Precálculo - 1.2 Exponentes y radicales

1.2 Exponentes y radicales

Ejemplos: desarrolle las siguientes notaciones exponenciales.

Exponentes enteros. Notación exponencial

Si a es un número real cualquiera y n es un entero positivo, entonces la potencia n-ésima de a es:

𝑎𝑛 = a · a · . . . · a

n factores

El número a se denomina base y n es el exponente.

UMG – Facultad de Ingeniería, Matemática y Ciencias Físicas – Ing. Octavio Roberto Puac Álvarez 1

En esta sección se le da significado a las expresiones como

𝒂𝒎 𝒏 en las cuales el exponente 𝒎 𝒏 es un número racional. Para hacerlo, necesitamos recordar algunos hechos con respecto a los exponentes, radicales y raíces n-ésimas de enteros.

a) 𝑥3 = 𝑥(𝑥)(𝑥) 𝐛) 𝟐𝟓 = 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 = 𝟑𝟐

𝟐

𝟑 𝟐

𝟑 𝟐

𝟑 𝟐

𝟑 𝟐

𝟑 =

𝟑𝟐

𝟐𝟒𝟑


Exponente cero y exponente negativo.

Si a ≠ 0 es un número real y n es un entero positivo, entonces:

𝒂𝟎 = 1 y 𝒂−𝒏 = 𝟏

𝒂𝒏

Ejemplos: evalúe las siguientes expresiones.

a) (𝟏𝟎)𝟎 = 𝟏

𝐜) (−𝟑)𝟑 = −𝟑 −𝟑 (−𝟑) = −𝟐𝟕

𝐝) 𝟐

𝟑

𝟓

=

𝐞) (−𝟑𝒙𝒚𝟐)𝟑 = (−𝟑𝒙𝒚𝟐) (−𝟑𝒙𝒚𝟐) −𝟑𝒙𝒚𝟐 = −𝟐𝟕𝒙𝟑𝒚𝟔

𝐛) (−𝟑)𝟎 = 𝟏

UMG – Facultad de Ingeniería, Matemática y Ciencias Físicas – Ing. Octavio Roberto Puac Álvarez

d) (𝟐)−𝟒 =

e) 𝟏

(𝟑)−𝟑 = f) −𝟒𝒙−𝟐 =

Ejercicios. Simplifique la expresión y elimine cualquier exponente negativo.

𝟏

−𝟐𝒃 𝟐 =

𝟏

𝟒𝒃𝟐

c) 𝒂 + 𝒃 −𝟏 = 𝟏

(𝒂+𝒃)

b) 5 𝟏𝟎 −𝟑 = 5𝟏

𝟏𝟎𝟑 =

𝟓

𝟏𝟎𝟎𝟎 =

𝟏

𝟐𝟎𝟎

d) 𝒙 −𝟏 −𝟐 𝒙 +𝟑 −𝟏

𝟐𝒙 −𝟒 −𝟏 𝒙 + 𝟓 −𝟑 = 𝟐𝒙 −𝟒 𝒙 +𝟓 𝟑

𝒙 − 𝟏 𝟐 𝒙+𝟑

3

𝐜) (𝒃𝒚)𝟎 = 𝟏 (𝒔𝒊 𝒃 ≠ 𝟎) 𝟏

(𝟐)𝟒=

𝟏

𝟏𝟔

(𝟑)𝟑 = 𝟐𝟕 −𝟒

𝒙𝟐

a) (−𝟐𝒃)−𝟐 =


Leyes de los exponentes

1. 𝒂𝒎𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏 ⇒ 𝟒𝟓𝟒𝟕 = 𝟒𝟓+𝟕 = 𝟒𝟏𝟐

Para multiplicar dos potencias de la misma base, se copia la base y se suman los exponentes.

2. 𝒂𝒎

𝒂𝒏= 𝒂𝒎−𝒏 ⇒

𝟓𝟒

𝟓𝟐= 𝟓𝟒−𝟐 = 𝟓𝟐

Para dividir dos potencias de la misma base, se copia la base y se restan los exponentes.

3. 𝒂𝒎 𝒏 = 𝒂𝒎𝒏 ⇒ 𝟑𝟒𝟑= 𝟑𝟒(𝟑) = 𝟑𝟏𝟐

Para elevar una potencia a una nueva potencia, se multiplican los exponentes.

4. 𝒂𝒃 𝒏 = 𝒂𝒏𝒃𝒏 ⇒ 𝟒𝟑 𝟐 = 𝟒𝟐𝟑𝟐

Para elevar un producto a una potencia, se eleva cada factor a la potencia.


5. 𝒂

𝒃

𝒏=

𝒂𝒏

𝒃𝒏 ⇒

𝟔

𝟓

𝟐

= 𝟔𝟐

𝟓𝟐

Para elevar un cociente a una potencia, eleve tanto el numerador como el denominador a la potencia.

6. 𝒂

𝒃

−𝒏=

𝒃

𝒂

𝒏 ⇒

𝟐

𝟑

−𝟒

= 𝟑

𝟐

𝟒

Para elevar una fracción a una potencia negativa, invierta la fracción y cambie el signo del exponente.

7. 𝒂−𝒏

𝒃−𝒎=

𝒃𝒎

𝒂𝒏 ⇒

𝟑−𝟐

𝟒−𝟓=

𝟒𝟓

𝟑𝟐

Para pasar un número elevado a una potencia desde el numerador al denominador o desde el denominador al numerador, cambie el signo del exponente.

Realice las siguientes operaciones y simplifique.


1) 𝟓−𝟑 𝟓𝟕 2) 𝟐𝟏/𝟐 𝟐𝟓/𝟐 3) 𝟑𝒚𝟐 𝟒𝒚𝟓

4) 𝟔𝒚 𝟑 5) 𝒂−𝟑𝒃𝟒

𝒂−𝟓 𝒃𝟓

7) 𝟐𝒘𝟑𝒕−𝟏𝟏

𝟒 𝒘𝟔 𝟏𝟔𝒕𝟒

Ejercicios para Laboratorio No. 2

6) 𝟐𝒖𝟐𝒗𝟑 3 𝟑𝒖𝟑𝒗 2

8) 𝒄𝟒𝒅𝟑

𝒄𝒅𝟐 𝒅𝟐

𝒄𝟑

3

7

Ejemplos: escribir los siguientes números en notación científica y realizar las operaciones:

Notación científica

Se dice que un número positivo 𝒙 está escrito en notación científica si está expresado como sigue:

donde 𝟏 ≤ 𝒂 ≤ 𝟏𝟎 y 𝒏 es un entero

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𝒙 = 𝒂 × 𝟏𝟎𝒏

a) 𝟎. 𝟎𝟎𝟒 𝟑𝟎, 𝟎𝟎𝟎 𝟐 = 𝟒 × 𝟏𝟎−𝟑 𝟑 × 𝟏𝟎𝟒𝟐

= 𝟒 × 𝟏𝟎−𝟑 𝟗 × 𝟏𝟎𝟖 = 𝟑𝟔 × 𝟏𝟎𝟓

Debe tomarse en cuenta que si se corre el punto decimal a la derecha, el exponente es negativo. Si se corre el punto decimal a la izquierda, el exponente es positivo.


9) 𝟒𝟖,𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎

𝟏𝟐𝟎𝟎 10)

𝟎.𝟎𝟕𝟖

𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟏𝟐

b) 𝟖𝟎,𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎 𝟐(𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟑)

𝟔𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎 𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟐 𝟒 = 𝟖 × 𝟏𝟎𝟕

𝟐𝟑 × 𝟏𝟎 −𝟔

𝟔 × 𝟏𝟎𝟓 𝟐 × 𝟏𝟎−𝟒 𝟒

= (𝟔𝟒 × 𝟏𝟎𝟏𝟒) 𝟑 × 𝟏𝟎−𝟔

𝟔 × 𝟏𝟎𝟓 𝟏𝟔 × 𝟏𝟎−𝟏𝟔 =

𝟏𝟗𝟐 × 𝟏𝟎𝟖

𝟗𝟔 × 𝟏𝟎−𝟏𝟏

= 𝟐 × 𝟏𝟎𝟖−(−𝟏𝟏) = 𝟐 × 𝟏𝟎𝟖+𝟏𝟏 = 𝟐 × 𝟏𝟎𝟏𝟗


escribir los siguientes números en notación científica y realizar las operaciones:

Radicales:

Ejemplos. Determine las raíces de:

c) 𝟖𝟑

= 𝟐 porque

NOTA: las raíces PARES son dobles ± y las raíces IMPARES son únicas en cuanto al resultado. Las raíces pares de negativos no está definida.


definición de la raíz n-ésima

Si 𝒏 es un entero positivo, entonces la raíz n-ésima principal de 𝒂 se define así:

quiere decir que

Si n es par, debemos tener 𝒂 ≥ 𝟎 𝒚 𝒃 ≥ 𝟎

𝐚) 𝟏𝟔 = ± 𝟒 porque

b) −𝟖𝟑

= −𝟐 porque

𝒂𝒏 = 𝒃

𝒃𝒏 = 𝒂

𝟒𝟐 = 𝟏𝟔 𝒚 −𝟒 𝟐 = 𝟏𝟔

−𝟐 𝟑 = −𝟖

𝟐 𝟑 = 𝟖


Propiedades de la raíces n-ésimas.

1) 𝒂𝒃𝒏

= 𝒂𝒏 𝒃𝒏

⇒ −𝟖(𝟐𝟕)𝟑

= −𝟖𝟑

𝟐𝟕𝟑

= −𝟐 𝟑 = −𝟔

2) 𝒂

𝒃

𝒏=

𝒂𝒏

𝒃𝒏 ⇒

𝟏𝟔

𝟖𝟏

𝟒

= 𝟏𝟔

𝟒

𝟖𝟏𝟒 =

𝟐

𝟑

3) 𝒂𝒏 𝒎

= 𝒂𝒎𝒏 ⇒ 𝟕𝟐𝟗𝟑

= 𝟕𝟐𝟗𝟔

= 𝟑

4) 𝒂𝒏𝒏

= 𝒂 𝒔𝒊 𝒏 𝒆𝒔 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓 ⇒ −𝟓 𝟑𝟑= −𝟓 𝒚 𝟐𝟓

𝟓= 𝟐

5) 𝒂𝒏𝒏

= 𝒂 𝒔𝒊 𝒏 𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓 ⇒ −𝟑 𝟒𝟒= −𝟑 = 𝟑

Ejemplos: simplifique las siguientes expresiones aplicando las propiedades de las raíces n-ésimas:


a) 𝒙𝟑𝟐

= 𝒙𝟐𝒙𝟐

= 𝒙𝟐𝟐

𝒙 𝟐 = 𝒙 𝒙 𝟐

b) 𝟖𝟏𝒂𝟖 𝒃𝟒𝟒

= 𝟖𝟏𝟒

𝒂𝟐 𝟒𝟒 𝒃𝟒𝟒

= 3𝒂𝟐 𝒃

d) 𝒙𝟑𝒚𝟔𝟑

= 𝒙𝟑𝟑

𝒚𝟐 𝟑 𝟑 = 𝒙𝒚𝟐

13) 𝒙𝟏𝟎𝟓

14) 𝟖𝒙𝟑

𝟐𝟕𝒚𝟔

𝟑

𝟏𝟐) 𝟐𝟓 11) −𝟐𝟕 𝟑


Determine las raíces de:

Simplifique las siguientes expresiones aplicando las propiedades de las raíces n-ésimas:


Exponentes racionales:

𝒂𝒏 = 𝒂𝟏/𝒏

En general, definimos los exponentes racionales como se señala a continuación:

Para cualquier exponente racional 𝒎 𝒏 , donde 𝒎 y 𝒏 son enteros y 𝒏 > 𝟎, definimos:

𝒂𝒎𝒏

= 𝒂𝒎/𝒏

si n es par, en necesario que a 0.

Ejemplos: simplifique las siguientes expresiones.


a) 𝟑 𝒚 𝟒 𝒚𝟓 = 𝟏𝟐𝒚𝟕/𝟏𝟎 =

b) 𝒂𝟑

𝒙𝟑

𝟐𝟑

= 𝒂𝟑

𝒙𝟑

𝟐/𝟑

= 𝒂𝟏/𝟑

𝒙𝟏/𝟑

𝟐/𝟑

= 𝒂𝟐/𝟔

𝒙𝟐/𝟔=

𝒂𝟏/𝟑

𝒙𝟏/𝟑 =

𝒂𝟑

𝒙𝟑

c) 𝒙𝟓 𝒚𝟑 𝟒

𝒛𝟐𝟑 = 𝒙𝟏/𝟓 𝒚𝟑/𝟒

𝒛𝟐/𝟑

𝟏/𝟐

= 𝒙𝟏/𝟏𝟎𝒚𝟑/𝟖

𝒛𝟐/𝟔=

𝒙𝟏/𝟏𝟎𝒚𝟑/𝟖

𝒛𝟏/𝟑= 𝒙𝟏𝟎 𝒚𝟑

𝟖

𝒛𝟑

𝟑𝒚𝟏/𝟐𝟒𝒚𝟏/𝟓 = 12 𝒚𝟕𝟏𝟎

𝟑 𝟒 𝒚𝟏 𝟐+ 𝟏 𝟓 =

𝟏

𝟐 +

𝟏

𝟓 =

𝟓 𝟏 +𝟐(𝟏)

𝟏𝟎 =

𝟕

𝟏𝟎

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