ĐT: 0977412127 ĐẠI CƢƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA · Trung tâm GD&ĐT Youth [ĐT: 0977412127] Chuyên đề Dao động điều hòa – bản số 1.0 | Bản quyền

Trung tâm GD&ĐT Youth [ĐT: 0977412127]

Chuyên đề Dao động điều hòa – bản số 1.0 | Bản quyền tài liệu thuộc về Youth 1

ĐẠI CƢƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ DAO ĐỘNG

1) Dao động cơ học Dao động cơ học là sự chuyển động của một vật quanh một vị trí xác định gọi là vị trí cân bằng.

2) Dao động tuần hoàn Dao động tuần hoàn là dao động mà trạng thái của vật được lặp lại như cũ, theo hướng cũ sau những khoảng

thời gian bằng nhau xác định (được gọi là chu kì dao động).

3) Dao động điều hòa Dao động điều hòa là dao động mà li độ của vật được biểu thị bằng hàm cosin hay sin theo thời gian.

II. PHƢƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

1. Bổ sung kiến thức

Giá trị lƣợng giác của một số góc lƣợng giác đặc biệt

x - /2 -/3 -/4 -/6 0 /6 /4 /3 /2

sinx -1 - 2

3 -

2

2 -

2

1 0

2

1

2

2

2

3 1

cosx 0 - 2

1 -

2

2 -

2

3 1

2

3

2

2

2

1 0

Đạo hàm của hàm lƣợng giác

Với hàm hợp u = u(x)

uuu

uuu

sin''cos

cos''sin

Ví dụ:

)sin(sin)cos(6)sin(sin)cos()'(3)sin(sin)'(sin3')cos(sin3

cos2

cos'4'sin4

22222222 xxxxxxxxyxy

xx

xxyxy

Cách chuyển đổi qua lại giữa các hàm lƣợng giác

+ Để chuyển từ sinx cosx thì ta áp dụng sinx = cos(x -

2), hay chuyển từ sin sang cosin ta bớt đi π/2.

+ Để chuyển từ cosx sinx thì ta áp dụng cosx = sin(x +

2), hay chuyển từ cos sang sin ta thêm vào π/2

+ Để chuyển từ -cosx cosx thì ta áp dụng -cosx = cos(x + π), hay chuyển từ –cos sang cos ta thêm vào π.

+ Để chuyển từ -sinx sinx thì ta áp dụng -sinx = sin (x+ π), hay chuyển từ –sin sang sin ta thêm vào π.

Nghiệm của các phƣơng trình lƣợng giác cơ bản

+ Phương trình sinx = sinα

2.

2.

kx

kx

+ Phương trình cosx = cos α

2.

2.

kx

kx

2) Phƣơng trình li độ dao động Phương trình li độ dao động có dạng x = Acos(ωt + φ).

Các đại lượng đặc trưng cho dao động điều hòa :

+ x: li độ dao động hay độ lệch khỏi vị trí cân bằng. Đơn vị tính: cm, m.

+ A : Biên độ dao động hay li độ cực đại. Đơn vị tính: cm, m..

+ ω : tần số góc của dao động, đại lượng trung gian cho phép xác định chu kỳ và tần số dao động. Đơn vị

tính: rad/s.

+ φ: pha ban đầu của dao động (t = 0), giúp xác định trạng thái dao động của vật ở thời điểm ban đầu. Đơn

vị tính rad

+ (ωt + φ): pha dao động tại thời điểm t, giúp xác định trạng thái dao động của vật ở thời điểm bất kỳ t.

Đơn vị tính rad



Chú ý: Biên độ dao động A, tần số góc luôn là hằng số dƣơng.

Ví dụ 1: Xác định biên độ dao động A, tần số góc ω và pha ban đầu của các dao động có phương trình sau:

a) x = 3cos(10πt +

3) cm b) x = -2sin(πt -

4) cm

c) x = - cos(4πt +

6 ) cm

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 10cos(2πt + π/6) cm.

a) Xác định li độ của vật khi pha dao động bằng π/3.

b) Xác định li độ của vật ở các thời điểm t = 1 (s); t = 0,25 (s).

c) Xác định các thời điểm vật qua li độ x = –5 cm và x = 10 cm.

3) Phƣơng trình vận tốc

Ta có v = x’

cos( ) sin( ) cos( )2

sin( ) cos( ) sin( )2

x A t v A t A t

x A t v A t A t

Nhận xét : + Vận tốc nhanh pha hơn li độ góc π/2 hay φv = φx + π/2.

+ Véc tơ vận tốc v

luôn cùng chiều với chiều chuyển động (vật chuyển động theo chiều dương thì v > 0, theo

chiều âm thì v < 0).

+ Độ lớn của vận tốc được gọi là tốc độ, và luôn có giá trị dương.

+ Khi vật qua vị trí cân bằng (tức x = 0) thì tốc độ vật đạt giá trị cực đại là vmax = ωA, còn khi vật qua các vị trí

biên (tức x = A) thì vận tốc bị triệt tiêu (tức là v = 0) vật chuyển động chậm dần khi ra biên.

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4cos(4πt - π/3) cm.

a) Viết phương trình vận tốc của vật.

b) Xác định vận tốc của vật ở các thời điểm t = 0,5 (s) ; t = 1,25 (s).

c) Tính tốc độ của vật khi vật qua li độ x = 2 cm.

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 10cos(2πt - π/6) cm.

a) Viết phương trình vận tốc của vật.

b) Tính tốc độ của vật khi vật qua li độ x = 5 cm.

c) Tìm những thời điểm vật qua li độ 5 cm theo chiều âm của trục tọa độ.

4) Phƣơng trình gia tốc

Ta có a = v’ = x”

2 2

2 2

cos( ) sin( ) cos( )

sin( ) cos( ) sin( )

x A t v A t a A t x

x A t v A t a A t x

Vậy trong cả hai trường hợp thiết lập ta đều có a = –ω2x.

Nhận xét:

+ Gia tốc nhanh pha hơn vận tốc góc π/2, nhanh pha hơn li độ góc π, tức là φa = φv + π

2 = φx + π.

+ Véc tơ gia tốc a

luôn hướng về vị trí cân bằng.

+ Khi vật qua vị trí cân bằng (tức x = 0) thì gia tốc bị triệt tiêu (tức là a = 0), còn khi vật qua các vị trí biên

(tức x = A) thì gia tốc đạt độ lớn cực đại amax = ω2A.

Từ đó ta có kết quả:

Aa

Av

2

max

max →

max

max

max

vA

v

a

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 2cos(πt + π/6) cm. Lấy π2 = 10.

a) Viết phương trình vận tốc, gia tốc của vật.

b) Xác định vận tốc, gia tốc của vật ở thời điểm t = 0,5 (s).

c) Tính tốc độ cực đại, gia tốc cực đại của vật.

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa có phương trình x = 2cos(10πt + π/4) cm.



a) Viết phương trình vận tốc, phương trình gia tốc của vật.

b) Tính li độ, vận tốc, gia tốc của vật ở các thời điểm t = 0 và t = 0,5 (s).

c) Xác định các thời điểm vật qua li độ x = 2 cm theo chiều âm và x = 1 cm theo chiều dương.


a) Viết biểu thức của vận tốc, gia tốc của vật.

b) Tính vận tốc, gia tốc của vật tại thời điểm t = 0,5 (s) và t = 2 (s).

c) Khi vật có li độ x = 4 cm thì vật có tốc độ là bao nhiêu?

d) Tìm những thời điểm vật qua li độ x = 5 3 cm.

III. HỆ THỨC LIÊN HỆ TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

Hệ thức liên hệ x, v:

Do x và v vuông pha với nhau nên ta luôn có 1v

v

x

x2

max

2

max

1

A

v

A

x22

2

2

2

(1)

Nhận xét:

+ Từ hệ thức (1) ta thấy đồ thị của x, v là đường elip nhận các bán trục là A và ωA

+ Khai triển (1) ta được một số hệ thức thường dung

22

2

2

xAv

vxA

+ Tại hai thời điểm t1; t2 vật có li độ, tốc độ tương ứng là x1; v1 và x2; v2 thì ta có 2

2

2

1

2

1

2

2

xx

vv

Hệ thức liên hệ a, v:

Do a và v vuông pha với nhau nên ta luôn có 1a

a

v

v2

max

2

max

1

A

a

A

v24

2

22

2

(2)

Từ hệ thức (2) ta thấy đồ thị của x, v là đường elip nhận các bán trục là ωA và ω2A.

Chú ý:

+ Thông thường tròn bài thi ta không hay sử dụng trực tiếp công thức (2) vì nó không dễ nhớ. Để làm tốt trắc

nghiệm các em nên biến đổi theo hướng sau:

2

2

2

ax

vxA

2

2

4

2 va

+ Tại hai thời điểm t1; t2 vật có gia tốc, tốc độ tương ứng là a1; v1 và a2; v2 thì ta có công thức 2

2

2

1

2

1

2

2

vv

aa

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 5cos(ωt + π/3) cm. Lấy π2 = 10.

a) Khi vật qua vị trí cân bằng có tốc độ 10π (cm/s). Viết biểu thức vận tốc, gia tốc của vật.

b) Tính tốc độ của vật khi vật có li độ 3 (cm).

c) Khi vật cách vị trí cân bằng một đoạn 5 2

2 (cm) thì vật có tốc độ là bao nhiêu?

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với biên độ A, tần số f. Tìm tốc độ của vật ở những thời điểm vật có li độ

a) x = 2

2A

b) x = -2

3A

c) x = A

2




a) Viết biểu thức của vận tốc, gia tốc của vật.

b) Tính vận tốc, gia tốc của vật tại thời điểm t = 0,5 (s) và t = 2 (s).

c) Khi vật có li độ x = 2 cm thì vật có tốc độ là bao nhiều?

d) Tìm những thời điểm vật qua li độ x = 2 2 cm theo chiều âm.

IV. CHU KỲ, TẦN SỐ TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với biên độ 10 cm. Trong khoảng thời gian 90 giây, vật thực hiện được 180

dao động. Lấy π2 = 10.

a) Tính chu kỳ, tần số dao động của vật.

b) Tính tốc độ cực đại và gia tốc cực đại của vật.

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa có vmax = 16π (cm/s); amax = 6, 4 (m/s2 ). Lấy π

2 = 10.

a) Tính chu kỳ, tần số dao động của vật.

b) Tính độ dài quỹ đạo chuyển động của vật.

c) Tính tốc độ của vật khi vật qua các li độ x = - A

2 ; x =

A 3

2

Ví dụ 3: Một vật dao động điều hòa có gia tốc cực đại là amax = 18 m/s2 và khi vật qua vị trí cân bằng có tốc độ

là 3 m/s. Tính:

a) tần số dao động của vật.

b) biên độ dao động của vật.

V. CÁC DAO ĐỘNG CÓ PHƢƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT

1) Dao động có phƣơng trình x = xo + Acos(ωt + φ) với xo = const.

Ta có x = x0 + Acos(ωt + φ)

X

xx 0 = Acos(t + ) X = Acos(t + )

Đặc điểm:

* Vị trí cân bằng: x = xo

* Biên độ dao động: A.

Các vị trí biên là X = A x = x0 A.

Tần số góc dao động là ω.

Biểu thức vận tốc và gia tốc tương ứng: ''xa

'xv

)cos(Aa

)sin(Av

2

2) Dao động có phƣơng trình x =Acos2(ωt + φ)

Sử dụng công thức hạ bậc lượng giác ta có

x =Acos2(ωt + φ) =

2

)2t2cos(1A

= )2t2cos(

2

A

2

A

Đặc điểm:

Vị trí cân bằng: x = A/2

Biên độ dao động: A/2.

Tần số góc dao động là 2ω.

Biểu thức vận tốc và gia tốc tương ứng: AtAa

tAxv

22 )sin(

)sin('

3) Dao động có phƣơng trình x = Asin2(ωt + φ)

Sử dụng công thức hạ bậc lượng giác ta có

x = Acos2(t+) = A.

2

)2t2cos(1 =

A

2 -

A

2cos(2t + 2)

Đặc điểm:

+Vị trí cân bằng: x = A/2

+ Biên độ dao động: A/2.

+Tần số góc dao động là 2ω.



Biểu thức vận tốc và gia tốc tương ứng: )cos(2

)sin('

2

tAa

tAxv

Ví dụ 1: Một vật dao động với phương trình x = 2cos2(2t + /6) cm. Lấy

2 = 10

a) Xác định biên độ, chu kỳ, tần số dao động của vật.

b) Tính li độ, vận tốc, gia tốc của vật ở thời điểm t = 0,25 (s).

Ví dụ 2: Xác định biên độ, chu kỳ, tần số, li độ, vận tốc, gia tốc của vật ở t = 0,5 (s).

a) x = 4cos(2πt + π/2) + 3 cm.

b) x = 2cos2(2πt +

3) cm

c) x = 5sin2(πt +

6 ) cm

VI.CÁCH LẬP PHƢƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA Giả sử cần lập phương trình dao động điều hòa có dạng x = Acos(ωt + φ). Để viết phương trình dao động

chúng ta cần tìm ba đại lượng A, ω, φ.

Xác định A Xác định ω Xác định φ

* A = 2

___ daoquydaichieu

* A = 2

22

vx

* A = maxv

* fT

22

* 22 xA

v

*

max

max

max

v

a

A

v

Tại t = 0:

sin

cos

0

0

Av

Ax

Giải hệ phương trình trên ta thu

được giá trị của góc

Chú ý:

* Với thể loại bài toán lập phương trình thì chúng ta cần xác định gốc thời gian (t = 0), nếu đề bài không yêu

cầu thì để cho đơn giản hóa bài toán chúng ta chọn gốc thời gian lúc vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương.

* Khi thả nhẹ để vật dao động điều hòa thì ta hiểu là vận tốc ban đầu vo = 0, còn nếu cho vận tốc ban đầu vo 0

thì chúng ta áp dụng hệ thức liên hệ để tìm các thông số khác.

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T = 2 (s) và biên độ dao động là 2 (cm). Viết phương trình dao

động trong các trường hợp sau?

a) Khi t = 0 thì vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương.

b) Khi t = 0 thì vật qua vị trí có li độ x = –1 cm theo chiều âm.

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T và biên độ dao động A. Biết rằng trong 2 phút vật thực hiện

được 40 dao động toàn phần và chiều dài quỹ đạo chuyển động của vật là 10 cm. Viết phương trình dao động

trong các trường hợp sau?

a) Gốc thời gian khi vật qua li độ 2,5 cm theo chiều âm.

b) Gốc thời gian khi vật qua li độ x = - 5 3

2 cm theo chiều dương của trục tọa độ.

Ví dụ 3: Lập phương trình dao động của một vật điều hòa trong các trường hợp sau:

a) Vật có biên độ 4 cm, chu kỳ dao động là 2 (s) và thời điểm ban đầu vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm.

b) Vật có biên độ A = 5 cm, tần số dao động là 10 Hz, gốc thời gian được chọn là lúc vật qua li độ x = - 2,5 2

cm theo chiều âm.

c) Vật thực hiện 60 dao động trong 2 phút. Khi vật qua li độ x = 2 cm thì vật có tốc độ 3π cm/s. Chọn gốc thời

gian là lúc vật có li độ cực đại.

d) Thời điểm ban đầu vật có li độ x0 = - 2 cm, vận tốc v0 = - 2 cm/s và gia tốc a = π2 2 cm/s

2

e) Chu kỳ dao động T = 1 (s). Thời điểm ban đầu vật có li độ x0 = -5 2 cm, vận tốc v0 = -10 2 cm/s.

Ví dụ 4: Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 3 cm, chu kỳ dao động T = 0,5 (s). Tại thời điểm t = 0, vật

đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm.

a) Viết phương trình dao động của vật.



b) Vật có li độ x = 1,5 cm và x = 3 cm vào những thời điểm nào?

Ví dụ 5: Một vật nhỏ dao động điều hoà dọc theo trục Ox, khi vật có li độ x1 = 1 cm thì có vận tốc v1 = 4 cm/s,

khi vật có li độ x2 = 2 cm/s thì vật có vận tốc v2 = –1 cm/s.

a) Tìm tần số góc ω và biên độ dao động A của vật.

b) Viết phương trình dao động của vật, biết rằng tại thời điểm ban đầu vật có v0 = 3,24 cm/s và x0 > 0.

Ví dụ 6: Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Ox và có vị trí cân bằng O. Tần số góc của dao động là

3 rad/s. Lúc đầu chất điểm có toạ độ x0 = 4 cm và vận tốc v0 = 12 3 cm/s. Hãy viết phương trình dao động của

chất điểm và tính tốc độ của chất điểm khi nó qua vị trí cân bằng.

PHƢƠNG PHÁP ĐƢỜNG TRÒN LƢỢNG GIÁC

Các bƣớc sử dụng đƣờng tròn lƣợng giác để giải bài toán tìm thời gian:

+ Tính chu kỳ dao động từ phương trình dao động.

+ Nếu đề bài cho các tọa độ x1; x2 thì tìm các điểm M, N tương ứng trên đường tròn có hình chiếu lên xx’ là

x1; x2 rồi xác định góc quét α = MON bằng phương pháp hình họα

ω =

360

'T

2

T

;

trong đó α' tính bằng độ.

+ Nếu đề bài cho tọa độ đầu x1 và hỏi tọa độ x2 sau đó một khoảng thời gian t thì :

- xác định góc quét α = ω.Δt

- từ x1 đã cho, tìm được điểm M là có hình chiếu lên trục là x1 rồi cho M chạy trên đường tròn theo chiều đã

xác định được, điểm dừng là M’ khi M quét đủ góc α đã cho. Với vị trí trên đường tròn là M’ tìm được, ta chiếu

tiếp tục vào trục xx’ để tìm được li độ x2. Chú ý đến dấu của x2 phụ thuộc vị trí M’ nằm ở trên hay dưới trục

ngang.

Chú ý: Nếu tại thời điểm t vật có li độ x và đang tăng tức là vật chuyển động theo chiều dương, còn đang giảm

tức là

đi theo chiều âm. Việc tăng, giảm ở đây là sự tăng giảm về mặt giá trị.

Ví dụ 1. Vật dao động điều hòa với phương trình x = 10cos(5πt + π

3) cm.

a) Tại thời điểm t vật có li độ 5 cm, xác định li độ của vật sau đó 1

30 s

b) Tại thời điểm t vật có li độ - 5 2 cm, xác định li độ của vật sau đó 2

15 (s)

c) Tại thời điểm t vật có li độ - 5 3 cm, xác định li độ của vật sau đó 1

20 (s)


6)cm.

a) Tại thời điểm t vật có li độ –4 cm và đang tăng, xác định li độ của vật sau đó 0,125 s.

b) Tại thời điểm t vật có li độ 4 2 cm và đang giảm, xác định li độ của vật sau đó 0,3125 s.

c) Tại thời điểm t vật có li độ -4 3 cm và đang giảm, xác định li độ của vật sau đó 0,125 s.

d) Tại thời điểm t vật có li độ 4 cm và đang tăng, xác định li độ của vật sau đó 11

96 s.

Ví dụ 3. Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 5cos(4πt -

6) cm. Kể từ khi vật bắt đầu dao động, tìm

khoảng thời gian nhỏ nhất cho đến khi

a) vật qua li độ x = 2,5 cm lần thứ ba



b) vật qua li độ x = –2 cm lần thứ hai.

c) vật qua li độ x = 1 cm lần ba.

d) vật qua vị trí mà vận tốc triệt tiêu lần thứ ba

e) vật qua vị trí có a = 3

a max

Ví dụ 4. Vật dao động điều hòa với phương trình x = 10cos(4πt -

6) cm

a) Tại thời điểm t vật có li độ –5 cm và đang giảm, xác định li độ của vật sau đó 7

24 (s)

b) Tại thời điểm t vật có li độ 5 3 cm và đang tăng, xác định li độ của vật sau đó 11

48 (s)

c) Tại thời điểm t vật có li độ -5 2 cm và đang tăng, xác định li độ của vật sau đó 5

48 (s)

d) Tại thời điểm t vật có li độ 4 cm và đang giảm, xác định li độ của vật sau đó 2

5 (s)

e) Tìm khoảng thời gian ngắn nhất từ khi vật dao động đến thời điểm vật qua li độ x = 3 cm lần ba.

Ví dụ 5. Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 10cos(ωt +

3) cm. Trong một chu kỳ dao động,

khoảng thời gian mà tốc độ của vật v > 2

v3 max là 0,5 s. Tìm khoảng thời gian ngắn kể từ khi vật dao động đến

khi vật qua vị trí có độ lớn gia tốc cực đại?

A. 0,25 s B. 0,4 s C. 0,5 s D. 0,75 s

Ví dụ 6. Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4cos(ωt -

3) cm. Trong một chu kỳ dao động, khoảng

thời gian mà vật có độ lớn gia tốc a > 2

a max là 0,4 s. Tìm khoảng thời gian ngắn kể từ khi vật dao động đến khi

vật qua vị trí có tốc độ = 2

vmax lần thứ hai?

A. 0,3 s B. 0,4 s C. 0,5 s D. 0,8 s

Ví dụ 7. Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 2cos(ωt +

6) cm. Trong một chu kỳ dao động,

khoảng thời gian mà vật có độ lớn gia tốc a > 300 3 cm/s2 là T/3. Tần số dao động của vật là

A. 2,56 Hz B. 2,76 Hz C. 3,25 Hz D. 2,42 Hz

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài tổng quát 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4cos(2πt +

6) cm

Câu 1: Khi vật cách VTCB 2 cm thì vật có gia tốc bằng

Câu 2: Vận tốc của vật bị triệt tiêu tại thời điểm nào?

Câu 3: Khoảng thời gian ngắn nhất mà vật đi từ li độ x = –2 cm đến li độ x = 2 3 cm là

Câu 4: Kể từ khi vật dao động, vật qua VTCB lần thứ ba vào thời điểm nào?

Câu 5: Tại thời điểm t vật có li độ x = –2 cm và đang chuyển động nhanh dần, sau đó 3/8 (s) thì vật có li độ ?

Câu 6: Tại thời điểm t vật có li độ x = 2 3 cm và đang giảm thì sau đó 4/5 (s) vật có li độ?



Câu 7: Lần thứ 2015 vật qua vị trí có li độ 2 3 cm theo chiều âm là

Bài tổng quát 2: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 5cos(4πt -

3) cm

Câu 8: Vật có vân tốc v = - 10π cm/s lần thứ ba vào thời điểm nào?

Câu 9: Tìm khoảng thời gian ngắn nhất mà vật đi từ x = - 2,5 cm → x = -2,5 2 cm ?

Câu 10: Tại thời điểm t vật có li độ x = 2,5 cm và đang tăng, sao đó 11/6 (s) thì vật có li độ bao nhiêu?

Câu 11: Tại thời điểm t vật có vận tốc v = 10π 3 cm/s và đang chuyển động nhanh dần, sau đó 3/8 (s) vật có li

độ là

Câu 12: Tại thời điêm t vật có gia tốc a = 4 m/s2 và chuyển động chậm dần, sau đó 4/9 (s) vật có vận tốc bằng

Bài tổng quát 3: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4 2cos(ωt +

6) cm. Trong 1 chu kỳ, khoảng

thời gian mà vật cách vị trí cân bằng không quá 2 2 cm là 1/6 (s)

Câu 13: Tần số dao động của vật là

Câu 14: Tìm khoảng thời gian ngắn nhất kể từ khi vật dao động đến khi vật qua li độ x = -2 2 cm lần thứ hai?

Câu 15: Vật qua li độ x = 2 6 cm theo chiều âm lần 2014 vào thời điểm nào?

Câu 16: Tại thời điểm t vật qua li độ x = 2 cm và đang giảm thì sau đó 3/5 (s) vật có vận tốc bằng

Câu 17: Tại thời điểm t vật có li độ x = –3 cm và đang tăng thì sau đó 4/11 (s) vật có gia tốc bằng

Câu 18. Vật dao động điều hòa theo phương trình x = 4cos(8πt – π/6) cm. Thời gian ngắn nhất vật đi từ x1 = -

2 3 cm theo chiều dương đến vị trí có li độ x1 = 2 3 cm theo chiều dương là

A. 1/16 (s). B. 1/12 (s). C. 1/10 (s) D. 1/20 (s)

Câu 19. Một vật dao động điều hòa với chu kì T = 2 s. Thời gian ngắn nhất để vật đi từ điểm M có li độ x = A/2

đến điểm biên dương x = +A là

A. 0,25 (s). B. 1/12 (s) C. 1/3 (s). D. 1/6 (s).

Câu 20: Vật dao động điều hòa, gọi t1 là thời gian ngắn nhất vật đi từ VTCB đến li độ x = A/2 và t2 là thời gian

vật đi từ vị trí li độ x = A/2 đến biên dương. Ta có

A. t1 = 0,5t2 B. t1 = t2 C. t1 = 2t2 D. t1 = 4t2

Câu 21: Con lắc lò xo dao động với biên độ A. Thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí cân bằng đến điểm M có

li độ x = 2

2Alà 0,25(s). Chu kỳ của con lắc

A. 1 s B. 1,5 s C. 0,5 s D. 2 s

Câu 22: Cho một vật dao động điều hòa có phương trình chuyển động x = 10cos(2πt -

6) cm. Vật đi qua vị trí

cân bằng lần đầu tiên vào thời điểm x

A. 1/3 s. B. 1/6 s. C. 2/3 s. D. 1/12 s.

Câu 23: Một vật dao động điều hoà với li độ x = 4cos(6

5

2

t

) cm trong đó t tính bằng (s).Vào thời điểm

nào sau đây vật đi qua vị trí x = 2 3 cm theo chiều dương của trục toạ độ?

A. t = 1 s. B. t = 2 s. C. t = 16/3 s. D. t = 1/3 s.

Câu 24: Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 10cos(2πt + π/4) cm thời điểm vật đi qua vị trí cân

bằng lần thứ 3 là

A. 13/8 s. B. 8/9 s. C. 1 s. D. 9/8 s.



Câu 25: Vật dao động điều hòa có phương trình x = 5cos(πt) cm. Vật qua VTCB lần thứ 3 vào thời điểm

A. 2,5 s. B. 2 s. C. 6 s. D. 2,4 s

Câu 26: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = Acos(2T

t2

). Thời gian ngắn nhất kể từ lúc bắt đầu

dao động tới khi vật có gia tốc bằng một nửa giá trị cực đại là

A. t = T/12 B. t = T/6 C. t = T/3 D. t = 5T/12

Câu 27. Một chất điểm dao động dọc theo trục Ox. Phương trình dao động là x = 2cos(2πt + π) cm. Thời gian

ngắn nhất vật đi từ lúc bắt đầu dao động đến lúc vật có li độ x = 3 cm là

A. 2,4 s B. 1,2 s C. 5/6 s D. 5/12 s

Câu 28. Một chất điểm dao động dọc theo trục Ox. Phương trình dao động là x = 5cos(8πt - 2π/3) cm. Thời gian

ngắn nhất vật đi từ lúc bắt đầu dao động đến lúc vật có li độ x = 2,5 cm là

A. 3/8 s B. 1/24 s C. 8/3 s D. Đáp số khác

Câu 29. Vật dao động điều hòa có phương trình x = 4cos(2πt – π) cm. Vật đến biên dương lần thứ 5 vào thời

điểm

A. 4,5 s. B. 2,5 s. C. 2 s. D. 0,5 s.

Câu 30. Một vật dao động điều hòa có phương trình x = 6cos(πt – π/2) cm. Thời gian vật đi từ VTCB đến lúc

qua điểm có x = 3 cm lần thứ 5 là

A. 61

6 s. B.

9

5 s. C.

25

6 s. D.

37

6 s.

Câu 31. Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình x = 2cos(πt - π/2) cm. Thời điểm vật đi qua li độ

x = 3 cm theo chiều âm lần đầu tiên kể từ thời điểm t = 2 s là

A. 8

3 s. B.

4

3 s. C.

2

3 s. D.

10

3 s.

Câu 32. Một vật dao động điều hoà với phương trình x =10sin(62

t

) cm. Thời gian kể từ lúc bắt đầu khảo

sát đến lúc vật qua vị trí có li độ x = - 5 3 cm lần thứ ba là

A. 6,33 s B. 7,24 s C. 9,33 s D. 8,66 s

Câu 33: Một con lắc lò xo dao động với biên độ A, thời gian ngắn nhất để con lắc di chuyển từ vị trí có li độ x 1

= –A đến vị trí có li độ x2 = A/2 là 1s. Chu kì dao động của con lắc là

A. 1/3 s. B. 3 s. C. 2 s. D. 6 s.

Câu 34: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4cos(ωt - π/3) cm. Trong một chu kỳ dao động,

khoảng thời gian mà vật có độ lớn gia tốc a > 2

a max là 0,4 s. Tìm khoảng thời gian ngắn kể từ khi vật dao động

đến khi vật qua vị trí có tốc độ v = 2

vmax lần thứ ba?

A. 0,3 s B. 0,4 s C. 0,5 s D. 0,8 s

Câu 35: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 5cos(ωt +π/3) cm. Trong một chu kỳ dao động,



khi vật qua vị trí có độ lớn gia tốc cực đại?

A. 0,25 s B. 0,4 s C. 0,5 s D. 0,6 s

Câu 36: Một vật dao động điều hòa với chu kỳ 0,5 s và biên độ 4 cm. Tại thời điểm t vật có li độ 2 cm và đang



tăng. Tìm li độ của vật sau đó 1,2 s?

A. 0,42 cm B. 0,32 cm C. 2,42 cm D. –0,22 cm

Câu 37: Một vật dao động điều hòa với chu kỳ 0,5 s và biên độ 5 cm. Tại thời điểm t vật có li độ 2 cm và đang

tăng. Tìm vận tốc của vật đó 0,8 s?

A. 33,5 cm/s B. –33,5 cm/s C. 31,8 cm/s D. –31,8 cm/s

CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

DẠNG 1: BÀI TOÁN TÌM THỜI GIAN CHẤT ĐIỂM CHUYỂN ĐỘNG

(Trục tổng hợp thời gian)

Ví dụ 1. Một vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kỳ T. Khoảng thời gian ngắn nhất khi vật

a) đi từ VTCB đến li độ x = - A/2 là……………

b) đi từ VTCB đến li độ x = 2

3Alà………

c) đi từ li độ x = 2

3A đến li độ x = -

A

2 là………….

d) đi từ li độ x = - A

2 đến li độ x =

2

2Alà……

e) đi từ VTCB đến li độ x = 2

2Alần thứ hai là …………

f) đi từ li độ x = - 2

2Ađến li độ x = A là ……..

Ví dụ 2. Một vật dao động điều hòa với phương trình x = Acos( 2π

Tt +

3). Kể từ khi vật bắt đầu dao động, tìm

khoảng thời gian nhỏ nhất cho đến khi vật qua li độ

a) x = 2

3Alần thứ hai.



b) x = - 2

2Alần thứ ba.

c) x = - A

2 lần thứ tư.

Ví dụ 3. Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 10 cm. Tính chu kỳ và tần số dao động của vật biết rằng

a) khi vật đi từ VTCB đến li độ x = 2

3Ahết thời gian ngắn nhất là 2 (s).

b) đi từ VTCB đến li độ x = A hết thời thời gian ngắn nhất là 0,5 (s).

c) khoảng thời gian ngắn nhất khi vật đi từ li độ x = 2

3Ađến li độ x = A là 4 (s).

d) khi vật đi từ li độ x = - A

2 đến li độ x =

2

3Alần thứ 3 hết thời gian ngắn nhất là 15 (s).

e) ban đầu vật ở li độ x = A/2, khoảng thời gian ngắn nhất mà vật đi đến li độ x = A lần thứ hai là 4 (s).

Ví dụ 4. Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = Asin(ωt + φ) cm. Xác định tần số góc ω, biên độ A

của dao động biết rằng, trong khoảng thời gian 1 (s) đầu tiên, vật đi từ li độ x0 =0 đến li độ x = 2

3Atheo chiều

dương và tại điểm cách VTCB một khoảng 2 cm vật có vận tốc v = 40π 3 cm/s.

Ví dụ 5. Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 10cos(4πt - π/3) cm. Kể từ khi vật bắt đầu dao động,

tìm khoảng thời gian nhỏ nhất cho đến khi

a) vật qua li độ x = 5 cm lần thứ tư.

b) vật qua li độ x = –5 cm lần thứ năm.

c) vật qua li độ x = 5 cm lần thứ tư.

d) vật qua vị trí mà vận tốc triệt tiêu lần thứ tư.

e) vật qua vị trí mà vận tốc bằng nửa vận tốc cực đại lần thứ sáu.

Ví dụ 6. Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4cos(6πt - π/4) cm. Kể từ khi vật bắt đầu dao động,

thời điểm vật qua

a) vị trí cân bằng lần thứ 2014 là

b) vị trí biên x = 4 lần thứ 2020 là

c) vị trí x = –2 lần thứ 2010 là

d) vị trí biên x = 2 lần thứ 2050 là

Ví dụ 7. Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 10cos(ωt + π/3) cm. Trong một chu kỳ dao động,



khi vật qua vị trí có độ lớn gia tốc bằng nửa gia tốc cực đại?

Ví dụ 8. Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4cos(ωt - π/3) cm. Trong một chu kỳ dao động,

khoảng thời gian mà vật có độ lớn gia tốc a > 2

a max là 0,4 s. Tìm khoảng thời gian ngắn kể từ khi vật dao động

đến khi vật qua vị trí có tốc độ v >2

v3 max lần thứ hai?

Ví dụ 9. Một vật dao động điều hòa với phương trình x =5cos(ωt + π/3) cm. Trong một chu kỳ dao động,



khoảng thời gian mà tốc độ của vật v < 2


khi vật qua vị trí có độ lớn gia tốc bằng nửa gia tốc cực đại?

Ví dụ 10. Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 10cos(ωt - π/6) cm. Trong một chu kỳ dao động,


vmax là 0,6 s. Tìm khoảng thời gian ngắn kể từ khi vật dao động đến khi

vật qua vị trí có tốc độ v = 2

v3 max lần thứ hai?

Ví dụ 11. Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 4cos(4πt - π/6) cm. Kể từ khi vật bắt đầu dao động,

vận tốc và gia tốc có giá trị dương trong khoảng thời gian ngắn nhất như thế nào?

Ví dụ 12. Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 5cos(2πt +π/3) cm. Kể từ khi vật bắt đầu dao động,

vận tốc và gia tốc có giá trị âm trong khoảng thời gian ngắn nhất như thế nào?

Ví dụ 13. Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 10sin(5πt - π/2) cm. Xác định thời điểm vận tốc

của vật có độ lớn bằng 25 2π cm/s lần thứ nhất, lần thứ hai và lần thứ ba?

Ví dụ 14. Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 10sin(10πt) cm. Xác định thời điểm vận tốc của vật

có độ lớn bằng nửa vận tốc cực đại lần thứ nhất, lần thứ hai?

Ví dụ 15. Cho vật dao động điều hoà với phương trình x =4cos(10πt + π/3) cm

a) Tìm những thời điểm mà vật qua điểm có toạ độ x1 = 2 cm.

b) Tìm thời điểm đầu mà vật qua điểm có toạ độ x1 = –2 cm.

c) Tìm thời điểm vật qua điểm có toạ độ x = 2 2 cm lần thứ 33.

d) Tìm thời điểm vật qua điểm có toạ độ x = - 2 2 cm lần thứ 3 theo chiều dương.

Ví dụ 16. Một chất điểm dao động điều hoà với phương trình x = 4cos(10πt - π/6) cm

a) Viết biểu thức của vận tốc và gia tốc của chất điểm theo t?

b) Tìm li độ, vận tốc, gia tốc của chất điểm tại thời điểm t = 2 s?

c) Tại những thời điểm nào li độ của chất điểm bằng 2 cm.

d) Tại những thời điểm nào vận tốc của chất điểm bằng 0.

e) Tính vận tốc cực đại của chất điểm?

f) Tính vận tốc của chất điểm khi có li độ 2 cm.

Ví dụ 17. Vật dao động điều hòa với pt x = 2cos(2πt +π/6) cm. Tìm thời điểm lần 2007 vật qua li độ x = –1 cm?

Ví dụ 18. Vật dao động điều hòa với phương trình x = 2cos(10πt - π/3) cm. Tìm thời điểm lần thứ 10 vật qua li

độ x = 1 cm và đang đi về VTCB?

Ví dụ 19. Vật dao động điều hòa với phương trình x = 4cos(2πt + π/3) cm. Tính từ t = 0, khi vật đi được quãng

đường17 cm thì vật có tốc độ, li độ bằng bao nhiêu?

Ví dụ 20. Vật dao động điều hòa với phương trình x = 2cos(2πt - 2π

3) cm. Tính từ t = 0, lần 2008 vật qua li độ x

= – 1 cm và đang có vận tốc v < 0 ở thời điểm nào?

Ví dụ 21. (Trích đề thi ĐH 2010). Một vật dao động điều hòa với biên độ 5 cm. Biết rằng trong một chu kỳ

dao động, khoảng thời gian độ lớn gia tốc không vượt quá 100 cm/s2 là

T

3. Tìm tần số dao động của vật?

Ví dụ 22. Một vật dao động điều hòa với biên độ 4 cm. Biết rằng trong một chu kỳ dao động, khoảng thời

mà tốc độ của vật không lớn hơn 8π 3 cm/s là 2T

3. Tính chu kỳ dao động của vật?



Ví dụ 23. Một dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 10 cm. Biết trong một chu kì khoảng thời gian để vật

nhỏ của con lắc có độ lớn vận tốc không vượt quá 5π cm/s là T/3. Tốc độ cực đại có giá trị bằng bao nhiêu?

MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC VỀ THỜI GIAN

DẠNG 1. Xác định thời điểm vật qua li độ x0 nào đó theo chiều xác định lần thứ N

PP giải:

+ Giải phương trình Acos(ωt + φ) = x0

...t

...t

...t0v;0v t

+ Chọn giá trị của k ta tìm được thời gian cần tìm.

Chú ý: Chúng ta cũng có thể sử dụng trục thời gian giải các bài toán như thế này!

Ví dụ 1. Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4cos(2πt + 2π

3) cm.

a) Vật qua li độ x = 2 cm theo chiều âm lần thứ 2013 vào thời điểm nào?

b) Vật qua li độ x = - 2 2 cm theo chiều dương lần thứ 205 vào thời điểm nào?

Ví dụ 2. Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 5cos(4πt - π/6)cm.

a) Vật qua li độ x = 2,5 2 cm theo chiều dương lần thứ 105 vào thời điểm nào?

b) Vật qua li độ x = - 2,5 3 cm theo chiều âm lần thứ 2015 vào thời điểm nào?

Ví dụ 3: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 10cos(2πt + π/2) (cm). Tìm thời điểm vật qua vị trí

có li độ x = 5 cm lần thứ hai theo chiều dương.

Ví dụ 4: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 4cos(4πt + π/6) (x tính bằng cm và t tính bằng s). Kể

từ t = 0, vật qua vị trí x = 2 cm lần thứ ba theo chiều dương vào thời điểm nào ?

DẠNG 2. Xác định thời điểm vật qua li độ x0 nào đó lần thứ N

PP giải:


...t

...t

...t

...t

min2

min1t

+ Lập tỉ số N

2 = n + dư, nếu

2

1

tnTt2du

tnTt1du

Ví dụ 1. Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 2cos

4

3

3

t2cm.

a) Vật qua li độ x = 2 cm lần thứ 2017 vào thời điểm nào?

Đ/s: t2017 = 3025,5; t2018 = 3026,25

b) Vật qua li độ x = - 3 cm lần thứ 2020 vào thời điểm nào?

Đ/s: t2020 = 3027,625

Ví dụ 2. (ĐH 2011) Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4 cos(2πt

3)cm. Kể từ t = 0, lần thứ 2011

vật qua li độ x = - 2 cm tại thời điểm

A. 3015 s B. 6030 s C. 3016 s D. 6031 s

Ví dụ 3: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 10cos(10πt + π/2) (cm). Xác định thời điểm vật qua

vị trí x = 5 cm lần thứ 2008.

Ví dụ 4: Vật dao động điều hòa theo phương trình x = 5cos(πt) (cm) sẽ qua vị trí cân bằng lần thứ ba (kể từ lúc

t =0) vào thời điểm nào ?



Ví dụ 5: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 4cos(4πt + π

6) (x tính bằng cm và t tính bằng s). Kể

từ t = 0, vật qua vị trí x = 2 cm lần thứ 2009 vào thời điểm là bao nhiêu ?

DẠNG 3. Xác định thời điểm vật cách vị trí cân bằng một khoảng bằng b cho trƣớc

PP giải:


...t

...t

...t

...t

...t

...t

...t

...t

min4

min3

min2

min1

t

+ Lập tỉ số N

2 = n + dư, nếu

4

3

2

1

tnTt4du

tnTt3du

tnTt2du

tnTt1du

Ví dụ 1. (ĐH 2012) Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 5cos(4πt + π

3 )cm. Kể từ t = 0, lần thứ

2019 vật cách vị trí cân bằng 2,5 2 là

Đ/s: t2019 = 12113

48 s

Ví dụ 2. (ĐH 2014) Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4cos(3πt + π

6 )cm. Kể từ t = 0, lần thứ 202

vật cách vị trí cân bằng một đoạn 2 cm là?

Đ/s: t202 = 33,5 s

Ví dụ 3. (ĐH 2014) Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 10cos(2πt - π

4 ) cm. Kể từ t = 0, lần thứ

2013 vật có tốc độ 10π cm/s là?

Đ/s: t2013 = 12073

24 s

BÀI TOÁN VỀ QUÃNG ĐƢỜNG TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

SƠ ĐỒ GIẢI TOÁN

1) Lý thuyết cơ bản:

* Quãng đường vật đi được trong 1T là S = 4A → quãng đường vật đi được trong nT là S = n.4A

* Quãng đường vật đi được trong T/2 là S = 2A → quãng đường vật đi được trong nT/2 là S = n.2A

* Quãng đường vật đi được trong T/4 là S = A nếu vật bắt đầu đi từ {x = 0; x = A} và S ≠ A khi vật bắt đầu từ

các vị trí {x ≠ 0; x ≠ A}

2) Phương pháp giải:

Giả sử một vật dao động điều hòa với phương trình x = Acos(ωt + φ) cm. Tính quãng đường vật đi được từ

thời điểm t1 đến thời điểm t2

*Tìm chu kỳ dao động: T = 2π

ω

* Phân tích: t = t2 - t1 t

T = n + k; (0 < k <1) t = nT + kT = nT + t’

Khi đó quãng đường vật đi được là S = n.4A + S’



* Nếu quá trình phân tích t chẵn, cho ta các kết quả là nT; nT/2 hay nT/4 thì ta có thể dùng các kết quả ở

trên để tính nhanh. Trong trường hợp t không được chẵn, ta thực hiện tiếp bước sau

+ Tính li độ và vận tốc tại các thời điểm t1; t2:

)sin(

)cos(;

)sin(

)cos(

22

22

11

11

tAv

tAx

tAv

tAx

+ Việc tính S’ chúng ta sử dụng hình vẽ sẽ cho kết quả nhanh gọn nhất.

Ví dụ 1. Vật dao động điều hòa với phương trình x = 4cos(ωt +

3) cm. Khoảng thời gian ngắn nhất kể từ khi

vật dao động đến khi gia tốc đổi chiều hai lần là 7

16 s.

a) Tìm chu kỳ dao động của vật.

b) Tính quãng đường vật đi được từ t = 0 đến t = 2,5 s

Ví dụ 2. Vật dao động điều hòa với phương trình x =10cos(4πt - π/6)cm. Tính quãng đường vật đi được

a) Từ t = 0 đến t = 5

6 s b) Từ t =

2

3 s đến t =

13

4

Ví dụ 3. Vật dao động điều hòa với phương trình x = 5cos(5πt +π/3) cm. Tính quãng đường vật đi được

từ t = 1

5 s đến t =

11

8 s

Lời giải

Ta có: T = 0,4 s; Δt = 47

40 =

47

16T = 2T +

15

16T → S = 8A +

S’

+ Tại t = 1

5 ta có

0v

5,2x1

+ Tại t = 11

8 s ta có

0v

97,3x1

Quãng đường đi của vật như trên hình vẽ, ta dễ dàng tính được S = 8.5 + 7,5 + 10 + (5 – 3,97) = 58,53 cm

Ví dụ 4. Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 5sin(2πt) cm. Tính quãng đường vật đi được từ lúc bắt

đầu dao động (t = 0) đến thời điểm

a) t = 5 (s).

b) t = 7,5 (s).

c) t = 11,25 (s).

Đáp số: a) S = 100 cm. b) S = 150 cm. c) S = 225 cm.

Ví dụ 5. Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 10cos(5πt) cm. Tính quãng đường vật đi được từ lúc

bắt đầu dao động (t = 0) đến thời điểm

a) t = 1 (s).

b) t = 2 (s).

c) t = 2,5 (s).

Đáp số: a) S = 100 cm b) S = 200 cm c) S = 250 cm

Ví dụ 6. Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 10sin(5πt + π/6) cm. Tính quãng đường vật đi được từ

lúc bắt đầu dao động (t = 0) đến thời điểm



a) t = 2 (s).

b) t = 2,2 (s).

c) t = 2,5 (s).

Đáp số: a) S = 200 cm b) S = 220 cm c) S = 246,34 cm

Ví dụ 7. Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 12cos(50t – π/2) cm. Tính quãng đường mà vật đi

được trong thời gian t = π

12 (s) , kể từ lúc bắt đầu dao động (t = 0).

Đáp số: S = 102 cm.

Ví dụ 8. Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 6cos(4πt – π/3) cm. Quãng đường vật đi được từ thời

điểm t1 = 2

3 (s) đến thời điểm t1 =

37

12 (s) là bao nhiêu?


Ví dụ 9. Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 2cos(2πt – π/12) cm. Quãng đường vật đi được từ thời

điểm t1 = 17

24 (s) đến thời điểm t2 =

25


Đáp số: S = 21 - 3 cm

Ví dụ 10. Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 8cos(4πt +π/6) cm. Tính quãng đường vật đi được từ

thời điểm t1 = 2,375 (s) đến thời điểm t2 = 4,75 (s).

Đáp số: S 149 cm.

Ví dụ 11. Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4cos(πt – π/2) cm. Tính quãng đường vật đi được

trong 2,25 (s) đầu tiên kể từ khi bắt đầu dao động (t = 0).

Đáp số: S = 16 + 2 2 cm

Ví dụ 12. Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 5cos(πt + 2π/3) cm. Quãng đường vật đi được từ thời

điểm t1 = 2 (s) đến thời điểm t2 = 19


Đáp số: S = 42,5 cm.

Ví dụ 13. Một vật dao động điều hòa, có phương trình là x = 5cos(2πt + π/6) cm.

a) Hỏi vào thời điểm nào thì vật qua li độ x = 2,5 cm lần thứ 2 kể từ lúc t = 0?

b) Lần thứ 2011 vật qua vị trí có li độ x = -2,5 cm là vào thời điểm nào?

c) Định thời điểm vật qua vị trí x = 2,5 cm theo chiều âm lần đầu tiên kể từ t = 0?

d) Tính quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 = 1 (s) đến thời điểm t2 = 3,5 (s) ?

Ví dụ 14. Vật dao động điều hòa với phương trình x = 10cos(2πt + π/6) cm.

Tính quãng đường vật đi được từ

a) t =0 → t = 11

6 (s).

b) t =0 → t = 7

3 (s).

c) t = 1

3 (s)→ t =

17

12 (s).

d) t = 1

2 (s)→ t =

17

8 (s).

Ví dụ 15. (Trích đề thi ĐH 2010).

Một vật dao động điều hòa với biên độ 5 cm. Biết rằng trong một chu kỳ dao động, khoảng thời gian mà độ lớn



gia tốc của vật không vượt quá 100 cm/s2

là T/3. Lấy π2

= 10, tính tần số dao động của vật.

Ví dụ 16. Một chất điểm dao động điều hòa trên trục tọa độ Ox với chu kì T = 1 s. Nếu chọn gốc tọa độ O là

VTCB thì sau khi chất điểm bắt đầu dao động được 2,5 s, chất điểm ở tọa độ x = 5 2 cm, đi theo chiều âm

của trục Ox và vận tốc đạt giá trị 10π 2 cm/s

a. Viết phương trình dao động của chất điểm.

b. Gọi M và N lần lượt là hai vị trí xa nhất của chất điểm ở hai bên điểm O. Gọi P là trung điểm của đoạn OM,

Q là trung điểm của đoạn ON. Hãy tính vận tốc trung bình của chất điểm trên đoạn đường từ P tới Q. Lấy π2 =

10.

c. Tính vận tốc của vật khi vật có li độ x = 6 cm

d. Thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí x1 = 5 cm đến vị trí có gia tốc a = 2 3 m/s2

e. Quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 = 0,25 s đến thời điểm t2 = 1,45 s.

f. Quãng đường lớn nhất vật đi được trong 1/3 s?

g. Xác định thời điểm vật đi qua vị trí x = 5 3 cm lần thứ 3 và lần thứ 2010.

h. Trong 2 s đầu tiên vật đi qua vị trí có vận tốc v = 12π cm/s bao nhiêu lần?

Ví dụ 17. Vật dao động điều hòa với phương trình x = 8cos(5πt -π/6) cm. Tính quãng đường vật đi được

a) t = 0 đến 7

3 s

Đ/s: S = 192 - 4 3 cm

b) t = 1

7 s đếb t =

4

9 s

Đ/s: S = 22,93 cm.

Ví dụ 18. Vật dao động điều hòa với phương trình x = 10cos(4πt + 2π

3) cm. Tính quãng đường vật đi được

a) t = 0 đến t = 7

6 s

Đ/s: S = 90 cm.

b) t = 1

3 s đến t =

9

7 s

Đ/s: S = 78,26 cm.

c) t = 2

11 s →

13

11 s

Đ/s: S = 63,43 cm.

Ví dụ 19. Vật dao động điều hòa với phương trình x = 5cos(4πt - π/3) cm. Tính quãng đường vật đi được

a) t = 0 đến t = 7

3 s

Đ/s: S = 92,5 cm.

b) t = 0 đến t = 11

6 s

Đ/s: S = 72,5 cm.

c) t = 2

5 s→t =

13

11 s

Đ/s: S = 50,11 cm.

Ví dụ 20. Vật dao động điều hòa với phương trình x = 10cos(5πt + π/6) cm. Tính quãng đường vật đi được



a) t = 0 đến t = 7

6 s

Đ/s: S = 110 + 5 3 cm

b) t = 0 đến t = 11

3 ts

Đ/s: S = 360 + 5 3 cm

c) t = 0 đến t = 19

7 s

Đ/s: S = 275,46 cm.

d) t = 1

3 s → t =

7

8 s

Ví dụ 21. Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 2cos(2πt – π/2) cm. Tính quãng đường vật đi được từ

thời điểm t1 = 1

12 ( s) đến t2 =

11

4 (s).


Ví dụ 22. Một vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kỳ dao động là T. Tìm các biểu thức về tốc độ trung

bình của vật trong khoảng thời gian ngắn nhất mà

a) vật đi từ VTCB đến li độ x = - A lần thứ hai.

b) vật đi từ li độ x = A/2 đến li độ x = A lần thứ ba.

c) vật đi từ VTCB đến li độ x = A/2 lần thứ ba.

DẠNG 4: XÁC ĐỊNH SỐ LẦN VẬT QUA MỘT LI ĐỘ CHO TRƢỚC

Ví dụ 1. Một vật dao động điều hòa với phương trình dao động là x = 4cos(πt + π/3) cm.

a) Trong khoảng thời gian 4 (s) kể từ khi bắt đầu dao động (t = 0), vật qua li độ x = 2 cm bao nhiêu lần?

b) Trong khoảng thời gian 5,5 (s) kể từ khi bắt đầu dao động (t = 0), vật qua li độ x = 2 cm bao nhiêu lần?

c) Trong khoảng thời gian 7,2 (s) kể từ khi bắt đầu dao động (t = 0), vật qua li độ x =- 2 2 cm bao nhiêu lần?

Ví dụ 2. Một vật dao động điều hòa với phương trình dao động là x = 10cos(4πt + π/6) cm. Trong khoảng thời

gian 2 (s) kể từ khi bắt đầu dao động (t = 0), vật qua li độ x = x0 bao nhiêu lần biết

a) x0 = 5 cm.

b) x0 = 7 cm

c) x0 = 3,2 cm

d) x0 = 10 cm.

Ví dụ 3. Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox (O là vị trí cân bằng) có phương trình x = 5sin(2πt + π/6)

cm. Trong khoảng thời gian từ thời điểm t = 1 (s) đến thời điểm t = 13/6 (s) thì

a) vật đi được quãng đường có độ dài bằng bao nhiêu?

b) vật qua li độ x = 2 cm bao nhiêu lần?

c) vật qua li độ x = -4 cm bao nhiêu lần?

Ví dụ 4. Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 10cos(4πt + π/8) cm.

a) Biết li độ của vật tại thời điểm t là 4 cm. Xác định li độ của vật sau đó 0,25 (s).

b) Biết li độ của vật tại thời điểm t là –6 cm. Xác định li độ của vật sau đó 0,125 (s).

c) Biết li độ của vật tại thời điểm t là 5 cm. Xác định li độ của vật sau đó 0,3125 (s).

Ví dụ 5 (Tổng hợp). Một vật dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 10 cm theo phương trình x = Asin(ωt + φ).

Biết trong thời gian 1 phút vật thực hiện được 30 dao động và tại thời điểm ban đầu (t = 0) vật ở li độ x = 2,5



cm và đang chuyển động về phía vị trí cân bằng.

a) Tính chu kỳ và biên độ dao động.

b) Tìm toạ độ, vận tốc và gia tốc của vật vào thời điểm t = 1,5 (s).

c) Tính vận tốc và gia tốc của vật tại vị trí vật có li độ x = 4 cm.

d) Vật qua li độ x = 2,5 cm theo chiều dương vào những thời điểm nào? Xác định thời điểm vật qua li độ trên

theo chiều âm lần thứ hai tính từ lúc vật bắt đầu dao động.

e) Tìm thời gian ngắn nhất để vật có vận tốc v = 1

2vmax

Ví dụ 6 (Tổng hợp). Một vật dao động điều hòa, có phương trình là x = 5cos(2πt + π/6) cm.

a) Hỏi vào thời điểm nào thì vật qua li độ x = 2,5 cm lần thứ 2 kể từ lúc t = 0?

b) Lần thứ 2011 vật qua vị trí có li độ x = -2,5 cm là vào thời điểm nào?

c) Định thời điểm vật qua vị trí x = 2,5 cm theo chiều âm lần đầu tiên kể từ t = 0?

d) Tính tốc độ trung bình của vật đi được từ thời điểm t1 = 1 (s) đến thời điểm t2 = 3,5 (s) ?

e) Quãng đường lớn nhất mà vật có thể đi được trong khoảng thời gian 1/3 (s) ?

BÀI TOÁN VỀ QUÃNG ĐƢỜNG LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT

* TH1: ∆t < T/2

+ Quãng đường lớn nhất: Smax = 2Asinφ

2, ( = ω.t =

2

T.t)

+ Quãng đường nhỏ nhất: Smin = 2A(1 - cos

2), ( = ω.t =

2

T.t)

* TH2: ∆t > T/2

Ta phân tích t = n.T

2 +t’ (t’ <

T

2). Khi đó S = n.2A + S’max

+ Quãng đường lớn nhất: Smax = n.2A + 2Asin’

2, (’ = ω.t’ =

2

T.t’)

+ Quãng đường nhỏ nhất: Smin = n.2A + 2A(1 - cos’

2), (’ = ω.t’ =

2

T.t’)

Ví dụ 1. Một vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kỳ dao động T. Tính quãng đường lớn nhất và nhỏ

nhất mà vật đi được

a) trong khoảng thời gian t = T/6.

b) trong khoảng thời gian t = T/4.

c) trong khoảng thời gian t = 2T/3.

d) trong khoảng thời gian t = 3T/4.

Ví dụ 2. Một vật dao động điều hòa với biên độ 6 cm. Quãng đường nhỏ nhất mà vật đi được trong một giây là

18 cm. Hỏi ở thời điểm kết thúc quãng đường đó thì tốc độ của vật là bao nhiêu?

Đáp số: v = 5π 3 cm/s.

Ví dụ 3. Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4cos(4πt - 2π

3) cm. Tính quãng đường nhỏ nhất, lớn

nhất mà vật đi được trong

a) Δt = 1

8 s

b) Δt = 1

3 s



c) Δt = 5

6 s

Ví dụ 4. Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 10cos(5πt + π

4) cm. Tính quãng đường nhỏ nhất, lớn

nhất mà vật đi được trong

a) Δt = 1,3 s

b) Δt = 17

15

c) Δt = 13

15

Ví dụ 5. Một vật dao động điều hòa với biên độ bằng 4 cm. Quãng đường lớn nhất vật đi được trong 2 s là 12

cm. Tính chu kỳ, tần số dao động của vật.

Ví dụ 6. Một vật dao động điều hòa với biên độ bằng 10 cm. Quãng đường nhỏ nhất vật đi được trong 1,5 s là

30 cm. Tính tốc độ của vật tại thời điểm vật kết thúc quãng đường.

Ví dụ 7. Vật dao động điều hòa biên độ A và chu kỳ T. Trong nửa chu kỳ, khoảng thời gian mà tốc độ

2

vv max là 2 s. Tính Smax trong Δt =

4

9 s

Ví dụ 8. Vật dao động điều hòa biên độ A và chu kỳ T. Trong nửa chu kỳ, khoảng thời gian mà tốc độ

trung bình vtb 3

4

là

2

3 (s). Tính Smax; Smin trong Δt =

5

6 s

BÀI TOÁN VỀ TỐC ĐỘ, VẬN TỐC TRUNG BÌNH

Ví dụ 1. Vật dao động điều hòa với phương trình x = 10cos(ωt + π/3) cm. Khoảng thời gian ngắn nhất kề từ khi

vật dao động đến thời điểm vận tốc bằng 0 lần hai là 2 s.

a) Tính Smax trong 1,25 s.

b) Tính Smax; Smin trong 9/8 s.

c) Tính tốc độ trung bình max; min trong 5,5 s.

Ví dụ 2. Vật dao động điều hòa với phương trình x = 4cos(ωt +π/6) cm. Khoảng thời gian ngắn nhất kề từ khi

vật dao động đến thời gia tốc đổi chiều lần đầu tiên là 0,25 s.

a) Tính Smax trong 1 s.

b) Tính Smax; Smin trong 2,625 s.

c) Tính tốc độ trung bình max; min trong 2,75 s.


3) cm. Tính tốc độ trung bình:

a) t = 0 → t = 1

8 (s).

b) t = 0 → t = 1

8 (s).

c) t = 1

4 (s) → t =

3

8 (s).

d) t = 1

2 (s) → t =

7

6 (s).




a) Trong khoảng thời gian t = 0 → t = 1

3 (s) vật qua li độ x = 5 2 cm; x = - 5 3 cm bao nhiêu lần?

b) Trong khoảng thời gian t = 1

3 (s) → t =

13

6 (s) vật qua li độ x = -5 cm; x = 5 3 cm bao nhiêu lần?


a) Trong khoảng thời gian t = 0 → t = 3 (s) vật qua li độ x = -2 cm; x = 2 3 cm bao nhiêu lần?


3 (s) → t = 2(s) vật qua li độ x = 2 2 cm; x = - 2 3 cm bao nhiêu lần?

c) Trong khoảng thời gian lần t = 1

4 (s) → t =

15

6(s) vật qua li độ x = 2 cm; x = -1 cm; x = - 3,5 cm bao nhiêu

lần

d) Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ t = 1

3 (s) → t =

35

6 (s)?

Ví dụ 6. Vật dao động điều hòa với phương trình x = 4cos(3πt) cm. Xác định số lần vật có tốc độ 6π cm/s

trongkhoảng thời gian từ 1 s đến 2,5 s.

Ví dụ 7. Vật dao động điều hòa có vận tốc bằng 0 ở hai thời điểm liên tiếp là t1 = 2,6 s và t2 = 3,3 s. Tính từ

thời điểm t = 0 đến t2 vật qua vị trí cân bằng mấy lần?


4) cm. Số lần vật đạt được tốc độ cực đại

trong giây đầu tiên là bao nhiêu?


3) cm.

a) Trong khoảng thời gian t = 0 → t = 7

6 (s) thì S = ?


3 (s) → t =

11

6 (s) vật qua li độ x = - 2,5 cm; x = -1 cm bao nhiêu lần?

c) Tính tốc độ trung bình trong khoảng thời gian t = 2

3 (s) → t =

7

6 (s)

d) Tại thời điểm t vật có li độ x = –2,5 cm và đang giảm. Sau đó 0,25 s thì vật có li độ bằng bao nhiêu?

e) Tại thời điểm t vật có li độ x = 2,5 3 cm và đang tăng. Sau đó 0,25 s thì vật có li độ bằng bao nhiêu?


a) Tính từ thời điểm ban đầu, lần 2012 vật qua li độ x = - 5 3 cm theo chiều dương vào thời điểm nào?

b) Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ t = 1

3 (s) → t =

13

6 (s) ?

c) Khoảng thời gian mà 2

aa max trong một chu kỳ bằng bao nhiêu?

d) Trong khoảng thời gian t = 2

3 (s) → t =

10

3 (s) vật qua li độ x = -5 cm; x = 3 cm bao nhiêu lần?

e) Tại thời điểm t vật có li độ x = -5 cm và đang giảm. Sau đó 0,125 s thì vật có li độ bằng bao nhiêu?

f) Khoảng thời gian mà tốc độ của vật v < 2

vmax trong chu kỳ đầu tiên?

Documents

ĐT: 0977412127 ĐẠI CƢƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA · Trung tâm GD&ĐT Youth [ĐT: 0977412127] Chuyên đề Dao động điều hòa – bản số 1.0 | Bản quyền