Embed Size (px)
Citation preview
1
T2-Nelinearni in linearizirani modeli, ravnotežna stanja, algebra linearnih, operatorjev, modelne pretvorbe
2
Postopek linearizacije temelji na razvoju nelinearne funkcije sistema v Taylor-jevo vrsto, pri čemer zahtevamo da:-ima sistem vsaj eno ravnotežno stanje in-da je nalinearna funkcija odvedljiva po vseh svojih argumentih.
V obravnavi realnih nelinearnih sistemov lahko splošnem nastopijp primeri, da ima sistem eno ali več ravnotežnih stanj, ali pa da ravnotežno stanje ne obstaja. Nelinarni sistem bomo v splošni obliki zapisali kot:
Ravnotežno stanje opisujeta nelinearni algebrajski enačbi:
V primeru, da iščemo nominalno trajektorijo pa velja:
Predstavimo dinamični sistem kot preslikavo
Sistem bo linearen kadar bo veljalo načelo superpozicije in homogenosti:
kjer so a in b realne konstante. Prva zahteva se nanaša na superpozicijo odzivov na začetne pogoje, druga na vzbujanje, iz tretje pa izhaja, da je odziv linearnega sistema superpozicija odziva na začetne pogoje in odziva na vzbujanje. Večina realnih fizikalnih sistemov je nelinearnih, analiza takšnih sistemov je matematično zahtevna. Če fizikalna narava in področje obratovanja realnega sistema dopuščajo, se v analizi in sintezi pogosto poslužujemo linearne aproksimacije, ki omogoča uporabo množice relativno preprostih in splošnih formalnih postopkov. Ob tem moramo upoštevati, da je lineariziran sistem le aproksimacija realnega sistema in da je njegova veljavnost omejana na okolico ravnotežnega stanja. Ravnotežno stanje je lahko podano z delovno točko ali referenčno trajektorijo. Linarne ali linearizirane sisteme lahko opišemo v časovnem prostoru z linarnimi diferencialnimi enačbami n-te stopnje s kostantnimi ali časovno odvisnimi koeficienti, s sistemom dif. enačb prve stopnje s spremenljivkami stanja, ali v slikovnem prostoru s prenosnimi funkcijami (samo za konstantne
koeficiente). Nelinearne sisteme obravnavamo praviloma v časovnem prostoru.
http://www.mech.ubc.ca/~nagamune/MECH468/MECH550P_L4_Linearization.pdfhttps://www.me.utexas.edu/~longoria/me383Q/leks/notes/Linearization_Summary.pdfhttp://www.mech.ubc.ca/~nagamune/MECH468/MECH550P_L4_Linearization.pdf
:
Linearnost, linearni sistemi:
00 ;),()( ttuxfty ≥=)(tu
(.)f)(ty
0)0( xx =
),0()0,(),()(III.
),0(),0(),0()(II.
)0,()0,()0,()(I.
00
22112211
202101202101
ufxfuxfty
ufbufbububfty
xfaxfaxaxafty
+==+=+=
+=+=
),(
;),( 0
uxgy
xuxfx
==
),(
),(0
rrr
rr
uxgy
uxf
==
))(),((
))(),((0
tutxgy
tutxf
rrr
rr
==
3
a.) Skalarni primer (dim=1); naj velja:
Za Maclaurinova vrsta.
b.) dim=2,
Taylor-jeva in Maclaurin-ova vrsta:
)(xfy =
)( rxf
rx x∆x∆−
)( xxf r ∆+
)( xxf r ∆−
Linarna aproksimacija v okolici ravnotežnega stanja
xxfxfy
xk
xfxxfxfy
xxx
rr
k
k
rk
rr
r
∆′+≈
→
∆+∆′+=
−=∆
∑∞
=
)()(
!
)()()(
O
2
)(
0=rx
xx
fxf
xx
fx
x
fxfy
x
x
x
f
x
fxfy
xx
xxx
x
xx
r
rr
r
xx
r
xxxx
r
Oxx
r
r
r
r
rr
∆∂∂+
=∆∂∂+∆
∂∂+≈
→
+
∆∆
∂∂
∂∂+=
−−
=∆
=
=
==
=
)(
)(
...)(
;
22
11
2
1
21
22
11
2
1
00
rx rx1rx2
1x
2x
),( 21 xxf
Aproksimacija v okolici ravnotežnega stanja s tangentno ravnino
4
a.) P1:
b.) P2:
Taylor-jeva in Maclaurin-ova vrsta:
xxxxx
fxfy
xxxfy
xxx
r
r
r
∆+=∆+=∆∂∂+≈
→===
== 2
1
2
1)(
1;2
1)(
1
2
[ ]
∆∆
+=
=∆+∆+=
=∆∂∂+∆
∂∂≈∆
+==
=
=
=
==
2
1
21
2221211
1
2221
221
22
11
221
2121
)2cos(4)2cos(4
))cos(2())cos(2(
)sin(),(
1
2
x
x
xxxxxxxxxx
xx
fx
x
fy
xxxxxfy
x
xx
xxxx
r
rr
rx0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
00.5
11.5
22.5
3
00.5
11.5
22.5
3
-2
0
2
4
6
8
10
rx1rx21x
2x
),( 21 xxf
)(xf
x
5
uu
fx
x
fx
uu
fx
x
fuxf
uuxxfxx
rrrr
rrrr
uxux
uxuxrr
rrr
∆∂∂+∆
∂∂=∆
=+∆∂∂+∆
∂∂+
=∆+∆+=∆+ •
,,
,,
O),(
),()(
Nelinarni dinamični sistem (dim=n):
Predpostavimo, da obstaja vsaj ena ravnotežna rešitev nelinerane algebrajske enečbe:
Lineariziran sistem, ki opisuje dinamiko v okolici ravnotežnega stanja, zapišemo kot:
Linearizacija dinamičnega sistema:
),(
;),( 0
uxgy
xuxfx
==
),(
),(0
rrr
rr
uxgy
uxf
=→=
Za izhod sistema velja:
Lineariziran sistem:
rr
rr
rr
rr
uxp
nn
p
ux
uxn
nn
n
ux
u
f
u
f
u
f
u
f
Bu
f
x
f
x
f
x
f
x
f
Ax
f
,1
1
1
1
,
,1
1
1
1
,
;
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
==∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
==∂∂
uu
gx
x
gy
uu
gx
x
guxg
uuxxgyy
rrrr
rrrr
uxux
uxuxrr
rrr
∆∂∂+∆
∂∂=∆
=+∆∂∂+∆
∂∂+
=∆+∆+=∆+
,,
,,
O),(
),()(
rr
rr
rr
rr
uxp
p
ux
uxn
n
ux
u
g
u
g
u
g
u
g
Du
g
x
g
x
g
x
g
x
g
Cx
g
,1
1
1
1
,
,1
1
1
1
,
;
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
==∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
==∂∂
uDxCy
uBxAx
rrrr
rrrr
uxux
uxux
∆+∆=∆
∆+∆=∆
,,
,,
6
V primeru, da opazujemo obnašanje sistema v okolici nominalne trajektorije je potrebno najprej poiskati rešitev:
Dalje sledi:
Linearizacija dinamičnega sistema:
))(),(()(
))(),((0
tutxgty
tutxf
rrr
rr
==
)(),(1
1
1
1
)(),(
)(),(1
1
1
1
)(),(
)(;)(
tutxp
nn
p
tutx
tutxn
nn
n
tutx
rr
rr
rr
rr
u
f
u
f
u
f
u
f
tBu
f
x
f
x
f
x
f
x
f
tAx
f
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
==∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
==∂∂
)(),(1
1
1
1
)(),(
)(),(1
1
1
1
)(),(
)(;)(
tutxp
p
tutx
tutxn
n
tutx
rr
rr
rr
rr
u
g
u
g
u
g
u
g
tDu
g
x
g
x
g
x
g
x
g
tCx
g
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
==∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
==∂∂
utDxtCy
utBxtAx
∆+∆=∆∆+∆=∆)()(
)()(
7
P3: Nelinerni sistem s tremi stanji, dvema vhodoma in dvema izhodoma je podan kot:
Ravnotežno stanje:
Linearizacija dinamičnega sistema n-te stopnje:
=
++−−
−+++−=
==
22
321
221
2321
2
2113332
21
3
2
1
3
232
),(
),(
),(
),(
x
xxxy
uuxxx
x
uuuxxxx
uxf
uxf
uxf
uxfx
=
>−+−+=
→+=
→=
→
++−−
−+++−=
0
0
023;232
1
3
0
3
232
0
21133211
331
2213
2
221
2321
2
2113332
21
r
rrrrrrrrr
rrr
r
y
uuuxuuuxx
uux
x
uuxxx
x
uuuxxxx
rr
rr
rr
rr
ux
ux
ux
ux
u
uu
Bu
f
xxx
xxxx
Ax
f
,1
12
,
,312
23231
,
32
00
221
2
010
94
−−==
∂∂
−−
+−==
∂∂
[ ]0
020
,
,2
213132
,
==∂∂
==
∂∂
Du
g
x
xxxxxxC
x
g
rr
rrrr
ux
uxux
8
P4: Ravnotežna enečba:
Spremenljivke stanja:
Linearizacija dinamičnega sistema:
∑=Θi
iTJ
)sin(
)sin(
2
2
brem
Θ−=Θ
→Θ−=Θ
==× ⊥
⊥
L
g
mL
T
mgLTmL
m
TFLFL
F
mJ
1/s1/s
1
g/L*sin(theta)
Θ Θ Θ0Θ0Θ
2
1
Lm
mT
021
2
21
;),(1)sin(
,
xuxfTLm
xL
gx
x
xx
m=
+−=
→Θ=Θ=
a.) Linarizacija v (naravnem) ravnotežnem stanju:
→=== 0,0 mrrr Tux
ubxAx
Lmb
L
gx
L
gx
fA
rrr x
ux
∆+∆=∆
→
=
−=
−=
∂∂=
=
20
1,
10
;0
10
0)(cos
10
b.) Linarizacija pri poljubnem kotu :rΘ
→Θ−=→≠=Θ→
Θ=Θ=
= )sin(00,001
rmrmrrr
rrr mgLTT
xx
mgL
Tmrr =Θ )sin(
=
−=
rxrx
L
gA 0)(cos
10
1
B
mT
Θ
gm
)sin(Θgm
L
0=Θ
9
P5: izpeljali smno nelinearni model v obliki:
Ravnotežno stanje :
Linearizacija dinamičnega sistema-MAGLEV
V ravnotežnem stanju velja:
u
mg
i
f0x
x
+−−
−=
uxL
xxdx
xdL
xLx
xL
Rx
x
m
Cg
x
x
)(
1)(
)(
1
)( 132
1
1
13
1
21
23
2
[ ] [ ]0031T 00 ixxxx rrr ==
→
+−−=
−=
=
uxL
xxdx
xdL
xLx
xL
R
x
x
m
Cg
x
)(
1)(
)(
1
)(0
0
0
132
1
1
13
1
21
23
2
),(0 rr uxf=
C
mgRxu
C
mgxxx rr 000
T ;0 =
=
!konst.)( 0100
11
0
==+=+= LLLx
xLLxL
x
10
Dalje velja :
Linearizacija dinamičnega sistema-MAGLEV
→=∂∂=
−−−r
r
xLx
xxL
L
R
Lx
xxL
Lx
xxxLmx
Cx
mx
Cxxx
fA
21
20021
30031
3200
21
331
23
2
202
010
−−
−=
L
RCmg
Lx
m
Cg
xx
gA
0
00
20
202
010
=
∂∂=
Lu
fB
ru
/1
0
0
[ ]001=∂∂=
rx
T
x
gc
syms C m L R g L0 x0 positivesyms x1 x2 x3 u real
f=[x2; g-C/m*x3^2/x1^2;-R/L*x3-1/L*L0*x0/x1^2*x2*x3+1/L*u]
A=[diff(f(1),x1),diff(f(1),x2),diff(f(1),x3);diff(f(2),x1),diff(f(2),x2),diff(f(2),x3); diff(f(3),x1),diff(f(3),x2),diff(f(3),x3)]pretty(A)‘’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’% ali pa krajše x=[x1;x2;x3]; Al=jacobian(f,x)‘’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’A=subs(A,x2,0);A=subs(A,x1,x0);A=simple(subs(A,x3,x0*sqrt(m*g/C)));pretty(A)
PomočMatlab:
11
Harmonsko vzbujani linearni sistemi in načelo superpozicije:
dt
df
X
X
XtXeXtx
XjXXXjXeXX
tXtx
konstX
frekvencatrenutna
Def
xtj
xxx
fazor
j
Def
vrednosttrenutna
x
x
x
ϕϕ
ϕϕω
ϕϕϕ
ϕω
ϕω
ω
ϕ
=⇒=
=+==
⇐
+=∠=+==
⇒+=
=
−
)"("Re
Im1
ImRe
!
)(tan
)(cos)(cosRe)(
)(sin)(cos
)(cos)(
.,,
Harmonske spremenljivke s konstantnimi parametri (frekvenco, amplitudo in fazo) lahko predstavimo v obliki (kompleksnih) fazorjev:
Ob upoštevanju načela superpozicije velja:
ustaljen izhod linearnega sistema, ki je vzbujano s sestavljenim harmonskim nihanjem (M-harmonikov), je superpozicija teh harmonskih nihanj, z različnimi amplitudami in fazami. Ustaljena stanja takšnih sistemov lahko tako obravnavamo s fazorji kot algebrajski problem.
LINEARNO VEZJE-(Lin. dif. enačba n-te st.
Sistem dif. en. I.st)
VZBUJANJE
∑
=
M
n
tnjeX1
Re ω
IZHOD
∑
=
M
n
tjneY1
Re ω
12
Harmonsko vzbujani linearni sistemi in načelo superpozicije:
+
Linearno RL
vezje,
Linearno RL
vezje
=
Linearno RL
vezje
+
Prehodno stanje
Ustaljeno stanje
)3sin(5.0)sin(1 ttu ωω +=
Hu1
Hu3
HH iii 31 +=
Hi1
Hi3
HLR 05.0,1 =Ω==
13
Harmonsko vzbujani linearni sistemi in načelo superpozicije:
R L
≈)(tu)(ti
0=t Časovni prostor :
Lb
Taibuai
tUL
iL
R
dt
di
NDE
1,
1,0)0(;
)sin(1
=−==+=
++−=
ϕω
stanjeprehodno
stanjeustaljeno
0
)(
)sin()sin(
.....)()0(
Tt
ttaat
eItI
dubeiei
−
−
−+=
=+= ∫
θθω
τττ
)(tan;; 1
)( 22 R
LI
LR
U ωγγϕθω
−
+=−==
Fazorska rešitev:
γαωω
ω
αω
ωωω
ωωω
−∠+
=+
=
⇒=+
⇒
=+
+=+
22 )(
)cos(
LR
U
LjR
UI
eUeIReILj
eUeIReIdt
dL
tURidt
diL
tjtjtj
tjtjtjRe
Velja ob predpostavki:
0konst. =⇒= Idt
dI
14
Harmonsko vzbujani linearni sistemi in načelo superpozicije:
Kako pridemo do ustaljene fazorske rešitve, če predpostavimo sestavljeno harmonsko vzbujanje in linearno vezje ? Zaradi superpozicije je skupna rešitv sestavljena iz k-tih delnih rešitev:
)/(
/
LjkRU
ZUII
kk
kkk
kk
ω+
===
∑
∑∑
Za obravnavan zgled torej dobimo:
)0741.0(074,00042,0
)0106,0(0106,00002,0
)0635,0(0634,0004,0
124,47131
708,1511
05,0;1
05.0;01
31
33
11
3
1
31
AIAj
III
AIAjI
AIAjI
jLjZ
jLjZ
HLR
VjUVjU
=−
=+==−=
=−=
→
Ω+=+=Ω+=+=
=Ω=+=+=
ωω
15
Linearne dinamične sisteme lahko zapišemo v operatorski notaciji kot:
Vpeljana notacija omogoča enostavno obravnavo linarnih diferencialnih enačb v algebrskem smislu. V primeri zaporedne vezave dveh operatorjev velja:
Za vzporedno vezavo pa velja:
Operatorski polinom lahko zapišemo v obliki:
V gornjem primeru seveda ne gre za običajni polinom, saj z naotacija implicira vzporedno in zaporedno vezavo množice operatorjev. Kljub temu pa lahko nad tovrstnimi operatorskimi polinomi uporabimo pravila, ki veljajo v algebri polinomov. Npr.
Označimo z D operator odvajanja . Za primer polinomskega operatorja:
velja dalje:
Gornji izraz predstavlja torej operatorski zapis navadne diferencialne enačbe drugega reda:
Vsako navadno diferencialno enačbo n-tega reda
lahko torej v operatorski notacijo zapišemo kot:
Algebra linearnih operatorjev:
))((L)( tuty =
)))((LL))((LL
)))(((LL))((L)(I.
2112
122
tutu
tutxty
====
)(tu(.)L1
)(tx(.)L2
)(ty
))(u(L))...)((L(L(...L(L)(II. n ttuty ==
))()(LL(
))((L))((L)(III.
211
21
tu
tututy
±=±=
)))(u(LL...LLLLL()(IV. 01
11
1 tty nn
nn +++= −
−
)(tu)(1 tx
)(ty(.)L1
(.)L2
±
)(2 tx
))()(LL)LLL(L(
))(u(t)L)(LLL()(
3213221
3121
tu
ty
+++
++=
dtdD /:=
))()(1)(2()( tuDDty ++=
))()(23()( 2 tuDDty ++=
)(2)(
3)(
)(2
2
tudt
tdu
dt
tudty ++=
nmybubub
yayayaym
m
nn
n
≤+++
=++++ −−
;...
...)()1(
10
0)1(
1)1(
1)(
nmuDbDbb
yaDaDaDm
m
nn
n
≤+++
=++++ −−
;)...(
)...(
10
011
1
16
Vsakemu od nič različnemu operatorju pripada inverzni operator tako, da velja:
Inverzni operator ima pomebno vlogo pri vhodno-izhodnem opisovanju sistemov. Če za nek sistem npr. velja:
potem sledi:
Naosnovi gornje ugotovitve lahko definiramo prenosni operator za primer NDE n-tega, ki smo jo zapisali v obliki:
Dalje sledi:
Algebra linearnih operatorjev:
)())((LL))((L(L)(V. -1-1 tutututy ===
))((L))((L 21 tuty =
))((L
L)(
))((LL))((LL
1
2
2-111
-11
tuty
tuty
=
→=
nmuDbDbb
yaDaDaDm
m
nn
n
≤+++
=++++ −−
;)...(
)...(
10
011
1
)()(G)(...
...)(VI.
011
1
01 tuDtuaDaDaD
bDbDbty
nn
n
mm =
+++++++= −
−
)(tu )(ty
)(tF K m Brefx
Za mehanski sistem na sliki smo izpeljali:
uDGy
umKmDBD
mKy
umKymKmDBD
umKymKymBy
)(
)//(
/
/)//(
///
2
2
=++
=
→=++
→=++
Prenosni operator podaja torej vhodno- izhodno zvezo v časovnem prostoru med vzbujalno veličino in izhodom sistema.
17
a.) Naj bo linearni sistem podan v obliki NDE n-te stopnje:
Stanja sistema vpeljemo na osnovo izhoda in odvodov do stopnje n-1
Oziroma zapisano v matrični obliki;
Modelne pretvorbe:
ubyayayayxxx
nn
n
n
0
:
0
:
)1(1
:
)1(1
)(
12
... =++++===
−−
ubxaxaxayx
xyyxxyx
yxyxyx
nnn
n
nn
012110)(
3)2()1(
221
)1()1(21
...
,....,)(,
,....,,
+−−−−==
=====
→===
−
•
−
[ ] xcxy
xubxA
u
b
x
aaaa
x
n
T
0
01210
0...01
;
0
0
0
0000
0...100
0...010
==
+=
+
−−−−
=
−
b.) Naj bo linearni sistem podan v splošni obliki NDE n-te stopnje
kjer smo predpostavili, da je m=n. V operatorski notaciji lahko gornjo enačbo zapišemo tudi v obliki:
Enačbo pomnožimo z inveznim operatorjem (kar dejansko pomeni n-kratno integracijo !) in dobimo:
Izrazimo izhod y in preuredimo:
nmububub
yayayaym
m
nn
n
=+++
=++++ −−
;...
...)()1(
10
0)1(
1)1(
1)(
uDbDbb
yaDaDaDm
m
nn
n
)...(
)...(
10
011
1
+++
=++++ −−
nD−
ubDbDbDb
yDaDaDa
nnnn
nnn
)...(
)...1(1
11
10
01
11
1
++++
=++++−
−+−−
−+−−−
ububyaDubyaDubyaD
DubyaDubyaDubyauby
m
xx
nn
x
nn
nnnn
m
nn
++−+++−++−=
=+−+++−++−+=
=
−
=
−−−
=
−−−
−−−
+−−
−
..)).(...)(()((
)(...)()(
11 :
001
:
221
:
111
111
11100
18
Če inverzni operator nadomestimo z integratorjem lahko podamo simulacijski diagram:
Za spremenljivke stanja velja:
oziroma v matrični notaciji:
Modelne pretvorbe:
ubabxaxx
ubabxaxx
ubabxax
mnnnnnn
mn
mn
)(
)(
)(
1111
11112
0001
−−−− −+−=
−+−=−+−=
1−D
0b 1b 2−nb nb1−nb
1a 1−na2−na
y
u
0a
nx1−nx2x1x
[ ] duxcubxy
xubxA
u
abb
abb
abb
abb
x
a
a
a
a
x
n
nnn
n
n
n
n
+=+=
+=
−
−−−
+
−
−−−
=
−−−
T
0
11
22
11
00
1
2
1
0
1...00
;
1...00
...
...010
...001
...000
c.) dualna oblika: enečbo
izrazimo z vpeljavo nove pomožne spremenljivke z:
Prvo enačbo razrešimo na u in preuredimo:
Izraz v oklepaju predstavlja n-kratno (zaporedno) integracijo pomožne spremenljivke z. Ob upoštevanju izhodene enačbe lahko podamo simulacijski diagram:
ubDbDbDb
yDaDaDa
mmnn
nnn
)...(
)...1(1
11
10
01
11
1
++++
=++++−
−+−−
−+−−−
zbDbDbDby
uDaDaDaz
mmnn
nnn
)...(
)...1(1
11
10
10
11
11
++++=
++++=−
−+−−
−−+−−−
zDaDaDauz
zDaDaDaunn
n
nnn
)...(
)...1(
01
11
1
01
11
1
−+−−−
−+−−−
+++−=
→++++=
1xnx
mb1−mb
2−na
1−na
0a
0by
2x
II. Pridružena oblika
19
Za vpeljane spremenljivke stanja velja :
oziroma v matrični notaciji:
Povezavo med obema dualnima oblikama podaja torej torej enostavna substitucija:
Modelne pretvorbe:
uxaxaxax
xx
xx
nnn +−+−−=
==
−12110
32
21
[ ] duxcubxabbabbabby
xubxA
ux
aaaa
x
nnmmnn
n
+=+−−−=
+=
+
−−−−
=
−−
−
T111100
0
1210
...
;
1
0
0
0
0000
0...100
0...010
dd
bc
cb
AA
↔↔
↔↔
TT
T
Bodite pozorni, da sistemske matrike obeh modelov v eksplicitni obliki vključujeta koeficiente karakteristične enačbe:
Njegove rešitve imenujemo lastne vrednosti:
Lastne vrednosti, ki so lahko realne in različne (enostavne l.v.) ali večkratne ali konjugirano kompleksne, odločilno vplivajo na dinamične lastnosti in stabilnost obravnavanega sistema. Pod določenimi struktirnimi pogoji lastne vrednosti sistemske matrike A sovpadajo s poli prenosne funkcije G(s).
011
1 ...)det()( aaaAIP nn
n +λ++λ+λ=−λ=λ −−
niAI i ,...,1;0)det( =λ→=−λ
I. Pridružena oblika
⊆poli P.F lastne vrednosti sist.matrike A
20
Za obravnavan linearni dinamični sistem (LDS) smo torej izpeljali dve različni obliki kar pomeni, da predstavitev v prostoru stanj ni enoumna. Dejansko lahko vsak LDS podamo v neskončno mnogo oblikah, če vpeljemo nesingularno linearno transformacijo stanj sistema. Naj bo izhodiščni model (original) podan v standardni obliki:
Vpeljimo nova stanja z, ki jih z originalnimi stanji povezuje nesingularna linearna transformacija T:
Ker je transformacijska matrika T konstantna sledi dalje:
Transformiran (ekvivalentni) sistem ohranja strukturne in dinamične lastnosti originala (invarianca). V smislu matrične algebre predstavljajo tovrstne transformacije prehod v nov koordinatni sistem (novo bazo). Razumljivo, da se pri tem lastnosti izhodiščnega dinamičnega sistema ne spremenijo, spremeni se le pogled na gibanje sistema v novih koordinatah. Izmed množice možnih transformacij so za analizo pomembne predvsem tiste, ki vodijo na I. in II. pridruženo obliko oziroma transformacija, ki vodi na diagonalno obliko.
d.) diagonalna oblika; na osnovi karakterističnega polinoma sistemske matrike A, lahko izračunamo lastne vrednosti. Za primer enostavnih lastnih vrednosti lahko izračunamo n pripadajočih (neodvisnih) lastnih vektorjev, ki napenjajo vektorski prostor X:
Izračunane lastne vektorje povežemo v modalno matriko M:
ki je vedno nesingularna saj so lastni vektorji linearno neodvisni. S transformacijo nad izhodiščnim sistemom dobimo v novih koordinatah:
Diagonalna oblika je najbolj nazorna saj direkno izraža vse relevantne lastnosti (struktura, stabilnost, splošna rešitev) obravnanega sistema v eksplicitni obliki. Uporabljamo jo tako v analizi, kot tudi v načrtovanju vodenja. Transformiranja stanja z imenujemo tudi lastni načini. Diagonalni obliki v prostoru stanj ustreza v slikovnem prostoru prenosna funkcija G(s), ki je izražena v obliki parcialnih ulomkov.
Posebni primeri nastopajo v primeru večkratnih oziroma konjugirano kompleksnih lastnih vrednosti.
Modelne pretvorbe:
DuCxy
xuBxAx
+=+= 0;
DuzCTy
uTBzTATz
BuzATzT
zTxxTz
t
tt
C
BA
+=
+=→+=
→==
−
−
−•−
−
1
1
11
1
)(
;
=Λ
+=+=
=+Λ=+=−
−−
n
DuxCDuzCVy
xVzuBzVBuzVAVz
λ
λ
...0
00
0...
ˆ
;ˆ
1
1
01
01
0;,...1;0)( ≠==− iii vnivAIλ
[ ]nvvV ...1=
→== − zVxxVz 1;
DuzCy
xTzuBzAz
t
tt
+==+= 00;
21
d1.) Večkratne lastne vrednosti; v primeru večkratnih lastnih vrednosti popolna diagonalna oblika v splošnemni ni možna. Če obstaja samo en lastni vektor, ki pripada lastni vrednosti z algebrajsko večkratnostjo m, matrike A ni možno diagonalizirat. V tem primeru vpeljemo posplošene lastne vektorje, matriko A pa lahko transformiramo v Jordan-ovo matriko:
Simulacijski digram enovhodnega/enoizhodnega modela v diagonalni obliki:
Iz strukture modela oziroma njegovega simulacijskega diagrama, je razvidno kako krmilni signal vpliva (če sploh) na posamezne lastne načine in kakšen je njihov vpliv na izhod sistema. Prav tako lahko takoj ocenimi stabilnost posameznih lastnih načinov, ki jo pogojujeo pripadajoče lastne vrednosti. Zaradi preproste dinamike prvega reda, ki opisuje gibanje lastnih načinov, lahko za podano vzbujaje in začetne pogoje enostavno izračunamo
tudi njihov odziv.
Modelne pretvorbe:
u
nz
1−nb
0c0b
y
1z
1b1c
1−nc
2z1λ
2λ
nλ
mivvAI iii 1;)( 1 ==− +λ
==
→=
+
−
+
×
n
m
nm
m
i
AVVJ
λ
λλ
λ
λλλλλ
0
10
001
),,(
1
1
1
1
111
22
d2.) Konjugirano kompleksne lastne vrednosti; v tem primeru imajo tudi pripadajoči lastni vektorji in transformirana stanja kompleksno obliko. Formalno to ne predstavlja nobene omejitve, iz praktičnih razlogov in predvsem interpretacije pa je seveda primernejša čisto realna oblika. Prehod omogoča enostavna transformacija, ki jo vpeljemo nad matriko lastnih vrednosti in lastnih vektorjev. Naj npr. spekter obravnavanega sistema sestavljeno realne in konjugirano kompleksne lastne vrednosti v naslednji obliki:
Vpeljimo kompleksno transformacijsko matriko:
Dalje sledi:
Modelne pretvorbe:
−+
−+
=Λ
n
j
j
j
j
λ
λωδ
ωδλ
ωδωδ
0
00
000
6
44
44
3
11
11
−
−
=
10
12/2/1
2/2/11
02/2/1
002/2/1
j
j
j
j
T
−
−
====Λ=Λ
→
−
−
=
−−−−−−
−
n
VAVTVAVTTVAVTTT
jj
jj
T
λ
λδωωδ
λδωωδ
0
0
00
ˆˆ)()()(ˆ
10
1
111
0
0011
6
44
44
3
11
11
111111
1
Tudi transformirana matrika lastnih vektorjev postane realna in ima sledečo strukturo:
===
==
−−
−
n
n
w
w
w
w
w
w
TWTVV
vvvvvvvVTV
......
)Im(2
)Re(2
)Im(2
)Re(2
ˆ
]...)Im()Re()Im()[Re(ˆ
4
4
3
1
1
11
6443111
23
e.) Pretvorbo modela v prostoru stanj v vhodno/izhodni obliko v slikovnem prostoru dobimo z Laplace-ovo transformacijo stanj, vhodov in izhodov. Pri tem upoštevamo da velja:
če predpostavimo homogem sistem (u=0) dobimo odziv na začetne pogoje:
če predpostavomo začetne pogoje enake nič pa dobomo odziv sistema izražen s prenosno funkcijo sistema G(s):
Omeniti velja, da poli prenosne funkcije niso nujno enaki lastnim vrednostim sistemske matrike A, oziroma da je stopnja prenosne funkcije lahko nižja od stopnje sistema. Omenjeno dejstvo je pogojeno z notranjo strukturo, ki pogojuje vhodno/izhodno zvezo med vhodi in izhodi sistema in na katero se nanaša prenosna funkcija.
Modelne pretvorbe:
011
011
0
0
0
)()())(()(
)()()()(
)()()(
)()(;)()(;)()(
;
xAsICsUDBAsICsY
xAsIsBUAsIsX
sBUsAXxssX
sYysUuxssXx
DuCxy
xBuAxx
−−
−−
−++−=
−+−=
→+=−→==−=
+=+=
→LLL
L
01)()( xAsICsY −−=
)()()())(()()(
1 sUsGsUDBAsICsYsG
=+−= −
Kako pa je s prenosnimi funkcijami transformoranih sistemov ? Pokazali smo, da velja:
Za prenosni funkciji originala in transformiranega sistema velja:
Torej velja :
kar pomeni, da je vhodno-izhodni opis neodvisen (invarianten) glede na linearne transformacije, ki jih izvedemo nad originalom.
opomba: upoštevajte, da smo v gornji izpeljavi uporabili pravilo invertiranja matričnega produkta . Velja namreč:
kjer sta P in Q poljubni, nesingularni kvadratni matriki.
t
tt
tt
tt
t
ttT
DD
TCCCTC
BTBTBB
TATATATA
DuzCy
zuBzAz
DuCxy
xBuAxx
=
==
==
==
+=+=
+=+=
−
−
−−
→
)(
)(
)(
;;
1
1
11
00
)()(
)(
))((
)())((
)()(
11
111
111
111
1
sGDBAsIC
DBTATsIC
DTBTAsITCT
DBTTAsITTC
DBAsICsG
tttt
tt
=+−
=+−
=+−
=+−=+−=
−−
−−−
−−−
−−−
−
)()( sGsG t=
111)( −−− = PQQP
24
P1.) Poglejmo skalarni primer:
Gornji sistem v prostoru stanj očitno opisuje integrator, ki v slikovnem prostoru zavzame obliko:
P2.) syms s complex
A=[0 1 0;0 0 1;-1 -2 -3]
b=[0;0;1]
ct=[1 1 0]
d=0;
[st,ime]=ss2tf(A,b,ct,d) –Matlab ukaz
e=eye(3);
Gs=simple(ct*inv((s*e-A))*b);-pretvorba
pretty(Gs)
Modelne pretvorbe:
→
=== L
xy
xux 0; 0
ssIsG
11)0(1()( 1 =−= −
)(1
)( sUs
sY =
)(tub
x00 =x c
yx L
1Ls
1)(sU )(sY
1 1
123
1)(
23 ++++=→
sss
ssG
25
3. s + 15.
--------------
2
s + 7. s + 9.
3. s + 15.
-----------------------
(s + 5.303) (s + 1.697)
.2519 2.748
--------- + ---------
s + 5.303 s + 1.697
s + 5
3 ------------
2
s + 7 s + 9
P3.)
A=[-2 1;1 -5]
eig(A)
c=[1 1]
b=[2;1]
d=0
[st,im]=ss2tf(A,b,c,d); -pretvorba v G(s)
[r,p,k]=residue(st,im); -parcialni ul.
[zer,pol,k]=tf2zp(st,im); -faktorizirana oblika
syms s complex
Gs=vpa((st(1)*s^2+st(2)*s+st(3))/(im(1)*s^2+im(2)*s+im(3)),4);
pretty(Gs)
Gs_zp=vpa((s-zer)/(s-pol(1))/(s-pol(2)),4);
pretty(Gs_zp)
Gs_pu=vpa(r(1)/(s-p(1))+r(2)/(s-p(2)),4);
pretty(Gs_pu)
E=eye(2);
gs=simple(c*inv(s*E-A)*b);
pretty(gs)
Modelne pretvorbe:
ps_gs_parc_ul.mC:\MATLAB6p5\work\dinamika\ps_gs_parc_ul
