnm xx = nnn yxxy =)( n
nn
yx
yx
=
)0( ney
Ejemplos
Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) ( )323 b) ( )511x c) ( )632xx d) ( ) ( )2342 xx e) ( )32 yx f) ( )443 yx g) 4
2
yx
h) 2
4
3
yx
Solucioacuten
a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===
b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==
c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +
d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +
e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===
f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==
g) ( ) 8
4
42
44
2 yx
yx
yx
==
( )0ney
h) ( )( ) 8
62
24
32
4
3
yx
yx
yx
==
( )0ney
Analizar la diferencia que existe entre nxminus y nx)(minus
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EXPONENTES y RADICALES
22
Solucioacuten
xdefactoresn xdefactoresn minus
(minus=minus nx x x x x ) y )())()(()( xxxxx n minusminusminusminus=minus
Tambieacuten es conveniente hacer notar la diferencia que existe entre nax y ( )nax donde
xdefactoresn axdefactoresn
aaxn = x x x x y )())()(()( axaxaxaxax n = 222 EL EXPONENTE CERO Cuando las reglas de los exponentes son vaacutelidas y si el exponente es igual a 0 (cero) se tiene lo siguiente nnnnn xxxxxx 1)1()1(00 ==== + Como nn xxx 10 = en consecuencia ( )010 ne= xx
El exponente cero si 10 0 =ne xentoncesx En general cualquier base distinta de cero elevada a la potencia cero es igual a 1 Tambieacuten
10 === minusn
nnn
xxxx
Si todas las bases son distintas de cero y el exponente es cero entonces
a) 150 =
b) ( ) 17 0 =minus
c) ( ) 1303 =ax
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EXPONENTES y RADICALES
23
d) 121 0
975 =
zyx
NOTA
00 es indefinido esto a consecuencia de que infin=00 223 EXPONENTES NEGATIVOS Las reglas de los exponentes son vaacutelidas tambieacuten cuando eacutestos son enteros negativos ( )010 ne=== +minusminus xxxxx nnnn
ya que nxminus 1=nx y nx
1 1=nx
Ademaacutes se define a nxminus como el reciacuteproco de nx Por lo que
nn
xx 1
=minus y nn x
x=
minus
1
NOTA De acuerdo con la definicioacuten de exponentes negativos la base no puede ser 0
Asiacute una expresioacuten como 50minus no estaacute definida por lo que
infin=minus50 Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 25minus b) 310minus c) ( ) 32 minusx d) 13 minusx e) 35xxminus f) ( ) 23 minusminusx Solucioacuten
a) 251
515 2
2 ==minus
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EXPONENTES y RADICALES
24
b) 1000
110110 3
3 ==minus
c) ( ) 33
3
81
21)2(
xxx ==minus
d) 33 1 =minusx xx31
=
e) 2
23535 1x
xxxx === minus+minusminus
f) ( ) 6)2)(3(23 xxx == minusminusminusminus
2224 REGLA DEL COCIENTE Si m y n son enteros entonces
( )0 ne= minus xxxx nm
n
m
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 3
5
aa
b) 11
5
xxminus
c) 5
34
minusxxx
d) ( )( )23
32
x
x e) 4
32
xyyx
f) 3
432
32
minus
baaba
Solucioacuten
a) 2353
5
aaaa
== minus
b) 16
1611511
5 1x
xxxx
=== minusminusminusminus
c) 12575
7
5
34
5
34
xxxxx
xx
xxx
====minusminus
+
minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
25
d) ( )( )
( )( )
( )( ) 10666
6
23
32
23
32
===== minus xxxx
xx
xx
o en su caso
( )( )
( )( )
( )( ) 16
6
23
32
23
32
===xx
xx
xx
e) yxyxyxyyxx
xyyx
==== minusminusminusminusminus 11431243124
32
f) ( )( )
( )
)3)(4()3)(3()3)(middot2(
)3)(3(3)(2
3432
3323
432
32
baaba
baa
babaaba minusminusminus
==
= =
minus
1296
96
baaba
1221321
1215
96 1ba
bababa
=== minusminusminus
o en su caso
=
=
minusminus 3
45
323
432
32
baba
baaba
= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317
33
17
317 1111babababa
ba ===
=minusminus
El siguiente teorema indica que una fraccioacuten elevada a una potencia negativa se puede invertir y elevarse asiacute a una potencia positiva
Teorema Si n es un nuacutemero entero entonces
( )00 nene
=
minus
yxny
yx nn
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
26
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 4
32 minus
b)
3
2
xy
c) 4
3
2
32
minus
minus
yx
d)
minus
432
32
baaba
Solucioacuten
a) ( )( ) 16
8123
23
32
4
444
==
=
minus
b) ( )( ) 6
9
)3)(2(
)3)(3(
32
333
2
33
3
2
yx
yx
yx
yx
xy
===
=
minus
c) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ====
=
minusminusminusminusminus
minus )4)(2(
)4)(3(
424
434
42
434
2
34
3
2
1681
23
23
23
32
xy
xy
xy
xy
yx
= 8
12
1681
xy minus
= 1681
8
12
xy minus
= 1281681
yx
d) ( )( )
( )( ) ===
=
minusminusminus
minusminus
)3)(3()3)(2(
)3)(4()3)(5(
332
3453
32
4323
432
32
baba
baba
babaa
baaba
= =minus 96
1215
baba 321912)6(15 babbaa =minusminusminus
23 RESUMEN Si no existen divisiones entre 0 (cero) entonces para enteros m y n cualesquiera
a) nmnm xxx += b) ( ) mnnm xx =
c) ( ) nnn yxxy =
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EXPONENTES y RADICALES
27
d) n
nn
yx
yx
=
e) ( )010 ne= xx
f) n
n
xx 1
=minus
g) nmn
m
xxx minus=
h) nn
xy
yx
=
minus
NOTA Las mismas reglas se aplican cuando los exponentes son variables 24 EJERCICIOS
1 Simplificar las siguientes expresiones
a) 24 b) 32 )(x c) 12 )( minusminusx d) 5
2
xx
e) 25minus
Solucioacuten a) 16)4)(4(42 == b) 6)3)(2(32 )( xxx == c) 2)1)(2(12 )( xxx == minusminusminusminus
o tambieacuten
222
22
21212
1)1)(1())(1(
111
111
)(1)( xxx
xxxx
x =======minusminus
minusminus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
28
d) 2253)5()3(53
5
3 1))((x
xxxxxxx
===== minusminusminus+minus
o tambieacuten 1 1 1
21
))()()()(())()((
))()()()(())()((
xxxxxxxxx
xxxxxxxx
== = 2minusx
e) 12
2 25251
515 minusminus ===
2 Simplificar las siguientes expresiones considerando que ninguno de los
denominadores sea igual a cero
a) 32
29
)(mmm minus
b) 43
32 )2(minus
minus
aaa
c)043
22 )3(xxx
xminus
minus
d) 042
2022
)4()(4
minus
minus
minusminus
yxyxx
e) 2
25
44
93
minus
minus
minusminus
yxyx
Solucioacuten
a) mmmmm
mm
mmm
===== minusminusminus
1676
7
)3)(2(
29
32
29
)(
b) 561
6
43
)3)(2(3
43
32 88))(8())(2()2(aa
aa
aaa
aaa
====minus
minus
minus
minus
minus
minus
c) 37
4
3)4(
4
322
4
043
22
91
99)1()1()3()3(
xxx
xxx
xxx
xxxx
====minus
minus
d) =minus
=minus
=minus
minus +minus
minus
minus
1)1(4
1)1(4
)4()(4 0222
042
2022 xxyx
yxx
414
1)1)(1(4
minus=minus
=minus
=
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
29
e) ( )( )
( )( ) =minusminus
=minusminus
=
minusminus
minus
minus
minusminus
minusminus
minus 224
225
225
2442
25
44
39
93
93
yxyx
yxyx
yxyx
= ( )
( ) ( ) ( )2
48
410
22242
22252
99
813
)()9( xyxyx
yxyx
==minusminus
minus
minus
minus
minus
3 Encontrar el valor numeacuterico de las siguientes expresiones con 2minus=x y
3=y para
a) 23 yx b) 3
3
yxminus
c) ( ) 22 minusxy d) 23 minusminus xy e) 23)( minusminus xy
Solucioacuten
a) ( ) ( ) 72)9)(8(32 2323 minus=minus=minus=yx
b) ( ) ( ) ( )( ) =minus
=minus
==minus
2781
3211
33333
3
yxyx
2161
2161
minus=minus
=
c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241
3211
2222
22 =minus
==minus
xyxy
d) ( ) ( )( ) 16
2722723 4
4323 minus=
minusminus
=minusminus=minus minusminusxy 1627
minus=
e) ( )( ) 4
272
3)()( 2
3
2
323 =
minus=
minus=minus minus
xyxy
3 RADICALES Con frecuencia en los problemas de aplicacioacuten se debe determinar queacute nuacutemero se puede elevar al cuadrado para obtener un segundo nuacutemero a Si se puede determinar a ese nuacutemero se le llama una raiacutez cuadrada de a Por ejemplo
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EXPONENTES y RADICALES
30
a) 0es una raiacutez cuadrada de 0 porque 002 = b) 4 es una raiacutez cuadrada de 16 porque 1642 = c) 4minus es una raiacutez cuadrada de 16 porque 16)4( 2 =minus d) xy7 es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy = e) xy7minus es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy =minus
31 RAIacuteZ CUADRADA DE a El nuacutemero b es una raiacutez cuadrada de a cuando 2 ab = Todos los nuacutemeros positivos tienen dos nuacutemeros reales que son sus raiacuteces cuadradas uno positivo y otro negativo El uacutenico nuacutemero con una sola raiacutez cuadrada es 0 cuya raiacutez cuadrada es 0 Ejemplo Determinar las dos raiacuteces cuadradas de 121 Solucioacuten Las dos raiacuteces cuadradas de 121son 11y 11minus porque 121112 = y 121)11( 2 =minus 32 RAIacuteZ CUADRADA PRINCIPAL Se llama signo radical al siacutembolo y a x el nuacutemero que se encuentran dentro del signo radical que se llama radicando Siacute x gt 0 la raiacutez principal de x es la raiacutez cuadrada positiva de x y se
representa con x La raiacutez cuadrada principal de 0 es 0 00 = NOTA Por definicioacuten el cuadrado principal de un nuacutemero positivo siempre es positivo Aunque 5 y 5minus son raiacuteces cuadradas de 25 soacutelo 5es la raiacutez cuadrada principal El radical
25 representa 5 El radical 25minus representa 5minus Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuadradas
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EXPONENTES y RADICALES
31
a) 11 =
b) 981 =
c) 981 minus=minus
d) 21
41=
e) 114
12116
minus=minus
f) 20040 =
g) 03000090 minus=minus
Los nuacutemeros como 1600491694 y se llaman cuadrados enteros porque cada uno de ellos es el cuadrado de un entero La raiacutez cuadrada de todo cuadrado entero es un nuacutemero racional Por ejemplo
4016007494163924 =====
Las raiacuteces cuadradas de muchos enteros positivos no son nuacutemeros racionales Por ejemplo 11 es un nuacutemero irracional cuyo valor aproximado ( )asymp es de
31662473 )3166247311( asymp Donde el siacutembolo asympquiere decir ldquoaproximadamente igual ardquo
Las raiacuteces cuadradas de nuacutemeros negativos no son nuacutemeros reales Por
ejemplo 9minus no es nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado al cuadrado es igual a 9minus Las raiacuteces cuadradas de los nuacutemeros negativos originan un conjunto llamado nuacutemeros imaginarios
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
32
33 RAIacuteCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE Si 0nex el nuacutemero positivo 2x tiene por raiacuteces a x y a xminus porque 22)( xx =
y 22)( xx =minus Para indicar la raiacutez cuadrada positiva de 2x se debe saber si x es positivo o negativo Si 0gtx se puede escribir lo siguiente xx =2 donde 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es x Si x es negativo entonces 0gtminus x es xx minus=2 ya que 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es xminus Si no se sabe si x es positivo o negativo se pueden emplear siacutembolos de valor absoluto para garantizar que 2x sea positiva xx =2 siempre y cuando x sea cualquier nuacutemero real Si x es cualquier nuacutemero real entonces
a) xxxx 44)4(16 22 ===
Por lo que escribir 216x en la forma 2)4( x siendo que ( ) 22 164 xx = Puesto que x podriacutea ser negativo Los siacutembolos de valor absoluto son necesarios ya que en el producto x4 4 es una constante positiva
b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2
+=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 4+x puede ser negativo por ejemplo cuando
8minus=x
c) ( ) 1112 22 +=+=++ xxxx Porque ( )211 +=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 1+x puede ser negativo por ejemplo cuando 5minus=x
d) 24 xx = porque ( ) 422 xx = Como 02 gex
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
33
34 RAIacuteCES CUacuteBICAS La raiacutez cuacutebica de x se representa por yx =3 si xy =3 Por ejemplo el nuacutemero 64 tiene dos raiacuteces cuadradas que son nuacutemeros reales 8 y 8minus Sin embargo 64 soacutelo tiene una raiacutez cuacutebica real que es el valor de 4 porque 4 es el uacutenico nuacutemero real cuyo cubo es 64 Por lo tanto
xx =3 3 Como todos los nuacutemeros reales tienen una y solo una raiacutez cuacutebica real algunas
de las cuales son positivas y otras negativas no es necesario emplear siacutembolos de valor absoluto al simplificar las raiacuteces cuacutebicas
Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuacutebicas
a) 3 125 b) 3
81
c) 3 327xminus d) 33
3
278
ba
minus e) 3 632160 yx
Solucioacuten a) 51253 = porque 125)5)(5)(5(53 ==
b) 21
81
3 = porque 81
21
21
21
21 3
=
=
c) xx 3273 3 minus=minus porque ( ) ( )( )( ) 33 273333 xxxxx minus=minusminusminus=minus
d) ba
ba
32
278
33
3
minus=minus porque 3
33
278
32
32
32
32
ba
ba
ba
ba
ba
minus=
minus
minus
minus=
minus
e) 23 63 602160 xyyx = porque
( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==
35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS Asiacute como existen raiacuteces cuadradas y raiacuteces cuacutebicas tambieacuten existen las raiacuteces cuartas raiacuteces quintas raiacuteces sextas etc
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EXPONENTES y RADICALES
34
Cuando n es impar el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez impar Como todo nuacutemero real tiene una y soacutelo una raiacutez eneacutesima real cuando n es impar no es necesario preocuparse por los siacutembolos de valor absoluto cuando se calculan raiacuteces impares Ejemplo
a) 33243 5 55 == porque 24335 = b) ( ) xxx 227128 77 7 minus=minus=minus porque ( ) 77 1282 xx minus=minus
Cuando n es par el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez par En este caso habraacute una raiacutez eneacutesima positiva y una eneacutesima negativa Por ejemplo las dos raiacuteces sextas reales de 729 son 3 y 3minus porque
72936 = y 729)3( 6 =minus Cuando se determinan raiacuteces reales se emplean con frecuencia los siacutembolos de valor absoluto para garantizar que la eneacutesima raiacutez sea positiva Ejemplos
a) ( ) 3334 4 =minus=minus
Tambieacuten se puede simplificar de la siguiente manera ( ) 3813 44 4 ==minus
b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===
Los siacutembolos de valor absoluto garantizan que la raiacutez sexta es positiva
Generalizando se tienen las siguientes reglas Si x es un nuacutemero real y 1gtn entonces
a) Si n es un nuacutemero impar natural xxn n =
b) Si n es un nuacutemero par natural xxn n =
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EXPONENTES y RADICALES
35
NOTA En el radical n x a n se le llama el iacutendice u orden del radical Cuando el iacutendice
es 2 el radical es una raiacutez cuadrada y se acostumbra no escribir el iacutendice Cuando n es par ( )2gtn y 0ltx el radical n x no es un nuacutemero real Por
ejemplo 4 81minus no es un nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado a la cuarta potencia es 81minus
Ejemplo
a) 56254 = porque 62554 = b) 2325 minus=minus porque ( ) 322 5 minus=minus
c) 21
641
6 = porque 641
21 6
=
36 EXPONENTES RACIONALES Los exponentes enteros positivos indican la cantidad de veces que se debe usar una base como factor en un producto Por ejemplo 5x significa que x se debe emplear cinco veces como factor ya que xdefactores5 ( )( )( )( )( )xxxxxx =5 Es posible elevar bases a potencias racionales (fraccionarias) cuando se desea que dichos exponentes respeten las mismas reglas que los coeficientes enteros el
cuadrado de 21
10 debe ser 10 porque
( )
10101010 1
2
212
21
===
Se mantiene la base y se multiplican los exponentes
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
36
( ) 112
212
21
=
=
10101 =
Sin embargo hay que recordar que ( ) 1010
2=
Como 2
21
10
y ( )210 son iguales a 10
Con esto se puede definir que 21
10 es igual a 10 Igualmente para
a) 31
10 como 3 10
b) 41
10 como 4 10
c) 51
10 como 5 10
Por lo que si n es un nuacutemero natural mayor que 1 y n x es un nuacutemero real entonces
nn xx =1
Ejemplo Resolver los siguientes radicales
a) 21
9 b) 21
916
minus c) ( )3
1
64minus d) 41
16 e) 51
321
f) 8
1
0 g) ( )51
232xminus
h) ( )41
xyz
Solucioacuten
a) 3999 221
===
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EXPONENTES y RADICALES
37
b) 34
916
916
916
221
minus=minus=minus=
minus
c) ( ) 46464 331
minus=minus=minus
d) 21616 441
==
e) 21
321
321
551
==
f) 000 881
==
g) ( ) xxx 23232 5 551
5 minus=minus=minus
h) ( ) 441
xyzxyz =
i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes
fraccionarios
a) 4 5xyz b) 52
15xy
Solucioacuten
a) ( )41
4 55 xyzxyz =
b) 51
2
5
2
1515
=xyxy
37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1
Se puede ampliar la definicioacuten de nx1
para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
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EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
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EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
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EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
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EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
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EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
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EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
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EXPONENTES y RADICALES
18
En general
xdefactoresm xdefactoresn
xxx nm = x x x X x x x x = xdefactoresnm + = x x x x x Por lo tanto para multiplicar expresiones exponenciales con la misma base se
mantiene esa base y se suman los exponentes 221 REGLA DEL PRODUCTO PARA EXPONENTES
Si m y n son nuacutemeros naturales entonces nmnm xxx += Para desarrollar la regla de divisioacuten de las expresiones exponenciales se procede de la siguiente manera
nmnmnmn
mn
m
xxxxx
xxx minusminus+minus ===
= )(1
Por tanto para dividir dos expresiones exponenciales con la misma base distinta de cero se mantiene la base y se resta el exponente del denominador del exponente del numerador
NOTA La regla del producto para exponentes soacutelo se aplica a expresiones exponenciales que tienen la misma base Por ejemplo la expresioacuten 35 yx no se puede simplificar porque las bases de las expresiones exponenciales son diferentes Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)
minus 34
418 xx
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EXPONENTES y RADICALES
19
Solucioacuten
a) 16511511 xxxx == +
b) 15645645 aaaaa == ++
c) 67244324432443 bababbaababa === ++
d) 7343434 248
418
418 xxxxxx minus=
minus=
minus=
minus +
Para encontrar otra propiedad se simplificaraacute la expresioacuten 34 )(x que significa
que 4x se eleva al cubo o en su caso 4x se repite tres veces 4x 4x 4x Donde 4x 4x 4x
=34 )(x 4x 4x 4x = ( x x x x )( x x x x )( x x x x )= = 12444 xx =++ En general se tiene que
nxdefactoresn nxdefactoresmn
mnm xx =)( mx mx mx = x x x x x x = mnx
Asiacute para elevar una expresioacuten exponencial a una potencia se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes
Ejemplo
Si se eleva x3 al cuadrado se obtiene el siguiente resultado
( ) )3(3 2 xx = ))()(3)(3()3( xxx = = 222 93 xx = En general se tiene que
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EXPONENTES y RADICALES
20
xydefactoresn xdefactoresn ( ) ))()(( xyxyxyxy n = xxxxy =)( x yyy y = nn yx
ydefactoresn
Otra propiedad por ejemplo es elevar al cubo la siguiente expresioacuten 3x
Solucioacuten
33
3 xx=
3x
3x
= 27)3)(3)(3(
))()(( 3xxxx=
En general se tiene lo siguiente
yxdefactoresn
=
yx
yx
yx
yx
n
yx
( )0ney
xdefactoresn
)())()(()())()((
yyyyxxxx
= = n
n
yx
ydefactoresn Los tres resultados anteriores se llaman reglas de potencias de los exponentes Si m y n son nuacutemeros naturales entonces
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EXPONENTES y RADICALES
21
( ) mnnm xx = nnn yxxy =)( n
nn
yx
yx
=
)0( ney
Ejemplos
Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) ( )323 b) ( )511x c) ( )632xx d) ( ) ( )2342 xx e) ( )32 yx f) ( )443 yx g) 4
2
yx
h) 2
4
3
yx
Solucioacuten
a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===
b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==
c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +
d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +
e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===
f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==
g) ( ) 8
4
42
44
2 yx
yx
yx
==
( )0ney
h) ( )( ) 8
62
24
32
4
3
yx
yx
yx
==
( )0ney
Analizar la diferencia que existe entre nxminus y nx)(minus
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EXPONENTES y RADICALES
22
Solucioacuten
xdefactoresn xdefactoresn minus
(minus=minus nx x x x x ) y )())()(()( xxxxx n minusminusminusminus=minus
Tambieacuten es conveniente hacer notar la diferencia que existe entre nax y ( )nax donde
xdefactoresn axdefactoresn
aaxn = x x x x y )())()(()( axaxaxaxax n = 222 EL EXPONENTE CERO Cuando las reglas de los exponentes son vaacutelidas y si el exponente es igual a 0 (cero) se tiene lo siguiente nnnnn xxxxxx 1)1()1(00 ==== + Como nn xxx 10 = en consecuencia ( )010 ne= xx
El exponente cero si 10 0 =ne xentoncesx En general cualquier base distinta de cero elevada a la potencia cero es igual a 1 Tambieacuten
10 === minusn
nnn
xxxx
Si todas las bases son distintas de cero y el exponente es cero entonces
a) 150 =
b) ( ) 17 0 =minus
c) ( ) 1303 =ax
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EXPONENTES y RADICALES
23
d) 121 0
975 =
zyx
NOTA
00 es indefinido esto a consecuencia de que infin=00 223 EXPONENTES NEGATIVOS Las reglas de los exponentes son vaacutelidas tambieacuten cuando eacutestos son enteros negativos ( )010 ne=== +minusminus xxxxx nnnn
ya que nxminus 1=nx y nx
1 1=nx
Ademaacutes se define a nxminus como el reciacuteproco de nx Por lo que
nn
xx 1
=minus y nn x
x=
minus
1
NOTA De acuerdo con la definicioacuten de exponentes negativos la base no puede ser 0
Asiacute una expresioacuten como 50minus no estaacute definida por lo que
infin=minus50 Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 25minus b) 310minus c) ( ) 32 minusx d) 13 minusx e) 35xxminus f) ( ) 23 minusminusx Solucioacuten
a) 251
515 2
2 ==minus
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EXPONENTES y RADICALES
24
b) 1000
110110 3
3 ==minus
c) ( ) 33
3
81
21)2(
xxx ==minus
d) 33 1 =minusx xx31
=
e) 2
23535 1x
xxxx === minus+minusminus
f) ( ) 6)2)(3(23 xxx == minusminusminusminus
2224 REGLA DEL COCIENTE Si m y n son enteros entonces
( )0 ne= minus xxxx nm
n
m
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 3
5
aa
b) 11
5
xxminus
c) 5
34
minusxxx
d) ( )( )23
32
x
x e) 4
32
xyyx
f) 3
432
32
minus
baaba
Solucioacuten
a) 2353
5
aaaa
== minus
b) 16
1611511
5 1x
xxxx
=== minusminusminusminus
c) 12575
7
5
34
5
34
xxxxx
xx
xxx
====minusminus
+
minus
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EXPONENTES y RADICALES
25
d) ( )( )
( )( )
( )( ) 10666
6
23
32
23
32
===== minus xxxx
xx
xx
o en su caso
( )( )
( )( )
( )( ) 16
6
23
32
23
32
===xx
xx
xx
e) yxyxyxyyxx
xyyx
==== minusminusminusminusminus 11431243124
32
f) ( )( )
( )
)3)(4()3)(3()3)(middot2(
)3)(3(3)(2
3432
3323
432
32
baaba
baa
babaaba minusminusminus
==
= =
minus
1296
96
baaba
1221321
1215
96 1ba
bababa
=== minusminusminus
o en su caso
=
=
minusminus 3
45
323
432
32
baba
baaba
= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317
33
17
317 1111babababa
ba ===
=minusminus
El siguiente teorema indica que una fraccioacuten elevada a una potencia negativa se puede invertir y elevarse asiacute a una potencia positiva
Teorema Si n es un nuacutemero entero entonces
( )00 nene
=
minus
yxny
yx nn
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EXPONENTES y RADICALES
26
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 4
32 minus
b)
3
2
xy
c) 4
3
2
32
minus
minus
yx
d)
minus
432
32
baaba
Solucioacuten
a) ( )( ) 16
8123
23
32
4
444
==
=
minus
b) ( )( ) 6
9
)3)(2(
)3)(3(
32
333
2
33
3
2
yx
yx
yx
yx
xy
===
=
minus
c) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ====
=
minusminusminusminusminus
minus )4)(2(
)4)(3(
424
434
42
434
2
34
3
2
1681
23
23
23
32
xy
xy
xy
xy
yx
= 8
12
1681
xy minus
= 1681
8
12
xy minus
= 1281681
yx
d) ( )( )
( )( ) ===
=
minusminusminus
minusminus
)3)(3()3)(2(
)3)(4()3)(5(
332
3453
32
4323
432
32
baba
baba
babaa
baaba
= =minus 96
1215
baba 321912)6(15 babbaa =minusminusminus
23 RESUMEN Si no existen divisiones entre 0 (cero) entonces para enteros m y n cualesquiera
a) nmnm xxx += b) ( ) mnnm xx =
c) ( ) nnn yxxy =
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EXPONENTES y RADICALES
27
d) n
nn
yx
yx
=
e) ( )010 ne= xx
f) n
n
xx 1
=minus
g) nmn
m
xxx minus=
h) nn
xy
yx
=
minus
NOTA Las mismas reglas se aplican cuando los exponentes son variables 24 EJERCICIOS
1 Simplificar las siguientes expresiones
a) 24 b) 32 )(x c) 12 )( minusminusx d) 5
2
xx
e) 25minus
Solucioacuten a) 16)4)(4(42 == b) 6)3)(2(32 )( xxx == c) 2)1)(2(12 )( xxx == minusminusminusminus
o tambieacuten
222
22
21212
1)1)(1())(1(
111
111
)(1)( xxx
xxxx
x =======minusminus
minusminus
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EXPONENTES y RADICALES
28
d) 2253)5()3(53
5
3 1))((x
xxxxxxx
===== minusminusminus+minus
o tambieacuten 1 1 1
21
))()()()(())()((
))()()()(())()((
xxxxxxxxx
xxxxxxxx
== = 2minusx
e) 12
2 25251
515 minusminus ===
2 Simplificar las siguientes expresiones considerando que ninguno de los
denominadores sea igual a cero
a) 32
29
)(mmm minus
b) 43
32 )2(minus
minus
aaa
c)043
22 )3(xxx
xminus
minus
d) 042
2022
)4()(4
minus
minus
minusminus
yxyxx
e) 2
25
44
93
minus
minus
minusminus
yxyx
Solucioacuten
a) mmmmm
mm
mmm
===== minusminusminus
1676
7
)3)(2(
29
32
29
)(
b) 561
6
43
)3)(2(3
43
32 88))(8())(2()2(aa
aa
aaa
aaa
====minus
minus
minus
minus
minus
minus
c) 37
4
3)4(
4
322
4
043
22
91
99)1()1()3()3(
xxx
xxx
xxx
xxxx
====minus
minus
d) =minus
=minus
=minus
minus +minus
minus
minus
1)1(4
1)1(4
)4()(4 0222
042
2022 xxyx
yxx
414
1)1)(1(4
minus=minus
=minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
29
e) ( )( )
( )( ) =minusminus
=minusminus
=
minusminus
minus
minus
minusminus
minusminus
minus 224
225
225
2442
25
44
39
93
93
yxyx
yxyx
yxyx
= ( )
( ) ( ) ( )2
48
410
22242
22252
99
813
)()9( xyxyx
yxyx
==minusminus
minus
minus
minus
minus
3 Encontrar el valor numeacuterico de las siguientes expresiones con 2minus=x y
3=y para
a) 23 yx b) 3
3
yxminus
c) ( ) 22 minusxy d) 23 minusminus xy e) 23)( minusminus xy
Solucioacuten
a) ( ) ( ) 72)9)(8(32 2323 minus=minus=minus=yx
b) ( ) ( ) ( )( ) =minus
=minus
==minus
2781
3211
33333
3
yxyx
2161
2161
minus=minus
=
c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241
3211
2222
22 =minus
==minus
xyxy
d) ( ) ( )( ) 16
2722723 4
4323 minus=
minusminus
=minusminus=minus minusminusxy 1627
minus=
e) ( )( ) 4
272
3)()( 2
3
2
323 =
minus=
minus=minus minus
xyxy
3 RADICALES Con frecuencia en los problemas de aplicacioacuten se debe determinar queacute nuacutemero se puede elevar al cuadrado para obtener un segundo nuacutemero a Si se puede determinar a ese nuacutemero se le llama una raiacutez cuadrada de a Por ejemplo
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EXPONENTES y RADICALES
30
a) 0es una raiacutez cuadrada de 0 porque 002 = b) 4 es una raiacutez cuadrada de 16 porque 1642 = c) 4minus es una raiacutez cuadrada de 16 porque 16)4( 2 =minus d) xy7 es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy = e) xy7minus es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy =minus
31 RAIacuteZ CUADRADA DE a El nuacutemero b es una raiacutez cuadrada de a cuando 2 ab = Todos los nuacutemeros positivos tienen dos nuacutemeros reales que son sus raiacuteces cuadradas uno positivo y otro negativo El uacutenico nuacutemero con una sola raiacutez cuadrada es 0 cuya raiacutez cuadrada es 0 Ejemplo Determinar las dos raiacuteces cuadradas de 121 Solucioacuten Las dos raiacuteces cuadradas de 121son 11y 11minus porque 121112 = y 121)11( 2 =minus 32 RAIacuteZ CUADRADA PRINCIPAL Se llama signo radical al siacutembolo y a x el nuacutemero que se encuentran dentro del signo radical que se llama radicando Siacute x gt 0 la raiacutez principal de x es la raiacutez cuadrada positiva de x y se
representa con x La raiacutez cuadrada principal de 0 es 0 00 = NOTA Por definicioacuten el cuadrado principal de un nuacutemero positivo siempre es positivo Aunque 5 y 5minus son raiacuteces cuadradas de 25 soacutelo 5es la raiacutez cuadrada principal El radical
25 representa 5 El radical 25minus representa 5minus Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuadradas
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EXPONENTES y RADICALES
31
a) 11 =
b) 981 =
c) 981 minus=minus
d) 21
41=
e) 114
12116
minus=minus
f) 20040 =
g) 03000090 minus=minus
Los nuacutemeros como 1600491694 y se llaman cuadrados enteros porque cada uno de ellos es el cuadrado de un entero La raiacutez cuadrada de todo cuadrado entero es un nuacutemero racional Por ejemplo
4016007494163924 =====
Las raiacuteces cuadradas de muchos enteros positivos no son nuacutemeros racionales Por ejemplo 11 es un nuacutemero irracional cuyo valor aproximado ( )asymp es de
31662473 )3166247311( asymp Donde el siacutembolo asympquiere decir ldquoaproximadamente igual ardquo
Las raiacuteces cuadradas de nuacutemeros negativos no son nuacutemeros reales Por
ejemplo 9minus no es nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado al cuadrado es igual a 9minus Las raiacuteces cuadradas de los nuacutemeros negativos originan un conjunto llamado nuacutemeros imaginarios
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EXPONENTES y RADICALES
32
33 RAIacuteCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE Si 0nex el nuacutemero positivo 2x tiene por raiacuteces a x y a xminus porque 22)( xx =
y 22)( xx =minus Para indicar la raiacutez cuadrada positiva de 2x se debe saber si x es positivo o negativo Si 0gtx se puede escribir lo siguiente xx =2 donde 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es x Si x es negativo entonces 0gtminus x es xx minus=2 ya que 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es xminus Si no se sabe si x es positivo o negativo se pueden emplear siacutembolos de valor absoluto para garantizar que 2x sea positiva xx =2 siempre y cuando x sea cualquier nuacutemero real Si x es cualquier nuacutemero real entonces
a) xxxx 44)4(16 22 ===
Por lo que escribir 216x en la forma 2)4( x siendo que ( ) 22 164 xx = Puesto que x podriacutea ser negativo Los siacutembolos de valor absoluto son necesarios ya que en el producto x4 4 es una constante positiva
b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2
+=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 4+x puede ser negativo por ejemplo cuando
8minus=x
c) ( ) 1112 22 +=+=++ xxxx Porque ( )211 +=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 1+x puede ser negativo por ejemplo cuando 5minus=x
d) 24 xx = porque ( ) 422 xx = Como 02 gex
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EXPONENTES y RADICALES
33
34 RAIacuteCES CUacuteBICAS La raiacutez cuacutebica de x se representa por yx =3 si xy =3 Por ejemplo el nuacutemero 64 tiene dos raiacuteces cuadradas que son nuacutemeros reales 8 y 8minus Sin embargo 64 soacutelo tiene una raiacutez cuacutebica real que es el valor de 4 porque 4 es el uacutenico nuacutemero real cuyo cubo es 64 Por lo tanto
xx =3 3 Como todos los nuacutemeros reales tienen una y solo una raiacutez cuacutebica real algunas
de las cuales son positivas y otras negativas no es necesario emplear siacutembolos de valor absoluto al simplificar las raiacuteces cuacutebicas
Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuacutebicas
a) 3 125 b) 3
81
c) 3 327xminus d) 33
3
278
ba
minus e) 3 632160 yx
Solucioacuten a) 51253 = porque 125)5)(5)(5(53 ==
b) 21
81
3 = porque 81
21
21
21
21 3
=
=
c) xx 3273 3 minus=minus porque ( ) ( )( )( ) 33 273333 xxxxx minus=minusminusminus=minus
d) ba
ba
32
278
33
3
minus=minus porque 3
33
278
32
32
32
32
ba
ba
ba
ba
ba
minus=
minus
minus
minus=
minus
e) 23 63 602160 xyyx = porque
( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==
35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS Asiacute como existen raiacuteces cuadradas y raiacuteces cuacutebicas tambieacuten existen las raiacuteces cuartas raiacuteces quintas raiacuteces sextas etc
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EXPONENTES y RADICALES
34
Cuando n es impar el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez impar Como todo nuacutemero real tiene una y soacutelo una raiacutez eneacutesima real cuando n es impar no es necesario preocuparse por los siacutembolos de valor absoluto cuando se calculan raiacuteces impares Ejemplo
a) 33243 5 55 == porque 24335 = b) ( ) xxx 227128 77 7 minus=minus=minus porque ( ) 77 1282 xx minus=minus
Cuando n es par el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez par En este caso habraacute una raiacutez eneacutesima positiva y una eneacutesima negativa Por ejemplo las dos raiacuteces sextas reales de 729 son 3 y 3minus porque
72936 = y 729)3( 6 =minus Cuando se determinan raiacuteces reales se emplean con frecuencia los siacutembolos de valor absoluto para garantizar que la eneacutesima raiacutez sea positiva Ejemplos
a) ( ) 3334 4 =minus=minus
Tambieacuten se puede simplificar de la siguiente manera ( ) 3813 44 4 ==minus
b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===
Los siacutembolos de valor absoluto garantizan que la raiacutez sexta es positiva
Generalizando se tienen las siguientes reglas Si x es un nuacutemero real y 1gtn entonces
a) Si n es un nuacutemero impar natural xxn n =
b) Si n es un nuacutemero par natural xxn n =
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EXPONENTES y RADICALES
35
NOTA En el radical n x a n se le llama el iacutendice u orden del radical Cuando el iacutendice
es 2 el radical es una raiacutez cuadrada y se acostumbra no escribir el iacutendice Cuando n es par ( )2gtn y 0ltx el radical n x no es un nuacutemero real Por
ejemplo 4 81minus no es un nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado a la cuarta potencia es 81minus
Ejemplo
a) 56254 = porque 62554 = b) 2325 minus=minus porque ( ) 322 5 minus=minus
c) 21
641
6 = porque 641
21 6
=
36 EXPONENTES RACIONALES Los exponentes enteros positivos indican la cantidad de veces que se debe usar una base como factor en un producto Por ejemplo 5x significa que x se debe emplear cinco veces como factor ya que xdefactores5 ( )( )( )( )( )xxxxxx =5 Es posible elevar bases a potencias racionales (fraccionarias) cuando se desea que dichos exponentes respeten las mismas reglas que los coeficientes enteros el
cuadrado de 21
10 debe ser 10 porque
( )
10101010 1
2
212
21
===
Se mantiene la base y se multiplican los exponentes
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EXPONENTES y RADICALES
36
( ) 112
212
21
=
=
10101 =
Sin embargo hay que recordar que ( ) 1010
2=
Como 2
21
10
y ( )210 son iguales a 10
Con esto se puede definir que 21
10 es igual a 10 Igualmente para
a) 31
10 como 3 10
b) 41
10 como 4 10
c) 51
10 como 5 10
Por lo que si n es un nuacutemero natural mayor que 1 y n x es un nuacutemero real entonces
nn xx =1
Ejemplo Resolver los siguientes radicales
a) 21
9 b) 21
916
minus c) ( )3
1
64minus d) 41
16 e) 51
321
f) 8
1
0 g) ( )51
232xminus
h) ( )41
xyz
Solucioacuten
a) 3999 221
===
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EXPONENTES y RADICALES
37
b) 34
916
916
916
221
minus=minus=minus=
minus
c) ( ) 46464 331
minus=minus=minus
d) 21616 441
==
e) 21
321
321
551
==
f) 000 881
==
g) ( ) xxx 23232 5 551
5 minus=minus=minus
h) ( ) 441
xyzxyz =
i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes
fraccionarios
a) 4 5xyz b) 52
15xy
Solucioacuten
a) ( )41
4 55 xyzxyz =
b) 51
2
5
2
1515
=xyxy
37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1
Se puede ampliar la definicioacuten de nx1
para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1
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EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
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EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
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EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
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EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
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EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
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EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
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EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
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EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
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EXPONENTES y RADICALES
19
Solucioacuten
a) 16511511 xxxx == +
b) 15645645 aaaaa == ++
c) 67244324432443 bababbaababa === ++
d) 7343434 248
418
418 xxxxxx minus=
minus=
minus=
minus +
Para encontrar otra propiedad se simplificaraacute la expresioacuten 34 )(x que significa
que 4x se eleva al cubo o en su caso 4x se repite tres veces 4x 4x 4x Donde 4x 4x 4x
=34 )(x 4x 4x 4x = ( x x x x )( x x x x )( x x x x )= = 12444 xx =++ En general se tiene que
nxdefactoresn nxdefactoresmn
mnm xx =)( mx mx mx = x x x x x x = mnx
Asiacute para elevar una expresioacuten exponencial a una potencia se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes
Ejemplo
Si se eleva x3 al cuadrado se obtiene el siguiente resultado
( ) )3(3 2 xx = ))()(3)(3()3( xxx = = 222 93 xx = En general se tiene que
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EXPONENTES y RADICALES
20
xydefactoresn xdefactoresn ( ) ))()(( xyxyxyxy n = xxxxy =)( x yyy y = nn yx
ydefactoresn
Otra propiedad por ejemplo es elevar al cubo la siguiente expresioacuten 3x
Solucioacuten
33
3 xx=
3x
3x
= 27)3)(3)(3(
))()(( 3xxxx=
En general se tiene lo siguiente
yxdefactoresn
=
yx
yx
yx
yx
n
yx
( )0ney
xdefactoresn
)())()(()())()((
yyyyxxxx
= = n
n
yx
ydefactoresn Los tres resultados anteriores se llaman reglas de potencias de los exponentes Si m y n son nuacutemeros naturales entonces
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EXPONENTES y RADICALES
21
( ) mnnm xx = nnn yxxy =)( n
nn
yx
yx
=
)0( ney
Ejemplos
Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) ( )323 b) ( )511x c) ( )632xx d) ( ) ( )2342 xx e) ( )32 yx f) ( )443 yx g) 4
2
yx
h) 2
4
3
yx
Solucioacuten
a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===
b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==
c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +
d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +
e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===
f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==
g) ( ) 8
4
42
44
2 yx
yx
yx
==
( )0ney
h) ( )( ) 8
62
24
32
4
3
yx
yx
yx
==
( )0ney
Analizar la diferencia que existe entre nxminus y nx)(minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
22
Solucioacuten
xdefactoresn xdefactoresn minus
(minus=minus nx x x x x ) y )())()(()( xxxxx n minusminusminusminus=minus
Tambieacuten es conveniente hacer notar la diferencia que existe entre nax y ( )nax donde
xdefactoresn axdefactoresn
aaxn = x x x x y )())()(()( axaxaxaxax n = 222 EL EXPONENTE CERO Cuando las reglas de los exponentes son vaacutelidas y si el exponente es igual a 0 (cero) se tiene lo siguiente nnnnn xxxxxx 1)1()1(00 ==== + Como nn xxx 10 = en consecuencia ( )010 ne= xx
El exponente cero si 10 0 =ne xentoncesx En general cualquier base distinta de cero elevada a la potencia cero es igual a 1 Tambieacuten
10 === minusn
nnn
xxxx
Si todas las bases son distintas de cero y el exponente es cero entonces
a) 150 =
b) ( ) 17 0 =minus
c) ( ) 1303 =ax
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EXPONENTES y RADICALES
23
d) 121 0
975 =
zyx
NOTA
00 es indefinido esto a consecuencia de que infin=00 223 EXPONENTES NEGATIVOS Las reglas de los exponentes son vaacutelidas tambieacuten cuando eacutestos son enteros negativos ( )010 ne=== +minusminus xxxxx nnnn
ya que nxminus 1=nx y nx
1 1=nx
Ademaacutes se define a nxminus como el reciacuteproco de nx Por lo que
nn
xx 1
=minus y nn x
x=
minus
1
NOTA De acuerdo con la definicioacuten de exponentes negativos la base no puede ser 0
Asiacute una expresioacuten como 50minus no estaacute definida por lo que
infin=minus50 Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 25minus b) 310minus c) ( ) 32 minusx d) 13 minusx e) 35xxminus f) ( ) 23 minusminusx Solucioacuten
a) 251
515 2
2 ==minus
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EXPONENTES y RADICALES
24
b) 1000
110110 3
3 ==minus
c) ( ) 33
3
81
21)2(
xxx ==minus
d) 33 1 =minusx xx31
=
e) 2
23535 1x
xxxx === minus+minusminus
f) ( ) 6)2)(3(23 xxx == minusminusminusminus
2224 REGLA DEL COCIENTE Si m y n son enteros entonces
( )0 ne= minus xxxx nm
n
m
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 3
5
aa
b) 11
5
xxminus
c) 5
34
minusxxx
d) ( )( )23
32
x
x e) 4
32
xyyx
f) 3
432
32
minus
baaba
Solucioacuten
a) 2353
5
aaaa
== minus
b) 16
1611511
5 1x
xxxx
=== minusminusminusminus
c) 12575
7
5
34
5
34
xxxxx
xx
xxx
====minusminus
+
minus
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EXPONENTES y RADICALES
25
d) ( )( )
( )( )
( )( ) 10666
6
23
32
23
32
===== minus xxxx
xx
xx
o en su caso
( )( )
( )( )
( )( ) 16
6
23
32
23
32
===xx
xx
xx
e) yxyxyxyyxx
xyyx
==== minusminusminusminusminus 11431243124
32
f) ( )( )
( )
)3)(4()3)(3()3)(middot2(
)3)(3(3)(2
3432
3323
432
32
baaba
baa
babaaba minusminusminus
==
= =
minus
1296
96
baaba
1221321
1215
96 1ba
bababa
=== minusminusminus
o en su caso
=
=
minusminus 3
45
323
432
32
baba
baaba
= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317
33
17
317 1111babababa
ba ===
=minusminus
El siguiente teorema indica que una fraccioacuten elevada a una potencia negativa se puede invertir y elevarse asiacute a una potencia positiva
Teorema Si n es un nuacutemero entero entonces
( )00 nene
=
minus
yxny
yx nn
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EXPONENTES y RADICALES
26
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 4
32 minus
b)
3
2
xy
c) 4
3
2
32
minus
minus
yx
d)
minus
432
32
baaba
Solucioacuten
a) ( )( ) 16
8123
23
32
4
444
==
=
minus
b) ( )( ) 6
9
)3)(2(
)3)(3(
32
333
2
33
3
2
yx
yx
yx
yx
xy
===
=
minus
c) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ====
=
minusminusminusminusminus
minus )4)(2(
)4)(3(
424
434
42
434
2
34
3
2
1681
23
23
23
32
xy
xy
xy
xy
yx
= 8
12
1681
xy minus
= 1681
8
12
xy minus
= 1281681
yx
d) ( )( )
( )( ) ===
=
minusminusminus
minusminus
)3)(3()3)(2(
)3)(4()3)(5(
332
3453
32
4323
432
32
baba
baba
babaa
baaba
= =minus 96
1215
baba 321912)6(15 babbaa =minusminusminus
23 RESUMEN Si no existen divisiones entre 0 (cero) entonces para enteros m y n cualesquiera
a) nmnm xxx += b) ( ) mnnm xx =
c) ( ) nnn yxxy =
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EXPONENTES y RADICALES
27
d) n
nn
yx
yx
=
e) ( )010 ne= xx
f) n
n
xx 1
=minus
g) nmn
m
xxx minus=
h) nn
xy
yx
=
minus
NOTA Las mismas reglas se aplican cuando los exponentes son variables 24 EJERCICIOS
1 Simplificar las siguientes expresiones
a) 24 b) 32 )(x c) 12 )( minusminusx d) 5
2
xx
e) 25minus
Solucioacuten a) 16)4)(4(42 == b) 6)3)(2(32 )( xxx == c) 2)1)(2(12 )( xxx == minusminusminusminus
o tambieacuten
222
22
21212
1)1)(1())(1(
111
111
)(1)( xxx
xxxx
x =======minusminus
minusminus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
28
d) 2253)5()3(53
5
3 1))((x
xxxxxxx
===== minusminusminus+minus
o tambieacuten 1 1 1
21
))()()()(())()((
))()()()(())()((
xxxxxxxxx
xxxxxxxx
== = 2minusx
e) 12
2 25251
515 minusminus ===
2 Simplificar las siguientes expresiones considerando que ninguno de los
denominadores sea igual a cero
a) 32
29
)(mmm minus
b) 43
32 )2(minus
minus
aaa
c)043
22 )3(xxx
xminus
minus
d) 042
2022
)4()(4
minus
minus
minusminus
yxyxx
e) 2
25
44
93
minus
minus
minusminus
yxyx
Solucioacuten
a) mmmmm
mm
mmm
===== minusminusminus
1676
7
)3)(2(
29
32
29
)(
b) 561
6
43
)3)(2(3
43
32 88))(8())(2()2(aa
aa
aaa
aaa
====minus
minus
minus
minus
minus
minus
c) 37
4
3)4(
4
322
4
043
22
91
99)1()1()3()3(
xxx
xxx
xxx
xxxx
====minus
minus
d) =minus
=minus
=minus
minus +minus
minus
minus
1)1(4
1)1(4
)4()(4 0222
042
2022 xxyx
yxx
414
1)1)(1(4
minus=minus
=minus
=
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
29
e) ( )( )
( )( ) =minusminus
=minusminus
=
minusminus
minus
minus
minusminus
minusminus
minus 224
225
225
2442
25
44
39
93
93
yxyx
yxyx
yxyx
= ( )
( ) ( ) ( )2
48
410
22242
22252
99
813
)()9( xyxyx
yxyx
==minusminus
minus
minus
minus
minus
3 Encontrar el valor numeacuterico de las siguientes expresiones con 2minus=x y
3=y para
a) 23 yx b) 3
3
yxminus
c) ( ) 22 minusxy d) 23 minusminus xy e) 23)( minusminus xy
Solucioacuten
a) ( ) ( ) 72)9)(8(32 2323 minus=minus=minus=yx
b) ( ) ( ) ( )( ) =minus
=minus
==minus
2781
3211
33333
3
yxyx
2161
2161
minus=minus
=
c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241
3211
2222
22 =minus
==minus
xyxy
d) ( ) ( )( ) 16
2722723 4
4323 minus=
minusminus
=minusminus=minus minusminusxy 1627
minus=
e) ( )( ) 4
272
3)()( 2
3
2
323 =
minus=
minus=minus minus
xyxy
3 RADICALES Con frecuencia en los problemas de aplicacioacuten se debe determinar queacute nuacutemero se puede elevar al cuadrado para obtener un segundo nuacutemero a Si se puede determinar a ese nuacutemero se le llama una raiacutez cuadrada de a Por ejemplo
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
30
a) 0es una raiacutez cuadrada de 0 porque 002 = b) 4 es una raiacutez cuadrada de 16 porque 1642 = c) 4minus es una raiacutez cuadrada de 16 porque 16)4( 2 =minus d) xy7 es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy = e) xy7minus es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy =minus
31 RAIacuteZ CUADRADA DE a El nuacutemero b es una raiacutez cuadrada de a cuando 2 ab = Todos los nuacutemeros positivos tienen dos nuacutemeros reales que son sus raiacuteces cuadradas uno positivo y otro negativo El uacutenico nuacutemero con una sola raiacutez cuadrada es 0 cuya raiacutez cuadrada es 0 Ejemplo Determinar las dos raiacuteces cuadradas de 121 Solucioacuten Las dos raiacuteces cuadradas de 121son 11y 11minus porque 121112 = y 121)11( 2 =minus 32 RAIacuteZ CUADRADA PRINCIPAL Se llama signo radical al siacutembolo y a x el nuacutemero que se encuentran dentro del signo radical que se llama radicando Siacute x gt 0 la raiacutez principal de x es la raiacutez cuadrada positiva de x y se
representa con x La raiacutez cuadrada principal de 0 es 0 00 = NOTA Por definicioacuten el cuadrado principal de un nuacutemero positivo siempre es positivo Aunque 5 y 5minus son raiacuteces cuadradas de 25 soacutelo 5es la raiacutez cuadrada principal El radical
25 representa 5 El radical 25minus representa 5minus Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuadradas
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
31
a) 11 =
b) 981 =
c) 981 minus=minus
d) 21
41=
e) 114
12116
minus=minus
f) 20040 =
g) 03000090 minus=minus
Los nuacutemeros como 1600491694 y se llaman cuadrados enteros porque cada uno de ellos es el cuadrado de un entero La raiacutez cuadrada de todo cuadrado entero es un nuacutemero racional Por ejemplo
4016007494163924 =====
Las raiacuteces cuadradas de muchos enteros positivos no son nuacutemeros racionales Por ejemplo 11 es un nuacutemero irracional cuyo valor aproximado ( )asymp es de
31662473 )3166247311( asymp Donde el siacutembolo asympquiere decir ldquoaproximadamente igual ardquo
Las raiacuteces cuadradas de nuacutemeros negativos no son nuacutemeros reales Por
ejemplo 9minus no es nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado al cuadrado es igual a 9minus Las raiacuteces cuadradas de los nuacutemeros negativos originan un conjunto llamado nuacutemeros imaginarios
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
32
33 RAIacuteCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE Si 0nex el nuacutemero positivo 2x tiene por raiacuteces a x y a xminus porque 22)( xx =
y 22)( xx =minus Para indicar la raiacutez cuadrada positiva de 2x se debe saber si x es positivo o negativo Si 0gtx se puede escribir lo siguiente xx =2 donde 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es x Si x es negativo entonces 0gtminus x es xx minus=2 ya que 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es xminus Si no se sabe si x es positivo o negativo se pueden emplear siacutembolos de valor absoluto para garantizar que 2x sea positiva xx =2 siempre y cuando x sea cualquier nuacutemero real Si x es cualquier nuacutemero real entonces
a) xxxx 44)4(16 22 ===
Por lo que escribir 216x en la forma 2)4( x siendo que ( ) 22 164 xx = Puesto que x podriacutea ser negativo Los siacutembolos de valor absoluto son necesarios ya que en el producto x4 4 es una constante positiva
b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2
+=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 4+x puede ser negativo por ejemplo cuando
8minus=x
c) ( ) 1112 22 +=+=++ xxxx Porque ( )211 +=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 1+x puede ser negativo por ejemplo cuando 5minus=x
d) 24 xx = porque ( ) 422 xx = Como 02 gex
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
33
34 RAIacuteCES CUacuteBICAS La raiacutez cuacutebica de x se representa por yx =3 si xy =3 Por ejemplo el nuacutemero 64 tiene dos raiacuteces cuadradas que son nuacutemeros reales 8 y 8minus Sin embargo 64 soacutelo tiene una raiacutez cuacutebica real que es el valor de 4 porque 4 es el uacutenico nuacutemero real cuyo cubo es 64 Por lo tanto
xx =3 3 Como todos los nuacutemeros reales tienen una y solo una raiacutez cuacutebica real algunas
de las cuales son positivas y otras negativas no es necesario emplear siacutembolos de valor absoluto al simplificar las raiacuteces cuacutebicas
Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuacutebicas
a) 3 125 b) 3
81
c) 3 327xminus d) 33
3
278
ba
minus e) 3 632160 yx
Solucioacuten a) 51253 = porque 125)5)(5)(5(53 ==
b) 21
81
3 = porque 81
21
21
21
21 3
=
=
c) xx 3273 3 minus=minus porque ( ) ( )( )( ) 33 273333 xxxxx minus=minusminusminus=minus
d) ba
ba
32
278
33
3
minus=minus porque 3
33
278
32
32
32
32
ba
ba
ba
ba
ba
minus=
minus
minus
minus=
minus
e) 23 63 602160 xyyx = porque
( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==
35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS Asiacute como existen raiacuteces cuadradas y raiacuteces cuacutebicas tambieacuten existen las raiacuteces cuartas raiacuteces quintas raiacuteces sextas etc
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EXPONENTES y RADICALES
34
Cuando n es impar el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez impar Como todo nuacutemero real tiene una y soacutelo una raiacutez eneacutesima real cuando n es impar no es necesario preocuparse por los siacutembolos de valor absoluto cuando se calculan raiacuteces impares Ejemplo
a) 33243 5 55 == porque 24335 = b) ( ) xxx 227128 77 7 minus=minus=minus porque ( ) 77 1282 xx minus=minus
Cuando n es par el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez par En este caso habraacute una raiacutez eneacutesima positiva y una eneacutesima negativa Por ejemplo las dos raiacuteces sextas reales de 729 son 3 y 3minus porque
72936 = y 729)3( 6 =minus Cuando se determinan raiacuteces reales se emplean con frecuencia los siacutembolos de valor absoluto para garantizar que la eneacutesima raiacutez sea positiva Ejemplos
a) ( ) 3334 4 =minus=minus
Tambieacuten se puede simplificar de la siguiente manera ( ) 3813 44 4 ==minus
b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===
Los siacutembolos de valor absoluto garantizan que la raiacutez sexta es positiva
Generalizando se tienen las siguientes reglas Si x es un nuacutemero real y 1gtn entonces
a) Si n es un nuacutemero impar natural xxn n =
b) Si n es un nuacutemero par natural xxn n =
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EXPONENTES y RADICALES
35
NOTA En el radical n x a n se le llama el iacutendice u orden del radical Cuando el iacutendice
es 2 el radical es una raiacutez cuadrada y se acostumbra no escribir el iacutendice Cuando n es par ( )2gtn y 0ltx el radical n x no es un nuacutemero real Por
ejemplo 4 81minus no es un nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado a la cuarta potencia es 81minus
Ejemplo
a) 56254 = porque 62554 = b) 2325 minus=minus porque ( ) 322 5 minus=minus
c) 21
641
6 = porque 641
21 6
=
36 EXPONENTES RACIONALES Los exponentes enteros positivos indican la cantidad de veces que se debe usar una base como factor en un producto Por ejemplo 5x significa que x se debe emplear cinco veces como factor ya que xdefactores5 ( )( )( )( )( )xxxxxx =5 Es posible elevar bases a potencias racionales (fraccionarias) cuando se desea que dichos exponentes respeten las mismas reglas que los coeficientes enteros el
cuadrado de 21
10 debe ser 10 porque
( )
10101010 1
2
212
21
===
Se mantiene la base y se multiplican los exponentes
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EXPONENTES y RADICALES
36
( ) 112
212
21
=
=
10101 =
Sin embargo hay que recordar que ( ) 1010
2=
Como 2
21
10
y ( )210 son iguales a 10
Con esto se puede definir que 21
10 es igual a 10 Igualmente para
a) 31
10 como 3 10
b) 41
10 como 4 10
c) 51
10 como 5 10
Por lo que si n es un nuacutemero natural mayor que 1 y n x es un nuacutemero real entonces
nn xx =1
Ejemplo Resolver los siguientes radicales
a) 21
9 b) 21
916
minus c) ( )3
1
64minus d) 41
16 e) 51
321
f) 8
1
0 g) ( )51
232xminus
h) ( )41
xyz
Solucioacuten
a) 3999 221
===
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EXPONENTES y RADICALES
37
b) 34
916
916
916
221
minus=minus=minus=
minus
c) ( ) 46464 331
minus=minus=minus
d) 21616 441
==
e) 21
321
321
551
==
f) 000 881
==
g) ( ) xxx 23232 5 551
5 minus=minus=minus
h) ( ) 441
xyzxyz =
i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes
fraccionarios
a) 4 5xyz b) 52
15xy
Solucioacuten
a) ( )41
4 55 xyzxyz =
b) 51
2
5
2
1515
=xyxy
37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1
Se puede ampliar la definicioacuten de nx1
para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1
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EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
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EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
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EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
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EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
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EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
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EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
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EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
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EXPONENTES y RADICALES
20
xydefactoresn xdefactoresn ( ) ))()(( xyxyxyxy n = xxxxy =)( x yyy y = nn yx
ydefactoresn
Otra propiedad por ejemplo es elevar al cubo la siguiente expresioacuten 3x
Solucioacuten
33
3 xx=
3x
3x
= 27)3)(3)(3(
))()(( 3xxxx=
En general se tiene lo siguiente
yxdefactoresn
=
yx
yx
yx
yx
n
yx
( )0ney
xdefactoresn
)())()(()())()((
yyyyxxxx
= = n
n
yx
ydefactoresn Los tres resultados anteriores se llaman reglas de potencias de los exponentes Si m y n son nuacutemeros naturales entonces
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EXPONENTES y RADICALES
21
( ) mnnm xx = nnn yxxy =)( n
nn
yx
yx
=
)0( ney
Ejemplos
Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) ( )323 b) ( )511x c) ( )632xx d) ( ) ( )2342 xx e) ( )32 yx f) ( )443 yx g) 4
2
yx
h) 2
4
3
yx
Solucioacuten
a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===
b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==
c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +
d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +
e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===
f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==
g) ( ) 8
4
42
44
2 yx
yx
yx
==
( )0ney
h) ( )( ) 8
62
24
32
4
3
yx
yx
yx
==
( )0ney
Analizar la diferencia que existe entre nxminus y nx)(minus
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EXPONENTES y RADICALES
22
Solucioacuten
xdefactoresn xdefactoresn minus
(minus=minus nx x x x x ) y )())()(()( xxxxx n minusminusminusminus=minus
Tambieacuten es conveniente hacer notar la diferencia que existe entre nax y ( )nax donde
xdefactoresn axdefactoresn
aaxn = x x x x y )())()(()( axaxaxaxax n = 222 EL EXPONENTE CERO Cuando las reglas de los exponentes son vaacutelidas y si el exponente es igual a 0 (cero) se tiene lo siguiente nnnnn xxxxxx 1)1()1(00 ==== + Como nn xxx 10 = en consecuencia ( )010 ne= xx
El exponente cero si 10 0 =ne xentoncesx En general cualquier base distinta de cero elevada a la potencia cero es igual a 1 Tambieacuten
10 === minusn
nnn
xxxx
Si todas las bases son distintas de cero y el exponente es cero entonces
a) 150 =
b) ( ) 17 0 =minus
c) ( ) 1303 =ax
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EXPONENTES y RADICALES
23
d) 121 0
975 =
zyx
NOTA
00 es indefinido esto a consecuencia de que infin=00 223 EXPONENTES NEGATIVOS Las reglas de los exponentes son vaacutelidas tambieacuten cuando eacutestos son enteros negativos ( )010 ne=== +minusminus xxxxx nnnn
ya que nxminus 1=nx y nx
1 1=nx
Ademaacutes se define a nxminus como el reciacuteproco de nx Por lo que
nn
xx 1
=minus y nn x
x=
minus
1
NOTA De acuerdo con la definicioacuten de exponentes negativos la base no puede ser 0
Asiacute una expresioacuten como 50minus no estaacute definida por lo que
infin=minus50 Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 25minus b) 310minus c) ( ) 32 minusx d) 13 minusx e) 35xxminus f) ( ) 23 minusminusx Solucioacuten
a) 251
515 2
2 ==minus
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EXPONENTES y RADICALES
24
b) 1000
110110 3
3 ==minus
c) ( ) 33
3
81
21)2(
xxx ==minus
d) 33 1 =minusx xx31
=
e) 2
23535 1x
xxxx === minus+minusminus
f) ( ) 6)2)(3(23 xxx == minusminusminusminus
2224 REGLA DEL COCIENTE Si m y n son enteros entonces
( )0 ne= minus xxxx nm
n
m
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 3
5
aa
b) 11
5
xxminus
c) 5
34
minusxxx
d) ( )( )23
32
x
x e) 4
32
xyyx
f) 3
432
32
minus
baaba
Solucioacuten
a) 2353
5
aaaa
== minus
b) 16
1611511
5 1x
xxxx
=== minusminusminusminus
c) 12575
7
5
34
5
34
xxxxx
xx
xxx
====minusminus
+
minus
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EXPONENTES y RADICALES
25
d) ( )( )
( )( )
( )( ) 10666
6
23
32
23
32
===== minus xxxx
xx
xx
o en su caso
( )( )
( )( )
( )( ) 16
6
23
32
23
32
===xx
xx
xx
e) yxyxyxyyxx
xyyx
==== minusminusminusminusminus 11431243124
32
f) ( )( )
( )
)3)(4()3)(3()3)(middot2(
)3)(3(3)(2
3432
3323
432
32
baaba
baa
babaaba minusminusminus
==
= =
minus
1296
96
baaba
1221321
1215
96 1ba
bababa
=== minusminusminus
o en su caso
=
=
minusminus 3
45
323
432
32
baba
baaba
= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317
33
17
317 1111babababa
ba ===
=minusminus
El siguiente teorema indica que una fraccioacuten elevada a una potencia negativa se puede invertir y elevarse asiacute a una potencia positiva
Teorema Si n es un nuacutemero entero entonces
( )00 nene
=
minus
yxny
yx nn
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EXPONENTES y RADICALES
26
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 4
32 minus
b)
3
2
xy
c) 4
3
2
32
minus
minus
yx
d)
minus
432
32
baaba
Solucioacuten
a) ( )( ) 16
8123
23
32
4
444
==
=
minus
b) ( )( ) 6
9
)3)(2(
)3)(3(
32
333
2
33
3
2
yx
yx
yx
yx
xy
===
=
minus
c) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ====
=
minusminusminusminusminus
minus )4)(2(
)4)(3(
424
434
42
434
2
34
3
2
1681
23
23
23
32
xy
xy
xy
xy
yx
= 8
12
1681
xy minus
= 1681
8
12
xy minus
= 1281681
yx
d) ( )( )
( )( ) ===
=
minusminusminus
minusminus
)3)(3()3)(2(
)3)(4()3)(5(
332
3453
32
4323
432
32
baba
baba
babaa
baaba
= =minus 96
1215
baba 321912)6(15 babbaa =minusminusminus
23 RESUMEN Si no existen divisiones entre 0 (cero) entonces para enteros m y n cualesquiera
a) nmnm xxx += b) ( ) mnnm xx =
c) ( ) nnn yxxy =
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EXPONENTES y RADICALES
27
d) n
nn
yx
yx
=
e) ( )010 ne= xx
f) n
n
xx 1
=minus
g) nmn
m
xxx minus=
h) nn
xy
yx
=
minus
NOTA Las mismas reglas se aplican cuando los exponentes son variables 24 EJERCICIOS
1 Simplificar las siguientes expresiones
a) 24 b) 32 )(x c) 12 )( minusminusx d) 5
2
xx
e) 25minus
Solucioacuten a) 16)4)(4(42 == b) 6)3)(2(32 )( xxx == c) 2)1)(2(12 )( xxx == minusminusminusminus
o tambieacuten
222
22
21212
1)1)(1())(1(
111
111
)(1)( xxx
xxxx
x =======minusminus
minusminus
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EXPONENTES y RADICALES
28
d) 2253)5()3(53
5
3 1))((x
xxxxxxx
===== minusminusminus+minus
o tambieacuten 1 1 1
21
))()()()(())()((
))()()()(())()((
xxxxxxxxx
xxxxxxxx
== = 2minusx
e) 12
2 25251
515 minusminus ===
2 Simplificar las siguientes expresiones considerando que ninguno de los
denominadores sea igual a cero
a) 32
29
)(mmm minus
b) 43
32 )2(minus
minus
aaa
c)043
22 )3(xxx
xminus
minus
d) 042
2022
)4()(4
minus
minus
minusminus
yxyxx
e) 2
25
44
93
minus
minus
minusminus
yxyx
Solucioacuten
a) mmmmm
mm
mmm
===== minusminusminus
1676
7
)3)(2(
29
32
29
)(
b) 561
6
43
)3)(2(3
43
32 88))(8())(2()2(aa
aa
aaa
aaa
====minus
minus
minus
minus
minus
minus
c) 37
4
3)4(
4
322
4
043
22
91
99)1()1()3()3(
xxx
xxx
xxx
xxxx
====minus
minus
d) =minus
=minus
=minus
minus +minus
minus
minus
1)1(4
1)1(4
)4()(4 0222
042
2022 xxyx
yxx
414
1)1)(1(4
minus=minus
=minus
=
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
29
e) ( )( )
( )( ) =minusminus
=minusminus
=
minusminus
minus
minus
minusminus
minusminus
minus 224
225
225
2442
25
44
39
93
93
yxyx
yxyx
yxyx
= ( )
( ) ( ) ( )2
48
410
22242
22252
99
813
)()9( xyxyx
yxyx
==minusminus
minus
minus
minus
minus
3 Encontrar el valor numeacuterico de las siguientes expresiones con 2minus=x y
3=y para
a) 23 yx b) 3
3
yxminus
c) ( ) 22 minusxy d) 23 minusminus xy e) 23)( minusminus xy
Solucioacuten
a) ( ) ( ) 72)9)(8(32 2323 minus=minus=minus=yx
b) ( ) ( ) ( )( ) =minus
=minus
==minus
2781
3211
33333
3
yxyx
2161
2161
minus=minus
=
c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241
3211
2222
22 =minus
==minus
xyxy
d) ( ) ( )( ) 16
2722723 4
4323 minus=
minusminus
=minusminus=minus minusminusxy 1627
minus=
e) ( )( ) 4
272
3)()( 2
3
2
323 =
minus=
minus=minus minus
xyxy
3 RADICALES Con frecuencia en los problemas de aplicacioacuten se debe determinar queacute nuacutemero se puede elevar al cuadrado para obtener un segundo nuacutemero a Si se puede determinar a ese nuacutemero se le llama una raiacutez cuadrada de a Por ejemplo
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EXPONENTES y RADICALES
30
a) 0es una raiacutez cuadrada de 0 porque 002 = b) 4 es una raiacutez cuadrada de 16 porque 1642 = c) 4minus es una raiacutez cuadrada de 16 porque 16)4( 2 =minus d) xy7 es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy = e) xy7minus es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy =minus
31 RAIacuteZ CUADRADA DE a El nuacutemero b es una raiacutez cuadrada de a cuando 2 ab = Todos los nuacutemeros positivos tienen dos nuacutemeros reales que son sus raiacuteces cuadradas uno positivo y otro negativo El uacutenico nuacutemero con una sola raiacutez cuadrada es 0 cuya raiacutez cuadrada es 0 Ejemplo Determinar las dos raiacuteces cuadradas de 121 Solucioacuten Las dos raiacuteces cuadradas de 121son 11y 11minus porque 121112 = y 121)11( 2 =minus 32 RAIacuteZ CUADRADA PRINCIPAL Se llama signo radical al siacutembolo y a x el nuacutemero que se encuentran dentro del signo radical que se llama radicando Siacute x gt 0 la raiacutez principal de x es la raiacutez cuadrada positiva de x y se
representa con x La raiacutez cuadrada principal de 0 es 0 00 = NOTA Por definicioacuten el cuadrado principal de un nuacutemero positivo siempre es positivo Aunque 5 y 5minus son raiacuteces cuadradas de 25 soacutelo 5es la raiacutez cuadrada principal El radical
25 representa 5 El radical 25minus representa 5minus Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuadradas
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EXPONENTES y RADICALES
31
a) 11 =
b) 981 =
c) 981 minus=minus
d) 21
41=
e) 114
12116
minus=minus
f) 20040 =
g) 03000090 minus=minus
Los nuacutemeros como 1600491694 y se llaman cuadrados enteros porque cada uno de ellos es el cuadrado de un entero La raiacutez cuadrada de todo cuadrado entero es un nuacutemero racional Por ejemplo
4016007494163924 =====
Las raiacuteces cuadradas de muchos enteros positivos no son nuacutemeros racionales Por ejemplo 11 es un nuacutemero irracional cuyo valor aproximado ( )asymp es de
31662473 )3166247311( asymp Donde el siacutembolo asympquiere decir ldquoaproximadamente igual ardquo
Las raiacuteces cuadradas de nuacutemeros negativos no son nuacutemeros reales Por
ejemplo 9minus no es nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado al cuadrado es igual a 9minus Las raiacuteces cuadradas de los nuacutemeros negativos originan un conjunto llamado nuacutemeros imaginarios
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
32
33 RAIacuteCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE Si 0nex el nuacutemero positivo 2x tiene por raiacuteces a x y a xminus porque 22)( xx =
y 22)( xx =minus Para indicar la raiacutez cuadrada positiva de 2x se debe saber si x es positivo o negativo Si 0gtx se puede escribir lo siguiente xx =2 donde 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es x Si x es negativo entonces 0gtminus x es xx minus=2 ya que 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es xminus Si no se sabe si x es positivo o negativo se pueden emplear siacutembolos de valor absoluto para garantizar que 2x sea positiva xx =2 siempre y cuando x sea cualquier nuacutemero real Si x es cualquier nuacutemero real entonces
a) xxxx 44)4(16 22 ===
Por lo que escribir 216x en la forma 2)4( x siendo que ( ) 22 164 xx = Puesto que x podriacutea ser negativo Los siacutembolos de valor absoluto son necesarios ya que en el producto x4 4 es una constante positiva
b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2
+=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 4+x puede ser negativo por ejemplo cuando
8minus=x
c) ( ) 1112 22 +=+=++ xxxx Porque ( )211 +=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 1+x puede ser negativo por ejemplo cuando 5minus=x
d) 24 xx = porque ( ) 422 xx = Como 02 gex
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
33
34 RAIacuteCES CUacuteBICAS La raiacutez cuacutebica de x se representa por yx =3 si xy =3 Por ejemplo el nuacutemero 64 tiene dos raiacuteces cuadradas que son nuacutemeros reales 8 y 8minus Sin embargo 64 soacutelo tiene una raiacutez cuacutebica real que es el valor de 4 porque 4 es el uacutenico nuacutemero real cuyo cubo es 64 Por lo tanto
xx =3 3 Como todos los nuacutemeros reales tienen una y solo una raiacutez cuacutebica real algunas
de las cuales son positivas y otras negativas no es necesario emplear siacutembolos de valor absoluto al simplificar las raiacuteces cuacutebicas
Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuacutebicas
a) 3 125 b) 3
81
c) 3 327xminus d) 33
3
278
ba
minus e) 3 632160 yx
Solucioacuten a) 51253 = porque 125)5)(5)(5(53 ==
b) 21
81
3 = porque 81
21
21
21
21 3
=
=
c) xx 3273 3 minus=minus porque ( ) ( )( )( ) 33 273333 xxxxx minus=minusminusminus=minus
d) ba
ba
32
278
33
3
minus=minus porque 3
33
278
32
32
32
32
ba
ba
ba
ba
ba
minus=
minus
minus
minus=
minus
e) 23 63 602160 xyyx = porque
( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==
35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS Asiacute como existen raiacuteces cuadradas y raiacuteces cuacutebicas tambieacuten existen las raiacuteces cuartas raiacuteces quintas raiacuteces sextas etc
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EXPONENTES y RADICALES
34
Cuando n es impar el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez impar Como todo nuacutemero real tiene una y soacutelo una raiacutez eneacutesima real cuando n es impar no es necesario preocuparse por los siacutembolos de valor absoluto cuando se calculan raiacuteces impares Ejemplo
a) 33243 5 55 == porque 24335 = b) ( ) xxx 227128 77 7 minus=minus=minus porque ( ) 77 1282 xx minus=minus
Cuando n es par el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez par En este caso habraacute una raiacutez eneacutesima positiva y una eneacutesima negativa Por ejemplo las dos raiacuteces sextas reales de 729 son 3 y 3minus porque
72936 = y 729)3( 6 =minus Cuando se determinan raiacuteces reales se emplean con frecuencia los siacutembolos de valor absoluto para garantizar que la eneacutesima raiacutez sea positiva Ejemplos
a) ( ) 3334 4 =minus=minus
Tambieacuten se puede simplificar de la siguiente manera ( ) 3813 44 4 ==minus
b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===
Los siacutembolos de valor absoluto garantizan que la raiacutez sexta es positiva
Generalizando se tienen las siguientes reglas Si x es un nuacutemero real y 1gtn entonces
a) Si n es un nuacutemero impar natural xxn n =
b) Si n es un nuacutemero par natural xxn n =
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EXPONENTES y RADICALES
35
NOTA En el radical n x a n se le llama el iacutendice u orden del radical Cuando el iacutendice
es 2 el radical es una raiacutez cuadrada y se acostumbra no escribir el iacutendice Cuando n es par ( )2gtn y 0ltx el radical n x no es un nuacutemero real Por
ejemplo 4 81minus no es un nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado a la cuarta potencia es 81minus
Ejemplo
a) 56254 = porque 62554 = b) 2325 minus=minus porque ( ) 322 5 minus=minus
c) 21
641
6 = porque 641
21 6
=
36 EXPONENTES RACIONALES Los exponentes enteros positivos indican la cantidad de veces que se debe usar una base como factor en un producto Por ejemplo 5x significa que x se debe emplear cinco veces como factor ya que xdefactores5 ( )( )( )( )( )xxxxxx =5 Es posible elevar bases a potencias racionales (fraccionarias) cuando se desea que dichos exponentes respeten las mismas reglas que los coeficientes enteros el
cuadrado de 21
10 debe ser 10 porque
( )
10101010 1
2
212
21
===
Se mantiene la base y se multiplican los exponentes
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
36
( ) 112
212
21
=
=
10101 =
Sin embargo hay que recordar que ( ) 1010
2=
Como 2
21
10
y ( )210 son iguales a 10
Con esto se puede definir que 21
10 es igual a 10 Igualmente para
a) 31
10 como 3 10
b) 41
10 como 4 10
c) 51
10 como 5 10
Por lo que si n es un nuacutemero natural mayor que 1 y n x es un nuacutemero real entonces
nn xx =1
Ejemplo Resolver los siguientes radicales
a) 21
9 b) 21
916
minus c) ( )3
1
64minus d) 41
16 e) 51
321
f) 8
1
0 g) ( )51
232xminus
h) ( )41
xyz
Solucioacuten
a) 3999 221
===
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EXPONENTES y RADICALES
37
b) 34
916
916
916
221
minus=minus=minus=
minus
c) ( ) 46464 331
minus=minus=minus
d) 21616 441
==
e) 21
321
321
551
==
f) 000 881
==
g) ( ) xxx 23232 5 551
5 minus=minus=minus
h) ( ) 441
xyzxyz =
i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes
fraccionarios
a) 4 5xyz b) 52
15xy
Solucioacuten
a) ( )41
4 55 xyzxyz =
b) 51
2
5
2
1515
=xyxy
37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1
Se puede ampliar la definicioacuten de nx1
para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1
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EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
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EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
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EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
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EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
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EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
21
( ) mnnm xx = nnn yxxy =)( n
nn
yx
yx
=
)0( ney
Ejemplos
Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) ( )323 b) ( )511x c) ( )632xx d) ( ) ( )2342 xx e) ( )32 yx f) ( )443 yx g) 4
2
yx
h) 2
4
3
yx
Solucioacuten
a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===
b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==
c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +
d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +
e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===
f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==
g) ( ) 8
4
42
44
2 yx
yx
yx
==
( )0ney
h) ( )( ) 8
62
24
32
4
3
yx
yx
yx
==
( )0ney
Analizar la diferencia que existe entre nxminus y nx)(minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
22
Solucioacuten
xdefactoresn xdefactoresn minus
(minus=minus nx x x x x ) y )())()(()( xxxxx n minusminusminusminus=minus
Tambieacuten es conveniente hacer notar la diferencia que existe entre nax y ( )nax donde
xdefactoresn axdefactoresn
aaxn = x x x x y )())()(()( axaxaxaxax n = 222 EL EXPONENTE CERO Cuando las reglas de los exponentes son vaacutelidas y si el exponente es igual a 0 (cero) se tiene lo siguiente nnnnn xxxxxx 1)1()1(00 ==== + Como nn xxx 10 = en consecuencia ( )010 ne= xx
El exponente cero si 10 0 =ne xentoncesx En general cualquier base distinta de cero elevada a la potencia cero es igual a 1 Tambieacuten
10 === minusn
nnn
xxxx
Si todas las bases son distintas de cero y el exponente es cero entonces
a) 150 =
b) ( ) 17 0 =minus
c) ( ) 1303 =ax
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EXPONENTES y RADICALES
23
d) 121 0
975 =
zyx
NOTA
00 es indefinido esto a consecuencia de que infin=00 223 EXPONENTES NEGATIVOS Las reglas de los exponentes son vaacutelidas tambieacuten cuando eacutestos son enteros negativos ( )010 ne=== +minusminus xxxxx nnnn
ya que nxminus 1=nx y nx
1 1=nx
Ademaacutes se define a nxminus como el reciacuteproco de nx Por lo que
nn
xx 1
=minus y nn x
x=
minus
1
NOTA De acuerdo con la definicioacuten de exponentes negativos la base no puede ser 0
Asiacute una expresioacuten como 50minus no estaacute definida por lo que
infin=minus50 Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 25minus b) 310minus c) ( ) 32 minusx d) 13 minusx e) 35xxminus f) ( ) 23 minusminusx Solucioacuten
a) 251
515 2
2 ==minus
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EXPONENTES y RADICALES
24
b) 1000
110110 3
3 ==minus
c) ( ) 33
3
81
21)2(
xxx ==minus
d) 33 1 =minusx xx31
=
e) 2
23535 1x
xxxx === minus+minusminus
f) ( ) 6)2)(3(23 xxx == minusminusminusminus
2224 REGLA DEL COCIENTE Si m y n son enteros entonces
( )0 ne= minus xxxx nm
n
m
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 3
5
aa
b) 11
5
xxminus
c) 5
34
minusxxx
d) ( )( )23
32
x
x e) 4
32
xyyx
f) 3
432
32
minus
baaba
Solucioacuten
a) 2353
5
aaaa
== minus
b) 16
1611511
5 1x
xxxx
=== minusminusminusminus
c) 12575
7
5
34
5
34
xxxxx
xx
xxx
====minusminus
+
minus
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EXPONENTES y RADICALES
25
d) ( )( )
( )( )
( )( ) 10666
6
23
32
23
32
===== minus xxxx
xx
xx
o en su caso
( )( )
( )( )
( )( ) 16
6
23
32
23
32
===xx
xx
xx
e) yxyxyxyyxx
xyyx
==== minusminusminusminusminus 11431243124
32
f) ( )( )
( )
)3)(4()3)(3()3)(middot2(
)3)(3(3)(2
3432
3323
432
32
baaba
baa
babaaba minusminusminus
==
= =
minus
1296
96
baaba
1221321
1215
96 1ba
bababa
=== minusminusminus
o en su caso
=
=
minusminus 3
45
323
432
32
baba
baaba
= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317
33
17
317 1111babababa
ba ===
=minusminus
El siguiente teorema indica que una fraccioacuten elevada a una potencia negativa se puede invertir y elevarse asiacute a una potencia positiva
Teorema Si n es un nuacutemero entero entonces
( )00 nene
=
minus
yxny
yx nn
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EXPONENTES y RADICALES
26
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 4
32 minus
b)
3
2
xy
c) 4
3
2
32
minus
minus
yx
d)
minus
432
32
baaba
Solucioacuten
a) ( )( ) 16
8123
23
32
4
444
==
=
minus
b) ( )( ) 6
9
)3)(2(
)3)(3(
32
333
2
33
3
2
yx
yx
yx
yx
xy
===
=
minus
c) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ====
=
minusminusminusminusminus
minus )4)(2(
)4)(3(
424
434
42
434
2
34
3
2
1681
23
23
23
32
xy
xy
xy
xy
yx
= 8
12
1681
xy minus
= 1681
8
12
xy minus
= 1281681
yx
d) ( )( )
( )( ) ===
=
minusminusminus
minusminus
)3)(3()3)(2(
)3)(4()3)(5(
332
3453
32
4323
432
32
baba
baba
babaa
baaba
= =minus 96
1215
baba 321912)6(15 babbaa =minusminusminus
23 RESUMEN Si no existen divisiones entre 0 (cero) entonces para enteros m y n cualesquiera
a) nmnm xxx += b) ( ) mnnm xx =
c) ( ) nnn yxxy =
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EXPONENTES y RADICALES
27
d) n
nn
yx
yx
=
e) ( )010 ne= xx
f) n
n
xx 1
=minus
g) nmn
m
xxx minus=
h) nn
xy
yx
=
minus
NOTA Las mismas reglas se aplican cuando los exponentes son variables 24 EJERCICIOS
1 Simplificar las siguientes expresiones
a) 24 b) 32 )(x c) 12 )( minusminusx d) 5
2
xx
e) 25minus
Solucioacuten a) 16)4)(4(42 == b) 6)3)(2(32 )( xxx == c) 2)1)(2(12 )( xxx == minusminusminusminus
o tambieacuten
222
22
21212
1)1)(1())(1(
111
111
)(1)( xxx
xxxx
x =======minusminus
minusminus
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EXPONENTES y RADICALES
28
d) 2253)5()3(53
5
3 1))((x
xxxxxxx
===== minusminusminus+minus
o tambieacuten 1 1 1
21
))()()()(())()((
))()()()(())()((
xxxxxxxxx
xxxxxxxx
== = 2minusx
e) 12
2 25251
515 minusminus ===
2 Simplificar las siguientes expresiones considerando que ninguno de los
denominadores sea igual a cero
a) 32
29
)(mmm minus
b) 43
32 )2(minus
minus
aaa
c)043
22 )3(xxx
xminus
minus
d) 042
2022
)4()(4
minus
minus
minusminus
yxyxx
e) 2
25
44
93
minus
minus
minusminus
yxyx
Solucioacuten
a) mmmmm
mm
mmm
===== minusminusminus
1676
7
)3)(2(
29
32
29
)(
b) 561
6
43
)3)(2(3
43
32 88))(8())(2()2(aa
aa
aaa
aaa
====minus
minus
minus
minus
minus
minus
c) 37
4
3)4(
4
322
4
043
22
91
99)1()1()3()3(
xxx
xxx
xxx
xxxx
====minus
minus
d) =minus
=minus
=minus
minus +minus
minus
minus
1)1(4
1)1(4
)4()(4 0222
042
2022 xxyx
yxx
414
1)1)(1(4
minus=minus
=minus
=
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
29
e) ( )( )
( )( ) =minusminus
=minusminus
=
minusminus
minus
minus
minusminus
minusminus
minus 224
225
225
2442
25
44
39
93
93
yxyx
yxyx
yxyx
= ( )
( ) ( ) ( )2
48
410
22242
22252
99
813
)()9( xyxyx
yxyx
==minusminus
minus
minus
minus
minus
3 Encontrar el valor numeacuterico de las siguientes expresiones con 2minus=x y
3=y para
a) 23 yx b) 3
3
yxminus
c) ( ) 22 minusxy d) 23 minusminus xy e) 23)( minusminus xy
Solucioacuten
a) ( ) ( ) 72)9)(8(32 2323 minus=minus=minus=yx
b) ( ) ( ) ( )( ) =minus
=minus
==minus
2781
3211
33333
3
yxyx
2161
2161
minus=minus
=
c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241
3211
2222
22 =minus
==minus
xyxy
d) ( ) ( )( ) 16
2722723 4
4323 minus=
minusminus
=minusminus=minus minusminusxy 1627
minus=
e) ( )( ) 4
272
3)()( 2
3
2
323 =
minus=
minus=minus minus
xyxy
3 RADICALES Con frecuencia en los problemas de aplicacioacuten se debe determinar queacute nuacutemero se puede elevar al cuadrado para obtener un segundo nuacutemero a Si se puede determinar a ese nuacutemero se le llama una raiacutez cuadrada de a Por ejemplo
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EXPONENTES y RADICALES
30
a) 0es una raiacutez cuadrada de 0 porque 002 = b) 4 es una raiacutez cuadrada de 16 porque 1642 = c) 4minus es una raiacutez cuadrada de 16 porque 16)4( 2 =minus d) xy7 es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy = e) xy7minus es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy =minus
31 RAIacuteZ CUADRADA DE a El nuacutemero b es una raiacutez cuadrada de a cuando 2 ab = Todos los nuacutemeros positivos tienen dos nuacutemeros reales que son sus raiacuteces cuadradas uno positivo y otro negativo El uacutenico nuacutemero con una sola raiacutez cuadrada es 0 cuya raiacutez cuadrada es 0 Ejemplo Determinar las dos raiacuteces cuadradas de 121 Solucioacuten Las dos raiacuteces cuadradas de 121son 11y 11minus porque 121112 = y 121)11( 2 =minus 32 RAIacuteZ CUADRADA PRINCIPAL Se llama signo radical al siacutembolo y a x el nuacutemero que se encuentran dentro del signo radical que se llama radicando Siacute x gt 0 la raiacutez principal de x es la raiacutez cuadrada positiva de x y se
representa con x La raiacutez cuadrada principal de 0 es 0 00 = NOTA Por definicioacuten el cuadrado principal de un nuacutemero positivo siempre es positivo Aunque 5 y 5minus son raiacuteces cuadradas de 25 soacutelo 5es la raiacutez cuadrada principal El radical
25 representa 5 El radical 25minus representa 5minus Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuadradas
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EXPONENTES y RADICALES
31
a) 11 =
b) 981 =
c) 981 minus=minus
d) 21
41=
e) 114
12116
minus=minus
f) 20040 =
g) 03000090 minus=minus
Los nuacutemeros como 1600491694 y se llaman cuadrados enteros porque cada uno de ellos es el cuadrado de un entero La raiacutez cuadrada de todo cuadrado entero es un nuacutemero racional Por ejemplo
4016007494163924 =====
Las raiacuteces cuadradas de muchos enteros positivos no son nuacutemeros racionales Por ejemplo 11 es un nuacutemero irracional cuyo valor aproximado ( )asymp es de
31662473 )3166247311( asymp Donde el siacutembolo asympquiere decir ldquoaproximadamente igual ardquo
Las raiacuteces cuadradas de nuacutemeros negativos no son nuacutemeros reales Por
ejemplo 9minus no es nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado al cuadrado es igual a 9minus Las raiacuteces cuadradas de los nuacutemeros negativos originan un conjunto llamado nuacutemeros imaginarios
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
32
33 RAIacuteCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE Si 0nex el nuacutemero positivo 2x tiene por raiacuteces a x y a xminus porque 22)( xx =
y 22)( xx =minus Para indicar la raiacutez cuadrada positiva de 2x se debe saber si x es positivo o negativo Si 0gtx se puede escribir lo siguiente xx =2 donde 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es x Si x es negativo entonces 0gtminus x es xx minus=2 ya que 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es xminus Si no se sabe si x es positivo o negativo se pueden emplear siacutembolos de valor absoluto para garantizar que 2x sea positiva xx =2 siempre y cuando x sea cualquier nuacutemero real Si x es cualquier nuacutemero real entonces
a) xxxx 44)4(16 22 ===
Por lo que escribir 216x en la forma 2)4( x siendo que ( ) 22 164 xx = Puesto que x podriacutea ser negativo Los siacutembolos de valor absoluto son necesarios ya que en el producto x4 4 es una constante positiva
b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2
+=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 4+x puede ser negativo por ejemplo cuando
8minus=x
c) ( ) 1112 22 +=+=++ xxxx Porque ( )211 +=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 1+x puede ser negativo por ejemplo cuando 5minus=x
d) 24 xx = porque ( ) 422 xx = Como 02 gex
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
33
34 RAIacuteCES CUacuteBICAS La raiacutez cuacutebica de x se representa por yx =3 si xy =3 Por ejemplo el nuacutemero 64 tiene dos raiacuteces cuadradas que son nuacutemeros reales 8 y 8minus Sin embargo 64 soacutelo tiene una raiacutez cuacutebica real que es el valor de 4 porque 4 es el uacutenico nuacutemero real cuyo cubo es 64 Por lo tanto
xx =3 3 Como todos los nuacutemeros reales tienen una y solo una raiacutez cuacutebica real algunas
de las cuales son positivas y otras negativas no es necesario emplear siacutembolos de valor absoluto al simplificar las raiacuteces cuacutebicas
Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuacutebicas
a) 3 125 b) 3
81
c) 3 327xminus d) 33
3
278
ba
minus e) 3 632160 yx
Solucioacuten a) 51253 = porque 125)5)(5)(5(53 ==
b) 21
81
3 = porque 81
21
21
21
21 3
=
=
c) xx 3273 3 minus=minus porque ( ) ( )( )( ) 33 273333 xxxxx minus=minusminusminus=minus
d) ba
ba
32
278
33
3
minus=minus porque 3
33
278
32
32
32
32
ba
ba
ba
ba
ba
minus=
minus
minus
minus=
minus
e) 23 63 602160 xyyx = porque
( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==
35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS Asiacute como existen raiacuteces cuadradas y raiacuteces cuacutebicas tambieacuten existen las raiacuteces cuartas raiacuteces quintas raiacuteces sextas etc
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
34
Cuando n es impar el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez impar Como todo nuacutemero real tiene una y soacutelo una raiacutez eneacutesima real cuando n es impar no es necesario preocuparse por los siacutembolos de valor absoluto cuando se calculan raiacuteces impares Ejemplo
a) 33243 5 55 == porque 24335 = b) ( ) xxx 227128 77 7 minus=minus=minus porque ( ) 77 1282 xx minus=minus
Cuando n es par el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez par En este caso habraacute una raiacutez eneacutesima positiva y una eneacutesima negativa Por ejemplo las dos raiacuteces sextas reales de 729 son 3 y 3minus porque
72936 = y 729)3( 6 =minus Cuando se determinan raiacuteces reales se emplean con frecuencia los siacutembolos de valor absoluto para garantizar que la eneacutesima raiacutez sea positiva Ejemplos
a) ( ) 3334 4 =minus=minus
Tambieacuten se puede simplificar de la siguiente manera ( ) 3813 44 4 ==minus
b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===
Los siacutembolos de valor absoluto garantizan que la raiacutez sexta es positiva
Generalizando se tienen las siguientes reglas Si x es un nuacutemero real y 1gtn entonces
a) Si n es un nuacutemero impar natural xxn n =
b) Si n es un nuacutemero par natural xxn n =
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EXPONENTES y RADICALES
35
NOTA En el radical n x a n se le llama el iacutendice u orden del radical Cuando el iacutendice
es 2 el radical es una raiacutez cuadrada y se acostumbra no escribir el iacutendice Cuando n es par ( )2gtn y 0ltx el radical n x no es un nuacutemero real Por
ejemplo 4 81minus no es un nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado a la cuarta potencia es 81minus
Ejemplo
a) 56254 = porque 62554 = b) 2325 minus=minus porque ( ) 322 5 minus=minus
c) 21
641
6 = porque 641
21 6
=
36 EXPONENTES RACIONALES Los exponentes enteros positivos indican la cantidad de veces que se debe usar una base como factor en un producto Por ejemplo 5x significa que x se debe emplear cinco veces como factor ya que xdefactores5 ( )( )( )( )( )xxxxxx =5 Es posible elevar bases a potencias racionales (fraccionarias) cuando se desea que dichos exponentes respeten las mismas reglas que los coeficientes enteros el
cuadrado de 21
10 debe ser 10 porque
( )
10101010 1
2
212
21
===
Se mantiene la base y se multiplican los exponentes
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
36
( ) 112
212
21
=
=
10101 =
Sin embargo hay que recordar que ( ) 1010
2=
Como 2
21
10
y ( )210 son iguales a 10
Con esto se puede definir que 21
10 es igual a 10 Igualmente para
a) 31
10 como 3 10
b) 41
10 como 4 10
c) 51
10 como 5 10
Por lo que si n es un nuacutemero natural mayor que 1 y n x es un nuacutemero real entonces
nn xx =1
Ejemplo Resolver los siguientes radicales
a) 21
9 b) 21
916
minus c) ( )3
1
64minus d) 41
16 e) 51
321
f) 8
1
0 g) ( )51
232xminus
h) ( )41
xyz
Solucioacuten
a) 3999 221
===
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
37
b) 34
916
916
916
221
minus=minus=minus=
minus
c) ( ) 46464 331
minus=minus=minus
d) 21616 441
==
e) 21
321
321
551
==
f) 000 881
==
g) ( ) xxx 23232 5 551
5 minus=minus=minus
h) ( ) 441
xyzxyz =
i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes
fraccionarios
a) 4 5xyz b) 52
15xy
Solucioacuten
a) ( )41
4 55 xyzxyz =
b) 51
2
5
2
1515
=xyxy
37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1
Se puede ampliar la definicioacuten de nx1
para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
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EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
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EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
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EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
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EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
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EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
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EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
22
Solucioacuten
xdefactoresn xdefactoresn minus
(minus=minus nx x x x x ) y )())()(()( xxxxx n minusminusminusminus=minus
Tambieacuten es conveniente hacer notar la diferencia que existe entre nax y ( )nax donde
xdefactoresn axdefactoresn
aaxn = x x x x y )())()(()( axaxaxaxax n = 222 EL EXPONENTE CERO Cuando las reglas de los exponentes son vaacutelidas y si el exponente es igual a 0 (cero) se tiene lo siguiente nnnnn xxxxxx 1)1()1(00 ==== + Como nn xxx 10 = en consecuencia ( )010 ne= xx
El exponente cero si 10 0 =ne xentoncesx En general cualquier base distinta de cero elevada a la potencia cero es igual a 1 Tambieacuten
10 === minusn
nnn
xxxx
Si todas las bases son distintas de cero y el exponente es cero entonces
a) 150 =
b) ( ) 17 0 =minus
c) ( ) 1303 =ax
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
23
d) 121 0
975 =
zyx
NOTA
00 es indefinido esto a consecuencia de que infin=00 223 EXPONENTES NEGATIVOS Las reglas de los exponentes son vaacutelidas tambieacuten cuando eacutestos son enteros negativos ( )010 ne=== +minusminus xxxxx nnnn
ya que nxminus 1=nx y nx
1 1=nx
Ademaacutes se define a nxminus como el reciacuteproco de nx Por lo que
nn
xx 1
=minus y nn x
x=
minus
1
NOTA De acuerdo con la definicioacuten de exponentes negativos la base no puede ser 0
Asiacute una expresioacuten como 50minus no estaacute definida por lo que
infin=minus50 Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 25minus b) 310minus c) ( ) 32 minusx d) 13 minusx e) 35xxminus f) ( ) 23 minusminusx Solucioacuten
a) 251
515 2
2 ==minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
24
b) 1000
110110 3
3 ==minus
c) ( ) 33
3
81
21)2(
xxx ==minus
d) 33 1 =minusx xx31
=
e) 2
23535 1x
xxxx === minus+minusminus
f) ( ) 6)2)(3(23 xxx == minusminusminusminus
2224 REGLA DEL COCIENTE Si m y n son enteros entonces
( )0 ne= minus xxxx nm
n
m
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 3
5
aa
b) 11
5
xxminus
c) 5
34
minusxxx
d) ( )( )23
32
x
x e) 4
32
xyyx
f) 3
432
32
minus
baaba
Solucioacuten
a) 2353
5
aaaa
== minus
b) 16
1611511
5 1x
xxxx
=== minusminusminusminus
c) 12575
7
5
34
5
34
xxxxx
xx
xxx
====minusminus
+
minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
25
d) ( )( )
( )( )
( )( ) 10666
6
23
32
23
32
===== minus xxxx
xx
xx
o en su caso
( )( )
( )( )
( )( ) 16
6
23
32
23
32
===xx
xx
xx
e) yxyxyxyyxx
xyyx
==== minusminusminusminusminus 11431243124
32
f) ( )( )
( )
)3)(4()3)(3()3)(middot2(
)3)(3(3)(2
3432
3323
432
32
baaba
baa
babaaba minusminusminus
==
= =
minus
1296
96
baaba
1221321
1215
96 1ba
bababa
=== minusminusminus
o en su caso
=
=
minusminus 3
45
323
432
32
baba
baaba
= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317
33
17
317 1111babababa
ba ===
=minusminus
El siguiente teorema indica que una fraccioacuten elevada a una potencia negativa se puede invertir y elevarse asiacute a una potencia positiva
Teorema Si n es un nuacutemero entero entonces
( )00 nene
=
minus
yxny
yx nn
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EXPONENTES y RADICALES
26
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 4
32 minus
b)
3
2
xy
c) 4
3
2
32
minus
minus
yx
d)
minus
432
32
baaba
Solucioacuten
a) ( )( ) 16
8123
23
32
4
444
==
=
minus
b) ( )( ) 6
9
)3)(2(
)3)(3(
32
333
2
33
3
2
yx
yx
yx
yx
xy
===
=
minus
c) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ====
=
minusminusminusminusminus
minus )4)(2(
)4)(3(
424
434
42
434
2
34
3
2
1681
23
23
23
32
xy
xy
xy
xy
yx
= 8
12
1681
xy minus
= 1681
8
12
xy minus
= 1281681
yx
d) ( )( )
( )( ) ===
=
minusminusminus
minusminus
)3)(3()3)(2(
)3)(4()3)(5(
332
3453
32
4323
432
32
baba
baba
babaa
baaba
= =minus 96
1215
baba 321912)6(15 babbaa =minusminusminus
23 RESUMEN Si no existen divisiones entre 0 (cero) entonces para enteros m y n cualesquiera
a) nmnm xxx += b) ( ) mnnm xx =
c) ( ) nnn yxxy =
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EXPONENTES y RADICALES
27
d) n
nn
yx
yx
=
e) ( )010 ne= xx
f) n
n
xx 1
=minus
g) nmn
m
xxx minus=
h) nn
xy
yx
=
minus
NOTA Las mismas reglas se aplican cuando los exponentes son variables 24 EJERCICIOS
1 Simplificar las siguientes expresiones
a) 24 b) 32 )(x c) 12 )( minusminusx d) 5
2
xx
e) 25minus
Solucioacuten a) 16)4)(4(42 == b) 6)3)(2(32 )( xxx == c) 2)1)(2(12 )( xxx == minusminusminusminus
o tambieacuten
222
22
21212
1)1)(1())(1(
111
111
)(1)( xxx
xxxx
x =======minusminus
minusminus
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EXPONENTES y RADICALES
28
d) 2253)5()3(53
5
3 1))((x
xxxxxxx
===== minusminusminus+minus
o tambieacuten 1 1 1
21
))()()()(())()((
))()()()(())()((
xxxxxxxxx
xxxxxxxx
== = 2minusx
e) 12
2 25251
515 minusminus ===
2 Simplificar las siguientes expresiones considerando que ninguno de los
denominadores sea igual a cero
a) 32
29
)(mmm minus
b) 43
32 )2(minus
minus
aaa
c)043
22 )3(xxx
xminus
minus
d) 042
2022
)4()(4
minus
minus
minusminus
yxyxx
e) 2
25
44
93
minus
minus
minusminus
yxyx
Solucioacuten
a) mmmmm
mm
mmm
===== minusminusminus
1676
7
)3)(2(
29
32
29
)(
b) 561
6
43
)3)(2(3
43
32 88))(8())(2()2(aa
aa
aaa
aaa
====minus
minus
minus
minus
minus
minus
c) 37
4
3)4(
4
322
4
043
22
91
99)1()1()3()3(
xxx
xxx
xxx
xxxx
====minus
minus
d) =minus
=minus
=minus
minus +minus
minus
minus
1)1(4
1)1(4
)4()(4 0222
042
2022 xxyx
yxx
414
1)1)(1(4
minus=minus
=minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
29
e) ( )( )
( )( ) =minusminus
=minusminus
=
minusminus
minus
minus
minusminus
minusminus
minus 224
225
225
2442
25
44
39
93
93
yxyx
yxyx
yxyx
= ( )
( ) ( ) ( )2
48
410
22242
22252
99
813
)()9( xyxyx
yxyx
==minusminus
minus
minus
minus
minus
3 Encontrar el valor numeacuterico de las siguientes expresiones con 2minus=x y
3=y para
a) 23 yx b) 3
3
yxminus
c) ( ) 22 minusxy d) 23 minusminus xy e) 23)( minusminus xy
Solucioacuten
a) ( ) ( ) 72)9)(8(32 2323 minus=minus=minus=yx
b) ( ) ( ) ( )( ) =minus
=minus
==minus
2781
3211
33333
3
yxyx
2161
2161
minus=minus
=
c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241
3211
2222
22 =minus
==minus
xyxy
d) ( ) ( )( ) 16
2722723 4
4323 minus=
minusminus
=minusminus=minus minusminusxy 1627
minus=
e) ( )( ) 4
272
3)()( 2
3
2
323 =
minus=
minus=minus minus
xyxy
3 RADICALES Con frecuencia en los problemas de aplicacioacuten se debe determinar queacute nuacutemero se puede elevar al cuadrado para obtener un segundo nuacutemero a Si se puede determinar a ese nuacutemero se le llama una raiacutez cuadrada de a Por ejemplo
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EXPONENTES y RADICALES
30
a) 0es una raiacutez cuadrada de 0 porque 002 = b) 4 es una raiacutez cuadrada de 16 porque 1642 = c) 4minus es una raiacutez cuadrada de 16 porque 16)4( 2 =minus d) xy7 es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy = e) xy7minus es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy =minus
31 RAIacuteZ CUADRADA DE a El nuacutemero b es una raiacutez cuadrada de a cuando 2 ab = Todos los nuacutemeros positivos tienen dos nuacutemeros reales que son sus raiacuteces cuadradas uno positivo y otro negativo El uacutenico nuacutemero con una sola raiacutez cuadrada es 0 cuya raiacutez cuadrada es 0 Ejemplo Determinar las dos raiacuteces cuadradas de 121 Solucioacuten Las dos raiacuteces cuadradas de 121son 11y 11minus porque 121112 = y 121)11( 2 =minus 32 RAIacuteZ CUADRADA PRINCIPAL Se llama signo radical al siacutembolo y a x el nuacutemero que se encuentran dentro del signo radical que se llama radicando Siacute x gt 0 la raiacutez principal de x es la raiacutez cuadrada positiva de x y se
representa con x La raiacutez cuadrada principal de 0 es 0 00 = NOTA Por definicioacuten el cuadrado principal de un nuacutemero positivo siempre es positivo Aunque 5 y 5minus son raiacuteces cuadradas de 25 soacutelo 5es la raiacutez cuadrada principal El radical
25 representa 5 El radical 25minus representa 5minus Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuadradas
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EXPONENTES y RADICALES
31
a) 11 =
b) 981 =
c) 981 minus=minus
d) 21
41=
e) 114
12116
minus=minus
f) 20040 =
g) 03000090 minus=minus
Los nuacutemeros como 1600491694 y se llaman cuadrados enteros porque cada uno de ellos es el cuadrado de un entero La raiacutez cuadrada de todo cuadrado entero es un nuacutemero racional Por ejemplo
4016007494163924 =====
Las raiacuteces cuadradas de muchos enteros positivos no son nuacutemeros racionales Por ejemplo 11 es un nuacutemero irracional cuyo valor aproximado ( )asymp es de
31662473 )3166247311( asymp Donde el siacutembolo asympquiere decir ldquoaproximadamente igual ardquo
Las raiacuteces cuadradas de nuacutemeros negativos no son nuacutemeros reales Por
ejemplo 9minus no es nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado al cuadrado es igual a 9minus Las raiacuteces cuadradas de los nuacutemeros negativos originan un conjunto llamado nuacutemeros imaginarios
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EXPONENTES y RADICALES
32
33 RAIacuteCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE Si 0nex el nuacutemero positivo 2x tiene por raiacuteces a x y a xminus porque 22)( xx =
y 22)( xx =minus Para indicar la raiacutez cuadrada positiva de 2x se debe saber si x es positivo o negativo Si 0gtx se puede escribir lo siguiente xx =2 donde 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es x Si x es negativo entonces 0gtminus x es xx minus=2 ya que 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es xminus Si no se sabe si x es positivo o negativo se pueden emplear siacutembolos de valor absoluto para garantizar que 2x sea positiva xx =2 siempre y cuando x sea cualquier nuacutemero real Si x es cualquier nuacutemero real entonces
a) xxxx 44)4(16 22 ===
Por lo que escribir 216x en la forma 2)4( x siendo que ( ) 22 164 xx = Puesto que x podriacutea ser negativo Los siacutembolos de valor absoluto son necesarios ya que en el producto x4 4 es una constante positiva
b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2
+=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 4+x puede ser negativo por ejemplo cuando
8minus=x
c) ( ) 1112 22 +=+=++ xxxx Porque ( )211 +=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 1+x puede ser negativo por ejemplo cuando 5minus=x
d) 24 xx = porque ( ) 422 xx = Como 02 gex
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
33
34 RAIacuteCES CUacuteBICAS La raiacutez cuacutebica de x se representa por yx =3 si xy =3 Por ejemplo el nuacutemero 64 tiene dos raiacuteces cuadradas que son nuacutemeros reales 8 y 8minus Sin embargo 64 soacutelo tiene una raiacutez cuacutebica real que es el valor de 4 porque 4 es el uacutenico nuacutemero real cuyo cubo es 64 Por lo tanto
xx =3 3 Como todos los nuacutemeros reales tienen una y solo una raiacutez cuacutebica real algunas
de las cuales son positivas y otras negativas no es necesario emplear siacutembolos de valor absoluto al simplificar las raiacuteces cuacutebicas
Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuacutebicas
a) 3 125 b) 3
81
c) 3 327xminus d) 33
3
278
ba
minus e) 3 632160 yx
Solucioacuten a) 51253 = porque 125)5)(5)(5(53 ==
b) 21
81
3 = porque 81
21
21
21
21 3
=
=
c) xx 3273 3 minus=minus porque ( ) ( )( )( ) 33 273333 xxxxx minus=minusminusminus=minus
d) ba
ba
32
278
33
3
minus=minus porque 3
33
278
32
32
32
32
ba
ba
ba
ba
ba
minus=
minus
minus
minus=
minus
e) 23 63 602160 xyyx = porque
( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==
35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS Asiacute como existen raiacuteces cuadradas y raiacuteces cuacutebicas tambieacuten existen las raiacuteces cuartas raiacuteces quintas raiacuteces sextas etc
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EXPONENTES y RADICALES
34
Cuando n es impar el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez impar Como todo nuacutemero real tiene una y soacutelo una raiacutez eneacutesima real cuando n es impar no es necesario preocuparse por los siacutembolos de valor absoluto cuando se calculan raiacuteces impares Ejemplo
a) 33243 5 55 == porque 24335 = b) ( ) xxx 227128 77 7 minus=minus=minus porque ( ) 77 1282 xx minus=minus
Cuando n es par el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez par En este caso habraacute una raiacutez eneacutesima positiva y una eneacutesima negativa Por ejemplo las dos raiacuteces sextas reales de 729 son 3 y 3minus porque
72936 = y 729)3( 6 =minus Cuando se determinan raiacuteces reales se emplean con frecuencia los siacutembolos de valor absoluto para garantizar que la eneacutesima raiacutez sea positiva Ejemplos
a) ( ) 3334 4 =minus=minus
Tambieacuten se puede simplificar de la siguiente manera ( ) 3813 44 4 ==minus
b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===
Los siacutembolos de valor absoluto garantizan que la raiacutez sexta es positiva
Generalizando se tienen las siguientes reglas Si x es un nuacutemero real y 1gtn entonces
a) Si n es un nuacutemero impar natural xxn n =
b) Si n es un nuacutemero par natural xxn n =
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EXPONENTES y RADICALES
35
NOTA En el radical n x a n se le llama el iacutendice u orden del radical Cuando el iacutendice
es 2 el radical es una raiacutez cuadrada y se acostumbra no escribir el iacutendice Cuando n es par ( )2gtn y 0ltx el radical n x no es un nuacutemero real Por
ejemplo 4 81minus no es un nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado a la cuarta potencia es 81minus
Ejemplo
a) 56254 = porque 62554 = b) 2325 minus=minus porque ( ) 322 5 minus=minus
c) 21
641
6 = porque 641
21 6
=
36 EXPONENTES RACIONALES Los exponentes enteros positivos indican la cantidad de veces que se debe usar una base como factor en un producto Por ejemplo 5x significa que x se debe emplear cinco veces como factor ya que xdefactores5 ( )( )( )( )( )xxxxxx =5 Es posible elevar bases a potencias racionales (fraccionarias) cuando se desea que dichos exponentes respeten las mismas reglas que los coeficientes enteros el
cuadrado de 21
10 debe ser 10 porque
( )
10101010 1
2
212
21
===
Se mantiene la base y se multiplican los exponentes
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
36
( ) 112
212
21
=
=
10101 =
Sin embargo hay que recordar que ( ) 1010
2=
Como 2
21
10
y ( )210 son iguales a 10
Con esto se puede definir que 21
10 es igual a 10 Igualmente para
a) 31
10 como 3 10
b) 41
10 como 4 10
c) 51
10 como 5 10
Por lo que si n es un nuacutemero natural mayor que 1 y n x es un nuacutemero real entonces
nn xx =1
Ejemplo Resolver los siguientes radicales
a) 21
9 b) 21
916
minus c) ( )3
1
64minus d) 41
16 e) 51
321
f) 8
1
0 g) ( )51
232xminus
h) ( )41
xyz
Solucioacuten
a) 3999 221
===
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EXPONENTES y RADICALES
37
b) 34
916
916
916
221
minus=minus=minus=
minus
c) ( ) 46464 331
minus=minus=minus
d) 21616 441
==
e) 21
321
321
551
==
f) 000 881
==
g) ( ) xxx 23232 5 551
5 minus=minus=minus
h) ( ) 441
xyzxyz =
i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes
fraccionarios
a) 4 5xyz b) 52
15xy
Solucioacuten
a) ( )41
4 55 xyzxyz =
b) 51
2
5
2
1515
=xyxy
37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1
Se puede ampliar la definicioacuten de nx1
para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
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EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
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EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
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EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
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EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
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EXPONENTES y RADICALES
23
d) 121 0
975 =
zyx
NOTA
00 es indefinido esto a consecuencia de que infin=00 223 EXPONENTES NEGATIVOS Las reglas de los exponentes son vaacutelidas tambieacuten cuando eacutestos son enteros negativos ( )010 ne=== +minusminus xxxxx nnnn
ya que nxminus 1=nx y nx
1 1=nx
Ademaacutes se define a nxminus como el reciacuteproco de nx Por lo que
nn
xx 1
=minus y nn x
x=
minus
1
NOTA De acuerdo con la definicioacuten de exponentes negativos la base no puede ser 0
Asiacute una expresioacuten como 50minus no estaacute definida por lo que
infin=minus50 Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 25minus b) 310minus c) ( ) 32 minusx d) 13 minusx e) 35xxminus f) ( ) 23 minusminusx Solucioacuten
a) 251
515 2
2 ==minus
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EXPONENTES y RADICALES
24
b) 1000
110110 3
3 ==minus
c) ( ) 33
3
81
21)2(
xxx ==minus
d) 33 1 =minusx xx31
=
e) 2
23535 1x
xxxx === minus+minusminus
f) ( ) 6)2)(3(23 xxx == minusminusminusminus
2224 REGLA DEL COCIENTE Si m y n son enteros entonces
( )0 ne= minus xxxx nm
n
m
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 3
5
aa
b) 11
5
xxminus
c) 5
34
minusxxx
d) ( )( )23
32
x
x e) 4
32
xyyx
f) 3
432
32
minus
baaba
Solucioacuten
a) 2353
5
aaaa
== minus
b) 16
1611511
5 1x
xxxx
=== minusminusminusminus
c) 12575
7
5
34
5
34
xxxxx
xx
xxx
====minusminus
+
minus
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EXPONENTES y RADICALES
25
d) ( )( )
( )( )
( )( ) 10666
6
23
32
23
32
===== minus xxxx
xx
xx
o en su caso
( )( )
( )( )
( )( ) 16
6
23
32
23
32
===xx
xx
xx
e) yxyxyxyyxx
xyyx
==== minusminusminusminusminus 11431243124
32
f) ( )( )
( )
)3)(4()3)(3()3)(middot2(
)3)(3(3)(2
3432
3323
432
32
baaba
baa
babaaba minusminusminus
==
= =
minus
1296
96
baaba
1221321
1215
96 1ba
bababa
=== minusminusminus
o en su caso
=
=
minusminus 3
45
323
432
32
baba
baaba
= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317
33
17
317 1111babababa
ba ===
=minusminus
El siguiente teorema indica que una fraccioacuten elevada a una potencia negativa se puede invertir y elevarse asiacute a una potencia positiva
Teorema Si n es un nuacutemero entero entonces
( )00 nene
=
minus
yxny
yx nn
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EXPONENTES y RADICALES
26
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 4
32 minus
b)
3
2
xy
c) 4
3
2
32
minus
minus
yx
d)
minus
432
32
baaba
Solucioacuten
a) ( )( ) 16
8123
23
32
4
444
==
=
minus
b) ( )( ) 6
9
)3)(2(
)3)(3(
32
333
2
33
3
2
yx
yx
yx
yx
xy
===
=
minus
c) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ====
=
minusminusminusminusminus
minus )4)(2(
)4)(3(
424
434
42
434
2
34
3
2
1681
23
23
23
32
xy
xy
xy
xy
yx
= 8
12
1681
xy minus
= 1681
8
12
xy minus
= 1281681
yx
d) ( )( )
( )( ) ===
=
minusminusminus
minusminus
)3)(3()3)(2(
)3)(4()3)(5(
332
3453
32
4323
432
32
baba
baba
babaa
baaba
= =minus 96
1215
baba 321912)6(15 babbaa =minusminusminus
23 RESUMEN Si no existen divisiones entre 0 (cero) entonces para enteros m y n cualesquiera
a) nmnm xxx += b) ( ) mnnm xx =
c) ( ) nnn yxxy =
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EXPONENTES y RADICALES
27
d) n
nn
yx
yx
=
e) ( )010 ne= xx
f) n
n
xx 1
=minus
g) nmn
m
xxx minus=
h) nn
xy
yx
=
minus
NOTA Las mismas reglas se aplican cuando los exponentes son variables 24 EJERCICIOS
1 Simplificar las siguientes expresiones
a) 24 b) 32 )(x c) 12 )( minusminusx d) 5
2
xx
e) 25minus
Solucioacuten a) 16)4)(4(42 == b) 6)3)(2(32 )( xxx == c) 2)1)(2(12 )( xxx == minusminusminusminus
o tambieacuten
222
22
21212
1)1)(1())(1(
111
111
)(1)( xxx
xxxx
x =======minusminus
minusminus
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EXPONENTES y RADICALES
28
d) 2253)5()3(53
5
3 1))((x
xxxxxxx
===== minusminusminus+minus
o tambieacuten 1 1 1
21
))()()()(())()((
))()()()(())()((
xxxxxxxxx
xxxxxxxx
== = 2minusx
e) 12
2 25251
515 minusminus ===
2 Simplificar las siguientes expresiones considerando que ninguno de los
denominadores sea igual a cero
a) 32
29
)(mmm minus
b) 43
32 )2(minus
minus
aaa
c)043
22 )3(xxx
xminus
minus
d) 042
2022
)4()(4
minus
minus
minusminus
yxyxx
e) 2
25
44
93
minus
minus
minusminus
yxyx
Solucioacuten
a) mmmmm
mm
mmm
===== minusminusminus
1676
7
)3)(2(
29
32
29
)(
b) 561
6
43
)3)(2(3
43
32 88))(8())(2()2(aa
aa
aaa
aaa
====minus
minus
minus
minus
minus
minus
c) 37
4
3)4(
4
322
4
043
22
91
99)1()1()3()3(
xxx
xxx
xxx
xxxx
====minus
minus
d) =minus
=minus
=minus
minus +minus
minus
minus
1)1(4
1)1(4
)4()(4 0222
042
2022 xxyx
yxx
414
1)1)(1(4
minus=minus
=minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
29
e) ( )( )
( )( ) =minusminus
=minusminus
=
minusminus
minus
minus
minusminus
minusminus
minus 224
225
225
2442
25
44
39
93
93
yxyx
yxyx
yxyx
= ( )
( ) ( ) ( )2
48
410
22242
22252
99
813
)()9( xyxyx
yxyx
==minusminus
minus
minus
minus
minus
3 Encontrar el valor numeacuterico de las siguientes expresiones con 2minus=x y
3=y para
a) 23 yx b) 3
3
yxminus
c) ( ) 22 minusxy d) 23 minusminus xy e) 23)( minusminus xy
Solucioacuten
a) ( ) ( ) 72)9)(8(32 2323 minus=minus=minus=yx
b) ( ) ( ) ( )( ) =minus
=minus
==minus
2781
3211
33333
3
yxyx
2161
2161
minus=minus
=
c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241
3211
2222
22 =minus
==minus
xyxy
d) ( ) ( )( ) 16
2722723 4
4323 minus=
minusminus
=minusminus=minus minusminusxy 1627
minus=
e) ( )( ) 4
272
3)()( 2
3
2
323 =
minus=
minus=minus minus
xyxy
3 RADICALES Con frecuencia en los problemas de aplicacioacuten se debe determinar queacute nuacutemero se puede elevar al cuadrado para obtener un segundo nuacutemero a Si se puede determinar a ese nuacutemero se le llama una raiacutez cuadrada de a Por ejemplo
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
30
a) 0es una raiacutez cuadrada de 0 porque 002 = b) 4 es una raiacutez cuadrada de 16 porque 1642 = c) 4minus es una raiacutez cuadrada de 16 porque 16)4( 2 =minus d) xy7 es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy = e) xy7minus es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy =minus
31 RAIacuteZ CUADRADA DE a El nuacutemero b es una raiacutez cuadrada de a cuando 2 ab = Todos los nuacutemeros positivos tienen dos nuacutemeros reales que son sus raiacuteces cuadradas uno positivo y otro negativo El uacutenico nuacutemero con una sola raiacutez cuadrada es 0 cuya raiacutez cuadrada es 0 Ejemplo Determinar las dos raiacuteces cuadradas de 121 Solucioacuten Las dos raiacuteces cuadradas de 121son 11y 11minus porque 121112 = y 121)11( 2 =minus 32 RAIacuteZ CUADRADA PRINCIPAL Se llama signo radical al siacutembolo y a x el nuacutemero que se encuentran dentro del signo radical que se llama radicando Siacute x gt 0 la raiacutez principal de x es la raiacutez cuadrada positiva de x y se
representa con x La raiacutez cuadrada principal de 0 es 0 00 = NOTA Por definicioacuten el cuadrado principal de un nuacutemero positivo siempre es positivo Aunque 5 y 5minus son raiacuteces cuadradas de 25 soacutelo 5es la raiacutez cuadrada principal El radical
25 representa 5 El radical 25minus representa 5minus Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuadradas
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
31
a) 11 =
b) 981 =
c) 981 minus=minus
d) 21
41=
e) 114
12116
minus=minus
f) 20040 =
g) 03000090 minus=minus
Los nuacutemeros como 1600491694 y se llaman cuadrados enteros porque cada uno de ellos es el cuadrado de un entero La raiacutez cuadrada de todo cuadrado entero es un nuacutemero racional Por ejemplo
4016007494163924 =====
Las raiacuteces cuadradas de muchos enteros positivos no son nuacutemeros racionales Por ejemplo 11 es un nuacutemero irracional cuyo valor aproximado ( )asymp es de
31662473 )3166247311( asymp Donde el siacutembolo asympquiere decir ldquoaproximadamente igual ardquo
Las raiacuteces cuadradas de nuacutemeros negativos no son nuacutemeros reales Por
ejemplo 9minus no es nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado al cuadrado es igual a 9minus Las raiacuteces cuadradas de los nuacutemeros negativos originan un conjunto llamado nuacutemeros imaginarios
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EXPONENTES y RADICALES
32
33 RAIacuteCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE Si 0nex el nuacutemero positivo 2x tiene por raiacuteces a x y a xminus porque 22)( xx =
y 22)( xx =minus Para indicar la raiacutez cuadrada positiva de 2x se debe saber si x es positivo o negativo Si 0gtx se puede escribir lo siguiente xx =2 donde 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es x Si x es negativo entonces 0gtminus x es xx minus=2 ya que 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es xminus Si no se sabe si x es positivo o negativo se pueden emplear siacutembolos de valor absoluto para garantizar que 2x sea positiva xx =2 siempre y cuando x sea cualquier nuacutemero real Si x es cualquier nuacutemero real entonces
a) xxxx 44)4(16 22 ===
Por lo que escribir 216x en la forma 2)4( x siendo que ( ) 22 164 xx = Puesto que x podriacutea ser negativo Los siacutembolos de valor absoluto son necesarios ya que en el producto x4 4 es una constante positiva
b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2
+=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 4+x puede ser negativo por ejemplo cuando
8minus=x
c) ( ) 1112 22 +=+=++ xxxx Porque ( )211 +=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 1+x puede ser negativo por ejemplo cuando 5minus=x
d) 24 xx = porque ( ) 422 xx = Como 02 gex
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
33
34 RAIacuteCES CUacuteBICAS La raiacutez cuacutebica de x se representa por yx =3 si xy =3 Por ejemplo el nuacutemero 64 tiene dos raiacuteces cuadradas que son nuacutemeros reales 8 y 8minus Sin embargo 64 soacutelo tiene una raiacutez cuacutebica real que es el valor de 4 porque 4 es el uacutenico nuacutemero real cuyo cubo es 64 Por lo tanto
xx =3 3 Como todos los nuacutemeros reales tienen una y solo una raiacutez cuacutebica real algunas
de las cuales son positivas y otras negativas no es necesario emplear siacutembolos de valor absoluto al simplificar las raiacuteces cuacutebicas
Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuacutebicas
a) 3 125 b) 3
81
c) 3 327xminus d) 33
3
278
ba
minus e) 3 632160 yx
Solucioacuten a) 51253 = porque 125)5)(5)(5(53 ==
b) 21
81
3 = porque 81
21
21
21
21 3
=
=
c) xx 3273 3 minus=minus porque ( ) ( )( )( ) 33 273333 xxxxx minus=minusminusminus=minus
d) ba
ba
32
278
33
3
minus=minus porque 3
33
278
32
32
32
32
ba
ba
ba
ba
ba
minus=
minus
minus
minus=
minus
e) 23 63 602160 xyyx = porque
( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==
35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS Asiacute como existen raiacuteces cuadradas y raiacuteces cuacutebicas tambieacuten existen las raiacuteces cuartas raiacuteces quintas raiacuteces sextas etc
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EXPONENTES y RADICALES
34
Cuando n es impar el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez impar Como todo nuacutemero real tiene una y soacutelo una raiacutez eneacutesima real cuando n es impar no es necesario preocuparse por los siacutembolos de valor absoluto cuando se calculan raiacuteces impares Ejemplo
a) 33243 5 55 == porque 24335 = b) ( ) xxx 227128 77 7 minus=minus=minus porque ( ) 77 1282 xx minus=minus
Cuando n es par el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez par En este caso habraacute una raiacutez eneacutesima positiva y una eneacutesima negativa Por ejemplo las dos raiacuteces sextas reales de 729 son 3 y 3minus porque
72936 = y 729)3( 6 =minus Cuando se determinan raiacuteces reales se emplean con frecuencia los siacutembolos de valor absoluto para garantizar que la eneacutesima raiacutez sea positiva Ejemplos
a) ( ) 3334 4 =minus=minus
Tambieacuten se puede simplificar de la siguiente manera ( ) 3813 44 4 ==minus
b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===
Los siacutembolos de valor absoluto garantizan que la raiacutez sexta es positiva
Generalizando se tienen las siguientes reglas Si x es un nuacutemero real y 1gtn entonces
a) Si n es un nuacutemero impar natural xxn n =
b) Si n es un nuacutemero par natural xxn n =
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EXPONENTES y RADICALES
35
NOTA En el radical n x a n se le llama el iacutendice u orden del radical Cuando el iacutendice
es 2 el radical es una raiacutez cuadrada y se acostumbra no escribir el iacutendice Cuando n es par ( )2gtn y 0ltx el radical n x no es un nuacutemero real Por
ejemplo 4 81minus no es un nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado a la cuarta potencia es 81minus
Ejemplo
a) 56254 = porque 62554 = b) 2325 minus=minus porque ( ) 322 5 minus=minus
c) 21
641
6 = porque 641
21 6
=
36 EXPONENTES RACIONALES Los exponentes enteros positivos indican la cantidad de veces que se debe usar una base como factor en un producto Por ejemplo 5x significa que x se debe emplear cinco veces como factor ya que xdefactores5 ( )( )( )( )( )xxxxxx =5 Es posible elevar bases a potencias racionales (fraccionarias) cuando se desea que dichos exponentes respeten las mismas reglas que los coeficientes enteros el
cuadrado de 21
10 debe ser 10 porque
( )
10101010 1
2
212
21
===
Se mantiene la base y se multiplican los exponentes
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EXPONENTES y RADICALES
36
( ) 112
212
21
=
=
10101 =
Sin embargo hay que recordar que ( ) 1010
2=
Como 2
21
10
y ( )210 son iguales a 10
Con esto se puede definir que 21
10 es igual a 10 Igualmente para
a) 31
10 como 3 10
b) 41
10 como 4 10
c) 51
10 como 5 10
Por lo que si n es un nuacutemero natural mayor que 1 y n x es un nuacutemero real entonces
nn xx =1
Ejemplo Resolver los siguientes radicales
a) 21
9 b) 21
916
minus c) ( )3
1
64minus d) 41
16 e) 51
321
f) 8
1
0 g) ( )51
232xminus
h) ( )41
xyz
Solucioacuten
a) 3999 221
===
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EXPONENTES y RADICALES
37
b) 34
916
916
916
221
minus=minus=minus=
minus
c) ( ) 46464 331
minus=minus=minus
d) 21616 441
==
e) 21
321
321
551
==
f) 000 881
==
g) ( ) xxx 23232 5 551
5 minus=minus=minus
h) ( ) 441
xyzxyz =
i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes
fraccionarios
a) 4 5xyz b) 52
15xy
Solucioacuten
a) ( )41
4 55 xyzxyz =
b) 51
2
5
2
1515
=xyxy
37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1
Se puede ampliar la definicioacuten de nx1
para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1
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EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
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EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
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EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
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EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
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EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
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EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
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EXPONENTES y RADICALES
24
b) 1000
110110 3
3 ==minus
c) ( ) 33
3
81
21)2(
xxx ==minus
d) 33 1 =minusx xx31
=
e) 2
23535 1x
xxxx === minus+minusminus
f) ( ) 6)2)(3(23 xxx == minusminusminusminus
2224 REGLA DEL COCIENTE Si m y n son enteros entonces
( )0 ne= minus xxxx nm
n
m
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 3
5
aa
b) 11
5
xxminus
c) 5
34
minusxxx
d) ( )( )23
32
x
x e) 4
32
xyyx
f) 3
432
32
minus
baaba
Solucioacuten
a) 2353
5
aaaa
== minus
b) 16
1611511
5 1x
xxxx
=== minusminusminusminus
c) 12575
7
5
34
5
34
xxxxx
xx
xxx
====minusminus
+
minus
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EXPONENTES y RADICALES
25
d) ( )( )
( )( )
( )( ) 10666
6
23
32
23
32
===== minus xxxx
xx
xx
o en su caso
( )( )
( )( )
( )( ) 16
6
23
32
23
32
===xx
xx
xx
e) yxyxyxyyxx
xyyx
==== minusminusminusminusminus 11431243124
32
f) ( )( )
( )
)3)(4()3)(3()3)(middot2(
)3)(3(3)(2
3432
3323
432
32
baaba
baa
babaaba minusminusminus
==
= =
minus
1296
96
baaba
1221321
1215
96 1ba
bababa
=== minusminusminus
o en su caso
=
=
minusminus 3
45
323
432
32
baba
baaba
= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317
33
17
317 1111babababa
ba ===
=minusminus
El siguiente teorema indica que una fraccioacuten elevada a una potencia negativa se puede invertir y elevarse asiacute a una potencia positiva
Teorema Si n es un nuacutemero entero entonces
( )00 nene
=
minus
yxny
yx nn
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26
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 4
32 minus
b)
3
2
xy
c) 4
3
2
32
minus
minus
yx
d)
minus
432
32
baaba
Solucioacuten
a) ( )( ) 16
8123
23
32
4
444
==
=
minus
b) ( )( ) 6
9
)3)(2(
)3)(3(
32
333
2
33
3
2
yx
yx
yx
yx
xy
===
=
minus
c) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ====
=
minusminusminusminusminus
minus )4)(2(
)4)(3(
424
434
42
434
2
34
3
2
1681
23
23
23
32
xy
xy
xy
xy
yx
= 8
12
1681
xy minus
= 1681
8
12
xy minus
= 1281681
yx
d) ( )( )
( )( ) ===
=
minusminusminus
minusminus
)3)(3()3)(2(
)3)(4()3)(5(
332
3453
32
4323
432
32
baba
baba
babaa
baaba
= =minus 96
1215
baba 321912)6(15 babbaa =minusminusminus
23 RESUMEN Si no existen divisiones entre 0 (cero) entonces para enteros m y n cualesquiera
a) nmnm xxx += b) ( ) mnnm xx =
c) ( ) nnn yxxy =
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EXPONENTES y RADICALES
27
d) n
nn
yx
yx
=
e) ( )010 ne= xx
f) n
n
xx 1
=minus
g) nmn
m
xxx minus=
h) nn
xy
yx
=
minus
NOTA Las mismas reglas se aplican cuando los exponentes son variables 24 EJERCICIOS
1 Simplificar las siguientes expresiones
a) 24 b) 32 )(x c) 12 )( minusminusx d) 5
2
xx
e) 25minus
Solucioacuten a) 16)4)(4(42 == b) 6)3)(2(32 )( xxx == c) 2)1)(2(12 )( xxx == minusminusminusminus
o tambieacuten
222
22
21212
1)1)(1())(1(
111
111
)(1)( xxx
xxxx
x =======minusminus
minusminus
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EXPONENTES y RADICALES
28
d) 2253)5()3(53
5
3 1))((x
xxxxxxx
===== minusminusminus+minus
o tambieacuten 1 1 1
21
))()()()(())()((
))()()()(())()((
xxxxxxxxx
xxxxxxxx
== = 2minusx
e) 12
2 25251
515 minusminus ===
2 Simplificar las siguientes expresiones considerando que ninguno de los
denominadores sea igual a cero
a) 32
29
)(mmm minus
b) 43
32 )2(minus
minus
aaa
c)043
22 )3(xxx
xminus
minus
d) 042
2022
)4()(4
minus
minus
minusminus
yxyxx
e) 2
25
44
93
minus
minus
minusminus
yxyx
Solucioacuten
a) mmmmm
mm
mmm
===== minusminusminus
1676
7
)3)(2(
29
32
29
)(
b) 561
6
43
)3)(2(3
43
32 88))(8())(2()2(aa
aa
aaa
aaa
====minus
minus
minus
minus
minus
minus
c) 37
4
3)4(
4
322
4
043
22
91
99)1()1()3()3(
xxx
xxx
xxx
xxxx
====minus
minus
d) =minus
=minus
=minus
minus +minus
minus
minus
1)1(4
1)1(4
)4()(4 0222
042
2022 xxyx
yxx
414
1)1)(1(4
minus=minus
=minus
=
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
29
e) ( )( )
( )( ) =minusminus
=minusminus
=
minusminus
minus
minus
minusminus
minusminus
minus 224
225
225
2442
25
44
39
93
93
yxyx
yxyx
yxyx
= ( )
( ) ( ) ( )2
48
410
22242
22252
99
813
)()9( xyxyx
yxyx
==minusminus
minus
minus
minus
minus
3 Encontrar el valor numeacuterico de las siguientes expresiones con 2minus=x y
3=y para
a) 23 yx b) 3
3
yxminus
c) ( ) 22 minusxy d) 23 minusminus xy e) 23)( minusminus xy
Solucioacuten
a) ( ) ( ) 72)9)(8(32 2323 minus=minus=minus=yx
b) ( ) ( ) ( )( ) =minus
=minus
==minus
2781
3211
33333
3
yxyx
2161
2161
minus=minus
=
c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241
3211
2222
22 =minus
==minus
xyxy
d) ( ) ( )( ) 16
2722723 4
4323 minus=
minusminus
=minusminus=minus minusminusxy 1627
minus=
e) ( )( ) 4
272
3)()( 2
3
2
323 =
minus=
minus=minus minus
xyxy
3 RADICALES Con frecuencia en los problemas de aplicacioacuten se debe determinar queacute nuacutemero se puede elevar al cuadrado para obtener un segundo nuacutemero a Si se puede determinar a ese nuacutemero se le llama una raiacutez cuadrada de a Por ejemplo
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EXPONENTES y RADICALES
30
a) 0es una raiacutez cuadrada de 0 porque 002 = b) 4 es una raiacutez cuadrada de 16 porque 1642 = c) 4minus es una raiacutez cuadrada de 16 porque 16)4( 2 =minus d) xy7 es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy = e) xy7minus es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy =minus
31 RAIacuteZ CUADRADA DE a El nuacutemero b es una raiacutez cuadrada de a cuando 2 ab = Todos los nuacutemeros positivos tienen dos nuacutemeros reales que son sus raiacuteces cuadradas uno positivo y otro negativo El uacutenico nuacutemero con una sola raiacutez cuadrada es 0 cuya raiacutez cuadrada es 0 Ejemplo Determinar las dos raiacuteces cuadradas de 121 Solucioacuten Las dos raiacuteces cuadradas de 121son 11y 11minus porque 121112 = y 121)11( 2 =minus 32 RAIacuteZ CUADRADA PRINCIPAL Se llama signo radical al siacutembolo y a x el nuacutemero que se encuentran dentro del signo radical que se llama radicando Siacute x gt 0 la raiacutez principal de x es la raiacutez cuadrada positiva de x y se
representa con x La raiacutez cuadrada principal de 0 es 0 00 = NOTA Por definicioacuten el cuadrado principal de un nuacutemero positivo siempre es positivo Aunque 5 y 5minus son raiacuteces cuadradas de 25 soacutelo 5es la raiacutez cuadrada principal El radical
25 representa 5 El radical 25minus representa 5minus Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuadradas
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
31
a) 11 =
b) 981 =
c) 981 minus=minus
d) 21
41=
e) 114
12116
minus=minus
f) 20040 =
g) 03000090 minus=minus
Los nuacutemeros como 1600491694 y se llaman cuadrados enteros porque cada uno de ellos es el cuadrado de un entero La raiacutez cuadrada de todo cuadrado entero es un nuacutemero racional Por ejemplo
4016007494163924 =====
Las raiacuteces cuadradas de muchos enteros positivos no son nuacutemeros racionales Por ejemplo 11 es un nuacutemero irracional cuyo valor aproximado ( )asymp es de
31662473 )3166247311( asymp Donde el siacutembolo asympquiere decir ldquoaproximadamente igual ardquo
Las raiacuteces cuadradas de nuacutemeros negativos no son nuacutemeros reales Por
ejemplo 9minus no es nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado al cuadrado es igual a 9minus Las raiacuteces cuadradas de los nuacutemeros negativos originan un conjunto llamado nuacutemeros imaginarios
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
32
33 RAIacuteCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE Si 0nex el nuacutemero positivo 2x tiene por raiacuteces a x y a xminus porque 22)( xx =
y 22)( xx =minus Para indicar la raiacutez cuadrada positiva de 2x se debe saber si x es positivo o negativo Si 0gtx se puede escribir lo siguiente xx =2 donde 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es x Si x es negativo entonces 0gtminus x es xx minus=2 ya que 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es xminus Si no se sabe si x es positivo o negativo se pueden emplear siacutembolos de valor absoluto para garantizar que 2x sea positiva xx =2 siempre y cuando x sea cualquier nuacutemero real Si x es cualquier nuacutemero real entonces
a) xxxx 44)4(16 22 ===
Por lo que escribir 216x en la forma 2)4( x siendo que ( ) 22 164 xx = Puesto que x podriacutea ser negativo Los siacutembolos de valor absoluto son necesarios ya que en el producto x4 4 es una constante positiva
b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2
+=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 4+x puede ser negativo por ejemplo cuando
8minus=x
c) ( ) 1112 22 +=+=++ xxxx Porque ( )211 +=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 1+x puede ser negativo por ejemplo cuando 5minus=x
d) 24 xx = porque ( ) 422 xx = Como 02 gex
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
33
34 RAIacuteCES CUacuteBICAS La raiacutez cuacutebica de x se representa por yx =3 si xy =3 Por ejemplo el nuacutemero 64 tiene dos raiacuteces cuadradas que son nuacutemeros reales 8 y 8minus Sin embargo 64 soacutelo tiene una raiacutez cuacutebica real que es el valor de 4 porque 4 es el uacutenico nuacutemero real cuyo cubo es 64 Por lo tanto
xx =3 3 Como todos los nuacutemeros reales tienen una y solo una raiacutez cuacutebica real algunas
de las cuales son positivas y otras negativas no es necesario emplear siacutembolos de valor absoluto al simplificar las raiacuteces cuacutebicas
Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuacutebicas
a) 3 125 b) 3
81
c) 3 327xminus d) 33
3
278
ba
minus e) 3 632160 yx
Solucioacuten a) 51253 = porque 125)5)(5)(5(53 ==
b) 21
81
3 = porque 81
21
21
21
21 3
=
=
c) xx 3273 3 minus=minus porque ( ) ( )( )( ) 33 273333 xxxxx minus=minusminusminus=minus
d) ba
ba
32
278
33
3
minus=minus porque 3
33
278
32
32
32
32
ba
ba
ba
ba
ba
minus=
minus
minus
minus=
minus
e) 23 63 602160 xyyx = porque
( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==
35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS Asiacute como existen raiacuteces cuadradas y raiacuteces cuacutebicas tambieacuten existen las raiacuteces cuartas raiacuteces quintas raiacuteces sextas etc
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
34
Cuando n es impar el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez impar Como todo nuacutemero real tiene una y soacutelo una raiacutez eneacutesima real cuando n es impar no es necesario preocuparse por los siacutembolos de valor absoluto cuando se calculan raiacuteces impares Ejemplo
a) 33243 5 55 == porque 24335 = b) ( ) xxx 227128 77 7 minus=minus=minus porque ( ) 77 1282 xx minus=minus
Cuando n es par el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez par En este caso habraacute una raiacutez eneacutesima positiva y una eneacutesima negativa Por ejemplo las dos raiacuteces sextas reales de 729 son 3 y 3minus porque
72936 = y 729)3( 6 =minus Cuando se determinan raiacuteces reales se emplean con frecuencia los siacutembolos de valor absoluto para garantizar que la eneacutesima raiacutez sea positiva Ejemplos
a) ( ) 3334 4 =minus=minus
Tambieacuten se puede simplificar de la siguiente manera ( ) 3813 44 4 ==minus
b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===
Los siacutembolos de valor absoluto garantizan que la raiacutez sexta es positiva
Generalizando se tienen las siguientes reglas Si x es un nuacutemero real y 1gtn entonces
a) Si n es un nuacutemero impar natural xxn n =
b) Si n es un nuacutemero par natural xxn n =
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
35
NOTA En el radical n x a n se le llama el iacutendice u orden del radical Cuando el iacutendice
es 2 el radical es una raiacutez cuadrada y se acostumbra no escribir el iacutendice Cuando n es par ( )2gtn y 0ltx el radical n x no es un nuacutemero real Por
ejemplo 4 81minus no es un nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado a la cuarta potencia es 81minus
Ejemplo
a) 56254 = porque 62554 = b) 2325 minus=minus porque ( ) 322 5 minus=minus
c) 21
641
6 = porque 641
21 6
=
36 EXPONENTES RACIONALES Los exponentes enteros positivos indican la cantidad de veces que se debe usar una base como factor en un producto Por ejemplo 5x significa que x se debe emplear cinco veces como factor ya que xdefactores5 ( )( )( )( )( )xxxxxx =5 Es posible elevar bases a potencias racionales (fraccionarias) cuando se desea que dichos exponentes respeten las mismas reglas que los coeficientes enteros el
cuadrado de 21
10 debe ser 10 porque
( )
10101010 1
2
212
21
===
Se mantiene la base y se multiplican los exponentes
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
36
( ) 112
212
21
=
=
10101 =
Sin embargo hay que recordar que ( ) 1010
2=
Como 2
21
10
y ( )210 son iguales a 10
Con esto se puede definir que 21
10 es igual a 10 Igualmente para
a) 31
10 como 3 10
b) 41
10 como 4 10
c) 51
10 como 5 10
Por lo que si n es un nuacutemero natural mayor que 1 y n x es un nuacutemero real entonces
nn xx =1
Ejemplo Resolver los siguientes radicales
a) 21
9 b) 21
916
minus c) ( )3
1
64minus d) 41
16 e) 51
321
f) 8
1
0 g) ( )51
232xminus
h) ( )41
xyz
Solucioacuten
a) 3999 221
===
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
37
b) 34
916
916
916
221
minus=minus=minus=
minus
c) ( ) 46464 331
minus=minus=minus
d) 21616 441
==
e) 21
321
321
551
==
f) 000 881
==
g) ( ) xxx 23232 5 551
5 minus=minus=minus
h) ( ) 441
xyzxyz =
i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes
fraccionarios
a) 4 5xyz b) 52
15xy
Solucioacuten
a) ( )41
4 55 xyzxyz =
b) 51
2
5
2
1515
=xyxy
37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1
Se puede ampliar la definicioacuten de nx1
para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
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EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
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EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
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EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
25
d) ( )( )
( )( )
( )( ) 10666
6
23
32
23
32
===== minus xxxx
xx
xx
o en su caso
( )( )
( )( )
( )( ) 16
6
23
32
23
32
===xx
xx
xx
e) yxyxyxyyxx
xyyx
==== minusminusminusminusminus 11431243124
32
f) ( )( )
( )
)3)(4()3)(3()3)(middot2(
)3)(3(3)(2
3432
3323
432
32
baaba
baa
babaaba minusminusminus
==
= =
minus
1296
96
baaba
1221321
1215
96 1ba
bababa
=== minusminusminus
o en su caso
=
=
minusminus 3
45
323
432
32
baba
baaba
= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317
33
17
317 1111babababa
ba ===
=minusminus
El siguiente teorema indica que una fraccioacuten elevada a una potencia negativa se puede invertir y elevarse asiacute a una potencia positiva
Teorema Si n es un nuacutemero entero entonces
( )00 nene
=
minus
yxny
yx nn
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
26
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 4
32 minus
b)
3
2
xy
c) 4
3
2
32
minus
minus
yx
d)
minus
432
32
baaba
Solucioacuten
a) ( )( ) 16
8123
23
32
4
444
==
=
minus
b) ( )( ) 6
9
)3)(2(
)3)(3(
32
333
2
33
3
2
yx
yx
yx
yx
xy
===
=
minus
c) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ====
=
minusminusminusminusminus
minus )4)(2(
)4)(3(
424
434
42
434
2
34
3
2
1681
23
23
23
32
xy
xy
xy
xy
yx
= 8
12
1681
xy minus
= 1681
8
12
xy minus
= 1281681
yx
d) ( )( )
( )( ) ===
=
minusminusminus
minusminus
)3)(3()3)(2(
)3)(4()3)(5(
332
3453
32
4323
432
32
baba
baba
babaa
baaba
= =minus 96
1215
baba 321912)6(15 babbaa =minusminusminus
23 RESUMEN Si no existen divisiones entre 0 (cero) entonces para enteros m y n cualesquiera
a) nmnm xxx += b) ( ) mnnm xx =
c) ( ) nnn yxxy =
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EXPONENTES y RADICALES
27
d) n
nn
yx
yx
=
e) ( )010 ne= xx
f) n
n
xx 1
=minus
g) nmn
m
xxx minus=
h) nn
xy
yx
=
minus
NOTA Las mismas reglas se aplican cuando los exponentes son variables 24 EJERCICIOS
1 Simplificar las siguientes expresiones
a) 24 b) 32 )(x c) 12 )( minusminusx d) 5
2
xx
e) 25minus
Solucioacuten a) 16)4)(4(42 == b) 6)3)(2(32 )( xxx == c) 2)1)(2(12 )( xxx == minusminusminusminus
o tambieacuten
222
22
21212
1)1)(1())(1(
111
111
)(1)( xxx
xxxx
x =======minusminus
minusminus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
28
d) 2253)5()3(53
5
3 1))((x
xxxxxxx
===== minusminusminus+minus
o tambieacuten 1 1 1
21
))()()()(())()((
))()()()(())()((
xxxxxxxxx
xxxxxxxx
== = 2minusx
e) 12
2 25251
515 minusminus ===
2 Simplificar las siguientes expresiones considerando que ninguno de los
denominadores sea igual a cero
a) 32
29
)(mmm minus
b) 43
32 )2(minus
minus
aaa
c)043
22 )3(xxx
xminus
minus
d) 042
2022
)4()(4
minus
minus
minusminus
yxyxx
e) 2
25
44
93
minus
minus
minusminus
yxyx
Solucioacuten
a) mmmmm
mm
mmm
===== minusminusminus
1676
7
)3)(2(
29
32
29
)(
b) 561
6
43
)3)(2(3
43
32 88))(8())(2()2(aa
aa
aaa
aaa
====minus
minus
minus
minus
minus
minus
c) 37
4
3)4(
4
322
4
043
22
91
99)1()1()3()3(
xxx
xxx
xxx
xxxx
====minus
minus
d) =minus
=minus
=minus
minus +minus
minus
minus
1)1(4
1)1(4
)4()(4 0222
042
2022 xxyx
yxx
414
1)1)(1(4
minus=minus
=minus
=
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
29
e) ( )( )
( )( ) =minusminus
=minusminus
=
minusminus
minus
minus
minusminus
minusminus
minus 224
225
225
2442
25
44
39
93
93
yxyx
yxyx
yxyx
= ( )
( ) ( ) ( )2
48
410
22242
22252
99
813
)()9( xyxyx
yxyx
==minusminus
minus
minus
minus
minus
3 Encontrar el valor numeacuterico de las siguientes expresiones con 2minus=x y
3=y para
a) 23 yx b) 3
3
yxminus
c) ( ) 22 minusxy d) 23 minusminus xy e) 23)( minusminus xy
Solucioacuten
a) ( ) ( ) 72)9)(8(32 2323 minus=minus=minus=yx
b) ( ) ( ) ( )( ) =minus
=minus
==minus
2781
3211
33333
3
yxyx
2161
2161
minus=minus
=
c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241
3211
2222
22 =minus
==minus
xyxy
d) ( ) ( )( ) 16
2722723 4
4323 minus=
minusminus
=minusminus=minus minusminusxy 1627
minus=
e) ( )( ) 4
272
3)()( 2
3
2
323 =
minus=
minus=minus minus
xyxy
3 RADICALES Con frecuencia en los problemas de aplicacioacuten se debe determinar queacute nuacutemero se puede elevar al cuadrado para obtener un segundo nuacutemero a Si se puede determinar a ese nuacutemero se le llama una raiacutez cuadrada de a Por ejemplo
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EXPONENTES y RADICALES
30
a) 0es una raiacutez cuadrada de 0 porque 002 = b) 4 es una raiacutez cuadrada de 16 porque 1642 = c) 4minus es una raiacutez cuadrada de 16 porque 16)4( 2 =minus d) xy7 es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy = e) xy7minus es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy =minus
31 RAIacuteZ CUADRADA DE a El nuacutemero b es una raiacutez cuadrada de a cuando 2 ab = Todos los nuacutemeros positivos tienen dos nuacutemeros reales que son sus raiacuteces cuadradas uno positivo y otro negativo El uacutenico nuacutemero con una sola raiacutez cuadrada es 0 cuya raiacutez cuadrada es 0 Ejemplo Determinar las dos raiacuteces cuadradas de 121 Solucioacuten Las dos raiacuteces cuadradas de 121son 11y 11minus porque 121112 = y 121)11( 2 =minus 32 RAIacuteZ CUADRADA PRINCIPAL Se llama signo radical al siacutembolo y a x el nuacutemero que se encuentran dentro del signo radical que se llama radicando Siacute x gt 0 la raiacutez principal de x es la raiacutez cuadrada positiva de x y se
representa con x La raiacutez cuadrada principal de 0 es 0 00 = NOTA Por definicioacuten el cuadrado principal de un nuacutemero positivo siempre es positivo Aunque 5 y 5minus son raiacuteces cuadradas de 25 soacutelo 5es la raiacutez cuadrada principal El radical
25 representa 5 El radical 25minus representa 5minus Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuadradas
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EXPONENTES y RADICALES
31
a) 11 =
b) 981 =
c) 981 minus=minus
d) 21
41=
e) 114
12116
minus=minus
f) 20040 =
g) 03000090 minus=minus
Los nuacutemeros como 1600491694 y se llaman cuadrados enteros porque cada uno de ellos es el cuadrado de un entero La raiacutez cuadrada de todo cuadrado entero es un nuacutemero racional Por ejemplo
4016007494163924 =====
Las raiacuteces cuadradas de muchos enteros positivos no son nuacutemeros racionales Por ejemplo 11 es un nuacutemero irracional cuyo valor aproximado ( )asymp es de
31662473 )3166247311( asymp Donde el siacutembolo asympquiere decir ldquoaproximadamente igual ardquo
Las raiacuteces cuadradas de nuacutemeros negativos no son nuacutemeros reales Por
ejemplo 9minus no es nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado al cuadrado es igual a 9minus Las raiacuteces cuadradas de los nuacutemeros negativos originan un conjunto llamado nuacutemeros imaginarios
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EXPONENTES y RADICALES
32
33 RAIacuteCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE Si 0nex el nuacutemero positivo 2x tiene por raiacuteces a x y a xminus porque 22)( xx =
y 22)( xx =minus Para indicar la raiacutez cuadrada positiva de 2x se debe saber si x es positivo o negativo Si 0gtx se puede escribir lo siguiente xx =2 donde 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es x Si x es negativo entonces 0gtminus x es xx minus=2 ya que 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es xminus Si no se sabe si x es positivo o negativo se pueden emplear siacutembolos de valor absoluto para garantizar que 2x sea positiva xx =2 siempre y cuando x sea cualquier nuacutemero real Si x es cualquier nuacutemero real entonces
a) xxxx 44)4(16 22 ===
Por lo que escribir 216x en la forma 2)4( x siendo que ( ) 22 164 xx = Puesto que x podriacutea ser negativo Los siacutembolos de valor absoluto son necesarios ya que en el producto x4 4 es una constante positiva
b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2
+=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 4+x puede ser negativo por ejemplo cuando
8minus=x
c) ( ) 1112 22 +=+=++ xxxx Porque ( )211 +=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 1+x puede ser negativo por ejemplo cuando 5minus=x
d) 24 xx = porque ( ) 422 xx = Como 02 gex
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EXPONENTES y RADICALES
33
34 RAIacuteCES CUacuteBICAS La raiacutez cuacutebica de x se representa por yx =3 si xy =3 Por ejemplo el nuacutemero 64 tiene dos raiacuteces cuadradas que son nuacutemeros reales 8 y 8minus Sin embargo 64 soacutelo tiene una raiacutez cuacutebica real que es el valor de 4 porque 4 es el uacutenico nuacutemero real cuyo cubo es 64 Por lo tanto
xx =3 3 Como todos los nuacutemeros reales tienen una y solo una raiacutez cuacutebica real algunas
de las cuales son positivas y otras negativas no es necesario emplear siacutembolos de valor absoluto al simplificar las raiacuteces cuacutebicas
Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuacutebicas
a) 3 125 b) 3
81
c) 3 327xminus d) 33
3
278
ba
minus e) 3 632160 yx
Solucioacuten a) 51253 = porque 125)5)(5)(5(53 ==
b) 21
81
3 = porque 81
21
21
21
21 3
=
=
c) xx 3273 3 minus=minus porque ( ) ( )( )( ) 33 273333 xxxxx minus=minusminusminus=minus
d) ba
ba
32
278
33
3
minus=minus porque 3
33
278
32
32
32
32
ba
ba
ba
ba
ba
minus=
minus
minus
minus=
minus
e) 23 63 602160 xyyx = porque
( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==
35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS Asiacute como existen raiacuteces cuadradas y raiacuteces cuacutebicas tambieacuten existen las raiacuteces cuartas raiacuteces quintas raiacuteces sextas etc
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EXPONENTES y RADICALES
34
Cuando n es impar el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez impar Como todo nuacutemero real tiene una y soacutelo una raiacutez eneacutesima real cuando n es impar no es necesario preocuparse por los siacutembolos de valor absoluto cuando se calculan raiacuteces impares Ejemplo
a) 33243 5 55 == porque 24335 = b) ( ) xxx 227128 77 7 minus=minus=minus porque ( ) 77 1282 xx minus=minus
Cuando n es par el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez par En este caso habraacute una raiacutez eneacutesima positiva y una eneacutesima negativa Por ejemplo las dos raiacuteces sextas reales de 729 son 3 y 3minus porque
72936 = y 729)3( 6 =minus Cuando se determinan raiacuteces reales se emplean con frecuencia los siacutembolos de valor absoluto para garantizar que la eneacutesima raiacutez sea positiva Ejemplos
a) ( ) 3334 4 =minus=minus
Tambieacuten se puede simplificar de la siguiente manera ( ) 3813 44 4 ==minus
b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===
Los siacutembolos de valor absoluto garantizan que la raiacutez sexta es positiva
Generalizando se tienen las siguientes reglas Si x es un nuacutemero real y 1gtn entonces
a) Si n es un nuacutemero impar natural xxn n =
b) Si n es un nuacutemero par natural xxn n =
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EXPONENTES y RADICALES
35
NOTA En el radical n x a n se le llama el iacutendice u orden del radical Cuando el iacutendice
es 2 el radical es una raiacutez cuadrada y se acostumbra no escribir el iacutendice Cuando n es par ( )2gtn y 0ltx el radical n x no es un nuacutemero real Por
ejemplo 4 81minus no es un nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado a la cuarta potencia es 81minus
Ejemplo
a) 56254 = porque 62554 = b) 2325 minus=minus porque ( ) 322 5 minus=minus
c) 21
641
6 = porque 641
21 6
=
36 EXPONENTES RACIONALES Los exponentes enteros positivos indican la cantidad de veces que se debe usar una base como factor en un producto Por ejemplo 5x significa que x se debe emplear cinco veces como factor ya que xdefactores5 ( )( )( )( )( )xxxxxx =5 Es posible elevar bases a potencias racionales (fraccionarias) cuando se desea que dichos exponentes respeten las mismas reglas que los coeficientes enteros el
cuadrado de 21
10 debe ser 10 porque
( )
10101010 1
2
212
21
===
Se mantiene la base y se multiplican los exponentes
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EXPONENTES y RADICALES
36
( ) 112
212
21
=
=
10101 =
Sin embargo hay que recordar que ( ) 1010
2=
Como 2
21
10
y ( )210 son iguales a 10
Con esto se puede definir que 21
10 es igual a 10 Igualmente para
a) 31
10 como 3 10
b) 41
10 como 4 10
c) 51
10 como 5 10
Por lo que si n es un nuacutemero natural mayor que 1 y n x es un nuacutemero real entonces
nn xx =1
Ejemplo Resolver los siguientes radicales
a) 21
9 b) 21
916
minus c) ( )3
1
64minus d) 41
16 e) 51
321
f) 8
1
0 g) ( )51
232xminus
h) ( )41
xyz
Solucioacuten
a) 3999 221
===
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EXPONENTES y RADICALES
37
b) 34
916
916
916
221
minus=minus=minus=
minus
c) ( ) 46464 331
minus=minus=minus
d) 21616 441
==
e) 21
321
321
551
==
f) 000 881
==
g) ( ) xxx 23232 5 551
5 minus=minus=minus
h) ( ) 441
xyzxyz =
i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes
fraccionarios
a) 4 5xyz b) 52
15xy
Solucioacuten
a) ( )41
4 55 xyzxyz =
b) 51
2
5
2
1515
=xyxy
37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1
Se puede ampliar la definicioacuten de nx1
para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1
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EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
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EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
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EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
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EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
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EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
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EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
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EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
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EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
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EXPONENTES y RADICALES
26
Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales
a) 4
32 minus
b)
3
2
xy
c) 4
3
2
32
minus
minus
yx
d)
minus
432
32
baaba
Solucioacuten
a) ( )( ) 16
8123
23
32
4
444
==
=
minus
b) ( )( ) 6
9
)3)(2(
)3)(3(
32
333
2
33
3
2
yx
yx
yx
yx
xy
===
=
minus
c) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ====
=
minusminusminusminusminus
minus )4)(2(
)4)(3(
424
434
42
434
2
34
3
2
1681
23
23
23
32
xy
xy
xy
xy
yx
= 8
12
1681
xy minus
= 1681
8
12
xy minus
= 1281681
yx
d) ( )( )
( )( ) ===
=
minusminusminus
minusminus
)3)(3()3)(2(
)3)(4()3)(5(
332
3453
32
4323
432
32
baba
baba
babaa
baaba
= =minus 96
1215
baba 321912)6(15 babbaa =minusminusminus
23 RESUMEN Si no existen divisiones entre 0 (cero) entonces para enteros m y n cualesquiera
a) nmnm xxx += b) ( ) mnnm xx =
c) ( ) nnn yxxy =
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EXPONENTES y RADICALES
27
d) n
nn
yx
yx
=
e) ( )010 ne= xx
f) n
n
xx 1
=minus
g) nmn
m
xxx minus=
h) nn
xy
yx
=
minus
NOTA Las mismas reglas se aplican cuando los exponentes son variables 24 EJERCICIOS
1 Simplificar las siguientes expresiones
a) 24 b) 32 )(x c) 12 )( minusminusx d) 5
2
xx
e) 25minus
Solucioacuten a) 16)4)(4(42 == b) 6)3)(2(32 )( xxx == c) 2)1)(2(12 )( xxx == minusminusminusminus
o tambieacuten
222
22
21212
1)1)(1())(1(
111
111
)(1)( xxx
xxxx
x =======minusminus
minusminus
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EXPONENTES y RADICALES
28
d) 2253)5()3(53
5
3 1))((x
xxxxxxx
===== minusminusminus+minus
o tambieacuten 1 1 1
21
))()()()(())()((
))()()()(())()((
xxxxxxxxx
xxxxxxxx
== = 2minusx
e) 12
2 25251
515 minusminus ===
2 Simplificar las siguientes expresiones considerando que ninguno de los
denominadores sea igual a cero
a) 32
29
)(mmm minus
b) 43
32 )2(minus
minus
aaa
c)043
22 )3(xxx
xminus
minus
d) 042
2022
)4()(4
minus
minus
minusminus
yxyxx
e) 2
25
44
93
minus
minus
minusminus
yxyx
Solucioacuten
a) mmmmm
mm
mmm
===== minusminusminus
1676
7
)3)(2(
29
32
29
)(
b) 561
6
43
)3)(2(3
43
32 88))(8())(2()2(aa
aa
aaa
aaa
====minus
minus
minus
minus
minus
minus
c) 37
4
3)4(
4
322
4
043
22
91
99)1()1()3()3(
xxx
xxx
xxx
xxxx
====minus
minus
d) =minus
=minus
=minus
minus +minus
minus
minus
1)1(4
1)1(4
)4()(4 0222
042
2022 xxyx
yxx
414
1)1)(1(4
minus=minus
=minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
29
e) ( )( )
( )( ) =minusminus
=minusminus
=
minusminus
minus
minus
minusminus
minusminus
minus 224
225
225
2442
25
44
39
93
93
yxyx
yxyx
yxyx
= ( )
( ) ( ) ( )2
48
410
22242
22252
99
813
)()9( xyxyx
yxyx
==minusminus
minus
minus
minus
minus
3 Encontrar el valor numeacuterico de las siguientes expresiones con 2minus=x y
3=y para
a) 23 yx b) 3
3
yxminus
c) ( ) 22 minusxy d) 23 minusminus xy e) 23)( minusminus xy
Solucioacuten
a) ( ) ( ) 72)9)(8(32 2323 minus=minus=minus=yx
b) ( ) ( ) ( )( ) =minus
=minus
==minus
2781
3211
33333
3
yxyx
2161
2161
minus=minus
=
c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241
3211
2222
22 =minus
==minus
xyxy
d) ( ) ( )( ) 16
2722723 4
4323 minus=
minusminus
=minusminus=minus minusminusxy 1627
minus=
e) ( )( ) 4
272
3)()( 2
3
2
323 =
minus=
minus=minus minus
xyxy
3 RADICALES Con frecuencia en los problemas de aplicacioacuten se debe determinar queacute nuacutemero se puede elevar al cuadrado para obtener un segundo nuacutemero a Si se puede determinar a ese nuacutemero se le llama una raiacutez cuadrada de a Por ejemplo
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EXPONENTES y RADICALES
30
a) 0es una raiacutez cuadrada de 0 porque 002 = b) 4 es una raiacutez cuadrada de 16 porque 1642 = c) 4minus es una raiacutez cuadrada de 16 porque 16)4( 2 =minus d) xy7 es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy = e) xy7minus es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy =minus
31 RAIacuteZ CUADRADA DE a El nuacutemero b es una raiacutez cuadrada de a cuando 2 ab = Todos los nuacutemeros positivos tienen dos nuacutemeros reales que son sus raiacuteces cuadradas uno positivo y otro negativo El uacutenico nuacutemero con una sola raiacutez cuadrada es 0 cuya raiacutez cuadrada es 0 Ejemplo Determinar las dos raiacuteces cuadradas de 121 Solucioacuten Las dos raiacuteces cuadradas de 121son 11y 11minus porque 121112 = y 121)11( 2 =minus 32 RAIacuteZ CUADRADA PRINCIPAL Se llama signo radical al siacutembolo y a x el nuacutemero que se encuentran dentro del signo radical que se llama radicando Siacute x gt 0 la raiacutez principal de x es la raiacutez cuadrada positiva de x y se
representa con x La raiacutez cuadrada principal de 0 es 0 00 = NOTA Por definicioacuten el cuadrado principal de un nuacutemero positivo siempre es positivo Aunque 5 y 5minus son raiacuteces cuadradas de 25 soacutelo 5es la raiacutez cuadrada principal El radical
25 representa 5 El radical 25minus representa 5minus Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuadradas
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
31
a) 11 =
b) 981 =
c) 981 minus=minus
d) 21
41=
e) 114
12116
minus=minus
f) 20040 =
g) 03000090 minus=minus
Los nuacutemeros como 1600491694 y se llaman cuadrados enteros porque cada uno de ellos es el cuadrado de un entero La raiacutez cuadrada de todo cuadrado entero es un nuacutemero racional Por ejemplo
4016007494163924 =====
Las raiacuteces cuadradas de muchos enteros positivos no son nuacutemeros racionales Por ejemplo 11 es un nuacutemero irracional cuyo valor aproximado ( )asymp es de
31662473 )3166247311( asymp Donde el siacutembolo asympquiere decir ldquoaproximadamente igual ardquo
Las raiacuteces cuadradas de nuacutemeros negativos no son nuacutemeros reales Por
ejemplo 9minus no es nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado al cuadrado es igual a 9minus Las raiacuteces cuadradas de los nuacutemeros negativos originan un conjunto llamado nuacutemeros imaginarios
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
32
33 RAIacuteCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE Si 0nex el nuacutemero positivo 2x tiene por raiacuteces a x y a xminus porque 22)( xx =
y 22)( xx =minus Para indicar la raiacutez cuadrada positiva de 2x se debe saber si x es positivo o negativo Si 0gtx se puede escribir lo siguiente xx =2 donde 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es x Si x es negativo entonces 0gtminus x es xx minus=2 ya que 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es xminus Si no se sabe si x es positivo o negativo se pueden emplear siacutembolos de valor absoluto para garantizar que 2x sea positiva xx =2 siempre y cuando x sea cualquier nuacutemero real Si x es cualquier nuacutemero real entonces
a) xxxx 44)4(16 22 ===
Por lo que escribir 216x en la forma 2)4( x siendo que ( ) 22 164 xx = Puesto que x podriacutea ser negativo Los siacutembolos de valor absoluto son necesarios ya que en el producto x4 4 es una constante positiva
b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2
+=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 4+x puede ser negativo por ejemplo cuando
8minus=x
c) ( ) 1112 22 +=+=++ xxxx Porque ( )211 +=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 1+x puede ser negativo por ejemplo cuando 5minus=x
d) 24 xx = porque ( ) 422 xx = Como 02 gex
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
33
34 RAIacuteCES CUacuteBICAS La raiacutez cuacutebica de x se representa por yx =3 si xy =3 Por ejemplo el nuacutemero 64 tiene dos raiacuteces cuadradas que son nuacutemeros reales 8 y 8minus Sin embargo 64 soacutelo tiene una raiacutez cuacutebica real que es el valor de 4 porque 4 es el uacutenico nuacutemero real cuyo cubo es 64 Por lo tanto
xx =3 3 Como todos los nuacutemeros reales tienen una y solo una raiacutez cuacutebica real algunas
de las cuales son positivas y otras negativas no es necesario emplear siacutembolos de valor absoluto al simplificar las raiacuteces cuacutebicas
Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuacutebicas
a) 3 125 b) 3
81
c) 3 327xminus d) 33
3
278
ba
minus e) 3 632160 yx
Solucioacuten a) 51253 = porque 125)5)(5)(5(53 ==
b) 21
81
3 = porque 81
21
21
21
21 3
=
=
c) xx 3273 3 minus=minus porque ( ) ( )( )( ) 33 273333 xxxxx minus=minusminusminus=minus
d) ba
ba
32
278
33
3
minus=minus porque 3
33
278
32
32
32
32
ba
ba
ba
ba
ba
minus=
minus
minus
minus=
minus
e) 23 63 602160 xyyx = porque
( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==
35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS Asiacute como existen raiacuteces cuadradas y raiacuteces cuacutebicas tambieacuten existen las raiacuteces cuartas raiacuteces quintas raiacuteces sextas etc
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
34
Cuando n es impar el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez impar Como todo nuacutemero real tiene una y soacutelo una raiacutez eneacutesima real cuando n es impar no es necesario preocuparse por los siacutembolos de valor absoluto cuando se calculan raiacuteces impares Ejemplo
a) 33243 5 55 == porque 24335 = b) ( ) xxx 227128 77 7 minus=minus=minus porque ( ) 77 1282 xx minus=minus
Cuando n es par el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez par En este caso habraacute una raiacutez eneacutesima positiva y una eneacutesima negativa Por ejemplo las dos raiacuteces sextas reales de 729 son 3 y 3minus porque
72936 = y 729)3( 6 =minus Cuando se determinan raiacuteces reales se emplean con frecuencia los siacutembolos de valor absoluto para garantizar que la eneacutesima raiacutez sea positiva Ejemplos
a) ( ) 3334 4 =minus=minus
Tambieacuten se puede simplificar de la siguiente manera ( ) 3813 44 4 ==minus
b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===
Los siacutembolos de valor absoluto garantizan que la raiacutez sexta es positiva
Generalizando se tienen las siguientes reglas Si x es un nuacutemero real y 1gtn entonces
a) Si n es un nuacutemero impar natural xxn n =
b) Si n es un nuacutemero par natural xxn n =
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
35
NOTA En el radical n x a n se le llama el iacutendice u orden del radical Cuando el iacutendice
es 2 el radical es una raiacutez cuadrada y se acostumbra no escribir el iacutendice Cuando n es par ( )2gtn y 0ltx el radical n x no es un nuacutemero real Por
ejemplo 4 81minus no es un nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado a la cuarta potencia es 81minus
Ejemplo
a) 56254 = porque 62554 = b) 2325 minus=minus porque ( ) 322 5 minus=minus
c) 21
641
6 = porque 641
21 6
=
36 EXPONENTES RACIONALES Los exponentes enteros positivos indican la cantidad de veces que se debe usar una base como factor en un producto Por ejemplo 5x significa que x se debe emplear cinco veces como factor ya que xdefactores5 ( )( )( )( )( )xxxxxx =5 Es posible elevar bases a potencias racionales (fraccionarias) cuando se desea que dichos exponentes respeten las mismas reglas que los coeficientes enteros el
cuadrado de 21
10 debe ser 10 porque
( )
10101010 1
2
212
21
===
Se mantiene la base y se multiplican los exponentes
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
36
( ) 112
212
21
=
=
10101 =
Sin embargo hay que recordar que ( ) 1010
2=
Como 2
21
10
y ( )210 son iguales a 10
Con esto se puede definir que 21
10 es igual a 10 Igualmente para
a) 31
10 como 3 10
b) 41
10 como 4 10
c) 51
10 como 5 10
Por lo que si n es un nuacutemero natural mayor que 1 y n x es un nuacutemero real entonces
nn xx =1
Ejemplo Resolver los siguientes radicales
a) 21
9 b) 21
916
minus c) ( )3
1
64minus d) 41
16 e) 51
321
f) 8
1
0 g) ( )51
232xminus
h) ( )41
xyz
Solucioacuten
a) 3999 221
===
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EXPONENTES y RADICALES
37
b) 34
916
916
916
221
minus=minus=minus=
minus
c) ( ) 46464 331
minus=minus=minus
d) 21616 441
==
e) 21
321
321
551
==
f) 000 881
==
g) ( ) xxx 23232 5 551
5 minus=minus=minus
h) ( ) 441
xyzxyz =
i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes
fraccionarios
a) 4 5xyz b) 52
15xy
Solucioacuten
a) ( )41
4 55 xyzxyz =
b) 51
2
5
2
1515
=xyxy
37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1
Se puede ampliar la definicioacuten de nx1
para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
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EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
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EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
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EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
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EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
27
d) n
nn
yx
yx
=
e) ( )010 ne= xx
f) n
n
xx 1
=minus
g) nmn
m
xxx minus=
h) nn
xy
yx
=
minus
NOTA Las mismas reglas se aplican cuando los exponentes son variables 24 EJERCICIOS
1 Simplificar las siguientes expresiones
a) 24 b) 32 )(x c) 12 )( minusminusx d) 5
2
xx
e) 25minus
Solucioacuten a) 16)4)(4(42 == b) 6)3)(2(32 )( xxx == c) 2)1)(2(12 )( xxx == minusminusminusminus
o tambieacuten
222
22
21212
1)1)(1())(1(
111
111
)(1)( xxx
xxxx
x =======minusminus
minusminus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
28
d) 2253)5()3(53
5
3 1))((x
xxxxxxx
===== minusminusminus+minus
o tambieacuten 1 1 1
21
))()()()(())()((
))()()()(())()((
xxxxxxxxx
xxxxxxxx
== = 2minusx
e) 12
2 25251
515 minusminus ===
2 Simplificar las siguientes expresiones considerando que ninguno de los
denominadores sea igual a cero
a) 32
29
)(mmm minus
b) 43
32 )2(minus
minus
aaa
c)043
22 )3(xxx
xminus
minus
d) 042
2022
)4()(4
minus
minus
minusminus
yxyxx
e) 2
25
44
93
minus
minus
minusminus
yxyx
Solucioacuten
a) mmmmm
mm
mmm
===== minusminusminus
1676
7
)3)(2(
29
32
29
)(
b) 561
6
43
)3)(2(3
43
32 88))(8())(2()2(aa
aa
aaa
aaa
====minus
minus
minus
minus
minus
minus
c) 37
4
3)4(
4
322
4
043
22
91
99)1()1()3()3(
xxx
xxx
xxx
xxxx
====minus
minus
d) =minus
=minus
=minus
minus +minus
minus
minus
1)1(4
1)1(4
)4()(4 0222
042
2022 xxyx
yxx
414
1)1)(1(4
minus=minus
=minus
=
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
29
e) ( )( )
( )( ) =minusminus
=minusminus
=
minusminus
minus
minus
minusminus
minusminus
minus 224
225
225
2442
25
44
39
93
93
yxyx
yxyx
yxyx
= ( )
( ) ( ) ( )2
48
410
22242
22252
99
813
)()9( xyxyx
yxyx
==minusminus
minus
minus
minus
minus
3 Encontrar el valor numeacuterico de las siguientes expresiones con 2minus=x y
3=y para
a) 23 yx b) 3
3
yxminus
c) ( ) 22 minusxy d) 23 minusminus xy e) 23)( minusminus xy
Solucioacuten
a) ( ) ( ) 72)9)(8(32 2323 minus=minus=minus=yx
b) ( ) ( ) ( )( ) =minus
=minus
==minus
2781
3211
33333
3
yxyx
2161
2161
minus=minus
=
c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241
3211
2222
22 =minus
==minus
xyxy
d) ( ) ( )( ) 16
2722723 4
4323 minus=
minusminus
=minusminus=minus minusminusxy 1627
minus=
e) ( )( ) 4
272
3)()( 2
3
2
323 =
minus=
minus=minus minus
xyxy
3 RADICALES Con frecuencia en los problemas de aplicacioacuten se debe determinar queacute nuacutemero se puede elevar al cuadrado para obtener un segundo nuacutemero a Si se puede determinar a ese nuacutemero se le llama una raiacutez cuadrada de a Por ejemplo
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EXPONENTES y RADICALES
30
a) 0es una raiacutez cuadrada de 0 porque 002 = b) 4 es una raiacutez cuadrada de 16 porque 1642 = c) 4minus es una raiacutez cuadrada de 16 porque 16)4( 2 =minus d) xy7 es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy = e) xy7minus es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy =minus
31 RAIacuteZ CUADRADA DE a El nuacutemero b es una raiacutez cuadrada de a cuando 2 ab = Todos los nuacutemeros positivos tienen dos nuacutemeros reales que son sus raiacuteces cuadradas uno positivo y otro negativo El uacutenico nuacutemero con una sola raiacutez cuadrada es 0 cuya raiacutez cuadrada es 0 Ejemplo Determinar las dos raiacuteces cuadradas de 121 Solucioacuten Las dos raiacuteces cuadradas de 121son 11y 11minus porque 121112 = y 121)11( 2 =minus 32 RAIacuteZ CUADRADA PRINCIPAL Se llama signo radical al siacutembolo y a x el nuacutemero que se encuentran dentro del signo radical que se llama radicando Siacute x gt 0 la raiacutez principal de x es la raiacutez cuadrada positiva de x y se
representa con x La raiacutez cuadrada principal de 0 es 0 00 = NOTA Por definicioacuten el cuadrado principal de un nuacutemero positivo siempre es positivo Aunque 5 y 5minus son raiacuteces cuadradas de 25 soacutelo 5es la raiacutez cuadrada principal El radical
25 representa 5 El radical 25minus representa 5minus Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuadradas
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EXPONENTES y RADICALES
31
a) 11 =
b) 981 =
c) 981 minus=minus
d) 21
41=
e) 114
12116
minus=minus
f) 20040 =
g) 03000090 minus=minus
Los nuacutemeros como 1600491694 y se llaman cuadrados enteros porque cada uno de ellos es el cuadrado de un entero La raiacutez cuadrada de todo cuadrado entero es un nuacutemero racional Por ejemplo
4016007494163924 =====
Las raiacuteces cuadradas de muchos enteros positivos no son nuacutemeros racionales Por ejemplo 11 es un nuacutemero irracional cuyo valor aproximado ( )asymp es de
31662473 )3166247311( asymp Donde el siacutembolo asympquiere decir ldquoaproximadamente igual ardquo
Las raiacuteces cuadradas de nuacutemeros negativos no son nuacutemeros reales Por
ejemplo 9minus no es nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado al cuadrado es igual a 9minus Las raiacuteces cuadradas de los nuacutemeros negativos originan un conjunto llamado nuacutemeros imaginarios
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EXPONENTES y RADICALES
32
33 RAIacuteCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE Si 0nex el nuacutemero positivo 2x tiene por raiacuteces a x y a xminus porque 22)( xx =
y 22)( xx =minus Para indicar la raiacutez cuadrada positiva de 2x se debe saber si x es positivo o negativo Si 0gtx se puede escribir lo siguiente xx =2 donde 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es x Si x es negativo entonces 0gtminus x es xx minus=2 ya que 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es xminus Si no se sabe si x es positivo o negativo se pueden emplear siacutembolos de valor absoluto para garantizar que 2x sea positiva xx =2 siempre y cuando x sea cualquier nuacutemero real Si x es cualquier nuacutemero real entonces
a) xxxx 44)4(16 22 ===
Por lo que escribir 216x en la forma 2)4( x siendo que ( ) 22 164 xx = Puesto que x podriacutea ser negativo Los siacutembolos de valor absoluto son necesarios ya que en el producto x4 4 es una constante positiva
b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2
+=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 4+x puede ser negativo por ejemplo cuando
8minus=x
c) ( ) 1112 22 +=+=++ xxxx Porque ( )211 +=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 1+x puede ser negativo por ejemplo cuando 5minus=x
d) 24 xx = porque ( ) 422 xx = Como 02 gex
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EXPONENTES y RADICALES
33
34 RAIacuteCES CUacuteBICAS La raiacutez cuacutebica de x se representa por yx =3 si xy =3 Por ejemplo el nuacutemero 64 tiene dos raiacuteces cuadradas que son nuacutemeros reales 8 y 8minus Sin embargo 64 soacutelo tiene una raiacutez cuacutebica real que es el valor de 4 porque 4 es el uacutenico nuacutemero real cuyo cubo es 64 Por lo tanto
xx =3 3 Como todos los nuacutemeros reales tienen una y solo una raiacutez cuacutebica real algunas
de las cuales son positivas y otras negativas no es necesario emplear siacutembolos de valor absoluto al simplificar las raiacuteces cuacutebicas
Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuacutebicas
a) 3 125 b) 3
81
c) 3 327xminus d) 33
3
278
ba
minus e) 3 632160 yx
Solucioacuten a) 51253 = porque 125)5)(5)(5(53 ==
b) 21
81
3 = porque 81
21
21
21
21 3
=
=
c) xx 3273 3 minus=minus porque ( ) ( )( )( ) 33 273333 xxxxx minus=minusminusminus=minus
d) ba
ba
32
278
33
3
minus=minus porque 3
33
278
32
32
32
32
ba
ba
ba
ba
ba
minus=
minus
minus
minus=
minus
e) 23 63 602160 xyyx = porque
( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==
35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS Asiacute como existen raiacuteces cuadradas y raiacuteces cuacutebicas tambieacuten existen las raiacuteces cuartas raiacuteces quintas raiacuteces sextas etc
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EXPONENTES y RADICALES
34
Cuando n es impar el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez impar Como todo nuacutemero real tiene una y soacutelo una raiacutez eneacutesima real cuando n es impar no es necesario preocuparse por los siacutembolos de valor absoluto cuando se calculan raiacuteces impares Ejemplo
a) 33243 5 55 == porque 24335 = b) ( ) xxx 227128 77 7 minus=minus=minus porque ( ) 77 1282 xx minus=minus
Cuando n es par el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez par En este caso habraacute una raiacutez eneacutesima positiva y una eneacutesima negativa Por ejemplo las dos raiacuteces sextas reales de 729 son 3 y 3minus porque
72936 = y 729)3( 6 =minus Cuando se determinan raiacuteces reales se emplean con frecuencia los siacutembolos de valor absoluto para garantizar que la eneacutesima raiacutez sea positiva Ejemplos
a) ( ) 3334 4 =minus=minus
Tambieacuten se puede simplificar de la siguiente manera ( ) 3813 44 4 ==minus
b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===
Los siacutembolos de valor absoluto garantizan que la raiacutez sexta es positiva
Generalizando se tienen las siguientes reglas Si x es un nuacutemero real y 1gtn entonces
a) Si n es un nuacutemero impar natural xxn n =
b) Si n es un nuacutemero par natural xxn n =
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EXPONENTES y RADICALES
35
NOTA En el radical n x a n se le llama el iacutendice u orden del radical Cuando el iacutendice
es 2 el radical es una raiacutez cuadrada y se acostumbra no escribir el iacutendice Cuando n es par ( )2gtn y 0ltx el radical n x no es un nuacutemero real Por
ejemplo 4 81minus no es un nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado a la cuarta potencia es 81minus
Ejemplo
a) 56254 = porque 62554 = b) 2325 minus=minus porque ( ) 322 5 minus=minus
c) 21
641
6 = porque 641
21 6
=
36 EXPONENTES RACIONALES Los exponentes enteros positivos indican la cantidad de veces que se debe usar una base como factor en un producto Por ejemplo 5x significa que x se debe emplear cinco veces como factor ya que xdefactores5 ( )( )( )( )( )xxxxxx =5 Es posible elevar bases a potencias racionales (fraccionarias) cuando se desea que dichos exponentes respeten las mismas reglas que los coeficientes enteros el
cuadrado de 21
10 debe ser 10 porque
( )
10101010 1
2
212
21
===
Se mantiene la base y se multiplican los exponentes
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EXPONENTES y RADICALES
36
( ) 112
212
21
=
=
10101 =
Sin embargo hay que recordar que ( ) 1010
2=
Como 2
21
10
y ( )210 son iguales a 10
Con esto se puede definir que 21
10 es igual a 10 Igualmente para
a) 31
10 como 3 10
b) 41
10 como 4 10
c) 51
10 como 5 10
Por lo que si n es un nuacutemero natural mayor que 1 y n x es un nuacutemero real entonces
nn xx =1
Ejemplo Resolver los siguientes radicales
a) 21
9 b) 21
916
minus c) ( )3
1
64minus d) 41
16 e) 51
321
f) 8
1
0 g) ( )51
232xminus
h) ( )41
xyz
Solucioacuten
a) 3999 221
===
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EXPONENTES y RADICALES
37
b) 34
916
916
916
221
minus=minus=minus=
minus
c) ( ) 46464 331
minus=minus=minus
d) 21616 441
==
e) 21
321
321
551
==
f) 000 881
==
g) ( ) xxx 23232 5 551
5 minus=minus=minus
h) ( ) 441
xyzxyz =
i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes
fraccionarios
a) 4 5xyz b) 52
15xy
Solucioacuten
a) ( )41
4 55 xyzxyz =
b) 51
2
5
2
1515
=xyxy
37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1
Se puede ampliar la definicioacuten de nx1
para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1
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EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
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EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
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EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
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EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
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EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
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EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
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EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
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EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
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EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
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EXPONENTES y RADICALES
28
d) 2253)5()3(53
5
3 1))((x
xxxxxxx
===== minusminusminus+minus
o tambieacuten 1 1 1
21
))()()()(())()((
))()()()(())()((
xxxxxxxxx
xxxxxxxx
== = 2minusx
e) 12
2 25251
515 minusminus ===
2 Simplificar las siguientes expresiones considerando que ninguno de los
denominadores sea igual a cero
a) 32
29
)(mmm minus
b) 43
32 )2(minus
minus
aaa
c)043
22 )3(xxx
xminus
minus
d) 042
2022
)4()(4
minus
minus
minusminus
yxyxx
e) 2
25
44
93
minus
minus
minusminus
yxyx
Solucioacuten
a) mmmmm
mm
mmm
===== minusminusminus
1676
7
)3)(2(
29
32
29
)(
b) 561
6
43
)3)(2(3
43
32 88))(8())(2()2(aa
aa
aaa
aaa
====minus
minus
minus
minus
minus
minus
c) 37
4
3)4(
4
322
4
043
22
91
99)1()1()3()3(
xxx
xxx
xxx
xxxx
====minus
minus
d) =minus
=minus
=minus
minus +minus
minus
minus
1)1(4
1)1(4
)4()(4 0222
042
2022 xxyx
yxx
414
1)1)(1(4
minus=minus
=minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
29
e) ( )( )
( )( ) =minusminus
=minusminus
=
minusminus
minus
minus
minusminus
minusminus
minus 224
225
225
2442
25
44
39
93
93
yxyx
yxyx
yxyx
= ( )
( ) ( ) ( )2
48
410
22242
22252
99
813
)()9( xyxyx
yxyx
==minusminus
minus
minus
minus
minus
3 Encontrar el valor numeacuterico de las siguientes expresiones con 2minus=x y
3=y para
a) 23 yx b) 3
3
yxminus
c) ( ) 22 minusxy d) 23 minusminus xy e) 23)( minusminus xy
Solucioacuten
a) ( ) ( ) 72)9)(8(32 2323 minus=minus=minus=yx
b) ( ) ( ) ( )( ) =minus
=minus
==minus
2781
3211
33333
3
yxyx
2161
2161
minus=minus
=
c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241
3211
2222
22 =minus
==minus
xyxy
d) ( ) ( )( ) 16
2722723 4
4323 minus=
minusminus
=minusminus=minus minusminusxy 1627
minus=
e) ( )( ) 4
272
3)()( 2
3
2
323 =
minus=
minus=minus minus
xyxy
3 RADICALES Con frecuencia en los problemas de aplicacioacuten se debe determinar queacute nuacutemero se puede elevar al cuadrado para obtener un segundo nuacutemero a Si se puede determinar a ese nuacutemero se le llama una raiacutez cuadrada de a Por ejemplo
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EXPONENTES y RADICALES
30
a) 0es una raiacutez cuadrada de 0 porque 002 = b) 4 es una raiacutez cuadrada de 16 porque 1642 = c) 4minus es una raiacutez cuadrada de 16 porque 16)4( 2 =minus d) xy7 es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy = e) xy7minus es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy =minus
31 RAIacuteZ CUADRADA DE a El nuacutemero b es una raiacutez cuadrada de a cuando 2 ab = Todos los nuacutemeros positivos tienen dos nuacutemeros reales que son sus raiacuteces cuadradas uno positivo y otro negativo El uacutenico nuacutemero con una sola raiacutez cuadrada es 0 cuya raiacutez cuadrada es 0 Ejemplo Determinar las dos raiacuteces cuadradas de 121 Solucioacuten Las dos raiacuteces cuadradas de 121son 11y 11minus porque 121112 = y 121)11( 2 =minus 32 RAIacuteZ CUADRADA PRINCIPAL Se llama signo radical al siacutembolo y a x el nuacutemero que se encuentran dentro del signo radical que se llama radicando Siacute x gt 0 la raiacutez principal de x es la raiacutez cuadrada positiva de x y se
representa con x La raiacutez cuadrada principal de 0 es 0 00 = NOTA Por definicioacuten el cuadrado principal de un nuacutemero positivo siempre es positivo Aunque 5 y 5minus son raiacuteces cuadradas de 25 soacutelo 5es la raiacutez cuadrada principal El radical
25 representa 5 El radical 25minus representa 5minus Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuadradas
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
31
a) 11 =
b) 981 =
c) 981 minus=minus
d) 21
41=
e) 114
12116
minus=minus
f) 20040 =
g) 03000090 minus=minus
Los nuacutemeros como 1600491694 y se llaman cuadrados enteros porque cada uno de ellos es el cuadrado de un entero La raiacutez cuadrada de todo cuadrado entero es un nuacutemero racional Por ejemplo
4016007494163924 =====
Las raiacuteces cuadradas de muchos enteros positivos no son nuacutemeros racionales Por ejemplo 11 es un nuacutemero irracional cuyo valor aproximado ( )asymp es de
31662473 )3166247311( asymp Donde el siacutembolo asympquiere decir ldquoaproximadamente igual ardquo
Las raiacuteces cuadradas de nuacutemeros negativos no son nuacutemeros reales Por
ejemplo 9minus no es nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado al cuadrado es igual a 9minus Las raiacuteces cuadradas de los nuacutemeros negativos originan un conjunto llamado nuacutemeros imaginarios
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
32
33 RAIacuteCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE Si 0nex el nuacutemero positivo 2x tiene por raiacuteces a x y a xminus porque 22)( xx =
y 22)( xx =minus Para indicar la raiacutez cuadrada positiva de 2x se debe saber si x es positivo o negativo Si 0gtx se puede escribir lo siguiente xx =2 donde 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es x Si x es negativo entonces 0gtminus x es xx minus=2 ya que 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es xminus Si no se sabe si x es positivo o negativo se pueden emplear siacutembolos de valor absoluto para garantizar que 2x sea positiva xx =2 siempre y cuando x sea cualquier nuacutemero real Si x es cualquier nuacutemero real entonces
a) xxxx 44)4(16 22 ===
Por lo que escribir 216x en la forma 2)4( x siendo que ( ) 22 164 xx = Puesto que x podriacutea ser negativo Los siacutembolos de valor absoluto son necesarios ya que en el producto x4 4 es una constante positiva
b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2
+=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 4+x puede ser negativo por ejemplo cuando
8minus=x
c) ( ) 1112 22 +=+=++ xxxx Porque ( )211 +=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 1+x puede ser negativo por ejemplo cuando 5minus=x
d) 24 xx = porque ( ) 422 xx = Como 02 gex
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
33
34 RAIacuteCES CUacuteBICAS La raiacutez cuacutebica de x se representa por yx =3 si xy =3 Por ejemplo el nuacutemero 64 tiene dos raiacuteces cuadradas que son nuacutemeros reales 8 y 8minus Sin embargo 64 soacutelo tiene una raiacutez cuacutebica real que es el valor de 4 porque 4 es el uacutenico nuacutemero real cuyo cubo es 64 Por lo tanto
xx =3 3 Como todos los nuacutemeros reales tienen una y solo una raiacutez cuacutebica real algunas
de las cuales son positivas y otras negativas no es necesario emplear siacutembolos de valor absoluto al simplificar las raiacuteces cuacutebicas
Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuacutebicas
a) 3 125 b) 3
81
c) 3 327xminus d) 33
3
278
ba
minus e) 3 632160 yx
Solucioacuten a) 51253 = porque 125)5)(5)(5(53 ==
b) 21
81
3 = porque 81
21
21
21
21 3
=
=
c) xx 3273 3 minus=minus porque ( ) ( )( )( ) 33 273333 xxxxx minus=minusminusminus=minus
d) ba
ba
32
278
33
3
minus=minus porque 3
33
278
32
32
32
32
ba
ba
ba
ba
ba
minus=
minus
minus
minus=
minus
e) 23 63 602160 xyyx = porque
( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==
35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS Asiacute como existen raiacuteces cuadradas y raiacuteces cuacutebicas tambieacuten existen las raiacuteces cuartas raiacuteces quintas raiacuteces sextas etc
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
34
Cuando n es impar el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez impar Como todo nuacutemero real tiene una y soacutelo una raiacutez eneacutesima real cuando n es impar no es necesario preocuparse por los siacutembolos de valor absoluto cuando se calculan raiacuteces impares Ejemplo
a) 33243 5 55 == porque 24335 = b) ( ) xxx 227128 77 7 minus=minus=minus porque ( ) 77 1282 xx minus=minus
Cuando n es par el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez par En este caso habraacute una raiacutez eneacutesima positiva y una eneacutesima negativa Por ejemplo las dos raiacuteces sextas reales de 729 son 3 y 3minus porque
72936 = y 729)3( 6 =minus Cuando se determinan raiacuteces reales se emplean con frecuencia los siacutembolos de valor absoluto para garantizar que la eneacutesima raiacutez sea positiva Ejemplos
a) ( ) 3334 4 =minus=minus
Tambieacuten se puede simplificar de la siguiente manera ( ) 3813 44 4 ==minus
b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===
Los siacutembolos de valor absoluto garantizan que la raiacutez sexta es positiva
Generalizando se tienen las siguientes reglas Si x es un nuacutemero real y 1gtn entonces
a) Si n es un nuacutemero impar natural xxn n =
b) Si n es un nuacutemero par natural xxn n =
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
35
NOTA En el radical n x a n se le llama el iacutendice u orden del radical Cuando el iacutendice
es 2 el radical es una raiacutez cuadrada y se acostumbra no escribir el iacutendice Cuando n es par ( )2gtn y 0ltx el radical n x no es un nuacutemero real Por
ejemplo 4 81minus no es un nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado a la cuarta potencia es 81minus
Ejemplo
a) 56254 = porque 62554 = b) 2325 minus=minus porque ( ) 322 5 minus=minus
c) 21
641
6 = porque 641
21 6
=
36 EXPONENTES RACIONALES Los exponentes enteros positivos indican la cantidad de veces que se debe usar una base como factor en un producto Por ejemplo 5x significa que x se debe emplear cinco veces como factor ya que xdefactores5 ( )( )( )( )( )xxxxxx =5 Es posible elevar bases a potencias racionales (fraccionarias) cuando se desea que dichos exponentes respeten las mismas reglas que los coeficientes enteros el
cuadrado de 21
10 debe ser 10 porque
( )
10101010 1
2
212
21
===
Se mantiene la base y se multiplican los exponentes
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
36
( ) 112
212
21
=
=
10101 =
Sin embargo hay que recordar que ( ) 1010
2=
Como 2
21
10
y ( )210 son iguales a 10
Con esto se puede definir que 21
10 es igual a 10 Igualmente para
a) 31
10 como 3 10
b) 41
10 como 4 10
c) 51
10 como 5 10
Por lo que si n es un nuacutemero natural mayor que 1 y n x es un nuacutemero real entonces
nn xx =1
Ejemplo Resolver los siguientes radicales
a) 21
9 b) 21
916
minus c) ( )3
1
64minus d) 41
16 e) 51
321
f) 8
1
0 g) ( )51
232xminus
h) ( )41
xyz
Solucioacuten
a) 3999 221
===
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EXPONENTES y RADICALES
37
b) 34
916
916
916
221
minus=minus=minus=
minus
c) ( ) 46464 331
minus=minus=minus
d) 21616 441
==
e) 21
321
321
551
==
f) 000 881
==
g) ( ) xxx 23232 5 551
5 minus=minus=minus
h) ( ) 441
xyzxyz =
i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes
fraccionarios
a) 4 5xyz b) 52
15xy
Solucioacuten
a) ( )41
4 55 xyzxyz =
b) 51
2
5
2
1515
=xyxy
37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1
Se puede ampliar la definicioacuten de nx1
para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
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EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
29
e) ( )( )
( )( ) =minusminus
=minusminus
=
minusminus
minus
minus
minusminus
minusminus
minus 224
225
225
2442
25
44
39
93
93
yxyx
yxyx
yxyx
= ( )
( ) ( ) ( )2
48
410
22242
22252
99
813
)()9( xyxyx
yxyx
==minusminus
minus
minus
minus
minus
3 Encontrar el valor numeacuterico de las siguientes expresiones con 2minus=x y
3=y para
a) 23 yx b) 3
3
yxminus
c) ( ) 22 minusxy d) 23 minusminus xy e) 23)( minusminus xy
Solucioacuten
a) ( ) ( ) 72)9)(8(32 2323 minus=minus=minus=yx
b) ( ) ( ) ( )( ) =minus
=minus
==minus
2781
3211
33333
3
yxyx
2161
2161
minus=minus
=
c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241
3211
2222
22 =minus
==minus
xyxy
d) ( ) ( )( ) 16
2722723 4
4323 minus=
minusminus
=minusminus=minus minusminusxy 1627
minus=
e) ( )( ) 4
272
3)()( 2
3
2
323 =
minus=
minus=minus minus
xyxy
3 RADICALES Con frecuencia en los problemas de aplicacioacuten se debe determinar queacute nuacutemero se puede elevar al cuadrado para obtener un segundo nuacutemero a Si se puede determinar a ese nuacutemero se le llama una raiacutez cuadrada de a Por ejemplo
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
30
a) 0es una raiacutez cuadrada de 0 porque 002 = b) 4 es una raiacutez cuadrada de 16 porque 1642 = c) 4minus es una raiacutez cuadrada de 16 porque 16)4( 2 =minus d) xy7 es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy = e) xy7minus es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy =minus
31 RAIacuteZ CUADRADA DE a El nuacutemero b es una raiacutez cuadrada de a cuando 2 ab = Todos los nuacutemeros positivos tienen dos nuacutemeros reales que son sus raiacuteces cuadradas uno positivo y otro negativo El uacutenico nuacutemero con una sola raiacutez cuadrada es 0 cuya raiacutez cuadrada es 0 Ejemplo Determinar las dos raiacuteces cuadradas de 121 Solucioacuten Las dos raiacuteces cuadradas de 121son 11y 11minus porque 121112 = y 121)11( 2 =minus 32 RAIacuteZ CUADRADA PRINCIPAL Se llama signo radical al siacutembolo y a x el nuacutemero que se encuentran dentro del signo radical que se llama radicando Siacute x gt 0 la raiacutez principal de x es la raiacutez cuadrada positiva de x y se
representa con x La raiacutez cuadrada principal de 0 es 0 00 = NOTA Por definicioacuten el cuadrado principal de un nuacutemero positivo siempre es positivo Aunque 5 y 5minus son raiacuteces cuadradas de 25 soacutelo 5es la raiacutez cuadrada principal El radical
25 representa 5 El radical 25minus representa 5minus Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuadradas
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
31
a) 11 =
b) 981 =
c) 981 minus=minus
d) 21
41=
e) 114
12116
minus=minus
f) 20040 =
g) 03000090 minus=minus
Los nuacutemeros como 1600491694 y se llaman cuadrados enteros porque cada uno de ellos es el cuadrado de un entero La raiacutez cuadrada de todo cuadrado entero es un nuacutemero racional Por ejemplo
4016007494163924 =====
Las raiacuteces cuadradas de muchos enteros positivos no son nuacutemeros racionales Por ejemplo 11 es un nuacutemero irracional cuyo valor aproximado ( )asymp es de
31662473 )3166247311( asymp Donde el siacutembolo asympquiere decir ldquoaproximadamente igual ardquo
Las raiacuteces cuadradas de nuacutemeros negativos no son nuacutemeros reales Por
ejemplo 9minus no es nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado al cuadrado es igual a 9minus Las raiacuteces cuadradas de los nuacutemeros negativos originan un conjunto llamado nuacutemeros imaginarios
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
32
33 RAIacuteCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE Si 0nex el nuacutemero positivo 2x tiene por raiacuteces a x y a xminus porque 22)( xx =
y 22)( xx =minus Para indicar la raiacutez cuadrada positiva de 2x se debe saber si x es positivo o negativo Si 0gtx se puede escribir lo siguiente xx =2 donde 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es x Si x es negativo entonces 0gtminus x es xx minus=2 ya que 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es xminus Si no se sabe si x es positivo o negativo se pueden emplear siacutembolos de valor absoluto para garantizar que 2x sea positiva xx =2 siempre y cuando x sea cualquier nuacutemero real Si x es cualquier nuacutemero real entonces
a) xxxx 44)4(16 22 ===
Por lo que escribir 216x en la forma 2)4( x siendo que ( ) 22 164 xx = Puesto que x podriacutea ser negativo Los siacutembolos de valor absoluto son necesarios ya que en el producto x4 4 es una constante positiva
b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2
+=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 4+x puede ser negativo por ejemplo cuando
8minus=x
c) ( ) 1112 22 +=+=++ xxxx Porque ( )211 +=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 1+x puede ser negativo por ejemplo cuando 5minus=x
d) 24 xx = porque ( ) 422 xx = Como 02 gex
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
33
34 RAIacuteCES CUacuteBICAS La raiacutez cuacutebica de x se representa por yx =3 si xy =3 Por ejemplo el nuacutemero 64 tiene dos raiacuteces cuadradas que son nuacutemeros reales 8 y 8minus Sin embargo 64 soacutelo tiene una raiacutez cuacutebica real que es el valor de 4 porque 4 es el uacutenico nuacutemero real cuyo cubo es 64 Por lo tanto
xx =3 3 Como todos los nuacutemeros reales tienen una y solo una raiacutez cuacutebica real algunas
de las cuales son positivas y otras negativas no es necesario emplear siacutembolos de valor absoluto al simplificar las raiacuteces cuacutebicas
Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuacutebicas
a) 3 125 b) 3
81
c) 3 327xminus d) 33
3
278
ba
minus e) 3 632160 yx
Solucioacuten a) 51253 = porque 125)5)(5)(5(53 ==
b) 21
81
3 = porque 81
21
21
21
21 3
=
=
c) xx 3273 3 minus=minus porque ( ) ( )( )( ) 33 273333 xxxxx minus=minusminusminus=minus
d) ba
ba
32
278
33
3
minus=minus porque 3
33
278
32
32
32
32
ba
ba
ba
ba
ba
minus=
minus
minus
minus=
minus
e) 23 63 602160 xyyx = porque
( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==
35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS Asiacute como existen raiacuteces cuadradas y raiacuteces cuacutebicas tambieacuten existen las raiacuteces cuartas raiacuteces quintas raiacuteces sextas etc
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EXPONENTES y RADICALES
34
Cuando n es impar el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez impar Como todo nuacutemero real tiene una y soacutelo una raiacutez eneacutesima real cuando n es impar no es necesario preocuparse por los siacutembolos de valor absoluto cuando se calculan raiacuteces impares Ejemplo
a) 33243 5 55 == porque 24335 = b) ( ) xxx 227128 77 7 minus=minus=minus porque ( ) 77 1282 xx minus=minus
Cuando n es par el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez par En este caso habraacute una raiacutez eneacutesima positiva y una eneacutesima negativa Por ejemplo las dos raiacuteces sextas reales de 729 son 3 y 3minus porque
72936 = y 729)3( 6 =minus Cuando se determinan raiacuteces reales se emplean con frecuencia los siacutembolos de valor absoluto para garantizar que la eneacutesima raiacutez sea positiva Ejemplos
a) ( ) 3334 4 =minus=minus
Tambieacuten se puede simplificar de la siguiente manera ( ) 3813 44 4 ==minus
b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===
Los siacutembolos de valor absoluto garantizan que la raiacutez sexta es positiva
Generalizando se tienen las siguientes reglas Si x es un nuacutemero real y 1gtn entonces
a) Si n es un nuacutemero impar natural xxn n =
b) Si n es un nuacutemero par natural xxn n =
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EXPONENTES y RADICALES
35
NOTA En el radical n x a n se le llama el iacutendice u orden del radical Cuando el iacutendice
es 2 el radical es una raiacutez cuadrada y se acostumbra no escribir el iacutendice Cuando n es par ( )2gtn y 0ltx el radical n x no es un nuacutemero real Por
ejemplo 4 81minus no es un nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado a la cuarta potencia es 81minus
Ejemplo
a) 56254 = porque 62554 = b) 2325 minus=minus porque ( ) 322 5 minus=minus
c) 21
641
6 = porque 641
21 6
=
36 EXPONENTES RACIONALES Los exponentes enteros positivos indican la cantidad de veces que se debe usar una base como factor en un producto Por ejemplo 5x significa que x se debe emplear cinco veces como factor ya que xdefactores5 ( )( )( )( )( )xxxxxx =5 Es posible elevar bases a potencias racionales (fraccionarias) cuando se desea que dichos exponentes respeten las mismas reglas que los coeficientes enteros el
cuadrado de 21
10 debe ser 10 porque
( )
10101010 1
2
212
21
===
Se mantiene la base y se multiplican los exponentes
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EXPONENTES y RADICALES
36
( ) 112
212
21
=
=
10101 =
Sin embargo hay que recordar que ( ) 1010
2=
Como 2
21
10
y ( )210 son iguales a 10
Con esto se puede definir que 21
10 es igual a 10 Igualmente para
a) 31
10 como 3 10
b) 41
10 como 4 10
c) 51
10 como 5 10
Por lo que si n es un nuacutemero natural mayor que 1 y n x es un nuacutemero real entonces
nn xx =1
Ejemplo Resolver los siguientes radicales
a) 21
9 b) 21
916
minus c) ( )3
1
64minus d) 41
16 e) 51
321
f) 8
1
0 g) ( )51
232xminus
h) ( )41
xyz
Solucioacuten
a) 3999 221
===
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EXPONENTES y RADICALES
37
b) 34
916
916
916
221
minus=minus=minus=
minus
c) ( ) 46464 331
minus=minus=minus
d) 21616 441
==
e) 21
321
321
551
==
f) 000 881
==
g) ( ) xxx 23232 5 551
5 minus=minus=minus
h) ( ) 441
xyzxyz =
i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes
fraccionarios
a) 4 5xyz b) 52
15xy
Solucioacuten
a) ( )41
4 55 xyzxyz =
b) 51
2
5
2
1515
=xyxy
37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1
Se puede ampliar la definicioacuten de nx1
para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1
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EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
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EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
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EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
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EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
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EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
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EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
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EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
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EXPONENTES y RADICALES
30
a) 0es una raiacutez cuadrada de 0 porque 002 = b) 4 es una raiacutez cuadrada de 16 porque 1642 = c) 4minus es una raiacutez cuadrada de 16 porque 16)4( 2 =minus d) xy7 es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy = e) xy7minus es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy =minus
31 RAIacuteZ CUADRADA DE a El nuacutemero b es una raiacutez cuadrada de a cuando 2 ab = Todos los nuacutemeros positivos tienen dos nuacutemeros reales que son sus raiacuteces cuadradas uno positivo y otro negativo El uacutenico nuacutemero con una sola raiacutez cuadrada es 0 cuya raiacutez cuadrada es 0 Ejemplo Determinar las dos raiacuteces cuadradas de 121 Solucioacuten Las dos raiacuteces cuadradas de 121son 11y 11minus porque 121112 = y 121)11( 2 =minus 32 RAIacuteZ CUADRADA PRINCIPAL Se llama signo radical al siacutembolo y a x el nuacutemero que se encuentran dentro del signo radical que se llama radicando Siacute x gt 0 la raiacutez principal de x es la raiacutez cuadrada positiva de x y se
representa con x La raiacutez cuadrada principal de 0 es 0 00 = NOTA Por definicioacuten el cuadrado principal de un nuacutemero positivo siempre es positivo Aunque 5 y 5minus son raiacuteces cuadradas de 25 soacutelo 5es la raiacutez cuadrada principal El radical
25 representa 5 El radical 25minus representa 5minus Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuadradas
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EXPONENTES y RADICALES
31
a) 11 =
b) 981 =
c) 981 minus=minus
d) 21
41=
e) 114
12116
minus=minus
f) 20040 =
g) 03000090 minus=minus
Los nuacutemeros como 1600491694 y se llaman cuadrados enteros porque cada uno de ellos es el cuadrado de un entero La raiacutez cuadrada de todo cuadrado entero es un nuacutemero racional Por ejemplo
4016007494163924 =====
Las raiacuteces cuadradas de muchos enteros positivos no son nuacutemeros racionales Por ejemplo 11 es un nuacutemero irracional cuyo valor aproximado ( )asymp es de
31662473 )3166247311( asymp Donde el siacutembolo asympquiere decir ldquoaproximadamente igual ardquo
Las raiacuteces cuadradas de nuacutemeros negativos no son nuacutemeros reales Por
ejemplo 9minus no es nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado al cuadrado es igual a 9minus Las raiacuteces cuadradas de los nuacutemeros negativos originan un conjunto llamado nuacutemeros imaginarios
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EXPONENTES y RADICALES
32
33 RAIacuteCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE Si 0nex el nuacutemero positivo 2x tiene por raiacuteces a x y a xminus porque 22)( xx =
y 22)( xx =minus Para indicar la raiacutez cuadrada positiva de 2x se debe saber si x es positivo o negativo Si 0gtx se puede escribir lo siguiente xx =2 donde 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es x Si x es negativo entonces 0gtminus x es xx minus=2 ya que 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es xminus Si no se sabe si x es positivo o negativo se pueden emplear siacutembolos de valor absoluto para garantizar que 2x sea positiva xx =2 siempre y cuando x sea cualquier nuacutemero real Si x es cualquier nuacutemero real entonces
a) xxxx 44)4(16 22 ===
Por lo que escribir 216x en la forma 2)4( x siendo que ( ) 22 164 xx = Puesto que x podriacutea ser negativo Los siacutembolos de valor absoluto son necesarios ya que en el producto x4 4 es una constante positiva
b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2
+=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 4+x puede ser negativo por ejemplo cuando
8minus=x
c) ( ) 1112 22 +=+=++ xxxx Porque ( )211 +=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 1+x puede ser negativo por ejemplo cuando 5minus=x
d) 24 xx = porque ( ) 422 xx = Como 02 gex
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EXPONENTES y RADICALES
33
34 RAIacuteCES CUacuteBICAS La raiacutez cuacutebica de x se representa por yx =3 si xy =3 Por ejemplo el nuacutemero 64 tiene dos raiacuteces cuadradas que son nuacutemeros reales 8 y 8minus Sin embargo 64 soacutelo tiene una raiacutez cuacutebica real que es el valor de 4 porque 4 es el uacutenico nuacutemero real cuyo cubo es 64 Por lo tanto
xx =3 3 Como todos los nuacutemeros reales tienen una y solo una raiacutez cuacutebica real algunas
de las cuales son positivas y otras negativas no es necesario emplear siacutembolos de valor absoluto al simplificar las raiacuteces cuacutebicas
Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuacutebicas
a) 3 125 b) 3
81
c) 3 327xminus d) 33
3
278
ba
minus e) 3 632160 yx
Solucioacuten a) 51253 = porque 125)5)(5)(5(53 ==
b) 21
81
3 = porque 81
21
21
21
21 3
=
=
c) xx 3273 3 minus=minus porque ( ) ( )( )( ) 33 273333 xxxxx minus=minusminusminus=minus
d) ba
ba
32
278
33
3
minus=minus porque 3
33
278
32
32
32
32
ba
ba
ba
ba
ba
minus=
minus
minus
minus=
minus
e) 23 63 602160 xyyx = porque
( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==
35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS Asiacute como existen raiacuteces cuadradas y raiacuteces cuacutebicas tambieacuten existen las raiacuteces cuartas raiacuteces quintas raiacuteces sextas etc
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EXPONENTES y RADICALES
34
Cuando n es impar el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez impar Como todo nuacutemero real tiene una y soacutelo una raiacutez eneacutesima real cuando n es impar no es necesario preocuparse por los siacutembolos de valor absoluto cuando se calculan raiacuteces impares Ejemplo
a) 33243 5 55 == porque 24335 = b) ( ) xxx 227128 77 7 minus=minus=minus porque ( ) 77 1282 xx minus=minus
Cuando n es par el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez par En este caso habraacute una raiacutez eneacutesima positiva y una eneacutesima negativa Por ejemplo las dos raiacuteces sextas reales de 729 son 3 y 3minus porque
72936 = y 729)3( 6 =minus Cuando se determinan raiacuteces reales se emplean con frecuencia los siacutembolos de valor absoluto para garantizar que la eneacutesima raiacutez sea positiva Ejemplos
a) ( ) 3334 4 =minus=minus
Tambieacuten se puede simplificar de la siguiente manera ( ) 3813 44 4 ==minus
b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===
Los siacutembolos de valor absoluto garantizan que la raiacutez sexta es positiva
Generalizando se tienen las siguientes reglas Si x es un nuacutemero real y 1gtn entonces
a) Si n es un nuacutemero impar natural xxn n =
b) Si n es un nuacutemero par natural xxn n =
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EXPONENTES y RADICALES
35
NOTA En el radical n x a n se le llama el iacutendice u orden del radical Cuando el iacutendice
es 2 el radical es una raiacutez cuadrada y se acostumbra no escribir el iacutendice Cuando n es par ( )2gtn y 0ltx el radical n x no es un nuacutemero real Por
ejemplo 4 81minus no es un nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado a la cuarta potencia es 81minus
Ejemplo
a) 56254 = porque 62554 = b) 2325 minus=minus porque ( ) 322 5 minus=minus
c) 21
641
6 = porque 641
21 6
=
36 EXPONENTES RACIONALES Los exponentes enteros positivos indican la cantidad de veces que se debe usar una base como factor en un producto Por ejemplo 5x significa que x se debe emplear cinco veces como factor ya que xdefactores5 ( )( )( )( )( )xxxxxx =5 Es posible elevar bases a potencias racionales (fraccionarias) cuando se desea que dichos exponentes respeten las mismas reglas que los coeficientes enteros el
cuadrado de 21
10 debe ser 10 porque
( )
10101010 1
2
212
21
===
Se mantiene la base y se multiplican los exponentes
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EXPONENTES y RADICALES
36
( ) 112
212
21
=
=
10101 =
Sin embargo hay que recordar que ( ) 1010
2=
Como 2
21
10
y ( )210 son iguales a 10
Con esto se puede definir que 21
10 es igual a 10 Igualmente para
a) 31
10 como 3 10
b) 41
10 como 4 10
c) 51
10 como 5 10
Por lo que si n es un nuacutemero natural mayor que 1 y n x es un nuacutemero real entonces
nn xx =1
Ejemplo Resolver los siguientes radicales
a) 21
9 b) 21
916
minus c) ( )3
1
64minus d) 41
16 e) 51
321
f) 8
1
0 g) ( )51
232xminus
h) ( )41
xyz
Solucioacuten
a) 3999 221
===
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EXPONENTES y RADICALES
37
b) 34
916
916
916
221
minus=minus=minus=
minus
c) ( ) 46464 331
minus=minus=minus
d) 21616 441
==
e) 21
321
321
551
==
f) 000 881
==
g) ( ) xxx 23232 5 551
5 minus=minus=minus
h) ( ) 441
xyzxyz =
i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes
fraccionarios
a) 4 5xyz b) 52
15xy
Solucioacuten
a) ( )41
4 55 xyzxyz =
b) 51
2
5
2
1515
=xyxy
37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1
Se puede ampliar la definicioacuten de nx1
para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1
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EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
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EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
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EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
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EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
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EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
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EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
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EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
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EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
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EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
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EXPONENTES y RADICALES
31
a) 11 =
b) 981 =
c) 981 minus=minus
d) 21
41=
e) 114
12116
minus=minus
f) 20040 =
g) 03000090 minus=minus
Los nuacutemeros como 1600491694 y se llaman cuadrados enteros porque cada uno de ellos es el cuadrado de un entero La raiacutez cuadrada de todo cuadrado entero es un nuacutemero racional Por ejemplo
4016007494163924 =====
Las raiacuteces cuadradas de muchos enteros positivos no son nuacutemeros racionales Por ejemplo 11 es un nuacutemero irracional cuyo valor aproximado ( )asymp es de
31662473 )3166247311( asymp Donde el siacutembolo asympquiere decir ldquoaproximadamente igual ardquo
Las raiacuteces cuadradas de nuacutemeros negativos no son nuacutemeros reales Por
ejemplo 9minus no es nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado al cuadrado es igual a 9minus Las raiacuteces cuadradas de los nuacutemeros negativos originan un conjunto llamado nuacutemeros imaginarios
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
32
33 RAIacuteCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE Si 0nex el nuacutemero positivo 2x tiene por raiacuteces a x y a xminus porque 22)( xx =
y 22)( xx =minus Para indicar la raiacutez cuadrada positiva de 2x se debe saber si x es positivo o negativo Si 0gtx se puede escribir lo siguiente xx =2 donde 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es x Si x es negativo entonces 0gtminus x es xx minus=2 ya que 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es xminus Si no se sabe si x es positivo o negativo se pueden emplear siacutembolos de valor absoluto para garantizar que 2x sea positiva xx =2 siempre y cuando x sea cualquier nuacutemero real Si x es cualquier nuacutemero real entonces
a) xxxx 44)4(16 22 ===
Por lo que escribir 216x en la forma 2)4( x siendo que ( ) 22 164 xx = Puesto que x podriacutea ser negativo Los siacutembolos de valor absoluto son necesarios ya que en el producto x4 4 es una constante positiva
b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2
+=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 4+x puede ser negativo por ejemplo cuando
8minus=x
c) ( ) 1112 22 +=+=++ xxxx Porque ( )211 +=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 1+x puede ser negativo por ejemplo cuando 5minus=x
d) 24 xx = porque ( ) 422 xx = Como 02 gex
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
33
34 RAIacuteCES CUacuteBICAS La raiacutez cuacutebica de x se representa por yx =3 si xy =3 Por ejemplo el nuacutemero 64 tiene dos raiacuteces cuadradas que son nuacutemeros reales 8 y 8minus Sin embargo 64 soacutelo tiene una raiacutez cuacutebica real que es el valor de 4 porque 4 es el uacutenico nuacutemero real cuyo cubo es 64 Por lo tanto
xx =3 3 Como todos los nuacutemeros reales tienen una y solo una raiacutez cuacutebica real algunas
de las cuales son positivas y otras negativas no es necesario emplear siacutembolos de valor absoluto al simplificar las raiacuteces cuacutebicas
Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuacutebicas
a) 3 125 b) 3
81
c) 3 327xminus d) 33
3
278
ba
minus e) 3 632160 yx
Solucioacuten a) 51253 = porque 125)5)(5)(5(53 ==
b) 21
81
3 = porque 81
21
21
21
21 3
=
=
c) xx 3273 3 minus=minus porque ( ) ( )( )( ) 33 273333 xxxxx minus=minusminusminus=minus
d) ba
ba
32
278
33
3
minus=minus porque 3
33
278
32
32
32
32
ba
ba
ba
ba
ba
minus=
minus
minus
minus=
minus
e) 23 63 602160 xyyx = porque
( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==
35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS Asiacute como existen raiacuteces cuadradas y raiacuteces cuacutebicas tambieacuten existen las raiacuteces cuartas raiacuteces quintas raiacuteces sextas etc
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
34
Cuando n es impar el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez impar Como todo nuacutemero real tiene una y soacutelo una raiacutez eneacutesima real cuando n es impar no es necesario preocuparse por los siacutembolos de valor absoluto cuando se calculan raiacuteces impares Ejemplo
a) 33243 5 55 == porque 24335 = b) ( ) xxx 227128 77 7 minus=minus=minus porque ( ) 77 1282 xx minus=minus
Cuando n es par el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez par En este caso habraacute una raiacutez eneacutesima positiva y una eneacutesima negativa Por ejemplo las dos raiacuteces sextas reales de 729 son 3 y 3minus porque
72936 = y 729)3( 6 =minus Cuando se determinan raiacuteces reales se emplean con frecuencia los siacutembolos de valor absoluto para garantizar que la eneacutesima raiacutez sea positiva Ejemplos
a) ( ) 3334 4 =minus=minus
Tambieacuten se puede simplificar de la siguiente manera ( ) 3813 44 4 ==minus
b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===
Los siacutembolos de valor absoluto garantizan que la raiacutez sexta es positiva
Generalizando se tienen las siguientes reglas Si x es un nuacutemero real y 1gtn entonces
a) Si n es un nuacutemero impar natural xxn n =
b) Si n es un nuacutemero par natural xxn n =
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
35
NOTA En el radical n x a n se le llama el iacutendice u orden del radical Cuando el iacutendice
es 2 el radical es una raiacutez cuadrada y se acostumbra no escribir el iacutendice Cuando n es par ( )2gtn y 0ltx el radical n x no es un nuacutemero real Por
ejemplo 4 81minus no es un nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado a la cuarta potencia es 81minus
Ejemplo
a) 56254 = porque 62554 = b) 2325 minus=minus porque ( ) 322 5 minus=minus
c) 21
641
6 = porque 641
21 6
=
36 EXPONENTES RACIONALES Los exponentes enteros positivos indican la cantidad de veces que se debe usar una base como factor en un producto Por ejemplo 5x significa que x se debe emplear cinco veces como factor ya que xdefactores5 ( )( )( )( )( )xxxxxx =5 Es posible elevar bases a potencias racionales (fraccionarias) cuando se desea que dichos exponentes respeten las mismas reglas que los coeficientes enteros el
cuadrado de 21
10 debe ser 10 porque
( )
10101010 1
2
212
21
===
Se mantiene la base y se multiplican los exponentes
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
36
( ) 112
212
21
=
=
10101 =
Sin embargo hay que recordar que ( ) 1010
2=
Como 2
21
10
y ( )210 son iguales a 10
Con esto se puede definir que 21
10 es igual a 10 Igualmente para
a) 31
10 como 3 10
b) 41
10 como 4 10
c) 51
10 como 5 10
Por lo que si n es un nuacutemero natural mayor que 1 y n x es un nuacutemero real entonces
nn xx =1
Ejemplo Resolver los siguientes radicales
a) 21
9 b) 21
916
minus c) ( )3
1
64minus d) 41
16 e) 51
321
f) 8
1
0 g) ( )51
232xminus
h) ( )41
xyz
Solucioacuten
a) 3999 221
===
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
37
b) 34
916
916
916
221
minus=minus=minus=
minus
c) ( ) 46464 331
minus=minus=minus
d) 21616 441
==
e) 21
321
321
551
==
f) 000 881
==
g) ( ) xxx 23232 5 551
5 minus=minus=minus
h) ( ) 441
xyzxyz =
i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes
fraccionarios
a) 4 5xyz b) 52
15xy
Solucioacuten
a) ( )41
4 55 xyzxyz =
b) 51
2
5
2
1515
=xyxy
37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1
Se puede ampliar la definicioacuten de nx1
para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
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EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
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EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
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EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
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EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
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EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
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EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
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EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
32
33 RAIacuteCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE Si 0nex el nuacutemero positivo 2x tiene por raiacuteces a x y a xminus porque 22)( xx =
y 22)( xx =minus Para indicar la raiacutez cuadrada positiva de 2x se debe saber si x es positivo o negativo Si 0gtx se puede escribir lo siguiente xx =2 donde 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es x Si x es negativo entonces 0gtminus x es xx minus=2 ya que 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es xminus Si no se sabe si x es positivo o negativo se pueden emplear siacutembolos de valor absoluto para garantizar que 2x sea positiva xx =2 siempre y cuando x sea cualquier nuacutemero real Si x es cualquier nuacutemero real entonces
a) xxxx 44)4(16 22 ===
Por lo que escribir 216x en la forma 2)4( x siendo que ( ) 22 164 xx = Puesto que x podriacutea ser negativo Los siacutembolos de valor absoluto son necesarios ya que en el producto x4 4 es una constante positiva
b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2
+=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 4+x puede ser negativo por ejemplo cuando
8minus=x
c) ( ) 1112 22 +=+=++ xxxx Porque ( )211 +=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 1+x puede ser negativo por ejemplo cuando 5minus=x
d) 24 xx = porque ( ) 422 xx = Como 02 gex
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
33
34 RAIacuteCES CUacuteBICAS La raiacutez cuacutebica de x se representa por yx =3 si xy =3 Por ejemplo el nuacutemero 64 tiene dos raiacuteces cuadradas que son nuacutemeros reales 8 y 8minus Sin embargo 64 soacutelo tiene una raiacutez cuacutebica real que es el valor de 4 porque 4 es el uacutenico nuacutemero real cuyo cubo es 64 Por lo tanto
xx =3 3 Como todos los nuacutemeros reales tienen una y solo una raiacutez cuacutebica real algunas
de las cuales son positivas y otras negativas no es necesario emplear siacutembolos de valor absoluto al simplificar las raiacuteces cuacutebicas
Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuacutebicas
a) 3 125 b) 3
81
c) 3 327xminus d) 33
3
278
ba
minus e) 3 632160 yx
Solucioacuten a) 51253 = porque 125)5)(5)(5(53 ==
b) 21
81
3 = porque 81
21
21
21
21 3
=
=
c) xx 3273 3 minus=minus porque ( ) ( )( )( ) 33 273333 xxxxx minus=minusminusminus=minus
d) ba
ba
32
278
33
3
minus=minus porque 3
33
278
32
32
32
32
ba
ba
ba
ba
ba
minus=
minus
minus
minus=
minus
e) 23 63 602160 xyyx = porque
( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==
35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS Asiacute como existen raiacuteces cuadradas y raiacuteces cuacutebicas tambieacuten existen las raiacuteces cuartas raiacuteces quintas raiacuteces sextas etc
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
34
Cuando n es impar el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez impar Como todo nuacutemero real tiene una y soacutelo una raiacutez eneacutesima real cuando n es impar no es necesario preocuparse por los siacutembolos de valor absoluto cuando se calculan raiacuteces impares Ejemplo
a) 33243 5 55 == porque 24335 = b) ( ) xxx 227128 77 7 minus=minus=minus porque ( ) 77 1282 xx minus=minus
Cuando n es par el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez par En este caso habraacute una raiacutez eneacutesima positiva y una eneacutesima negativa Por ejemplo las dos raiacuteces sextas reales de 729 son 3 y 3minus porque
72936 = y 729)3( 6 =minus Cuando se determinan raiacuteces reales se emplean con frecuencia los siacutembolos de valor absoluto para garantizar que la eneacutesima raiacutez sea positiva Ejemplos
a) ( ) 3334 4 =minus=minus
Tambieacuten se puede simplificar de la siguiente manera ( ) 3813 44 4 ==minus
b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===
Los siacutembolos de valor absoluto garantizan que la raiacutez sexta es positiva
Generalizando se tienen las siguientes reglas Si x es un nuacutemero real y 1gtn entonces
a) Si n es un nuacutemero impar natural xxn n =
b) Si n es un nuacutemero par natural xxn n =
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
35
NOTA En el radical n x a n se le llama el iacutendice u orden del radical Cuando el iacutendice
es 2 el radical es una raiacutez cuadrada y se acostumbra no escribir el iacutendice Cuando n es par ( )2gtn y 0ltx el radical n x no es un nuacutemero real Por
ejemplo 4 81minus no es un nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado a la cuarta potencia es 81minus
Ejemplo
a) 56254 = porque 62554 = b) 2325 minus=minus porque ( ) 322 5 minus=minus
c) 21
641
6 = porque 641
21 6
=
36 EXPONENTES RACIONALES Los exponentes enteros positivos indican la cantidad de veces que se debe usar una base como factor en un producto Por ejemplo 5x significa que x se debe emplear cinco veces como factor ya que xdefactores5 ( )( )( )( )( )xxxxxx =5 Es posible elevar bases a potencias racionales (fraccionarias) cuando se desea que dichos exponentes respeten las mismas reglas que los coeficientes enteros el
cuadrado de 21
10 debe ser 10 porque
( )
10101010 1
2
212
21
===
Se mantiene la base y se multiplican los exponentes
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
36
( ) 112
212
21
=
=
10101 =
Sin embargo hay que recordar que ( ) 1010
2=
Como 2
21
10
y ( )210 son iguales a 10
Con esto se puede definir que 21
10 es igual a 10 Igualmente para
a) 31
10 como 3 10
b) 41
10 como 4 10
c) 51
10 como 5 10
Por lo que si n es un nuacutemero natural mayor que 1 y n x es un nuacutemero real entonces
nn xx =1
Ejemplo Resolver los siguientes radicales
a) 21
9 b) 21
916
minus c) ( )3
1
64minus d) 41
16 e) 51
321
f) 8
1
0 g) ( )51
232xminus
h) ( )41
xyz
Solucioacuten
a) 3999 221
===
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
37
b) 34
916
916
916
221
minus=minus=minus=
minus
c) ( ) 46464 331
minus=minus=minus
d) 21616 441
==
e) 21
321
321
551
==
f) 000 881
==
g) ( ) xxx 23232 5 551
5 minus=minus=minus
h) ( ) 441
xyzxyz =
i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes
fraccionarios
a) 4 5xyz b) 52
15xy
Solucioacuten
a) ( )41
4 55 xyzxyz =
b) 51
2
5
2
1515
=xyxy
37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1
Se puede ampliar la definicioacuten de nx1
para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
33
34 RAIacuteCES CUacuteBICAS La raiacutez cuacutebica de x se representa por yx =3 si xy =3 Por ejemplo el nuacutemero 64 tiene dos raiacuteces cuadradas que son nuacutemeros reales 8 y 8minus Sin embargo 64 soacutelo tiene una raiacutez cuacutebica real que es el valor de 4 porque 4 es el uacutenico nuacutemero real cuyo cubo es 64 Por lo tanto
xx =3 3 Como todos los nuacutemeros reales tienen una y solo una raiacutez cuacutebica real algunas
de las cuales son positivas y otras negativas no es necesario emplear siacutembolos de valor absoluto al simplificar las raiacuteces cuacutebicas
Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuacutebicas
a) 3 125 b) 3
81
c) 3 327xminus d) 33
3
278
ba
minus e) 3 632160 yx
Solucioacuten a) 51253 = porque 125)5)(5)(5(53 ==
b) 21
81
3 = porque 81
21
21
21
21 3
=
=
c) xx 3273 3 minus=minus porque ( ) ( )( )( ) 33 273333 xxxxx minus=minusminusminus=minus
d) ba
ba
32
278
33
3
minus=minus porque 3
33
278
32
32
32
32
ba
ba
ba
ba
ba
minus=
minus
minus
minus=
minus
e) 23 63 602160 xyyx = porque
( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==
35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS Asiacute como existen raiacuteces cuadradas y raiacuteces cuacutebicas tambieacuten existen las raiacuteces cuartas raiacuteces quintas raiacuteces sextas etc
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
34
Cuando n es impar el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez impar Como todo nuacutemero real tiene una y soacutelo una raiacutez eneacutesima real cuando n es impar no es necesario preocuparse por los siacutembolos de valor absoluto cuando se calculan raiacuteces impares Ejemplo
a) 33243 5 55 == porque 24335 = b) ( ) xxx 227128 77 7 minus=minus=minus porque ( ) 77 1282 xx minus=minus
Cuando n es par el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez par En este caso habraacute una raiacutez eneacutesima positiva y una eneacutesima negativa Por ejemplo las dos raiacuteces sextas reales de 729 son 3 y 3minus porque
72936 = y 729)3( 6 =minus Cuando se determinan raiacuteces reales se emplean con frecuencia los siacutembolos de valor absoluto para garantizar que la eneacutesima raiacutez sea positiva Ejemplos
a) ( ) 3334 4 =minus=minus
Tambieacuten se puede simplificar de la siguiente manera ( ) 3813 44 4 ==minus
b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===
Los siacutembolos de valor absoluto garantizan que la raiacutez sexta es positiva
Generalizando se tienen las siguientes reglas Si x es un nuacutemero real y 1gtn entonces
a) Si n es un nuacutemero impar natural xxn n =
b) Si n es un nuacutemero par natural xxn n =
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
35
NOTA En el radical n x a n se le llama el iacutendice u orden del radical Cuando el iacutendice
es 2 el radical es una raiacutez cuadrada y se acostumbra no escribir el iacutendice Cuando n es par ( )2gtn y 0ltx el radical n x no es un nuacutemero real Por
ejemplo 4 81minus no es un nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado a la cuarta potencia es 81minus
Ejemplo
a) 56254 = porque 62554 = b) 2325 minus=minus porque ( ) 322 5 minus=minus
c) 21
641
6 = porque 641
21 6
=
36 EXPONENTES RACIONALES Los exponentes enteros positivos indican la cantidad de veces que se debe usar una base como factor en un producto Por ejemplo 5x significa que x se debe emplear cinco veces como factor ya que xdefactores5 ( )( )( )( )( )xxxxxx =5 Es posible elevar bases a potencias racionales (fraccionarias) cuando se desea que dichos exponentes respeten las mismas reglas que los coeficientes enteros el
cuadrado de 21
10 debe ser 10 porque
( )
10101010 1
2
212
21
===
Se mantiene la base y se multiplican los exponentes
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
36
( ) 112
212
21
=
=
10101 =
Sin embargo hay que recordar que ( ) 1010
2=
Como 2
21
10
y ( )210 son iguales a 10
Con esto se puede definir que 21
10 es igual a 10 Igualmente para
a) 31
10 como 3 10
b) 41
10 como 4 10
c) 51
10 como 5 10
Por lo que si n es un nuacutemero natural mayor que 1 y n x es un nuacutemero real entonces
nn xx =1
Ejemplo Resolver los siguientes radicales
a) 21
9 b) 21
916
minus c) ( )3
1
64minus d) 41
16 e) 51
321
f) 8
1
0 g) ( )51
232xminus
h) ( )41
xyz
Solucioacuten
a) 3999 221
===
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
37
b) 34
916
916
916
221
minus=minus=minus=
minus
c) ( ) 46464 331
minus=minus=minus
d) 21616 441
==
e) 21
321
321
551
==
f) 000 881
==
g) ( ) xxx 23232 5 551
5 minus=minus=minus
h) ( ) 441
xyzxyz =
i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes
fraccionarios
a) 4 5xyz b) 52
15xy
Solucioacuten
a) ( )41
4 55 xyzxyz =
b) 51
2
5
2
1515
=xyxy
37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1
Se puede ampliar la definicioacuten de nx1
para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
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EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
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EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
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EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
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EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
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EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
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EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
34
Cuando n es impar el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez impar Como todo nuacutemero real tiene una y soacutelo una raiacutez eneacutesima real cuando n es impar no es necesario preocuparse por los siacutembolos de valor absoluto cuando se calculan raiacuteces impares Ejemplo
a) 33243 5 55 == porque 24335 = b) ( ) xxx 227128 77 7 minus=minus=minus porque ( ) 77 1282 xx minus=minus
Cuando n es par el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez par En este caso habraacute una raiacutez eneacutesima positiva y una eneacutesima negativa Por ejemplo las dos raiacuteces sextas reales de 729 son 3 y 3minus porque
72936 = y 729)3( 6 =minus Cuando se determinan raiacuteces reales se emplean con frecuencia los siacutembolos de valor absoluto para garantizar que la eneacutesima raiacutez sea positiva Ejemplos
a) ( ) 3334 4 =minus=minus
Tambieacuten se puede simplificar de la siguiente manera ( ) 3813 44 4 ==minus
b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===
Los siacutembolos de valor absoluto garantizan que la raiacutez sexta es positiva
Generalizando se tienen las siguientes reglas Si x es un nuacutemero real y 1gtn entonces
a) Si n es un nuacutemero impar natural xxn n =
b) Si n es un nuacutemero par natural xxn n =
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
35
NOTA En el radical n x a n se le llama el iacutendice u orden del radical Cuando el iacutendice
es 2 el radical es una raiacutez cuadrada y se acostumbra no escribir el iacutendice Cuando n es par ( )2gtn y 0ltx el radical n x no es un nuacutemero real Por
ejemplo 4 81minus no es un nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado a la cuarta potencia es 81minus
Ejemplo
a) 56254 = porque 62554 = b) 2325 minus=minus porque ( ) 322 5 minus=minus
c) 21
641
6 = porque 641
21 6
=
36 EXPONENTES RACIONALES Los exponentes enteros positivos indican la cantidad de veces que se debe usar una base como factor en un producto Por ejemplo 5x significa que x se debe emplear cinco veces como factor ya que xdefactores5 ( )( )( )( )( )xxxxxx =5 Es posible elevar bases a potencias racionales (fraccionarias) cuando se desea que dichos exponentes respeten las mismas reglas que los coeficientes enteros el
cuadrado de 21
10 debe ser 10 porque
( )
10101010 1
2
212
21
===
Se mantiene la base y se multiplican los exponentes
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EXPONENTES y RADICALES
36
( ) 112
212
21
=
=
10101 =
Sin embargo hay que recordar que ( ) 1010
2=
Como 2
21
10
y ( )210 son iguales a 10
Con esto se puede definir que 21
10 es igual a 10 Igualmente para
a) 31
10 como 3 10
b) 41
10 como 4 10
c) 51
10 como 5 10
Por lo que si n es un nuacutemero natural mayor que 1 y n x es un nuacutemero real entonces
nn xx =1
Ejemplo Resolver los siguientes radicales
a) 21
9 b) 21
916
minus c) ( )3
1
64minus d) 41
16 e) 51
321
f) 8
1
0 g) ( )51
232xminus
h) ( )41
xyz
Solucioacuten
a) 3999 221
===
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
37
b) 34
916
916
916
221
minus=minus=minus=
minus
c) ( ) 46464 331
minus=minus=minus
d) 21616 441
==
e) 21
321
321
551
==
f) 000 881
==
g) ( ) xxx 23232 5 551
5 minus=minus=minus
h) ( ) 441
xyzxyz =
i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes
fraccionarios
a) 4 5xyz b) 52
15xy
Solucioacuten
a) ( )41
4 55 xyzxyz =
b) 51
2
5
2
1515
=xyxy
37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1
Se puede ampliar la definicioacuten de nx1
para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
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EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
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EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
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EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
35
NOTA En el radical n x a n se le llama el iacutendice u orden del radical Cuando el iacutendice
es 2 el radical es una raiacutez cuadrada y se acostumbra no escribir el iacutendice Cuando n es par ( )2gtn y 0ltx el radical n x no es un nuacutemero real Por
ejemplo 4 81minus no es un nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado a la cuarta potencia es 81minus
Ejemplo
a) 56254 = porque 62554 = b) 2325 minus=minus porque ( ) 322 5 minus=minus
c) 21
641
6 = porque 641
21 6
=
36 EXPONENTES RACIONALES Los exponentes enteros positivos indican la cantidad de veces que se debe usar una base como factor en un producto Por ejemplo 5x significa que x se debe emplear cinco veces como factor ya que xdefactores5 ( )( )( )( )( )xxxxxx =5 Es posible elevar bases a potencias racionales (fraccionarias) cuando se desea que dichos exponentes respeten las mismas reglas que los coeficientes enteros el
cuadrado de 21
10 debe ser 10 porque
( )
10101010 1
2
212
21
===
Se mantiene la base y se multiplican los exponentes
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
36
( ) 112
212
21
=
=
10101 =
Sin embargo hay que recordar que ( ) 1010
2=
Como 2
21
10
y ( )210 son iguales a 10
Con esto se puede definir que 21
10 es igual a 10 Igualmente para
a) 31
10 como 3 10
b) 41
10 como 4 10
c) 51
10 como 5 10
Por lo que si n es un nuacutemero natural mayor que 1 y n x es un nuacutemero real entonces
nn xx =1
Ejemplo Resolver los siguientes radicales
a) 21
9 b) 21
916
minus c) ( )3
1
64minus d) 41
16 e) 51
321
f) 8
1
0 g) ( )51
232xminus
h) ( )41
xyz
Solucioacuten
a) 3999 221
===
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
37
b) 34
916
916
916
221
minus=minus=minus=
minus
c) ( ) 46464 331
minus=minus=minus
d) 21616 441
==
e) 21
321
321
551
==
f) 000 881
==
g) ( ) xxx 23232 5 551
5 minus=minus=minus
h) ( ) 441
xyzxyz =
i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes
fraccionarios
a) 4 5xyz b) 52
15xy
Solucioacuten
a) ( )41
4 55 xyzxyz =
b) 51
2
5
2
1515
=xyxy
37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1
Se puede ampliar la definicioacuten de nx1
para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
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EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
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EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
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EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
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EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
36
( ) 112
212
21
=
=
10101 =
Sin embargo hay que recordar que ( ) 1010
2=
Como 2
21
10
y ( )210 son iguales a 10
Con esto se puede definir que 21
10 es igual a 10 Igualmente para
a) 31
10 como 3 10
b) 41
10 como 4 10
c) 51
10 como 5 10
Por lo que si n es un nuacutemero natural mayor que 1 y n x es un nuacutemero real entonces
nn xx =1
Ejemplo Resolver los siguientes radicales
a) 21
9 b) 21
916
minus c) ( )3
1
64minus d) 41
16 e) 51
321
f) 8
1
0 g) ( )51
232xminus
h) ( )41
xyz
Solucioacuten
a) 3999 221
===
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EXPONENTES y RADICALES
37
b) 34
916
916
916
221
minus=minus=minus=
minus
c) ( ) 46464 331
minus=minus=minus
d) 21616 441
==
e) 21
321
321
551
==
f) 000 881
==
g) ( ) xxx 23232 5 551
5 minus=minus=minus
h) ( ) 441
xyzxyz =
i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes
fraccionarios
a) 4 5xyz b) 52
15xy
Solucioacuten
a) ( )41
4 55 xyzxyz =
b) 51
2
5
2
1515
=xyxy
37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1
Se puede ampliar la definicioacuten de nx1
para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
37
b) 34
916
916
916
221
minus=minus=minus=
minus
c) ( ) 46464 331
minus=minus=minus
d) 21616 441
==
e) 21
321
321
551
==
f) 000 881
==
g) ( ) xxx 23232 5 551
5 minus=minus=minus
h) ( ) 441
xyzxyz =
i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes
fraccionarios
a) 4 5xyz b) 52
15xy
Solucioacuten
a) ( )41
4 55 xyzxyz =
b) 51
2
5
2
1515
=xyxy
37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1
Se puede ampliar la definicioacuten de nx1
para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
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EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
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EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
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EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
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EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
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EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
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EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
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EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
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EXPONENTES y RADICALES
38
Por ejemplo 23
4 se puede escribir de la manera siguiente 3
21
4
Entonces ( ) ( ) 824444 3332
3
21
23
====
=
Asiacute se puede simplificar a 23
4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten
se puede simplificar 23
4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo
( ) 864646444 221
21
323
===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes
racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en
su forma simplificada
( )mnn mnm
xxx ==
De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm
x se puede interpretar de dos maneras
a) nm
x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x
b) nm
x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x
Ejemplos
a) ( ) 932727 22332
=== o
97292727 33 232
===
b) 81
21
161
161 33
443
=
=
=
o
81
40961
161
161
44
343
==
=
c) ( ) ( ) ( ) 444 334
3 16288 xxxx =minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
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EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
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EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
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EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
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EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
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EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
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EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
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EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
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EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
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EXPONENTES y RADICALES
39
o
d) ( ) ( ) 43 123 4334
3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS
Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm
xminus
como sigue si m y n son
enteros positivos nm
se encuentran en su forma simplificada y nx1
es un nuacutemero real
entonces
nm
nm
xx 1
=minus
y nm
nm x
x=
minus
1 ( )0nex
Ejemplos
Resolver los siguientes exponentes fraccionarios
a) 21
64minus
b) 23
16minus
c) ( ) 52
532 minusminus x d) ( ) 43
16 minusminus Solucioacuten
a) 81
641
64
16421
21
===minus
b) ( ) 641
41
161
16
1
16
116 333
21
23
23
===
==minus
c) ( )
( ) ( ) ( ) 222
51
552
5
52
5
41
21
32
1
32
132xxxx
x =minus
=
minus
=minus
=minus minus
d) ( )( ) ( )
3
41
43
43
16
1
16
116
minus
=minus
=minus minus = ( )[ ]34 161minus
=
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
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EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
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EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
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EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
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45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
40
e) No tiene solucioacuten porque
( )41
4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real
NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una
potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20
1 lo cual es
indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones
con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto
Ejemplos
a) 73
72
55
Solucioacuten
73
72
73
72
555+
= se usa la regla nmnm xxx +=
75
5= se suman 75
732
73
72
=+
=+
b) 3
72
5
Solucioacuten
( )3
723
72
55
=
se usa la regla ( ) mnnm xx =
76
5= se multiplican 76
13
72
=
c) 6
21
32
ba
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
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EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
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EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
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EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
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EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
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EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
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EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
41
Solucioacuten
6
216
326
21
32
=
baba se usa la regla ( )nxy
26
312
ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente
d) 2
31
38
aaa
Solucioacuten
231
38
2
31
38
minus+= a
aaa
se usan las reglas nmnm xxx += y n
m
xx
y 362 =
36
31
38
minus+= a
33
36
31
38
=minus+
33
a= 133=
a=
Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos
a)
+ 53
51
54
aaa
Solucioacuten
53
54
51
54
53
51
54
aaaaaaa +=
+
53
54
51
54
+++= aa
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
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EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
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EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
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EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
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EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
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EXPONENTES y RADICALES
42
57
55
aa +=
57
aa += NOTA
57
157
aaaa ne+ La expresioacuten 57
aa + no se puede simplificar porque a y
57
a no son teacuterminos semejantes
b)
+
minus21
21
21
xxx
Solucioacuten
21
21
21
21
21
21
21
xxxxxxx +=
+
minusminus
21
21
21
21
+minus+= xx
10 xx += x+= 1
c)
minus
+ 11 32
32
xx
Solucioacuten
( ) ( ) ( )( )111111 32
32
32
32
32
32
minus+
+minus
+
=
minus
+ xxxxxx
132
32
34
minus+minus= xxx
134
minus= x
d) 2
21
21
+ yx
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EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
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EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
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EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
43
Solucioacuten
+
+=
+ 2
121
21
212
21
21
yxyxyx
21
21
21
21
21
21
21
21
yyxyyxxx +++=
yyxx ++= 21
21
2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos
1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical
Ejemplo
Simplificar
a) 4 23
Solucioacuten
( ) 333333 221
42
41
24 2 ===== b) 8 6x
Solucioacuten
( ) ( ) 4 341
343
86
81
68 6 xxxxxx =====
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
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EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
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53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
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EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
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EXPONENTES y RADICALES
44
c) 9 3627 yx
Solucioacuten
( ) ( ) ( ) ( ) ( )91
391
691
391
36391
369 36 332727 yxyxyxyx ===
( ) 3 231
231
32
31
93
96
93
3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la
notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111
= entonces
nnn abba =
Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten
( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx
Solucioacuten
( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===
c) 44 3 82 xx Solucioacuten
xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
45
3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo
a) 4949 +ne+
Solucioacuten
5132313
4949
ne
+ne
+ne+
b) 4949 minusneminus Solucioacuten
15235
4949
ne
minusne
minusneminus
Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que
n
n
n
ba
b
a1
1
1
=
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
46
En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
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EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
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( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
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EXPONENTES y RADICALES
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5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
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EXPONENTES y RADICALES
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En consecuencia nn
n
ba
ba=
Ejemplo
a) xx
28 3
Solucioacuten
xxxx
xx 24
28
28 2
33
===
b) 3 2
3 5
254
xx
Solucioacuten
xxxx
xx 327
254
254 3 33
2
5
3 2
3 5
===
Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo
siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces
( )0 ne= bba
ba
n
nn
Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del
cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones
1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
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EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
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EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
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EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
47
2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos
3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical
Ejemplo
1 Simplificar
a) 12 b) 98 c) 3 54
Solucioacuten
a) ( )( ) 32343412 ===
b) ( )( ) 2724924998 ===
c) ( )( ) 33333 2322722754 ===
2 Simplificar
a) 249
15x
b) 36
2
2710
yx
Solucioacuten
a) xxx 7
154915
4915
22 ==
b) 2
3 2
3 6
3 2
36
2
310
2710
2710
xx
yx
yx
==
3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos
a) 5128a b) 3 524x c) xxy
545 2
d) 3
3 5
8432
xxminus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
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EXPONENTES y RADICALES
48
Solucioacuten
a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===
b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===
c) yyxxy
xxy
395
455
45 222
===
d)
( )( )3
33 33 3
3 435
3
3 5
23
227227
548
4328
432
xx
xxxx
xx
xx
x
minus=
=minus=minus=
=minus=minus
=minus
3103 SUMA Y RESTA
Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva
para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten
1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 331323
323334391227
==minus=
=minus=minus=minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
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EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
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EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
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EXPONENTES y RADICALES
49
Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales
Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes
combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten
Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales
semejantes a) 33483122 +minus
b) 333 245416 +minus y
c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten
a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122
( ) =+minus=+minus=
=+minus=
331243331234333163342
35minus=
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416
33
333333333
3223223223822728
+minus=
=+minus=+minus=
NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos
diferentes
c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx
( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3333
3 33 33 3
292432242322
264227)2(8
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
=
=++=++=
=minusminus+=
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APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
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EXPONENTES y RADICALES
51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
52
d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
53
( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
APUNTES AacuteLGEBRA
EXPONENTES y RADICALES
54
5 BIBLIOGRAFIacuteA
Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA
Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez
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EXPONENTES y RADICALES
50
311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical
Por definicioacuten se sabe que nn aa =1
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales
I ( )( )mmm baba =
II 0ne= bba
ba
mm
m
III mnm n aa =
4 RACIONALIZACIOgraveN
Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario
racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo
Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3
85
Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3
Por lo que 3255
3)3)(85(
33
385
385
===
NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten
3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa
Ejemplos
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51
Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
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d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
41 BINOMIOS CONJUGADOS
Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
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( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
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Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997
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Racionalizar los denominadores siguientes
a) 720 b)
3 24 c)
3
3
185 d)
3
25
xy
xy x( y y son nuacutemeros positivos)
Solucioacuten
a) 77
720
720
= se multiplica el numerador y el
denominador por 7
7140
= se multiplican los radicales teniendo en cuenta
que 777 =
7352
= ya que 352354)35)(4(140 ===
b) 3
3
33 44
24
24
= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4
3
3
844
= se multiplicaron los radicales en el denominador
2
443
= 283 =
3 42= simplificado
c) 3
3
185 =
3
3
3
3
1212
185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12
3
3
21660
= se multiplicaron los radicales
6603
= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica
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d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
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Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
a) 12
1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
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( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
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d) 3
25
xy
xy = 3
25xyxy
= y5
= y5
= yy
y5
= y
y5
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Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador
NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos
teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios
a) 12
1+
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx c)
xx 3minus donde ( )0gtx
Solucioacuten
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1+
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
del denominador 12 + que es 12 minus
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( )( )1212)12(1
121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
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121
minusminusminus
=+
( ) 12
122minus
minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212
22minus=minus+minus=minus+
1212
minusminus
= ( ) 222=
12 minus= 121
121212
minus=minus
=minusminus
b) 22
minus+
xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador
por el conjugado de denominador que es 2+x
2
222)2)(2(
)2)(2(22
minus+++
=+minus++
=minus+
xxxx
xxxx
xx
2
222minus
++=
xxx
c) x
x 3minus donde ( )0gtx
En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna
expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador
x
x 3minus = )3(
)3)(3(++minus
xxxx ( )3+x es el conjugado del
numerador ( )3minusx
= xx
xxx3
933+
minusminus+
= xx
x3
9+minus
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