7/23/2019 Szamonkeres Anyaga ISZAM GVAM 151022

1/5

Szmonkrs anyagaszept. 17-tl szept. 24-reI. A kzpiskolai tananyag ttekintse(A kvetelmny az aliakan !elsoroltak iztonsgos ismerete s "asznlata# nempe$ig !elsorols-szer% memorizlsa&

1. 'ggvnyek# rzols)kFv,. rtelmezsi tartomny, rtkkszlet fogalma;

Nevezetes fggvnyek s brzolsuk (i$entits ( xxf : ), lineris ( baxxf +: ),

mso$!ok* ( cbxaxxf ++2: ), re+iprok (

CBx

Axf +

:

), sin ( CBxAxf + )sin(: &,

+os ( CBxAxf + )os(: )# tg ( CBxAtgxf + )(: )# +tg ( CBxActgxf + )(: )#

sin(a, +os(a, tg(a, +tg(a,& (aza !atsa a "eri#$usra)# "atvny ( CBxAxf r + )(: )#

gyk ( CBxAxf +: )# as. rtk ( CBxAxf +: )# log ( CBxAxf a + )(log:

), e fggvnyek transzformi#i, az ala"fggvnyek s transzformlt%aik rtelmezsi

tartomnya, rtkkszlete2. cbxaxxf ++

2: alak& fggvny talak'tsa CBxAxf + 2)(: alak&v

. A "atvnyozs azonossgai (anrtelmezse s mveleti szablyok, !a n "oz. egsz,neg. egsz, zrus vagy raionlis) * a gy+kvons azonossgai (am&gy a !atvnyozsazonossgaiban mr benne vannak)

4. A logaritm)s azonossgai. /gyenltlensgek megol$sa0. so$!ok* egyenletek megol$sa (megol$kplet# $iszkriminns a2=|a|

- tm!oz ka"sol#$# fela$atokat ls$ a gyakorlat anyagbanII. 3almazok

almaz eleme, /nem eleme0, rsz!almaza, !almazok egyenl1sge, az res !almazalmazelmleti mveletek(unio, metszet, kl+nbsg, kom"lementer)veleti tula%$onsgok: i$em"otenia, kommutativits, asszoiativits, $isztributivits3e organ azonossgokIII. Szm"almazok4zm!almazok (, 5, 6, 6, 8), a szm!almazokon rtelmezett algebrai mveletek, mveletisorren$ek (5, 6, :, 7, !atvnyozs)a mveletek tul.: kommutativits, asszoiativits s $isztributivits

szept. 24-tl okt. 1-reI. 3almazok t)la9$onsgai

8gy - !almazfellrl korltos, !a AxKxK : .8gy - !almaz alulrl korltos, !a Axkxk : .8gy - !almaz korltos, !a fellr1l s alulr#l korltos.Figyelem 8gy !almaz als# vagy fels1 korlt%a le!et a !almaz eleme vagy nem eleme isalmaz minimuma: legkisebb eleme, !a van ilyen. - minimum a !almaz elemealmaz maximuma: legnagyobb eleme, !a van ilyen. - ma9imum a !almaz elemee!t minimum, ma9imum nem biztos, !ogy ltezik, $e !a ltezik, akkor a !almaz elemenfimum, su"rmum fogalma. (nfimum az als# korltok !almaznak ma9imuma, su"rmuma fels1 korltok !almaznak minimuma)nfimum s su"rmum min$ig ltezik s le!et a !almaz eleme vagy nem eleme.

a a min. ltezik, akkor megegyezik az infimummal.a a ma9. ltezik, akkor megegyezik a su"rmummal.

7/23/2019 Szamonkeres Anyaga ISZAM GVAM 151022

2/5

II. :rnyezet# kls# els# "atrpont !ogalma

Krnyezet: ls1 fv., bels1 fggvny, rtelmezsi tartomny; +sszetett fv6ek felbontsa, +sszetett fv.6ekk"zse t+bb egyszer fggvnyb1lFela$atok +sszetett fggvnyekre (+sszetenni, sztsze$ni), rtelmezsi tartomnnyal,rtkkszlettelFontos meg%egyzs: nem elegen$1 meg!atrozni, egy +sszetett fv. mely f, g, G fv6ekb1l

tev1$ik +ssze; azt is meg kell a$ni, !ogy ez milyen sorren$ben t+rtnik ( gf

Hfg

H)Nemsak kt, !anem ennl t+bb fv. +sszettelre is vonatkoz!atnak a fela$atok.

okt. 1-tl okt. =-raI. 'ggvnyek kompoz;+i9a>S? @8 /B/? IS BS CDA:>8A? IS S5/8/E/? /FFGHHH>ls1 fv., bels1 fggvny, rtelmezsi tartomny; +sszetett fv6ek felbontsa, +sszetett fv.6ekk"zse t+bb egyszer fggvnyb1lFela$atok +sszetett fggvnyekre (+sszetenni, sztsze$ni), rtelmezsi tartomnnyal,rtkkszlettelFontos meg%egyzs: nem elegen$1 meg!atrozni, egy +sszetett fv. mely f, g, G fv6ekb1l

tev1$ik +ssze; azt is meg kell a$ni, !ogy ez milyen sorren$ben t+rtnik ( gf IH ; fg IH)Nemsak kt, !anem ennl t+bb fv. +sszettelre is vonatkoz!atnak a fela$atok.

7/23/2019 Szamonkeres Anyaga ISZAM GVAM 151022

3/5

II. 'ggvnyek t)la9$onsgai (pontos $e!in;+ik# valamint egyes !v-ek t)la9$onsgainakmeg"atrozsa !ela$atok !orm9an&

"ros, "ratlan (az rtelmezsi tartomnyra vonatkoz# felttellel);a fggvny rtkkszletnek seg'tsgvel $efiniltuk az albbi tula%$onsgokat: fellr1lkorltos, alulr#l korltos, korltos, ma9imum, minimum, infiumum, su"rmum, ez ut#bbiak

+sszefggse (min$ig ltezik6e, !a ltezik, akkor mi mivel egyenl1)meg%egyzs: a fv. rtkkszletvel $efinilt tula%$onsgai mellett a !almazok etula%$onsgainak $efin'i#i is kellenek (l$. sze"t. 2J6r1l okt. ?6re . "ont)Fontos megkl+nb+ztetni: minimum8K, minimum(LCL>), ma9!ely, ma9.;egy "ont egy k+rnyezetben $efiniltuk: loklis minimum, loklis ma9imum;az rtelmezsi tartomny egy rszintervallumn $efiniltuk: monoton n+veke$1, monotonfogy#, szigor&an monoton n+veke$1, szigor&an monoton fogy#, konve9, konkv fggvny;az rtelmezsi tartomny egy "ont%ra $efiniltuk: infle9i#s "ont; zrus!ely;

okt. =-tl okt. 1-reI. 3atrrtkek $e!in;+ii

=ges !elyen (%el. "l.

7/23/2019 Szamonkeres Anyaga ISZAM GVAM 151022

4/5

( ) ( )++,( ) ( )++

,( ) ( )++

,( ) ( )

,( ) ( ) :

,( )

7/23/2019 Szamonkeres Anyaga ISZAM GVAM 151022

5/5

okt. 22-rl okt. 2M-reI. Az /)ler-!le szm (el1a$sr#l)

-z eI 2,O?P2P?P2PJQRG szm fogalma,e

x

x

=

+

+

??lim

-z eirraionlis s transzen$ens szm (nem algebrai)-z ln fggvny $efin'i#%a lnIloge8bb1l kiin$ulva igazoltuk:

ex

x??

?lim =

+

a

x

ex

a=

+

+

?lim eax

x

=

+

+

??lim

e

xlim

ax

=

+

+

+

??

II. 5rt intervall)mon !olytonos !ggvnyekre vonatkoz ttelek

Bolzano+t,8gy [ ]ba, 6n folytonos fv. min$en [ ])(),( bfaf 6beli rtket felvesz. (4"e. !a ( )af

s ( )bf ellenttes el1%el, akkor f6nek [ ]ba, 6n van zrus!elye.)

-eierstrass+t, 8gy [ ]ba, 6n folytonos fv.6nek van minimuma s ma9imuma.

III. Ni!!eren+ilszm;ts

3efin'i#k: kl+nbsgi !nya$os fggvny, f$erivl!at# az rtelmezsi tartomnynak egy