SZOLF Gazdmat I Feladatgyűjtemény

7/25/2019 SZOLF Gazdmat I Feladatgyjtemny

1/138

szolnoki

r

iskola

G

AZDASGI

MATEMATIKA

I.

feladatgy jtem ny

i

l

a

SZoLNoK

2006

i


2/138

Szeru

k:

I.fejezet

Libor Juen dl

f

iskolai

docens

II.

fejezet

Madaras Ldszl

n

dn

J

iskolai tanr

III.

fejezet

Madaras Lszln

dn

J

skolai

tanb

:

IV

fejezet

Hanich Juef

f

iskolai docens

11

fejezet

Nagt

Tams

f

iskola adjunhus

VI.fejaet

Feh r

M rla

f

slolai

djunhus

YIL

fejezet

Hanch Juef

skolai docens

WII.

fejezetLtbor

Juefn

f

iskola docens

Lektorlta:

Dn Kllncs k Mthdly

f

iskolai

tanr

szerkesztelle:

Fehr Mr a

l

slala djunhus

Felel s

k ad:

szoLNoKI

F

IsKoI}l

Dr Tans

k

va

Tbrjeszt :

STUDENT

Szaklc

nytElet

Kfi.

Nyomdai munkIatok:

Prinlex

'96

Kll, SzoInoL

Mrt rok

u. 25.

Tel.:

56/4l4-9l9,

Fc:

56/5l3-50I

www.prlnlu96.hu

Felel

s

vezet

:

T

m

svri

Sndor

ilgmezet igugat

Minden

jogfennlarNa

A

kiad

engedlye n lkilli utnnyomas tilos

nlsz

A feladatgytijtem ny k sz t s nek

lja az volt, hogy segtsen a Szolnoki

F iskola

els

ves,

gazdasgi

matematikt tanul

hallgatnak

az

anal zis alapvet

fogatmainak,

mdszereinek

kiiltinb

z szint i feladatok

seg tsg vel

i'rt n etsajt tsban,

az

alkalmazshoz sztiks ges

k szs gek

kialak tsban,

megk

nny tse a dolgozatokra,

vizsgkra

val

felk sztil st.

Ezrt

a

Gazdasgi Matematika

I.

feladatgyujtem ny

az

oktatsunkban

alkalmazott

,,Matematika

K

zgazdszoknak"

sorozat

Anal zis

(Szerkesette:

Dr. Csernyk

Lszl)

c. tank

nyvnek

nlunk

oktaton

t mira

pi,ll.

Fk nt

azokbol

a

p ldkb

tartalmaz

gytijtemnyt,

amelyeket

oktatnk

az anyag

elsajt ttatshoz

munkjuk

sorrin az

utbbi

vekben

alkalmaak.

gy

u feladatok

kOzt tt elfordulnak

ismert

feladatok

is.

'

A

p ldatrir

minden

fejezete

hrom

r szb ll. Az rt,hory

a

hallgatk

feladatmegold

k pessgilket tarrri

seg tsg

nlk l nrillan

is kialak thassk,

minden fejezetet

az

adott

t mban elfordul

legfontosbb

feladatt pusok

megoldrisnak

r szletes

bemutats{val

kezdtink.

Csak ezek

ttanulm,nyozsa,

meg rtseutn rdemes

a,

feladatok

nll

megoldsrihoz hozzkezdeni.

Az

t

nll p ldamegoldsokat

a megoldst

seg t

tmutatsokkal seg tettiik,

majd

a

harmadik

r szben

'csak

a

fe|adatok

v geredm nyeit

k

ztiltiik.

A nehezebbnek

ttin

feladatok

megoldsrinak

sikertelensge eset n

javasoljuk,

hogy

t rjenek

vissza

az el z

,

r szletesebben

bemutatott r szek

feladatainak

jbi

ttanulmnyozs toz.

A feladatgyujtem ny

vg n

allhat

irodalomjegyz k

tartalmrya

q felha

znlt

s

javasolt

irodalmat,

amelyeknek

a

seg ts g vel

hallgatnk

bv thetik

ismereteiket.

Rem ljiik, hogy akik

gondosan

megoldjri,k az

ltalunk

kijeltllt

feladatokat,gzok

smfua

a

p ldatar

az anal zis

tanulst

megktinny ti.

A feladatgyujtemny

kszt

2006. Szolnok

r].,"


3/138

a

.:

n

TARTALOMJEGYZ K

2.


4/138

5.

^R+ft

t pustifilggv nyek

dffirencihnyadosa

s

derivltfitggl nye............I22

5.1.

Differenciahnyados-filggv ny,

differencilhatsg............

..........t22

Mintafeladatok...........

......l22

Felndatok

.......l23

5.2.

Derivltfiiggv ny

.......l24

Feladatok

.......l25

.............

l3l

6.

8' IntegrdlSZdm tdS,..........................................o........................i;.a..;'......j.;,,r..-.*....226

8.2

Hatrozott

integrl

s

tulajdonsgai,

Newton-Leibniz-szably,

improprius

integrl.....

........236

Mintafeladatok.............

....236

Feladatok

.......237

8.3

_Hatrozott

integrl

alkalmazsai.........

....................................

...,.....242

Mintafeladatok.............

....242

Feladatok

.......246

.,L

il

N ego ldsok

a nyolcadik

fej ezeth

ez...........-.

2t9


5/138

:

:r

,(r

:lc

..

1

I

,i,

.l

:

,

]a]

l

,]

l

;

'},

L l

i

I

, f-_

;

I

I

1

tr.,

-=

I

I

,:

-l5

'

I

l

l.j

..

---l

I

;,t3

.:

l

I

]ul

]:

--r

l

.,J

..(J

.,:

l

l

l

l

. l i.itlr-? lr.i.,{i ;r l

ir

ir

'i;11;: l ;ltlr [i

1.

Halmazelmeleti

alapfogalmak

1.1. Alapfogalmak

Mintafeladatok

l. Az til.ibbi

tttegltatr


6/138

l.

tlalnlazelltlelet alaplOgallllak

M e

go

Ids : Egyelemti

r salmazok:

k telemti

r szhalmazok:

hromelemti r szhal

maz :

sv giil amit

gyakran

r salmaza.

{_l}, {0},

{l),

(_1,0},

{-1,1},

{0,1),

{-1,0,1}

elfelejtiink,

az

iires

halmaz,

mely minden

halmaznak

l. Urazotla

.

a) szmegyenesen

az A:

{xeR

l

l

*

+

l/x

l

>

2| halmazt illetve

b)

s kbeli

koordintarendszerben a

B:

{(x,

y)eR2l

1x-S;'+1y+l)'};

c)

C

:

{x I

x e R

s

x2-3x+2=0};

d) D

=

(okos

gondolatok};

e)

E=

{a

magyar

krtya

sz nei}?

1.2.

Sorolja fel a

k vetkezohalmaz

elemeit:

A=

{ag5O-nl kisebb

pr msziimok};

3

=

{99

osa};

g=

{l92

s729

k

z

soszt};

D

=

{az

}-

=

2 egyenlet

pozit v

gy kei};

B

=

{x2+-lx

0,125};

Ar

=

{n

e N

l

n

pratlan

s 0

0, azaz

Dt

=b.

Rl- asxsa\.

2.2.

x'-5x+4*0,

azaz

x*l s x+4. Az rtelmez si

artomi,ny

ez rt

4={rei|x*l,x*4|

2.3.

A

kifejez s

azon

vals

szmokra

rtelmeet

,

amelyekre

egyr szt

: }

,

g,

5

^"a?-x2

+2x>0, msr s

'n_

x2 +2x

)_0,

azaz

-

x2

-+2x

>l.

Az

els egyenlttlens g

55

megoldsa

0 O}.

2.5.

R,

=

R.

2.6.

R

=

f(x)e

n s

G)*

ql.

46

47

l,

l

l

,{

s

xt'

i

l

I

)j

,JJ-_

=';

2.7, R

=

{rG).

n|l(,)

0

-hoz meg tudtuk hatrozni

a

k isz

bszmot,

2.

Igazoljuk

a

tgabb

rtelemben

vett

hatr rtk

defin cija

alapjn,

hogy az

an

sorozatnak

l tezik

tgabb

rtelemben

vett hatrrt ke,

s

m##

=

*co

Megoldsz

A

defrrn ci

alapjn

be

kell

ltnunk,

hogy

brme|y

P

e Rt

szmhoz

l tezik

olYan

no N.

kiiszobszm,

hogy

valahiinyszor

,?

>

no,

mindannyiszor

a,

) P

Legyen

most

p=l000,

ekkor

oldjuk

meg az

*}*,

r,

azaz

+-1]g

>

1000

,

----P

3n

+

500

3lr

+

500

egyenl tlens get.

Mivel

n2+l0

u

"...r-'|==

=+=+,ezaztjelenti,hogyha

*rr,

vtlvwl

3n+500'

3n+500

-

3n+500n

503n

503'

503

akkor

n2

+l0

, ,

is

fennll.

Az

,

p,

teljesiil, ha

n

>

503p,

gy

Avt

3n+500-'

503

no

=503P

=503.1000

=503000.Teht

fl)

fro=503000

eset n

dn)

P,a?az

lno"

=

*

3.

Vizsgljuk

meg,

hogy

az

,,

=

+

sorozat

elemei

hnyadik

tagt

kezdve

esnek

a

"

n+l

hatarrt k

e=

l0-1 sugaru

k rnyezetbe

h egolds: Elsz

r

a

sorozat

hatrrt k t

kell

meghatroznunk.

Ehhez

elosztjuk

a szmllt

s

a

nevez

t

is az

n

el

fordul

legmagasabb hatvnyval,

jelenleg

n,e|,

azaz

o,

=

jT

l.rr.

t+l

tv ivel

a

szmll

konstans,

hatrrt ke

onmaga,

a

nevez

be" *

.I)

sorozat

Xonu.']"n'

e'

(r/

hatr rt ke

0. iw

u

nevez

hatr rt ke

l+0=l

,

azaz a

t

rt

hatr rt ke

=

S,

teht

l

}

*=},**=,,

f--

n2

+l0

=-

3rr + 500

A hatr rt k

defin cija

szerint ekkor brmety

e>

0

_hoz,

lgy

e=

t

0-'

-hez

is

megadhat olyan

llo e N'

kilsztJbsznl,

trogy

vttlnltrittysztrr ,,

>

,,o.

tttitttttttttryisztrr

llt

l.rill

-

rl

.*

egyenltlens g

teljesi,lt

^,

l#-r|

=l-*-|

=l*l

=*


38/138

,..[n+2)"'

=

,--[2+l,/

7.

llap tsuk

meg,

hogy konvergens-e

az'

a,

=(-|)"#*sorozat

I|IegoldszHa

n

pros,

akkor lim(+

'lli"r'?=rr^'-t=2,

hu

n

priratlan, akkor

2n'+3

n_..r, J

2'

I

'n'

l*(-

r

#=rrrr'=-:.Mivel

minden sorozatnak

legfeljebb

egy hatarrt ke

",7

lehet s most

kt

torldasi

helyet is

tallrunk,

ezrt

a megadott

sorozat nem konvergens,

azaz

divergens.

8.

L .tezik-e

hatrir rt ke

az,

on

=F'I(;)"

sorozatnak?

Megolr sz

Mivel

a megadott

sorozat felbonthat

egy korltos

sorozat

(-lI)

er.gy

0-hoz

tart soroza,

'}g(;)

=

0

)

szorza

tfu:4 ez rtl,*(- ,I(;)"

=

0

a

tanult

tel alapjrin.

9.

Szmtsuk

ki

a

l,*(r,

-.F

-?)hatr rt ket

Megoldsz Mivel

most tagonk nt

vvea

hatr rtket

a

oo

-

o

tpusrhatrozatlan

kifejezshez

jutunk,

alak tsuk

t

a

sorozat

kplet t

azonos

talaktssal

rigy,

hogy a

hatrozatlansg

megsztinjtin.

ekkor

l,g(r,

-.t"\r)=l*r[r

-

/'

-

*)=

-.(2-1) =

.o

.

10. llap tsuk

meg

mh

-

Jl-

l)

sorozat hatr rt k t

Megoldsz

Tagonk nt

v vea

hatar rt ket

most is

a

.o-co

t pusir hatrozatlan

kifejezshez

jutunk,

de

most az

el z

talak tsunk

sem

lesz c lravezeto,

mert n-t

kiemelve

a

-.(l

-

l)=

oo

.0

hatarozatlan

kifejez shez

jutnnk.

Ez rt

bov tstik

most

a kifejez st a

konjugltjval. Ekkor

,{ ]

,-[fi]

*(i),

,

66

67

Feladatok

Szmtsuk

ki a ktivetkez

sorozatok

hatrrrt ket

(n

e lr-)t

3.4l. lim3n

-

2n+|

=:

"-'

;;

5n2

+9000

,

3.42.

lim

,n

+2

=,

"-'

;;;3n2 _8n+5

,

3.43. lim

,3T'+_? =;

n-o

,nr +700n

s.la.

rr^ :2

=,

3.45.

lim12

-3

=;

n+o

]2a1

3.46.

lim

_

4f

'

15 =;

n+o

Jn'

_)n

'.Or.'^ffi

=,

n+

n

+9

'.Or.

''*@=,

''-'

;;;

,J;,

_

i,n

'.Or.rr^'W=,

'-l5n2

-6n

i-:-

i

t

ln

3.

szm

orozatok

s

sorok

3.

szmsorozatok

s

sorok


39/138

:--

,.n

r--

--

l

]

i]n

r---

I

I

I

l,n

r-

l,

l.n

|---

I

l,

l

-l

r-

I

l

l:

,,

I

l

I

l_

l

-7,

:

-n

-*rl

]

T- 11

:

;--F

l

I

3.50.

lim@E=,

t+@

trr

+n-n

3.5l.

li*(.fi-+l

-r)=,

3.52.

li*(Js,,'

+

3

-

n)=,

3.53. l,*(.6r\

2,

J

-rr)=

;

3.54. lTi(fi

(.fi'

-Ji))=,

ll

-;t-

3.55. lim+_

=;

;*-

'n

lso

*(r

i)

(,-+)

[,-i)

(,-*)=

,.rr.|yW='

3.53.

1i*filfr.,2

=;

l

r.sg. ti,n '

*|);

=

ha

n 22:

n_.fn-l,/

0.0O.

ri* ,-

=

=;

n+o

$I

a

$-r

ha n22;

3.6r.

limf'-'_

)" =,

n--\t?-5/

3.62.

lim(zn+3')'

'=1

-----

;r;[

2n

-2

)

'

3.63.

limf4n

+

l)'-3'

=

,

"-.\4n-3

)

s.ol.

|gi(r

*

(-

ly

.,)=;

3.65.

l'gb

-

(-

r}')=,

s.oo. lim[(-

r),

.

5'4'

-

1)

=.

,_-(,

,

4,

)-'

3.6?.

lim[(+)'

#i)='

3.68.

lim

n46

3.69.

lim

lt+

.l

l

l

l+-+-+".*-

3

9

3n-'

,

J3r'

*zor'

-lor-J5r'

_

l0r

-5

-

ha

n>2;

s.zo.

ria(Vlr +

r

-'.fi)=,

O r0

3.7t.

lim

-

;;;4,

+2, +2

,

3.

szmsorozatok

s

sorok

3.

szmsorozatok

s

sorok


40/138

s.lz.

lim(t*

ll"

=

,

,+\

n

)

s.zs.

tim l*a]"

=,

n+o\

l0

)

3.74.

lim(-

75Y

=i

s.zs. tim z

+

(-

rY

3n

')

=

,

''

'''

;i';1,

,

,,

4; + 5

)_

,

l.t6.

|imdTn+2

=;

3.77. lir ,2n'

*-:'-l

l]

=;

;;-(

3n

-7

)

73.8. lT(.,fi+5

-r)=.

3.79.

Vizsgljuk

l

r* ,

ha

"=I#,

ha

3.80.

Vizsgljuk

""= (i)',

ha

l n-l

l---_.

ha

|3n

+2

meg

a

k


41/138

r;

r-

']

i

r-

I-

l

I

r:

l

l

|-,

l-,

i

l

--rl

Mintafeladatok

l. V gezztik

el az a,

='*?,

sorozat teljes vizsglatt

n+4

l| egotds:

Sorozatok tetjes

vizsgtatn

ltlban

az elziiekben

ktil n-k iltjn

r szletezett

tulajdonsgok (monotonits,

korltossg,

konvergencia)

vizsglatt

rtjilk.

Jv[onolonits:

Mivel

on*|={'-l1-1

=+,

on,,_o^=t]_'*2

-

(n+l)+4 n+5

"

n+5

n+4

bl

d,+l-dn)O k vetkezik,

ez rt

o,,l)on

minden

neN"-ra

sorozat

szigoruan

monoton

n

vekv.

Korlrossg:

Mivel

a

sorozat szigoruan

monoton

n

,veked

,

ezrt

ats

korlda k

=

a,

=1.

)

Ilyenkor

az ats korlt

egyben az als hatrt

is

jelenti,

vagyis

inr

o,

=

1

.

A

fels

korlt

meghatrirozsthozhozzuk

a

kifejez st

:Z--(n+q)-Z

=|_

2

alakra.

"

n+4

n+4

n+4

-'-'--'

Ebb l

lthat,

hogya fels korlt

K

=

l. Teht a

sorozat

korttos,

|

< o^

.t.

)

Konvergencla:

Mivcl

minden

monoton,

korltos sorozat

konvergelts

(3.3

t tel),

ezrt

^

t*?

megadott

sorozatr

tudjuk,

hogy

konvergens

lesz.

Hatrir rt ke,

I:y#=

l,*__

=

r.

l+-

2.Y gezz

k el

az

o,

=

}=

-+

sorozat

teljes vizsglattl

(-

lI

2n

Megoldsz

Most

rdemes el sztir

a konvergencia

vizsglatval

sorozatot

G-,i,*D'0-

fennll.

Teht

a

,* ,

ha

o,=]

--1

-n

[-l-

+,

ha

n

paros

alakra.

Mivel

n

pratlan

ri.n

n--f

kezdeni.

Ehhez

hozzuk

a

=ri.,[r-ll=.,,

;1'J["

z

)=

'r'

*3*')

2n)

li*r-r-+)

=-2:,

ez rtasorozat

nem konvergens,

azazdivergens.

A

3.1 ttel

alapjan

n_-\

2,

)

-2'

egy

sorozatnak

legfeljebb

csak egy hatar rt ke

ehet.

,|),

3.100.

q,

=

,t7i

lthatjuk,

hogy

a,

nem

monoton.

Ugyanis

a,

= -1,

az

=

4t

-

2'

ol 1Q,,

gy

a

sorozat

nem

monoton.

ol

=

-2,

vagyis

a, >

a,

de

Korltossg:

K pezz ik

a

sorozat

tagjainak

abszol

t rtkt|

3

3+nl

3+n

lPr-

2r|s3+-:-:


42/138

2n2

+3

3.10l.

cln

=

--j-

i

n-

3.t02.

a,

=(-rY

+

3.2.5

Ellenrz

feladatok

3.103.

Adjunk

megaz

o,

=tP,

ne N'

sorozatnak

legalbb kt als

korltjt

3.104.

|gaz-e,hogy

az

,,

=

#sorozatnak

a2 egyfels

korltja?

2

3.105. Keressi.ik

meg

azalbbi

sorozatok

torldsi

pondait:

7

l

15

l

2,-l').

8'

G' 16'

"'l

T'

-T-

)'

l3l

'

a'

8'-

(;,

:,

b\

-2,

:,

c)

l, 0,

l,

3.106.

llaptsuk

meg,

hogy

konvergens

-e az an

-

1

* ,(-t)"

sorozat

3.107.

Adjuk

meg

az ,,=L

sorozat olyan

r szsorozatt,

amelyet

az

adott sorozatb

rgy

kapunk,

hogy

az

els tz

tago? elhagyjuk

3.108. |gaz-e,

hogy

ha

egy

sorozatban

v gessok

tag rt ktmegvltoaaduk:

a sorozathoz

v ges

sok

tagot

hozzvesztink;

illewe

a

v ges sok tagot elhagyunk.

akkor sem

a

konvergencijt,

sem

a hatr rt k t

em

vltoztatjuk

meg?

edik hnyadost

kifeje z st,

azdivergens

lesz

an

3.110.

Vizsgljuk

meg,

hogy

l tezik-e

olyan sorozat,

amelynek

a ll-n l

kisebb

pozitv

term szetes szmok

mind torldsi pontjai

3.3. V gtelen

sorok

Mintafeladatok

t.Kpezz;JU

"

'(-l|-l

numerikus

sor

r szlet

sszegeinek

sorozatt

llaptsuk

meg,

hogy

r-l

konvergens-e

a

fel rt

sor

Megoldsz

Mivel

i(-,)'-'

=l+(-l)+l+(-r)*r+(-r)+...

s

n=l

r szlet

sszegek sorozata:

sn

=Za, =ot*az*...*o1l

a

l=l

.,

=a, =l,

z

=d|

*ar=l+(-t)=O,

3

=dt

+a2+ol=|+(-l)+l=l,

l =0,

t

=l,

szmokb

ll sorozat

lesz.

Mivel az

l,

0, l,

0,.

...

sorozat nem

konvergens,

ezrt. a

(-')'

numerikus

sor sem lesz konvergens.

z. rjut< el az(i)'-(+)

-(+)'-(i)'-

-(;)"'+...

v gtelen

sor

r szlettisszegeinek

sorozatt,

majd

k pezziik

ennek

a hatarrt k t

llap tsuk

meg,

hogy

konvergens_e

a

megadott

sor?

Megolddsz

A r szlet

sszegek

sn sorozata:

l 6 l l ?l

l],-,

st

=l,

z=l+;=;,

r=l+i-*

=*,

n=l***...-[;I'='r,'

,

5-,

Fellrasznltuk,

ho

l

gy

,

egy

,

kvciensti

m rtani

sorozat, s

ltalban

a

+

aq

+

aq'

+

",

+

,qn-'

-

,q"

-,l

q-|

75

l

3.

szmsorozatok

s

sorok

')'

_,

3.

szmsorozatok

s

sorok

mega


43/138

K pezve

*

(r^)

sorozat

hatr rtk t:

1,1r,

=1111+=i.

Miu"l

a r sztet

sszegek

5

sorozata

konvergens, w a v gtelen

sor

konvergencijra

vonatkoz

defin ci

szerint

a

megadott sor

is konvergens

sd,sszege

megegyezik

a fenti

hatri,r rt kkel.

Teht

(i),'=;

3.Hatfuoznlk

meg

"

t;1; 11

v gtelen

sor

sszeg t

Megoldsz

A r szlet

sszegek sorozata

-

l

,

l

--=l*l

=(,-;)-[;-i),

,.=(,j)-(j

j)+

+(;

*)

,

=-=l__.

s,

'

|.2

2'

'

|.2 2.3

t

K pezve

u

l,

,"=m[(,-;)-(i

i)+

+(;

*)]

=,*(,

*)=l.

Mivel

a

r szlettjsszegek

sorozata konvergens, ez rt

a megadott

sor

is konvergens

e.

f___1-

-

,.

-

fr

n(n

+|)

4. Vizsgljuk

meg,

hogy konvergens

lehet-.

u

f

Jn-

,or2

fr

n+l

Megolds:

Mivel

most

liman

=

lh+

=

in-1

=5,

ezrt

a

konvergencia

sziiks ges

n)a

n)@n+'

,".r*i

felt tele,

ti.

lima,

=

0

felt tel nem teljesiil,

teht

a

sor

nem

lehet

konvergens.

5.

Hatrozzuk

meg

az

l+i-;***,..

v gtelen m rtani

sor

sszeg t,

amennyiben

l tezik

Megolds:Mivel

t+?*;-*{...

=(;I

-(i)

-[3)'

-(iI

-

-(i)''

+...,

ezrt

a

3.1 l t tel

alapjn vizsglvaa feladatot

lthatjuk,

hogy q

=

?.

Miu.l

lql

.

l

fennll,

ezr

76

tro"'

|-q

g

2

\'-' l

}l.;]

=;=',

3

6,Harrozzuk

meg

az

l+}-i-+*...

sor

sszeg t,

amennyiben

l tezik

Megolds:

Mivel

l+1+i-+*...

=(;)'-(;)'

-[;)'

- -(;)"'

+...,

ez rtmost

a

?

q

=;

,

lql

,

t

miatt

a

megadott

sor

divergens.

Feladatok

3.1ll.

llap tsuk

meg

a

l*f

*]*l

3

2

4

8

+

...

*

T

*...

son,

hogy

konvergens-e,

s

ha igen,

szmtsuk

ki

az

sszeg t

3.112.

Iatrozzame^^-'

l l

l

:gaz

I*T*

?T+.

.-G+...

sor


44/138

l4ll

3.117.

'-o

*

G-a*Tfr-",,

3l+3n

+5n

3.tl8.

*

u

-'

444

3.119.

2+-+

-+--+",;

3.120.

l

+ 8

+

27

+ 64

+|25

+ ",

;

3.t2l.

-

1,5

+

2,25

-

3,37

5

+ 5,0625

-

",

;

r--l

3.122. )

-

='

?"2n

g20

3.123.

}{orY

='

lll

3.125.

ir+,3

a+1.

+ +

",

+

3.124.i J)"

=,

fr\n

)

n.(n+t),(rr+Z)

(_t

_2

-7

_5 _l3

\

r.t'[T's'n'7'16'"')'

..r. o. . .1.?.

').

''''

["'r'''

5'3'

)

rg

l-

to'

3.9.

(1,1,2,3,5,8,13,2

l,...).

.,.[,F'

..r.

(o,J,],;,1,;,

)

,.r.(+,+,o,;,i,.

)

n E mB

l,l", *, m""J,

,.r.

(o,|,o

,|,4,1,4,2,4,;,

).

l.u.

(s,},l,;,T,

)

z.l.(t,), ,f,#

)

,.,o.(u,J,+,#,

)

s.,,.

(j,],i,1,;,

)

t-

3.

Szmsorozatok

s

sorok

-

Megolds

,.,r.(I,1,*,*,*'

l

3.

Szmsorozatok

ssorok

-

Megolds

3.25. Szigoruan

monoton

n


45/138

r-

l-:

l,

_

t-:

r^

[-

r:

r:

r"

,

}-

[,

-]

-]

-]

)

3.13. a,

=

n1 ,

=

(-

r)r(r

-

l0-,).

=I*,

ha n

l

2r,_,,

ha

n

3.14.

a,

=

(-t|

n'

.

3.15.

a,

=

(-

tI-'

U}

3.16.

a,

=

l0-o

.

3.17.

a,

3.18.

4

pratlan

pros

3.19.

a,

=

l,

dz

=

2,

a,

=

2an_,

+

5a,_2, ha

n

>-

3

.

3.20,

ar=), o2=3,

on=Qr_|-dn_2l

ha

n>3.

3.2l.

a.=

#

l

l l

-l

.22.

,,l=;*,,

s mivel

o,,1-o,=fj-;=ffi.O,

n e

N'-ra, a

megadott

sorozat szigoruan

monoton

cstikken

.

3.23. Szigoruan

monoton csokkeno.

3.2{. A

sorozat nem monoton.

teht

o,,l

1on

minden

3.2.

Ha n

2 2

-re

a sorozat

cs

kken

.

3.27.

A sorozat

nem

monoton.

3.28. Monoton

cs


46/138

1.1r.

rm

T', *:ol

=

l**u#

=

n+a

Jn'

+ 900

J

_r_

___;_

|

-2

3.42.

lim

=n

+2

=

lim

n

=

n'=

=

0.

n-aJn -8n+J n--.

5

J--+-;

nn'

3.43. i^

3:'+2,

t'*?

-.-,-

i,:

4;1^o;=

l'

;

=

+@.

3.44. lim3n

-2

=

ti,nfr

-

?]

=

,.

,,+o

n

'+

\

n)

_2

3.45. lim5"'

-2

=

tint",'

={co.

n+o

Jn.r-|

a-.

.

l

J+-

_4

5

3.46.

li,n-4:'+5

=

11r7*f

=o.

n+o

n'_)n

n-

36,

majd

.

dD

35

sorozat

tagjai

a

36.

tagt kezdve

esnek

a

hatrir rt kadott sugaru

k

rnyezetbe.

3.88.

lim

4+

=2.K pezve

az|a,_ el.a

sszeftig.er,

|2'-:

_2l=

","",;-;nr_s

lY--|w,

lnr_s

-l

F---ll

];

l.

|.

j---I

J

-|z"-t-z"+tol

=l+l

=

,9

= 400, n>20.

3.90. Lasd

a

kidolgozott

2. mintap ldt

l#-r|

=i.*,ahonnan

la,',;

-

rl

=

l#l

.

#

egyenl tlens get megoldva

ilo

=

3l addik. Teht a

sorozat tagjai

a 32.

tagt kezdve esnek

a

hatr rt kadott sugaru

ktimyezet be.

3.87.

fimf,ffi

=

H#*

=

1

* o.,

ve

az|a^- el.e,sszefi,igg st

|

(-

r)r *

+,

_

=

1rity

?o,

--o(-ty:-zo,|

_

|(-

r|-' +

s,r

5l

l

s(-

l|-'

+ 5nJ

I

n

paros

.

Megoldva

n

pratlan

3.92. A

U+>

200

egyenl

tlens g

megotd

sa:

n> l0l.

n+|

I

3.93.

lim a"

1,

teht

a

sorozat

konvergens.

Mivel

konvergens

,

ez rtkorltos

is,

.l

3

n4@3-9

Megvizsglva

az

n2 +2n+3

n2

+2

-l0n-, '

"'=

O'

o,+l-o^

=

1E;6;*

4-rTT

=@

kiil

nbs get

lthat,

hogy

a

szmll

brirmely

n e

N*-ra

negat v,

anevez pedig

pozit v,

a,*l

-

ao 1

0

minden

n

e

N*

-ra,

teht

a

sorozat

szigoruan

monoton cstjkken

.

3.94. talak

tva

az

sszeftigg st

an

-

2*+=

f|

addik.

ryo,=

3, teht

a sorozat

konvergens.

Mivel

konu..g.n,

,

ez rt

korltos

is,

0,a*l)

l+0

x

lna

nevezetes

hatr{rrt keket

hasznlhaduk

fel.

li.3,

-l

=tiJ 3'

-l)

=

1,n,

r+0

5x

,-o\.5

x

)

5

r+ox:+o\.x)ln39)

Feladatok

Hatrozza

meg a

k

vetkez

iiggv nyek

hatr rt k t

{.66.

lim

sin

2

:

r+0

5x

.|.67.

limsin2r:

,-

5x

4.68.

lim'87x

:

r+0

5x

4.69.

li.,in(2'-

4)

.

-----,;

x_2

,

4.70.

lim

3r

:

r+0

5in 1

'

,r.zr.

tirf,'+l]

;

I{e\

X

)

]

.-,-\

x

)

'

o.rr.

,._f

2x+3'1"'

,-^\2x

-

5

)

o.ro. ,.^(Zx

+l\'-'

,--\2x+l,/

,r

^

r 2r+{

4.75. lim jll

,--\

5

-

2,/

l.ze.

li*[I,1]"-'

..+@\

X

)

,'

m(+)

,

l.zg.

li. '-l )"

'

,--\y

+2

)

4.79.

lim

I4q

o.ro.

,.n.,[

zx

-

l

)'--

.._-\

x+2/

4.8l.

4.

Egyvltozs

vals

fiiggv nyek hatr rt ke

s

folytorros;

4.82.

liry(l

+z)1;

,a

{. t

8,),valtozs

valos ltiggvgnyek

ltatr rteKe

es tolyttltttlssaga

A

fiiggv ny folytonos,

mivel az r elmezsi

artomny

minden

pontjban

folytonos

(az

x=2

nem eleme az

rtelmez si

artomnynak ).

&_


58/138

4.83. nq(l

+

sr)i

;

l.al.

riqd'1,)'_,

4.86. limxe lr:

r-r0

5x'

l.sz. ri*]9g

_-t.

4.2. Foly onossg

Mintafeladatok

1.

Vizsglja a

kovetkez

fiiggv ny

folytonossgt

az

rtelmez si

'artomnyn:

x'-

4

(x)==,

x

e R\{2}

Megolds: Az

f

ftiggv ny

gy

s megadhat:

/(x)

=

x12, x

e rR\{2} Az

f fiiggv ny

grafikonjanak

k pe

az

albbi:

l.as.

ri4[9rn(,+r),);

l06

2. Vizsglja a

k


59/138

J

,1

J

.{

l

J

]

]

4.

Vizsglja

a ktivetkez

ftiggv ny

folytonossgt

az _rtelme_zsi

tartomnyn:

(x+2.

x e }--.2[

/(r)

=

{

l*

,

*.

L,-[

''

Megol ds : Az/filggv ny

grafikonj

nak

Az/fttggvny az

rtelmez si artomany

(

r

=

2

nem

r sze az

rtelmez si

artomanynak )

minden

pontjban

folytonos,

ezrt folytonos.

5. Vizsglja

a

k

vetkez

ftlggv ny

folytonossgt

az

rtelmez si artomnyn:

fx+2,

x e

|.o,2[

/(x)={

5

,

x=2

Ir*

,

x

F,-[

Megolds: Az/fitggvny

gra ikonjnak

]

]

k pe

az albbi:

/

k pe az

albbi

/

/

/

:

]

i:

]

i

:]

]

]

1

l08

nem folytonos.

6.

Vizsglja

a k

vetkez

fi.iggv ny

folytonos

sgt

az rtelmez si

artomnyn:

(x)={x+2,

*,l--,.'],

ll*

,

x

P,-[

I}Iegoldds:

Az/fiiggv ny

grafikonjnak

kpe az albbi:

Az

x

=

2 helyen

kell

vizsglni

a fiiggv nyt,

mert

az

rtelmez si

folytonos.

A helyettes t si

rt k

(2)

=

4, l,rg/(.v)

,ljPo, (')

=

4

*, To/(x)

=

),

vagyis

a fiiggv ny

nem

folytonos.

Az

e|z feladattal

ellent tben

most

viszont

f(2)=,lpo/(r)=4,

teht

az

x=2 helyen

a

fttggv ny

balr

folytonos.

Feladatok

Vizsglja

a

ktjvetkez

ftiggv nyek

folytonossgt

az

rtelmezsi

tartomny:

a.88.

/(x)=3'

+l,

xeR\{l};

-l,

xeR\{t}.

_,

5

,

x=l

tartomny

t

bbi pontjban

nem

l tezik

.

(hiszen

("l,

/(.) =

t

4.89.

l09

4. Egyvltozs

vals

fiiggv nyek

hatr rt ke

s

folyto\_

Jssga

[(x-t)'+s,

xe|-,t[

4.

Egyv '

.zs,

vals fiiggv n

,'

,xeR-

I

4.100.

(x\={

l

,x=0

;

l

t2'*l

,x

R'


60/138

a.90. (x)=.l

l0

,

x=l

;

I

rn*

,

xe},-[

,r.lr.

/(x)=|r-l|,

x

e

R;

a.9Z./(x)=[x}

xeR;

4.93.

/(x)=[x},

xeR;

-l

,xelt-

0

,x=0

;

l

,xeR*

x e

R\{0};

-jr

.94.

f

(x)

=

4.95.

f

(x)

=

a.96.

f(x\=+3,

x

R\(-3,3};

x

e

|-,l].

xe},-[

'

xeRf

.

x

R*'

,xeR-.

,xeRj'

-t

1.1l.

/(.r)={

x

4.10l.

/(,)

=

{

#

,xeR\{t}.

3

,x=l

,'l

.

.

4.

Egyvltozs vals fiiggv nyek hatr rt ke

s

folytonor

ga

-

Megotdsok

a negyedik

fejezethez

a.1. ]im(6x'

-lox'

+

3x2

-o)=,\[,'('-#

-i- )

= -

4.

Egyvltozs

vals fiiggv nyek

hatr rt ke

s

blytono

sga

-

Megolds

o.n.

.,l*[-V7)="--.""=

ri.

,[l

-*]=

-

++o

(

*)

lim

/(x)= -oo.


61/138

]|q/(,)=

--,

4.2. lim

(t

r,

-

25x1

+

4xa

,-*\

.l

/(r)=

-.

4.3. lim

/(r)=.o,

-6)=,,*,,(5

_:-o-*)=-

4.4. |lm

(x)=

-,

llirn

3.

=-

s

\-..

{.5. lim

/(x)=-,

..

5x{+6x]-8

,,@u

rrrrr

-----:--

=

-

-.o

];' +

2x +

50

co

lim

/(.r)=

1.

t9-@

J

,ln/G)=-@.

,lli/G)=

t

,li13'=0miaft )

.

,llT/G)=

-4.

lim

/(x)=

t.

-6

8

)+

_- _n

5

=,']T:fi-=]

J+;+

n

xx

4.6.

lim

(3,

-2,

+3)="oo

-@"=,,rTr,[,

-(i)'

-i)

=

-

lim

/(x)=r.

4.7.

4.8. lim

/()=

l,

4.10.

lim

(r)=1,

++@

)

lim

/(x)=]

J{

)

4.1l.

lin",

:'*3

= tim

r+a

Jy'

_

x

+2

r+

,[q/(,)

=

o,

4.12. ,,^4x3

--2x2

+2

=

lim

x)

x'+l

+tQ

lim

/(r)=

-.o

.

=,'*[,

2

*;

r'

il

x

+

4_

,7-

'l

t

1-,)

,iT]=-oo

,(,

-

i)

,'(,-i-i)

r'

=*[+_=+]=,;=,

o-?-4)

r X'

l-.o

r*4

)

1.13.

]im

/(r)=

l,

4.14.

+

o.

4.15.0.

4.16.

lim

3x-x2

=

lim

. -+o

x+l

JJi

4.17.

0.

,\T/G)=

l.

28

|*7-7

l

4.

Egyvltozs vals ftiggv nyek hatr rt ke

s

folyt,

"ossga

-

4.18.

lim

.r'\2"

-8

=

tim

r+.o

;Z

_

6x

+2

l++@

4.

E,gyvltozs

vals

fiiggv nyek

hatr rt ke

s

folytono

sga


62/138

4.19.

l.

4.20. lim

+

E2 E

i/;-;

-t/;

t+?+

ll

-l--

xr'

4.2t. lim

lr(Ji

*

J,

*

z

)=

_.o

.

r+

-2

I

4.22.

lim

,

'

+ lim 3lt+2

-

_l

+oo

=

}oo.

,_*

l

_l

t+E

1^

x-

4.23.

-

l+0=-l.

4.24.

3

+

1- 1= 3.

4.2S. 12-0+3=15.

4.26.1.

4.27.

]im

(J,r

+ 3

-..F)="-

-"o"=, Lff;5

=

o.

4.28.0.

4.3l.

A

iiggvny

az

x=l

helyen

folytonos

(etemi

ftiggv ny )

,

ev |:y (r)

=

,f0) =

o.

4.32.

Folytonos fiiggv ny, teht

l

/G)

=

(-l)

=

-zs.

a.sl.

tiy; (x)=

7(Z)=

t.

asa.

liry

fG)=

r(o)=

,

4.35.

]im

t{

=.

*"

=

]sa.*P

=

JT,(2

-r)=

4.

4.37.0.

4.38.

li-

6('+

l)

=

-|2

.

r+l

x

-2

1.1l.

lin,

''

('-

3)

=

9 .

r+J

x

_3

.1.40.

lim

*r

=_

9'

=

,,n1

x2

-,r

+

l

_

_

3

r--l

;.-t

Q

.t+-l

x-l

2

4J6.

1

3

l1.5

r,

4.

Egyvltozs vals fiiggv nyek hatr rt ke

s

folyton

4.{l.

lim r+l .

-

3

,-l

x(x

+

3)

l0

ga

-

rf

:a

E,

t

.

-,t

I

:

s

:,

1

a

4.

Egyvlt^zs

vals fiiggv nyek

hatr rt ke

s

folytono

sga

rirr'_-j=

=

*oo

r

gy

lim-j_

nem

l tezik.

r+5+03_

'"'

1-5

x_5

---


63/138

l-x

a.a2. 6r-:',

=l,T+P

=-2.

4.43.

Ahatrrt k1169-6lr

alakir,

k

z

s

nevez

re hozs

s

egyszer

sts

utn:

ll

llm-

=

-_.r-2y1) 4

4.44.

"o.-o"

t pusit

hatr rt k,

talakts

utn:

liqc;] }-*T

=

_:.

.9

alaku

hatr rtk,

a szrimll

gy

ktetenit se

segyszenis t s ti,n:

0

lim

=

- .

;r(x-r[Jr'+x+3

+Jx'

+2x+l)

6

4.46.

l

1

4.17.

l

]

1l

ll

4.48.

lim-:-:__-=--

=_

'-t

{,/x2

+2]Ji

+

4

12

{.a9.

limJ=

-0

,J(x

+ zz)'

a3l,[*

1Y

ag

27

,1.50.

lim

=5

r-5

1-

.Q

lim

x

=-o

r-5-0

1-

{

l

{

ti

.i

4.51.

,limo,/(r)=

--

,li1o/(r)=

fol igy

Jlr*

nem

l tezik.

.r_-|

r"

-

l

4.52.

,lipo/'(r)

=

-t

,[p./G)=

l,

teht

',T/G)

nem l tezik.

4.53.

,tim

(*)=2

,[y.,r(r)=

O.

4.5.1.,

limo,/(..)

=,

nT,/

(r)

;

-@

=,liq/G)

4.55.

-0,25.

4.56.

Nem l tezik.

4.57.

0.

4.58.

3.

4.59.0,5.

4.60.

|80

=

5.

216

6

r--

-

4.6l.

lim

V5x'+5

-_5

--Z

x_l

3'

4.

Bgyvltozs vals

f iggv nyekhatr rt ke

s

folyto

isga

-

4.62. lim,J+l

=-l.

r+0

1l +2x_|

fiiggv nyek

hatr rt ke

s

folytono

ga

4.72.

*[(,-*),(,-+)']=,

-'

,l

=

,-'

=|


64/138

4.63.

,lim

/(r)=

*-

,li1o/(x)=

-@

,

lis/G)

nem

i tezik.

4.64. Nem l tezik.

4.65. ]im'"r(r)

=

0

,ti1o,f(r)=-, l,

/(r)

n.mltezik.

4.66. lim

sin2

=.

9'

=

nJZ,in2,']

=

?

--

;n

5x

0

,-o[5

2x

)

S

,1.67.

lim

sin

2f,

=

'i=n

o

=

0

.

,*

5-r

)

"2

,'

4.68. lim

,8

7x

=.

9'

=

,r^( s]

,\

=

'--'

iiri

51

6

,_o\.5

7x

)

5

4.69.

li*'in(2'-

4)

-.

9'

=

rir z'in(2'

,4)]

=

,

.

r+2

x_2

0

r+2(

2x-4

)

{.70. lim

3x

-.

9'

-

rim

.]_

=

1;,

_

|

=

]

" '

"'

;]T

sin 5x

-

0

',-ti

sin 5x

iiri

5

sin

5x

5

3x35x

4.?l.

]lm[(,-})']

=.

.

J

e1

-T=e,

ea

[(,-i)"]

*

]

;

4.73.

e'-

=

r'

.

eT

4.74.

4.75.

e|0

4.76.

e2 .

4.77.

=

(,-')-j

=

J;

.

l_

i+

l

.}

}

4.78.+=i

4.79.

lim[:{l

_,,_,o

'---[(,-;+)"]'

o.ro.*(#)"'=(i)"

=o

4.8l.

lim

(t_x+?\"'

="cp-

=

co.

,_,-\

xt2,/

4.

Egyvltozs vals fiiggv nyek

hatr rt ke

s

folyton

Megoltls

,ga

-

l.aZ.

tim( +

2x)*=, 1"

4.

Egyv\

s

vals

fiiggv nyekhatr rt ke

sfolytonos

ga

4,94,

Racionlis

t rtftiggvnY,

gy

u rtelmez si

artomny

minden

pontjban

fo1ytonos.


65/138

Legyen

,=:,r=lrx+0

eset n z-ro-,igy

l,s(l+zr)i

=.'*('-:)

=,

4.83.

e|'

(Lasd

az el

z feladatot ).

4.84.

li.j-l+'

=

l,*dP

=,

.

4.85.

liml2

ln(r+

l)

=,r.

+0

x

a.86.

iml"

-l

=

1

.

i+Ox5

a.37.

1;rn1log,(l*')=]

l

=]lon,r.

+OJ x 3ln2 3

"'

d.88.

Follonos

(x=l

nem eleme a ftiggv ny

rtelmez si

artomnynak).

4.89.

Az

x=l helyen

nem folytonos

(/(l)

=

5,

lrry/(x)=

0

).

4.90.

Az

x=l helyen

kell csak

vizsglni

a

fiiggv nyt,

mivel

az rlelmez si

artomny

t


66/138

5.

1 .

D i

ff

e re n

c

i a

h

n

y

a

d o

s-f

i

g gv

ny,

diffe

re

n

c

i

l h

at s

g

Mintafeladatok

t. rja

fel

az

f

: x

t-+

5x2

-2,

x eR

ftiggv ny

xg

:'

l rtelmez si

artomnybeli

ponthoz

tartoz

di

fferenciahanyados-fii

ggv ny t

Megoldsz

d:xr+

(5x'

-2)-(5-2)

xeR\{l}

x-l

.

5x2

-5

d:xH

xeR\{l}

x-l

5x2

-5

_

5(x-lXx+l)

x-l

x-l

tl;xv-+

5(x+l),

x

eR\{l}.

2.hu

el

az

f

:xr>{i:;'r:,;.rl_,1r

ftiggv ny

x0:2

rtelmez si

artomrnybeli

po

ntho

z lartoz

d

i

fferenc

i

ahanyados-

i i

g gv ny t

Megolds:

Az

xo

=

2

helyen

vett

helyettes t si

tkJQ)

3,

gy

[(z'-t)-l,

p,-[

l x-/

d:x+>l

I(''*z)-l,

r

J--,2[

l.

.r-Z

I

Z,

xeP,-[

d:xr+

,lrn

-l

"xl)l=,

xe]-'',2 '

3.

vizsglia

meg,

hogy

a

f

:xvs{1;1, j.'/_lr

iiggvny

&z

x6

=

l

rtelmez si

tartomt,nybeli

pontban

di

fferencilhat-e

Dr

bels

ponda

s

/(l)=|2+l=2.

Vizsgljuk

el

bb

az

f

fuggv ny

=

l

helyen

Mivel

,tlpr/(x)

=

rip^(x'

+

l)=

2

s

Megoldds:

Az

xo

=

l

a

folytonossgt

az

x6

K sztsiik

el az x6:

l helyhez

tartoz

differenciahnyados-ftiggv nyt

d:xt->

(zx-s)-z

,

x

E]t,-[

x-l

(''*r)-z,

}-*,l[

x-l

,

]t,*[

x e

|.o,

l[

llpoa=Z

,\god=-.

Mivel a

differenciahrinyados-fiiggv nynek

nem

l tezik hatar rtke dz xg

=

l helyen,

ezrt

f

nem dilferencilhat az x6

helyen.

Feladatok

5.1. rjafelazf:xH3x'-l, x

eR

filggv ny x9

=

-1

rtelmez si

artomrinybeli

helyhez tartoz differenciahanyados-fi.iggvny t

s.2.

lrafel

az

f

:

x

t->{'::

-:'

"'b'- ,

niggueny xo

=

0

rtelmez si

artomnybeli

[

2,

-

|, x

}-

-,

0[

--'"-

---J

-'

helyhez

tartoz

differenciahnyados-ftiggv ny t

L

r

L

t

zx-s

-

d:xv-+

1 ,_ r

Ix+l,

t

i

53.

rja fel

az

f

: x

e

log,

x,

x eR*

fiiggv ny xg =

helyhez

tartoz differenciahtinyados-ftiggvny t

5.4. Vizsglja meg,

hogy az

f

:

x

* 1fil

,

x eR iiggvny

rtelmez si

artomarrybeli

helyen

5.5.

Vizsglja meg, hogy az

f

;

x t+{ox

-l'

x e

P'

'[

|.x2

+

2,

.t e

|o,3[

x0

= 3

rtelmez si tartomnybeli

helyen

9 rtelmez si artomanybeli

differencilhat-e az

x6

=

0

ftiggv ny

differencilhat-e

az

5.

R-+R

t pusri

fiiggv nyek

differencirilhnyadq4

es

deriv. ltfii

renye

5..

ViHglja

meg, hogy az

f

: x r+

{5x

+ z,

x

e

[t,

.o[

1x]+l,'.i.,jlfiiesuenydifferencilhat-eaz

xo

=

l

rtelmez si

artomanybeli helyen

5.

It+R

t p,- ,i

4.Hatrozza

meg

u

:x

r-+

togr

2't7j,

x e]-co,-.,6Pr

-[

fiiggv ny

derivltfiiggvny t


67/138

5.7.

Vizsglja

meg,

hogy az

f

:xt-+r'-3,

+2,

x eR

xo

=

l

rtelmez si

artomnybeli

helyen

iiggv ny

differencilhat-e

az

ftlggv ny

minden

vals

helyen

eR

.8.

Vizsgtja

meg, hogy

az

f

:

x

t-+|x|(r'

+ Z)

differencilhat-e

5.9. Vizsglja

meg, hogy az

f

: x

r+

(x

+

l)|x + l|

,

differencirilhat-e

x

eR ft,iggvny

minden

vals

helyen

5.2.

DerivItfii ggv ny

Mintafeladatok

l.

Hatrozzuk

meg

u

:,

-

V7+3xa

+ 7,x

eR

ftlggv ny

derivitftiggv ny t

Megolds:

f:x*>x5+3xa+7,

.1

f

':

x r-l

-+

+llxJ

5Vx2

xgR

,

x eR\{0}.

2. Hatrozzuk

megaz

,,

-++*,

x R*

ftlggv ny

derivltfiiggvny t

'

3'+3'

Megold

s:

Rt ny lt

halmaz.

A

hrryadosftiggv ny

derivlsi

szablyt

alkalmazva:

Lp'

*3)-(lnx+2)3'ln3

f

:x

-+

.r eR".

3.Hatrozzuk

meg u

:x F) xo

.log,

x

,

x ef2,5]

ftiggv ny

derivltftiggvny t

Megolds:

Csak

bels pontban rtelmezett

a

differencilhnyados.

A

szorzatftiggv ny

dcrivlsi

szablyt alkalmazva:

f';

x

t-s

4x

]

log,

*

*9,

x

e]2,

5[.

ln)

MegoIds:

A lncszablY

szerint

a

k

zvetett

fiiggv ny

derivltjrira

vonatkoz

szabIyt

alkalmazva:

(,or,r{o)

=F*(',-)

=J

6;)

=i*

#=r-,

-rI

=

ln2

=

--_-r*

ln3#J'^

xln2

:XH----F,

ln3Vx'-3

Feladatok

Hatrozzuk

meg

a k

vetkez

ftiggv nyek

derivltfiiggvny t

5.10.

/:xt-+

5x2

-3x+2,

.r

eR;

5.1l. ,r-],

xeR\{0};

5.12.

,r-

f

-+*

x+2,

x

eR\{o};

xx

5.13.

/,r-

V7+fi,

x

epo-;

5.|4.

f

:xt-+

*.J--,-[,rtmt

x

eR*;

5.15.

/,..

p

fi.'*-

/T

'*'

.V;,

x

eR*,.

,_

5.t6.

,r-

riVVl

+3x]

-l,

x

eR;

5. Il_+R

fipus|i

fiiggv ny

k

di terenc lhnyado

a

&

derivldt

]v nye

5.

R+llt ,

-ri

iigry nyek

li ferrcncirilhnyadosa

s

clerivltfiiggv nye

5.30.

/,r- .

L.

xeR;

X'

+x+l


68/138

5.18.

:xr-+5xJi

#

+2,

x

eR*;

5.|g.

,r- 4$,

x

ER\{o};

5.20.

f,"-(3r'

-2Y,

x

e|2,3|;

5.2l.

,

r

-

(o'

-r),

x

eR,

aeR;

5.72.

,,

-

(5r'

-l\zr'

-2x

+l),

x

e[0,

7];

5.23. ,r-ffi*J,

xeR;

_(t

_fi]

,

x

R*;

S.24.

,

-

V*[1*

)

5.25.

f

:xH3logrx-5Ji,

x

eR*;

5,26.

:

t+

3x

-5,2'

,

x

ER;

5.27.

:xl)5e'

-2lnx+3,

x

eR*;

l

5.28.

:xr+;},

x

eR\tl};

3

5.2g.

:xv-+;j=.

x

R;\{4};

5.3l.

,,

-

*#,

x eR\{ *J|l,

5.32.

f,r-

$$S,

x eR\{1,2};

5.33. .r-f+, xeR-\{l};

5.34.

J',r-fi,

x

eR\|-2,2|;

5.35.

/,r-=,

x eR\{0};

^

3.2'

-SJi

+2

5.J.

/.xF)-

lnx-2

'

x eRl{e2};

t

t

5.37.

:

x F)

x'

.lnx,

x eR*;

5.38.f:xH3''.V7,

xeR:

5.3g.

,,

-

(t

-

r')-r'

x eR*;

5.40.

f

:xHx2.Inx

4^[i+2,

x

eR*;

3.4l,

,

-

(3r'

-

2.r|lnx

-

t),

.r

eR*;

t-

t-

t

t

L

)

TT-

ll

ll

]l

,I

]

i]

l

-l

x eR*;

5.

R+R

t pusri

fiiggv nyek

differencilhnyadosa

es

derivl'^'o

y ny.

5.12.

,

-

(stg*

-fiIr'

+

*'

-l),

5.13. ,r-$?l,

ren\{o};

5.

R-+R.'

.u

li

5.55.

/:

x

t-+

5

.3'

+

e2',

x eR;

5.56.

,

r

FJ

"-3x|+5r1-1

,

x

eR;

differcn cir{lluinvad

osa

6


69/138

.

-rn

-/rt

.'n

a

--lt

"lT-

I

l.

.-t_

{

I

l

r

,

T-

l

l

r

t

1

1

r

i

;-

:

T*

j

I

--

5.50.

/:

x

H

,

x

e|-2,2[;

5.5l./:xH+,

./x'

-

l6

5.52.

f,r-rf,*fi,

5.53.

/,r--E.---- J

l

-r[*'1'

5.54.

:x2-'+2',

x e]-co,

-4[v]4, o[;

x

eR*;

re]-co,

-

nt_ }.r]

.[

,_Ir{

};

x

ER;

l28

^I

_

5.44.

f

: x

F-l3'

(r'

-i}

x ert\{O};

i

l-r

5.45.

,r-

("'

+Zx},

r

ER;

5.46.

f :x r+

logr2m, r

eJ-o, -2]u[2, o[;

5.47.

,rr+(3r'-z|lnx+t),

x eR*;

5.48.

/,

r

-

.6*t,

e]-co,

-l]v[l,

-[;

5.4g.

,r-{fi-/,

xeR;

2+x

2-x

5.57.

:

x

l+

36,

x

R;;

x

-l

5.58.

/:

x

t+

eli

+

3*'-l,

x

ert\{-l

};

5.5g. ,r-Vt-2',

xeR;

5.60.

:

x r+

2fr,

.r

]-o,

_l]r..l[l,

co[;

lT:;

5.6l.

,r-. t,

x

e]-l,l];

5.62.

J':xr+logrZx,

x

eR*i

5.63.

f:rr+ln(3x'-t),

5.64.

f,r-

ln3*-2

---5x-3'

xe]-co,

-fr"

]*,*,,

,.]--,;[.,]1,{,

5.65.

/,,

-

.,[n(-*'

ii),

xen;

5.66.

:

x

+l

h(ln.r),

xe]l,

rc[;

5.67.

,,

-

ln*,

x

R*;

Vx

5.68.

/

:

r r+

log,

(r'

+.r

+

t|

,

xefi;

5.

R+R

t pusri fiiggv nyek

differencilhnyadosa

es

derivri'

5.69. t,,

r+ tgg

,

xeR'i

Jx2

+ l0

,ggvenr_

5.82.

:,rF+

#*2x

xefi\{

+k2t,

+kn,

++k2n|:

5.83.

/:xt-+

6.2''n',

xeR;


70/138

5.70.

:

x

F) e"-'*"

,frrJ,

5.7|.

f

: r

-+

3"-t

,rg(x'

+:)

x

eR;

o _ o-1

5.72.f:xa

,

xeR;

e,+e

5.73.

:xF+

e"-"',ln(*'

+x+t)+Vl+t,

xeR;

5.74.

:xr+ln2x-lnx2

+ln2x,

xeR*;

S.75.

,

,

-

S

@,

xe]-co

,

-2|wJ2,

orlf;

|'\

5.76.

:

x r+

|los](zJ"-'

* r}

x

eR;

5.77.

,,

-

.,,/if

*Tffi,

xen*;

S.78.

f,r-'nffi*'

xe]O,

l[;

5,7g.

:

x

r+

lnsinx,

xe]O+k2n,

2n+ar ,

keZ;

5.80.

/:xHlge',

xeR;

5.81.

/:

x

l+

x'in'

,

xeR;

5.

3.

De ri

v

I

tf

i

g

gv

n

y

h e

l

y

ettes si

rt kei

Mintafeladat

l.Hatrozank

meg az"a"

rt kt ,

aaz

f

:xl)

ax2

+2x+3,

x

R,

derivlt iiggv ny nek

a

z rushelye

l

MegoId s:

f':xt-+2ax+2,

x eR

f(|)=2a*2=0

a=-l.

aeR

ftlggv ny

Feladatok

5.84.

Hataozza

meg

az

f

:xr+x-3Vi,

xeR

ftiggv ny

derivltfiiggv ny nek

a

z rushelyeit

5.85.

Hatrirozzamegu

:xl-)

x2e-',xeRfiiggv nyderivltfiiggv ny nekaz rushelyeit

5.86.

Hatrol::amelu

:,

F+

.x -4x+2

,

xeR iiggvny

derivltftiggv ny nek

a

z rushelyeit

5.87.

Hatrozza

meg

az

"a" R

param ter

rtkt,

a

tudjuk,

hogy

az

I

.r

eR\(-

1

)

ftiesv ny


a z rushelye

_ a+x2

l:x

3x+l

5.88. Hatarozza

meg

az

"a"

R

param ter rt kt,

a

tudjuk, hogy

az

f :xt+x'+4,

x'

x eR\{0}

fiiggv ny

derivlt iiggv nye

azx=

l

helyen

0

rt ket esz

fel

l3l

5.

R+R

t pusri

fiiggv nyek differencir{thnyadosa

&

tlerivlffii

vjnye

5.4.

Geometriai

alkalmazs

Mintafeladatok

|.Hal rozzameg,hogyaz

f

:xt-+

*f

-*i

x

e]-l,

l[

iiggv nygrafikonjanakakPehnY

5.

R+R

d,

sri

fiigry nyek differcncilhnyado

a

s

derivltfiiggv nye

f'(xg)=

12,

6

x62+6xg =

12, amib l x6

=

l, x,g,=

_2

Az

rintsi

pontok:

El(1,10),

El(-2,1)

A

"b'

rt ke:bt=

_2,

bz= 25

Az

rintokegyenletei:

y

:

l2x

-

2

y

=

l2x+ 25.


71/138

fokos

sz

gben

metszi

az

x

tengelyt

Megold

s:

A

fi.iggvny

grafikon

x

tengellyel

beztrt

sz

gn az

adott

pontbeli

rint

haj

l

asszti

gt rtj

iik.

A

filggv ny

z rushelye

x

=

0.

*i"iri" a

fiiggv nyt

s

hatrozzuk

meg/'(0)

rtkt

f

:xr+

-7

-+,

x

e]-l,

l[

J '

,il-x'

.f

'(0)

=

l,

tgcr

=

l,

cr

=

45o

z. irla fe|

az

f:

x

H log,

(3

,'

-

4),

,

.

l-

-,,F[']

xo =

2abszcisszjir

pondba

h zott

rint

je

egyenlett

I| egold

s:

Az

rint

egyenlete:

y

=

mx+b,

ahol

m = '(2),

Az?rint si

pont

ordint$a:fl2):

logz8

:

3,

Az rint si

pont

koordintil

E(2,3),

,(z)=*

Az

rint

egyenlete:

y

=

l*

*

6,

'

2ln2

Az

rintsi

pont

koordintinak

ki kell

elg teni

az

rint

egyenlett

is,

gy

b= 3-

3

ln2

Az rint

egyenlete

,, =

#**

''

-

*

),

3.Hatrozza

rneg

az

f

:xr>2x

+3x2

+5,x

eR

ftiggv ny

grarrkonjahoz

hrizhat

azon

rint

egyenlet t,

amelyik

mereges

My =-*-

+

5

egyenesre

Iv egolds:Az

rint

egyenlete:

y

=

mx+b,

A

rieregess g

miatt

m

=

12,

gy

uegyenlet:

,

=

|]x+b,

Ha

azrintsi

ont

koordinti:(xg,y6),

m =,f

'(xo),

K sztsiik

el a

derivltfiiggv nyt:

f':xt-+6x1

+6x,

x

eR

,F-[

friggv ny

grafikonjanak

az

-f"t

-rrl

Feladatok

5.89.

Hatrirozza

meg, hogy a k vetkez

ftlggv nyek

grafikonja

hany fokos sz

gben

metszik

az x tengelyt

a)

f:r---l-.

xep:

log,

(x'

+

3) '

b)

:x r>

(x

-2)'

,

xeR;

c)

:x

a

ln(5

-

x), xe]_o,

5[.

5.90.

Hatrozza

meg

az

f:xr+(x-Z}.,6-x,

reR fitggv ny

grafikonjrlnak

xo=2

abszc

i

sszj

ri

pontj

ba

huzott

rinto egyenlett

5.91. . Iat rozza

meg

az

f

:

x

r-+

x2

-2x

+3

,

x eR

ftlggv ny grafikonjanak

az

y

=

4x

-

3 egycnletri

egyenessel prhuzamos

rint

e

egyenlet t

5.92.

Hatr

auza

meg,hogy

az

f

:

x

t-+++,

xeR

ftlggv ny

grafikonjrinak

melyik

pondba

hrizott rintje

prhuzamos

az x'.ng.ttfil

*

5.93.

Hatarozza

meg,hogy

az

f

:xt->

*-Z,

x

en\{t}

ftiggv ny

grafikonjnak

melyik

pondba

h zott rint

je

pirhuzamos

rzx tengellyel

5.94.

Hat

ozza meg,

hogy

u

:,

-

l,

x

eR

hirzott

rintje

meroleges

uy

=|x*

l

.g].n.rr.t

5

ftlggv ny

grafikonjnak

melyik

pontjba

5.95.

tlatrozza meg, hogy

az

;xt->2x3 -6x2

+9x-5,

x eR ftiggv ny

grafikonjnak

melyik pondba

h

zott

rintje

mereges

azy =-lr *

3 egyenesre

'9

5. I{-+

lt

tp usu i i

ggvnyek di lc

rcncillr

nyatlosa

es

tle

riv

l

tfiiggv rrye

5.96.

Hatriro7za meg "a"

paamter

rt kt,

a tudjuk, hogy

az

f

:

xt-+

ax2+2x-3,

x

eR

iiggvny

grafikonjrinak

az xo

=

2

abszcisszj r

pontjba

huzott rint

je

prhuzamos

az

y

=

l0x-3 egyenletti egyenessel

S.97. lv{ekkora

teriiletti

az

a hromsz

g,

amelyet az

l

xH

e2*+x2, x eR ftiggv ny

grafikonjnak

az x9 =

0 abszcisszj

pontjba

h

rzott

rint

je

a koordintatengelyekket.bezr?

5.

t{+tt

3+3e-'-l-.e-'

l+e*

_

l

=2+e''

_

l

=2er+l-e"-l_

l

e'

l+e'

e'

e'(l+er)

l+e'

Feladatok

Hattirozzuk


72/138

S.98.

llaptsa

meg, hogy

azf: xH

(x+l)2,

x eR sag: x1-1

x2-3x*6,

x eR ftiggv nyek

graikonjai

mekkora

sz

g

alatt

metszik egymast

5.

5. Magasabbrend

ti

derivltak

Mintafeladatok

l.

Hatriroz za meg

u

:,

-

"*

,

xeR

\{ l

}

iiggvnymasodrend i


73/138

5.109.

.*v+

*'logr.F,

x

R*

t=

f,J

5.1l0.

_:

xt+

*'

,.'*,

xeR

,(5)

_

,rtl-

5.11l.

.:

*r+

e*

sinx,

xeR

^4l

-

lrJ

Hatilrozzuk

meg

a

ktivetkez

filggv nyek

msodik


a

z rushelyeit

5.1l2, x

p+

2x3+3x2+l,

xeR;

--.

5,113,1

-

-

ffi,

xeR\{l};

5.1t4. |*

H

(x-1)2..-('-tl,

xeR;

--

5.1l5.1

*

-

l;*1

,

xeR\{-l,1}.

x'-l'

5.116.

Mutassa

meg, hogy

a

ktlvetkez

fiiggv ny

,

_i

x x3 lnx, xeRt

eleget tesz

a

_

lu'(*)

=

(-l)6

2 x3' egyenletnek

_

5.117. Mutassa

meg,

hogy

a k

vetkez

fitggv nyl

x F+

2e-'+3e-2"+(e'*+e-2*;ln1l+e'), xeR

eleget

tesz

a k vetkez

iisszeftigg snek:

_

f"(x)+3f'(x)+2/(x)=

#'

-.-

5.6. L'Hospitat szabty

alkalmazsa

'

Mintafeladatok

--T

l.Hatrozza

meg

u

:x

F)

x'e-*'

,

x eR fiiggv ny

hatrrt k t

co-ben

l1

ri.4

=

lim

lx

=

liml

=

0.

.t-o

eX'

I+

eX'2x

r+o

ax'

2.Hatrozzttkmeg

az

f

:xl+

(x-l)*,xe]l,co[\(2}

fi.iggv nyhatr rt k tazx=Zhelyen

MegoIds:

lT/=lgG-t)*

=1-.

Alaktsuk

t a

k

vetkez

k ppen

ahozzrendel si

szablyt:

_ . +

J=m1*-t1

(x-1;,-z

=gr-2

Hatrozzuk

meg

a

r,*

hatr rtketr

ez

I

alak

gy alkalmazhatjuk

az L'

Hospital

szablyt

l

li,r,,

ln(*

-_l)

=

liril

=

linr

l

=

l

l-,2

x_2

ll2

l

r+r1-|

gy

ezentalak ts

utn a

k rdseshatrrt k:

l,s(*

-

l)*

=

lirn.1+

=

e|

=

e.

Feladatok

AzL'

HosPital

szablytalkalmazva

hatrozzuk

meg

a ktivetkez

filggv nyek

hatrrt k t

5.1l8.

f:xt-+*1

-l

.

xu

J

,

xeR\{-l,

1}

1inl,f

=

?,

_2-,

5.119.

f

:xt-+

,

xeR\{6}

x

l,q,f

=

l37

5.

R+R

t pusri

fiiggy nyekdifferencilhnyatlosa

&

derivltf'

,ry._

,2

_4

5.120.

f

:xr+-,

.reR\{2}

X-l

|iqf

=

5. R+R

t -,.r ,

iiggn ny.k

difr.*n.ilh

x(x-l)

(-3)

r

F+

--.,-

-,

.---\_t,

x e|2,7|

3

(x-l;'

,-*,

xe[2,7]


74/138

x2

+5x+6

5.12l.

f

:xr+

J]ji/

=

xJ+2x2+x+2'

xeR\{-2}

ln2r

5.122.

f

:xt-+

*+,

xeR

li

/=

5.123.

f

:xr+

(,r-t)tn(x-t), xe]1,oo[

lim

/=

r+l r0

-

5.124.

f

:

x

r+-+-

-_-L,

x ef,2,o[\{_l

}

---

'ln(x+2)

x+l'

J

/=

5.125.

f

:

xrs

(r-Z)'-', x e]2,o[

lim

/=

r+2+0

"

5.7.

A f

ggv nyelaszticitsa

Mintafeladatok

l.

Tekintsiik

a k vetkez

keresleti

fiiggv nyr

|r-4,

xe|2,7f. Flatrozzuk meg

a

-l

hozztartoz elaszticitris

fi,lggv nyt

Megolds: Az elaszticits

fiiggv ny:

x

H

*.r't*l

,

.r

el slx) *

0, ami megmutatja, hogy

f(x)

1%-os

rvltozas

(vagy

jrivedelem

vltozs)

hany

o-os

keresletvltozst

okoz.

Hatrozzuk

meg/'-t

a

1

f';xl+

---+,,

xef2,7j

'

(x-l)'

Az

elaszticitsftiggv ny

a

k


75/138

5.2.d,-- l=,

X

J--,0[.

Iri,

xe]o,-[

5.3.d,*-

f,

xeR\{91,

l

5.4.

d: x

r+

,f,,,

x

e n/{O

}

'[nod=-,'1-1[od=-@,limdneml tezik,aftiggv nynemdifferencilhat.

5.7.

d:

xF) x2+x-2,

x

e

|-,l[

x

e

},-[

l$q

=

6,

a

ilggvny

differencilhat,

,

x

]*,l[

x

e

]t,o[

]ipl"d

=,lir.s

=

5, a

filggv ny

nem

differencilhat.

x

eR\{

l

},

l,,Td

=

0,

a

ftlggv ny

differencilhat.

+2,

x e

]o,.[

-2,

x

e

|-,0[

limd

=

-2,

a

fiiggv ny

nem

differencilhat.

.

x+l,

*e|t,-[

Cl :x

',

[-(**r;,

x

]--,-l[

, aod

=

0,

, +od

=

0,

a

ftiggv ny

differencilhat

az x=-l

helyen.

x+3.

5.5.

O,*-t

u,

l,s

=

6,

(

x'-6

5.6.

d:xr+{

x-l

I

[5,

lim

d

=

+co,

[*'

5.8.

d:xrr{

,

L-

x,

lim

d=2,

l+0+0

l40

5.9.

5.12.

f',*

-

-{*{+t,

x

e

R\{O}.

5.13.

f'

,*- J-*-L.

x e

R*.

3Vx

2J

x'

5.1{.f,,*-__- ,_,

x

R..

5.15.

f':

x r+ l,

x R"

5.1.

f,,

*

-

- ,.

+9x2,

l5,./i

5.17.f',*-9tfi',

x R*

6

5.18. f,,

*

-

]iJi

2

2'

*

*V;'

xeR\{o}.

xeR*

5.19. f':x-

-,

l

=

*__2----,

x

e nr{o}.

x'.Vx'

5.x'.Vx'

'

5.20.

f':xr+36x3

-24x,

xeP,r[.

5.2l. f':xr+-3a

+6arx-3x',

xeR,

aeR.

5.22.

r':xt+50xa

-48x2

+lOx+6,

xe[O,z].

l4l

5.

R_>R t prsri

fiiggy nyek

differencilhnyadosa

es

derivlt,"

gv nye-

M

5.23. f':xr-l ,

x.nr{o,rfi}.

5.

R-+R

t p

i

iiggv nyek

difrerencirilhnyado

a

s derivrilffiiggv nye

-

Megolds

2'.[i

2

9{;

3

L

t

t

5.33.f,.--

:

lifi

.?

zfi,

x

nt{o,r}.

(J;

-,I


76/138

s.24. f, ,*-

_L_::,

x

e Rt

l5',1x'3

6Vx

5.27. f

':x

F)

5e'

,XR'

5.25.f,,*-

3 _::, x

R..

xln2

2^lx

3.26. ': x r+ l8xJ

-

5.2'ka,

x

e

R.

_?

x

5.28. f':xH

;

-:3X

.,,

x

R\[l}.

(*'

-

t)'

5.7g.f':xH

=:-,=,

x

nt{O,+}.

2^lxP- J*

/

5.30.

f,:xt+-,

6x*3

.;,

x

R.

(x2 +x+l)'

5.31.

f',--ffi,

x,R\E,6},

3x

-l2xJ

+

l0xa

-9x2-18x

+

6

(*'-rx+Z|

.32.

f

':

x

xeRt{t,z}.

5.34. f':

x r+

5.36. f':xt-+

l'tn:(x'

-

+)-

zx(l"

-

z)

(*'

-

o)'

xeRt{tz}.

,

.

|t

).

,i

,

,

'{

5.35. f',--ffi,

xenr{O}.

t

t

t

,t

t

t

t

t

t

t

t

r"

,

x R-\{"'}.

(tnx

-

z)'

5.37.

f':xt-+3x2lnx+x2,

xe

R'.

/-^\

5.38.

f':xt+ 3'[rnlV*'

-ft),

xe

n\{o}.

5.39. f':xF)et(t-*'

-z*)

xeR.

5.40.

f':xr+2xlnx**-ft,

xe R*.

5.41. f':x t+

3e'('**i-')-2lnx,

x e R'.

5.42.

f,,--(#-#)0,

+x,

-r)+(srg*-fiIlh3+2x)

x

e

R*

5.43.

f,,--+-#,

xe n\{o}.

(r.

r-,r-*)(tnx

-r)-i(l.

z,

-sfi

+

z)

1-

l-

r.-

t

l-n

5..l{.

f':xH3'(r,,nr*5*

2'ha-*), x eR\{0}.

5. R+R t pusri fii

ggv nyek differencillr

nyadosa &

derivllfi

i

qgv nye-

IVIegoltlris

5.45.

f':xs3(c-

+Z*)'(.'tn.+Z}

xeR,

ceR'

5.

I{-rR

tpusr

iiggv nyek

differencilhnyadosa

es

clerivltfiiggv nye

-

Megolds

5.55.

f':xH5.3'ln3

+2e2',

xe

R.

5.56.

f,:

x

F)

(-n*'

+l0x)e-r*'ts*'-t,

x

e R.


77/138

r-

|-"

5.{6. f,:x--$,

ln3Vx'-4

5.47.

f

': x

r+

6xlnx

+g*

-?,

x

e

R*

.

5..l8.

flx-,5ft,, x

]-.o,-t[u]t,.o[.

1-

r-

l-r

I"

,l

-

T-

l-

T.--

,-

r--

l

l

:I

'l

r

|r-,"

:

f':xl+

2

'(z_x)fiJ,

5.51.

f''*

-

(l

x

e

]-.o,

-Z[v]z,o[.

x.|z,zf.

,

x

Io,-4[uh,-[.

r,-"i

.

T-

--T1

5.54.

f':

x t+

-2-'ln2+2*|n2,

x

e R.

tr-n

:|

,I

,l-

l*-L

5.52.

flxr+-+{., x

R'.

2Jx +

Jx

3_3,Ix'

-:2*-,L

5.53.

f,ixH---_z

Jx'-2

*.}_.,-.,D[r{-ri}rtrD,-[,k }.

,.JJ.

l,.^-6'

|44

5.65.

f':

x

t-l

/i;(--'O(x'

+

t)'

l45

5.57.

f':xr+J-rfitnr,

x R'.

^l

l\lx

5.58.

f':xH.=;u

+2x.3"-'ln3,

xeRr{-r}.

5.59.

f':xH+,

xenr{O}.

3,J(1_2,),'

-

(-

5.60.

f',

*

-

;1fi

2{T

ln2,

x

J-oo,-l[u},-[.

I

5.62.f':xH-+',

xeR'

x

.ln5

5.63.

f,,*-f\,

x

]--,-flr]+,-[

-,

]-.",;[,]3,."[

xeR\{0}.

5.

R+R

t pusri

iiggv nyekdifferencilhnyadosa

es

deriv'

'iiggv nyc -

5.66. f',*

-

- -,

x

},-[.

x,lnx

5.67.f,,**- .

x

R,.

4x-

5.

R->R

".u

li iiggvnyek

differencillrnyatlosa

es

derivlffiiggv nye-

Zlgx

.

l

5.77.

f':

x H

-+r"l 5_,

x e R,.

Z.r/tg2x+lgx+l


78/138

5.68.

f',--5ff#,

xeR.

5.69.

f', *

-

]*

-d*,.),

x Rt

5.70.

f':xF+e*'-"-'(2*-2}fi'

-l

-#, x e

|*,_t[utr,-[.

/x'-l

5.7l.

f, :

x t+

3x2

.3"-'ln3.tg(,*'

-

r)-1;frh,

x e R.

5.72. ':xH--j -.

xeR.

(e'+e-')''

5.73.f,:xH(2x_l)e',-'.r,n(*,+*-')-*P-ffi,xeR.

5.74.

f',*-

2l*

-Z*L,

xeRt

5.75.

f':

x

r--r

x

}-

o,-2[v

P,-[.

Ztog.[Zffi

+

l

ltnr(Zfii

+

r

'ffi

ln2.x

5.76.

f':

x

g

xeR.

5.88.

a:l.

147

5.78.

f': x

H

#,

x

[-l,

l]\{0}.

5.79.f':xHctgx, xeR.

5.80. f,:xH*=lg..

lnl0

|-

5.8l.

f': x H

x""'|

(cosx|lnx)+1.ri*l,

x R*.

LxJ

5.82. f, :

x H

4x(cosx

-sin2xXl

+

tg2x2)

+

2(sinx

+

2cos2x)tgx2

(cosx

-

sin2x)2

xeR\{

+k2t,

|+kr,

++k2n}.

6 2

6

5.83.

f': x

H

6ln2,2"-

.cosx,

5.84.

f'

:

x

r+

t

-l,*

e

R\

{O},

Vx'

5.85.

xt=0,

x2=2.

5.86.

x:2.

5.87.

xeR.

I

l

-17

=

0,

xt

=l, xz

=-l.

5

a

--

3

-n

i

n

5.

R-+R

t pusri fiiggv nyek

differencilhnyadosa

es

derivkr' -gv n}F

Megolds

5.89.

a) Ha

50,

x:0,

M(0,0), (0)=m=l, gy

tgo:l,

o:45o

b) Ha

50,

x=2,

M(2,0),

'(2)=m=0,

gy

gcr=O,

cr:Oo

c) Ha

50,

x=4, M(4,0), f-(4)=m=

-l,

gy

tga=-l,

cr=l35o.

5.90.

E(2,0),6=f'())=l,

y

=

x+b,

y

=

x-2.

5.

R+R

t pl,sli

fiiggv nyek

differencirilhnyadosa

&

derivltfiiggv nye

-

5.102. f('):x*

6

xlrr3'

xeR*'

5.103.

f':xt+,#fr,

xeR'


79/138

--i

t

I

l

-,a

-:a

,a

-.t

--T

5.9l.

E(3,6),y=4x-6.

l5.92.

P(0,1).

5.93.

P(e,e+2.

5.94.

Er

(1,5),

E2

(-l,-5).

5.95.

El

(2,5);

E2

(-2,5).

5.96.

a=2.

5.97.

Az rint

egyenlete:

y:2x+

l

,

t=

l

.

4

5.98.

Hatrozank

meg a metsz spontot

A metsz spontba

h

zott

rint

k

ltal

bezrt sz

g

adja

a k rdezett

sz

get.

A

metsz spont

koordinti:

(1,4),

ml

=4,

m2 =-1

cr1

=75.96o, cr2

=l35o,

Ct=C1,2-cr1

:59,04o.

5.99. f('):xH4320x,

xe

R.

5.100.

f':xl-+

*fu *fr7,

xeR\{0}.

5.10l.

f':xl+.'-'(t6*'

-a)

xeR.

l48

l49

5.104. f":xF)

2x6

_6x{

+l2x2

,

xen\{tt}.

(*'

-

rI

5.105.

f':xl+

25ln23.3sx-z,

xe

R.

-*l

5.106.

f":xpr*(-'

-,)

xeR.

JZ,t

-r+2ln x-2)

1

5.107.

f":xH_-1' {i_ l,

x

P,-[.

(x

-

2)'

5.108.

f,:xl+

2x-l1n.l

r-

ib,

xe

n\{z}.

5.109.

f': x F>

6xlogrJt'

*#,

x e

R'.

5.1l0./

(5):

xt-+

e"(32x2+l60x+l60),

xeR.

5.1ll./(a):

xr+

-4(sinx)e*,

xeR.

5.1 12. *=

-f

.

2

5.1 13. x=

0.

5.114. f":x

t+

?e-( -l)'lrt--t)'-s(x-r)'+r}

x

R,

5.

R+R

tp usri

fii

ggvnyek

di ferencilhnyadosa

es cleriv^

__

.t

ggv

nye_

,,J ;{i _f

z,stoz

y.=l*Js-Jtz

_(1,4682

T

t

=l

=---;=(j;,'j,X'r,

|2

=

,rry =(;i:i,

5.

R_>R

rsri

iiggv nyekdiffercncilhnyado

a s

tlerivlffiiggv nye_

Megolcltis

l

5.123.

|,Tf

=

$

D

=

|l-=L

=

lim-(x

-

t)=

o.

x

-l

(*

-l)'

L

t

t


80/138

5.115.

f':xHo$,

xe

Rt{t},Nincs,e^,n"ryr

5.116.

,r'l(x)

J3

5.1l7.

zr(x)=

4e-*

+ 6e-2*

+ z(e-'

*,-'-)n(t

*"'

)

f

"(x)

=

e-'

+72e-2*

+

(e-*

+ 4e-2*

)ln(l

+

e';

- 13a'

3f(x)

=

-6e-'-l8e-2*

-3(e-'

+2e-2')ln(l+

")**

f(x)

+

3f(x)

+

2f(x)

=

3

-*=

=

#

5.118.

Iimf

=

li^*= ,

x+t

r+l

1'

O

5.119.

l,*f

=

|rgrnZ(Z-

+2'-)=2lr2,

5.120.

l,sf

=

lim2x

=

4,

5.121.]$f

=l$Jfih=i

?|n*

5.|22.1,,

f

=H+=lg5=l'

}=o.

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

I

I

5.124.

J

f=111fiH5#=ljl,

=lim

l

=l.

x+-l

1a]

2

fir-+

l)+

ln(x

+ 2)

l-

l

x+2

]d+

,,y*

5.125.

l,sG_2).-,

=[i69 (,-2r-,=lis.,

-2)rn(x-z)=l,$.

=

=e

(*-,y

="|'r-(,-z)_,,

5.126.

e:

x H

____:-(-2)

x

e R*

-Zx+J

5.t27.a)

e:x-

--L,

pe

]O,to[,

p+l

cs kken.

2x2

5.128.t:xHxr+l,

b)

P:=

rt"i]:o

-1,78,

vagyis

1,78%-kal

,{;}

x

R*,

e(3)

=

1,3

.

x+2)-(x+l

(x

+2)'

.

I

ra

6.

Fiiggvnyvizsglat

{

6.

Fiiggv nyvizsglat

6.

.

Sz /s

rt R,monotonits

Mintafeladatok

1. I{atarozzuk meg

a

k

vetkez

fiiggv ny

sz ls

rtkeit

smonotonitsi szakaszait

6. Fiiggvnyvizsglat

Eredm nyeinket

foglaljuk

tblzatba:

(a

szigoruan

monoton

n veked st 7l,

a

szigoruan

monoton cstjkken st

l

jel

li)

x

e

l-co.

-l

-

_l

e

1-1.

3

-3

e

13,

co[

J"G)

+

0

0

+

(,)

,/

max.

Jv|):l7

min.

,/(3)=

-ls

./


81/138

{

l-

,r(r)=

x'

-

3x2

-9x

+l?,

x

e

R

It[egolds:

A toklis

sz ls

rt k

tezs nek

ztilu ges

fett tete:/'G)=0.

Derivljuk a

fiiggv nyt skeressiik

meg

a

derivlt ftiggv ny

z rushelyeit:

/'G)

=3x2

-6x-,),

xe

R,

/'(r)=O,

3x2

-6x-9=0.

A msodfokri egyenletet

megoldva:

r/

=

-l,

x2

=

3.(xleD1

s

x2eD1).

A

derivlt fiiggv ny zrushelyei

hrom

r szintervallumra bondk

azf

fnggv ny

rtelmez si tartomnyt.

(

]-.o,

-l[;

]-l,

3[

s

]3,

*[

)

'

ezen

r szintervallumokban

felvett eljel b l

ktivetkeetheti.lnk

az

ftiggv ny

monotonitsra,

valamint

a

sz ls

rt khelyeire

.

Az

'

el

jele

szmtssal,

(3x'-

6x-9

=3(x+l[x-3),

a szorzat

eljele

pozitv,

ha az

(x+l)

s

(x-3)

szorzt nyezok

azonos eljelriek, negat v,

ha

a

t nyez k

eljele ktil

nb

z

,

vagy

az

egyes

r szintervallumok

egy

-egytetsz

leges

x helyn

/'G)

rt kt

iszfun tva)

vagy

/'

grafikonjnak

vzolsval

k

nnyen

eld nthet

.

_

r-{

'(r)ro,ha.re]-o,

-lI

r.l

]3,

-[, '(r\.0,

haxe]-l,

3[.

Ahol

az

els

derivlt

pozit v,

ott

az

/

fiiggv ny szigoruan

monoton n

veked

(

]-.,

-l

I

u

]3, -[

),

ahol a

derivlt

negat v, ott

az

f

fuggv ny szigoruan

monoton

cs kken

(

]-l,3[).

A

szls

rt k tez snek

lgs ges

felt tele,hosy

eljelet

vltson

a? xl=

-l,

illetve.v;=3

k

rnyezetben.

lv ivel

/'(r)

A?

x

:

-l

helyen

pozitvr

negat vravltva

nutla,

ezrt

az/ fiiggv nynek

itt

helyi

maximuma van,

azx=

3

helyen

negat vr pozit vra vltva nulla,

ez rtazffilggv nynek

itt helyi

minimuma van. A maximum

rt ke1-1)=|7, minimum

r ke:/(3)=

-15.

l52

l53

Most vizsgljuk

meg, hogy

lehet-e

abszol

t sz ls

rt kea

fiiggv nynek.

Mivel/folytonos,

ez rt elegendo

az albbi

hatr rtkeket vizsglni

:

,IiaG'

-3x1

-9x+lz)=timx3('-i

-*-3)=*,

l ,

Azf-neknincs

lim(x,

_3x

Documents

SZOLF Gazdmat I Feladatgyűjtemény