MAPA DE NAVEGACIÓN

Exponentes y RadicalesÍndice

ObjetivoGeneralEjemplos

Objetivosespecíficos

Objetivo 1Objetivo 2Objetivo 3Objetivo 4Objetivo 5Objetivo 6

Objetivo 7Objetivo 8Objetivo 9

Objetivo 10Objetivo 11

Objetivo 1Objetivo 2Objetivo 3Objetivo 4Objetivo 5Objetivo 6

Objetivo 7Objetivo 8Objetivo 9Objetivo 10Objetivo 11

Objetivos y Teoría

• Objetivo General• Objetivos Específicos • Ejemplos• Ejercicios Resueltos• Problemas Propuestos y soluciones a

los problemas propuestos

ÍNDICE

ÍNDICE

EJEMPLOS• OBJETIVO 1• OBJETIVO 2• OBJETIVO 3• OBJETIVO 4• OBJETIVO 5• OBJETIVO 6

• OBJETIVO 7• OBJETIVO 8• OBJETIVO 9• OBJETIVO 10• OBJETIVO 11

ÍNDICE

Objetivo general.

Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas en los que apliques

las leyes de los exponentes y de los radicales.

ÍNDICE

Objetivos específicos:1. Recordarás la notación exponencial, el concep

to de base y el de exponente.2. Recordarás la ley para multiplicar factores con

la misma base y exponentes enteros.3. Recordarás el significado de los exponentes n

egativos y del exponente nulo.4. Recordarás la ley para dividir factores con la m

isma base y exponentes enteros.5. Recordarás la ley para elevar una potencia a o

tra potencia.

ÍNDICE

6. Recordarás las leyes para elevar un producto o un cociente a una potencia.

7. Recordarás la notación de radicales.8. Recordarás el significado de los exponentes fraccionari

os.

9. Recordarás las leyes para multiplicar y dividir factores con exponentes fraccionarios o con radicales.

10.Racionalizarás expresiones algebraicas con radicales en el denominador.

11.Simplificarás expresiones algebraicas aplicando las leyes de los exponentes y los radicales.

Objetivos específicos:

ÍNDICE

• En la notación exponencial un número cualquiera se descompone en dos factores:

Un número decimal cuyo valor generalmente está entre 1 y 10, y

Una potencia de 10, es decir 10 elevado a la n (o sea, 10n).

• El número final es el producto de ambos factores.

Objetivo 1.

En general, el número b a la n-ésima potencia, lo que se escribe como bn, y se lee b elevado a la n, donde n es un número natural, significa:

... ( factores)nb b b b b n

En esta expresión, al número b se le conoce como la base y al número n como el exponente.

Así, en la expresión 32, el 3 es la base y el 2 es el exponente. La expresión 32 se lee tres elevado a la dos, o tres al cuadrado, y significa:

23 3 3 2 factores

Un signo negativo que precede directamente a una expresión que está elevada a una potencia tiene el efecto de hacer negativa a toda la expresión. Entonces,

2x significa x x

y no x x Conviene observar que, de acuerdo con las Reglas de los Signos que se expusieron en la Unidad 1, cuando 0x

2x siempre será una cantidad positiva mientras que

2x siempre será una cantidad negativa.

OBJETIVOS

OBJETIVO 1

ejemplos

1.) Para escribir en notación exponencial el número 1,322, se observa que

1,322 1.322 1,000 , de modo que 31,322 1.322 10

2.) Para escribir en notación exponencial el número 7,500,000,000, se observa que

7,500,000,000 7.5 1,000,000,000 , por lo que

97,500,000,000 7.5 10

3.) Para escribir en notación exponencial el número 64,100, se observa que

64,100 6.41 10,000 , así que

464,100 6.41 10

35 5 5 5 1.) 125 (3 factores)

52 2 2 2 2 2 2.) 32(5 factores)

201 1 1 1 ... 1 3.) 1 (20 factores)

23 3 34 4 4

4.)

916

(2 factores)

1.) Para evaluar 2x si 3x , se calcula:

2 3 3x 9y luego se tiene 2 9x

2.) Para evaluar 2x si 3x , se calcula:

2 3 3x 9y luego se tiene

2 9x

• Ley I.- Cuando se multiplican dos potencias de la misma base, su resultado es la misma base elevada a una potencia igual a la suma de las potencias de los factores.

• En otra palabras, para multiplicar expresiones exponenciales de la misma base, se conserva la base común y se suman los exponentes.

Objetivo 2.

m n m na a a

OBJETIVOS

OBJETIVO 2

ejemplos

3 5 3 5x x x 8x1.)

2.) 2 4 2 43 3 3 63

3.) 2 5 2 53 3 3a a a 73a

• Para cualquier número real, a, distinto de cero, y cualquier número natural m:

• Si a es cualquier número distinto de cero, entonces:

Objetivo 3.

1mmaa

0 1a

OBJETIVOS

OBJETIVO 3

ejemplos

33

122

1.)1

2 2 2

18

44

1xx

2.) 1x x x x

03 13.)

3

3

1 11xx

4.)3x

3

3

1 111 xx

3

11x

3x

Para entender mejor está última expresión, es conveniente recordar que para dividir dos números basta con multiplicar al dividendo por el inverso del divisor, de modo que

2

32

3

11

xy x

y

5.)

Como en el ejemplo anterior, esta expresión se puede simplificar para dejar

2 32

3

1 1 11 x yxy

3

2

11y

x

3

2

yx

3

0 0 3

13 3yx x y

6.) 3

11 y

3

1y

• Ley II.- Cuando se dividen dos potencias de la misma base, su cociente es la misma base elevada a una potencia igual a la diferencia entre la potencia del dividendo y la del divisor.

• Es decir, para dividir expresiones exponenciales de la misma base, se conserva la base común y se resta al exponente del dividendo el exponente del divisor.

Objetivo 4.

mm n

n

a aa

OBJETIVOS

OBJETIVO 4

ejemplos

77 4

4

x xx

1.) 3x

2 7 2 75 5 5 2.) 55 5

15

3 4 3 ( 4)a a a 3.)3 4a

1a

a

• Ley III.- Cuando una potencia de una base se eleva a otra potencia, el resultado es un término de la misma base con un exponente igual al producto de las dos potencias.

• Lo anterior indica que para elevar una potencia de una base a otra potencia, se conserva la base y se multiplican los dos exponentes.

Objetivo 5.

nm m na a

OBJETIVOS

OBJETIVO 5

ejemplos

23 3 22 21.) 62 64

3 3 33x x 2.) 9x 9

1x

6 2 625 5 3.)

125244,140,625

• Ley IV.- Cuando un producto de dos o más factores se eleva, todo a la vez, a una potencia, el resultado es el mismo producto pero con cada factor elevado a la potencia dada.

• Ley V.- Cuando un cociente se eleva, todo a la vez, a una potencia, el resultado es el mismo cociente pero con el dividendo y el divisor elevados a la potencia dada.

Objetivo 6.

m m mab a b

m m

m

a ab b

OBJETIVOS

OBJETIVO 6

ejemplos

1.) Para elevar el producto 3xy a la cuarta potencia, es decir para obtener 43xy

se eleva a la cuarta potencia cada uno de los factores y se tiene

4 4 4 43 3xy x y 4 481x y

2.) Para elevar el cociente25

al cuadrado, es decir para obtener

225

se elevan al cuadrado el dividendo y el divisor y queda 2 2

2

2 25 5

425

3.) Para elevar el cociente al cubo, es decir para obtener , se elevan al cubo el dividendo y el

divisor para obtener

y, como tanto en el numerador como en el denominador se tienen productos, se aplica la ley para elevar un producto a una potencia y queda

23ab32

3ab

33

3

223 3

aab b

3 3 3

3 3 3

2 233

a abb

3

3

827ab

La raíz cuadrada principal o positiva de un número positivo n, que se escribe , es el número positivo que al multiplicarse por sí mismo da como resultado n.

Si en lugar de buscar un número que al

multiplicarse por sí mismo dé como resultado n, se busca un número que elevado a la tercera, cuarta o quinta potencia dé como resultado n, se dice que dicho número es la raíz tercera (o cúbica), cuarta o quinta de n, y así sucesivamente.

Objetivo 7.

n

En la notación de radicales lo anterior se escribe como , etcétera.

En otras palabras, significa que significa que y, en general, significa que

Objetivo 7.

3 54, ,n n n

x n 2n x3y n 3n y

ma b mb a

• Al símbolo que sirve para indicar una raíz, se le llama signo radical.

• El número o expresión dentro del signo radical es el radicando y al número que sirve para indicar la raíz se le llama índice.

Objetivo 7.

m nSigno radical

radicando índice

OBJETIVOS

OBJETIVO 7

ejemplos

1.) En la expresión 3 8el radicando es 8 y el índice es 3. 3 8 3 significa que 38 2

.

2.) En la expresión 4 81el radicando es 81 y el índice es 4.

43 81 significa que 43 81

3.) En la expresión 49el radicando es 49 y el índice, que en este caso no se escribe, es 2.

49 7 significa que 249 7

Objetivo 8.

Si 0n , se define: 1n na a

De este modo, una base elevada a un exponente fraccionario en el que el numerador es 1, es equivalente a una expresión en notación radical, en la que la base es el radicando y el denominador del exponente es el índice.

• Las leyes enunciadas anteriormente para exponentes enteros, son también válidas para exponentes fraccionarios. Por tanto, de acuerdo con la ley para elevar una potencia a otra potencia, se tiene:

1 mn m m n na a a

,

1 mm mn n na a a

puesto que 1 1 mm mn n n

Objetivo 8.

OBJETIVOS

OBJETIVO 8

ejemplos

1.) 123 3

2.)1 55x x

3.) 14 4a a

1.) 1

3 2 2 362 622362

2.) 1

3 3 nn y y3ny

3.) 66 13 38 8638

28

4.) 55 14 47 7547

• Como ya se indicó, las leyes expuestas para exponentes enteros son ciertas cualesquiera que sean la base y los exponentes m y n, tanto si son positivos como negativos o nulos, enteros o fraccionarios.

• Para el caso de los exponentes fraccionarios, las leyes quedan así:

,

Objetivo 9.

Ley I.- puesto que, al

tomar común denominador,

Ley II.-

Ley III.- puesto que

,

Objetivo 9.

1 1 1 1n m

m n m n mna a a a

1 1 n mm n mn

11 1

1

n mmm n mn

n

a a aa

1

1 1nm mna a 1 1 1

m n mn

Ley IV.-

,

Objetivo 9.

Ley V.-

1 11m mma b a b

11

1

mm

m

a ab b

,

Objetivo 9.• Para el caso de los radicales es necesario tener

en cuenta que el índice del radical es el denominador de un exponente fraccionario. Por ello, las leyes de exponentes cuando se enuncian y escriben para la notación radical son:

• Ley I.- Cuando se multiplican dos raíces del mismo radicando, su resultado es una raíz con el índice igual al producto de los índices de los factores, y el mismo radicando elevado a la suma de los índices originales. mn n mm na a a

• Ley II.- Cuando se dividen dos raíces del mismo radicando, su cociente es una raíz con el índice igual al producto de los índices de los factores, y el mismo radicando elevado a la diferencia del índice del divisor menos el del dividendo.

Objetivo 9.

mmn n m

n

a aa

Objetivo 9.• Ley III.- Cuando a una raíz de un radicando se

le toma otra raíz, su resultado es una raíz del mismo radicando y un índice igual al producto de los dos índices de los radicales aplicados.

• Ley IV.- Cuando se toma una raíz de un producto de uno o más factores, su resultado es el producto de las raíces de cada factor.

n m nma a

m m mab a b

Objetivo 9.• Ley V.- Cuando se toma una raíz de un

cociente, su resultado es el cociente de la raíz del dividendo entre la raíz del divisor.

mm

n

a ab a

OBJETIVOS

OBJETIVO 9

ejemplos

1.)21

21

21

4

27427

2.)

3.)

4.)

814

121

66

41

31

41

31

y

y

y 1234

y 121y

53

57

52

53

57

52

a

a

a

aa

53

57

52 a 5

372

a 56a

1.)427

427

2.) 84 66

3.) 1212 34

4

3yy

yy

4.)5 3

5 72

5 3

5 75 2

aaa

aaa

5 3

5 9

aa 5

3

9

aa 5 6a

En la expresión , se dice que el

radicando contiene una raíz n-ésima perfecta si se puede encontrar en él algún factor que contenga una potencia igual o múltiplo del índice n del radical.

,

Objetivo 10.

n ma

,

Objetivo 10.Es claro que cuando el radicando contiene una raíz n-ésima perfecta, la expresión radical puede simplificarse extrayendo del mismo la raíz exacta correspondiente, puesto que de acuerdo con las leyes de exponentes y radicales

1 mnk n k nn nm m k k mna a a a a a a a

,

Objetivo 10.

Una expresión que incluya algún radical se encuentra en forma simple si:

a.) El radicando no tiene factores con una raíz n-ésima perfecta.

b.) El radicando no incluye fracciones.

c) No existen radicales en el denominador de una fracción.

• Racionalizar una fracción es eliminar los radicales que existan en su denominador. Para racionalizar una fracción se multiplican el numerador y el denominador por un radical que al multiplicarse con el del denominador lo convierta en una raíz perfecta, y simplificar ésta por tener raíz exacta.

Objetivo 10.

OBJETIVOS

OBJETIVO 10

ejemplos

1.)21

21

21

4

27427

814

121

66

2.)

3.)

4.)

41

31

41

31

y

y

y 1234

y 121y

53

57

52

53

57

52

a

a

a

aa

53

57

52

a 5372

a 56a

1.)La expresión contiene una raíz séptima perfecta puesto que se puede escribir

2.)La expresión contiene una raíz tercera (o cúbica) perfecta puesto que se puede escribir

7 22x

7 722 21x x x 3 77 x x 737 x x

3 5 7a b

3 35 7 3 2 6a b a a b b 2 33 3 2a b a b

32 23 ab a b

3.)La expresión contiene una raíz cuarta perfecta puesto que se puede escribir

2

49

16xy

2 4 2

4 49 8

16 2x xy y y

4 2

42 4

2 xy y

4 2

42 4

2 xyy

4 2

42

2 xy y

1.) Como , se extrae la raíz exacta y queda

2.) , se extrae la raíz exacta y queda

3.) , se extrae la raíz exacta y queda

77 22 37x x x

7 22x 3 7x x

33 5 7 2 23a b ab a b

3 5 7a b 32 2ab a b

42 2

449 2

16 2x xy y y

2

49

16xy

2

42

2 xy y

1.) La expresión: no está en forma simple, porque el radicando incluye una raíz cúbica perfecta:

2.) La expresión: está en forma simple.

3.) La expresión: está en forma simple.

3 5 7a b

35 7 2 2a b ab a b

3 3 2423x xy z

2 36 5x y z

4.)La expresión: no está en forma simple, porque el

radicando contiene una fracción y, además, contiene una raíz cuarta perfecta:

5.)La expresión: no está en forma simple, porque aparece

un radical en el denominador.

2

49

16xy

42 2

9 2

16 2x xy y y

3ab

1.)Para racionalizar la expresión se multiplican el numerador y el denominador por para obtener

3ab

b

3 3a a bb b b

3a bb b

2

3a b

b

3a bb

2.)Para racionalizar la expresión conviene observar que de modo que ya incluye una raíz cuadrada

perfecta (la correspondiente a ), por lo que basta con multiplicar el numerador y el denominador por para obtener:

218

218 2 9 2 3

23

2

2

2 218 2 3

2

2 222 3

2

2 2

2 3 2

2 2

2 2

2 3

2 2

2 2

2 3

2 22 3

23

3.) Para racionalizar la expresión

es importante notar que en el radicando existen factores elevados a diferentes potencias, por lo que es necesario buscar para cada uno la potencia que hace falta multiplicar para obtener la raíz cuarta perfecta que se necesita.

2

3 2 343 5

x

y xz w

Como está elevado a la primera potencia, debe multiplicarse por ;

se multiplicará por sí misma; y por Por tanto, para racionalizar la expresión

dada se multiplican el numerador y el denominador por

para obtener:

5x3 35 x

2z3w w

3 3 24 5 x z w

2 2 3 3 24

3 2 3 3 2 3 3 3 24 4 4

5

3 5 3 5 5

x x x z w

y xz w y xz w x z w

2 3 3 24

3 2 3 3 3 24 4

5

3 5 5

x x z w

y xz w x z w

2 3 3 24

3 4 4 4 44

5

3 5

x x z w

y x z w

2 3 3 24

3

53 5x x z wy xzw

2 3 3 24

3

515

x x z w

y xzw

3 24

3

12515

x x z wy zw

Objetivo 11.Muchas expresiones algebraicas se pueden simplificar aplicando las leyes de los exponentes y los radicales.

En general, la simplificación consiste en efectuar las operaciones que estén indicadas y escribir los resultados con potencias que no incluyan exponentes negativos ni fraccionarios y con los radicales en la forma simple que se definió anteriormente.

Para ello, los factores que tengan exponentes negativos se trasladan del numerador al denominador de la expresión y los exponentes fraccionarios se convierten en expresiones escritas en forma de radicales.

En caso de necesidad, se racionalizan las expresiones resultantes como se ha indicado antes.

OBJETIVOS

OBJETIVO 11

ejemplos

1.) Para simplificar la expresión basta con tomar en cuenta que y trasladar el

factor al denominador para dejar

2.) Para simplificar la expresión primero se elimina el exponente negativo después, se toma en cuenta la ley

para elevar un cociente a una potencia para que quede

2 2 33 x y

23 93y

22 2 3

3

93 xx yy

2

23yz

2

22

2

13

3

yz y

z

2 2

2 42

1 1

33yyzz

4

2 2

2 4

1 9

3

zy yz

3.) Para simplificar la expresión

se eleva cada factor a la potencia correspondiente

y luego se efectúan las operaciones

indicadas para obtener

43 2x y xy z

43 2 3 8 4

3 4

x y x x y xy z y z

3 8 4 3 4 8

3 4 3 4

x y x x x yy z y z

7 8

3 4

x yy z

7 5

4

x yz

4.)Para simplificar la expresión en primer lugar se identifica que todas las raíces que aparecen son

cúbicas, de modo que se puede incorporar toda la expresión en un solo radical

luego se efectúan las operaciones indicadas en el radicando y queda

como el radicando es una raíz cúbica perfecta se obtiene

4 733

2 13

27 8wy w y

w y

4 74 7333

2 12 13

27 827 8 wy w ywy w yw yw y

3 3 5 93

2

2 3 w yw

3 3 3 93 2 3 w y

3 3 3 9 33 2 3 2 3w y wy 36wy

5.) Para simplificar la expresión

primero se efectúan las operaciones con los exponentes

luego, se convierte el exponente fraccionario a la forma de radicales

y se racionaliza

323 5

4 23 5

x y

x y

32 2 43 5 3 3

4 2 323 5 5 5

x y x

x y y

23xy

23

1

x y

2 3 23

1 1 1y xx y

3

33 32 2

1 1 1 1 xy y xx x

3

3 3

1 xy x

31 xy x

3 xxy